TANIMLAR Olasılık hem olay hem de olayların oluşturduğu

TANIMLAR
Olasılık hem olay hem de olayların oluşturduğu anlamsal bütün için kullanılabilecek bir
kavramdır. Genellikle olasılık kavramını olaylar için kullanma eğilimi vardır. Olayların
oluşturduğu anlamsal bütünün olasılığı yerine örneklem uzay sayısı veya olasılık
dağılımlarının sayısı kavramlarını kullanma eğilimi vardır. Bu eğilimlere uymak için olasılık
kavramı, olaylar için kullanılacaktır. Olasılık “m” simgesiyle, olay sayısı “n” simgesiyle ve
olasılık dağılım sayısı “M” simgesiyle gösterilecektir. Olasılığı(possibility), olaya ve seçime
yapılacak göreli yaklaşımlar belirler. İhtimali(probability) ise olasılığa, anlamlı
parçalara(olaya, aşamaya ve/veya değişken) ve bütüne(veriye) yapılacak göreli yaklaşımlar
belirler. Gerçeklikleri belirleyebilmek için yapılacak seçimlere yaklaşım denilecektir. Bir
gerçeğin farklı görünümlerine görelilik denir. Bir gerçeklikten doğabilecek farklı gerçeklikleri
belirleyebilmek için yapılacak seçimlere göreli yaklaşım denir. Göreli yaklaşımı; teorik ve
deneysel verinin amacı belirler. Olaya yapılacak göreli yaklaşımla olayın durumları belirlenir.
Durumlar, seçimlerin nereye veya niçin yapılacağına bağımlı olabileceği gibi bağımsız da
olabilir. Durumlar ise olasılığı sınırlandırır. Olayın nereye veya niçin yapılacağına bağımlı
olarak olasılık ve ihtimallerin değiştiği bir örnekle gösterilebilir; eşit sayıda kırmızı ve beyaz
zarlar arasından yapılacak bir seçimde, olay zarların rengi ise olasılığı 2 ve ihtimali 1/2 olur.
Eğer olay zarların üzerindeki rakamlar ise olasılığı 6 ve ihtimali 1/6 olur. Zarların üzerindeki
rakamlar veya renkler gibi seçilebilecek sonuçlara veya olayın gerçekliklerine durum
denilecektir. Durum sayısı “D” simgesiyle gösterilecektir. Bir seçimde belirlenecek durum
sayısına seçim içeriği durum sayısı denilecek ve “d” simgesiyle gösterilecektir. Her olay için
belirlenecek durumlar farlı olabilir. Eğer olaylar aynı durumlarla belirleniyorsa bağımlı olay
denilecektir. Eğer olaylar farklı durumlarla belirleniyorsa bağımsız olay denilecektir.
Durumlar arasından yapılan veya yapılabilecek her bir seçime olay denir. Her bir olay
için yapılabilecek seçim sayısına olasılık, seçilen yani olan/olabilecek olasılık/lar’ın olması
gereken olasılıklara bölümüne ihtimal denir. Bazı değerlendirmelerde ihtimallere düzey
denilebilir. Olasılık dağılımları “sn” simgesiyle gösterilecektir. Simetrik olasılıklar “Ss”
simgesiyle gösterilecektir. Olasılık dağılımlarında bir veya birden çok durum simetrik veya
ters simetrik bulunabileceğinden, simetrik ve/veya ters simetrik olasılık dağılımlarının
toplamına, toplam simetrik olasılık denilecektir. Olasılık dağılımları içerisinde bir durumun
bir olay için tek simetrik olasılığı, simetrik olasılık sembolünün sol üstüne bir yazılarak,
simetrik olasılık iki, ters simetrik olasılıklar üç yazılarak gösterilecektir. Simetrik olasılık aynı
durum/ların olasılık dağılımları içinde kaç farklı dağılımda olacağını gösterecektir. Olasılık
dağılımları içerisinde simetrik durumların toplamına simetrik olasılık, ters simetrik
durumların toplamına ters simetrik olasılık denilecektir. Bir durumun olasılık dağılımları veya
bir olayın olasılıkları içindeki toplamına tek simetrik olasılık denilecektir. Simetrik
olasılıkların belirlenmesinde olasılık dağılımlarında kaç durum/un bulunacağı “s” simgesiyle
gösterilecek ve küçük s bu durumların sayısına eşit olacaktır. Bu sayıya simetrik durum sayısı
denilecektir. Simetrik durum sayılasının hangi durumlara ait olduğunu gösterimi, olasılık
dağılımlarından ayıra bilmek için sağ üst indisleme kullanılacaktır. Olayın durumunu
belirleme seçiminin bir önceki seçimden etkilenmesine “bağımlı olasılık” denilecektir. Her bir
olayın olasılığı, diğer olayların olasılıklarına bağımlıdır. Olayın durumunu belirleme
𝐷 ≥𝑛∙𝑑
seçiminin bir önceki seçimden etkilenmemesine “bağımsız olasılık” denilecektir. Olayların
olasılığı, diğer olayların olasılıklarından bağımsızdır.
Bilimsel disiplinler yeni gerçeklikleri belirleyebilmek için var olan gerçeklikler
arasında farklı ilişkileri kurabilecek yaklaşımları içinde barındırdığı gibi istatistik de yeni
yaklaşımları içinde barındırır1. Yukarıda yeni gerçeklikleri belirleyebilmek için var olan
gerçeklikler arasında farklı ilişkileri kurabilecek olay ve seçim için yapılan göreli
yaklaşımlar, fizikteki göreliliğe benzer. Durgun halde bir metre boyunda olan bir cisim,
durgun gözlemciye(ikinci gözlem/referans sistemi) göre yüksek hızlarda hareket ettiğinde
cismin boyunu durgun haldeki boyundan daha kısa ölçmesine karşılık cismin üzerindeki
gözlemciye(birinci gözlem sistemi) göre cismin boyu yine bir metre ölçülür. İkinci gözlem
sistemi de hareketliyse, durgun olarak alınabilecek üçüncü bir gözlem sisteminden yapılacak
ölçüme göre cismin boyu yine farklı ölçülecektir. Üçüncü gözlem sisteminin de hareketliyse,
durgun olarak alınabilecek dördüncü bir gözlem sisteminden yapılacak ölçüme göre cismin
boyu yine farklı ölçülecektir. Birinci gözlem sistemi cismin üzeri, ikinci gözlem sistemi yer,
üçüncü gözlem sistemi güneş ve dördüncü gözlem sistemi galaksi alınabilir. Cismin gözlenen
boyunu, gözlemin amacı belirler. Cismin gözlenen boyu gözlenen sistemle ilgilidir. Fizikte
cismin gözlenen boyu farklı gözlem sistemlerine göre belirlenebildiği gibi istatistikte yeni
gerçeklikleri belirleyebilmek için var olan gerçeklikler arasında farklı ilişkileri kurabilecek
olay ve seçime yaklaşımlar yapılabilir. Yukarıda verilen olaya yaklaşım örneğinde; olayı
renkler, durumların kırmızı ve beyaz olduğu ilk yaklaşımda olasılık ikiyken, ikinci
yaklaşımda birinci yaklaşımdaki renk kavramı terkedilerek her bir durumu yani zar olay
olarak belirlenmiş ve olasılığı altı olarak belirlenmiştir. olması gibi olasılıkları olay olarak
belirleyen bağımlı olasılık yaklaşımı yapılır.
Olay yerine çoğu zaman anlamlı en küçük parça’nın kısaltması olan “akp”
kullanılacaktır. Bazı ölçme ve değerlendirme durumlarında bağımsız değişkenin akp’lerine
bilgi, bağımlı değişkenin akp’lerine başarı denilir. Olaylar kümesinin anlamlı en küçük
elemanı da olay’dır. Akp bir simgeyi veya simgelerin oluşturduğu bir kümeyi temsil
edebilmesi, yapılan seçime bağlıdır. Örneğin, bir formülü oluşturan her bir simge bir akp
olarak belirlenebileceği gibi, sözel bir metindeki simgelerin oluşturduğu kelime veya kelime
grupları da akp olarak belirlenebilir. Kelime veya kelime gruplarının akp olarak belirlenmesi
yapay zekayı, olması gereken insan beyninin düşünme sistemine yaklaştırır. İnsan beyni
simgelerle düşünebildiği gibi kelime veya kelime gruplarıyla da düşünebilmektedir. Beyin
isimleri, ne simgelerle nede hecelerle kodlama ve düşünme eğiliminde değildir. Örneğin;
beyin, M-u-s-t-a-f-a veya Mus-ta-fa olarak değil Mustafa olarak kodlar ve düşünür veya Ç-an-k-a-y-a K-ö-ş-k-ü veya Çan-ka-ya Köş-kü olarak değil Çankaya Köşkü olarak kodlar ve
düşünür. Kelime veya kelime gruplarının bir akp olması, yapay zekayı kelime ve hece yapım
ve anlamlarının karmaşasıyla uğraşmak yerine, cümle yapısı üzerinden yapay zekayı, insan
beyninin düşünme sistemine yaklaştırılabilir.
Matematik ve istatistik evrenin gerçeklikleriyle(materyal yapısı ve bu materyal yapının
davranışları)ilgilenmediğinden bilim değildir. Fakat bilimin kullandığı bir araç olmalarına karşılık fark
istatistiğinin(ortalama alınarak yapılan istatistiksel işlemler) evrenin gerçekliklerini belirlemede kullanımı ya
gerçeklikten uzaklaştırır ya da bizi gerçekliklerin doğal yapısını anlamadan uzaklaştırır. Verinin olasılık
skorlarıyla sayısallaştırılması, veriye bilimsel mantığın(matematik mantık) uygulanmasını sağlar.
1
1.1 Tanımlar
Belirli bir anlamsal bütünlük oluşturan akp veya akp’lere aşama denilecektir.
Aşamalar içerdiği akp’lere göre sınıflandırılabilir. Bu sınıflandırma içerilen akp’leri, diğer
akp olasılıklarından bağımsız değerlendirilmesini(ihtimal, ortalama v.b. işlemlerle) sağlar.
Aşama veya aşamaların oluşturduğu anlamsal bütünlüğü ise değişken denilecektir. Değişken,
bağımlı ve bağımsız değişken olmak üzere ikiye ayrılır. Etkileyen değişkene “bağımsız
değişken”, etkilenen değişkene “bağımlı değişken” denir. Bağımlı değişken birden çok
bağımsız değişken içerir. Bazen bağımlı değişkeni etkileyen bağımsız değişkenlerin
sınıflandırılması gerekir. Örneğin bir aracın belirli bir yolda sürtünme kuvvetine karşı yaptığı
işi rüzgarlı ve durgun hava şartlarında belirlenmeye çalışıldığında, rüzgarlı hava şartlarından
aracın hem hava sürtünme katsayısı hem de yere göre sürtünme katsayısı etkilenir. Araçla
rüzgarın hızı arasındaki açı, aracın hava ve yere göre sürtünme kuvvetini etkileyeceğinden
durgun ve rüzgarlı hava şartlarında yapılan iş farklılaşır. Yapılan işi hesaplaya bilmek için
gözlemde bağımsız değişkenlerin sınıflandırılması hızlı sonuca ulaşmada etkili olabilir.
Bağımlı değişkeni etkileyen bağımsız değişkenlerin ölçülmesinin zorlaştığı veya
imkansızlaştığında bağımsız değişkenler direkt ve dolaylı bağımsız değişkenler olarak
sınıflandırılabilir. Dolaylı değişkenlerin tanımlandığı durumlarda, bağımlı değişkeni etkileyen
değişkenlere “diret bağımsız değişken” denilebilir. Bağımsız değişkeni etkileyen değişkenlere
“dolaylı bağımsız değişken” denilebilir. Bağımsız değişkenlerde böyle bir sınıflandırmanın
yapılması, dolaylı değişkenin/değişkenlerin hem direkt bağımsız değişkenlerle olan ilişkisi
hem de bağımlı değişkenle ilişkileri analiz edilebilir.
Değişken bir akp’den oluşabileceği gibi birden çok akp veya aşamalardan oluşabilir.
Eğer bir değişken bir akp’den oluşuyorsa, o değişken bir aşamalıdır. Formüllerde değişkenler
en az akp’yle tanımlanır. Örneğin, potansiyel enerji formülünde her bir değişken bir akp ile
tanımlanır E = m . g . h. Eşitliğin solundaki E bağımlı değişken ve eşitliğin sağındaki her bir
simge bağımsız değişkendir. Buradaki “eşitlik” değişken olmayıp, değişkenler arasındaki
ilişkidir. Isı enerjisinde ise; sıcaklık değişimi iki akp ile (birinci akp ∆ ve ikinci akp T’dir),
diğer değişkenler bir akp ile tanımlanabilir Q = m . c . ∆ T. Bazı özel ölçme durumlarında
matematiksel simgelerde akp olarak alınabilir. Sözel ifadelerde ise kelime veya kelime
gurupları aşağıda verilen Newton’un birinci yasında olduğu gibi akp ile tanımlanabilir.
Bir cismin üzerine etki eden net kuvvet sıfırsa, cisim durgunsa durgun kalır,
hareketliyse düzgün doğrusal hareket eder.
Verilen bu örnekte altı çizili her bir kelime veya kelime grubu özel bir ölçme amacına göre bir
akp olarak seçilmiştir. Virgülle ayrılan akp’ler ise birer aşamayı oluşturur.
Değişkeni ve değişkenler arasındaki ilişkiyi belirlemek için deney, gözlem veya teorik
yöntemlerle veri toplamaya ölçme denir. Değişken, bilgi edinmek ve değerlendirme yapmak
için belirlenir. “Değişkenlerin ilişkisini” veya “değişkenler arasındaki ilişkiyi” hesaplamalarla
belirlemeye değerlendirme denir. Bilgi edinmek, yeni bilgilere veri oluşturmak veya anlamak
için değerlendirme yapılır.
Akp, aşama ve değişkenlere(bağımlı ve bağımsız değişken) “anlamlı parça”
denilecektir. Anlamlı parça/ların oluşturacağı bütüne ise veri denilecektir. Deney veya
gözlemlerle aynı anlamlı parça/lar için birden çok veri elde edilebilir. Olasılığa yapılan göreli
yaklaşımlar gibi anlamlı parça ve veriye de farklı gerçeklikleri belirleyebilmek için göreli
yaklaşımlar yapılabilir. Anlamlı parça ve veriye yapılacak göreli yaklaşım, birleştirme
yaklaşımıdır. Anlamlı parçalara yapılacak birleştirme yaklaşımında, anlamlı parçalar
birleştirilir. Birleştirilen anlamlı parçalar tek bir anlamlı parçaya dönüşmüş olur. Anlamlı bir
bütünün, belirli anlamlı parçalarının birleştirilebileceği gibi tüm anlamlı parçaları da
birleştirilebilir. Tüm anlamlı parçaları birleştirilen anlamlı bütün, tek bir anlamlı parçaya
dönüşür. Anlamlı parçaları birleştirme yaklaşımda, anlamlı parçaların bir parçayla
oluşturulabileceği kabulü yapılır. Veriye de anlamlı parçalara yapılan birleştirme yaklaşımı
yapılabilir. Belirli verilerin birleştirilebileceği gibi tüm verilerde birleştirilebilir. Bu
birleştirme yaklaşımı, verileri tek bir veri yapma kabulüne dayanır. Veri ve anlamlı parçalarda
yapılacak birleştirme yaklaşımları sonucunda veri tek bir olaya kadar indirilebilir. Birleştirme
işlemiyle oluşan yeni bütünün durum sayısı birleştirilen bütünlerin durum sayılarının toplamı
kadar olur.
Veri toplamak için yapılan “deneysel ölçme” ve değerlendirmeye gözlem2 denir.
Veri/ürün elde etmek için şartların oluşturulmasına deney denir. Kısaca şartların
oluşturulmasına deney denir. Kesinleştirmeye veya kesinleştirilmişe teorik denir3.
Kesinleştirme tüm olasılık durumlarının kullanılmasıyla yapılır. Veri; deney, gözlem veya
teorik elde edilebilir. Teorik yöntemlerle elde edilen veriye “teorik veri”, oluşturulan
şartlarla(deneyle) yapılan ölçme ve değerlendirme sonucu elde edilen veriye “deneysel veri”,
gözlemle elde edilen veriye de “deneysel veri” denir. Teorik ve deneysel veri, aynı değişken
için iki farklı veri gurubu olabilir. Teorik veri, deneysel verinin diğer olasılıklarını da içeren
örneklem uzaylarıyla oluşturulabilir. Deneysel verinin diğer olasılıklarıyla oluşturulabilecek
örneklem uzayları, gerçekleşmemiş olasılıklarla üretilir. Bazı ölçme ve değerlendirme
amaçlarında gerçekleşmiş olasılıklarla çalışmak, gerçekleşmemiş olasılıklarla çalışmaya göre
değişken analizlerinde daha gerçek sonuçlar verebilir. Teorik ve deneysel veri gruplarının
karşılaştırılmalarında teorik veriye “olması gereken veri”, deneysel veriye de “olan veri”
denilecektir. İki farklı veri grubunun bulunduğu durumlarda deneysel verinin anlamlı
parçaları ve bu parçaların olasılıklarının belirlenebilmesi için teorik veriye ihtiyaç duyulabilir.
Verinin sayısal bir değeri varsa sayısal değerleriyle bilgi elde edilebileceği gibi, veriye
skorlar verilip sayısallaştırılarak da bilgi elde edilebilir. Verinin sayısallaştırması aynı
zamanda olasılıklarıyla tanımlanması demektir. Bir gerçeğin farklı görünümlerini elde
edebilmek için verinin sayısal değeri ve olasılık skorları ayrı ayrı kullanılabileceği gibi
birlikte de kullanılabilir. Grafik gösterimlerinde sayısal ve olasılık değerleri sıklıkla birlikte
kullanılır. Örneğin herhangi bir anketin sonuçlarının gösterildiği grafiklerde hem sayısal
değerler hem de olasılık değerleri birlikte kullanılır. Olasılık değerleri renk veya oranlarıyla
gösterilir. Bir bütünün parçaları aynı zamanda olasılıklarıdır. Anket değerlerinin gösterildiği
bütün grafiklerinde(daire v.b.) açı, oransal gösterim veya renk kodları aslında olasılık
durumlarıdır. Açıda olasılık durumu, 360 eşit parça üzerinden gösterildiğinde her bir derece
Gözlem hakkında daha fazla bilgi edinmek için Griffiths’ın elektromanyetik teori kitabının(1996), ss: 348-349
sayfalarına bakılabilir.
3
Doğruluğu göreli olabilir.
2
bir olasılık durumudur. Artma veya azalma için renk kodu kullanıldığında her bir renk bir
olasılık durumudur.
Teorik ve deneysel veri anlamlı parçalarına ayrılır. Akp, aşama ve değişkenlerini
ölçümün amacı belirler. Örneğin; potansiyel enerji formülünde(E = m.g.h) ölçmenin amacına
göre sadece değişkenler akp olarak tanımlanabileceği gibi hem değişkenler hem de
matematiksel ilişkiler(eşitlik ve çarpma) akp olarak tanımlanabilir. Potansiyel enerji
örneğinde olduğu gibi sadece değişkenlerin akp olarak tanımlandığı ölçmelerde her bir
değişken bir aşamalı olur. Matematiksel ilişkilerinde akp olarak tanımlandığı ölçmelerde
amaca göre farklı yaklaşımlar yapılabilir. İlk yaklaşımda; formülün tümü bir aşama olarak
tanımlanabilir. Bu durumda formülün değişkenleri, ölçmenin amacıyla belirlenmiş farklı bir
değişkenin aşaması olur. İkinci yaklaşımda; matematiksel ilişkilerde bir değişken olarak
tanımlanabilir. Üçüncü yaklaşımda; her bir matematiksel ilişki bir değişken olarak
tanımlanabilir. Dördüncü yaklaşımda; matematiksel ilişkiler ilgili olduğu değişkenin bir
akp’si olarak tanımlanabilir. Olasılık ve akp için yapılan göreli yaklaşımlar, aşama ve
değişkenler için de yapılabilir ve yapılacak yaklaşımları ölçmenin amacı belirler.
İhtimaller olay ve olasılıklara yapılacak göreli yaklaşımlarla belirlenebildiğine göre,
akp ve akp’lerin olasılıklarına yapılacak yaklaşımlarla yeni gerçeklikleri belirleyerek bilgi
edinmek, yeni bilgiler için veri oluşturmak veya anlamak için olasılık dağılımlarının
bölümüyle yapılan hesaplamalara ihtimal hesaplaması denir. Akp ve olasılıklara yapılacak
yaklaşımlar ihtimal ve hesaplamalarını farklılaştırılır. Akp’lere iki yaklaşım yapılabilir.
Bunlar; akp’lerin temsil edeceği parçalar ve akp’nin temsil edileceği bütün. İlk yaklaşımın
ihtimallerindeki değişim için sayfa A1’deki ilk örneğe bakılabilir. İkici yaklaşımda, olan veya
olabilecek akp’lerin, olması geren akp’lere bölümüyle ihtimal hesaplanır. Bu aynı zamanda
akp’lerin oluşturduğu bütünü bir olay seçip, olasılığını akp sayısı yapma yaklaşımıdır ve
seçilen olasılıkların gelme ihtimalinin toplamını veya seçilmeyen olasılıkların gelmeme
ihtimalini verir. Örneğin iki olasılıklı beş akp’lik bu bütünün 3 akp’si olduğunda, ihtimali 3/5
dir. Bu iki olasılıklı beş akp’lik bir bütünü(aşama veya değişken) bir olay seçip, olasılığımızı
beş yapma yaklaşımıdır. Olasılıklar 1, 2, 3, 4 ve 5 ise örneğin 4 ve 5’in gelmeme ihtimali 3/5
dir. Bu, seçilen olasılıkların(1, 2 ve 3) gelme ihtimallerinin(1/5+1/5+1/5=3/5) toplamıdır ve
bu olan akp’lerin olması gereken akp’lere bölümüne eşittir.