2. temel istatistik kavramları

2. TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI
2.1. İstatistik Kavramı
İstatistik bir olaya (evren, ana kütle,toplu, kolektif ve yığın şeklindeki) ait verilerin (anket,
deney ve gözlem vb.) toplanarak sayısal olarak ifade edilmesini ve bu verilerin çeşitli
matematiksel yöntemler ile analiz edilmesini, değerlendirilmesini ve yorumlanmasını içeren
bilim dalıdır.
2.2. Değişken
Elde edilen verileri değişkenler (x,y,z, v.b.) ile ifade edilebiliriz. Değişken tanımlı olduğu
aralıkta her değeri alıyorsa sürekli (örnek: Boy uzunluğu, ağırlık, hız) ve tanımlı olduğu
aralıkta bazı değerleri alıyorsa kesikli değişken ( örnek : Bir evde yaşayan kişilerin sayısı, bir
limana bir günde giren gemi sayısı v.b.) olarak adlandırılır. Bu nedenle bütün
verilerin(değişkenler) oluşturdukları dağılımlar da sürekli (normal, üstel, Gama dağılımları
gibi) ve kesikli (örnek: Uniform (düzgün), Bernoulli, Binom, Poisson, Paskal (negatifbinom),
Geometrik dağılımlar gibi) olmak üzere iki grupta toplanabilir.
Aynı zamanda aldıkları değer bakımından sayısal değerler alan değişkenlere nicel (örnek :
boy uzunluğu, vücut ağırlığı v.b.), sayısal değer alamayan değişkenlere ise nitel değişkenler
(örnek : cinsiyet, medeni hal v.b) denir.
2.3.İstatistik Türleri
İstatistik tanımlayıcı ve çıkarımsal istatistik olmak üzere iki grupta toplanabilir.
Tanımlayıcı İstatistik: Verilere ait ortalama, mod, medyan, standart sapma, çarpıklık ve
basıklık katsayısı gibi merkezi eğilim değerlerinden yararlanarak verilerin tablolar, grafikler
ile gösterilmesi ve özetlenmesidir.
Çıkarımsal İstatistik: Ana kütleden tesadüfen (rasgele) seçilen örnek grubu üzerinde yapılan
gözlem ve ölçmelerin değerlendirilmesi ile ana kütle hakkında bilgi edinilmesi ve tahminde
bulunulmasıdır.
2.4.İstatistiğin işlem adımları (Veri Analizinin Algoritması)
a.Verilerin toplanması (Yazılı Kaynaklardan, Gözlemsel, Deneysel , Anket ve bunun gibi
Yöntemler ile)
b.Toplanan verilerin işlenip düzenlenmesi (Toplanan verilerin sayısal olarak ifade edilip
kodlanması, verilerin sıralanması, gruplandırılması ve frekans tablolarının oluşturulması )
c.Düzenlenen verilerin tablo veya grafikler şeklinde gösterilmesi (Çizgi grafiği, çubuk
grafiği, pasta grafiği, histogram v.b.)
d.İstatistiki analiz, tahmin ve karar aşaması (analiz aşamasında verilere ait ortalama, mod,
medyan gibi merkezi eğilim değerleri ve standart sapma, basıklık, çarpıklık gibi merkezi
dağılım değerleri belirlenir. Aynı zamanda uygun istatistiksel analiz yöntemi ile analiz
edilerek, elde edilen sonuçlar yorumlanır.)
3. Merkezi Eğilim Ölçüleri
3.1.Ortalamalar
3.1.1. Aritmetik Ortalama
x 1 , x 2 , . . .x, n şeklindeki n tane verinin aritmetik ortalaması
x=
∑x
ile tanımlanır.
n
Frekanslı Verilerin Ortalaması
x=
∑f x
f = frekans (çokluk, sıklık)= aynı sayıdan birden fazla var
n
n=∑f
Kodlama Yöntemi
Sayılar büyük olduğunda bu yöntem tercih edilir.
A = Keyfi bir sayı (Genellikle frekansı en büyük olan x değerinin alınması işlemleri
i = 1,2,3,….,n
kolaylaştırır.)
d i = x i – A,
x =A+
∑f d
n
ÖR:
X
d = x – A = x – 50
53
53-50=3
48
48-50=-2
49
49-50=-1
52
52-50=2
52
52-50=2
+
∑f d = 4
Kodlama yöntemi ile
x =A+
x=
∑ f d = 50 +
n
∑x = 2
n
5
4
= 50,8
5
5 4
= 5 ,80
Frekanslı Veriler için
∑f d
x =A+
n
ÖR:
X
F
d = x – A = x – 55
fd
60
2
5
10
70
1
15
15
55
2
0
0
75
2
20
40
50
1
-5
-5
+
n=8
∑f d = 6 0
-
Ortalamanın Özellikleri
∑ (x − x) = 0
2- ∑ ( x − a ) = m
1-
i
2
i
⇔i an= x
3- f 1 tane sayının ortalaması m 1
f 2 tane sayının ortalaması m 2
.
f k tane sayının ortalaması m k ise
x=
∑f m = f m + f m .
f + f +.
∑f
1
1
2
1
2
2
+
. f .k m.k
+. f k.
ÖR: 6, 10, 15 ve 10, 20 sayıları verilsin.
f 1 = 3,
x1 =
6 + 1 +0 1 5
=7
3
f 2 = 2,
x2 =
1 0+ 2 0
=1
2
x=
3.7 + 2.1 5
= 1 ,20
5
Ortalamayı hesaplayınız.
x =A+
x=
∑ f d = 55 +
n
∑f x = 6
n
,25
60
8
4- hesabı kolaydır.
5- Aşırı uç değerlerden etkilenir.(çok büyük ve çok küçük değerler)
3.1.2. Ağırlıklı (Tartılı) Ortalama
x 1 , x 2 , . . .x, k sayılarının ağırlıkları w 1 , w 2 , . . .w, k ise
∑w x
∑w
ile verilir.
Dersin adı
Not = x i
Kredi = w i
Kredi x not = w i x i
Analiz
60
5
300
İstatistik
70
4
280
Fizik
50
3
150
x=
ÖR:
∑w
D.N.O.= x =
=12
∑w x
=7 3
∑ w x 7 3 0= 6 0,8 2
=
∑w 1 2
Gruplandırılmış (Sınıflandırılmış) Verilerin Ortalaması
Veri sayısı fazla ise veriler sınıflandırılarak işlem yapılır.
138
164
150
132
144
125
149
157
146
158
140
147
136
148
152
144
168
126
138
176
163
119
154
165
146
173
142
147
135
153
140
135
161
145
135
142
150
156
128
128
Ortalama = x =
∑f x
n
=
5872
= 1 4 ,86 gerçek ortalama
40
Limit
gruplar
Frekanslar
118-126
3
Alt limit
Üst limit
127-135
5
118
126
.
.
127
135
.
.
.
.
.
.
Alt sınır
Üst sınır
Alt limit – 0,5
Üst limit + 0,5
117,5
126,5
126,5
135,5
.
.
.
.
Sınıf ortası =
a ll ti m
i t+ ü sl it m
i t
2
C = sınıf genişliği (aralığı, uzunluğu)
= iki alt limit veya üst limit farkıdır.
= bir sınıfın üst sınırı – alt sınırıdır
N=
∑f
ui =
di
c
ise
 ∑f u 
C
x = A+
 n 


3.1.3. Geometrik Ortalama
x 1 , x 2 , . . .x, n sayılarının geometrik ortalaması
G = n x1 , x2 , . . x.n , ile tanımlanır.
Sınıflandırılmış veriler için
G = n x1 1 x2 2 . .xk.
f
ÖR:
f
fk
k : sınıf sayısı
3 6 9 12 15 sayıları için
xi : sınıf ortası
Sınırlar
G = 5 3.6.9.1 .12 =57,8
1
Geometrik Ortalamanın Özellikleri
•
Sayılardan biri 0 ise G = 0 dır.
•
Geometrik ortalama değişim oranının hesabında kullanılır.
ÖR:
Yıl
Nüfus
Geometrik nüfus
Ortalama
1947
3 000
3 000
3 000
1948
24 000
3 000 x 8 = 24 000
3 000 x 5 = 15 000
1949
48 000
24 000 x 2 = 48 000
15 000 x 5 = 75 000
1947–1949 yılları arasındaki nüfusun ortalama değişme miktarını bulunuz.
G =
8.2 = 4
x1 =
2 4 0 0 0
=8
3 0 0 0
x2 =
4 8 0 0 0
=2
2 4 0 0 0
x=
8+2
=5
2
NOT: Geometrik ortalama kullanılarak hesaplanan değerler gerçek değerlerle uyuşmaktadır.
3.1.4. Harmonik Ortalama:
H=
n
1
∑x
Sınırlandırılmış veriler için
H=
n
f
∑x
ÖR: 10, 1, 100, 20, 40
H=
1
+1+
1 0 1
5
1
1
1
+
+
0 2 0 04
= 4,2
0
1
ÖR: 10 km yi 30 km/sa
ortalama hızı nedir?
10 km yi
60 km/sa
x 1 = 30, x 2 = 60
H=
2
=4 0
1
1
+
3 0 6 0
Harmonik Ortalamanın Özellikleri
•
Sayılardan biri 0 ise harmonik ortalama hesaplanmaz.
•
Ortalama hız, işçi, havuz vb. problemlerde sıklıkla kullanılır.
H ≤G≤ x
NOT:
a ve b sayıları için: H =
2ab
≤
a+b
2a b
a+b
a.b ≤
a=b ⇒
x=
G = a.b
a+b
2
2a.a
≤
a+a
a.a ≤
a+a
2
⇒
3.1.5.Karesel (Kuadratik) Ortalama
x 1 , x 2 , . . .x, n sayılarının kuadratik ortalaması
K.O. =
ÖR:
∑x
2
n
5, 8, 10, 12, 15 için K.O.=?
K.O.=
5 5 8
= 1 0,5 6
5
3.2. Medyan (Ortanca - Orta Değer)
Sıralanmış verileri eşit sayıda iki gruba ayıran değere medyan denir.
a- Veri sayısı tek ise:
a+b
2
a≤a≤a
Medyan =Sıralanmış verilerde (n+1)/2. değer medyan değeridir. Medyan = x (n+1) / 2
ÖR: x i = 12, 5, 20, 22, 17, 25, 40
Sıralanmış veriler:
n=7
5, 12, 17, 20, 22, 25, 40
Medyan = x (n+1) / 2 = x (7+1) / 2 = x 4 = 20
4. değer
b- Veri sayısı çift ise:
Medyan = n/2. değer ile
xn / 2 + xn / 2+1
n+2
. değerlerin ortalaması =
2
2
ÖR: x i = 12, 14, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 19, 20
n = 10
Medyan = [x n / 2 + x n / 2 + 1 ] / 2 = [x 5 + x 6 ] / 2 = (16 + 17) / 2 = 16,5
Sınıflandırılmış Verilerin Medyanı
Medyan sınıfı: n / 2. değerin içinde bulunduğu sınıftır.
M
 n / 2 − fa
= eL a +d 
 fm

.c

L a : Medyan sınıfının en alt sınırıdır
f a : Medyan sınıfından önceki sınıfların frekansları toplamıdır.
f m : Medyan sınıfının frekansı
c : Sınıf genişliği
Birikimli (komülatif ) frekanslar:
Bir sınıftan önceki sınıfların frekansları toplamıdır.
Medyan Özellikleri
1- Hesap yapmadan bulunur.
2- Sınırlandırma gerektirmesi bir kusur
3- Aşırı uç değerlerden etkilenmez
4- Sayı olması gerekmez
5-
∑ x −m
i
e d= my .a
3.3. Mod ( Tepe Değer)
Frekansı en büyük olan (en çok tekrarlanan) değerdir.
ÖR: 2 2 5 10 10 10 11 15 18
mod = 10
ÖR: 150 120 70 80 100
mod = yok
ÖR: 40 50 50 60 50 80 80 80 100
2 modlu: bimodal
Sınıflandırılmış Veriler İçin Mod
Mod sınıfı: Frekansı en büyük olan sınıftır.
M
 ∆1
= oL a +d 
 ∆1 + ∆ 2

.c

L a : Mod sınıfının alt sınırıdır.
∆1 : Mod sınıfının frekansı - bir önceki sınıfın frekansı
∆ 2 : Mod sınıfının frekans ı- bir sonraki sınıfın frekansı
c : Sınıf genişliği
Mod Özellikleri
1- Hesabı kolaydır
2- Verilerin sınıflara ayrılışından çok etkilenir
3- Sayı olmayan değer içinde geçerlidir.(Örn. İnsanların çoğu kalp hastalığından
ölüyorsa, mod değeri kalp hastalığıdır.)
4. Merkezi Dağılım Ölçüleri
4.1. Ortalama (Mutlak) Sapma
Verilerin ortalamadan uzaklaşma miktarının ölçülerinden biridir.
x 1 , x 2 , . . .x, n sayılarının ortalama sapması
1 n
1
O.S. = ∑ x i − x = ∑ x − x
n i =1
n
ile tanımlanır.
Sınıflandırılmış Veriler İçin:
1
∑f x − x
n
O.S. =
ÖR: 5, 8 12, 16, 17,
x=
∑x = 1
O.S.=
n
8
21, 29, 36
4 4
=1
1
( 5 − 1 + 8 − 18 + 1 −81 +21 −81 +6. + 83. − .1 ) 6= 8
8
4.2. Standart Sapma
Verilerin ortalamadan olan uzaklaşma miktarlarının ölçüsüdür.
x 1 , x 2 , . . .x, n sayılarının standart sapması
σ=s=
σ n −1 =
σn =
∑ x−x
2
ile tanımlanır.
n
n
σn
n −1
∑x
2
n
∑x 

−
 n 


2
Sınıflandırılmış veriler için:
σ=
σn =
σn =
∑f
x2  ∑ f
−
 n
n

d2  ∑ f
−
 n
n

x



2
∑f
d



2
∑f
u



2
u2  ∑ f
−
 n
n

Standart Sapmanın Özellikleri
1- n 1 ve n 2 elemanlı iki sayı grubu için standart sapmalar s 1 ve s 2 ise bu iki grubun ortak
(bileşik) standart sapması
n 1s 1 + n 2 s 2
n1 + n 2
2
σn =
2
(n 1 − 1)s1 + (n 2 − 1)s 2
n1 + n 2 − 2
2
σ n −1 =
2
2- Normal dağılım için
%68,27 si
x−σ
ve
x + σ arasında
x − 2σ
%95,45 i
ve x + 2σ
x − 3σ
%99,73 üi
arasında
ve x + 3σ
arasında
4.3. Varyans
Standart sapmanın karesine varyans denir.
2
V(x) = σ
4.4. Momentler
4.4.1.Sıfıra Göre Moment
x 1 , x 2 , . . .x, n sayılarının sıfıra göre momentleri
mr =
∑x
r
ile tanımlanır.
n
r = 1 ……
∑x = m
r = 2 ……
∑x
n
1
=x
2
r = 1,2,3,4
n
4.4.2. Ortalamaya göre moment
∑ (x − x )
=
r
mr
r=1
i
n
m1 =
∑ (x − x ) = 0
n
(x − x )
=∑
2
r=2
m2
n
=σ2 = v
ya a
∑ ( x − A)
=
r
Herhangi bir A sayısı için varyans:
mr
n
dir.
Gruplandırılmış veriler için
mr
∑f x
=
Mr
∑f
=
r
r
Mr
,
n
n
∑ f (x − x )
=
r
d
=c
r
∑f
n
,
x : sınıf ortası
r
u
n
4.4.3. Birimsiz Moment
ar =
Mr
σr
a1 = 0
a2 =
M2
=1
σ2
a 3 ⟩ 0 → sağa çarpık
M3
M3
a3 = σ3 =
3/ 2
M2
→ çarpıklık katsayısı
a 3 ⟨ 0 → sola çarpık
a 3 = 0 → simetrik
Sola Çarpık Dağılım
M o dM e dx
Sağa Çarpık Dağılım
a 4 ⟩ 3 → sivri eğri
M4
M4
a4 = σ 4 =
2
M2
→ basıklık katsayısı
a 4 ⟨ 3 → basık eğri
a4 = 3 → normal eğri
5.Merkezi Dağılım Ölçüleri
5.1
Çeyreklikler (Kartiller)
Sıralanmış veri dizisini 4 eşit parçaya ayıran değerlere çeyreklikler (dörtte birlikler) denir.
n çift ise
Q1 →
n tek ise
n
.d ğ e e → ğ
4
x n +1
4
Q2 →
2n
. d ğ e e→ ğ x 2 ( n +1)
4
4
Q3 →
3n
. d ğ e e→ ğ x 3( n +1)
4
4
ÖR: 50, 75, 90,
110, 125, 140, 142
Q1
n +1
4
Q2
2(n + 1)
4
→
x4
⇒
Q2 = x 4 = 1
Q3
3(n + 1)
4
→
x6
⇒
Q3 = x 6 = 1
→
ÖR: 50, 60, 70, 75,
⇒
x2
80,
85,
Q1 = x 2 = 7
90, 100
n çift ise,
Q2 = M
Q1 =
=
x n / 2 + x n / 2+1 7 + 8 5 0
= 7 ,5
e
d =
2
2
x n / 2 + x n / 2+1 6 + 70 0
=
=6
2
2
n=7
n=8
Q3 =
x n / 2 + x n / 2+1 8 + 95 0
=
= 8 ,5
2
2
Sınıflandırılmış Veriler için:

kn
− f a

L
.c
QK = LK +  1
 fk 




K = 1,2,3
L k = çeyreklik sınıfın en alt sınırıdır
çeyreklik sınıfı: kn/4. değerin bulunduğu sınıf
5.2. Onluklar
Verileri on eşit parçaya bölen değerlere onluklar denir.
∆k =
kn
10
Sınıflandırılmış veriler için:
k

∆k = Lk +  1



n

− f a
0
.c
fk 


k = 1,2,3,…..,9
5.3.Yüzdelikler
Verileri yüz eşit parçaya ayıran değerlerdir.
Sınıflandırılmış veriler için:
 kn

− f a

Pk = L k +  1 0 0 .c
 fk 




k = 1,2,3,…..,99
Traşlanmış (kırpılmış) Ortalama:
Verilen en büyük ve en küçük %5 değerleri atılır. Kalan verilerin ortalamasına kırpılmış
ortalama (TRMEAN) denir.
ÖR: n = 40 tane sayı için
⇒
%5
5n/100 = 40. 5/100 = 2
En küçük iki değer (119-125)
En büyük iki değer (173-176) atılır.
∑x = 5
8 − 57 9=25 3 2
n = 40 – 4 = 36
x=
∑x = 5
n
2
4
7 6
= 1 ,46
ÖR:
Sınıflar
f
x
X2
d = x-149
d2
u = d/9
u2
u3
u4
fx
f x2
fd
f d2
fu
f u2
f u3
118-126
127-135
136-144
145-153
154-162
163-171
172-180
3
5
9
12
5
4
2
122
131
140
149
158
167
176
14884
17161
.
.
.
-27
-18
-3
0
9
18
27
729
324
81
0
81
324
729
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
27
8
1
0
1
8
27
81
16
1
0
1
16
81
366
655
.
.
.
44652
-81
-90
-81
0
45
72
54
2187
1620
729
0
405
1296
1458
-9
-10
-9
0
5
8
6
27
20
9
0
5
32
54
-81
-40
-9
0
5
32
54
-81
7695
-9
95
-39
n=40
x=
∑f
n
x5
=
61958
5879
8
4
7 9
= 1 ,94
0
Medyan Sınıfı = 145 – 153
L a = 1 4− 05,5 = 1 4,5
∑f
 8
+ 4−
n
 4

n
 − f a
2
.c = 1
Med = L a + 
 f m




x =A+
d
=1
fa = 17
fm = 12
 1
9= 1 ,9 4
 0
 2 − 10  7
,54 +  4
.9 = 1 ,74
 1 2
c=9
 ∑f  u
.c = 1 + 4− 9 .9 = 1 ,9 4
x = A+
 n 
 4  0


 ∆1 
 3 
.c = 1 ,5 +4
4.9 = 1
Mod = L a + 
3+7
 ∆1 + ∆ 2 
∆ 1 = 1 2− 3 = 9
,2
∆ 2 = 1 2− 5 = 7
 1 − 80 
Q1 = 1 ,53+  5
.9 = 1 ,53
 9 
Q 2 = 1 4 ,97 5
 3 − 20  9
Q 3 = 1 ,55+  3
.9 = 1 ,35
 5 
∑f u
4
σn =
=5 6
∑f
x 8
 =

4

d  ∑f
−
 n
n

d
 = 1 ,7 3


n
σn =
∑f
2
∑f
2
u  ∑f
−
 n
n

σn =
m1 = c.
m2 = c
x
f
−  ∑
 n
2
∑f
2
2
2
u
 = 1 ,7 3


u
= −2,0 2
n
∑f
.
m4 = c
4
∑f
.
n
M 1 =0
M 2 = m 2 -m 1 2 = 188,27
2
u
= 1 ,93
n
f 3u
3 ∑
m3 = c .
= −7 ,17
n
2
2
7 5 1  8 5 7
−
 = 1 ,7
0 4  0
M 3 = m 3 – 3 m 1 m 2 + 2m 1 3 = 441,2957
M 4 = m 4 – 4 m 1 m 3 + 6 m 1 2 m 2 -3m 1 = 91271,5
4
u
=9
2 ,0 3
M3
M3
a3 = σ3 =
3 / 2 = 0,171 > 0
M2
M4
M4
a4 = σ 4 =
2 = 2,57 < 3
M2
hafif sağa çarpık
hafif basık eğri
GRAFİKLER
1- Histogram
Tabanı sınıf aralığı ve boyu sınıf frekansları olan dikdörtgenlerden oluşan grafiktir.
frekansı
X = sınıf ortası
c
2- Çubuk Diagramı
Kesikli rastgele değişkenler için oluşturulur veya sınıf ortaları kullanılarak çizilir.
frekansı
X = sınıf ortası
3- Serpme (Saçılma) Grafiği
Veriler x-ekseni üzerinde y-ye paralel üst üste sıralanmış noktalar şeklinde işaretlenir.
y
20
30
40
50
60
70
80
25, 40, 40, 40, 45, 45, 45,45, 45,…
x
4- Çizgi Grafiği:
Sınıf ortaları ve sınıf frekanslarının oluşturduğu (x i ,y i ) nokta çiftlerini birleştiren eğridir.
f2
f1
x
5- Dairesel Grafik:
Frekansları merkezi dairenin merkezinde olan ve alanı sıfırına karşılık gelen frekansla orantılı
daire kesmeleridir.
fi
x3
n
Merkezi açılar
6
n = ∑ fi
0
6- Stem and Leaf (Dal ve Yaprak) Grafiği:
1
5
2
1
5
12
6
0
0
2
2
16
6
6
6
8
8
(12)
7
2
2
2
22
7
5
5
16
8
0
7
8
8
3
9
4
2
9
6
4
4
2
2
2
6
6
8
8
0
0
0
0
0
8
8
8
6
4
4
4
4
4
2
2
2
2
2
0
0
4
Birleşik Toplam
1
1
2
12
11
60
60
62
62
16
4
66
66
68
68
12
12
72
72
22
6
75
75
76
16
9
80
80
7
4
88
88
3
1
94
2
2
96
1
Med
=
64
64 …………………………….11tane
76
78
78
80
80
……….
88
88
96
x 2 5+ x 2 6
=7 2
2
n = 16 + (12) + 22 = 50
KAYNAKLAR
•
İşletme ve iktisat için istatistik / Paul Newbold; çev. Ümit Şenesen
•
İstatistiğe giriş : sosyal bilimler için istatistiğe giriş / Nilgün Köklü, Nilgün Köklü;
Şener Büyüköztürk
•
Temel istatistik / Fazıl Güler
•
Schaum's outline of theory and problems of statistics and econometrics / Dominick.
Salvatore, Dominick Salvatore, Derrick Reagle.
•
ÇÖMLEKÇ‹, Necla: Temel İstatistik İlke ve Teknikleri,2. Baskı, Bilim Teknik
Yayınevi, Eskişehir, 1994.
•
GÜRTAN, Kenan: İstatistik ve Araştırma Metodları, İstanbul Üniversitesi
Yayınları, No 2265, İstanbul, 1977.
•
HARPER, W.M.: Statistics, 4. ed., Pitman Pub. Comp.,1988.
•
JOHNSON, Robert: Elementary Statistics, 6. ed., PSWKENT Pub. Comp., Boston,
1992.
•
MELNYK, M.: Principle of Applied Statistics, Pergamon Press Inc., New York,
1974.
•
Bilimsel araştırmalarda istatistik uygulamaları, Ocak Yayınevi, Mustafa ERGÜN,
1995
•
İstatistik, Schaum Serisi, Çev. Alptekin ESİN ve Salih ÇELEBİOĞLU, Nobel Yay.
•
Uygulamalı İstatistik, Ege Üniv. Yay. No: 150, Şanslı BASKAN, 1993
•
İstatistiğe Giriş, Fikret İKİZ, Halis PÜSKÜLLÜ ve Şaban EREN, Barış Yay. 1996
•
İstatistik, Anadolu Üniv. Açık Öğretim Fak. Yay. No.771, Editör: Ali Fuat YÜZER,
2003
•
İstatistik, KPSS, Karacan Yay. Eğitim Komisyonu.2007.
•
Matematiksel İstatistik, Ezgi Kitabevi , Mustafa AYTAÇ, 2004
•
İstatistik II, Ezgi Yay. Özer SERPER, 2000.
•
Matematiksel İstatistik, Gazi Büro Yay. Bedriye SARAÇOĞLU ve Ferhan ÇEVİK,
1995
•
İstatistiğe Giriş, İstanbul Üniv. Yay. Salih KARAALİ, 1993
•
Bilimsel araştırmalarda istatistik uygulamaları, Ocak Yayınevi, Mustafa ERGÜN,
1995