Devreler ve Sistemler

RL ve RC Devreleri

Dinamik Devrelerde Yanıt
◦ Doğal Çözüm & Zorlanmış Çözüm
Yrd. Doç. Dr. Fatih KELEŞ

Birim Basamak Fonksiyonu

Zorlanmış Çözüm ve Tam Çözüm
◦ RL Devreleri
◦ RC Devreleri
2
giriş
giriş
çıkış
v(t)
çıkış
v(t)
geçici hal
çıkış
v(t)
sürekli hal
geçici hal sürekli hal
veya
tömür

v(t)
giriş
v(t)
çıkış





5
tömür
5
y(t) = geçici hal + sürekli hal (kararlı hal)
y(t) = transient + steady-state (continous)
y(t) = homojenin çöz.+ özel çözüm
y(t) = yöz+ yz = ydoğal + yzorlanmış
y(t) = yn + yf = ynatural + yforced
y(t) = doğal çözüm + zorlanmış çözüm = tam çözüm
x(0-)≠0, e(t)=0
x(0-)=0, e(t)≠0
*x(0-): ilk koşullar, e(t): bağımsız kaynaklar
3
4


Önceki kısımda kaynaksız RL ve RC devrelerini incelenmiş
ve özetle “devrenin doğasından kaynaklanan cevap” yani
doğal çözüm ile ilgilenilmişti.



◦ Devrede ilk koşullar vardı (basitçe kaynaklar ve anahtarlama
mantığı vardı) ve ilk koşulların verilebilmesi için kaynaklar
aniden devre dışı bırakılıyordu.

Kaynakların devreye aniden uygulanması ile cevabın nasıl
değiştiği incelenmesi gerekir. Bu kısımda ise,
dc kaynakların aniden devreye uygulanmasıyla devrenin
buna verdiği cevap yani zorlanmış çözüm ele alınacaktır.
Bir kaynağın “sıfır zamanda” aniden uygulanması;
Birim basamak fonksiyonu, ani değişime uygun bir karşılıktır.
Bir anahtarın çalışma mantığı;
Gerçek bir anahtarlama işleminin matematiksel modelidir.
→
◦ Tüm elektronik aygıtlar başlatılır, bir kısmı defalarca açılır
kapatılır..
◦ Dc motorun akımı, mikroişlemcilerde komutların yürütülmesi
için gerekli olan kare dalgalar, bilgisayarların çalışma mantığı,
senkronizasyon sistemleri, haberleşme ve radar sistemleri gibi
örnekler..
5
→
6
1
Genel
Devre
Genel
Devre
Genel
Devre
Genel
Devre
Genel
Devre
örnek
7

Bir dc kaynağın RL devresine aniden uygulanması
8
Çıkış girişe benzemeye zorlanıyor.
Kaynak
(giriş)
Yanıt
(çıkış)
Değişkenlere ayrılıp
integral alınırsa
t<0 için i(t)=0
i(0 -)=i(0+)=i(0)
t=0’da i=0 olur.
endüktans akımı
ya da
kondansatör gerilimi
yumuşak geçişli,
ani değişmez!
Bu terim, kaynaksız yanıta
benzeyen bir fonksiyonel biçime
sahiptir fakat büyüklüğü
zorlama fonksiyonuna bağlıdır.
Tam çözüm, doğal ve zorlanmış olmak üzere iki kısımdan oluşur:
Doğal çözüm devrenin karakteristiğidir, kaynakların değil!
Zorlanmış çözüm ise zorlama fonksiyonunun yani kaynağın karakteristiğine sahiptir.
Tüm zaman aralığı için:
giriş
çıkış
t→∞ ⇒ 0x t→∞ ⇒ 0
t→∞ iken sıfıra giden bileşenler doğal çözüm
(geçici hâl çözümü),
geri kalan bileşenler ise (sabit ve periyodik
terimler) zorlanmış çözüm (kararlı-hâl, kalıcı
çözüm),
olarak adlandırılır.
9

Doğal ve zorlanmış çözümün ayrı ayrı bulunarak birbirine
eklenmesiyle tam çözümün bulunması:
10
i(t)’yi bulunuz.
Endüktansı gören devrenin Thévenin
eşdeğer direnci 2‖6=1,5Ω’dur.
Doğal çözüm kaynaklar olmadan olan çözüm olduğuna
göre gerilim kaynağı kısa-devre elemanı ile değiştirilir:
burada A değeri henüz belirli değil.
t<0 için i(t)=0
i(0-) = 50/2 = 25 = i(0+)
Zorlanmış çözüm tamamen belirlendi.
A’yı bulabilmek için başlangıç koşulları uygulanır.
i(0-)=i(0+)=i(0) olduğundan t=0’da i=0 olur.
Burada başlangıçta i=0 olduğuna göre A başlangıç koşulu değildir!
i(0)=0 iken A=-V0/R olduğundan A
başlangıç koşulu değildir.
A, önceki konuda ilk koşuldu burada
ise ilk koşulu bulup tam çözümde
yerine koyarsak A’yı buluruz.
11
12
2

1.
2.
3.
4.
5.
6.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Basit RL devresi haline getirilebilir (Thévenin
eşdeğer direnci):
t>0 devresinden, e(t)=0 Reş, Leş ⇒ τ bulunur.
DC→ L: SC Leş =0, iL(0-) bulunur.
t→∞ L: SC Leş =0, if bulunur.
i= in+if , A=?
iL(0-)=iL(0+) olduğundan t=0+ için A bulunur.
Tam çözüm elde edilir: i= in+if
13
14
15
16
Basit RC devresi haline getirilebilir (Thévenin
eşdeğer direnci):
t>0 devresinden, e(t)=0 Reş, Ceş ⇒ τ bulunur.
DC→ C: OC Ceş →∞, vC(0-) bulunur.
t→∞ C: OC Ceş→∞, vf bulunur.
v= vn+vf , A=?
vC(0-)=vC(0+) olduğundan t=0+ için A
bulunur.
Tam çözüm elde edilir: v= vn+vf
17
3