Mikrodalga Sistemleri EEM 448 - Trakya Üniversitesi

Mikrodalga Mühendisliği
HB 730
Yrd. Doç. Aytaç Alparslan
E-mail: [email protected]
Set2: Elektromayetik dalga teorisine giriş-1
Maxwell denklemleri
Teşekkür: Prof. İrşadi Aksun / Koç Üniversitesi
http://web.mit.edu/jbelcher/www/inout.html
http://cobweb.ecn.purdue.edu/~ece695s/Lectures
Elektromanyetik Dalga Teorisi
• Maxwell denklemleri EM dalga teorisinin temelidir (diferansiyel
form):
~
~
B
~
E  
~ t
~ D ~
H 
J
t
~
D  
~
B  0
E(r, t )
~
H(r , t )
~
D(r, t )
~
B(r, t )
~
J(r, t )
~
(r, t )
Elektrik alan vektörü [V/m]
Ortamın elektrik geçirgenliği
Manyetik alan vektörü [A/m]
Elektrik akı yoğunluğu [C/m2]
Manyetik akı yoğunluğu [W/m2]
Akım yoğunluğu [A/m2]
Yük yoğunluğu [C/m3]
~
~
+ Devamlılık denklemi:   J   
t
~
~
D   r 0E
~
~
B   r 0 H
Ortamın manyetik geçirgenliği
Ödev: Devamlılık formülünü
ispat edin.
İpucu:
  (  A )  0
Ders boyunca, kalın karakterler ve  işareti, sırasıyla, vektör ve zamana bağlı değişen büyüklükleri ifade etmek için kullanılacaktır.
Maxwell Denklemleri
• Aynı denklemler integral formda da yazılabilir
 ~
~
E

d
l



 B  ds
t A
C
 ~
~
~
 H  dl 
 D  ds   J  ds
C
A
t A
~
~
D

d
s


  dv
A
V
~
 B  ds  0
A
 ~
~
+ Devamlılık denklemi:  J  ds     dv
t V
A
Diferansiyel formdan integral forma geçiş?
Diferansiyel form İntegral form
• Örnekler:
~
B
~
E  
t

~
~
   E  ds   t  B  ds
A
A

~
~
E

d
l


B
 ds


t
C
A
Stoke teoremi:
   A  ds   A  dl
A
C
Ödev: Kalan denklemlerin
integral formlarını hesaplayın
~
B  0
~
   B dv  0


V
~
 B  ds  0
A
Divergence teoremi:
   A dv   A  ds
V
A
Maxwell denklemleri - 1
 ~
~
 E  dl    B  ds
t A
C
A alanı etrafında dolanan elektrik alan
Faraday-Maxwell’in yasası
A yüzeyinden geçen manyetik alanın zamana bağlı değişimi
• Zamana bağlı olarak değişen manyetik alan, etrafında dairesel
elektrik alan oluşturur.
Video
• coil.mov, pull.avi, push.avi
Maxwell denklemleri - 2
 ~
~
~
 H  dl 
 D  ds   J  ds
t
C
A
Genelleştirilmiş Ampère’in yasası
A
A yüzeyinden geçen akımın integrali
A yüzeyi etrafında dolanan manyetik alan
A yüzeyinden geçen elektrik alanın zamana bağlı değişimi
• İçinden akım geçen bir yüzeyin
etrafında manyetik alan oluşur.
• Zamana bağlı değişen elektrik
alan manyetik alan manyetik alan
yaratır.
Maxwell Denklemleri - 3
• Gauss kanunu
• Kapalı bir yüzeyden çıkan toplam
elektrik alan, kapalı yüzeyin içindeki
toplam yük ile orantılıdır.
(elektrik monopol)
• Manyetik monopol yoktur!
~
~
D
  ds    dv
A
V
~
B
  ds  0
A
Maxwell Denklemleri
E (t )
H (t )
E (t )
H (t )
I (t )
(a)
H 

DJ
t
E (t )
E (t )
H (t )
H (t )
I (t )
(b)
I (t )
E  

B
t
(c)
H (t )

H  D
t
Fazör form
• Maxwell denklemleri lineer operatörlerden oluşur (örn: türev,
integral)
• Dalga ve alanların içinde bulunduğu malzemeler de lineerdir.
• Dolayısıyla, sinyal ve sistemler konseptinde olduğu gibi, EM dalga
üreteçlerinin yarattığı sinyaller sinüslerin toplamı cinsinden
yazılabilir (Fourier transform)!
• Bütün dalga bileşenlerinin tek frekanstan oluştuğunu bilmek
Maxwell denklemlerindeki zamana bağlı türev almayı kolaylaştırır.
Fazör form
Zamana bağlı olarak alanların değişimini
açıklayan kısım (fazör)












~
E x, y, z , t   Re E x, y, z e j t
~
H  x, y, z , t   Re H  x, y, z e j t
~
D x, y, z , t   Re D x, y, z e j t
~
B x, y, z , t   Re B x, y, z e j t
~
J  x, y, z , t   Re J  x, y, z e j t
~  x, y, z , t   Re   x, y, z e j t
Komplex sayılar
Örnek: x yönünde polarize bir elektrik alan:
~
Ex, y, z, t   xˆ Ex, y, z cost   
yukarıda bütün büyüklükler reel sayılardır.
Aynı elektrik alan fazör form kullanarak şöyle
yazılır:
E x, y, z   xˆ E  x, y, z e j
Fazör formdan zaman formuna geçerken yapılması
gereken fazör formdaki formülü kullanılan zaman
j t
harmoniği (bu ders boyunca e
kullanılacaktır) ile
çarpmak ve reel kısmını almaktır!
Fazör formda Maxwell denklemleri
• Örn: Ampére kanunu:
~
D(r, t ) ~
~
  H (r, t ) 
 J (r, t )
t

  e{H (r )e jt }  e{D(r )e jt }  e{J (r )e jt }
t
  H (r )  jD(r )  J (r )
Kalan denklemlere de uygulanınca:
  E(r )   jB(r )
  D(r )   (r )
  B(r )  0
Fazör formda zamana bağlı türev almak kolaylaşır!
d
 j
dt
Fazör formda Maxwell denklemleri
Integral form
Differential form
 E  dl   j B  ds
  E   jB
C
A
 H  dl  j D  ds   J  ds
C
A
A
 D  ds   dv
A
  H  jD  J
D  
V
B  0
 B  ds  0
A
 J  ds   j  dv
A
V
  J   j