parabol

PARABOL
Kural
A. TANIM
a , b, c 
f:
ve

f ( x)  ax 2  bx  c
a  0 olmak üzere,
fonksiyonunun grafiğinin
(parabolün) tepe noktası T(r, k) ise,
tanımlanan
f ( x)  ax  bx  c
2
biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir
değişkenli fonksiyonlar denir.
f  {( x, y) : y  ax 2  bx  c a, b, c  , a  0}
f ( x)  ax 2  bx  c
fonksiyonunun grafiği
(parabol), yandaki gibi
kolları yukarı doğru olan ya
da kolları aşağı doğru olan
bir eğridir.
Sonuç
f ( x)  ax 2  bx  c fonksiyonunun
MATEMATİK’İM
kümesinin elemanları olan ikililere, analitik düzlemde
karşılık gelen noktalara f fonksiyonunun
grafiği denir.İkinci dereceden bir değişkenli
fonksiyonların grafiklerinin gösterdiği
eğriye parabol denir.
grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise,
bu parabolün simetri ekseni
x = r doğrusudur.
ÖRNEK1
f ( x)  x 2  4 x  5 parabolünün tepe noktasının
koordinatlarının bulunuz.
B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI
ÖRNEK2
f ( x)  3x 2  (m  1) x  5 parabolünün tepe
noktasının koordinatları T (2, k ) olduğuna göre m.k
kaçtır?
Şekildeki parabollerin tepe noktaları T(r, k) dir.
Parabol x = r doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir.
Bunun için, parabolün x eksenini kestiği noktaların
apsisleri olan x1 ile x2 nin aritmetik ortalaması r ye
eşittir. Bu durumu kuralla ifade edebiliriz.
1
ÖRNEK3
ÖRNEK7
f ( x)  2 x  8x  m  3 parabolünün tepe noktası
T ( r , 3) olduğuna göre m kaçtır?
2
f ( x)   x 2  (2m  4) x  5 parabolünün tepe
noktasının koordinatları T (1, k ) olduğuna göre m.k
kaçtır?
ÖRNEK4
f ( x)  mx  2 x 2  m  2 parabolünün simetri ekseni
ÖRNEK8
x=2 doğrusu olduğuna göre tepe noktasının
koordinatlarını bulunuz
MATEMATİK’İM
f ( x)  4 x  2 x 2  m  5 parabolünün tepe noktası
T ( r , 1) olduğuna göre m.r kaçtır?
ÖRNEK5
f ( x)  x 2  2mx  2m  5 parabolünün tepe noktası
y  2 doğrusu üzerinde ise m in alabileceği değerler
toplamı kaçtır?
ÖRNEK9
f ( x)  2 x 2  (3  m) x  m  2 parabolünün simetri
ekseni x  1  0 doğrusu olduğuna göre tepe noktasının
koordinatlarını bulunuz
SIRA SİZDE
ÖRNEK6
ÖRNEK10
f ( x)  x  8x  7 parabolünün tepe noktasının
2
koordinatlarının bulunuz.
f ( x)  x 2  (m  2) x  2m  5 parabolünün tepe
noktası y ekseni üzerinde ise m kaçtır?
2
Kural
ÖRNEK13
f ( x)  ax 2  bx  c
f ( x)  x 2  4 x  2m  5 parabolü x eksenini farklı
fonksiyonunun grafiğinin (parabolün);
iki noktada kestiğine göre m in çözüm kümesini bulunuz.
y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0 (sıfır),
ordinatı f(0) = c dir.
x eksenini kestiği noktaların (varsa) ordinatları 0,
apsisleri f(x) = 0 denkleminin kökleridir.
y  x 2  4 x  5 parabolünün eksenleri kestiği
noktaları bulunuz?
MATEMATİK’İM
ÖRNEK11
ÖRNEK14
f ( x)   x 2  2mx  2  m parabolü x eksenini teğet
ise m in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
ÖRNEK12
f ( x)  x 2  (3  m) x  m  11 parabolünün x
eksenini kestiği noktalar toplamı 1 ise y eksenini kestiği
noktanın ordinatı kaçtır?
ÖRNEK15
Kural
f ( x)  ax  bx  c
2
f ( x)  x 2  (2  m) x  9 parabolü x eksenini pozitif
denkleminde,
yönde teğet ise m kaçtır?
 = b2 – 4ac olmak üzere,
 > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki
noktada keser.
 < 0 ise, parabol x eksenini kesmez.
 = 0 ise, parabol x eksenine teğettir.
3
ÖRNEK18
Kural
A)
f ( x)  ax 2  bx  c
x   3,6 için f ( x)  x 2  4 x  1 fonksiyonunun
olmak üzere, parabolün
tepe noktası T(r, k) olsun.
en büyük ve en küçük değerini bulunuz
a < 0 ise, y alabileceği en büyük değer k dir.
a > 0 ise, y nin alabileceği en küçük değer k dir.
B) Parabolün tanım aralığı
yani gerçel sayılar
kümesi değil de [a, b] biçiminde sınırlı bir gerçel sayı
aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da en küçük
elemanını bulmak için ya şekil çizerek yorum yaparız.
Ya da aşağıdaki işlemler yapılır:
D. PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
f(x) in tepe noktasının ordinatı, yani k bulunur.
a. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında ise; k,
f(a), f(b) sayılarının, en küçük olanı f(x) in en küçük
elemanı; en büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.
b. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında değil
ise; f(a),
f(b) sayılarının, küçük olanı f(x) in en küçük elemanı;
büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.
MATEMATİK’İM
f(a) ile f(b) hesaplanır.
Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek için,
üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir.
(a, b), (m, n) ve (k, t) noktaları y = f(x) parabolü üzerinde
ise; b = f(a), n = f(m), t = f(k) eşitlikleri kullanılarak
parabolün denklemi bulunur.
Kural
x eksenini x1 ve x2 noktalarında kesen
parabolün denklemi,
y  a( x  x1 )( x  x2 ) dir.
ÖRNEK16
f ( x)  x 2  4 x  7 parabolünün en küçük değeri
kaçtır?
Kural
Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi,
y  a( x  r )2  k dır.
ÖRNEK19
x eksenini -2 ve 3 noktalarında y eksenini -6 noktasında
ÖRNEK17
kesen parabolün denklemini bulunuz.
y  x 2  5x  11 ise x  y nin en büyük değeri
kaçtır?
ÖRNEK20
Tepe noktası T ( 2, 4) ve (1, 14) noktasından geçen
parabolün denklemini bulunuz.
4
ÖRNEK25
SIRA SİZDE
x  (5,3) için f ( x)  x 2  4 x  3 fonksiyonunun
ÖRNEK21
en büyük ve en küçük değerini bulunuz
y  x 2  3x  10 parabolünün eksenleri kestiği
noktaları bulunuz?
ÖRNEK26
x eksenini -3 ve 1 noktalarında y eksenini 3 noktasında
kesen parabolün denklemini bulunuz.
ÖRNEK22
noktasında kestiğine göre x eksenini kestiği noktalar
toplamı kaçtır?
MATEMATİK’İM
f ( x)  x 2  (3  m) x  m  1 parabolünün y ekseni 2
ÖRNEK27
ÖRNEK23
f ( x)  x 2  4 x  m  1 parabolü x eksenine teğet
Tepe noktası T (2, 4) ve (0, 4) noktasından geçen
parabolün denklemini bulunuz.
olduğuna göre teğet noktasını bulunuz.
ÖRNEK24
y  x 2  7 x  3 ise y  3 x ifadesinin en küçük
değeri kaçtır?
ÖRNEK28
x eksenine (2,0) noktasında teğet olan ve y eksenini -4
noktasında kesen parabolün denklemini bulunuz.
5
C. PARABOLÜN GRAFİĞİ
ÖRNEK29
f ( x)  ax 2  bx  c fonksiyonunun grafiğini
çizmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:
1) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.
2) Parabolün tepe noktası bulunur.
3) Parabolün kollarının aşağı veya yukarı olma
durumuna göre, kesim noktaları ve tepe noktası
koordinat düzleminde gösterilip, bu noktalardan geçecek
biçimde grafik çizilir.
Kural
f ( x)  ax 2  bx  c
fonksiyonunun
grafiğinde (parabolde),
ÖRNEK30
a > 0 ise kollar yukarıya doğru,
a < 0 ise kollar aşağıya doğrudur.
f ( x)  ax 2  bx  c fonksiyonunun grafiği
aşağıdaki gibidir:
MATEMATİK’İM
Buna göre,
ÖRNEK31
Parabolün en alt ya da en üst noktasına tepe
noktası denir.
ÖRNEK29
y  x 2  2 x  3 parabolünün grafiğini çizelim
ÖRNEK32
6
kümesinin analitik düzlemde gösterimi:
kümesinin analitik düzlemde gösterimi:
MATEMATİK’İM
ÖRNEK33
ÖRNEK34
F. İKİ EĞRİNİN BİRLİKTE İNCELENMESİ
y = f(x) ile y = g(x) eğrisinin birbirine göre üç farklı
durumu vardır.
f(x) = g(x) denkleminin, tek katlı köklerinde eğriler
birbirini keser; çift katlı köklerinde birbirine teğettir.
Eğer f(x) = g(x) denkleminin reel kökü yoksa, eğriler
kesişmez.
Özel olarak,
f ( x)  ax 2  bx  c parabolü ile y = mx + n
doğrunun denklemlerinin ortak çözümünde elde edilen,
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b – m)x + c – n = 0
E. EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN
GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ
Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat
düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği
çizilmiş olur.
denkleminin diskriminantı
olsun.
= (b – m)2 – 4a(c – n)
> 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişir.
< 0 ise parabol ile doğru kesişmez.
= 0 ise doğru parabole teğettir.
7

ÇÖZÜM
16
m
 2m 2  16
2.m
2
m 8m  2 2
1. f ( x)  2 x 2  8 x  1 parabolünün tepe noktasının
koordinatlarının toplamı kaçtır?
A) -5

ÇÖZÜMLÜ TEST
B) -3
C) 1
D) 2
E) 3
YANIT “A”
ÇÖZÜM
b
8
r

2
2a
2.2
4. f ( x)  4 x  2 x 2  m  2 parabolünün simetri
ekseni x  m  0 doğrusu olduğuna göre tepe
k  f (2)  2.22  8.2  1  7
noktasının koordinatları toplamı kaçtır
T (2, 7) olur 2  7  5
YANIT “A”
2. f ( x)  2 x 2  (m  1) x  7 parabolünün tepe
noktasının koordinatları T ( 1, k ) olduğuna göre m  k
kaçtır?
MATEMATİK’İM
A) -2
B) -1
C) 2
D) 4
E) 8
ÇÖZÜM
r
4
 1,
2(2)
xm  0 x  m
parabolünün simetri ekseni x  r olduğundan
olur.
m 1
f ( x)  4 x  2 x 2  1
A) -5
B) -4
C)- 3
D) 1
E) 2
ÇÖZÜM
b
(m  1)
r

 1
2a
2.(2)
m 1
 1  m  1  4  m  5
4
f ( x)  2 x 2  4 x  7 olur
k  f (1)  4.1  2.12  1  3
1 3  4
YANIT “D”
5. f ( x)  x 2  2mx  3  m parabolünün tepe
noktası x ekseni üzerinde ise m in alabileceği değerler
çarpımı kaçtır?
k  f (1)  2(1)  4(1)  7
2
A) -3
k  f (1)  2(1)2  4(1)  7
k  2  4  7  9
m  k  5  9  4
YANIT “B”
B) -1
C) 2
r
3. f ( x)  mx  16 x  2m  3 parabolünün tepe
noktası T ( m, k ) olduğuna göre m kaçtır?
A)
2 2
B)
2
C) 1
D) 2
E) 5
ÇÖZÜM
parabolünün tepe noktası
olmalıdır.
2
D) 4
2m
 m,
2.1
x ekseni üzerinde ise k=0
k  m 2  2m.m  3  m  0
k  m 2  m  3  0  m1.m2  3
E) 4
YANIT “A”
8
6. y  x 2  (m  2) x  6 parabolünün x eksenini
9. f ( x)  x 2  (2  m) x  2  k parabolü x eksenine
(2,0) teğet ise k kaçtır?
kestiği noktalardan biri 2 olduğuna göre m kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) -2
E) -3
A) 2
ÇÖZÜM
x 2  (m  2) x  6  0
22  (m  2).2  6  0
4  2m  4  6  0  2m  6
m  3
B) 1
C) 0
D) -2
E) -3
ÇÖZÜM
parabolü x eksenine (2,0) teğet ise
f ( x)  x 2  (2  m) x  2  k  ( x  2)2
x 2  (2  m) x  2  k  x 2  4 x  4
2  k  4  k  2
YANIT “E”
7. f ( x)  x 2  (5  m) x  m  1 parabolü y eksenini
-3 noktasında kestiğine göre x eksenini kestiği noktalar
toplamı kaçtır?
A) -3
B) -2
C) 1
D) 2
E) 3
ÇÖZÜM
x  0 için y  3
02  (5  m).0  m  1  3  m  2
f ( x)  x 2  3x  3 olur
x1  x2  3 olur
MATEMATİK’İM
YANIT “D”
10. f ( x)  x 2  (3  m) x  16 parabolü x eksenini
negatif yönde teğet ise m kaçtır?
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
E) 6
ÇÖZÜM
parabolü x eksenini negatif yönde teğet ise
f ( x)  x 2  (3  m) x  16  ( x  4)2
x 2  (3  m) x  16  x 2  8x  16
(3  m)  8  m  11
YANIT “A”
YANIT “A”
8. f ( x)  x 2  4 x  m  1 parabolü x eksenini
kesmediğine göre m in çözüm kümesini bulunuz?
A) m  5
D) m  5
B) m  5
C) m  5
E) 5  m  5
ÇÖZÜM
0
(4)2  4.1(m  1)  0
16  4m  4  0  4m  20
m  5
YANIT “C”
11. A  x 2  3 x  1
B   x2  4x  7
B’nin en büyük değeri için A kaçtır?
A) 0
B) -1
C) -2
D) -3
E) -4
ÇÖZÜM
B   x 2  4 x  7 en büyük değeri için
4
xr
 2 olmalı
2, ( 1)
A  22  3.2  1  4  6  1  3
YANIT “D”
9
ÇÖZÜM
4 x  2.2 x  8  0
2 x  t dönüşümü yaparsak
t 2  2t  8  0
(t  4)(t  2)  0
t  4 veya t  2
12. y  x 2  7 x  11 parabolü üzerinde alınan bir
noktanın ordinatı ile apsisi arasındaki farkın en
küçük değeri kaçtır?
A) -27
B) -17
C) -7
D) 3
E) 4
2x  4  x  2
2 x  2 sağlayan x değeri yoktur
ÇÖZÜM
parabol üzerinde A( x, y ) noktası alalım
y  x  x 2  7 x  11  x
y  x  x 2  8 x  11 olur
8
r
4
2.1
y  x  42  8.4  11
y  x  16  32  11  27
YANIT “E”
15. Tepe noktası T (2, 4) ve (1, 14) noktasından
geçen parabolün denklemini bulunuz.
A) 0
13. x   3,6 için f ( x)  x 2  4 x  1
fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulunuz
A) 0
B)
C) 

D)
E) 2
MATEMATİK’İM
YANIT “A”
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
ÇÖZÜM
x2  x  3  5  0
x  3  0 ise
x2  x  3  5  0  x2  x  2  0
x 2  x  2  0  ( x  2)( x  1)  0
x  2 veya x  1 denklemde yerine yazdığımızda
hiçbiri sağlamaz
x  3  0 ise
x2  x  3  5  0  x2  x  8  0
x 2  x  8  0 için
  0 olduğundan iki reel kökü vardır.
ÇÖZÜM
x  4 x  1  2  x  2  4 x  1
YANIT “C”
Her iki tarafın karesi alınırsa
16. x  (m  1) x  3x  m  0 denkleminin simetrik
2
x2  4 x  4  4 x  1
x 2  3 dolayısıyla Ç.k boş küme olur
iki kökü olduğuna göre m kaçtır?
YANIT “D”
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
14. x eksenini -2 ve 3 noktalarında y eksenini -6
noktasında kesen parabolün denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM
x 2  (m  1) x  3x  m  0 denkleminin simetrik iki
kökü olduğuna göre kökler toplamı sıfır olur yani
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
b0
m  1  3  0  m  2 olur
10
YANIT “E”
3x 2  3x  1  0
x1  x2  1
m  2x olduğundan m1  m2  2 olur.
17. x 2  (m  1) x  m  1  0
x 2  (m  1) x  2m  1  0
YANIT “A”
denklemlerinin birer köü eşit olduğuna göre m’in
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
ÇÖZÜM
İki denklemi birbirine eşitlersek
x 2  (m  1) x  m  1  x 2  (m  1) x  2m  1
mx  x  m 1  mx  x  2 m 1
2x  m olur.
x 2  (2 x  1) x  2 x  1  0
x2  2x2  x  2x 1  0
3x 2  3x  1  0
x1  x2  1
20. x  2 
4
 5 ise x in alabileceği değerler
x2
toplamı kaçtır?
A) -5
B) 1
C) 5
D) 7
E) 9
ÇÖZÜM
x2  a
4
a 5
a
2
a  4  5a  a 2  5a  4  0
(a  1)(a  4)  0
a 1 x  2 1 x  3
a  4 x2  4 x  6
3  6  9 olur
m  2x olduğundan m1  m2  2 olur.
YANIT “E”
YANIT “A”
18.
21. x 2  2 xy  y  3  0
x y 2
x 2  (m  1) x  m  1  0
x 2  (m  1) x  2m  1  0
denklemlerinin birer kökü eşit olduğuna göre m’in
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
ÇÖZÜM
İki denklemi birbirine eşitlersek
x 2  (m  1) x  m  1  x 2  (m  1) x  2m  1
mx  x  m 1  mx  x  2 m 1
2x  m olur.
x 2  (2 x  1) x  2 x  1  0
x2  2x2  x  2x 1  0
A) -1
B) 
1
2
C) 1
D) 2
E)
1
2
ÇÖZÜM
x y  2 x  2 y
(2  y)2  2(2  y) y  y  3  0
2  2 y  y2  4 y  y2  y  3  0
2 y2  5 y 1  0
1
y1. y2 
2
YANIT “B”
11