S-MANİFOLDLARDA ÇEYREK SİMETRİK KONEKSİYONLAR

S-MANİFOLDLARDA ÇEYREK SİMETRİK KONEKSİYONLAR
Ayşegül GÖÇMEN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Mart 2013
ANKARA
Ayşegül GÖÇMEN tarafından hazırlanan S-MANİFOLDLARDA ÇEYREK
SİMETRİK KONEKSİYONLAR adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun
olduğunu onaylarım.
Prof. Dr. Aysel TURGUT VANLI
…………………………..
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği
Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
ile Matematik Anabilim Dalında
Prof. Dr. Mustafa ÇALIŞKAN
…………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Prof. Dr. Aysel TURGUT VANLI
…………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Doç. Dr. Hesna KABADAYI
…………………………………
Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi
Tez Savunma Tarih : 01/03/2013
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
…………………………………
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Ayşegül GÖÇMEN
iv
S-MANİFOLDLARDA ÇEYREK SİMETRİK KONEKSİYONLAR
(Yüksek Lisans Tezi)
Ayşegül GÖÇMEN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Mart 2013
ÖZET
Bu çalışmada S-manifold üzerinde çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyon
ve çeyrek simetrik metrik koneksiyonun tanımları verilerek bazı teoremler
ispatlanıp örnekler verildi. Ayrıca, bu koneksiyonların eğrilikleri ve Ricci
eğrilikleri hesaplanıp koneksiyonlarla ilgili yarı simetrik, Ricci yarı simetrik,
Ricci projektif yarı simetrik ve projektif yarı simetrik şartları incelendi.
Bilim Kodu
Anahtar Kelimeler
Sayfa Adedi
Tez Yöneticisi
: 204.1.049
: S- manifoldlar, Çeyrek simetrik Koneksiyon
: 125
: Prof. Dr. Aysel TURGUT VANLI
v
QUARTER SYMMETRIC CONNECTIONS ON S-MANIFOLDS
(M.Sc. Thesis)
Ayşegül GÖÇMEN
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
March 2013
ABSTRACT
In this thesis, quarter symmetric non-metric connection and quarter symmetric
metric connection are defined on S-manifolds. In addition, some theorems and
examples are given about these connections on S-manifolds. Moreover, the
curvatures and Ricci curvature of such connections are obtain, and the
conditions of semi-symmetry, Ricci semi symmetric, Ricci projectif semi
symmetry and projectif semi symmetry are investigated.
Science Code
Key Word
Page Number
Adviser
: 204.1.049
: S-manifolds, Çeyrek symmetric connection
: 125
: Prof. Dr. Aysel TURGUT VANLI
vi
TEŞEKKÜR
Bu tezin hazırlanması sırasında bana araştırma olanağı sağlayan ve çalışmanın her
safhasında büyük yardımlarını ve desteklerini gördüğüm değerli danışman hocam
sayın Prof. Dr. Aysel TURGUT VANLI’ ya teşekkürlerimi sunarım.
Çalışmalarım esnasında bana anlayış gösteren sevgili ailem ve dostlarıma
teşekkürlerimi sunarım.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET
.................................................................................................................. iv
ABSTRACT ................................................................................................................. v
TEŞEKKÜR ................................................................................................................ vi
İÇİNDEKİLER .......................................................................................................... vii
SİMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................. ix
1. GİRİŞ
................................................................................................................... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR ......................................................................................... 3
2.1. Riemann Manifoldlar ....................................................................................... 3
2.2. Bir Riemann Manifoldu üzerinde Çeyrek-Simetrik Metrik Olmayan
Koneksiyon..................................................................................................... 11
2.3. Bir Riemann Manifoldu üzerinde Çeyrek-Simetrik Metrik Koneksiyon ....... 12
2.4. Hemen Hemen Kompleks ve Hemen Hemen Kontakt Manifoldlar ............. 14
3. HEMEN HEMEN S-MANİFOLDLAR VE S-MANİFOLDLAR ........................ 21
3.1. f -Yapı ........................................................................................................... 21
3.2. Torsiyon Tensör ............................................................................................. 26
3.3. Hemen Hemen S-Manifoldlar ........................................................................ 30
3.4. S-Manifoldlar ................................................................................................. 40
4. ÇEYREK SİMETRİK METRİK OLMAYAN KONEKSİYONLU SMANİFOLDLAR.................................................................................................. 57
4.1.Çeyrek Simetrik Metrik Olmayan Koneksiyon ............................................... 57
4.2. Eğrilik Tensörü ............................................................................................... 68
4.3.Ricci Eğriliği ................................................................................................... 78
viii
Sayfa
5. QUARTER SİMETRİK METRİK OLMAYAN KONEKSİYONLU SMANİFOLDLAR İÇİN BAZI EĞRİLİK ŞARTLARI ....................................... 85
6. ÇEYREK SİMETRİK METRİK KONEKSİYONLU S-MANİFOLDLAR......... 91
6.1.Yarı Simetrik Metrik Koneksiyon ................................................................... 91
6.2.Eğrilik Tensörü .............................................................................................. 100
6.3.Ricci Eğriliği ................................................................................................. 111
7. ÇEYREK SİMETRİK METRİK KONEKSİYONLU S-MANİFOLDLAR
İÇİN BAZI EĞRİLİK ŞARTLARI..................................................................... 117
KAYNAKLAR.................................................................................................... 123
ÖZGEÇMİŞ......................................................................................................... 125
ix
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler açıklamalarıyla birlikte aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
,
Açıklama
M de
ye diferensiyellenebilir fonksiyonlar
Metrik Tensörü
noktasındaki tanjant uzay
Vektör alanlarının uzayı
M
Manifoldunun Tanjant Demeti
-yapı
karakteristik vektör alanları
1-formlar
vektör alanına göre türev
Diferensiyellenebilir manifold
nin Nijenhuis tensör alanı
,
Lie Parantez Operatörü
Tensör Çarpımı
Levi-Civita koneksiyon
Çeyrek-Simetrik Metrik Olmayan Koneksiyon
Çeyrek-Simetrik Metrik Koneksiyon
Riemann Cristoffel Eğrilik Tensörü
Çeyrek-Simetrik Metrik Olmayan
Koneksiyonun Eğrilik tensörü
x
Simgeler
Açıklama
Çeyrek-Simetrik Metrik Koneksiyonun
Eğrilik Tensörü
Riemann Koneksiyonunun Ricci Tensörü
Çeyrek-Simetrik Metrik Olmayan
Koneksiyonun Ricci tensörü
Çeyrek-Simetrik Metrik Koneksiyonun
Ricci Tensörü
Riemann Koneksiyonunun Weyl
Projektif Eğrilik Tensörü
Çeyrek-Simetrik Metrik Olmayan
Koneksiyonun Weyl Projektif Eğrilik tensörü
Çeyrek-Simetrik Metrik Koneksiyonun WeylProjektif Eğrilik Tensörü
Riemann Koneksiyonunun Kesit Eğriliği
Çeyrek-Simetrik Metrik Olmayan
Koneksiyonunun Kesit Eğriliği
Çeyrek-Simetrik Metrik
Koneksiyonunun Kesit Eğriliği
Riemann Koneksiyonuna Göre Torsiyon
Tensörü
Çeyrek-Simetrik Metrik Olmayan Koneksiyona
Göre Torsiyon Tensörü
xi
Simgeler
Açıklama
Çeyrek-Simetrik Metrik Koneksiyona
Göre Torsiyon Tensörü
1
1.GİRİŞ
Hemen hemen kontakt metrik yapıların ve hemen hemen kompleks yapıların bir
genelleştirilmesi olan metrik çatılı yapılar ilk kez Yano (1963) tarafından ortaya
atılmış ve günümüze kadar bu alanda bir çok çalışma yapılmıştır. Bunlardan bazıları
Nakagava (1966), Ishahara (1966), Kobayashi ve Tsuchiya (1972), Mihai (1983) ve
Kobayashi (1990) dır. 1970 yılında Goldberg ve Yano, metrik çatılı manifoldlar
üzerindeki f -yapı yardımı ile bir kompleks yapı tanımlayıp metrik çatılı yapıların
normallik koşullarını inceleyerek bu alanda yapılacak olan çalışmalara ışık
tutmuşlardır.
1970 yılında Blair, normal metrik çatılı yapılara, normal metrik çatılı yapıların
sağlamış olduğu bazı yeni koşulları ilave ederek, hemen hemen Hermit durumunda
Kaehler yapıların ve hemen hemen kontakt durumunda Sasakian yapıların bir
genelleştirilmişi olan S-manifoldları tanıtmıştır.
1990 lı yıllarda İspanyol matematikçilerden Cabrerizo, Fernandez, Luis.M.
Fernandez, S-manifoldlara ait ciddi çalışmalar yapmışlardır.1990 lı yıllarda yapılan
çalışmaların yanı sıra günümüze kadar S-manifoldlar ile ilgili Kobayashi (1990),
Lotta ve Pastore (2004), Dileo ve Lotta (2005), Terlizzi (2006) gibi çeşitli
çalışmalarda yapmıştır.
D. Sağbaş (2010) yüksek lisans tezinde
hemen hemen S-manifoldları çalıştı. M.
A. Akyol (2011) yüksek lisans tezinde S-manifoldlar üzerinde yarı simetrik metrik
ve yarı simetrik metrik olmayan koneksiyonlar üzerinde çalıştı. Ayrıca M. A. Akyol,
A. Turgut Vanlı ve L. M. Fernandez (2013) “Curvature Properties of a SemiSymmetric Metric Connection on S-Manifolds” ve “Semi-Symmetric Properties of
S-Manifolds Endowed with a Semi-Symmetric Non-Metric Connection” adlı
çalışmalar ile bu konuya katkı sağlamışlardır.
2
Bir Riemann manifoldu üzerinde çeyrek simetrik metrik koneksiyon ilk kez S. Globe
(1975) tarafından tanımlanmış ve çalışılmıştır. Bir Riemann manifoldu üzerinde
çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyon tanımı Agashe ve Chafle (1992)
tarafından verilmiştir.
Bu yüksek lisans çalışmasında çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyon ve çeyrek
simetrik metrik koneksiyonların S- manifoldlarda tanımı verilerek bunlara ait bazı
örnekler verilmektedir. Ayrıca, bazı teoremler ispatlanıp bu koneksiyonlar üzerindeki
eğriliklerin semi-simetrik şartları da incelenmektedir.
3
2.TEMEL KAVRAMLAR
2.1. Riemann Manifoldlar
2.1.1 Tanım
M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üzerindeki
uzayı
ve M den
ye
:
fonksiyonlarının uzayı
vektör alanlarının
(M, ) olmak üzere
dönüşümü bilineer, simetrik ve pozitif tanımlı ise
ye M
üzerinde bir Riemann metriği (veya metrik tensör ) ve (M, ) ikilisine de bir
Riemann manifoldu adı verilir [Hacısalihoğlu, 1983].
2.1.2 Tanım
M diferensiyellenebilir bir manifold ve bir
verilsin.
, ,
Z
Z
Y
(M) ve
,
Y
Z
(M, ) için,
fZ
Z,
f
özelliklerini sağlıyorsa
Z
ya M manifoldu üzerinde bir lineer koneksiyon denir
[Hacısalihoğlu, 1983].
2.1.3 Tanım
U bir K cismi üzerinde vektör uzayı ve
, :
dönüşümü
dönüşümü
Z,
fZ
,
:
,
4
2-lineer
,
Anti-simetrik
, ,
için
ç
,
,
,
,
,
,
,
,
0
şartlarını sağlıyorsa , dönüşümüne, U üstünde bir Lie operatörü (Lie parantez
operatörü) denir [Hacısalihoğlu, 1983].
2.1.1 Teorem
M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üzerindeki vektör alanlarının uzayı
olsun.
, :
,
dönüşümü
,
(M, ) için
,
şeklinde tanımlanırsa , operatörü
üzerinde bir Lie operatörüdür [Yano ve
Kon, 1984].
2.1.4 Tanım
,
bir Riemann manifoldu ve
olsun. Eğer
,
vektör alanına göre Lie türev operatörü
için
0
ise
e Killing vektör alanı denir Yano ve Kon, 1984 .
5
2.1.5 Tanım
,
bir Riemann manifoldu olsun.
, ,
(M, )
) için
,
,
,
,
,
,
,
,
,
dir [Yano ve Kon, 1984, Duggal ve Bejancu, 1996].
2.1.6 Tanım
(M, ) bir Riemann manifold olsun. M üzerinde verilen her bir diferensiyel s1 -form karşılık getiren diferensiyel operatörü dış
formuna bir diferensiyel
türev operatörü olarak adlandırılır ve
form Ω için
ile gösterilir. Özel olarak bir 1-form
operatörü
,
,
ve
Ω
1
3
, ,
Ω
Ω
,
,
,
Ω
Ω
,
,
Ω
,
Ω
,
,
,
olarak tanımlanır [Yano ve Kon, 1984].
2.1.2 Teorem
(M, ) bir Riemann manifoldu ve
, ,
olsun.
2
,
da M üzerinde bir lineer koneksiyon
için Riemann koneksiyonu,
,
,
,
,
,
,
,
ve 2-
6
,
,
2.1
Kozsul formülü ile tek türlü belirtilir [Yano ve Kon, 1984].
2.1.7 Tanım
M diferensiyellenebilir bir manifold ve
olsun.
, ,
Y
X
,
da M üzerinde bir lineer koneksiyon
için
,
(Sıfır torsiyon özelliği)
Y,
şartlarını sağlıyorsa,
,
ya M
Z (Metrik ile bağdaşabilme özelliği)
üzerinde Riemann koneksiyonu veya Levi-Civita
koneksiyonu denir [Hacısalihoğlu, 1983].
2.1.8 Tanım
( , ) bir Riemann manifoldu ve
, ,
üzerinde Riemann koneksiyonu olsun.
için,
:
, ,
, ,
,
2.2
şeklinde tanımlanan 1,3 tipinden tensör alanı R ye M üzerinde Riemann eğrilik
tensör alanı ve
, , ,
,
,
tensörüne M nin Riemann-
Christofel eğrilik tensörü veya kısaca Riemann eğriliği denir.
2.1.9 Tanım
7
( , ) bir Riemann manifoldu ve R de M üzerinde Riemann eğrilik tensör alanı
olsun.
, ,
için
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2.3
,
2.4
,
2.5
dir [O`Neill, 1983].
2.1.10 Tanım
( , ) bir Riemann manifoldu ve
olsun.
, ,
de M üzerinde Riemann eğrilik tensör alanı
için
,
,
,
0
eşitliği I.Bianchi özdeşliği olarak adlandırılır [Yano ve Kon, 1984].
2.1.11 Tanım
( , ) bir Riemann manifoldu olsun. Bir
,
noktasındaki
tanjant uzayının,
tanjant vektörleri tarafından gerilen 2-boyutlu bir uzay Π olmak üzere
Π
,
,
şeklinde tanımlanan
2.1.12 Tanım
,
,
,
2.6
Π reel sayısına Π nin kesit eğriliği denir [Yano ve Kon, 1984].
8
n-boyutlu bir Riemann manifoldu ( , ), M üzerinde eğrilik tensörü
,…,
bir ortonormal bazı
ve
nin
olsun.
:
,
şeklinde tanımlı
operatörüne M nin Ricci operatörü, :
olmak üzere
,
,
,
şeklinde tanımlı 0,2 tipindeki
2.7
tensör alanına, M üzerinde Ricci eğrilik tensörü adı
verilir [Yano ve Kon, 1984].
2.1.13 Tanım
n-boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M üzerinde ortonormal vektör alanları
sistemi
,…,
olmak üzere M nin skalar eğriliği,
,
şeklinde tanımlanır [Yano ve Kon, 1984].
2.1.14 Tanım
2 olmak üzere -boyutlu bir Riemann manifoldu ( , ) olsun.
için
nin Weyl projektif eğrilik tensör alanı;
, ,
9
,
1
,
,
1
,
2.8
ile tanımlanır.
2.1.15 Tanım
2 olmak üzere -boyutlu bir Riemann manifoldu
tanımlı 0,2 tipinde bir simetrik tensör alanı
,
olsun.
üzerinde
endomorfizmi
olmak üzere
:
, ,
,
şeklinde tanımlanır. Eğer
alınırsa;
,
,
olur. Bundan sonra
üzerinde 0,
yerine
,…,
ve
; ,
kullanılacaktır.
tensör alanı ve 0,2 tipinde bir simetrik
tipinde bir
alanı verildiğinde .
.
,
.
tensörleri sırasıyla;
,
,…,
,…,
ve
.
,…,
; ,
,…,
şeklinde tanımlanır. O halde
,
.
,
,
ve
; ,
,
,
,
,
; ,
alınırsa,
,
,
,…,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
tensör
10
,
ve
.
,
alınırsa,
,
,
,
; ,
,
,
,
,
,
,
ve
,
,
,
,
,
; ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Ayrıca
,
,
,
,
,
için
,
,
; ,
,
,
olarak elde edilir.
Riemann manifoldu için
.
0 ise
ye yarı simetriktir,
.
0 ise
ye Ricci yarı-simetriktir,
.
0 ise
ye Wely-yarı simetriktir,
.
0 ise M ye Projektif yarı-simetrik
2.1.16 Tanım
,
,
,
,
denir.
,
,
; ,
,
,
,
,
,
,
,
alınırsa,
,
,
,
,
; ,
,
.
,
,
,
,
11
boyutlu bir Riemann manifoldu
uzayındaki
boyutlu bir
nin her
alt uzayı bağlayan
olan bir dağılım denir.
dağılımına aittir denir.
olsun.
ve
noktasındaki
dönüşümüne
için
ise
teğet
üzerinde rankı
vektör alanına
dağılımına ait olan vektör alanlarının uzayı Γ
ile
gösterilir.
2.2. Bir Riemann Manifoldu Üzerinde Çeyrek Simetrik Metrik Olmayan
Koneksiyon
2.2.1 Tanım
Bir
,
Riemann manifoldu ve , M üzerinde Levi-Civita koneksiyonu olsun.
:
,
∇
şeklinde tanımlansın. Burada
2.9
bir 1-form ve
olmak üzere
,
2.10
ile tanımlıdır.
2.2.1 Teorem
Bir
,
Riemann manifoldu olsun. Eş. 2.9 da tanımlı
koneksiyondur [Agashe ve Chafle, 1992].
2.2.2 Tanım
, M üzerinde bir lineer
12
,
Bir
olsun.
Riemann manifoldu üzerinde Eş. 2.9 ile tanımlı bir lineer koneksiyon
nın torsiyon tensörü
olmak üzere
,
için;
,
ise
2.11
ya çeyrek simetrik koneksiyon adı verilir [Agashe ve Chafle, 1992].
2.2.3 Tanım
,
Bir
Riemann manifoldu üzerinde Eş. 2.9 ile tanımlı bir çeyrek simetrik
koneksiyon
∇
olsun.
,
0
, ,
için;
2.12
ise ∇ koneksiyonuna çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyon denir [Agashe ve
Chafle, 1992].
2.2.2 Teorem
Bir
,
Riemann manifoldu üzerinde Eş. 2.9 ile tanımlı bir lineer koneksiyon
olsun. , M üzerinde bir çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyondur [Agashe ve
Chafle, 1992].
2.3. Bir Riemann Manifoldu Üzerinde Çeyrek Simetrik Metrik Koneksiyon
2.3.1 Tanım
Bir
,
Riemann manifoldu ve , M üzerinde Levi-Civita koneksiyonu olsun.
:
,
∇
2.13
13
şeklinde tanımlansın. Burada
bir 1-form ve
olmak üzere
,
2.14
ile tanımlıdır.
2.3.1 Teorem
,
Bir
Riemann manifoldu olsun. Eş. 2.13 de tanımlı , M üzerinde bir lineer
koneksiyondur [Friedman ve Shouten, 1924].
2.3.2 Tanım
,
Bir
olsun.
Riemann manifoldu üzerinde Eş. 2.13 ile tanımlı bir lineer koneksiyon
nın torsiyon tensörü
olmak üzere
,
için;
,
ise
2.15
ya çeyrek simetrik koneksiyon adı verilir [Agashe ve Chafle, 1992].
2.3.3 Tanım
,
Bir
Riemann manifoldu üzerinde Eş. 2.13 ile tanımlı bir çeyrek simetrik
koneksiyon
,
ise
olsun.
0
, ,
için;
2.16
koneksiyonuna çeyrek simetrik metrik koneksiyon denir [Friedman ve Shouten,
1924].
2.3.2 Teorem
14
Bir
olsun.
,
Riemann manifoldu üzerinde Eş. 2.13 ile tanımlı bir lineer koneksiyon
, M üzerinde bir çeyrek simetrik metrik
koneksiyondur [Friedman ve
Shouten, 1924].
2.4. Hemen Hemen Kompleks ve Hemen Hemen Kontakt Manifoldlar
2.4.1 Tanım
M diferensiyellenebilir bir reel manifold olsun. M nin her q noktasındaki Tq M
tanjant uzayı üzerinde tanımlı bir J : Tq M → Tq M lineer dönüşümü J 2 = − I
koşulunu sağlıyor ise J ye M üzerinde hemen hemen kompleks yapı, M
manifolduna da hemen hemen kompleks manifold denir. Her hemen hemen kompleks
manifold çift boyutludur [Yano ve Kon, 1984].
2.4.2 Tanım
M bir hemen hemen kompleks manifold ve M üzerinde hemen hemen kompleks
yapı J olsun. g , M üzerinde bir Riemann metrik olmak üzere ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g ( J ( X ) , J (Y ) ) = g ( X , Y ) özelliği sağlanıyor ise g ye M üzerinde Hermit metrik
denir. M manifolduna da hemen hemen Hermityan manifold denir [Yano ve Kon,
1984].
2.4.3 Tanım
M bir ( 2n + 1) boyutlu manifold, ϕ , ξ ve η da M üzerinde sırasıyla, (1,1) tipinde
tensör alanı, vektör alanı ve 1-form olsun. Herhangi bir vektör alanı X için;
ϕ 2 ( X ) = − X + η ( X ) ξ ve η (ξ ) = 1
(2.17)
15
özellikleri sağlanıyorsa o zaman (ϕ , ξ ,η ) ya M üzerinde bir hemen hemen kontakt
yapı ve M manifolduna da hemen hemen kontakt manifold denir [Yano ve Kon,
1984].
2.4.4 Tanım
( 2n + 1) -boyutlu bir hemen hemen kontakt manifold
M olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve
ξ ∈ χ ( M ) için
η ( X ) = g ( X ,ξ )
(2.18)
ve
g ( ϕ ( X ) , ϕ ( Y ) ) = g ( X , Y ) − η ( X )η ( Y )
(2.19)
koşullarını sağlayan bir g Riemann metriği varsa (ϕ , ξ ,η , g ) dörtlüsüne bir hemen
hemen kontakt metrik yapı,
( M , ϕ , ξ ,η , g )
beşlisine de bir hemen hemen kontakt
metrik manifold denir [Yano ve Kon, 1984].
2.4.1 Teorem
M bir hemen hemen kontakt metrik manifold olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g ( ϕ ( X ) , ϕ ( Y ) ) = g ( X , Y ) − η ( X )η ( Y )
olacak şekilde bir g Riemann metriği daima vardır [Blair, 1976].
2.4.5 Tanım
( 2n + 1) -boyutlu bir manifold
η ∧ ( dη ) ≠ 0
n
, η da M üzerinde bir 1-form olsun. Eğer,
16
koşulu sağlanıyor ise M ye bir kontakt yapıya sahiptir denir. M manifolduna da,
kontakt manifold denir [Yano ve Kon, 1984].
2.4.2 Teorem
( M , ϕ , ξ ,η )
bir hemen hemen kontakt manifold olsun. X , ξ ∈ χ ( M ) , X ≠ ξ ve
ϕ : χ ( M ) → χ ( M ) için
( i ) ϕ (ξ ) = 0 , ( ii )
η D ϕ = 0 , ( iii ) rankϕ = 2n
(2.20)
dir [Yano ve Kon, 1984].
2.4.6 Tanım
M bir hemen hemen kontakt metrik manifold olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
Φ ( X , Y ) = − g ( X , ϕ (Y ) ) = dη ( X , Y )
(2.21)
şeklinde tanımlı Φ dönüşümüne (ϕ , ξ ,η , g ) hemen hemen kontakt metrik yapının
2
denir. Burada η kontak formu için yazılan η ∧ ( dη ) ≠ 0 koşulu
n
η ∧ ( Φ ) ≠ 0 halini alır [Yano ve Kon, 1984].
n
2.4.7 Tanım
( 2n + 1) -boyutlu bir hemen hemen kontakt metrik manifold
dη ( X , Y ) = g ( X , ϕ (Y ) ) = Φ ( X , Y )
M olsun. Eğer,
17
oluyorsa (ϕ , ξ ,η , g ) dörtlüsüne kontakt metrik yapı ve ( M , ϕ , ξ ,η , g ) beşlisine de
kontakt metrik manifold denir [Yano ve Kon, 1984].
2.4.1 Sonuç
Her hemen hemen kontakt metrik manifold aynı zamanda kontakt manifoldtur
[Yano ve Kon, 1984].
2.4.3 Teorem
M bir hemen hemen kontakt metrik manifold olsun.
, M üzerinde Riemann
koneksiyon olmak üzere ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
,
,
,
,
(2.22)
dır [Yano ve Kon, 1984].
2.4.4 Teorem
( 2n + 1) -boyutlu
bir
hemen
hemen
kontakt
metrik
manifold
M olsun.
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
dη ( X , ξ ) = 0
(2.23)
ve
dη (ϕ ( X ) , Y ) + dη ( X , ϕ (Y ) ) = 0
dır [Yano ve Kon, 1984].
(2.24)
18
( 2n + 1) -boyutlu
bir hemen hemen kontakt manifold M ve M üzerinde hemen
hemen kontakt yapı (ϕ , ξ ,η ) olsun. Reel doğru IR ile gösterilirse M × IR manifoldu
( 2n + 2 )
boyutlu bir çarpım manifoldu olur. Burada X , M × IR üzerinde herhangi
bir vektör alanı, t , IR nin bir koordinatı ve f de M × IR üzerinde tanımlı
diferensiyellenebilir bir fonksiyondur. M × IR üzerinde bir hemen hemen kompleks
yapıyı veren M × IR nin tanjant uzayındaki bir J lineer dönüşümü;
J : χ ( M × IR ) → χ ( M × IR )
d ⎞
d ⎞ ⎛
d ⎞
⎛
⎛
⎜ X , f ⎟ → J ⎜ X , f ⎟ = ⎜ ϕ ( X ) − f ξ ,η ( X ) ⎟
dt ⎠
dt ⎠ ⎝
dt ⎠
⎝
⎝
(2.25)
şeklinde tanımlıdır.
2.4.8 Tanım
M bir diferensiyellenebilir manifold ve ϕ , M üzerinde bir (1,1) tipinde bir tensör
alanı olmak üzere, ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
Nϕ ( X , Y ) = ϕ 2 [ X , Y ] + ⎡⎣ϕ ( X ) , ϕ (Y ) ⎤⎦ − ϕ ⎡⎣ϕ ( X ) , Y ⎤⎦ − ϕ ⎡⎣ X , ϕ (Y ) ⎤⎦
şeklinde tanımlanan (1, 2 ) tipindeki tensör alanına ϕ nin Nijenhuis tensör alanı
denir [Yano ve Kon, 1984].
2.4.9 Tanım
Bir hemen hemen kompleks metrik manifold M , M üzerindeki hemen hemen
kompleks yapı J olsun. J nin Nijenhuis tensör alanı N J olmak üzere N J = 0 ise J
dönüşümüne integrallenebilirdir denir [Yano ve Kon, 1984].
19
2.4.10 Tanım
Bir ( 2n + 1) -boyutlu hemen hemen kontakt manifold M ve (ϕ , ξ ,η ) de M üzerinde
hemen hemen kontakt yapı olsun. Reel doğru IR olmak üzere
M × IR çarpım
manifoldu göz önüne alınsın. Eğer M × IR üzerindeki (2.25) ile verilen hemen
hemen kompleks yapısı integrallenebilir ise (ϕ , ξ ,η ) hemen hemen kontakt yapısı
normaldir denir [Yano ve Kon, 1984].
2.4.11 Tanım
Bir
( 2n + 1) -boyutlu
hemen hemen kontakt manifold M olsun. M × IR çarpım
manifoldu üzerinde
[ ,] : χ ( M × R ) × χ ( M × R ) → χ ( M × R )
⎛⎛
d⎞ ⎛
d ⎞ ⎞ ⎡⎛
d ⎞ ⎛
d ⎞⎤ ⎛
d ⎞
⎜ ⎜ X , f dt ⎟ , ⎜ Y , g dt ⎟ ⎟ → ⎢⎜ X , f dt ⎟ , ⎜ Y , g dt ⎟ ⎥ = ⎜ [ X , Y ] , ( X ( g ) − Y ( f ) ) dt ⎟
⎠
⎠ ⎝
⎠ ⎠ ⎣⎝
⎠ ⎝
⎠⎦ ⎝
⎝⎝
şeklinde tanımlanan operatör
( i ) Anti-simetriktir,
( ii )
Jacobi özdeşliğini sağlar.
Bu şekilde tanımlanan [,] operatörüne Lie braketi denir [Blair, 2002].
2.4.12 Tanım
( 2n + 1) -boyutlu bir hemen hemen kontakt manifold
⎛
⎛ d ⎞⎞
N J ⎜ ( X , 0 ) , ⎜ 0, ⎟ ⎟ değerleri sırasıyla hesaplanarak
⎝ dt ⎠ ⎠
⎝
M olsun. N J ( ( X , 0 ) , (Y , 0 ) ) ve
20
N 1 ( X , Y ) = Nϕ ( X , Y ) + 2dη ( X , Y ) ξ ,
(
) (
(2.26)
N 2 ( X , Y ) = Lϕ ( X )η Y − Lϕ (Y )η X ,
)
(2.27)
N 3 ( X ) = ⎡⎣ξ , ϕ ( X ) ⎤⎦ − ϕ [ X , ξ ] ,
(2.28)
N 4 ( X ) = ξη ( X ) − η [ X , ξ ] ,
(2.29)
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerle N 1 , N 2 , N 3 ve N 4 tensörleri tanımlanır.
2.4.5 Teorem
( 2n + 1) -boyutlu bir hemen hemen kontakt manifold
M olsun. Bu yapının normal
olabilmesi için gerek ve yeter şart N 1 , N 2 , N 3 ve N 4 tensörlerinin sıfır olmasıdır
[Yano ve Kon, 1984].
2.4.6 Teorem
( 2n + 1) -boyutlu
bir hemen hemen kontakt manifold M
olsun. N 1 = 0 ise
N 2 = N 3 = N 4 = 0 dır [Yano ve Kon, 1984].
2.4.13 Tanım
( 2n + 1) -boyutlu bir hemen hemen kontakt metrik manifold
M olsun. Eğer M nin
kontakt yapısı normal ise M bir Sasaki yapıya ya da normal kontakt metrik yapıya
sahiptir denir. Sasaki yapıya sahip M manifolduna ise Sasakian manifold denir ve
( M , ϕ , g , ξ ,η )
ile gösterilir [Yano ve Kon, 1984].
21
3. HEMEN HEMEN S-MANİFOLDLAR VE S-MANİFOLDLAR
3.1. f-yapı
3.1.1 Tanım
(2n+s)-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold M olsun. M’ nin tanjant demeti TM
olmak üzere
f 3 + f =0,
rankϕ = 2n
(3.1)
koşulunu sağlayan (1,1) tipindeki diferensiyellenebilir ϕ tensör alanına f -yapı ve
üzerinde bir f -yapı tanımlı M manifolduna da f -manifold denir [Goldberg ve
Yano,1970].
s=0 ise f -yapı hemen hemen kompleks yapıdır. s=1 ise f -yapı hemen hemen
kontakt yapıdır. f ’ nin hemen hemen kontakt yapı olması durumunda M manifoldu
yönlendirilebilirdir.
(i ) P = −ϕ 2 ,
(ii ) Q = ϕ + I
2
(3.2)
ile tanımlanan iki bütünleyen izdüşüm operatörlerine karşılık sırasıyla D ve D ⊥
bütünleyen dağılımlar vardır. Burada boy( D )= 2n ve boy( D ⊥ )= s ’dir.
3.1.1 Lemma
(2n+s) boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold M olsun. ϕ , M üzerinde bir f yapı, P ve Q ise Eş. 3.2 ile tanımlı bütünleyen izdüşüm fonksiyonları olmak üzere
(i ) ϕ P = Pϕ = ϕ (ii ) ϕ Q = Qϕ = 0 (iii ) ϕ 2 P = − P (iv ) ϕ 2Q = 0
(3.3)
22
dir [Ishihara ve Yano, 1964].
Eş. 3.3 koşulunu sağlayan P ve Q izdüşüm fonksiyonları yardımı ile M’ nin tanjant
demeti TM, biri 2n diğeri s - boyutlu olan iki dağılımın direkt toplamı olarak yazılır.
Yani;
TM = D ⊕ D ⊥ ,
D ∩ D ⊥ = {0}
(3.4)
dir.
3.1.2 Tanım
(2n+s)-boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold M olsun. M üzerinde,
s
ϕ 2 = − I + ∑η i ⊗ ξi , η i (ξ j ) = δ ij
(3.5)
i =1
olacak şekilde (1,1) tipinden bir ϕ tensör alanı, s -tane ξi vektör alanları ve s tane η i 1-formları var ise M’ ye bir global çatılandırılan manifold ya da kısaca
çatılandırılan manifold denir ve ( M , ϕ , ξ i ,η i ) ile gösterilir [Goldberg ve
Yano,1970].
3.1.2 Lemma
( M , ϕ , ξ ,η ) bir çatılandırılan manifold olsun. Bu durumda
i
i
(i ) ϕ ( ξ i ) = 0 ,
( ii )
η i Dϕ = 0 ,
( iii )
dir [Yano ve Kon, 1984, Sağbaş, 2010].
rankϕ = 2n
(3.6)
23
3.1.3 Lemma
ϕ ’ nin Im ϕ ’ye kısıtlanması Im ϕ üzerinde bir hemen hemen kompleks yapı
belirler [Yano ve Kon, 1984, Sağbaş, 2010].
3.1.1 Sonuç
( Im ϕ ,ϕ
2
) bir hemen hemen kompleks manifoldtur.
Im ϕ
3.1.3 Tanım
( M , ϕ , ξ ,η ) çatılandırılan manifold olsun. ϕ ’nin Nijenhuis tensör alanı N
i
i
ϕ
olmak
üzere
s
Sϕ = Nϕ + 2∑ dη i ⊗ ξ i
(3.7)
i =1
ile belirtilen (1,2) tipindeki Sϕ tensör alanına torsiyon tensör alanı denir. Burada Nϕ
Nijenhuis tensör alanı ∀V , W ∈ χ ( M ) için
Nϕ (V , W ) = ϕ 2 [V ,W ] + [ϕV , ϕW ] − ϕ [ϕV , W ] − ϕ [V , ϕW ]
(3.8)
eşitliği ile tanımlıdır.
3.1.4 Lemma
(2n+s)-boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold M ve M üzerinde f -yapı ϕ olsun.
ϕ ’ye karşılık gelen matris
24
⎡[ 0]n×n
⎢
ϕ = ⎢ In
⎢[ 0 ]
⎣ n×s
−In
[0]n×n
[0]n×s
[0]s×n ⎤
[0]s×n ⎥⎥
[0]s×s ⎥⎦ ( 2 n+ s )×( 2 n+ s )
dir [Ishihara ve Yano, 1964].
3.1.5 Lemma
( M ,ϕ , ξ ,η ) çatılandırılan manifold olsun. M üzerinde ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
i
i
s
g (ϕ X , ϕ Y ) = g ( X , Y ) − ∑ η i ( X )η i ( Y )
(3.9)
i =1
g ( X , ξi ) = η i ( X )
(3.10)
koşullarını sağlayan bir g Riemann metriği vardır [Yano ve Kon, 1984].
3.1.6 Lemma
( M , ϕ , ξ ,η ) çatılandırılan manifold üzerindeki g Riemann metriği
i
i
g (ϕ X , Y ) + g ( X , ϕY ) = 0
koşulunu sağlar, yani g anti-simetriktir [Yano ve Kon, 1984, Sağbaş, 2010].
(3.11)
25
3.1.2 Sonuç
( M , ϕ , ξ ,η )
i
i
bir çatılandırılan manifold olsun. Eş. 3.9 ve Eş. 3.10 koşullarını
sağlayan keyfi bir Riemann metriği her zaman bulunabilir [Duggal ve Bejancu,
1996].
3.1.4 Tanım
( M , ϕ , ξ ,η )
i
i
çatılandırılan manifoldu üzerinde Eş. 3.9 ve Eş. 3.10 şartlarını
sağlayan bir g Riemann metriğiyle birlikte
( M , ϕ , ξ ,η , g )
i
i
ye bir çatılandırılan
metrik manifold yada metrik f-manifold denir.
3.1.5 Tanım
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir çatılandırılan metrik manifold olsun. ∀ X , Y ∈ χ ( M ) için;
i
i
Φ ( X , Y ) = g ( X , ϕY )
(3.12)
ile tanımlı Φ ’ye M üzerinde, temel 2-form denir [Yano ve Kon, 1984].
3.1.3 Sonuç
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir çatılandırılan metrik manifold olsun. Bu durumda
i
i
∀ V ∈ χ (M )
ve ∀i ∈ {1,..., s} için Φ ( X , ξi ) = 0 dır [Yano ve Kon, 1984, Sağbaş, 2010].
26
3.2. Torsiyon Tensörü
( 2n + s ) -boyutlu
bir çatılandırılan metrik manifold ( M , ϕ , ξi ,η i , g ) olsun. M × IR s
( 2n + 2s ) -boyutlu bir çarpım manifoldtur. IR s
⎧
s
χ ( IR s ) = ⎨∑ fi
⎩ i =1
üzerindeki vektör alanları
⎫
∂
: fi ∈ C ∞ ( IR s , IR ) ,1 ≤ i ≤ s ⎬
∂ti
⎭
şeklindedir.
⎛
∂
∂ ⎞
s
⎜ X , f1 ,..., f s
⎟ ile M × IR ’deki vektör alanları gösterilmektedir. Burada X,
∂t1
∂ts ⎠
⎝
M 2n + s ’de bir tanjant vektör alanı,
( t1 ,..., ts )
ile IR s ’deki dik koordinat sistemi,
lerle M 2n + s × R s üzerinde C ∞ fonksiyonları gösterilmektedir. Ayrıca IR s
üzerinde hemen hemen kompleks yapı;
J : χ ( M × IR s ) → χ ( M × IR s )
s
⎛
∂
X
,
⎜ ∑ fi
⎝ i =1 ∂ti
s
s
s
⎞
⎛
∂ ⎞
∂ ⎞ ⎛
i
J
X
,
f
=
ϕ
X
−
f
ξ
,
→
⎟
⎟
⎜ ∑ i
⎟ ⎜
∑
i i ∑η ( X )
∂ti ⎠
i =1
i =1
⎠
⎝ i =1 ∂ti ⎠ ⎝
olarak tanımlanır.
3.2.1 Lemma
J dönüşümü
( i ) Lineerdir,
( ii )
J 2 = − I dir [Yano ve Kon, 1984, Sağbaş, 2010].
(3.13)
27
3.2.2 Lemma
( 2n + s ) -boyutlu
bir çatılandırılan metrik manifold
( M , ϕ , ξ ,η , g )
i
i
olsun. Bu
durumda ( M × IR s , J ) bir hemen hemen kompleks manifoldtur.
3.2.1 Tanım
( 2n + s ) -boyutlu bir çatılandırılan manifold ( M , ϕ , ξi ,η i ) ve ( M × R s , J )
bir hemen
hemen kompleks manifold olsun. Hemen hemen kompleks yapı J nin Nijenhuis
s
s
⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞
s
,
Y
,
tensörü Eş. 3.8 den ∀ ⎜ X , ∑ fi
⎟ ⎜ ∑ gi
⎟ ∈ χ ( M × R ) için
t
t
∂
∂
i =1
i ⎠ ⎝
i ⎠
⎝ i =1
s
s
s
s
⎛⎛
⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
2 ⎛
N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ f i
⎟ , ⎜ Y , ∑ gi
⎟ ⎟⎟ = J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ f i
⎟ , ⎜ Y , ∑ gi
⎟⎟
∂ti ⎠ ⎝ i =1 ∂ti ⎠ ⎠
∂ti ⎠ ⎝ i =1 ∂ti ⎠ ⎟⎠
i =1
i =1
⎝⎝
⎝⎝
s
⎛ ⎛
∂
+ ⎜⎜ J ⎜ X , ∑ fi
∂ti
i =1
⎝ ⎝
s
⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
,
J
Y
,
⎟ ⎜ ∑ gi
⎟ ⎟⎟
⎠ ⎝ i =1 ∂ti ⎠ ⎠
s
s
⎛ ⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
,
Y
,
− J ⎜⎜ J ⎜ X , ∑ fi
⎟ ⎜ ∑ gi
⎟⎟
∂ti ⎠ ⎝ i =1 ∂ti ⎠ ⎟⎠
i =1
⎝ ⎝
s
s
⎛⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
− J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fi
⎟ , J ⎜ Y , ∑ gi
⎟⎟
∂ti ⎠ ⎝ i =1 ∂ti ⎠ ⎟⎠
i =1
⎝⎝
dir.
3.2.2 Tanım
( M × IR , J ) bir hemen hemen kompleks manifold olsun. M × IR
s
[,] : χ ( M × IR s ) × χ ( M × IR s ) → χ ( M × IR s )
s
üzerinde
28
s
s
s
s
⎛⎛
⎡⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎤
⎜⎜ ⎜ X , ∑ f i
⎟ , ⎜ Y , ∑ gi
⎟ ⎟⎟ → ⎢⎜ X , ∑ f i
⎟ , ⎜ Y , ∑ fi
⎟⎥
∂ti ⎠ ⎝ i =1 ∂ti ⎠ ⎦
∂ti ⎠ ⎝ i =1 ∂ti ⎠ ⎠
i =1
i =1
⎣⎝
⎝⎝
olmak üzere
s
s
s
⎡⎛
∂ ⎞
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎤ ⎛
⎢⎜ X , ∑ f i
⎟ , ⎜ Y , ∑ fi
⎟ ⎥ = ⎜ [ X , Y ] , ∑ ( X ( gi ) − Y ( fi ) ) ⎟
∂ti ⎠
∂ti ⎠ ⎝ i =1 ∂ti ⎠ ⎦ ⎝
i =1
i =1
⎣⎝
(3.14)
şeklinde tanımlanan operatöre braklet operatörü denir.
3.2.3 Lemma
Eş. 3.14 ile tanımlı [,] operatör
( i ) Anti-simetriktir,
( ii )
Jacobi özdeşliğini sağlar [Yano ve Kon, 1984, Sağbaş, 2010].
3.2.3 Tanım
Lemma 3.2.3. de tanımlanan operatöre Lie braketi operatörü denir.
3.2.4 Lemma
( M × IR , J )
s
bir hemen hemen kompleks manifold ve J hemen hemen kompleks
yapının Nijenhuis torsiyon tensörü N J olmak üzere
⎧
∂ ⎫
N J ( ( X , 0,..., 0 ) , (Y , 0,..., 0 ) ) = ⎨ N 1 ( X , Y ) , N 2 ( X , Y ) ⎬
∂ti ⎭
⎩
ve
29
⎛
⎛
⎞⎞
∂
N J ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) , ⎜ 0, 0,...0, , 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ = ( N 3 ( X ) , N 4 ( X ) )
∂ti
⎝
⎠⎠
⎝
dir [Blair, 2002, Sağbaş, 2010].
3.2.2 Tanım
( M , ϕ , ξ ,η , g )
i
i
bir çatılandırılan metrik manifold ve ϕ nin Nijenhuis tensör alanı
Nϕ olsun. ( M × IR s , J ) hemen hemen kompleks manifoldun Nijenhuis tensör alanı
N J = 0 ise ( M , ϕ , ξi ,η i , g ) ye normaldir denir [Yano ve Kon, 1984].
3.2.1 Teorem
( M , ϕ , ξ ,η , g )
i
bir çatılandırılan metrik manifold olsun. Bu yapının normal
i
olabilmesi için gerek ve yeter koşul N 1 , N 2 , N 3 ve N 4 tensörlerinin sıfır olmasıdır
[Yano ve Kon, 1984, Sağbaş, 2010].
3.2.2 Teorem
( 2n + s ) -boyutlu
M manifoldu (ϕ , ξi ,η i , g ) çatılandırılan metrik yapısıyla verilsin.
Eğer N 1 = 0 ise N 2 = N 3 = N 4 = 0 dir [Blair, 2002, Sağbaş, 2010].
3.2.3 Teorem
( M , ϕ , ξ ,η , g )
i
i
koneksiyonu
2
,
bir çatılandırılan metrik manifold olsun. M
nin Levi-Civita
olmak üzere ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için
3 Ф
,
,
3 Ф
, ,
,
,
30
s
{
+ ∑ N 2 (Y , Z )η i ( X ) + 2dη i (ϕ (Y ) , X )η i ( X )
i =1
}
−2dη i (ϕ ( Z ) , X )η i (Y )
(3.15)
dir [Blair, 2002, Sağbaş, 2010].
3.3. Hemen Hemen S-Manifoldlar
3.3.1 Tanım
( M , ϕ , ξ ,η , g )
i
i
bir çatılandırılan metrik manifold olsun. Eğer ∀i ∈ {1,..., s} için
dη i = Φ ise M ye hemen hemen S-manifold denir.
3.3.1 Sonuç
( 2n + s ) -boyutlu bir hemen hemen S-manifold
M olsun. s = 1 ise M bir hemen
hemen kontakt manifoldtur.
3.3.1 Lemma
( M , ϕ , ξ ,η , g )
i
i
bir hemen hemen S-manifold ve X ∈ Γ ( D ) olsun. O halde,
∀i ∈ {1,..., s} için [ X , ξi ] ∈ Γ ( D ) dir.
İspat: ∀i, j ∈ {1,..., s} ve X ∈ Γ ( D ) için
η j ([ X , ξi ]) = −2dη j ( X , ξ i ) + X (η j (ξi ) ) − ξi (η j ( X ) )
= −2Φg ( X , ξ i ) + X (δ ij ) − ξi (η j ( X ) )
=0
31
dir. O halde [ X , ξi ] ∈ Γ ( D ) dir.
3.3.2 Lemma
Hemen hemen S-manifoldlarda ∀i ∈ {1,..., s} ve ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
(i )
N 2 ve N 4 tensör alanları sıfırdır,
( ii ) N 3 =0
⇔ ξi lar Killing vektör alanıdır.
İspat: ( i ) N 2 nin tanımından
N 2 ( X , Y ) = 2dη i (ϕ ( X ) , Y ) − 2dη i (ϕ (Y ) , X )
= 2Φ (ϕ ( X ) , Y ) − 2Φ (ϕ (Y ) , X )
= 2 g ( ϕ ( X ) , ϕ ( Y ) ) − 2 g (ϕ ( Y ) , ϕ ( X ) )
=0
bulunur. ∀i ∈ {1,..., s} için Lξiη i = ( d D iξi + iξi D d ) (η j ) olur. Bu nedenle N 4 = 0 dır.
( ii )
Lξi Φ = Lξi dη j = d D iξi D dη j + iξi D d 2η j = 0
dır. Buradan, ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
(
)
0 = Lξi Φ ( X , Y )
(
)
= ξi g ( X , ϕ (Y ) ) − g ([ξi , X ] , ϕ ( X ) ) − g ( X , ϕ [ξi , Y ])
(
) ( X , ϕ (Y ) ) + g ( L ϕ (Y ) , X )
(
) ( X , ϕ (Y ) ) + g ( N (Y ) , X )
= Lξi g
= Lξi g
ξi
3
32
bulunur. Bu eşitlikten ispat açıktır.
3.3.2 Sonuç
Hemen hemen S-manifoldlarda ∀i ∈ {1,..., s} ve ∀X , Y ∈ Γ ( D ) için
η i ( ⎡⎣ϕ ( X ) , Y ⎤⎦ ) = η i ( ⎡⎣ϕ (Y ) , X ⎤⎦ )
dir.
İspat: ∀X , Y ∈ Γ ( D ) için N 2 = 0 olduğundan
(
)
(
0 = N 2 ( X , Y ) = Lϕ ( X )η i (Y ) − Lϕ (Y )η i
(
)( X )
)
(
= ϕ ( X ) (η i (Y ) ) − η i ⎡⎣ϕ ( X ) , Y ⎤⎦ − ϕ (Y ) (η i ( X ) ) + η i ⎡⎣ϕ (Y ) , X ⎤⎦
(
)
(
= −η i ⎡⎣ϕ ( X ) , Y ⎤⎦ + η i ⎡⎣ϕ (Y ) , X ⎤⎦
)
olur,
dη i (ϕ ( X ) , Y ) + dη i ( X , ϕ (Y ) ) = 0 olduğundan
η i ( ⎡⎣ϕ ( X ) , Y ⎤⎦ ) = η i ( ⎡⎣ϕ (Y ) , X ⎤⎦ )
dir.
3.3.1 Önerme
Hemen hemen S-manifoldlarda ∀i ∈ {1,..., s} ve ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) için
)
33
(
)
2 g ( ∇ * X ϕ ) Y , Z = g ( N 1 ( Y , Z ) , ϕ ( X ) ) + 2 g (ϕ ( X ) , ϕ ( Y ) )η i ( Z )
(i )
−2 g (ϕ ( X ) , ϕ ( Z ) )η i (Y ) ,
( ii )
∇*ξi ϕ = 0 ,
( iii )
∇*ξi ξ j = 0 .
dır.
İspat: ( i ) 3.2.3 Teorem ve 3.3.2 Lemma’ dan ispat kolayca yapılır.
( ii ) ( i ) de
((
X = ξi yazılırsa
)
)
2 g ∇*ξi ϕ Y , Z = g ( N 1 (Y , Z ) , ϕ (ξi ) ) + 2 g (ϕ (ξi ) , ϕ (Y ) )η i ( Z )
−2 g (ϕ (ξi ) , ϕ ( Z ) )η i (Y )
=0
elde edilir. Buradan ∇*ξi ϕ = 0 dir.
( iii ) ( ii )
(
de Y = ξ j yazılırsa
)
(
)
(
0 = ∇*ξi ϕ ξ j = ∇*ξi ϕ (ξ j ) − ϕ ∇*ξi ξ j = − φ ∇*ξi ξ j
)
bulunur. Buradan ∇*ξi ξ j ∈ D ⊥ böylece ∀i ∈ {1,..., s} için
(
)
η i ⎡⎣ξi , ξ j ⎤⎦ = −2dη γ (ξi , ξ j ) = −2Φ (ξi , ξ j ) = 0
olup ⎡⎣ξi , ξ j ⎤⎦ = 0 olur. Ancak , g (ξi , ξ j ) = δ ij = sabit olduğundan
34
(
)
) (
(
) (
+ g ( ⎡⎣ξ , ξ ⎤⎦ , ξ ) g ( ⎡⎣ξ , ξ ⎤⎦ , ξ )
) (
2 g ∇*ξi ξ j , ξγ = ξi g (ξ j , ξγ ) + ξ j g (ξγ , ξi ) − ξγ g (ξi , ξ j ) − g ⎡⎣ξ j , ξγ ⎤⎦ , ξi
γ
i
j
i
j
)
γ
=0
elde edilir. Buradan ∇*ξi ξ j ∈ Γ ( D ) olacağından ∇*ξi ξ j = 0 dır.
3.3.2 Tanım
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir hemen hemen S-manifold olsun. ∀i ∈{1,..., s} ve ∀X ∈ χ ( M )
i
i
için, hi tensör alanı
hi : χ (TM ) → χ (TM )
X → hi ( X ) =
1
1
Lξi ϕ ( X ) = N 3 ( X )
2
2
ile tanımlıdır.
3.3.3 Lemma
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir hemen hemen S-manifold olsun. M de ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve
i
i
∀i ∈ {1,..., s} için aşağıdakiler sağlanır:
(i )
( ii )
ϕ ( N ( X , Y ) + N (ϕ ( X ) , Y ) ) = 2η i (Y ) hi (Y ) ,
(
)
g N (ϕ ( X ) , Y ) , ξ i = 0 .
35
3.3.2 Önerme
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir hemen hemen S-manifold olsun. ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) ve
i
i
∀i ∈ {1,..., s} için , hi tensör alanı olmak üzere
∇* X ξi = −ϕ ( X ) − ϕ ( hi ( X ) )
dir.
İspat: 3.3.3 Lemma da X = ξi konulursa, ∀Y , Z ∈ χ ( M ) için
(
g ( N (ξi , Y ) , ϕ ( Z ) ) = − g ϕ ( N (ξi , Z ) ) , Y
)
s
= −2∑η i (ξi )g ( hγ ( Z ) , Y )
γ =1
= −2 g ( hi ( Z ) , Y )
dır. Önerme 3.3.1’ den
(
)
g ( N (ξi , Z ) , ϕ (Y ) ) = 2 g ( ∇*Y ϕ ) ξi , Z − 2 g (ϕ (ξi ) , ϕ (Y ) )η i ( Z )
+2 g (ϕ ( Z ) , ϕ (Y ) )η i (ξi )
(
)
s
= −2 g ϕ ( ∇*Y ξi ) , Z + 2 g ( Z , Y ) − 2∑η γ ( Z )η γ (Y )
γ =1
bulunur. Böylece
(
)
s
g ϕ ( ∇*Y ξi ) , Z = g ( hi ( Z ) , Y ) + g ( Z , Y ) − ∑η γ ( Z )η γ (Y )
γ =1
s
= g ( hi (Y ) , Z ) + g (Y , Z ) − ∑η γ (Y )η γ ( Z )
γ =1
36
elde edilir. Buradan
s
ϕ ( ∇*Y ξi ) = hi (Y ) + Y − ∑η γ (Y ) ξγ
γ =1
olur. Eşitliğin her iki tarafınının ϕ altında görüntüsü alınırsa
s
ϕ 2 ( ∇*Y ξi ) = ϕ ( hi (Y ) ) + ϕ (Y ) − ∑η γ (Y ) ϕ (ξγ )
γ =1
bulunur. ϕ 2 nin değeri yerine yazılırsa
∇*Y ξi = −ϕ ( hi (Y ) ) − ϕ (Y )
∑η ( ∇
s
elde edilir. Burada
j
j =1
*
Y
)
ξi ξ j = 0 dır. Gerçekten;
2η j ( ∇*Y ξi ) = 2 g ( ∇*Y ξi , ξ j )
(
(
) (
)
− g (ξ , ⎡⎣Y , ξ ⎤⎦ ) + g (ξ , [Y , ξ ])
= ξ (η (Y ) ) − ξ (η (Y ) ) − η ( ⎡⎣Y , ξ ⎤⎦ ) + η ([Y , ξ ])
= Y g (ξi , ξ j ) + ξi g (ξ j , Y ) − ξ j ( g (Y , ξi ) ) − g Y , ⎡⎣ξi , ξ j ⎤⎦
i
j
j
j
i
i
j
= dη j (ξi , Y ) + dη i (Y , ξ j )
=0
dır.
i
i
j
j
i
)
37
3.3.3 Önerme
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir hemen hemen S-manifold olsun. M üzerinde ∀i ∈{1,..., s} için,
i
i
hi tensör alanı aşağıdakileri sağlar:
(i )
hi simetrik tensör alanıdır,
( ii )
hi (ξ j ) = 0 ,
( iii )
hi , ϕ ile anti-değişimlidir.
İspat: ( i ) Önerme 3.3.1 den ∇*ξi ϕ = 0 dır. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
(( )
)
) (
= g ( ∇ ϕ ( X ) − ∇ ( )ξ − ϕ ( ∇ X ) + ϕ ( ∇ ξ ) , Y )
= g ( ( ∇ ϕ ) X − ∇ ( )ξ + ϕ ( ∇ ξ ) , Y )
= g ( − ( ∇ ( )ξ ) + ϕ ( ∇ ξ ) , Y )
g Lξi ϕ X , Y = g ⎡⎣ξi , ϕ ( X ) ⎤⎦ − ϕ [ξi , X ] , Y
*
*
ξi
*
ϕ X
*
*
ξi
*
ξi
i
X
i
*
ϕ X
*
i
X
i
*
ϕ X
i
X
i
dır. Burada ∀i ∈ {1,..., s} için X = ξ j ya da Y = ξ j yazılırsa sonuç özdeş sıfır
olacaktır. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için, 3.3.2 Sonuç yardımı ile
(( )
)
((
) ) (
= −ξ ( g (ϕ ( X ) , Y ) ) + g (ξ , ∇
g Lξi ϕ X , Y = − g ∇*ϕ ( X )ξi , Y − g ( ∇* X ξi ) , ϕ (Y )
i
) (
Y − ξi g ( X , ϕ (Y ) )
*
i
)
ϕ( X )
+ g (ξ i , ∇* X ϕ (Y ) )
(
)
= η i ∇*ϕ ( X )Y + η i ( ∇* X ϕ (Y ) )
(
)
(
= η i ( ∇*Y ϕ ( X ) ) + η i ⎡⎣ϕ ( X ) , Y ⎤⎦ + η i ∇*ϕ (Y ) X
)
)
38
(
+η i ⎡⎣ X , ϕ (Y ) ⎤⎦
)
(
= η i ( ∇*Y ϕ ( X ) ) + η i ∇*ϕ (Y ) X
(( )
= g Lξi ϕ Y , X
)
)
bulunur. Buradan hi , simetrik operatördür.
( ii ) hi (ξ j ) =
(
1
1
Lξi ϕ (ξ j ) = Lξi ϕ (ξ j ) − ϕ Lξi ξ j
2
2
(
)
(
) ) = 0 dır.
( iii ) 2 g ( X , ϕ (Y ) ) = 2Φ ( X , Y ) = 2dη i ( X , Y )
= g ( ∇* X ξi , Y ) − g ( ∇*Y ξi , X )
(
) (
= g −ϕ ( X ) − ϕ ( hi ( X ) ) , Y − g −ϕ (Y ) − ϕ ( hi (Y ) ) , X
(
)
)
= g ( X , ϕ (Y ) ) + g −ϕ ( hi ( X ) ) , Y + g ( X , ϕ (Y ) )
(
+ g Y , − hi (ϕ ( X ) )
(
)
)
(
)
dır. O halde; g −ϕ ( hi ( X ) ) , Y + g − hi (ϕ ( X ) ) , Y = 0 dır. ∀Y ∈ χ ( M ) için
sağlandığından ve g non-dejenere olduğundan ϕ ( hi ( X ) ) + hi (ϕ ( X ) ) = 0 olup
buradan ϕ D hi + hi D ϕ = 0 dır.
3.3.4 Önerme
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir hemen hemen S-manifold olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
i
i
(∇ ϕ ) Y + (∇
*
X
dir.
)
s
s
i =1
γ =1
2
γ
i
ϕ ( X )ϕ ϕ ( Y ) = 2 g (ϕ ( X ) , ϕ ( Y ) ) ξi + ∑η ( Y )ϕ ( X ) − ∑η ( Y ) hγ ( X )
*
39
İspat: ∀X , Y , Z ∈ χ ( M ) ve ∀γ , i ∈ {1,..., s} için
) ((
(
) (
)
2 g ( ∇* X ϕ ) Y , Z + g ∇*ϕ ( X )ϕ ϕ (Y ) , Z = 2 g ( Z , −η γ (Y ) hγ ( X ) ) + 2 g ( X , Y ) ξi
−2η γ ( X )η γ (Y ) ξγ − η i (Y ) X
−η γ ( X )η γ (Y ) ξγ )
dır. O halde;
(∇ ϕ ) Y + (∇
*
X
)
s
γ
γ
γ
ϕ ( X )ϕ ϕ ( Y ) = − ∑η ( Y ) hγ ( X ) + 2 g ( X , Y ) ξγ − 2η ( X )η ( Y ) ξγ
*
γ =1
s
− ∑η i ( Y ) ( X − η i ( X ) ξ i )
i =1
s
s
i =1
γ =1
= 2 g (ϕ ( X ) , ϕ (Y ) ) ξi + ∑η i (Y ) ϕ 2 ( X ) − ∑η γ (Y ) hγ (Y )
dir.
3.3.3 Sonuç
∀X , Y ∈ χ ( M ) için
( i ) ( ∇* X ϕ ) Y + ( ∇*ϕ ( X )ϕ ) ϕ (Y ) = 2∑ g ( X , Y )ξi
s
i =1
( ii ) ( ∇* X ϕ ) ϕ (Y ) = ( ∇*ϕ ( X )ϕ ) Y
( iii )
Eğer s = 1 alınırsa
(∇ ϕ )Y + (∇
*
X
dir.
*
)
ϕ ϕ (Y ) = 2 g ( X , Y ) ξ − η (Y ) ( X + h ( X ) + η ( X ) ξ )
ϕ( X )
40
İspat: ( i ) 3.3.4 Önerme de 3.3.2 Tanım kullanılır ve denklem düzenlenirse istenilen
sonuç elde edilir.
( ii ) ( i ) de Y = ϕ ( X )
alınırsa
( ∇ ϕ ) (ϕ ( X ) ) + ( ∇
)
*
X
s
2
ϕ ( X )ϕ (ϕ ( X ) ) = 2∑ g ( X , ϕ ( X ) ) ξ i = 0
*
i =1
(
olur, burada ϕ 2 ( X ) = − X olduğundan ( ∇* X ϕ ) (ϕ ( X ) ) = ∇*ϕ ( X )ϕ
( iii )
) ( X ) dir.
s = 1 alınırsa 3.3.4 Önerme den kolayca görülür.
3.4. S-Manifoldlar
3.4.1 Tanım
( M , ϕ , ξ ,η , g )
i
i
bir çatılandırılan metrik manifold ve Φ bir temel 2-form olsun.
Eğer M normal, ξ1 ,..., ξ s vektör alanları birer Killing vektör alanı ve Φ , 2-formu
kapalıysa, yani dΦ = 0 ise M normal çatılandırılan metrik manifold veya Kmanifold olarak adlandırılır.
3.4.2 Tanım
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir K-manifold olsun. ∀i ∈{1,..., s} için ξ
i
i
i
nin duali η i olmak üzere
η 1 ∧ ... ∧ η s ∧ ( dη i ) ≠ 0 ise K-manifolduna yönlendirilebilirdir denir
n
[Terlizzi ve Pastore, 2002].
41
3.4.3 Tanım
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir K-manifold olsun. Eğer
i
i
Φ ( X , Y ) = dη i ( X , Y )
oluyorsa
( M , φ , ξ ,η , g ) ye S-manifold denir [Terlizzi ve Pastore, 2002].
i
i
3.4.1 Örnek
E 2n + s öklid uzayının dik koordinat sistemi ( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn , z1 , z2 ,..., zs )
olsun.
ξi = 2
∂
, i = 1, 2,..., s
∂zi
1⎛
2⎝
n
⎞
j =1
⎠
η i = ⎜ dzi − ∑ y j dx j ⎟ ,
n
ϕ X = ∑Y j
j =1
n
∂
∂ ⎛ n j j ⎞⎛ s ∂
−∑X j
+ ⎜ ∑ Y y ⎟⎜ ∑
∂x j j =1
∂y j ⎝ j =1
⎠ ⎝ i =1 ∂zi
s
g = ∑η i ⊗ η i +
i =1
1 n
∑ ( dx j ⊗ dx j + dy j ⊗ dy j )
4 j =1
olarak alınırsa
η 1 ∧ ... ∧ η s ∧ Φ n ≠ 0
ve
s
dη 1 = ... = dη s = ∑ dxi ∧ dyi
i =1
dır. Ayrıca E 2n + s de herhangi bir vektör alanı
⎞
⎟,
⎠
42
n ⎛
∂
∂ ⎞ s i ∂
X = ∑⎜ X j
+Y j
⎟+∑Z
⎜
∂x j
∂y j ⎟⎠ i =1 ∂zi
j =1 ⎝
dır. Sonuç olarak (φ , g , ξi ) yapısıyla birlikte E 2n + s bir S-manifoldtur.
3.4.1 Lemma
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir S-manifold olsun. ( M ,ϕ , ξ ,η , g ) üzerinde ∇ , Levi-Civita
i
*
i
i
i
koneksiyonu, ϕ , f-yapı, ξi , 1 ≤ i ≤ s , vektör alanları olmak üzere ∀X ∈ χ ( M ) için
∇*X ξi = −ϕ X
(3.16)
dir.
İspat: ∀X , Y ∈ χ ( M ) için (
0 = Lξi g
) ( X , Y ) = ξ g ( X , Y ) − g ([ξ , X ] , Y ) − g ( X , [ξ , Y ])
i
i
(
) (
(
)
i
) (
)
= g ∇*ξi X , Y + g X , ∇ξ*i Y − g ∇ξ*i X , Y + g ( ∇*X ξi , Y )
− g X , ∇*ξi Y + g ( X , ∇*Y ξi )
= g ( ∇*X ξi , Y ) + g ( X , ∇*Y ξi )
dır. Buradan;
g ( ∇*X ξi , Y ) = − g ( X , ∇*Y ξi )
olup g anti-simetriktir.
Temel 2-formun ve S-manifoldun tanımından;
(3.17)
43
Φ ( X , Y ) = g ( X , ϕ (Y ) ) = dη i ( X , Y ) = − g (ϕ ( X ) , Y ) dir.
2dη i ( X , Y ) = X η i (Y ) − Yη i ( X ) − η i ([ X , Y ])
= Xg (Y , ξi ) − Yg ( X , ξi ) − g ([ X , Y ] , ξi )
= g (Y , ∇*X ξi ) − g ( X , ∇*Y ξα )
(3.18)
olur. Eş. 3.17 ve Eş. 3.18 den
2dη i ( X , Y ) = 2 g ( ∇*X ξi , Y ) ⇒ dη i ( X , Y ) = g ( ∇*X ξi , Y ) = − g (ϕ ( X ) , Y )
dir. ∀Y ∈ χ ( M ) için g non-dejenere olduğundan ∇*X ξi = −ϕ ( X ) olur.
3.4.1 Önerme
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir S-manifold ve ∇ , Levi-Civita koneksiyonu olsun.
*
i
i
∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
s
( ∇ ϕ ) Y = ∑ ( g (ϕ X , ϕ Y ) ξ
*
X
i =1
i
+ η i (Y ) ϕ 2 ( X ) )
(3.19)
dir.
İspat: 3.2.3 Teorem de dϕ = 0 ve N 1 = N 2 = 0 olduğu yerine yazılır ve gerekli
işlemler yapılırsa;
(
)
s
g ( ∇*X ϕ ) Y , Z = ∑ {dη i (ϕ X , Y )η i ( Z ) − dη i (ϕ Z , X )η i (Y )}
i =1
s
= ∑ {Φ (ϕ X , Y )η i ( Z ) − Φ (ϕ Z , X )η i (Y )}
i =1
44
s
= ∑ { g (ϕ X , ϕY )η i ( Z ) − g (ϕ Z , ϕ X )η i (Y )}
i =1
s
{
}
= ∑ g ( g ( ϕ X , ϕ Y ) ξ i + ϕ 2 ( X )η i ( Y ) , Z )
i =1
bulunur. ∀Z ∈ χ ( M ) için g non-dejenere olduğundan
s
( ∇ ϕ ) Y = ∑ ( g (ϕ X , ϕ Y ) ξ
*
X
i =1
i
+ η i (Y ) ϕ 2 ( X ) ) dir.
3.4.2 Önerme
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir S-manifold olsun. L , M
i
i
üzerinde Lie türevi olmak üzere,
∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
(L
ϕX
η i ) (Y ) = ( LϕYη i ) ( X )
(3.20)
dir.
İspat: ( Lϕ X η i ) (Y ) = ϕ X η i (Y ) − η i ([ϕ X , Y ])
= ϕ Xg (Y , ξi ) − g ([ϕ X , Y ] , ξi )
= g ( ∇ϕ* X Y , ξi ) + g (Y , ∇ϕ* X ξi ) − g ( ∇ϕ* X Y , ξi ) + g ( ∇*Y ϕ X , ξi )
= g (Y , ∇ϕ* X ξi ) + g ( ∇*Y ϕ X , ξi )
bulunur. Diğer taraftan
2dη i (ϕ X , Y ) = ϕ X η i (Y ) − Yη i (ϕ X ) − g ([ϕ X , Y ] , ξi )
= g ( ∇ϕ* X Y , ξi ) + g (Y , ∇ϕ* X ξi ) − g ( ∇*Y ϕ X , ξi ) − g (ϕ X , ∇*Y ξi )
− g ( ∇ϕ* X Y , ξi ) + g ( ∇*Y ϕ X , ξi )
(3.21)
45
= g (Y , ∇ϕ* X ξi ) − g (ϕ X , ∇*X ξi )
= g (Y , ∇ϕ* X ξi ) + g ( ∇*Y ϕ X , ξi )
(3.22)
olur. Eş. 3.21 ve Eş. 3.22 den
(L
η i ) (Y ) = 2dη i (ϕ X , Y ) = 2Φ (ϕ X , Y )
(L
η i ) ( X ) = 2dη i (ϕY , X ) = 2Φ (ϕY , X )
ϕX
ϕY
olduğu görülür. Buradan, ( Lϕ Xη i ) (Y ) = ( LϕYη i ) ( X ) dir.
3.4.3 Önerme
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir S-manifold olsun. i ∈{1,.., s} için h
i
i
i
tensör alanı aşağıdaki
eşitlikleri sağlar;
(i )
hi , simetrik tensör alanıdır,
( ii ) hiξ j = 0,
j ∈ {1,..., s} ,
dır.
İspat: ∀X , Y ∈ χ ( M ) için,
hi : χ ( M ) → χ ( M )
X → hi ( X ) =
( i ) hi ( X ) =
1
Lξ ϕ
2 i
(
) ( X ) = 12 ( L ϕ ( X ) − ϕ L X ) dir.
1
Lξ ϕ ( X ) − ϕ Lξi X
2 i
(
ξi
)
ξi
46
(
=
1 *
∇ξi ϕ X − ∇ϕ* X ξi − ϕ ∇ξ*i X − φ ( ∇*X ξ i )
2
=
1 *
∇ξi ϕ X + ϕ 2 ( X ) − ϕ∇ξ*i X − ϕ 2 ( X )
2
=
1 *
∇ξi ϕ X − ϕ∇ξ*i X
2
(
)
(
(
)
)
)
(3.23)
dir. Buradan
g ( hi ( X ) , Y ) =
1
g ∇*ξi ϕ X − ϕ∇ξ*i X , Y
2
(
=
{(
)
1
g ∇*ξi ϕ X , Y − g −ϕ∇ξ*i X , Y
2
) (
)}
olur. Burada ∀i {1,..., s} için X = ξ j ya da Y = ξ j yazıldığında özdeş sıfır olur.
Diğer taraftan,
η i ([ϕ X , Y ]) + η i ([ X , ϕY ])
= g ( ∇ϕ* X Y , ξi ) − g ( ∇*Y ϕ X , ξi ) + g ( ∇*X ϕY , ξi ) − g ( ∇ϕ* Y X , ξi )
= g ( ∇ϕ* X ξi , Y ) − g ( ∇*Y ξi , ϕ X ) + g ( ∇*X ξi , ϕY ) − g ( ∇ϕ* Y ξi , X )
= − g (ϕ 2 X , Y ) + g (ϕY , ϕ X ) − g (ϕ X , ϕY ) + g (ϕ 2Y , X )
=0
dır. Eş. 3.23 de X ve Y ξi ya dik ise;
(L
ϕX
η i ) (Y ) = ( LϕYη i ) ( X )
dir.
g ( hi ( X ) , Y ) =
1
g
2
(( L ϕ ) X , Y )
ξi
(3.24)
47
{(
=
1
g ∇*ξi ϕ X , Y − g ϕ∇ξ*i X , Y
2
=
1 i *
η ( ∇ϕ X Y ) + η i ( ∇*X ϕY )
2
=
1 i *
η ( ∇Y ϕ X ) + η i ( ∇ϕ* Y X )
2
=
1
g
2
) (
{
}
{
}
)}
(( L ϕ )Y , X )
ξi
= g ( hi (Y ) , X )
olup hi simetriktir.
( ii )
1
Lξ ϕ ξ j
2 i
(
hiξ j =
=
)
1
Lξ ϕξ j − ϕ Lξi ξ j
2 i
(
)
=0
dir.
3.4.4 Önerme
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir S-manifold olsun. O halde ∀X ∈ χ ( M ) ve ∀i ∈{1,..., s} için
i
i
(i )
( ii )
s
∇*X ξi − ∑η j ( ∇*X ξi ) ξ j = −ϕ hi ( X ) − ϕ ( X )
(3.25)
j =1
hi ( X ) =
{
1
ϕ ( ∇*X ξi ) − ∇ϕ* ( X )ξi
2
}
dir.
İspat: 3.3.1 Önerme den ∀X , Z ∈ χ ( M ) ve ∀i ∈ {1,..., s} için
(3.26)
48
(
)
( ( )
)
2 g ( ∇*X ϕ ) ξi , Z = − g ϕ Lξi ϕ Z , ϕ ( X ) − 2 g (ϕ ( X ) , ϕ ( Z ) )
((
) )
s
= − g Lξi ϕ ( Z ) , X − 2 g ( X , Z ) + 2∑η j ( X )η j ( Z )
j =1
dir. hi simetrik olduğundan
(
)
(( )
)
s
2 g ( ∇*X ϕ ) ξi , Z = − g Lξi ϕ X , Z − 2 g ( X , Z ) + 2∑η j ( X ) g (ξ j , Z )
j =1
olur. ∀Z ∈ χ ( M ) için g non-dejenere olduğundan;
(
s
)
2 ( ∇*X ϕ (ξi ) − ϕ∇*X ξi ) = − Lξi ϕ X − 2 X + 2∑η j ( X ) ξ j
j =1
−2ϕ ( ∇*X ξi ) = −2hi ( X ) + 2ϕ 2 ( X )
−ϕ ( ∇*X ξi ) = −hi ( X ) + ϕ 2 ( X )
bulunur. Her iki tarafa ϕ uygulanırsa
−ϕ 2 ( ∇*X ξi ) = −ϕ ( hi ( X ) ) + ϕ 3 ( X )
s
∇*X ξi − ∑η j ( ∇*X ξi )ξ j = −ϕ ( hi ( X ) ) − ϕ ( X )
j =1
dır. Gerçektende;
( ( )
) (( )
)
(( )
)
s
g ϕ Lξi ϕ Z , ϕ ( X ) = g Lξi ϕ Z , X − ∑η j
j =1
s
(( L ϕ ) ( Z ) )η
ξi
( (
j
(X )
)
(
= g Lξi ϕ Z , X − ∑η j ( X ) η j Lξi ϕ ( Z ) − η j ϕ Lξi Z
j =1
))
49
(( )
)
s
( (
)
( (
)
(
= g Lξi ϕ Z , X − ∑η j ( X ) η j ∇ξi ϕ ( Z ) − η j ∇ϕ* ( Z )ξi
(
j =1
)
−η j ϕ∇*ξi Z + η j (ϕ∇*Z ξi )
(( )
)
)
)
s
= g Lξi ϕ Z , X − ∑η j ( X ) η j ∇ξ*i ϕ ( Z ) − η j (ϕ 2 ( Z ) )
(
j =1
)
−η j ϕ∇*ξi Z + η j (ϕ 2 ( Z ) )
(( )
)
(( )
)
(
))
(( )
)
s
)
( (
)
= g Lξi ϕ Z , X − ∑η j ( X ) η j ∇ξ*i ϕ ( Z ) +η j (ϕ 2 ( Z ) )
j =1
s
( (
= g Lξi ϕ Z , X − ∑η j ( X ) − g ∇ξ*i ξ j , ϕ ( Z )
+ g ϕ∇*ξi ξ j , Z
= g Lξi ϕ Z , X
j =1
dir.
( ii )
dir.
1
Lξ ϕ
2 i
(
) ( X ) = 12 ( L ϕ ( X ) − ϕ ( L X ) )
ξi
ξi
(
)
=
1 *
∇ξi ϕ ( X ) − ∇ϕ* ( X )ξi − ϕ∇ξ*i X + ϕ∇*X ξ i
2
=
1 *
∇ξi ϕ ( X ) − ϕ 2 ( X ) − ϕ∇ξ*i X + ϕ 2 ( X )
2
=
1 *
∇ξi ϕ ( X ) − ϕ∇ξ*i X
2
(
(
)
)
)
)
50
3.4.1 Teorem
( M , ϕ , ξ ,η , g ) bir S-manifold olsun. Bu durumda i ∈{1, 2,..., s} için ξ
i
i
i
vektör alanı
bir Killing vektör alanıdır ⇔ hi = 0
dır.
İspat: Lξi Φ = diξi Φ + iξi d Φ = 0 dır. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için;
( L Φ ) ( X ,Y ) = ξ Φ ( X ,Y ) − Φ ( L
ξi
ξi
i
(
)
(
X , Y − Φ X , Lξi Y
)
)
(
= ξi Φ ( X , Y ) − dη i Lξi X , Y − dη i X , Lξi Y
(
) (
(
) (
(
)
= ξi Φ ( X , Y ) − g Lξi X , ϕ (Y ) − g X , ϕ Lξi Y
))
) ( (
) )
= ξi Φ ( X , Y ) − g Lξi ϕ (Y ) , X − g X , Lξi ϕ (Y ) + g X , Lξi ϕ Y
( ( ) )
= ξi Φ ( X , Y ) + g X , Lξi ϕ Y
(3.27)
olur.
⇒ ξi bir Killing vektör alanı olsun. Yani Lξi g = 0 olduğundan
( ( ) ) (
)
g X , Lξi ϕ Y = Lξi Φ ( X , Y ) = 0
dir. ∀X ∈ χ ( M ) için g non-dejenere olduğundan Lξi ϕ =
1
hi = 0 ⇒ hi = 0 bulunur.
2
⇐ Karşıt olarak hi = 0 ise ∀j ∈ {1, 2,..., s} için Eş. 3.27 den;
( L g ) ( X , ϕ (Y ) ) = ( L Φ ) ( X , Y ) = 0 olur.
ξi
ξi
51
(
Lξi g
)
s
⎛
⎞
2
X
,
ϕ
Y
L
g
X
,
Y
η j (Y ) ξ j ⎟ = 0
=
−
+
( ) ) ξi ⎜
(
∑
j =1
⎝
⎠
(
)
(
0 = − Lξi g
s
s
) ( X , Y ) + ∑η j (Y ) ( Lξ η j ) ( X )
j =1
i
( L g ) ( X , Y ) = ∑η (Y ) ( L η ) ( X )
ξi
j
j =1
ξi
j
=0
dır. Ayrıca
(L η ) = (d D i
j
ξi
ξi
(
)
+ iξ i D d (η j )
)
= d iξiη j + iξi ( dη j )
= d (η j (ξi ) ) + 2dη j (ξi , Y )
) (
( (
= −2 g ( Y , ∇ ξ )
= 2 g ∇*ξi ξ j , Y + g ξ i , ∇ξ*i Y
))
*
ξj i
=0
dır. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için Lξi g = 0 olduğundan ξi bir Killing vektör alanıdır.
3.4.5 Önerme
(M
2n+ s
, ϕ , ξ i ,η i , g ) bir K-manifold olsun. O halde ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve
∀i, j ∈ {1, 2,..., s} için
(i )
R* ( X , ξi ) Y = ∇*X ∇*Y ξi − ∇*∇* Y ξi
(3.28)
( ii )
R* (ξi , X , ξ j , Y ) = − g ( ∇*X ξ j , ∇*Y ξi )
(3.29)
( iii )
K * (ξi , X ) = ∇*X ξi
(3.30)
X
2
52
( iv )
R * ( ξ i , ϕ ( X ) , ξ j , ϕ ( Y ) ) = R * (ξ i , X , ξ j , Y )
(3.31)
( v ) R* ( X , ξi ) ξ j = −ϕ 2 X
(3.32)
dir.
İspat: ( i ) ξi bir Killing vektör alanı olduğundan;
Lξi ∇*X Y − ∇*X Lξi Y = ∇*Lξ X Y
i
⎡⎣ξ i , ∇*X Y ⎤⎦ − ∇*X [ξ i , Y ] = ∇ *[ξ , X ]Y
α
∇*ξα ∇*X Y − ∇*∇* Y ξi − ∇*X ∇ξ*i Y + ∇*X ∇*Y ξi = ∇[*ξi , X ]Y
X
[ξi , X ]Y − ∇*[ξ , X ]Y = −∇*X ∇*Y ξi + ∇*∇ Y ξi
*
X
i
dır. 2.1.2 Teorem’ den; R* ( X , ξi ) Y = ∇*X ∇*Y ξi − ∇*∇* Y ξi olur.
X
( ii )
2.1.2 Teorem ve ( i ) ’ den
R * (ξ i , X , ξ j , Y ) = g ( R * ( ξ i , X ) ξ j , Y )
(
= g R* ( ξ j , Y ) ξ i , X
)
(
= − g R* (ξ j , Y ) X , ξi
(
= g R* ( Y , ξ j ) X , ξ i
(
)
)
)
= − g ∇*∇* X ξ j , ξ i + g ( ∇*Y ∇*X ξ j , ξ i )
(
Y
)
= g ∇*ξi ξ j , ∇*Y X + g ( ∇*Y ∇*X ξ j , ξi )
dır. ξi Killing vektör alanı olduğundan;
53
R* (ξi , X , ξ j , Y ) = g ( ∇*Y ∇*X ξ j , ξ i )
= − g ( ∇*Y ξi , ∇*X ξ j )
= − g ( ∇*X ξ j , ∇*Y ξ i )
dir.
( iii ) ( i ) ’ den;
K * ( ξ i , X ) = R* ( ξ i , X , X , ξ i )
= g ( R* ( ξ i , X ) X , ξ i )
= − g ( R* ( ξ i , X ) ξ i , X )
= − g ( ξi , X , ξi , X )
= g ( ∇*X ξi , ∇*X ξi )
= ∇*X ξi
2
dir.
( iv )
(
R * ( ξ i , ϕ ( X ) , ξ j , ϕ ( Y ) ) = g R* ( ξ i , ϕ ( X ) ) ξ j , ϕ ( Y )
s
)
= g ( R* (ξi , X ) ξ j , Y ) − ∑η γ ( R* (ξi , X ) ξ j )η γ (Y )
γ =1
= g ( R* (ξ i , X ) ξ j , Y )
= R* (ξi , X , ξ j , Y )
dir. Gerçektende;
(
η γ ( R* (ξi , X ) ξ j ) = η γ ∇ξ* ∇*X ξ j − ∇*∇ X ξ j
i
*
ξi
)
54
(
)
(
= g ∇*ξi ∇*X ξ j , ξγ − g ∇*∇* X ξ j , ξγ
ξi
) (
(
)
= − g ∇*ξi ξγ , ∇*X ξ β + g ∇ξ*γ ξ j , ∇ξ*i X
)
=0
dır.
( v ) ( i ) de
Y = ξ j alınıp 3.3.1 Önerme ve Eş. 3.16 kullanılırsa
R* ( X , ξi ) ξ j = ∇*X ∇ξ* j ξi − ∇*∇* ξ ξi
X
j
= −∇*−ϕ X ξi
= −ϕ 2 X
elde edilir.
3.4.6 Önerme
(M
2n+ s
, ϕ , ξi ,η i , g ) bir K-manifold olsun. ( M 2 n + s , ϕ , ξi ,η i , g ) bir S-manifold ise
s
R* ( X , Y ) ξi = ∑ {η j ( X ) ϕ 2 (Y ) − η j (Y ) ϕ 2 ( X )}
j =1
dır.
İspat: Eş. 3.16 dan;
R* ( X , Y ) ξi = ∇*X ∇*Y ξi − ∇*Y ∇*X ξi − ∇*[ X ,Y ]ξi
= −∇*X ϕ (Y ) + ∇*Y ϕ ( X ) + ϕ ([ X , Y ])
= − ( ∇*X ϕ ) Y − ϕ ( ∇*X Y ) + ( ∇*Y ϕ ) X + ϕ ( ∇*Y X ) + ϕ ( ∇*X Y ) − ϕ ( ∇*Y X )
(3.33)
55
= − ( ∇*X ϕ ) Y + ( ∇*Y ϕ ) X
dir. 3.4.1 Önerme den
s
{
}
R * ( X , Y ) ξ i = ∑ g (ϕ ( Y ) , ϕ ( X ) ) ξ j + η j ( X ) ϕ 2 ( Y ) − g (ϕ ( X ) , ϕ ( Y ) ) ξ j − η j ( Y ) ϕ 2 ( X )
j =1
s
= ∑ {η j ( X ) ϕ 2 (Y ) − η j (Y ) ϕ 2 ( X )}
j =1
dir.
3.4.1 Sonuç
(M
2n+ s
, ϕ , ξi ,η i , g ) bir K-manifold olsun. ( M 2 n + s , ϕ , ξi ,η i , g ) bir S-manifold ise
(
)
(i ) R* ( X , ξi ) Y = − ∇*X ϕ Y
(3.34)
(ii ) R* (ξ k , X ) ξi = ϕ 2 X
(3.35)
(iii ) R* (ξ k , ξ h ) ξi = 0
(3.36)
dir.
İspat: (i ) R* ( X , ξi ) Y = ∇*X ∇ξ*i Y − ∇ξ*i ∇*X Y − ∇[*X ,ξα ]Y olup Eş. 3.16 ve Eş. 3.28 den
R* ( X , ξi ) Y = ∇*X ϕ (Y ) − ϕ ( ∇*X Y )
= − ( ∇*X ϕ ) Y
elde edilir.
(ii ) Eş. 3.33 de X = ξ k ve Y = X yazılırsa
56
s
R* (ξ k , X ) ξi = ∑ {η j (ξ k ) ϕ 2 ( X ) − η j ( X ) ϕ 2 (ξ k )}
j =1
= ϕ2X
bulunur.
(iii ) Eş. 3.33 de X = ξ k ve Y = ξ h alınırsa
s
R* (ξ k , ξ h ) ξi = ∑ {η j (ξ k ) ϕ 2 (ξ h ) − η j (ξ h ) ϕ 2 (ξ k )}
j =1
=0
bulunur.
3.4.7 Önerme
(M
2n+ s
,
, ϕ , ξi ,η i , g ) bir K-manifold olsun. ( M 2 n + s , ϕ , ξi ,η i , g ) bir S-manifold ise
2
dir [Kobayashi, M. ve Tsuchiya, S. 1972].
3.37
57
4. ÇEYREK SİMETRİK METRİK OLMAYAN KONEKSİYONLU
S-MANİFOLDLAR
4.1. Çeyrek Simetrik Metrik Olmayan Koneksiyon
4.1.1 Tanım
(2n+s)-boyutlu bir S-manifold
Civita koneksiyon
, , ,
,
olsun. S-manifold üzerinde Levi-
olmak üzere;
:
,
4.1
dönüşümü tanımlansın.
4.1.1 Teorem
(2n+s)-boyutlu bir S-manifold
, , ,
,
ve
,
şeklinde tanımlı , M üzerinde bir lineer koneksiyon dur.
İspat:
, ,
ve
,
için,
için
58
Z
Z
elde edilir.
bulunur.
Y
Y
elde edilir. Son olarak
∇ fY
Y
bulunur. Buradan , M üzerinde bir lineer koneksiyondur.
59
4.1.2 Teorem
, , ,
(2n+s) boyutlu bir S-manifold
,
olsun. Eş. 4.1 de tanımlanan lineer
koneksiyon , M üzerinde çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyondur.
İspat:
lineer koneksiyonun torsiyon tensör alanı
alanları ,
için,
,
Y
X
olmak üzere, herhangi iki vektör
X, Y
4.2
η Y φX
η X φY
X, Y
,
elde edilir. Burada
, M
üzerinde
Levi-Civita koneksiyonun torsiyon tensör
alanıdır. Bu durumda lineer koneksiyon
koneksiyondur. Şimdi,
, M üzerinde çeyrek simetrik bir
lineer koneksiyonunun M üzerinde tanımlı g Riemann
metrik tensörüyle bağdaşabilir olmadığı gösterilecektir. Metrikle bağdaşabilir
olmayan
koneksiyona
kısaca
,
için
kullanılacaktır.
,
,
metrik
,
olmayan
koneksiyon
,
,
4.3
,
,
,
η Y g
,
ifadesi
η Z g
,
60
,
,
elde edilir. Bu durumda lineer koneksiyon
, M üzerinde bir metrik olmayan
koneksiyondur. O halde Eş. 4.2 ve Eş. 4.3 den lineer koneksiyon
, M üzerinde
çeyrek simetrik metrik olmayan bir koneksiyondur.
4.1.1 Örnek
E2n+s Öklid uzayının dik koordinat sistemi
,
,…,
,
,
,…,
,
,
,…,
olsun.
∂
, i = 1, 2,..., s
∂zi
ξi = 2
1⎛
2⎝
n
⎞
j =1
⎠
η i = ⎜ dzi − ∑ y j dx j ⎟ ,
s
g = ∑η i ⊗η i +
i =1
1 n
∑ ( dx j ⊗ dx j + dy j ⊗ dy j )
4 j =1
veya metriği matris olarak ifade edersek
0
´
0
´
´
´
,
burada
´
2
1
´ ´
, 1
0
4.4
0
,
2
dir. Bu matrisin ters matrisi
1
ve
61
0
´
´
´
´
0
4
0
4.5
0
´ ´
olup bu matris yardımıyla Riemann koneksiyonunun bileşenlerinin ifadesi;
Γ
Γ
, Γ
2
1
2
´
´
,Γ
, Γ
2
1
2
´
´
1
2
,Γ
´
1
2
4.6
olup geriye kalan bileşenleri sıfırdır [Hasegawa, Okuyama, Abe, 1986]. Buradan
Eş. 4.4, Eş. 4.5 ve Eş. 4.6 yi kullanarak Eş. 4.1 de tanımlanan yeni koneksiyonu
bileşenlerine göre ifade edelim.
Γ
Γ
,
1
,
2
0,
1
,
2
1, … ,
1, … ,2
2
1, … ,
olup buradan
Γ
Γ
;
Γ
Γ
∑
olup geriye kalan bileşenleri Riemann koneksiyonunun bileşenleri ile aynıdır.
62
4.1.1. Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
,
için
0
4.7
ve
,φ
4.8
dir.
İspat: Eş. 4.1 de
alınır ve Eş. 3.16 kullanılırsa
0
bulunur. Diğer taraftan Eş. 4.1 ve Eş. 3.16 kullanılırsa
,
,
elde edilir.
,
,
,
,
63
4.1.3 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
,
olsun. Bu taktirde
için
,
4.9
∑
dir. Burada
dir.
İspat: Eş. 4.1 ve Eş. 3.19 kullanılırsa
,
elde edilir.
4.1.2 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
0
olsun. Bu taktirde
,
için
4.10
ve
0
4.11
64
dir.
İspat: Eş. 4.9 da
alınırsa
,
0
bulunur. Diğer taraftan
ve
elde edilir. Diğer taraftan Eş. 4.9 da
alınırsa
0
bulunur. Buradan
elde edilir.
4.1.2 Sonuç
(2n+s)-boyutlu yarı simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
∑
dir.
,
için
65
İspat:
dir.
Şimdi, metrik f-manifoldların genel bir hali olan ve S-manifoldla normallik şartı
dışında aynı şartları taşıyan ve Eş. 4.1 de tanımlanan lineer
koneksiyonunu
üzerinde bulunduran hemen hemen S-manifoldlar ele alınacaktır. Hemen hemen Smanifold da
:
1
2
,
,
1, … ,
4.12
şeklinde tanımlanır.
4.1.1 Lemma
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir hemen hemen Smanifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
1, … ,
için
alanıdır.
İspat: Eş. 4.12 deki ifadenin Y vektör alanı ile iç çarpımı alınırsa
,
1
2
,
simetrik tensör
66
1
2
1
2
,
,
,
bulunur. Burada Eş. 4.1 ve Eş. 4.11 kullanılırsa
,
1
2
1
2
1
2
1
2
,
,
,
ξ,
,
,
elde edilir. Buradan
simetrik tensör alanıdır.
4.1.4 Teorem
(2n+s)-boyutlu yarı simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir hemen hemen Smanifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
için
4.13
ve
1
2
dir.
İspat: 3.3.1 Önerme ve Eş. 4.1 kullanılırsa
4.14
67
2
,
2
,
2
2
,
φ
,
2
2
,
,
bulunur. Buradan
2
,
,
,
elde edilir. Şimdi
2
,
2
2
,
,
2
2
2
,
için Eş. 4.12 kullanılırsa
,
2
,
2
olur. O zaman
dir. Burada her iki tarafın
,
dönüşümü altında görüntüsü alınırsa
elde edilir. Diğer taraftan Eş. 3.16 ve Eş. 4.1 kullanılırsa
2
,
68
bulunur. Ayrıca
olup, buradan
elde edilir.
4.2. Eğrilik Tensörü
4.2.1 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
,
,
,
, ,
için
,
,
dir. Burada , Levi-Civita koneksiyon
İspat: Eş. 2.2 ve Eş. 4.1 kullanılırsa
ın eğrilik tensör alanıdır.
4.15
69
,
,
dir. Benzer olarak
ve
ifadelerinin yerleri değiştirilirse
elde edilir.
dir. Ayrıca
,
,
,
,
olup, bulunan sonuçlar Eş. 2.2 de yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa
,
,
,
70
,
,
,
,
,
,
elde edilir.
4.2.1 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
, ,
için
0
,
4.16
,
,
,
0
4.18
,
0
4.19
0
4.20
,
dir.
İspat:
4.17
Eş. 4.15 de
yazılır ve Eş. 3.33 ve Eş. 3.6 kullanılırsa
71
,
bulunur. Bu son denklemeden
,
0
elde edilir.
Eş. 4.15 de
yazılır ve Eş. 3.28 ve Eş. 3.6 kullanılırsa
,
,
elde edilir.Bu son denklem düzenlenirse,
,
,
elde edilir.
Eş. 4.15 de
ve
yazılır ve Eş. 3.32 ve Eş. 3.6 kullanılırsa
,
,
olur. Bu son denklemi düzenlersek
72
,
0
elde edilir.
,
Eş. 4.15 de
ve
yazılır, Eş. 3.35 ve Eş. 3.6 kullanılırsa
,
,
olur. Bu son denklemi düzenlersek
,
0
elde edilir.
,
Eş. 4.15 de
,
,
ve
yazılırsa
,
,
,
elde edilir. Bu son denklemde Eş. 3.36 ve Eş. 3.6 kullanılır ve gerekli düzenlemeler
yapılırsa
,
elde edilir.
0
73
4.2.2 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
, ,
, ,
için
0
dir.
İspat: Eş. 4.7 ve Eş. 4.16 kullanılırsa
, ,
,
,
,
,
0
elde edilir.
4.2.3 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
, , ,
, , ,
, , ,
için
,
,
,
,
,
,
4.21
,
dir.
İspat: Eş. 4.15 den
,
,
,
,
,
,
,
,
74
,
,
,
bulunur. Bulunan denklem düzenlenirse Eş. 4.21 elde edilir.
4.2.4 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
, ,
,
olsun. Bu taktirde
,
, ,
, , ,
,
için
,
,
,
,
,
,
4.22
,
dir.
İspat: Eş. 4.15 den
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
bulunur. Bulunan denklemde
ile
nin yerleri değiştirilirse Eş. 4.22 elde edilir.
4.2.5 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
, , ,
için
75
, , ,
, ,
,
,
,
,
,
,
4.23
,
dir.
İspat: Eş. 4.21 ve Eş. 4.22 taraf tarafa toplanırsa
, , ,
, ,
,
, , ,
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
bulunur. Bu son denklemde Eş. 2.4 kullanılıp denklem düzenlenirse Eş. 4.23 elde
edilir.
4.2.6 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
, , ,
,
, , ,
, ,
,
,
dir.
için
,
4.24
76
İspat: Eş. 4.21 yardımıyla
,
, ,
,
, ,
,
,
,
,
,
,
,
Bu eşitlik ve Eş. 4.21 taraf tarafa çıkartılırsa
, , ,
,
, ,
, , ,
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
bulunur. Bu son denklemde Eş. 2.5 kullanılıp denklem düzenlenirse ifade elde edilir.
4.2.2 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
, , ,
, , ,
, , ,
dir.
, ,
,
,
, ,
, , ,
,
,
, , ,
için
77
4.2.7 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
, ,
,
, , ,
olsun. Bu taktirde
,
, ,
,
için
,
4.25
dir.
ve
İspat: Eş. 4.21 de
, ,
,
, ,
alınırsa
,
,
,
,
,
,
,
,
bulunur. Bu son eşitlikte Eş. 3.29 kullanılırsa Eş. 4.25 elde edilir.
4.2.1 Önerme
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
,
olsun. Bu taktirde
, , ,
, , ,
, , ,
,
dir.
alınıp
,
,
,
,
İspat: Eş. 4.15 de
için
ile çarpılırsa
,
4.26
78
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
bulunur. Bu son denklem düzenlenirse Eş. 4.26 elde edilir.
4.2.3 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
,
,
, , ,
için
0
4.27
dir.
İspat: Eş. 4.25 de
,
ve alınırsa
, , ,
, , ,
,
,
,
,
,
bulunur. Bu son eşitlikte Eş. 3.30 kullanılırsa Eş. 4.27 elde edilir.
4.3. Ricci Eğrilik Tensörü
4.3.1 Tanım
(2n+s)-boyutlu çeyrek-simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
ve
nin ortonormal bir bazı
,…,
,
,…,
olsun. Çeyrek
simetrik metrik olmayan koneksiyonlu M manifoldunun Ricci eğrilik tensörü
79
,
,
,
,
,
4.28
olarak tanımlanır.
4.3.1 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
,
,
olsun. Bu taktirde
,
Φ
,
Φ
için
,
2
4.29
,
dir.
İspat: Eş. 4.28 de Eş. 4.17 kullanılırsa
, , ,
, , ,
,
,
,
,
,
,
,
olup her iki taraftan toplam alınırsa,
, , ,
, , ,
2
,
,
4.30
,
elde edilir. Diğer taraftan,
80
, , ,
, , ,
,
,
,
,
,
,
,
, , ,
olup her iki taraftan toplam alınırsa,
, , ,
, , ,
4.31
olup Eş. 4.30 ve Eş. 4.31 ifadeleri taraf tarafa toplanır ve gerekli düzenlemeler
yapılırsa Eş. 4.29 elde edilir.
4.3.1 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
,
olsun. Bu taktirde
,
için
0
4.32
0,
,
,
0
4.33
dir.
İspat: Eş. 4.29 de
,
alınır ve Eş. 3.37 kullanılırsa
,
,
,
2
,
2
2
81
0
bulunur. Burada Eş. 4.33 için Eş. 4.32 de
,
yazılırsa
0
yazılırsa
bulunur. Benzer şekilde Eş. 4.32 de
,
yerine
0
elde edilir.
4.3.3 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
,
,
olsun. Bu taktirde
için
,
4.34
dir.
İspat: Eş. 4.29 de
,
ile
vektör alanlarının yerleri değiştirilirse
,
,
,
2
,
bulunur. Eş. 4.29 ile bu ifadenin farkı alınırsa
,
,
,
,
82
,
,
,
φY, E
2
,
elde edilir. Burada gerekli işlemler yapılıp denklem düzenlenirse
,
,
,
,
0
bulunur.
4.3.2 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
,
,
olsun. Bu taktirde
için
,
4.35
dir.
İspat: Eş. 4.34 de
yazılırsa Eş. 4.35 elde edilir.
4.3.4 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
,
,
olsun. Bu taktirde
,
4
1
için
4.36
83
dir.
İspat:
,
,
,
ç
alanlarının uzayı sırasıyla Γ
ve Γ
, D ve
dağılımının vektör
,
olmak üzere
için
,
,
olacak şekilde
Γ
,
4
4
,
elde edilir.
şeklinde yazılır.
,
,
0 olup buradan
4
,
1
1
0,
olur.
,
Γ
,
,
bulunur.
,
ve
1
olduğundan
,
4
1
,
,
yazabiliriz. Buradan
84
4.3.5 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
,
,
olsun. Bu taktirde
için
0
4.37
dir.
İspat: Eş. 4.7 ve Eş. 4.35 kullanılırsa
,
,
0
elde edilir.
∇
,
,∇
85
5. BAZI EĞRİLİK ŞARTLARI
5.1.1 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
yarı-simetrik değildir.
İspat:
, ,
Farzedelim ki
.
,
,
,
,
,
,
için
; ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
olsun. Burada
,
ve
,
,
özel vektör alanı
alınırsa,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
5.1
,
olup
,
,
,
,
,
,
,
elde edilir. Burada Eş. 4.17 ve Eş. 4.18 kullanılırsa, Eş. 5.1 in birinci ifadesi
,
,
,
,
,
86
,
,
,
,
,
,
,
,
bulunur. Eş. 5.1 in ikinci ifadesi
,
,
olup
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
bulunur. Eş. 5.1 in üçüncü ifadesi Eş. 4.16 den
,
0
olup
,
,
,
,
,
,
,
,
,
87
,
,
,
0
bulunur. Son olarak Eş. 5.1 in dördüncü ifadesi Eş. 4.18 den
,
0
olup
,
,
,
,
0
bulunur. Bu ifadeler Eş. 5.1 de yerlerine yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
,
.
,
,
,
elde edilir. O halde .
0
0 olup ispat tamamlanır.
5.1.2 Teorem
(2n+s)- boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
.
,
olsun. Bu durumda
,
.
, , ,
,
,
,
,
,
,
,
,
için
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
88
,
,
,
,
,
5.2
dir.
İspat: Farzedelim ki
,
.
, , ,
için
,
,
,
,
olup Eş. 4.15 kullanılırsa
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
89
elde edilir. Bu eşitlikte gerekli düzenlemeler yapıldığında Eş. 5.2 elde edilir.
5.1.1 Sonuç
(2n+s)- boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
,
olsun. Bu durumda
.
,
,
.
,
,
0
,
0
.
,
0
.
,
0
dır.
,
İspat: Eş. 5.2 de sırasyla
,
ve
alınıp gerekli
düzenlemeler yapıldığında her bir sonuç ispatlanmış olur.
5.1.3 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik olmayan koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
,
olsun. M manifoldu Ricci Projektif yarı-simetrik ise
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
90
dir.
, , ,
İspat: Farzedelim ki
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
için
,
.
,
,
0 olsun. Bu durumda
,
,
,
0 olur.
,
,
,
olup 2n+s-1= m alınırsa
özel vektör alanı için
1
,
,
,
,
,
,
,
,
1
0
,
,
,
,
1
,
,
,
1
,
,
,
,
,
,
,
1
,
1
,
,
,
1
,
,
,
0
,
,
,
0
bulunur. Bu eşitlikte Eş. 4.34 kullanılırsa
,
,
,
0
,
0
olur. Buradan 5.1.2 Teorem ile aynı işlemler yapılarak istene sonuca ulaşılır.
91
6. ÇEYREK SİMETRİK METRİK KONEKSİYONLU S-MANİFOLDLAR
6.1. Çeyrek Simetrik Metrik Koneksiyon
6.1.1 Tanım
(2n+s)-boyutlu bir S-manifold
koneksiyon
, , ,
,
olsun. M üzerinde Levi-Civita
olmak üzere
:
,
6.1
dönüşümü tanımlansın.
6.1.1 Teorem
(2n+s)-boyutlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun.
,
şeklinde tanımlı , M üzerinde bir lineer koneksiyon dur.
İspat:
, ,
ve
,
için,
için
92
Z
Z
elde edilir.
bulunur.
Y
Y
elde edilir.
fY
Y
bulunur. Buradan , M üzerinde lineer koneksiyondur.
93
6.1.2 Teorem
(2n+s)-boyutlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Eş. 6.1 de tanımlanan lineer
koneksiyon , M üzerinde çeyrek simetrik metrik koneksiyondur.
İspat:
lineer koneksiyonun torsiyon tensör alanı
alanları ,
için
,
Y
X
olmak üzere, herhangi iki vektör
X, Y
6.2
η X φY
η Y φX
X, Y
,
, M
elde edilir. Burada
üzerinde
Levi-Civita koneksiyonun torsiyon tensör
alanıdır. Bu durumda lineer koneksiyon
koneksiyondur. Şimdi,
, M üzerinde çeyrek simetrik bir
lineer koneksiyonunun M üzerinde tanımlı g Riemann
metrik tensörüyle bağdaşabilir olduğu gösterilecektir. Metrikle bağdaşabilir
koneksiyona kısaca metrik koneksiyon ifadesi kullanılacaktır.
,
,
,
,
,
için
6.3
,
,
0
,
,
94
elde edilir. Bu durumda lineer koneksiyon , M üzerinde bir metrik koneksiyondur.
O halde Eş. 6.2 ve Eş. 6.3 den lineer koneksiyon , M üzerinde bir çeyrek simetrik
metrik koneksiyondur.
6.1.1 Örnek
E 2n + s Öklid uzayının dik koordinat sistemi ( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn , z1 , z2 ,..., zs )
olsun.
ξi = 2
∂
, i = 1, 2,..., s
∂zi
1⎛
2⎝
n
⎞
j =1
⎠
η i = ⎜ dzi − ∑ y j dx j ⎟ ,
n
ϕ X = ∑Y j
j =1
n
∂
∂ ⎛ n j j ⎞⎛ s ∂
−∑X j
+ ⎜ ∑ Y y ⎟⎜ ∑
∂x j j =1
∂y j ⎝ j =1
⎠ ⎝ i =1 ∂zi
s
g = ∑η i ⊗ η i +
i =1
⎞
⎟,
⎠
1 n
∑ ( dx j ⊗ dx j + dy j ⊗ dy j )
4 j =1
olup burada Eş. 4.4, Eş. 4.5 ve Eş. 4.6 yi kullanarak Eş. 6.1 de tanımlanan yeni
koneksiyonu bileşenlerine göre ifade edelim.
Γ
Γ
1
,
2
0,
1
,
2
olup buradan
1, … ,
1, … ,2
2
1, … ,
95
Γ
Γ ; Γ
Γ
ve
Γ
Γ
olup geriye kalan bileşenleri Riemann koneksiyonunun bileşenleriyle aynıdır.
6.1.1. Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
,
olsun. Bu taktirde
, , ,
,
için
6.4
ve
,
6.5
dir.
alınır ve Eş. 3.6 ile Eş 3.16 kullanılırsa
İspat: Eş. 6.1 de
bulunur. Diğer taraftan Eş. 6.1 ve Eş. 3.16 kullanılırsa
,
,
,
,
,
96
,
elde edilir.
6.1.3 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
,
, , ,
,
için
,
6.6
dir.
İspat: Eş. 6.1 ve Eş. 3.19 kullanılırsa
,
elde edilir.
6.1.2 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
,
, , ,
,
için
6.7
97
ve
0
6.8
dir.
İspat: Eş. 6.6 da
alınırsa
bulunur. Diğer taraftan
elde edilir. Diğer taraftan Eş. 6.6 da
0 bulunur.
ve alınırsa
Şimdi, metrik f-manifoldların genel bir hali olan ve S-manifoldla normallik şartı
dışında aynı şartları taşıyan ve Eş. 6.1 de tanımlanan lineer
koneksiyonunu
üzerinde bulunduran hemen hemen S-manifoldlara bakalım. Hemen hemen Smanifold da,
:
1, … ,
için
,
1
2
6.9
şeklinde tanımlanır.
6.1.1 Lemma
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir hemen hemen S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
1, … ,
için
simetrik tensör alanıdır.
98
İspat: Eş. 6.9 daki ifade Y vektör alanı ile iç çarpımı alınırsa
1
2
1
2
1
2
,
,
,
,
,
bulunur. Burada Eş. 6.1 ve Eş. 6.8 kullanılırsa
1
2
1
2
1
2
1
2
,
,
,
,
,
,
,
elde edilir. Buradan
simetrik tensör alanıdır.
6.1.4 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir hemen hemen S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu taktirde
için
6.10
ve
1
2
dir.
6.11
99
İspat: 3.3.1 Önerme, Eş. 6.1 ve Eş.6.4 kullanılırsa
elde edilir. Eş. 6.6 da
ve
,
bulunur. Ayrıca;
olduğundan
1
2
alnırsa
100
1
2
bulunur.
6.2. Eğrilik Tensörü
6.2.1 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
,
,
, ,
2
, , ,
,
için
,
6.12
dir. Burada , Levi-Civita koneksiyon
nın eğrilik tensör alanıdır.
İspat: Eş. 2.2 ve Eş. 6.1. kullanılırsa
,
Z
101
Z
,
,
dir. Benzer olarak
ve
ifadelerinin yerleri değiştirilirse
ifadesi elde
edilir. Ayrıca
,
Z
,
Z
,
olup, bulunan sonuçlar Eş. 2.2 de yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa Eş. 6.12 elde
edilir.
6.2.1 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
, ,
olsun. Bu taktirde
,
2
2
,
,
2
,
,
2
0
Eş. 6.12 de
,
,
6.13
6.14
6.15
6.16
dir.
İspat:
,
için
2
,
, , ,
yazılırsa
102
,
2
,
bulunur. Burada Eş 6.7 kullanılırsa
,
2
elde edilir.
Eş. 6.12 de
yazılırsa
,
,
2
,
elde edilir. Eş. 6.6 da
,
alınıp gerekli düzenlemeler yapılırsa
2
,
bulunur.
Eş. 6.12 de
ve
yazılırsa
103
,
,
2
,
bulunur. Burada Eş. 3.32 kullanılırsa
,
2
elde edilir. Benzer şekilde
,
2
elde edilir.
,
Eş. 6.12 de
,
ve
yazılır ve Eş. 3.36 kullanılırsa
0
elde edilir.
6.2.2 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
, , ,
, , ,
, , ,
için
2
,
,
,
,
,
, , ,
,
104
,
,
6.17
,
dir.
İspat: Eş. 6.12 den
,
,
,
,
,
,
2
,
,
bulunur. Bulunan denklem düzenlenirse Eş. 6.17 elde edilir.
6.2.3 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
, ,
,
, , ,
, ,
, , ,
,
için
,
2
,
,
,
,
,
,
,
,
dir.
İspat: Eş. 6.12 den
, , ,
, , ,
2
,
,
6.18
105
,
,
,
,
,
,
bulunur. Bulunan denklemde
ile
nın yerleri değiştirilirse Eş.6.18 elde edilir.
6.2.4 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
olsun. Bu taktirde
,
, ,
,
, , ,
,
için
, ,
2
,
,
,
,
,
,
,
6.19
,
elde edilir.
İspat: Eş. 6.12 den
,
,
,
,
,
,
,
2
,
,
,
,
bulunur. Bulunan denklemde
ve
alınırsa Eş. 6.19 elde edilir.
106
6.2.5 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
olsun. Bu taktirde
, , ,
, , ,
,
için
, , ,
2
,
,
,
,
,
,
,
6.20
,
dir.
İspat: Eş. 6.12 den
,
,
,
,
,
,
2
,
,
,
,
,
bulunur. Bulunan denklemde
ile
nin yerleri değiştirilirse Eş. 6.20 elde edilir.
6.2.6 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
, , ,
, , ,
, , ,
,
, , ,
,
için
, , ,
6.21
, ,
6.22
107
, , ,
, ,
,
6.23
dir.
İspat:
Eş. 6.17 ve Eş. 6.20 taraf tarafa toplanırsa
, , ,
, , ,
,
, , ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
bulunur. Bu son denklemde Eş. 2.3 kullanılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa
, , ,
, , ,
elde edilir.
Eş. 6.17 ve Eş. 6.19 taraf tarafa toplanırsa
, , ,
,
, ,
, , ,
,
,
,
,
,
, , ,
,
,
108
,
,
,
,
,
bulunur. Bu son denklemde Eş. 2.4 kullanılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa
, , ,
,
, ,
elde edilir.
Eş. 6.17 ve Eş. 6.18 taraf tarafa toplanırsa
, , ,
, ,
,
,
, , ,
,
,
,
,
, ,
,
,
,
,
gerekli işlemler yapıldıktan sonra
, , ,
,
,
,
, ,
,
,
elde edilir.
6.2.7 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
, ,
dir.
,
, , ,
,
, , ,
,
için
,
6.24
109
İspat: Eş. 6.17 da
ve
, ,
alınırsa
,
, ,
,
2
,
,
,
,
,
,
,
,
bulunur. Bu son eşitlikte Eş. 3.29 kullanılırsa Eş. 6.24 elde edilir.
6.2.1 Önerme
, , ,
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
olsun. Bu taktirde
,
, , ,
,
için
, , ,
,
,
,
, ,
,
2
,
,
,
2
2
,
6.25
, ,
dir.
İspat: Eş. 6.12 de
alınır ve buradan
,
,
,
,
2
, φY
,
110
bulunur. Bu son denklem düzenlenirse Eş. 6.25 elde edilir.
6.2.3 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
,
olsun. Bu taktirde
,
,
, , ,
,
, , ,
,
için
2
,
dir.
6.2.4 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
olsun. Bu taktirde
,
2
,
0
için
,
6.26
6.27
dir.
İspat: Eş. 6.25 de
,
ve
alınırsa
, , ,
,
,
,
, ,
111
2
,
,
,
,
2
2
,
, ,
bulunur. Bu son eşitlikte Eş. 3.30 kullanılırsa Eş. 6.26 elde edilir. Eş. 6.26 de
alınırsa Eş. 6.27 elde edilir.
6.3 Ricci Eğrilik Tensörü
6.3.1 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
,
,
ve
,
,
2
, , ,
2
,
,
İspat: Eş. 6.17 kullanılırsa
,
,
,
,
,
,
,
,
, , ,
2
,
için
dir.
, , ,
, , ,
,
olur. Her iki taraftan toplam alınırsa,
,
6.28
112
, , ,
, , ,
2
,
,
6.29
elde edilir. Diğer taraftan
, , ,
, , ,
2
,
,
,
,
,
,
, , ,
,
,
olup her iki taraftan toplam alınırsa,
, , ,
, , ,
,
6.30
olup Eş. 6.29 ve Eş. 6.30 ifadeleri taraf tarafa toplanır ve gerekli düzenlemeler
yapılırsa Eş. 6.28 elde edilir.
6.3.2 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
,
,
,
dir.
0,
,
, , ,
,
için
2
6.31
,
2
6.32
113
İspat: Eş. 6.28 de
alınırsa ve Eş. 3.37 kullanılırsa
,
,
2
,
,
2
,
,
,
elde edilir. Eş. 6.32 için Eş. 6.31 denkleminde
,
0
elde edilir. Benzer şekilde Eş. 6.31 de
,
alınırsa
alınırsa
2
dir.
6.3.3 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
,
,
6.33
dir.
,
,
,
için
,
İspat: Eş. 6.28 de
, , ,
ile
vektör alanlarının yerleri değiştirilirse
,
2
,
,
114
bulunur. Eş. 6.28 ile bu ifadenin farkı alınırsa
,
,
,
2
,
,
,
,
,
,
,
elde edilir. Burada gerekli işlemler yapılıp denklem düzenlenirse
,
,
bulunur.
6.3.2 Sonuç
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
,
,
, , ,
,
için
,
6.34
dir.
alınırsa Eş. 6.34 elde edilir.
İspat: Eş. 6.33 de
6.3.4 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
,
dir.
,
,
, , ,
,
için
2
6.35
115
,
İspat:
,
,
ç
dağılımının vektör alanlarının uzayı sırasıyla Γ
ve
,
olmak üzere
ve Γ
için D
olmak üzere
,
,
olacak şekilde
Γ
,
ve
Γ
şeklinde yazılır. Bu
denklemde Eş. 6.31 kullanılırsa
,
,
,
,
,
,
,
2
2
,
,
2
0,
olur.
,
,
bulunur.
,
0 olup buradan
2
,
Ι
,
olduğundan
2 ∑
,
,
elde edilir.
yazabiliriz. Buradan
116
6.3.3 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. Bu taktirde
,
,
(6.36)
dir.
İspat: Eş. 6.4 ve Eş. 6.32 kullanılırsa
,
,
,
,
,
elde edilir.
,
için
0
0
, , ,
,
,
,
117
7. BAZI EĞRİLİK ŞARTLARI
7.1.1 Teorem
, , ,
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. M üzerinde .
,
,
,
0 yani manifold yarı simetrik ise kesitsel eğrilik
,
2
dir.
İspat:
, ,
.
,
,
,
,
,
,
,
için
, ,
,
,
.
,
,
0 olsun. O halde
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
olur. Burada
,
ve
,
,
özel vektör alanı
alınırsa,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
elde edilir. Burada Eş. 6.14 ve Eş. 6.15 kullanılırsa Eş. 7.1 in birinci ifadesi
,
2
2
olup,
,
,
7.1
118
,
,
,
2
,
,
2
4
,
,
,
2
,
,
,
,
,
elde edilir. Diğer taraftan Eş. 7.1 in ikinci ifadesi
,
2
,
2
,
olup,
,
,
,
,
2
,
,
2
,
2
2
,
,
2
,
4
,
,
,
,
,
elde edilir. Eş. 7.1 in üçüncü ifadesi
,
,
,
,
0
2
, ,
,
119
elde edilir. Son olarak Eş. 7.1 in dördüncü ifadesi Eş. 6.15 den
,
,
,
,
,
,
, 2
2
,
,
,
2
,
,
,
2
,
,
,
elde edilir. Bulunan sonuçlar Eş. 7.1 de yerine yazılırsa
,
,
,
2
,
2
,
,
2
,
,
elde edilir. Burada gerekli düzenlemeler yapılırsa
,
,
,
2
elde edilir.
7.1.2 Teorem
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
, , ,
,
olsun. Bu durumda,
.
2
,
,
7.2
dir.
İspat:
, , ,
için
120
,
.
,
dir. Bu eşitlikte
,
,
,
ve
.
,
,
alınırsa
,
,
,
7.3
olur. Burada Eş. 6.15 kullanılırsa
,
,
2
,
2
,
2
,
,
2
,
2
2
,
4
2
7.4
elde edilir. Diğer taraftan Eş. 6.14 kullanılırsa
,
,
,2
,
2
4
,
,
2
,
,
7.5
bulunur. Son olarak Eş. 7.4 ve Eş. 7.5 ifadelerini Eş. 7.3 denkleminde yerlerine yazıp
gerekli
,
düzenlemeler
.
2
,
,
yapılırsa
121
elde edilir.
7.1.1 Sonuç
, , ,
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun.
üzerinde .
0, yani manifold Ricci yarı simetrik ise
,
, , ,
için
,
,
dir.
, , ,
İspat:
,
için .
0 ise 7.1.1 Teoreminden
,
elde edilir.
7.1.2 Teorem
, , ,
(2n+s)-boyutlu çeyrek simetrik metrik koneksiyonlu bir S-manifold
olsun. M üzerinde .
, , ,
,
0, yani manifold Ricci projektif yarı simetrik ise
için
,
,
İspat:
, , ,
dir.
,
.
,
,
için
,
.
,
.
0 ise
,
,
,
,
0
122
,
,
,
,
,
0 olur.
,
,
,
olup 2n+s-1= m alırsak
özel vektör alanı için
1
,
,
,
,
,
,
,
,
1
,
1
,
,
1
,
,
1
,
,
0
,
1
,
,
,
,
0
bulunur. Bu eşitlikte Eş. 6.3.6 kullanılırsa
,
olur.
,
,
,
elde edilir.
0
alınıp gerekli işlemler yapıldığında 7.1.2 Teorem ile aynı sonuç
elde edilir. Yani,
,
,
,
123
KAYNAKLAR
Ageshe, N.S., Chafle, M.R., “ A semi-symmetric non-metric connection on a
Riemann manifold”, Indian J. Pure Appl. Math., 23(6): 399-409 (1992).
Akyol, M.A., Turgut Vanlı, A., Fernandez, L.M., “Curvature Properties of a SemiSymmetric Metric Connection on S-Manifolds”, Ann. Polon. Math., 107: 71-86
(2013).
Akyol M.A., “Semi-Symmetric Connectins on S-Manifolds”, Gazi Uni. Fen
Bilimleri Enst. Yüksek Lisans Tezi, 3-18 (2011).
Bejancu, A., Duggal, K.L., “Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian Manifolds
and Application”, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Boston London, 211223 (1996).
Blair D.E., “Contact Manifolds in Riemannian Geomatry”, Lecture Notes in Math.,
Springer, Berlin, 509 (1976).
Blair, D.E., “Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds”, Progess
in Math., 203: 31-115 (2001).
Cabrerizo, J.L., Fernandez, L.M., “The Curvature Tensor Fields on ݂-Manifolds
with Complemented Frames”, An. Sti. Uni. “Al. I. Cuza”, Iasi, 36: 150-161 (1990).
Friedman, J.A.S, “Über die Geometrie der halbsymmetrischen
Math. Z., 21: 211-223 (1994).
Übertragungen”,
Goldberg, S.I., Yano, K., “On Normal Globally Framed f-Manifolds”, Tohoku
Math. Jour., 22: 362-370 (1970).
Hacısalihoğlu, H.H., “Diferensiyel Geometri”, İnönü Ünv. Fen Edebiyat Fak.
Yayınları, 2: 75-97 (1983).
Hasegawa, I., Okuyama, Y., Abe, T., “ On P-th Sasakian Manifolds’’, Journal of
Hokkaido Universty of Education (Section II A), 1: 202-213 (1986).
Ishihara, S., Yano, K., “On Integrability Conditions of a Structure f Satisfying
f 3 + f = 0 ”, Quart, J, Math, Oxford (2), 15: 217-222 (1964).
Kobayashi M., Tsuchiya, S., “Invariant submanifolds of an f-manifold with
complemented frames”, Kodai Math. Sem. Rep., 24: 430-450 (1972).
Lotta, A., Pastore, A.M., “The Tanaka-Webster Connection for Almost S-Manifolds
and Cartan Geometry”, Arch. Math., 40: 47-61 (2004).
124
Lotta, A., Dileo, G., “On The Structure and Symmetry Properties of Almost SManifolds”, Geom. Dedic., 110(1): 191-211 (2005).
Nakagawa, H., “On Framed ݂-Manifolds”, Kodai Math. Sem. Rep., 18(4): 293-306
(1966).
O’Neill, B., “Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity,
Academic Pres”, New York London, 215-257 (1983).
Sagbaş, D., "ߝఈ Almost S-manifolds", Gazi Uni. Fen Bilimleri Enst., Yüksek Lisans
Tezi, 3-27 (2010).
Terlizzi, L.D., Pastore, A.M., “Some results on K-manifolds”, Balkan Journal of
Geometry ant Its Applications, 7: 43-62 (2002).
Terlizzi, L.D., “On The Curvature of a Generalization of Contact Metric Manifolds”,
Acta. Math. Hung., 110(3): 225-239 (2006).
Yano, K., Kon, M., “Structure on Manifolds”, World Scientific Publishing Co. Pte.
Ltd., 3: 252-286 (1984).
125
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: GÖÇMEN, Ayşegül
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri : 03.06.1984 Ankara
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (539) 371 26 19
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi Mezuniyet
Tarihi
Lisans
Ankara Üni. /Matematik
2006
Lise
Kocatepe Mimar Kemal Lisesi
2002
İş Deneyimi
Yıl
Yer
2009-2011
Açı Dershanesi
Matematik Öğretmeni
2011-2012
Simetri Dershanesi
Matematik Öğretmeni
2012-halen
Sınav Dershanesi
Matematik Öğretmeni
Yabancı Dil
İngilizce
Hobiler
Kitap okumak,film izlemek Görev