Unit Step fonksiyonu, Impulse fonksiyonu

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:
Unit Step fonksiyonu, Impulse fonksiyonu:
Unit Step Fonksiyonu:
Tanim:
Unit Step fonksiyonu aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabilir. Her iki tanımda literatürde
kullanılmaktadır
1 x > 0



u ( x) = 0.5 x = 0
.
0 otherwise 


Unit Step fonksiyonunun grafiği her iki tanım için aşağıdaki gibi sırasıyla görünmektedir.

1 x ≥ 0
u ( x) = 
;
0 otherwise 
u(x)
u(x)
1
1
0.5
x
x
Unit Delta Step fonksiyonu:
Unit delta step fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibi verilmiştir. Unit delta step fonksiyonu
daha sonra tanımını vereceğimiz impulse fonksiyonunun tanımı için kullanacağız,
1

if 0 ≤ x ≤ ∆ 

u ∆ ( x) =  ∆
.
0 otherwise 
Unit delta step fonksiyonunun grafiği ise aşağıdaki gibi verilmiştir,
u (x)
∆
∆
Unit Delta Impulse Fonksiyonu:
Unit Delta Impulse Fonksiyonunun tanımı ve de grafiği aşagıdaki gibi verilmiştir.
δ ∆ (x) =
du ∆ (x)
dx
δ (x)
∆
1
∆
∆
Unit Impulse Fonksionu:
Unit impulse fonksionu unit delta impulse fonksiyonundan aşağıdaki şekliyle elde edilir,
δ ( x) = lim δ ∆ ( x).
∆ →0
Unit impulse fonksiyonu kısa şekilde impulse fonksiyonu diye de isimlendirilebilir ve de
grafiği aşağıdaki gibi verilmiştir. Impulse fonksiyonu boylamı enlemine göre çok daha uzun
olan ama alanı sabit ve de ‘1’ sayısına eşit olan bir dikdörtgen gibi düşünülebilir.
δ (x)
Impulse fonksiyonu matematiksel olarak şöyle ifade edilir,
1 if x = x0 ;
δ ( x − x0 ) = 
.
0 otherwise 
Diğer bir değişle;
1 if x = 0; 
.
0 otherwise 
δ ( x) = 
Impulse fonksiyonunun özellikleri:
Impulse fonksiyonu komünikasyon ve de sinyal işlemede çok fazla kullanılan temel
fonksiyonlardan birisidir. Bu açıdan impulse fonksiyonunun bazı temel özelliklerinin çok iyi
kavranması gerekmektedir. Devam eden satırlarda bu özellikleri sıralıyoruz.
1) δ ( x − x 0 ) f ( x) = δ ( x − x 0 ) f ( x 0 ) ; burada x0 reel bir sayı olup, x ise bir değişkeni ifade
etmektedir.
2) δ ( x − x 0 ) f ( x − x1 ) = δ ( x − x0 ) f ( x 0 − x1 ) ; (1)’in daha genel bir ifadesi olmaktadır.
3) ∫ δ ( x)dx = 1 ; ya da ∫ δ ( x − x 0 )dx = 1 .
4) ∫ δ ( x − x0 ) f ( x )dx = f ( x0 ) ; ya da ∫ δ ( x − x0 ) f ( x − x1 )dx = f ( x 0 − x1 ) .
Özellik (4)’ün ispatı, (1)- (2) ve (3) özellikleri kullanılarak ispatlanabilir. Özellik (4)’ün
ispatını aşağıdaki gibi veriyoruz.
Özellik (4)’ün Đspatı:
Özelik (1)’den
∫ δ (x −
x0 ) f ( x )dx = ∫ δ ( x − x 0 ) f ( x0 )dx ;
∫ δ (x −
x0 ) f ( x 0 )dx = f ( x0 ) ∫ δ ( x − x0 )dx ;
Özelik (3)’ten f ( x 0 ) ∫ δ ( x − x 0 )dx = f ( x 0 ).1
Impulse fonksiyonunun türevleri de tanımlanabilir; δ (x ) fonksiyonunun 1., 2. ve de n.
.
..
türevleri sırasıyla δ ( x ) , δ ( x ) ve de δ n ( x ) şeklinde gösterilmektedir. Impulse fonksiyonunun
n. türevi ile ilgili olarak aşağıdaki özelliği öğrenmekte fayda görmekteyiz,
f ( x)δ n ( x − x0 ) =
∫
∂ n f ( x)
∂x n
f ( x )δ n ( x − x 0 ) =
δ ( x − x0 );
x = x0
∂ f ( x)
∂x n
n
.
x = x0
Ramp Fonksiyonu:
Son olarak göreceğimiz fonksiyon ramp fonksiyonudur. Ramp fonksiyonun hatırlamak için
araba ile rampa çıkma olayını hatırlayabilirsiniz. Ramp fonksiyonunun türevi unit step
fonksiyonunu vermektedir. Ramp fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır;
1 if x ≥ 0;
r ( x) = 
.
0 otherwise 
Ramp fonksiyonunun grafiği ise Şekil XX de gösterilmiştir.
Unit Step fonksiyonu, impulse fonksiyonu ve de ramp fonksiyonu arasında matematiksel
bağlantılar vardır. Fonksiyonlar arasındaki matematiksel bağlantılar devam eden satırda
açıklanmıştır,
du ( x )
dr ( x)
∂ 2 r ( x)
, r(x) = ∫ u ( x)dx, δ (x) =
, u(x) = ∫ δ ( x)dx, δ (x) =
.
u ( x) =
dx
dx
∂2x
−∞
−∞
Şimdi öğrenmiş olduğumuz bu temel fonksiyonları pekiştirmek için bazı örnekler verelim.
x
x
Örnek–1:
f ( x) = 2 x 2 + 1 şeklinde verilmiş bir fonksiyondur. Buna göre aşağıdaki iş lemlerin sonuçlarını
yazınız.
a) f ( x )δ ( x − 1) = ?
.
b) f ( x) δ ( x − 2) = ?
c)
∫
f ( x )δ ( x)dx = ?
d)
∫
f ( x )δ ( x − 2) = ?
e)
∫
f ( x ) δ ( x − 1)dx = ?
.
Çözüm:
a) f ( x )δ ( x − 1) = f (1)δ ( x − 1) → (2.12 + 1)δ ( x − 1) = 5δ ( x − 1)
.
df ( x)
b) f ( x) δ ( x − 2) =
δ ( x − 2) → (4 x x = 2 )δ ( x − 2) = 8δ ( x − 2)
dx x = 2
c)
∫
f ( x )δ ( x)dx = f (0) → 2.0 2 + 1 = 1
d)
∫
f ( x )δ ( x − 2) = f (2) → 2.2 2 + 1 = 9
∫
f ( x ) δ ( x − 1)dx =
.
e)
df ( x)
dx
x =1
→ (4 x x =1 ) = 4
Örnek–2:
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını yazınız.
du ( x − 2)
=?
dx
du ( x 2 + 1)
=?
b)
dx
dr ( x 2 + 1)
=?
c)
dx
Çözüm:
a)
du ( x − 2)
= δ ( x − 2),
dx
du ( x 2 + 1) d ( x 2 + 1)
b)
δ ( x 2 + 1) → (2 x)δ ( x 2 + 1)
=
dx
dx
2
dr ( x + 1) d ( x 2 + 1)
=
u ( x 2 + 1) → (2 x )u ( x 2 + 1)
c)
dx
dx
a)
Örnek–3:
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını yazınız.
x
a)
∫ δ ( x − 2) dx
=?
∫ u ( x − 2) dx
=?
−∞
x
b)
−∞
c) f ( x) = δ ( x 2 − 4) fonksiyonu için açık bir ifade yazınız.
Çözüm:
x
a)
∫ δ ( x − 2)dx
= u ( x − 2)
∫ u ( x − 2) dx
= r ( x − 2)
−∞
x
b)
−∞
1 if x = −2 or x = 2,
c) f ( x ) = δ ( x 2 − 4) = 

0 otherwise

Örnek–4:
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
ı)
f ( x) = δ ( x + 2) + δ ( x − 3)
f ( x ) = −δ ( x + 3) + δ ( x)
f ( x ) = u ( x − 3)
f ( x ) = u ( x − 1) + u ( x − 4)
f ( x ) = δ ( x + 1) + u ( x − 1)
f ( x) = δ ( x − 2) + u ( x − 1)
f ( x ) = r ( x − 3)
f ( x ) = r ( x − 1) + r ( x − 2) − 2r ( x − 5)
f ( x ) = δ ( x − 3) + r ( x − 1)
Çözüm:
Grafikler aşağıda verilmiştir, lütfen her şekli iyice inceleyerek anlamaya çalışınız.
f(x)
f(x)
1
a)
b)
-2
3
-3
x
f(x)
c)
f(x)
d)
1
1
2
f)
1
1
x
1
x
f(x)
f(x)
1
g)
x
4
f(x)
f(x)
-1
1
x
3
e)
x
0
h)
3
7
x
4
f(x)
ı)
1
3
2
2
1
3
5
x
x
Örnek–5:
Aşağıdaki grafikleri verilen fonksiyonları unit step fonksiyonu türünden yazınız.
a)
f(x)
f(x)
4
4
b)
2
2
2
x
5
1
2
2
d)
2
x
5
2
f(x)
e)
4
6
x
f(x)
f)
4
4
2
-2
x
5
f(x)
f(x)
c)
3
2
4
6
x
2 3 4 5
x
Çözüm:
Aslında grafikler karışık gibi gözükse de mantık olukça basittir. Grafiklerdeki atlama
noktaları göz önüne alınarak ve de atlama noktalarındaki atlama miktarları hesaplanarak
fonksiyonlar unit step fonksiyonu türünde kolayca yazılanabilir.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
f ( x) = 2u ( x − 2) + 3u ( x − 5)
f ( x) = 2u ( x − 2) − 2u ( x − 5)
f ( x ) = 2u ( x − 2) − 4u ( x − 4) + 2u ( x − 6)
f ( x ) = 2u ( x − 2) − 4u ( x − 4) + 2u ( x − 6)
f ( x ) = 2u ( x + 2) + 2u ( x − 4) − 2u ( x − 6)
f ( x ) = 4u ( x − 2) − 2u ( x − 3) + 2u ( x − 4) − 4u ( x − 5)
Örnek–6:
Aşağıdaki grafikleri verilen fonksiyonları unit step fonksiyonu ve de impulse fonksiyonları
türünden yazınız.
a)
b)
Çözüm:
a) f ( x) = δ ( x + 1) + u ( x − 1) − δ ( x − 3) − u ( x − 4)
b) f ( x) = u ( x − 1) + δ ( x − 2) − u ( x − 4)
Örnek–7:
Aşağıdaki grafikleri verilen fonksiyonları unit step fonksiyonu, impulse fonksiyonu ve de
ramp fonksiyonları türünden yazınız.
f(x)
a)
f(x)
b)
3
-2
x
1
-2
f(x)
c)
x
2
f(x)
3
3
d)
1
-3
1
2
3 4
x
f(x)
e)
f(x)
f)
2
-2
2
x
2
-2
f(x)
g)
x
-1
2
4
x
f(x)
h)
3
2
2 3 4
x
2
-2
1
3
x
Çözüm:
Bu tür sorularda yapmamız gereken ilk şey fonksiyonun değişim gösterdiği durumlarda yatay
eksendeki noktaları tespit etmektir. Daha sonra ramp, unit step, ve de impulse fonksiyonlarını
kullanarak grafikleri matematiksel olarak yazmaya çalışırız. Aşağıdaki çözümleri grafiklere
bakarak iyice anlamaya çalışınız.
a) f ( x ) = r ( x + 2) − r ( x − 1)
b) f ( x) = r ( x + 2) − 2r ( x) + r ( x − 2)
c) f ( x ) = r ( x + 3) − r ( x) − 4u ( x − 2) + 4u ( x − 3) − 3u ( x − 4)
d)
e)
f)
g)
h)
f ( x) = r ( x + 1) + r ( x ) − 2r ( x − 1) − 2u ( x − 2) − u ( x − 4)
f ( x) = r (− x) − r (− x − 2) − 2u (− x − 2) + r ( x ) − r ( x − 2) − 2u ( x − 2)
f ( x) = r (− x) − r (− x − 2) − 2u (− x − 2) + r ( x ) − r ( x − 2) − 2u ( x − 4)
f ( x ) = r ( x) + δ ( x − 2) − r ( x − 2) + u ( x − 3) − 3u ( x − 4)
f ( x) = 2u ( x + 2) − 2δ ( x − 1) − r ( x − 1) − r ( x − 3) + δ ( x − 3)
Örnek–8:
Aşağıdaki grafikleri verilen fonksiyonların birince ve de ikinci türevlerini bulunuz ve de
grafiklerini çiziniz.
a)
b)
c)
Çözüm:
Grafikleri öncelikle ramp, unit step fonksiyonları türünden matematiksel olarak yazalım.
Daha sonra matematiksel ifadenin türevini alarak sonucu elde edelim. Aslında matematiksel
ifade yazmadan direk olarak fonksiyonların grafiklerinden yola çıkarak da türev sonucu elde
edilen fonksiyonların grafiklerini çizmek mümkündür. Bir sonraki örneğimizde matematiksel
ifade yazmadan direk olarak grafik üzerinden sonuca ulaşmaya çalışacağız.
a) f ( x) = u ( x + 2) − u ( x − 3)
b) g ( x ) = r ( x + 2) − r ( x) − 2u ( x − 3)
2
2
r ( x) − r ( x − 3) − 2u ( x − 3)
3
3
Şimdi matematiksel fonksiyonların türevlerini alalım,
c) h( x) = r (− x ) − r (− x − 2) − u (− x − 2) +
.
a) f ( x) = δ ( x + 2) − δ ( x − 3)
.
b) g ( x ) = u ( x + 2) − u ( x) − 2δ ( x − 3)
.
2
2
c) h( x) = −u (− x ) + u (− x − 2) + δ (− x − 2) + u ( x) − u ( x − 3) − 2δ ( x − 3)
3
3
Türevlerin grafik çizimleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
.
f ( x)
.
g ( x)
.
h( x )
Eğer türev grafiklerine dikkat edilirse, impulse fonksiyonu orijinal fonksiyonun dikey atlama
yaptığı x değerlerinde ortaya çıkmaktadır. O halde kısa yolda türev sonuçlarının grafiklerini
çizmek için aşağıdaki iki kuralı çıkarabiliriz.
Kural 1: Türevi alınacak grafiğin hangi noktalarda dikey atlama yaptığını tespit edelim ve de
atlama miktarlarını da hesaplayalım. Eğer yukarı doğru bir atlama olduysa türev grafiğinde
atlama noktasında yukarıya doğru atlama miktarı kadar bir genliğe sahip olan bir impulse
fonksiyonu oluşacaktır. Eğer atlama aşağıya doğru ise, türev grafiğinde atlama noktasında
aşağıya doğru, atlama miktarı kadar genliğe sahip bir impulse fonksiyonu belirecektir.
Kural 2: Türevi alınacak olan grafikte eğimli doğrular varsa, eğim miktarı hesaplanır ve de
yatay bir çizgi olarak grafikte belirtilirler.
Şimdi konuyu
pekiştirmesi açısından bir örnek daha verelim.
Örnek–9:
Aşağıdaki grafiklerin türevlerini formül yazmadan grafik üzerinden direk olarak hesaplayınız.
Çözüm:
Grafikleri için formül yazmandan sadece kural–1 ve de kural–2’yi uygulayarak grafiklerin
türevlerini direk olarak bulalım. Bunun için yapılması gereken şey grafiklerdeki atlama
noktalarının belirlenmesi ve de atlama miktarlarının hesaplanarak, aşağıya doğru olan
atlamalarda aşağıya doğru atlama enliğine sahip olan bir impulse, yukarıya doğru olan
atlamalarda ise yukarı atlama miktarı kadar yukarıya doğru bir impulse çizilmelidir. Eğimi
olan doğrularda ise eğim miktarı hesaplanarak yatay bir çizgi çizilir. Bu kurallar uygularsak
türevi alınan grafikler aşağıdaki gibi görülecektir.
.
f ( x)
.
g ( x)
Matematiksel bazı fonsiyonların unit step ve de impulse fonksiyonları türünden yazılmaları:
Bazı açık matematiksel ifadelerin, unit step ve de impulse fonksiyonları türünden yazılmaları
işlem yapmayı kolaylaştırmaktadır. Bu açıdan aşağıdaki örnekleri inceleyerek unit step ve de
impulse fonksiyonlarının açık matematiksel ifadeleri yazmak için nasıl kullanıldığına bakınız.
Örnek–10:
2 x + 1 x ≥ 0;
f ( x) = 

diger 
0
yukarıdaki fonksiyonu unit step fonksiyon kullanarak yazınız.
Çözüm:
f ( x) = (2 x + 1)u ( x)
Örnek:
Aşağıdaki fonksiyonu unit step ve de impulse fonksiyonları türünden yazınız,
2 x − 1 x ≥ 0; 


f ( x) = − 2
x = −1;.
0
diger 


Çözüm:
f ( x) = (2 x − 1)u ( x) − 2δ ( x + 1)
Üstsel Fonksiyon:
Kominikasyon ve de sinyal işleme konularında kullanılan diğer bir fonksiyonda üstsel
fonksiyondur. Üstsel fonksiyonun tanımı aşağıdaki gibi verilebilir,
ke − x x ≥ 0 
−x
f ( x) = 
 → f ( x) = ke u ( x ) .
0
diger

