wıen köprü tabanlı karışık modlu kaotik devre modeli
advertisement
ELEKTRÝK -ELEKTRONÝK - BÝLGÝSAYAR MÜHENDÝSLÝÐÝ 10. ULUSAL KONGRESÝ WIEN KÖPRÜ TABANLI KARI IK MODLU KAOT K DEVRE MODEL (W-MMCC) 1 1 Recai Kılıç, 2Fatma Yıldırım Erciyes Üniversitesi Müh. Fak. Elektronik Müh. Böl., 38039, Kayseri 2 Erciyes Üniversitesi Sivil Havacılık Y. O., 38039, Kayseri [email protected] [email protected] Anahtar sözcükler: Wien Köprü Osilatör, Karı ık Modlu Kaotik Devre, Kaos ÖZET Bu çalı mada, do rusal ve do rusal olmayan osilasyonlarla çalı an ara tırmacılar, ö renciler ve bilim adamları için e itim amaçlı yeni bir devre modeli sunulmu tur. Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devre (Wien bridge-based Mixed-Mode Chaotic Circuit, W-MMCC) olarak isimlendirilen devre modeli, hem do rusal hem de do rusal olmayan osilasyonları üreten bir yapıya sahiptir. Bu devre yapısında, Wien köprü devre kısmından dolayı sinüzoidal osilasyonlar gözlemlenmesinin yanı sıra, hem otonom hem de otonom olmayan karı ık modlu kaotik osilasyonların elde edilmesi de mümkün olmaktadır. Devre, bu derece karı ık dinamikler sergilemesine ra men donanım olarak basit bir yapıya sahiptir. Devrede tek bir do rusal olmayan direnç kullanılmı tır. Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devrenin davranı ı, PSpice simülasyonları ile do rulanmı tır. 1. G R Son yirmi yılda ara tırmacılar, bilim adamları ve de lisans ö rencileri için do rusal olmayan sistemlerle özellikle de kaotik yapılarla ilgili literatürde e itim amaçlı çalı malar yer almı tır. Kaosun varlı ını göstermek ve ö rencilerin kaosu anlamasını kolayla tırmak için Lonngren [1], bir deneysel düzenek tanımlarken, Hamill [2], PSpice kullanarak simüle edilmi 10 adet kaotik devrenin koleksiyonunu içeren bir simülasyon çalı ması sunmu tur. Bu çalı maların devamında Aissi [3], lisans ö rencilerine elektronik derslerinde gösterilmesi amacıyla kaotik devreler içeren e itim amaçlı bir çalı ma sunmu tur. Literatürde yer alan ve yukarıda bahsedilen e itim amaçlı çalı malara ek olarak bu bildiride, do rusal ve do rusal olmayan osilasyonlarla ilgilenen bilim adamları, ö renciler ve ara tırmacılar için yeni bir e itim amaçlı devre modeli sunulmaktadır. Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devre (W-MMCC) olarak isimlendirilen devre modeli, hem do rusal hem de do rusal olmayan osilasyonlar üreten bir yapıya sahiptir ve bu devre, hem otonom hem de otonom olmayan kaotik dinamikleri incelemek için e itim amaçlı çok iyi bir modeldir. Hazırlanan bu çalı ma, a a ıdaki bölümlerden olu maktadır: 2. bölümde, 334 Karı ık Modlu Kaotik Devre ve bu devrenin kaotik dinamikleri tanıtılmı tır. 3. bölümde, Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devre olarak adlandırılan e itim amaçlı modelin devre yapısı ve davranı ı simülasyon sonuçlarıyla birlikte tanımlanmı tır. Son olarak 4. bölümde elde edilen sonuçlar tartı ılmı tır. 2. KARI IK MODLU KAOT K DEVRE MODEL ve KAOT K D NAM KLER Orijinal karı ık modlu kaotik devre yapısı, ekil 1(a)’ da gösterilmi tir. Karı ık modlu kaotik devre modeli, hem otonom hem de otonom olmayan kaotik dinamikler sergilemektedir. Karı ık modlu kaotik devrenin tasarımında otonom Chua devresinin [4] ve otonom olmayan MLC devresinin [5] ortak dinamikleri, bir anahtarlama metodu [6] kullanarak birle tirilmi tir. Anahtarların durumlarına ba lı olarak karı ık modlu kaotik devre, ya otonom kaotik davranı ya da otonom Q Q i L1 S1 S2 + R S1 R2 R1 Vac C1 - + iR VR i L2 L1 + VC1 NR - R S2 VC2 C2 L2 - (a) iR Gb Ga VR Bp - Bp Gb (b) ekil 1. (a) Karı ık modlu kaotik devre, (b) Karı ık modlu kaotik devredeki do rusal olmayan direncin üç bölgeli parçalı do rusal karakteristi i. ELEKTRÝK -ELEKTRONÝK - BÝLGÝSAYAR MÜHENDÝSLÝÐÝ 10. ULUSAL KONGRESÝ olmayan kaotik davranı sergilemektedir. Anahtarların durumları, S1-ON ve S2-OFF oldu unda karı ık modlu kaotik devre modeli, otonom olmayan kaotik MLC devre yapısına [5] dönü ür. Bu durumda devre, iki adet birinci dereceden otonom olmayan diferansiyel denklem takımı ile tanımlanmaktadır: C1 L1 di L1 dt dVC1 = i L1 − f (VR ) dt (1) = − i L1 (R1 + RS1 ) − VC1 + A sin (wt ) (2) Burada (A), ekil 1(a)’ daki Vac harici periyodik i aretin genli ini ve (w) da açısal frekansını temsil etmektedir. Harici i aretin genli i (A), kaotik de i im (bifurcation) parametresi olarak kullanılmaktadır. Bu genlik de erinin sıfırdan yukarıya do ru artırılmasıyla dallanma ve kaos olayı sistem, de i ik sergilemektedir. ekil 1(a)’ daki devrede anahtarların durumları S1OFF ve S2-ON oldu unda devre, otonom Chua devresine dönü mektedir [4]. Bu durumda devre, üç adet birinci dereceden otonom diferansiyel denklem takımı ile tanımlanmaktadır: di L 2 (3) L2 = −VC 2 − i L 2 ⋅ R S 2 dt dV 1 (4) (VC 2 − VC1 ) C2 C 2 = i L 2 − dt R2 C1 dVC1 1 ( VC 2 − VC1 ) − f (VR = dt R2 ) 3. WIEN KÖPRÜ TABANLI KARI IK MODLU KAOT K DEVRE MODEL E itim amaçlı olarak dü ünülen karı ık modlu kaotik devrenin yeni gerçekle tiriminde, ekil 1(a)’ daki devrenin pasif LC rezonatörü, aktif Wien köprü tabanlı RC konfigürasyonu ile de i tirilmi tir. Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devre, ekil 3’ de lk olarak, statik anahtarlama gösterilmi tir. kullanılarak devrenin statik performansı gösterilecek ve do rulanacaktır. Anahtarların durumları, S1-ON ve S2-OFF oldu unda orijinal karı ık modlu kaotik devre yapısındaki otonom olmayan aynı kaotik devre kısmı elde edilir. Bundan dolayı bu durumda devre, orijinal karı ık modlu kaotik devredeki gibi iki adet birinci dereceden otonom olmayan diferansiyel denklem takımı ile tanımlanmaktadır: (5) ekil 1(a)’ daki devrede R2 direnç de eri kaotik de i im parametresidir ve bu direnç de erinin 2000 Ω’ dan 0 Ω’ a do ru azaltılmasıyla devre, de i ik dallanma ve kaos olayı sergilemektedir. Burada, (1) ve (5) ba ıntısında verilen f(VR) ifadesi, parçalı do rusal ekil 1(b)’ de grafiksel olarak bir fonksiyondur ve gösterilmi olup a a ıdaki gibi tanımlanmaktadır: (6) iR = f (VR ) =GbVR +0.5⋅(Ga −Gb ) × VR + Bp − VR −Bp ( Karı ık modlu kaotik devre modelinin yukarıdaki statik çalı masına ek olarak ekil 1(a)’ daki S1 ve S2 analog anahtarların giri lerine iki e lenik Q ve Q kontrol i aretleri sürekli uygulanarak, karı ık modlu kaotik devrenin kaotik dinami i elde edilmektedir. Karı ık modlu kaotik devrede kontrol i areti olarak periyodik i aretler kullanılabilece i gibi periyodik olmayan i aretler de kullanılabilir. Dinamik çalı ma modu için karı ık modlu kaotik devrenin davranı ı ekil 2’ de gösterilmektedir. Burada, darbe süreleri 5 msn olan Q ve Q kontrol i aretleri kullanılmı tır. ) Burada, Ga ve Gb, sırasıyla iç ve dı bölgelerdeki e imler olup, ±BP kırılma noktalarını belirtmektedir. Do rusal olmayan direnç, Ga=-0.76 mS, Gb=-0.41 mS ve ±BP=±1.0 V parametrelerini verecek ekilde [7]’ deki devre topolojisi kullanılarak gerçekle tirilmi tir. C1 di L1 L1 dt dVC1 = i L1 − f (V R ) dt (7) Burada (A), ekil 1(a)’ daki Vac harici periyodik i aretin genli ini ve (w) da açısal frekansını temsil etmektedir. Harici i aretin genli i (A), kaotik de i im (bifurcation) parametresi olarak kullanılmaktadır. Bu genlik de erinin sıfırdan yukarıya do ru artırılmasıyla sistem de i ik dallanma ve kaos olayı sergilemektedir. Bu otonom olmayan devre kısmı için devre parametreleri, C1=10 nF, L1=18 mH, R1=1340 Ω, RS=12.5 Ω, A=0.15 V ve harici i aret kayna ının frekansı 8890 Hz olarak belirlenmi tir. Bu çalı ma modunda Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devrenin otonom olmayan kaotik davranı ı, Wien Q Q i L1 S1 S2 + RS R2 C1 + L1 R3 VC2 R1 C2 R6 Vac - ekil 2. ekil 1(a)’ daki karı ık modlu kaotik devrenin kaotik davranı ı. (8) = − i L1 (R1 + RS ) − VC1 + A sin (wt ) C3 Vout VR - + + iR VC1 NR - VC3 R4 R5 ekil 3. Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devre. 335 ELEKTRÝK -ELEKTRONÝK - BÝLGÝSAYAR MÜHENDÝSLÝÐÝ 10. ULUSAL KONGRESÝ köprü devresinin sinüzoidal formdaki çıkı osilasyonu ve kaotik çift çeker yapısı, sırasıyla ekil 4(a), 4(b) ve 4(c)’ de gösterilmektedir. Bu anahtarlama modunda, C1 kapasitörü üzerindeki voltaj otonom olmayan kaotik osilasyon olarak gözlenirken, Wien köprü çıkı sinüzoidal osilasyonlar dü ümünde gözlemlenmektedir. Bundan dolayı hem kaotik hem de periyodik osilasyonlar, bu osilatör yapısında e zamanlı olarak gözlemlenebilmektedir. Anahtarların durumları, S1-OFF ve S2-ON oldu unda kaotik çift çeker yapısını sergileyen otonom Wien köprü tabanlı Chua devresi [8] elde edilmektedir. Burada Op-Amp (VOA) kullanılarak gerçekle tirilen Wien köprü osilatörünün kazancı, K = 1 + R4 ’ dir. Bu durumda R5 devre, üç adet birinci dereceden otonom diferansiyel denklem takımı ile tanımlanmaktadır: (a) C3 dVC 3 R 1 = − 4 VC 2 − VC 3 dt R3 R5 R3 C2 dVC 2 1 1 1 = VC1 − VC 2 + VC 3 dt R2 RX R3 (10) C1 dVC1 1 = ( VC 2 − VC 1 ) − f ( V R dt R2 (11) (9) ) Burada f(VR), (6) ba ıntısındaki gibi tanımlanmaktadır ve, RX = R2 R3 R6 R5 R2 ( R3 R5 − R6 R4 ) + R3 R6 R5 (12) olarak ifade edilmektedir. C1 kapasitörü ve NR do rusal olmayan direnci, otonom ve otonom olmayan çalı ma modları için karı ık modlu kaotik devrede ortak elemanlar oldu undan bu elemanların parametre de erlerine göre Wien köprü tabanlı RC konfigürasyonunun devre parametreleri belirlenmektedir. Devrenin çift çeker yapısını sergilemesi için devre parametreleri, C1=10 nF, C2=C3=800 nF, R3=R5=R6=100 Ω, R4=207 Ω ve R2=1.525 Ω olarak belirlenmi tir. C de erleri ve R de erleri e it seçilerek (C2=C3=C0, R3=R6=R0), Wien köprü osilatörde osilasyonların ba laması için devrenin voltaj kazancı K, nominal de erinin (K=3) biraz üzerinde seçilmi tir (K=3.07). Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devrenin otonom kaotik dalga formu ve kaotik çift çeker yapısı sırasıyla ekil 5(a) ve 5(b)’ de gösterilmi tir. Bu çalı ma modunda tasarlanan devre, R2 de i im parametresinin 1250 Ω1850 Ω de erleri arasında farklı periyodik ve kaotik davranı lar sergileyebilmektedir. (b) (a) (c) ekil 4. Otonom olmayan çalı ma modunda Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devrenin simülasyon sonuçları, (a) Otonom olmayan kaotik dinamik, (b) Wien köprü devresinin çıkı osilasyonu, (c) (VC1-IL1) düzleminde kaotik çift çeker gösterimi. 336 (b) ekil 5. Otonom çalı ma modunda Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devrenin simülasyon sonuçları, (a) C1 kapasitörü üzerindeki voltajın kaotik dalga formu, (c) (VC1-VC2) düzleminde kaotik çift çekerli yapının gösterimi. ELEKTRÝK -ELEKTRONÝK - BÝLGÝSAYAR MÜHENDÝSLÝÐÝ 10. ULUSAL KONGRESÝ Q Q i L1 4. SONUÇ S1 S2 + RS Q S 3 L1 R2 C1 R3 + VC2 R1 C2 R6 Vac - + C3 V out + VC1 VR - iR NR - VC3 - R4 R5 ekil 6. S3 anahtarı ilave edilerek modifiye edilen Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devre. Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devrenin dinamik performansını de erlendirmek amacıyla statik performans gösterildikten sonra iki e lenik kare dalga, Q ve Q , orijinal karı ık modlu kaotik devredeki gibi anahtarlama i leminin sürekli olarak devam etmesi için, ekil 3’deki S1 ve S2 analog anahtarlarının giri lerine uygulanmalıdır. Her bir kare dalganın darbe geni li i ve periyodu sırasıyla 5 msn ve 10 msn olarak seçilmi tir. Bu dinamik çalı ma modunda orijinal karı ık modlu kaotik devrenin davranı ına benzer bir karı ık modlu kaotik dinamik gözlemlemek amacıyla, S2 anahtarı ile e zamanlı olarak çalı an analog S3 anahtarı, ekil 6’da gösterildi i gibi Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devreye eklenmi tir. Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devre, S3 anahtarı olmaksızın otonom olmayan aynı kaotik davranı ı sergilerken otonom olmayan moddan otonom moda geçi sırasında Wien köprü devrenin osilasyonundan dolayı Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devre, otonom kaotik davranı ı sergilememektedir. Bu yüzden, otonom olmayan modda S2 anahtarı ile e zamanlı olarak çalı an S3 anahtarı, Wien köprü devresinin çıkı osilasyonunu önlemektedir. Önerilen Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devrenin karı ık modlu kaotik dalga formu, ekil 7’de gösterilmi tir. Bu çalı mada e itim amaçlı yeni bir Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devre modeli önerilmi tir. PSpice simülasyon sonuçları, Wien köprü tabanlı RC konfigürasyonu kullanılarak gerçekle tirilen karı ık modlu kaotik devrenin, orijinal karı ık modlu kaotik sergiledi ini devrenin kaotik davranı ları do rulamaktadır. Karı ık modlu kaotik devrenin bu yeni gerçekle tirimi, do rusal ve do rusal olmayan osilasyonlarla çalı mak için iyi bir prototip olu turmaktadır. Karı ık modlu kaotik devrede, Wien köprü devresinin kullanımı, mevcut parametrelere ek olarak yeni devre parametre de i imleri içermektedir. Bu yüzden, karı ık modlu kaotik devrenin bu yapıdaki gerçekle tirimi, sadece basit bir tasarıma sahip olmakla kalmayıp aynı zamanda olası kaotik uygulamalarında geni parametre haberle me de i ikleri ile daha fazla güvenilirlik sa lama potansiyeline sahiptir. Ayrıca karı ık modlu kaotik devrede Wien köprü tabanlı RC konfigürasyonu kullanılarak indüktör sayısı azaltılmaktadır. KAYNAKLAR [1] Lonngren K.E., Notes to accompany a student laboratory experiment on chaos, IEEE Trans. on Education, 34, (1), 1991. [2] Hamill D.C., Learning about chaotic circuits with SPICE, IEEE Trans. on Education, 36, (1), pp.123128, 1993. [3] Aissi C., Introducing chaotic circuits in an undergraduate electronic course, Proceedings of the 2002 ASEE Gulf-Southwest Annual Conference, Lafayette, USA, 2002. [4] Chua L.O., Wu C.W., Huang A., and Zhong G.A., Universal circuit for studying and generating chaos, IEEE Trans. Circuits&Syst., CAS-40, (10), pp.732-745, 1993. [5] Murali K., Lakshmanan M., and Chua L.O., Bifurcation and chaos in the simplest dissipative non-autonomous circuit, Int. J. of Bifurcations&Chaos, 4, (6), pp.1511-1524, 1994. [6] Kılıç R., Alçı M. and Tokmakçı M., Mixed-mode chaotic circuit, Electronic Lett., 36, (2), pp.103104, 2000. [7] Kennedy M.P., Robust Op-Amp realization of Chua’s circuit, Frequenz, 46, pp.66-80, 1992. [8] Morgül Ö., An RC Realization of Chua’s circuit family, IEEE Trans. Circuits& Syst-I., 47, (9), pp.1424-1430, 2000. ekil 7. Wien köprü tabanlı karı ık modlu kaotik devrenin kaotik davranı ı. 337
