bel˙ırl˙ı ve bel˙ırs˙ız ˙ıntegral

Ünite 6
BELİRLİ VE BELİRSİZ
İNTEGRAL
Kışkırtıcı Soru:Sonsuz tane sayının toplamı sonlu bir sayıya eşit olur
mu hocam?
Soruyu Soran: Selçuk Durum:1
Kavramlar : Bölüntü, Alt toplam, Üst toplam, Belirli integral, Belirsiz integral, Ortalama değer
2
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Tahmin
Dün televizyonda bir haber izledim, canım sıkıldı.
Neden Gökçe, haber neydi?
Geçen yaz Bodrum’da tatil yaptığımız yöreye çok yakın bir bölgede orman yangını başlamış ve bir saatin sonunda yayılma
hızı saatte 20 hektara ulaşmış. Bir saat sonraki haberde, rüzgarın da
etkisiyle, yangının yayılma hızının saatte 40 hektara çıktığını duydum.
Ben de çevre illerden yangın söndürme ekiplerinin yola çıktığını duydum ama daha sonra neler olduğunu bilmiyorum.
Evet Selçuk, bir saat sonraki haber bülteninde yangının hızının giderek arttığı ve saatte 100 hektara kadar çıktığı söylendi.
Dördüncü haber bülteninde yangının kontrol altına alındığı, söndürme
çalışmalarının karadan ve havadan sürdürüldüğü, buna rağmen yayılma
hızının ancak saatte 50 hektara düşürülebildiği açıklandı. Son izlediğim
haber bülteninde ise yangının yağmurun da etkisiyle söndürüldüğü söylendi. Güzelim ormanlarımız böyle yanıp kül oluyor hocam. Kim bilir ne
kadar orman kül oldu!
Gerçekten çok üzücü bir durum Gökçe. Madem merak ediyorsun, ne kadar ormanın yandığı konusunda bir tahminde
bulunabiliriz. Zaten bu hesaplamayı biz yapmasak bile ilgili kişiler yapmak zorundalar. Hektar başına kaç ağaç var, en çok ya da en az ne kadar
hasar var, ne kadar ağaç kullanılarak ormanlar yenilenecek gibi soruların cevaplanması gerekli. Ben ilk dört saatte kaç hektarlık orman yandığı
hakkında basit bir tahminde bulunulabileceğini söylüyorum.
Peki hocam bunu nasıl yapabiliriz?
Tahmin
3
Yangın beş saat sürmüş ve Gökçe ilk dört saatin her biri için
Zaman
yangının yayılma hızını bizlere söyledi. Bunlarla ilgili yandaki tabloyu kurup, sonra da ikilileri zaman-yayılma hızı koordinat sisteminde işaretleyebiliriz.
1
2
3
4
20
40
100
50
(saat)
Yayılma hızı
(hektar/saat)
Yayılma hızı (hektar/saat)
Yangının yayıldığı alan = Zaman × Yayılma hızı
100
90
eşitliğini kullanarak da 4 saat içinde yaklaşık olarak 210 hektarlık or-
80
man alanının tahrip olduğunu anlayabiliriz. Bu tahminimizi birer saat
70
arayla verilen yayılma hızı bilgilerine göre yaptık. Daha iyi bir tahminde
60
50
bulunmak için sizce neye ihtiyacımız var?
40
30
Zaman aralıklarını daha kısa tutmaya ihtiyacımız olabilir mi?
20
Örneğin saatteki değil de her yarım saatteki yayılma hızlarını
10
bilseydik daha iyi bir tahmin yapabilirdik sanırım.
1
2
zaman (saat)
3
Engin haklı! Biz birer saatlik aralıklarla yangının değişme hızını sabit kabul ediyoruz. Ancak yangının yayılma hızı her an
değişiklik gösterebilir. Yani açık olarak belirtemesek de yayılma hızı zamanın sürekli bir fonksiyonudur. Hız ölçümü yapılan zaman aralıklarını
ne kadar azaltırsak, zarar için o kadar iyi bir tahminde bulunabiliriz.
Hocam başka hangi durumlar için tahminde bulunabiliriz?
NEHİR
Bir çok durum için tahminde bulunabiliriz. İsterseniz başka
bir örnek vereyim. Varsayalım ki bir kasabanın içinden akan,
bir nehirle yol arasında kalan, şekilde görülen bölgeyi yeşil alan haline
YEŞİLLENDİRİLECEK BÖLGE
getirmek istiyorsunuz. Bu projenin maliyeti metrekare başına 25 TL olsun. Bu proje için yaklaşık ne kadar para ayırmanız gerekir?
Bölgenin alanını bulurum ve 25 ile çarparım. Ancak bu bölgenin şekli ne üçgene ne de dörtgene benziyor. Ben bir tahminde
bulunamayacağım.
Hocam bu bir mühendislik işi, bizi bununla uğraştırmasanız.
YOL
4
4
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Doğru bir mantık yürütmeyle bunu herkes yapabilir, yeter ki
nereden başlayacağınızı bilin. Bu problemi çözebilmeniz için
size bir ipucu vereyim: Bölgenin yola en uzak noktasının yola uzaklığı 35
metre ve yola cephesi 14 metre olsun. Bölgeyi alttan sınırlayan yolu xekseni olarak alıp, bölgeyi bir dikdörtgenle sınırlandıralım. Yani bölgeyi
eni 14 metre, boyu 35 metre olan bir dikdörtgen içine alalım.
35m
Hocam şaka mı yapıyorsunuz? Bu dikdörtgenin alanı
35 · 14 = 490 m2 olur. Bu değer istenen alandan oldukça bü-
14m
yüktür, bu gerçeği pek yansıtmaz.
Güzel! O halde size göre daha iyi bir tahminde bulunmak için
neye ihtiyacımız var?
Madem ki bölgeyi bir dikdörtgen içine aldınız, daha küçük
dikdörtgenlere bölerek bu dikdörtgenlerin alanları toplamı ile
tahminde bulunsak hocam?
Nasıl bir bölme öneriyorsun Engin?
y
40
35
Yolun bölgeyi alttan sınırlayan kısmını x-ekseninin bir parçası
30
olarak kabul etmiştik. Şimdi bu parçayı ikiye ayırıp, bunlar
25
üzerinde yola uzaklıkları en büyük olan noktaların uzaklıklarını alırsak,
20
bölgeyi enleri aynı fakat boyları farklı iki dikdörtgenle üstten sınırlandı-
35m
15
30m
rabiliriz. Bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı bölgenin alanı için daha
10
iyi bir tahmin olur.
5
x
2
4
6
8
10
12
14
Güzel bir yaklaşım. Hemen ölçümleri vereyim o zaman: 1.
parçada yola en uzak nokta 30 metre, 2. parçada en uzak
nokta 35 metre uzaklıkta olsun.
Ben de hesabı yapayım. Dikdörtgenlerin alanları toplamı:
(35 · 7) + (30 · 7) = (35 + 30) · 7 = 65 · 7 = 455 m2
olduğundan bu dikdörtgenlerin oluşturduğu bölgeyi yeşillendirmenin
toplam maliyeti: 455 · 25 = 11375 TL olur ki paramız yetmez bu durumda.
Tahmin
5
Peki hocam daha fazla dikdörtgen kullansak, örneğin yeni diky
dörtgenlerin enlerinin orta noktalarını kullanarak bölgeyi dört
40
eşit parçaya bölüp, bu parçaların yola uzaklıkları en büyük olan noktala-
35
rının uzaklıklarını kullansak sanırım daha iyi bir yaklaşımda bulunmuş
30
oluruz.
25
20
Bölgeyi dıştan sınırlayan dikdörtgenlerin alanları toplamıyla
10
bölgenin alanına azalarak yaklaşıyorsun Engin, gayet güzel!
5
35m
33m
30m
15
20m
x
Bu dört parçadaki yola uzaklığı en büyük olan noktaların uzaklıkları: 1.
2
4
6
8
10
12
14
parçada 20 metre, ikinci parçada 30 metre, üçüncü parçada 33 metre,
dördüncü parçada 35 metre ise sonuç ne olur?
Bu durumda
7
7
7
7
7
7
20· +30· +33· +35· = (20+30+33+35)· = 118· = 413 m2
2
2
2
2
2
2
y
40
35
Proje maliyeti 413 · 25 = 10325 TL olur. Hocam, neden yolun bu dört
30
parçası için de yola uzaklıkları en küçük olan noktalarını alarak tah-
25
minde bulunmuyoruz?
20
15
23m
10
Tabii, öyle de düşünebilirsiniz.
15m
5
12m
x
2
Parçalardaki en kısa uzunluklar; 1. parçada 0 metre, 2. parçada 15 metre, 3. parçada 23 metre ve 4. parçada 12 metredir. Haydi bakalım hesaplayın!
İlk parçada en kısa uzaklık 0 metre olduğundan bir alan oluşmaz. Diğer parçalarda enler eşit ve 3,5 metre olduğundan en
kısa uzaklıklarla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı:
7
2
· (15 + 23 + 12) =
7
2
· 50 = 175 m2 olur.
Projenin maliyeti de 175 · 25 = 4375 TL’dir.
Ne güzel, bu tahminle proje oldukça ucuza mal olacak.
Ucuz gibi gözükse de bölgenin büyük bir kısmını ihmal ettik.
Hocam, bölgenin yoldaki sınırını 8 parçaya bölerek işlemlerimizi tekrarlasak ne olurdu?
4
6
8
10
12
14
6
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Peki Selçuk, bu parçalardaki en kısa ve en uzun mesafeleri
Yola
En
En
uzaklık
kısa
uzun
1
0
18
2
16
20
3
15
27
Hesaplamaları da ben yapayım. Önce en uzun olanları göz
4
26
30
önüne alarak başlayayım:
5
23
26
6
24
33
7
33
33
8
12
33
yandaki tabloyla veriyorum.
7
7
7
7
7
7
7
7
·18+ ·20+ ·27+ ·30+ ·26+ ·33+ ·33+ ·33 = ·220 = 385.
4
4
4
4
4
4
4
4
4
7
Bu durum için proje maliyeti 385 · 25 = 9625 TL olur. Şimdi de en kısa
uzunluklarla hesaplamayı yapayım:
y
40
7
7
7
7
7
7
7
7
7
·0+ ·16+ ·15+ ·26+ ·22+ ·24+ ·33+ ·12 = ·148 = 259.
4
4
4
4
4
4
4
4
4
35
30
Projenin bu durumda maliyeti de 259 · 25 = 6475 TL olur.
25
20
15
Hocam, parça sayısını arttırdıkça en kısa ve en uzun uzun-
10
luklarla yaptığımız hesaplar sonucunda elde ettiğimiz maliyet
5
x
2
4
6
8
10
12
14
değerleri, birbirlerine gitgide yaklaşıyorlar. Bu adımda projenin maliyeti
en az 6475 TL en çok 9625 TL olur. Bu iki değerin ortalaması alınırsa
yaklaşık olarak 8041 TL olur.
y
40
35
30
Bravo sizlere, bu hesaplamayı parça sayısını arttırarak böl-
25
genin alanına alttan ve üstten yaklaşıp, alanı oldukça doğru
20
bir bakış açısıyla hesaplamaya çalıştınız. Yaptığınız hesaplamalarla aynı
15
zamanda herhangi bir eğriyle sınırlı alanların hesabı için ilk adımı da
10
atmış oldunuz.
5
x
2
4
6
8
10
12
14
ALAN HESAPLAMALARI
Alan hesaplamalarının iki bin yılı aşkın bir tarihçesi vardır.
Eski Mısır ve Babil’de nehirler taşar ve yön değiştirirdi. Nehirler yataklarını değiştirdikçe bazı çiftçiler topraklarını kaybederken
bazıları yeni topraklar kazanırlardı. Ödenecek vergiler sahip olunan toprakların alanına göre belirlendiği için nehir kıyısındaki düzensiz şekilli
arazilerin alanlarını sık sık hesaplamak gerekirdi.
Peki hocam, o zaman bu alan hesaplamaları nasıl yapılıyordu?
Belli bir yöntem var mıydı?
ALAN HESAPLAMALARI
Babilliler ve Mısırlılar üçgen ve dörtgenin alan hesabını bildiklerinden alan ölçümlerini üçgenlerin ve dörtgenlerin alanlarına dayandırarak hesaplıyorlardı. Fakat belli bir yöntemleri yoktu.
Daha sonra Yunan matematikçiler Eudoxus (M.Ö. 408- M.Ö. 355) ve
Arşimet (M.Ö. 287- M.Ö. 212) eğrilerle sınırlı düzlemsel alanların belirlenebilmesi için "Tüketme Yöntemi" adı verilen bir yöntem geliştirerek,
bugün hala üzerinde çalışılan integral kavramının temellerini atmışlardır.
Hocam, tüketme yönteminden kısaca bahsedebilir misiniz?
Tabii ki, tüketme yönteminde biraz önce bizim yaptıklarımıza
benzer bir yol izliyoruz. Öncelikle alanını hesaplayabileceğimiz çokgenler kullanarak bölgeyi dıştan kuşatıyoruz. Daha sonra da bölgenin tamamen içinde kalan yine alanını hesaplayabileceğimiz çokgenlerle bölgenin sınırına yaklaşıyoruz. Böylece dıştan ve içten bölgenin
sınırına yaklaşarak bölgenin alanına bir yaklaşımda bulunuyoruz. Daha
sonra bu çokgenlerin kenar sayılarını adım adım arttırarak, dıştan ve içten bölgenin sınırlarına daha çok yaklaşıyoruz. Son olarak da kullandığımız çokgenlerin kenar sayılarını sınırsız bir biçimde arttırarak bölgenin
eğrisel sınırına ulaşmaya çalışıyoruz.
Bu yapılanlar bölgenin alanını veriyor mu hocam?
Bilinen limit tekniklerini kullanarak hesaplanan limit değeri
istenen alanı verecektir.
Eudoxus ve Arşimet zamanında da alan hesaplamaları limit
kullanılarak mı yapılıyordu?
Hayır Selçuk. Günümüzde kullanılan limit tanımını, limit, süreklilik, türev konusunda da söz ettiğimiz gibi, ünlü matematikçi Cauchy’e (1789-1857) borçluyuz. Eudoxus ve Arşimet limit kullanmadan, üçgen, dörtgen ve çokgenlerin alanlarını ve geometriyi kullanarak, tüketme yöntemi ile alan hesaplamaları yapmışlardır. Dairenin ve
bazı özel eğrilerle sınırlı bölgelerin alanlarını asıl değerlerine yakın bir
şekilde elde etmişlerdir.
7
8
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Hocam, Eudoxus ya da Arşimet’in o zaman hesapladıkları bir
düzlemsel alanı, bugünkü yöntemlerin biriyle hesaplayabilir
miyiz?
Peki Engin. Dilerseniz Arşimet’in iki bin yıl önce üçgenlerin
alanlarını kullanarak, tüketme yöntemi ile çözdüğü bir problemi günümüzde var olan yöntemlerle çözüp belirli integral konusuna
bir giriş yapalım.
D
C
Arşimet bir parabolik yayın altında kalan alanın bu yayı çevreleyen
dikdörtgenin alanının üçte ikisi olduğunu ifade etmiştir. Diğer bir deyişle Arşimet, şekildeki taralı alanın ABCD dikdörtgeninin alanının üçte
ikisi olduğunu söylemiştir.
A
B
Hocam, problemin iki bin yıllık oluşu gözümü korkuttu doğrusu.
y
(−1, 1)
D
(1, 1)
Daha problemi çözmeye başlamadan gözünüz korkmasın. Ön-
C
E
ceki yeşil alan probleminin bir benzerini tartışacağız. Önce
parabol yayını çevreleyen dikdörtgeni, tabanının orta noktası dik koor0
A
(−1, 0)
x
B
dinat sisteminin merkezine gelecek şekilde x-ekseni üzerine yerleştirelim.
(1, 0)
Hocam, bu durumda şekil y-eksenine göre simetrik oldu. Bu
alan hesaplamalarında kolaylık sağlar mı?
Evet Zeynep. Bu durumda şeklin sağ yarısını göz önüne almak yeterli olacaktır. Önce alanın değerine bir yaklaşımda
bulunacağız. Kolaylık olsun diye |OB| = |OE| = 1 alalım.
Söyleyin bakalım bu parabolün denklemi ne olur?
y
Tepe noktası y-ekseni üzerinde olan parabolün denklemi
y = a x 2 + c biçimindeydi. Parabolün tepe noktası (0, 1) oldu-
1
ğundan bu denklemde x yerine 0, y yerine 1 yazarsak c = 1 elde edilir.
Parabol x-eksenini (1, 0) noktasında kestiğinden y = a x 2 + 1 denkleminde x yerine 1, y yerine 0 yazılırsa a = −1 bulunur. Sonuç olarak
0
1
x
parabolün denklemi y = 1 − x 2 olur hocam.
ALAN HESAPLAMALARI
9
Aferin Engin. Böylece problemimiz y = 1 − x 2 eğrisinin [0, 1]
2
aralığı üzerindeki parçasının altındaki alanın br 2 olduğunu
3
göstermeye dönüşür.
y
1
İlk olarak [0, 1] aralığını ikiye bölerek
işe başlıyorduk.
Bunun
1
1
1
için 0, ve 1 noktalarını kullanıp 0,
ve
, 1 aralıkla2
2
2
rını alalım ve bu aralıklar içinde grafiğe en uzak ve en yakın noktaların
f (0)
f
nalım.
2
0
değerleri ile işe başlayalım. Bölgeyi dıştan kuşatan ve bölgeye içten yaklaşan dikdörtgenlerin alanlarıyla bölgenin alanına bir yaklaşımda bulu-
€1Š
1
2
x
1
Şekil 6.1: [0, 1] aralığının 0,
1
,
2
1
bölüntüsüne karşılık gelen üst
toplam
Bunun için grafiğin [0, 1] aralığı üzerinde azaldığını kullan-
y
mak yerinde olur.
1
Kullanalım hocam, biz 0’dan 1’e doğru hareket ettikçe grafik
aşağı doğru iniyor, yani fonksiyonun değerleri azalıyor. Bu durumda fonksiyon en büyük değerini alt aralıkların sol uç noktalarında
f
€1Š
2
ve en küçük değerini de sağ uçlarda alır, değil mi?
1
2
0
x
1
Evet Zeynep, tam olarak bunu demek istemiştim. Önce fonksiyonun sırasıyla en büyük değerlerini kullanıp bölgeyi dıştan
kuşatan ve en küçük değerlerini kullanıp bölgeye içten yaklaşan dikdörtgenlerin alanlarıyla bölgenin alanına yaklaşalım. Bunlara sırasıyla
1
[0, 1]’in 0, , 1 bölüntüsüne karşı gelen üst toplamı ve alt toplamı de2
nir.
Şekil 6.2: [0, 1] aralığının 0,
1
,
2
1
bölüntüsüne karşılık gelen alt toplam
y
1
Üst toplam (Şekil 6.1)
Ü2 ( f ) = f (0)
1
2
− 0 +f
1
2
1−
1
2
1
3 1 1 3 7
= 1· + · = + = br 2
2 4 2 2 8 8
ve alt toplam (Şekil 6.2)
1
1
1
3 1
1 3
A2 ( f ) = f ( )
− 0 + f (1) 1 −
= · + 0 · = br 2
2
2
2
4 2
2 8
0
1
2
1
Şekil 6.3: [0, 1] aralığının 0,
1
,
2
1
bölüntüsüne karşılık gelen fark
dikdörtgenleri
olur.
=
Aradığımız alana A dersek A2 ( f ) ≤ A ≤ Ü2 ( f ) eşitsizliği ger-
f (0) − f (1) = 1
1
2
çekleşir. Bu durumda üst ve alt toplama giren dikdörtgenlerin
farklarından oluşan fark dikdörtgenleri şekildeki sütunu oluştururlar. Bu
1
sütunun alanı Ü2 ( f ) − A2 ( f ) = f (0) − f (1) · ’dir.
2
x
Şekil 6.4: [0, 1] aralığının 0,
1
,
2
1
bölüntüsüne karşılık gelen fark
dikdörtgenlerinin
farklar sütunu
oluşturduğu
10
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Bence ne
y
1
4
f
8
ne de
3
8
istediğimiz sonuç olan
2
3
’e pek yakın sayı-
1 1 3
lar değiller. Bunun için [0, 1] aralığını, 0, , , ve 1 bölün4 2 4
tüsünü kullanarak
1 1
1 3
3
1
0,
,
,
,
,
,
,1
4
4 2
2 4
4
1
f (0) f
7
€1Š
2
f
0
Şekil
1
2
1
4
3
4
x
1
[0, 1]
6.5:
1 1
, , 43 , 1
4 2
0,
3
4
gibi dört eşit parçaya ayırsak daha iyi olacak hocam.
aralığının
Haklısın Engin. Bu durumda üst toplama giren dikdörtgenler
bölüntüsüne karşılık
bölgeyi dıştan kuşattıkları için dikdörtgenlerin alanları top-
gelen üst toplam
lamı bölgenin alanından büyük, fakat bir önceki adımdaki toplamdan
y
küçük olacaktır. Alt toplama giren diktörgenlerin alanları toplamı ise,
1
bölgenin içinde kalacaklarından, bölgenin alanından küçük, fakat bir
önceki adımda elde ettiğimiz toplamdan büyük olacaktır.
f
1
4
f
€1Š
Bu durumda üst ve alt toplamlar
2
f
1
4
0
Şekil
0,
3
4
3
4
1
2
[0, 1]
6.6:
1 1
, , 43 , 1
4 2
x
1
Ü4 ( f ) = f (0)
aralığının
bölüntüsüne karşılık
gelen alt toplam
y
1
1
4
€ Š
1
1
1
3
1
3
3
−0 +f 14
−
+f
−
+f
1
−
2
4
2
4
2
4
4
7 1
= 1 · 14 + 15
· 1 + 34 · 14 + 16
· 4 = 25
ve
16 4
32
€ Š
1
1
1
1
3
3
1
3
−
0
+f
−
+f
−
+f
(1)
1
−
A4 ( f ) = f 14
4
2
2
4
4
4
2
4
=
15
16
·
1
4
+
3
4
· 14 +
7
16
·
1
4
+0·
1
4
=
17
32
olur.
Zeynep’in hesaplamalarıyla da gördüğümüz gibi bölgenin alanı
0
Şekil
0,
6.7:
1 1
, , 43 , 1
4 2
1
4
1
2
3
4
1
x
laşmış oluruz. Ayrıca üst ve alt toplamlara giren diktörtgenlerin farkı
bölüntüsüne karşılık
ile oluşan fark dikdörtgenleri şekildeki sütunu oluştururlar. Bu sütuna
=
farklar sütunu diyelim. Farklar sütununun alanı ise
1
Ü4 ( f ) − A4 ( f ) = f (0) − f (1) ·
4
1
1
4
0,
6.8:
1 1
, , 43 , 1
4 2
olur. Böylece aradığımız alan değerine üstten ve alttan biraz daha yak-
aralığının
[0, 1]
gelen fark dikdörtgenleri
Şekil
olan A sayısı bu iki sayı arasında kalır. Yani A4 ( f ) ≤ A ≤ Ü4 ( f )
[0, 1]
aralığının
bölüntüsüne karşılık
gelen farklar sütunu
olur ve bu adımdaki farklar sütununun alanı bir önceki adımdakinin
yarısı olur.
1 2
n−1
Buraya kadar yaptıklarımızı [0, 1]’in 0, , , . . . ,
, 1 bölünn n
n
1
tüsünü için tekrarlarsak boyları eşit ve br olan
n
1
1 2
n−2 n−1
n−1
0,
,
,
, ...,
,
,
,1
n
n n
n
n
n
ALAN HESAPLAMALARI
11
alt aralıklarını elde ederiz. Bu alt aralıkların uzunluğunu △x ile gös1
olur. Böylece üst toplama girecek dikdörtgenlerin taterirsek △x =
n
1
ban uzunlukları birim, yükseklikleri ise bu alt aralıkların sol uçlarını
n
f (x)’in grafiğine birleştiren doğru parçalarının uzunlukları kadardır.
y = f (x) = 1 − x 2 olduğundan bu yükseklikler
2 2
1
1
2
2
2
f (0) = 1−0 = 1, f
,f
,. . .,
=1−
= 1−
n
n
n
n
n−1
n−1 2
f
olur hocam. Üst toplam da
=1−
n
n
n−1
1
Ün ( f ) = f (0) △ x + f
△ x + ···+ f
△x
n
n
= △x
=
1
f (0) + f
–
n
= 1−
n−
1
n
–
1
‚ 2
1
n
n
+
2
+f
n
2
2
n
+ ···+ f
+ ···+
12 + 22 + · · · + (n − 1)2
n−1
n−1
n
2 Ϊ
n
™
n2
olarak bulunur.
n
n
Aferin Zeynep. Alt aralıkların
benzer işlem– sağ uçları alınıp ™
1 12 + 22 + · · · + n2
olarak elde
ler yapılırsa An ( f ) = 1 −
n
n2
edilir. Sonunda n’ye bağlı iki toplam elde ettik. Bu toplamlar içinde ge-
2n + 1
çen n tane ardışık doğal sayının kareleri toplamının
12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
(n)(n + 1)(2n + 1)
6
olduğunu veren güzel bir geometrik yaklaşımı yanda görebilirsiniz. Bu
toplamlar da n’yi sınırsız bir biçimde arttırırsak üst toplamın limiti
‚
Œ
2n3 − 3n2 + n
lim Ün ( f ) = lim 1 −
n→∞
n→∞
6n3
n
3
= 1 − lim
n→∞
= 1−
2
6
=
2
3
2−
3
1
+
n n2
n3 (6)
n+1
=
n
6(12 + 22 + · · · + n2 )
n(n + 1) (2n + 1)
12
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
y
olarak elde edilir ve Arşimet’in iddiasının doğruluğu da görülmüş olur.
Hocam, üst toplamların limitini buldunuz ve Arşimet’in sonucunun doğru olduğunu söylediniz. Alt toplamın limitinin de
buna eşit olması gerekmez miydi?
1
n
Şekil
0,
2
n
6.9:
1 2
, ,···
n n
n−1 n =1
n n
[0, 1]
aralığının
n−1
,
n
,
x
i−1 i
n n
3
n
1 bölüntüsüne
karşılık gelen fark dikdörtgenleri
..
Haklısın Zeynep. Üst toplamlara giren dikdörtgenlerle alt toplamlara giren dikdörtgenlerin farklarının oluşturduğu fark sü1
tununun tabanı yüksekliği ise f (0)− f (1) birimdir. Buradan n sonsuza
n
giderken fark sütununun alanı sıfıra gider. Yani n → ∞ iken
1
Ün ( f ) − An ( f ) = ( f (0) − f (1)) → 0’dır. Böylece bu örnek için üst ve
n
alt toplamların limitleri eşit olur.
.
..
=
1
.
Belirli İntegral
Arşimet’in probleminin çözümünde izlenen yolla, negatif de-
1
n
Şekil
0,
,
aralığının
[a, b] kapalı aralığı üzerindeki parçasının altında kalan bölgenin ala-
1 bölüntüsüne
nını benzer işlemleri yaparak elde edebiliriz. Artık [a, b] aralığı üzerinde
[0, 1]
6.10:
1 2
, ,···
n n
n−1
,
n
ğer almayan bir y = f (x) sürekli fonksiyonunun belli bir
karşılık gelen farklar sütunu
f ’nin Belirli İntegrali diye adlandıracağımız sayıyı tanımlayabiliriz.
y
Şimdi tanımımızı verelim. f , [a, b] kapalı aralığı üzerinde
sürekli bir fonksiyon olsun. Önce [a, b] aralığının (n−1) tane
noktasını
a < x 1 < x 2 < x 3 < . . . < x n−1 < b
a x1 x 2
x k−1 x k
xn−1xn=b
x
olacak şekilde seçelim. a = x 0 ve b = x n diyerek [a, b]’nin bir
B = {x 0 , x 1 , . . . , x n } bölüntüsünü oluşturalım. B bölüntüsü [a, b]’yi
[x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], . . . , [x n−2 , x n−1 ], [x n−1 , x n ] biçiminde n tane alt ara-
lığa ayırır. Bu alt aralıklardan k = 1, 2, . . . , n olmak üzere bir [x k−1 , x k ]
alt aralığı seçelim. Bu alt aralık üzerinde fonksiyonun en küçük değerine
Mk
mk ve en büyük değerine Mk diyelim. Bu durumda △x k = x k − x k−1 der-
sek, her x ∈ [x k−1 , x k ] için mk △ x k ≤ f (x) △ x k ≤ Mk △ x k eşitsizliğini
yazarız. Şimdi şu iki toplamı oluşturalım:
mk
△x k
An ( f ) = m1 △ x 1 + m2 △ x 2 + . . . + mn △ x n
Ün ( f ) =
M1 △ x 1 + M2 △ x 2 + . . . + Mn △ x n
Belirli İntegral
13
Hocam, bu toplamlar daha önce oluşturduğumuz alt ve üst
f , [a, b] aralığında sürekli
toplamlara benzedi.
bir Zfonksiyon olmak üzere
a
1)
a
Z
Benzemek ne kelime Zeynep, bu iki toplam tamamen aynı.
Bu toplamlara sırasıyla B bölüntüsüne karşı gelen alt ve üst
b
f (x)d x = 0
Za
f (x)d x=−
2)
b
3) α ∈ R olmak üzere
Zb
toplamlar denir.
f (x)d x
a
Zb
α f (x)d x = α
Önceki örnekte bir bölüntüye karşı gelen alt toplam daima üst
toplamdan küçük oluyordu.
a
f (x)d x
a
4) a < c < b olmak üzere
Zb
f (x)d x =
Benzer bir eşitsizliği burada da yazabiliriz, yani B bölüntüsü
a
Zc
için
A n ( f ) ≤ Ün ( f )
yazılabilir. Bölüntü sayısı sonsuza giderken alt ve üst toplamların aynı
sayıya yakınsadığını biliyorduk. Bu sayıya A dersek
Zb
f (x)d x +
f (x)d x
a
c
olur.
lim An ( f ) = lim Ün ( f ) = A olur.
n→∞
n→∞
Bu A sayısına f ’nin [a, b] aralığı üzerindeki belirli integrali diyeceğiz
ve A sayısını
f
y
b
Z
f (x)d x
A
a
biçiminde göstereceğiz. Belirli integralin tanımı kullanılarak bir çok özellik elde edilebilir. Bunlardan bazılarını yan tarafta verelim.
a
b
Belirli integralin değeri daima pozitif midir?
b
Z
f (x)d x = A
Şekil 6.11:
a
y
Tabii ki hayır Engin. f fonksiyonu her x ∈ [a, b] için
Z b
f (x) ≥ 0 oluyorsa
f (x)d x belirli integrali pozitif bir sa-
a
b
a
yıdır. Bu sayı: alttan [a, b] aralığı, üstten f fonksiyonunun grafiği ve
yanlardan da x = a ve x = b doğruları ile sınırlı bölgenin alanına eşit
A
olur.
Benzer biçimde f fonksiyonunu her x ∈ [a, b] için f (x) ≤ 0 oluZ b
f
f (x)d x belirli integrali negatif bir sayıdır. Bu sayı grafiğin
yorsa
a
[a, b] aralığı altındaki parçası ve x-ekseni ile sınırlı bölgenin alanının
eksi işaretlisidir.
x
b
Z
Şekil 6.12:
a
f (x)d x = −A
x
14
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Buradan üstten [a, b] aralığı, alttan f fonksiyonunun grafiği
ve yanlardan x = a ve x = b doğruları ile sınırlı alanın da
Z b
f (x)d x belirli integralinin eksi işaretlisine eşit olduğunu söyleyea
biliriz, değil mi hocam? Peki, grafiğin bir parçası x-ekseninin üzerinde
geriye kalan kısmı x-ekseninin altında ise durum ne olur?
x-ekseni üzerinde ve altında ayrı ayrı f fonksiyonunun grafiği
ve x-ekseni ile sınırlı alanlarının değerlerini biliyorsak işler
kolay Zeynep. Çünkü belirli integral x-ekseninin üstünde ve altındaki
alanların işaretli toplamına eşittir.
Nihayet limitlerden kurtuluyoruz. Alanlarla belirli integrali hesaplayabileceğiz.
y
2
1
A1
A2
x
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
A3
−2
Henüz o aşamaya gelmedik. Bazı özel durumlar için bunu
5
yapabiliriz Selçuk. Söyleyin bakalım verilen grafiğe göre
Z
5
−3
Şekil 6.13:
R5
f (x)d x = A1 + A2 − A3
−2
f (x)d x’in değeri nedir?
−2
A1 ve A2 x-ekseni üstünde kalan bölgelerin alanları olduğu
için pozitif işaretli, A3 ise x-ekseninin altındaki grafikle sınırlı
bölgenin alanı olduğundan negatif işaretlidir. Bu durumda
Z
5
f (x)d x
−2
= A1 + A2 − A3
=
2·2
2
+
(3 + 1) · 2
2
−
2·2
2
= 4 sayısı olur.
Anlaşıldı ki grafikle sınırlı bölgeler, alanını hesaplayabileceğimiz üçgen, dörtgen vs. gibi geometrik şekillerden oluşuyorsa
işler kolay. Ancak değilse en azından bir üst ya da alt toplamı bulup
n → ∞ için limitine bakmalıyız. Bunun başka bir yolu yok mu hocam?
Belirsiz İntegral
15
Belirsiz İntegral
Her x ∈ [a, b] için
F ′ (x) = f (x) = G ′ (x)
Var elbette! Bir büyüklük başka bir büyüklüğe göre değişiyorsa hangi hızla değiştiğini bulmanın yöntemlerini, yani bir
fonksiyonun türevini bulma yöntemlerini görmüştük. Şimdi bunun tersi
ise
(G(x) − F (x))′
olan problemin üzerinde duralım: Bir fonksiyonun türevini biliyorsak
kendisini bulabilir miyiz? Örneğin belli bir (a, b) açık aralığı içindeki
her x için türevi F ′ (x) = 3x 2 olan F(x) fonksiyonu nedir?
Kolay hocam, y = F(x) = x 3 fonksiyonudur.
G ′ (x) − F ′ (x)
f (x) − f (x) = 0
=
=
olduğundan
G(x) − F (x) = c (sabit)
Ama hocam, bu aralık üzerinde x 3 + 2 fonksiyonunun türevi
ya da G(x) = F (x) + c olur.
de 3x 2 olur. Yani y = x 3 + 2 fonksiyonu da bunu sağlar.
Böylece bir aralık üzerinde
türevleri eşit olan iki fonksiyonun farkı sabittir.
Zeynep haklı. c bir sabit olmak üzere bu aralık üzerinde
x 3 + c fonksiyonunun türevi de 3x 2 dir. c sabiti değiştikçe
sonsuz tane fonksiyon buluruz. O halde (a, b) aralığında türev fonksiyonu verilmişse, fonksiyonun kendisi ve türev fonksiyonu arasında şöyle
bir ilgi kurabilirsiniz:
G(x), türevi 3x 2 olan herhangi bir fonksiyon olsun. x 3 fonksiyonunun türevinin de 3x 2 olduğunu biliyoruz. O halde c bir sabit olmak
üzere
Tanım Belli bir (a, b) aralığındaki tüm x’ler için F (x)
fonksiyonunun türevi f (x)
fonksiyonuna eşit ise, yani
F ′ (x) = f (x) oluyorsa F (x)
fonksiyonuna f (x)’in bir ilkeli denir.
G ′ (x) = 3x 2 ⇔ G(x) = x 3 + c dir.
Bu durumda c sabitinin her bir değeri için x 3 +c fonkisyonuna
Tanım Belli bir (a, b) aralı-
3x 2 fonksiyonunun bir ilkeli ve bu ilkellerin oluşturduğu x 3 +
ğında F (x) fonksiyonu, f (x)
fonksiyonunun bir ilkeli ise
2
c fonksiyonlar ailesine de 3x fonksiyonunun belirsiz integrali denir. Bu
durum
Z
3x 2 d x = x 3 + c
biçiminde gösterilir. Bu gösterimde
R
simgesine belirsiz integral işareti
2
F (x) + c ailesine f (x) fonksiyonunun belirsiz integrali
denir ve
Z
f (x)d x = F (x) + c
ve 3x fonksiyonuna da integrali alınan (integrant) denir.
x 3 +c fonksiyonunun grafiği x 3 fonksiyonunun grafiğinin c kadar kaydırılmışı olduğundan, bu ailenin her bir üyesinin grafiklerini çizsek her biri x 3 fonksiyonunun grafiğinin paralel kaydırılmışı
olan sonsuz tane eğri elde ederiz, değil mi hocam?
şeklinde gösterilir.
16
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
y
Evet Engin, bu örnek için (a, b) = (−∞, +∞) = R aralığı
seçilirse bu grafikler tüm düzlemi doldururlar. Düzlemde bir
nokta seçildiğinde o noktadan geçen ve bu aileye ait olan bir tek fonk-
c=1
c=0
x
siyon vardır. Örneğin, bu aileye ait olan ve (1, 3) noktasından geçen
fonksiyonu bulmak için y = x 3 + c eğrisinin denkleminde x yerine 1, y
c = −1
yerine 3 yazılırsa 3 = 13 + c eşitliğinden c = 2 olarak bulunur. O halde
(1, 3)’den geçen ilkel fonksiyon y = x 3 + 2 olur.
Şekil 6.14: x 3 + 1, x 3 ve x 3 − 1
eğrileri
Hocam türev almak için kurallarımız vardı, integral için de
benzer kurallar var mıdır? Varsa bunların türev kurallarıyla ilgisi nedir?
Tabii ki var Selçuk. Türev alma kurallarını kullanarak bazı
önemli integral formüllerini elde edebiliriz. Yapmamız gereken şey
Z
• (Kuvvet)
R
xrdx =
f ′ (x)d x = f (x) + c
1
x r+1
r+1
+c
(r 6= −1)
• (Logaritmik)
R 1
d x = ln x + c,
x
(x > 0)
• (Üstel)
R
e ax d x = 1a e ax + c
(a 6= 0)
R
• a x d x = ln1a a x + c
(a > 0, a 6= 1)
eşitliğinin doğruluğunu gerçeklemektir. Buradan yandaki eşitliklere ulaşabiliriz.
Bu durumda türevi kullanarak bütün fonksiyonların belirsiz
integralini hemen bulabiliriz. Bu iş bitmiştir diyebilir miyiz hocam?
Maalesef Engin! Türev kuralları sistematik bir şeklide uygulanarak çok karmaşık fonksiyonların türevleri bulunabilir. Ancak basit fonksiyonların bile belirsiz integralini bulmak çok zor, hatta
belli bir anlamda imkansız olabilir.
Olası bazı durumlar için birçok integral alma yöntemi geliştirilmiştir.
Bu yöntemlere geçmeden birkaç genel kuralı verelim: Herhangi f ve g
fonksiyonları ve bir a sayısı için
Z
Z
a f (x)d x = a
Z
f (x)d x
Z
( f (x) ± g(x))d x =
f (x)d x ±
Z
g(x)d x
olur.
Birinci eşitlikte sabitle çarpılmış bir foksiyonun belirsiz integralinde
sabitin integral dışına çıkabileceğini söylüyoruz. İkinci eşitlikte ise iki
Belirsiz İntegral
17
fonksiyonunun toplamları ya da farklarının integralinin, integraller toplamı ya da farkı olarak yazılabileceğini belirtiyoruz.
Bunlara birer örnek verseniz hocam.
Önce basit örneklerden başlayalım. Söyleyin bakalım
Z
(x +
1
x3
)d x
integralini kim çözecek?
İntegrali toplam üzerine dağıtarak başlıyorum hocam.
Z
(x +
1
x3
Z
)d x
=
Z
xd x +
Z
=
1
3
Z x
xd x +
dx
x −3 d x
Sonra da bu integrallere kuvvet formülünü uygularsam
Z
(x +
1
x3
)d x =
1
2
x 2 + c1 −
1
2
x −2 + c2
elde ederim.
Evet Engin gayet güzel. İntegral sabitlerinin toplamına
c = c1 + c2 dersek
Z
(x +
olur.
Z Şimdi de
lım.
2
x
1
1
x
2
)d x =
3
x2 −
1
2
x −2 + c
− 5e
−2x
d x belirsiz integralini bulun baka-
18
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Önce integral işaretini fark üzerine dağıtıp, daha sonra çarpım
halindeki sabitleri integralin dışına alalım.
Z
Z
Z
Z Z
2
dx
2
−2x
−2x
− 5e
dx =
d x − 5e
dx = 2
− 5 e−2x d x
x
x
x
Şimdi de logaritmik ve üstel integral formüllerini uygularsak
Z 2
1
5
− 5e−2x d x = 2 ln x+c1−5(− e−2x +c2 )=2 ln x+ e−2x+c1−5c2 .
x
2
2
elde edilir. c = c1 − 5c2 dersek
Z 2
5
− 5e−2x d x = 2 ln x + + c
x
2
elde ederiz.
İntegrantı, iki fonksiyonun toplam veya farkı biçiminde, ya da
sabitle bir fonksiyonun çarpımı biçiminde olan integrallerin
nasıl alındığını gördük hocam. İntegrant iki fonksiyonun çarpımı biçimindeyse, bunların integrali çarpıma giren fonksiyonların integrallerinin çarpımına eşit midir?
Hayır Engin, istersen bunu basit bir örnek üzerinde görelim.
İntegrantı f (x) = x 2 = x · x fonksiyonu olan bir integral,
g(x) = x’in integrali ile h(x) = x’in integralinin çarpımına eşit değildir.
Yani,
‚Z
Z
(x · x) d x 6=
Z
Bu eşitlik olsaydı,
‚
Z
(x · x) d x =
xd x =
x2
2
x2
2
Œ‚
+ c1
Œ ‚Z
xd x
Œ
Z
+ c1 ve
x2
2
xd x =
Œ
+ c2
olur.
xd x
=
x4
4
x2
2
+ c1
+ c2 olduğundan
x2
2
+ c2
x2
2
+ c1 c2
elde edilirdi. Ancak c1 ve c2 sabitleri ne olursa olsun eşitliğin sağ yanının
türevi, integranta eşit olamaz.
Peki iki fonksiyonun çarpımının integralini nasıl bulacağız hocam?
Belirsiz İntegral
19
İki fonksiyonun çarpımının türev formülü bize, çarpımların
integrallerinin alınması için yararlı bir kural çıkarmamızı sağlar. Türevin çarpım kuralı;
f (x)g(x)
′
= f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
dır. Buradan da
Z
Z
′
f ′ (x)g(x)d x
f (x)g (x)d x = f (x)g(x) −
fomülünü elde ederiz. Buna kısmi integrasyon formülü denir.
Bayağı uzun bir formül bulduk hocam. Üstelik integralden de
kurtulmuş değiliz.
Haklısın Gökçe. Bu formül H(x) = f (x)g ′ (x) fonksiyonunun
integralini G(x) = f ′ (x)g(x)’in integraline indirger. İşin püf
noktası H(x) fonksiyonu için f (x) ve g ′ (x)’in seçimidir. İyi bir seçim
diğer integrali
Z kolayca çözülür hale dönüştürebilir.
Şimdi
x e2x d x integralini kim çözecek? Yani x e2x fonksiyonunun
bir ilkelini kim bulacak?
Ben deneyeyim hocam. Önce integrantı f (x)g ′ (x) çarpımı biçiminde yazalım. f (x) = x ve g ′ (x) = e2x dersek
Z
Z
f ′ (x) = 1 olur ve g(x) =
g ′ (x)d x =
e2x d x =
1
2
e2x alabiliriz.
Buradan
Z
Z
′
g(x) f ′ (x)d x
f (x)g (x)d x = f (x)g(x) −
Z
2x
1
xe d x = x e
2
Z
2x
−
1
2
e2x · 1d x =
1
2
x e2x −
1 1 2x
· e +c
2 2
olur.
İntegrantı iki fonksiyonun çarpımı biçiminde olan tüm integrallerde bu formülü mü kullanacağız hocam?
20
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Tabii ki hayır. İntegrantı iki fonksiyonun çarpımı biçiminde
olan integrallerde türevler için bilinen zincir kuralını yararlı
bir integral alma yöntemine çevirebilirsiniz. Bunu önce basit bir örnek
üzerinde görelim. Sonra yöntemi açıklayalım. Örneğin;
Z
(x 2 + 2)20 2x d x
integrali verilsin.
Bunu kısmi integralle biraz zor çözersiniz. (x 2 +2)20 ifadesi (x 2 +2) ’nin
kendisiyle 20 kez çarpımı olduğundan çarpımı yapsanız iş uzar da uzar.
Bunun yerine (x 2 + 2)20 ifadesinde x 2 + 2’yi yeni bir değişken olarak
alıp integranttaki diğer çarpımı bunun x’e göre türevi olup olmadığını
kontrol ederiz. Yani u = x 2 + 2 deyip
′
bakarız. u =
du
dx
du
’in
dx
2x’e eşit olup olmadığına
= 2x olduğundan aradığımızı bulmuş oluruz. Böylece
R
du = u d x = 2x d x olacağından integral yeni u değişkeni ile u20 du
′
basit integraline dönüşür. Sonuç olarak integral
Z
u21
+c
u20 du =
21
olur.
u, x 2 + 2 idi. u yerine tekrar (x 2 + 2) yazılırsa
Z
(x 2 + 2)21
(x 2 + 2)20 2x d x =
+c
21
bulunur.
Örnekten anladığım kadarıyla, çarpım halindeki iki fonksiyondan biri diğerinin bir parçasının türevi oluyorsa öncelikle bu
yolla çözmeyi denemekte yarar var, değil mi hocam?
Gerçekten güzel bir tespitte bulundun Zeynep. Genel olarak
Z
f (g(x))g ′(x)d x
integralini ele alalım. Dikkat ederseniz integrant f (g(x)) bileşke fonksiyonu ile g(x)’in türevinin çarpımından oluşuyor. Bu durumda u = g(x)
R
dersek ddux = g ′ (x) ya da du = g ′ (x)d x olur. Böylece integral f (u)du
Z
biçimine dönüşür. f (u)’nun bir F(u) ilkeli varsa
Z
olur ve bu
f (u)du = F(u) + c
f (g(x))g ′(x)d x = F(g(x)) + c olduğunu verir. Buna in-
tegralde değişken değiştirme denir.
Temel Teoremler
21
y
Temel Teoremler
f
Buraya kadar belirli integral, belirsiz integral alma teknikleri
hakkında az da olsa bir fikir edindiniz. Şimdi de sürekli bir
A(x)
f fonksiyonu ile bu fonksiyonun grafiğinin sınıırladığı alan arasındaki
ilişkiyi inceleyelim.
f sürekli bir fonksiyon ve [a, b] aralığı içindeki her bir x için f (x)
a
pozitif olsun. [a, b] içindeki bir x için f ’nin grafiği altında [a, x] aralığı
üzerindeki alanı A(x) ile gösterelim. x değiştikçe A(x), x’in bir fonk-
x
b
x
Şekil 6.15: A(x) alan fonksiyonu
′
siyonu olur. Bu durumda A (x) = f (x) olur. Bunun doğruluğunu şöyle
y
f
sezinlemeniz mümkündür:
Şekildeki taralı alanı A(x) ile göstermiştik. ∆x sıfıra çok yakın pozitif
bir sayı olsun. [a, b] içinde x’i ∆x kadar hareket ettirelim. x + ∆x noktasına gelelim. Bu durumda A(x) alanı çok az bir büyümeyle A(x + ∆x)
A(x)
sayısına eşit olacaktır. Bu durumda A(x + ∆x) − A(x) ince şeridin alanı
olur. Bu şeridi çok çok küçük tuttuğumuzda alanının, yaklaşık olarak tabanı [x, x + ∆x] aralığı ve yüksekliği [x, x + ∆x] aralığı içindeki bir
a
k noktasının f (k) görüntüsü olan dikdörtgenin alanına eşit olduğunu
x
b
x
y
söyleyebiliriz. Bu durumu
f
A(x + ∆x) − A(x) ∼
= f (k)∆x
biçiminde yazalım. Ancak ∆x → 0 olduğunda f (k) değerleri f (x)’e yak-
A(x + △x) − A(x)
laşacaklardır. Bu tam olarak;
A′ (x) = lim
A(x + ∆x) − A(x)
∆x→0
∆x
= f (x)
olması demektir. Böylece a ile b arasındaki her x için
A′ (x) = f (x)
x
a
x
x +△x b
Şekil 6.16: A(x + ∆x) − A(x) şeri-
dinin alanı
y
f
olur. Sizce bunun bir başka anlamı var mıdır?
f (k)
′
A (x) = f (x) eşitliğini sağlayan A(x) fonksiyonu f (x)’in bir
ilkeli olur hocam.
Bravo Engin. f (x)’in diğer bir ilkeli F(x) olsaydı, A(x) ile
F(x) arasında nasıl bir ilişki olacaktı?
a
x k x +△x b
Şekil 6.17:
A(x + ∆x) − A(x) ∼
= f (k)∆x
x
22
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
A(x)’i F(x)’e bir sabit sayı ekleyerek elde ediyorduk. Yani
A(x) = F(x) + c
yazabiliyorduk hocam.
Çok güzel Zeynep. A(a) = 0 olduğunu da kullanırsak
A(x) = F(x) + c eşitliğindeki c sayısını şöyle hesaplayabiliriz:
0 = A(a) = F(a) + c eşitliğinden c = −F(a) olur ve A(x) = F(x) + c =
F(x) − F(a) yazabiliriz. Bu ise bize f (x)’in herhangi bir ilkeliyle A(x)
alan fonksiyonunun bulunabileceğini gösterir. Böylece f , [a, b] aralı-
ğında sürekli bir fonksiyon ve F(x), f (x)’in bir ilkeli yani F ′ (x) = f (x)
olan bir fonksiyon ise
b
Z
a
a
f (x)d x = F(x) | = F(b) − F(a)
b
olarak hesaplanabilir. Ayrıca bu yazım f (x)’in ilkellerinin seçiminden
Z1
bağımsızdır. Şimdi
0
(1 − x 2)d x integralini hesaplayabilirsiniz.
Teorem (İntegralin Temel
Teoremi)
Daha önce bu integrali tüketme metodu ile uzun uzun hesap-
f , [a, b] aralığında sürekli
bir fonksiyon ve F , f ’in ilkeli
yonunun herhangi bir ilkelini kullanarak bunu hesaplayabiliriz. f (x)’in
ise
Z
lamıştık hocam. Anlattıklarınıza göre f (x) = 1 − x 2 fonksibelirsiz integrali
Z
b
a
olur.
Z
f (x)d x =
f (x)d x = F (b) − F (a)
(1 − x 2 )d x = x −
x3
3
+c
olduğundan, c sayısının herhangi bir seçimi için f (x)’in bir ilkelini buluruz. Örneğin c = 0 alırsak
F(x) = x −
x3
3
olur. Buradan;
Z
1
0
bulunur.
f (x)d x = F(1) − F(0) = 1 −
13
3
−0+
03
3
=
2
3
İki Eğri ile Sınırlanan Alan
23
İki Eğri ile Sınırlanan Alan
y
y = g(x)
Belirli integrali kullanarak iki eğri ile sınırlanan alanı hesaplayabiliriz. [a, b] aralığı üzerinde sürekli ve bu aralık üzerinde
f (x) ≤ g(x) eşitsizliğini sağlayan f ve g fonksiyonları verilsin. Fonk-
A
siyon değerleri arasındaki bu eşitsizlik, f ’nin grafiğinin tamamen g’nin
y = f (x)
grafiğinin altında olduğunu söyler. Bu iki grafik arasındaki alana A dera
sek A sayısı
Zb
x
Şekil 6.18:
Rb
A=
g(x) − f (x) d x
g(x) − f (x) d x
A=
b
a
a
y
belirli integrali ile belirlenebilir.
f (x) = 2x −4 ve g(x) = x 2 +1 fonksiyonlarının [0, 3] aralığı üzerin-
deki grafik parçalarının arasındaki bölgenin alanını hesaplayabilir misi-
g(x) = x 2 + 1
10
9
8
niz?
7
Hocam önce grafikleri çizelim ve fonksiyonların durumlarını
6
belirleyelim. [0, 3] aralığındaki tüm x’ler için
5
4
f (x) = 2x − 4 < x 2 + 1 = g(x)
3
Z
3
A=
0
Z
(g(x) − f (x))d x
Z03
(x 2 + 1 − (2x − 4))d x
2
=
0
3
=
1
3
=
x
3
33
(x − 2x + 5)d x
0
A
x
−1
1
2
3
4
5
−2
−3
3
− x 2 + 5x |
03
− 32 + 5 · 3 −
+ 02 − 5 · 0
3
3
= 32 − 32 + 5 · 3 = 15 br 2 olur.
=
f (x) = 2x − 4
2
olduğunu söyleyebiliriz. Bu eğrilerle sınırlı alan,
−4
Şekil 6.19: f (x) = 2x − 4 ve
g(x) =
x 2 + 1 fonksiyonları-
nın [0, 3] aralığı üzerindeki grafik parçalarının arasındaki bölgenin alanı
Şimdi de alttan y = −x 2 − 3, üstten x-ekseni ve yanlardan
x = 0, x = 2 doğruları ile sınırlı bölgenin alanını bulun baka-
lım.
24
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Önce probleme uygun şekli çizelim ve alanını bulacağımız bölgeyi tarayalım hocam. [0, 2] aralığındaki her x için fonksiyoZ2
y
nun değerleri negatif olduğundan
−1
2
A
0
x
f (x)d x integrali taralı bölgenin
Z2
f (x)d x integralinin nega-
alanının negatif işaretlisidir. O halde alan
0
tif işaretlisi olur. Yani
−3
Z
Alan = A = −
2
Z
f (x)d x
0
y = −x 2 − 3
= −
=
−7
x3
3
2
Z
2
2
0
−(x + 3)d x =
2
+ 3x | =
0
8
3
‚
+6−
(x 2 + 3)d x
0
03
3
Œ
+3·0
=
26
3
olur.
Bir Sürekli Fonksiyonun Ortalama Değeri
Söyle bakalım Engin, geçen dönem matematik dersinin sınavlarından hangi notları aldın ve bunların aritmetik ortalaması
neydi?
77, 80 ve 95 aldım ve bunların aritmetik ortalaması;
77 + 80 + 95
3
=
252
3
= 84 hocam.
Güzel, o halde iki, üç ya da sonlu sayıda büyüklüğün aritmetik ortalamasının ne anlama geldiğini biliyorsunuz. Peki sizce
[a, b] kapalı aralığı üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun ortalaması ne
anlama gelir?
Belli noktalardaki değerlerinin toplamının, nokta sayısına bölümü anlaşılır değil mi hocam?
[a, b] aralığı sonsuz elemanlı olduğundan, tam olarak bu değil, ancak önce bu durumu ele almak, genel durum için bir
fikir verebilir. [a, b] aralığını,
a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < x n−1 < x n = b
Bir Sürekli Fonksiyonun Ortalama Değeri
25
noktalarını kullanarak eşit uzunluklu n parçaya bölüp, her bir parçanın üst uç noktalarının aritmetik ortalamasına bakalım. Alt aralıklar eşit
uzunluğa sahipti:
∆x = ∆x k = x k − x k−1 =
olacağından
1
=
n
∆x
b−a
b−a
n
olur. Böylece
f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f (x n )
=
n
=
=
1
n
[ f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f (x n)]
∆x
b−a
[ f (x 1 ) + f (x 2) + · · · + f (x n )]
f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x + · · · + f (x n )∆x
b−a
bulunur. Peki n’yi sınırsız büyütsek yani n → ∞ yapsak sonuç ne olur?
y
Sonuçta paydaki ifade f fonksiyonunun a’dan b’ye belirli integrali olur hocam. Bu da f ’nin [a, b] aralığı üzerindeki orta-
M
lama değerinin
b
Z
f (x)d x
m
a
M
b−a
m
olacağını vermez mi?
a
x̄
b−a
b
x
Aferin Zeynep, beklediğim cevap tam da buydu. [a, b] aralığı
Z b
f (x)d x
üzerinde f sürekli ise f (x̄) =
a
eşitliğini sağlayan
b−a
en az bir x̄ noktası vardır. Bunun nasıl söyleneceği hakkında bir fikriniz
var mı?
m(b − a)
≤
≤
f (x̄) ortalama değer olduğundan, fonksiyonun [a, b] aralığı
f (x)d x
a
M (b − a)
b
Z
f (x)d x
içinde aldığı en küçük değerden büyük; en büyük değerden de
küçüktür hocam. Ancak ne olduğunu tam olarak bilemeyeceğim.
b
Z
⇒m≤
olur.
a
b−a
≤M
26
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Haklısın Engin. f ’nin [a, b] aralığındaki ortalama değerini
y
veren x̄’yi hemen bulamayız. Ancak f ’yi [a, b] aralığı üzerinde pozitif kabul edip, yandaki şekil ve açıklama yardımıyla varlığını
Z b
hemen söyleyebiliriz. Ayrıca
f (x̄)
a
f (x)d x = f (x̄)(b − a) eşitliğinden bir
geometrik yorumunu da yapabiliriz.
f (x̄)
a
Neymiş bu geometrik yorum hocam?
x̄
b−a
b
x
Şekil 6.20: f (x) fonksiyonunun
[a, b] aralığı üzerindeki f ( x̄) ortalama değeri
Bunu Şekil 6.20’den hemen görebilirsin: f ’nin [a, b] aralığı üzerindeki f (x̄) ortalama değeri, şekildeki taralı bölgeyle
aynı alana sahip olan dikdörtgenin yüksekliğidir.
Sürekli bir fonksiyonun ortalama değerini anladık da hocam
bu günlük hayatta nerede karşımıza çıkar?
Hemen bir örnek vereyim Gökçe. Bir şehre su sağlayan bir baSürekli bir fonksiyon, m en
rajın içindeki su seviyesi sürekli bir değişim gösterir. O halde
küçük ve M en büyük değerleri arasındaki bütün değer-
barajdaki su seviyesi zamanın sürekli bir fonksiyonudur. Su seviyesinin,
leri alacağından [a, b] araRb
f (x)d x
lığında f ( x̄) = a
b−a
olan
Z b x̄ noktası vardır ve
biliriz. Bunu da su seviyesi fonksiyonunun belirli integralini kullanarak
a
f (x)d x = f ( x̄)(b − a)
olur.
saattlik, günlük, haftalık, aylık ya da yıllık ortalamalarını bilmek isteyehesaplayabiliriz.
Peki hocam, bir de sürekli bir fonksiyonun ortalama değerinin
hesaplanmasına bir örnek verirsek bu konuyu tamamen anlamış olacağım.
Madem öyle f (x) = (x − 2)2 fonksiyonunun [0, 2] aralığı
üzerindeki ortalama değeri nedir Gökçe?
Hesaplamayı bir deneyeyim hocam.
Z b
Z2
1
1
f (x̄) =
f (x)d x =
(x − 2)2 d x
b−a a
2−0 0
integralini hesaplayacağım. u = x − 2 dersek, du = d x olacağından, sağ
R
u3
yandaki integral u2 du =
olur. Böylece u = x − 2 eşitliğinden
3
f (x̄) =
1 (x − 2)3 2 1 (2 − 2)3 1 (0 − 2)3
4
|=
−
=
2
3
2
3
2
3
3
0
ÖZET
27
olur.
y
4
Aferin Gökçe. Şimdi bu ortalamayı veren x̄ noktasını bulalım.
f (x̄) = (x̄ −2)2 =
4
2
2
2
⇔ x̄ − 2 = ± p ⇔ x̄ 1 = 2− p , x̄ 2 = 2 + p
3
3
3
3
2
/ [0, 2] olduğundan istenen nokta
biçiminde hesaplarız. 2 + p ∈
3
2
x̄ = 2 − p olur.
3
4
3
ÖZET
Bu bölümde matematiğin en temel kavramlarından biri olan integral kavramını ele aldık. Öncelikle kavramın temelini oluşturan fikirleri
x
2−
2
p
3
2
Şekil 6.21: f (x) = (x −2)2 fonksi-
kullanarak, günlük yaşantımızdaki bazı problemlerin çözümlerinde na-
yonunun [1, 3] aralığı üzerindeki
sıl bir tahminde bulunacağımızı gösterdik. Bu fikirler yardımıyla belirli
ortalama değeri
integrali tanımladık. Belirli integral yardımıyla alan hesaplamalarına bir
giriş yaptık. Daha sonra belirsiz integrali tanımladık ve hesaplama yöntemleri üzerinde durduk. Belirli integralin, belirsiz integral kullanılarak
kolayca hesaplanmasını sağlayan, integralin temel teoremlerini açıkladık. İki eğri ile sınırlanan bölgelerin alanlarının belirli integral yardımıyla hesaplanması üzerinde durduk. Son olarak da, sürekli bir fonksiyonun ortalama değerinin belirli integral kullanılarak nasıl hesaplanacağını gösterdik.
28
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Okuma Parçası
DELESSE KURALI
ο‫ݔ‬௞
‫ݔ‬௞ିଵ
ିଵ ‫ݔ‬௞
0 x xL
L
L
0
x
0“Bir elma dalından koparılır koparılmaz içindeki şeker nişastaya dönüşmeye başlar. Elma ne kadar uzun
bekletilirse o kadar nişastalanır. Taze elmaları bayatlardan hem tadı hem de sertliklerine bakarak ayırabiliriz. Bir
elmada ne kadar nişasta olduğunu bulmak için çok ince bir dilimine mikroskop altında bakmak yeter. Nişasta
taneciklerinin kesitleri açıkça görülebilecektir. Bu kesitlerin alanlarının gözlemlediğimiz dilimin kaçta kaçı olduğunu
yani oranını tahmin etmek kolaydır. İki boyutlu durumda elde edilen bu oran, kesilmemiş elmanın içinde bulunan
nişasta taneciklerinin hacminin elmanın hacmine oranıyla aynı olacaktır. Oranların bu sihirli eşitliği ilk olarak bir
Fransız jeolog olan Achille Ertnest Delesse tarafından 1840’da keşfedilmiştir. Bunun açıklaması ise integraller için
ortalama değer kavramıyla verilebilir. Öncelikle bir cismin içindeki tanecikli maddenin cismin hacmine oranını
bulmak isteyelim. Bu cisimden bir kenarı ‫ ܮ‬birim uzunluklu küp şeklinde bir numune alalım. Bu kübü bir kenarından
‫ ݔ‬ekseni geçecek şekilde çizelim ve kübü ሾͲǡ ‫ܮ‬ሿ aralığına dik düzlemlerle dilimlediğimizi varsayalım. İlgilenilen
tanecikli malzemenin (örneğin, elmadaki nişastanın) ‫ ݔ‬noktasındaki düzlemsel dilimdeki kapladığı alanın oranına
‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻdiyelim. ‫ ݔ‬değiştikçe ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻǡ ‫’ݔ‬in sürekli bir fonksiyonu olur. ሾͲǡ ‫ܮ‬ሿ aralığının bir bölüntüsü alınarak kübü
yeterince ince dilimlere ayıracak olursak ‫ݔ‬௞ିଵ ǡ ‫ݔ‬௞ dilimindeki taneciklerin oluşturduğu küçük silindirik parçacıklar
‫ݔ‬௞ ’dan çizilen dik düzlemin içindeki kesitlerine benzeyecektirler. Dilimdeki taneciklerin kesitin hacmine oranı da
‫ݔ‬௞ ’dan çizilen dik düzlemde bulunan tanecik kesitlerinin alanlarının kesitin alanına oranı olan ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬௞ ሻ’ya eşit olacaktır.
Böylece
olur. ‫ݎܽݐ݇݅݉݁݉݁ݖ݈݈ܽ݉݅݇݅ܿ݁݊ܽݐ݈݅݇݁݀݉݅݅݀ݎ݅ܤ‬ଓ ൌ ‫ ݊ܽݎ݋‬ൈ ݈݄݀݅݅݉ܽܿ݉݅ ൌ ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬௞ ሻ‫ܮ‬ଶ ο‫ݔ‬௞ ௡
෍ ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬௞ ሻ ‫ܮ‬ଶ ο‫ݔ‬௞
௞ୀଵ
toplamı numune kübün tamamındaki tanecikli malzeme miktarını verir. Bu ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬௞ ሻ‫ܮ‬ଶ fonksiyonunun ሾͲǡ ‫ܮ‬ሿ
aralığı üzerinde aldığımız bölüntüye karşı gelen üst toplamıdır. Bölüntü sayısı sonsuza götürülürse
௅
௅
න ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ ݔ‬ൌ න ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ܮ‬ଶ ݀‫ݔ‬
଴
olur.
‫݊ܽݎ݋݁݉݁ݖ݈݈ܽ݉݅݇݅ܿ݁݊ܽݐ݊݅݉ݏ݅ܥ‬ଓ
ᇹ
ൌ
ᇹ
ᇹ
ൌ
ᇹ
ᇹ
ᇹ
ᇹ
ൌ
ൌ
ൌ
ᇹ
଴
‫ܭ‬òܾò݊‫݊ܽݎ݋݁݉݁ݖ݈݈ܽ݉݅݇݅ܿ݁݊ܽݐ‬ଓ
ᇹ
‫ܭ‬òܾò݊‫ݎܽݐ݇݅݉݁݉݁ݖ݈݈ܽ݉݅݇݅ܿ݁݊ܽݐ‬ଓ
‫ܭ‬òܾò݄݊ܽܿ݉݅
௅
௅
‫׬‬଴ ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ‫ܮ‬ଶ ݀‫ͳ ݔ‬
ൌ න ‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ݔ‬
‫ܮ‬ଷ
‫ܮ‬
଴
‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ሻᇱ ݅݊ሾͲǡ ‫ܮ‬ሿᇱ ݀݁݇݅‫݈݁݀ܽ݉ܽܽݐݎ݋‬º݁‫݅ݎ‬
‫ݎ‬ሺ‫ݔ‬ҧ ሻ ൌ ‫ݔ‬ҧ Ԣ݀݁݊­݅‫݈݀݇݅݀݊݁݅ݖ‬ò‫݈݁݀݉݁ݖ‬
ܾ‫݊ܽݎ݋݊݅݊݁݉݁ݖ݈݈ܽ݉݅݇݅ܿ݁݊ܽݐ݊ܽ݊ݑ݈ݑ‬ଓ̶
Bu yöntem mühendislik ve tıpta halen kullanılmaktadır. Uygulamada çok sayıda kesit alınarak kesitlere
karşılık gelen değerlerin ortalaması alınır.
R.L. Finney, G.B. Thomas, M.D. Weir , “Calculus, 2nd Edition”, Addison Wesley, 1994, syf:437-438.
ÇIKARIN KAĞITLARI
29
ÇIKARIN KAĞITLARI
y = f (x) fonksiyonunun grafiği aşağıda
R2
f (x)d x integralinin
verilmiştir. Buna göre
1.
Z
x2 − 3
d x integralinin sonucu aşağıdax2
kilerden hangisidir?
6.
−3
sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x3
A)
y
y = f (x)
A3
A2
−1
A1
2
C)
x
7.
−2
x−
D)
x2 − 3 + c
3
x+ +c
x
B)
1
−3
3
− 3x + c
x
E)
3
1
x
+c
+ 3x 2 + c
3
y = f (x) fonksiyonunun grafiği aşağıda
Z3
f ′ (x)d x integra-
verilmiştir. Grafiğe göre
−2
linin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) − 2
2.
B) 0
C)
1
D)
2
5
E)
2
9
y
2
5
y = f (x) fonksiyonunun grafiği aşağıda
Z2
f (x)d x integralinin
verilmiştir. Buna göre
−1
sonucu nedir?
−2
3
x
−1
y
A) 6
1
−1
2
− 12
Z
Z
16
3
D)
8
3
E)
1
x 2 parabolü arasındaki bölgenin alanı kaç
3
br 2 ’dir?
1
3
(4x + 1)d x integralinin sonucu aşa2
ğıdakilerden hangisidir?
p
3
p
2 2
3
C)6 2 + 2 D)
3
3
3
Z
Z
1
x2
5.
dx −
d x =?
x −1
x −1
A)
1
f (x) = 2x 2 parabolü ile g(x) = 27 −
A)100 B)104 C)108 D)110 E)112
3
4.
E) 1
larıyla sınırlı bölgenin alanı kaç br 2 ’dir?
8
13
14
1
A)
B)
C)
D)
E) 1
3
3
3
3
9.
dakilerden hangisidir?
A)1 B)8 C)
D) 3
ekseni ve yanlardan x = 0 ve x = 2 doğru-
(x 2 − 1)d x integralinin sonucu aşağı-
2
C) 4
8. Üstten y = x 2 + 1 parabolü alttan x-
x
3
3.
B) 5
y = f (x)
B)
8
E)
p
3
2
3
10. [1, 3] aralığı üzerinde f (x) = x 3 fonksiyonunun ortalama değerini bulunuz.
A) 5 B) 7 C) 10 D) 13 E) 15
30
6 BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL
Çözümler
1.
6.
Z
Z2
f (x)d x = −A1 +A2 +A3 =−
−3
= −2 +
1
2
+2=
2·2
1
2
+
2
1·1
2
x2 − 3
x2
+2·1
dx =
−2
Köşeleri (−1, 0), (−1, −0.5), (0, 0) olan üçgenin alanına A1 ve köşeleri (0, 0), (2, 0), (2, 1)
olan üçgenin alanına A2 dersek
d x−3
x2
= x+
3
x
+ c ’dir.
elde edilir.
y = x 2 + 1, x-ekseni, x = 0 ve x = 2
8.
doğruları ile sınırlı bölgenin alanı
1
4
=
3
4
y
olur.
y = x2 + 1
−1
II. Yol:
1
İki noktası bilinen doğru denklemini kulla1
narak f (x) = x olduğu bulunur. Buradan
2
Z2
1
1 x2 2
3
1 22 1 (−1)2
xd x =
−
=
| =
2
2 2 −1 2 2
2 2
4
−1
0
Z
2
2
2
(x +1)d x =
A=
0
x3
3
x
2
+ x| =
0
8
3
+2 =
14
3
br 2
olur.
9. Önce parabollerin kesişim noktalarının x-
3.
Z3
(x 2 − 1)d x
=
2
=
x
3
x ∈ [−3, 3] iken 27 − x 2 ≥ 2x 2 olduğundan,
3
3
− x|
33
23
3
koordinatlarını hesaplarsak, x = ±3 buluruz.
Z3
2
−
3
− (3 − 2) =
16
Z3
[(27 − x 2 ) − 2x 2]d x =
A=
3
−3
3
(27 − 3x 2 )d x
−3
3
= 27x − x | = 81−27 + 81−27 = 108
4.
Z
dx
f ′ (x)d x = f (3) − f (−2) = 5 − (−1) = 6
5
f (x)d x = A2 − A1 = 1 −
Z
7. İntegralin Temel Teoremini kullanarak
Z3
dir.
2. I. Yol:
Z2
Z
−3
2
1
(4x 3 +1)d x =
0
x
41
3
5.
Z
1
+1
3
+1
!
+x
p
3
| = 6 2+2
2
0
10.
f (x) = x 3 ’ün [1, 3] aralığı üzerindeki
ortalama değeri;
f (x̄) =
2
Z
Z
2
x −1
dx =
dx
x −1 Z
x −1
Zx − 1
(x − 1)(x + 1)
=
d x = (x + 1)d x
x −1
x2
=
+ x + c bulunur.
2
x
dx −
1
=
1
b−a
Zb
f (x)d x =
a
1
3−1
1 x4 3 1
| = · 80 = 10
2 41 8
Z3
x 3d x
1
biçiminde bulunur. Bu ortalamayı veren x̄ sap
3
yısı da x̄ 3 = 10 ⇒ x̄ = 10 ’dur.