25.05.2015 Elektrik Devre Temelleri 14 TEKİLLİK FONKSİYONLARI Doç. Dr. M. Kemal GÜLLÜ Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Kocaeli Üniversitesi 7.4. Tekillik Fonksiyonları • Birinci dereceden devrelere bağlanan ani bir kaynak sonucunda devrenin analizini yapmak için kullanılan fonksiyonlardır. • Anahtarlama fonksiyonu olarak da bilinirler. • En çok kullanılanlar: 1) Birim Basamak Fonksiyonu (Unit Step Function) 2) Birim Dürtü Fonksiyonu (Unit Impulse Function) 3) Birim Rampa Fonksiyonu (Unit Ramp Function) 1 25.05.2015 1- Birim Basamak Fonksiyonu • u(t) ile gösterilir. t’nin negatif değerlerinde “0” pozitif değerlerinde “1” değerini alır • t=0 da tanımsızdır (süreksizlik) 1- Birim Basamak Fonksiyonu • Zamanda t0 kadarlık öteleme: 0, t t0 u t t0 1, t t0 • t0 < 0 ise zamanda ilerleme oluşur: 2 25.05.2015 1- Birim Basamak Fonksiyonu • Basamak fonksiyonu akım ya da gerilimdeki ani değişimi ifade etmek için kullanılır. Örneğin; • Devrede kullanımı: veya 1- Birim Basamak Fonksiyonu • Akım kaynağı: veya 3 25.05.2015 2- Birim Dürtü Fonksiyonu t0 0 t tanımsız t 0 0 t 0 • Birim dürtü yanıtı, çok kısa süreli ve birim alana sahip bir darbe olarak ifade edilebilir. 2- Birim Dürtü Fonksiyonu • Dürtü fonksiyonları birim değerden farklı değerlere de sahip olabilirler. • Dürtü fonksiyonu aşağıdaki fonksiyonları şu şekilde etkiler: • Sonuç olarak; bir fonksiyon birim dürtü fonksiyonu ile tümleştirildiğinde yalnızca dürtünün bulunduğu noktada fonksiyon bir değer alır. 4 25.05.2015 2- Birim Rampa Fonksiyonu • Birim basamak fonksiyonu u(t)’ nin integralidir. 0, t 0 r t t, t 0 Örnek 7.6 • dv(t)/dt = ? 5 25.05.2015 Örnek 7.7 • v(t) = ? Örnek 7.8 • Aşağıdaki integralleri hesaplayın. 6 25.05.2015 7.5. RC Devresinin Basamak Yanıtı • RC devreye DC kaynak aniden uygulandığında, uygulanan gerilim ya da akım kaynağı basamak fonksiyonu ile modellenebilir. • Devrenin yanıtı da basamak yanıtı olarak bilinir. • Kapasitör üzerindeki başlangıç gerilimi: • Devreye KAK uygulandığında: • t>0 için: 7.5. RC Devresinin Basamak Yanıtı • Denklem düzenlendiğinde: • Her iki tarafın integrali alındığında: 7 25.05.2015 7.5. RC Devresinin Basamak Yanıtı • Tam Yanıt: 7.5. RC Devresinin Basamak Yanıtı • Eğer kapasitörün başlangıç değeri sıfır ise (şarj edilmemiş): • Kapasitörden geçen akım: 8 25.05.2015 7.5. RC Devresinin Basamak Yanıtı (Depolanan Enerji) (Bağımsız Kaynak) Devrenin Toplam Yanıtı • 2. gösterim: Toplam Yanıt = Geçici Yanıt + Kalıcı Durum Yanıtı (Geçici kısım) (Kalıcı kısım) 9 25.05.2015 Örnek 7.10 • Anahtar uzun süreliğine A konumunda iken t=0’da B konumuna getiriliyor. v(t) ifadesini bulun ve t=1 s ile t=4 s için değerini hesaplayın. • t<0: • t>0: Örnek 7.11 • Anahtar uzun süreliğine kapalı iken t=0’da açılıyor. i(t), v(t) ? • t<0: • t>0: 10 25.05.2015 7.6. RL Devresinin Basamak Yanıtı Vs iR v it t di R i 0 Vs 0 L dt i R Vs R Rt ln Vs L i 0 R i t Vs iR L di dt it R V ln i s t R i 0 L i t di R dt Vs L i R Vs L di i R R dt Vs V Rt i 0 s e L R R V V R ln i t s ln i 0 s t R R L i t Vs V Rt i 0 s e L R R 7.6. RL Devresinin Basamak Yanıtı 11 25.05.2015 7.6. RL Devresinin Basamak Yanıtı • Bobindeki gerilimin ifadesi: Örnek 7.12 • Anahtar uzun süreliğine kapalı iken t=0’da açılıyor. i(t)=? 12 25.05.2015 Örnek 7.13 • Anahtar uzun süreliğine kapalı iken t=0’da açılıyor. i(t)=? Örnek 7.13 13 25.05.2015 Örnek 7.14 • v(0) = 3 V, Rf = 80 kΩ, R1 = 20 kΩ, C = 5 uF, v0(t)=? 14