Elektromanyetik Dalga Teorisi
advertisement
Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-1 Diferansiyel Formda Maxwell Denklemleri İntegral Formda Maxwell Denklemleri Fazörlerin Kullanımı Zamanda Harmonik Alanlar Malzeme Ortamı Dalga Denklemleri Michael Faraday, (d. 22 Eylül 1791, 25 Ağustos 1867) İngiliz bilim adamı Oersted’in bu keşfinden sonra 1831 yılında İngiliz bilim adamı Michael Faraday, bir iletkenden geçen akımın manyetik alan oluştururken acaba bir manyetik alanın da bir iletken üzerinde akım oluşturup oluşturamayacağını (indüksiyon) merak etti. Bunun üzerinde Faraday aşağıdaki resimdekine benzer bir düzenek hazırladı. Düşüncesine göre anahtarı kapattığında sağdaki sargı nedeniyle demir çekirdek manyetik olacak ve soldaki sargı da oluşan bu manyetik alan nedeniyle üzerinden akım geçirecekti. İndüklenen bu akım da, Oersted’in keşfine göre pusula etrafında manyetik alan oluşturacak ve pusula iğnesi sapma yapacaktı. Ancak durum Faraday’ın tahmin ettiği gibi olmadı. anahtarı kapatıp beklediğinde pusulada herhangi bir sapma olmuyordu ancak anahtarı kapattığı anda pusula çok hızlı bir şekilde sapıyor ve eski pozisyonuna geri dönüyordu. Bunu bir de anahtarı açarak denedi ve gördü ki bu kez pusula çok hızlı bir şekilde ters tarafa sapmış ve eski pozisyonuna geri dönmüştü. Faraday bu deneyden, akımın beklediği gibi sabit bir manyetik alandan değil değişen manyetik alandan dolayı oluştuğunu (indüklendiğini) anladı ve Faraday Yasası ortaya çıktı. Diferansiyel Formda Faraday Kanunu (Maxwell-Faraday denklemi) Kapalı bir devre içerisinden geçen manyetik akının değişmesi devrenin uçlarında bir akım indüklenmesine sebep olmaktadır. İndüksiyon elektromotor kuvveti aşağıdaki gibi tanımlanmıştı: MaxwellFaraday denklemi Her iki tarafın diverjansı alınırsa; Maxwell-Amper Denklemi Gauss kanunu, integral formunda deplasman vektörü kullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir. Vektörünün sağladığı akım: Deplasman akımı Amper kanununda yerine konursa Stokes teoriminden Maxwell-Amper denklemi Eşitliğin her iki tarafının diverjansı alınırsa Süreklilik denklemi ile karşılaştırılırsa Maxwell’in diverjans eşitliği Maxwell Denklemlerinin Diferansiyel Formu Faraday Kanunu Amper Kanunu Gauss Kanunu Manyetik Gauss Kanunu Maxwell Denklemlerinin Diferansiyel Formu Elektrik Alan Şiddeti [V/m] Manyetik Alan Şiddeti [A/m] Elektrik Akı Yoğunluğu [C/m2] Manyetik Akı Yoğunluğu [Weber/m2] Elektrik Akım Yoğunluğu [Amper/m2] Elektrik Yük Yoğunluğu [Coulomb/m3] Simetrik Maxwell Denklemleri Yanda verilen denklemler Asimetrik Maxwell Denklemleridir. Simetrinin sağlanması için manyetik kaynak ve eklenmelidir. Bu durumda simetrik Maxwell Denklemleri aşağıdaki gibi elde edilir. İntegral Formda Maxwell Denklemleri Fazörlerin Kullanımı Bir sinüzoidal skaler niceliğin, örneğin i akımının anlık (zaman-bağımlı) ifadesi bir kosinüs veya bir sinüs fonksiyonu olarak yazılabilir. Eğer referans olarak kosinüs fonksiyonunu seçersek bulunan tüm sonuçlar kosinüs fonksiyonuna dayanacaktır. Bir sinüzoidal niceliğin belirtilmesi üç parametre bilgisi gerektirir : Genlik, frekans ve faz. Genlik Açısal frekans (2f) Faz açısı Fazörlerin Kullanımı i(t)’yi istersek sinüs fonksiyonu olarak da yazabiliriz. Referansımız kosinüs olduğu için faza /2 eklenir. Fazörlerin Kullanımı Fazörler, kompleks niceliklerin genlik ve faz bilgisi içeren kutupsal biçimleridir. Fazör gösterimi Fazörlerin Kullanımı Akım fazörü Is’den anlık i(t) tepkisi, Is’yi bulunabilir. ile çarpıp sonucun reel kısmını alarak Aşağıdaki akım fonksiyonlarının Is fazör ifadelerini kosinüs referansı kullanarak yazınız. a) b) Kosinüs referansı için a) b) yazarız. Aşağıdaki fazörler için kosinüs referansını kullanarak anlık v(t) ifadelerini elde ediniz. a) b) Harmonik Maxwell Denklemleri Taşıdığı açısal frekansı olan anlık elektrik alan Fazör alan; aşağıdaki gibi yazılabilir: Harmonik Maxwell Denklemleri Malzeme Ortamı Elektrik polarizasyon vektörü [C/m2] Manyetik polarizasyon vektörü [Amper/metre] 0 (Boşluğun manyetik geçirgenlik katsayısı) = 4 10-7 [Henry/m] 0 (Boşluğun dielektrik katsayısı) e Elektriksel duyarlılık m Manyetiksel duyarlılık = 1/(36 109 ) [Farad/m] İletkende Akım Yoğunluğu İletken ve kayıplı bir ortama elektrik alan uygulandığında iletkenlik akımı meydana gelir. Ohm kanununa göre iletkenlik akım yoğunluğu uygulanan elektrik alan ile orantılıdır. , ve ortam parametreleridir ve sırasıyla kapasite (C), endüktans (L) ve kondüktans (G) ile ilgilidir. Elektrik akımını aşağıdaki gibi yazabiliriz. Ortama dışarıdan uygulanan akım kaynağı İletkenlik akım yoğunluğu İletkende Akım Yoğunluğu Birçok ortam, bazı manyetik malzemeler hariç, manyetik açıdan kayıpsızdır. Manyetik iletkenlik akımı Mc sıfırdır. Dolayısıyla manyetik akım: dir. Bu durumda Maxwell denklemlerini yeniden düzenlersek: Kayıp tanjantı (loss tangent); iletkenlik akımının neden olduğu enerji kaybının derecesini gösterir. ise iyi iletken ise iyi yalıtkan Periyodik Dalga y t=0 x=0 t=T/4 t=T periyot Dalga boyu l A =genlik x Bir dalganın matematiksel tanımı Bir sinüzoidal dalga, dalga fonksiyonu ile tasvir edilir: Açısal frekans Dalga hızı +x yönünde hareket eden sinüzoidal dalga periyot Dalga Boyu Bir dalganın matematiksel tanımı Dalga sayısı Bir dalganın matematiksel tanımı Sinüzoidal dalgada parçacık hızı ve ivmesi Hız İvme Ayrıca Bir dalganın matematiksel tanımı Dalga Denklemi ve Çözümleri Sınır değer problemlerinin çözümünde, birinci dereceden kısmi diferansiyel denklemler olan Maxwell Denklemleri’nin çözümü kullanılır. Ancak, Maxwell denklemleri birbirine kuple denklemlerdir. Bunun anlamı, her bir denklem 1 bilinmeyen alandan fazlasını içerir. Bu sebeple bu denklemler, birbirine kuple olmayan 2. dereceden diferansiyel denklemler haline dönüşür. Bu denklemlere Dalga Denklemi denir. Dalga Denklemi ve Çözümleri Benzer şekilde ikinci denklem de düzenlenebilir. Vektör Dalga Denklemleri Kaynaksız Ortam Kaynaksız ve kayıpsız ortam Zamanda Harmonik Dalga Denklemleri Kaynaksız ortamda harmonik dalga denklemi Zamanda Harmonik Dalga Denklemleri Propagasyon (yayılım) Sabiti Zayıflama Sabiti (Np/m) Faz Sabiti (Rad/m) Kayıpsız Ortam
