1 ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ

DÜZELTMELER
(Doğru yazılışlar aşağıdaki gibidir; düzeltme yapılacak yerlerin bulunması için bir üstteki satır yeniden yazılmış
ve eşitliklerdeki düzeltmeler ise örneğin (1.5) numaralandırma sayılarından kolaylıkla anlaşılabilir.)
Sayfa 8


 J ds   t   dv
s
(1.5)
v
Sayfa 10
e
d
dt
(1.8)
Sayfa 18
A  B  B  A
Sayfa 19
(2.16)
 2
 
A  B  A2 B 2 sin 2   A2 B 2 (1  cos2  )  A2 B 2  A2 B 2 cos2   A2 B 2  (A  B)2
Sayfa 20
C  ( A  B)  A  (B  C)  B  (C  A)
(2.18b)
A  (B  C)  ( A  B)  C
(2.19)
Sayfa 22
Şekil 2.9’da z eksenindeki Az ve Bz’nin yer değişecek.
Sayfa 23
ÖRNEK 2.5 Aşağıdaki vektörlerin ortogonal olduğunu gösteriniz.








A  4a x  6 a y  2 a z ve B  2a x  4a y  8 a z
Sayfa 27

 
 
 
Ax  A.a x  A a  .a x  A a .a x  Az a z .a x  A cos  A sin 

Ay  A.a y  A sin   A cos
(2.37a)
(2.37b)
Sayfa 28
 A   cos 
 A    sin 
  
 Az   0
Sayfa 29

sin 
cos 
0
0  Ax 
0  Ay 
1  Az 
 




C  2a   3a  4a z
Şimdi dikdörtgen koordinat sisteminde C  A  B
Sayfa 30

2. Vektör projeksiyonu kullanarak Örnek 2.10’ daki C ’yi hesaplayınız.
Sayfa 32


e) B ’nin üzerine A ’nın vektör projeksiyonu
 
 






( A.a B )B  23,492
( A.a B )a B 

 3a r  10a  20a  3,123a r  10,413a  20,825a
B
22,561


f) A ve B ’ye normal iki birim vektörü vardır. Birim vektörlerden biri
 







A  B 500a r  170a  10a
a n1    
 0,947 a r  0,322a  0,019a
2
2
2 1/ 2
A  B [500  170  10 ]

Diğer birim vektörü

(2.39)
2
Elektromanyetik Alan Teorisi





a n 2  a n1  0,947a r  0,322a  0,019a
 
 
 
a r .a x  sin  cos  a r .a y  sin  sin  a r .a z  cos
 
 
 
a .a x  cos cos a .a y  cos sin  a .a z   sin 
(2.43a)
 
 
 
a .a y  cos
a .a z  0
a .a x   sin 
Sayfa 33

a r   sin  cos 
  
a   cos cos 
a    sin 
 
Sayfa 34
sin  sin 
cos sin 
cos 
 Ax  sin  cos 
 A    sin  sin 
 y 
 Az   cos
cos cos 
 Ar   sin  cos 
  
 A   cos cos 
 A    sin 
 
sin  sin 


cos sin 
 sin 
cos sin 
cos 



cos  a x 

 sin   a y 

0  a z 
(2.43b)
 sin    Ar 
 
cos    A 
0   A 
(2.44)
cos   Ax 
 sin    Ay 
0   Az 
(2.45)

ÇÖZÜM P(3,4,12) noktasında F vektörü F  9a x  8a y  36a z . Aynı zamanda
Sayfa 41




2
ÖRNEK 2.13 Şayet A  (4 x  9 y )a x  14 yza y  8 x za z ise P(0,0,0) den Q(1,1,1) ye
 
cA . dl
’yi aşağıdaki
yollar boyunca çözünüz.
a) x = t, y = t2 ve z =tr3
b) (0,0,0) dan (1,0,0)’a ve daha sonra (1,1,0)’e ve en sonunda (1,1,1)’e düz çizgiler
c) P(0,0,0)’den Q(1,1,1) ’i birleştiren düz çizgi
ÇÖZÜM


a) A. dl  (4 x  9 y )dx - 14 yzdy  8 x 2 zdz . Çünkü x=t, y=t2 ve z=t3, dx=dt, dy=2tdt ve dz=3t2dt. Doğrudan
yerine konularak aşağıdaki değer bulunur.

 
1

A . dl 
t 0
c
[4t  9t 2  28t 6  24t 7 ]dt  4
Sayfa 44
ÖRNEK 2.15 0  x  1 , 0  y  1 ve 0  z  1 ile sınırlanan bir kübün kapalı yüzeyi üzerinde



r.ds ’yi
hesaplayınız burada r kübün yüzeyindeki herhangi bir noktanın pozisyon vektörüdür.


d) y=0 yüzeyinde: y=0: ds  - dx dza y ve


s r. ds 0
4


e) z=1 yüzeyinde: z=1: ds  dx dza z ve
s
5
1
  1
r. ds   dx dz  1
0
0
Sayfa 46
df 
Sayfa 48





f
f
f
f  f 
f 
dx  dy  dz   a x  a y  a z   dx a x  dy a y  dz a z


x
y
z
x
y
z




(2.69)
Elektromanyetik Alan Teorisi
3
ÖRNEK 2.17 P(2,-1,0) noktasında f(x,y,z)=6x2y3+ ez skaler alanının gradyanını bulunuz.
Sayfa 50

      



f  a x
 ay
 a z   Fxa x  Fy a y  Fz a z
y
z 
 x

(2.86a)
Sayfa 51
1 
1

( F )  ( F )  ( Fz )
 

z

F 
(2.87)
Sayfa 52
olmaktadır. Hücre sayısı artarken (2.91)’in sağ tarafındaki ilk terim limitte
n
lim
n 


   F v   . F dv
i
i
v
i 1
Sayfa 54
Bu yüzden


s3

 /2 2
 
D. ds3 
0 z 0
[3x 2 cos  (3 y  z ) sin  ]3 d dz
x   cos yerine konularak integral sonucu
 D.ds
s4
4
 33,41
ALIŞTIRMALAR





2
3
2. Şayet F  -xy a x  3 x yz a y  z x a z ise P(1, -1, 2) de   F yi bulunuz.
Sayfa 55
Şimdi (2.94)’ün dört integralinden her biri ayrı ayrı hesaplanır. c1 yolu boyunca:

 
F . dl 
c1

 F a
x  x
x
Sayfa 56
 
 F . dl  
c 2
x x
y  y
F a
x x
y




 Fy a y  Fz a z y  dxa x   Fx xy


 Fya y  Fz a z
c3 yolu boyunca çizgisel integral:

 
F . dl 
c3

 F a
x
x x
x  x


 Fy a y  Fz a z

x  x

y  y
Son olarak c4 yolu boyunca çizgisel integral:

 
F . dl 
c 4

 F a
y
y  y
x x

 


 dya y  Fy y x  x

 dxa x   Fx xy  y
 
 




 Fya y  Fza z x  dya y   Fy y x
Böylece
 F  d  [F x]
x
y
 [ Fy x] y  y  [ Fy y]x  x  [ Fy y]x
c
Bununla beraber x0 ve y0 limitinde
[ Fx x]y  y  [ Fx x]y 
Fx
xy
y
Sayfa 60
(2.93)’den

si
n   iken (2.102) eşitliğinin sol tarafı



 
(  F). dsi  F . dl  i  si
ci
4
Elektromanyetik Alan Teorisi
n
lim
n 

i 1

(  F)  dsi  (  F)  ds
 Si
s
üzerindeki integrasyon ile olmaktadır. Böylece
n
lim
n 
 
 
  F . dl   F . dl
i 1 ci
Sayfa 62
c



6. Şekil 2.34 de görülen yarı küre üzerinde şayet vektör alanı F  10 cos a r  10 sin  a ise Stokes teoremini
doğrulayınız.
Dikdörtgen koordinat sisteminde bir skaler f fonksiyonunun diverjansı
          f  f  f 
  (f )  a x
 ay
 a z   a x
 ay
 az 
y
z   x
y
z 
 x
Sayfa 63


2
Elektromanyetik alanlarda  F biçimindeki ifadelerle de sık karşılaşılacaktır burada F bir vektör
Sayfa 64
 1  1   2   1  1   2  1 
2 f  2    2
   2
r
r   2   0
 r  r r  r  r  r r   r 
yazılabilir.
Sayfa 66
(2.116) da 2f = 0 ve f  ds  0 yerine konularak
Sayfa 68

  A  0 sınırlaması Kulomb Geyçi olarak bilinir. Akım taşıyan bir iletken içindeki manyetik alan III. sınıfa
düşer.



2. Şekil 2.34 de görülen yarı küre üzerinde şayet vektör alanı F  10 cos a r  10 sin  a ise Green teoremini
doğrulayınız (Her integrali koaksiyel kablonun birim uzunluk başına değerlendiriniz).
Sayfa 71
Ax Ay Az


x
y
z
Dikdörtgen koordinatlar
Bir vektör
alanının diverjansı

.A
1 f
Silindirik koordinatlar
Küresel koordinatlar
Dikdörtgen koordinatlar
Bir vektör
alanının curl’ü
B
Silindirik koordinatlar
 
( A ) 
1 
( A ) 

( Az )
 
z
1  2
1

1

(r Ar ) 
(sin  A ) 
( A )
2
r sin  
r sin  
r r

ax

x
Bx

a
1 
 r
B

ay

y
By

a


B

az

z
Bz

az

z
Bz
Elektromanyetik Alan Teorisi
5

ar
1

2
r sin  r
Br
Küresel koordinatlar
Sayfa 80

r a


rB

r sin  a


r sin  B
 

q1q2 (r1  r2 )
F12 
  3
4 o r1  r2
Sayfa 81
(3.4b)


F21  F12
 
n

qi (r  ri )
Ft 
q
 3
4 0 r  ri
i 1
(3.5)

Sayfa 84

E
(3.6)
 

q (r1  r2 )
q
a
  3
2 R
4 0 [r1  r2 ]
4 0 R
(3.9)
Sayfa 85

 20  10 9  
 
 
20  10 9 
E  9  109 
(

a

a
)

(a y  a z )  63,67[a x  a y ] N/C
x
z
3
3
1,414
 1,414

Sayfa 86
ÇÖZÜM Şekil 3.6 da görüldüğü gibi orijinden z=z ’de ldz bir diferansiyel yük elemanını dikkate alalım. z’den
 
 

P’ye uzaklık vektörü r  r '  ( z  z ' )a z ve büyüklüğü r  r '  z  z ' dir. P noktasındaki elektrik alan şiddeti
(3.14) den
 
E  az

4 o
0
dz'
 ( z  z' )

2


4 0 z

az
Sayfa 87
Değerler yerine konularak
 9  10 9  100  10 9 

E
a z  450 a z V/m
2
elde edilir. z=2 m’de 1 C’luk bir yüke etkiyen kuvvet




F  qE  1  10 6  450 az  450a z N
ÇÖZÜM Silindirik koordinatlarda yük dağılımı yönünde diferansiyel uzunluk elemanı bd ’dir.
Sayfa 91


ÇÖZÜM Küresel koordinatlarda 6 m yarıçapında diferansiyel yüzey ds  36 sin  d d a r . Yüzeyin içinden
geçen elektrik akısı
 /2
2

  D  ds  360 sin  d d  720 mC


s

0
0
Sayfa 94
Kürede her nokta q’nin yerleştiği merkezden eşit uzaklıkta olduğundan Er ’nin r=R de yüzeyde her noktada aynı
büyüklükte olması gerekir. Böylece

s
Sayfa 96

2

2
E  ds  Er R sin  d d  4R 2 Er

0

0
6
Elektromanyetik Alan Teorisi

E  0
(3.32)
Sayfa 97
a

Wab
Vab  lim
  E  d
q 0 q
b

(3.35)
Şayet orijinde q yükünden iki P ve S noktasının radyal uzaklıkları sırasıyla r1 ve r2 ise bu durumda (3.35) den
r1
Vab  
q
 4 
0
r2
r
2
dr 
q
4 0
1 1 
  
 r1 r2 
Sayfa 99
Elektrik alan şiddeti, (3.33) den

V ( z ) 
a
E    V  
az  
z
2 0


z
a
 2
2 3/ 2  z
 (a  z ) 
Sayfa 100
Şimdi P’deki potansiyel
V
q  d cos 
4 0  r 2 
Sayfa 101

E


p
[2 cos a r  sin  a ]
3
4 o r
Sayfa 102
(3.38) den P noktasındaki potansiyel
 
pr
9  109  1,6  10 30  12

 7,865  10  23 V
3
3
4 0 r
13



p
1. E 
[2 cos a r  sin  a ] eşitliğini doğrulayınız.
3
4 o r
V
Sayfa 107
vektör özdeşliği (Vektör analizi bölümü) kullanılarak (3.50)


1   P  '.P 
dV 
'.  
 dv'
4 0   R 
R 
Sayfa 108

Bu durumda .D daima herhangi bir ortamdaki serbest yük yoğunluğunu temsil edecektir.
Sayfa 111




Kenarı b olan bir dielektrik küpte polarizasyon vektörü P  xa x  ya y  za z olarak veriliyor. Şayet
Sayfa 113
yazılabilir. Aynı şekilde b ve c noktalarındaki potansiyeller
V2  Vb, a  Vb,c ve V3  Vc, a  Vc,b
Sayfa 114
ÇÖZÜM Kürenin yüzeyindeki potansiyel

2
 s ds
V 
 9  10 9  10  10  9  0,1 sin  d  d  113,1 V
4


R
o
s
0
0
Sayfa 115
(3.40)
Elektromanyetik Alan Teorisi
7
W 
1 
1  
D.(V )dv
D.E dv
2v
2v


1  1
1 2
w  D.E   E 2 
D
2
2
2
(3.66)
(3.67)
veya

Q
0,1 10 9 
D t2 
a r C/m2
4r
r2
Sayfa 122
kanunundan

E
Q 
ar
4  r 2
Sayfa 124


D  E olduğundan
Sayfa 128
sadece ’nin bir fonksiyonu olacağı beklenir. Böylece Laplace eşitliği
1 d  dV 

0
 d  d 
=b de V=0  d   c ln b . Böylece
V  c ln(  / b)
Sayfa 152

q  x
x   y
y   z  d z  d  
E  V  
 3  3 a x   3  3 a y   3  3 a z 
4   R2 R1 
R1  
 R2 R1 
 R2
Sayfa 178

Q   v dv
(4.14)
v
Sayfa 179
olarak veya


    J 
v
v 
dv  0
t 
Sayfa 182
b
R
d
1
 m  kb
 (m  k )2L  2Lk ln  m  ka
a
Sayfa 185
Sayfa alalım. Şayet v hacim yük yoğunluğu ise bir dv hacminde yüke etkiyen kuvvet


dF   v dvE
Sayfa 191
(4.33) den akım yoğunluğu
1/ 2

  2 1,6 10 19 
4  10  9
J 


9  36 (0,05) 2   9,1110 31 
Sayfa 199


1000 3 / 2 a z  29,42a z A/m2
8
Elektromanyetik Alan Teorisi
b
b
b
b
 


1
J  dl  E  E' .dl  E  dl  E  dl  [Vb  Va ]   ab


a


a

a
Sayfa 203
Alan miktarları ile bir iletkenin direnci
(4.52)
a

 E.dl
R

J.ds
b
a


s
Sayfa 214
 
B 0
4

s


Js  R
ds
R3
(5.4)
Sayfa 216
  I
B 0
4
ÇÖZÜM
b
 
a
dz
2
z

2 3/ 2

 I
b
a
a  0 

2
2
2
4    b
  a2


a






d   bd a ve R  ba   za z olduğundan
 


d   R  b2a z  bza 
Sayfa 217
  I
B  0 az
2b
Sayfa 218
(5.8)

 

0 I 2 d 2  I1d 1  R 21 
dF2 


3
4
R21


Sayfa 221


F 0 2 
Fbirim uzunluk başına  
I a  N/m
L 2b
(5.15)
Sayfa 225


W 
1
Tcd   a x  Fcd   BILWa z
2
2
Sayfa 233
  I  2L  
A  0 ln  a z
2   
(5.30)
Sayfa 234
 
   I
  A  d  A  d  0
2
c
c


1
3
L
I
 2L 
ln   dz  0
a 
2
L 

Sayfa 235
Ampère kanununun integral biçimi (5.34a) dan

c
Sayfa 238
Halka içindeki toplam akı
 


H  dl  J v  ds

s
L
 IL  b 
 2L 
 dz  0 ln  


a
 ln  b
L
(5.32)
Elektromanyetik Alan Teorisi
9
b
   NI
  B  ds  0
2

d
h
   dz 
a
0
 0 NIh
ln( b a)
2
Sayfa 241
he
 9,27 10  24 Am2
8me
ms 
Sayfa 243
ve manyetik vektör potansiyeli
 
A 0
4
(5.37)


M 
  M
0


dv 
   dv
R
4

R
v
v


Sayfa 247
=a yüzeyinde sınır yüzey akım yoğunluğu

J sb


  a  M  (a  )   a

( r  1) NI 
az
2a
En son olarak =b yüzeyinde sınır yüzey akım yoğunluğu

J sb
 b 

(r  1) NI 
az
2b
Sayfa 248 - 249
(5.48a), (5.48b), (5.49) eşitliklerindeki F harfleri F olacak.
Sayfa 258
(5.59) eşitliğindeki F harfi F olacak.
Sayfa 267
arasındaki manyetik potansiyel farkı
a
 
Fab  Fa  Fb   H  d

b
Sayfa 277
olarak belirlenebilir. Elektron için m = 9,11×10-31 kg konularak
Sayfa 285
V  Vr  VR 
q 1 1 

4 0  r R 
(6.23)
Sayfa 286
1
Q
dQ  2 dC
C
C
(6.24)
Sayfa 289
q yüklü ve m kütleli parçacık üzerine etkiyen manyetik ve merkeze doğru olan kuvvetler eşitlenerek
m 2
un  qBun
R
2R 2m
T

un
qB
Sayfa 290
c)Yörüngenin yarıçapı
R
Sayfa 295
m 2 1,7  10 27
un 
[4  10 6 ] 2  24,286  10 3 m veya 24,286 mm
F
1,12  10 12
(6.31)
10
Elektromanyetik Alan Teorisi
b


Vba  Vb  Va   E H .dl  EH w

a
Sayfa 297
E
Sayfa 307


B
E  
t
I
100

 1,72  10  3 V/m veya 1,72 mV/m
A 10  1  10  4  5,8  10 7

  D
H  J 
t
Sayfa 325
Böylece iç iletken içindeki toplam halka akısı
a
0 I
I
 3d  0
4 
8
2a 0
i 
Buradan içindeki akıdan dolayı iç iletkenin birim uzunluk başına indüktansı
Li 
i
I

0
H/m
8
Sayfa 326
ÇÖZÜM Her iletkenin birim uzunluk başına dahili öz indüktansı
Li 
Bu durumda birim uzunluk başına halka akısı
d a
d a
a
a
   ( By1  By 2 )dx  
i
I

0
4
(H/m)
0 I 1
1
 I  d  a  0 I  d 
( 
)dx  0 ln 
ln  

2 x d  x
  a   a
Sayfa 327
Le 

I

0
ln( d a)

(Wb/m)
(H/m)
ve iki iletkenli hattın birim uzunluk başına toplam indüktansı
Sayfa 328
Halka akısı,   N veya
Sayfa 346


B
E  
t

  D
H  J 
t
Sayfa 348
H t1  H t 2  J s
Sayfa 352
eşitliğinden (Ampére kanunu)
Sayfa 355



 
B 
 E  dl   t  ds
c
s

 
 
D 
 H  dl   J  ds   t  ds
c
s
s




a n  (H1  H 2 )  J s


 D
J  H 
t


 
   B  D
  (E  H )  J  E  H 
 E
0
t
t
(7.73)
(7.74)
(7.85)
(7.95)
Elektromanyetik Alan Teorisi


 D






1 2
J  H 
  [ H y ]a x  [ Dx ]a x    
k  E sin(t  kz)a x
t
z
t
 

Sayfa 357


Ey (r, t )  Re Ey 0 (r )e j ( r )e j t





~
~
~
~
E(r, t )  Re{[Ex (r )a x  E y (r )a y  Ez (r )a z ]e jt }  Re[E(r )e jt ]
Sayfa 359
(7.105b)
(7.108)





~ ~ ~
~ ~
(  H*)  E  ( J * - jD*)  E
Sayfa 361
H z (r , t ) 
C
C
cosx cos(t  kz  90)  cosx sin(t  kz)


11
(7.122)

~
~  0) alanların iki diverjans eşitliğini sağlamasına dikkat edilir. Bu .D  0
Kaynaksız bölgede ( 
v
Sayfa 386
V3  V ( x, y  c) , V4  V ( x  d , y ) ve V0  V ( x, y ) olan bir ağ’ı dikkate alalım.
Sayfa 387
V
x
V
x

B

D
V
x
V
x

V0  V2
b
(8.2)

V4  V0
d
(8.3)
B
D
Benzer şekilde A ve C noktalarındaki birinci türevler aşağıdaki gibi yakınlaştırılabilir.
V
y
V
y

A

C
V
y
V
y

V1  V0
a
(8.4)

V0  V3
c
(8.5)
A
C
O noktasında V ( x, y ) ’ninn ikinci derece kısmi türevleri aşağıdaki gibi yakınlaştırılabilir.
2
V
x 2

V
x

D
V
x
x
O
V
y
V
y
B
V4  V0 V0  V2

d
b

d b

2 2
V1  V0 V0  V3

b
A
C

 d
a c

x
O

2 2
1
1
1
1
1

 1
V1 
V2 
V3 
V4  
 V0  
a ( a  c)
b(b  d )
c( a  c)
d (d  b)
2
 bd ac 
2
V
y 2
Sayfa 402

(8.6)
(8.8)
(8.10)
12
Elektromanyetik Alan Teorisi
Element 1 :
Nod
 0,5
 0,0

 0,0

 0,5
 0,0







1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sayfa 403
Sayfa 413
1
2
3
4
0,0 0,0  0,5
0,0 0,0
0,0
0,0 0,0
0,0
0,0 0,0
1,0
0,0 0,0  0,5
0,0
5
6
7
8
9
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0  V1 
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 V2 
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 V3 
 
 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 V4 
0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 V5 
 
 V6 
 V 
0,0
 7 
 V8 
 
 V9 
V1  1V11   2V12       nV1n
V2  1V21   2V22       nV2 n



V j  1V j1   2V j 2       nV jn



Vn  1Vn1   2Vn 2       nVnn
Sayfa 415
1  9 1011 8,99 109  1 
 
1  
9
9 1011   2 
  8,99 10
Sayfa 416
Ortalama 1  1,110 12
C/m olduğundan
V
1,1  10 12
{ln[10  10 2  0,12 ]  ln 0,1}  0,105 V
4 0
(8.51)