permütasyon kombđnasyon−bđnom ve olasılık

YILLAR
ÖSS
ÖYS
2002
2003
2
2004
2
2005
2
PERMÜTASYON
KOMBĐNASYON−
−BĐNOM VE
OLASILIK
2006
-
2007
-
2008
2
Örnek ( 1 )
Bir torbada 6 siyah 7 beyaz
bilye vardır. Torbadan 1 siyah veya 1 beyaz
bilye kaç yolla seçilebilir.
NOT: A ve B sonlu ve ayrık iki küme olsun
s(A∪B) = s(A) + s(B) olur.
O halde yukarıdaki sorunun çözümü
s(S∪B) = 6+7=13 dir.
Örnek ( 2)
Ahmet’in 4 kumaş, 5 keten
pantolonu vardır. Giyeceği pantolonu kaç yolla
seçebilir?
(C: 9)
2-) ÇARPMA YOLUYLA SAYMA:
Örnek ( 2 )
Bir öğrencinin 4 pantolonu, 5
gömleği ve 2 kravatı vardır. Buna göre bu
öğrenci kaç yolla giyinebilir?
(C: 40)
2010
1
2011
Örnek ( 4 ) 7 adet hediyeden üçü üç kişiye,
her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç
değişik şekilde dağıtılabilir?
TEMEL SAYMA KURALLARI
1-) TOPLAMA YOLUYLA SAYMA:
2009
-
7.6.5 = 210
Örnek ( 5 ) A={1,2,3,4,5,6,7}
elemanlarıyla
a)
b)
c)
d)
e)
f)
kümesinin
Yedi basamaklı kaç sayı?
Rakamları farklı yedi basamaklı kaç sayı?
Üç basamaklı kaç çift sayı
Üç basamaklı rakamları farklı kaç tek sayı?
Üç basamaklı 444’ten büyük kaç sayı ?
350’den küçük kaç sayı?
Örnek ( 6 ) A={0,1,2,3,4,5}
kümesinin
rakamlarıyla
a) rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı?
b) Rakamları farklı 5 ile bölünebilen üç
basamaklı kaç sayı?
c) Rakamları farklı
300’den büyük üç
basamaklı kaç sayı?
d) Rakamları farklı 300’den büyük 500’den
küçük kaç sayı yazılabilir?
FAKTÖRĐYEL
n!= 1.2.3......n dir.
Örnek ( 3 ) A kentinden B kentine 4 farklı
yol ve B kentinden de C kentine 5 farklı yolla
gidilebiliyor.
a) A kentinden yola çıkan biri B kentine de
uğrayarak C kentine kaç yolla gidebilir?
(C: 20)
0!=1!=1
4!=1.2.3.4=24
b) A→B→C istikametinde gidip C→B→A
istikametinden geri dönen biri bu gidiş
dönüşü kaç türlü yapabilir?
(C: 400)
9! 6!.7.8.9
=
= 7.8.9 = 504
6!
6!
c) A→B→C istikametinde gidip dönüşte
gittiği
yolu
kullanmamak
kaydıyla
C→B→A istikametinde geri dönen biri
gidiş dönüşünü kaç yolla yapabilir? (C:240)
12!−11! 11!(12 − 1) 121
=
=
11!−10! 10!(11 − 1) 10
(n+2)!=n!.(n+1).(n+2)
n!=(n–2)!.(n–1).n
1
Örnek ( 7 ) A={a,b,c,d,e,f}
kümesinin
elemanlarını kullanarak anlamlı veya anlamsız
dört harfli;
a) Kaç değişik kelime? → 6.6.6.6 = 1296
b) Harfleri değişik kaç klm? → 6.5.4.3 =360
c) Sessizle başlayıp sessizle biten harfleri farklı
kaç kelime? → 4.4.3.3. = 144
d) Đçinde d nin bulunduğu k.k=?
d nin bulunmadığı→5.5.5.5=54
d nin bulunduğu→ 64−54
Örnek ( 9 ) 3 kız 4 erkek , kızlar yan yana ve
erkekler yan yana kaç türlü fotoğraf
çektirebilirler? (C: 2!.3!.4!)
Örnek ( 10 ) 7 kişi bir taksiye üç öne ve dört
arkaya olmak kaydıyla kaç türlü oturabilirler?
(C: 7!)
Örnek ( 11 ) A={2,4,6,8,10} kümesinin üçlü
permütasyonlarının kaçında;
a) 8 bulunur?
Tüm üçlüler–8’in bulunmadığı=P(5,3)–P(4,3)
e) Đçinde a’nın bulunduğu harfleri farklı kaç
kelime → (6.5.4.3)−(5.4.3.2) = 240
f) a ile başlayıp f ile biten harfleri tekrarsız kaç
kelime? → 1.4.3.1 = 12
g) e ile başlayıp f ile bitmeyen harfleri tekrarsız
kaç kelime? → 1.4.3.4 = 48
PERMÜTASYON
b) 6 bulunur 8 bulunmaz?
8’in bulunmadığı–6 ve 8 ‘in bulunmadığı
=P(4,3)–P(3,3)
c) 6 ve 8 bulunur?
Tüm –6’nın bulunmadığı–8’in bulunmadığı +
6 ve 8’in bulunmadığı =P(5,3)–P(4,3)P(4,3)+P(3,3)
d) 6 veya 8 bulunur?
Tüm– 6 ve 8’in bulunmadığı:P(5,3)–P(3,3)
n
elemanlı
bir
A
kümesinin
r’li
permütasyonlarının sayısı;
n!
P (n, r ) =
(n − r )!
permütasyon hem seçim, hem de sıralamadır.
Permütasyonda sıra önemli olduğundan abc ile
acb farklıdır
Örnek ( 8 ) 5 farklı matematik ve 4 farklı fizik
kitabı bir rafa dizilecek
a) Kaç farklı şekilde dizilebilir (C: 9!)
b) Matematikler yan yana olmak şartıyla kaç
türlü dizilebilir? (C: 5!.5!)
c) Aynı dersin kitapları yan yana olmamak
şartıyla kaç türlü dizilebilir? (C: 5!.4!)
TEKRARLI PERMÜTASYON
Örnek ( 12 ) 45522236 sayısının rakamlarıyla
8 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
Örnek ( 13 ) 5544400 sayısının rakamlarıyla
7 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
Örnek ( 14 ) 6677709 sayısının rakamlarıyla
7 basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
DÖNERLĐ PERMÜTASYON
n kişi yuvarlak bir masa etrafında (n-1)!
şekilde sıralanır.
Örnek ( 15 ) 6 kişi yuvarlak
etrafında kaç türlü oturabilir?
bir masa
(C: 5!)
2
Örnek ( 16 ) Anne ,baba ve dört çocuk
yuvarlak bir masa etrafında anne ile baba
yanyana olmak üzere kaç türlü oturabilir?
Örnek ( 17 ) Farklı altı anahtar yuvarlak ve
maskotsuz bir anahtarlığa kaç türlü dizilebilir?
(C: 5!/2)
Örnek ( 18 ) ‘KAPADOKYA’
kelimesinin
harfleriyle anlamlı yada anlamsız 9 harfli;
a) Kaç kelime yazılabilir
b) A ile başlayıp K ile biten K.K
c) A ile başlayıp K ile bitmeyen K.K
d) K’dan sonra A gelecek şekilde K.K
e) Sessizle başlayıp sessizle biten K.K
Örnek ( 19 ) A={a,b,c,d,e,i,p}
kümesinin
dörtlü permütasyonlarının kaçında en az bir
sesli harf vardır?
Örnek ( 20 ) 5 kız 5 erkek fotoğraf
çektirecekler. Herhangi cinsten iki kişi yan
yana olmamak kaydıyla kaç türlü poz
verebilirler?
Örnek ( 24 ) 7 farklı kitap herkese birer kitap
olmak üzere 3 kişiye kaç türlü dağıtılabilir?
(C: 7.6.5)
Örnek ( 25 ) 6 mektup 4 posta kutusuna ;
a) Kaç türlü dağıtılabilir?(C: fonksiyon
sayısından faydalanılırsa 4 6 )
b) Her posta kutusuna en az bir mektup
atmak kaydıyla kaç türlü dağıtılabilir?
4
Çz: 1 2 3
4!  6  3  2 1
1
1 1 3 →     
3!  3  1  1 1
1
1
2
2→
4!  6  4  2 1
    
2!.2!  2  2  1 1
+
.
Örnek ( 26 ) 4 mektup 6 posta kutusuna kaç
türlü dağıtılabilir?
(C: fonk. sayısı: 6 4 veya 6.6.6.6.)
Örnek ( 27 ) 4 mektup 6 posta kutusuna , her
kutuya en fazla 1 mektup atmak şartıyla kaç
türlü dağıtılır?(C: 1:1 fonk sayısı : P(6,4)=360)
Örnek ( 28 )
B
Örnek ( 21 ) Aynı cins 3 Beyaz, 4 Kırmızı, 2
Mavi bilye tüm beyazlar yan yana olmamak
kaydıyla kaç türlü dizilir?
9!
7!
(C:
−
)
3!.4!.2! 4!.2!
Örnek ( 22 ) Bilgisayarda her karakterin
1Byte’lik bellek büyüklüğü vardır. 1 Byte=8 bit
ve her bit 0 ve 1 değerlerinden oluşmaktadır.
Buna göre :
a) Bilgisayarda kaç karakter vardır? (C: 2 8 )
b) 5 tane 1 ve 3 tane 0 ile kaç karakter elde
edilebilir?(C: 8!/(5!.3!))
Örnek ( 23 ) Özdeş 4 mavi bilye ile 5 kırmızı
bilye yan yana dizilecek başta ve sonda mavi
bilye olacak şekilde kaç türlü diziliş
yapılabilir? (C: 7!/(2!.5!))
A
A noktasından B noktasına en kısa yolla kaç
türlü yolla gidilebilir?
CZ: A’dan B’ye 9 parça yol vardır. 5 satır var
(5-1)! Ve 6 sütun var (6-1)! Olmak üzere
9!
=126
4!.5!
Örnek ( 29 ) 5 farklı Fizik ve 4 farklı
Matematik kitabı bir rafa Fizikler yan yana ve
belli iki matematik kitabı kenarlarda olmak
 4
koşulu ile kaç türlü dizilir? [C:  2!.(5!.3!) ]
 2
3
Örnek ( 30 ) 7 tabanında yazılabilecek üç
basamaklı kaç çift sayı vardır?(C:[(6.7.7)/2]
Örnek ( 36 )
A
C
Not: rakamları farklı demezse yarı yarıya tek ve
çift vardır. Rakamları farklı derse tabanı tek
olanlarda tek çift bulunması zorlaşır. Taban çift
olursa son rakam tekse sonuç tek, çiftse sonuç
ta çifttir)
Örnek ( 31 )
B
Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen
sokaklarını göstermektedir. A dan hareket edip
C’ ye uğrayarak B noktasına en kısa yoldan
gidecek olan bir kimse kaç değişik yol
(C: 24)
izleyebilir?
(ÖSS-2001)
Örnek ( 37)
Şekilde her satırda yalnız bir kare
taranmak
kaydıyla
kaç
türlü
şekil
oluşturulabilir?
(C:4.4.4)
Örnek ( 32 ) 3 farklı hediye 8 çocuktan üçüne
birer hediye kaç türlü verilebilir?
H1 H2 H3
8 . 7 . 6 =336
Örnek ( 33 ) 3 kız 4 erkek arasından 1 kız ve
1 erkek yan yana fotoğraf çektirecek. Kaç
türlü poz verebilirler? (C: 3.4+4.3=24)
Şekil 1
Şekil 2
16 küçük kareden oluşan 1. Şeklin her
satır ve her sütununda bir ve yalnız bir küçük
kare karalanarak 2. Şekildeki gibi desenler elde
edilmektedir. Buna göre en çok kaç farklı desen
(C: 24)
elde edilir.
(ÖSS-2000)
Örnek ( 34 ) 3 Alman , 3 Đngiliz bir sırada
oturacak belli iki alman yan yana olmamak
kaydıyla kaç türlü oturabilirler?
ÇZ: AĐAĐAĐ , AĐĐAĐA ,AĐAĐĐA , ĐAĐAĐA
3!.3! + 3!.3! + 3!.3! + 3!.3!
=144
Örnek ( 35 ) ‘KARAKARTAL’ kelimesinin
harfleriyle 10 harfli ve K’dan sonra AA gelecek
şekilde anlamlı yada anlamsız kaç kelime
yazılabilir?
ÇZ: (KAA),(KAA),R,R,T,L → 6!/(2!.2!)
4
KOMBĐNASYON
n elemanlı bir kümenin r’li kombinasyonları;
C ( n, r ) =
n!
(n − r )!.r!
NOT: Permütasyonda sıra önemlidir. Fakat
kombinasyonda sıra önemli değildir. Yani a,b,c
ile a,c,b aynı şeylerdir.
ÖZELLĐKLER:
1)
 n  n 

  = 
 r  n − r
2)
 n   n
  =   ⇒ n = p + r veya p = r
 p  r 
3)
4)
 n  n 
 n  n
 = n
  =   = 1 ,   = 
 1   n − 1
 0  n
 n   n   n + 1

 = 
  + 
 r   r − 1  r 
Örnek ( 1 ) 5 kız, 4 erkek arasından 2 erkek,
2 kızdan oluşturulacak bir gurup kaç yolla
seçilebilir?
Örnek ( 2 ) 8 erkek 7 kız arasından 5 kişilik
bir gurup oluşturulacak en az 4 kızın olduğu
kaç gurup vardır?
Örnek ( 3 ) Đçinde Ali ve Zeyneb’inde
bulunduğu 10 kişilik bir guruptan 4 kişi
seçilecek
a) Đçinde Ali ve Zeynep’in bulunduğu kaç
gurup?
b) Đçinde Ali veya Zeynep’in bulunduğu kaç
gurup?
c) Đçinde Ali ve Zeynep’in bulunmadığı kaç
gurup?
d) Đçinde Ali’nin bulunduğu kaç gurup?
Ali’nin
bulunup
Zeynep’in
e) Đçinde
bulunmadığı kaç gurup?
Örnek ( 4 ) 10 kişilik bir müzik kafilesinden
biri 2 kişilik diğeri 3 kişilik iki farklı gurup
oluşturulacak. Kaç türlü seçim yapılabilir?
Örnek ( 5 ) Birbirinden farklı 5 sarı , 6
beyaz , 7 kırmızı kurdaleden 2 sarı, 1 kırmızı
ve 1 beyaz kurdale kaç yolla seçilebilir?
 5 6 7
(C:  . .  )
 2 1 1
Örnek ( 6 ) 3 beyaz, 4 yeşil ve 2 kırmızı
bilye arasından en az ikisi yeşil olacak şekilde
4 top kaç farklı yolla seçilebilir?
Örnek ( 7 ) 12
kişilik
bir
kafilede
erkeklerden oluşturulacak 3 kişilik kafilelerin
sayısı , kızlardan oluşturulacak 2 kişilik
kafilelerin sayısının 3 katından 5 fazlaysa
gurupta kaç erkek vardır?
Örnek ( 8 ) Aynı özelliklere sahip 5 mavi, 4
kırmızı topun bulunduğu bir torbadan aynı
renkten 3 top kaç değişik şekilde seçilebilir?
 5  4
(   +   = 14 )
 3  3
Örnek ( 9 ) 6 farklı çalışma kitabı iki
öğrenciye kaç türlü paylaştırılabilir?
 6   3
(  .  = 20 )
 3   3
Örnek ( 10 ) 10 kişi arasından 7 kişilik bir
ekip kaç yolla oluşturulabilir?( C(10,7))
Örnek ( 11 ) 9 kişilik bir kafilede 6 kişi
dolmuşa ve kalan 3 kişi de taksiye kaç türlü
binebilir?
(C: C(9,6).C(3,3))
Örnek ( 12 ) 10 öğrenci arasında 1 başkan , 1
başkan yardımcısı ve 3 üye kaç yolla
10  9  8 
seçilebilir?
(     )
 1  1  3 
5
Örnek ( 13 ) A={a,b,c,d,e,f,g} kümesinin 4
elemanlı alt kümelerinin kaçında ;
a) b bulunur?
→ C(6,3) = 20
b) b bulunmaz → C(6,4) = 15
c) c ve d bulunur. → C(5,2) = 10
d) c veya d bulunur. → C(7,4) − C(5,4) = 30
e) A’nın 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesi
B={d,e,f} kümesini kapsar? → C(4,2) = 6
Örnek ( 18 ) 4 çocuğa birbirinin aynı 3 kalem
kaç türlü dağıtılabilir?
ÇZ:
1
2
3
4
4!
=4
3!
4!
2
1
0
0 → =6
2!
4!
=4
1
1
1
0 →
3!
toplam 14 yolla dağıtılır.
3
0
0
0 →
f) c veya d bulunmaz → C(7,4) − C(5,2) = 25
Örnek ( 14 ) 4 kişinin katıldığı bir sınav
başarı yönünden kaç türlü sonuçlanabilir?
(bir kişi için başarı yada başarısızlık vardır)
 2  2  2  2
 . . .  = 2 4 = 16
1 1 1 1
Örnek ( 15 ) 10 kişilik bir yerli turist kafilesi
şehirde iki gurup halinde dolaşacaklar. Đlk
gurup6, ikinci gurup ise 4 kişiliktir. Ersin ile
serap küs olduklarından aynı gurupta yer almak
istemiyorlar. Bu şekilde kaç türlü seçim
yapılabilir?
Örnek ( 16 ) 5 tanesi 50’şer gr, 10 tanesi
100’er gr ve 4 tanesi de 250’şer gr’lık bir
meyve kasasında yarım kiloluk kaç çeşit meyve
sepeti oluşturulabilir?
Örnek ( 17 ) 8 kişi bir lokantaya gidiyor. 3
kişilik ve 5 kişilik iki yuvarlak masaya kaç
  8    5  
türlü oturabilirler? [C:   .2!  .4! ]
  3    5  
Örnek ( 19 ) 5 seçmeli dersten ikisi aynı
saatte verilmektedir. Bu derslerden üçünü
alacak olan bir öğrencinin kaç seçeneği vardır?
ÇZ: A’yı seçebilir:C(3,2)
B’yi seçebilir:C(3,2
diğerlerinden üç tane seçebilir:(C(3,3)
toplam 7 seçeneği vardır.
Örnek ( 20 ) Đçinde Hasan
ile Ömer’in
bulunduğu 9 kişilik bir gezi gurubundan 4’ü A
firmasıyla , 3’ü B firmasıyla ve kalanlar C
firmasıyla gidecektir. Hasan ile Ömer aynı
firmayla gitmek istemiyorlar. Buna göre kaç
türlü dağılım yapılabilir?
ÇZ:
A(4)
B(3)
C(2)
H
Ö
-
H
-
Ö
-
H
Ö
 7  4  2
→ 2. . . 
 3  2  2
 7   4   1
→ 2. . . 
 3   3   1
 7   3  1
→ 2. . . 
 4   2  1
+
.
Örnek ( 21 ) Aynı düzlemde bulunan
çember en fazla kaç noktada kesişebilir?
9
(C: 2.  )
 2
9
Örnek ( 22 ) Bir çember üzerindeki 9
noktadan en fazla kaç üçgen oluşur?(C: C(9,3))
6
Örnek ( 23 ) Birbirine paralel iki doğrudan
birinde 6, diğerinde 5 nokta vardır. Bu
noktalardan kaç farklı
a) Üçgen oluşabilir?
b) Dörtgen oluşabilir?
ÇZ: C(8,2)–C(4,2)+1
Örnek ( 29 )
Şekildeki
noktalardan
üçgen
a) kaç
oluşur
b) kaç dörtgen
oluşur
Örnek ( 24 ) 4’ü doğrusal 10 noktadan ;
a) Kaç üçgen oluşur?
b) Kaç dörtgen oluşur?
11  5   6 
ÇZ:a)   −   −   =
 3   3  3 
Örnek ( 30 )
Şekildeki
noktalardan kaç
üçgen oluşur?
 6   6  4   6   4 
b)   +    +  .  =
 4   3  1   2   2 
Örnek ( 25 ) Birbirine paralel 4 yatay ve
birbirine paralel 5 eğik doğrunun kesişiminden
en fazla kaç paralelkenar oluşur?
Örnek ( 31)
Örnek ( 26 )
Yukarıdaki karenin kenarları
2br’lik eş
parçalara ayrılmıştır.
a) yukarıdaki şekilde kare olmayan kaç
dikdörtgen vardır?
b) Çevresi 8 br’den büyük kaç dikdörtgen
vardır?
Örnek ( 27 ) 9 kenarlı bir çokgenin kaç
köşegeni vardır?
ÇZ: C(9,2)– kenar sayısı=27
Örnek ( 28 ) aynı düzlemde
ve doğrusal
olmayan 8 noktadan 4’ü bir noktada kesişiyor.
Bu 8 nokta en fazla kaç noktada kesişirler?
Yandaki şekilde
kaç
üçgen
vardır?
Örnek ( 32) (**)Bir
çember
üzerinde
bulunan 6 noktadan herhangi ikisinden geçen
doğrular en fazla kaç farklı noktada
kesişirler?(Oluşan doğruların herhangi ikisi
paralel değil)
NOT: Bir düzlem üzerinde bulunan herhangi 3
‘ü doğrusal olmayan n tane noktadan herhangi
ikisinden geçen doğruların kesişme noktalarını
veren formül:
 n 
   
n
 n − 1
  2   − n. 2  + n veya 3. 4  + n dır.
 


 2 


7
Örnek ( 33)
d 1 // d 2 olduğuna göre
Yukarıdaki şekilde
köşeleri bu 8 noktadan herhangi üçü olan kaç
üçgen çizilebilir?
(C: 45)
(ÖSS-96)
8
BĐNOM:
 n
 n
 n
( x + y ) n =   x n . y 0 +   x n −1 . y + ... +   x 0 y n
 n
1
 0
(x−y)n ‘de ise +,-,+,-,.. diye işaretlenir.
(x+y)n açılımında n+1 tane terim vardır.
Örnek( 1)
vardır?
(2x − 5)8
açılımında kaç terim
(C: 9)
 2n 
c) (x+y)2n açıl.da ortadaki terim:   x n y n
n
20

1 
 nin açılımında x5 li
Örnek( 4)  3 x +
x

terimin katsayısı nedir?
Cz: baştan r+1 ci terimi yazıp x5 li terim
olmasını sağlayan r yi bulalım.
20 − r  r 


 20  3 20 − r  1 
 20  3 +  − 2 


 . x


.
 ⇒  r .x
 x
 
 r 
20 − r r
− =5
→
r
=2
→
3
2
 20 
  = 190 dır.
2
r
( )
5
2

Örnek( 2)  x +  açılımında baştan 3.cü
x

terimin katsayısı kaçtır?
2
 5   5
3 2 
 =   = 10, 10x   = 40 x
Çz: 
 x
 3 − 1  2 
Örnek( 5) (2x−3y)7 ‘ nin açılımında ax4y3
teriminde a=?
SONUÇLAR:
 n  n 
 olduğundan (x+y)n nin
  = 
−
r
n
r

  
açılımında baştan ve sondan eşit uzaklıkta
bulunan terimlerin katsayıları eşittir.
1)
Örnek( 3) (x+y)7 açılımında baştan 4.cü
terimin katsayısı ile sondan 4.cü terimin
katsayısı C(7,4) dır.
7
Çz:  .(2 x) 4 .(−3 y ) 3 = −15120 x 4 . y 3
 3
1 

Örnek( 6)  x + 2 
x 

sabit terim kaçtır?
 n
a) baştan r+1 ci terim:  .x n − r . y r
r
ifadesinin
açılımında
(öys-96)
Çz:
2) (x+y)n açılımında
6
 6  6− r  1
 .x . 2
x
r
r
  6  6− r − 2 r
 =  .x .x
 r
(6 − r ) + ( − 2 r ) = 0 → r = 2
 6  4 −4  6  0  6 
 .x .x =   x =   = 15
 2
 2
 2
b) sondan k cı terim:
n
 k −1 n +1− k

.x . y

n +1− k
9
(a + b + c)n
UYARI:
açılımında a x .b y .c z ’li
terimin atsayısı;
a x .b y .c z .
n!
dir.
x!.y!.z!
Örnek( 14) (x − 3)6
ortanca terim nedir?
(
ifadesinin açılımında
)8
3
Örnek( 15)
5 − 2 ifadesinin açılımında
rasyonel terimlerin toplamı kaçtır?
6
y


Örnek( 7)  3x + − 2z  açılımında kxy 2 z 3 is
2


e k=?
2
6!
y
ÇZ: (3x ).  (− 2z )3 .
1!.2!.3!
2
Örnek( 8) (3x − 2)
ifadesinin
ortadaki terimin katsayısı nedir?
9
(
açılımında
)
10
Örnek( 9) a 3 − 2b 2
ifadesinin açılımında
a ve b nin derecelerinin eşit olduğu terimin
katsayısı nedir?
Örnek( 10) (5a + 4b )4
açılımındaki
terimlerin katsayılar toplamı kaçtır?
Örnek( 11) (3x − 5) 5 ifadesinin açılımında
sabit terim kaçtır?
Örnek( 12)
x=2003 ve y=2004 için
x 5 − 5x 4 y + 10 x 3 y 2 − 10 x 2 y 3 + 5xy 4 − y 5
ifadesinin değeri nedir?
Örnek( 13)
terim kaçtır?
1
3
 x+ 
x

8
ifadesinde
sabit
(C: 28)
10
Örnek( 4) Bir
meyve
kasasındaki
10
portakaldan 7’’si sağlamdır. Rasgele 3 portakal
seçiliyor.
OLASILIK
ÖRNEK UZAY VE OLAY:
Bir deney sonucunda gelebilecek tüm
sonuçların kümesine örnek uzay, gelmesi
istenen sonuçların kümesine de olay denir.
a) Örnek uzayın eleman sayısı; C(10,3)
b) Portakalların
üçünün
de
sağlam
olma
olayının eleman sayısı; C(7,3)
Örnek uzay E ile , olay ise A ile gösterilir.
A⊂E dir.
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
C(7,2).C(3,1)
NOT: Boş kümeye imkansız olay, E örnek
uzayına da kesin olay denir.
Örnek( 2) Bir çift zar havaya atılıyor
a) örnek uzay;
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
Portakalların 2 sinin sağlam, birinin çürük
olma olayının eleman sayısı;
a) Örnek uzay: E={1,2,3,4,5,6}
b) Çift gelme olayı; A={2,4,6}
c) Asal gelme olayı S={2,3,5}
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
eleman sayısı; C(3,3)
d)
Örnek( 1) Bir zar havaya atılıyor.
1
2
3
4
5
6
c) Portakalların üçünün de çürük olma olayının
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
86,5)
AYRIK OLAYLAR: Bir örnek uzaya ait iki
olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık
olaylar denir.
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
OLASILIK FONKSĐYONU:
Eleman sayısı ise 6 2
Bir E örnek uzayının bütün alt kümelerinin
kümesine E A diyelim. P: E A →[0,1] şeklinde
tanımlanan ve aşağıdaki şartları sağlayan P
fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir.
A∈ E A ise P(A) ya A olayının olasılığı denir.
b) Zarların aynı gelme olayı A ise
A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
ÖZELLĐKLER:
c) Zarların üst yüzüne gelen sayıların
toplamının 8 ‘den büyük olma olayı B ise
B={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Örnek( 3) Bir madeni para
atılıyor.
a)
üç kez havaya
Örnek uzay;
E={(T,T,T),(T,T,Y),(T,Y,T),(T,Y,Y),
(Y,T,T),(Y,T,Y),(Y,Y,T),(Y,Y,Y)}
s(E) = 8
b) En az iki tura gelme olayı ;
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P(E) = 1 (kesin olay) P(φ) = 0 (imkansız
olay)
3) A,B∈ E A ve
A∩B=φ ise P(A∪B)=P(A)+P(B)
A∩B≠φ ise P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
4) P(A) bir olayın olasılığı P(Aı) bu olayın
olmama olasılığı ise
P(A) + P(A1) = 1 dir.
5) Bir E örnek uzayının bağımsız tüm alt
kümeleri A,B,C.. ise
A={(T,T,T),(T,T,Y),(T,Y,T),(Y,T,T)}
P(A)+P(B)+P(C)+...=1 dir
11
BĐR A OLAYININ OLASILIĞI
A⊂E olmak üzere E örnek uzayında bir A
olayının gelme olasılığı;
P ( A) =
s ( A) istenen durumların sayısı
=
tüm durumların sayısı
s( E )
Örnek( 5) Bir zar havaya atılıyor. Çift gelme
olasılığı;
E={1,2,3,4,5,6}
ve Ç={2,4,6} o halde
P(Ç)=3/6=1/2
Örnek( 6) Bir çift zar havaya atılıyor.
a) Đkisinin de aynı gelme olasılığı;
s(E)=6.6=36
ve
A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
P(A)=6/36=1/6
d) Zarların üst yüzüne gelen sayıların
toplamının 8 ‘den büyük olma olasılığı;
B={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
P(B)=10/36=5/18
Örnek( 7) Bir madeni para havaya atılıyor.
Tura gelme olasılığı;
E={Y,T} ve A={T} o halde P(T)=1/2
Örnek( 8) Bir torbada 4 sarı 5 kırmızı top
vardır. Torbadan peş peşe iki top çekiliyor.
Çekilen topların;
a) Đkisinin de sarı olma olasılığı
b) Birinin sarı diğerinin kırmızı olma olasılığı
c) Birincinin kırmızı ikincinin sarı olma
olasılığı nedir?
Çz: Torbada toplam 4+5=9 top vardır.
a) ilk topun sarı gelme olasılığı S1 ise
4
P ( S1 ) =
,...
ikinci topun sarı gelme
9
3
olasılığı, S 2 ise P ( S 2 ) =
8
4 3 1
o halde sonuç; . =
9 8 6
b) 1. Yol: Sıra önemli olmadığından örnek
uzay ;
9
  = s ( E ) = 36
 2
 4   5
Đstenen olay A ise s ( A) =  .  = 20
 1  1
O halde sonuç; P ( A) =
20 5
=
36 9
2. Yol: 1.cisi sarı, 2.cisi kırmızı veya
1.cisi kırmızı, 2.cisi sarı olabilir
4 5 5 4 5
SK + KS = . + . =
olur.
9 8 9 8 9
c) Sıra önemli olmadığından olay KS olayıdır.
5 4 5
P ( K , S ) = P ( K ).P ( S ) = . =
9 8 18
Örnek( 9) 5 kız ve 4 erkek arasından 3 kişilik
bir kurul oluşturulacak kurulda en az bir kızın
bulunma olasılığı nedir?
Çz: Örnek uzay s(E)=C(9,3)=84
 4
 
 3 1
Hiç kız olmama olasılığı
=
84 21
En az bir kızın olma olasılığı 1 − 1/21=20/21
Örnek( 10) Bir zar ve bir madeni para birlikte
atılıyor.
a)Zarın tek sayı ve paranın tura gelme olasılığı
kaçtır?
b) Zarın tek sayı veya paranın tura gelme
olasılığı kaçtır?
Çz: Zar için örnek uzay; E={1,2,3,4,5,6},
s(E)=6 zarın tek gelme olayı A={1,3,5} ,
s(A)=3
P(A) = 3/6=1/2
Madeni para için örnek uzay E={Y,T},s(E)=2
12
Madeni paranın tura gelme olayı
s(B)=1 → P(B)=1/2
B={T}
a) Zarın tek ve paranın tura gelme olayı
P(A∩B) ise
P(A∩B) = P(A).P(B)=1/2.1/2=1/4
b) P(A ∪ B)=P(A)+P(B)– P(A∩B)
1 1 1 1
+ − .
=
2 2 2 2
=1/4
Örnek( 11) A torbasında 3 Beyaz, 4 Kırmızı;
B torbasında 5 Beyaz, 2 Kırmızı top vardır.
Aynı anda her iki torbadan birer top alınıyor ve
öteki torbaya (A dan alınan B ye, B den alınan
A ya) atılıyor.
Bu
işlemin
sonucunda
torbalardaki Kırmızı ve Beyaz top sayılarının
başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır?
(öys-97)
Çz: 1.Durum: A dan beyaz, B den Beyaz;
3 5 15
. =
7 7 49
2.Durum: A dan Kırmızı, B den Kırmızı;
4 2 8
. =
7 7 49
Sonuç:
15 8 23
=
+
49 49 49
Örnek( 12) Düzgün bir zarın havaya atılması
deneyinde üst yüze çift sayı geldiği bilindiğine
göre bu sayının asal sayı olma olasılığı nedir?
Çz: Üste gelen yüzün çift olma olayı B,
asal olma olayı A olsun.
B={2,4,6} , A={2,3,5} olsun A∩B={2}
1
P( A ∩ B) 6 1
= =
P(A\B)=
3 3
P( B)
6
Örnek( 13) Bir çift zarın atılması deneyinde
zarlardaki sayılar toplamının 6 olduğu
bilindiğine göre bu sayıların ikisinin de tek
sayı olma olasılığı nedir?
Çz: Bir çift zar için örnek uzay s(E)= 6.6=36
B olayı sayıların toplamının 6 olma olayı;
B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
A olayı sayıların tek olma olayı olsun;
A={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),
(5,3),(5,5)}
A∩B={(1,5),(3,3),(5,1)}
P(A\B) =
P( A ∩ B) 3
=
P( B )
5
2.Yol: Toplamları 6 olan sayılar
{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
bunlardan tek olanlar {(1,5),(3,3),(5,1)}
KOŞULLU OLASILIK
A,B ⊂ E olsun B olayının gerçekleşmiş olması
koşuluyla A olayının B ye bağlı koşullu
olasılığı denir. Ve P(A\B) ile gösterilir.
P(A\B) =
P( A ∩ B)
, (P(B)≠0)
P( B)
s( A ∩ B)
s( E )
=
s( B)
s( E )
istenen olayın olasılığı=3/5
BAĞIMSIZ OLAYLAR
Đki olaydan birinin
gerçekleşip
gerçekleşmemesi diğerini etkilemiyorsa bu iki
olay bağımsızdır. A,B ∈E ise
P(A∩B) = P(A).P(B) olur
13
Örnek( 14) 2 zar birlikte atılıyor. Zarların üst
yüzüne gelen sayıların ikisinin de çift sayı olma
olasılığı nedir?
Çz: birinci için çift gelme olayı A
Đkinci için çift gelme olayı B
→P(A∩B) = 3/6.3/6 = ¼
Örnek( 15) Bir torbada 5 sarı 6 kırmızı
bilye vardır. Torbadan rasgele bir bilye çekilip
tekrar torbaya atılıyor ve ikinci defa çekiliyor.
Birincinin sarı, ikincinin kırmızı olma olasılığı
nedir?
Çz: 5/11 . 6/11 = 30/121
Bir deney sonlu sayıda tekrar edilmiş olsun.
Birinci denemede A1
Đkinci denemede A2
--------------
-----→P( A1 , A2 ,.... An ) = P( A1 ).P( A2 ).....P( An )
Örnek( 16)
Bir madeni para 6 defa arka
arkaya havaya atılıyor.
a) ilk iki atışta tura, sonraki dört atışta yazı
gelme olasılığı?
b) Đki atışta tura, dört atışta yazı
gelme
olasılığı nedir?
c) Đlk atışın tura son atışın yazı gelme olasılığı
Çz: a)
P(T,T,Y,Y,Y,Y)=P(T).P(T).P(Y).P(Y)P(Y). P(Y)
= 1/2.1/2.1/2.1/2.1/2.1/2=1/64
6!
= 15 şekilde seçim yapılabilir
2!.4!
(T,T,Y,Y,Y,Y)
örnek uzay ise 26dır.
Örnek( 17) Bir zar 3 defa atılıyor. Birincide
1, ikincide 3 ve üçüncüde 5 gelme olasılığı
nedir?
1 1 1
1
Çz: P(1,3,5)=P(1).P(3).P(5)= . . =
6 6 6 216
Örnek( 18)
atılıyor.
Bir madeni para beş kez
ÇZ: örnek uzayın eleman sayısı: 2 5 = 32
TEKRARLI DENEMELER
b)
c) Baş ve son için dört durum geçerlidir;
T.....T,
T....Y,
Y....T,
Y......Y
O halde sonuç 1/4
15 15
=
2 6 64
a) Đlk ikisinin yazı diğerlerinin tura gelme
olasılığı;
Olay YYTTT olayıdır 1/2.1/2.1/2.1/2.1/2=1/32
b) ikisinin yazı gelme olasılığı;
Olay Y,Y,T,T,T olayıdır yani sıra önemli
5!
=10 dur
değildir. Farklı diziliş sayısı
2!.3!
O halde cevap :10/32
Örnek( 19) A torbasında 4 Sarı, 3 Kırmızı
ve B torbasında 3 Sarı, 5 Kırmızı top vardır. A
torbasından bir top çekilip B torbasına atılıyor
ve B torbasından bir top çekiliyor.
B torbasından çekilen topun kırmızı
olduğu bilindiğine göre A torbasından çekilen
topun sarı olma olasılığı nedir?
ÇZ:
4 5
.
10
7 9
=
4 5 3 6 19
. + .
7 9 7 9
Örnek( 20) Anne ,Baba ve dört çocuk
yuvarlak bir masa etrafında oturacaklar. Anne
ile Babanın yanyana olma olasılığı nedir?
2'.4' 2
(
= )
5!
5
14
Örnek( 21) 5 Kız 4 Erkek arasından seçilen
3 kişinin ikisinin Kız birinin Erkek olma
olasılığı nedir?
Örnek( 22) Üç zar havaya atılıyor üst yüze
gelen sayıların oluşturduğu üç basamaklı
sayılar için
a) Rakamlarının farklı olma olasılığı
b) Beş ile bölünebilme olasılığı
c) Rakamlarının çarpımının tek olma olasılığı
çarpımının
çift
olam
d) Rakamlarının
olasılığı?
Örnek( 23) 5 evli çift arasından iki seçiliyor.
Seçilen kişilerin evli olma olasılığı?
Örnek( 24) 13 kişilik bir gurupta 5 evli çift
vardır. Seçilecek üç kişi arasında bir evli çiftin
olma olasılığı?
Örnek( 25) E=A ∪ B ∪ C
kümeleri ayrıktır
P(A)=
2
7
, P(B)=
ve
A,B,C
4
ise P(C)=?
7
Örnek( 26) Bir çift hileli zar havaya atılıyor.
Tek sayı gelme olasılığı , çift sayı gelme
olasılığının üç katı ise gelen sayının asal olma
olasılığı nedir?
ÇZ: 3p+p+3p+p+3p+p=12p ise cevap=7/12
Örnek( 27) Bir çift zar havaya atılıyor.
Zarlardan birinin 3 geldiği bilindiğine göre
toplamlarının 6’dan büyük olma olasılığı nedir?
Örnek( 28) I. Kutuda 3 Sarı 4 Kırmızı top ve
II. Kutuda 5 Sarı 3 Kırmızı top vardır. Bu
kutulardan rasgele seçilen bir kutudan rasgele
çekilen bir topun sarı olma olasılığı nedir?
ÇZ: I. Kutunun rasgele seçimi ½ ise sarı çekme
1 3
olasılığı P(I)= .
2 7
II. Kutunun rasgele seçimi ½ ise sarı çekme
1 5
olasılığı P(II)= .
2 8
Ayrık olaylar olduklarından
1 3 1 5 59
. + . =
2 7 2 8 112
Bir deneyin üç ayrık sonucu
8
,
a,b,c dir. Sonucun a veya b olma olasılığı
15
3
a veya c olma olasılığı ise
5
Örnek( 29)
a) a olayının olasılığı
b) a ve b olayının olasılığı?
Örnek( 30) A torbasında 4 Mavi 6 Kırmızı,
B torbasında 6 Mavi 4 Kırmızı bilye vardır.
Torbalardan ikişer bilye çekiliyor.
a) Dördünün de kırmızı olma olasılığı
b) Üçünün kırmızı olma olasılığı
c) Đkisinin kırmızı olma olasılığı
ÇZ: a)
B
 4
 
2
6 5 4 3
.   veya
. . .
10 9 10 9
10  10 
   
2 2
b)
B
 4  6 
  
 1  1 
A
 6
 
 2
10 
 
2
c)
A
6
 
 2
.
A
6
 
 2
10 
 
2
10 
 
2
.
B
 6
 
 2
10 
 
2
+
+
A
 6  4 
  
 1  1 
10 
 
2
A
 6  4 
  
 1  1 
10 
 
2
.
B
 4
 
2
. 
10 
 
2
B
 4  6 
  
 1  1 
10 
 
2
15
Örnek( 31) Bir madeni para 6 kez havaya
atılıyor. En az 5 kez yazı gelme olasılığı nedir?
Örnek( 36)
Şekildeki 9 noktadan
rasgele 3 nokta
seçiliyor.
Bu
noktaların
üçgen
oluşturma olasılığı
nedir?
ÇZ: Y,Y,Y,Y,Y,T veya Y,Y,Y,Y,YY
6
+
1 =7
o halde
7
26
Örnek( 32) 4 Sarı ve 5 Kırmızı topun
bulunduğu bir torbadan üç top çekiliyor. En az
birinin sarı olma olasılığı?
Örnek( 37)
ayrılmıştır
Şekildeki
kare
eş
parçalara
Örnek( 33) Bir sınıfta 10 kız 15 erkek
vardır. Kızların 5’i , erkeklerin 6’sı ela
gözlüdür. Rasgele seçilen bir öğrencinin
a) Ela gözlü erkek olma olasılığı ?
b) Ela gözlü olmama olasılığı?
Örnek( 34) Futbol, voleybol ve basketbol
oyunlarından en az birini bilen 40 kişilik bir
sınıfta futbol veya basketbol oynayan 32 kişi ,
futbol veya voleybol oynayan 25 kişi , voleybol
veya basketbol oynayan 33 kişi vardır. Seçilen
bir öğrencinin en az iki oyun oynayabilme
olasılığı nedir?
(C: ¼)
Örnek( 35) 6 evli çift arasında üç kişi
seçiliyor. Seçilenlerin arasında ;
a) Bir evli çift olma olasılığı nedir?
b) Hiç evli çift olmama olasılığı nedir?
 6  10 
 . 
1  1  = 3
ÇZ: a)
11
12 
 
3
3 8
b) 1 − =
11 11
Örnek ( 36) Beş elemanlı bir kümenin özalt
kümelerinden biri rasgele seçiliyor. Seçilen bu
kümenin 3 ‘ten az elemanlı bir alt küme olma
 6  6  6
  +   +  
0
1
2
olasılığı nedir? (C:       )
26 − 1
Bir kenarı 10 cm olan bu kareden oluşturulacak
dikdörtgenlerden biri seçiliyor. Seçilen
dikdörtgenin çevresinin 8 cm’den fazla olma
olasılığı nedir?
Örnek( 38) Galatasaray ve Diyarbakırsporun
da aralarında bulunduğu 16 takım süperligde
mücadele ediyorlar. Her takım diğer bir takımla
hem kendi sahasında hem de deplasmanda maç
ediyor. Diyarbakırspor ile Galatasaray’ın ilk
hafta maç yapma olasılığı nedir?
16 
ÇZ: 2.  = 240 maç yapılıyor. Her hafta 8
2
2
1
=
maçtan toplam 30 hafta vardır.
30 15
Örnek( 39) Ahmet’in bir hedefi vurma
1
, Hasan’ın aynı hedefi vurma
olasılığı
3
2
olasılığı
tir.
5
a) Đkisinin de hedefi vurma olasılığı
b) Yalnız birinin hedefi vurma olasılığı?
ÇZ: a)
1 2 2
. =
3 5 15
b)
1 3 2 2 7
. + . =
3 5 3 5 15
16
Örnek( 40) Bir küpün üç yüzünde 1, iki
yüzünde 3 ve bir yüzünde 5 yazılıdır. Üç kez
havaya atılan bu küpün üç basamaklı rakamları
farklı bir sayı oluşturma olasılığı nedir?
3 2 1
. . dir farklı durumlar 3!
6 6 6
3 2 1 1
dir. O halde cevap: 3!. . . =
6 6 6 6
ÇZ: 135 gelmesi:
Örnek( 41) elinde beş anahtarı bulunan biri
kapıyı bu anahtarlardan birinin açtığını biliyor.
Anahtarları denemeye başladığında açmayan
anahtarı cebine koyduğuna göre üçüncü
denemesinde kapıyı açma olasılığı nedir?
Açmama, açmama, açma
4
3
1 1
.
.
=
5
4
3 5
Örnek( 42) 10 maçın oynandığı bir ligde
spor toto oynayan birinin tüm maçları doğru
1
)
tahmin etme olasılığı nedir?
(C:
310
Örnek( 43) Yüksek öğrenim için A ve B
ülkelerine gönderilmek üzere 5 öğrenci
seçilmiştir. Her iki ülkeye en az birer öğrenci
gideceğine göre , bu beş öğrenci kaç farklı
guruplama ile gönderilebilir?
(C: 30)
(ÖSS 2003)
Örnek( 44) Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün
yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramit) iki
yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır.
Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan
yüzlerinde , sırasına ve yönüne bakılmaksızın
A,T,A harflerinin görülme olasılığı kaçtır?
(C: 1/2 )
(ÖSS-99)
17