1 II ) ÇIKARTIMI A) TARİHSEL GELİŞİM B) İNTEGRAL BİÇİMLER C

1
II )
2
A  O J ÇIKARTIMI
A) TARİHSEL GELİŞİM
B) İNTEGRAL BİÇİMLER
C) DİFERANSİYEL BİÇİMLER
D) MAXWELL KATKISI
E) POTANSİYELLER , AYARLAR , ELEKTROMAGNETOSTATİK
F) ELEKTRODİNAMİK
G) RELATİVİSTİK YAZILIM
H) ÖZET TABLO
I) UZAY-ZAMAN TERSİNMELERİ
J) MEKANİK
2
A) TARİHSEL GELİŞİM
İleri düzeyde bir Elektromagnetik Teori (EMT) dersi bile konuya temel deneysel gözlemlerle
girmek zorundadır. Elektrik yükün: Varlığı, İki cins oluşu, Korunumu ve Kuantizasyonu, antik
çağlarda başlayıp, 20. Yüzyıl başlarına kadar süren gözlemlerle saptanmıştır. Teorinin bir
kanadı elektromagnetik alanların yükleri nasıl etkilediğini belirleyen Lorentz kuvveti :
F  q  E  v  B  , diğer kanadı ise alanların birbirleri ve uzay-zaman ile ilişkilerini
açıklayan Maxwell denklemleridir. EMT ve onun Kuantum Teorisine yansıyan biçimi olan
Kuantum ElektroDİnamiği (KEDİ) fiziğin en güvenilir teorisi olup, 10 mertebesinde
hassas ölçümlere izin verir. Bilim tarihi birleşmelerin tarihidir: Newton'un astronomi ile
dinamiği, Daniel Bernoulli'nin ısı olayları ile dinamiği, dolayısıyla akustik bilimini
birleştirmelerinden sonra Maxwell attığı büyük bir adımla elektrik ve magnetik olayları,
dolayısıyla optik başta olmak üzere tüm elektromagnetik radyasyonu birleştirmiş oldu.
Bir sonraki birleşme için (elektro-zayıf etkileşme) 100 yıl beklemek gerekecekti. 
B) İNTEGRAL BİÇİMLER
Maxwell denklemlerinin tarihsel gelişiminde önce Coulomb yasası (1787) : (0, 0, 0)
noktasındaki bir Q yükünün r  ( x, y, z ) noktasındaki q yükü üzerinde oluşturduğu
kuvveti F 
1
4 o
Qq
1
rˆ ile verir.
2
r
4 o
katsayısı Maxwell denklemlerinin estetiği
uğruna yapılan bir fedakarlıktır. Bu kuvveti q yükü ile Q yükünün yarattığı elektrik
alanının çarpımı olarak yazmak istersek E 
elemanı
dS ile skalar çarpımı d  
rˆ  dS
r2
1
4 o
Q
rˆ buluruz. İki tarafın da yüzey
r2
katı açı tanımı ile E  dS 
1
4 o
Q d
verir. Bunun da Q yükünü içeren bir kapalı yüzey üzerinden integrali alınarak

E  dS 
Qiç
o

1
o
  dV
Gauss yasası elde edilir. Bu denklemin teorik önemi bir
3
yana, pratik problemlerde pek yararı yoktur. Yararlı bir sonuç için kapalı yüzeyimizin sadece
3 tip yüzeyden oluşması gerekir : So : E  0 olan yüzeyler
S : hem E  sabit , hem de E
yüzeyler ,
ve S  terimlerinden katkı gelmez ve E 
S : E  dS olan
,
dS olan yüzeyler . Bu durumda So
Qiç
o S
sonucuna ulaşılır. Bu çok özel
durumun geçerli olduğu birkaç problemin çözümü zaten giriş düzeyinde bir elektrik dersinde
yapılmıştır.
Bu noktada tarihsel olarak gerilere gidip 17. Yüzyıl başlarında kraliçe I. Elizabeth'in doktoru
Gilbert'in magnetik yük ayrıştırma çabalarının sonuçsuz kalması hatırlanmalıdır. Günümüzde
bile süren ama hala sonuçsuz kalan bu çabanın negatif sonucu Gauss yasası formatında

B  dS  0 olarak ifade edilir. Zamanda tekrar ileri giderek 19. Yüzyıl başlarında elektrik
akımının pusulaları etkilediği gözleminin matematik ifadesi Ampere tarafından

Bd
 o I iç
olarak verildi (1820) . Sonsuz sayılabilecek uzunluktaki bir doğru
parçasından geçen sabit akımın yarattığı magnetik alanı inceleyen deneyler,
uzaklığı göstermek üzere B  I ,
B 
o
1 ˆ
I

2

,
d
1

;
Bˆ  ˆ
 , akımdan
sonucunu verir.
 d  ˆ   d ˆ  dz zˆ
ifadelerinin skalar çarpımının
akımın içinden geçtiği bir kapalı yol üzerinden integralini alarak da
Bd

o
I d
2


Bd
 o I  o

J  dS
sonucuna erişilir.
Ampere'in deneylerinin sabit akım kullanılarak yapılmasının sakıncaları ileride gündeme
gelecektir. Bu arada çok önemli bir gözlem : teorinin iki evrensel sabitinin bir başka evrensel
sabit ile  o o 
1
c2
ilintisi olmuştur. Değişen magnetik alan, dolayısıyla magnetik
akıların elektrik akımı yaratması gözleminin de matematik ifadesi

E d
 
ile verildi ve Faraday yasası olarak adlandırıldı (1835) . Maxwell öncesi Maxwell
denklemlerinin integral biçimleri :
d
B  dS
dt 
4
1

E  dS 

B  dS  0
o

 dV
;

E d
 
d
B  dS
dt 
;

Bd
 o

J  dS
olarak özetlenir.
C) DİFERANSİYEL BİÇİMLER

W  dS 
  W  dV

E  dS 
    E  dV


B  dS 
   B  dV
 0

E d

    E   dS
 
d
B  dS
dt 

Bd

   B   dS
 o

;
1
o

W d

 dV


J  dS 
    J  dV

   W   dS

 E 
J  dS



1
o
 B  0

o


 E  
B
t
  B  o J
J  dS  
  

 dV
 t 
d
dt


biçimine dönüşür.
 E 
1
vektör özdeşlikleri ile :
 B  0
bulunur. Elektrik yükün korunumu ise
Bu da

B
t
,
 E  
,
  B  o J
 dV olarak yazılabilir.

   J  0 diferansiyel
t
5

   J  0 yük korunumu denklemi ile tutarlı olmaması,
t
denklemlerinin


 0 vektör özdeşliğinin


 0  o   J  0
   W
  B
  B  o J Ampere denklemine uygulanmasının
sonucunu vermesi ciddi bir problemdir.
D) MAXWELL KATKISI
Maxwell bu tutarsızlığı, deneyler alternatif akımla yapılmadığı için eksik kalan Ampere
yasasını düzelterek çözdü.

  B  o J  X




 J   X  0

o   E    X  0
t
  o


  X  0
t


E
t
  X
  B  o J 
çözümü ile Ampere yasasının eksiksiz biçimi
Yük korunumu denklemini ayrıca yazmak gereksizdir, zira artık
  B  o J 
1 E
c 2 t
ve
 E 
1
o


1 E
c 2 t

X  o
E
t
olur.

  J  0
t
bağıntısı
denklemleri içinde gizlenmiş olarak
mevcuttur.
E) POTANSİYELLER , AYARLAR , ELEKTROMAGNETOSTATİK
İki tanesinin vektör karakteri göz önüne alınınca toplam 8 tane olan Maxwell denklemleri
girift (coupled) oldukları için doğrudan çözümleri imkansızdır. Bir alıştırma olarak
zamandan bağımsız, statik özel durumu incelersek
  E r  
1
o
 r 
,
  E r   0
;
  B r   0
,
  B  r   o J  r 
denklemlerinin girift olmaktan kurtulup, elektrik ve magnetik olarak ayrıştığını görürüz.
6
    0
Elektrostatik için
vektör özdeşliğinin
  E r   0
uygulanması bize V  r  : Elektrik Potansiyeli olmak üzere
olduğunu ima eder; bunun da
1
2 V  r  
o
  E r  
1
o
 r 

   W

 0
denklemine yerleştirilmesi sonucu
vektör özdeşliğinin
A r 
uygulanması, Vektör Potansiyel olarak adlandırılan
olduğunu ima eder. Burada problem
A r 
  r  fonksiyonu ile yapılan
 A  r     r 
A r 
  B r   0
cinsinden
denklemine
B r     Ar 
fonksiyonunun tek olmayışıdır; keyfi bir
değiştirmez. Zira bir vektörü tanımlamak için sadece
 W
E  r    V  r 
  r  Kaynak Terimli Laplace (veya Poisson) denklemine ulaşılır.
Magnetostatik için ise
olmaz;
denklemine
 W
dönüşümü
B r 
alanını
sonucunu bilmek yeterli
sonucunu da bilmek gerekir. Helmholtz teoremi olarak bilinen bu ilkenin
ispatına yönelik bir yaklaşım problem olarak verilecektir. Elektrodinamikte
  A seçimi
"Ayar" olarak adlandırılır. İncelediğimiz statik durumda bu seçim cebirsel kolaylık açısından
 A  0
olarak yapılacaktır (Coulomb Ayarı) .
  B  r   o J  r 

   W

B r     Ar 
ifadesinin
denklemine yerleştirilmesi sonucu


    W + 2W
2 A  r   o J  r 
özdeşliği yardımı ile gene bir Poisson denklemi
elde edilir.
F) ELEKTRODİNAMİK
Dinamik durum doğal olarak daha karmaşıktır. En kolay denklemden başlayarak
 B  0  B   A sonucunun

A 
E    0
t 

 E  
B
t
denklemine yerleştirilmesi
verir. Statik tecrübemizden yararlanarak, bundan da
7
E
A
  c Ao
t
Potansiyel
alanının
ara sonucuna ulaşırız. Burada Skalar Potensiyel
E   c Ao 
A 'nın aynı boyuta sahip olması için c kullanılmıştır.
1
 E 
c 2 Ao   
 
o
1 Jo
o c
A
1

J
t
 oc o

veya

2 Ao 

1
  A  o J o
c t
  B  o J 
edilir. Bu denklemleri en basit biçime sokacak ayar seçiminin
(Lorentz Ayarı) olduğu görülür. Bu seçimle
sonucunu verir.
1 E
c 2 t
denklemine
1
1 2 A
Ao  2 2
c t
c t

    A     A + 2 A  o J 
 1 2
2
 c 2 t 2    A  o J


A
t
denklemine yerleştirilmesi
Alanları potansiyeller cinsinden veren ifadeleri
yerleştirerek de
ile Vektör
Ao
elde
1 Ao
  A  0
c t
 1 2
2
 c 2 t 2    Ao  o J o


ve
biçimini alan 4 denklem Kaynak Terimli Dalga Denklemi olarak
adlandırılır.
G) RELATİVİSTİK YAZILIM
Coulomb ayarının Lorentz ayarının relativistik olmayan özel hali olduğu da görülmektedir.
1 2
 2 2  2
c t
2
olmak üzere
2
(D'Alambertian) diferansiyel operatörü tanımı ile,   0,1,2,3
A  o J
denklemleri ve
F  q  E  v  B 
elektromagnetik teorinin temelini oluşturur. 4-Vektörleri
W 
Lorentz kuvveti,

 Wo , W
gösterip, Minkowski skalar çarpımlarını
X
o
 
, X  Yo , Y


 X   Y 
 X oYo  X  Y
olarak tanımlayıp,

olarak
8
 
1 

 
,  
 c t

Yük Korunumu :
,
   J 
Kaynaklı Dalga Denklemi :
 A

 0
A
o
,A

,
J 
, Lorentz Ayarı :
     A
 o  J 

J
o
,J
    A

kullanarak;
 0
,
yazabiliriz.
H) ÖZET TABLO
Temel dalga denklemi ve özel durumları bir tablo olarak özetlenir.
DİNAMİK
2
KAYNAKLI
A  o J
(Kaynaklı Dalga)
2
KAYNAKSIZ
A  0
(Dalga)
STATİK
2 A  r   o J  r 
(Poisson)
2 A  0
(Laplace)
Bunların tüm uzay-zamanda çözümü kolaydır; asıl zor olan uzayın belli bir bölgesinde ve belli
sınır şartlarına uyan çözümler oluşturmaktır.
I) UZAY-ZAMAN TERSİNMELERİ
Ayrık simetri işlemleri altında dönüşümler de tüm teorilerin temelleri arasında yer almalıdır.
 : Uzay Tersinmesi ve
 : Zaman Tersinmesi altında işaret değişimleri, temel
değişkenler ve temel sabitler için :
9


r


t


1


i


olarak özetlenir. Lineer bir işlem olmayan zaman tersinmesinin sanal sayılarla antikomütatif
ilişkisi çarpıcı bir özelliktir. Bu tablodaki veriler, fiziksel değişkenlerin tanımları ve içinde yer
aldıkları denklemler incelenerek genel bir sınıflandırma :
  
 
  
po , J o , Ao , i
L,B,
  

t
E,d
p , J , A , i 
tablosu ile özetlenir.
J) MEKANİK
EMT 'nin klasik mekaniğe yansıması: Dış etkilerin yokluğunda momentum korunumunu
veren bir Serbest Lagrange fonksiyonu
ve elektromagnetik etkileşmeyi veren
genelleştirilmiş potansiyel ile sağlanır.
Lo   mc 2 1  v
2
c
2

d
mv
dt 1  v 2
d U U

 q  E  v  B 
k
dt v k rk
 0
c2
bir U
 A A

d U U

 q  c o  k   v    A  


k
dt v k rk
t
 rk



10



v   A
denkleminde
U  q c Ao  v  A

  v A 
, dolayısıyla
A
dA

t
dt
özdeşliği yardımıyla
L   mc 2 1  v
2
c2
 q c Ao  v  A
bulunur.
Bilinen metotlarla hız'ın yerine momentum geçirerek elde edilen Hamilton fonksiyonu
H  c po
limitte bu
,
 po  qAo 
H 
2
 p  qA
2m

 p  qA

2
 m 2c 2
denklemini sağlar. Relativistik olmayan
2
 qAo
biçimine dönüşür.
PROBLEMLER
P.1) Klasik fiziğin 4 temel Boyutu : T : Zaman , L : Uzunluk , M : Kütle , Q : Yük ile
verilir.

o
, o ,  o o , E , B , E  B , V , A ,  , J

sabit ve değişkenlerin boyut
analizini yapın.
P.2) Eğer doğada
B r  
o g
rˆ
4 r 2
ve
 g
t
  Jg  0
sağlayan magnetik
yükler mevcut olsaydı, Maxwell denklemlerinin ve Lorentz kuvvetinin nasıl genelleşeceklerini
bulun.
P.3) Keyfi bir
veya kısaca

 A
bıraktığını gösterin.
fonksiyonu kullanan

 A    
Ao

Ao 
dönüşümünün
1 
c t
E
ve
,
B
A  A  
alanlarını aynı
11
P.4) Baker-Hausdorff Lemma'sını kullanarak
exp( i)  p  qA exp(i)
benzerlik
dönüşümünün, Ayar dönüşümüne eşdeğer olduğunu gösterin.
P.5) Lorentz Ayar şartını sağlamayıp
2
A
  
sağlayan bir
y
 
 A
e
4-Potansiyelin
1 Ao e 
e
   A    veren bir 4-Potansiyel
c t
 fonksiyonu aracılığı ile
veya kısaca
 A y     A e  




Ao y   Ao e  
 
1 
c t
,
dönüştürülünce, yeni
1 Ao y 
y
   A   0 Lorentz Ayar şartını sağladığını gösterin.
c t