Finansal Ekonometri

Finansal Ekonometri
Ders 2
Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler
Tek Değişkenli Rasgele Değişkenler
• Tanım (rasgele değişken): Bir rasgele değişken,
X, SX örneklem uzayından değerler alan ve bu
örneklem uzayından alacağı değerleri alma
olasılığı, olasılık dağılım fonksiyonu tarafından
belirlenen değişkenlerdir.
ÖRNEK
• X = gelecek ay Akbank hissesinin fiyatı
𝑆𝑋 = ℝ: 0 < 𝑋 ≤ 𝑀
• X = 1 aylık yatırımımız sonucu elde ettiğimiz basit
getiri
𝑆𝑋 = ℝ: −1 ≤ 𝑋 < 𝑀
• X=1 eğer hisse fiyatı artarsa, X=0 eğer hisse
fiyatı düşerse
𝑆𝑋 = 0, 1
KESİKLİ RASGELE DEĞİŞKENLER
• Tanım : Bir kesikli rasgele değişken, sadece 𝑥1 , 𝑥2 ,
𝑥3 , … , 𝑥𝑛 gibi n tane sonlu tamsayı değeri alabilen
rasgele değişkenlerdir.
• Tanım : Bir kesikli rasgele değişkenin, olasılık
fonksiyonu, 𝑝(𝑥) ile gösterilir ve 𝑝 𝑥 =
ℙ 𝑋 = 𝑥 olarak tanımlanır.
• Olasılık fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar:
1. 𝑝(𝑥) ≥ 0 her 𝑥 ∈ 𝑆𝑋 ; 𝑝 𝑥 = 0 her 𝑥 ∉ 𝑆𝑋
2. 𝑥∈𝑆𝑋 𝑝(𝑥) = 1
3. 𝑝 𝑥 ≤ 10 her 𝑥 ∈ 𝑆𝑋
ÖRNEK
Yıllık Getirilerin Kesikli Dağılımı
Ekonominin Durumları
𝑆𝑋 : Örneklem Uzayı
𝑝 𝑥 =ℙ 𝑋=𝑥
Küçülme
-0.3
0.05
Durgunluk
0.0
0.20
Normal
0.1
0.50
Hafif yükseliş
0.2
0.20
Önemli aranda yükselme
0.5
0.05
ÖRNEK
Bernoulli Dağılımı
• Birbiri ile kesişimi olmayan(ayrık) iki olay
düşünelim: «Başarmak» ve «Başaramamak»
diyelim.
• X=1 Başarmak, X=0 ise Başaramamak olsun.
• Başarma olasılığı, π ise başaramama olasılığı 1- π
dir. Bu olasılıklar, ℙ 𝑋 = 1 = π ve ℙ 𝑋 = 0 =1π olarak gösterilir.
• Bu olasılıkların matematiksel modeli yani olasılık
fonksiyonu ise
𝑝 𝑥 = ℙ 𝑋 = 𝑥 = π𝑥 (1 − π)1−𝑥 , 𝑥 = 0, 1,
olarak ifade edilir.
SÜREKLİ RASGELE DEĞİŞKENLER
• Tanım : Bir sürekli rasgele değişken, değerlerini reel(gerçel)
sayılar kümesinden alan rasgele değişkenlerdir.
• Tanım : Bir sürekli rasgele değişkenin, olasılık yoğunluk
fonksiyonu(pdf), 𝑓 𝑥 ile gösterilir ve X rasgele değişkeninin
herhangi bir A aralığında değer alması olasılığı,
ℙ 𝑋∈𝐴 =
𝐴
𝑓 𝑥 𝑑𝑥,
olarak hesaplanır.
• Olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar:
1.
2.
3.
𝑓 𝑥 ≥0
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
−∞
𝑓 𝑥 <1
Sürekli Rasgele Değişkenlerin Olasılık
Yoğunluk Fonksiyonları
ÖRNEK
Düzgün Dağılım
• 𝑋~𝑈 𝑎, 𝑏 olsun. Burada, "𝑈 𝑎, 𝑏 ", [a,b] aralığında düzgün
dağılımı simgelemektedir. «~» ise dağılıyor demektir.
• 𝑓 𝑥 =
1
𝑏−𝑎
𝑎≤𝑥≤𝑏
0 diğer durumlarda
• Özelliklerini kontrol edelim:
1. Eğer b>a ise 𝑓 𝑥 ≥ 0 sağlanır.
2.
KÜMÜLATİF DAĞILIM
FONKSİYONU(CDF)
• Tanım : Herhangi bir rasgele değişkenin kümülatif
dağılım fonksiyonu, F(x) ile gösterilir ve 𝐹 𝑥 =
ℙ 𝑋 ≤ 𝑥 olarak tanımlanır.
• Sadece Dağılım Fonksiyonu da denir.
• Özellikleri,
1. Eğer 𝑥1 < 𝑥2 ise 𝐹 𝑥1 ≤ 𝐹 𝑥2 (azalmayan
fonksiyon)
2. 𝐹 −∞ = 0 ve 𝐹 ∞ = 1 dir.
3. 1 − 𝐹 𝑥 = ℙ 𝑋 > 𝑥
4. ℙ 𝑥1 < 𝑋 ≤ 𝑥2 = 𝐹 𝑥2 − 𝐹 𝑥1
5. Eğer X bir sürekli rasgele değişken ise
𝑑
𝑑𝑥
𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑥)
ÖRNEK
Kesikli Rasgele Değişkenler için CDF
Sürekli Rasgele Değişkenler için CDF Örneği
Standart Normal Dağılım
Dağılımların Kantilleri
(Quantile of the Distributions)
• Tanım: X bir sürekli rasgele değişken olsun.
X’in dağılım fonksiyonu 𝐹𝑋 𝑥 = ℙ 𝑋 ≤ 𝑥
olsun. 𝛼 ∈ [0, 1] için 𝐹𝑋 ’in 𝛼 ∗ 100′ üncü
kantili 𝑞𝛼 ,
𝐹𝑋 𝑞𝛼 = ℙ 𝑋 ≤ 𝑞𝛼 = α
denkleminin çözümüdür.
• Eğer 𝐹𝑋 ’in tersi alınabiliyor ise
𝑞𝛼 = 𝐹𝑋−1 𝛼
olarak yazılabilir.
ÖRNEK
• Standart Normal
Dağılım için α=0.05 yani
% 5. kantili
• 𝑞0.05 = −1.645
Olasılık Dağılımlarının Şekilsel Karakter
Özellikleri
• Beklenen ya da ortalama değer- Dağılımın
merkezini gösterir.
• Varyans ya da Standart Sapma- Ortalamadan
yayılımı gösterir.
• Çarpıklık- Ortalama çevresinde simetriyi
gösterir.
• Basıklık- Kuyruk kalınlığını gösterir.
Beklenen Değer
• Kesikli Rasgele Değişken
• Sürekli Rasgele Değişken
k. derece Moment ve k. Derece Merkezi Momentler, sırasıyla,
ÖRNEK
Kesikli Rasgele Değişken
Ekonominin Durumları
𝑆𝑋 : Örneklem Uzayı
𝑝 𝑥 =ℙ 𝑋=𝑥
Küçülme
-0.3
0.05
Durgunluk
0.0
0.20
Normal
0.1
0.50
Hafif yükseliş
0.2
0.20
Önemli aranda yükselme
0.5
0.05
• Tabloda olasılık dağılımı verilen yıllık getirilerin
beklenen değerini bulunuz:
ÖRNEK
Sürekli Rasgele Değişken
Varyans ve Standart Sapma
• Not: Varyansın birimi X’in biriminin karesidir.
Standart Sapmanın birimi ise X ile aynıdır. Bu
nedenle standart sapmayı yorumlamak daha
rahattır.
ÖRNEK
Kesikli Rasgele Değişken
• Yukarıda verilen tablo için varyans ve standart
sapmayı bulunuz:
ÖRNEK
Sürekli Rasgele Değişken
• 𝑋~𝑈 1,2 olsun.
•
2
𝜎𝑋
=
2
(𝑥
1
−
3 2
) 𝑑𝑥
2
=
1
3
𝑥−
2
3
3
2
1
= 0.375
Çarpıklık
• Eğer X rasgele değişkeninin dağılımı simetrik
ise çarpıklık 0’dır.
• Çarpıklık, 0’dan büyük ise dağılım sağa doğru
uzun kuyruğa sahiptir ve Medyan, ortalama
değerden küçüktür.
• Çarpıklık, 0’dan küçük ise dağılım sola doğru
uzun kuyruğa sahiptir ve Medyan, ortalama
değerden büyüktür.
Çarpıklık
ÖRNEK
Kesikli Rasgele Değişken
• Verilen örnek için çarpıklık değerini bulunuz.
• Çarpıklık
Basıklık
Basıklık
ÖRNEK
Kesikli Rasgele Değişken
• Verilen örnek için çarpıklık değerini bulunuz.
• Basıklık
ÖRNEKLEM MOMENTLERI
• 𝑟𝑡 , 𝑟𝑡+1 , … , 𝑟𝑇 T boyutlu bir rasgele örneklem
olsun.
• Örneklem Momentleri:
R Code
library(quantmod)
garan <- new.env()
getSymbols('IST:GARAN',src='google',env = garan,return.class = 'zoo',from = "2010-01-01")
#İndirilen Fiyat Serisini P1 olarak kaydedelim.
P1=get("IST:GARAN", envir = garan)[,4]
#Getiri Serisini Hesaplayalım
R1=diff(log(P1))
#Fiyat Serisi Grafiği
names=c("GARANTİ")
mypath = file.path("C:","Users","aysegul","Desktop","Figur",paste("fiyat_ GARANTİ ",".jpg", sep = ""))
jpeg(file=mypath)
mytitle = "Garanti Hisse Senedi Fiyat Serisi"
plot(P1, main = mytitle, xlab=" Zaman")
dev.off()
#Getiri Serisi Grafiği
names=c("GARANTİ")
mypath = file.path("C:","Users","aysegul","Desktop","Figur",paste("getiri_ GARANTİ ",".jpg", sep = ""))
jpeg(file=mypath)
mytitle = "Garanti Hisse Senedi Getiri Serisi"
plot(R1, main = mytitle, xlab=" Zaman")
dev.off()
ÖRNEK
Garanti Hisse Senedi
R Code (Devam)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
#Histogram
mypath = file.path("C:","Users","aysegul","Desktop","Figur",paste("hist_ GARANTİ ",".jpg", sep = ""))
jpeg(file=mypath)
hist(R1, breaks=25, col="slateblue")
dev.off()
#İstatistikler
library(fBasics)
Dsct=basicStats(R1)
table.Stats(R1)
Garanti Hisse Senedi Günlük Getiri
Dağılımı
x
nobs
1946
NAs
0.000000
Minimum
-0.141516
Maximum
0.124012
1.Quartile
-0.012899
3.Quartile
0.013285
Mean
0.000213
Median
0.000000
Sum
0.413764
SE Mean
0.000486
LCL Mean
-0.000740
UCL Mean
0.001165
Variance
0.000459
Stdev
0.021424
Skewness
-0.120263
Kurtosis
2.175577
FİNANSTA KULLANILAN OLASILIK
DAĞILIMLARI
1. NORMAL DAĞILIM
Özellikleri:
• E[X]=μ
• 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎 2
• Çarpıklık= 0
• Basıklık = 3
• Eğer k tek sayı ise E[𝑋 𝑘 ]=0
R Code
# Normal dağılımdan veri üretme: rnorm(n, mean, sd)
#Kümülatif Normal Dağılım Fonksiyonu: pnorm(q, mean, sd)
#Normal Dağılım Kantilleri: qnorm(p, mean, sd)
#Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: dnorm(y, mean, sd)
mean=0
sd=1
n=10000
Veri=rnorm(n, mean, sd)
plot(Veri, main = "Normal Rasgele Değişkenler")
chart.Histogram(Veri, methods="add.normal" , main = " Normal Dağılım Histogram")
#Kümülatif Dağılım Fonksiyonu
x=seq(-3, 3, by = 0.01)
y1=pnorm(x, mean, sd)
plot(x,y1, main = "Normal Dağılım CDF")
#Ters CDF- KAntil Fonksiyonu
alpha=seq(0, 1, by = 0.01)
kantil=qnorm(alpha, mean, sd)
plot(alpha,kantil, main = "Normal Dağılım Kantil Fonksiyonu")
#Normal pdf
x=seq(-3, 3, by = 0.01)
y2=dnorm(x, mean, sd)
plot(x,y2, main = "Normal Dağılım PDF")
STANDART NORMAL DAĞILIM
ARTIK BASIKLIK
• Herhangi bir dağılımın basıklık değeri ile Normal
dağılımın basıklık değeri olan 3’ün farkına ARTIK
BASIKLIK denir.
Artık Basıklık= 𝐵𝑎𝑠𝚤𝑘𝑙𝚤𝑘𝑋 − 3
– Artık Basıklık>0 ise dağılım Normal Dağılıma göre daha
kalın kuyrukludur.
– Artık Basıklık<0 ise dağılım Normal Dağılıma göre daha ince
kuyrukludur.
• Ek Bilgi: Normal dağılım sürekli getiriler için daha uygun
bir dağılımdır. Bunun bir sebebi sürekli getirilerin
logaritmadan kaynaklı negatif değerler alabilmesidir.
2. STUDENT- t DAĞILIMI
• Student- t dağılımı şekilsel olarak Normal dağılıma
benzer fakat daha kalın kuyrukludur. Eğer X rasgele
değişkeni ν serbestlik dereceli Student-t dağılımını
izliyor ise, 𝑋~𝑡ν X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu:
olarak tanımlanır. Burada,
Gamma fonksiyonudur.
• Özellikleri:
• Not:
– Eğer ν → ∞, Student-t dağılımı Normal dağılıma yaklaşır.
– Eğer ν < 4 ise Basıklık→ ∞ olur.
R Code
# Student-t dağılımdan veri üretme: rt(n, df)
#Kümülatif Student-t Dağılım Fonksiyonu: pt(q, df)
# Student-t Dağılım Kantilleri: qt(p, df)
# Student-t Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: dt(y, df)
nu=5
#Student-t dağılımdan 10000 tane rasgele değişken üretelim
n=10000
Veri=rt(n, nu)
plot(Veri, main = " Student-t Rasgele Değişkenler")
chart.Histogram(Veri, methods="add.normal", main = " Student-t Histogram")
# Student-t Kümülatif Dağılım Fonksiyonu
x=seq(-3, 3, by = 0.01)
y1=pt(x, nu)
plot(x,y1, main = " Student-t Dağılım CDF")
#Ters CDF- Kantil Fonksiyonu
alpha=seq(0, 1, by = 0.01)
kantil=qt(alpha, nu)
plot(alpha,kantil, main = " Student-t Dağılım Kantil Fonksiyonu")
# Student-t pdf
x=seq(-3, 3, by = 0.01)
y2=dt(x, nu)
plot(x,y2, main = " Student-t Dağılım PDF")
STUDENT- t DAĞILIMI: df=5
Farklı Serbestlik Dereceleri İçin
Student-t PDF
Farklı Serbestlik Dereceleri İçin
Student-t PDF
3. LOG-NORMAL DAĞILIM
• Özellikleri:
𝐾𝑢𝑟𝑡 𝑌 = exp 4 𝜎𝑋2
+ 2 exp 3 𝜎𝑋2
+ 3 exp 2 𝜎𝑋2
-6
• Not: Sürekli getiriler normal dağılım izliyor ise
basit getiriler log-normal dağılıma sahiptir.
R Code
# Log-Normal dağılımdan veri üretme: rlnorm(n, mean, sd)
#Kümülatif Log-Normal Dağılım Fonksiyonu: plnorm(q, mean, sd)
#Log-Normal Dağılım Kantilleri: qlnorm(p, mean, sd)
#Log-Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: dlnorm(y, mean, sd)
#Log--Normal dağılımdan 10000 tane rasgele değişken üretelim
n=10000
Veri=rlnorm(n, mean, sd)
plot(Veri, main = " Log-Normal Rasgele Değişkenler")
chart.Histogram(Veri, methods="add.normal", main = " Log-Normal Histogram")
# Log-Normal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu
x=seq(-3, 3, by = 0.01)
y1=plnorm (x, mean, sd)
plot(x,y1, main = " Log-Normal Dağılım CDF")
#Ters CDF- Kantil Fonksiyonu
alpha=seq(0, 1, by = 0.01)
kantil=qlnorm (alpha, mean, sd)
plot(alpha,kantil, main = " Log-Normal Dağılım Kantil Fonksiyonu")
# Log-Normal pdf
x=seq(-3, 3, by = 0.01)
y2=dlnorm (x, mean, sd)
plot(x,y2, main = " Log-Normal Dağılım PDF")
LOG-NORMAL DAĞILIM
(Ort=0, StSapma=1)
Normal Dağılım ve Log-Normal Dağılım
4. ÇARPIK-NORMAL DAĞILIM
• Azzalini and Capitanio (2002) tarafından
tanımlanmıştır. Pdf si
Olarak tanımlanır. Burada ξ, −∞ < ξ < ∞,
konum parametresi, 𝜔 > 0 ölçek parametresi,
𝛼, −∞ < 𝛼 < ∞, şekil( çarpıklı) parametresidir.
• Özellikleri:
– 𝛼 = 0, 𝑍~𝑁(ξ, 𝜔2 ) dir.
– 𝛼 > 0, sağa çarpık
– 𝛼 < 0, sola çarpık
R Code (Package ‘sn’)
library(sn)
# Çarpık-Normal dağılımdan veri üretme: rsn(n=10000, xi=a, omega=b, alpha=c )
#Kümülatif Çarpık-Normal Dağılım Fonksiyonu: psn(x, xi=a, omega=b, alpha=c )
#Çarpık-Normal Dağılım Kantilleri: qsn(p, xi=a, omega=b, alpha=c )
#Çarpık-Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: dsn(x, xi=a, omega=b, alpha=c )
#Çarpık Normal dağılımdan 10000 tane rasgele değişken üretelim
n=10000
Veri=rsn(n=10000, xi=0, omega=1, alpha=5)
plot(Veri, main = " Çarpık-Normal Rasgele Değişkenler")
chart.Histogram(Veri, methods="add.normal", main = " Çarpık-Normal Histogram")
# Çarpık-Normal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu
x=seq(-3, 3, by = 0.01)
y1=psn(x, xi=0, omega=1, alpha=5)
plot(x,y1, main = " Çarpık-Normal Dağılım CDF")
#Ters CDF- Kantil Fonksiyonu
alpha=seq(0, 1, by = 0.01)
kantil=qsn(alpha, xi=0, omega=1, alpha=5)
plot(alpha,kantil, main = " Çarpık-Normal Dağılım Kantil Fonksiyonu")
# Çarpık-Normal pdf
x=seq(-3, 3, by = 0.01)
y2=dsn (x, xi=0, omega=1, alpha=5)
plot(x,y2, main = " Çarpık-Normal Dağılım PDF")
ÇARPIK-NORMAL DAĞILIM
(ξ = 0, 𝜔 = 1, 𝛼 = 5)
5. ÇARPIK-t DAĞILIM
• Azzalini and Capitanio (2002) tarafından
tanımlanmıştır. Pdf si
Olarak tanımlanır. Burada ξ, −∞ < ξ < ∞,
konum parametresi, 𝜔 > 0 ölçek parametresi,
𝛼, −∞ < 𝛼 < ∞, şekil( çarpıklı) parametresi ve
ν > 0 serbestlik derecesidir.
R Code (Package ‘sn’)
library(sn)
# Çarpık-t dağılımdan veri üretme: rst(n=10000, xi=a, omega=b, alpha=c ,nu=df)
#Kümülatif Çarpık-t Dağılım Fonksiyonu: pst(x, xi=a, omega=b, alpha=c , nu=df)
#Çarpık-t Dağılım Kantilleri: qst(p, xi=a, omega=b, alpha=c nu=df)
#Çarpık-t Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: dst(x, xi=a, omega=b, alpha=c nu=df)
#Çarpık t dağılımdan 10000 tane rasgele değişken üretelim
n=10000
Veri=rst(n=10000, xi=0, omega=1, alpha=5,nu=5)
plot(Veri, main = " Çarpık-t Rasgele Değişkenler")
chart.Histogram(Veri, methods="add.normal", main = " Çarpık-t Histogram")
# Çarpık-t Kümülatif Dağılım Fonksiyonu
x=seq(-3, 3, by = 0.01)
y1=pst(x, xi=0, omega=1, alpha=5,nu=5)
plot(x,y1, main = " Çarpık-t Dağılım CDF")
#Ters CDF- Kantil Fonksiyonu
alpha=seq(0, 1, by = 0.01)
kantil=qst(alpha, xi=0, omega=1, alpha=5,nu=5)
plot(alpha,kantil, main = " Çarpık-t Dağılım Kantil Fonksiyonu")
# Çarpık-t pdf
x=seq(-3, 3, by = 0.01)
y2=dst(x, xi=0, omega=1, alpha=5,nu=5)
plot(x,y2, main = " Çarpık-t Dağılım PDF")
ÇARPIK-t DAĞILIM
(ξ = 0, 𝜔 = 1, 𝛼 = 5, ν = 5)
Çarpık-t Dağılım Farklı Şekil
Parameterelerine Göre
6.Genelleştirilmiş Hiperbolik Dağımlar
Not: R package «ghyp»
A. Hiperbolik Dağılım
B. Normal Inverse Gauss Dağılımı
C. Varyans-Gamma Dağılımı
D. Çarpık Hiperbolik t-Dağılımı
7.Karma Dağılımlar
• Karma dağılımlarda, X rasgele değişkeninin
olasılık yoğunluk fonksiyonu,
şeklinde g farklı olasılık yoğunluk fonksiyonunun,
,
oranlarında
birleşiminden oluşur.