açı ve açı ölçüsü

bilgi
AÇI VE AÇI ÖLÇÜSÜ
Resimdeki iþaretli yerler ( )size hangi geometrik kavramý hatýrlatýyor? Bu
geometrik kavramýn ortaya çýkmasý için baþka hangi geometrik kavramlardan yararlanýlýr?
Resim incelendiðinde birçok açý modeli göze çarpar. Başlangıç noktaları ortak
olan iki ışının birleşimi açıyı oluşturur. Çevremizde baþka örneklerini de kolaylýkla
görebileceðimiz açýnýn oluþmasý için iki kenar ve bir köþe gereklidir.
Bir açýda kenarlarý (kolları) ýþýnlar, köþeyi ise ýþýnlarýn ortak olan noktasý ifade
A
eder.
•
O•
Baþlangýç noktalarý O olan iki ýþýnýn baþlangýç noktalarý
çakýþtýrýlýrsa bir açý meydana gelir.
•
O
•
B
A
•
O
•
B
OA ýþýný ile OB ýþýnýndan oluþturulan açý
farklý biçimlerde adlandýrýlabilir.
köþeye göre
ëO (O açýsý)
ýþýnlara göre
AéOB (AOB açýsý)
∠ AOB
∠ O
∠ BOA
BéOA (BOA açýsý)
Açý ýþýnlara göre adlandýrýlýrken baþlangýç noktasýnýn ya da köþe noktasýnýn ortaya
alýnmasýna dikkat edilir.
10
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
tudem 4. sýnýf matematik
R
•R
•
A
kenarlar →
•N
•
R
Açý, sembolle ëR, AéRN ya da NéRA biçiminde gösterilir .
kenar
ke
r
na
ke
T
r
kenar
T → köþe
na
ke
r
na
ke
na
r
B → köþe
D
•D
iç bölge
R noktasý
•
R
D → köþe
K
dýþ bölge •
köþe → • R
RN ýþýný
RA ýþýný
B
bilgi
•
A
MERCEK
ALTINDA
Yandaki açýnýn kenarlarý ve
köþesi gösterilerek oluþan açý
sembolle ifade edilebilir:
•N
L
•
M
Verilen düzlemde D
noktasý açýnýn iç bölgesinde, R noktasý açýnýn
dýþ bölgesinde; K, L ve M
noktalarý ise açýnýn üzerindedir.
Açý ölçüsü birimi derecedir . Açı ölçerken standart ölçü
birimleri kullanılır . Standart açý ölçme araçlarý açýölçer (iletki) ve gönyedir . Açýölçer, gönyeye göre daha kullanýþlýdýr .
Açýölçerle birçok açý ölçülebilirken, gönye ile ölçüsü 30°,
45°, 60°, 90° ve 180° olan açýlar ölçülebilir . Aþaðýda bir
açýyý ölçmek için izlenecek aþamalar gösterilmiþtir:
2
1
•
açýölçerin
merkezi
•
A
A
MATEMATİK
OKUYORUM
3
60°
•
A
A
60°
A açýsýnýn ölçüsü s(A) = 60° dir .
Açýyý ölçmek için açýölçerin merkezi açýnýn köþesine
yerleþtirilir . Açýnýn bir kenarý açýölçerin düz kýsmýyla
çakýþtýrýlýr . Diðer kenarýn açýölçerin eðri kýsmýný kestiði
yer açýnýn ölçüsünü verir .
tudem 4. sýnýf matematik
Yandaki
açýnýn ölçüsü,
E•
B
54°
•
S
s(EBS) = 54° biçiminde
gösterilir, “EBS açýsýnýn
ölçüsü elli dört derecedir.”
biçiminde okunur.
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
11
bilgi
Aþaðýda farklý gönyeler kullanýlarak açýlar ölçülmüþtür:
30°
s(B) = 90°
B
B
60°
90°
90°
45°
s(C) = 45°
C
45°
90°
C
45°
Kullanýlan gönyenin uygun köþesi, açýnýn kenarlarý ve köþesi ile çakýþtýrýlarak açýnýn
ölçüsü bulunur.
Açýölçer kullanýlarak 100° lik bir AéBC çizilmek istenilirse öncelikle cetvel yardýmýyla
kenarlardan biri çizilir. Çizilen BC ýþýnýnda açýölçerin merkezi B köþesine yerleþtirilir.
100
•
•
•
B
C
•
B
•
C
Açýölçerde 100° ye karþýlýk gelen yer iþaretlenir. Ýþaretlenen nokta B köþesi ile
birleþtirilir. Çizilen BA ýþýný ile 100°’lik AéBC meydana gelir.
100
•
•
B
12
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
s(AéBC) = 100°
•
C
tudem 4. sýnýf matematik
bilgi
YAŞAMIN
İÇİNDEN
Açý Çeþitleri
Açýlar ölçülerine göre adlandýrýlýrlar:
Dar açý : Ölçüsü 0° ile 90° arasýnda olan açýlardýr .
E
K
•
A
54°
•
•
74°
T•
•D
M
s(KéLM) = 54°
F
37°
•
L
E
s(AéED) = 37°
s(FéET) = 74°
Dik açý : Ölçüsü 90° olan açýlardýr .
D•
E
•
F
•
•
Ç
•
•
S
•
R•
H
B
s(DéÇH) = 90°
•D
s(RéFS) = 90°
s(EéBD) = 90°
Geniþ açý : Ölçüsü 90° ile 180° arasýnda olan açýlardýr .
D
•
P
B
•
125°
C
148°
•
R
Fotoðraf çekimlerinde
ýþýðýn geliþ açýsýný doðru
seçmek çok önemlidir.
Iþýðýn geliþ açýsýna göre
fotoðrafa sertlik, yumuþaklýk, derinlik, doðallýk
ve estetik katýlabilir.
•
T
s(PéRT) = 125°
s(DéBC) = 148°
Doðru açý : Ölçüsü 180° olan açýlardýr .
R
•
•
F
•
A
•
C
•
s(BéCF) = 180°
•
E
•
K
P
•
•
D
B
s(DéEK) = 180°
0° < s(A) < 90° → Dar açý
s(RéAP) = 180°
•
s(A) = 90° → Dik açý
90° < s(A) < 180° → Geniþ açý s(A) = 180° → Doðru açý
E•
Verilen þekilde oluþan açýlar ve
bu açýlarýn çeþitleri yazýlabilir:
•D
34°
•
A
•
56°
B
s(AéBE) = 90°
s(EéBC) = 90°
MERCEK
ALTINDA
Açý çizimlerinde 90°,
“ • ” sembolü ile gösterilir.
•
C
3 Dik açý
s(AéBD) = 90° + 34° = 124°
s(EéBD) = 34°
s(DéBC) = 56°
Geniþ açý
s(AéBC) = 90° + 34° + 56° = 180°
tudem 4. sýnýf matematik
3 Dar açý
Doðru açý
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
13
bilgi
ÜÇGEN VE ÜÇGEN ÇEÞÝTLERÝ
Verilen süslemeyi oluþturmak için hangi geometrik þekillerden yararlanýlmýþtýr? Bu
geometrik þekillerin ortak özelikleri nelerdir?
Her biri üç kenarlý olan bu geometrik þekiller üçgen olarak adlandýrýlýr. Üçgen, üç
doðru parçasýnýn birleþtirilmesiyle oluþur. Doðru parçasý, iki ucu sýnýrlý olan doðrudur.
Ýki büyük harfle gösterilir.
•C
•
A
•C
•
B
A•
•B
[AB], [AC] ve [BC] kullanýlarak bir üçgen oluþturmak için doðru parçalarýnýn ortak
noktalarý çakýþtýrýlýr.
köþe
r
na
ke
ke
na
r
C
A
köþe
kenar
B
köþe
Çakýþtýrýlan noktalar üçgenin köþeleridir. Üçgenler köþelerindeki
büyük harflerle adlandýrýlýrlar. Herhangi bir harften baþlayarak
saat yönünde ya da saat yönünün tersi yönde harfler yan yana
getirilir. Bir üçgen 6 farklý þekilde ifade edilebilir. Çizilen üçgen
adlandýrýlýrsa,
ABC üçgeni
BAC üçgeni
CAB üçgeni
ACB üçgeni
BCA üçgeni
CBA üçgeni olur.
Bir üçgende üç kenar, üç köþe ve üç açý vardýr.
E
D¿EF’nin iç açýlarý EéDF , DéFE ve FéED ’dýr.
iç açý
f
D
F
e
iç açý
14
Kenarlar her zaman küçük harfle gösterilir.
d
iç açý
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
DEF üçgeninin kenarlarý d, e ve f, köþeleri ise D, E ve
F noktasýdýr.
tudem 4. sýnýf matematik
∆
Çeþitkenar Üçgen
A
Kenar uzunluklarý farklý olan
üçgendir . Çeþitkenar üçgenin
açý ölçüleri de farklýdýr .
b
c
B
C
a
|AB|≠ |BC| ≠ |AC|
DEF, “DEF üçgeni”;
[LM], “LM doðru parçasý” biçiminde okunur.
[AB]’nýn uzunluðu
|AB| biçiminde gösterilir.
s(ëA) ≠ s(ëB) ≠ s(ëC)
•
A
Ýkizkenar Üçgen
Ýki kenar uzunluðu eþit olan
üçgendir . Ýkizkenar üçgenin iki
açýsý eþ ölçüdedir . Bu açýlar
taban açýlarýdýr . Diðer açýsý
tepe açýsýdýr . Ölçüsü taban
açýlarýndan farklýdýr .
E
tepe
açýsý
D
F
taban açýlarý
P
taban açýlarý
Ýkizkenar üçgenin tepe açýsý her
zaman eþit kenarlarýn arasýndaki
açýdýr .
|PR| = |RT| s(ëP) = s(ëT)
R
T
tepe açýsý
Eþkenar Üçgen
Kenar uzunluklarý eþit olan üçgendir . Eþkenar üçgenin açý ölçüleri
eþittir .
B
A
C
|AB| = |BC| =|AC| s(ëA) = s(ëB) = s(ëC)
ÖRNEK
B
D
4 cm
7 cm
2 cm
•
B
|AB| = 2 cm
YAŞAMIN
İÇİNDEN
Atatürk'ün bir geometri kitabı yazdığını biliyor muydunuz?
Atatürk, Arapça ve
Farsça terimlerle dolu
ders kitaplarının öğrencilerin öğrenmesini geciktirdiğini düşünüyordu. Bu sebeple zâviye
yerine "açı", dılı yerine
"kenar" ve müselles yerine "üçgen" gibi yeni terimlerin kullanıldığı bir
geometri kitabı yazdı.
1
A
4 cm
bilgi
MATEMATİK
OKUYORUM
Kenarlarýna Göre Üçgenler
C
L
2 cm
E
2 cm
2 cm
F
2 cm
4 cm
5
M
cm
K
Verilen üçgenler kenar uzunluklarýna göre nasýl
sýnýflandýrýlabilir?
A¿BC → Ýkizkenar üçgen
D¿EF → Eþkenar üçgen
L¿KM → Çeþitkenar üçgen
tudem 4. sýnýf matematik
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
15
Dar Açýlý Üçgen
Tüm açýlarý dar açý olan üçgendir.
B
s(ëA) < 90° , s(ëB) < 90° ve s(ëC) < 90°
Eþkenar üçgen, dar açýlý bir üçgendir.
A
C
Dik (Açýlý) Üçgen
Bir açýsý dik açý, diðer iki açýsý dar açý olan üçgendir.
E
dik kenar
bilgi
Açýlarýna Göre Üçgenler
hi
po
•
D
te
Dik üçgende dik açýnýn karþýsýndaki kenar en uzun
kenardýr. Bu kenar hipotenüs, diðer kenarlar dik kenarlardýr.
nü
s
dik kenar
F
s(ëD) = 90° , s(ëE) < 90° ve s(ëF) < 90° dir.
Geniþ Açýlý Üçgen
P
N
Bir açýsý geniþ açý, diðer iki açýsý dar açý olan üçgendir.
s(ëR) > 90° , s(ëP) < 90° ve s(ëN) < 90° dir.
R
Bir Üçgenin Ýç Açýlarýnın Ölçüleri Toplamý
Kâðýttan yapýlmýþ bir üçgenin farklý renklere boyanmýþ
köþelerini kesin. Köþeleri bir noktada yan yana getirin.
Ne görüyorsunuz?
Üçgenin iç açýlarý toplamı bir doðru açý oluþturur. Doðru açýnın
ölçüsü 180° olduðundan, “Bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri toplamý
180° dir.” denir.
16
s(ëA) + s(ëB) + s(ëC) = 180°
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
tudem 4. sýnýf matematik
Eþkenar üçgenin üç iç açýsý eþit
olduðundan bir iç açýsýnýn ölçüsü
s(ëA) + s(ëB) + s(ëC) = 180°
A
60°
B
B
60°
C
s(ëA) = 180° – (s(ëB) + s(ëC))
60°
s(ëA) = s(ëB) = s(ëC) = 180° : 3 = 60° dir .
D
bilgi
MERCEK
ALTINDA
Üçgenin iç açýlarý ölçüleri toplamýnýn 180° olmasý
eþkenar üçgenin bir iç açýsýný, ikizkenar dik üçgenin
taban açýlarýný ya da iki açýsý bilinen herhangi bir üçgenin
A
üçüncü açýsýný bulmada kolaylık sağlar .
C
s(ëB) = 180° – (s(ëA) + s(ëC))
s(ëC) = 180° – (s(ëA) + s(ëB))
Ýkizkenar dik üçgenin tepe açýsý
s(ëE) = 90° olduðundan
45°
s(ëD) + s(ëE) + s(ëF) = 180°
45°
•
E
s(ëD) = s(ëF) = (180° – 90°) : 2 = 45° dir .
F
L
KLM’nde s(ëK)=57° ve s(ëL)=66° ve-
66°
rildiðinde s(ëM) = 180° – (57° + 66°)
s(ëM) = 180° – 123° = 57° bulunur .
K
57°
57°
M
Buradan KLM üçgeninin ikizkenar
Üçgen biçiminde
bükülmüş çelik çubuktan
oluşan vurmalı çalgı.
üçgen olduğu söylenir .
ÖRNEK
YAŞAMIN
İÇİNDEN
2
A, B ve C bir üçgenin iç açýlarýdýr .
A
s(ëA), eþkenar üçgenin bir iç açýsýnýn
ölçüsüne eþittir .
s(ëB), s(ëC)’nün 2 katýndan 18° eksik
B
C
olduðuna göre s(ëC) kaç derecedir?
s(ëA) = 60°
A
s(ëB) + s(ëC) = 180° – s(ëA)
60°
s(ëB) + s(ëC) = 180° – 60° = 120°
s(ëC) → 1 kat
B
C
s(ëB) → 2 kat–18°, 120°+18° = 138°
s(ëC) → 138° : 3 = 46°
tudem 4. sýnýf matematik
Rize’nin doðusunda
bulunan Pazar ilçesinde
çam aðaçlarýnýn diziliþleri
üçgen yapýda olan çamlýk
bir bölge vardýr. Bu nedenle bu çamlýða “Üçgen
Çamlýk” denilmektedir.
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
17
bilgi
KARE VE DÝKDÖRTGEN
Yukarıdaki nesnelerde hangi geometrik þekilleri görüyorsunuz? Çevrenizde bu
geometrik þekillere benzeyen baþka nesneler var mý?
Dört kenarlý geometrik þekillere dörtgen adý verilir. Bu ünitede karþýlýklý kenar uzunluklarý eþit olan dörtgenlerden bazýlarýný öðreneceksiniz.
Dörtgenler, köşelerindeki büyük harflerle adlandırılırlar.
Yandaki plana göre,
evden çýkan bir öðrenci
önce okula gidiyor.
Okuldan sonra kütüphaneye uðrayarak ödevini araþtýrýyor. Daha
sonra marketten ekmek
alýp eve dönüyor.
Öðrencinin evden çýkarak izlemiþ olduðu yol;
Okul → Kütüphane → Market → Ev olarak ya da kýsaca büyük harfler kullanýlarak
OKME biçiminde ifade edilir.
OKME dörtgeni; EMKO dörtgeni, MKOE dörtgeni, KMEO dörtgeni olarak da ifade
edilebilir.
Kare
Kare düzgün bir dörtgendir. Karenin 4 köþesi, 4
kenarý ve 4 iç açýsý vardýr. Kenarlarý birer doðru parçasýdýr. Tüm kenar uzunluklarý eþittir.
ABCD karesinin köþeleri: A, B, C, D
kenarlarý: [AB], [BC], [CD], [DA]
kenar uzunluklarý: |AB| = |BC| = |CD| = |DA|’dur.
18
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
tudem 4. sýnýf matematik
köþe
kenar
D
C
Karenin iç açýlarý ölçüleri toplamý 360°
dir . Her iç açýsýnýn ölçüsü 90° dir .
iç açý
kenar
kenar
iç açý
A
iç açý
kenar
köþe
s(ëA) = s(ëB) = s(ëC) = s(ëD) = 90°
B
köþe
Bir geometrik şekilde ardışık olmayan iki köşeyi
birleştiren doğru parçası köşegen olarak anlandırılır .
ABCD karesinin iki köþegeni vardýr, köþegen uzunluklarý eþittir . Köþegenleri birer doðru parçasýdýr . Köþegenler
[AC] ve [BD] olup |AC| = |BD| yazýlýr . Köþegenler iç
açýlarý iki eþ parçaya böler .
Dikdörtgen
4 köþesi, 4 kenarý ve 4
iç açýsý olan dikdörtgen
de kare gibi köþelerindeki büyük harflerle
adlandýrýlýr . Dikdörtgenin
kenarlarý birer doðru parçasý olup karþýlýklý kenarlarýnýn uzunluklarý eþittir .
köþe
V
S
kenar
kenar
R
köþe
kenarlarý: [RT], [TS], [SV],
[VR]
T
kenar
B
•
[AB]//[CD]
C
D
ifadesi “AB
•
•
doðru parçasý paraleldir
CD doðru parçasýna” biçiminde okunur.
C
•
A•
•
D
•B
[CD]⊥[AB], “CD doðru
parçasý diktir AB doðru
parçasýna” biçiminde okunur.
RTSV dikdörtgeninin
köþeleri: R, T, S, V
köþe
kenar
A
•
YAŞAMIN
İÇİNDEN
köþe
kenar uzunluklarý: |RT| = |SV|, |TS| = |VR|’dur .
V
•
•
•
•
R
S
T
Dikdörtgenin iç açýlarý ölçüleri
toplamý 360° dir . Her iç açýsýnýn
ölçüsü 90° dir .
s(ëR) = s(ëT) = s(ëS) = s(ëV) = 90°
H
G
•
•
•
•
E
F
EFGH dikdörtgeninin iki
köþegeni vardýr, köþegen uzunluklarý eþittir .
Köþegenleri birer doðru
parçasýdýr .
Köþegenler [HF] ve [EG] olup |HF| = |EG|’dur .
Kare ve dikdörtgenin 2 köşegeni vardır . Üçgenin
köşegeni yoktur .
tudem 4. sýnýf matematik
Satranç tahtası, kenarlı
eşit, üzerinde satranç oynanan dört köşe bir alandır.
Bir satranç tahtasýnda
farklı boyutlarda toplam
204 tane kare vardýr.
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
19
bilgi
iç açý
MATEMATİK
OKUYORUM
köþe
etkinlik
Açıları Okuma ve Tanıma
1 Aşağıdaki açılardan hangileri doğru adlandırılmıştır?
 veya X koyarak gösterin.
G
E
A
B
ile gösterilen yerlere
M
K
L
F
C
EFG açısı
BAC açısı
KLM açısı
P
M
E
K
N
O
O açısı
M
L
T
NPT açısı
MLK açısı
2 Verilen açılardan dar olanları örnekteki gibi maviye, geniş olanları kırmızıya
boyayın.
162°
49°
13°
145°
119°
36°
72°
171°
44°
83°
100°
41°
156°
Açı ve Açı Ölçüsü
Kazanım 2 : Açıyı isimlendirir ve sembolle gösterir.
Kazanım 4 : Açıları standart açı ölçme araçlarıyla ölçerek açıları; dar, dik, geniş ve
doğru açı olarak belirler.
20
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
tudem 4. sýnýf matematik
O
C
N
B
10
1
H
etkinlik
R enkli Şekiller
5
7
M
G
P
K
A
6
F
E
D
2
9
C
3
A
R
S
Ü
8
4
B
U
T
A Noktalı kâğıtta bazı geometrik şekiller verilmiştir. Örnekten yararlanarak
aşağıdaki boşlukları doldurun.
ABCD
ÜUT
KABC
HMNO
FEG
PRS
B Kaç nolu geometrik şekillerin köşegeni yoktur?
C Kaç nolu geometrik şekillerin dört açısı, dört köşesi vardır?
D Hangi geometrik şekiller dik üçgendir?
E Hangi geometrik şekiller geniş açılı üçgendir?
Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
Kazanım 1 : Üçgen, kare ve dikdörtgeni isimlendirir.
Kazanım 3 : Kare ve dikdörtgenin kenar ve açı özelliklerini belirler.
Kazanım 4 : Köşegeni belirler. Kazanım 5 : Üçgenleri açı ölçülerine göre sınıflandırır.
tudem 4. sýnýf matematik
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
21
1.
Zorluk Seviyesi
Aþaðýdakilerden hangisi açý ölçme
araçlarýndandýr?
A. metre
C. gönye
4.
A•
Þekilde [BA ⊥ [BD
olduðuna
göre
•C
s(CéBD) kaç dere-
B. pergel
D. makas
37°
cedir?
•
D
B
A. 53
C. 55
2.
B. 54
D. 56
A, F, N, C harflerinden kaçýnda açý
oluþturan çizgiler vardýr?
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
5.
3.
K•
∠AOB aþaðýdakilerden hangisi ile
gösterilemez?
A.
L
•
M
Þekle göre belirtilen açý aþaðýdakilerden hangisi ile ifade edilemez?
B.
O•
O
A
•
•
B
•B
A
C.
D.
•
B
•
O
•
A
B•
A. ëL
B. ∠L
C. ∠KLM
D. LéMK
tudem 4. sýnýf matematik
O
•
A
Açı, Üçgen, Kare ve Dikdörtgen
27
test 1
Çözümlü Test