Solutions of Vlasov Equation with Test Particle Method Vlasov

Solutions of Vlasov Equation
with Test Particle Method
Vlasov Denkleminin Test
Parçacık Yöntemiyle Çözümü
Summer School VI on Nuclear Collective
Dynamics
24-30 Haziran 2012
Serbülent Yıldırım
Namık Kemal Üniversitesi Fizik Bölümü, Tekirdağ
İÇERİK
• Vlasov Denklemi-Boltzman Denklemi
• Nükleer Fizikte Vlasov Denklemi
• Vlasov Denkleminin Çözümü
– Vlasov Denkleminin PIC Çözümü
• Vlasov Denkleminin Nükleer Dinamiğe
Uygulanması
• Psüdo-Parçacıklardan Test-Parçacıklara
• Relativistik Vlasov Denklemi
– Dev Rezonanslar (Giant Resonances)
– Ağır İyon Çarpışmaları
2
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
Vlasov Denklemi
•
Anatoly Alexandrovich Vlasov (1908-1975)
•
Vlasov'un 1938 yılında önerdiği bu diferansiyel denklemin amacı yüklü
parçacıklarla uzun mesafeli (Coulomb etkileşmesi gibi) etkileşmelerin yer
aldığı plazma ortamında dağınım fonksiyonunun zaman içindeki evrimini
tarif etmektir. Vlasov'un yeni bir denklem önermesinin nedeni o zamana
kadar kullanılan Boltzman Denkleminin plazma fiziğine uygulanmasındaki
zorluklardan dolayıdır.
A. A. Vlasov (1938). "On Vibration Properties of Electron Gas" (in Russian). J. Exp. Theor. Phys. 8
(3): 291.
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
3
Boltzman Denklemi
Ludwig Boltzmann (1872)
Boltzman Denklemi termodinamik dengeden uzak, çok parçacıklı bir sistemde tek parçacık
dağınım fonkiyonu f(r,p,t)'nin zaman içerisindek istatiksel evrimleşmesini verir.
4
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
Boltzman Denklemi
Tek parçacık dağınım fonkiyonu f(r,p,t0)
px
dx
dpx
Fi
Fk
x
Fj
5
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
Boltzman Denklemi
Ludwig Boltzmann (1872)
Tek parçacık dağınım fonkiyonu f(r,p,t0)
f(r,p,t)
px
dx
dpx
x
6
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
Boltzman Denklemi
(geçen süre zarfında faz uzay elemanı sabittir)
7
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
Boltzman Denklemi
8
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
Boltzman Denklemi
9
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
Kuantum mekaniksel Tartışma
[Ref ]: G.F. Bertsch and S. Das Gupca. A guide to microscopic models for incermediate heavy ion collisions, PHYSICS
REPORTS (Review Section of Physics Lellers) 160. NO.4 (1988) 189-233. North Holland
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
10
Nükleer Fizikte Vlasov Denklemi
11
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Çözümü
• Parçacık yöntemleri
– PIC (particle in cell)
– Faz uzayı grid yöntemleri
•
•
•
•
sonlu farklar yöntemi (finite difference methods)
sonlu elemanlar yöntemi (finite element method)
karekteristik yöntem
korunumlu akı denge yöntemi (conservative flux balance methods)
• Spektral yöntemler
– r-p Fourier
– r Fourier-p Hermit
– R Fourier-p Chebysev
• Hibrit yöntemler
– PIC+Faz uzay
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29.06.2012
12
Vlasov Denkleminin PIC Çözümü
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
13
Vlasov Denkleminin PIC Çözümü
Toplam Homiltonyenin hareket sabiti olduğu korunumlu kuvvetli sistemlerde faz uzayı dağılımı
açıkca zamanın fonksiyonu olmadığından
Poisson parantezleri bize Hamiltonyenin fonksiyonu olan tüm faz uzayı dağınım fonksiyonlarının
f=f(h) çarpışmasız Boltzman denkleminin zamandan bağımsız (stationary) çözümünü vereceğini
garanti eder:
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
14
Nükleer Dinamik
Vlasov denkleminin nükleer dinamik problemine ilk uygulamas¬1982 yılındaWong
tarafından yapımıştır.
TDHF yaklaşıklığının tamamen klasik psüdo-parçacık similasyonuna yaklaşık olarak
denk olduğunu göstermiştir. Bu similasyonda bir dizi püsüdo-parçacık faz uzayının
konum ve momentum koordinat noktalarını kesikleştirmek için verilmiştir.
Sistemin dinamiği psüdo-parçacıkların çarpışma yapmadan öz-tutarlı (self consistent)
alan içindeki yörüngeleri (izleri) üzerinden belirlenmiştir, bu izler öz-tutarlı alanda
hareket eden gerçek parçacıkların izlerine denktir.
Ref: Cheuk-Yin Wong, PRC 25, (1982) 1460-1475.
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
15
Psüdo Parçacıklar
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
16
Konum Uzayı
Taban durum dağılımı
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
17
Momentum Uzayı
1
Fermi seviyesi
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
18
Böylesine bir seçimle faz uzayında tanımlı tüm sürekli fonksiyonları Dirac delta
fonksiyonlarının özelliklerini kullanarak
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
19
Verilen bir faz uzayı başlangıç dağılımı f(r₀,p₀,t₀) daha sonraki bir t=t₀+δt anında f(r,p,t)
şeklinde güncellenmektedir. Başlangıç dağılımları bir kez seçildikten sonra (initialization)
hareket denklemleri yardımıyla test parçacıkları konum uzayında
ve momentum uzayında
ötelenir. Bu öteleme sırasında i. psüdo-parçacık üzerine etki eden Fi net kuvveti ri noktasındaki
U(ri,t) ortalama alan potansiyelinden, bu potansiyel ise
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
20
• Her ne kadar hareket denklemleri klasik olsa da dinamikte kendini
gösteren pek çok kuantum mekaniksel etki bulunmaktadır.
• Bilindik başlangıç koşulları ve klasik hareket denklemleri bize dinamiği
tamamen verir.
• Önemli kuantum mekaniksel etkilerin pek çoğu başlangıç koşullarıyla
verilebilir.
• TDHF yaklaşıklığında Pauli dışarlama ilkesinden dolayı tek-parçacık
enerji seviyeleri faz uzayında hemen-hemen düzgün bir faz uzayı
dağınımı oluşumuna neden olur.
• Klasik psüdo-parçacık simülasyonunda benzer bir faz uzayı dağılımına
sahip psüdo-parçacık topluluğu denge durumuna doğru evrilecektir.
• Pauli ilkesine bağlılık bizi denge durumunu Hartree-Fock
hesaplamalarından elde edilmiş denge durumlarına yakın
durumlardan seçmeyi gerektirir. Bir defa böylesine bir denge durumu
dağınımı seçildiğinde faz uzayı dağınımının sıkıştırılamazlığı dinamiğin
sonraki anlarında Pauli ilkesininin korunacağını garanti edecektir.
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
21
1
NA
2
NA
NB
NB
3
.
.
.
NA
29.06.2012
NB
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
2
2
Bu paralel koşturmaların birbirleriyle haberleşmesi
için her bir çekirdekteki nükleonları test-parçacık diye
adlandırılıp tüm paralel reaksiyonlar toplanıp tek bir
reaksiyon koşturulur.
Dolayısıyla toplamda (NA+NB)N kadar test parçacık
olur.
Fiziksel nicelikler koşturma sonucu test parçacık sayısı
üzerinden ortalama alınarak (örneğin etki kesiti σnn/ N
) hesaplanır.
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
2
3
Relativistik Ortalama Alan Teorileri
Serbest Dirac parçacığı
serbest mezon
alanları

Parametreler:
mezon kütleleri:
mezon çiftlenim:
Foton alanı
Etkileşim terimleri
mσ, mω, mρ
gσ, gω, gρ
﹡B. D. Serot & J. D. Walecka, Adv. Nucl. Phys. 16 (1986) 1;
﹡P-G. Reinhard, Rep. Prog. Phys. 52 (1989) 439;
﹡P. Ring, Prog. Nucl. Phys. 37 (1996) 193.
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
26
Relativistik Ortalama Alan Teorileri

L
L

 0.
  qk  qk
Nükleonlar için Dirac denklemi
  i 
 V   m  S  i  0.
Mezonlar için Klein-Gordon denklemi
 
 
 







 m     g s
2

 m    g  j

2 
 m     g  j
2

   A  ej
29.06.2012
(em)

s x 
A
   x   x 
i
i
j  x  
   x 


j  x  




x

 i  i x
A
i
i 1
i x
A
i 1
A
1
 x    i  x  1   3    i  x 
2
i 1
(em)

j
i 1
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
27
Relativistik Vlasov Denklemi
C. Fuchs, H.H. Wolter, Nucl. Phys. A 589 (1995) 732-756.
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
28
Relativistik Vlasov Denklemi
C. Fuchs, H.H. Wolter, Nucl. Phys. A 589 (1995) 732-756.
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
29
Relativistik Vlasov Denklemi
C. Fuchs, H.H. Wolter, Nucl. Phys. A 589 (1995) 732-756.
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
30
Relativistik Vlasov Denklemi
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
31
Taban Durum
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık
yöntemiyle Çözümü
32
Taban Durum Dinamiği
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık
yöntemiyle Çözümü
33
Taban Durum Dinamiği
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
34
Dev Rezonanslar-IVGDR
p
n
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
35
Dev Rezonanslar-IVGDR
S.Y. Theodoros Gaitanos, Massimo Di Toro, Vincenzo Greco, PHYSICAL REVIEW C 72, 064317 (2005)
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
36
Ağır İyon Çarpışmaları
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
37
Ağır İyon Çarpışmaları
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
38
Ağır İyon Çarpışmaları
29.06.2012
Vlasov Denkleminin Test Parçacık yöntemiyle Çözümü
39