denge-dışı green fonksiyonu yöntemi kullanılarak çift bariyer

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DENGE-DIŞI GREEN FONKSİYONU YÖNTEMİ
KULLANILARAK ÇİFT BARİYER YAPISINDA
ELEKTRONİK TAŞINIMIN İNCELENMESİ
Mehmet BATI
Şubat, 2016
İZMİR
DENGE-DIŞI GREEN FONKSİYONU YÖNTEMİ
KULLANILARAK ÇİFT BARİYER YAPISINDA
ELEKTRONİK TAŞINIMIN İNCELENMESİ
Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Doktora Tezi
Fizik Anabilim Dalı
Mehmet BATI
Şubat, 2016
İZMİR
TEŞEKKÜR
Bu tezde yapılan çalışma boyunca gerekli bütün yardım, tavsiye ve yönlendirmeleri
yapan, karşılaştığım problemlerin çözümünde deneyimlerinden yararlandığım tez
danışmanım sayın Prof. Dr. İsmail SÖKMEN’e teşekkürlerimi sunmayı bir borç bilirim.
Doktora eğitimim süresince değerli vakitlerini harcayarak sundukları bilimsel
destekleri, yapıcı önerileri ve ilgilerinden dolayı Doç. Dr. Serpil ŞAKİROĞLU’na
teşekkür ederim. Tez çalışmalarım sırasında yararlı görüş, motivasyon ve katkılarından
dolayı Yrd. Doç. Dr. Kadir AKGÜNGÖR’e ve Prof. Dr. M. Yavuz ERGÜN’e teşekkür
ederim. Tez çalışmam süresince fikir alış verişleri ve destekleri için tüm hocalarıma ve
arkadaşlarıma teşekkür ederim.
Bu günlere gelebilmem için maddi, manevi hiçbir fedakarlıktan kaçınmayan, ilgi
ve sevgisini esirgemeyen anneme, babama ve kardeşlerime sonsuz teşekkürlerimi
sunarım. Ayrıca, her zaman özveri ve desteği ile yanımda olan sevgili eşim Fatma
BATI’ya teşekkür ederim.
Mehmet BATI
iii
DENGE-DIŞI GREEN FONKSİYONU YÖNTEMİ KULLANILARAK ÇİFT
BARİYER YAPISINDA ELEKTRONİK TAŞINIMIN İNCELENMESİ
ÖZ
Bu tezde, elektrik alan altındaki ters parabolik çift bariyer yapıları ve dikdörtgen çift
bariyer yapılarında balistik elektron taşınımı, denge-dışı Green fonksiyonları yöntemi
ve transfer matris yöntemi kullanılarak incelenmiştir. Tek boyutlu örgü için denge-dışı
Green fonksiyonları yöntemi ile kullanışlı bir çözüm şeması, sonlu farklar yöntemi
ve sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak kurulmuştur. Elektrik alan varlığında ters
parabolik çift bariyer yapıları ve dikdörtgen çift bariyer yapılarının iletim katsayısı ve
tünelleme özellikleri sunulmuştur. Çift bariyer yapıları için transfer matris yöntemi
ve denge-dışı Green fonksiyonu yöntemi ile hesaplanan iletim katsayıları ve durumlar
yoğunluğu sonuçları uyumludur. Nümerik sonuçlar, iletim katsayısındaki rezonans
pikinin, bariyerin şeklinin keskinliğine ve örgü parametrelerine kuvvetli bir şekilde
bağlı olduğunu göstermektedir.
Anahtar kelimeler : Denge-dışı Green foksiyonu, sonlu farklar yöntemi, sonlu
elemanlar yöntemi, transfer matris yöntemi, Airy fonksiyonu, rezonant tünelleme.
iv
INVESTIGATION OF ELECTRONIC TRANSPORT IN DOUBLE-BARRIER
STRUCTURE USING NON-EQUILIBRIUM GREEN FUNCTION METHOD
ABSTRACT
Ballistic electronic transport in inverse parabolic double barrier structures and
rectangular double barrier structures under the electric field are investigated in
this thesis using the non-equilibrium Green’s functions method and the transfer
matrix method. Non-equilibrium Green’s function calculation and useful formula are
established for a one-dimensional lattice using a finite difference method and finite
element method. The tunneling properties and the transmission coefficient of inverse
parabolic double barrier structures and rectangular double barrier structures under the
electric field are presented. Tunneling transmission probability and density of states
for double-barrier structures show complete matching between transfer matrix method
and non-equilibrium Green’s functions formalism. Numerical results reveal that the
resonant peak in the transmission coefficient depends strongly on the smoothness of
the potential profile and structure parameters.
Keywords: Non-equilibrium Green’s function, finite difference method, finite element
method, transfer matrix method, Airy function, resonant tunnelling.
v
İÇİNDEKİLER
Sayfa
DOKTORA TEZİ SINAV SONUÇ FORMU ............................................................. ii
TEŞEKKÜR ................................................................................................................ iii
ÖZ .............................................................................................................................. iv
ABSTRACT ................................................................................................................ v
ŞEKİLLER LİSTESİ ............................................................................................... viii
TABLOLAR LİSTESİ ............................................................................................... xi
BÖLÜM BİR - GİRİŞ ............................................................................................... 1
BÖLÜM İKİ – TEORİK TEMELLER ................................................................... 7
2.1 Düşük Boyutlu yapılar ..................................................................................... 7
2.2 Rezonant Tünelleme Aygıtları ......................................................................... 8
2.3 Taşınım ve Taşınım Modelleri ......................................................................... 9
2.4 Denge-Dışı Green Fonksiyonları .................................................................. 11
2.4.1 Özdeğer Problemleri için Green Fonksiyonları .................................... 11
2.4.2 Denge Dışı Green Fonksiyonları ile Aygıt Modelleme ........................ 13
2.5 Sonlu Farklar Yöntemi ................................................................................... 22
2.6 Sonlu Elemanlar Yöntemi .............................................................................. 25
BÖLÜM ÜÇ – AÇIK KUANTUM İSTEMLER İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ
.................................................................................................................................... 28
3.1 Açık Kuantum Sistemlerin Transfer Matris Yöntemi ile İncelenmesi ........... 28
vi
3.1.1 Elektrik Alan Altındaki Dikdörtgen Çift Bariyer Potansiyeli
Probleminin Airy Fonksiyonu Bazlı Transfer Matris Yöntemi ile Çözümü .. 31
3.2 Açık Kuantum Sistemlerinin Sonlu Farklar Yöntemi ile Ayrıklaştırılarak
Denge-Dışı Green Fonksiyonu Yöntemi ile İncelenmesi...................................... 39
3.2.1 Açık Kuantum Sistemlerinin Yüksek Mertebeden Sonlu Farklar
Yöntemi ile Ayrıklaştırılarak Denge-Dışı Green Fonksiyonu Yöntemi ile
İncelenmesi ..................................................................................................... 45
3.3 Açık Kuantum Sistemlerinin Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Ayrıklaştırılarak
Denge-Dışı Green Fonksiyonu Yöntemi ile İncelenmesi ...................................... 50
BÖLÜM DÖRT – VERİLERİN YORUMLANMASI .......................................... 55
4.1 Elektrik Alan Altındaki Dikdörtgen Çift Bariyer Potansiyeli ........................ 55
4.2 Elektrik Alan Altındaki Ters Parabolik Çift Bariyer Potansiyeli ................... 59
BÖLÜM BEŞ – SONUÇLAR.................................................................................. 67
KAYNAKLAR ......................................................................................................... 68
vii
ŞEKİLLER LİSTESİ
Sayfa
Şekil 2.1
Düşük boyutlu yapıların şematik gösterimi (a) Külçe yapı (b) Kuantum
kuyusu (c) Kuantum teli (d) Kuantum nokta yapısı ............................. 8
Şekil 2.2
Rezonant tünelleme yapısının şematik gösterimi .................................. 8
Şekil 2.3
Dikdörtgen ve ters parabolik çift bariyer yapısının şematik gösterimi . 9
Şekil 2.4
Sağ ve sol kontak ile çiftlenimli bir kuantum sisteminin şematik
gösterimi ............................................................................................. 17
Şekil 2.5
Bir boyutlu uzayda global eleman, lokal eleman düğüm noktaları .... 26
Şekil 3.1
Resonant tünelleme diyotundaki potansiyel dağılımı. (a) Dış bir
elektrik alan olmadığında potansiyel dağılımı. E0 ve E1 sırasıyla kuyu
içindeki taban durum
ve birinci uyarılmış enerji seviyesidir. (b)
Elektrik alan uygulandığı durumdaki potansiyel dağılımı.
(c)
Adımlarla benzetilen potansiyel değişimi. (d) bölge (adım) şeması . 28
Şekil 3.2
Elektrik alan altındaki dikdörtgen çift bariyer potansiyeli .................. 32
Şekil 3.3
Her bir bölgedeki çözümler .................................................................. 34
Şekil 3.4
Aygıt yapısı ve ayrıklaştırılmış uzay .................................................... 39
Şekil 4.1
DÇB yapısında AF-TMM, FDM-NEGF ve FEM-NEGF yöntemleriyle
elde edilen iletim katsayısının gelen elektronun enerjisine göre
değişimi (a) WL = LW = WR =4 nm , VL = VR = 150 meV ve F = 1
kV/cm (b) WL = WR = 4 nm, LW = 10 nm, VL = VR = 150 meV ve F =
20 kV/cm ............................................................................................ 55
Şekil 4.2
DÇB yapısı için iletim katsayısının elektron enerjisi ile değişimi (a)
farklı elektrik alanlar için (b) farklı bariyer yükseklikleri için. Sistem
parametreleri olarak WL = LW = WR = 4 nm alınmıştır ....................... 56
Şekil 4.3
İletim katsayısının gelen elektron enerjisine göre
değişimi
(a)
yükseklik asimetrisi, sistem parametreleri VL = 100, 125, 150 meV,
VR = 200 meV, WL = WR = 4 nm ve LW = 6 nm alınarak (b) kalınlık
asimetrisi, sistem parametreleri WR = 2, 4, 6 nm, WL = 8 ve VL = VR =
150 meV
alınarak oluşturulması durumlarında. Her iki şekilde
elektrik alan F = 10 kV/cm dir ........................................................... 57
viii
Şekil 4.4
İletim katsayısının gelen elektron enerjisine göre değişimi (a) farklı
kuyu genişlikleri için Şekil 4.4(a)’daki parametre seti kullanılarak, (b)
farklı bariyer yükseklikleri için
Şeki 4.2(b)’deki parametre seti
kullanılarak ......................................................................................... 57
Şekil 4.5
Durumlar yoğunluğunun enerjiye göre değişimi (a) farklı kuyu
genişlikleri için Şekil 4.4(a)’deki parametre seti kullanılarak (b) farklı
bariyer yükseklikleri için Şeki 4.2(b)’deki parametre seti kullanılarak
............................................................................................................ 58
Şekil 4.6
Ters parabolik çift bariyer yapısının şematik gösterimi. Sürekli çizgi
elektrik alan yokluğunda, kesikli çizgi ise elektrik alan varlığında ters
parabolik çift bariyer yapısını göstermektedir .................................... 59
Şekil 4.7
(a) Potansiyel olarak simetrik TPÇB yapısında TMM, FDM-NEGF ve
FEM- NEGF yöntemleriyle hesaplanan iletim katsayısının elektron
enerjisine göre değişim grafiği. (b) İletim katsayısının kuyu
genişliğine göre değişimi. Her iki şekilde de sistem parametreleri WL =
WR = 5 nm, VL = VR =150 meV alınmıştır .......................................... 61
Şekil 4.8
İletim katsayısının elektron enerjisine göre değişimi (a) yükseklik
asimetrisi ve (b) kalınlık asimetrisi .................................................... 62
Şekil 4.9
İletim katsayısının (a) VL = VR = 150 meV’de elektrik alana ve (b) F =
30 kV/cm’de bariyer yüksekliklerine göre değişimi. Her iki şekilde de
WL= LW = WR = 5 nm seçilmiştir ........................................................ 62
Şekil 4.10 İletim katsayısının (a) bariyer genişlikleri ve (b) kuyu genişlikleri ile
değişimi. Her iki şekilde de VL =VR = 150 meV ve elektrik alan F = 30
kV/cm seçilmiştir................................................................................ 63
Şekil 4.11 TPÇB yapısında enerjinin fonksiyonu olarak durumlar yoğunluğu. (a)
Değişen elektrik alan değerleri için Şekil 4.9(a)’daki parametreler
kullanılarak ve (b) elektrik alan yokluğunda farklı kuyu genişliklerine
göre Şekil 4.7(b)’deki parametreler kullanılarak çizilmiştir .............. 64
Şekil 4.12 TPÇB ve DÇB yapılarında iletim katsayılarının iki farklı kuyu
genişlikleri (a) LW = 5 nm ve (b) LW = 7,5 nm karşılaştırılması.
Elektrik alan 20kV/cm, sistem parametreleri WL = WR = 5 nm, VL = VR
= 200 meV alınmıştır .......................................................................... 65
ix
Şekil 4.13
(a) Rezonans pik genliğinin (b) rezonans enerjisinin elektrik alanla
değişimi. Sistem parametreleri WL = LW = WR = 4 nm ve VL = VR = 150
meV olarak seçilmiştir ........................................................................ 65
Şekil 4.14
Rezonans enerjisinin (a) sistem parametreleri WL = WR = 4 nm, VL = VR
= 150 meV ve F = 20 kV/cm alınarak kuyu genişliği ile (b) sistem
parametreleri WL = LW =WR = 4 nm ve F = 30 kV/cm alınarak bariyer
yüksekliği ile değişimi ........................................................................ 66
x
TABLOLAR LİSTESİ
Sayfa
Tablo 3.1
FEM notasyonunda matris gösterimi. ............................................ 52
xi
BÖLÜM BİR
GİRİŞ
Son yıllarda nano ölçekli düşük boyutlu yapıların incelenmesi, yoğun madde
fiziğinin önemli bir alanı haline gelmiştir.
Kuantum kuyuları, kuantum telleri
ve kuantum noktaları gibi düşük boyutlu yarı iletken yapılardaki fiziksel olaylar,
elektronik, optik ve taşınım özelliklerinin anlaşılması ve üretimi, üzerinde çalışılan
konulardandır. (Barnham ve Vvedensky, 2001). Günümüzde modern yarı iletken
aygıt üretim aşamasındaki zorluklar nedeniyle aygıt performansının simülasyonlar ile
doğru bir şekilde tahmin edilmesine ihtiyaç duyulmaktadır. Elektronik aygıt boyutları
nanometre mertebelere inmiştir, öyle ki Intel 2015 yılında 14 nm transistör üretimine
başlamıştır (Intel, 2015). Bu mertebelerde kuantum etkiler baskın olduğundan taşınım
modellemede kuantum mekaniksel simülasyon teknikleri kullanılmalıdır. Geçen son
otuz yıl boyunca kuantum seviye simülasyon çalışmalarında dikkate değer gelişmeler
sağlanmıştır (Datta, 2005). Önemli ilerlemelere rağmen gerçekçi yapılarda pratik
kuantum seviye simülasyonu hala zorlu bir görevdir, çünkü tüm taşınım modelleri
çok büyük ölçekli bilgi işlem kaynakları (hesaplama süresi ve bellek) gerektirir.
Bilim adamları geleneksel klasik simülasyon tekniklerinde kuantum düzeltmeler
geliştirmişlerdir (Sols, Macucci, Ravaioli, ve Hess, 1989; Winstead ve Ravaioli, 2000).
Kuantum etkilerin klasik olarak hesaplanabildiği yarı klasik sistemler mevcuttur,
tünelleme benzeri kuantum etkiler bazı bilim adamlarınca hesaplanmış ve
simülasyonların 10 nm’ye kadar deneylerle uyum içinde olduğu görülmüştür. Fakat
bir çok kuantum etkisini kuantum düzeltmelerle klasik olarak incelemek çok zordur.
Bu durumda tamamen kuantum mekaniksel simülasyon metotları tanımlanmalıdır.
Elektron taşınım problemi için Wigner fonksiyonu yöntemi (Buot ve Jensen, 1990;
Frensley, 1987; Wigner, 1932), Pauli Master eşitliği yöntemi (Fischetti, 1999), kinetik
Monte Carlo yöntemi (Shifren ve Ferry, 2001), transfer matris yöntemi (Tsu ve Esaki,
1973), denge-dışı Green fonksiyonu (NEGF) yöntemi gibi bir çok kuantum simülasyon
teknikleri mevcuttur. Wigner fonksiyonu yönteminin NEGF yöntemine eşdeğer olduğu
ispatlanmıştır (Kadanoff ve Baym, 1989).
1
NEGF yönteminin avantajı öz-enerji
terimleri aracılığıyla saçılmaları ve kontak etkilerinin sisteme dahil edilebilmesidir.
Ayrıca yoğunluk matrisi ile de ilişkili olduğundan kuantum istatistiksel eşitlikler
kullanılarak simülasyon bağıl olarak daha kolay gerçekleştirilebilir (Economou, 1983).
NEGF moleküler aygıtlardan geleneksel silikon aygıtlara kadar değişen farklı sistemlere
uygulanabilir.
1980’lerde aygıt simülasyonunu gerçekleştirebilmek için Green
fonksiyonları ayrık örgü gösterimi Hamiltonyeni (TBH) (tight binding Hamiltonian)
ile birlikte kullanılmıştır (Macucci, Galick, ve Ravaioli, 1995; Ravaioli, Sols, ve
Kerkhoven, 1989), Ravaioli burada denge-dışı Green fonksiyonlarını sadece açık
terminaller için hesaplamıştır.
1990’larda NEGF modeli ile açık terminaller ve
fonon saçılmaları aygıt simülasyonuna eklenmiştir (Lake ve Datta, 1992). Rezonant
tünelleme aygıtları (Cahay, Mclennan, Datta, ve Lundstrom, 1987; Ng, 1992), çift
kapılı MOSFETler (Assad, Ren, Vasileska, Datta, ve Lundstrom, 2000; Ren ve
Lundstrom, 2000), veya moleküler aygıtlar (Datta ve diğer., 1998; Samanta ve diğer.,
1996) ve benzerlerinin (Klimeck, Lake, Datta, ve Bryant, 1994; Rahman ve Lundstrom,
2002) incelenmesinde sanki bir boyutlu (quasi-1D) aygıtları için 1D ve 2D modeller
geliştirilmiştir. Kısacası NEGF yöntemi fonon taşınımı (Lu ve Guo, 2012; Markussen
ve Brandbyge, 2009; Wang, Agarwalla, Li, ve Thingna, 2014; Xu, Wang, Duan,
Gu, ve Li, 2008), spin taşınımı (Chen ve diğer., 2013; Chung ve diğer., 2010;
Mahfouzi ve diğer., 2012; Sergueev ve diğer., 2002; Yamamoto ve diğer., 2005;
Zhang ve diğer., 2013), metallerde elektron dinamiği (Do, Dollfus, ve Nguyen, 2006;
Frederiksen, Paulsson, Brandbyge, ve Jauho, 2007; Stokbro ve Smidstrup, 2013),
organik moleküller (Bergfield ve Ratner, 2013; Çakır, Otálvaro, ve Brocks, 2014;
Damle, Ghosh, ve Datta, 2002; Sato, Shizu, Kuga, Tanaka, ve Kaji, 2008; Schull,
Frederiksen, Brandbyge, ve Berndt, 2009; Zhang, Zhou, Xie, Zeng, Zhang, ve Peng,
2010) ve yarı iletken nano yapılara (Kubis ve Vogl, 2011; Liu, Xu, ve Anantram, 2014;
Moreau, Munteanu, ve Autran, 2009; Mori, Edagawa, Kamakura, ve Eaves, 2014;
Zheng, Chen, Stroscio, ve Register, 2006) kadar bir çok farklı sisteme başarılı bir
şekilde uygulanmıştır.
Denge-dışı Green fonksiyonunun ilk uygulamaları 1960’ların başında Martin ve
Schwinger (Martin ve Schwinger, 1959; Schwinger, 1961), Kadanoff ve Baym
2
(Kadanoff ve Baym, 1989), Fujita (Fujita, 1964), ve Keldysh (Keldysh, 1965)
tarafından yapılmıştır. NEGF formalizmi nano ölçekli aygıtların tasarımı için gerekli
kuantum mekaniksel simülatörlerinin geliştirilmesi için kavramsal bir temel oluşturur.
Yeni simülasyon araçlarının ortaya çıkması nano-aygıtlarda kuantum taşınım
araştırmalarını önemli hale getirmiştir. Kuantum taşınım modelleme genellikle NEGF
formalizmi kullanılarak (Datta, 2000) elektron yoğunluğu hesaplama ve Poisson
denklemi kullanılarak uzay yükü etkilerinin hesaplanması arasında öz-uyumlu
hesaplama süreci ile tanımlanır. Problem ilgilenilen bölgede kaynağa bağlı aygıt
kontaklarında öz-enerji fonksiyonları kullanılarak çözülebilir (Caroli, Combescot,
Nozieres, ve Saint-James, 1971; Datta, 1997, 2000, 2005; Meir ve Wingreen, 1992).
Taşınım problemini ayrıştırmanın yanı sıra öz-enerji matrislerinin tanımlanması
genellikle tek tip bölmelendirme yapılarak sonlu farklar yöntemi (FDM) ile elde edilir
(Datta, 2005). Ancak çok boyutlu yarı iletken aygıtların modellenmesinde düzensiz
geometrilerle karşılaşılabilir. Bu tip problemler mühendislikte sıklıkla kullanılan sonlu
elemanlar (FEM) yöntemi ile çözülebilir (Polizzi ve Datta, 2003; Zienkiewicz, 2000).
Sonlu elemanlar yönteminin avantajlarından biri gerektiğinde yüksek hassasiyetli
işlem yapılabilmesi ve çeşitli karmaşık geometrilere uygulanabilmesidir.
Ayrıca
FEM, FDM’ye göre sistemin enerji özdeğerlerinin daha hassas hesaplanmasına olanak
sağlar (Jiang, Shao, Cai, ve Zhang, 2008; Kurniawan, Bai, ve Li, 2009; Venugopal,
Ren, Datta, Lundstrom, ve Jovanovic, 2002). Bu yaklaşımda, öz-enerji fonksiyonları
Schrödinger denklemi için açık sınır koşulları ile ilişkilidir. Schrödinger-Poisson
sisteminin
balistik
rejimde
NEGF-Poisson
sistemine
eşdeğer
olduğu
gösterilmiştir (Polizzi ve Abdallah, 2002). Fakat Schrödinger yaklaşımının aksine
NEGF formalizminde doğrudan saçılma süreçleri kapsanacak şekilde öz-enerji
fonksiyonu kullanılır.
Tipik bir boyutlu yapılardan olan çift bariyer rezonant yapıları rezonant tünelleme
diyotları (RTD) olarak bilinir. Rezonant tünelleme olayı sayesinde düşük güç tüketen,
yüksek anahtarlama hızına sahip (THz mertebesinde) diyotlar üretilebilmektedir (Ferry,
Goodnick, ve Bird, 2009). Teknolojik olarak birçok uygulama alanına sahip olan
RTD üzerine teorik ve deneysel olarak hala çok sayıda çalışma yapılmaktadır. Ayrıca
3
bilgisayara dayalı teorik kuantum mekaniksel taşınım simülasyonları için RTD önemli
bir test aygıtıdır. RTD yapılarında rezonant tünelleme olayını anlamak için iletim
katsayısı önemli bir parametredir. Bu yapılarda iletim katsayısını hesaplamak için
genellikle Airy fonksiyonu bazlı transfer matris yöntemi (AF-TMM) kullanılmaktadır
(Miyamoto ve Yamamoto, 1998). Elektriksel olarak bias altındaki dikdörtgen çift
bariyer yapısından oluşmuş RTD’lerdeki elektron taşınımını incelemek için bu yöntem
kesin çözümdür. Ancak, farklı geometrideki yapılarda yaklaşık çözüm verir. Airy
fonksiyonlarının kullanımı ile düşük bias altında ıraksamalar oluşmaktadır (Jonsson
ve Eng, 1990), (Allen ve Richardson, 1994; Wang ve Wasige, 2012). Düşük bias
altında bu fonksiyonların asimptotik formları kullanılarak bu problem giderilebilir
(Mahapatra, Panchadhyayee, Bhattacharya, ve Khan, 2008; Vatannia ve Gildenblat,
1996).
Nano ölçekli aygıt üretim teknolojisi ve epitaksiyel büyütme tekniklerindeki son
yıllardaki gelişmeler sayesinde yüksek kaliteli farklı geometrilerde, örneğin dikdörtgen,
ikizkenar
yamuk,
üçgen
ve
parabolik
rezonant
tünelleme
yapıları
üretilebilmektedir (Harrison, 2010; Gossard, Brown, Allyn, ve Wiegmann, 1982).
Farklı geometriye sahip yapılarda elektron taşınımını inceleyen çalışmalar
mevcuttur (Karmakar, Biswas, Mukherjee, ve Deyasi, 2011; Ohmukai, 2005; Shen
ve Rustgi, 1993; Wang, Xu, ve Zhang, 2006). Nümerik hesaplamadaki kolaylık
nedeniyle genellikle dikdörtgen şeklindeki bariyerler incelenmiştir. Dikdörtgen çift
bariyer (DÇB) RTD yapısında taşınım özellikleri AF-TMM ve NEGF yöntemleri ile
hesaplanmıştır. Önceki çalışmaların çoğunun hesaplamalarında NEGF sonlu farklar
yöntemi kullanılmıştır (Klimeck, 2010; Park, Jiang, Akkala, Steiger, Povolotskyi,
Kubis, Sellier, Tan, Kim, Luisier, Agarwal, McLennan, Klimeck, ve Geng, 2008).
Dikdörtgen çift bariyer RTD yapısında taşınım alternatif olarak Wigner fonksiyonu
yöntemi (Jiang, Cai, ve Tsu, 2011; Kluksdahl, Kriman, Ferry, ve Ringhofer, 1989;
Nedjalkov, Kosina, Selberherr, Ringhofer, ve Ferry, 2004; Shifren, Ringhofer, ve
Ferry,
2003)
ile
Schrödinger
ve
Poisson
eşitliğinin
öz-uyumlu
olarak
çözülmesiyle (Kluksdahl, Kriman, Ferry, ve Ringhofer, 1989; Pinaud, 2002)
incelenmiştir. Diğer yapılar ile ilgili çalışmalar çok az sayıdadır. Ohmukai üçgen
4
çift bariyer yapısında rezonant tünelleme olayının yapı parametresine bağlılığını
incelemiştir (Ohmukai, 2005), ayrıca Wang ve arkadaşları bu yapıyı elektrik alan
altında incelemiştir (Wang, Xu, ve Zhang, 2006). Çift parabolik kuyu yapısında
elektron iletim olasılığı transfer matris yöntemi ile incelenmiştir (Karmakar, Biswas,
Mukherjee, ve Deyasi, 2011). Bu yapının elektrik alan altındaki incelemesi Shen
ve Rustgi (Shen ve Rustgi, 1993) tarafından Airy fonksiyonu yöntemiyle yapılmıştır.
Taşınım olayında aygıt içi saçılmalar ve kontak etkilerini sisteme dahil edebilen
kabul görmüş kuantum mekaniksel bir taşınım yöntemi olduğundan son yıllarda nano
aygıtlar (Rezonant tünelleme diyotları, transistörler, karbon nano tüpler, kuantum
nokta yapıları v.b.) daha çok NEGF yöntemi ile incelenmektedir.
Dikdörtgen çift bariyer yapıları ile ilgili gerçekleştirilen birçok çalışma sayesinde
bu yapıların taşınım özellikleri iyi bilinmektedir. Bu nedenle bu yapı sayısal yöntemleri
test etmekte kullanılmıştır.
Bu tez çalışmasında DÇB yapısı hem sonlu farklar
yöntemi (Finite Difference Method (FDM)) ile kesikleştirilmiş uzayda NEGF yöntemi
(FDM-NEGF) hem de sonlu elemanlar yöntemi (Finite Element Method (FEM))
kullanarak kesikleştirilmiş uzayda NEGF yöntemiyle (FEM-NEGF) incelenmiştir.
Elektik alan altında DÇB yapısı için kesin çözüm olan AF-TMM yöntemi ile sonuçlar
kıyaslanmıştır. Bilgilerimiz dahilinde ters parabolik çift bariyer (TPÇB) yapısında
rezonant tünelleme olayı incelenmemiştir. Bu tez çalışmasında ters parabolik çift
bariyer yapısında iletim katsayısı hesaplanarak rezonant tünelleme olayı incelenmiştir.
Elektrik alanın ve yapı parametrelerinin rezonant tünellemeye etkisi detaylıca
araştırılmıştır. TPÇB yapıları ile DÇB yapıları kıyaslanarak bariyer şeklinin ne gibi
etkileri olduğu araştırılmıştır.
TPÇB yapıları nükleer fisyon bariyerlerine model
teşkil etmektedir ayrıca rezonant tünelleme diyotuna yapısal bir örnektir. TPÇB
yapısının incelenmesi FEM-NEGF ile yapılacaktır, daha karmaşık geometrili yapıların
çözümünde kolaylık sağladığından kesikleştirmede FEM kullanılması daha uygun
olacaktır.
Tezin ilerleyen bölümleri şu şekilde organize edilmiştir. Tez çalışmasının ikinci
bölümünde teorik temeller anlatılacaktır.
tünelleme yapılarından bahsedilecektir.
Düşük boyutlu sistemler ve rezonant
Bu tür sistemlerde elektron taşınımını
5
incelemede kabul görmüş kuantum simülasyon tekniklerinden olan NEGF yöntemi ve
ayrıklaştırma teknikleri anlatılacaktır. Üçüncü bölümde açık kuantum sistemlerinde
elektron taşınımını incelemek için tezde kullanılan yöntemler detaylı olarak ele
alınacaktır.
Dikdörtgen ve ters parabolik çift bariyer yapıları için elde edilen
sonuçlar dördüncü bölümde verilerek, yorum ve tartışma bölümü ile tez çalışması
sonlandırılacaktır.
6
BÖLÜM İKİ
TEORİK TEMELLER
2.1 Düşük Boyutlu Yapılar
Elektronik ve optik özellikleriyle yarı iletken kristaller elektronik, spintronik,
mikroişlemci, bilgisayar ve modern teknolojinin birçok alanında endüstrinin temelini
oluşturur. Yarı iletkenler farklı tipte katkılanıp bir araya getirilerek eklemler oluşturulur
ve bu yapıların özelliklerinden yararlanılır. Farklı tür yarı iletkenleri birleştirerek
oluşturulan eklemler hetero yapılardır. Hetero yapılarla çok verimli ve hızlı elektronik
ve fotonik devre elemanları yapmak mümkündür (Ferry, Goodnick, ve Bird, 2009).
Modern üretim teknolojisindeki gelişmeler sayesinde, katman genişlikleri sadece
birkaç nanometre olan materyallerden oluşan hetero yapıların oluşturulması mümkün
olmuştur.
En iyi bilinen ve üzerine birçok araştırma yapılmış olan hetero yapı
GaAs/Al xGa1−x As alaşımıdır. Bu iki yarı iletken hemen hemen aynı örgü sabitine
ve farklı bant aralıklarına sahiptir ve bir araya getirildiklerinde bir ara yüzey oluşur,
AlGaAs’taki elektronlar arkalarında pozitif yüklü donörler bırakarak ayrılırlar.
İletkenlik bandı ara yüzeyde kuantum kuyusu oluşur. Elektronlar sadece ara yüzeye dik
düzlemde kısıtlandırılır, çok ince bir tabaka oluşur ve böylece iki-boyutlu elektron gazı
elde edilir. İki-boyutlu elektron gazı kapı voltajları uygulanarak hapsedilebilir. Yük
taşıyıcıları, uzaysal boyutu yük taşıyıcılarının de-Broglie dalga boyu ile karşılaştırılabilir
mertebede olan bir doğrultuda hapsedilir.
Böylece düşük boyutlu yapılar elde
edilir. Burada düşük boyut değeri yük taşıyıcısının serbest olarak hareket edebileceği
doğrultu sayısını belirtir.
Düşük boyutlu yapılar, kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum noktaları
olarak sınıflandırılırlar. Şekil 2.1’de gösterildiği gibi kuantum kuyuları elektronun
hareketinin sadece bir boyutta sınırlandığı, diğer iki boyutta serbestçe hareket edebildiği
yapılardır. Bu yapıların elde ediliş yönteminde yasak enerji aralığı büyük olan bir
malzemenin arasına, yasak enerji aralığı küçük olan bir malzemenin ince bir tabaka
7
Şekil 2.1 Düşük boyutlu yapıların şematik gösterimi (a) Külçe yapı (b) Kuantum kuyusu (c) Kuantum
teli (d) Kuantum nokta yapısı.
halinde yerleştirilmesidir. Farklı yasak bant aralığına sahip malzemelerin oluşturduğu
ara yüzde, bant yapısı kesiklilik gösterir. Kuantum telleri elektronların hareketlerinin
iki boyutta sınırlı, tek boyutta serbestçe hareket edebildiği sistemlerdir. Böyle bir
sistemde elektronların hareketlerinin sınırlandığı iki boyutta kuantum etkisi görülür.
Kuantum nokta yapılar ise elektron hareketlerinin her üç boyutta da sınırlandığı hetero
yapılardır.
2.2 Rezonant Tünelleme Aygıtları
Kuantum aygıtlarına ait ilk örnek Brian David Josephson’un elektron tünelleme
olayını keşfinden sonra Leo Esaki tarafından üretilen Esaki (tünel) diyotudur. Aygıtın
temeli, bir p-n ekleminin bant aralığı boyunca elektronun tünellemesidir.
Fakat
Esaki diyodu çok verimli olamamış, daha sonra, 1974 yılında Chang, Esaki ve Tsu
AlGaAs/GaAs malzemelerini kullanarak ilk çift bariyer rezonant tünelleme diyodunu
üretmişlerdir (Chang, Esaki, ve Tsu, 1974).
Daha sonraları rezonant tünelleme
transistörleri üretilmiştir. Resonant tünelleme aygıtlarında malzeme olarak genellikle
AlGaAs, GaAs ve InGaAs malzemeleri kullanılmıştır.
Şekil 2.2 Rezonant tünelleme yapısının şematik gösterimi.
8
Rezonant
tünelleme
diyodunun
yapısı,
iki-bariyer
tabakasının
arasına
sıkıştırılmış bir kuyu tabakasından oluşur. Şekil 2.2’de rezonant tünelleme diyot yapısı
gösterilmiştir. Bariyerlere gelen elektronların enerjileri bariyerden küçüken dahi,
eğer elektronun enerjisi kuyudaki kuantalanmış enerji durumların birinin enerjisine
eşit ise elektronun geçme olasılığı maksimumdur, bu olaya rezonant tünelleme denir.
Rezonant tünelleme davranışı üzerindeki çalışmaların çoğu çift bariyer yapıları üzerinde
yoğunlaşmıştır.
Elektrik alan altında çift bariyer (Dikdörtgen ve ters parabolik)
yapısının şematik gösterimi Sekil 2.3’te gösterildiği gibidir.
Şekil 2.3 Dikdörtgen ve ters parabolik çift bariyer yapısının şematik gösterimi.
2.3 Taşınım ve Taşınım Modelleri
Tümleşik yarı iletken devre teknolojisi ve genel yarı iletken fiziği son 50 yıldır
müthiş bir gelişim içindedir. Moore’un öngörüsüne göre üretilen kalıp üzerindeki
transistör yoğunluğu her sene iki katına çıkacaktır (Intel, 2015). Gerçekten de endüstri
artık nanometre mertebesindedir ve Moore’nin öngörüsünü bile aşmıştır. 10 nm kanal
uzunluğuna sahip transistörler laboratuarlarda üretilmektedir. Moleküler aygıtlar gibi
yeni aygıtlar gelişmektedir. Aygıt üretimi ve simülasyonu akademik çevrelerce nanoölçeklere inmiştir ve bunu endüstri takip etmiştir.
Aygıt boyutları küçüldüğü zaman kuantum etkiler önemli olmaya başlar. Kuantum
9
etkilerin ihmal edilmez olduğunun genel bir temel kuralı, p sistemin momentumu, L
tipik uzunluğu, E enerjisi, t zamanı olmak üzere p(L/~) veya E(t/~)’ yi hesaplamaktır.
Eğer sonuç bir "1" den çok küçük değilse genellikle sistemde kuantum etkiler önemli
rol oynar. Simülasyonda tamamen kuantum mekaniksel hesap yapılmalı veya klasik
simülasyona kuntum mekaniksel düzeltmeler eklenmelidir.
Elektronlar küçük bir uzayda hapsedildiğinde, sınırlanmadan dolayı ayrık enerji
seviyeleri daha da belirginleşir.
Bu enerji seviyelerine alt bantlar da (subband)
denir. Dalga fonksiyonunun şekli yüklerin yerel dağılımını vermektedir. Örneğin bir
boyutlu sonsuz kuyu potansiyelinin x yönündeki uzunluğu L olmak üzere, en düşük
enerji seviyesinin dalga fonksiyonu sin(πx/L) formundadır. Bu dalga fonksiyonu
elektronların potansiyel kuyusunun ortasında daha da yoğun olduğunu gösterir. Klasik
durumda ise elektronlar eşit dağılırlar. Enerjisinden yüksek bir potansiyel bariyeriyle
karşılaşan elektron geleneksel olarak yansır. Kuantum mekaniğinde elektronun bariyer
boyunca belirli tünelleme ihtimali vardır.
Elektronlar birbiriyle girişim yaparlar.
Bu girişim çeşitli faz-kırılma saçılmaları ile yok olma eğilimindedir. Fakat bazı
durumlarda saçılmalar kuvvetli olmamaktadır ve çok kullanışlı aygıtlar oluşturmak
için kullanılabilir.
Klasik taşınım teorileri elektronların parçacık özelliklerini kullanır.
Fononlar,
safsızlıklar ve elektronlar tarafından saçılmalar elektronların hareketini ve hareket
yeteneğini kontrol eder. Aygıtın boyutu karakteristik saçılma uzunluğuna ulaştığında
elektronlar sadece birkaç defa saçılmaya uğrayarak aygıt boyunca ilerleyebilirler. Bu
koşullar altında elektron dalga fonksiyonu bütün aygıta yayılır ve klasik yaklaşımlar
çökmeye başlar.
Yarı iletken nanoyapıların taşınım özellikleri bazı karakteristik
uzunluk ölçülerine ve bu uzunlukların sistemin boyutu ile olan ilişkisine bağlıdır. Eğer
iletkenin boyutu diğer karakteristik uzunluklardan büyük ise iletken genellikle klasik
davranış sergiler. Bu uzunluk ölçütleri malzemeden malzemeye değişir ve sıcaklık,
elektrik alan, manyetik alan, safsızlık konsantrasyonuna bağlıdır.
Moleküler iletkenlerden, karbon nanotüp ve transistöre kadar farklı taşınım rejimleri
difüzif, balistik ve kuantum taşınımı kapsar. Kanal uzunluğunun değişimi elektron
10
taşınımının doğasını değiştirir. Uzun kanallar taşınımı difüzif yapar, elektron bir
kontaktan diğerine rasgele yürüyüş yapar. Kanal uzunluğu ortalama serbest yoldan
küçükse balistik olur. Daha küçük ise elektronun dalga karakteri yani kuantum taşınım
(girişim, tünelleme v.s) söz konusudur.
Bu tez çalışması kapsamında ele alınan sistemlerde kuantum taşınım metodları
kullanılmıştır. Transfer matris yöntemi (Tsu ve Esaki, 1973) ve denge-dışı Green
fonksiyonu yöntemi (Datta, 2005) en çok kullanılan kuantum simülasyon teknikleridir.
2.4 Denge-Dışı Green Fonksiyonları
Nano ölçekli aygıtların taşınım özellikleri, atomik ve elektronik yapıları üzerindeki
teorik çalışmalar deneysel çalışmalara rehberlik etmesi ve desteklemesi açısından
önemlidir.
Taşınım özellikleri denge-dışı Green fonksiyonları yöntemiyle doğru
ve güçlü bir şekilde hesaplanır. NEGF yönteminin gücü tek parçacık fotoğrafının
elektron-elektron, elektron-fonon saçılmalarını içerecek şekilde genişletilebilmesidir.
2.4.1 Özdeğer Problemleri için Green Fonksiyonları
L Hermityen diferansiyel operatör olmak üzere
L y(x) − λy(x) = f (x)
x ∈ [a, b]
(2.1)
formunda homojen olmayan diferansiyel denklem olsun. Burada λ bir sabittir. Bu
diferansiyel operatör aşağıda özdeğer denklemi ile tanımlanan özfonksiyonların tam
setine sahiptir
Lφn (x) = λn φn (x)
(2.2)
burada λn özdeğerler, φn (x) özfonksiyonlardır. Bu öz fonksiyonlar ortonormallik
şartını
Z
φ∗n (x)φm (x)dx = δnm
11
(2.3)
ve tamlık bağıntısını
X
φ∗n (x)φn (x′ ) = δ(x − x′ )
(2.4)
n
sağlarlar. y(x) ve f (x) fonksiyonları φn (x) özfonksiyonlarının tam bir seti cinsinden
seriye açılabilir.
X
αn φn (x)
(2.5)
X
βn φn (x)
(2.6)
Zb
φ∗n y(x) dx
(2.7)
Zb
φ∗n f (x) dx
(2.8)
y(x) =
n
f (x) =
n
buradaki αn ve βn açılım katsayıları,
αn =
a
βn =
a
şeklindedir. Bu seriye açılmış fonksiyonlar Eşitlik (2.1)’de yerine yazılırsa
X
(αn Lφn (x) − λαn φn (x) − βn φn (x)) = 0
(2.9)
n
X
(((λn − λ)αn − βn ) φn (x)) = 0
(2.10)
n
φn (x) lineer bağımsız ve tüm n’ler için bu ifadeyi sağladıklarından,
αn =
βn
(λn − λ)
(2.11)
elde edilir. (2.11) ifadesi (2.5) ifadesinde yerine yazılırsa,
y(x) =
Zb X
a
n
φn (x)φ∗n (x′ )
f (x′ ) dx′
λn − λ
(2.12)
ifadesi elde edilir. Bu ifade aşağıdaki formda yazılabilir
y(x) =
Z
b
G(x, x′ ) f (x′ ) dx′
a
12
(2.13)
burada
G(x, x′ ) =
X φn (x)φ∗ (x′ )
n
n
λn − λ
(2.14)
Green fonksiyonu olarak isimlendirilir. Ayrıca Green fonksiyonu
(L − λ)G(x, x′ ) = δ(x − x′ )
(2.15)
denkleminin çözümüdür.
2.4.2 Denge-Dışı Green Fonksiyonları ile Aygıt Modelleme
Bu bölümde NEGF tanımlarını yapıp, nano aygıt modellemede önemli bilgileri
barındıran iletim katsayısı hesabının nasıl gerçekleştirildiği anlatılacaktır. Bir yük
taşıyıcısının hareketini tanımlayan özdeğer denklemi,
Hψα = E α ψα
(2.16)
şeklindedir. Schrödinger denklemine eşlenik Green fonksiyonu eşitliği
(E − H)G(E;~r ,~r′ ) = δ(~r −~r′ )
(2.17)
ile verilir. Green fonksiyonu öz fonksiyonlar cinsinden seriye açılırsa,
G(E;~r,~r′ ) =
X
ψα (~r)Gαβ (~r′ )ψ∗β (~r′ )
(2.18)
α,β
ifadesi elde edilir.
Burada Gαβ açılım katsayıları Green fonksiyonunun matris
temsilidir. (Dirac notasyonu kullanılarak Green fonksiyonunun matris temsili Gαβ =
hα|Ĝ(E)|βi şeklinde ifade edilebilir.) Bu açılım Eşitlik (2.17)’de yazılırsa,
(E − H)
X
ψα (~r)Gαβ (~r′ )ψ∗β (~r′ ) = δ(~r −~r′ )
α,β
13
(2.19)
ifadesine ulaşılır, bu ifade sağdan ψλ (~r′ ) ve soldan ψγ (~r ) ile çarpılarak eşitliğin her iki
R R
tarafının d~r d~r′ üzerinden integrali alınırsa
X
α,β
=
Z
E
Z
d~rψ∗γ (~r )ψα (~r) −
Z
!
d~rψ∗γ (~r )Hψ∗α (~r)
Gαβ
Z
d~r′ ψ∗β (~r′ )ψλ (~r′ )
d~rd~r′ δ(~r −~r′ )ψ∗γ (~r)ψλ (~r′ )
(2.20)
Böylece Green fonksiyonu eşitliği
X
α,β
Eδγα − Hγβ Gαβ δβλ = δγλ
(2.21)
matris formda elde edilmiş olur. [I] birim matrisi ifade etmek üzere,
[EI − H] [G] = [I]
şeklinde yazılabilir.
(2.22)
[H] Hamiltonyen operatörünün matris temsilidir, [EI − H]
matrisinin tersi alınarak [G] hesaplanabilir.
[G] = [EI − H]−1
(2.23)
Green fonksiyonu operatör formda
−1
Ĝ(E) = E Iˆ − Ĥ
(2.24)
yazılabilir.
Sınır şartları sağlanmadıkça, bir diferansiyel operatörün tersi tek değildir. Genellikle,
iki farklı Green fonksiyonu (gecikmeli ve ilerlemiş), iki farklı sınır koşullarına karşılık
tanımlanır. Gecikmeli Green fonksiyonu [GR ] uyarma noktasından kaynaklanan giden
dalgaları temsil ederken ilerlemiş Green fonksiyonu [G A ] uyarma noktasına gelen
dalgaları temsil eder. Sınır koşullarını birleştirmenin bir yolu (uyarmadan uzakta,
örneğin bir giden dalga (gecikmeli) veya gelen dalga (ilerlemiş)) fonksiyona sonsuz
küçük sanal enerji eklemektir. Genel olarak gecikmiş Green fonksiyonu [GR ] =
14
[(E + iη)I − H]−1 olarak tanımlanmaktadır. İlerlemiş Green fonksiyonu ise, [G A ] =
[(E − iη)I − H]−1 şeklindedir. Burada η sonsuz küçük pozitif bir tam sayıdır. Genellikle
gecikmiş Green fonksiyonları, Green fonksiyonu olarak kullanılır. Bu iki fonksiyon
birbirinin Hermitik eşleniği olduğundan genellikle [GR ] = [G] ve [G A ] = [G]† ile
gösterilir.
Dirac delta fonksiyonunu tanımlayan
1 η
δ(x) = Lim+
η→0 π x2 + η2
!
(2.25)
ifadesi basit kesirlere ayrılırsa,
11
1
1
δ(x) = −
Lim+
−
π 2i η→0 x + iη x − iη
!
(2.26)
ifadesi elde edilir. Operatör bağımlı Dirac delta fonksiyonu,
11
1
1
δ(E Iˆ − Ĥ) = −
Lim+
−
π 2i η→0 (E + iη)Iˆ − Ĥ (E − iη)Iˆ − Ĥ
!
(2.27)
1
şeklinde yazılabilir. Ĝ(E) = (E+iη)
ˆ Ĥ gecikmeli Green fonksiyonu olarak tanımlanmıştı,
I−
böylece
δ(E Iˆ − Ĥ) = −
11
[Ĝ(E) − Ĝ† (E)]
π 2i
(2.28)
yani
1
δ(E Iˆ − Ĥ) = − Im[Ĝ(E)]
π
(2.29)
elde edilir.
Elektron yoğunluğu
n(µ, β,~r) =
X
fβ (µ, E α )|ψα (~r)|2
(2.30)
α
ile verilir, burada fβ (µ, E α ) Fermi-Dirac dağılım fonksiyonudur. Eşitlik (2.30) sürekli
15
ortamda aşağıdaki gibi yazılırsa
n(µ, β,~r) =
Z
dE fβ (µ, E)DOS (E,~r )
(2.31)
bu iki ifade eşitlenirse yerel durumlar yoğunluğu ifadesi
DOS (E,~r) =
X
δ(E − E α )|ψα (~r)|2
(2.32)
δ(E − E α )h~r|αihα|~ri
(2.33)
α
elde edilir. Dirac notasyonu kullanılarak
DOS (E,~r) =
X
α
ifadesindeki Dirac delta fonksiyonu toplam dışına operatör deltası olarak çıkarılabilir,
böylece




X




ˆ − Ĥ)
|~ri
δ(E
I
|αihα|
DOS (E,~r ) = h~r| 





(2.34)
α
n
o
DOS (E,~r ) = h~r | δ(E Iˆ − Ĥ) |~ri
(2.35)
ifadesine ulaşılır. Yerel durumlar yoğunluğu ifadesi konum uzayı üzerinden integrali
alınırsa
Z
d~r DOS (E,~r)
(2.36)
X
δ(E − E α )h~r|αihα|~r i
(2.37)
DOS (E) =
DOS (E) =
Z
d~r
α
ifadesinden
DOS (E) = −
o
1X n
Im hα|Ĝ(E)|αi
π α
(2.38)
elde edilir. Böylece durumlar yoğunluğu
1
DOS (E) = − Im {T r[G(E)]}
π
(2.39)
ifadesiyle hesaplanabilir.
Şimdi de Green fonksiyonları kullanılarak açık bir kuantum sisteminin nasıl
modellendiği üzerinde durulacaktır. Şekil 2.4’te gösterildiği gibi ilgilenilen sistem ve
16
Şekil 2.4 Sağ ve sol kontak ile çiflenimli bir kuantum sisteminin şematik gösterimi.
sistem ile etkileşen iki kontak olsun. Tüm sistem [HT ] sonsuz Hermityen matris ile
tanımlanır. Bu matris

 [HL ] [HLC ]
0


[HT ] =  [HCL ] [HC ] [HCR ]


0
[HRC ] [HR ]







(2.40)
blok matrisler şeklinde yazılabilir. Burada [HC ] ilgilenilen bölgedeki etkileşmeleri
tanımlayan Hamiltonyen matrisi, [HL ] ve [HR ] sırasıyla sol ve sağ bölgedeki etkileşmeleri
tanımlayan Hamiltonyen matrisleridir. [HLC ] ve [HCR ] ilgilenilen bölge ile sol ve sağ
kontak etkileşmelerini tarif eden matrislerdir. Bu matrisler çiflenim matrisleri olarak
bilinirler ve
[HCL ] = [HLC ]† ,
[HCR ] = [HRC ]†
(2.41)
Hermityendirler, toplam sistemin Green fonksiyonu [EI − HT ][GT ] = [I] sağ, sol ve
merkezi kısımlara ayırarak,

 [EI − HL ] −[HLC ]
0


 −[HLC ]† [EI − HC ] −[HRC ]†


0
−[HRC ] [EI − HR ]

  [G L ] [G LC ]
0
 
 
  [GCL ] [GC ] [GCR ]
 
0
[GRC ] [GR ]
 
  [I] 0 0
 
 
 =  0 [I] 0
 
 
0 0 [I]







yazılabilir, burada E → E + iη olarak kullanılmıştır. Matris çarpma işlemi yapılırsa;
[EI − HL ][G LC ] − [HLC ][GC ] = 0
17
(2.42)
− [HLC ]† [G LC ] + [EI − HC ][GC ] − [HRC ]† [GRC ] = [I]
(2.43)
− [HRC ][GC ] + [EI − HR ][GRC ] = 0
(2.44)
matris eşitlikleri elde edilir. Eşitlik (2.42)’ten
[G LC ] = [EI − HL ]−1 [HLC ][GC ]
(2.45)
[GRC ] = [EI − HR ]−1 [HRC ][GC ]
(2.46)
ve (2.44)’ten
elde edilen ifadeler, Eşitlik (2.43)’de yerine yazılırsa, Böylece;
[EI − HC − ΣL − ΣR ][GC ] = [I]
(2.47)
ΣL = [HLC ]† [EI − HL ]−1 [HLC ]
(2.48)
ΣR = [HRC ]† [EI − HR ]−1 [HRC ]
(2.49)
elde edilir. Burada
sırasıyla sol ve sağ kontak öz-enerjileri olarak adlandırılırlar. Sonuç olarak açık
kuantum sisteminin Green fonksiyounu
[G(E)] = [(EI − HC − ΣL − ΣR ]−1
(2.50)
şeklindedir. İlgilenilen sisteme kontakların etkisi öz-enerji terimleri ile eklenmiş olur.
Öz-enerji terimleri Gi = [EI − Hi ]−1
(i = L, R) izole kontakların Green fonksiyonu
olmak üzere,
[Σi ] = [HiC ]† [EI − Hi ]−1 [HiC ] = [HiC ]† [Gi ][HiC ]
(2.51)
şeklinde yazılabilir.
NEGF yöntemi nano-aygıtların modellenmesinde yaygın olarak kullanılan bir
yöntemdir. Tünelleme ve kuantum saçılmaları gibi aygıtlardaki kuantum etkilerin
hesaplanmasında etkili bir yol olmuştur. Balistik rejimde tam sonuç verir, ayrıca
saçılma süreçleri de incelenmekte fakat dikkate değer bilgisayar gücü gerektirmektedir.
18
NEGF çok parçacıklı açık kuantum sistemlerinin zaman evrimini de çalışmaya olanak
sağlar. Sistem hakkındaki çok-parçacık bilgileri Green fonksiyonları için hareket
denklemlerinin parçalarından olan öz-enerjilerden alınmaktadır.
Kaynak ve kanal kontaklarında sonsuz sayıda elektronik enerji durumları dağılımı
vardır. Kanal, kaynak kontaklarına bağlı olduğunda, kontaklardaki enerji düzeylerinin
çevresindeki bazı durumların yoğunluğu kanal içine yayılacaktır. Bu işlem, enerji
seviyesi genişlemesi olarak bilinir.
NEGF formalizminde aygıt ile kontaklarının çiftlenimi öz-enerji matrisleri ([ΣL,R ])
kullanılarak tarif edilir. Öz-enerji terimleri sınır koşulları içeren Hamiltoniyendeki
bir değişiklik olarak görülebilir. Kanal kontak arası etkileşmeler [ΣL,R ], elektronun
çevresiyle etkileşmesi [Σ s ] ile tarif edilir. [ΣL,R ]’nin aksine [Σ s ] öz-uyumlu hesap
gerektirir.
Matris boyutları (N xN) baz fonksiyonları sayısı N’ye bağlıdır.
Bu
matrislerin nasıl yazılacağı malzemeden malzemeye ve yaklaşım yöntemine (first
principle (ab initio) veya yarı deneysel) göre değişiklik göstermektedir.
Balistik limitte elektron akışı kontak terimleriyle [ΣL,R ] kontrol edilir, elektronun
kanal içindeki etkileşmeleri [Σ s ] ihmal edilebilir (Kruglyak, 2013). Aksine difüzif
rejimde elektron akışı elektronun kanal içindeki etkileşmeleri [Σ s ] ile kontrol edilir,
kontakların etkisi [ΣL,R ] ihmal edilebilir.
Kaynak ve kanal kontaklarının aygıta bağlanmasıyla ortaya çıkan enerji düzeylerinin
genişlemesi Gamma fonksiyonları [Γ] ile ifade edilir.
[ΓL,R,s] = i [ΣL,R,s] − [ΣL,R,s]† .
(2.52)
Öz-enerji terimleri Hamiltonyeni iki şekilde etkiler. Öz-enerjinin reel kısmı aygıt
öz-durumları veya enerji seviyelerinde değişikliğe, kompleks kısmı ise sonlu yaşam
süresiyle verilen durumlarda durumlar yoğunluğundaki genişlemelere neden olur.
Green fonksiyonu formalizminde çözüm, direk metod kullanarak (Venugopal, Ren,
19
Datta, Lundstrom, ve Jovanovic, 2002) veya iteratif metod kullanarak (Svizhenko,
Anantram, Govindan, Biegel, ve Venugopal, 2002) yapılabilir.
Etkin kütle
Hamiltoniyeni için ayrıklaştırmada reel uzay veya mod uzayı yaklaşımları kullanılabilir
(Venugopal, Ren, Datta, Lundstrom, ve Jovanovic, 2002).
Mod uzay yaklaşımı
Hamiltoniyen matrisi boyutlarını önemli ölçüde küçültmek (hesaplama süresini azaltmak)
için kullanılır. Kuantum kuşatma olması nedeniyle, modlar görünür ve taşınım bu
modlar cinsinden tarif edilebilir.
İletim katsayısı hesabı:
İlgilenilen sisteme sol kontaktan gelip sağ kontağa elektronların geçme olasılığı
iletim katsayısı ile verilir. Bu kısımda iletim katsayısı ifadesi türetilecektir. Schrödinger
eşitliği matris gösteriminde,

 [HL ] [HLC ]
0


 [HCL ] [HC ] [HCR ]


0
[HRC ] [HR ]




  {ΨL } 
 {ΨL } 



 



 
  {ΨC }  = E  {ΨC } 
 



{ΨR }
{ΨR }
(2.53)
şeklinde yazılabilir. {ΨL }, {ΨC } ve {ΨR } sırasıyla, sol kontak, ilgilenilen sistem ve sağ
kontak dalga fonksiyonları vektörleridirler. Basitçe sol kontaktan gelen ve yansıyan
dalgalar, {ΨL } = {Ψ0L } + {Ψ1L } (Burada {Ψ0L } gelen dalga {Ψ1L } yansıyan dalgaları temsil
etmektedir) sağ kontağa geçen dalgalar {ΨR } ile gösterilmektedir. Burada sadece
gecikmeli çözümler kullanılacaktır. Eşitlik (2.53) çözülür ise,
{ΨL } = (1 + [G L ][HLC ][GC ][HLC ]† ){Ψ0L }
(2.54)
{ΨR } = [GR ][HRC ][GC ][HLC ]† {Ψ0L }
(2.55)
{ΨC } = [GC ][HLC ]† {Ψ0L }
(2.56)
elde edilir. Akım hesaplanmak istenir ise, bir kontaktan sisteme kısmi akım
Ji=L,R =
ie {Ψi }† [HiC ]{ΨC } − {ΨC }† [HiC ]† {Ψi }
~
20
(2.57)
ifadesiyle hesaplanır (Paulsson, 2008). Toplam akım hesabı için öncelikle dalga
fonksiyonlarını yerine yazarak sisteme gelen akımları elde edeceğiz. Herhangi bir λ
özdurumu için
Jλ = JL = −JR = −
ie {ΨR }† [HRC ]{ΨC } − {ΨC }† [HRC ]† {ΨR }
~
(2.58)
ie Jλ = − {Ψ0L }† [HLC ][GC ]† [HRC ]† [GR ]† − [GR ] [HRC ][GC ][HLC ]† {Ψ0L }
~
e 0 †
=
{ΨL } [HLC ][GC ]† [ΓR ][GC ][HLC ]† {Ψ0L }
(2.59)
~
burada
[ΓR ] = i([ΣR ] − [ΣR ]† ) = [HRC ]† ([GR ] − [GR ]† )[HRC ]
(2.60)
sağ kontağın genişleme fonksiyonudur. Toplam akım, tüm olası özdurumlar üzerinden
toplam alınırsa,
I=
X
λ
Jλ =
Xe {Ψ0Lλ }† [HLC ][GC ]† [ΓR ][GC ][HLC ]† {Ψ0Lλ} fL (E λ )
~
λ
(2.61)
şeklindedir. Burada fL (E λ ) sol kontağın dağılım fonksiyonudur. Sağ kontağın dağılım
fonksiyonu akımı soldan sağa gittiği varsayıldığı için bu eşitlikte yer almamaktadır.
Akım için Landauer eşitliğine bakılırsa,
e
I=
h
Z
+∞
T (E) fL (E)dE
(2.62)
−∞
Bu iki akım ifadesi karşılaştırılır ise, iletim katsayısı;
X
T (E) = 2π δ(E − E λ ) {Ψ0Lλ }† [HLC ][GC ]† [ΓR ][GC ][HLC ]† {Ψ0Lλ}
λ
21
(2.63)
şeklindedir. Bu ifade
XX
T (E) = 2π
δ(E − E λ ) {Ψ0Lλ }† [HLC ]{Ψλ′ } {Ψλ′ }† [GC ]† [ΓR ][GC ][HLC ]† {Ψ0Lλ}
′
λ λ



X 
 X


{Ψλ′ }† [GC ]† [ΓR ][GC ][HLC ]† 2π δ(E − E λ ){Ψ0 }{Ψ0 }†  [HLC ]{Ψλ′ }
=
Lλ
Lλ 



λ′
λ
= T r([GC ]† [ΓR ][GC ][ΓL ])
(2.64)
yazılabilir. Matris iz alma (Tr) işlemi içerisinde sırali yer değiştirme yapılabildiğinden
iletim katsayısı
T (E) = T r [ΓL ][GC ]† [ΓR ][GC ]
(2.65)
formunda elde edilir.
2.5 Sonlu Farklar Yöntemi
Fizik ve mühendisliğin birçok probleminde lineer ve lineer olmayan birinci veya
daha yüksek mertebeden diferansiyel denklem sistemleri karşımıza çıkar. Bu sistemlerin
çözümünde birçok metot kullanılmaktadır.
Bunlardan en iyi bilineni sayısal bir
yöntem olan sonlu farklar yöntemidir. Sonlu farklar yöntemini bir problemi çözmede
kullanmak için, önce problemin tanımlı olduğu uzayı ayrıklaştırmak gerekir.
Ayrıklaştırma, genelde, uzay eşit parçalara bölünerek yapılır.
Bir foksiyonun Taylor serisi açılımı
f (x0 ± h) = f (x0 ) ± f ′ (x0 )h +
f (n) (x0 ) n
f ′′ (x0 ) 2 f ′′′ (x0 ) 3
h ±
h + ... +
h + O(hn+1 ) (2.66)
2
3!
n!
şeklindedir. Burada f (n) (x0 ) ifadesi n. mertebe türev anlamındadır. Bu ifadeden
yararlanarak bir fonksiyonun türevini yaklaşık olarak FDM ile nasıl bulunacağını
göstereceğiz.
Birinci mertebe türev için Taylor seri açılımında eşitliğin sağından ilk iki terim
alınarak, ileri farklar yaklaşımı f ′ (x) =
f (x+h)− f (x)
h
22
+ O(h2 ) ve geri farklar yaklaşımı
f ′ (x) =
f (x)− f (x−h)
h
+ O(h2 ) elde edilir. Açılımda taraf tarafa toplama yapılarak da
f ′ (x) =
f (x + h) − f (x − h)
+ O(h2 )
2h
merkezi farklar yaklaşımı elde edilir. İkinci mertebe türev ifedesi benzer yolla elde
edilir. Burada fi = f (xi ), fi+1 = f (xi + h), fi−1 = f (xi − h) kısaltmaları kullanılacaktır.
Merkezi farklar yöntemi baz alınarak, ikinci mertebe türev ifadesi ikinci mertebe
yaklaşımla bulmak için Taylor açılımı
fi+1 = fi + fi′ h +
fi′′ 2 fi′′′ 3
(h) +
(h) + O(h4 )
2
3!
(2.67)
fi−1 = fi − fi′ h +
fi′′ 2 fi′′′ 3
(h) −
(h) + O(h4 )
2
3!
(2.68)
yazılır, bu iki eşitlik taraf tarafa toplama yapılarak ikinci mertebe türev ifadesi
fi′′ =
fi−1 − 2 fi + fi+1
h2
(2.69)
olarak elde edilir.
Sonlu farklar yönteminde dördüncü mertebeden yaklaşım ile nümerik hatalar daha
da azaltılabilir. Taylor açılımını ikinci en yakın noktalar için tekrar yazılırsa,
fi+1 = fi +
fi−1
fi+2
fi−2
fi′′ 2 fi′′′ 3 fi(4) 4 fi(5) 5
′
fi h + (h) +
(h) +
(h) +
(h) + O(h6 )
2
3!
24
120
(4)
′′′
′′
fi
fi(5) 5
fi
fi
2
3
4
′
(h) +
(h) −
(h) + O(h6 )
= fi − fi h + (h) −
2
3!
24
120
fi(4)
fi(5)
fi′′
fi′′′
′
2
3
4
= fi + fi 2h + (2h) +
(2h) +
(2h) +
(2h)5 + O(h6 )
2
3!
24
120
(4)
′′
′′′
f
fi(5)
f
f
i
i
i
′
2
3
4
= fi − fi 2h + (2h) −
(2h) +
(2h) −
(2h)5 + O(h6 ) (2.70)
2
3!
24
120
bu açılımlardan ilk iki eşitlik toplanır ise,
fi+1 + fi−1 = 2 fi +
fi(4) 4
′′
2
fi (h) +
(h) + O(h6 )
12
23
(2.71)
ifadesi son iki eşitlik toplanır ise,
fi+2 + fi−2 =
2 fi + 4 fi′′ (h)2 +
16 fi(4)
12
(h)4 + O(h6 )
(2.72)
eşitliği elde edilir. Bu türetimler Bengt Fornberg (Fornberg, 1996) tarafından yapılmıştır.
Eşitlik (2.71) 16 ile çarpılıp elde edilen ifadeden Eşitlik (2.72) çıkartılırsa ikinci
mertebe türev
fi′′ =
− fi−2 + 16 fi−1 − 30 fi + 16 fi+1 − fi+2
12h2
(2.73)
olarak elde edilir.
FDM daha da geliştirilebilir, örneğin en yakın üçüncü noktalarda (altıncı mertebeden
yaklaşım) hesaba dahil edilirse taylor açılımları,
fi+1 = fi +
fi′′ 2 fi′′′ 3 fi(4) 4 fi(5) 5 fi(6) 6
′
(h) +
(h) +
(h) +
(h) +
fi h + (h) +
2
3!
24
120
720
fi(7)
5040
+ O(h8 )
fi−1 = fi −
(2.74)
fi′′ 2 fi′′′ 3 fi(4) 4 fi(5) 5 fi(6) 6
′
fi h + (h) −
(h) +
(h) −
(h) +
(h) −
2
3!
24
120
720
fi(7)
5040
+ O(h8 )
fi+2 = fi +
+
−
(h)7
(2.75)
fi(4)
fi(5)
fi(6)
fi′′
fi′′′
′
2
3
4
5
fi 2h + (2h) +
(2h) +
(2h) +
(2h) +
(2h)6
2
fi(7)
5040
fi−2 = fi −
(h)7
3!
24
120
720
(2h)7 + O(h8 )
(2.76)
fi(4)
fi(5)
fi(6)
fi′′′
fi′′
′
2
3
4
5
(2h) +
(2h) −
(2h) +
(2h)6
fi 2h + (2h) −
fi(7)
5040
2
3!
24
(2h)7 + O(h8 )
120
720
(2.77)
24
fi+3 = fi +
+
2
fi(7)
5040
fi−3 = fi −
−
fi(4)
fi(5)
fi(6)
fi′′′
fi′′
2
3
4
5
′
(3h) +
(3h) +
(3h) +
(3h)6
fi 3h + (3h) +
3!
24
120
720
(3h)7 + O(h8 )
(2.78)
fi(4)
fi(5)
fi(6)
fi′′′
fi′′
2
3
4
5
′
(3h) +
(3h) −
(3h) +
(3h)6
fi 3h + (3h) −
2
fi(7)
5040
3!
24
120
720
(3h)7 + O(h8 )
(2.79)
şeklindedir. Bu eşitliklerden ilk iki açılım, üçüncü ve dördüncü açılım ve son iki açılım
kendi aralarında toplanarak,
fi+1 + fi−1 = 2 fi + fi′′ (h)2 +
fi+2 + fi−2 = 2 fi + 4 fi′′ (h)2 +
fi+3 +
fi−3 = 2 fi + 9 fi′′ (h)2 +
fi(4)
12
(h)4 +
16 fi(4)
12
81 fi(4)
12
fi(6)
360
(h)4 +
4
(h) +
(h)6 + O(h8 )
64 fi(6)
360
(h)6 + O(h8 )
729 fi(6)
360
(h)6 + O(h8 )
(2.80)
(2.81)
(2.82)
ifadeleri elde edilir. Eşitlik (2.80), 270 ile Eşitlik (2.81), -27 ile ve Eşitlik (2.82), 2
ile çarpılıp taraf tarafa toplama işlemi yapılarak ikinci mertebe türev ifadesi yalnız
bırakılırsa,
fi′′ =
−2 fi−3 − 27 fi−2 + 270 fi−1 − 490 fi + 270 fi+1 − 27 fi+2 + 2 fi+3
180h2
(2.83)
sonucuna ulaşılır.
2.6 Sonlu Elemanlar Yöntemi
Sonlu elemanlar yöntemi çeşitli fiziksel sistemlere ilişkin sayısal hesaplamalarda
kullanılan önemli bir yöntemdir (Hutton, 2004; Zieliński, 2012). Temel mühendislik
ve uygulamalı bilimlerdeki problemlerin çoğu diferansiyel veya integral denklemler
25
ile tanımlanırlar. Bu denklemlerin sayısal çözümü, ilgilenilen probleme ilişkin önemli
sonuçlar verecektir.
Ancak geometrideki, özelliklerdeki veya sınır şartlarındaki
karmaşıklık gerçek çözümün elde edilememesine ya da makul bir zamanda elde
edilememesine yol açar.
Sonlu elemanlar yöntemi;
Mekanik,
akustik,
elektromanyetizma, biyomekanik, ısı transferi gibi alanlarda karşılaşılan, düzgün
olmayan geometrilere sahip sistemlerde, karmaşık sınır koşulları içeren problemlerde,
lineer ve lineer olmayan problemlerde, denge ve denge dışı problemler ile öz-değer
problemlerinde kullanılmaktadır.
Şekil 2.5 Bir boyutlu uzayda global eleman, lokal eleman düğüm noktaları.
FEM’de çalışma bölgesi, birçok küçük alt bölgelere bölünerek baz fonksiyonları
oluşturulur. Her bir alt bölge global eleman olarak adlandırılır. Çalışma bölgesini
sonlu sayıdaki global elemanlara bölmelendirme süreci kesikliliği ifade eder. Global
elemanlar üzerindeki fiziksel alanın parçalı yaklaşımı, basit yaklaşım fonksiyonlarından
bile daha kusursuz bir sonuç sağlar (Mohan ve Ramdas, 2002).
Eleman sayısı
arttırıldıkça daha doğru ve kesin sonuçlar elde edilir. Çalışma uzayı N − 1 parçaya
bölünsün. Uzayda N tane düğüm noktası olacaktır. Uzaydaki bu bölümlerin eşit
uzunluklu olması gerekmez. FEM’de tüm uzay alt bölmelere ayrılır ve her alt bölmeye
global eleman denir (Şekil 2.5’te nge global eleman sayısını göstermektedir). Bir
global eleman daha küçük alt bölmelere ayrılır ise bu global elemandaki alt bölmelere
lokal eleman denir. Şekil 2.5’te gösterildiği gibi kesikleştirilmiş uzaydaki her bir
elemanın uç noktasına düğüm noktası (nod) denir.
Sonlu elemanlar yönteminin sağladığı yararlardan birkaçı şu şekilde sıralanabilir.
Bitişik elemanlardaki malzeme özellikleri aynı olmayabilir.
26
Bu özellik bir kaç
malzemenin birleştirildiği cisimlerde uygulanabilmesine imkan vermektedir. Eleman
boyutları kullanıcı tarafından değiştirilebilir. Böylece önemli değişiklikler beklenen
bölgelerde daha küçük elemanlar kullanılarak hassas işlemler yapılabilirken, aynı
parçanın diğer bölgeleri büyük elemanlara bölünerek işlem hızı arttırılabilir. Karmaşık
sınır koşulları kolaylıkla ele alınabilir (Kwon ve Bang, 1997).
FEM’de fiziksel bölge global elemanlara bölünür, böylece dalga fonksiyonu baz
fonksiyonlarının kesikli tam bir seti olarak aşağıdaki gibi yazılabilir.
ψ(x) =
N
X
ci φi (x)
(2.84)
i=1
burada N kesikleştirilmiş çözüm uzayımızdaki toplam nod sayısıdır. φi (x) ilgili uzayı
geren baz fonksiyonlarıdır ve φi (x j ) = δi j şartını sağlamalıdır. Burada x j j. nodun
koordinatını temsil etmektedir (Pask, Klein, Sterne, ve Fong, 2001). Bir boyutlu
uzayda bu şartı sağlayan baz fonksiyonları Lagrange polinomlarıdır. Baz fonksiyonları
ile ilgili detaylı bilgiye S. Sarıkurt’un doktora tezinden (Sarikurt, 2013) ulaşılabilir.
FEM kullanılarak açık kuantum sistemlerin NEGF ile nasıl incelendiği Bölüm 3.3’te
anlatılmıştır.
27
BÖLÜM ÜÇ
AÇIK KUANTUM SİSTEMLERİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ
3.1 Açık Kuantum Sistemlerinin Transfer Matris Yöntemi ile İncelenmesi
Elektronun bir kuantum sisteminde taşınımı transfer matris yöntemi kullanılarak
incelenecektir. Bu incelemede iletim katsayısı hesabı yapılarak herhangi bir enerjideki
elektronun geçiş olasılığı hesaplanır. Zamandan bağımsız Schrödinger dalga denklemi;
Şekil 3.1 Rezonant tünelleme diyotundaki potansiyel dağılımı. (a) Dış bir elektrik alan olmadığında
potansiyel dağılımı. E0 ve E1 sırasıyla kuyu içindeki taban durum ve birinci uyarılmış enerji seviyesidir.
(b) Elektrik alan uygulandığ durumdaki potansiyel dağılımı. (c) Adımlarla benzetilen potansiyel
değişimi. (d) Bölge (adım) şeması.
−
~2 d 2
ψ + U(x)ψ = E(x)ψ
2m∗ dx2
(3.1)
her bölge için yazılıp çözülmelidir. Eşitlik (3.1)’de uzunluklar a∗0 etkin Bohr yarıçapı
cinsiden x̃ =
x
a∗0
olarak, enerjiler E ∗H etkin Hartree enerjisi cinsinden Ũ =
U
∗
EH
olarak
ölçeklendirilirse, boyutsuz Schrödinger dalga denklemi,
1 d2ψ
−
+ Ũψ = Ẽψ
2 d x̃2
28
(3.2)
elde edilir. Şekil 3.1’de tipik bir açık sistem için örnek teşkil eden RTD yapısı ve
tranfer matris metodununu uygulanması için adımlarla benzetilen potansiyel değişimi
görülmektedir. Her j bölgesi için potansiyel sabit olmak üzere denklem aşağıdaki gibi
yazılabilir;
−
1 d2ψ j
+ Ṽ j ψ j = Ẽψ j .
2 d x̃2
Bu bölgelerde E > V j olduğu kabul edilirse;
d2ψ j
+ 2(Ẽ − Ṽ j )ψ j = 0
d x̃2
j. bölge için diferansiyel denklemin çözümü;
ψ j = A j eik̃ j ( x̃− x̃ j) + B j e−ik̃ j ( x̃− x̃ j)
(3.3)
şeklinde yazılabilir. Burada,
k̃ j =
q
2(Ẽ − Ṽ j )
dir. TMM kullanarak iletim katsayısı ifadesi elde edilmek istenmektedir. Bu nedenle
sistemin en sol ve en sağ tarafındaki çözümlerin katsayıları arasında ilişki kurulmalıdır.



 A 
 A
Y
 0 
 N
p j 

 =
 B
B0
N
j=1,...4




P = p1 .p2 . . . pN

 

 A   P

 0   11 P12   AN
=

 
 
B0   P21 P22   BN
| {z }
P




h dψ∗
i
dψ
i~
ψ dx − ψ∗ dx , T =
Geçen akım yoğunluğunun gelen akım yoğunluğuna oranı J = 2m
Jout
Jin iletim katsayısını verir. Parçacıkların soldan geldiği kabul edilir ise BN = 0
olacağından, iletim katsayısı
T=
k̃N |AN |2
k̃0 |A0 |2
29
ifadesinden elde edilir. Transfer matrisinin P11 elemanı bulunmalıdır. Sınır koşullarını
uygulayarak j. bölgeden geçiş matrisi hesaplanabilir,
ψ j x̃= x̃
j+1
= ψ j+1 x̃= x̃
(3.4)
j+1
dψ j dψ j+1 x̃= x̃ =
j+1
d x̃
d x̃ x̃= x̃ j+1
(3.5)
yukarıdaki süreklilik şartlarından
ψ j = A j eik̃ j ( x̃− x̃ j) + B j e−ik̃ j ( x̃− x̃ j)
ψ j+1 = A j+1 eik̃ j ( x̃− x̃ j+1 ) + B j+1e−ik̃ j ( x̃− x̃ j+1 )
kullanılarak,
A j eik̃ j ( x̃ j+1 − x̃ j) + B j e−ik̃ j( x̃ j+1 − x̃ j ) = A j+1 + B j+1
A j eik̃ j ( x̃ j+1 − x̃ j) − B j e−ik̃ j ( x̃ j+1− x̃ j ) =
k̃ j+1
k̃ j
(A j+1 + B j+1 )
(3.6)
(3.7)
ifadeleri elde edilir. (3.6) ve (3.7) toplanırsa;
ik̃ j L̃ j
2A j e






k̃ j+1 
k̃ j+1 
 + B j+1 1 −

= A j+1 1 +
k̃ j
k̃ j
elde edilir. Burada L̃ j = x̃ j+1 − x̃ j dir. (3.6)’dan (3.7) çıkarılıra;
−ik̃ j L̃ j
2B j e
bulunur. İki bölge arasında
ilişkisi yazılırsa,






k̃ j+1 
k̃ j+1 
 + B j+1 1 +

= A j+1 1 −
k̃ j
k̃ j



 A
 A 
 j+1
 j 
 = p j 

B j+1
Bj




  1 + k̃ j+1 e−ik̃ j L̃ j 1 − k̃ j+1 e−ik̃ j L̃ j
1
k̃ j k̃ j p j =  k̃
k̃
j+1
2  1−
1 + k̃j+1 eik̃ j L̃ j
eik̃ j L̃ j
k̃
j
j
30





(3.8)
sonucuna ulaşılır. Sistemin transfer matrisi
P = p1 .p2 . . . pN
elde edilir. Parçacıkların soldan geldiği kabul edilirse BN = 0 olacağından,



 A 
 A
 0 
 N
=
P



B0
0
İletim olasılığı

 
 A   P
 0   11 P12

 = 
B0   P21 P22
T=





  A
  N
 
0




k̃N 1
k̃0 |P11 |2
(3.9)
ifadesinden bulunur.
3.1.1 Elektrik Alan Altındaki Dikdörtgen Çift Bariyer Potansiyeli Probleminin
Airy Fonksiyonu Bazlı Transfer Matris Yöntemi ile Çözümü
Elektrik alan altındaki dikdörtgen çift bariyer potansiyeli Airy fonksiyonu bazlı
transfer matris yöntemi kullanılarak ve uzay küçük parçalara ayrılarak incelenebilir.
Ancak alan altında dikdörtgen çift bariyer yapısı için kesin çözüm olduğundan burada
nümerik yöntemleri test etmek amacıyla ele alınmıştır. Şekil 3.2’de görülen elektrik
alan altında dikdörtgen çift bariyer potansiyeli

















U(x) = 















−eFL1
x < L1 ise
−eF x + VL L1 ≤ x < L2
L2 ≤ x < L3
−eF x
−eF x + VR L3 ≤ x ≤ L4
−eFL4
31
L4 < x ise
Şekil 3.2 Elektrik alan altındaki dikdörtgen çift bariyer potansiyeli.
şeklindedir. Burada F dış elektrik alan ve e elektronun yüküdür. Zamandan bağımsız
Schrödinger dalga denklemi;
−
her bölge için çözülmelidir.
cinsiden x̃ =
x
a∗0
~2 d 2
ψ + U(x)ψ = E(x)ψ
2m∗ dx2
(3.10)
Eşitlik (3.10)’de uzunluklar a∗0 etkin Bohr yarıçapı
olarak, enerjiler E ∗H etkin Hartree enerjisi cinsinden Ũ =
U
∗
EH
olarak
ölçeklenebilir. Boyutsuz Hamiltonyen;
H̃ = −
elde edilir.
1.
ve 5.
1 d2
+ Ũ
2 d x̃2
(3.11)
bölgelerde potansiyel sabit olduğundan bu bölgeler için
Schrödinger dalga denklemi Ṽ1 = −F̃ L̃1 , Ṽ5 = −F̃ L̃4 olmak üzere,
−
1 d 2 ψ1;5
+ Ṽ1;5 ψ1;5 = Ẽψ1;5
2 d x̃2
şeklindedir. Bu bölgelerde Ẽ > Ṽ1;5 olduğu kabul edilirse;
d 2 ψ1;5
+ 2(Ẽ − Ṽ1;5 )ψ1;5 = 0
d x̃2
32
k̃L,R =
q
2(Ẽ − Ṽ1;5 ) olmak üzere;
d 2 ψ1;5
+ k̃2L,R ψ1;5 = 0
d x̃2
(3.12)
ψ1;5 = A1;5 eik̃L,R x̃ + B1;5 e−ik̃L,R x̃
(3.13)
diferansiyel denklemi çözülürse;
sonucuna ulaşılır. Ara bölgelerde L̃1 ≤ x̃ ≤ L̃4 aralığı için, F̃ =
eFa∗0
∗
EH
boyutsuz alan
parametresi olmak üzere, Ũ( x̃) = −F̃ x̃ + Ṽ( x̃) potansiyel terimi boyutsuz Schrödinger
dalga denkleminde yerine yazılırsa
d2ψ
− [−2(F̃ x̃ + Ẽ − Ṽ( x̃))]ψ = 0
d x̃2
(3.14)
z = −2F̃ x̃ − 2Ẽ + 2Ṽ( x̃) ve α = ( 21F̃ )2/3 olmak üzere; Airy diferansiyel denklemi elde
edilir ve çözümü (Weisstein, 2015);
ψ = C1 Ai[αz] + C2 Bi[αz]
(3.15)
şeklindedir. Burada Ai[αz] ve Bi[αz] lineer bağımsız Airy fonksiyonlarıdır. Böylece
her bölge için dalga fonksiyonları (Şekil 3.3):
ψ1 = A1 eik̃L x̃ + B1 e−ik̃L x̃
(3.16)
ψ2 = A2 Ai [αz( x̃)] + B2 Bi [αz( x̃)]
(3.17)
ψ3 = A3 Ai [αz( x̃)] + B3 Bi [αz( x̃)]
(3.18)
ψ4 = A4 Ai [αz( x̃)] + B4 Bi [αz( x̃)]
(3.19)
ψ5 = A5 eik̃R x̃ + B5 e−ik̃R x̃
(3.20)
olarak elde edilir. Transfer matrisi yöntemiyle iletim katsayısını belirlemek için,
süreklilik koşulları yazılmalıdır.
Airy fonksiyonlarının hangi sınırdaki değerinin
kullandığının bilinmesi açısından, engel sınırının solundaki Airy fonksiyonu için
33
Şekil 3.3 Her bir bölgedeki çözümler.
Ai(αz< ) engel sınırının sağındaki Airy fonksiyonu için Ai(αz> ) kullanılacaktır. Süreklilik
şartları:
ψ j ( x̃< ) = ψ j+1 ( x̃> )
(3.21)
dψ j ( x̃< ) dψ j+1 ( x̃> )
=
d x̃
d x̃
(3.22)
şeklindedir. Transfer matrisi sistemin en solundaki ve en sağındaki dalga fonksiyonları
genlikleri arasındaki ilişkiyi kurar, bu ilişki,



 A
 A 
Y
 5
 1 
=
M
j



B5
B1
j=1,...4




(3.23)
ve M = M1 .M2 .M3 .M4 olmak üzere


 

  A 
 A   M
M
12 
 1   11
  5 
 = 



M21 M22   B5 
B1
|
{z
}
M
34
(3.24)
şeklindedir. Geçen akım yoğunluğunun gelen akım yoğunluğuna oranı iletim katsayısını
verir. Parçacıkların soldan geldiği kabul edilirse B5 = 0 olacağından iletim katsayısı
T=
k̃R |A5 |2
k̃L |A1 |2
ifadesinden elde edilir. Transfer matrisinin M11 elemanı bulunmalıdır.
Her bölgedeki z = −2F̃ x̃−2Ẽ +2Ṽ( x̃) ifadesi z2 = −2F̃ x̃−2Ẽ +2ṼL , z3 = −2F̃ x̃−2Ẽ,
z4 = −2F̃ x̃ − 2Ẽ + 2ṼR olarak yazılmıştır. Sınırlarda süreklilik koşullarını uygulayarak
transfer matrisi inşa edilecektir. Dalga fonksiyonu ve onun birinci türevinin süreklilik
şartları her bir bölge ara yüzü için yazılır ise,
A1 eik̃L L̃1 + B1 e−ik̃L L̃1 = A2 Ai(αz>2 ) + B2 Bi(αz>2 )
(3.25)
A1 ik̃L eik̃L L̃1 − B1 ik̃L e−ik̃L L̃1 = A2 Ai′ (αz>2 )αz′2 + B2 Bi′ (αz>2 )αz′2
(3.26)
A2 Ai(αz<2 ) + B2 Bi(αz<2 ) = A3 Ai(αz>3 ) + B3 Bi(αz>3 )
(3.27)
A2 Ai′ (αz<2 )αz′2 + B2 Bi′ (αz<2 )αz′2 = A3 Ai′ (αz>3 )αz′3 + B3 Bi′ (αz>3 )αz′3
A3 Ai(αz<3 ) + B3 Bi(αz<3 ) = A4 Ai(αz>4 ) + B4 Bi(αz>4 )
A3 Ai′ (αz<3 )αz′3 + B3 Bi′ (αz<3 )αz′3 = A4 Ai′ (αz>4 )αz′4 + B4 Bi′ (αz>4 )αz′4
(3.28)
(3.29)
(3.30)
A4 Ai(αz<4 ) + B4 Bi(αz<4 ) = A5 eik̃R L̃4 + B5 e−ik̃R L̃4
(3.31)
A4 Ai′ (αz<4 )αz′4 + B4 Bi′ (αz<4 )αz′4 = A5 ik̃R eik̃R L̃4 − B5 ik̃R e−ik̃R L̃4
(3.32)
eşitlikleri elde edilir. İlk olarak birinci ve ikinci bölge ara yüzü (L̃1 noktası) transfer
matrisini bulmak için,

 


 A  
  A 
 1  
  2 

 = 
 

B1
B2 
|{z}
M1
35
(3.25) ve (3.26) toplanıp A1 yalnız bırakılırsa;


!
!
 e−ik̃L L̃1


 e−ik̃L L̃1
1
1
>
>
′
>
′
′
>
′
A1 = A2 
Ai(αz2 ) +
Bi(αz2 ) +
Ai (αz2 )αz2  + B2 
Bi (αz2 )αz2 
2
2
ik̃L
ik̃L
(3.33)
(3.25)’ten (3.26) çıkarılıp B1 yalnız bırakılırsa;


!
!
 eik̃L L̃1


 eik̃L L̃1
1
1
>
′
>
>
′
>
′
′
Ai(αz2 ) −
Ai (αz2 )αz2  + B2 
Bi(αz2 ) −
Bi (αz2 )αz2 
B1 = A2 
2
2
ik̃L
ik̃L
(3.34)
elde edilir. İlk ara yüz için transfer matrisi,



M1 = 

yazılabilir.
e−ik̃L L̃1
2
eik̃L L̃1
2
Ai(αz>2 ) +
Ai(αz>2 ) −
αz′2 ′
Ai (αz>2 )
ik̃L
αz′2 ′
>)
Ai
(αz
2
ik̃L
e−ik̃L L̃1
2
eik̃L L̃1
2
Bi(αz>2 ) +
Bi(αz>2 ) −





αz′2 ′
Bi (αz>2 )
ik̃L
αz′2 ′
>)
Bi
(αz
2
ik̃L
(3.35)
(3.27) ve (3.28)’e bakılırsa A2 ve B2 ’yi yalnız bırakmak için Airy
fonksiyonlarının Wronskiyan determinantı olan Ai(x)Bi′ (x) − Ai′ (x)Bi(x) =
1
π
özelliği
kullanılabilir (Polyanin ve Manzhirov, 2006). Bu özellikten yararlanarak; yani (3.27),
Bi′ (αz<2 ) ve (3.28), Bi(αz<2 ) ile çarpılıp elde edilen iki ifade birbirinden çıkartılırsa
A2 Bi′ (αz<2 )Ai(αz<2 ) + B2 Bi′ (αz<2 )Bi(αz<2 ) = A3 Bi′ (αz<2 )Ai(αz>3 ) + B3 Bi′ (αz<2 )Bi(αz>3 )
(3.36)
A2 Bi(αz<2 )Ai′ (αz<2 )αz′2 + B2 Bi(αz<2 )Bi′ (αz<2 )αz′2 = A3 Bi(αz<2 )Ai′ (αz>3 )αz′3 + B3 Bi(αz<2 )Bi′ (αz>3 )αz′3
(3.37)
h
i
h
i
⇒ A2 Bi′ (αz>2 )Ai(αz>2 ) − Bi(αz>2 )Ai′ (αz>2 ) +B2 Bi′ (αz<2 )Bi(αz<2 ) − Bi(αz<2 )Bi′ (αz<2 )
|
{z
}
|
{z
}
0
1/π
=
#
#
"
z′3
z′3
<
′
>
<
′
>
′
>
>
′
<
<
A3 Bi (αz2 )Ai(αz3 ) − ′ Bi(αz2 )Ai (αz3 ) + B3 Bi (αz2 )Bi(αz3 ) − ′ Bi(αz2 )Bi (αz3 )
z2
z2
"
sonucuna ulaşılır. (3.27)’yi Ai′ (αz<2 ) ve (3.28)’i Ai(αz<2 ) ile çarpıp elde edilen ifadeler
birbirinden çıkartılırsa
A2 Ai′ (αz<2 )Ai(αz<2 ) + B2 Ai′ (αz<2 )Bi(αz<2 ) = A3 Ai′ (αz<2 )Ai(αz>3 ) + B3 Ai′ (αz<2 )Bi(αz>3 )
(3.38)
A2 Ai(αz<2 )Ai′ (αz<2 )αz′2 + B2 Ai(αz>2 )Bi′ (αz>2 )αz′2 = A3 Ai(αz>2 )Ai′ (αz>3 )αz′3 + B3 Ai(αz>2 )Bi′ (αz>3 )αz′3
(3.39)
36
h
h
i
i
⇒ A2 Ai(αz>2 )Ai′ (αz>2 ) − Ai′ (αz>2 )Ai(αz>2 ) +B2 Ai(αz<2 )Bi′ (αz<2 ) − Ai′ (αz<2 )Bi(αz<2 )
|
{z
}
|
{z
}
0
=
1/π
" ′
#
#
z′3
z3
<
′
>
′
<
>
<
′
>
′
<
>
A3 ′ Ai(αz2 )Ai (αz3 ) − Ai (αz2 )Ai(αz3 ) + B3 ′ Ai(αz2 )Bi (αz3 ) − Ai (αz2 )Bi(αz3 )
z2
z2
"

 


 A  
  A 
 2  
  3 

 = 
 

B2
B3 
|{z}
M2
z′3 = z′2 olduğundan;



M2 = π 

i h
i 
Bi′ (αz<2 )Ai(αz>3 ) − Bi(αz<2 )Ai′ (αz>3 )
Bi′ (αz<2 )Bi(αz>3 ) − Bi(αz<2 )Bi′ (αz>3 ) 
h
i h
i 
Ai(αz<2 )Ai′ (αz>3 ) − Ai′ (αz<2 )Ai(αz>3 )
Ai(αz<2 )Bi′ (αz>3 ) − Ai′ (αz<2 )Bi(αz>3 ) 
(3.40)
h
matrisi elde edilir. (3.29), Bi′ (αz<3 ) ve (3.30), Bi(αz<3 ) ile çarpılıp elde edilen sonuçlar
birbirinden çıkartılırsa;
h
i
h
i
⇒ A3 Bi′ (αz>3 )Ai(αz>3 ) − Bi(αz>3 )Ai′ (αz>3 ) +B3 Bi′ (αz<3 )Bi(αz<3 ) − Bi(αz<3 )Bi′ (αz<3 )
|
{z
}
|
{z
}
0
1/π
=
#
#
"
z′4
z′4
<
′
>
<
′
>
′
<
>
′
<
>
A4 Bi (αz3 )Ai(αz4 ) − ′ Bi(αz3 )Ai (αz4 ) + B4 Bi (αz3 )Bi(αz4 ) − ′ Bi(αz3 )Bi (αz4 )
z3
z3
"
elde edilir. (3.29), Ai′ (αz<3 ) ve (3.30), Ai(αz<3 ) ile çarpılıp bu ifadeler birbirinden
çıkartılırsa;
h
h
i
i
⇒ A3 −Ai′ (αz>3 )Ai(αz>3 ) + Ai(αz>3 )Ai′ (αz>3 ) +B3 −Ai′ (αz<3 )Bi(αz<3 ) + Ai(αz<3 )Bi′ (αz<3 )
|
{z
}
|
{z
}
0
=
1/π
#
#
" ′
z′4
z4
<
′
<
′
<
>
<
′
>
′
<
>
A4 ′ Ai(αz3 )Ai (αz4 ) − Ai (αz3 )Ai(αz4 ) + B4 ′ Ai(αz3 )Bi (αz4 ) − Ai (αz3 )Bi(αz4 )
z3
z3
"
elde edilir ve



M3 = π 

i h
i 
Bi′ (αz<3 )Bi(αz>4 ) − Bi(αz<3 )Bi′ (αz>4 ) 
Bi′ (αz<3 )Ai(αz>4 ) − Bi(αz<3 )Ai′ (αz>4 )
h
i h
i 
<
′
>
′
<
>
<
′
>
′
<
>
Ai(αz3 )Ai (αz4 ) − Ai (αz3 )Ai(αz4 )
Ai(αz3 )Bi (αz4 ) − Ai (αz3 )Bi(αz4 )
(3.41)
h
matrisi yazılabilir. (3.31), Ai′ (αz<4 ) ve (3.32), Ai(αz<4 ) ile çarpılıp benzer işlemler
37
yapılarak A4 ;
i
h
h
i
⇒ A4 Bi′ (αz>4 )Ai(αz>4 ) − Bi(αz>4 )Ai′ (αz>4 ) +B4 Bi′ (αz<4 )Bi(αz<4 ) − Bi(αz<4 )Bi′ (αz<4 )
|
{z
}
|
{z
}
0
1/π
=
"
A5 eik̃R L̃4
!#
!#
"
ik̃R
ik̃R
<
<
′
<
−ik̃R L̃4
′
<
Bi (αz4 ) − ′ Bi(αz4 ) + B5 e
Bi (αz4 ) + ′ Bi(αz4 )
αz4
αz4
(3.42)
(3.31), Bi′ (αz<4 ) ve (3.32) , Bi(αz<4 ) ile çarpılıp benzer işlemler yapılarak B4 yanlız
bırakılırsa;
h
i
h
i
⇒ A4 −Ai′ (αz<34 )Ai(αz<4 ) + Ai(αz<4 )Ai′ (αz<4 ) +B4 −Ai′ (αz<4 )Bi(αz<3 ) + Ai(αz<4 )Bi′ (αz<4 )
|
{z
}
|
{z
}
1/π
0
=
"
A5 eik̃R L̃4
!#
!#
"
ik̃R
ik̃R
<
′
<
<
′
<
−ik̃R L̃4
Ai(αz4 ) − Ai (αz4 ) + B5 e
− ′ Ai(αz4 ) − Ai (αz4 )
αz′4
αz4
(3.43)
M4 matrisi;

 eik̃R L̃4 Bi′ (αz< ) − ik̃R′ Bi(αz< )
−ik̃R L̃4 Bi′ (αz< ) + ik̃R Bi(αz< )
e
′

4
4
αz4
4
αz4
4
M4 = π 
i
k̃
i
k̃
 eik̃R L̃4 R′ Ai(αz< ) − Ai′ (αz< ) e−ik̃R L̃4 − R′ Ai(αz< ) − Ai′ (αz< )
αz
4
4
αz
4
4
4
4





(3.44)
olarak elde edilir. Bu dört matris çarpılarak transfer matrisi elde edilir.
M = M 1 M 2 M 3 M4

 M
 11 M12
M = 
 M
21 M22
Matris çarpım işlemi yapılarak, iletim katsayısı
T=
k̃R 1
k̃L |M11 |2
ifadesinden analitik olarak elde edilir.
38




(3.45)
3.2 Açık Kuantum Sistemlerinin Sonlu Farklar Yöntemi ile Ayrıklaştırılarak
Denge-Dışı Green Fonksiyonu Yöntemi ile İncelenmesi
Açık sistemlerde aygıt içi saçılmalar söz konusu olduğunda (Poisson denklemi ile
öz uyumlu hesap gereklidir) açık sistemlerin incelenmesinde daha gerçekçi hesaplamalar
NEGF ile yapılabilmektedir (TMM ile aygıt içi saçılmalar ele alınamamaktadır).
Kontak etkilerini tarif eden öz enerji terimleri de ayrıklaştırma tekniğine göre farklı
formlar almaktadır.
Bu bölümde aygıt içi saçılmanın olmadığı balistik taşınım
üzerinde durulacaktır. Belli bir potansiyele sahip kuantum sistemi, örnek olarak
Şekil 3.4’de şematik olarak verilen, rezonant tünelleme diyotu olarak adlandırılan çift
bariyer potansiyeli problemi incelenecektir. Problem uzayı sonlu farklar yöntemi ile
ayrıklaştırarak denge-dışı Green fonksiyonları yöntemi ile çözülecektir.
Şekil 3.4 Aygıt yapısı ve ayrıklaştırılmış uzay.
Bir boyutlu sistemi tanımlayan Schrödinger dalga denklemi
−
~2 d 2
ψ + U(x)ψ = E(x)ψ
2m∗ dx2
39
(3.46)
şeklindedir. Boyutsuz Hamiltonyen,
H̃ = −
1 d2
+ Ũ
2 d x̃2
(3.47)
merkezi sonlu farklar yöntemi kullanılırsa,
t˜0 =
1
2(∆ x̃)2
(3.48)
!
1 d2
+ Ũn ψn
H̃ψn = −
2 d x̃2
(3.49)
1 ψn+1 − 2ψn + ψn−1
+ Ũn ψn = H̃ψn
2
(∆ x̃)2
(3.50)
1
(ψn+1 − 2ψn + ψn−1 ) + Ũn ψn = H̃ψn
2(∆ x̃)2
(3.51)
−
−
d 2 ψn ψn+1 − 2ψn + ψn−1
=
d x̃2
(∆ x̃)2
olmak üzere
(2t˜0 + Ũn )ψn − t˜0 ψn+1 − t˜0 ψn−1 = H̃ψn
(3.52)
elde edilir. İlgilenilen bölgeye ait Hamiltonyen matrisini oluşturmak amacıyla, n = 1
için,
H̃d ψ1 = 2t˜0 + Ũ1 ψ1 − t˜0 ψ2
n = 2 için,
H̃d ψ2 = 2t˜0 + Ũ2 ψ2 − t˜0 ψ3 − t˜0 ψ1
n = 3 için,
H̃d ψ3 = 2t˜0 + Ũ3 ψ3 − t˜0 ψ4 − t˜0 ψ2
n = 4 için,
H̃d ψ4 = 2t˜0 + Ũ4 ψ4 − t˜0 ψ5 − t˜0 ψ3
n = 5 için,
H̃d ψ5 = 2t˜0 + Ũ5 ψ5 − t˜0 ψ6 − t˜0 ψ4
.
40
.
.
n = N için,
H̃d ψN = 2t˜0 + Ũ N ψN − t˜0 ψN−1
elde edilir. İlgilenilen bölgeye ait Hamiltonyenin matris formu aşağıdaki gibidir.

 2t˜0 + Ũ1
−t˜0
0
0
0 0
.
0

 −t˜
2t˜0 + Ũ2
−t˜0
0
0 0
.
.
0


0
−t˜0
2t˜0 + Ũ3
−t˜0
0 0
.
.



0
0
−t˜0
2t˜0 + Ũ4 −t˜0 0
.
.
[H̃d ]{ψ} = 

.
.
.
.
.
.
.
.



.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
. −t˜0 2t˜0 + Ũ N−1
−t˜0


0
.
.
.
.
.
−t˜0
2t˜0 + Ũ N

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ψ1 

ψ2 

ψ3 

ψ4 

ψ5 


. 


. 


ψN
Bu Hamiltonyen kapalı sistem Hamiltonyenidir.
Açık sınır koşulları,
H̃ψ1 = 2t˜0 + Ũ1 ψ1 − t˜0 ψ2 − t˜0 ψ0
(3.53)
H̃ψN = 2t˜0 + Ũ N ψN − t˜0 ψN+1 − t˜0 ψN−1
(3.54)
Şekil 3.4’de verilen ayrık uzaydan görüldüğü gibi altı çizili terimler ilgilenilen
bölgenin dışında kalan terimlerdir. Bu terimleri ilgilenilen bölge dalga fonksiyonu
cinsinden yazarak açık sistemleri incelemede kullanılacak olan NEGF formalizmi
oluşturulacaktır. İlgilenilen bölgenin kontak ile etkileşmesi dahil edilmek istendiğinde,
aygıta dış ortamdan gelen, yansıyan ve geçen düzlem dalgalar olduğu kabul edilir.
Eşitlik (3.52)’den 1. nokta için;
Ẽψ1 = (2t˜0 + Ũ1 )ψ1 − t˜0 ψ0 − t˜0 ψ2
(3.55)
Sistemin solundaki dalga fonksiyonu ψ( x̃) = eik̃ x̃ +re−ik̃ x̃ olduğundan, süreklilik şartı
41
gereği ara bölgede dalga fonksiyonları eşit olmalıdır 1. nokta için dalga fonksiyonu
ψ( x̃ = 0) = ψ1 = 1+r
(3.56)
ve 0. nokta için dalga fonksiyonu
ψ( x̃ = −∆ x̃) = ψ0 = e−ik̃∆ x̃ +reik̃∆ x̃
(3.57)
ψ0 = ψ1 eik̃∆ x̃ −(eik̃∆ x̃ −e−ik̃∆ x̃ )
(3.58)
kullanılarak,
elde edilir. Bu ifade (3.55)’te yerine yazılırsa
(Ẽ −2t˜0 − Ũ1 )ψ1 + t˜0 ψ2 +t0 eik̃∆ x̃ ψ1 = t˜0 (eik̃∆ x̃ −e−ik̃∆ x̃ )
(3.59)
ifadesine ulaşılır.1 noktasında H̃d ψ1 = 2t˜0 + Ũ1 ψ1 − t˜0 ψ2 olduğundan
(Ẽ − H̃d + t˜0 eik̃∆ x̃ )ψ1 = t˜0 (eik̃∆ x̃ −e−ik̃∆ x̃ )
(3.60)
elde edilir ΣL (1, 1) = −t˜0 eik̃∆ x̃ , S = t˜0 (eik̃∆ x̃ −e−ik̃∆ x̃ ) olarak isimlendirilir. Bu ifadeler
sırasıyla öz enerji ve genişleme terimleri olarak bilinir.
Eşitlik (3.52)’den N. nokta için;
ẼψN = (2t˜0 + Ũ N )ψN − t˜0 ψN−1 − t˜0 ψN+1
(3.61)
yazılabilir. N. noktada dalga fonksiyonu
ψ( x̃ = (N −1)∆ x̃) = ψN = teik̃(N−1)∆ x̃
(3.62)
kullanılırsa ψN = teik̃N∆ x̃ e−ik̃∆ x̃ ve
t = ψN e−ik̃N∆ x̃ eik̃∆ x̃
42
(3.63)
elde edilir. (N+1). nokta için dalga fonksiyonu
ψ( x̃ = N∆ x̃) = ψN+1 = teik̃N∆ x̃
(3.64)
şeklindedir, (3.63)’teki t ifadesi (3.64) eşitliğinde yerine yazılırsa
ψN+1 = ψN eik̃∆ x̃
(3.65)
ifadesine ulaşılır. Bu ifade (3.61)’de yerine yazılırsa,
ẼψN = (2t˜0 + Ũ N )ψN − t˜0 ψN−1 − t˜0 eik̃∆ x̃ ψN
(3.66)
elde edilir. H̃d ψN = 2t˜0 + Ũ N ψN − t˜0 ψN−1 olduğundan;
ẼψN = H̃d ψN − t˜0 eik̃∆ x̃ ψN
(3.67)
sonucuna ulaşılır. Burada ΣR (N, N) = −t˜0 eik̃∆ x̃ olarak kısaltılır ve öz-enerji terimi
olarak adlandırılır. Sınır noktaları için ifadeleri elde ettikten sonra,



 2t˜0 + Ũ 1 − t˜0 eik̃∆x̃
−t˜0
0
0
0
0
.
0




˜
˜
˜
−
t
2
t
+
Ũ
−
t
0
0
0
.
.


0
0
2
0




0
−t˜0
2t˜0 + Ũ 3
−t˜0
0
0
.
.




˜
˜
˜


0
0
−t0
2t0 + Ũ 4 −t0 0
.
.
[EI]− 


.
.
.
.
.
.
.
.






.
.
.
.
.
.
.
.




˜
˜
.
.
.
.
.
−
t
2
t
+
Ũ
−
t˜0
0
0
N−1




0
.
.
.
.
.
−t˜0
2t˜0 + Ũ N − t˜0 eik̃∆x̃
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ψ1   t˜0 (eik̃∆x̃ −e−ik̃∆x̃ )
 
ψ2  
0
 


ψ3  
0
 
 
ψ4  
0
 = 
 
ψ5  
0
 




.  
.
 
.  
.
 
 
ψN
0



















matris formunda yazılabilir. Burada [I] birim matris olmak üzere daha kompakt
formda ise
E[I]−[H̃d ]−[ΣL ]−[ΣR ] {ψ} = {S }
olarak ifade edilebilir. Öz-enerji terimlerinin matris formda yazılışı
43

 −t˜0 eik̃∆ x̃



0
[ΣL ] = 

0


...


 ...
0 0 ... 




 ...
0 0 ... 
 , [ΣR ] = 


0 0 ... 
 ...



...
... ... ...
... ...
...
0 0
0
0 0
0
0 0 −t˜0 eik̃∆ x̃





 şeklindedir. Ayrıca



−1
{ψ} = E[I]−[H̃d ]−[ΣL ]−[ΣR ] {S }
ve Green fonksiyonu;
−1
[G(Ẽ)] = Ẽ[I]−[H̃d ]−[ΣL ]−[ΣR ]
(3.68)
matris formda,

−1
 Ẽ−2t˜0 −Ũ1 −ΣL (1, 1)

˜
t
0
0
0
0
.
0
0




˜
˜
˜

t
0
0
0
.
.
Ẽ−2
t
−
Ũ
t
0
0
2
0




t˜0
00
.
.
Ẽ−2t˜0 −Ũ3
0
t˜0





.
.
Ẽ−2t˜0 −Ũ4 t˜0 0
0
0
t˜0


[G(Ẽ)] = 


.
.
.
.
. .
.
.






.
.
.
.
. .
.
.





˜
˜
˜
t0
.
.
.
.
. t0 Ẽ−2t0 −Ũ N−1




Ẽ−2t˜0 −Ũ N −ΣR (N, N)
0
.
.
.
. .
t˜0
şeklinde yazılır. Böylece, Schrödinger denkleminin formal çözümü
{ψ} = [G]{S }
ifadesinden elde edilir. Dispersiyon bağıntısını elde etmek için FDM ile ayrıklaştırılmış
Hamiltonyen ifadesinde örgü aralığı ∆ x̃ olan örgünün periyodikliğini içeren ψN+1 =
eik̃(N+1)∆ x̃ = ψN eik̃∆ x̃ ifadesi yerine yazılırsa,
Ũn +2t˜0 [1−cos(k̃∆ x̃)] = Ẽ
ifadesi elde edilir, 1. nokta için
Ẽ = Ũ1 +2t˜0 (1−cos(k̃1 ∆ x̃))
44
(3.69)
ve N. nokta için
Ẽ = Ũ N +2t˜0 (1−cos(k̃N ∆ x̃))
dispersiyon bağıntıları elde edilir.
Bu ifadelerden ilgilenilen bölgenin 1. ve N.
noktalarındaki dalga sayıları
k̃1 ∆ x̃ = cos−1 (1−
Ẽ−Ũ1
)
2t˜0
k̃N ∆ x̃ = cos−1 (1−
Ẽ−Ũ N
)
2t˜0
bulunabilir.
Spektral fonksiyon;
[A] = i [G]−[G]†
eşitliği ile ayrıca sağ ve sol kontağa ait spektral fonksiyon [AL ] = [G][ΓL ][G]† ,
[AR ] = [G][ΓR ][G]† ifadeleriyle bulunabilir, burada [ΓL ] = i [ΣL ]−[ΣL ]† , [ΓR ] =
i [ΣR ]−[ΣR ]† genişleme matrisleridir.
Durumlar yoğunluğu;
1
DOS (Ẽ) = − Im(T r[G]).
π
(3.70)
i
h
T (Ẽ) = T r ΓLGΓRG†
(3.71)
İletim katsayısı;
ifadeleriyle elde edilir.
3.2.1 Açık Kuantum Sistemlerinin Yüksek Mertebeden Sonlu Farklar Yöntemi ile
Ayrıklaştırılarak Denge-Dışı Green Fonksiyonu Yöntemi ile İncelenmesi
Sonlu farklar yönteminde hesaba dahil edilen nokta sayısı arttırılarak, sonuçların
hassasiyeti arttırılabilir. İkinci en yakın komşu noktaları dahil edilmiş merkezi sonlu
45
farklar yöntemi kullanılarak ikinci mertebe türev ifadesi;
d 2 ψn −ψn+2 +16ψn+1 −30ψn +16ψn−1 −ψn−2
=
d x̃2
12(∆ x̃)2
şeklindedir. Böylece,
ifadesi t˜04 =
1
24(∆ x̃)2
!
1 d2
H̃ψn = −
+Ũn ψn
2 d x̃2
(3.72)
(3.73)
olmak üzere
(30t˜04 +Ũn )ψn +t˜04 ψn+2 −16t˜04 ψn+1 −16t˜04 ψn−1 +t˜04 ψn−2 = H̃ψn
(3.74)
elde edilir. İlgilenilen bölgeye ait Hamiltonyen matrisini oluşturmak amacıyla; n = 1
için,
H̃d ψ1 = 30t˜04 +Ũ1 ψ1 +t˜04 ψ3 −16t˜04 ψ2
n = 2 için,
H̃d ψ2 = 30t˜04 +Ũ2 ψ2 +t˜04 ψ4 −16t˜04 ψ3 −16t˜04 ψ1
n = 3 için,
H̃d ψ3 = 30t˜04 +Ũ3 ψ3 +t˜04 ψ5 −16t˜04 ψ4 −16t˜04 ψ2 +t˜04 ψ1
n = 4 için,
H̃d ψ4 = 30t˜04 +Ũ4 ψ4 +t˜04 ψ6 −16t˜04 ψ5 −16t˜04 ψ3 +t˜04 ψ2
n = 5 için,
H̃d ψ5 = 30t˜04 +Ũ5 ψ5 +t˜04 ψ7 −16t˜04 ψ6 −16t˜04 ψ4 +t˜04 ψ3
.
.
.
46
n = N için
H̃d ψN = 30t˜04 +Ũ N ψN −16t˜04 ψN−1 +t˜04 ψN−2
elde edilir. İlgilenilen bölgeye ait Hamiltonyenin matris formu aşağıdaki gibidir.


 30t˜04 + Ũ 1 −16t˜04

t˜04
0
0
0
.
0
0




 −16t˜04 30t˜04 + Ũ 2 −16t˜04
t˜04
0
0
.
.
.





t˜04
−16t˜04 30t˜04 + Ũ 3 −16t˜04
t˜04
0
.
.
.






0
t˜04
−16t˜04 30t˜04 + Ũ 4 −16t˜04
t˜04
.
.
.


[H̃ ]{ψ} = 
.
.
.
.
.
.
.
.
.

 d




.
.
.
.
.
.
.
.
.




.
.
.
.
t˜04
−16t˜04 30t˜04 + Ũ N−2
−16t˜04
t˜04






˜
˜
˜
.
.
.
.
.
t04
−16t04
30t04 + Ũ N−1
−16t˜04




0
0
.
.
.
.
t˜04
−16t˜04
30t˜04 + Ũ N

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



ψ1 

ψ2 

ψ3 

ψ4 


ψ5 

. 

. 


ψN
Bu Hamiltonyen kapalı sistem hamiltonyenidir. Açık sınır koşulları
H̃ψ1 = 30t˜04 + Ũ1 ψ1 + t˜04 ψ3 −16t˜04 ψ2 −16t˜04 ψ0 + t˜04 ψ−1
H̃ψ2 = 30t˜04 + Ũ1 ψ2 + t˜04 ψ4 −16t˜04 ψ3 −16t˜04 ψ1 + t˜04 ψ0
H̃ψN = 30t˜04 + Ũ N ψN + t˜04 ψN+2 −16t˜04 ψN+1 −16t˜04 ψN−1 + t˜04 ψN−2
H̃ψN−1 = 30t˜04 + Ũ N ψN−1 + t˜04 ψN+1 −16t˜04 ψN −16t˜04 ψN−2 + t˜04 ψN−3
altı çizili terimler ilgilenilen bölgenin dışında kalan terimlerdir. Bu terimleri ilgilenilen
bölge dalga fonksiyonu cinsinden yazarak açık sistemleri incelemede kullanılan
NEGF formalizmi oluşturulacaktır.
Geliştirilmiş FDM kullanılarak elde edilmiş
ayrıklaştırılmış Schrödinger denklemi (3.74) ifadesinde, 1. ve 2. nokta için;
Ẽψ1 = 30t˜04 + Ũ1 ψ1 + t˜04 ψ3 −16t˜04 ψ2 −16t˜04 ψ0 + t˜04 ψ−1
(3.75)
Ẽψ2 = 30t˜04 + Ũ1 ψ2 + t˜04 ψ4 −16t˜04 ψ3 −16t˜04 ψ1 + t˜04 ψ0
(3.76)
eşitlikleri elde edilir. İlgilenilen sistemin solundaki dalga fonksiyonu ψ( x̃) = eik x̃ +
re−ik x̃ şeklindedir. Ara bölgede dalga fonksiyonları süreklilik şartı gereği eşit olmalıdır,
n = 1 noktasında dalga foksiyonu
ψ( x̃ = 0) = ψ1 = 1+r
47
(3.77)
n = 0 noktasında dalga foksiyonu
ψ(x = −∆ x̃) = ψ0 = e−ik̃∆ x̃ +reik̃∆ x̃
(3.78)
n = −1 noktasında dalga foksiyonu
ψ(x = −2∆ x̃) = ψ−1 = e−2ik̃∆ x̃ +re2ik̃∆ x̃
(3.79)
şeklindedir ve bu dalga fonksiyonlarından
ψ0 = ψ1 eik̃∆ x̃ −(eik̃∆ x̃ −e−ik̃∆ x̃ )
(3.80)
ψ−1 = ψ1 e2ik̃∆ x̃ −(e2ik̃∆ x̃ −e−2ik̃∆ x̃ )
(3.81)
elde edilir. Elde edilen bu ifadeler (3.75) ve (3.76) eşitliklerinde yerine yazılırsa,
Ẽψ1 = (30t˜04 +U1 )ψ1 − t˜04 (e2ik̃∆ x̃ −e−2ik̃∆ x̃ )+ t˜04 e2ik̃∆ x̃ ψ1 +16t˜04 eik̃∆ x̃ −e−ik̃∆ x̃
− 16t˜04 (eik̃∆ x̃ )ψ1 −16t˜04 ψ2 + t˜04 ψ3
(3.82)
Ẽψ2 = 30t˜04 + Ũ1 ψ2 + t˜04 ψ4 −16t˜04 ψ3 −16t˜04 ψ1 + t˜04 (ψ1 eik̃∆ x̃ −(eik̃∆ x̃ −e−ik̃∆ x̃ )) (3.83)
sonucuna ulaşılır. Burada, ΣL (1, 1) = −16t˜04 eik̃∆ x̃ + t˜04 e2ik̃∆ x̃ , ΣL (2, 1) = t˜04 eik̃∆ x̃ özenerji terimleri ve S (1, 1) = 16t˜04(eik̃∆ x̃ −e−ik̃∆ x̃ )− t˜04 (e2ik̃∆ x̃ −e−2ik̃∆ x̃ ), S (2, 1) = −t˜04 (eik̃∆ x̃ −
e−ik̃∆ x̃ ) genişleme terimleri olarak bilinir. (3.74) ifadesi N. ve (N-1). nokta için
ẼψN = 30t˜04 + Ũ N ψN + t˜04 ψN+2 −16t˜04 ψN+1 −16t˜04 ψN−1 + t˜04 ψN−2
(3.84)
ẼψN−1 = 30t˜04 + Ũ N−1 ψN−1 + t˜04 ψN+1 −16t˜04 ψN −16t˜04 ψN−2 + t˜04 ψN−3
(3.85)
şeklindedir. N. noktada dalga fonksiyonu
ψ( x̃ = (N −1)∆ x̃) = ψN = teik̃(N−1)∆ x̃
(3.86)
t = ψN e−ik̃N∆ x̃ eik̃∆ x̃
(3.87)
kullanılarak
48
elde edilir. (N+1). noktada dalga foksiyonu ψ( x̃ = N∆ x̃) = ψN+1 = teik̃N∆ x̃ ifadesinden
ψN+1 = ψN eik̃∆ x̃
(3.88)
ve (N+2). noktada dalga foksiyonu
ψN+2 = ψN e2ik̃∆ x̃
(3.89)
elde edilir. Buradaki öz-enerji fonksiyonları ΣR (N, N) = −16t˜04 eik̃∆ x̃ + t˜04 e2ik̃∆ x̃ , ΣR (N −
1, N) = t˜04 eik̃∆ x̃ olarak karşımıza çıkar. Sitem için elde edilen ifadeler matris formda,


 30t˜04 + Ũ 1 +ΣL (1, 1) −16t˜04

t˜04
0
0
0
.
0
0




t˜04
0
0
.
.
.
 −16t˜04 +ΣL (2, 1) 30t˜04 + Ũ 2 −16t˜04





˜
˜
˜
˜
˜
t04
−16t04 2t04 + Ũ 3 −16t04
t04
0
.
.
.






0
t˜04
−16t˜04 30t˜04 + Ũ 4 −16t˜04
t˜04
.
.
.


[EI]− 
.
.
.
.
.
.
.
.
.






.
.
.
.
.
.
.
.
.




.
.
.
.
t˜04
−16t˜04 30t˜04 + Ũ N−1
−16t˜04
t˜04






.
.
.
.
.
t˜04
−16t˜04
30t˜04 + Ũ N−1 −16t˜04 +ΣR (N −1, N)




0
.
.
.
.
.
t˜04
−16t˜04
30t˜04 + Ũ N +ΣR (N, N)

 −16t˜04 (eik̃∆x̃ −e−ik̃∆x̃ )+ t˜04 (e2ik̃∆x̃ −e−2ik̃∆x̃ )


t˜04 (eik̃∆x̃ −e−ik̃∆x̃



0



0
= 

0



.


.


0



















şeklinde yazılabilir. Burada I birim matristir. Sonuç olarak
E[I]−[H̃d ]−[ΣL ]−[ΣR ] {ψ} = {S }
ifadesine ulaşılır. Öz-enerji terimlerinin matris formda yazılışı

 −16t˜04 eik̃∆ x̃ + t˜04 e2ik̃∆ x̃



t˜04 eik̃∆ x̃

[ΣL ] = 

0


...


 ...
0 0 ... 




 ...
0 0 ... 
 [ΣR ] = 


0 0 ... 
 ...



... ... ...
...
49
... ...
...
0 0
0
0 0
t˜04 eik̃∆ x̃
0 0 −16t˜04 eik̃∆ x̃ + t˜04 e2ik̃∆ x̃










 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



ψ1 

ψ2 

ψ3 


ψ4 


ψ5 

. 

. 


ψN
şeklindedir.
−1
{ψ} = E[I]−[H̃d ]−[ΣL ]−[ΣR ] {S }
Green fonksiyonu;
−1
[G(Ẽ)] = Ẽ[I]−[H̃d ]−[ΣL ]−[ΣR ]
(3.90)

−1
 Ẽ−30t˜04 −Ũ 1 −ΣL (1, 1)

16t˜04
−t˜04
0
0
0
.
.
0




16t˜04 −ΣL (2, 1)
Ẽ−30t˜04 −Ũ 2
16t˜04
−t˜04
0
0
.
.
.





−t˜04
16t˜04
Ẽ−30t˜04 −Ũ 3
16t˜04
−t˜04 0
.
.
.




˜
˜
˜
˜
˜

0
−
t
16
t
Ẽ−30
t
−
Ũ
16
t
−
t
0
.
.

04
04
04
4
04
04




[G(Ẽ)] = 
.
.
.
.
.
.
.
.
.





.
.
.
.
.
.
.
.
.




.
.
.
.
−t˜04 16t˜04 Ẽ−30t˜04 −Ũ N−1
16t˜04
−t˜04





˜
˜
˜
˜
.
.
.
.
. −t04
16t04
Ẽ−30t04 −Ũ N−1 16t04 −ΣR (N−1, N) 




0
.
.
.
.
.
−t˜04
16t˜04
Ẽ−30t˜04 −Ũ N −ΣR (N, N)
Böylece dalga fonksiyonu
{ψ} = [G]{S }
ifadesinden bulunur. Green fonksiyonu hesaplandıktan sonra diğer fiziksel nicelikler
kolaylıkla hesaplanabilir. Üçüncü en yakın komşuluklarda sisteme dahil edilerek daha
hassas sonuçlar elde edilebilir.
3.3 Açık Kuantum Sistemlerinin Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Ayrıklaştırılarak
Denge-Dışı Green Fonksiyonu Yöntemi ile İncelenmesi
Bu alt bölümde çift bariyer yapılarında iletim katsayısı ve durumlar yoğunluğu
hesabının nasıl yapılacağı anlatılacaktır. Etkin Bohr yarıçapı ve etkin Hartree enerjisi
kullanılarak ölçeklendirilmiş Schrödinger eşitliği kullanılacaktır.
(Ẽ−H̃)Ψ( x̃) = 0
(3.91)
Ψ( x̃) yerine deneme dalga fonksiyonu ψ( x̃) kullanılarak Schrödinger denklemi yazılacak
ve Galerkin yöntemi ile çözülecektir. Galerkin Yönteminde temel ilke, Schrödinger
denklemini ψ( x̃) deneme dalga fonksiyonu ile yazmak, denklemi soldan dalga fonksiyonun
kompleks eşleniği ile çarpmak ve ilgili uzayda integral alarak Galerkiyanı minimum
50
kılan ifadeyi oluşturmaktır. Galerkian,
G=
Zx̃R
!
1 d2
+Ũ( x̃)) ψ( x̃) d x̃
ψ ( x̃) Ẽ−(−
2 d x̃2
∗
(3.92)
x̃L
ifadesi
G=
Zx̃R
∗
ψ ( x̃)Ẽψ( x̃)d x̃−
Zx̃R
!
1 d2
ψ ( x̃) −
+Ũ( x̃) ψ( x̃)d x̃
2 d x̃2
∗
(3.93)
x̃L
x̃L
olarak yazılabilir. Eşitlik (3.93)’teki ikinci mertebe türev ifadesini içeren terime kısmi
integrasyon uygulanır ise,
G=
−
Zx̃R
x̃L
Zx̃R
∗
ψ ( x̃)Ẽψ( x̃)d x̃−
Zx̃R
1 dψ∗ ( x̃) dψ( x̃)
d x̃
2 d x̃
d x̃
x̃L
1
dψ( x̃) x̃R
ψ∗ ( x̃)Ũ( x̃)ψ( x̃)d x̃+ ψ∗ ( x̃)
| .
2
d x̃ x̃L
(3.94)
x̃L
ifadesi elde edilir. Sistemin sınırlarında, aşağıda verilen düzlem dalga fonksiyonu
ve türevini içeren sınır şartları kullanılarak bulunur. Böylece
ik̃L ψ ( x̃L ),
dψ
d x̃ | x̃= x̃R = ik̃R ψ ( x̃R )
G=
Zx̃R
x̃L
∗
dψ
d x̃ | x̃= x̃L =
2ik̃L eik̃L x̃L −
kullanılarak;
ψ ( x̃)Ẽψ( x̃)d x̃−
Zx̃R
!
1 dψ∗ ( x̃) dψ( x̃) ∗
+ψ ( x̃)Ũ( x̃)ψ( x̃) d x̃
2 d x̃
d x̃
x̃L
1
1
+ ψ∗ ( x̃R )ik̃R ψ ( x̃R )+ ψ∗ ( x̃L )ik̃L ψ ( x̃L )−ψ∗ ( x̃L )ik̃L eik̃L x̃L .
2
2
(3.95)
ifadesi elde edilir. Fiziksel bölge global elemanlara bölünür, böylece dalga fonksiyonu
baz fonksiyonlarının kesikli tam bir seti olarak yazılabilir. Ni ( x̃) ilgili uzayı x̃ = ( x̃L , x̃R )
geren baz fonksiyonlarıdır ve Ni ( x̃ j ) = δi j şartını sağlarlar. Burada x j j. nodu temsil
etmektedir (Pask, Klein, Sterne, ve Fong, 2001).
ψ( x̃) =
Nntn
X
i=1
51
ψi Ni ( x̃)
(3.96)
burada Nntn kesikleştirilmiş çözüm uzayımızdaki toplam nod sayısıdır.
Çözüm
uzayımızdaki tüm nodlar üzerinden dalga fonksiyonun matris temsili aşağıdaki gibi
yazılabilir (Sarikurt, 2013).








N
(
x̃)
1












N
ntn


X


N
(
x̃)

 2
ψ( x̃) =
ψi Ni ( x̃) = ψ1 ψ2 . . .ψNntn · 



.


..




i=1












 NNntn ( x̃) 
burada,
{N( x̃)}T = N1 ( x̃), N2 ( x̃), N3 ( x̃), . . . NNntn ( x̃)
(3.97)
(3.98)
{ψ}T = ψ1 , ψ2 , ψ3 , . . . , ψNntn .
(3.99)
ψ( x̃)† = {ψ}† {N( x̃)}
(3.100)
olarak tanımlanırsa
şeklindedir.
Tablo 3.1 FEM notasyonunda matris gösterimi.
FEM
Matris
Kolon matrisi
Satır matrisi


 ∗∗∗ 


X =  ∗∗∗ 


∗∗∗
 
 ∗ 
 
X =  ∗ 
 
∗ X = ∗∗∗
{{X}}
{X}
{X}T
Varyasyon yöntemini kullanarak G ifadesini minimize eden dalga fonksiyonunu
bulacağız. G integrasyonunu minimize eden dalga fonksiyonu seti sistemin enerjisini
de minimize eder.
∂G
=0
∂{ψ}†
52
" Zx̃R
Zx̃R
1 d{N( x̃)} d{N( x̃)}T
+{N( x̃)}Ũ( x̃){N( x̃)}T )d x̃
Ẽ {N( x̃)}{N( x̃)}T d x̃− (−
2 d x̃
d x̃
x̃L
x̃L
#
ik̃L
T ik̃R
T
+ {N( x̃L )}{N( x̃L )} + {N( x̃R )}{N( x̃R )} {ψ} = {N( x̃L )}ik̃L eik̃L x̃L
(3.101)
2
2
Böylece,
Ẽ{{M}}−({{K}}+{{ΣL }}+{{ΣR }}) {ψ} = {S }
(3.102)
sonucuna ulaşılır. Burada
Zx̃R
{{M}} = {N( x̃)}{N( x̃)}T d x̃
(3.103)
x̃L
{{K}} =
Zx̃R
!
1 d{N( x̃)} d{N( x̃)}T
T
+{N( x̃)}Ũ( x̃){N( x̃)} d x̃
2 d x̃
d x̃
(3.104)
x̃L
{{ΣL }} = −
ik̃L
{N( x̃L )}{N( x̃L )}T
2
(3.105)
{{ΣR }} = −
ik̃R
{N( x̃R )}{N( x̃R )}T
2
(3.106)
{S } = {N( x̃L )}ik̃L eik̃L x̃L
(3.107)
ve
{N( x̃L )}T = 10. . .0
T
{N( x̃R )} = 00. . .1 .
Gecikmeli Green fonksiyonu aşağıdaki ifadeyle hesaplanır.
−1
{{G}} = (Ẽ+iη){{M}}−({{K}}+{{ΣL }}+{{ΣR}})
(3.108)
burada η sonsuz küçük pozitif bir sayıdır.
Eşitlik (3.91)’in formal çözümü {ψ} = {{G}}{S } ifadesiyle elde edilir. Ayrıca bariyere
gelen Ẽ enerjili elektron (yük taşıyıcısı) için {{G}} Eşitlik (3.108)’den hesaplanır.
Green fonksiyonu matrisi hesaplandıktan sonra iletim katsayısı T (Ẽ) ve durumlar
53
yoğunluğu DOS (Ẽ) hesaplanabilir. İletim katsayısı T(Ẽ)
T (Ẽ) = T r {{ΓL }}{{G}}{{ΓR}}{{G}}†
(3.109)
ifadesiyle hesaplanır, ifadedeki
{{ΓL }} = i({{ΣL }}−{{ΣL }}†)
{{ΓR }} = i({{ΣR }}−{{ΣR }}†)
sırasıyla sol ve sağ kontağın genişleme matrisleridir. Son olarak, durumlar yoğunluğu
DOS(Ẽ)
1
DOS (Ẽ) = − Im(T r{{G}}{{M}}).
π
ifadesinden hesaplanır.
54
(3.110)
BÖLÜM DÖRT
VERİLERİN YORUMLANMASI
4.1 Elektrik Alan Altındaki Dikdörtgen Çift Bariyer Potansiyeli
Bu bölümde Şekil 3.2’deki dikdörtgen çift bariyer rezonant tünelleme yapısının
elektrik alan altında iletim katsayısı incelenecektir.
Çalışmada kuyu ve bariyer
bölgelerindeki elektron etkin kütlesinin aynı olduğu (m∗bariyer = m∗kuyu = 0.067m0 ,
m0 serbest elektronun kütlesidir) kabul edilecektir. İlk olarak DÇB yapısında Airy
fonksiyonu bazlı transfer matris metodu ile sonlu farklar ve sonlu elemanlar yöntemi
bazlı denge-dışı Green fonksiyonu yöntemleriyle elde edilen iletim katsayıları
kıyaslanacaktır. Çalışma boyunca FEM ayrıklaştırılmasında global elemandaki nod
sayısı 10 ve toplam nod sayısı 2000 alınmıştır. Şekil 4.1(a) ve Şekil 4.1(b)’de,
farklı yapı parametrelerine sahip DÇB yapılarının düşük (F = 1 kV/cm) ve ara
değerli (F = 20 kV/cm) elektrik alan şiddeti altında iletim katsayısı sunulmuştur.
İletim katsayısında sanki-bağlı enerji seviyelerine karşılık gelen rezonans enerjilerinde
iletimin gerçekleştiği rezonans piki görülmektedir. Her iki şekilde de bu sistem için
kesin çözüm olan AF-TMM yöntemi ile FDM-NEGF ve FEM-NEGF yöntemleri tam
bir uyum sergilemektedir. Bu durum nümerik yöntemin doğruluğunu göstermektedir.
1
1
(a)
AF-TMM
FDM-NEGF
FEM-NEGF
0,8
AF-TMM
FDM-NEGF
FEM-NEGF
(b)
0,8
0,4
100
0,6
0,4
0
−8 −4 0 4 8
x (nm)
0,2
0
0
100
U (meV)
0,6
T (E)
U (meV)
T (E)
200
0,2
WL = LW = WR = 4 nm
VL = VR = 150 meV
F = 1 kV/cm
200
300
400
E (meV)
0
0
100
200
150
50
−50
−10−6−2 2 6 10
x (nm)
VL = VR = 150 meV
F = 20 kV/cm
WL = WR = 4 nm
LW = 10 nm
200
300
400
E (meV)
Şekil 4.1 DÇB yapısında AF-TMM, FDM-NEGF ve FEM-NEGF yöntemleriyle elde edilen iletim
katsayısının gelen elektronun enerjisine göre değişimi (a) WL = LW = WR = 4 nm , VL = VR = 150
meV ve F = 1 kV/cm (b) WL = WR = 4 nm, LW = 10 nm, VL = VR = 150 meV ve F = 20 kV/cm.
55
Elektron iletiminin kuantum mekaniksel simülasyonlarında saçılma ve kontak etkilerinin
yanı sıra daha karmaşık geometrili yapılardaki üstünlüğünden ötürü NEGF yönteminin
kullanılması önemlidir. Bu bölümde kesin çözümle uyumluluğu test edilmiş olan
FEM-NEGF yöntemiyle elde edilen grafikler sunulacaktır.
Elektrik alanın rezonans pikine etkisi Şekil 4.2(a)’da gösterilmektedir.
DÇB
yapısında iletim katsayısının farklı elektrik alan değerleri için grafiği çizilmiştir.
Bariyer kalınlıkları WL = LW = WR = 4 nm ve bariyer yükseklikleri VL = VR = 150 meV
olarak seçilmiştir. Şekil 4.2(a)’da çok düşük elektrik alan değeri için (F = 1 kV/cm)
1
1
(a)
F = 1 kV/cm
F = 30 kV/cm
F = 50 kV/cm
0,8
(b)
VL = VR = 100 meV
VL = VR = 150 meV
VL = VR = 250 meV
0,8
300
100
U (meV)
0,4
T (E)
U (meV)
T (E)
200
0,6
0,6
0,4
0
200
100
0
−8 −4
−8 −4
4
200
300
4
8
0,2
WL = LW = WR = 4 nm
VL = VR = 150 meV
100
0
x (nm)
8
x (nm)
0,2
0
0
0
0
0
400
E (meV)
WL = LW = WR = 4 nm
F = 30 kV/cm
100
200
300
400
E (meV)
Şekil 4.2 DÇB yapısı için iletim katsayısının elektron enerjisi ile değişimi (a) farklı elektrik alanlar için
(b) farklı bariyer yükseklikleri için. Sistem parametreleri olarak WL = LW = WR = 4 nm alınmıştır.
rezonans enerjisinde gelen elektronların tamamının geçtiği görülmektedir. Bu geçiş
elektrik alan şiddeti artıkça düşmektedir. Sabit elektik alanda (F = 30 kV/cm) bariyer
yüksekliklerinin değişiminin iletim katsayısına etkisi Şekil 4.2(b)’de sunulmuştur.
Bariyer yükseklikleri 100−250 meV aralığında değişmektedir.
Beklenildiği gibi
bariyerlerin yükseltilmesiyle elektron kuşatması kuvvetlendiğinden rezonans pikinin
yüksek enerjiye doğru kaydığı ve pik boyu değişmemekle birlikte daha keskin olduğu
görülmektedir.
DÇB
yapısında
bariyerlerde
yükseklik
veya
genişlik
olarak
asimetri
oluşturulduğunda iletimin nasıl etkilendiği Şekil 4.3’te gösterilmektedir. Şekil 4.3(a)
WL = WR = 4 nm, LW = 6 nm, VR = 200 meV ve F = 10 kV/cm iken sol bariyer
yüksekliği 100 ile 150 meV arasında değişmektedir. Şekillerde asimetrinin rezonant
56
1
U (meV)
T (E)
0,8
0,6
VL = 100 meV
VL = 125 meV
VL = 150 meV
200
0,8
100
0,6
−8 −4
0
4
WR = 2 nm
WR = 4 nm
WR = 6 nm
200
0
0,4
(b)
U (meV)
(a)
T (E)
1
0,4
8
100
0
x (nm)
0,2
0
0
−10−6−2 2 6 10
WL = WR = 4 nm
LW = 6 nm
VR = 200 meV
F = 10 kV/cm
100
200
300
x (nm)
0,2
0
0
400
WL = LW = 8 nm
VL = VR = 150 meV
F = 10 kV/cm
200
300
400
100
E (meV)
E (meV)
Şekil 4.3 İletim katsayısının gelen elektron enerjisine göre değişimi (a) yükseklik asimetrisi, sistem
parametreleri VL = 100, 125, 150 meV, VR = 200 meV, WL = WR = 4 nm ve LW = 6 nm alınarak (b)
kalınlık asimetrisi, sistem parametreleri WR = 2, 4, 6 nm, WL = 8 nm ve VL = VR = 150 meV alınarak
oluşturulması durumlarında. Her iki şekilde elektrik alan F = 10 kV/cm dir.
tünellemeyi etkilediği görülmektedir.
Rezonans pik şiddeti asimetri arttıkça
azalmaktadır, ayrıca Şekil 4.3(b)’de bariyer kalınlığı arttıkça ikinci rezonans piki
gözlenmeye başlanmaktadır. Burada şunu da belirtmek gerekir ki hangi bariyerin
asimetrisinin bozulduğunun iletim katsayısına etkisi yoktur.
Şekil 4.4’da kuyu genişlikleri ve bariyer genişliklerinin iletim katsayısına etkisi
gösterilmektedir. Kuyu genişledikçe rezonant tünelleme olayı daha düşük enerjilerde
gerçekleşmekte ve rezonans pik genliği küçülmektedir. Kuyu genişliği LW = 8 nm
1
(a)
1
LW = 4 nm
LW = 6 nm
LW = 8 nm
0,8
(b)
WL = WR = 4 nm
WL = WR = 6 nm
WL = WR = 8 nm
0,8
0,4
100
0
0
0
2
6 10
300
0
x (nm)
0,2
WL = WR = 4 nm
VL = VR = 150 meV
F = 20 kV/cm
200
100
−12−8−4 0 4 8 12
x (nm)
100
0,6
0,4
−10 −6 −2
0,2
U (meV)
0,6
200
T (E)
U (meV)
T (E)
200
0
0
400
E (meV)
VL = VR = 150 meV
F = 20 kV/cm
LW = 6 nm
100
200
300
400
E (meV)
Şekil 4.4 İletim katsayısının gelen elektron enerjisine göre değişimi (a) farklı kuyu genişlikleri LW =
4, 6, 8 nm (b) farklı bariyer kalınlıkları WL = WR = 4, 6, 8 nm için, her iki şekilde VL = VR = 150 meV ve
F = 20 kV/cm alınmıştır.
57
iken ikinci bir rezonans piki meydana gelmektedir. Şekil 4.4(b) sistem parametreleri
LW = 6 nm, VL = VR 150 meV elektrik alan F = 20 kV/cm seçilmiştir. Şekilde
bariyer kalınlıklarının değişimi rezonans pikinin yerinde dikkate değer bir değişime
neden olmadığı bariyer kalınlığı arttıkça rezonans pik şiddetinde azalmanın olduğu
görülmektedir.
Şekil 4.5(a)’da durumlar yoğunluğunun enerjiye göre değişimi, Şekil 4.4(a)’daki
parametreler kullanılarak çizilmiştir. Kuyu genişliği artıkça DOS piki düşük enerjiye
kaymakta ve şiddeti artmaktadır. LW = 8 nm’de ikinci rezonans enerjisinde ikinci
bir DOS piki oluşmaktadır.
Şekil 4.5(b)’de ise Şekil 4.2(b)’deki parametre seti
0,15
0,3
LW = 4 nm
LW = 6 nm
LW = 8 nm
DOS(E) (meV− 1)
DOS(E) (meV− 1)
(a)
0,2
WL = WR = 4 nm
VL = VR = 150 meV
F = 20 kV/cm
0,1
0
0
100
200
E (meV)
300
VL = VR = 100 meV
VL = VR = 150 meV
VL = VR = 250 meV
0,1
0,05
0
0
400
(b)
WL = LW = WR = 4 nm
F = 30 kV/cm
100
200
E (meV)
300
400
Şekil 4.5 Durumlar yoğunluğunun enerjiye göre değişimi (a) farklı kuyu genişlikleri için
Şekil 4.4(a)’daki parametre seti kullanılarak, (b) farklı bariyer yükseklikleri için Şekil 4.2(b)’deki
parametre seti kullanılarak.
kullanılarak DOS çizilmiştir. DOS piki rezonans enerjisinde maksimum olmaktadır.
Bariyer yüksekliği artıkça DOS piki daha yüksek enerjiye kaymakta ve daha keskin
olmaktadır. Bu gözlemler iletim katsayısındaki gözlemlerle birebir uyumludur ve
iletim katsayısında bulunan rezonans enerjisinin yerinin doğruluğunun başka bir
ispatıdır.
58
4.2 Elektrik Alan Altındaki Ters Parabolik Çift Bariyer Potansiyeli
Elektrik alan varlığında ve yokluğunda ters parabolik çift bariyer yapısında elektronik
taşınım TMM yöntemi, FDM-NEGF yöntemi ve FEM-NEGF yöntemiyle incelenmiştir.
Bir boyutlu sistemimizi tanımlayan Schrödinger denklemi aşağıda verilmiştir.
Şekil 4.6 Ters parabolik çift bariyer yapısının şematik gösterimi. Sürekli çizgi elektrik alan yokluğunda,
kesikli çizgi ise elektrik alan varlığında ters parabolik çift bariyer yapısını göstermektedir.
−
~2 d 2
ψ+U(x)ψ = E(x)ψ .
2m∗ dx2
(4.1)
TPÇB yapısının potansiyel enerji profilinin fonksiyonel formu e elektronun yükü ve F
elektrik alan olmak üzere;




−eFL1
x < L1 ise








−eF x−σL (x−xmL )2 +VL L1 ≤ x ≤ L2





U(x) = 
−eF x
L2 < x < L3 ,







−eF x−σR (x−xmR )2 +VR L3 ≤ x ≤ L4







 −eFL
L < x ise
4
4
59
şeklindedir. Burada σL =
xmR =
L3 +L4
2 .
2VL
,
(L1 −xmL )2 +(L2 −xmL )2
σR =
2VR
,
(L3 −xmR )2 +(L4 −xmR )2
xmL =
L1 +L2
2 ,
Sayısal hesaplamalarda kolaylık açısından tezimizde boyutsuz nicelikler
kullanılmıştır. Schrödinger denklemi Eşitlik (4.1) boyutsuz olarak,
−
1 d2ψ
+Ũ( x̃)ψ = Ẽψ ,
2 d x̃2
(4.2)
elde edilir. Burada x̃ ve Ũ boyutsuz niceliklerdir.
Ters parabolik çift bariyer yapısında iletim katsayısı (T (E)) hesaplanacaktır, sistem
boyunca elektron etkin kütlesi 0.067m0 (m0 serbest elektron kütlesi) olarak kabul
edilecektir.
Şekil 4.7’de, elektrik alan yokluğunda potansiyel olarak simetrik TPÇB yapısının
iletim katsayısı hesabı için bariyer yükseklikleri VL = VL = 150 meV, bariyer kalınlıkları
(WL,R ) ve kuyu genişliği (LW ) 5 nm seçilmiştir. Şekil 4.7(a) iletim katsayısı T (E)’nin
TMM, FDM-NEGF ve FEM-NEGF yöntemleri kullanılarak elde edilmiştir. Şekil 4.7(a)
her bir yöntem ile elde edilen sonuçların tüm enerjiler için örtüştüğü görülmektedir.
Elektron taşınımı problemini tam olarak kuantum mekaniksel inceleyebildiğinden
(saçılma mekanizması ve kontak etkileri dahil edilebilir olduğundan) NEGF yöntemi
tercih edilmiştir. Şekillerde iletim katsayısı T (E)’nin rezonanas pikine sahip olduğu
görülmektedir. İletim katsayısındaki ilk pik sanki-bağlı durum enerjisinde rezonant
tünellemeye karşılık gelir ve tam iletim söz konusudur.
Şekil 4.7(b)’de iletim
olasılığının gelen elektronun enerjisine bağlılığı bariyer yükseklikleri aynı iken farklı
kuyu genişlikleri için değişimi görülmektedir. Şekil 4.7(a) içerisinde çizilen TPÇB
yapısının potansiyel profili sunulan her şekil için kullanılan parametrelere göre
çizilmiştir.
Kuyu genişliğinin artması rezonans pikinin keskinleşmesine ve pikin daha düşük
enerjilere kaymasına neden olmaktadır. Keskin rezonans piki kuyudaki kuşatmanın
kuvvetli olduğu anlamına gelir. Kuyu genişliği belli bir değerin üzerine çıktığında
ikinci yarı bağlı durumun varlığından ötürü ikinci rezonans piki görülmektedir. Bu
bulgular rezonans enerjisinin kuyu genişliğine hassas bir şekilde bağlı olduğunu
60
göstermektedir.
1
(a)
1
TMM
FDM-NEGF
FEM-NEGF
0,8
(b)
LW =2, 5 nm
LW =5, 0 nm
LW =7, 5 nm
0,8
50
0,4
0,4
−8 −4 0 4 8
x (nm)
VL = VR = 150 meV
F = 0 kV/cm
WL = LW = WR = 5 nm
0,2
0
0
150
0,6
U(meV )
0,6
T (E)
U (meV)
T (E)
150
100
200
E (meV)
300
0,2
0
0
400
100
100
50
0
−10 −5 0 5 10
x(nm)
WL = WR =5 nm
VL = VR =150 meV
F =0 kV/cm
200
300
400
500
E (meV)
Şekil 4.7 (a) Potansiyel olarak simetrik TPÇB yapısında TMM, FDM-NEGF ve FEM-NEGF
yöntemleriyle hesaplanan iletim katsayısının elektron enerjisine göre değişim grafiği.
(b) İletim
katsayısının kuyu genişliğine göre değişimi. Her iki şekilde de sistem parametreleri WL = WR = 5 nm,
VL = VR = 150 meV alınmıştır.
Rezonant tünelleme yapılarında, simetrik yapılar rezonans olayında önemli bir
rol oynar. Düşük elektrik alanlarında simetrinin bozulması rezonans pik şiddetinin
düşmesine sebep olur (Yamamoto ve Miyamoto, 1997). Bu bilginin ışığında, Şekil 4.8’te
asimetrinin etkisi incelenmiştir. Tek bir bariyerin yüksekliği değiştirilerek yükseklik
asimetrisinin etkisi (Şekil 4.8(a)) ve tek bir bariyer kalınlığı değiştirilerek (Şekil 4.8(b))
kalınlık asimetrisinin etkisi incelenmiştir. Bu şekillerde sağ bariyerin yüksekliği
VR = 150 meV ve genişliği WR = 5 nm de sabit tutulmuştur.
Asimetrik TPÇB yapılarında rezonant tünelleme olayında iletim olasılığının birden
küçük olduğu görülmektedir. Ayrıca şunu da belirtmek gerekir, hangi bariyerdeki
simetrinin bozulduğunun rezonans olayı üzerinde etkisi yoktur. Benzer bir gözlem
DÇB yapılarda Ohmukai (Ohmukai, 2003) tarafından bildirilmiştir.
Rezonant tünelleme olayının incelenmesinde dış elektrik alanın etkisinin hesaba
katılması gerçekçi aygıt simülasyonları için kritik öneme sahiptir (Miyamoto ve
Yamamoto, 1998; Allen ve Richardson, 1994).
Elektrik alanın varlığı rezonant
tünelleme yapılarındaki simetriyi bozar. Birçok çalışmada iletim katsayısı değerinin
simetrik DÇB yapısında elektrik alan artışı ile küçüldüğü rapor edilmiştir. Fakat
61
1
(a)
1
VL = 125 meV
(b)
WL = 1, 0 nm
WL = 2, 5 nm
VL = 100 meV
0,8
0,8
150
0,4
50
0
−8
0,2
0,6
100
T (E)
T (E)
U (meV)
0,6
100
100
50
0,4
−4
0
4
0
−6
200
300
E (meV)
400
−2
2
x (nm)
VL = VR = 150 meV
F = 0 kV/cm
LW = WR = 5 nm
8
0,2
VR = 150 meV x (nm)
F = 0 kV/cm
WL = LW = WR = 5 nm
0
0
U (meV)
150
0
0
500
100
200
300
E (meV)
6 8
400
500
Şekil 4.8 İletim katsayısının elektron enerjisine göre değişimi (a) yükseklik asimetrisi ve (b) kalınlık
asimetrisi.
optimum tünelleme elektrik alan altındaki asimetrik yapılarda da gözlenmektedir
(Yamamoto, Y. Senshu, ve Tanaka, 1998). Elektrik alanın T (E)’ye etkisi Şekil 4.9’te
gösterilmiştir. Şekilde kuyu genişliği LW = 5 nm, bariyer genişlikleri ve yükseklikleri
sırasıyla WL = WR = 5 nm ve VL = VR = 150 meV alınmıştır.
1
1
(a)
F=0 kV/cm
F=30 kV/cm
F=50 kV/cm
0,8
(b)
VL = VR =100 meV
VL = VR =150 meV
VL = VR = 250 meV
0,8
0,4
U (meV)
T (E)
0,6
0,6
100
T (E)
U (meV)
200
0
0,4
0 4 8
x (nm)
WL = LW = WR = 5 nm
VL = VR = 150 meV
0
0
100
200
300
E (meV)
400
100
0
−8 −4
−8 −4
0,2
200
0,2
0 4
x (nm)
8
WL = LW = WR = 5 nm
F = 30 kV/cm
0
0
500
100
200
300
E (meV)
400
500
Şekil 4.9 İletim katsayısının (a) VL = VR = 150 meV’de elektrik alana ve (b) F = 30 kV/cm’de bariyer
yüksekliklerine göre değişimi. Her iki şekilde de WL = LW = WR = 5 nm seçilmiştir.
Şekil 4.9(a)’da iletim katsayısının elektrik alanın üç farklı değeri için (F = 0, 30, 50
kV/cm) çizimi yer almaktadır. Bariyer potansiyeli elektrik alan uygulandığında artık
sabit olmadığından rezonans enerjisinde iletim olasılığı birden küçüktür. Elektrik
alanın artışıyla rezonans pik genliği azalmaktadır. Şekil 4.9(b) bariyer yüksekliğinin
62
elektrik alanın sabit değeri için iletim olasılığına etkisini göstermektedir. Bariyer
yüksekliğinin artmasıyla kuyudaki kuşatma daha kuvvetli olur, bunun sonucu olarak
rezonans pikinde kayma ve daha keskin rezonans piki gözlemlenir. Hatta elektrik
alanın varlığına rağmen, iletim katsayısının yüksek enerjiye kaydığı ve geçiş olasılığının
arttığı görülmektedir.
Dikdörtgen ve üçgen çift bariyer yapılarında da benzer
karakteristik görülmektedir (Miyamoto ve Yamamoto, 1998; Schulz ve da Silva, 1988).
Elektrik alan altında (F = 30 kV/cm) yapı parametrelerinin etkisini incelemek
amacıyla Şekil 4.10’te sabit bariyer yükseklikleri VL = VR = 150 meV için iletim
katsayısının bariyer genişlikleri ve kuyu genişlikleri ile değişimi çizilmiştir.
1
1
(a)
WL = WR = 2, 5 nm
WL = WR = 5, 0 nm
WL = WR = 7, 5 nm
0,8
(b)
LW =2,5 nm
LW =5,0 nm
LW =7,5 nm
0,8
0,4
0,2
0
0
U (meV)
150
0,6
T (E)
T (E)
0,6
U (meV)
200
100
0,4
0
100
50
0
−9 −6 −3 0 3 6 9
x (nm)
−12−8 −4 0 4 8 12
x (nm)
VL = VR = 150 meV
LW = 5 nm
F = 30 kV/cm
100
200
300
400
500
E (meV)
0,2
0
0
100
WL = WR = 5 nm
VL = VR = 150 meV
F = 30 kV/cm
200
300
400
E (meV)
500
Şekil 4.10 İletim katsayısının (a) bariyer genişlikleri ve (b) kuyu genişlikleri ile değişimi. Her iki şekilde
de VL = VR = 150 meV ve elektrik alan F = 30 kV/cm seçilmiştir.
Şekil 4.10(a), 5 nm kuyu genişliği için çizilmiştir, bariyer genişlikleri arttıkça
rezonans pik genliği küçülürken daha düşük enerjilere kaymaktadır. İletim olasılığının
farklı kuyu genişliklerinde aldığı değerler Şekil 4.10(b)’de verilmiştir. Kuyu genişliği
arttıkça rezonans piki daralmakta, genliği küçülmekte ve düşük enerjilere doğru
kaymaktadır. Bu şekilden anlaşılan diğer önemli bir özellikte geniş kuyularda elektrik
alanın etkisinin daha fazla olduğudur.
Şekil 4.11(a), enerjinin fonksiyonu olarak DOS farklı elektrik alan değerleri
için Şekil 4.9(a)’daki sistem parametreleri kullanılarak çizilmiştir. Elektrik alanın
artmasıyla bağıl olarak daha keskin ve yüksek genlikli DOS gözlemlenmekte ayrıca
63
0,2
(a)
(b)
F = 0 kV/cm
F = 30 kV/cm
F = 50 kV/cm
0,08
0,15
DOS(E) (meV− 1)
DOS(E) (meV− 1)
0,1
0,06
0,04
0,02
0
0
VL = VR = 150 meV
WL = LW = VR = 5 nm
100
200
E (meV)
300
LW = 2, 5 nm
LW = 5, 0 nm
LW = 7, 5 nm
0,1
WL = WR = 5 nm
VL = VR = 150 meV
F = 0 kV/cm
0,05
0
0
400
100
200
E (meV)
300
400
Şekil 4.11 TPÇB yapısında enerjinin fonksiyonu olarak durumlar yoğunluğu. (a) Değişen elektrik alan
değerleri için Şekil 4.9(a)’daki parametreler kullanılarak ve (b) elektrik alan yokluğunda farklı kuyu
genişliklerine göre Şekil 4.7(b)’deki parametreler kullanılarak çizilmiştir.
çok azda olsa düşük enerjiye kayma görülmektedir. Durumlar yoğunluğunun elektrik
alan yokluğunda kuyu genişliğine bağlılığı Şekil 4.11(b)’de çizilmiştir. Kuyu genişliği
artırıldıkça enerjide kızıla kayma ve belli değerden sonra ikinci rezonans pikinin
varlığı görülmektedir. Bu gözlemler, yapı parametresi olarak elektrik alanın DOS’u
değiştirdiğini ortaya koymaktadır ve bu durum iletim katsayısı sonuçları ile tutarlıdır.
Potansiyel profilinin yumuşaklık etkisini incelemek için, TPÇB ve DÇB yapıların
için iletim katsayıları Şekil 4.12’da kıyaslanmıştır.
Her iki şekilde de sistem
parametreleri olarak WL = WR = 5 nm, VL = VR = 200 meV ve elektrik alan 20 kV/cm
alınmıştır.
Şekil 4.12(a) dikdörtgen bariyerlerde, parabolik bariyerlere göre rezonans piki daha
yüksek enerjilerde ve daha keskindir (keskin pik uzun yaşam süresine karşılık gelir
ve çeşitli aygıt uygulamalarında kullanılır). Bunun yanında her iki pikin genlikleri
arasında dikkate değer bir fark gözlenmemektedir. Kuyu genişliğinin iletim olasılığına
etkisini incelemek için Şekil 4.12(b) çizilmiştir.
Şekil incelenecek olursa, kuyu
genişliğindeki artış rezonans enerjisinin konumunu düşük enerjiye kaydırmakta ve
rezonans pik genliği küçülmektedir. Bunun yanında önemli bir özellik, ikinci bir
rezonans pikinin meydana gelmesidir. Elektrik alanın dikdörtgen yapıda daha baskın
olduğu şekle bakılarak söylenebilir. Bu durumda, yapı parametrelerinin ve elektrik
64
1
(a)
DÇB
TPÇB
0,8
200
100
0
4
8
x (nm)
WL = LW = WR = 5 nm
VL = VR = 200 meV
F = 20 kV/cm
0,2
100
200
300
E (meV)
400
0,2
0
0
500
100
0
−8 −4 0 4 8
x (nm)
WL = WR = 5 nm
LW = 7.5 nm
VL = VR = 200 meV
F = 20 kV/cm
0,4
0
−8 −4
0
0
0,6
T (E)
U (meV)
T (E)
0,4
DÇB
TPÇB
0,8
200
0,6
(b)
U (meV)
1
100
200
300
E (meV)
400
500
Şekil 4.12 TPÇB ve DÇB yapılarında iletim katsayılarının iki farklı kuyu genişlikleri (a) LW = 5 nm
ve (b) LW = 7.5 nm karşılaştırılması. Elektrik alan 20 kV/cm, sistem parametreleri WL = WR = 5 nm,
VL = VR = 200 meV alınmıştır.
alanın doğru ayarlanmasıyla istenilen iletim olasılığı elde edilebilir.
Son olarak her iki yapının daha kapsamlı kıyaslamasını yapmak için sistem
parametrelerinin değişimine karşı rezonans enerjisinin değişimini içeren grafikler
sunulmuştur. Elektrik alanın değişiminin rezonans enerjisinde iletim olasılığı (T (E res ))
yani rezonans pik şiddetine etkisi Şekil 4.13(a)’da verilmiştir. Her iki yapı içinde
1
85
DÇB
TPÇB
(a)
Eres (meV)
T (Eres)
DÇB
TPÇB
80
0,8
0,6
WL = LW = WR = 4 nm
VL = VR = 150 meV
0,4
0,2
0
(b)
75
70
WL = LW = WR = 4 nm
VL = VR = 150 meV
65
20
40
60
F (kV/cm)
80
60
0
100
20
40
60
F (kV/cm)
80
Şekil 4.13 (a) Rezonans pik genliğinin (b) rezonans enerjisinin elektrik alanla değişimi.
100
Sistem
parametreleri WL = LW = WR = 4 nm ve VL = VR = 150 meV olarak seçilmiştir.
elektrik alan artıkça iletim olasılığının azaldığı görülmektedir. Fakat belli bir elektrik
alan değerinden sonra pik şiddetleri arasında farklılıklar ortaya çıkmaktadır. Rezonans
enerjisinin E res yerinin elektrik alanla değişim grafiği Şekil 4.13(b)’de çizilmiştir.
65
DÇB yapısında elektrik alan artıkça rezonans enerjisinin yeri düşük enerjiye doğru
kaymaktadır. TPÇB yapısında ise elektrik alan arttıkça rezonans enerjisinin yeri
yüksek elektrik alan değerlerine kadar sabit kalmakta ve belirli bir değerden sonra
yüksek enerjiye doğru kaymaktadır. Buradan DÇB yapısının elektrik alana karşı daha
duyarlı olduğu söylenebilir.
Şekil 4.14(a) sabit elektrik alan (F = 20 kV/cm) değerinde kuyu genişliğinin
birinci rezonans enerjisine etkisi ve Şekil 4.14(b) sabit elektrik alan (F = 30 kV/cm )
değerinde bariyer yüksekliğinin rezonans enerjisine etkisi sunulmuştur. Şekil 4.14(a)’da
160
160
(a)
DÇB
TPÇB
140
140
80
60
100
80
60
40
WL = LW = WR = 4 nm
F = 30 kV/cm
40
20
0
0
DÇB
TPÇB
120
VL = VR = 150 meV
WL = WR = 4 nm
F = 20 kV/cm
Eres (meV)
Eres (meV)
120
100
(b)
2
4
6
8
LW (nm)
10
20
12
100
200
300
400
VL = VR (meV)
500
Şekil 4.14 Rezonans enerjisinin (a) sistem parametreleri WL = WR = 4 nm, VL = VR = 150 meV ve
F = 20 kV/cm alınarak kuyu genişliği ile (b) sistem parametreleri WL = LW = WR = 4 nm ve F = 30
kV/cm alınarak bariyer yüksekliği ile değişimi.
kuyu genişliği arttıkça her iki yapıda da rezonans enerjisinin eksponansiyel olarak
azaldığı görülmektedir. Ayrıca rezonans enerjisinin TPÇB yapısında DÇB yapısına
göre daha düşük enerjide olduğu gözlenmektedir. Buradan rezonans enerjisinin kuyu
genişliği LW ’ye hassas bir şekilde bağlı olduğu söylenebilir. Şekil 4.14(b)’de kuyu ve
bariyer genişlikleri 4 nm alınmıştır. Bariyer yükseklikleri arttıkça rezonans enerjisinin
değeri de monoton olarak artmaktadır. Bariyer yüksekliği artıkça dikdörtgen yapının
rezonans enerjisindeki artış parabolik yapıya oranla daha fazladır.
66
BÖLÜM BEŞ
SONUÇLAR
Bu tez çalışmasında elektrik alan altındaki dikdörtgen ve ters parabolik çift
bariyer yapılarında balistik taşınım incelenmiştir. İletim katsayısının kuyu genişliği,
bariyer genişliği ve yüksekliklerine bağlılığı analiz edilmiştir. Dikdörtgen çift bariyer
rezonans tünelleme yapısı için kesin çözüm olan Airy fonksiyonu bazlı transfer
matrisi yöntemi nümerik yöntemlerimizi test için kullanılmıştır. Kullanılan Airy
fonksiyonu bazlı transfer matris yöntemi, sonlu farklar yöntemi bazlı denge-dışı
Green fonksiyonu ve sonlu elemanlar yöntemi bazlı denge-dışı Green fonksiyonu
yöntemlerinin birbirleriyle tam olarak uyumlu olduğu gösterilmiştir. Elektrik alan
çok zayıf iken rezonans tünelleme enerjisinde gelen tüm parçacıklar tüneller yani
iletim katsayısı bir (1) değerindedir. Simetri bozulduğunda veya elektrik alan şiddeti
simetrik yapıda arttırıldığında iletim olasılığı azalır yani rezonans tünelleme pik şiddeti
düşer. İletim katsayısı ve durumlar yoğunluğu dikdörtgen çift bariyer ve ters parabolik
çift bariyer yapılarında hesaplanmış, iletim katsayısıyla elde edilen rezonans enerji
yerleri durumlar yoğunluğu da hesaplanarak doğrulanmıştır. Dikdörtgen çift bariyer
yapıların elektrik alana parabolik yapılara göre daha duyarlı olduğu gözlemlenmiştir.
Rezonans enerjisinin yeri ve rezonans pik şiddeti yapı parametrelerine kuvvetli bir
şekilde bağlıdır. Nümerik yöntem olarak FEM-NEGF yöntemi kullanılması düzgün
olmayan geometrilerde taşınım karakteristiğinin incelenmesini kolaylaştırır. Sonuç
olarak çift bariyer yapılarında rezonans tünelleme karakteristiği bu parametreler ile
kontrol edilerek kullanışlı aygıt uygulamaları geliştirilebilir.
67
KAYNAKLAR
Allen, S. S. ve Richardson, S. L. (1994). Theoretical investigations of resonant
tunneling in asymmetric multibarrier semiconductor heterostructures in an applied
constant electric field. Physical Review B, 50, 11693–11700.
Assad, F., Ren, Z., Vasileska, D., Datta, S. ve Lundstrom, M. (2000). On the
performance limits for Si MOSFET’s: A theoretical study. IEEE Transactions on
Electron Device Letters, 47, 232–240.
Barnham, K. ve Vvedensky, D. (2001). Low-dimensional semiconductor structures:
fundamentals and device applications. Cambridge: Cambridge University Press.
Bergfield, J. P. ve Ratner, M. A. (2013). Forty years of molecular electronics: Nonequilibrium heat and charge transport at the nanoscale. Physica Status Solidi (b),
250(11), 2249–2266.
Buot, F. A. ve Jensen, K. L. (1990). Lattice weyl-wigner formulation of exact manybody quantum-transport theory and applications to novel solid-state quantum-based
devices. Physical Review B, 42(15), 9429–9457.
Cahay, M., Mclennan, M., Datta, S. ve Lundstrom, M. S. (1987). Importance of space
charge effects in resonant tunneling devices. Physical Review B, 50, 612–614.
Caroli, C., Combescot, R., Nozieres, P. ve Saint-James, D. (1971). Direct calculation
of the tunneling current. Journal of Physics C: Solid State Physics, 4(8), 916–929.
Çakır, D., Otálvaro, D. M. ve Brocks, G. (2014). Magnetoresistance in multilayer
fullerene spin valves: A first-principles study. Physical Review B, 90, 245404.
Chang, L. L., Esaki, L. ve Tsu, R. (1974). Resonant tunneling in semiconductor double
barriers. Applied Physics Letters, s. 593–595.
Chen, S. H., Chen, C. L., Chang, C. R. ve Mahfouzi, F. (2013). Spin-charge conversion
in a multiterminal aharonov-casher ring coupled to precessing ferromagnets:
A charge-conserving floquet nonequilibrium green function approach. Physical
Review B, 87, 045402.
68
Chung, N. L., Jalil, M. B. A. ve Tan, S. G. (2010). The effects of schottky barrier profile
on spin dependent tunneling in a ferromagnet-insulator-semiconductor system.
Journal of Applied Physics, 108(3), 034503.
Damle, P., Ghosh, A. W. ve Datta, S. (2002). First-principles analysis of molecular
conduction using quantum chemistry software. Chemical Physics, 281(2), 171–187.
Datta, S. (1997). Electronic transport in mesoscopic systems. Cambridge: Cambridge
University Press.
Datta, S. (2000). Nanoscale device modeling:
the green’s function method.
Superlattices and Microstructures, 28(4), 253–278.
Datta, S. (2005). Quantum transport: atom to transistor. Cambridge: Cambridge
University Press.
Datta, S., Janes, D., Andres, R., Kubiak, C. ve Reifenberger, R. (1998). Molecular
ribbons. Semiconductor Science and Technology, 13, 1347–1353.
Do, V. N., Dollfus, P. ve Nguyen, V. L. (2006). Transport and noise in resonant
tunneling diode using self-consistent green’s function calculation. Journal of
Applied Physics, 100(9), 093705.
Economou, E. N. (1983). Green’s functions in quantum physics. Springer-Verlag.
Ferry, D. K., Goodnick, S. M. ve Bird, J. (2009). Transport in nanostructures.
Cambridge: Cambridge University Press.
Fischetti, M. V. (1999). Master-equation approach to the study of electronic transport
in small semiconductor devices. Physical Review B, 59(16), 4901–4917.
Frederiksen, T., Paulsson, M., Brandbyge, M. ve Jauho, A. P. (2007). Inelastic transport
theory from first principles: Methodology and application to nanoscale devices.
Physical Review B, 75, 205413.
Frensley, W. R. (1987). Wigner-function model of a resonant-tunneling semiconductor
device. Physical Review B, 36(3), 1570–1580.
69
Fujita, S. (1964). Partial self-energy parts of kadanoff-baym. Physica, 30(4), 848–856.
Gossard, A. C., Brown, W., Allyn, C. L. ve Wiegmann, W. (1982). Molecular beam
epitaxial growth and electrical transport of graded barriers for nonlinear current
conduction. Journal of Vacuum Science Technology, 20(3), 694–700.
Harrison, P. (2010). Quantum wells, wires and dots: theoretical and computational
physics of semiconductor nanostructures. Cambridge: John Wiley & Sons.
Hutton, D. V. (2004). Fundamentals of finite element analysis. New York: McGrawHill.
Intel
(2015).
Intel
14
nm
Technology,
24
aralık
2015.
URL
www.intel.com/content/www/us/en/silicon-innovations/intel-14nm.html.
Jiang, H., Cai, W. ve Tsu, R. (2011). Accuracy of the frensley inflow boundary
condition for wigner equations in simulating resonant tunneling diodes. Journal of
Computational Physics, 230(5), 2031–2044.
Jiang, H., Shao, S., Cai, W. ve Zhang, P. (2008). Boundary treatments in nonequilibrium green’s function (NEGF) methods for quantum transport in nanomosfets. Journal of Computational Physics, 227(13), 6553–6573.
Jonsson, B. ve Eng, S. (1990). Solving the schrodinger equation in arbitrary quantumwell potential profiles using the transfer matrix method. IEEE Journal of Quantum
Electronics, 26(11), 2025–2035.
Kadanoff, L. P. ve Baym, G. (1989). Quantum statistical mechanics: Green’s function
methods in equilibrium and nonequilibrium problems. Addison-Wesley.
Karmakar, R., Biswas, A., Mukherjee, S. ve Deyasi, A. (2011). Calculating
transmission coefficient of double quantum well triple barrier structure having
parabolic geometry using propagation matrix method. International Journal of
Engineering and Advanced Technology (IJEAT), 1(2), 37–41.
Keldysh, L. V. (1965). Diagram technique for nonequilibrium processes. Soviet
Physics Journal of Experimental and Theoretical Physics, 20(4), 1018–1026.
70
Klimeck, G. (2010). Nanoelectronic modeling nanohub demo 2: Rtd simulation with
NEGF. URL https://nanohub.org/resources/8317.
Klimeck, G., Lake, R., Datta, S. ve Bryant, G. W. (1994). Elastic and inelastic
scattering in quantum dots in the coulomb-blockade regime. Physical Review B,
50(8), 5484–5496.
Kluksdahl, N. C., Kriman, A. M., Ferry, D. K. ve Ringhofer, C. (1989). Self-consistent
study of the resonant-tunneling diode. Physical Review B, 39, 7720–7735.
Kruglyak, Y. A. (2013). Non-equilibrium green’s function method in matrix
representation and model transport problems of nanoelectronics. In Proceedings of
the International Conference Nanomaterials : Applications and Properties.
Kubis, T. ve Vogl, P. (2011). Assessment of approximations in nonequilibrium green’s
function theory. Physical Review B, 83, 195304.
Kurniawan, O., Bai, P. ve Li, E. (2009). Ballistic calculation of nonequilibrium green’s
function in nanoscale devices using finite element method. Journal of Physics D:
Applied Physics, 42(10), 105109.
Kwon, Y. W. ve Bang, H. (1997). The finite element method using MATLAB. United
States of America: CRC Press.
Lake, R. ve Datta, S. (1992). Nonequilibrium green’s-function method applied to
double-barrier resonant-tunneling diodes. Physical Review B, 45(12), 6670–6685.
Liu, J., Xu, X. ve Anantram, M. (2014). Role of inelastic electron–phonon scattering
in electron transport through ultra-scaled amorphous phase change material
nanostructures. Journal of Computational Electronics, 13, 620–626.
Lu, Y. ve Guo, J. (2012). Thermal transport in grain boundary of graphene by nonequilibrium green’s function approach. Applied Physics Letters, 101(4), 043112.
Macucci, M., Galick, A. ve Ravaioli, U. (1995). Quasi-three-dimensional green’sfunction simulation of coupled electron waveguides. Physical Review B, 52(7),
5210–5220.
71
Mahapatra, P. K., Panchadhyayee, P., Bhattacharya, S. P. ve Khan, A. (2008). Resonant
tunneling in electrically biased multibarrier systems. Physica B: Condensed Matter,
403(17), 2780–2788.
Mahfouzi, F., Fabian, J., Nagaosa, N. ve Nikolic, B. K. (2012). Charge pumping
by magnetization dynamics in magnetic and semimagnetic tunnel junctions with
interfacial rashba or bulk extrinsic spin-orbit coupling. Physical Review B, 85,
054406.
Markussen, T. ve Brandbyge, A.-P. J. M. (2009). Electron and phonon transport in
silicon nanowires: Atomistic approach to thermoelectric properties. Physical Review
B, 79, 035415.
Martin, P. C. ve Schwinger, J. (1959). Theory of many-particle systems. i. Physical
Review, 115, 1342–1373.
Meir, Y. ve Wingreen, N. S. (1992). Landauer formula for the current through an
interacting electron region. Physical Review Letter, 68, 2512–2515.
Miyamoto, K. ve Yamamoto, H. (1998). Resonant tunneling in asymmetrical doublebarrier structures under an applied electric field. Journal of Applied Physics, 84(1),
311–318.
Mohan, L. R. ve Ramdas, L. (2002). Finite element and boundary element applications
in quantum mechanics. Oxford: Oxford University Press.
Moreau, M., Munteanu, D. ve Autran, J.-L. (2009). Simulation of gate tunneling
current in metal–insulator–metal capacitor with multi layer high-κ dielectric stack
using the non-equilibrium green’s function formalism. Japanese Journal of Applied
Physics, 48(11R), 111409.
Mori, N., Edagawa, T., Kamakura, Y. ve Eaves, L. (2014). Nonequilibrium
green function simulations of graphene-nanoribbon resonant-tunneling transistors.
Japanese Journal of Applied Physics, 53(4S), 04EN04.
72
Nedjalkov, M., Kosina, H., Selberherr, S., Ringhofer, C. ve Ferry, D. K. (2004). Unified
particle approach to wigner-boltzmann transport in small semiconductor devices.
Physical Review B, 70, 115319.
Ng, T. K. (1992). Nonlinear transport in mesoscopic systems. Physical Review Letter,
68, 1018–1021.
Ohmukai, M. (2003). The width ratio of two barriers in resonant tunneling. Modern
Physics Letters B, 17(03), 105–109.
Ohmukai, M. (2005). Triangular double barrier resonant tunneling. Materials Science
and Engineering: B, 116(1), 87–90.
Park, H. H., Jiang, Z., Akkala, A. G., Steiger, S., Povolotskyi, M., Kubis, T. C., Sellier,
J. M. D., Tan, Y., Kim, S., Luisier, M., Agarwal, S., McLennan, M., Klimeck,
G. ve Geng, J. (2008). Resonant tunneling diode simulation with NEGF. URL
https://nanohub.org/resources/5237.
Pask, J. E., Klein, B. M., Sterne, P. A. ve Fong, C. Y. (2001). Finite-element methods
in electronic-structure theory. Computer Physics Communications, 135, 1–34.
Paulsson, M. (2008). Non equilibrium green’s functions for dummies: Introduction to
the one particle negf equations. cond-mat/0210519v2.
Pinaud, O. (2002). Transient simulations of a resonant tunneling diode. Journal of
Applied Physics, 92(4), 1987–1994.
Polizzi, E. ve Abdallah, N. B. (2002). Self-consistent three-dimensional models for
quantum ballistic transport in open systems. Physical Review B, 66, 245301.
Polizzi, E. ve Datta, S. (2003). Multidimensional nanoscale device modeling: the
finite element method applied to the non-equilibrium green’s function formalism. In
Nanotechnology, 2003. IEEE-NANO 2003. 2003 Third IEEE Conference on, vol. 1,
s. 40–43, IEEE.
Polyanin, A. ve Manzhirov, A. (2006). Handbook of mathematics for engineers and
scientists. Taylor & Francis.
73
Rahman, A. ve Lundstrom, M. (2002). A compact scattering model for the nanoscale
double-gate mosfet. IEEE Transactions on Electron Device Letters, 49, 481–489.
Ravaioli, U., Sols, F. ve Kerkhoven, T. (1989). A broad theoretical approach to the
investigation of mesoscopic electron devices. Solid State Electronics, 32, 1371–
1375.
Ren, Z. ve Lundstrom, M. (2000). Simulation of nanoscale mosfets: A scattering
theory interpretation. Superlattices and Microstructures, 27, 177–189.
Samanta, M. P., Tian, W., Datta, S., Henderson, J. I. ve Kubiak, C. P. (1996). Electronic
conduction through organic molecules. Physical Review B, 53(12), R7626–R7629.
Sarikurt, S. (2013). Electronic Structure of Parabolic Confining Quantum Wires with
Rashba and Dresselhaus Spin-Orbit Coupling in a Perpendicular Magnetic Field.
Ph.D. thesis, Dokuz Eylül University, İzmir.
Sato, T., Shizu, K., Kuga, T., Tanaka, K. ve Kaji, H. (2008). Electron-vibration
interactions in carrier-transport material: Vibronic coupling density analysis in
{TPD}. Chemical Physics Letters, 458, 152–156.
Schull, G., Frederiksen, T., Brandbyge, M. ve Berndt, R. (2009). Passing current
through touching molecules. Physical Review Letters, 103, 206803.
Schulz, P. A. ve da Silva, C. E. T. G. (1988). Two step barrier diodes. Applied Physics
Letters, 52(12), 960–962.
Schwinger, J. (1961). Brownian motion of a quantum oscillator. Journal of
Mathematical Physics, 2, 407–432.
Sergueev, N., Sun, Q. F., Guo, H., Wang, B. G. ve Wang, J. (2002). Spin-polarized
transport through a quantum dot: Anderson model with on-site coulomb repulsion.
Physical Review B, 65, 165303.
Shen, W. P. ve Rustgi, M. L. (1993). Two coupled parabolic wells under an electric
field. Journal of Applied Physics, 74(6), 4006–4014.
74
Shifren, L. ve Ferry, D. (2001). Particle monte carlo simulation of wigner function
tunneling. Physics Letters A, 285(3), 217–221.
Shifren, L., Ringhofer, C. ve Ferry, D. K. (2003). A wigner function-based quantum
ensemble monte carlo study of a resonant tunneling diode. IEEE Transactions on
Electron Devices, 50(3), 769–773.
Sols, F., Macucci, M., Ravaioli, U. ve Hess, K. (1989). Theory for a quantum
modulated transistor. Journal of Applied Physics, 66, 3892–3906.
Stokbro, K. ve Smidstrup, S. (2013). Electron transport across a metal-organic
interface: Simulations using nonequilibrium green’s function and density functional
theory. Physical Review B, 88, 075317.
Svizhenko, A., Anantram, M. P., Govindan, T. R., Biegel, B. ve Venugopal, R.
(2002). Two dimensional quantum mechanical modeling of nanotransistors. Journal
of Applied Physics, 91, 2343–2354.
Tsu, R. ve Esaki, L. (1973). Tunneling in a finite superlattice. Applied Physics Letters,
22(11), 562–564.
Vatannia, S. ve Gildenblat, G. (1996). Airy’s functions implementation of the transfermatrix method for resonant tunneling in variably spaced finite superlattices. IEEE
Journal of Quantum Electronics, 32(6), 1093–1105.
Venugopal, R., Ren, Z., Datta, S., Lundstrom, M. S. ve Jovanovic, D. (2002).
Simulating quantum transport in nanoscale transistors real versus mode-space
approaches. Journal of Applied Physics, 92, 3730–3739.
Wang, H., Xu, H. ve Zhang, Y. (2006). A theoretical study of resonant tunneling
characteristics in triangular double-barrier diodes. Physics Letters A, 355(6), 481–
488.
Wang, J. ve Wasige, E. (2012). Self-consistent analysis of the iv characteristics
of resonant tunnelling diodes. International Journal of Terahertz Science and
Technology, 5(4), 153–162.
75
Wang, J. S., Agarwalla, B. K., Li, H. ve Thingna, J. (2014). Nonequilibrium green’s
function method for quantum thermal transport. Frontiers of Physics, 9(6), 673–697.
Weisstein, E. (2015). Airy functions, from mathworld–a wolfram web resource. URL
http://mathworld.wolfram.com/AiryFunctions.html.
Wigner, E. (1932). On the quantum correction for thermodynamic equilibrium.
Physical Review, 40, 749–759.
Winstead, B. ve Ravaioli, U. (2000). Simulation of schottky barrier MOSFET’s with
a coupled quantum injection/monte carlo technique. IEEE Transactions on Electron
Device Letters, 47, 1241–1246.
Xu, Y., Wang, J. S., Duan, W., Gu, B. L. ve Li, B. (2008). Nonequilibrium green’s
function method for phonon-phonon interactions and ballistic-diffusive thermal
transport. Physical Review B, 78(22), 224303.
Yamamoto, H. ve Miyamoto, K. (1997). Resonance condition in asymmetrical
rectangular double-barrier structures with deep well. Physica Status Solidi (b), 200,
89–98.
Yamamoto, H., Y. Senshu, a. K. M. ve Tanaka, S. (1998). Resonance conditions
in asymmetrical rectangular double-barrier structures under dc bias field. Physica
Status Solidi (b), 206(2), 601–610.
Yamamoto, M., Ohtsuki, T. ve Kramer, B. (2005). Spin polarization in a t-shaped
conductor induced by strong rashba spin-orbit coupling. Physical Review B, 72(11),
115321.
Zhang, G. P., Liu, X., Wang, C. Z., Yao, Y. X., Zhang, J. ve Ho, K. M. (2013).
Electronic and spin transport properties of graphene nanoribbon mediated by metal
adatoms a study by the QUAMBO NEGF approach. Journal of Physics: Condensed
Matter, 25(10), 105302.
Zhang, Y.-H., Zhou, K.-G., Xie, K.-F., Zeng, J., Zhang, H.-L. ve Peng, Y.
(2010). Tuning the electronic structure and transport properties of graphene by
76
noncovalent functionalization: effects of organic donor, acceptor and metal atoms.
Nanotechnology, 21(6), 065201.
Zheng, X., Chen, W., Stroscio, M. ve Register, L. F. (2006). Nonequillibrium green’s
function analysis of interwell transport and scattering in monopolar lasers. Physical
Review B, 73, 245304.
Zieliński, T. G. (2012). Introductory course on modelling of multiphysics problems, 5
Ocak 2016. http://bluebox.ippt.pan.pl/ tzielins/lectures.html.
Zienkiewicz, O. C. (2000). The finite element method. Oxford:
Heinemann.
77
Butterworth-