UZAYDA KARTEZYEN VEKTÖRLER

2
UZAYDA KARTEZYEN VEKTÖRLER
Uzayda Kartezyen Vektörlerin Dik Bileşenleri
Şimdide Fh ‘yi dik
bileşenlerine ayıralım
Vektör OBAC düzleminde
yer almaktadır.
Fx  Fh cos 
F vektörünü düşey ve yatay
bileşenlere ayırabiliriz.
Fy  F cos 
Fh  F sin 
Fx  F sin  cos 
Fz  Fh sin 
Fz  F sin  sin 
F vektörünün eksenlerle yaptığı açılarla,
Fx  F cos 
Fy  F cos 
Fz  F cos 



A  Ax i  Ay j  Az k



A  A cos  .i  cos  . j  cos  .k
Ay  A cos 


A
Birim Vektör : Birim vektör, büyüklüğü 1 olan boyutsuz
vektördür.
A
Ax  A cos 
u
u
A
A
Az  A cos 
A  Au




A  A cos  .i  cos  . j  cos  .k



u  cos  .i  cos  . j  cos  .k
Ax  A cos 
cos  
Ax
A
Ay  A cos 
cos  
 Ay  Az 
u  Ax i 
j
k
A
A
A
Ay
A
A

Az  A cos 
cos  
Az
A
Ax2  Ay2  Az2
Doğrultman Kosinüsleri
cos  
Ax
A
cos  
cos 2   cos 2   cos 2   1
Ay
A
cos  
Az
A
Örnek 1: Şekilde gösterilen F kuvvetini
kartezyen vektör olarak ifade ediniz..
cos 2   cos 2   cos 2   1
cos 2   cos 2 60 o  cos 2 45o  1
cos   0.5
Örnek 2: Şekilde gösterilen F kuvvetini kartezyen vektör olarak
ifade ediniz..
Örnek 3: Şekildeki kancaya iki kuvvet
etmektedir. F2 vektörünün doğrultu açılarını,
bileşke kuvvetin FR doğrultusu pozitif y ekseni
doğrultusunda ve şiddeti 800 N olacak şekilde
belirleyiniz.
Konum Vektörü
A (4, 2, -6), B (0, 2, 0) ve
C (6, -1, 4)
Bir Doğru Boyunca Yönelen Kuvvet Vektörü : Üç boyutlu problemlerde bir kuvvetin
doğrultusu çoğu zaman etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir.
Bu durumda F kartezyen vektör olarak aşağıdaki gibi
formüle edilebilir.
F = F u = F (r/r)
Örnek 4: Takviye kablosu AB’deki oluşan kuvvet
2500 N dur.
a) A’daki cıvataya etki eden kuvvetin Fx, Fy, Fz
bileşenlerini,
b) Kuvvetin yönünü tanımlayan qx, qy, qz açılarını
belirleyin.
ÇÖZÜM:
A’dan B’ye yönelen birim vektör belirlenir.
AB   40 m i  80 m  j  30 m k
AB 
 40 m 2  80 m 2  30 m 2
 94.3 m
  40   80   30 
u 
i  
 j 
k
 94.3   94.3   94.3 
 0.424i  0.848 j  0.318k
• Kuvvetin bileşenleri belirlenir.
F  Fu
 2500 N  0.424i  0.848 j  0.318k 
  1060 N i  2120 N  j  795 N k
u  cosq x i  cosq y j  cosq z k
 0.424i  0.848 j  0.318k
q x  115.1
q y  32.0
q z  71.5
Örnek 5: Pencere AB zinciri ile açık tutulmaktadır. Zincirin uzunluğunu belirleyiniz ve zincir
boyunca A’dan etkiyen 200 N’luk kuvveti kartezyen vektör şeklinde ifade ediniz. Kuvvetin koordinat
doğrultu açılarını belirleyiniz.
Birim vektör: A noktasının koordinatları;


A 1.25 cos 40 o , 2, 1.25 sin 40 o m  A0.958, 2, 0.8035 m
rAB  0  0.958i  1.25  2  j  3  0.8035k m
 0.958i  0.75 j  2.1965k  m
rAB 
 0.9582   0.752  2.19652
 2.511 m
 0.958i  0.75 j  2.1965k
2.511
  0.3815i  0.2987 j  0.8748k 
u AB 
u AB
Kuvvet vektörü
F  Fu AB  200 0.3815i  0.2987 j  0.8748k 
  76.3i  59.74 j  174.96k N
Birim vektörden koordinat doğrultu açıları;
cos  0.3814
  112o
cos   0.2987
  107o
cos  0.8748
  29o