0.1 Küme Cebri

0.1
Küme Cebri
Bu bölümde verilen key…kümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi
özellikleri sa¼
glayan eşitliklerle ilgilence¼
giz. I·lk olarak De Morgan kurallar¬diye
bilinen bir Teoremi ifade ve spat edece¼
giz.
Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere
c
c
i) (A [ B) = Ac \ B c
ii) (A \ B) = Ac [ B c
sa¼glan¬r.
c
I·spat:
i) I·spat¬ iki ad¬mda yapaca¼
g¬z. I·lk olarak (A [ B)
Ac \ B c
c
oldu¼
gunu gösterelim. x 2 (A [ B) olsun. Bu durumda x 2
= (A [ B) olup x 2
=A
ve x 2
= B olur. O halde x 2 Ac ve x 2 B c yani x 2 Ac \ B c bulunur. Buradan
(A [ B)
c
Ac \ B c
(1)
c
sa¼
glan¬r. Şimdi ise Ac \ B c (A [ B) oldu¼
gunu gösterelim. x 2 Ac \ B c olsun.
c
c
Bu durumda x 2 A ve x 2 B olup x 2
= A ve x 2
= B olur. O halde x 2
= (A [ B)
c
yani x 2 (A [ B) bulunur. Buradan
c
Ac \ B c
sa¼
glan¬r. (1) ve (2) den
(A [ B)
(2)
c
(A [ B) = Ac \ B c
gerçeklenir.
ii) i) ye benzer yolla ispat yap¬l¬r.
Teorem 2 E evrensel küme ve A; B ve C herhangi üç küme olmak üzere aşa¼g¬daki özellikler gerçeklenir.
1) A [ B = B [ A
2) A \ B = B \ A
3) A [ ; = A
4) A \ E = A
5) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)
6) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)
7) A [ Ac = E
8) A \ Ac = ;
I·spat:
Sadece 2), 5) ve 7) yi ispat edip di¼
gerlerini al¬şt¬rma olarak
b¬rakaca¼
g¬z.
2) x 2 A \ B ) x 2 A ve x 2 B ) x 2 B ve x 2 A olup x 2 B \ A bulunur.
5)
x
2
A [ (B \ C) , x 2 A _ x 2 B \ C
,
(x 2 A _ x 2 B) ^ (x 2 A _ x 2 C)
,
x 2 (A [ B) \ (A [ C)
, x 2 A _ (x 2 B ^ x 2 C)
,
x2A[B^x2A[C
1
7)
x
yani A [ Ac
2
A [ Ac ) x 2 A _ x 2 Ac ) x 2 E
E bulunur.
Aksine
x
veya x
E
2
2
=
E)x2
= A ise x 2 Ac olup x 2 A [ Ac olur
Ac ise x 2 A olup x 2 A [ Ac olur, yani
A [ Ac bulunur.
Dolay¬s¬yla A [ Ac = E olmal¬d¬r.
Örnek 3 AnB = A \ B c oldu¼gunu gösteriniz.
Çözüm 4 x 2 AnB olsun. Bu durumda x 2 A ^ x 2 B c olup x 2 A \ B c
bulunur, yani AnB A \ B c elde edilir. Aksine x 2 A \ B c olsun. Bu durumda
x 2 A ^ x 2 B c olup x 2 A ^ x 2
= B yani x 2 AnB dir. Bu ise A \ B c AnB
oldu¼gunu gösterir. Sonuç olarak AnB = A \ B c bulunur.
0.2
Kümeler Ailesi
I·kiden çok say¬da kümeyi gözönüne ald¬g¼¬m¬zda bu kümeleri A; B; C; D,... gibi
har‡erle gösterebiliriz. Ancak küme say¬s¬ art¬kça bu yaz¬ş olanaks¬z olabilir.
Böyle durumlarda kümeleri A1 ; A2 ; ::: şekinde gösterebiliriz. Örne¼
gin n tane
küme varsa bu kümeleri A1 ; A2 ; :::; An olarak yazabiliriz.
Tan¬m 5 I herhangi bir küme olsun. I kümesinin herbir eleman¬ için bir Ai
kümesi varsa, I kümesine indis kümesi, i eleman¬na ise indis denir. fAi : i 2 Ig
kümesine ise kümeler ailesi denir. Kümeler ailesi genellikle A; F; G gibi har‡erle
gösterilir.
Örnek 6 A1 = f1; 2; 3g ; A2 = f3; 4; ag ; A3 = f 3; 7; 3g ve A4 = 21 ; 2; m; 3
kümeleri verilsin. Bu durumda A = fA1 ; A2 ; A3 ; A4 g bir küme ailesidir.
Tan¬m 7 A1 ; A2 ; :::; An kümeleri verilsin. Bu kümelerin birleşimi yani
A1 [ A2 [ ::: [ An
birleşim kümesi
n
[
Ai
i=1
ile gösterilir. Ayr¬ca
n
[
i=1
Ai = fx : en az bir i = 1; 2; :::; n için x 2 Ai g
ile tan¬mlan¬r.
2
Tan¬m 8 A1 ; A2 ; :::; An kümeleri verilsin. Bu kümelerin kesişimi yani
A1 \ A2 \ ::: \ An
kesişim kümesi
n
\
Ai
i=1
ile gösterilir. Ayr¬ca
n
\
i=1
Ai = fx : her i = 1; 2; :::; n için x 2 Ai g
ile tan¬mlan¬r.
Örnek 9 Örnek (6) de verilen kümeler için
4
[
Ai ve
1
2;
m
i=1
Çözüm 10
4
[
Ai = 1; 2; 3; 4; a;
3; 7;
Ai kümelerini bulunuz.
i=1
ve
n
\
i=1
i=1
edilir.
4
\
Ai = f3g olarak elde
Tan¬m 11 A = fAi : i 2 Ig ve F = fAj : k 2 Kg olmak üzere A ve F kümeleri
verilsin. E¼ger K I ise F ailesine A ailesinin bir alt ailesi denir.
Örnek 12 A = fAi : i 2 Ig , F = fAj : k 2 Kg ve I = f1; 2; :::; 10g ; K =
f1; 2; :::; 18g olmak üzere A ailesi F nin bir alt ailesidir.
Teorem 13 (Genelleştirilmiş De Morgan Kurallar¬) E kümesinin alt kümelerindan oluşan fAi : i 2 Ig küme ailesini göz önüne alal¬m. Aşa¼g¬daki eştlikler
sa¼glan¬r. !
c
[
\
i)
Ai
=
Aci
i2I
ii)
\
Ai
i2I
I·spat:
!c
i2I
=
[
Aci
i2I
i)
x
2
,
[
Ai
i2I
!c
,x2
=
8i 2 I için x 2
= Ai
8i 2 I için x 2 Aci
\
, x2
Aci
,
i2I
3
[
i2I
Ai
bulunur.
ii)
x
2
,
\
Ai
i2I
!c
,x2
=
9i 2 I için x 2
= Ai
\
Ai
i2I
9i 2 I için x 2 Aci
[
, x2
Aci
,
i2I
elde edilir.
0.3
Kümelerin Kartezyen Çarp¬m¬
Bir önceki k¬s¬mda kümenin elemanlar¬n yaz¬l¬ş s¬ras¬n¬n önemli olmad¬g¼¬ndan
bahsetmiştik. Fakat a; b eleman¬n¬n (a; b) şeklinde yaz¬lan ve ad¬na s¬ral¬ikili
diyece¼
gimiz yeni eleman¬n yaz¬l¬ş s¬ras¬oldukça büyüktür. Bu k¬s¬mda s¬ral¬ikili
tan¬m¬verip özelliklerini inceleyece¼
giz.
Tan¬m 14 A ve B herhangi iki küme olsun. x 2 A ve y 2 B olmak üzere (x; y)
gösterimine birinci bileşeni x; ikinci bileşeni y olan s¬ral¬ ikili ad¬ verilir.
Tan¬m 15 A ve B herhangi iki küme olsun. x 2 A ve y 2 B olmak üzere bütün
(x; y) s¬ral¬ikililerin oluşturdu¼gu kümeye A ve B kümelerinin kartezyen çarp¬m¬
denir ve A B ile gösterilir.
A
B = f(x; y) : x 2 A ^ y 2 Bg
olarak yaz¬l¬r.
Örnek 16 A = f1; 2; 3g ; B = fa; bg kümeleri için
A
B = f(1; a) ; (2; a) ; (3; a) ; (1; b) ; (2; b) ; (3; b)g
B
A = f(a; 1) ; (a; 2) ; (a; 3) ; (b; 1) ; (b; 2) ; (b; 3)g
ve
olur. Bu örnektende görüldü¼gü üzere Kartezyen çarp¬m¬n de¼gişme özelli¼gi yoktur.
Örnek 17 R R = f(x; y) : x; y 2 Rg çarp¬m kümesi iki boyutlu düzlemi göstermektedir.
Teorem 18 A; B ve C kümeleri için aşa¼g¬daki eşitlikler sa¼glan¬r.
1. A
(B [ C) = (A
B) [ (A
C)
4
2. A
(B \ C) = (A
3. A
(BnC) = (A
I·spat:
B) \ (A
B) n (A
C)
C)
Sadece (1) eşitli¼
gini ispatlayal¬m.
(x; y)
2
A
(B [ C) , x 2 A ^ y 2 B [ C
, x 2 A ^ (y 2 B _ y 2 C)
, (x 2 A ^ y 2 B) _ (x 2 A ^ y 2 C)
, (x; y) 2 A B _ (x; y) 2 A C
, (x; y) 2 (A
B) [ (A
bulunur. Di¼
ger eşitlikler benzer olarak ispatlan¬r.
1
5
C)