ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ Prof. Dr. Osman Gürdal s e m 524 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMA VE PROBLEM İLE 4.BASKI BURSA ORHANGAZİ ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI– BURSA 2017 εLεKTRσµANYεTİK ALAN TεσRİSİ BURSA ORHANGAZİ ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI– BURSA 2017 IV ÖNSÖZ Elektromanyetik alan teorisi kavramından önce alan teorisi kavramının öncelikle vurgulanması gerekir. Alan uzay ve zamanda gözlenebilir bir niceliğin veya büyüklüğün süreklilik gösteren dağılımı olarak tanımlanabilir. Ölçülebilir olması gereken bu gözlenebilir nicelik bir sıvının rengi, atmosferdeki toz yoğunluğu, sıcaklık dağılımı, güneşin ışık ve sıcaklık dağılımı, atmosfer basıncı, rüzgar dağılımı, yerçekimi, akarsudaki akış örüntüsü, dünyayı çevreleyen manyetik alan, derideki kıl yoğunluğu, ormandaki ağaç dağılımı, nüfus dağılımı, telefon baz istasyonu ve elektrik iletim hatları etrafındaki elektriksel ve manyetik alan örüntüleri gibi olaylar çeşitlemesinden herhangi biri olabilir. Gözlenen nicelik, uzayda değişim gösterip zamanla değişmiyorsa statik alandan, tersi durumda ise zamanla değişken alandan söz edilir. Bir alanın matematiksel tanımında alanın uzayın bir fonksiyonu olduğu kabul edilir. Alandaki herhangi bir nokta, uzayda öbür noktalara göre konumu cinsinden belirlenir. Ölçülen özellik, doğrultudan bağımsızsa skaler, doğrultuya bağlıysa vektördür. Alanları sınıflandırmanın çeşitli yolları vardır; başlangıçta bunlar maddi ve maddi olmayan alanlar olarak ikiye ayrılabilir. Maddi alanlarda gözlenebilir nicelik bir gazın sıcaklığı, bir sıvının hızı ya da yoğunluğu gibi maddenin bir özelliğini gösterir. Elektrik alanı ve manyetik alan gibi maddi olmayan alan ise herhangi bir maddi özelliği sergilemeyip belli koşullar altında uzayın bir noktasında ortaya çıkacak bazı gizli etkileri sergiler. Gözlenebilir alan, alan fonksiyonuyla verilen ve uzayın x, y, z koordinatlarıyla tanımlanan bir noktasındaki değeri bulunabilen elektrostatik veya manyetostatik alandır. O noktada gerçekte var olan herhangi bir şey yoktur. Eğer bir elektrik yükü x, y, z koordinatlarıyla tanımlanan noktaya yerleştirilirse, elektrik yükü alan fonksiyonuyla orantılı bir kuvvetin etkisinde kalacaktır. Manyetik alan, elektrik alanı, kütleçekimi alanı ve olasılık alanları bu türden alanlara örnektir. Alanlar gözlenebilir fonksiyonlarının skaler, vektör ya da tensör oluşlarına göre de sınıflandırılabilir. Bir skaler büyüklüğü olan ancak yönü olmayan niceliktir. Kütle, yoğunluk, sıcaklık, akım, gerilim skaler alanlardır. Vektör, uzayda yönlenmiş niceliktir. Kuvvet, elektrik ve manyetik alan şiddetleri ve akı yoğunlukları vektörel niceliklere örnek verilebilir. Alanın ölçülebilir niceliği yalnızca skaler ya da vektörel niceliklerle ifade edilemiyorsa ve böylesi birçok niceliğin bir arada ele alınması gerekiyorsa bir tensör kurulması gerekir. Atmosferde herhangi bir noktadaki basınç gaz molekülleri ile yer arasındaki kütleçekimi etkisinden kaynaklanır. Bir yandan yeryüzüne doğru gaz moleküllerinin hızlanmasına yol açan bu çekim etkisinden, öbür yandan yüklendikleri ısıl enerji yüzünden birbirleriyle çarpışan moleküllerin atmosferin genişlemesini sağlayan etkisinden kaynaklanan iki karşıt eğilim arasında bir kararlı durum oluşur. Böylece atmosfer basıncı, irtifa’nın yani yeryüzünden yüksekliğin azalan bir fonksiyonu olur. Bu durum skaler alanlar için en basit örneklerdendir. Sıcaklık alanı, kütleçekimi alanı, hareketli akışkanların yoğunlukları gibi alanlar da benzer skaler alanlardır. Uzayda fiziksel bir miktar bir veya daha fazla sayılar ile temsil edildiğinde bu sayılar sıcaklık, basınç, yoğunluk, elektrik alan şiddeti, manyetik akı yoğunluğu, vb. belirtebilir. Bu değerlerin tamamı, bir çeşit fiziksel miktar için fiziksel bir alan veya üç boyutlu uzayı oluşturur. Böylece ısıl alan, yerçekimi alanı, elektrik alanı ve manyetik alan hakkında konuşuluyor olabilir. Anılan alanların matematiksel teorisi alan teorisi olarak adlandırılır. Alan teorisi Gauss, Laplace, Poisson, Coulomb ve Ampère tarafından 19. yüzyılda geliştirilmiştir. Bir yüzyıl boyunca alan teorisi matematiksel fiziğin önemli bir branşını oluşturmuş fakat matematikçiler ve fizikçiler genelde mühendislik problemleri üzerinde yeterli işbirliği içinde V olmadıklarından ve mühendislerin çoğu alan teorisi için gereken matematik temeline sahip olmadıklarından sadece yakın zamanlarda mühendislik uygulamaları yapılmıştır. Matematikçilerin ve fizikçilerin mühendislik problemlerindeki yetersiz işbirliği muhtemelen ana neden olarak yeni öğretme teknikleri geliştirmede çaresiz kalan insanoğluna büyük bir yanılgıyla “İnsan beyni fizik çalışmak için tasarlanmamıştır.” sözünü söyletecek kadar etkili olmuştur. THE NATURE OF THE HUMAN MIND “Opinions about the human mind are as numerous as the multitude of anthropologists, biologists, psychologists, and philosophers who have written about it. It’s rare, however, for a physicist to venture into such a discussion. We don’t dig for ancient bones or study the ways of bees and geese; our research deals with the inanimate world of electrons and protons, far removed from questions of human behavior. Yet as teachers we confront, on a day-to-day basis, some deep issues concerning the nature of the human mind. With each new freshman class, I again must face the fact that the human mind wasn’t designed to study physics.” Alan Cromer, Uncommon Sense (Oxford University Press, New York, 1993), p. 23. Elektromanyetik alan fizikteki en önemli vektör alanı sayılabilir. Her ikisi de vektör alanı olan elektriksel ve manyetik alanlar hareketli olduklarında karakteristik bir biçimde etkileşir. Bir hidrodinamik sistemdeki basınç alanı tensör alanlarına örnek verilebilir. Bu durum, akışkan içindeki farklı noktaların farklı sıcaklıklarda olduğu karmaşık hareketler sistemine karşılık gelir. Elektromanyetik alan teorisi dersi elektrik mühendisliği müfredatının en önemli temel derslerinden biri olmuş ve bunu sürdürme eğiliminde gözükmektedir. Diğer teorilerin aksine, karmaşık elektrik mühendisliği problemlerinin açıklaması ve çözümünü veren en iyi tesis edilmiş genel teorilerden biridir. Bu kitap elektromanyetik alanları temel olarak kavramak isteyen lisans öğrencileri için iki sömestirlik dersin temel ders kitabı olarak hazırlanmaya çalışılmış ve aynı zamanda ileri elektromanyetik alanlara hazırlanan öğrenciler için de bir kaynak olabilir. Kitap içeriği elektromanyetik alan teorisinin öğrenilmesi seyahatinde bir kılavuz olarak görülebilir. Akla iki soru gelebilir: Elektromanyetik nedir ve niçin önemlidir? İlk soruya elektromanyetik durgun veya hareketli elektrik yüklerinin etkisi çalışmasıdır şeklinde kısa bir cevap verilebilir. Elektromanyetik teori, elektromanyetik olgusunun açıklanmasında ve elektrik, manyetik ve elektromanyetik aygıtların karakteristikleri ve çalışma prensiplerinin anlaşılmasında temel olduğundan önemlidir. Modern topluluklar yoğun bir biçimde elektromanyetik aygıtlar ve sistemlere dayanır. Burada örnek olarak, mikrodalga fırını, katot ışınlı osiloskop, radyo, televizyon, radar, uydu iletişimi, hava taşıtlarının otomatik iniş-kalkış sistemleri ve elektromanyetik enerji dönüşümü (motor ve generatörler) düşünülebilir. Elektromanyetizmanın temel prensipleri 150 yıl kadar önceden biliniyordu. Organize ve mantıklı bir yolda olgunlaşmış bir bilimsel konuya çalışmak için çoğunlukla birkaç temel miktardan ve bazı varsayımlardan (hipotez veya aksiyom) oluşan geçerli bir teorik modelin oluşturulması gereklidir. Diğer ilişkiler ve sonuçlar daha sonra bu varsayımlardan geliştirilir. Örneğin klasik mekanik çalışması kütle, hız, ivme, kuvvet, moment ve enerji’yi tanımlayan teorik bir modele dayanır. Modelin temel varsayımları Newton hareket kanunu, momentin korunumu ve enerjinin korunumu’dur. Bu varsayımlar diğer teoremlerden çıkartılamaz fakat hareket hızının ışık hızına göre ihmal edilebildiği göreceli (mekanik olmayan) diğer bütün ilişkiler ve formüller bu varsayımlardan geliştirilebilir. Benzer şekilde giriş bölümünde bahsedildiği gibi elektromanyetik çalışmasında da bir elektromanyetik modelin oluşturulmasına ihtiyaç duyulur. Vektör analizi, elektromanyetik alan teorisinin matematiksel formülasyonunda omurga rolünde olduğundan, çok iyi anlaşılması elektromanyetik teorinin mantıksal kavranılmasında önemlidir. Bu kitap temel prensiplerden geliştirilmiş ve bir öğreticinin minimum yardımı ile vektör analizi hakkında yeterli bilgi verilmeye çalışılmış ve aynı zamanda uygun konunun akabinde çok sayıda çözümlü problemleri de barındırmaktadır. Bu örnekler sadece kavram veya fiziksel kanunu geliştirmeyip aynı zamanda formal teorik gelişim ve uygulaması arasında bir köprü kurmaktadır. Bu örnekler takviyenin zamanında yapılması ve konunun daha ileri anlaşılması amacıyla makul VI karşılanabilir. Her kısmın sonunda verilen alıştırmaların amacı motivasyonu açığa vurmak, güveni artırmak ve sunulan konunun anlaşılmasını pekiştirmektir. Her bölümün sonundaki problemler öğrencilere daha fazla kendilerini gösterme imkanı sunmaktadır. Bu problemler kitabın önemli bir kısmı olup elektromanyetik alan çalışmalarının önemli bir parçasıdır. Öğrencilerin temel kuralları kullanarak ve gerekli olduğuna inanarak bunları incelemeleri ve benzerlerini çözmeleri tavsiye edilir. Böyle problem çözme pratiği öğrenciye, daha zor gerçek dünya problemlerinin çözümü için güven aşılar ve güçlendirir. Her bölüm bir özet ve çalışma soruları ile sona ermektedir. Özetler aynı zamanda kolay referans olması bakımından bazı önemli eşitlikleri içerir. Çalışma soruları öğrencinin konunun özünü kavradığını sağlamak için tasarlanmıştır. Deneyimler, öğrencilerin teorik gelişimi bir soyutlama olarak görme ve bazı eşitlikleri formüller gibi dikkate alarak vurgulama eğiliminde olduğunu dikte etmektedir. Kısa bir süre içinde öğrenciler formül olarak adlandırdıkları şeylerin sadece farklı bir ortam olmayıp farklı konfigürasyonlarının da farklı olduğunu bulduğundan düş kırıklığına başlarlar. Sadece bir alan miktarının hesaplanması için gerekli eşitlikler dizisi öğrencinin konuya olan ilgisini kaybedecek ölçüde gözlerini korkutur. Bu durumda ders diploma almak için geçilmesi gereken başka bir zor ders olur. Bu, öğretim elemanının metoduna bağlı olup aşağıdaki hususlara dikkat etmesi ise tamamen kendi sorumluluğundadır: Her gelişimin amacını açıklamak, Bu gelişim için zorunlu varsayımların doğruluğunu kanıtlamak, Sınırlamaları vurgulamak, Ortamın etkisine dikkatleri çekmek, Bir eşitlikte geometrinin önemini resimleyerek anlatmak ve Uygun olduğu yerde konu ile ilgili olabilecek günlük hayattan, insan davranışlarından, sosyolojiden, psikolojiden, felsefeden benzerliklere ve metaforlara yer vermek. Bu hedefleri kazanmak için öğretim elemanı kendi deneyimini kullanmalı ve diğer uygulama alanlarını da vurgulamalıdır. Aynı zamanda temel konuları tartışırken alandaki yeni gelişmelerin üzerinde de durmalıdır. Örneğin akım taşıyan iki iletken arasındaki manyetik kuvvet açıklanırken manyetik levitasyon ve süspansiyonlu araçlara değinilebilir veya bir kovuk rezonatörü tartışılırken mikrodalga fırın tasarımı üzerinde durulabilir. Konu düzgünce açıklandığı ve ilgili eşitlikler temel kurallardan geliştirildiğinde öğrenci Teorik gelişimi değerlendirecek, Aldığı gözdağını bırakacak, Motivasyon ve güveni yeniden kazanacak ve Yeni fikirlerin geliştirilme nedeninin gücünü sıkıca kavrayacaktır. İçindekiler tablosuna göre kitabın iki temel kısma ayrıldığı görülebilir. İlk kısımda elektrostatik alanlar, statik manyetik alanlar ve kararlı elektrik akımlarından dolayı alanlar gibi statik alanlar sunulmaktadır. Statik alanların çoğu uygulamaları elektrik ve manyetik alanları beraber içerdiğinden bu uygulamalar bir bölümde sunulmuştur. Zaman ve fazör (frekans) domeninde Maxwell eşitliklerinin gelişimleri ortalama güç yoğunluğu ve zamanla değişen elektrik ve manyetik alanların birlikte varlığı kavramı vurgulanarak bir bölüm oluşturulmuştur. Diğer bir bölümde elektrik ve manyetik devrelerin bilgisayar destekli analizi ve sayısal çözüm metotları içerilmektedir. Bu kitabın alanındaki bir ihtiyacı gidereceğini ve faydalı olacağını ümit ediyorum. Prof. Dr. Osman Gürdal, Bursa 2017 VII VIII İÇİNDEKİLER 1 ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ ............................................................... 1 1.1 GİRİŞ ....................................................................................................................................... 1 1.2 ALAN KAVRAMI ..................................................................................................................... 2 1.3 ELEKTROMANYETİK MODEL .............................................................................................. 4 1.4 VEKTÖR ANALİZİ .................................................................................................................. 7 1.5 DİFERANSİYEL VE İNTEGRAL FORMÜLASYONLARI ....................................................... 8 1.6 STATİK ALANLAR ................................................................................................................. 8 1.7 ZAMANLA DEĞİŞEN ALANLAR ......................................................................................... 10 1.8 SAYISAL ÇÖZÜMLER VE BİLGİSAYAR DESTEKLİ ANALİZ VE TASARIM .................... 11 1.9 İLERİ ÇALIŞMA .................................................................................................................... 12 1.10 ÇALIŞMA SORULARI ........................................................................................................ 13 2 VEKTÖR ANALİZİ ............................................................................................. 15 2.1 GİRİŞ ..................................................................................................................................... 15 2.2 SKALER VE VEKTÖRLER ................................................................................................... 15 2.2.1 SKALER ........................................................................................................................ 16 2.2.2 VEKTÖR........................................................................................................................ 16 2.3 VEKTÖR İŞLEMLERİ ........................................................................................................... 17 2.3.1 VEKTÖREL TOPLAMA ................................................................................................ 17 2.3.2 VEKTÖREL ÇIKARMA ................................................................................................. 18 2.3.3 VEKTÖR İLE SKALER ÇARPIMI ................................................................................. 18 2.3.4 İKİ VEKTÖRÜN ÇARPIMI ............................................................................................ 18 2.4 KOORDİNAT SİSTEMLERİ .................................................................................................. 23 2.4.1 DİKDÖRTGEN KOORDİNAT SİSTEMİ ........................................................................ 24 2.4.2 SİLİNDİRİK KOORDİNAT SİSTEMİ ............................................................................. 28 2.4.3 KÜRESEL KOORDİNAT SİSTEMİ ............................................................................... 34 2.5 SKALER VE VEKTÖREL ALANLAR ................................................................................... 39 2.6 UZUNLUK, YÜZEY VE HACİM DİFERANSİYEL ELEMANLARI ........................................ 41 2.6.1 DİKDÖRTGEN KOORDİNAT SİSTEMİ ........................................................................ 41 2.6.2 SİLİNDİRİK KOORDİNAT SİSTEMİ ............................................................................. 42 2.6.3 KÜRESEL KOORDİNAT SİSTEMİ ............................................................................... 43 2.7 ÇİZGİ, YÜZEY VE HACİM İNTEGRALLERİ......................................................................... 44 2.7.1 ÇİZGİSEL İNTEGRAL .................................................................................................. 45 2.7.2 YÜZEY İNTEGRALİ ...................................................................................................... 47 2.7.3 HACİM İNTEGRALİ ...................................................................................................... 49 2.8 SKALER FONKSİYONUN GRADYANI ................................................................................ 51 2.9 VEKTÖR ALANININ DİVERJANSI....................................................................................... 56 2.9.1 DİVERJANS TEOREMİ ................................................................................................ 59 2.10 VEKTÖR ALANININ ROTASYONEL’İ ............................................................................... 62 2.10.1 STOKES TEOREMİ .................................................................................................... 68 2.11 LAPLASYAN OPERATÖRÜ .............................................................................................. 71 2.12 BAZI TEOREMLER VE ALAN SINIFLANDIRMALARI...................................................... 73 2.12.1 GREEN TEOREMİ VE ÖZDEŞLİKLERİ ..................................................................... 73 2.12.2 TEKLİK TEOREMİ ...................................................................................................... 74 2.12.3 ALANLARIN SINIFLANDIRILMASI ........................................................................... 75 IX 2.13 VEKTÖR ÖZDEŞLİKLERİ .................................................................................................. 78 2.14 ÖZET ................................................................................................................................... 79 2.15 ÇALIŞMA SORULARI ........................................................................................................ 81 2.16 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR............................................................................................... 82 2.17 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER .............................................................................................. 101 3 STATİK ELEKTRİK ALANLARI ...................................................................... 125 3.1 GİRİŞ ................................................................................................................................... 125 3.2 COULOMB KANUNU ......................................................................................................... 125 3.3 ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ ................................................................................................ 129 3.3.1 YÜK DAĞILIMLARINDAN DOLAYI ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ .............................. 131 3.4 ELEKTRİK AKISI VE ELEKTRİK AKI YOĞUNLUĞU ....................................................... 140 3.4.1 ELEKTRİK AKISI ........................................................................................................ 142 3.4.2 GAUSS KANUNU ....................................................................................................... 143 3.5 ELEKTRİK POTANSİYELİ.................................................................................................. 147 3.6 ELEKTRİK DİPOLÜ ............................................................................................................ 152 3.7 ELEKTRİK ALANINDAKİ MALZEMELER ......................................................................... 158 3.7.1 ELEKTRİK ALANINDAKİ İLETKENLER ................................................................... 158 3.7.2 ELEKTRİK ALANINDAKİ DİELEKTRİKLER ............................................................. 164 3.7.3 ELEKTRİK ALANINDAKİ YARI-İLETKENLER ......................................................... 171 3.8 ELEKTRİK ALANINDA DEPOLANAN ENERJİ ................................................................. 171 3.9 SINIR ŞARTLARI ................................................................................................................ 176 3.9.2 E ’NİN TANJANT BİLEŞENİ ...................................................................................... 177 3.9.1 D ’NİN NORMAL BİLEŞENİ....................................................................................... 176 3.10 KAPASİTÖRLER VE KAPASİTANS ................................................................................ 186 3.10.1 YÜKLÜ CİSİMLERDEKİ ELEKTROSTATİK KUVVETLER ..................................... 192 3.11 POISSON VE LAPLACE EŞİTLİKLERİ ........................................................................... 193 3.11.1 LAPLACE EŞİTLİĞİNİN DEĞİŞKEN AYRIMI METODU İLE ÇÖZÜMÜ ................. 200 3.12 İMAJ METODU.................................................................................................................. 204 3.14 ÖZET ................................................................................................................................. 209 3.15 ÇALIŞMA SORULARI ...................................................................................................... 213 3.16 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR............................................................................................. 215 3.17 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER .............................................................................................. 237 4 KARARLI ELEKTRİK AKIMLARI ................................................................... 273 4.1 GİRİŞ ................................................................................................................................... 273 4.2 AKIM VE AKIM YOĞUNLUĞU ........................................................................................... 274 4.2.1 İLETİM AKIMI.............................................................................................................. 274 4.2.2 TAŞINIM AKIMI........................................................................................................... 275 4.2.3 TAŞINIM AKIM YOĞUNLUĞU ................................................................................... 275 4.2.4 İLETİM AKIM YOĞUNLUĞU ...................................................................................... 277 4.3 İLETKENİN DİRENCİ .......................................................................................................... 279 4.4 SÜREKLİLİK EŞİTLİĞİ ....................................................................................................... 281 4.5 DURULMA ZAMANI ........................................................................................................... 287 4.6 JOULE KANUNU ................................................................................................................ 289 4.7 DİYOTTAKİ KARARLI AKIM .............................................................................................. 291 4.8 AKIM YOĞUNLUĞU İÇİN SINIR ŞARTLARI ..................................................................... 294 4.9 D VE J ARASINDAKİ BENZERLİK................................................................................. 297 4.10 KISMİ DİRENÇ .................................................................................................................. 300 4.11 ELEKTROMOTOR KUVVETİ ........................................................................................... 310 4.12 ÖZET ................................................................................................................................. 314 4.13 ÇALIŞMA SORULARI ...................................................................................................... 316 X 4.14 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR ............................................................................................ 317 4.15 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER .............................................................................................. 331 5 STATİK MANYETİK ALANLAR ...................................................................... 347 5.1 GİRİŞ ................................................................................................................................... 347 5.2 BİOT-SAVART KANUNU ................................................................................................... 349 5.3 AMPÈRE KUVVET KANUNU ............................................................................................. 358 5.4 MANYETİK TORK............................................................................................................... 364 5.5 MANYETİK AKI VE GAUSS KANUNU .............................................................................. 367 5.6 MANYETİK VEKTÖR POTANSİYELİ................................................................................. 370 5.7 MANYETİK DİPOL .............................................................................................................. 374 5.8 MANYETİK ALAN ŞİDDETİ VE AMPÉRE KANUNU ........................................................ 377 5.9 MANYETİK MALZEMELER ................................................................................................ 381 5.9.1 FERROMANYETİZMA ................................................................................................ 388 5.10 MANYETİK SKALER POTANSİYEL ................................................................................ 392 5.11 MANYETİK ALANLAR İÇİN SINIR ŞARTLARI ............................................................... 394 5.11.2 H ALANININ TANJANT BİLEŞENLERİ İÇİN SINIR ŞARTI .................................. 395 5.11.1 B ALANININ NORMAL BİLEŞENİ İÇİN SINIR ŞARTI ........................................... 394 5.12 MANYETİK ALANDAKİ ENERJİ ...................................................................................... 399 5.13 MANYETİK DEVRELER ................................................................................................... 400 5.13.1 MANYETİK DEVRELERDEKİ KUVVETLER VE TORKLAR ................................... 409 5.14 ÖZET ................................................................................................................................. 410 5.15 ÇALIŞMA SORULARI ...................................................................................................... 413 5.16 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR ............................................................................................ 415 5.17 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER .............................................................................................. 430 6 STATİK ALAN UYGULAMALARI ................................................................... 455 6.1 GİRİŞ ................................................................................................................................... 455 6.2 YÜKLÜ PARÇACIK SAPMASI ........................................................................................... 455 6.3 KATOT IŞINLI OSİLOSKOP .............................................................................................. 457 6.4 MÜREKKEPLİ YAZICI ........................................................................................................ 460 6.5 MİNERALLERİN AYRIŞTIRILMASI ................................................................................... 461 6.6 ELEKTROSTATİK GENERATÖR ...................................................................................... 464 6.7 ELEKTROSTATİK VOLTMETRE ....................................................................................... 466 6.8 MANYETİK AYIRICI............................................................................................................ 467 6.9 MANYETİK SAPTIRMA ...................................................................................................... 468 6.10 SİKLOTRON ..................................................................................................................... 471 6.11 HIZ SEÇİCİ VE KÜTLE SPEKTROMETRESİ .................................................................. 473 6.12 HALL ETKİSİ .................................................................................................................... 475 6.13 MANYETOHİDRODİNAMİK GENERATÖR ..................................................................... 477 6.14 ELEKTROMANYETİK POMPA ........................................................................................ 478 6.15 DOĞRU AKIM MOTORU .................................................................................................. 478 6.16 ÖZET ................................................................................................................................. 480 6.17 ÇALIŞMA SORULARI ...................................................................................................... 481 6.18 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR ............................................................................................ 483 6.19 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER .............................................................................................. 490 7 ZAMANLA DEĞİŞEN ELEKTROMANYETİK ALANLAR ............................... 497 7.1 GİRİŞ ................................................................................................................................... 497 7.2 HAREKETE BAĞLI ELEKTROMOTOR KUVVETİ ............................................................ 498 XI 7.2.1 HAREKETE BAĞLI EMF ............................................................................................ 500 7.3 FARADAY İNDÜKLEME KANUNU .................................................................................... 503 7.3.1 İNDÜKLENEN EMF EŞİTLİĞİ .................................................................................... 505 7.4 FARADAY KANUNUNDAN MAXWELL EŞİTLİĞİ............................................................. 507 7.4.1 GENEL EŞİTLİKLER .................................................................................................. 508 7.5 ÖZ İNDÜKTANS.................................................................................................................. 512 7.6 ORTAK İNDÜKTANS .......................................................................................................... 518 7.7 KUPLAJLI SARGILARIN İNDÜKTANSI ............................................................................ 523 7.7.1 SERİ BAĞLANTI......................................................................................................... 523 7.7.2 PARALEL BAĞLANTI ................................................................................................ 525 7.8 MANYETİK ALANDAKİ ENERJİ ........................................................................................ 526 7.8.1 TEK SARGI ................................................................................................................. 526 7.8.2 KUPLAJLI SARGILAR ............................................................................................... 528 7.9 AMPÈRE KANUNUNDAN MAXWELL EŞİTLİĞİ ............................................................... 530 7.10 GAUSS KANUNLARINDAN MAXWELL EŞİTLİKLERİ................................................... 534 7.11 MAXWELL EŞİTLİKLERİ VE SINIR ŞARTLARI.............................................................. 535 7.11.1 MAXWELL EŞİTLİKLERİ ......................................................................................... 535 7.11.2 YAPISAL EŞİTLİKLER ............................................................................................. 537 7.11.3 SINIR ŞARTLARI ...................................................................................................... 537 7.12 POTANSİYEL FONKSİYONLAR ...................................................................................... 540 7.12.1 DALGA EŞİTLİKLERİNİN ÇÖZÜMÜ........................................................................ 542 7.13 POYNTİNG TEOREMİ ...................................................................................................... 543 7.14 ZAMAN-HARMONİK ALANLAR ...................................................................................... 549 7.14.1 FAZÖR BİÇİMİNDE MAXWELL EŞİTLİKLERİ ........................................................ 551 7.14.2 FAZÖR BİÇİMİNDE SINIR ŞARTLARI .................................................................... 551 7.14.3 FAZÖR BİÇİMİNDE POYNTİNG TEOREMİ ............................................................. 552 7.15 ELEKTROMANYETİK ALAN UYGULAMALARI ............................................................. 555 7.15.1 TRANSFORMOTOR ................................................................................................. 555 7.15.2 OTOTRANSFORMOTORU ....................................................................................... 561 7.15.3 BETATRON............................................................................................................... 565 7.16 ÖZET ................................................................................................................................. 568 7.17 ÇALIŞMA SORULARI ...................................................................................................... 570 7.18 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR............................................................................................. 571 7.19 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER .............................................................................................. 586 8 ELEKTROMANYETİK ALANLARIN BİLGİSAYAR DESTEKLİ ANALİZİ....... 609 8.1 GİRİŞ ................................................................................................................................... 609 8.2 SONLU FARK METODU (FDM) ......................................................................................... 609 8.2.1 SINIR ŞARTLARI ........................................................................................................ 612 8.2.2 SONLU FARK EŞİTLİKLERİNİN İRDELEME İLE ÇÖZÜMÜ .................................... 614 8.3 SONLU ELEMAN METODU (FEM) .................................................................................... 618 8.4 MOMENTLER METODU (MOM)......................................................................................... 630 8.5 ÖZET ................................................................................................................................... 634 8.6 ÇALIŞMA SORULARI ........................................................................................................ 634 8.7 PROBLEMLER.................................................................................................................... 635 9 ELEKTROMANYETİKTE BİLGİSAYAR DESTEKLİ ANALİZ, SİMÜLASYON, MODELLEME VE TASARIM .............................................................................. 639 9.1 GİRİŞ ................................................................................................................................... 639 9.2 MAXWELL İLE MODELLEME ............................................................................................ 640 9.3 İKİ BOYUTLU MODELLEME.............................................................................................. 640 9.4 MANYETİK KAVRAMLAR.................................................................................................. 642 XII 9.4.1 MANYETİK AKI YOĞUNLUĞU .................................................................................. 642 9.4.2 MANYETİK ALAN ŞİDDETİ ....................................................................................... 643 9.4.3 MANYETİK MALZEMELER........................................................................................ 644 9.4.4 SABİT MIKNATISLAR ................................................................................................ 645 9.4.5 DEPOLANAN ENERJİ VE KOENERJİ ...................................................................... 646 9.4.6 KUVVET HESABI ....................................................................................................... 648 9.4.7 İNDÜKTANS HESABI................................................................................................. 649 9.5 ÇEVRİMSEL GEOMETRİLİ ÖRNEK MODELLEMELER................................................... 651 9.5.1 C-NÜVELİ EYLEYİCİ .................................................................................................. 651 9.5.2 BARA ÜZERİNDEKİ KUVVETLER ............................................................................ 654 9.5.3 E-NÜVELİ EYLEYİCİ .................................................................................................. 656 9.5.4 SABİT MIKNATISLI MANYETİK KİLİT ...................................................................... 659 9.5.5 DÜZGÜN MANYETİK ALAN İÇİNDEKİ SİLİNDİRİK EKRAN ................................... 661 9.5.6 SİLİNDİRİK İLETKEN İÇİNDEKİ ALAN ..................................................................... 664 9.5.7 TRANSFORMOTOR EŞDEĞER DEVRESİ ............................................................... 666 9.6 DÖNEL GEOMETRİLİ ÖRNEK MODELLEMELER ........................................................... 670 9.6.1 SELENOİDAL SARGININ ÖZ İNDÜKTANSI ............................................................. 671 9.6.2 SELENOİDAL KOAKSİYEL SARGILARIN ÖZ VE ORTAK İNDÜKTANSLARI ....... 673 9.6.3 SAKSI NÜVELİ EYLEYİCİ .......................................................................................... 676 9.6.4 HAREKETLİ SARGILI DÖNÜŞTÜRÜCÜ ................................................................... 678 9.6.5 DÜZGÜN MANYETİK ALAN İÇİNDEKİ KÜRESEL EKRAN ..................................... 680 9.6.6 LVDT YER DEĞİŞİM ALGILAYICISI ......................................................................... 683 9.6.7 SİLİNDİRİK EYLEYİCİ ................................................................................................ 686 9.6.8 MANYETİK SÜSPANSİYON ...................................................................................... 688 9.7 ÇALIŞMA SORULARI ........................................................................................................ 690 9.8 PROBLEMLER ................................................................................................................... 690 10 EK ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK PROBLEMLER ....................................................... 691 10.1 GİRİŞ ................................................................................................................................. 691 10.2 VEKTÖR ANALİZİ ............................................................................................................ 691 10.3 STATİK ELEKTRİK ALANLARI ....................................................................................... 693 10.4 KARARLI ELEKTRİK AKIMLARI..................................................................................... 695 10.5 STATİK MANYETİK ALANLAR ....................................................................................... 695 10.6 STATİK ALAN UYGULAMALARI .................................................................................... 701 10.7 ZAMANLA DEĞİŞEN ELEKTROMANYETİK ALANLAR ................................................ 704 11 EKLER........................................................................................................... 707 EK.1 SERİLER LİSTESİ ........................................................................................................... 707 EK.2 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER LİSTESİ .................................................................. 707 EK.3 VEKTÖR ÖZDEŞLİKLERİ ............................................................................................... 713 EK.4 BELİRSİZ İNTEGRALLER LİSTESİ ................................................................................ 714 EK.5 BELİRLİ İNTEGRALLER LİSTESİ .................................................................................. 718 EK.6 DİKDÖRTGEN, SİLİNDİRİK VE KÜRESEL KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DİFERANSİYEL UZUNLUK, YÜZEY VE HACİM ELEMANLARI ................................................. 720 EK.7 DİKDÖRTGEN, SİLİNDİRİK VE KÜRESEL KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE VEKTÖREL İŞLEMLER ................................................................................................................................... 720 EK.8 EMAT İLE İLGİLİ İNGİLİZCE - TÜRKÇE SÖZLÜK ........................................................ 722 EK.9 EMAT İLE İLGİLİ TÜRKÇE - İNGİLİZCE SÖZLÜK ........................................................ 723 KAYNAKLAR ..................................................................................................... 725 İNDEKS ........................................................................................................... 727 XIII XIV εµσ 1 ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ 1.1 GİRİŞ Tarihsel olarak, bakalit çubuklar ve kedi postlarıyla ilgilenen elektrik ve mıknatıslar, demir tozları ve pusula iğneleriyle ilgilenen manyetizma fiziğin iki ayrı dalı olarak dikkate alınmaktaydı. 1820’de Oersted elektrik akımının mıknatıslı pusula iğnesini saptırabildiğini gözledikten kısa bir süre sonra Ampére tüm manyetik olayların hareketli yüklerden kaynaklandığını öne sürmüş ve Faraday’ın hareketli mıknatısın elektrik akımı üretmesini keşfinden sonra Maxwell ve Lorentz elektromanyetik teoriyi tamamladığında elektrik ve manyetizma artık fiziğin iki ayrı dalı değil, bir bütün olarak, elektromanyetizma olarak bilinmeye başlanmıştır. Bir yerde bulunan elektrik yükü veya yüklerinin diğer yük veya yükler üzerindeki etkisinin araştırılması yani çözümü elektromanyetik alan teorisiyle yapılır. Elektrik yükü veya yükleri uzayın tamamında elektrik ve manyetik alanlar oluşturur ve bu alan içindeki diğer yük veya yükler bir kuvvetin etkisi altında kalırlar. Yükler arasındaki etkileşim alan tarafından iletilmiş olur. Bir yük hızlandığında, elektromanyetik ışınım yoluyla, alanının bir kısmı yükten koparak ışık hızıyla enerji ve moment götürür. Elektromanyetik ışınımın varlığı elektromanyetik alanın kendi başına bir dinamik varlık olduğunu gösterir. Kısaca, elektrik şiddetli çarpma ve manyetik ise çekme olarak bilinirken bu iki terimin birleşmesinden oluşan elektromanyetizmanın tarihsel gelişiminden kaynaklanan bazı soruların cevabı doğal olarak merak konusudur. Alan nedir? Bu alan skaler alan veya vektör alanı mıdır? Alanın doğası (türü) nedir? Sürekli alan veya rotasyonel alan mıdır? Akım taşıyan sargının ürettiği manyetik alan nasıldır? Kapasitör enerjiyi nasıl depolar? Bir iletken tel parçası veya anten sinyalleri nasıl yayar veya alır. Boşlukta veya uzayda elektromanyetik alanlar nasıl yayılır? Boş bir borunun veya dalga kılavuzunun bir ucundan diğer ucuna elektromanyetik enerji hareket ettiğinde gerçekten ne olur? Bu ders kitabının öncelikli amacı elektromanyetik alanlar ile ilgili bu soruların bir kısmını cevaplamaktır. Bu bölümde, elektromanyetik alan teorisi üzerinde çalışmanın elektrik-elektronik mühendisliğinde yer alan çoğu olguların anlaşılmasında hayati önem taşıdığını göstermek amacı taşınmaktadır. Bunun için elektrik-elektronik mühendisliğinin diğer alanlarındaki kavramlarından ve bazı 2 Elektromanyetik Alan Teorisi eşitliklerinden yararlanılacaktır. Elektromanyetik alan teorisini kullanan bu kavram ve eşitliklerin orijinine ışık tutulması ayrıca amaçların birisini oluşturmaktadır. Bilimdeki gelişme henüz tam olarak tanımlanamayan bazı miktarlara bağlıdır. Bu temel miktarlar; kütle (m), uzunluk (l), zaman (t), yük (q) ve sıcaklık (T) olarak adlandırılmaktadır. Örneğin, zaman nedir? Zaman ne zaman başlamıştır? Aynı şekilde, sıcaklık nedir? Sıcak veya soğuk nedir? Bu miktarlar hakkında bazı sezici duygulara sahip olmakla beraber tam bir tanımlamadan yoksun olduğumuz bir gerçektir. Bu miktarların ölçülmesi ve ifade edilmesi için bir birim sisteminin tanımlanmasına gerek vardır. Uluslararası birim sisteminde (SI) kütle için kilogram (kg), uzunluk için metre (m), zaman için saniye (s), yük için Coulomb (C) ve sıcaklık için kelvin (K) birimleri edinilmiştir. İlgili bütün miktarlara ait birimler ayrıca temel birimler ile tanımlanır. Örneğin, akım birimi amper (A), temel birimler ile saniye başına Coulomb’dur (C/s). Bundan dolayı amper türetilmiş bir birimdir. Newton (N) kuvvet birimi de türetilmiş bir birim olup 1 N = 1 kgm/s² ile temel birimler cinsinden ifade edilebilir. Bu ders kitabında kullanılan miktarlardan bazılarına ait birimler tablo 1.1 ve 1.3’de verilmiştir. Bazı alan miktarlarının ifadesinde, endüstride İngiliz birimleri hala kullanılmakta olduğundan bir sistemden diğerine dönüşüm gereklidir (Tablo 1.2). Tablo 1.1 Bazı elektromanyetik miktarların türetilmiş birimleri Sembol Y ω C ρ G σ W F f z L ℑ µ ε P ℜ Miktar admitans açısal frekans kapasitans yük yoğunluğu kondüktans öziletkenlik enerji kuvvet frekans empedans indüktans manyetomotor kuvveti permeabilite permitivite güç relüktans Birim Siemens radyan/saniye Farad Cou1omb/metre3 Siemens Siemens/metre Joule Newton Hertz Ohm Henry Amper-sarım Henry/metre Farad/metre Watt Henry -1 S rad/s F C/m3 S S/m J N Hz Ω H At H/m F/m W H-1 Elektromanyetik Alan Teorisi 3 Tablo 1.2 Birim dönüşüm faktörleri Gilbert Amper-sarım/cm Amper-sarım/inç Oersted Akı Gauss (akı/cm2) Akı/inç2 Gauss İnç Feet (ayak) Metre İnç2 Ons Pound Pound-kuvvet Ons-kuvvet Newton-metre Newton-metre Devir/dakika × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 0,79577 2,54 39,37 79,577 1×10-8 6,4516 0,155 × 10-4 10-4 2,54 30,48 100 6,4516 28,35 0,4536 4,4482 0,27801 141,62 0,73757 2π/60 Amper-sarım (At) Amper- sarım /inç Amper- sarım/m Amper-sarım/metre Weber (Wb) Akı/inç2 Wb/m2 (Tesla) Wb/m2 santimetre (cm) santimetre santimetre cm2 gram kilogram newton newton ons-inç pound-feet radyan/saniye = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1.2 ALAN KAVRAMI Elektromanyetik alan çalışmasına girmeden önce alan kavramının tanımlanması gereklidir. Alan uzay ve zamanda gözlenebilir bir niceliğin veya büyüklüğün süreklilik gösteren dağılımı olarak tanımlanabilir. Bölgedeki her noktada bu nicelik veya büyüklük bir değerler grubu ile tanımlanır. Bir alanın her noktasındaki değer deneysel olarak ölçülebilir veya diğer bazı miktarlar cinsinden bazı matematiksel işlemler yapılarak tahmin edilebilir. Bilimin diğer alanlarındaki çalışmalardan hem skaler ve hem de vektörel alanların var olduğu bilinmektedir. Bu kitapta kullanılan alan değişkenlerinden bazıları tablo 1.3’de verilmiştir. Bu alan miktarları arasında belirli ilişkiler olup bunlardan bazıları tablo 1.4’de verilmiştir. Tablo 1.3 Bazı alan değişkenleri Değişken A B D E F I J q S u V Tanım Manyetik vektör potansiyeli Manyetik akı yoğunluğu Elektrik akı yoğunluğu Elektrik alan şiddeti Lorentz kuvveti Elektrik akımı Hacim akım yoğunluğu Serbest yük Poynting vektörü Serbest yük hızı Elektrik potansiyeli Tip vektör vektör vektör vektör vektör skaler vektör skaler vektör vektör skaler Birimler Wb/m Wb/m2 (T) C/m2 V/m N A A/m2 C W/m2 m/s V 4 Elektromanyetik Alan Teorisi Tablo 1.4 Değişik alan değişkenleri arasındaki ilişkiler D = εE B = µH J = σE F = q (E + u × B ) ∇⋅D = ρ ∇⋅B = 0 ∂ρ ∇⋅J = − ∂t ∂B ∇×E = − ∂t ∂D ∇×H = J + ∂t permitivite (ε) permeabilite (µ) öziletkenlik (σ), Ohm kanunu Lorentz kuvvet eşitliği Gauss kanunundan Maxwell eşitliği Gauss kanunundan Maxwell eşitliği Süreklilik eşitliği Faraday kanunundan Maxwell eşitliği Ampère kanunundan Maxwell eşitliği Permitivite (ε) ve permeabilite (µ) ortamın özellikleridir. Ortam vakum veya boşluk olduğunda değerleri ε o = 8,851 × 10 −12 ≈ 10 -9 /36π (F/m) µo = 4π × 10−7 (H/m) ile verilir. Tablo 1.4’de listelenen eşitliklerden, Maxwell, elektromanyetik alanların vakumda ışık hızı, = c 1 µoε o =3 × 108 (m/s) ile yayıldığını tahmin edebilmişti. 1.3 ELEKTROMANYETİK MODEL Bir bilimsel konunun geliştirilmesinde indüktif (tümevarım: gözlenen tek tek olgulardan genel yargılara ulaşmak veya özelden genele akıl yürütmek, istikrâ) yaklaşım ve dedüktif (tümdengelim: gerek akıl gerekse gözlem ve deney yoluyla elde edilmiş genel bir olayı ayrı ayrı olaylara uygulamak veya genelden özele akıl yürütmek, istintâc, istidlâl) yaklaşım veya çıkarsama olarak iki yaklaşım vardır. Tümevarım yaklaşım kullanılarak bazı temel deneyimlerin gözlemleri ve bunlardan kanun ve teoremlerin çıkartılması ile başlanarak konunun tarihi gelişimi izlenir. Bu bir olgunun genel prensiplere dayandırılması işlemidir. Tümdengelim yaklaşımda, ideal bir model için yeni temel ilişkiler gerçek gibi kabul edilir. Kabul edilmiş ilişkiler aksiyomlar olup bunlardan kanun ve teoremler çıkartılabilir. Model ve aksiyomların geçerliliği deneysel gözlemler ile kontrol edilen sonuçları tahmin edebilme özelliği ile doğrulanır. Bu kitapta tümdengelim veya aksiyomatik yaklaşımın kullanılması tercih edilmiştir çünkü bu daha kısa, özlü ve elektromanyetik konularının daha tertipli bir yolla gelişimine izin verir. İdeal modele dayalı bir teorinin oluşturulmasında üç temel adım vardır: Çalışma konusuna uyumlu bazı temel miktarlar tanımlanır. Elektromanyetik Alan Teorisi 5 Bu miktarların çalışma kuralları (matematiği) belirlenir. Bazı temel ilişkiler gerçek gibi kabul edilir. Bu kabuller veya kurallar kontrollu şartlar altında kazanılmış ve zeki akıllar ile sentez edilmiş, çoğunlukla çok sayıda deneysel gözlemlere dayanır. Bilinen bir örnek ideal kaynaklar, saf direnç, indüktans ve kapasitansların devre modeli üzerine oluşturulan devre teorisidir. Bu durumda temel miktarlar gerilim (V), direnç (R), indüktans (L) ve kapasitans (C); çalışma kuralları cebir, adi diferansiyel eşitlikler ve Laplace dönüşümleri ve temel kabul ve varsayımlar Kirchhoff gerilim ve akım kanunlarıdır. Bu temel ve oldukça basit modelden çok ilişkiler ve formüller çıkartılabilir ve çok ayrıntılı devrelerin tepkileri belirlenebilir. Bu modelin geçerliliği ve değeri büyük oranda gösterilmiştir. Benzer bir davranışla elektromanyetik alan teorisi uygunca seçilmiş bir elektromanyetik alan teorisi ile oluşturulabilir. Öncelikle elektromanyetiğin temel miktarlarının tanımlanması ile birinci adım atılır. İkinci adım vektör cebri, vektör hesabı ve kısmi diferansiyel eşitlikleri çevreleyen çalışma kurallarıdır. Üçüncü adım temel kabul ve varsayımlar sırasıyla statik elektrik alanları, statik manyetik alanlar ve elektromanyetik alanlar olarak alt adımlarda sunulur. Elektromanyetik modelin miktarları kabaca iki kategoriye bölünebilir: kaynak miktarları ve alan miktarları. Bir elektromanyetik alanın kaynağı durgun veya hareketli değişmeyen elektrik yükleridir. Bununla beraber bir elektromanyetik alan yüklerin yeniden dağılımına neden olabilir ve akabinde alanı değiştirebilir; bundan dolayı neden ve etki arasındaki ayırım daima çok belirgin değildir. Elektrik yükünün sembolü olarak q veya Q harfleri kullanılır. Elektrik yükü maddenin temel bir özelliği olup sadece bir elektrondaki yük’ün, (-e) pozitif veya negatif çarpanları olarak mevcuttur. Yükün büyüklüğü, e = 1,60 × 10−19 (C) dir. C Coulomb yük biriminin kısaltılmış halidir. Coulomb elektrik yükleri için çok büyük bir birimdir; -1 C’luk bir yük oluşturmak için 1 / 1,60 × 10−19 veya 6,25 milyon trilyon elektron gerekmektedir. Gerçekte aralarında 1 m açıklık bulunan iki adet –1 C’luk yük birbirine yaklaşık 1 milyon ton’luk kuvvetle etki edecektir. Enerjinin korunumu prensibi gibi elektrik yükünün korunumu fiziğin bir varsayımı veya kuralıdır. Bu, elektrik yükünün korunumunun olduğunu ifade etmektedir yani yük kendiliğinden var olamaz veya yok edilemez. Bu bir doğa veya yaratılışın bir kanunu olup diğer prensip veya ilişkilerden çıkartılamaz. Elektrik yükleri bir yerden başka yere gidebilir ve bir elektromanyetik alanın etkisi altında yeniden dağılabilir fakat kapalı veya yalıtılmış bir sistemde pozitif veya negatif yüklerin cebirsel toplamı değişmeden kalır. Elektrik yükünün korunumu prensibi her zaman her şart altında doyurulmalıdır. Elektrik yükünün korunumu prensibini çiğneyen veya uymayan bir elektromanyetik probleminin formülasyonu veya çözümü doğru olmaz. Mikroskobik bir bakışla elektrik yükü bir noktada ayrı bir şekilde ya var yada yoktur, atomik skaladaki bu ani değişimler yüklerin büyük miktarlarının bir araya geldiği elektromanyetik etkileri dikkate alındığında önemli değildir. Elektromanyetizmanın makroskobik veya geniş skalalı teorisi oluşturulurken düzleştirilmiş ortalama yoğunluk fonksiyonlarının kullanılmasının çok iyi sonuçlar verdiği bulunabilir. ρ v hacim yük yoğunluğu bir kaynak miktarı olarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir: 6 Elektromanyetik Alan Teorisi ∆q ∆v →0 ∆v ρ v = lim (C/m 3 ) ∆q çok küçük bir ∆v hacmindeki yük miktarıdır. ∆v ne kadar küçük olmalıdır? Bu ρ v ’nin doğru değişimini temsil edecek kadar küçük fakat çok sayıda ayrı yükleri içine alabilecek kadar büyük olmalıdır. Örneğin kenarları 1 mikron (10-6 m veya 1 µm) kadar küçük olan bir küp 10-18 m3 hacmi ile hala 1011 (100 milyar) civarında atom içerecektir. Böyle küçük ∆v hacmi ile tanımlanan ρ v ’nin uzay koordinatlarının düzleştirilmiş fonksiyonu ile hemen hemen bütün pratik amaçlar için doğru makroskobik sonuçlar vermesi beklenir. Bazı fiziksel durumlarda ∆q yük miktarı bir ∆s yüzey elemanı veya ∆l çizgi elemanı ile tanımlanabilir. Böyle durumlarda yüzey yük yoğunluğu (ρ s ) veya hat yük yoğunluğu’nun (ρ l ) tanımlanması daha uygun olmaktadır: ∆q ∆s →0 ∆s (C/m 2 ) ∆q ∆l →0 ∆l (C/m) ρ s = lim ρl = lim Bazı özel durumların dışında yük yoğunlukları noktadan noktaya değişir; bundan dolayı ρ v , ρ s ve ρ l genelde uzay koordinatlarının nokta fonksiyonlarıdır. Akım zamana göre yükün değişim miktarıdır ve I= dq dt (C/s veya A) ile ifade edilir. I’nin kendisi zamana bağımlı olabilir. Akımın birimi saniye başına Coulomb (C/s) olup amper (A) ile aynıdır. Akım sonlu bir kesit alanından akmalıdır; bundan dolayı nokta fonksiyonu değildir. Elektromanyetikte akım yoğunluğu ( J ) olarak bir vektör nokta fonksiyonu tanımlanmakta olup akım akışının yönüne normal birim yüzey alandan akan akım miktarının bir ölçüsüdür. Akım yoğunluğu ( J ) bir vektörel miktar ve genliği birim alan başına akım (A/m2) ve yönü akım akışının yönüdür. Elektromanyetikte dört temel alan miktarı olup bunların tanımı ve fiziksel önemi ilgili bölümlerde açıklanmaktadır. Bunlar elektrik alan şiddeti ( E ), elektrik akı yoğunluğu veya elektrik yer değişimi ( D ), manyetik akı yoğunluğu ( B ) ve manyetik alan şiddeti ( H ). Elektrik alan şiddeti ( E ) boş uzaydaki elektrostatik alanların açıklanabilmesi için gereken tek vektör olup birim test yüküne etkiyen elektrik kuvveti olarak tanımlanır. Elektrik akı yoğunluğu ( D ) malzeme ortamında elektrik alan çalışmasında kullanışlıdır. Manyetik akı yoğunluğu ( B ) boş uzayda manyetostatik (kararlı elektrik akımlarının etkisi) tartışmasında gereken tek vektördür ve belirli bir hızla hareket eden yük üzerine etkiyen manyetik kuvvet ile ilişkilidir. Manyetik alan şiddeti ( H ) malzeme ortamında manyetik alan çalışmasında kullanışlıdır. Zaman değişimi olmadığında (statik, kararlı veya durgun durumlar) E ve D elektrik alan miktarları ve B ve H manyetik alan miktarları iki ayrı vektör çifti oluşturur. Bununla beraber zamana bağımlı durumlarda elektrik ve manyetik alan miktarları kuplajlıdır: zamanla değişen E ve Elektromanyetik Alan Teorisi 7 D alanları B ve H alanlarına neden olur veya bunun tersi olur. Bu dört miktar nokta fonksiyonlarıdır. Malzeme veya ortam özellikleri E ve D arasında ve B ve H arasındaki ilişkileri belirler. Bu ilişkiler bir ortamın yapısal ilişkileri olup ilgili kısımlarda açıklanmaktadır. Elektromanyetizma çalışmasının ana amacı elektromanyetik modele dayalı olarak belli uzaklıktaki yükler ve akımlar arasındaki etkileşimi anlamaktır. Alanlar ve dalgalar (zaman ve uzay değişken alanlar) bu modelin temel kavramsal miktarlarıdır. İlgili bölümlerde telaffuz edilecek temel kabul ve varsayımlar E , D , B ve H ve kaynak miktarlarını ilişkilendirecek ve çıkartılmış ilişkiler elektromanyetik kavramın açıklanmasına ve tahminine öncülük edecektir. 1.4 VEKTÖR ANALİZİ Vektör analizi elektromanyetik alan çalışmalarında kullanılan dildir. Vektörler kullanılmaksızın alan eşitliklerinin yazılması oldukça hantal ve hatırlanması oldukça zordur. Örneğin, A ve B gibi iki vektörün vektörel çarpımı basit olarak (1.1) A×B = C şeklinde yazılabilir; C başka bir vektördür. Skaler form’da ifade edildiğinde bu eşitlik üç skaler eşitlikten meydana gelir. Ek olarak bu skaler eşitliklerinin görünüşü koordinat sistemine bağlıdır. Dikdörtgen koordinat sisteminde önceki eşitlik aşağıdaki gibi üç eşitliğin kısa ve açık bir versiyonudur: Ay Bz − Az B y = C x (1.2a) Az Bx − Ax Bz = C y (1.2b) Ax By − Ay Bx = C z (1.2c) Vektörel çarpımın üç adet skaler eşleniğine göre vektörel eşitliği daha iyi ifade ettiği kolaylıkla anlaşılabilir. Daha da ötesi vektörel gösterim koordinat sisteminden bağımsızdır. Bundan dolayı vektör analizi alan eşitliklerinin basitleştirilmesi ve bütünleştirilmesine (benzeştirilmesine) yardımcı olur. Elektromanyetik teoride bir öğrencinin ilk dersi alması gerektiği zaman vektör analizi hakkındaki bilgisi çok sınırlı olmaktadır. Öğrenci gradyan (eğil), diverjans (dağıl) ve rotasyonel (dönül) gibi vektör işlemlerinin yerine getirilmesinde becerikli olabilir fakat her işlemin önemini kavramayabilir. Bütün vektör işlemlerinin bilinmesi elektromanyetik alan teorisinin gelişimini anlayabilmek için gereklidir. Çoğu kez bir öğrenci, (a) bir skaler vektörü bir vektör yüzeyine dönüştüren birim vektörün daima yüzeye normal olduğunu, (b) ihmal edilebilir kalınlıkta ince bir kağıt yaprağın iki yüzeye sahip olduğunu, (c) bir yüzeyin sınırı boyunca çizgisel integralin yönünün yüzeye normal birim vektörünün yönüne bağlı olduğunu ve (d) açık bir yüzey ile kapalı yüzey arasında farklılık olduğunu bilmeyebilir. Bu kavramlar önemlidir ve bunların her birinin öneminin kavranılması gereklidir. Vektör analizi çalışmasında iki düşünüş yöntemi vardır. Bir yaklaşımda, her vektör işleminin sadece gerekli olduğunda tanıtılması tercih edilirken; diğerlerinde bir öğrencinin elektromanyetik alan teorisini keşfetmeden önce bütün vektör işlemlerinde gerekli yeterlilik kazanmış olması 8 Elektromanyetik Alan Teorisi gerektiğine inanılır. Burada sonraki yaklaşım tercih edildiğinden dolayı 2. Bölüm vektör işlemlerine ayrılmıştır. 1.5 DİFERANSİYEL VE İNTEGRAL FORMÜLASYONLARI Sıklıkla bir öğrenci aynı fikrin diferansiyel form ve integral form olarak iki farklı biçimde niçin sunulduğunu anlamayabilir. İntegral form eşitliğin önemini açıklamak için kullanışlı iken diferansiyel form matematiksel işlemlerin yerine getirilmesinde uygundur. Örneğin diferansiyel formda akımın süreklilik eşitliği ∂ρ ∇⋅J = − ∂t (1.3) ∂ρ ∇ ⋅ J ∫v dv = −∫v ∂t dv (1.4) olarak ifade edilir. J hacim akım yoğunluğu ve ρ hacim yük yoğunluğudur. Bu eşitlik bir noktadaki akım yoğunluğunun diverjansının bu noktadaki yük yoğunluğunun değişim oranına eşit olduğunu ifade etmektedir. Bu eşitliğin kullanışlılığı, bir noktada akım yoğunluğu bilindiğinde bu noktadaki yük yoğunluğunun değişim oranının hesaplanmasını kolaylaştırdığı gerçeğinde yatmaktadır. Bunun yanında, bu eşitliğin fiziksel öneminin vurgulanması için nokta bir v hacmi ile çevrelenmeli ve hacim integrali alınmalıdır. Başka bir deyimle (1.3) aşağıdaki gibi ifade edilmelidir. Şimdi sol taraftaki hacim integralinin bir kapalı yüzey integraline dönüştürülmesi için diverjans teoremi uygulanabilir. Aynı zamanda, (1.4) eşitliğinin sağ tarafındaki diferansiyel ve integral işlemlerinin yeri değiştirilerek ∂ − ∫ ρ dv ∫ J ⋅ ds = ∂t s v (1.5) elde edilir. Bu eşitlik (1.3) eşitliğinin integral formülasyonudur. Sol taraftaki integral v hacmi ile sınırlanan kapalı s yüzeyinden çıkan net I akımını temsil etmektedir. Sağ taraftaki integral v hacmi içindeki q yükü ile sonuçlanmaktadır. Bundan dolayı bu eşitlik bir bölge ile sınırlanan kapalı yüzeyden çıkan net akımın bölge içindeki yükün zamanla azalan oranına eşit olduğunu ifade etmektedir. Başka bir deyişle, I =− dq dt (1.6) anlamına gelen (1.5) negatif işaret ihmal edildiğinde iyi bilinen bir devre eşitliği olmaktadır. Bu gelişimin detayları Kararlı Elektrik Akımları bölümünde verilmiştir. Henüz detaylara girmeden, verilen bu örnek (1.3) ve (1.5) eşitliklerinin aynı temel fikri işlediklerinin gösterilmesi için kullanılmıştır. 1.6 STATİK ALANLAR Burada yine bir kere daha elektromanyetik alan teorisinin sunulmasına nasıl başlanacağında bir ikilem ile yüz yüze gelinmektedir. Bazı yazarlar Maxwell eşitliklerinin bir temel önermeler grubu olarak sunulup elektromanyetik etkilerin uzun yıllar içindeki deneysel gözlemlerinin sonuçlarının özetlenerek başlangıç yapılmasına inanmaktadırlar. Bununla beraber fizik derslerinde daha önceden Elektromanyetik Alan Teorisi 9 tartışılan kavramların olabildiğince kullanılarak alan teorisinin geliştirilmesi gerektiği kanaati daha ağır basmaktadır. Bundan dolayı öncelikle statik alanlar ile başlanması tercih edilmiştir. Elektrostatik veya statik elektrik alanları çalışmasında (a) bütün yüklerin boşlukta sabitlenmiş olduğu, (b) bütün yük yoğunluklarının zaman içinde sabit olduğu ve (c) elektrik alanının kaynağının yük olduğu varsayılmaktadır. İlgi alanı (a) herhangi bir noktadaki elektrik alanının, (b) potansiyel dağılımının, (c) yüklere diğer yükler tarafından etkiyen kuvvetlerin ve (d) bölgedeki elektrik enerji dağılımının belirlenmesidir. Aynı zamanda bir kapasitörün enerjiyi nasıl depoladığı da gösterilecektir. Böylece Coulomb kanunu ve Gauss kanunu ile tartışılmaya başlanılanacak ve Poisson ve Laplace eşitliği gibi iyi bilinen potansiyel fonksiyonların formülasyonu yapılacaktır. Herhangi bir noktadaki elektrik alanının eş potansiyel yüzeye dik olduğu gösterilecek ve sonuçları vurgulanacaktır. Elektrostatik alanlar ile ilgili bazı eşitlikler tablo 1.5’de verilmiştir. Hareket halindeki bir yükün akım meydana getirdiği önceden bilinmektedir. Eğer yükün hareketi sonuç akımın zamanla değişimi sabit olacak şekilde sınırlandırılırsa, meydana gelen alana manyetik alan adı verilir. Akım zamanla sabit olduğundan manyetik alan da zamanla sabittir. Sabit manyetik alanlar ile ilgili bilim dalına manyeto-statik veya statik manyetik alanlar adı verilir. Bu durumda (a) manyetik alan şiddeti, (b) manyetik akı yoğunluğu, (c) manyetik akı ve (d) manyetik alanda depolanan enerjinin belirlenmesi ile ilgilenilir. Bu sonuca varmak için tartışmaya Biot-Savart kanunu ve Ampére kanunu ile başlanılacak ve tüm temel eşitlikler geliştirilecektir. Zaman zaman statik elektrik ve manyetik alanlar arasındaki ilişki de vurgulanacaktır. Manyeto-statikte ifade edilen veya formülleştirilen bazı önemli eşitlikler tablo 1.6’da verilmiştir. Statik alanların çok sayıda pratik uygulamaları vardır. Statik elektrik ve manyetik alanların her ikisi de çoğu aygıtların tasarımında kullanılır. Örneğin statik elektrik alanı bir parçacığın hızlandırılmasında ve statik manyetik alan ise onun saptırılmasında kullanılabilir. Bu şema bir osiloskop ve/veya bir mürekkep-jet yazıcının tasarımında kullanılabilir. Bölüm 6 statik alanların bazı uygulamalarını göstermek için ayrılmıştır. Bir öğrenci statik alanların temelini bir kere iyi öğrendikten sonra bir öğreticinin rehberliği olmaksızın uygulamaları anlayabilmesi gerekir. Öğretici her uygulamanın ana özelliklerini vurgulamaya karar verebilir ve sonra kalan kısımlara bir okuma ödevi olarak davranabilir. Teorinin gerçek hayat uygulamaları hakkındaki tartışmalar konuyu ilginç tutmaktadır. Tablo 1.5 Elektrostatik alan eşitlikleri Korunumlu E alanı F = qE ρ 1 Q veya E = E= dv 2 4πε v R 2a R 4πε R a R ∇ ⋅ D = ρ veya ∫ D ⋅ ds = Q s ∇ × E = ρ veya E ⋅ d = 0 Potansiyel fonksiyon b E = −∇V veya Vba = − E ⋅ d Coulomb kanunu Elektrik alanı Gauss kanunu Poisson eşitliği Laplace eşitliği Elektrik enerji yoğunluğu Yapısal ilişki Ohm kanunu ∫ ∫ c ∫ a ρ ε 2 ∇V =0 we = 12 D ⋅ E D = εE ∇ 2V = − J = σE 10 Elektromanyetik Alan Teorisi Tablo 1.6 Manyetostatik alan eşitlikleri Kuvvet eşitliği F = qu × B veya dF = I d × B µ I d × a r Biot-Savart kanunu dB = 4π r2 ∇ × H = J veya H ⋅ d = I Ampere kanunu c ∇ ⋅ B = 0 veya B ⋅ ds = 0 Gauss kanunu ∫ ∫ s µ I d B = ∇ × A veya A = 4π c r Φ = B ⋅ ds veya Φ = A ⋅ d s c wm = 12 B ⋅ H ∇ 2 A = − µJ B = µH ∫ Manyetik vektör potansiyeli ∫ Manyetik akı Manyetik enerji yoğunluğu Poisson eşitliği Yapısal ilişki ∫ 1.7 ZAMANLA DEĞİŞEN ALANLAR Elektrik devrelerine çalışırken bir L indüktöründen i(t) akımı geçtiğinde uçlarındaki gerilim düşümü v(t)’yi sonuç veren bir diferansiyel denklem ile karşılaşılmıştı. Çıkarılışı sonraya bırakılarak bu ilişki aşağıdaki gibi ifade edilir: v=L di dt (1.7) Anlayışlı zekaya sahip birisi bu eşitliğin orijinini merak edebilir. Bu eşitlik, manyetik indüksiyon olarak adlandırılan çok karmaşık bir olgunun anlaşılmasına yönelik Michael Faraday’ın (17911867) yaşam boyu çalışmasının bir sonucudur. Zamanla değişen alanlar tartışmasına Faraday indüksiyon kanunu ifade edilerek başlanılacak ve sonra bunun generatörlerin (3 fazlı enerji kaynakları), motorlar (endüstriyelleşmiş dünyanın iş beygirleri), rölelerin (manyetik kontrol mekanizmaları) ve transformotorların (indüksiyon yoluyla bir sargıdan diğer sargıya elektrik enerjisini transfer eden aygıtlar)’ın gelişimine nasıl öncülük ettiği açıklanacaktır. İyi bilinen dört Maxwell eşitliğinden birisi gerçekte Faraday indüksiyon kanununun bir ifadesidir. Şimdilik Faraday kanunu’nun bir sargıda indüklenen (emf) elektromotor kuvveti e(t) ile bu sargıyı halkalayan, zamanla değişen manyetik akı ile bağıntı kurduğunu söylemek yeterli olacaktır. Faraday kanunu e=− dΦ dt (1.8) ile ifade edilir. Eşitlikteki negatif işaretin önemi (Lenz kanunu) ve (1.8)’den (1.7)’nin çıkartılması üzerinde detaylı olarak durulacaktır. Aynı zamanda Maxwell’in zamanla değişen alanlar için Ampére kanunu’nu niçin düzeltme gereği duyduğu da açıklanacaktır. Maxwell’in yer değişimi akımını (bir kapasitörden geçen akım, deplasman akımı da denir) dahil etmesi, alanların boş uzayda ışık hızı ile yayılması gerektiği tahminine öncülük etmiştir. Ampére kanunu’nun düzeltilmesi elektromanyetik alan teorisi alanında Elektromanyetik Alan Teorisi 11 James Clerk Maxwell (1831-1879) tarafından yapılan en önemli katkılardan biri olarak düşünülmektedir. Faraday indükleme kanunu, düzeltilmiş Ampére kanunu ve iki Gauss kanunu (birisi zamanla değişen elektrik alanları için ve diğeri zamanla değişen manyetik alanlar için) dört eşitlik setini oluşturur ve bunlar şimdi Maxwell eşitlikleri olarak adlandırılır. Bu eşitlikler tablo 1.4’de verilmiştir. Bu eşitliklerden, zamanla değişen elektrik ve manyetik alanlarının birbiri ile sıkı ilişkide olduğu gerçeği açıktır. Daha basit söyleyişle zamanla değişen manyetik alan zamanla değişen elektrik alanı meydana getirmekte veya bunun tersi olmaktadır. Ampére kanunu’nun düzeltilmesi süreklilik eşitliği ve yükün korunumunun bir sonucu olarak da görülebilir. Bu eşitlik de tablo 1.4’de verilmiştir. Yükü q olan bir parçacık zamanla değişen bir elektrik alanı, E ve manyetik alanı, B bölgesinde u hızı ile hareket ettiğinde F = q (E + u × B ) gibi bir F kuvveti ile etkilenir. Bu eşitlik Lorentz kuvvet eşitliği olarak adlandırılır. Dört Maxwell eşitliği, süreklilik eşitliği ve Lorentz kuvvet eşitliğinin yardımı ile şimdi elektromanyetizmanın bütün etkileri açıklanabilmektedir. Elektromanyetik alan teorisinin çok sayıdaki uygulamalarından enerjinin iletimi, alınışı ve yayılımını ilgilendiren konular bu kitapta şimdilik dikkate alınmamıştır. Maxwell eşitliklerinin çözümünün daima dalgalara gittiği gerçeğini burada özellikle vurgulamak yerinde olacaktır. 1.8 SAYISAL ÇÖZÜMLER VE BİLGİSAYAR DESTEKLİ ANALİZ VE TASARIM Bir problemin tam çözümünün yapılması istenildiğinde sık olarak bazı varsayımların yapılması zorunlu olmaktadır. Örneğin, (a) paralel plakalı bir kapasitörün içindeki elektrik alan şiddetinin belirlenmesinde Gauss kanununun uygulanabilmesi için plakaların sonsuz uzunlukta olduğu varsayılır, (b) Ampére kanunu kullanılarak akım taşıyan uzun bir iletkenden dolayı manyetik alan şiddetinin hesaplanması için iletkenin sonsuz uzunlukta olduğu düşünülür, (c) kaynaksız bir bölgede elektromanyetik alanların yayılım karakteristiklerinin ve doğasının elde edilmesi için alanlar düzgün düzlem dalgası biçiminde gösterilir, (d) küçük bir doğrusal antenin ışınım örüntüsünü öğrenmek için akım dağılımının düzgün olabilmesi bakımından antenin uzunluğu çok küçük varsayılır, vb. Her varsayım özel bir durumu gösterir ve böylece analitik çözüm hassas olarak elde edilir. Elektrostatikte Gauss kanunu kullanılarak yalıtılmış bir kürenin kapasitansı küresel simetriliğin kullanımı ile belirlenir. Bununla beraber yalıtılmış bir küp’ün kapasitansı belirlenmeye çalışıldığında problem karmaşık hale gelir. Manyetostatikte Biot-Savart kanunu kullanılarak akım taşıyan dairesel bir iletkenin eksenindeki manyetik alan şiddeti için bir cevap verilmiştir. Akım taşıyan iletkenin biçimi keyfi olduğunda manyetik alan şiddetinin belirlenmesi için aynı teknik takip edilebilir mi? İntegral formülasyonun doğasından dolayı cevap hayır olacaktır. Keyfi 12 Elektromanyetik Alan Teorisi biçimde, akım taşıyan bir iletkenin analitik metotlar kullanılarak ışınım örüntüsünün belirlenmesi kolay değildir. Aynı şekilde, düzgün bir düzlem dalgası yukarıda varsayılan varlığından dolayı ortamda sonsuz bir enerji kaynağının varlığını vurgular fakat düzgün bir düzlem dalgası fikri ilgili bölgedeki güç akışının düzgünce resimlendirilmesi için gerekmektedir. Bu tartışmadan, bazı basitleştirilmiş varsayımlar yapılmaksızın bir problemin tam çözümünün elde edilmesinin her zaman mümkün olmadığı açıktır. Bir sayısal çözümün çoğunlukla yaklaşık olarak yapıldığı açıkça bilinmelidir. Her sayısal çözümün tam bir diferansiyel veya integral eşitliğin basitçe bir yaklaşımı olduğu akılda tutulmalıdır. Kullanılan sayısal metodun ne kadar hassas olması gerektiği istenilen çözümün doğruluk derecesine bağlıdır. Yüksek doğruluk için daha hassas sayısal çözüm metodu kullanılmalıdır. Çözümün doğruluğu kullanılan sayısal metot ve sistemin hesaplama işlem kapasitesi arasında bir tercih yapma zorunluluğu getirir. Analitik teknikler kullanılarak kolaylıkla çözülemeyecek bu problemlerin çözümü için bazı metotlar kullanılmaktadır. Bu metotlar sonlu fark metodu, sonlu elemanlar metodu ve momentler metodudur. Manyetik çalışmalarında bazı ticari Bilgisayar Destekli Tasarım (BDT) sistemleri mevcuttur ve gittikçe artan sayıdaki yazılım paketleri büyük endüstriyel firmalar tarafından ilgili amaçları doğrultusunda kullanılmaktadır. Bunların kapasiteleri değişirken bu yazılım sistemlerinin tamamı metodoloji ve amaçları bakımından ortak bir nüveyi paylaşmaktadır. 9. bölümde Ansoft şirketi tarafından hazırlanan Maxwell SV yazılımı ile bazı modelleme ve tasarım örnekleri verilmiştir. Ücretsiz olan Maxwell SV bir kişisel bilgisayar üzerinde elektromanyetik aygıtların modellenmesinde yeni bir yaklaşım sunmaktadır. Kullanıcının elektriksel ve manyetik malzeme ve sargılardan modeller oluşturabileceği hemen hemen gerçek bir laboratuvar ortamı hazırlamakta, alan çizimleri ve grafiklerden görüntüler oluşturmakta ve kapasitans, indüktans, kondüktans, kuvvet ve tork gibi miktarların sayısal değerlerini vermektedir. 1.9 İLERİ ÇALIŞMA Bu kitapta sunulan elektromanyetik alan teorisi sadece bir başlangıç olarak kabul edilmelidir. Bu bilgi elektromanyetik alanında sadece ilgi uyandırmayacak aynı zamanda daha karmaşık gelişimlerin anlaşılması için temel olacaktır. Bununla beraber elektromanyetik alan teorisinin harika cephesi hemen hemen bütün elektromanyetik olgunun dört Maxwell eşitliği, süreklilik eşitliği ve Lorentz kuvvet eşitliğinin uygunca kullanılmasıyla tahmin edilebilmesi veya açıklanabilmesidir. Eğer karmaşık matematiksel eşitlikler ile çalışma zihinsel alıştırma için gerekli ise bu durumda görecelik kavramlarını içeren elektromanyetik alan teorisi çalışmasını dikkate alınız. Bu çalışma Lorentz dönüşümü ve Maxwell eşitliklerinin kovaryant formülasyonunun uygulamasını içerir. Bu eşitliklerde zaman’a uzay koordinatları gibi aynı yolla davranılır. Bu yüzden gradyan, diverjans, rotasyonel ve laplasyan hepsi dört boyutlu operatörler olmaktadır. Eğer yeni bir alan çalışmasına ilgi uyandırılmışsa dalın ve keşfedin. Bununla beraber görevin başarılması için bu kitapta verilen teorinin öncelikle anlaşılması gerekmektedir. Bilgi bir anda kazanılmaz. Son eşitliklerin formül olarak görülmesinden daha çok bugün temellerin öğrenilme isteğinin mükafatı yarın büyük oranda alınacaktır. Muhakeme özelliği gelişecek ve gelecekte daha zor problemlerin çözümü yapılabilecektir. Elektromanyetik Alan Teorisi 13 1.10 ÇALIŞMA SORULARI 1. Alan nedir? 2. Elektromanyetik nedir? 3. Elektrik ve manyetik nedir? 4. Bilimsel konu çalışmasında, ideal bir model oluşturulmasında üç temel adım nedir? 5. Elektromanyetik modelde kaynak miktarları nedir? 6. Nokta fonksiyonu ile ne denilmek isteniyor? Yük yoğunluğu bir nokta fonksiyonu mudur? Akım bir nokta fonksiyonu mudur? 7. Elektromanyetikte dört temel SI birimi nedir? 8. Elektromanyetik modelde dört temel alan miktarları ve birimleri nedir? 9. Elektromanyetik modelde üç üniversal sabit ve ilişkileri nedir? 10. Manyetikte bilgisayar destekli analiz, simülasyon, modelleme ve tasarım niçin yapılır? 11. Vektörel gösterimin önemi nedir? 14 Elektromanyetik Alan Teorisi ∇ 2 VEKTÖR ANALİZİ 2.1 GİRİŞ Elektromanyetik alanlarda karşılaşılan miktarların çoğu skaler ve vektörler olarak iki sınıfa ayrılabildiğinden vektör cebri ve vektör hesabının bilinmesi elektromanyetik alan teorisi kavramlarının geliştirilmesinde gereklidir. Elektromanyetik alan teorisinde vektörlerin yaygın olarak kabul edilmişliği bir ölçüde karmaşık olgunun sıkıştırılmış matematiksel gösterimini sağlaması ve kolay görünüm ve işlemeye izin vermesinden kaynaklanmaktadır. Vektör formundaki bir eşitlik üçe kadar skaler eşitliğin temsil edilmesi için yeterlidir. Vektörlerin tam ve derinlemesine tartışılması bu ders kitabının amacı dışına taşmakla birlikte elektromanyetik alan teorisinde önemli rol oynayan bazı vektör işlemleri bu bölümde verilmiştir. Konunun başlangıcı skaler ve vektörel miktarların tanımlanmasına ayrılmıştır. 2.2 SKALER VE VEKTÖRLER Genel olarak fizikte ve günlük hayatta karşılaşılan miktarların çoğu aşağıdaki gibi skaler ve vektörler olarak ikiye ayrılabilir. FİZİKTE BAZI SKALER VE VEKTÖRLER Skaler Vektör Kütle Yer değişimi Uzunluk Hız Uzaklık İvme Hız Kuvvet Güç Ağırlık Enerji Sürtünme İş Moment 16 Elektromanyetik Alan Teorisi Benzer yolla elektromanyetik alanlarda karşılaşılan miktarlar da aşağıdaki gibi skaler ve vektörler olarak ikiye ayrılabilir. ELEKTROMANYETİKTE BAZI SKALER VE VEKTÖRLER Skaler Vektör Elektrik akımı Manyetik vektör potansiyeli Serbest yük Manyetik akı yoğunluğu Elektrik potansiyeli Elektrik akı yoğunluğu Zaman Elektrik alan şiddeti Yüzey Lorentz kuvveti Kondüktans Hacim akım yoğunluğu Kapasitans Poynting vektörü İndüktans Serbest yük hızı 2.2.1 SKALER Tam olarak büyüklüğü ile tanımlanabilen fiziksel bir miktar skaler olarak adlandırılır. Skaler miktarların bazı örnekleri kütle, zaman, sıcaklık, iş ve elektrik yüküdür. Bu miktarların her biri tamamen bir tek sayı ile tanımlanabilir. 20 °C ’lik bir sıcaklık, 100 gram’lık bir kütle ve 1 Coulomb’luk bir yük skalerlere örnektir. Gerçekte bütün gerçek sayılar skaler’dir. 2.2.2 VEKTÖR Yönü ile birlikte bir büyüklüğü olan fiziksel bir miktar vektör olarak adlandırılır. Kuvvet, hız, tork, elektrik alanı ve ivme vektörel miktarlardır. Bir vektörel miktar şekil 2.1a’da görüldüğü gibi uygun bir skalada büyüklüğüne eşit bir çizgi parçası ve ok ile yönü işaretlenerek grafik biçiminde gösterilir. Farklı gösterimleri olmakla beraber bu kitapta vektörün, koyu yazılmış harfin üzerine bir ok yerleştirilerek gösterilmesi tercih edilmiştir. Böylece şekil 2.1a’da R vektörü Q noktasından P’ye doğru yönlenmiş bir vektörü temsil etmektedir. Şekil 2.1b aynı uzunluk ve yönde paralel birkaç vektörü göstermekte ve hepsi de aynı vektörü temsil etmektedir. Eğer A ve B vektörü aynı büyüklük (uzunluk) ve yönde ise birbirine eşit yani A = B ’dir. Eğer vektörler aynı fiziksel ve geometrik anlamda yani aynı boyutlarda ise vektörler karşılaştırılabilir. Sıfır büyüklüğünde bir vektör sıfır vektörü olarak adlandırılır. Bu vektör sıfır büyüklüğünde (uzunluğunda) olduğundan bir ok olarak gösterilemeyen tek vektördür. Birim büyüklükte (uzunlukta) bir vektöre birim vektör adı verilir. Bir vektör daima birim vektörü ile temsil edilebilir. Örneğin A vektörü, A = Aa A (2.1) olarak yazılabilir; A skaleri A ’nın büyüklüğü ve a A ise A ile aynı yönde birim vektör olup aşağıdaki gibi yazılabilir. Vektör Analizi 17 A aA = A (a) Vektörün grafiksel gösterimi (2.2) b) Aynı yönde eşit uzunluktaki paralel oklar aynı vektörü temsil eder. Şekil 2.1 2.3 VEKTÖR İŞLEMLERİ Skaler miktarlar ile toplama, çıkarma, çarpma ve/veya bölme çokları için doğuştan gelen bir yetenektir. Örneğin aynı birimlere sahip iki skalerin toplanılması istenilirse sadece büyüklükleri toplanır. Vektörlerde toplama işlemi bu kadar kolay değildir ve aynı şekilde iki vektörün çıkarma ve çarpma işlemi de kolay değildir. Vektörlerde bölme işlemi ise tanımlanmamıştır. 2.3.1 VEKTÖREL TOPLAMA A ve B vektörlerinin toplanması için A ’nın uç (son) noktası ile çakışacak ve B ’nin başlangıç (kuyruk) noktasına gelecek şekilde, şekil 2.2’de koyu çizgi ile görüldüğü gibi iki yardımcı A ve B vektörü çizilir. A ’nın kuyruğu ile B ’nin ucunu birleştiren çizgi C vektörünü temsil eder ve A ve B vektörlerinin toplamıdır. Bu C= A+B (2.3a) ile gösterilir. İki vektörün toplamı yine bir vektördür. Şekil 2.2’de kesik çizgi ile görüldüğü gibi önce B ve sonra A çizilebilirdi. Vektörlerin toplamının toplanacak vektörlerin sırasından bağımsız olduğu açıktır. Başka bir deyişle vektörler A+B =B+A (2.3b) de olduğu gibi toplamanın değişim kuralına uymaktadır. Şekil 2.2 vektörel toplamanın geometrik bir yorumunu da vermektedir. Eğer A ve B bir paralel kenarın iki kenarı ise bu durumda C bunun köşegenidir. Aynı zamanda vektörlerin, toplamanın birleşme kuralına uydukları da gösterilebilir. Bu aşağıdaki gibi edilir. A + (B + C) = ( A + B) + C (2.4) 18 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 2.2 Vektörel toplama, C = A + B Şekil 2.3 Vektörel çıkarma, D = A − B 2.3.2 VEKTÖREL ÇIKARMA Eğer B bir vektör ise bu halde − B (eksi B ) de B ile aynı büyüklükte fakat ters yönde bir vektördür. Gerçekte − B ’ye B ’nin tersi, zıddı veya negatifi denir. Bir vektörün negatifi ile vektörel çıkarma, A − B aşağıdaki gibi tanımlanabilir. Şekil 2.3’de A vektöründen B vektörünün çıkarılması görülmektedir. D = A + ( −B ) (2.5) B = kA (2.6) 2.3.3 VEKTÖR İLE SKALER ÇARPIMI A vektörü bir k skaleri ile çarpılırsa, B gibi bir vektör elde edilir. B ’nin büyüklüğü basitçe A ’nın büyüklüğünün k katına eşittir. Bunun yanında eğer k > 0 ise B vektörü A vektörü ile aynı yönde veya eğer k < 0 ise A vektörünün tersi yönündedir. Eğer k > 1 ise B vektörü A vektöründen daha uzun ve eğer k < 1 ise B vektörü A vektöründen daha kısadır. Aynı veya zıt yönlerdeki B vektörü A vektörüne paraleldir. Sıklıkla B ’ye bağımlı vektör denilir. 2.3.4 İKİ VEKTÖRÜN ÇARPIMI İki vektörün çarpımı için kullanışlı iki tanım vardır. Bunlardan birisi nokta çarpımı ve diğeri ise vektörel çarpım olarak adlandırılır. İki vektörün nokta çarpımı A ve B vektörlerinin nokta çarpımı A . B olarak yazılır ve A nokta B olarak okunur. Şekil 2.4’de görüldüğü gibi iki vektörün büyüklüklerinin ve aralarındaki en küçük açının kosinüsü ile çarpımları olarak tanımlanır. Bu çarpım Vektör Analizi 19 A ⋅ B = AB cosθ (2.7) olarak ifade edilir. (2.7) eşitliğinden A ve B ’nin nokta çarpımının bir skaler olduğu açıktır. Bundan dolayı nokta çarpımı skaler çarpım olarak da bilinir. İki vektör paralel olduğunda skaler çarpımı maksimumdur. Bunun yanında eğer sıfır olmayan iki vektörün skaler çarpımı sıfır ise vektörler ortogonal’dir. Şekil 2.4 Nokta çarpımının gösterimi Nokta çarpımının bazı temel özellikleri: Değişim A⋅B = B⋅A (2.8a) Dağılım A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C (2.8b) k ( A ⋅ B) = (kA) ⋅ B = A ⋅ (kB) (2.8c) Boyutlandırma (2.7) eşitliğindeki B cosθ miktarı A boyunca B ’nin bileşenidir ve çoğunlukla B ’nin A üzerindeki skaler izdüşümü olarak ifade edilir. Buna göre A üzerinde B ’nin skaler izdüşümü A⋅B A B cos θ= = B= B ⋅ a A A A (2.9) olur. (2.9) eşitliğinde A boyunca birim vektörünün eklenmesiyle A vektörü üzerinde B ’nin vektörel izdüşümü B cos θ a= (B ⋅ a A ) a A A (2.10) olarak tanımlanabilir. (2.9) ve (2.10) kısaca bir vektörün birbirine karşılıklı dik yönde üç eksen boyunca skaler ve vektörel izdüşümlerinin belirlenmesinde kullanılacaktır. (2.7) eşitliği A ve B vektörü arasındaki açının belirlenmesinde de kullanılabilir. Bu açı, A⋅B Cos θ = AB (2.11) ifadesinden elde edilebilir. A ≠ 0 ve B ≠ 0 şartıyla (2.7) kullanılarak, aşağıdaki gibi A vektörünün büyüklüğü de belirlenebilir. A = A⋅A = Aa A ⋅ Aa A = A2 (2.12) 20 Elektromanyetik Alan Teorisi ÖRNEK 2.1 A.B = A.C ise bu B ’nin daima C ’ye eşit olduğunu ifade eder mi? ÇÖZÜM A ⋅ B = A ⋅ C olduğundan bu A ⋅ (B − C) = 0 olarak yazılabilir ve bunda göre aşağıdaki sonuçlar çıkartılabilir: a) A hem B − C ’ye dik veya b) A bir sıfır vektörü veya c) B − C = 0 ’dir. Buna göre, sadece B − C = 0 iken B = C olur ve A ⋅ B = A ⋅ C daima B = C anlamında değildir. Vektörel Çarpım A ve B vektörlerinin vektörel çarpımı A × B olarak yazılır ve A çarpı B olarak okunur. Vektörel çarpım A ve B ’yi içeren düzleme normal bir vektördür ve iki vektörün ve aralarındaki en küçük açının sinüsü ile çarpımının büyüklüğüne eşittir. Vektörel çarpım, A × B = AB sin θ a n (2.13) ile ifade edilir. a n A ve B düzlemine normal birim vektörüdür. a n birim vektörü şekil 2.5a’da görüldüğü gibi A dan B ’ye sağ-el vida dönüşünün hareketi yönü doğrultusundadır. a n birim vektörünün yönünü belirlemenin diğer yolu şekil 2.5b’de görüldüğü gibi sağ elin parmaklarını uzatmaktır. İşaret parmağı A ’nın yönünü ve orta parmak B ’nin yönünü gösterirken, baş parmak a n birim vektörünün yönünü gösterir. Vektörel çarpımının sonucu yine bir vektör olacağından, vektörel çarpım olarak da adlandırılır. (a) Sağ el vida kuralı (b) Sağ el kuralı Şekil 2.5 C = A × B vektörel çarpımının yönünü belirleme kuralları Eğer C , C = A×B (2.14) Vektör Analizi 21 olarak A ve B vektörlerinin vektörel çarpımını temsil ediyorsa C a n = ( Aa A ) × ( Ba B ) = (a A × a B ) AB ve a n birim vektörü, an = a A × aB (2.15) gibi yazılır. Birim vektörün yönünün belirlenmesinde kuralların kullanılması ile A × B = −B × A (2.16) olduğu gösterilebilir. Bu bakımdan vektörel çarpımın değişme özelliği yoktur. Vektörel çarpımının diğer özelliklerinden bazıları aşağıdaki gibidir. Dağılım Boyutlandırma A × (B + C) = A × B + A × C (2.17a) k ( A × B) = (kA) × B = A × (kB) (2.17b) Aynı zamanda, sıfır olmayan iki vektörün paralel olması için vektörel çarpımları sıfır olmalıdır. ÖRNEK 2.2 A ve B keyfi iki vektör ise aşağıdaki Lagrange özdeşliğini doğrulayınız. 2 A × B = A2 B 2 − ( A ⋅ B ) 2 ÇÖZÜM İki vektörün vektörel çarpımının tanımından özdeşlik aşağıdaki gibi doğrulanabilir. 2 A × B = A2 B 2 sin 2 θ = A2 B 2 (1 − cos 2 θ ) = A2 B 2 − A2 B 2 cos 2 θ = A2 B 2 − ( A ⋅ B) 2 ÖRNEK 2.3 Vektörleri kullanarak üçgenin (a) sinüs ve (b) kosinüs kurallarını çıkartınız. ÇÖZÜM (a) Sinüs kuralı: (a) (b) Şekil 2.6 22 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 2.6a’dan, B =C−A yazılabilir. B × B = 0 olduğundan, B × (C − A) = 0 veya B×C = B× A olur. Buna göre, BC sin α = BA sin(π − γ ) eşitliği [sin(π − γ ) = sin γ ] olduğundan A C = sin α sin γ olarak ifade edilir. Benzer şekilde, A B = sin α sin β olduğu da gösterilebilir. Böylece bir üçgen için sinüs kuralı aşağıdaki gibi ifade edilebilir. A B C = = sin α sin β sin γ (a) Kosinüs kuralı: Kosinüs kuralı bir üçgenin bir kenarının uzunluğunu diğer iki kenarının uzunluğu ve aralarındaki açı ile ilişkilendirmekte yani C = A2 + B 2 − 2 AB cos α olarak verilmektedir. Bu, şekil 2.6(b)’de görülen kenar vektörlerinin toplamı, C = A + B ile aşağıdaki gibi doğrulanabilir. C 2 = C ⋅ C = ( A + B) ⋅ ( A + B) = A ⋅ A + B ⋅ B + 2 A ⋅ B C 2 = A2 + B 2 + 2 AB cos(π − α ) = A2 + B 2 − 2 AB cos α Skaler üçlü çarpım A , B ve C gibi üç vektörün skaler üçlü çarpımı bir skalerdir ve C ⋅ ( A × B) = ABC sin θ cos φ (2.18a) Vektör Analizi 23 olarak hesaplanabilir. Şekil 2.7’de görüldüğü gibi eğer üç vektör bir paralel prizmanın üç kenarını temsil ediyorsa bu durumda skaler üçlü çarpımın sonucu hacimdir. (2.18a)’dan ortak düzlemli üç vektörün skaler üçlü çarpımın sıfır olduğu açıktır. Vektörler periyodik sırada gözüktüğü sürece (2.18a) aşağıdaki gibi de yazılabilir. C ⋅ ( A × B) = A ⋅ (B × C) = B ⋅ (C × A) (2.18b) Şekil 2.7 Skaler üçlü çarpımın gösterimi Vektörel üçlü çarpım A , B ve C gibi üç vektörün vektörel üçlü çarpımı da bir vektördür ve A × (B × C) olarak yazılabilir. Vektörel üçlü çarpımın aşağıdaki gibi birleşme özelliğinin olmadığı gösterilebilir. A × (B × C) ≠ ( A × B) × C) (2.19) ALIŞTIRMALAR 1. Vektörlerin toplamında değişim kuralını doğrulayınız. 2. Sıfır olmayan A ve B vektörlerinin birbirine dik olması için gerek ve yeter şartın A ⋅ B = 0 olduğunu gösteriniz. 3. Vektörlerin skaler çarpımda dağılım kuralına uyduklarını doğrulayınız. 4. Pythagorean (Pisagor) teoremini doğrulayınız 2 A + B = A2 + B 2 olduğunu gösteriniz. veya A ve B birbirine dik ise 5. Vektörlerin vektörel çarpımda dağılım kuralına uyduklarını doğrulayınız. 6. Sıfır olmayan iki vektörün, sadece vektörel çarpımları sıfır ise paralel olduğunu ispatlayınız. 7. A ⋅ (B × C) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B) olduğunu doğrulayınız. 8. ( A × B) ⋅ (C × D) = ( A ⋅ C)(B ⋅ D) − ( A ⋅ D)(B ⋅ C) olduğunu doğrulayınız. 2.4 KOORDİNAT SİSTEMLERİ Bu noktaya kadar tartışma oldukça genel tutulmaya çalışıldı ve vektör işlemlerinde grafiksel gösterim kullanıldı. Matematiksel bir görüş açısından vektörler birbirine karşılıklı dik (ortogonal) 24 Elektromanyetik Alan Teorisi üç yön boyunca bileşenlerine ayrıldığı zaman vektörler ile çalışmak çok yerinde ve kullanışlı olmaktadır. Bu kitapta esas olarak üç ortogonal koordinat sistemi kullanılmaktadır: Dikdörtgen (kartezyen) koordinat sistemi, silindirik (dairesel) koordinat sistemi ve küresel koordinat sistemi. 2.4.1 DİKDÖRTGEN KOORDİNAT SİSTEMİ Bir dikdörtgen (kartezyen) koordinat sistemi birbirine karşılıklı dik üç ortogonal düz çizgiden oluşan bir sistemdir (şekil 2.8a). Üç düz çizgi x, y ve z eksenleri olarak adlandırılır. Bu eksenlerin kesişim noktası orijindir. a x , a y ve a z birim vektörleri sırasıyla, x, y ve z boyunca bir vektörün bileşenlerinin yönünün gösterilmesinde kullanılmaktadır. (b) Bir noktanın izdüşümleri (a) Dikdörtgen koordinat sistemi Şekil 2.8 Boşlukta bir P ( X , Y , Z ) noktası şekil 2.8b’de görüldüğü gibi üç eksendeki izdüşümleri ile tanımlanabilir. r pozisyon vektörü orijinden P noktasına yönlenmiş bir vektör olarak aşağıdaki gibi bileşenleri ile ifade edilebilir. r = X ax + Y a y + Z az (2.20) X, Y ve Z r ’nin x, y ve z eksenlerindeki skaler izdüşümleridir. Şekil 2.9’da görüldüğü gibi A ’nın skaler izdüşümleri Ax, Ay ve Az ise A vektörü A = Ax a x + Ay a y + Az a z (2.21) olarak yazılabilir. Benzer şekilde B vektörü de aşağıdaki gibi ifade edilebilir. B = Bx a x + B y a y + Bz a z (2.22) A ve B vektörlerinin toplamı, C = A + B C = ( Ax + Bx )a x + ( Ay + B y )a y + ( Az + Bz )a z = C xa x + C y a y + C z a z (2.23) Vektör Analizi 25 olarak yazılabilir. C x = Ax + Bx , C y = Ay + B y ve C z = Az + Bz büyüklükleri C ’nin a x , a y ve a z birim vektörleri yönündeki bileşenleridir. Şekil 2.9 Dikdörtgen koordinat sisteminde vektörel toplama, C= A+B Karşılıklı ortogonal birim vektörlerinin nokta ve vektörel çarpımları aşağıdaki gibidir. ax ⋅ax = 1 a y ⋅a y = 1 az ⋅az = 1 (2.24a) ax ⋅a y = 0 a y ⋅az = 0 az ⋅ax = 0 (2.24b) ax × ax = 0 ay ×ay = 0 az × az = 0 (2.24c) ax × a y = az a y × az = ax az × ax = a y (2.24d) Bileşenleri ile A ve B vektörlerinin nokta çarpımı aşağıdaki gibidir. A⋅B = Ax Bx + Ay By + Az Bz (2.25) Eş.(2.25) kullanılarak bileşenleri ile A vektörünün büyüklüğü aşağıdaki gibi hesaplanabilir. A= ÖRNEK 2.4 A⋅A = Ax2 + Ay2 + Az2 (2.26) A = 3 a x + 2 a y − a z ve B = a x − 3 a y + 2 a z verilmiş, C = 2 A − 3B ’yi bulunuz. a c birim vektörünün x, y ve z eksenleri ile yaptıkları açıları bulunuz. 26 Elektromanyetik Alan Teorisi ÇÖZÜM İstenilen C vektörü, C = 2 A − 3B = 2[3 a x + 2 a y − a z ] − 3[a x − 3 a y + 2 a z ] = 3a x + 13 a y − 8 a z ve (2.26)’dan C vektörünün büyüklüğü, C = 2 32 + 132 + (−8)= 242 = 15,556 dir. İstenilen birim vektörü aşağıdaki gibi hesaplanır. C 3a x + 13 a y − 8 a z ac = = = 0,193a x + 0,836 a y − 0,514 a z C 15,556 Birim vektörlerin x, y ve z eksenleri ile yaptıkları açılar aşağıdaki gibidir: 3 Cx = cos −1 = 78,88° C 15,556 θ x = cos −1 Cy −1 13 = cos = 33,31° 15,556 C θ y = cos −1 −8 Cz = cos −1 = 120,95° C 15,556 θ z = cos −1 ÖRNEK 2.5 Aşağıdaki vektörlerin ortogonal olduğunu gösteriniz. A = 4a x + 6 a y − 2 a z ve B = −2a x + 4a y + 8 a z ÇÖZÜM Sıfır olmayan iki vektörün ortogonal olması için skaler çarpımlarının, A ⋅ B sıfır olması gerekir. A ⋅ B =(4)(-2) + (6)(4) + (-2)(8) =−8 + 24 − 16 = 0 Skaler çarpım sıfır olduğundan vektörler ortogonaldir. ÖRNEK 2.6 P(x 1 , y 1 , z 1 ) noktasından Q(x 2 , y 2 , z 2 ) noktasına yönlenmiş R uzunluk vektörünü bulunuz. ÇÖZÜM İki nokta arasını birleştiren vektöre uzunluk vektörü denilir. Şekil 2.10’da görüldüğü gibi r1 ve r2 P ve Q noktalarının pozisyon vektörleri ise r1 = x1a x + y1a y + z1a z ve Vektör Analizi 27 r2 = x2 a x + y 2 a y + z 2 a z dir. Şekil 2.10’dan P noktasından Q noktasına uzunluk vektörü aşağıdaki gibi yazılır. R = r2 − r1 = ( x2 − x1 )a x + ( y 2 − y1 )a y + ( z 2 − z1 )a z Şekil 2.10 P’den Q’ye R uzunluk vektörü A ve B vektörlerinin vektörel çarpımı birim vektörleri üzerindeki izdüşümleri ile de hesaplanabilir. C = A × B ise C = [ Ax a x + Ay a y + Az a z ] × [ Bx a x + By a y + Bz a z ] C = [ Ay Bz − Az B y ]a x + [ Az Bx − Ax Bz ] a y + [ Ax B y − Ay Bx ] a z elde edilir. Aynı eşitlik aşağıdaki gibi determinantla da ifade edilebilir. a x C = A × B = Ax Bx ay Ay By az Az Bz (2.27) ÖRNEK 2.7 A , B ve C vektörleri ile biçimlenmiş bir paralel prizmanın hacmini hesaplayınız. A = 2a x + a y − 2 a z , B = −a x + 3a y + 5a z ve C = 5a x − 2a y − 2a z ÇÖZÜM Paralel prizmanın hacminin hesaplanması için skaler üçlü çarpım, A ⋅ (B × C) kullanılır. (2.27) eşitliğinin yardımı ile skaler üçlü çarpım determinant formunda A A A x y z A ⋅ (B × C) = Bx By Bz C x C y C z olarak yazılabilir. Değerler yerine konularak istenilen hacim aşağıdaki gibi bulunur. 28 Elektromanyetik Alan Teorisi 2 1 −2 Hacim =A ⋅ (B × C) =− 1 3 5 =57 5 −2 −2 ALIŞTIRMALAR 9. A = 2a x + 0,3a y − 1,5a z ve B = 10a x + 1,5a y − 7,5a z ise A ve B vektörlerinin bağımlı vektörler olduğunu gösteriniz. 10. P (0, −2,1) ’den Q(−2,0,3) ’ye uzunluk vektörünü hesaplayınız. 11. A = 3a x + 2a y − a z , B = 4a x − 8a y − 4a z ve C = 7a x − 6a y − 5a z ise A , B ve C ’nin dik açılı üçgen olduğunu gösteriniz. 12. S = 3a x + 5a y + 17a z ve G = −a y − 5a z ise S + G ’ye paralel birim vektörünü bulunuz. Birim vektörün x, y ve z eksenleri ile yaptığı açıları hesaplayınız. 2.4.2 SİLİNDİRİK KOORDİNAT SİSTEMİ Şekil 2.11’de görüldüğü gibi bir P( x, y, z ) noktası tamamen ρ, φ ve z ile temsil edilebilir. OP pozisyon vektörünün xy düzlemine izdüşümü ρ, OTPM düzleminin pozitif x eksenine yaptığı açı φ ve OP’nin z eksenine izdüşümü z olmaktadır. ρ, φ ve z’ye P ( ρ ,φ , z ) noktasının silindirik koordinatları olarak söylenir. Şekil 2.11’den aşağıdaki ifadeler yazılabilir. x = ρ cos φ y = ρ sin φ (2.28) ρ = x 2 + y 2 = sabit (2.29) (2.29) ile ifade edilen koordinat yüzeyi şekil 2.12’de görüldüğü gibi ekseni z ekseninde bulunan ρ yarıçapında bir silindirdir ve 0 ≤ ρ ≤ ∞ dir. y x φ = tan −1 = sabit (2.30) Şekil 2.11 Silindirik koordinat sisteminde bir noktanın izdüşümleri Vektör Analizi 29 (2.30) ile ifade edilen koordinat yüzeyi şekil 2.12’de görüldüğü gibi z ekseni etrafında dönebilen (menteşeli) bir düzlemdir. Şekil 2.12a 3 boyutlu silindirik koordinat sistemi Şekil 2.12b Silindirik koordinat sisteminde birbirine karşılıklı dik üç yüzey Son olarak koordinat yüzeyi, z = sabit xy düzlemine paralel bir düzlemdir. Bu yüzeyler birbirlerine dik açılarda kesiştiğinden birbirine karşılıklı olarak dik üç koordinat ekseni oluştururlar: ρ, φ ve z. Şekil 2.11’de görüldüğü gibi ilgili birim vektörleri a ρ , aφ ve a z ’dir. φ açısı x eksenine göre saat yönünün tersinden ölçülür. Buna göre φ’nin değişim aralığı 0 ile 2π arasındadır. a ρ ve aφ birim vektörleri tek yönlü değil yani φ’nin artışı ve azalışı ile yön değiştirirler. Bu gerçek, integrand a ρ ve aφ yönlü bileşenlerine sahip olduğunda φ’ye göre integral alınırken akılda tutulmalıdır. Gerekli olduğunda bu gerçek yeniden irdelenecektir. A ve B vektörü ortak P ( ρ ,φ , z ) noktasında veya φ = sabit düzleminde tanımlanıyorsa dikdörtgen koordinat sisteminde yapıldığı gibi bu vektörler toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. P ( ρ ,φ , z ) noktasında iki vektör A = Aρ a ρ + Aφ aφ + Az a z ve B = B ρ a ρ + Bφ aφ + B z a z ise aşağıdaki ifadeler yazılabilir. A + B = ( Aρ + Bρ )a ρ + ( Aφ + Bφ )aφ + ( Az + Bz )a z (2.32a) A= ⋅ B ( Aρ Bρ ) + ( Aϕ Bϕ ) + ( Az Bz ) (2.32b) aρ A × B = Aρ Bρ aφ Aφ Bφ az Az Bz (2.32c) 30 Elektromanyetik Alan Teorisi Silindirik koordinat sisteminde vektörlerin nokta ve vektörel çarpımları aşağıdaki gibidir. aρ ⋅ aρ = 1 aφ ⋅ aφ = 1 az ⋅ az = 1 (2.33a) a ρ ⋅ aφ = 0 aφ ⋅ a z = 0 az ⋅ aρ = 0 (2.33b) aρ × aρ = 0 aφ × aφ = 0 az × az = 0 (2.34a) a ρ × aφ = a z aφ × a z = a ρ a z × a ρ = aφ (2.34b) Birim vektörlerin dönüşümü a ρ ve aφ birim vektörlerinin a x ve a y birim vektörleri üzerindeki izdüşümü şekil 2.13’de görülmektedir. İzdüşümlerden görüldüğü gibi a ρ = cosφ a x + sin φ a y (2.35a) aφ = − sin φ a x + cosφ a y (2.35b) ve olur çünkü a x ⋅ a ρ = cos φ , a y ⋅ a ρ = − sin φ ve a y ⋅ aφ = cos φ dir. sin φ , a x ⋅ aφ = Dikdörtgen’den silindirik koordinat sistemine birim vektör dönüşümü aşağıdaki gibi matris formunda (ve bu matristen silindirikten dikdörtgen koordinat sistemine) ifade edilebilir. a ρ cosφ aφ = − sin φ a 0 z a x cos φ a y = sin φ a 0 z sin φ cosφ 0 − sin φ cos φ 0 0 a x 0 a y 1 a z (2.36a) 0 a ρ 0 aφ 1 a z (2.36b) Şekil 2.13 a ρ ve aφ vektörlerinin a x ve a y bileşenleri Vektör Analizi 31 Bir vektörün dönüşümü A vektörü silindirik koordinat sisteminde verilmişse dikdörtgen koordinat sisteminde x, y ve z eksenleri üzerindeki izdüşümleri ile ifade edilebilir. x ekseni üzerinde A = Aρ a ρ + Aφ aφ + Az a z vektörünün skaler izdüşümü, Ax = A ⋅ a x = Aρ a ρ .a x + Aφ aφ .a x + Az a z .a x = Aρ cos φ − Aφ sin φ (2.37a) y ekseni üzerinde A ’nın skaler izdüşümü, Ay = A ⋅ a y = Aρ a ρ ⋅ a y + Aφ aφ ⋅ a y + Az a z ⋅ a y = Aρ sin φ − Aφ cos φ (2.37b) z ekseni üzerinde A ’nın skaler izdüşümü, Az = A ⋅ a z = Aρ a ρ ⋅ a z + Aφ aφ ⋅ a z + Az a z ⋅ a z = Az (2.37c) dir. (2.37a, b, c) eşitlikleri daha öz olarak matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir. Ax cos φ A = sin φ y Az 0 − sin φ 0 Aρ cos φ 0 Aφ 0 1 Az (2.38) Benzer işlemler takip edilerek dikdörtgen koordinat sisteminde bir vektör aşağıdaki dönüşüm ile silindirik koordinat sisteminde ifade edilebilir: Aρ cos φ A = − sin φ φ Az 0 sin φ cos φ 0 0 Ax 0 Ay 1 Az (2.39) (2.39)’daki dönüşüm matrisinin (2.36a)’daki ile aynı olduğuna dikkat edilmelidir. ÖRNEK 2.8 Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir pozisyon vektörünü silindirik koordinat sisteminde bir vektöre dönüştürünüz. ÇÖZÜM Boşlukta herhangi bir P( x, y, z ) noktasının pozisyon vektörü A = xa x + ya y + za z (2.39)’da verilen dönüşüm matrisi kullanılarak, Aρ = x cos φ + y sin φ , Aφ = − x sin φ + y cos φ ve Az = z elde edilir. x = ρ cos φ ve y = ρ sin φ yerine konularak Aρ = ρ , Aφ = 0 ve Az = z elde edilir. Böylece, A pozisyon vektörü silindirik koordinat sisteminde aşağıdaki gibi yazılır. 32 Elektromanyetik Alan Teorisi A = ρ aρ + z az k ÖRNEK 2.9 A = 2 a ρ + 5 sin 2φ a z vektörünü dikdörtgen koordinat sisteminde ifade ediniz. ρ ÇÖZÜM (2.38)’de verilen dönüşüm matrisi kullanılarak Aρ = k ρ2 , Aφ = 0 ve Az = 5 sin 2φ ile Ax = k cos φ ρ 2 , Ay = k sin φ ρ2 ve Az = 10 cos φ sin φ elde edilir. ρ = x 2 + y 2 , cosφ = x ρ ve sinφ = y ρ yerine konularak A vektörünün istenilen dönüşümü A= kx ky 10 xy a + 2 a + 2 az 2 3/ 2 x 2 3/ 2 y (x + y ) (x + y ) x + y2 2 olarak bulunur. ÖRNEK 2.10 A = 3a ρ + 2aφ + 5a z ve B = −2a ρ + 3aφ − a z , P(3, π/6, 5) ve Q(4, π/3, 3) noktalarında verilmişse S(2, π/4, 4) noktasında C = A + B ’yi bulunuz. Vektörleri grafik üzerinde gösteriniz. ÇÖZÜM Bu iki vektör aynı φ = sabit düzleminde tanımlanmadıklarından silindirik koordinat sisteminde doğrudan toplanamazlar. Bundan dolayı dikdörtgen koordinat sistemine dönüşüm gereklidir. P(3, π/6, 5) noktasında verilen A vektörü için dönüşüm matrisi Ax cos 30º − sin 30º 0 3 A = sin 30º cos 30º 0 2 y Az 0 0 1 5 dir ve A = Ax a x + Ay a y + Az a z = 1,598a x + 3,232a y + 5a z bulunur. Aynı şekilde, φ = π/3 ile dönüştürülen vektör, B Vektör Analizi 33 Bx cos 60º − sin 60º 0 − 2 B = sin 60º cos 60º 0 3 y Bz 0 0 1 − 1 B = Bx a x + B y a y + Bz a z = −3,598a x − 0,232a y − a z elde edilir. Daha sonra dikdörtgen koordinat sisteminde C = A + B C = −2a x + 3a y + 4a z olarak hesaplanabilir. Şimdi C vektörü (2.39)’da verilen dönüşüm matrisi kullanılarak, aşağıdaki gibi silindirik koordinat sisteminde S(2, π/4, 4) noktasındaki bileşenlerine dönüştürülebilir. C ρ cos 45º sin 45º 0 − 2 C = − sin 45º cos 45º 0 3 φ C z 0 0 1 4 Buradan, C = 0,707a ρ + 3,535aφ + 4a z olarak hesaplanır. Şekil 2.14’de A , B ve C vektörlerinin koordinat sistemindeki konumları görülmektedir. Şekil 2.14 A , B ve C vektörlerinin koordinat sistemindeki konumları ve φ = 30° , φ = 45° ve φ = 60° sabit düzlemleri Bir vektör, bir koordinat sisteminden diğer koordinat sistemine dönüştürülürken sadece büyüklüğü değişir, yönü değişmeden kalır. 34 Elektromanyetik Alan Teorisi ALIŞTIRMALAR 13. (2.39)’da verilen dönüşümü doğrulayınız. 14. Vektör izdüşümü kullanarak Örnek 2.10’daki C ’yi hesaplayınız. 15. (a) F ρ sin φ a ρ − ρ cos φ aφ ve (b) H = ρ1 a ρ vektörlerini dikdörtgen koordinat sisteminde = ifade ediniz. 16. P (1, π ,0) ve Q(0, −π / 2, 2) noktası silindirik koordinat sisteminde verilmiştir. P’den Q’ye uzunluk vektörünü ve uzunluğunu bulunuz. Q’den P’ye uzunluk vektörü nedir? P’den Q’ye uzunluk vektörünü Q’den P’ye uzunluk vektörü ile ifade ediniz. 2.4.3 KÜRESEL KOORDİNAT SİSTEMİ Üçüncü koordinat sistemi küresel koordinat sistemidir. Şekil 2.15a’da görüldüğü gibi küresel koordinatlarda boşlukta bir P noktası r, θ ve φ ile temsil edilebilir; OP pozisyon vektörünün büyüklüğü r, θ pozitif z ekseni ile OP pozisyon vektörünün yaptığı açı ve φ şekilde görüldüğü gibi pozitif x ekseni ve OMPN düzlemi arasındaki açıdır. xy düzlemi üzerinde r’nin izdüşümü OM = r sin θ ’dir. Şekil 2.15a’dan x = r sin θ cos φ (2.40a) y = r sin θ sin φ (2.40b) z = r cosθ (2.40c) olduğu açıktır. (2.40)’dan aşağıdakiler yazılabilir: r = x2 + y 2 + z 2 z θ = cos −1 r y φ = tan −1 x (2.41a) (2.41b) (2.41c) φ’nin pozitif yönü z ekseni etrafında x’den y’ye sağ el dönüşü yönünde ve φ 0-2π arasında değişir. θ ’nın pozitif yönü değerinin sıfır olduğu pozitif z ekseninden değerinin π olduğu negatif z eksenine doğrudur ve θ 0-π arasında değişir. r’nin sınırları 0 ≤ r ≤ ∞ ile verilir. Şekil 2.15c’de P(r ,θ ,φ ) noktasından geçmekte olan üç adet yüzey görülmektedir. Bunlar; r yarıçapında bir küre yüzeyi, uç kısmı orijinde bulunan θ açıklığında bir konik yüzey ve xy düzlemi ile φ açısı yapan z ekseninde eksenlenmiş bir düzlem’dir. P noktasında bu yüzeylere tanjant düzlemler birbirine karşılıklı olarak diktir. r, θ ve φ ’nin artan yönlerinde bu kesişim noktalarına dik birim vektörleri a r , aθ ve aφ ’dir. Bu birim vektörleri (r ,θ ,φ ) koordinatlarının fonksiyonlarıdır. Bunun sonucu olarak küresel koordinatlarda vektörel toplama, çarpma ve çıkarma sadece bu vektörler θ = sabit ve φ = sabit düzlemlerinin kesişiminde verilmişse yapılabilir. Başka Vektör Analizi 35 bir ifadeyle vektörlerin aynı noktada veya aynı radyal (yarıçap) hat boyundaki noktalarda tanımlanması gerekir. (a) Küresel koordinat sisteminde bir noktanın izdüşümleri (b) 3 boyutlu küresel koordinat sistemi (c) Küresel koordinat sisteminde sabit yüzeyler ve birim vektörleri Şekil 2.15 Birim vektörlerin skaler ve vektörel çarpımları aşağıdaki gibidir. 1 ar ⋅ ar = aθ ⋅ aθ = 1 aφ ⋅ aφ = 1 (2.42a) a r ⋅ aθ = 0 aθ ⋅ aφ = 0 aφ ⋅ a r = 0 (2.42b) aφ × a r = aθ (2.42c) a r × aθ = aφ aθ × aφ = a r ÖRNEK 2.11 A = 10a r + 30aθ − 10aφ ve B = −3a r − 10aθ + 20aφ vektörleri boşlukta bir P(r ,θ ,φ ) noktasında verilmiştir. (a) 2A − 5B , (b) A ⋅ B , (c) A × B , d) B ’nin yönünde A ’nın skaler bileşeni, (e) B ’nin yönünde A ’nın vektörel izdüşümü ve (f) hem A ve hem de B ’ye dik birim vektörünü belirleyiniz. 36 Elektromanyetik Alan Teorisi ÇÖZÜM A ve B vektörü aynı P noktasında verildiğinden küresel koordinatlar sisteminde vektör işlemlerinin kuralları doğrudan uygulanabilir. a) 2 A − 5B = (20 + 15)a r + (60 + 50)aθ + (−20 − 100)aφ = 35a r + 110aθ − 120aφ b) A= ⋅ B 10(-3) + 30(-10) + (-10)20 = -530 ar aθ aφ c) A × B = 10 30 − 10 = 500a r − 170aθ − 10aφ − 3 − 10 20 d) B ’nin büyüklüğü: B = [(-3)2 + (-10)2 + (20) 2 ]1/2 = 22,561 B ’nin üzerine A ’nın skaler izdüşümü: A.B − 530 A ⋅ aB = = = −23,492 B 22,561 e) B ’nin üzerine A ’nın vektörel izdüşümü: (A ⋅ a B )B −23, 492 −3a r − 10aθ + 20= aφ = (A ⋅ a B = )a B B 22,561 3,123a r + 10, 413aθ − 20,825aφ f) A ve B ’ye normal iki birim vektörü vardır. Birim vektörlerden biri A × B 500a r − 170aθ − 10aφ a n1 = = = 0,947a r − 0,322aθ − 0,019aφ 2 2 2 A×B 500 + 170 + 10 ve diğer birim vektörü aşağıdaki gibidir. a n 2 = −a n1 = −0,947a r + 0,322aθ + 0,019aφ Birim Vektörlerinin Dönüşümü Küresel koordinatlarda farklı noktalarda fakat aynı radyal hat üzerinde olmayan bir vektör seti verildiğinde temel vektör işlemlerini yapmak için vektörlerin dikdörtgen koordinatlarda ifade edilmesi gerekir. a x , a y ve a z boyunca üç birim vektörünün a r , aθ ve aφ bileşenleri şekil 2.16’dan elde edilebilir. Bu şekilden aşağıdakiler gösterilebilir. = a r ⋅ a x sin θ cos= a r ⋅ a y sin θ sin = a r ⋅ a z cos θ φ φ aθ ⋅ a x = aθ ⋅ a y = aθ ⋅ a z = − sin θ cos θ cos φ cos θ sin φ aφ ⋅ a x = − sin φ aφ ⋅ a y = aφ ⋅ a z = cos φ 0 (2.43a) Bu eşitlikler aşağıdaki gibi matris formunda yazılabilir. a r sin θ cos φ aθ = cosθ cos φ aφ − sin φ sin θ sin φ cosθ sin φ cos φ cosθ a x − sin θ a y 0 a z (2.43b) Vektör Analizi 37 Şekil 2.16 a r , aθ ve aφ birim vektörlerinin a x , a y ve a z birim vektörleri üzerindeki izdüşümleri 38 Elektromanyetik Alan Teorisi Bir vektörün dönüşümü Küresel koordinat sisteminde A vektörü, A = Ar a r + Aθ aθ + Aφ aφ verilmişse x, y ve z eksenleri üzerindeki izdüşümleri aşağıdaki gibi belirlenebilir. Ax = A ⋅ a x = Ar a r ⋅ a x + Aθ aθ ⋅ a x + Aφ aφ ⋅ a x = Ar sin θ cos φ + Aθ cos θ cos φ − Aφ sin φ Ay = A ⋅ a y = Ar a r ⋅ a y + Aθ aθ ⋅ a y + Aφ aφ ⋅ a y = Ar sin θ sin φ + Aθ cos θ sin φ + Aφ cos φ Az = A ⋅ a z = Ar a r ⋅ a z + Aθ aθ ⋅ a z + Aφ aφ ⋅ a z = Ar cos θ − Aθ sin θ Sonuçlar matris formunda aşağıdaki gibidir. Ax sin θ cos φ A = sin θ sin φ y Az cosθ cosθ cos φ cosθ sin φ − sin θ − sin φ Ar cos φ Aθ 0 Aφ (2.44) Aynı şekilde dikdörtgen koordinat sisteminde verilen bir vektör aşağıdaki matris dönüşümü kullanılarak küresel koordinat sisteminde bir vektör olarak ifade edilebilir. Bu sonuçlar izdüşüm teknikleri kullanılarak kolaylıkla ispatlanabilir. Ar sin θ cos φ Aθ = cosθ cos φ Aφ − sin φ sin θ sin φ cosθ sin φ cos φ cosθ Ax − sin θ Ay 0 Az (2.45) ÖRNEK 2.12 F = 3 xa x + 0,5 y 2a y + 0,25 x 2 y 2a z vektörü dikdörtgen koordinat sisteminde P(3,4,12) noktasında verilmiştir. Bu vektörü küresel koordinat sisteminde ifade ediniz. ÇÖZÜM P(3,4,12) noktasında F vektörü F = 3 × 3a x + 0,5 × 42 a y + 0,25 × 32 × 42 a z = 9a x + 8a y + 36a z ve 4 φ = tan −1 = 53,13° , 3 12 = 22,62° 13 θ = cos −1 dir. (2.45)’deki değerler yerine konularak Fr = 37,77 , Fθ = −2,95 ve Fφ = −2,40 elde edilir veya küresel koordinat sisteminde P(13, 22,62°, 53,13°) noktasında aşağıdaki gibi hesaplanır. Vektör Analizi 39 F = 37,77a r − 2,95aθ − 2,40aφ ALIŞTIRMALAR 17. r = xa x + ya y + za z pozisyon vektörünü küresel koordinat sisteminde ifade ediniz. 18. F = r a r + r tan θ aθ + r sin θ cos φ aφ ise F ’yi dikdörtgen koordinat sistemine dönüştürünüz. 19. P (2, π / 2,3π / 4) ’den Q(10, π / 4, π / 2) ’ye uzunluk vektörünün uzunluğunu elde ediniz. 20. S = 12 a r + 5 aθ + π aφ ve T = 2 a r + 0,5π aθ sırasıyla (2,π,π/2) ve (5,π/2,π/2) noktalarındaki iki vektördür. (a) S + T , (b) S ⋅ T , (c) S × T , (d) S × T ’ye dik birim vektörleri ve (e) S ve T arasındaki açıyı belirleyiniz. 2.5 SKALER VE VEKTÖREL ALANLAR Şimdiye kadar dikkate alınan bütün vektör işlemleri çoğunlukla alanlar olarak adlandırılan fonksiyonlara uygulanabilmektedir. Bir alan boşluktaki bütün noktalarda bir fiziksel miktarı tanımlayan bir fonksiyondur. Bir fiziksel miktar bir skaler veya bir vektör olabilir; buna göre bir alan skaler alan veya vektör alanı olabilir. Skaler Alanlar Skaler alan her noktada bir tek sayı ile belirlenir. Skaler alanların iyi bilinen bazı örnekleri bir gazın sıcaklığı ve basıncı, deniz seviyesinden yukarı yükseklik ve elektrik potansiyelini içerir. Örneğin Elektrostatik bölümünde paralel plakalı bir kapasitör içindeki potansiyel dağılımın (şekil 2.17a’ da görüldüğü gibi yalıtkan bir ortam ile ayrılmış iki paralel iletken plaka) şekil 2.17b’de görüldüğü gibi iletken plakalar arasındaki uzaklığın doğrusal bir fonksiyonu olduğu görülecektir. Böylece eş potansiyel yüzeyler iletkenlere paralel düzlemler olmaktadır. Eş potansiyel yüzey potansiyelde değişimin olmadığı bir yüzeydir. (a) Paralel plakalı kapasitör (b) Potansiyel dağılımı (c) Elektrik alan şiddeti Şekil 2.17 Vektörel Alanlar Vektör alanı boşlukta her noktada hem büyüklüğü ve hem de yönü ile belirlenir. Bir akışkanın hızı ve ivmesi, yerçekimi kuvveti ve bir koaksiyel kablo içindeki elektrik alanı vektör alanlarına bazı örneklerdir. Elektrostatik alanlar bölümünde şekil 2.17c’de görüldüğü gibi paralel plakalı bir kapasitör içindeki elektrik alan şiddetinin sabit ve yüksek potansiyelli iletkenden düşük potansiyelli iletkene doğru yönlenmiş olduğu da görülecektir. 40 Elektromanyetik Alan Teorisi Statik Alanlar Bir alan zamanla değişmiyorsa buna statik alan adı verilir. Statik alanlar zamanla değişmeyen alanlar olarak da bilinir. Durgun yüklerin oluşturduğu alanlar elektrostatik alanlar bölümünde ve yüklerin kararlı hareketi ile meydana gelen alanlar statik manyetik alanlar bölümünde yer almaktadır. Zamanla Değişen Alanlar Bir alan zamanla değiştiğinde zamanla değişen alan olarak adlandırılır. Bu ders kitabının çoğu zamanla değişen elektromanyetik (kuplajlı elektrik ve manyetik) alanlar çalışmasına ayrılmıştır. Vektör Hesabı Vektör hesabı tartışmasına başlamadan önce bir veya daha fazla değişkenli bir fonksiyonun türevini tanımlamak mümkündür. Bir skaler f(s) fonksiyonunun s’ye göre türevi aşağıdaki gibi tanımlanır. df f ( s + ∆s ) − f ( s ) = lim ∆s ds ∆s→0 (2.46) Şimdi f fonksiyonu u ve v olarak iki değişkenli ve her değişken sürekli olarak s’ye bağlı yani f = f (u( s ), v ( s )) ise, bu durumda f’nin s’ye göre türevi df ∂f du ∂f dv = + ds ∂u ds ∂v ds (2.47) dir; ∂f/∂u türevi v’nin sabit bir değeri için f’nin u’ya göre kısmi türevidir ve ∂f/∂v türevi u’nun sabit bir değeri için f’nin v’ye göre kısmi türevidir. (2.46)’dan u’ya göre f’nin kısmi türevinin tanımı aşağıdaki gibi elde edilir. ∂f f (u + ∆u, v ) − f (u, v ) = lim ∂u ∆u →0 ∆u (2.48) ∂f/∂v için benzer ifade elde edilir. Bu eşitlikler bir skaler fonksiyonun gradyan ve Laplasyanının tanımlanmasında kullanılacaktır. F(s ) vektör alanı’nın türevi, s’ye göre skaler s’nin bir fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır. F( s + ∆s ) − F( s ) dF = lim ds ∆s→0 ∆s (2.49) F vektörü x, y ve z pozisyon koordinatlarının bir fonksiyonu ise bu durumda kısmi diferansiyelin tanımı kullanılarak ∂ F /∂x aşağıdaki gibi yazılabilir. ∂F F ( x + ∆x, y, z ) − F ( x, y, z ) = lim ∂x ∆x→0 ∆x (2.50) Benzer ifadeler ∂ F /∂y ve ∂ F /∂z için de yazılabilir. (2.50) bir vektörün diverjans ve rotasyonel’inin tanımlanmasında kullanılacaktır. Eğer bir veya daha fazla değişkenli bir skaler veya bir vektör alanının diferansiyeli alınabiliyorsa bunun tersinin de doğru olması gerekir yani bir skaler veya bir vektör alanının integrali alınabilmelidir. Gerçekte diverjansın fiziksel bir yorumu bir yüzey üzerinde bir vektörün Vektör Analizi 41 integrasyonundan elde edilebilir. Bu integrasyonu yapmak için diferansiyel yüzey elemanlarının tanımlanabilmesi gerekir. Bundan sonraki kısım dikdörtgen, silindirik ve küresel koordinat sistemlerinde diferansiyel uzunluk, yüzey ve hacim tanımlamalarına ayrılmıştır. ALIŞTIRMALAR 21. g = g[u(t ), v (t ), s(t )] skaler fonksiyonu veriliyor, t[dg / dt ] ’ye göre g’nin türev ifadesini çıkartınız. 22. G = G ( x, y , z, t ) ise (x, y ve z aynı zamanda t’nin de fonksiyonlarıdır) dG / dt ifadesini elde ediniz. 23. x’e göre F ’nin kısmi türevi (2.50) eşitliği ile verilmiştir. y ve z’ye göre F ’nin kısmi türev ifadeleri nedir? 2.6 UZUNLUK, YÜZEY VE HACİM DİFERANSİYEL ELEMANLARI Elektromanyetizma çalışmasında çizgi, yüzey ve hacim integrasyonları ile sık olarak karşılaşılmaktadır. Belli bir koordinat sisteminde bu integrallerin yapılması uzunluk, yüzey ve hacim diferansiyel elemanları hakkında bilgi edinilmesini zorunlu kılar. Takip eden kısımlarda her koordinat sisteminde bu diferansiyel elemanlarının nasıl oluşturulduğu tanımlanacaktır. 2.6.1 DİKDÖRTGEN KOORDİNAT SİSTEMİ Dikdörtgen koordinat sisteminde diferansiyel hacim elemanı şekil 2.18a’da görüldüğü gibi sırasıyla a x , a y ve a z birim vektörleri boyunca dx, dy ve dz diferansiyel değişimleri yapılarak meydana getirilir. Diferansiyel hacim (b) Açılmış görünüş (a) Diferansiyel hacim Şekil 2.18 Dikdörtgen koordinat sisteminde diferansiyel elemanlar dv = dx dy dz (2.51) ifadesiyle verilir. Hacim altı (6) diferansiyel yüzey ile çevrelenmiştir. Her yüzey bu yüzeye normal birim vektörü ile tanımlanır. Böylece pozitif birim vektörleri yönünde diferansiyel yüzeyler (şekil 2.18b) aşağıdaki gibi tanımlanabilir. 42 Elektromanyetik Alan Teorisi ds x = dy dz a x ds y = dx dz a y ds z = dx dy a z (2.52) P’den Q’ye genel diferansiyel uzunluk elemanı aşağıdaki gibi verilir. dl = dxa x + dya y + dza z (2.53) 2.6.2 SİLİNDİRİK KOORDİNAT SİSTEMİ Şekil 2.19a’da ρ, ρ+dρ, φ, φ+dφ, z ve z+dz yüzeyleri ile sınırlanan diferansiyel hacim görülmektedir. Çevrelenen diferansiyel hacim dv = ρ dρ dφ dz (2.54) (b) Açılmış görünüş (a) Diferansiyel hacim Şekil 2.19 Silindirik koordinat sisteminde diferansiyel elemanlar ifadesiyle verilir. Birim vektörlerin pozitif yönündeki diferansiyel yüzeyler (Şekil 2.19b) ds ρ = ρdφ dz a ρ dsφ = dρ dz aφ ds z = ρdρ dφ a z (2.55) ile verilir. P’den Q’ye diferansiyel uzunluk vektörü aşağıdaki gibi tanımlanır. d = dρ a ρ + ρ dφ aφ + dz a z (2.56) Vektör Analizi 43 2.6.3 KÜRESEL KOORDİNAT SİSTEMİ Küresel koordinat sisteminde diferansiyel hacim elemanı sırasıyla r, θ ve φ ’nin dr, dθ ve dφ artışları ile elde edilir. Hacim elemanı dv = r 2 dr sin θ dθ dφ (2.57) ile verilir. Şekil 2.20b’de görüldüğü gibi birim vektörlerinin pozitif yönlerindeki diferansiyel yüzey alanları ds r = r 2 sin θ dθ dφ a r dsθ = r dr sin θ dφ aθ dsφ = r dr dθ aφ (2.58) dir. P’den Q’ye diferansiyel uzunluk vektörü aşağıdaki gibi verilir. d = dr a r + rdθ aθ + r sin θ dφ aφ (a) Diferansiyel hacim (2.59) (b) Açılmış görünüş Şekil 2.20 Küresel koordinat sisteminde diferansiyel elemanlar Referans kolaylığı bakımından üç koordinat sistemine ait diferansiyel uzunluk, yüzey ve hacim elemanları tablo 2.1’de özetlenmiştir. 44 Elektromanyetik Alan Teorisi Tablo 2.1 Dikdörtgen, silindirik ve küresel koordinat sistemlerinde diferansiyel uzunluk, yüzey ve hacim elemanları Diferansiyel elemanlar Uzunluk dl Dikdörtgen Silindirik Küresel koordinat sistemi koordinat sistemi koordinat sistemi dl = dxa x + dya y + dza z dl =d ρ a ρ + ρ dφ aφ + dz a z dl =dr a r + rdθ aθ + r sin θ dφ aφ ax ay az ds ρ = ρ dφ dza ρ dsφ = d ρ dzaφ ds z = ρ d ρ dφ a z ds r = r 2 sin θ dθ dφ a r dsθ = r dr sin θ dφ aθ dsφ = r dr dθ aφ dv = dx dy dz dv = ρ d ρ dφ dz dv = r 2 dr sin θ dθ dφ ds x = dy dz ds y = dx dz ds z = dx dy Yüzey ds Hacim dv ALIŞTIRMALAR 24. Dikdörtgen koordinat sisteminde, r pozisyon vektörünün diferansiyeli ile (2.53) eşitliğini elde ediniz. 25. Silindirik koordinat sisteminde, r pozisyon vektörünün diferansiyeli ile (2.56) eşitliğini elde ediniz. 26. Küresel koordinat sisteminde, r pozisyon vektörünün diferansiyeli ile (2.59) eşitliğini elde ediniz. 2.7 ÇİZGİ, YÜZEY VE HACİM İNTEGRALLERİ Çoğu kez, elektromanyetik alanların temel kuralları bir bölgede farklı çeşitte eğriler (çizgiler), yüzeyler ve hacimler üzerinde alan miktarlarının integralleri ile ifade edilir. Statik Elektrik Alanları a bölümünde potansiyel fonksiyon elektrik alan şiddetinin çizgisel integrali Vab = − E ⋅ d ile, b Kararlı Elektrik Akımları bölümünde bir iletkenden geçen akım hacim akım yoğunluğunun yüzey integrali I = J ⋅ ds ile ve Statik Manyetik Alanlar bölümünde bir yüzeyden geçen toplam s manyetik akı manyetik akı yoğunluğunun yüzey integrali φ = B ⋅ ds ile tanımlanır. Böyle ∫ ( ∫ ) ( ∫ s ) uzaysal integrallerin açıkça anlaşılması elektromanyetik alan teorisinin incelenmesinde gereklidir. Ek olarak zaman zaman öneminin kavranması için final sonuç integral biçiminde ifade edilecektir. Bundan dolayı bundan sonraki kısımlarda, çizgi, yüzey ve hacim integralleri kavramları tartışılacaktır. Vektör Analizi 45 2.7.1 ÇİZGİSEL İNTEGRAL Şekil 2.21’de görüldüğü gibi f(x)’in x=a ve x=b sınırları arasında x’in tek değerli sürekli bir fonksiyonu olmasına izin verelim. f(x)’in çizgisel integralinin tanımlanması için a-b aralığı hepsi limitte sıfıra yaklaşan n sayıda küçük elemanlara bölünür. Bu durumda çizgisel integral n ∑ f i ∆xi ∫a f ( x)dx = nlim →∞ i =1 b (2.60) ∆xi →0 olarak toplamın limiti olarak tanımlanır. f i fonksiyonu ∆xi → 0 olacak şekilde ∆xi segmenti için f(x)’in değeridir. Şekil 2.21 Tek değerli, sürekli fonksiyon Şekil 2.22 Üç boyutlu uzayda c yolu boyunca diferansiyel uzunluk elemanı Şimdi bu çizgisel integralin tanımı şekil 2.22’de görüldüğü gibi üç boyutlu uzayda genel bir c eğrisi için genişletilebilir. Öncelikle bir skaler f alanını dikkate alalım ve c boyunca a’dan b’ye çizgisel integral tanımlansın. Burada da yine a ve b arasındaki aralık limitte sıfıra yaklaşan n sayıda küçük kısımlara bölünür. Bu durumda küçük segmentler gerçekte uzunluk vektörleridir. i. eleman için pozisyon vektörleri ve uzunlukları şekil 2.22’de görülmektedir. Bu durumda c boyunca f’nin çizgisel integrali toplamın limitinde aşağıdaki gibi tanımlanır. ∫ c f dl = lim n→ ∞ ∆li → 0 n ∑ f ∆l i i (2.61) n =1 f i fonksiyonu ∆li uzunluk segmenti içinde f skaler fonksiyonunun değeridir. Bu integralin bir vektör olduğu açıktır. Detaylar tekrarlanmaksızın bir F vektör alanı ile skaler çizgisel integral aşağıdaki gibi tanımlanabilir. n = F ⋅ F ⋅ ∆ dl li lim ∑ ∫ i c n →∞ ∆li →0 i =1 Son olarak c yolu boyunca bir F vektör alanının vektörel çizgisel integrali (2.62) 46 Elektromanyetik Alan Teorisi ∫ F × dl = lim n→ ∞ c ∆li → 0 n ∑ F × ∆l i (2.63) i i =1 olarak tanımlanır. Bütün bu integrallerde integrasyon yolu kapalı bir eğri etrafında olabilir ve bu durumda a ve b noktaları çakışır. Böyle bir kapalı yol çoğu kez integral işareti ∫ ile yazılarak gösterilir. ÖRNEK 2.13 A = (4 x + 9 y )a x − 14 yza y + 8 x 2 za z ise P(0,0,0)’den Q(1,1,1)’ye ∫ A ⋅ dl c ’yi aşağıdaki yollar boyunca çözünüz. a) x = t , y = t 2 ve z = t 3 b) (0,0,0)’dan (1,0,0)’a ve daha sonra (1,1,0)’e ve en sonunda (1,1,1)’e düz çizgiler c) P(0,0,0)’den Q(1,1,1) ’i birleştiren düz çizgi ÇÖZÜM y = t 2 ve z = t 3 ise dx = dt , dy = 2tdt ve dz = 3t 2 dt olduğundan a) x = t , A ⋅ dl= (4x + 9y )dx -14yzdy + 8x 2 zdz dir. Verilenler 2 A ⋅ dl= (4 x + 9 y )d x -14 y z dy x z dz olarak doğrudan yerine konularak aşağıdaki değer + 8 3 3 2 2 t t t2 t2 t 2 tdt t t 1 (4t + 9t 2 − 28t 6 + 24t 7 )= dt 4 3t dt bulunur. dl ∫ ∫ A ⋅= c t =0 b) Belirlenen yollar boyunca şekil 2.23’de görüldüğü gibi düzenli üç eğri olduğundan ayrı ayrı her yol boyunca integral işlemi yapılmalıdır. Yol c 1 : y=0, dy=0, z= 0, dz=0 ve 0 ≤ x ≤ 1 ∫ c1 A= ⋅ dl 1 dx ∫ 4 x= 0 2 Yol c 2 : x=1, dx= 0, z=0, dz=0 ve 0 ≤ y ≤1 ∫ c2 A ⋅ dl = 0 Yol c 3 : x=1, dx=0, y=1, dy=0 ve 0 ≤ z ≤1 ∫ c3 ⋅ dl A= 1 dz ∫ 8 z= 0 4 Böylece, üç yol boyunca P’den Q’ye çizgisel integral aşağıdaki gibi hesaplanır. Vektör Analizi 47 A A A A ⋅ = ⋅ + ⋅ + dl dl dl ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅ dl =2 + 0 + 4 =6 c c1 c2 c3 Şekil 2.23 Örnek 2.13 için integrasyon yolunun gösterimi c) P’den Q’ye yol boyunca mevcut değerler 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 ve 0 ≤ z ≤ 1 dir. İntegral işleminin yapılması için y ve z büyüklükleri x ile y=x ve z=x olarak ifade edilebilir. Böylece dy=dx ve dz=dx olur. Bu ilişkiler yerine konularak aşağıdaki değer bulunur. ∫ c ⋅ dl A= ∫ 1 0 (13 x − 14 x 2 + 8 x 3 )= dx 3,833 2.7.2 YÜZEY İNTEGRALİ f skaler alanı veya F vektör alanının yüzey alanının tanımlanması için verilen s yüzeyi limitte sıfıra yaklaşan çok sayıda n adet küçük yüzeylere bölünür. Her ∆si küçük yüzeyi şekil 2.24’de görüldüğü gibi ∆s i ilgili vektör yüzeyine sahiptir. f’nin yüzey integralinin tanımlanması için her yüzey elemanı f ile çarpılır ve n→∞ olarak ∆s i → 0 limitinde s’nin bütün n sayıdaki elemanı toplanır. Bu limit s üzerinde f’nin yüzey integrali olarak adlandırılır. Böylece ∫ s f ds = lim n→∞ ∆si → 0 n ∑ f ∆s i i (2.64) i =1 elde edilir; f i fonksiyonu ∆s i elementsel yüzeyi üzerinde f skaler fonksiyonunun değeridir. Açıkça (2.64)’deki integral bir vektördür. Şekil 2.24 Diferansiyel yüzey elemanı 48 Elektromanyetik Alan Teorisi Aynı kurallar uygulanarak skaler yüzey integrali her yüzey elemanı ∆s ve limitte bu skalerler toplanarak F vektör alanının nokta çarpımının biçimlendirilmesiyle tanımlanabilir. Bu n F = ⋅ ds lim ∑ Fi ⋅ ∆si ∫ n→∞ s ∆si →0 (2.65) i =1 ile verilir. Son olarak bir F vektör alanının vektör yüzey integrali aşağıdaki gibi vektörel çarpım alınarak tanımlanır. F × ds ∫= s n lim ∑ Fi × ∆si n→∞ ∆si →0 (2.66) i =1 ÖRNEK 2.14 b yarıçapında bir kürenin kapalı yüzeyi üzerinde ∫ ds = 0 olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM b yarıçapında bir kürenin yüzeyine normal dışa doğru birim vektörü şekil 2.25’de görüldüğü gibi a r birim vektörün yönündedir. Buna göre π 2π ∫ ds = ∫θ ∫φ =0 s =0 a r b 2 sin θ dθ dφ yazılır. a r birim vektörü hem θ ve hem de φ’nin fonksiyonu olduğundan integral işleminden önce dikdörtgen koordinat sisteminde birim vektörler ile ifade edilmelidir. (2.43) eşitliğinden a r = sin θ cos φ a x + sin θ sin φ a y + cosθ a z olduğundan çözüm aşağıdaki gibidir. ds = a xb 2 π 2π sin 2 θ dθ cos φ dφ + a y b 2 ∫ ∫ ∫ π ∫ ds = a b (θ − cosθ sin θ ) sin φ s s x 0 2 1 2 0 0 2π 0 π ∫ 0 2π sin 2 θ dθ sin φ dφ + a z b 2 ∫ 0 π ∫ 0 ∫ 2π sin θ cosθ dθ dφ 0 π 2π π 2π − a y b 2 12 (θ − cosθ sin θ ) 0 cos φ 0 − a z b 2 12 cos 2 θ φ 0 0 ∫ ds = 0 s Şekil 2.25 ÖRNEK 2.15 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 ve 0 ≤ z ≤ 1 ile sınırlanan bir kübün kapalı yüzeyi üzerinde ∫ r ⋅ ds ’yi hesaplayınız; r kübün yüzeyindeki herhangi bir noktanın pozisyon vektörüdür. Vektör Analizi 49 ÇÖZÜM Yüzey integralinin hesaplanacağı altı yüzey ile sınırlanan birim küp şekil 2.26’da görülmektedir. Her yüzeyde integral alınır ve sonuçlar toplanır. Genel olarak yüzeyde herhangi bir P noktasının pozisyon vektörü aşağıdaki gibidir. r = xa x + ya y + za z Şekil 2.26 a) x=1 yüzeyinde: x=1: ds = dy dza x ve ∫ s1 b) x=0 yüzeyinde: x=0: ds = - dy dza x ve ∫ s2 s3 d) y=0 yüzeyinde: y=0: ds = - dx dza y ve ∫ s s4 s5 ∫ s6 1 0 1 1 1 0 0 ∫ dx= ∫ dz 1 r ⋅ ds = 0 r= ⋅ ds ∫ f) z=0 yüzeyinde: z=0: ds = - dx dya z ve Bunların sonucunda, ∫ 1 0 ∫ dy= ∫ dz 0 r ⋅ ds = = r ∫ ⋅ds c) y=1 yüzeyinde: x=1: ds = dx dza y ve e) z=1 yüzeyinde: z=1: ds = dx dza z ve ⋅ ds r= 1 1 0 0 ∫ dx= ∫ dz 1 r ⋅ ds = 0 r ⋅ ds = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 =3 hesaplanır. 2.7.3 HACİM İNTEGRALİ Hacim integralinin tanımlanması için verilen hacim şekil 2.27’de görüldüğü gibi n sayıda küçük hacim elemanlarına bölünür. Her hacim elemanı n → ∞ iken ∆v → 0 ’dır. Skaler hacim integrali tanımlanırken her hacim elemanı f skaler alanı ile çarpılır ve bütün elemanlar için çarpımlar toplanır. Daha sonra bu toplam için aşağıdaki gibi limit alınır. ∫ v f dv = lim n →∞ ∆vi → 0 n ∑ f ∆v i i =1 i (2.67) 50 Elektromanyetik Alan Teorisi Benzer şekilde F vektör alanının hacim integrali aşağıdaki gibi tanımlanır. n = F dv lim ∑ Fi ∆vi ∫ v n →∞ ∆vi →0 (2.68) i =1 Şekil 2.27 Diferansiyel hacim elemanı ÖRNEK 2.16 2 metre yarıçapında küresel hacim içindeki elektron yoğunluk dağılımı ne=(1000/r)cos(φ/4) elektron/m3 olarak verilmiştir. Eğer bir elektron üzerindeki yük –1,6×10-19 C ise çevrelenen yükü bulunuz. Elektron sayısının θ ve φ’ye bağlı değişim grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM 2 metre yarıçapındaki küre ile sınırlanan bölgedeki elektron sayısı N ise ∫ N = ne dv = v 1000 cos(φ / 4)dv = 1000 v r ∫ 2 ∫ 21 0 r r 2 dr π ∫ 0 ∫ 2π sin θ dθ cos(φ / 4)dφ 0 2π r2 φ π N = −1000 cosθ 0 4 sin = 16000 elektron 2 0 40 ve çevrelenen toplam yük, Q=16000(–1,6×10-19)=-2,56×10-15 Coulomb olur. Elektron sayısının θ ve φ’ye bağlı olarak değişim grafiği, N = −2000 × (cosθ − 1) × 4 sin(φ / 4) ifadesi kullanılarak şekil 2.28’de görüldüğü gibi çizilir. Şekil 2.28 Elektron sayısının θ ve φ’ye bağlı değişim grafiği Vektör Analizi 51 ALIŞTIRMALAR 27. g = 20 xy ise ∫ g dl ’yi P(0,0,0)’den Q(1,1,0)’ye (a) P’den Q’ye düz bir çizgi boyunca ve (b) y = 4x 2 eğrisi boyunca hesaplayınız. 28. ∫ ρ ⋅ d ’yi xy düzleminde b yarıçapında kapalı dairesel bir yol boyunca hesaplayınız. 29. r ∫ ⋅ ds ’yi b yarıçapında kürenin kapalı yüzeyi üzerinde hesaplayınız. 30. xy düzlemi ( z = 0) ve z =4 − x 2 − y 2 =4 − ρ 2 ile sınırlanan bölgenin hacmini bulunuz. 2.8 SKALER FONKSİYONUN GRADYANI Şekil 2.29a’da görüldüğü gibi f ( x, y, z ) x, y ve z ile diferansiyeli alınabilen gerçek değerli bir fonksiyon olsun. P noktasından Q noktasına f’deki diferansiyel değişim (2.47) eşitliğinden aşağıdaki gibi yazılabilir. df = ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f df = a x + a y + a z ⋅ dx a x + dy a y + dz a z ∂y ∂z ∂x ( (a) Bir skaler fonksiyonun gradyanının tanımlanması için gösterimler ) (2.69b) (b) Plakalarında V ve V+dV potansiyelleri bulunan kapasitörde elektrik potansiyeli (V) ile elektrik alan şiddeti (E) arasındaki gradyan ilişkisi Şekil 2.29 Diferansiyel uzunluk elemanı, dl = dx a x + dy a y + dz a z ile P’den Q’ye (2.69b) eşitliği (2.69a) 52 Elektromanyetik Alan Teorisi ∂f ∂f ∂f df = a x + a y + a z ⋅ dl ∂y ∂z ∂x (2.70) ∂f dl df ∂f ∂f = ax + a y + az ⋅ ∂y ∂z dl dl ∂x (2.71a) df = N ⋅ al = N a n ⋅ al dl (2.71b) olarak yeniden yazılabilir veya elde edilir; al = dl / dl vektörü dl yönünde P’den Q’ye birim vektördür ve N ∂f ∂f ∂f N = ax + a y + az ∂x ∂y ∂z (2.72) dir. (2.71)’den, f fonksiyonundaki değişim oranının, hem a l ve hem de N ikisi beraber aynı doğrultuda olduğunda maksimum olduğu açıktır. Yani df dl =N (2.73) max dir. P noktasını içine alan ve üzerinde f’nin sabit olduğu bir yüzey vardır. Aynı şekilde, Q noktasını içine alan ve üzerinde f + df ’nin sabit olduğu başka bir yüzey daha vardır. df / dl ’nin maksimum olması için P’den Q’ye olan uzaklığın minimum olması gerekir. Başka ifadeyle df / dl diferansiyel elemanı, a l birim vektörü f ( x, y, z ) = sabit yüzeyine normal olduğunda maksimumdur. Bu, N ’nin f ( x, y, z ) = sabit yüzeyine normal olduğunu açıklamaktadır. Bu durumda, tanıma göre N f ( x, y, z ) ’nin gradyanı olmaktadır. Gradyan bir skaler alandaki değişimin oranını ve yönünü ölçer. Şekil 2.29b’de görüldüğü gibi plakalarında V ve V + dV potansiyelleri bulunan kapasitördeki elektrik alan şiddetinin, potansiyelin negatif gradyanı olduğu benzerliğinin yapılması yerinde olur. Pratik olarak f ( x, y, z ) ’nin gradyanının ∇f olarak yazılması yaygındır; ∇ del veya nabla olarak söylenir ve gradyan operatörü olarak adlandırılır. f ( x, y, z ) skaler fonksiyonunun gradyanı (2.72)’den ∂f ∂f ∂f ∇f = a x + ay + az ∂x ∂y ∂z (2.74) dir ve gradyan operatörünün kendisi dikdörtgen koordinat sisteminde ∂ ∂ ∂ ∇ = ax + ay + az ∂x ∂y ∂z (2.75) Vektör Analizi 53 olarak yazılabilir. Gradyan operatörünün sadece kendisi bir anlam ifade etmez ve sadece bir skaler fonksiyona uygulandığında sonucu bir vektör olur. Şimdi bir skaler fonksiyonun diferansiyeli, bu fonksiyonun gradyanı ile (2.70)’den df = ∇f ⋅ dl (2.76a) df = ∇f ⋅ a l dl (2.76b) veya olarak tanımlanabilir. (2.76a) verilen bir yönde bir skaler fonksiyonun değişimini belirlemek için Statik elektrik alanları ve Kararlı elektrik akımları bölümlerinde çok sık olarak kullanılmaktadır. (2.76b) eşitliği a l birim vektörü yönünde f skaler fonksiyonunun değişim oranını verir. Bu a l yönünde f’nin yöne bağlı türevi olarak adlandırılır. Bir noktada bir skaler fonksiyonun gradyanının özellikleri aşağıdaki gibi özetlenebilir: Verilen fonksiyonun sabit olduğu yüzeye normaldir. Verilen fonksiyonun pozisyonda en hızlı değiştiği yönü gösterir. Birim uzunluk başına verilen fonksiyonun maksimum değişim oranı büyüklüğünü verir. Herhangi bir yönde bir noktada bir fonksiyonun yöne bağlı türevi fonksiyonun gradyanı ve bu yöndeki birim vektörün nokta çarpımına eşittir. Silindirik ve küresel koordinat sistemlerinde skaler fonksiyonun gradyanları aşağıdaki gibi elde edilir. ∂f 1 ∂f ∂f aρ + aφ + a z ∂ρ ρ ∂φ ∂z (2.77) 1 ∂f ∂f 1 ∂f ar + aθ + aφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ (2.78) = ∇f ∇f = ÖRNEK 2.17(a) P(2,-1,0) noktasında f ( x, y, z ) = 6 x 2 y 3 + e z skaler alanının gradyanını bulunuz. ÇÖZÜM f ( x, y, z ) dikdörtgen koordinat sisteminde verildiğinden gradyanının belirlenmesi için (2.74) eşitliği kullanılır. Buna göre, ∂ ∂ ∂ ∇f = a x (6 x 2 y 3 + e z ) + a y (6 x 2 y 3 + e z ) + a z (6 x 2 y 3 + e z ) = 12 xy 3a x + 18 x 2 y 2a y + e z a z ∂x ∂y ∂z dir ve P(2,-1,0) noktasında, f ( x, y, z ) ’nin gradyanı aşağıdaki gibi hesaplanır. ∇f = −24a x + 72a y + a z 54 Elektromanyetik Alan Teorisi ÖRNEK 2.17(b) z = 1 − ( x 2 + y 2 ) ile tanımlanan küresel yükselti üzerinde gradyan vektörünü hesaplayınız ve bazılarını şekil üzerinde gösteriniz. ÇÖZÜM Şekil Ö.2.17(b) z = 1 − ( x 2 + y 2 ) ile tanımlanan küresel yükselti üzerinde bazı gradyan vektörleri (vektörlerin büyüklükleri farklıdır fakat gösterim amacıyla aynı gösterilmiştir) x y ax − ay ∇ 1 − ( x2 + y 2 ) = − 1 − ( x2 + y 2 ) 1 − ( x 2 + y 2 ) x = 1 , y = 0 iken ∇z = −∞a x , x = 1 / 2 , y = 0 iken ∇z = −a x ⇒ ∇z = 1 , x = 0 , y = 0 iken ∇z = 0 , x = 1 / 4 , y = 1 / 4 iken ∇z = − 12 (a x + a y ) ⇒ ∇z = 1 , x = 0 , y = 1 / 2 iken ∇z = −a y ⇒ ∇z = 1 , x = 0 , y = 1 iken ∇z = −∞a y ÖRNEK 2.18 Silindirik koordinat sisteminde r = ρ a ρ + z a z pozisyon vektörünün büyüklüğünün (r) gradyanını bulunuz. ÇÖZÜM r pozisyon vektörü silindirik koordinat sisteminde verildiğinden gradyanının belirlenmesi için (2.77) kullanılır. r pozisyon vektörünün büyüklüğü, r = ρ 2 + z2 olduğundan r’nin ρ, φ ve z’ye göre türevleri ∂r = ∂ρ ρ ρ 2 + z2 = ρ r , ∂r =0 ∂φ olarak elde edilir. Böylece (2.77)’den r’nin gradyanı, ve ∂r = ∂z z ρ 2 + z2 = z r Vektör Analizi 55 ∇r = r z a ρ + a z = = ar r r r ρ (2.79) bulunur. ∇r = a r bundan sonraki bölümlerde bazı eşitliklerin sadeleştirilmesi için zaman zaman kullanılacak başka önemli bir sonuçtur. ÖRNEK 2.19 V o potansiyelindeki iç küresinin yarıçapı a ve 0 potansiyeldeki dış küresinin yarıçapı b−r a b olan bir küresel kapasitörde küreler arasındaki potansiyel dağılımı V (r ) = Vo olarak b−a r veriliyor. Küreler arasındaki elektrik alan şiddetini bulunuz ve yorumlayınız. Statik Elektrik Alanları bölümünde tanımlanan E = −∇V ilişkisinden yararlanınız. ÇÖZÜM ∂V 1 ∂V 1 ∂V E(r ,θ ,φ ) = −∇V = − ar − aθ − aφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ b−r a b−r a b−r a ∂ ∂ ∂ Vo Vo Vo 1 b−a r 1 b−a r b−a r E( r , θ , φ ) = − ar − aθ − aφ r ∂r r sin θ ∂θ ∂φ ab 1 E( r ) = Voa r b − a r2 V θ ve φ’den bağımsızdır. E içteki küreden dıştaki küreye radyal olarak yönlenmiş ve uzaklığın karesi ile ters orantılı azalmaktadır. Potansiyel değişimi aşağıdaki gibi farklı bir biçimde yazılabilir. V (r ) = a ab 1 a b Vo = Vo − − 1Vo b−a b−a r b − a r V doğrusal bir oranda r = a ’dan r = b ’ye azaldığından sabit V konturları r yarıçapında kürelerdir ve E bu kürelere normaldir. ALIŞTIRMALAR 31. Bir skaler f fonksiyonunda diferansiyel değişim için (2.76a) eşitliğini kullanarak sırasıyla silindirik ve küresel koordinat sistemlerinde f’nin gradyanı için (2.77) ve (2.78)’de verilen ifadeleri doğrulayınız. 32. Dikdörtgen ve küresel koordinat sistemlerinde r pozisyon vektörünün tanımlarını kullanarak ∇r = a r olduğunu gösteriniz. 33. P(-1,0,1) noktasındaki uzaklığa göre bir f = 12 x 2 + yz 2 fonksiyonunun maksimum değişim oranını bulunuz. f’nin x, y ve z yönlerindeki değişim oranını belirleyiniz. P’den Q(1,1,1) noktası 56 Elektromanyetik Alan Teorisi 2.9 VEKTÖR ALANININ DİVERJANSI Bir vektör alanının diverjansı tanımlanmadan önce P noktasındaki F vektör alanı ile bir skaler f alanı aşağıdaki gibi belirlensin. 1 F ⋅ ds ∫ ∆v → 0 ∆v s = f lim (2.80) P noktası s yüzeyi ile sınırlanan ∆v hacmi ile çevrelenmiştir. ∆v herhangi bir biçimde olmasına rağmen (2.80)’i çözmek için şekil 2.30’da görüldüğü gibi kenarları ∆x, ∆y, ∆z olan bir paralel prizma oluşturulur. F ⋅ ds çevreleyen hacimden dışa doğru ds’ye normal birim olarak ds yüzeyinden geçen F vektör alanının dışa doğru akışını tanımlamaktadır. Böylece, ∫ F ⋅ ds ∆v hacminden bir F vektör alanının net dışa doğru akı akışını verir. Dışa açılan yüzeyler, pozitif ve negatif x, y ve z yüzeyleri olarak altı yüzeydir. Buradan, pozitif x yönündeki yüzeyden geçen F vektör alanının dışa doğru akışı yüksek dereceli terimler ihmal edilerek ve Taylor serileri açılımı kullanılarak, Şekil 2.30 Dikdörtgen koordinat sisteminde diferansiyel hacim ∂Fx ∆x Fx + ∂x 2 ∆y ∆z (2.81) negatif x yönündeki yüzeyden geçen F vektör alanının dışa doğru akışı, ∂F ∆x − Fx − x ∆y ∆z ∂x 2 (2.82) ve her iki yüzeyden geçen F vektör alanının net dışa doğru akışı ∂F ∂Fx ∆x∆y∆z = x ∆v ∂x ∂x (2.83) olur. Benzer şekilde x ve y yönlerindeki yüzeylerden geçen F vektör alanının net dışa doğru akış ifadeleri elde edilebilir. ∆v’yi çevreleyen bütün yüzeylerden geçen F vektör alanını dışa doğru net akışı ∫ F ⋅ ds= s ∂Fx ∂Fy ∂Fz + + ∆v ∂y ∂z ∂x (2.84) Vektör Analizi 57 olur. 2.80 ve 2.84 karşılaştırılarak f = ∂Fx ∂Fy ∂Fz + + ∂x ∂y ∂z (2.85) bulunur. (2.85) eşitliği ∇ operatörü ile dikkate alınarak [ ∂ ∂ ∂ + ay + a z ⋅ Fx a x + Fy a y + Fz a z f = a x ∂y ∂z ∂x f = ∇⋅F ] (2.86a) (2.86b) ifadeleri elde edilir. ∇ ⋅ F skaler miktarı F vektör alanının diverjansı olarak adlandırılır. (2.80) eşitliği bir vektör alanının diverjansının tanımını vermekte ve (2.85) ise bunun hesaplanmasına yardımcı olmaktadır. Buradan dikdörtgen koordinat sisteminde bir F vektör alanının diverjansı aşağıdaki gibi yazılır. ∂Fx ∂Fy ∂Fz ∇= ⋅F + + ∂x ∂y ∂z (2.86c) (2.86b)’nın fiziksel önemi herhangi bir keyfi küçük hacim içinde bir P noktası çevrelenerek bu noktada diverjansının hesaplanması suretiyle bir vektör alanının dışa doğru net akışının elde edilebilmesidir. Diverjans bir vektör alanı olan bir kaynağın veya yutağın bir noktasındaki büyüklüğünü ölçer. Dışa doğru net akış bir kaynak noktasında pozitif ve bir yutak noktasında negatiftir. Eğer vektör alanı sürekli ise sıkıştırılamayan bir akışkanın bir borudan akışı veya bir mıknatısı çevreleyen manyetik alan hatları gibi dışa doğru net akış yoktur. Bu durumda ∇ ⋅ F = 0 ve F ’ye sürekli veya selenoidal vektör alanı denilir. Örneğin şekil 2.31a’da görüldüğü gibi bir duş kabininde suyun hızının diverjansını atık su borusunun kapağı açıldıktan sonra dikkate alalım. Tamamen suyu çevreleyen kapalı yüzeyden suyun net dışa doğru akışı su temelde sıkıştırılamadığından ve kapalı yüzeyin farklı bölgelerine giren ve terkeden suyun eşit olması gerektiğinden sıfır olmalıdır. Bundan dolayı bu hızın diverjansı sıfırdır. Şekil 2.31b’de görüldüğü gibi çivi ile delinmiş bir otomobil tekerinin iç lastiği dikkate alınırsa basınç düştükçe havanın genleştiği anlaşılır ve sonuç olarak iç tüp içerisinde bulunan kapalı yüzeyden dışa doğru net bir akış vardır. Bu hızın diverjansı sıfırdan büyüktür. Bir noktadaki pozitif diverjans vektör miktarının kaynak olduğunu ve negatif diverjans yutak olduğunu gösterir. Duş kabininde suyun hızının diverjansı sıfır olduğundan kaynak veya yutak mevcut değildir. Bununla beraber genişleyen hava hızın pozitif bir diverjansını meydana getirir ve her nokta bir kaynak olarak dikkate alınabilir. Silindirik ve küresel koordinat sistemlerinde vektör alanının diverjans ifadeleri de aşağıdaki gibi elde edilebilir. 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∇⋅F = ( ρFρ ) + ( Fφ ) + ( Fz ) ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z (2.87) 58 Elektromanyetik Alan Teorisi = ∇⋅F ∂ ∂ 1 ∂ 2 1 1 (r Fr ) + (sin θ Fθ ) + ( Fφ ) 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ (a) Lavaboyu terkeden suyun hızı u a >> u y ve u ⋅ ds a + u y ⋅ ds y = ua dsa − u y ds y = 0 ’dir. a ∫ ∫ (2.88) (b) Patlak otomobil tekerleği iç lastiği. Hava genleştiğinden, u ç = 0 ve ∫ u d ⋅ ds= ud ds ≠ 0 ’dır. Şekil 2.31 ÖRNEK 2.20 r boşlukta P noktasının pozisyon vektörü ise ∇ ⋅ r ’yi hesaplayınız. ÇÖZÜM Dikdörtgen koordinat sisteminde herhangi bir P noktasının pozisyon vektörü, r = xa x + ya y + za z olduğundan r vektörünün diverjansı aşağıdaki gibi hesaplanır. ∇⋅r = ∂ ∂ ∂ [ x] + [ y ] + [ z ] = 1 + 1 + 1 = 3 ∂x ∂y ∂z ÖRNEK 2.21 Küresel kapasitör örneğinde iki küre arasındaki elektrik alan şiddeti ab 1 E( r ) = Voa r b − a r2 ρ olarak belirlenmişti. ∇ ⋅ E = v ile ifade edilen Gauss kanununa göre iki küre arasında yükün olmadığını gösteriniz. = ∇ ⋅ E( r ) = ∇ ⋅ E( r ) ε 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ (r Er ) + (sin θ Eθ ) + ( Eφ ) 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 1 ∂ 2 ab 1 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ ab V + (sin θ Eθ ) + = ( Eφ ) = Vo 0 r 2 2 o 2 r ∂r b − a r r sin θ ∂ θ r sin θ ∂ φ r ∂ r b − a Vektör Analizi 59 ρ ∇ ⋅ E = v = 0 olduğundan ρ v = 0 ’dır. ε 2.9.1 DİVERJANS TEOREMİ Bir vektörün diverjansının tanımı, (2.80) ve (2.86) son derece küçük bir hacim ∆v (bir mikroskopik işlem) içinde çevrelenen bir noktaya uygulanmaktadır. Eğer s yüzeyi ile sınırlanan v hacminin bir bölgesinde F vektör alanının sürekli olarak diferansiyeli alınabiliyorsa (şekil 2.32) diverjansın tanımı tüm hacmi kapsayacak şekilde genişletilebilir. Bunun için v hacmi limitte sıfıra yaklaşan n sayıda elementsel hacime bölünür. Şekil 2.32 Diverjans teoreminin doğrulanması için n sayıda küçük hacimlere bölünmüş hacim P i noktasını çevreleyen ve s i yüzeyi ile sınırlanan ∆vi elementsel hacmi için P i noktasında F ’nin diverjansı 1 = ∇ ⋅ Fi lim ∆vi → 0 ∆v i ∫ si F ⋅ ds (2.89) ile ifade edilir. Fi P i ’de F vektör alanının değeridir. Bu eşitlik ∫ si F ⋅ ds = ∇ ⋅ Fi ∆vi + ∈i ∆vi (2.90) olarak yazılabilir; burada ∈i ∆vi terimi verilmiştir çünkü (2.80) eşitliği ∆v i →0 hacmi ile verilen bir nokta için geçerlidir. Buradan ∆vi→0 olarak ∈i→0 dır. Bütün hücreler aşağıdaki gibi toplanarak n n n ⋅ ds lim ∑ ∇ ⋅ Fi ∆vi + lim ∑∈i ∆vi lim ∑ ∫ F= si n →∞ n →∞ n →∞ =i 1 = i 1 =i 1 (2.91) v içinde bir hücrenin ara yüzeyleri üzerinde yüzey integrallerinin hücreyi terkeden net akının diğerini terkeden net akıyı iptal edip tamamen götürdüğü gözlenebilir. Bu durum yüzeye dik olan birim vektörlerinin, a n ve − a n yönleri dikkate alınarak kolaylıkla doğrulanabilir. Böylece toplamda sıfır olmayan terimler s yüzeyine ait olan en dıştaki hücrelere karşılık gelmektedir. Buradan (2.91)’in sol tarafı n lim ∑ ∫ F ⋅ ds = n →∞ i =1 si ∫ s F ⋅ ds olmaktadır. Hücre sayısı artarken (2.91)’in sağ tarafındaki ilk terim limitte 60 Elektromanyetik Alan Teorisi n lim n →∞ ∑ ∇ ⋅ F ∆v = ∫ ∇ ⋅ Fdv i i v i =1 olur. (2.91)’in sağ tarafındaki ikinci terim küçük miktarların çarpımını içermekte ve n → ∞ ’da kaybolmaktadır. Bu yüzden (2.91) limitte aşağıdaki gibi yazılabilir. ∫ v ∇ ⋅ F= dv ∫ s F ⋅ ds (2.92) (2.92) eşitliği diverjans teoreminin matematiksel tanımıdır. Diverjans teoremi bir vektör alanının diverjansının hacim integrali ile normal bileşeninin yüzey integralini ilişkilendirmektedir. Sürekli olarak diferansiyeli alınabilen bir vektör alanının kapalı bir yüzeyden dışa doğru net akısının bu yüzey ile sınırlanan bölge boyunca diverjansının integraline eşit olduğunu ifade etmektedir. Diverjans teoremi çok güçlüdür. Elektromanyetik teoride kapalı bir yüzey integralinin eşdeğer bir hacim integraline veya bunun tersine dönüştürülmesi için çok yaygın olarak kullanılır. ÖRNEK 2.22 x 2 + y 2 = 9 silindiri ve x=0, y=0, z=0 ve z=2 düzlemleri ile sınırlanan bölgede 2 D = 3 x a x + (3 y + z )a y + (3z − x)a z vektör alanı için diverjans teoremini doğrulayınız. ÇÖZÜM Şekil 2.33’de v hacmini sınırlayan beş farklı yüzey görülmektedir. Öncelikle (2.92)’nin sol tarafı hesaplansın. ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅ D = [3 x 2 ] + [3 y + z ] + [3 z − x] = 6 x + 6 ∂x ∂y ∂z Şekil 2.33 Silindirik koordinatlarda hacim integrali hesaplanarak = ∫ [6 x + 6] dv = ∫ ∫ ∇ ⋅ D dv v v 3 0 6ρ 2 d ρ ∫ π /2 0 2 3 π /2 0 0 0 cos φ dφ ∫ dz + ∫ 6 ρ d ρ ∫ 2 dφ ∫ dz = 108 + 27 π 0 (2.92)’nin sağ taraf işlemi için beş yüzeyin her birinde ayrı ayrı integral işlemi yapılır. y=0: ds1 = − dxdz a y düzlemi ile sınırlanan yüzey için 192,823 Vektör Analizi 61 ∫ s1 3 D ⋅ ds1 = −∫ ∫ 2 = x 0=z 0 −6 (3 y + z )dx dz = x=0: ds 2 = − dydz a x düzlemi ile sınırlanan yüzey üzerinde ∫ s2 3 D ⋅ ds 2 = −∫ ∫ 2 = y 0=z 0 3 x 2 dy dz = 0 ρ=3: ds 3 = 3dφdz a ρ düzlemi ile sınırlanan yüzey üzerinde ∫ s3 π /2 2 D ⋅ ds 3 = ∫ ∫ 3Dρ dφ dz = φ 0=z 0 Burada, D ρ = D x cos φ + D y sin φ = 3x 2 cos φ + (3 y + z ) sin φ olduğundan = ∫ D ⋅ ds3 π /2 ∫φ ∫ 2 = 0=z 0 s3 [3 x 2 cos φ + (3 y + z )sin φ ]3 dφ dz yazılır ve eşitlikte x=3cosφ ve y=3sinφ değerleri yerine konulup integral işlemi yapılarak ∫ s3 D ⋅ ds 3 = 156,41 bulunur. z=2: ds 4 = ρdρdφ a z düzlemi ile sınırlanan yüzey için ∫ s4 D= ⋅ds 4 3 ∫ ∫ π /2 = ρ 0= φ 0 (6 − x) ρ d ρ dφ x = ρ cos φ yerine konularak integral sonucu ∫ s4 D ⋅ds 4 = 33, 41 elde edilir. Son olarak, z=0: ds 5 = − ρdρdφ a z düzlemi ile sınırlanan yüzey üzerinde ∫ D ⋅ ds 5 = s5 3 π /2 ∫ρ ∫φ =0 =0 xρ dρ dφ = 9 ile −6+0 + 56,41 + 33,41 + 9 = 108 + 27 π ∫ D ⋅ ds = s 192,823 62 Elektromanyetik Alan Teorisi sonucu diverjans teoremini doğrulamaktadır. ALIŞTIRMALAR 34. Silindirik ve küresel koordinat sistemlerini kullanarak ∇ ⋅ r = 3 olduğunu doğrulayınız. 35. F = - xy a x + 3x 2 yz a y + z 3 x a z ise P(1,-1,2)’de ∇ ⋅ F ’yi bulunuz. 36. r = ra r ise ∇ ⋅ (r n a r ) = (n + 2)r n−1 olduğunu gösteriniz. 37. F = x a x + xy a y + xyz a z vektör alanı için 2 yarıçapında bir küre ile sınırlanan bölgede diverjans teoremini doğrulayınız. 2.10 VEKTÖR ALANININ ROTASYONEL’İ Kapalı yol etrafında F vektör alanının çizgisel integrali F ’nin sirkülasyonu olarak adlandırılır ve F ’nin rotasyonel’i onun ölçüsüdür. Eğer kapalı bir ∆c yolu ile sınırlanan ∆sa n küçük yüzey elemanı dikkate alınırsa ∆s → 0 limitinde a n normal yüzeyine paralel rotasyonel’in bileşeni 1 (rot = F ) ⋅ a n lim F ∫ ∆c ⋅ d ∆s → 0 ∆s (2.93) olarak tanımlanır. Bu tanım bir vektör alanının rotasyonel’inin vektörel bir miktar olduğunu önermektedir. ∆c yolunun yönü sağ el kuralı ile belirlenir. (2.93) eşitliği rotasyonel’in tam bir tanımını vermektedir çünkü ortogonal koordinatların herhangi bir keyfi sisteminde rotF ’nin üç bileşeninden her birinin belirlenmesine yardımcı olur. Dikdörtgen koordinat sisteminde rotF ’nin z bileşeninin hesaplanmasına F vektör alanı, F = Fxa x + Fy a y + Fz a z tanımlanarak başlansın. Şekil 2.34’de görüldüğü gibi z = 0 düzleminde ∆c ile sınırlanan küçük ∆s yüzeyi içinde bir P noktasında ∆c kapalı yolu boyunca F ’nin integrali aşağıdaki gibi dört ayrı yoldan oluşmaktadır: ∫ ∆c F ⋅ d = ∫ ∆c1 F ⋅ d + ∫ F ⋅ d + ∫ F ⋅ d + ∫ F ⋅ d ∆c2 ∆c3 ∆c4 (2.94) Şimdi (2.94)’ün dört integralinden her biri ayrı ayrı hesaplanır. z = 0 düzleminde ∆c1 yolu boyunca: ∫ ∆c1 F ⋅ d = ∫ x +∆x x Fx a x + Fy a y + Fz a z ⋅ [ dxa x ] = [ Fx ∆x ] y y Vektör Analizi 63 Şekil 2.34 Vektör alanının rotasyonel’inin tanımlanması için z = 0 , x = 0 ve y = 0 düzlemlerinde küçük yüzey elemanları Burada, Fx ∆x çarpımı y’de hesaplanacak ve orta değer teoremi uyarınca Fx bileşeni x’den x + ∆x ’e yaklaşık olarak sabit varsayımı yapılmıştır. Aynı varsayımlar F ’nin diğer bileşenleri için de yapılacaktır. z = 0 düzleminde ∆c2 yolu boyunca çizgisel integral: ∫ ∆c2 F ⋅ d = ∫ y +∆y y Fx a x + Fy a y + Fz a z ⋅ dya y = Fy ∆y x +∆x x +∆x z = 0 düzleminde ∆c3 yolu boyunca çizgisel integral: x − [ Fx ∆x ] y +∆y F ∫∆c3 ⋅ d = ∫x +∆x Fxa x + Fy a y + Fz a z y +∆y ⋅ [ dxa x ] = Son olarak z = 0 düzleminde ∆c4 yolu boyunca çizgisel integral: y F − Fy ∆y ∫∆c4 ⋅ d = ∫y +∆y Fxa x + Fy a y + Fz a z x ⋅ dya y = x Böylece ∫ F ⋅ d = [ F ∆x] x ∆c y − [ Fx ∆x] y + ∆y + [ Fy ∆y ]x + ∆x − [ Fy ∆y ]x 64 Elektromanyetik Alan Teorisi elde edilir. Bununla beraber ∆x → 0 ve ∆y → 0 limitinde Taylor serileri açılımı kullanılarak ve yüksek dereceli terimleri ihmal edilerek [ Fx ∆x] y + ∆y − [ Fx ∆x] y = ∂Fx ∆x∆y ∂y ifadesi yazılabilir. Aynı şekilde diğer iki terim de [ Fy ∆y ]x + ∆x − [ Fy ∆y ]x = ∂Fy ∂x ∆x∆y ile yaklaşık olarak yazılabilir. ∂Fy ∂Fx d F ⋅= − ∆x∆y ∆c ∂y ∂x ∫ eşitliğinde her iki taraf ∆s = ∆x∆y ’ye bölünerek ve ∆s =→ 0 limiti alınarak ∂Fy ∂Fx 1 F ⋅ d = − ∫ ∆s → 0 ∆s ∆c → 0 ∂x ∂y lim (2.95) elde edilir. Birim vektör a n = a z olduğundan (rotF ) ⋅ a z kısaca (rotF ) z olarak yazılabilir. (rotF ) z rotF ’nin z yönlü bileşenini belirtmektedir. Böylece (2.93) ve (2.95)’den rotF ’nin z bileşeni aşağıdaki gibi yazılabilir. ∂Fy ∂Fx (rotF) z = − ∂x ∂y (2.96a) rotF ’nin diğer iki bileşeni (şekil 2.34’de görüldüğü gibi x = 0 ve y = 0 düzlemlerinde) x ve y yönlerine normal birimi ile oldukça küçük yüzeyler dikkate alınarak benzer yolla aşağıdaki gibi elde edilebilir. ∂F ∂Fy (rotF ) x = z − ∂y ∂z (2.96b) ∂F ∂F (rotF) y = x − z ∂z ∂x (2.96c) ve Böylece F vektör alanının rotasyonel’i yani rotF dikdörtgen koordinat sisteminde ∂F ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fx rotF = z − − − ay + a x + a z ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x olarak elde edilir. (2.97) eşitliği vektörel çarpım ile aşağıdaki gibi yazılabilir. (2.97) Vektör Analizi 65 ∂ ∂ ∂ rotF = a x + ay + a z × Fxa x + Fy a y + Fz a z = ∇ × F ∂y ∂z ∂x [ ] (2.98) Bundan böyle rotF daima ∇ × F olarak yazılacaktır. Dikdörtgen koordinat sisteminde, ∇ × F ’nin kullanışlı ve hatırlanması kolay bir ifadesi aşağıdaki gibidir. ax ∂ ∇×F = ∂x Fx ay ∂ ∂y Fy az ∂ ∂z Fz (2.99) ∇ × F biçimindeki bu determinant bir sembolik kısaltma olarak düşünülmelidir. Bu determinant’ın açılımı (2.97) ile verilmektedir. Sırasıyla silindirik ve küresel koordinat sistemlerinde F vektör alanının rotasyonel ifadeleri aşağıdaki gibi verilir. aρ 1 ∂ ∇×F = ρ ∂ρ Fρ ar ∂ 1 ∇×F = 2 r sin θ ∂r Fr ∂ ∂φ ρFφ az ∂ ∂z Fz (2.100) r aθ ∂ ∂θ rFθ r sin θ aφ ∂ ∂φ r sin θ Fφ (2.101) ρaφ Rotasyonel bir vektör alanı içindeki bir nokta etrafındaki dönme eğilimini ölçer. Vektör alanının rotasyonel’inin fiziksel önemi, herhangi bir biçimde küçük bir yüzey alanı etrafında alınan vektör alanının birim yüzey alanı başına sirkülasyonunu temsil etmesidir. Yönü yüzeyin düzlemine normaldir. Farklı ifadeyle eğer kapalı elementsel yol etrafında bir vektör alanının çizgisel integrali sıfır değilse vektör alanının rotasyonel’i de sıfır değildir ve vektör alanı rotasyonel’dir denilir. Bir tüpten veya bir lavabodan (yutak) dışa doğru suyun akışı akışın rotasyonel hız alanının mükemmel bir örneğidir. Diğer taraftan eğer bir vektör alanının rotasyonel’i sıfır ise vektör alanına rotasyonel olmayan veya korunumlu denilir. Bir korununlu alanın yaygın bir örneği cisme etkiyen kuvvet ile yapılan iştir. Çok küçük bir çark kullanılarak rotasyonel ölçer yapılabilir. Bu durumda vektörel miktar çarkın her kanatçığına, kanatçığın yüzeyine normal alan bileşeni ile orantılı bir kuvvet uygulayabilecek özellikte düşünülmelidir. Bir alanın rotasyonel’inin test edilmesi için çark istenilen rotasyonel bileşen yönü ile doğrultuda eksenlenmiş olarak alana daldırılır ve çark üzerine alanın etkisi gözlenir. Dönmenin olmaması rotasyonel’in olmaması anlamındadır; büyük açısal hızlar rotasyonel’in büyük olduğu ve dönüş yönünün değişmesi rotasyonel’in işaretinin değişmesi anlamındadır. Rotasyonel vektörünün yönünün bulunması ve belirli bir bileşenin varlığının kanıtlanmasına gerek duyulmaksızın çark alan içine konulur ve en büyük torkun meydana geldiği 66 Elektromanyetik Alan Teorisi yön araştırılır. Rotasyonel’in yönü bu durumda sağ el kuralına uygun olarak çarkın ekseni boyuncadır. Bir örnek olarak bir nehirdeki akışı inceleyelim. Şekil 2.35a’da geniş bir nehrin ortasından alınmış boyuna kesit görünüşü görülmektedir. Altta suyun hızı sıfır ve yüzeye yaklaşırken doğrusal olarak artar. Şekilde görüldüğü gibi kağıt düzlemine dik ekseni ile yerleştirilmiş çark saat yönünde dönerek kağıt düzlemine normal içeri yönde rotasyonel bileşeninin varlığını gösterecektir. Eğer suyun hızı aşağı, yukarı ve nehir boyunca giderken değişmez ve bir değişim göstermezse (hatta nehirin ortasından her iki kıyısına doğru harekette azalırsa) bu durumda bu bileşen sadece akışın merkezinde mevcut olacak ve su hızının rotasyonel’i sayfanın içine doğru bir yönde olacaktır. Şekil 2.35b ve c’de görülen kurgusal örneklerde ise rotasyonelin olmadığı ve sayfanın üzerine (bize) doğru olduğu görülmektedir. Şekil 2.35 (a) Rotasyonel ölçer su hızının rotasyonel bileşenini sayfanın içine doğru gösterir, (b) rotasyonel ölçer hız vektörünün rotasyonel’inin olmadığını gösterir, (c) rotasyonel ölçer hız vektörünün rotasyonel bileşenini sayfanın dışına doğru gösterir. Şekil 2.36’da sonsuz uzunluktaki iletken etrafında manyetik alan şiddetinin akış hatları görülmektedir. Bu, alanın eğimli akı çizgilerine konulmuş rotasyonel ölçer çok sayıda kanatçık üzerinde saat yönünde etkiyen bir kuvvete sahip olduğunu göstermekte fakat bu kuvvet tele yakın daha az sayıda, kanatçığa etkiyen saatin tersi yönünde etkiyen kuvvetten genelde küçüktür. Eğer akış hatlarının eğimi doğru ve alan şiddetinin değişimi doğru ise çarka etkiyen net kuvvet sıfır olabilir. Gerçekte bu durumda çark dönmez, H = (I / 2πρ )aφ olduğundan silindirik koordinat sisteminde yerine konulduğunda ∂H 1 ∂ ( ρH φ ) ∇ × H = − φ aρ + az = 0 ∂z ρ ∂ρ elde edilir. Şekil 2.36 Sonsuz uzunluktaki iletkenin etrafındaki manyetik alan şiddetinin rotasyonel’i Vektör Analizi 67 ÖRNEK 2.23 Şekil 2.37’de u( x, y, z ) = za y olarak verilmiştir. Birim yüzey alan başına net sirkülasyonu bulunuz. Şekil 2.37 ÇÖZÜM Şekilden sadece yz düzleminde bir net sirkülasyonun olduğu açıkca görülmektedir. Bu, aşağıdaki gibi dikdörtgen koordinat sisteminde rotasyonel ifadesinin değerlendirilmesi ile doğrulanabilir. ax ∂ ∇ × u ( x, y , z ) = ∂x ux ay ∂ ∂y uy az ∂u y ∂u x ∂ ∂u z ∂u y ∂u x ∂u z a − − = − + a x + a z y ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x uz ∂ 0 ∂z ∂ 0 ∂ 0 ∂z ∂ 0 ∇ × u ( x, y , z ) = − a x + − a y + − a z ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∇ × u( x, y, z ) = 0 − a x = −a x ∂z Rotasyonel negatif x yönündedir. Sağ el kuralına göre sirkülasyon saat yönündedir. ÖRNEK 2.24 f(x,y,z) sürekli olarak diferansiyeli alınabilen bir fonksiyon ise ∇ × (∇f ) = 0 olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM (2.74)’den bir skaler f(x,y,z) fonksiyonunun gradyanı, ∂f ∂f ∂f ∇f = a x + ay + az ∂x ∂y ∂z ve (2.99)’dan ∇f ’nin rotasyonel’i, ax ∂ ∇ × ∇f = ∂x ∂f ∂x ay ∂ ∂y ∂f ∂y az ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂ ∂ 2 f ∂2 f ∂ 2 f = − − − a x + a y + a z ∂z ∂y∂z ∂y∂z ∂z∂x ∂x∂z ∂x∂y ∂x∂y ∂f ∂z 68 Elektromanyetik Alan Teorisi olarak elde edilir. f’nin sürekli olarak diferansiyelinin alınabilmesi için ∂2 f ∂2 f , = ∂y∂z ∂z∂y ∂2 f ∂2 f = ∂z∂x ∂x∂z ve ∂2 f ∂2 f = ∂x∂y ∂y∂x olması gerekir. Buradan (∇ × ∇f ) = 0 ’dır. Bir skaler fonksiyonun gradyanının rotasyonel’i daima sıfır olacağından ∇f rotasyonel olmayan veya korunumlu bir alandır. Bunun tersine bir vektör alanının rotasyonel’i sıfır ise vektör alanı bir skaler fonksiyonun gradyanıdır. Yani ∇ × F = 0 ise F = ±∇f ’dir. Eksi (-) veya artı (+) işaretinin seçimi f’nin fiziksel yorumuna bağlıdır. ÖRNEK 2.25 Statik elektrik alanları bölümünde, küresel kapasitörün iki küresel kabuğu arasındaki elektrik alan şiddeti, ab 1 E= V a = Er a r 2 o r b−a r olarak belirlenmişti. ∇ × E = 0 eşitliğini doğrulayınız. ar ∂ 1 ∇×E = 2 r sin θ ∂r Er ∇×E = 1 r sin θ r aθ ∂ ∂θ rEθ r sin θ aφ ∂ ∂φ r sin θ Eφ 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ 1 ∂ sin θEφ − Er aφ rEφ aθ + rEθ − Eθ a r + Er − ∂θ ∂φ r ∂r r ∂r r sin θ ∂φ ∂θ 1 1 ∂ ab 1 ∂ ab 1 V a + − Vo aφ = 0 ∇ × E = 2 o θ r ∂θ b − a r 2 r sin θ ∂φ b − a r Eθ = 0 ve Eφ = 0 olduğundan dört terim sıfır olur ve kalan iki terim, Er θ ve φ’den bağımsız olduğundan bu değişkenlere göre türevleri sıfırdır. 2.10.1 STOKES TEOREMİ ∇ × F ’in tanımından (2.93) eşitliği şekil 2.38’de görüldüğü gibi sonlu fakat kapalı bir c konturu ile sınırlanan s açık yüzey alanı için Stokes teoremi olarak bilinen çok önemli bir ilişki elde edilebilir. s yüzey alanı n elementsel yüzey alanlarına (hücreler) bölünsün öyle ki i. hücre normal birim vektörü a ni olan ∆ si alanıyla bir Pi noktasını çevreleyen kapalı ∆ ci yolu ile sınırlanmaktadır. (2.93)’den ∫ ∆si (∇ × F ) ⋅ ds i = F ⋅ dl + ∈i ∆ si ∫ ∆ci Vektör Analizi 69 Şekil 2.38 Stokes teoreminin gösterimi için kapalı c konturu ile sınırlanan s açık yüzeyi yazılabilir. Burada ∈i ∆ si terimi eklenmiştir çünkü (2.93) n → ∞ ve ∈i → 0 limitinde sadece bir nokta için doğrudur. Tüm alan üzerinde toplanarak n ∑∫ i =1 ∆si (∇ × F) ⋅ ds i = n ∑∫ i =1 F ⋅ dl + ∆ci n ∑∈ ∆s i i (2.102) i =1 elde edilir. n → ∞ iken (2.102) eşitliğinin sol tarafı n lim n →∞ ∑∫ i =1 ∆si (∇ × F) ⋅ dsi = (∇ × F) ⋅ ds ∫ s olur. Burada yüzey integrasyonu c konturu ile sınırlanan s açık yüzeyi üzerindedir. (2.102)’nin sağ tarafındaki ikinci terim n → ∞ iken sıfıra azalır. Diğer taraftan bitişik elementsel alanlar boyunca çizgi integralleri uzunluk vektörleri zıt yönlerde uzandığından birbirlerini götürür. Tek katkı c yolu üzerindeki integrasyon ile olmaktadır. Böylece n lim n →∞ ∑ ∫ F ⋅ dl = ∫ F ⋅ dl i =1 ∆ci c yazılır. Sonuç olarak (2.102) ∫ (∇ × F) ⋅ ds = ∫ F ⋅ dl s c (2.103) olur. (2.103) eşitliği Stokes teoreminin bir ifadesidir. Stokes teoremi bir yüzey alanı üzerinde vektör alanının rotasyonel’inin normal bileşeninin integralinin alanı sınırlayan eğri boyunca vektör alanının çizgisel integraline eşit olduğunu ifade etmektedir. ÖRNEK 2.26 F = (2 z + 5)a x + (3x - 2)a y + (4 x - 1)a z ise x 2 + y 2 + z 2 = 4 ve z ≥ 0 yarı küresi üzerinde Stokes teoremini doğrulayınız. 70 Elektromanyetik Alan Teorisi ÇÖZÜM ax ay az ∂ ∂ ∂ ∇×F = = −2a y + 3a z ∂x ∂y ∂z 2 z + 5 3x − 2 4 x − 1 2 yarıçapında yarıkürenin yüzeyine normal birim vektör şekil 2.39’da görüldüğü gibi a r olduğundan diferansiyel yüzey alanı aşağıdaki gibi yazılır. ds = 4 sin θ dθ dφ a r Şekil 2.39 Dikdörtgenden küresele koordinat dönüşümü yapılarak ∇ × F ’nin a r bileşeni Fr = −2 sin θ sin φ + 3 cosθ dir. Şimdi Stokes teoreminin sol tarafı aşağıdaki gibi hesaplanabilir. ∫ (∇ × F) ⋅ ds = −8∫ s π /2 0 2π π /2 0 0 sin 2 θ dθ ∫ sin φ dφ + 12 ∫ 2π sin θ cos θ dθ ∫ dφ = 12π 0 Stokes teoreminin sağ tarafı xy düzleminde c kapalı yolu üzerinde 2 yarıçaplı çizgisel integrali içermektedir. c konturu xy düzleminde bir çemberi tanımladığından F ⋅ dl ’yi hesaplamak için silindirik koordinat sistemi kullanılabilir. İlgili uzunluk vektörü dl = 2dφ aφ ’dir. F ’nin aφ bileşeni dikdörtgenden silindirik koordinat sistemine dönüşüm kullanılarak, Fφ = −( 2 z + 5) sin φ + (3x − 2) cos φ z=0 ve x=2cosφ konularak, Fφ = −5 sin φ + 6 cos 2 φ − 2 cos φ ve buradan −10 ∫ ∫ F ⋅ dl = c 2π 0 2π 2π 0 0 sin φ dφ + 12 ∫ cos 2 φ dφ − 4 ∫ cos φ dφ = 12π Vektör Analizi 71 elde edilir. ∇ × F ’nin yüzey integraline eşit olan F ’nin çizgisel integrali Stokes teoremini doğrulamaktadır. ALIŞTIRMALAR 38. (2.96b) ⇒ (∇ × F ) ⋅ a x = ∂Fz / ∂y − ∂Fy / ∂z ve (2.96c) ⇒ (∇ × F ) ⋅ a y = ∂Fx / ∂z − ∂Fz / ∂x eşitliklerini doğrulayınız. a ρ ρ aϕ a z 1 ∂ ∂ ∂ 39. Silindirik koordinatlarda (2.100) ⇒ ∇ × F = ve küresel koordinatlarda ρ ∂ρ ∂ϕ ∂z Fρ ρ Fϕ Fz a r r aθ r sin θ aφ ∂ ∂ ∂ 1 (2.101) ⇒ ∇ × F = 2 eşitliklerinin doğru olduğunu doğrulayınız. ∂φ r sin θ ∂r ∂θ Fr rFθ r sin θ Fφ 40. F = ( x / r ) a x ise ∇ × F ’i belirleyiniz. P(x,y,z) pozisyon vektörünün genliği: r = 41. Bir vektör alanının ∇ ⋅ (∇ × F ) = 0 . rotasyonel’inin diverjansının daima sıfır x2 + y 2 + z 2 olduğunu gösteriniz, 42. Örnek 2.24’de dikdörtgen koordinat sistemi kullanarak ∇ × (∇f ) = 0 olduğu gösterildi. Hangi koordinat sistemi kullanılırsa kullanılsın bunun daima doğru olduğunu gösteriniz. 43. F = 10 cosθ a r − 10 sin θ aθ ise şekil 2.39’da görülen yarı küre üzerinde Stokes teoremini doğrulayınız. 2.11 LAPLASYAN OPERATÖRÜ Şimdiye kadar tartışılan diferansiyel işlemlerin hepsi birinci mertebe diferansiyel operatörlere aittir. Alan teorisi çalışmasında sık olarak görülen ikinci mertebe diferansiyel operatör Laplasyan operatörü olarak adlandırılır ve sembolik olarak ∇ 2 olarak yazılır. Bir skaler fonksiyonun gradyanının diverjansı olarak tanımlanır. f(x,y,z) sürekli olarak diferansiyeli alınabilen bir fonksiyon ise f(x,y,z)’nin Laplasyanı basit yazılışla ∇ 2 f = ∇ ⋅ (∇f ) dir. Dikdörtgen koordinat sisteminde f fonksiyonunun gradyanının diverjansı ∂ ∂ ∂ ∂f ∂f ∂f ∇ ⋅ (∇f ) = a x + ay + a z ⋅ a x + ay + az ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x olarak yazılabilir ki bunun sonucu (2.104) 72 Elektromanyetik Alan Teorisi ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∇ 2 f = ∇ ⋅ (∇f ) = 2 + 2 + 2 ∂y ∂z ∂x (2.105) elde edilir. (2.105)’den skaler fonksiyonun Laplasyanının skaler olduğu açıktır ve fonksiyonun ikinci mertebe kısmi diferansiyelini içerir. Basit dönüşümler ile silindirik koordinat sisteminde skaler fonksiyonun Laplasyanı, ∇2 f = 1 ∂ ∂f 1 ∂ 2 f ∂ 2 f ρ + + ρ ∂ρ ∂ρ ρ 2 ∂φ 2 ∂z 2 (2.106) ve dikdörtgenden küresel koordinatlara benzer bir dönüşüm sonucu küresel koordinatlarda skalerin Laplasyanı, ∇2 f = 1 ∂ 2 ∂f 1 1 ∂2 f ∂ ∂f + sin θ + r ∂θ r 2 sin θ ∂φ 2 r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ (2.107) olarak elde edilir. Laplasyanı sıfır ise skaler fonksiyona harmonik fonksiyonu denilir. ∇2 f = 0 (2.108) ile tanımlanan bu eşitliğe Laplasyan eşitliği denilir. Elektromanyetik alanlarda ∇ 2 F biçimindeki ifadelerle de sık karşılaşılacaktır; F bir vektör alanıdır. Böyle bir ifade F vektör alanının Laplasyanı olarak adlandırılır ve ∇ 2F = ∇(∇ ⋅ F ) − ∇ × (∇ × F ) (2.109) olarak tanımlanır. Dikdörtgen koordinat sisteminde (2.109) eşitliği ∇ 2F = a x∇ 2 Fx + a y ∇ 2 Fy + a z ∇ 2 Fz (2.110) olur; ∇2 = ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 (2.111) Laplasyan operatörüdür. Bir vektör alanının Laplasyanı sadece bileşenlerin her birinin Laplasyanı ayrı ayrı sıfır olduğunda sıfırdır. ÖRNEK 2.27 f = 1 / r , r ≠ 0 skaler fonksiyonunun Laplace eşitliğinin çözümü olduğunu gösteriniz; r uzayda orijinden herhangi bir P noktasına uzunluktur. ÇÖZÜM f = 1 / r skaler fonksiyonunun Laplace eşitliğinin bir çözümünün olması için ∇ 2 f ’nin sıfır olması gerekir. r küresel koordinatların bir değişkeni olduğundan aşağıdaki sonuç yazılabilir. 1 1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂ 2 1 ∇2 f = ∇2 = 2 = 2 r r − 2 = 0 r r ∂r ∂r r r ∂r r Vektör Analizi 73 ALIŞTIRMALAR 44. g = 25 x 2 yz + 12 xy 2 ise ∇ 2 g = ∇ ⋅ (∇g ) olduğunu gösteriniz. 45. f = 2 x 2 y 3 + 3 yz 3 ise ∇ 2 f = ∇ ⋅ (∇f ) olduğunu gösteriniz. 46. h = ρ 2 sin 2φ + z 3 cos φ ise ∇ 2 f = ∇ ⋅ (∇h) olduğunu gösteriniz. 2.12 BAZI TEOREMLER VE ALAN SINIFLANDIRMALARI Şimdi birinci Green özdeşliği ve ikinci Green özdeşliği olarak iki vektör özdeşliği daha incelenecektir. Green teoremi olarak bilinen ikinci Green özdeşliği elektromanyetik alan tartışmasında en kullanışlı olanıdır. İlerleyen kısımlarda Green özdeşlikleri kullanılarak teklik teoremi ispatlanacak ve aynı zamanda bir vektör alanının dört sınıflandırmadan (I-IV sınıf alanlar) birine düşmesi gerektiği de gösterilecektir. 2.12.1 GREEN TEOREMİ VE ÖZDEŞLİKLERİ A vektörü v hacmi içinde ve bu hacmin s yüzeyindeki her yerde sürekli olarak diferansiyeli alınabilen tek değerli bir fonksiyon ise diverjans teoremine göre ∫ v ∇ ⋅ A= dv ∫ s A ⋅ ds (2.112) yazılır. Eğer A vektör alanı bir φ skaler alanı ve bir ∇ψ vektör alanının çarpımı olarak tanımlanırsa ∇ ⋅ A = ∇ ⋅ (φ∇ψ ) = ∇φ ⋅ ∇ψ + φ∇ 2ψ ve (2.112)’de yerine konularak dv ∫ φ ⋅ ∇ψ ds ∫ φ∇ ψ dv + ∫ ∇φ ⋅ ∇ψ = 2 v v s (2.113) sonucunu verir. (2.113) eşitliği birinci Green özdeşliği olarak bilinir. φ ve ψ aralarında değiştirilerek (2.113) ∫ v ψ∇ 2φ dv + ∫ ∇ψ ⋅ ∇φ dv = v ∫ ψ∇φ ⋅ ds s (2.114) olarak yazılabilir. (2.113)’den (2.114) çıkartılarak ikinci Green özdeşliği veya Green teoremi, ∫ [φ∇ ψ − ψ∇ 2 v 2 φ ]dv = ∫ [φ ⋅ ∇ψ − ψ∇φ ] ds s (2.115) elde edilir. φ =ψ özel durumu için birinci Green özdeşliği, (2.113) ∫ φ∇ φ dv + ∫ | ∇φ | 2 v 2 v dv= ∫ φ∇φ ⋅ ds s olur. Bu eşitlik teklik teoreminin ispatlanmasında kullanılacaktır. (2.116) 74 Elektromanyetik Alan Teorisi 2.12.2 TEKLİK TEOREMİ Teklik teoremi, bir A vektör alanının diverjansı bölge boyunca belirlenebiliyorsa, rotasyonel’i bölge boyunca belirlenebiliyorsa ve normal bileşeni bölgeyi sınırlayan kapalı yüzeyde belirlenebiliyorsa bir bölgede tek olarak belirlenebileceğini ifade etmektedir. Bu teoremi ispatlamak için s yüzeyi ile sınırlı bir v hacmi dikkate alınsın. v hacmi boyunca aynı diverjans ve rotasyonel ve s sınırında aynı normal bileşenli belirgin (ek bir sabiti olmayan) iki A ve B vektör alanının da olduğu varsayılsın. Başka bir ifadeyle v’deki her nokta için ∇ ⋅ A = ∇ ⋅ B ve ∇ × A = ∇ × B ve ek olarak her diferansiyel ds yüzeyinde A.ds = B.ds dir. Şimdi buradaki amaç varsayımın bir kararsızlığa öncülük edeceğini ispatlamaktır. C ’nin C = A − B gibi bir vektör alanı olduğu varsayılırsa, ∇ ⋅C = ∇ ⋅ A − ∇ ⋅B = 0 ve v hacmi boyunca ∇×C = ∇× A −∇×B = 0 olur. Daha da ötesi herhangi bir ds diferansiyel yüzeyinde, C ⋅ ds = A ⋅ ds − B ⋅ ds = 0 dir. ∇ × C = 0 olduğundan C bir skaler f fonksiyonunun gradyanı, C = −∇f ile ifade edilebilir. ∇ ⋅ C = 0 ⇒ ∇ ⋅ (∇f ) = 0 veya v’de her yerde ∇2 f = 0 dir. Aynı zamanda, C ⋅ ds = 0 ⇒ ∇f ⋅ ds =0 (2.116)’da ∇ 2 f = 0 ve ∇f ⋅ ds =0 konularak Vektör Analizi 75 ∫v | ∇f | 2 dv = 0 (2.117) elde edilir çünkü | ∇f |2 pozitif bir miktar olduğundan (2.117) sadece v’de her yerde ∇f = 0 ise sağlanabilir. Buna göre C sıfır olmalı ve (eklenen sabitin dışında) A vektörü B ’ye eşit olmalıdır. A ve B ’nin belirgin iki vektör alanı olduğu varsayımının temelsizliği bir alanın tek’liğini meydana getirir. Buraya kadarki vektör işlemleri ve teoremlerin kısa açıklamaları tablo 2.2 ve 2.3’de yer almaktadır. Tablo 2.2 Vektör işlemleri ve kısa açıklamaları İşlem Notasyon Açıklama Gradyan ∇f Skaler alandaki değişimin oranını ve yönünü ölçer. Diverjans ∇⋅F Bir vektör alanı olan bir kaynağın veya yutağın bir noktasındaki büyüklüğünü ölçer Rotasyonel ∇×F Bir vektör alanındaki bir nokta etrafındaki dönme eğilimini ölçer. Laplasyan ∇2 f Diverjans ve gradyan işlemlerinin bileşkesidir. Tablo 2.3 Teoremler ve kısa açıklamaları Teorem Açıklama Gradyan Bir vektör alanının çizgisel integrali, skaler alandaki eğrinin son noktalarının farkına eşittir. Diverjans Bir hacim üzerindeki vektör alanının diverjansının integrali, hacmi sınırlayan yüzeyinden geçen akının integraline eşittir. Stokes Bir yüzey üzerindeki vektör alanının rotasyonelinin integrali, yüzeyi sınırlayan eğri üzerindeki vektör alanının çizgisel integraline eşittir. Green Green teoremi Stokes teoreminin iki boyutlu özel bir durumudur. Bir düzlemdeki vektör alanının skaler rotasyonelinin integrali, bu yüzeyi sınırlayan eğri üzerindeki vektör alanının çizgisel integraline eşittir. 2.12.3 ALANLARIN SINIFLANDIRILMASI Bir vektör alanının diverjansı ve rotasyonel’i bağımsız işlemler olduğundan ikisi bir alanı tamamen tanımlamak için yetersizdir. Gerçekte elektromanyetik alan çalışmasında alanlar dört temel sınıflandırmaya düşmektedir. Alan problemlerinin çözümünde çalışılan alanın hangi sınıfa düştüğünü bilmek gereklidir çünkü bu problemin çözümü için kullanılması gereken işlemi dikte etmektedir. Bu bakımdan şimdi her sınıfla ilgili alanların özellikleri incelenecektir. I. Sınıf Alanlar Bir bölgede her yerde, ∇ ⋅ F = 0 ve ∇ × F = 0 76 Elektromanyetik Alan Teorisi ise F vektör alanı I. sınıf alan olarak dikkate alınır. Bununla beraber vektörün rotasyonel’i sıfır ise vektör bir skaler f fonksiyonunun gradyanı, F = - ∇f ile yazılabilir. Negatif işaretin nedeni Statik elektrik alanları bölümünde açıklanacaktır. ∇ ⋅ F = 0 ’dan ∇ ⋅ (−∇f ) = ∇ 2 f = 0 elde edilir ki bu Laplace eşitliğidir. Bundan böyle I. sınıf alanların elde edilmesi için bölgenin sınırındaki şartlara uygun olarak Laplace eşitliğinin çözülmesine gerek vardır. f bilindikten sonra F vektör alanı F = −∇ f ’den hesaplanabilir. I. sınıf alanlara örnekler yüksüz ortamdaki elektrostatik alanlar ve akım geçmeyen bir ortamdaki manyetik alanlardır. II. Sınıf Alanlar Bir bölgede, ∇ ⋅ F ≠ 0 ve ∇ × F = 0 ise F vektör alanı II. sınıf vektör alanı olarak adlandırılır. Burada da yine ∇ × F = 0 F = −∇f ’yi gösterir çünkü ∇ ⋅ F ≠ 0 olduğundan bu ∇ ⋅ F = ρ olarak yazılabilir; ρ bölge içinde bir sabit veya bilinen bir fonksiyondur. Buna göre ∇2 f = −ρ ifadesi Poisson eşitliğidir. Böylece II. sınıf alanlar sınır şartlarının sınırlamaları içinde Poisson eşitliğinin çözümüyle bulunabilir. Sonra F vektör alanı F = −∇f ’den bulunabilir. Yüklü ortamdaki elektrostatik alan II. sınıf alana bir örnektir. III. Sınıf Alanlar Bir bölgede, ∇ ⋅ F = 0 ve ∇ × F ≠ 0 ise F vektör alanı III. sınıf alan olarak dikkate alınır. Bir vektörün diverjansı sıfır ise vektör başka bir vektörün rotasyonel’i ile ifade edilebilir. ∇ ⋅ F = 0 için F F = ∇×A olarak ifade edilebilir; A diğer vektör alanıdır. ∇ × F ≠ 0 olduğundan bu ∇×F = J yazılabilir; J bilinen bir vektör alanıdır. F = ∇ × A konularak ∇×∇× A = J elde edilir. Vektör özdeşliği kullanılarak bu eşitlik aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Vektör Analizi 77 ∇(∇ ⋅ A) − ∇ 2 A = J Teklik teoremine göre A ’nın bir tek vektör alanı olması için bunun diverjansının da tanımlanması gerekir. Eğer ∇ ⋅ A = 0 olacak şekilde keyfi bir sınırlama konulursa ∇ 2 A = −J ifadesi Poisson vektör eşitliği olarak adlandırılır. Bundan dolayı III. sınıf alanlar Poisson vektör eşitliğinin çözümünü gerektirirler. F = ∇ × A kullanılarak F vektör alanı A ’dan hesaplanabilir. ∇ ⋅ A = 0 sınırlaması Coulomb Mihengi veya Ayarı (Gauge) olarak bilinir. Akım taşıyan bir iletken içindeki manyetik alan III. sınıfa düşer. IV. Sınıf Alanlar Bir F alanının IV. sınıf alan olması için hem diverjansının ve hem de rotasyonel’inin sıfır olmaması gerekir. Bununla birlikte F vektörü G ve H vektör alanlarına ayrılır. Burada G III. sınıf ve H II. sınıfın gereksinimlerini karşılamaktadır. Yani F=G+H ∇ ⋅ G = 0 , ∇ × G ≠ 0 , ∇ × H = 0 ve ∇ ⋅ H ≠ 0 olarak H = -∇f ve G = ∇ × A F = ∇ × A − ∇f sonucuna öncülük edecektir. Sıkıştırılabilen bir ortamdaki hidrodinamik alanlar IV. sınıf alanlara örnektir Diverjans ve Rotasyoneline göre alanların kısa ve öz sınıflandırılması tablo 2.4’de görülmektedir. Tablo 2.4 Diverjans ve Rotasyoneline göre alanların sınıflandırılması Sınıf Diverjans Rotasyonel I ∇⋅F = 0 ∇×F = 0 II ∇⋅F ≠ 0 ∇×F = 0 III ∇⋅F = 0 ∇×F ≠ 0 IV ∇⋅F ≠ 0 ∇×F ≠ 0 ALIŞTIRMALAR 47. Birbirinden bir dielektrik ortamla yalıtılmış eş merkezli iki iletken kabloya koaksiyel kablo denilir. İç iletkenin yarıçapı a ve dış iletkenin yarıçapı b olarak veriliyor. İletkenler içindeki potansiyel dağılım Vφ = K ln(b / ρ ) dir; K bir sabittir. Potansiyel dağılımın Laplace eşitliğini sağladığını gösteriniz. 78 Elektromanyetik Alan Teorisi 48. Önceki alıştırmadaki potansiyel dağılımın 2 2 ∫ Vφ ∇ Vφ dv + ∫ | ∇Vφ | dv= v v teoremini de doğruladığını gösteriniz. V ∇ V ⋅ ds Green ∫ φ φ s 2.13 VEKTÖR ÖZDEŞLİKLERİ Elektromanyetik alan çalışmasında önemli birkaç vektör özdeşliği vardır. Bunlar aşağıda listelenmiştir ve bunların dikdörtgen koordinat sistemi kullanılarak doğrulanması faydalı olacaktır. Sıfır: ∇ × (∇f ) = 0 (2.118) ∇ ⋅ (∇ × A) = 0 (2.119) ∇ 2 f = ∇ ⋅ (∇f ) (2.120) ∇ 2 A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ × ∇ × A (2.121) ∇( f + g ) = ∇f + ∇g (2.122) ∇ ⋅ ( A + B) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B (2.123) ∇ × ( A + B) = ∇ × A + ∇ × B (2.124) ∇( fg ) = f∇g + g∇f (2.125) ∇ ⋅ ( fA ) = f∇ ⋅ A + A ⋅ ∇f (2.126) ∇ × ( fA ) = f∇ × A + ∇f × A (2.127) A ⋅ (B × C) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B) (2.128) A × (B × C) = B( A ⋅ C) − C( A ⋅ B) (2.129) ∇ ⋅ ( A × B) = B ⋅ (∇ × A) − A ⋅ (∇ × B) (2.130) ∇ × ( A × B) = A∇ ⋅ B − B∇ ⋅ A + (B ⋅ ∇) A − ( A ⋅ ∇)B (2.131) Notasyon: Toplam: Skaler içeren çarpımlar: Vektörel çarpımlar: Vektör Analizi 79 f ve g skaler alanlar ve A , B ve C vektör alanlarıdır. Bütün alanlar tek değerlidir ve sınırlayan yüzey üzerindeki bölgede her yerde sürekli olarak diferansiyelleri alınabilmektedir. 2.14 ÖZET Bu kısımda bu bölümde kullanılan tanımlar yeniden dile getirilerek bazı önemli eşitlikler listelenecektir. Bir fiziksel şey tamamen büyüklüğü ile tanımlanabiliyorsa bu bir skalerdir. Bir fiziksel şey temsili için hem büyüklük ve hem de yönünü gerektiriyorsa bir vektör olarak adlandırılır. Bir bölgede bütün noktalarda bir fiziksel şeyi karakterize eden fonksiyona alan adı verilir. Bir skaler alan bir bölgede her noktada bir tek sayı ile belirlenir. Bir vektör alanının bölgede her noktada belirlenmesi için hem büyüklük ve hem de yön bilgisi gerekir. Silindirik koordinatlarda vektör alanlarında aşağıdaki işlemlerin yapılması için alanların aynı noktada veya bir φ = sabit düzleminde tanımlanması gerekir. Aynı işlemi küresel koordinat sisteminde yapmak için alanın θ = sabit ve φ = sabit düzlemlerinin kesişiminde tanımlanması gerekir. Başka ifadeyle alanların aynı noktada veya aynı radyal hat üzerindeki noktalarda tanımlanması gerekir. Eğer bu şartlar karşılamazsa öncelikle alanların dikdörtgen bileşenlerine dönüştürülüp daha sonra istenilen işlemlerin yerine getirilmesi gerekir. Bazı önemli eşitlikler aşağıda listelenmiştir. Dikdörtgen koordinatlar Ax Bx + Ay B y + Az Bz Silindirik koordinatlar Aρ Bρ + Aφ Bφ + Az Bz Küresel koordinatlar Ar Br + Aθ Bθ + Aφ Bφ Skaler çarpım A ⋅ B = AB cosθ Dikdörtgen koordinatlar Vektörel çarpım Silindirik koordinatlar A × B = AB sin θ a n Küresel koordinatlar ax Ax ay Ay Bx By Az Bz aρ Aρ Bρ aφ Aφ Bφ az Az Bz ar Ar Br aθ Aθ Bθ aφ Aφ Bφ az 80 Elektromanyetik Alan Teorisi Skaler Dikdörtgen koordinatlar ∂f ∂f ∂f ax + a y + az ∂x ∂y ∂z Silindirik koordinatlar 1 ∂f ∂f ∂f aρ + aφ + a z ∂ρ ρ ∂φ ∂z Küresel koordinatlar 1 ∂f ∂f 1 ∂f ar + aθ + aφ r ∂θ r sin θ ∂φ ∂r Dikdörtgen koordinatlar ∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z fonksiyonun gradyanı ∇f Vektör alanının diverjansı ∇⋅A Silindirik koordinatlar Küresel koordinatlar Dikdörtgen koordinatlar Vektör alanının rotasyonel’i ∇×B Silindirik koordinatlar Küresel koordinatlar Skaler fonksiyonun Laplasyanı 1 ∂f ρ ∂ρ ( ρAρ ) + 1 ∂ ρ ∂φ ( Aφ ) + ∂ ( Az ) ∂z 1 ∂ 2 1 1 ∂ ∂ (r Ar ) + (sin θ Aθ ) + ( Aφ ) 2 r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ r ∂r ax ∂ ∂x Bx ay ∂ ∂y By az ∂ ∂z Bz aρ 1 ∂ ρ ∂r Bρ ∂ ∂φ ρBφ az ∂ ∂z Bz ar 1 ∂ 2 r sin θ ∂r Br r aθ ∂ ∂θ rBθ r sin θ aφ ∂ ∂φ r sin θ Bφ ρaφ Dikdörtgen koordinatlar ∂2 f ∂2 f ∂2 f + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Silindirik koordinatlar 1 ∂ ∂f 1 ∂ 2 f ∂ 2 f ρ + + ρ ∂ρ ∂ρ ρ 2 ∂φ 2 ∂z 2 Küresel koordinatlar ∂ ∂f 1 ∂ 2 ∂f 1 1 ∂2 f r + θ + sin ∂θ r 2 sin θ ∂φ 2 r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∇2 f Vektör Analizi 81 Diverjans teoremi dv ∫ F ⋅ ds ∫ ∇ ⋅ F= Stokes teoremi ds ∫ F ⋅ dl ∫ (∇× F) ⋅= v s Birinci Green Özdeşliği İkinci Green Özdeşliği (Green teoremi) s c 2 dv ∫ φ∇ ψ dv + ∫ ∇φ ⋅ ∇ψ = v v ∫ [φ∇ ψ − ψ∇ 2 2 v φ ]dv= ∫ φ ⋅ ∇ψ ⋅ ds s ∫ [φ ∇ψ − ψ∇φ ] ⋅ ds s 2.15 ÇALIŞMA SORULARI 1. Bir skaler birim nedir? Skalerlere örnek veriniz. 2. Bir vektör birimi nedir? Vektörlere örnek veriniz. 3. İki vektör eşit olduğunda ne denilmek istenir? 4. Vektörel toplama kapalı mıdır? 5. Sıfır vektörün önemi nedir? 6. Nokta çarpımı negatif olabilir mi? Eğer evetse şartı ne olmalıdır? 7. İki vektörün nokta çarpımının bir skaler çarpım olarak bilinmesinin nedeni nedir? 8. İki vektör bağımlı veya değilse nasıl belirlenir? 9. Bir vektörün diğer bir vektörle bölümü tanımlanmış mıdır? 10. Nokta ve vektörel çarpımlara bazı fiziksel örnekler veriniz? 11. Bir vektörün diğer bir vektör üzerine izdüşümü tek midir? 12. Vektörler kullanılarak bir paralel kenarın alanı nasıl belirlenir? 13. Sağ el kuralı nedir? 14. Silindirik koordinat sisteminde A vektörü P(3,π/6,10) noktasında ve B vektörü Q(1,π/6,5) noktasında verilmişse vektör işlemleri dikdörtgen koordinatlara dönüşüm yapılmadan yapılabilir mi? 15. Küresel koordinat sisteminde A vektörü P(2,π/2,2π/3) noktasında ve B vektörü Q(10,π/2,2π/3) noktasında verilmişse vektör işlemleri küreselden dikdörtgen koordinatlara dönüşüm yapılmadan yapılabilir mi? 16. Skaler fonksiyonun gradyanı ile ne denilmek isteniliyor? 17. Bir vektörün diverjansı ile ne denilmek isteniliyor? 82 Elektromanyetik Alan Teorisi 18. Bir vektörün rotasyonel’inin önemi nedir? 19. Bir vektör a) sürekli, b) selenoidal, c) rotasyonel, d) rotasyonel olmayan, e) korunumlu ise bunu kontrol etmek için hangi eşitlikler kullanılır? Her durum için gerçek hayatta bulunan örnekler veriniz? 20. İnce bir kağıt, kalınlığının sıfıra gittiği varsayılırsa, kaç adet vektör yüzeyi vardır? 21. İlaç tablet’inin kalınlığı sıfıra gidiyorsa kaç adet vektör yüzeyi vardır? 22. E vektörünün kapalı bir döngü etrafındaki çizgisel integrali sıfır ise bir..............................alanını temsil eder. E alanı 23. E vektör alanı skaler f alanının gradyanı ile yazılabiliyorsa vektör alanının doğası ................... 24. B vektör alanının diverjansı sıfır ise vektör alanının türü.................. 25. Kapalı bir yüzey etrafında ∫ B ⋅ ds sıfır ise B vektör alanı...........................olarak söylenir. 26. B vektör alanının diverjansı sıfır ise B vektörü B = ..................... olacak şekilde bilinmeyen bir A vektörü ile ifade edilebilir. A tek olarak tanımlanır mı? 27. Bir ısıl alan E = - ∇Φ ve ∇ ⋅ E = 0 olarak tanımlanıyor. Bu ısıl alanın sınıfı nedir? 28. Diverjans teoremini ifade ediniz. Avantaj ve sınırlamaları nedir? 29. Stokes teoremi nedir? Avantaj ve sınırlamaları nedir? Stokes teoremi kapalı yüzeylere uygulanabilir mi? 30. Green özdeşlikleri nedir? Teklik teoremi Green teoreminin bir sonucu mudur? 2.16 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR 1. Vektörlerin toplamında değişim kuralını doğrulayınız. 0 2. Sıfır olmayan A ve B vektörlerinin birbirine dik olması için gerek ve yeter şartın A ⋅ B = olduğunu gösteriniz. A⋅B = AB cos θ Vektör Analizi 83 0 olması için cos θ = 0 veya θ = ±π / 2 olması gerekir. Eğer A ≠ 0 ve B ≠ 0 ise A ⋅ B = 3. Vektörlerin skaler çarpımda dağılım kuralına uyduklarını doğrulayınız. A⋅B = AB cos θ olduğundan B cos θ büyüklüğü B’nin A üzerindeki projeksiyonu veya izdüşümüdür. Buna göre A ⋅ (B + C) ifadesi A ile A üzerinde B + C ’nin izdüşümünün yani ac’nin çarpımıdır. B ’nin A üzerindeki izdüşümü ab ve C ’ninki bc ise A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C olur. 4. Pythagorean (Pisagor) teoremini doğrulayınız 2 A + B = A2 + B 2 olduğunu gösteriniz. A+B 2 veya A ve B birbirine dik = ( A + B) ⋅ ( A + B) = A ⋅ A + A ⋅ B + B ⋅ A + B ⋅ B = A2 + B 2 + 2 AB cos θ = cos θ cos( = π / 2) 0 ve buradan A + B Eğer A ⊥ B ise 2 =A2 + B 2 olur. 5. Vektörlerin vektörel çarpımda dağılım kuralına uyduklarını doğrulayınız. D ×B + + bc)a n = Aaca n A × (B + C) = A A × C = A(ab Aaba n Abca n ac a n birim vektörü A , B ve C vektörlerinin bulunduğu düzleme dik birim vektördür. 6. Sıfır olmayan iki vektörün, sadece vektörel çarpımları sıfır ise paralel olduğunu ispatlayınız. ise 84 Elektromanyetik Alan Teorisi AB sin θ olduğundan A ≠ 0 ve B ≠ 0 fakat A × B = 0 ise sin θ = 0 veya θ = 0 ve bu A×B = durumda A B dir. 7. A ⋅ (B × C) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B) olduğunu doğrulayınız. A ⋅ (B × C) ABC= = sin θ cos φ BCA= sin θ cos φ CAB sin θ cos φ skaler üçlü çarpımdır. Skaler üçlü çarpım sonuç değeri değişmeden vektörlerin sırası değiştirilebilir. 8. ( A × B) ⋅ (C × D) = ( A ⋅ C)(B ⋅ D) − ( A ⋅ D)(B ⋅ C) olduğunu doğrulayınız. E ( A × B) ⋅ (C × D) =( A × B) ⋅ E = A ⋅ (B × E) = A ⋅ [B × (C × D)] = A [(B ⋅ D)C − (B ⋅ C)D] = ( A ⋅ C)(B ⋅ D) − ( A ⋅ D)(B ⋅ C) [ B×( C× D )] ( 2.129 ) vektör özdeşliği 9. A = 2a x + 0,3a y − 1,5a z ve B = 10a x + 1,5a y − 7,5a z ise A ve B vektörlerinin bağımlı vektörler olduğunu gösteriniz. A B= 10 a + 1,5 a − 7,5 a = 5 × (2 a + 0,3 a − 1,5 a 5A x y z) = x y z 5× 2 5×0,3 olduğundan A ve B bağımlı 5×1,5 vektörlerdir. 10. P (0, −2,1) ’den Q(−2,0,3) ’ye uzunluk vektörünü hesaplayınız. P(0, −2,1) Q(−2,0,3) ve noktalarının konum vektörleri r2 = OQ = −2a x + 3a z dir. P’den Q’ye R =r2 − r1 =(−2 − 0)a x + (0 − 2)a y + (3 − 1)a z =−2a x + 2a y + 2a z dir. r1 = OP = −2a y + a z uzaklık ve vektörü 11. A = 3a x + 2a y − a z , B = 4a x − 8a y − 4a z ve C = 7a x − 6a y − 5a z ise A , B ve C ’nin dik açılı üçgen olduğunu gösteriniz. Vektör Analizi 85 C A B (3a x + 2a y − a z ) + (4a x − 8a y − 4a z ) = 7a x − 6a y − 5a z A ve B (3a x + 2a y − a z ) ⋅ (4a x − 8a y − 4a z ) = 12 − 16 + 4 = 0 dir. Böylece A ⊥ B ve A , B ve C vektörleri dik açılı bir üçgen oluşturur. 12. S = 3a x + 5a y + 17a z ve G = −a y − 5a z ise S + G ’ye paralel birim vektörünü bulunuz. Birim vektörün x, y ve z eksenleri ile yaptığı açıları hesaplayınız. S + G= (3a x + 5a y + 17a z ) + (−a y − 5a z= ) 3a x + 4a y + 12a z S+G = 32 + 42 + 122 = 3 4 12 169 = 13 , a ( S + G ) = a x + a y + a z 13 13 13 3 a ( S + G ) ⋅ a x = cos θ x = ⇒ θ x = 76,6576° 13 4 a ( S + G ) ⋅ a y = cos θ y = ⇒ θ y = 72,0797° 13 12 ⇒ θ z = 21,6198° a ( S + G ) ⋅ a z = cos θ z = 13 13. (2.39)’da verilen dönüşümü doğrulayınız. Ax cos φ (2.38)’daki Ay = sin φ Az 0 Aρ = − sin φ cos φ 0 0 Aρ 0 Aφ matrisinden 1 Az cos φ Ax − sin φ sin φ Ay cos φ = − Ax sin φ + Ay cos φ = Ax cos φ + Ay sin φ ve Aφ = cos φ − sin φ cos φ − sin φ sin φ cos φ sin φ cos φ Ax Ay 14. Vektör izdüşümü kullanarak Örnek 2.10’daki C ’yi hesaplayınız. 86 Elektromanyetik Alan Teorisi C = −2a x + 3a y + 4a z cos φ sin φ 0 Cρ =⋅ C aρ = −2 a x ⋅ a ρ + 3 a y ⋅ a ρ + 4 a z ⋅ a ρ = −2cos 45° + 3sin 45° = 0,707 − sin φ cos φ 0 Cφ = C ⋅ aφ = −2 a x ⋅ aφ + 3 a y ⋅ aφ + 4 a z ⋅ aφ = −2(− sin 45°) + 3cos 45° = 3,535 0 0 1 4 C z =⋅ C az = −2 a x ⋅ a z + 3 a y ⋅ a z + 4 a z ⋅ a z = 15. (a) F ρ sin φ a ρ − ρ cos φ aφ ve (b) H = ρ1 a ρ vektörlerini dikdörtgen koordinat sisteminde = ifade ediniz. A A ρ φ (a) F ρ sin φ a ρ − ρ cos φ aφ , = x = ρ cos φ , = y ρ sin φ ve = ρ x2 + y 2 ile (2.38) matrisi kullanılarak Ax= ρ sin φ cos φ − ρ cos φ (− sin φ )= 2 ρ sin φ cos φ= 2 ρ x y = ρρ 2 xy x2 + y 2 y 2 x2 Ay = ρ sin φ sin φ − ρ cos φ cos φ = ρ (sin 2 φ − cos 2 φ )= ρ 2 − 2 = ρ ρ y 2 − x2 x2 + y 2 Az = 0 Aρ 1 x (b) H = = ρ aρ , ( ) Hx = = Hy 1 cos φ = ρ 1 = sin φ ρ ρ= cos φ , y ρ sin = φ ve ρ ile (2.38) matrisi kullanılarak 1 x2 + y 2 1 x2 + y 2 x x = 2 2 x2 + y 2 x + y y y = 2 2 x2 + y 2 x + y Hz = 0 16. P (1, π ,0) ve Q(0, −π / 2, 2) noktası silindirik koordinat sisteminde verilmiştir. P’den Q’ye uzunluk vektörünü ve uzunluğunu bulunuz. Q’den P’ye uzunluk vektörü nedir? P’den Q’ye uzunluk vektörünü Q’den P’ye uzunluk vektörü ile ifade ediniz. Vektör Analizi 87 P(1, π ,0) ⇒ P (−1,0,0) Q(0, −π / 2, 2) ⇒ Q(0,0, 2) PQ = R = a x + 2a z ⇒ R = 2 QP = − PQ = −a x − 2a z 17. r = xa x + ya y + za z pozisyon vektörünü küresel koordinat sisteminde ifade ediniz. x = R sin θ cos φ , y = R sin θ sin φ , z = R cos θ 2 = Ar x sin θ cos φ + y sin θ sin φ + z cos = θ R sin 2 θ cos 2 φ + R sin 2 θ sin 2 φ + R cos= θ R Aθ x cos θ cos φ + y cos θ sin φ − z sin = = θ R sin θ cos θ cos 2 φ + R sin θ cos θ sin 2 φ − R sin θ cos = θ 0 Aφ = − x sin φ + y cos φ = − R sin θ sin φ cos φ + R sin θ sin φ cos φ = 0 Buradan r = Ra r yazılır. 18. F = r a r + r tan θ aθ + r sin θ cos φ aφ ise F ’yi dikdörtgen koordinat sistemine dönüştürünüz. y θ tan x2 + y 2 x x sin θ Fx = r sin θ cos φ + r 2 r sin θ cos φ − r sin θ cos φ sin φ cos θ cos φ − r sin θ cos φ sin φ = cos θ xy = 2x − x2 + y 2 x θ tan y x2 + y 2 x sin θ Fy = r sin θ sin φ + r 2 r sin θ sin φ + r sin θ cos φ cos φ cos θ sin φ + r sin θ cos φ cos φ = cos θ x2 = 2y − x2 + y 2 x +y 2z −z −x − y θ tan z sin 2 θ r 2 sin 2 θ x2 + y 2 z 2 − x2 − y 2 sin θ Fz = r cos θ − r r cos θ − r = z− = z− = sin θ = cos θ z z z cos θ 2 2 2 2 2 2 z/r = 2z − xy F = 2x − 2 x + y2 x2 ax + 2 y − x2 + y 2 x2 + y 2 + z 2 a y + 2z − z x2 + y 2 + z 2 z az 19. P (2, π / 2,3π / 4) ’den Q(10, π / 4, π / 2) ’ye uzunluk vektörünün uzunluğunu elde ediniz. 88 Elektromanyetik Alan Teorisi P (2, π / 2,3π / 4) ⇒ P (− 2, 2,0) Q(10, π / 4, π / 2) ⇒ Q(0, 50, 50) PQ = R =2a x + 50 − 2 a y + 50a z ⇒ PQ =84 32 20. S = 12 a r + 5 aθ + π aφ ve T = 2 a r + 0,5π aθ sırasıyla (2,π,π/2) ve (5,π/2,π/2) noktalarındaki iki vektördür. (a) S + T , (b) S ⋅ T , (c) S × T , (d) S × T ’ye dik birim vektörleri ve (e) S ve T arasındaki açıyı belirleyiniz. S= −π a x − 5a y − 12a z = T 2a y − π / 2a z −π a x − 3a y − (12 + π / 2)a z S+T= S ⋅ T = 0 − 10 + 6π S= × T [5π / 2 + 24]a x + [−π 2 / 2] a y + [−2π ] a z 2 S × T [5π / 2 + 24]a x + [−π / 2] a y + [−2π ] a z = aS×T = S×T [5π / 2 + 24]2 + [−π 2 / 2] 2 + [−2π ]2 21. g = g[u(t ), v (t ), s(t )] skaler fonksiyonu veriliyor, t[dg / dt ] ’ye göre g’nin türev ifadesini çıkartınız. g = g[u(t ), v (t ), s(t )] olduğundan dg ∂g du ∂g dv ∂g ds = + + dir. dt ∂u dt ∂v dt ∂s dt 22. G = G ( x, y , z, t ) ise (x, y ve z aynı zamanda t’nin de fonksiyonlarıdır) dG / dt ifadesini elde ediniz. G = G ( x, y , z, t ) için dG ∂G dx ∂G dy ∂G dz ∂G = + + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t 23. x’e göre F ’nin kısmi türevi (2.50) eşitliği ile verilmiştir. y ve z’ye göre F ’nin kısmi türev ifadeleri nedir? ∂F F( x, y, z + ∆z ) − F( x, y, z ) ∂F F ( x, y + ∆y, z ) − F ( x, y, z ) = lim ve = lim ∂z ∆z →0 ∆z ∂y ∆y →0 ∆y 24. Dikdörtgen koordinat sisteminde, r pozisyon vektörünün diferansiyeli ile (2.53) eşitliğini elde Vektör Analizi 89 ediniz. r= xa x + ya y + za z ⇒ dr = dxa x + dya y + dza z 25. Silindirik koordinat sisteminde, r pozisyon vektörünün diferansiyeli ile (2.56) eşitliğini elde ediniz. = ρ a ρ + z a z = ρ cos φ a x + ρ sin φ a y + za z d = d ρ cos φ a x − ρ sin φ dφ a x + d ρ sin φ a y + ρ cos φ dφ a y + dz a z a a ρ φ d= (cos φ a x + sin φ a y ) d ρ + (cos φ a y − sin φ a x ) ρ dφ + dz a z ⇒ d= d ρ a ρ + ρ dφ aφ + dz a z 26. Küresel koordinat sisteminde, r pozisyon vektörünün diferansiyeli ile (2.59) eşitliğini elde ediniz. = r ar = r sin θ cos φ a x + r sin θ sin φ a y + r cosθ a z d =(sin θ cos φ dr + r cos θ cos φ dθ − r sin θ sin φ dφ ) a x +(sin θ sin φ dr + r cos θ sin φ dθ + r sin θ cos φ dφ ) a y +(cos θ dr − r sin θ dθ ) a z d = (sin θ cos φ a x + sin θ sin φ a y + cos θ a z )dr + (cos θ cos φ a x + cos θ sin φ a y − sin θ da z )rdθ (− sin φ a x + cos φ a y )r sin θ dφ d =dr a r + rdθ aθ + r sin θ dφ aφ 27. g = 20 xy ise ∫ g dl ’yi P(0,0,0)’den Q(1,1,0)’ye (a) P’den Q’ye düz bir çizgi boyunca ve (b) y = 4x 2 eğrisi boyunca hesaplayınız. (a) g = 20 xy , d = dx a x + dy a y + dz a z , z =0 ⇒ dz =0, y =x ⇒ dy =dx 90 ∫ Elektromanyetik Alan Teorisi Q P gd= ∫ Q P 20 xy (dx a x + dy a y= ) 1 x3 20 a a + = x dx 20 ( ) 20 ( a x + a y= ) ( ax + a y ) x y ∫x=0 3 0 3 1 2 (b) y = 4 x 2 ⇒ dy = 8 xdx ∫ 1 1 20 x 4 x (dx a x + 8 xdx a y ) = ∫ 2 x 0 28. x = 1 1 x4 x5 20 x 4 x dx a x + ∫ 20 x 4 x 2 8 xdx a y = 80 a x + 640 ay 0= x 0 4 0 5 0 = 20a x + 128a y 2 ρ ∫ ⋅ d ’yi xy düzleminde b yarıçapında kapalı dairesel bir yol boyunca hesaplayınız. d ∫ ρ ⋅= 29. 1 0 a ⋅a = ρ φ ( b ) ( bd φ 0 a ⋅ a = φ) ∫ ρ ∫ r ⋅ ds ’yi b yarıçapında kürenin kapalı yüzeyi üzerinde hesaplayınız. ∫ r ⋅ ds = ∫ (ba ) ⋅ (b r 2 2π π 2π π sin θ dθ dφ a r ) = b3 ∫ sin θ dθ ∫ dφ = b3 (− cos θ ) 0 φ 0 = 4π b3 = θ 0= φ 0 30. xy düzlemi ( z = 0) ve z =4 − x 2 − y 2 =4 − ρ 2 ile sınırlanan bölgenin hacmini bulunuz. z = 0 ⇒ 4 = 22 = x 2 + y 2 = ρ 2 x = 0, y = 0 ⇒ z = 4 4− ρ 2 V= ∫ρ ∫φ ∫ z ρ d ρ dφ dz = ∫ 2 ρ 0 = 2π 2π 4− ρ 2 dz = ρ d ρ ∫ dφ ∫ φ 0=z 0 = 4ρ −ρ 2 ρ2 ρ4 2 ρ (4 − ρ ) d ρ = 2π 4 − = 8π 0 4 0 2 3 ∫ 2 ρ = 31. Bir skaler f fonksiyonunda diferansiyel değişim için (2.76a) eşitliğini kullanarak sırasıyla silindirik ve küresel koordinat sistemlerinde f’nin gradyanı için (2.77) ve (2.78)’de verilen ifadeleri doğrulayınız. df = ∇f ⋅ dl Vektör Analizi 91 ∂ρ ∂x ∂ρ ∂y d ρ cosφ dx + sin φ dy = = cosφ d ρ − ρ sin φ dφ = x ρ cosφ ⇒ dx − ρ1 sinφ dx + ρ1 cos φ dy = = sinφ d ρ + ρ cos φ dφ dφ = y ρ sin= φ dy ∂φ ∂x ∂ ∂ ∂ρ ∂ = + ∂x ∂ρ ∂x ∂φ ∂ ∂ ∂ρ ∂ = + ∂y ∂ρ ∂y ∂φ ∂φ ∂y ∂φ ∂ 1 ∂ = cos φ − ρ sin φ ∂x ∂ρ ∂φ ∂φ ∂ 1 ∂ = sin φ + ρ cos φ ∂y ∂ρ ∂φ ∂ ∂ ∂y ∂x ay ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ = ∇ cos φ a ρ − sin φ aφ cos φ − ρ sin φ + sin φ a ρ + cos φ aφ sin φ + ρ cos φ + az ∂ρ ∂φ ∂ ∂ ρ φ ∂z ∂ ∂ 1 ∂ = ∇ aρ + aφ + a z ∂ρ ∂z ρ ∂φ ax 32. Dikdörtgen ve küresel koordinat sistemlerinde r pozisyon vektörünün tanımlarını kullanarak ∇r = a r olduğunu gösteriniz. r = x a x + y a y + z a z = ρ a ρ + z a z = r ar , r 2 = x2 + y 2 + z 2 = ρ 2 + z 2 ∂r ∂r ∂r x y z r 1 ∇r = a x + ay + az = a x + a y + a z = ( xa x + ya y + za z ) = = a r ∂x ∂y ∂z r r r r r ∂r ∇ = r ar = ar ∂r 33. P(-1,0,1) noktasındaki uzaklığa göre bir f = 12 x 2 + yz 2 fonksiyonunun maksimum değişim oranını bulunuz. f’nin x, y ve z yönlerindeki değişim oranını belirleyiniz. P’den Q(1,1,1) noktası yönünde f’nin değişim oranı nedir? f =12 x 2 + yz 2 ⇒ ∇f =24 xa x + z 2a y + 2 yza z ⇒ P (−1,0, −1) noktasında ∇f =−24a x + a y 2 1 PQ = (1 − (−1))a x + (1 − 0)a y + (1 − 1)a z = 2a x + a y ⇒ a PQ = ax + ay 5 5 (∇f ) x =∇f ⋅ a x =24 x ⇒ P (−1,0,1) noktasında (∇f ) y =∇f ⋅ a y =z 2 ⇒ P (−1,0,1) noktasında (∇f ) z =∇f ⋅ a z =2 yz ⇒ P (−1,0,1) noktasında 48 1 2 (∇f ) PQ =∇f ⋅ a PQ = x + z ⇒ P (−1,0,1) noktasında 5 5 − 24 1 0 - 48 5 92 Elektromanyetik Alan Teorisi 34. Silindirik ve küresel koordinat sistemlerini kullanarak ∇ ⋅ r = 3 olduğunu doğrulayınız. r = x a x + y a y + z a z = ρ a ρ + z a z = r ar 2ρ 3r 2 1 1 ∂ 3 1 ∂ 2 ∂ = ∇⋅r = r 3 ρ= = ∇⋅r + z 3 ve ρ ∂ρ ∂z r 2 ∂r 35. F = - xy a x + 3x 2 yz a y + z 3 x a z ise P(1,-1,2)’de ∇ ⋅ F ’yi bulunuz. ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅ F = (-xy ) + (3x 2 yz ) + ( z 3 x) = − y + 3x 2 z + 3 z 2 x ∂x ∂y ∂z P (1, −1, 2) noktasında ∇ ⋅ F =− y + 3x 2 z + 3 z 2 x =−(−1) + 3 × 12 × 2 + 3 × 22 (−1) =19 36. r = ra r ise ∇ ⋅ (r n a r ) = (n + 2)r n−1 olduğunu gösteriniz. ∇ ⋅ (r1 a r ) = 1 ∂ 2 1 r r = 3= (1 + 2)r1−1 2 r ∂r ∇ ⋅ (r 2 a r )= 1 ∂ 2 2 r r = 4r= (2 + 2)r 2 −1 r 2 ∂r ∇ ⋅ (r 3 a r )= 1 ∂ 2 3 r r = 5r 2= (3 + 2)r 3−1 r 2 ∂r ∇ ⋅ (r 4 a r )= 1 ∂ 2 4 r r = 6r 2= (4 + 2)r 4 −1 r 2 ∂r ) ∇ ⋅ (r n a r = 1 ∂ n+2 r = (n + 2)r n −1 r 2 ∂r 37. F = x a x + xy a y + xyz a z vektör alanı için 2 yarıçapında bir küre ile sınırlanan bölgede diverjans teoremini doğrulayınız. F = x a x + xy a y + xyz a z ⇒ ∇ ⋅ F = 1 + x + xy = ∫ (1 + x + xy )dv = ∫ (1 + r sin θ cos φ + r sin θ cos φ sin φ )r dr sin θ dθ dφ ∫ ∇ ⋅ Fdv π π π π π π = ∫ r dr ∫ sin θ dθ ∫ dφ + ∫ r dr ∫ sin θ dθ ∫ cos φ dφ + ∫ r dr ∫ sin θ dθ ∫ cos φ sin φ dφ 2 v v 2 0 2 0 2 2 v 2 2 0 0 3 2 0 2 2 0 0 4 4 0 2 0 0 8/3 0 2 2π 2 2 2 2π π π 5 3 4 r 3θ 1 1 r r θ 1 2π π 2π 1 2 − sin 2θ + sin 4θ − cos φ = (− cos θ ) 0 φ 0 + − sin 2θ sin φ 0 + 3 0 4 02 4 32 5 0 8 4 0 2 0 0 32 π 3 = = θ cos φ , y 2sin = θ sin φ , z 2cosθ = r 2'de F ⋅ = ds Fr r 2 sin θ dθ dφ , x 2sin = Vektör Analizi 93 sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ Fr = ( x a x + xy a y + xyz a z ) ⋅ a r = x a x ⋅ a r + xy a y ⋅ a r + xyz a z ⋅ a r Fr = 2sin 2 θ cos 2 φ + 4sin 3 θ cos φ sin 2 φ + 8sin 2 θ cos 2 θ cos φ sin φ 3 2 4 2 3 2 = ∫ s F ⋅ ds 8sin θ dθ cos φ dφ + 16sin θ dθ cos φ sin φ dφ + 32sin θ cos θ dθ cos φ sin φ dφ 2π 2π π π 3 2 4 2 = ∫ F ⋅ ds 8∫ sin θ dθ ∫ cos φ dφ + 16∫ sin θ dθ ∫ cos φ sin φ dφ s 0 0 0 π 0 2π +32 ∫ sin θ cos θ dθ ∫ cos φ sin φ dφ 0 3 2 0 0 π 4/3 2π π π 2π 3 cos3θ 3cos θ φ 1 3θ sin 2θ sin 4θ sin φ 8 − − + + sin 2φ + 16 ∫ s F ⋅ ds = 4 0 2 4 4 32 0 3 0 0 12 8 0 2π π 2 cos5θ cos3θ cos θ cos φ +32 − − − 48 8 0 2 0 80 32 ∫ s F ⋅ ds =3 π 38. (2.96b) ⇒ (∇ × F ) ⋅ a x = ∂Fz / ∂y − ∂Fy / ∂z ve (2.96c) ⇒ (∇ × F ) ⋅ a y = ∂Fx / ∂z − ∂Fz / ∂x eşitliklerini doğrulayınız. Vektör alanının rotasyonel’inin tanımlanması için dikdörtgen koordinatlarda z = 0 , x = 0 ve y = 0 düzlemlerinde küçük yüzey elemanları 94 Elektromanyetik Alan Teorisi x = 0 düzleminde ∆c1 yolu boyunca çizgisel integral: ∫ ∆c1 F ⋅ d = ∫ y +∆y y Fx a x + Fy a y + Fz a z ⋅ dya y = Fy ∆y z z x = 0 düzleminde ∆c2 yolu boyunca çizgisel integral: ∫ ∆c2 z +∆z Fx a x + Fy a y + Fz a z F ⋅ d = ∫ z y +∆y ⋅ [ dza z ] = [ Fz ∆z ] y +∆y x = 0 düzleminde ∆c3 yolu boyunca çizgisel integral: y F − Fy ∆y ∫∆c3 ⋅ d = ∫y +∆y Fxa x + Fy a y + Fz a z z +∆z ⋅ dya y = z +∆z x = 0 düzleminde ∆c4 yolu boyunca çizgisel integral: z Fx a x + Fy a y + Fz a z ⋅ [ dza z ] = F ⋅ d = − [ Fz ∆z ] y ∫ y z +∆z ∆c4 ∫ x = 0 düzleminde ∆c yolu boyunca toplam çizgisel integral: ∫ F ⋅ d = ∆c Fy ∆y + [ Fz ∆z ] y +∆y − Fy ∆y − [ Fz ∆z ] y z z +∆z ∆y → 0 ve ∆z → 0 limitinde Taylor serileri açılımı kullanılarak ve yüksek dereceli terimleri ihmal edilerek aşağıdaki gibi yaklaşık olarak yazılabilir. [ Fz ∆z ] y +∆y − [ Fz ∆z= ]y ∂Fz − Fy ∆y= ∆y ∆z ve Fy ∆y z z +∆z ∂y ∂Fy ∂z ∆y ∆z ∂Fz ∂Fy − ∆y ∆z ∂z ∂y ∆c d ∫ F ⋅ = eşitliğinde her iki taraf ∆s =∆y ∆z ’ye bölünerek ve ∆s = → 0 limiti alınarak ∂Fz ∂Fy 1 − F ⋅ d = ∫ ∆s → 0 ∆s ∆c → 0 ∂y ∂z lim elde edilir. Birim vektör a n = a x olduğundan (rotF ) ⋅ a x kısaca (rotF ) x olarak yazılabilir. (rotF ) x rotF ’nin x yönlü bileşenini belirtmektedir. Böylece rotF ’nin x bileşeni aşağıdaki gibi yazılabilir. ∂Fz ∂Fy a x (rotF= − (∇ × F ) ⋅= )x ∂y ∂z (2.96b) rotF ’nin y bileşeni ( y = 0 düzleminde) y yönüne normal birimi ile oldukça küçük yüzeyler dikkate alınarak benzer yolla aşağıdaki gibi elde edilebilir. Vektör Analizi 95 ∂Fx ∂Fz (∇ × F ) ⋅= )y − a y (rotF= ∂z ∂x (2.96c) a ρ ρ aϕ a z 1 ∂ ∂ ∂ ve küresel koordinatlarda 39. Silindirik koordinatlarda (2.100) ⇒ ∇ × F = ρ ∂ρ ∂ϕ ∂z Fρ ρ Fϕ Fz a r r aθ r sin θ aφ ∂ ∂ ∂ 1 (2.101) ⇒ ∇ × F = 2 eşitliklerinin doğru olduğunu doğrulayınız. r sin θ ∂r ∂θ ∂φ Fr rFθ r sin θ Fφ Silindirik Koordinat Sisteminde rotasyonel hesaplamaları: a ρ bileşeni: ρ düzleminde ∆c1 yolu boyunca çizgisel integral: φ + dφ F ⋅ d ∫ ∫= φ ∆c1 Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z ⋅ ρ= dφ aφ Fφ ρ dφ z z ρ düzleminde ∆c2 yolu boyunca çizgisel integral: ∫ ∆c2 F ⋅ d = ∫ z + dz z ∂Fz Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z ⋅ dz a = F + d φ [ ] z z dz φ + dφ ∂φ φ + dφ ρ düzleminde ∆c3 yolu boyunca çizgisel integral: φ ∂Fφ F − Fφ + dz ρ dφ ∫∆c3 ⋅ d = ∫φ + dφ Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z z + dz ⋅ ρ dφ a ρ = ∂z z + dz ρ düzleminde ∆c4 yolu boyunca çizgisel integral: z Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z ⋅ [ dza z ] = − [ Fz dz ]φ F ⋅ d = ∫ φ z + dz ∆c4 ∫ ρ düzleminde ∆c yolu boyunca toplam çizgisel integral: ∂Fφ ∂F F ⋅ d Fφ ρ dφ z + Fz + z dφ dz = − Fφ + ∆c ∂φ ∂z φ + dφ ∂Fz ∂Fφ d dφ dz − dz ρ dφ= ∫ ∆c F ⋅= ∂φ ∂z ∫ dz ρ dφ − [ Fz dz ]φ z + dz 1 ∂Fz ∂Fφ − ∂z ρ ∂φ ρ dφ dz dsρ 96 Elektromanyetik Alan Teorisi 1 F ) ρ lim (∇ × F= ) ⋅ a ρ (rot= dsρ → 0 ds ρ 1 ∂Fz ∂Fφ ⋅ d − F= ∆c → 0 ρ ∂φ ∂z ∫ Vektör alanının rotasyonel’inin tanımlanması için silindirik koordinatlarda ρ, φ ve z düzlemlerinde küçük yüzey elemanları aφ bileşeni: φ düzleminde ∆c1 yolu boyunca çizgisel integral: ∫ = F ⋅ d ∆c1 ∫ z + dz z Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z ⋅= dz a [ z] ρ [ Fz dz ]ρ Vektör Analizi 97 φ düzleminde ∆c2 yolu boyunca çizgisel integral: ∫ ∆c2 F ⋅ d = ρ +d ρ ∫ρ ∂F Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z ⋅ d ρ a ρ = Fρ + ρ dz d ρ z + dz ∂z z + dz φ düzleminde ∆c3 yolu boyunca çizgisel integral: z ∂Fz F ⋅ = a + a + a ⋅ a = − + d F F F dz F d ρ [ ] z z z z ρ ρ φ φ dz ∫∆c3 ∫z + dz ρ +d ρ ∂ρ ρ +d ρ φ düzleminde ∆c4 yolu boyunca çizgisel integral: ∫ ∆c4 ρ F ⋅ d = ∫ ρ +d ρ Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z ⋅ d ρ a ρ = − Fρ d ρ z z φ düzleminde ∆c yolu boyunca toplam çizgisel integral: ∫ ∆c d F ⋅= [ Fz dz ]ρ + Fρ + ∂F dz d ρ − Fz + z d ρ dz − Fρ d ρ z ∂z ∂ρ ρ +d ρ z + dz ∂Fρ ∂Fρ ∂Fρ ∂F ∂F ∫ ∆c F ⋅ d = ∂z dzd ρ − ∂ρz dzd ρ= ∂z − ∂ρz 1 (∇ × F )= ⋅ aφ (rot= F )φ lim dsφ → 0 ds φ dzd ρ dsφ ∂Fρ ∂Fz F= ⋅ d − ∆c → 0 ∂ρ ∂z ∫ a z bileşeni: z düzleminde ∆c1 yolu boyunca çizgisel integral: ρ +d ρ F ⋅ d ∫ ∫= ρ ∆c1 Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z ⋅ = d ρ a ρ Fρ d ρ φ φ z düzleminde ∆c2 yolu boyunca çizgisel integral: ∫ ∆c2 F ⋅ d = φ + dφ ∫φ ∂Fφ Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z ρ + d ρ ⋅ ( ρ + d ρ )dφ aφ = Fφ + ∂ρ d ρ ( ρ + d ρ )dφ ρ +d ρ z düzleminde ∆c3 yolu boyunca çizgisel integral: ∫ ∆c3 ρ F ⋅ d = ∫ ∂Fρ Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z d ρ a ρ = ⋅ − + φ F d dρ ρ φ + dφ ρ +d ρ ∂ ρ φ + dφ z düzleminde ∆c4 yolu boyunca çizgisel integral: 98 Elektromanyetik Alan Teorisi φ − Fφ ρ dφ ρ F ∫∆c4 ⋅ d = ∫φ + dφ Fρ a ρ + Fφ aφ + Fz a z ρ ⋅ ρ dφ aφ = z düzleminde ∆c yolu boyunca toplam çizgisel integral: ∂Fφ F d ρ ( ρ + d ρ ) dφ ⋅ d Fρ d ρ φ + Fφ + − Fρ ∫ ∆c = ∂ρ ρ + d ρ ∂ ∂Fρ ( ρ Fφ )d ρ dφ − = F ⋅ d d ρ dφ ∫= ∆c ∂φ ∂φ 1 = = F ) z lim (∇ × F ) ⋅ a z (rot dsz → 0 ds z + dφ d ρ − Fφ ρ dφ ρ ∂ρ φ + dφ ∂Fρ 1 ∂ 1 ∂Fρ ( ρ Fφ ) − ρ d φ d ρ ρ ∂φ ρ ∂φ dsz 1 ∂ 1 ∂Fρ = F ⋅ − d ( ρ F ) φ ∫ ∆c→0 ρ ∂φ ρ ∂φ Küresel Koordinat Sisteminde rotasyonel hesaplamaları için yukarıdaki silindirik koordinat sistemindeki hesaplamalardaki gibi aynı yol izlenir. Vektör alanının rotasyonel’inin tanımlanması için küresel koordinatlarda r, θ ve φ düzlemlerinde küçük yüzey elemanları 40. F = ( x / r ) a x ise ∇ × F ’i belirleyiniz. P(x,y,z) pozisyon vektörünün genliği: r = x2 + y 2 + z 2 Vektör Analizi 99 ax ∂ ∂x ∇ ×= F ay ∂ ∂y x Fx = x + y2 + z2 2 az ∂ = ∂z Fy 0= Fz 0 = xy xz − − 3 3 x2 + y 2 + z 2 ) ( x2 + y 2 + z 2 ) ( ay −az ∂ x x a × a ∂ + az × ax y x ∂y x 2 + y 2 + z 2 ∂z x 2 + y 2 + z 2 = 41. Bir vektör alanının ∇ ⋅ (∇ × F ) = 0 . rotasyonel’inin diverjansının daima sıfır x (− za y + ya z ) 3 r olduğunu gösteriniz, F = Fx a x + Fy a y + Fz a z vektör alanı olsun. ∇ ⋅ (∇ × F= ) ∂ ∂x ∂ ∂x Fx ∂ ∂y ∂ ∂y Fy ∂ 2 ∂ 2 Fy ∂ 2 Fx ∂ 2 Fz ∂ Fy ∂ 2 Fx ∂ 2 Fz − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂z∂x ∂z∂y x y x z ∂ ∂ ∂ ∂ y z y x ∂z ∂ ∂ ∂Fz ∂Fy ∂ ∂Fx ∂Fz ∂ ∂Fy ∂Fx = − − + − + = 0 ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Fz 2 2 ∂ 2 Fx ∂ 2 Fx ∂ Fy ∂ Fy ∂ 2 Fz ∂ 2 Fz + − = 0 − + − ∂y∂z ∂z∂y ∂z∂x ∂x∂z ∂x∂y ∂y∂x 42. Örnek 2.24’de dikdörtgen koordinat sistemi kullanarak ∇ × (∇f ) = 0 olduğu gösterildi. Hangi koordinat sistemi kullanılırsa kullanılsın bunun daima doğru olduğunu gösteriniz. ∇f = 1 ∂f ∂f ∂f aρ + aφ + a z silindirik koordinat sistemi kullanılsın. ∂ρ ∂z ρ ∂φ aρ 1 ∂ = ∇ × ∇f ρ ∂ρ ∂f ∂ρ 0 0 0 az 2 2 2 2 2 ∂ f ∂ ∂ ∂ f ∂ f ∂2 f 1∂ f 1∂ f az 0 = − − − = aρ + aφ + ∂φ ∂z ρ ∂φ∂z ∂z∂φ ρ ∂ρ∂φ ∂φ∂ρ ∂z∂ρ ∂ρ∂z ∂f ∂f ∂φ ∂z ρ aφ 43. F = 10 cosθ a r − 10 sin θ aθ ise şekil 2.39’da görülen yarı küre üzerinde Stokes teoremini doğrulayınız. Yarı küre üzerinde: 100 Elektromanyetik Alan Teorisi ar 1 ∂ ∇ × F= 2 r sin θ ∂r 10cos θ r aθ ∂ ∂θ −r10sin θ r sin θ aφ ∂ = 0 ⇒ ∫ ∇ × F ⋅ ds = 0 s ∂φ 0 dl = 2dφ aφ dairesel c kapalı yolu üzerinde: F ⋅ dl =(10cos θ a r − 10sin θ aθ ) ⋅ 2dφ aφ =0 ⇒ ∫ F ⋅ dl = 0 c 44. g = 25 x 2 yz + 12 xy 2 ise ∇ 2 g = ∇ ⋅ (∇g ) olduğunu gösteriniz. ∂g ∂g ∂g ∇ = g ax + ay + a z = (50 xyz + 12 y 2 )a x + (25 x 2 z + 24 xy )a y + 25 x 2 ya z ∂x ∂y ∂z ∇ ⋅= ∇g 50 yz + 24 x ∇ 2 g= ∂2 g ∂2 g ∂2 g + + = 50 yz + 24 x ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 45. f = 2 x 2 y 3 + 3 yz 3 ise ∇ 2 f = ∇ ⋅ (∇f ) olduğunu gösteriniz. ∇ 2 f = 4 y 3 + 12 x 2 y + 18 yz = ∇f (4 xy 3 )a x + (6 x 2 y 2 + 3 z 3 )a y + 9 yz 2a z f 4 y 3 + 12 x 2 y + 18 yz ∇ ⋅ ∇= 46. h = ρ 2 sin 2φ + z 3 cos φ ise ∇ 2 f = ∇ ⋅ (∇h) olduğunu gösteriniz. ∂ 1 ∂ ∂ = ∇h a ρ + aφ + a z ( ρ 2 sin 2φ + z 3 cos φ ) ρ ∂φ ∂z ∂ρ z3 = 2 ρ sin 2φ a ρ + 2 ρ cos 2φ − sin φ aφ + 3 z 2 cos φ a z ρ ∂ ∂ 1 ∂ z3 = ∇ ⋅ ∇h 2 ρ sin 2φ + 2 ρ cos 2 φ − sin φ + 3 z 2 cos φ ρ ∂φ ρ ∂z ∂ρ 3 z z3 = 4sin 2φ − 4sin 2φ − cos φ + 6 z cos φ = 6 z cos φ − cos φ ρ ρ Vektör Analizi 101 1 ∂2 ∂2 1 ∂ ∂ ( ρ 2 sin 2φ + z 3 cos φ ) + 2 2 ( ρ 2 sin 2φ + z 3 cos φ ) + 2 ( ρ 2 sin 2φ + z 3 cos φ ) ρ ρ ∂ρ ∂ρ ∂z ρ ∂φ ∇2 h = 4sin 2φ − 4sin 2φ − z3 ρ cos φ + 6 z cos φ = 6 z cos φ − z3 ρ cos φ 47. Birbirinden bir dielektrik ortamla yalıtılmış eş merkezli iki iletken kabloya koaksiyel kablo denilir. İç iletkenin yarıçapı a ve dış iletkenin yarıçapı b olarak veriliyor. İletkenler içindeki potansiyel dağılım Vφ = K ln(b / ρ ) dir; K bir sabittir. Potansiyel dağılımın Laplace eşitliğini sağladığını gösteriniz. 0 −K 0 0 K /ρ − 2 2 1 1 ∂ ∂ ∂ ∂ K ln(b / ρ ) + 2 2 K ln(b / ρ )= ρ = ∇ 2Vφ + 2 K ln(b / ρ ) 0 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z 48. Önceki alıştırmadaki potansiyel dağılımın ∫ Vφ ∇ Vφ dv + ∫ | ∇Vφ | 2 v 2 v teoremini de doğruladığını gösteriniz. dv= ∫ Vφ ∇Vφ ⋅ ds s Green V φ ∂ K ∇Vφ = a ρ K ln(b / ρ ) = − a ρ ⇒ ∇ 2Vφ = 0 ρ ∂ρ a ≤ ρ ≤ b ve 0 ≤ z ≤ 1 hacminde: 2 2 = ∫ | ∇Vφ | dv K ∫ v 1 b a ρ 2 2π 1 0 0 = ρ d ρ ∫ dφ ∫ dz 2π K 2 ln(b / a) ρ = b yüzeyinde = Vφ K= ln(b / b) 0 olduğundan bu yüzeyden katkı sağlanmaz. ρ = a yüzeyinde Vφ = K ln(b / a) ⇒ ∇Vφ = − K K a ρ , ds ρ = a = − adφ dz a ρ a φ dz a ρ ) Vφ ⋅ ds ρ ∫ Vφ ∇= ∫ K ln(b / a) − a a ρ (-ad= =a s s 2π K 1 K ln(b / a ) ∫ = dφ ∫ dz 2π K 2 ln(b / a ) 0 0 a 2 2 ∇ + | ∇ | = ∇ ⋅ V V dv V dv V V ds φ ∫ ∫v φ ∫ s φ φ Böylece Green teoremi doğrulanmaktadır. v φ 0 2π K 2 ln( b / a ) 2π K 2 ln( b / a ) 2.17 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER 1. A, B ve C bir üçgenin üç kenarı ve karşı kenar C kenarı ile θ açısı yapıyorsa vektörleri − cos θ ] . kullanarak C = A2 + B 2 − 2 AB cosθ olduğunu ispatlayınız [cos(π − θ ) = 102 Elektromanyetik Alan Teorisi C = A + B ⇒ C 2 = C ⋅ C = ( A + B) ⋅ ( A + B) = A2 + B 2 + 2 AB cos φ = A2 + B 2 − 2 AB cos θ φ =θ =π / 2 ⇒ C 2 =A2 + B 2 2. Bir paralel kenarın komşu iki kenarı A ve B vektörleri ise (a) iki köşegenin A + B ve A − B − cos θ ] . olduğunu gösteriniz, (b) köşegenler arasındaki ilişkiyi gösteriniz [cos(π − θ ) = C = A + B ⇒ C 2 = C ⋅ C = ( A + B) ⋅ ( A + B) = A2 + B 2 + 2 AB cos φ = A2 + B 2 − 2 AB cos θ φ =θ =π / 2 ⇒ C 2 =A2 + B 2 D = A − B ⇒ D 2 = D ⋅ D = ( A − B) ⋅ ( A − B) = A2 + B 2 − 2 AB cos φ = A2 + B 2 + 2 AB cos θ φ =θ =π / 2 ⇒ D 2 =A2 + B 2 0 2 C ⋅ D = ( A + B ) ⋅ ( A − B ) = A − A ⋅ B + B ⋅ A − B 2 = A2 − B 2 A = B iken C ⋅ D = A2 − A2 =B 2 − B 2 = 0 veya C ⊥ D 3. (paralel kenar) (eşkenar dörtgen) 0 olduğunu gösteriniz. A , B ve C ortak düzlemde bulunan vektörler ise A ⋅ (B × C) = D= B × C vektörü hem B ve hem de C ’ye dik olduğundan D ⊥ A ve buradan D ⋅ A = 0 dir. Vektör Analizi 103 4. P(x,y,z) noktası (2,3,4)’de merkezi bulunan kürenin yüzeyinde bir nokta ise vektörleri kullanarak küre eşitliğini elde ediniz. R = ( x − 2)a x + ( y − 3)a y + ( z − 4)a z ⇒ R ⋅ R = R 2 = ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 + ( z − 4) 2 ; R: küre yarıçapı 5. A a x cos α + a y sin α , B = a x cos β − a y sin β ve C = a x cos β + a y sin β veriliyor. Her birinin = bir birim vektör olduğunu gösteriniz. Eğer β < α ise bu vektörleri çiziniz ve bunların aynı düzlemde olduğunu gösteriniz. Bu vektörleri kullanarak sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ve sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β trigonometrik özdeşliklerini elde ediniz. A = a x cos α + a y sin α ⇒ A2 = A ⋅ A = cos 2 α + sin 2 α = 1 B = a x cos β − a y sin β ⇒ B 2 = B ⋅ B = cos 2 β + sin 2 β = 1 C = a x cos β + a y sin β ⇒ C 2 = C ⋅ C = cos 2 β + sin 2 β = 1 ax ay az 1 0 = A×B = −a z AB sin(α + β ) ⇒ A × B =cos α sin α −a z (sin α cos β + cos α sin β ) cos β ax 1 A×C = −a z AC sin(α − β ) ⇒ A × C =cos α cos β − sin β ay sin α sin β 0 sin(α= + β ) sin α cos β + cos α sin β az −a z (sin α cos β − cos α sin β ) 0 = 0 − β ) sin α cos β − cos α sin β sin(α= 6. A = a x + a y + a z ve B = 4a x + 4a y + a z ise A ’dan B ’ye uzunluk vektörü ve büyüklüğü nedir? D = B − A = 3a x + 3a y ⇒ D = 32 + 32 = 18 7. A = 3a x + 2a y − a z ve B = a x − 2a y + 3a z ise (a) A + B , (b) A ⋅ B , (c) A × B , (d) A ve B ’ye normal birim vektörü, (e) A ve B arasındaki en küçük açı ve (f) B üzerine A ’nın skaler ve vektörel izdüşümleri nedir? 104 Elektromanyetik Alan Teorisi 3 −1 Ax cos −1 = = θ Ax cos = 36,70° A 14 Ay 2 A = 3a x + 2a y − a z ⇒ A2 = 32 + 22 + 1 = 14 ⇒ θ Ay = cos −1 = cos −1 = 57,69° 14 A −1 Az θ A cos −1 = = cos −1 = 105,50° z A 14 −1 Bx = cos −1 θ Bx cos = B By B =a x − 2a y + 3a z ⇒ B 2 =1 + 22 + 32 =14 ⇒ θ By =cos −1 =cos −1 B Bz θ B cos −1 = = cos −1 z B 1 = 74, 49° 14 −2 =122,31° 14 3 = 36,70° 14 Vektör Analizi 105 A + B= (3a x + 2a y − a z ) + (a x − 2a y + 3a z )= 4a x + 2a z A ⋅ B =(3a x + 2a y − a z ) ⋅ (a x − 2a y + 3a z ) =3 − 4 − 3 =−4 C = 180 2 2 C = A × B = (3a x + 2a y − a z ) × (a x − 2a y + 3a z ) = 4a x − 10a y − 8a z = 4 + 10 + 82 a n C 4 10 8 an = = ax − ay − az C 180 180 180 A⋅B 4 cos α = 106,6° veya -106,6° = − ⇒α = AB 14 14 C en küçük açı: 106,6° A×B 180 = + ⇒α = sin α = 73,39° veya 106,6° AB 14 14 A⋅B 4 − B üzerine A ’nın skaler izdüşümü: A ⋅ a B = = B 14 B üzerine A ’nın vektörel izdüşümü: 4 a x − 2a y + 3a z 4 4 B − − aB = − = 14 14 14 14 B 4 − ( a x − 2a y + 3a z ) = 14 8. P ve Q noktalarının pozisyon vektörleri 5a x + 12a y + a z ve 2a x − 3a y + a z olarak veriliyor. P den Q’ye uzunluk vektörü nedir? Uzunluğu nedir? Uzunluk segmenti xy düzlemine paralel midir? P ve Q noktalarının koordinatları nedir? r1 =OP =5a x + 12a y + a z , r2 = OQ = 2a x − 3a y + a z PQ =r =r2 − r1 =−3a x − 15a y ⇒ r =PQ = 32 + 152 = 234 PQ vektörü z bileşeni olmadığından xy düzlemindedir. 9. A = 5a x − 5a y , B = 3a x − 7a y − a z ve C = −2a x − 2a y − a z vektörlerinin dik açılı bir üçgenin kenarlarını oluşturduğunu gösteriniz. Vektörel çarpım kullanarak üçgenin alanını hesaplayınız. B= A + C olduğundan bir üçgen oluştururlar. A ⋅ C =A =(5a x − 5a y ) ⋅ (−2a x − 2a y − a z ) =−10 + 10 + 0 =0 olduğundan A ⊥ C dir. 106 Elektromanyetik Alan Teorisi Üçgenin alanı: 1 2 A × C = 12 −5a x − 5a y − 20a z = 12 450 10. A = 6a x + 5a y − 10a z ve B = 5a x + 2a y + 4a z ’nin ortogonal vektörler olduğunu gösteriniz. A ⋅ B = 30 + 10 − 40 = 0 ⇒ A ⊥ B 11. A = −2a x − 3a y + a z , B = 2a x − 5a y + 3a z ve C = 4a x + 2a y + 6a z vektörleri ile biçimlenen paralel kenarlı prizmanın hacmini belirleyiniz. −2 −3 1 2 −5 3= 48 4 2 6 A ⋅ (B × C)= 12. A = 4a x − 3a y + a z ve B = 2a x − a y − 4a z vektörlerine normal birim vektörü bulunuz. C = Ca n = A × B = 2a x + 6a y + 10a z C 2 6 10 C = 2 + 6 + 10 = 140 ⇒ a n = = ax + ay + az C 140 140 140 2 2 2 13. Vektörleri kullanarak P(1,1,1), Q(3,2,5) ve S(5,7,9) noktaları ile biçimlenen üçgenin alanını bulunuz. A = PQ = 2a x + a y + 4a z , B = PS = 4a x + 6a y + 8a z Üçgenin alanı: 1 2 A × B = 12 −16a x + 8a z = 12 320 14. A = 4a x − 3a y + a z ve B = 2a x + a y − a z vektörleri arasındaki en küçük açıyı bulunuz. A⋅B cos= θ = AB 8 − 3 −1 = 4 + 3 + 1 2 + 1 + 12 2 2 2 2 4 ⇒= θ 71,3215° 156 15. Silindirik koordinat sisteminde uzayda ortak bir noktada iki vektörün A = 3a ρ + 5aφ − 4a z ve B = 2a ρ + 4aφ + 3a z olarak veriliyor. (a) A + B , (b) A ⋅ B , (c) A ve B ye normal birim vektörü, (e) A ve B arasındaki en küçük açı ve (f) A ’nın skaler ve vektörel izdüşümleri nedir? A + B = (3 + 2)a ρ + (5 + 4)aφ + (−4 + 3)a z = 5a ρ + 9aφ − a z A ⋅ B = 3 × 2 + 5 × 4 − 4 × 3 = 6 + 20 − 12 = 14 A⋅B = = cos α AB 14 32 + 52 + 42 = 22 + 42 + 32 14 1450 ⇒α = 68, 4287° bileşenleri A × B , (d) B üzerine Vektör Analizi 107 = 31a ρ − 17aφ + 2a z ⇒ A × B= A×B 2 312 + 17 2 + 2= 1254 31 17 2 A×B a n = = aρ − aφ + az 1254 1254 1254 A×B A⋅B 14 14 A ’nın B üzerine skaler izdüşümü: A ⋅ a B= = = 2 2 2 B 29 2 +4 +3 A⋅B A ⋅ B B 14 ⋅ a B= ⋅ = (3a ρ + 5aφ − 4a z ) A ’nın B üzerine vektörel izdüşümü: ( A ⋅ a B ) ⋅ a B= B B B 29 16. Silindirik koordinat sisteminde P(5,π/6,5) ve Q(2,π/3,4) olarak verilen iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplayınız. P (5, π / 6, 2) noktası= P (5 × cos30°,5 × sin 30°,5) veya P (5 3 / 2,5 / 2,5) noktası Q(2, π / 3, 4) noktası= Q(2 × cos 60°, 2 × sin 30°, 4) veya Q(1, 3, 4) noktası r= PQ = (1 − 5 3 / 2)a x + ( 3 − 5 / 2)a y + (4 − 5)a z = (1 − 5 3 / 2)a x + ( 3 − 5 / 2)a y − a z 17. P(1,π/2,2) noktasında A = 2a ρ + 3aφ ve Q(2,π,3) noktasında B = −3a ρ + 10aφ veriliyor. (a) A + B , (b) A ⋅ B , (c) A × B ve (d) A ve B arasındaki açıyı belirleyiniz. P (1, π / 2, 2) noktasında A = 2a ρ + 3aφ ⇒ A = 2a y − 3a x Q(2, π ,3) noktasında B = −3a ρ + 10aφ ⇒ B = 3a x + 10a z A ⋅ B =(2a y − 3a x ) ⋅ (3a x + 10a z ) =2 × 0 − 3 × 3 + 0 × 10 =−9 A⋅B θ = cos= AB −9 θ 103,83° ⇒= 13 109 A + B= (2a y − 3a x ) + (3a x + 10a z )= 2a y + 10a z ) 20a x + 30a y − 6a z A × B= (2a y − 3a x ) × (3a x + 10a z = 18. A = −7a r + 2aθ + aφ ve B =a r − 2aθ + 4aφ vektörü uzayda aynı noktada veriliyor. (a) 2A − 3B , (b) A ⋅ B , (c) A × B (d) A ve B ’ye normal birim vektörü ve (e) A ve B arasındaki açıyı hesaplayınız. 2 A − 3B = 2(−7a r + 2aθ + aφ ) − 3(a r − 2aθ + 4aφ ) = −17a r + 10aθ − 10aφ 108 Elektromanyetik Alan Teorisi A ⋅ B =−7 − 4 + 4 =−7 , A × B= 10a r + 29aθ + 12aφ , A × B= 102 + 292 + 122= 1085 7 A⋅B −7 cos α == = − ⇒ α 102° 2 2 2 2 2 2 AB 1134 7 + 2 +1 1 + 2 + 4 10 29 12 A×B a n = = ar + aθ + aφ 1085 1085 1085 A×B 19. A = −7a r + 2aθ + aφ P(2,π/4,π/4) noktasında ve B =a r − 2aθ + 4aφ vektörü ve Q(10,π/2,π/2) noktasında veriliyor. (a) 2 A − 2B , (b) A ⋅ B , (c) A × B (d) A ve B ’ye normal birim vektörü ve (e) A ve B arasındaki açıyı hesaplayınız. Ax Ay = Az sin 45° cos 45° cos 45° cos 45° − sin 45° −7 sin 45° sin 45° cos 45° sin 45° cos 45° 2 = − sin 45° 0 1 cos 45° 1/ 2 1/ 2 1 / 2 − 1 / 2 −7 1 / 2 2 0 1 1/ 2 1/ 2 − 1/ 2 (−5 / 2 − 1 / 2)a x + (−5 / 2 + 1 / 2)a y − (7 1 / 2 + 2)a z Ax a x + Ay a y + Az a z = A= Bx B = y Bz sin 90° cos90° cos90° cos90° − sin 90° 1 sin 90° sin 90° cos90° sin 90° cos90° −2 = cos90° 0 4 − sin 90° 0 0 −1 1 1 0 0 −2 0 −1 0 4 B= −4a x + a y + 2a z Bx a x + By a y + Bz a z = 2 A − 3B =2[(−5 / 2 − 1 / 2)a x + (−5 / 2 + 1 / 2)a y − (7 2 + 2 2)a z ] − 3[−4a x + a y + 2a z ] = (7 − 1 / 2)a x + (−8 + 2)a y − (−6 + 9 2)a z A⋅B = 15 / 2 − 13 1 / 2 A×B = [ Ay Bz − Az By ]a x + [ Az Bx − Ax Bz ] a y + [ Ax By − Ay Bx ] a z A × B = [7 1 / 2 + 2 2 − 5]a x + [19 2 + 5] a y − [25 / 2 + 1 / 2 − 2 2] a z = A×B [7 1 / 2 + 2 2 − 5]2 + [19 2 + 5] 2 + [−25 / 2 − 1 / 2 += 2 2]2 A⋅B cos α = = AB 3973 195 + = 33,6324 4 2 15 / 2 − 13 1 / 2 (−5 / 2 − 1 / 2) 2 + (−5 / 2 + 1 / 2) 2 + (7 1 / 2 + 2) 2 42 + 12 + 22 = 15 2 − 26 ⇒ α 92, 88 7 36 −0 ,0502566 Vektör Analizi 109 [19 2 + 5] [25 / 2 + 1 / 2 − 2 2] A × B [7 1 / 2 + 2 2 − 5] = an ax + ay + az 3973 195 3973 195 3973 195 A×B + + + 4 4 4 2 2 2 0,0826042052392651 0,9476009148561804 0,30859204694956 20. Küresel koordinat sisteminde P (10, π / 4, π / 3) ve Q(2, π / 2, π ) olarak verilen iki nokta arasındaki uzaklığı bulunuz. P den Q’ye uzunluk vektörü nedir? P (10, π / 4, π / 3) noktası = P (10 × sin 45° × cos 60°,10 × sin 45° × sin 60°,10 × cos 45°) veya P ( 25 / 2, 75 / 2, 50) noktası Q(2, π / 2, π ) noktası = Q(2 × sin 90° × cos180°, 2 × sin 90° × sin180°, 2 × cos90°) veya Q(−2,0,0) noktası ( 2 − 25 / 2)a x + (0 − 75 / 2)a y + (0 − 50)a z PQ =− 200 + 104 PQ = (−2 − 25 / 2) 2 + (− 75 / 2) 2 + (− 50) 2 = 21. f = 12 xy + z skaler fonksiyonu veriliyor, (0,0,0)’dan (1,1,0)’a düz bir hat boyunca ∫ f d ve ∫ f d ’yi bulunuz. 0,0,0 'dan 1,1,0 'a düz çizgi = y x= ve z 0 1 1 f d = 12 ∫ x 2 dxa x + ∫ y 2 dya y = 4a x + 4a y ∫c12 xy(dxa x + dya y ) =∫c12 xydxa x + ∫c12 xydya y = 0 0 ∫ c ∫ c 2 2 1 dy dx 2 f= d ∫ 12 xy dx + dy dx 12 ∫ x 2 1 + = dx 12 2 ∫ x= dx 4 2 = 12 ∫ xy 1 + = c c c 0 dx dx 2 2 1 22. z yönünde sonsuz uzunlukta yüklü bir iletkenin oluşturduğu elektrik alan şiddeti a E = (10 / ρ ) a ρ V/m’dir. ρ = a noktasının ρ = b noktasına göre potansiyeli = Vab -∫ E ⋅ d ise b a=10 cm ve b=80 cm durumunda potansiyeli hesaplayınız. a a 0,1 10 0,1 Vab = −∫ E ⋅ d = −∫ E ⋅ d = −∫ aρ ⋅ d ρaρ = −10ln = 10ln 8 b b 0,8 ρ 0,8 23. 20 m yarıçapında dairesel bir diskin yüzeyindeki elektron yoğunluğu ne = 300 ρ cos2 φ elektron/m2 olarak veriliyor. Disk yüzeyinde bulunan elektron sayısını belirleyiniz. Diskteki toplam yük nedir? = N 20 2π 0 0 ne ds 300∫ ρ 2 d ρ ∫ cos 2= φ dφ 300 ∫= s ρ3 3 20 0 2π φ 1 φ 800000π elektron + sin 2= 2 4 0 110 Elektromanyetik Alan Teorisi Q= −800000π × 1,6 × 10−19 = −128π × 10−15 C 24. f = xyz ise z = 0 ve z = 2 düzlemleri ile sınırlanan ve birinci çeyrekte 2 yarıçapında bir silindirin eğimli yüzeyinde ∫ fds ’yi hesaplayınız. f = xyz = 2cos φ × 2sin φ × z ∫ fds = 8∫ 1 z2 cos φ sin φ dφ ∫ zdz 8= 2 = − cos φ ) ( 0 0 2 0 π /2 0 1 π /2 2 1 2 1 2 25. F = x 3a x + x 2 ya y + x 2 za z vektör alanı için z = 0 ve z = 2 düzlemleri ile sınırlanan ve 4 yarıçapında bir silindirin yüzeyinden geçen toplam ∫ F ⋅ ds akısını belirleyiniz. Yüzey 1: ∫ s1 F ⋅ ds = 1 2π 2π 3 2 2 2 ( cos x a + x y a + ρ φ z a ) ⋅ ρ d ρ dφ= a z 2 ∫ ρ 3 d ρ ∫ cos 2 φ dφ y ∫s1 x z 0 0 2 x2 4 ρ4 2π 1 256π = 2= φ + sin 2φ 4 0 4 0 Vektör Analizi 111 Yüzey 2: ∫ s2 = F ⋅ ds 2 ∫ s2 (x 3a x + x 2 ya y + x 2 za z ) ⋅ 4dφ dza ρ cos φ sin φ 4sin φ 0 2 2 2 = 4 ∫ ( 4 cos φ a x ⋅ a ρ + 4 cos φ y a y ⋅ a ρ + x z a z ⋅ a ρ ) ⋅ dφ dz s2 3 3 x3 = 44 (∫ x2 2π 0 2π cos 4 φ dφ + ∫ cos 2 φ sin 2 φ dφ 0 ) ∫ dz 2 0 2π 2π 1 1 φ 1 2 4 3φ = + − sin 4φ z 0 512π ∫s2 F ⋅ ds2 4 8 + 4 sin 2φ + 32 sin 4φ = 0 8 32 0 π Yüzey 3: ∫ s3 ⋅ ds3 F= 3 2 2 cos 2 φ z a z ) ⋅ (− ρ d ρ d= ρ φa z ) 0 ∫s3 (x a x + x ya y + 0 x2 = ∫ F ⋅ ds 256π + 512π += 0 768π 26. F = xa x ise (a) x=0’dan x=1’e x ekseni boyunca, (b) φ=0’dan φ=π/2’ye 1 yarıçapında bir yay boyunca ve (c) y=1’den y=0 ’a y ekseni boyunca xy düzleminde ∫ F ⋅ d yi hesaplayınız. c1 boyunca: ∫ c1 F ⋅ d= 1 xa x ⋅ dxa= x 0 2 ∫ 1 dφ aφ − sin φ π /2 π /2 1 cos φ a x ⋅ aφ dφ = − ( − 12 cos 2 φ ) = − c2 boyunca: ∫ F ⋅ d = ∫ c1 0 0 2 c3 boyunca: ∫ c3 F ⋅ d= c1 + c2 + c3 boyunca: ∫ 0 1 xa x ⋅ dxa= 0 y F 0 ∫ ⋅ d = 112 Elektromanyetik Alan Teorisi 27. F = xya x ise φ = π / 3 iken θ = 0 ’dan θ = π ’ye 2 yarıçapında bir yay boyunca hesaplayınız. 3/2 1/ 2 1 sin θ , y 2sin = θ cos φ = cos θ= cos φ = cos θ , x 2sin a= = θ sin φ x ⋅ aθ 2 = ∫ F ⋅ d π 3 ∫ sin 2 θ= cos θ dθ 0 c ∫ F ⋅ d ’yi 3 sin θ 1 0 3(= sin 3 θ ) 3 π 0 D (2 + 16ρ 2 ) a z olarak verilmişse xy düzleminde ρ=2 yarıçapında dairesel bir 28. Bir bölgede = yüzeyden geçen ∫ D ⋅ ds ’yi belirleyiniz. ∫ D ⋅ ds= ∫ 2 0 2π (2 + 16ρ 2 )ρ dρ ∫ dφ= 0 (∫ 2 0 2 2ρ dρ + ∫ 16ρ 3dρ 0 )∫ 2π 0 ρ2 2 ρ4 dφ= 2 + 16 2 0 4 2π φ 0 = 512π 0 2 D (2 + 16r 2 )a z ise 0 ≤ θ ≤ π/2 ve r =2 ile sınırlanan yarı küresel bir yüzey üzerinde 29. = ∫ D ⋅ ds ’yi belirleyiniz. D ∫ ⋅ ds= ∫ π /2 0 a z ⋅a r 2π π /2 2π 2 2 (2 + 16 × 2 )2 cosθ sin θ dθ ∫ dφ = 264 − 12 cos 2 θ 264 π φ0 = 0 0 ) ( 1 2 30. Bir bölgede D = 10cosφ a ρ olarak verilmişse xy düzleminde ρ = 2 yarıçapında dairesel bir yüzeyden geçen ∫ D ⋅ ds yi belirleyiniz. a ρ ⋅ a z =0 ⇒ ∫ D ⋅ ds =0 31. D = 10cosθ a r ise 0 ≤ θ ≤ π/2 ve r=2 ile sınırlanan yarı küresel yüzey üzerinde ∫ D ⋅ ds ’yi belirleyiniz. = ∫ D ⋅ ds ∫10cosθ a r ) ( 2π π /2 π /2 2π dφ a r 40 ∫ cosθ sin θ dθ= dφ 40 − 12 cos 2 θ = φ 0 40π ⋅ 4sin θ dθ = ∫ 0 0 0 1 2 Vektör Analizi 113 32. Orijinde bulunan küresel yük dağılımı, 0 ≤ r ≤ a için ρ = kr 2 olarak veriliyor; k bir sabittir. Kürenin içindeki toplam yükü belirleyiniz. a π 2π 0 0 Q= k ∫ r dr ∫ sin θ dθ ∫ ∫ ρv dv = v 0 4 a ( ) r5 4 π 2π − cos θ 0 φ 0 = dφ = k kπ a 5 C 5 0 5 33. F= xy 2a x + y (1 + x 2 )a y ise (a) 3 yarıçapında bir dairenin çevresi boyunca dairenin yüzeyinde ∫ F ⋅ ds ’yi hesaplayınız. ⋅ d F ∫ = 2 φ aφ ∫ [ xy a x + y(1 + x )a y ] ⋅ 3d= 2 F ∫ ⋅ d ve (b) aynı cos φ − sin φ 2 2 cos φ ) a y ⋅ aφ ] ⋅ 3dφ φ 3sin φ ⋅ + 3sin φ (1 + 3 ∫ [3cos a x aφ 2 2 y y2 x x2 2π 2π sin 4 φ 2π 1 1 + 3 − cos 2 φ + 33 − cos 4 φ = 0 = 3 33 − 4 0 2 4 0 0 0 0 0 ds F ∫ ⋅= 2 az ∫ [ xy a x + y(1 + x )a y ] ⋅ ρ d ρ dφ= 2 0 0 2 φ 0 ∫ [ xy a x ⋅ a z + y(1 + x ) a y ⋅ a z ] ⋅ ρ d ρ d= 2 34. f = x 3 y 2 z ise P (2,3,5) noktasında ∇f ve ∇2f ’yi belirleyiniz. ∂ ∂ ∂ 3 2 z a x 3 x 2 y 2 z + a y 2 x 3 yz + a z x 3= y 2 540a x + 240a y + 72a z = ∇f a x + ay + a z x y= x y z ∂ ∂ ∂ P (2,3,5) noktasında ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇f = ∂ 2 2 ∂ ∂ 3 x y z + 2 x 3 yz + x 3 y 2 = 6 xy 2 z + 2 x 3 z + 0 = 540 + 80 + 0 = 620 ∂x ∂y ∂z P (2,3,5) noktasında 35. Silindirik koordinat sistemini kullanarak ∇(ln ρ ) − ∇ × (a zφ ) = 0 olduğunu ispatlayınız. aρ 1 ∂ 1 ∂φ 1 ∇φ = aφ aφ , ∇ × [a z ln ρ ) = (a)= ρ ∂ρ ρ ∂φ ρ 0 ρ aφ ∂ ∂φ 0 (a) ∇φ + ∇ × [a z ln ρ ] = 0 ve (b) 1 ρ az ∂ 1 ∂ 0 ∂ ln ρ 1 = − ρ aφ = − aφ ∂z ρ ∂z ∂ρ ρ ln ρ 1 a ρ φ 1 − aφ ρ ∇φ + ∇ × [a z ln ρ ] = 0 114 Elektromanyetik Alan Teorisi aρ 1 ∂ ln ρ 1 ∂ × [a zφ ] ρ = aρ a ρ , ∇= (b) ∇ ln= ρ ∂ρ ρ ∂ρ 0 az 1 ∂ ∂ 1 ∂φ ∂ 0 1 = aρ −= aρ ∂φ ∂z ρ ∂φ ∂z ρ φ 0 ρ aφ ln [ ∇ ρ − ∇ × a zφ ] = 0 1 a ρ ρ 36. Küresel koordinat sistemini kullanarak ∇φ − ∇ × [( r∇θ ) / sin θ ] = 0 olduğunu ispatlayınız. (a) 1 a ρ ρ ∇(1 / r ) − ∇ × (cosθ ∇φ ) = 0 ve (b) ∂1 1 1 ∂φ 1 a , ∇φ = aφ aφ , (a) ∇ 1r = r a r =− = 2 r ∂r r r sin θ ∂φ r sin θ ∇φ ar 1 ∂ 1 ∇ × (cosθ ∇φ ) = ∇ × cos θ aφ = 2 r sin θ r sin θ ∂r Fr r aθ ∂ ∂θ rFθ r sin θ aφ 1 1 ∂ sin θ a r = − 2 a r =− 2 r sin θ r ∂φ cos θ r sin θ r sin θ − 1 a 2 r − 1 a 2 r r r ∇(1 / r ) − ∇ × (cosθ∇φ ) = 0 (b) ∇θ= 1 ∂θ 1 r ∇θ 1 aθ= aθ ⇒ = aθ , r ∂θ r sin θ sin θ 1 aθ ar sin θ 1 ∂ r ∇θ = ∇× 2 sin θ r sin θ ∂r 0 r aθ r sin θ aφ r ∂ 1 1 ∂ ∂ sin θ aφ = 2 = − 0 r sin θ aφ sin θ ∂θ ∂φ r sin θ ∂r r r 0 sin θ r ∇θ ∇ φ −∇× =0 sin θ 1 aφ r sin θ 1 aφ r sin θ 37. E = yza x + xza + xya z vektör alanının hem sürekli (selenoidal) ve hem de korunumlu (rotasyonel olmayan) olduğunu gösteriniz. ∇ ⋅ E= ∂ ∂ ∂ yz + xz + xy = 0 ⇒ E selenoidal veya sürekli alandır ∂x ∂y ∂z Vektör Analizi ax ∂ ∇ = ×E ∂x yz 115 a y az ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = a x + ay + a z × yza x + xza y + xya z ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z xz xy = ( x − x)a x + ( y − y )a y + ( z − z )a z = 0 E korunumlu alandır 38. Vektör alanı A = Ax a x + Ay a y + Az a z ise dikdörtgen koordinat sistemi kullanarak ∇ ⋅ (∇ × A) = 0 ve (b) ∇ × (∇f ) = 0 olduğunu doğrulayınız. ∂ ∂x ∂ ∇ ⋅ (∇ × A) = ∂x Ax ax ∂ ∇= × ∇f ∂x ∂f ∂x ∂ ∂y ∂ ∂y Ay (a) ∂ 0 0 0 ∂z 2 2 2 2 2 ∂ ∂ Az ∂ Ay ∂ Ax ∂ Az ∂ Ay ∂ 2 Ax = − − − + =0 + ∂z ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z Az 0 0 0 a y a z 2 2 2 2 2 2 ∂ f ∂ ∂ ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f = − − − = ax + ay + az 0 ∂y ∂z ∂y∂z ∂z∂y ∂x∂z ∂z∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂f ∂f ∂y ∂z 39. Elektrostatik alanlar bölümünde görüleceği gibi E elektrik alan şiddeti bir skaler fonksiyonun negatif gradyanı olarak tanımlanır, E = −∇V . Hacim yük dağılımı da ρ v = ε o E olarak tanımlanır; εo boşluğun elektriksel geçirgenliğidir. (a) silindirik koordinatlarda V = Voφ ln( ρ / a ) , (b) küresel koordinatlarda V = Vo r cosθ ve (c) V = Vo r sin θ ise E ve ρ v ’yi belirleyiniz; Vo ve a sabitlerdir. (a) Vφ V ∂ 1 ∂ ∂ V = Voφ ln( ρ / a ) ⇒ E = −∇V = − a ρ + aφ + a z Voφ ln( ρ / a ) = − o a ρ − o ln( ρ / a )aφ ρ ∂φ ρ ρ ∂z ∂ρ 1 ∂ Voφ 1 ∂ Vo ∇ ⋅ E= ρ− + − ln( ρ / a ) = 0 ⇒ ρ v = ε 0∇ ⋅ E = 0 ρ ∂ρ ρ ρ ∂φ ρ ∂ 1 ∂ 1 ∂ (b) V = Vo r cos θ ⇒ E = −∇V = − a r + aθ + aφ Vo r cos θ = −Vo cos θ a r + Vo sin θ aθ r ∂θ r sin θ ∂φ ∂r 116 Elektromanyetik Alan Teorisi 1 ∂ 1 1 ∂ 2 2 ∂ (sin 2 θ Vo ) + ( Eφ ) = − Vo cos θ + Vo cos θ = 0 ∇ ⋅ E = 2 (−r 2Vo cos θ ) + r ∂r r sin θ r r ∂θ r sin θ ∂φ 0 2cos θ sin θ Vo ⇒ ρ v = ε 0∇ ⋅ E= 0 ∂ 1 ∂ 1 ∂ (c) V = Vo r sin θ ⇒ E = −∇V = − a r + aθ + aφ Vo r sin θ = −Vo sin θ a r − Vo cos θ aθ r ∂θ r sin θ ∂φ ∂r = ∇⋅E 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ (−r 2Vo sin θ ) + (− sin θ cos θ Vo ) + ( Eφ ) 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 0 sin 2 θ Vo V sin θ 2 1 = − Vo sin θ + Vo sin θ = − o r r r V ρv = ε 0∇ ⋅ E = −ε 0 o r sin θ 40. (a) ∇( fg ) = f∇g + g∇f , (b) ∇ ⋅ ( f A) = f∇ ⋅ A + A ⋅ ∇f özdeşliklerini doğrulayınız. ve (c) ∇ × ( fA) = f∇ × A + ∇f × A (a) ∂f ∂g ∂f ∂g ∂f ∂g ∇( fg ) = f + g ax + f + g ay + f + g az ∂x ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂g ∂g ∂g ∂f ∂f ∂f + ay + a z + g a x + a y + a z = f ∇g + g ∇f =f a x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x = f A fAx a x + fAy a y + fAz a z ⇒ ∇ ⋅ ( = f A) ∂f ∂f ∂f ∇⋅(= f A) ( Ax a x + Ay a y + Az a z ) ⋅ a x + a y + a z + ∂y ∂z ∂x ∂A ∂Ay ∂Az + f x+ ∂y ∂z ∂x ∇ ⋅ ( f A ) = f ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇f (b) ∇ × (= fA ) (c) ∂ ∂ ∂ ∂f ∂f ∂f + Ay + Az fAx + fAy + = fAz Ax ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ax ∂ ∂x fAx ay az ∂fA ∂fAy ∂fAx ∂fAz ∂fAy ∂fAx ∂ ∂ ay + = z − − − ax + az ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x fAy fAz ∂Ay ∂A ∂f ∂f = f z + Az −f − Ay a x + f ∂y ∂z ∂z ∂y + f ∂Ax ∂A ∂f ∂f + Ax − f z − Az a y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂Ay ∂x + Ay ∂A ∂f ∂f − f x − Ax a z ∂y ∂x ∂y Vektör Analizi 117 ∂A ∂Ay ∂Ax ∂Az ∇= × ( fA ) f z − − ax + ∂z ∂x ∂z ∂y ∂Ay ∂Ax a y + ∂x − ∂y a z ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f + Az − Ay a x + Ax − Az a y + Ay − Ax a z ∂z ∂z ∂z ∂y ∂y ∂y ∇ × ( fA ) = f ∇ × A + ∇ f × A ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ sin φ + ρ cos φ − ρ sin φ cos φ ve = (b) 41. Silindirik koordinat sisteminde= (a) ∂y ∂ρ ∂φ ∂x ∂ρ ∂φ olduğunu gösteriniz. d ρ cos φ dx + sin φ dy = x ρ cos φ ⇒ = dx cos φ d ρ − ρ sin φ dφ = − ρ1 sin φ dx + ρ1 cos φ dy y ρ sin φ ⇒ dy = = sin φ d ρ + ρ cos φ dφ dφ = sin φ − ρ sin φ cos φ cos φ ∂ρ ∂ρ ∂ ∂ ∂ρ ∂ ∂φ ∂ 1 ∂ = d ρ dx + dy = + =cos φ − ρ sin φ ∂x ∂ρ ∂φ ∂y ∂x ∂ρ ∂x ∂φ ∂x ∂φ ∂ ∂ ∂ ∂ρ ∂ ∂φ ∂ 1 ∂φ = dφ dx + dy = + ρ cos φ + =sin φ ∂x ∂y ∂φ ∂y ∂ρ ∂y ∂φ ∂y ∂ρ 1 cos φ 1 cos φ − ρ1 sin φ φ sin ρ ρ 1 42. Silindirik koordinat sisteminde 1 ∂ ∂ ∂2 ∂2 ∂2 + ρ + = ρ olduğunu gösteriniz. ∂x 2 ∂y 2 ρ 2 ∂ρ ∂ρ ∂φ 2 ∂2 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ = = − ρ sin φ − ρ sin φ cos φ cos φ = 2 ∂x ∂x ∂x ∂ρ ∂φ ∂ρ ∂φ ∂2 ∂2 ∂2 1 1 − − + cos sin sin cos φ φ φ φ ∂ρ 2 ρ ∂ρ∂φ ρ ∂φ∂ρ sin 2 φ ρ2 ∂2 ∂φ 2 ∂2 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ = = + ρ cos φ + ρ cos φ sin φ sin φ = 2 ∂y ∂y ∂y ∂ρ ∂φ ∂ρ ∂φ ∂2 ∂2 ∂2 sin 2 φ 2 + ρ1 cos φ sin φ + ρ1 sin φ cos φ + ∂ρ ∂ρ∂φ ∂φ∂ρ cos 2 φ ρ2 ∂2 ∂φ 2 cos 2 φ 1 1 ∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 1 ∂ ∂ ∂2 + = + + = ρ ρ + ∂x 2 ∂y 2 ∂ρ 2 ρ ∂ρ ρ 2 ∂φ 2 ρ 2 ∂ρ ∂ρ ∂φ 2 43. Boşluktaki elektrik alan şiddeti E = Eo cosθ a r - Eo sin θ aθ ise ∇ ⋅ E ve ∇ × E ’yi bulunuz. = ∇⋅E ∂ ∂ 1 ∂ 2 1 1 (r Eo cosθ ) + [sin θ (- Eo sin θ )]= + (0) 0 2 ∂r ∂θ r r sin θ r sin θ ∂φ 2 rEo cosθ −2 Eo cos θ sin θ 118 Elektromanyetik Alan Teorisi r aθ r sin θ aφ ar 1 ∂ ∂ ∂ 0 = 2 r sin θ ∂r ∂θ ∂φ 0 Eo cosθ − rEo sin θ ∇×E 44. b yarıçaplı küre ile sınırlı bölgede E = Eo cosθ a r - Eo sin θ aθ alanı için diverjans teoremini doğrulayınız. ∇ ⋅ E= 1 ∂ 2 1 1 ∂ ∂ (r Eo cosθ ) + [sin θ (- Eo sin θ )] + (0) = 0 ⇒ ∫ ∇ ⋅ Edv = 0 2 v r ∂r ∂θ r sin θ r sin θ ∂φ 2 rEo cosθ ∫ s E ⋅ ds ∫ π 0 −2 Eo cos θ sin θ 2π 2π π 2 ( Eo cosθ a r - Eo sin θ aθ= ) ⋅ a r r sin θ dθ ∫ dφ b 2 ∫ Eo cosθ sin θ dθ ∫ dφ 0 b2 0 0 π 2π 2 0 Eo (− 12 cos 2 θ ) φ 0 = b= 0 0 45. x 2 + y 2 = 16 silindiri ve z = 0 ve z = 2 düzlemleri ile F =x3a x + x 2 ya y + x 2 za z alanı için diverjans teoremini doğrulayınız. 2 ∇ ⋅= F 3 x 2 + x 2 + x= 5 x 2 ⇒ ∫ ∇ ⋅ Fdv = v sınırlanan bir bölgede 64 π 2 4 2π 2 2 2 3 2 ρcos φ ρ d ρ dφ dz = 5 ∫ ρ d ρ ∫ cos φ dφ ∫ dz = 640π ∫v 5 0 0 0 x2 s1 yüzeyinde: F ds1 ∫ ( x 3a x + x 2 ya y + x 2 za z ) ⋅ ρ d ρ dφ= az ∫ ⋅= s1 s1 ∫ s1 x s2 yüzeyinde: 2π 4 2 2 ρ cos φ z ρ d ρ= dφ 2 ∫ ρ 3 d ρ ∫ cos 2 φ= dφ 128π 0 0 2 2 64 π Vektör Analizi ∫ s2 F⋅= ds1 119 ∫ s2 ( x 3a x + x 2 ya y + x 2 za z ) ⋅ ρ dφ dza ρ = ( ρ 3 cos3 φ a x ⋅ a ρ + ρ 2 cos 2 φ ρ sin φ a y ⋅ a ρ + x 2 z a z ⋅ a ρ ) ⋅ ρ dφ dz s2 ∫ cos φ x3 2π x2 2 sin φ y 4 0 2π 2 = 256 ∫ cos 4 φ dφ ∫ dz + 256 ∫ cos 2 φ sin 2 φ dφ ∫ dz = 512π 0 0 0 0 6 π 8 s3 yüzeyinde: 2 2 π 8 2 3 2 2 2 cos 2 φ z ρ d ρ dφ =0 F ρ ∫s3 ⋅ds3 =∫s3 ( x a x + x ya y + x za z ) ⋅ (− ρ d ρ dφ a z ) =−∫s3 0 x2 ∫ s 0 640π = 128π + 512π += F ⋅ ds A [12 + 6ρ 2 ]za z ise 2 yarıçapında bir silindir ve z = −1 ve z = 1 düzlemleri ile sınırlanan bir 46. = bölgede diverjans teoremini doğrulayınız. 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∇ ⋅ A= ( ρ × 0) + (0) + [12 + 6ρ 2 ]z= 12 + 6ρ 2 ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z ∫ ∇⋅A = dv 48 2π 2 2 2π 1 2 dz 192π ∫ (12 + 6ρ ) ρ d ρ ∫ dφ ∫= ∫ A ⋅ ds1= 48 2π 2 2 π 2 z ⋅ a z ρ d ρ ∫0 d φ= 96π ∫0 (12 + 6ρ ) z1 a v s1 0 0 −1 1 ∫ A ⋅ ds 2= ∫ A⋅= ds 3 s2 s3 ∫ s2 0 [12 + 6ρ ]z a z ⋅ a ρ ρ dφ dz= 0 2 48 2π 2 2π 2 dφ 96π z ⋅ ( −a z ) ρ d ρ ∫0 = ∫0 (12 + 6ρ ) −z1 a −1 120 ∫ s Elektromanyetik Alan Teorisi A ⋅ ds= 96π + 0 + 96π= 192π 47. Vektör alanı F = 3 y 2a x + 4 za y + 6 ya z ise x = 0 düzleminde z 2 + y 2 = 4 açık yüzeyi için Stokes teoremini doğrulayınız. ∫ c dlθ 2 ∫ c (3 y a x + 4 za y + 6 ya z ) ⋅ r dθ aθ dl F ⋅= 2 cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ 2 2 [3(4sin sin ) 4(2cos ) 12(2sin sin ) d d θ φ θ θ θ θ φ ⋅ + ⋅ + ⋅ a dθ ] a a a a a ∫ c x θ y θ z θ = y2 z π φ ∫ sin 2 θ cos θ dθ + 8 sin = 12sin 2 φ cos φ y 0 cos π / 2 = 0 0 ∫ π φ cos 2 θ dθ − 24 sin ∫ π 0 0 sin π / 2 1 = sin π / 2 1 = π sin 2 θ dθ π θ 1 θ 1 = 0 + 8 + sin 2θ − 24 − sin 2θ = 4π − 12π = −8π 2 4 0 2 4 0 π /2 ax ∂ F ∇ ×= ∂x 3y2 ay ∂ ∂y 4z π /2 az ∂ ∂ 6 y ∂ 4 z ∂3 y 2 ∂ 6 y ∂ 4 z ∂3 y 2 ax + a z 2a x − 6 ya z = − − − ay + = ∂z ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x 6y ⋅ ds ∫ (2a ∫ ∇ × F= s s x 2 2π )a x −2 ∫ rdr ∫ dθ = −8π − 6 ya z ) ⋅ (− rdrdθ= 0 0 48. z = 0 düzleminde 2 yarıçaplı dairesel bir bölgenin birinci çeyreği üzerinde F = ( x / ρ ) a x fonksiyonu için Stokes teoremini doğrulayınız. Vektör Analizi 121 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × F = 0 − 0 a x + ( x / ρ ) − 0 a y + 0 − ( x / ρ ) a z = − ∂z ∂x ∂y ∂y ∂z ∂y ∂x x x +y 2 2 az ρ cos φ sin φ x y 1 = az 2 2 2 2 2 2 x + y x + y x + y ρ = ∫ ∇ × F ⋅ ds s ∫ s 1 cos φ sin φ a= z ⋅ a z ρ d ρ dφ ρ ∫ 2 0 dρ∫ π /2 ρ 2 2 1 −= cos φ sin φ dφ cos 2 φ 1 = 2 0 2 0 π /2 0 2 1/ 2 1 1 2 x dl = F ⋅ = c1 yolunda: ∫c1 ∫0 ρ a x ⋅ a x dx 2 iken ρ x = φ 0= 2cos φ − sin φ π /2 π /2 x 2 c2 yolunda: ∫ F ⋅ dl = ∫0 ρ a x ⋅ aφ 2dφ =−2 ( − 12 cos φ ) 0 =−1 c2 2 0 x = ∫0 ρ a x ⋅ a y dy 0 φ π= = / 2 iken ρ y F ⋅ d = 2 −1+ 0 = 1 c3 yolunda: = F ∫ ⋅ dl c3 c kapalı yolunda: ∫ c 2 49. r=2 ve 0 ≤ θ ≤ π/2 yarı küresel yüzey üzerinde F = 100 cosθ a r teoremini doğrulayınız. fonksiyonu için Stokes 122 Elektromanyetik Alan Teorisi c kapalı yolunda:= F ∫ ⋅ dl c 0 0 r ⋅ aφ 2d φ ∫ 100cosθ a= c r aθ r sin θ aφ ar ∂ ∂ ∂ 1 100 = sin θ aφ ds açık yüzeyinde: ∇ × F = 2 r sin θ ∂r ∂θ ∂φ r 100cos θ 0 0 = ∫ ∇ × F ⋅ ds s 0 2 100 θ a sin sin θ dθ dφ 0 φ ⋅ a r r= ∫s r 50. f = x 2 ve g = y 2 merkezi orijinde bulunan birim küp (− 12 ≤ x ≤ 12 , − 12 ≤ y ≤ 12 , − 12 ≤ z ≤ 12 ) ile sınırlanan bölgedeki skaler fonksiyonlar ise I. ve II. Green özdeşliklerini doğrulayınız. f= x 2 ⇒ ∇f= 2 xa x ⇒ ∇ 2 f= 2 ∇f ⋅ ∇g = 0 g= y 2 ⇒ ∇g= 2 ya y ⇒ ∇ 2 g= 2 2 = ∫ f ∇ gdv 2∫ 1/ 2 −1/ 2 v 1/ 2 1/ 2 1 2 x= dx ∫ dy ∫ dz −1/ 2 −1/ 2 6 1 Buradan, 1 ∫ v v 0 1 1/ 2 1/ 2 = f ∇g ⋅ ds y ∫ 2 x 2 dx ∫ dz ∫s −1/ 2 −1/ 2 x 2 2 ya y f ⋅ ∇g dv = 0 ∫ ∇ y =1/ 2 f ∇ 2 gdv + ∫ ∇f ⋅ ∇gdv = 1/ 2 1/ 2 1 − y∫ = 2 x 2 dx ∫ dz −1/ 2 −1/ 2 6 ∫ v y = −1/ 2 1 s f ∇g ⋅ ds ⇒ I. Green özdeşliği 1/ 2 1/ 2 1 2 y= dy ∫ dx ∫ dz −1/ 2 −1/ 2 −1/ 2 6 2 = ∫ g∇ fdv 2∫ v 1 g ∇ f ⋅ ds ∫s y∫ 1/ 2 −1/ 2 y 2 2 xa x 1/ 2 1 s ∫ v v 2 f − f ∇ 2 g )dv= 1 / 6 − 1 / 6= 0 1 2 xy 2 dy ∫ dz −1/ 2 ∫ ( f ∇g − g∇f ) ⋅ ds= Böylece, ∫ ( g∇ 1/ 2 x =1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 − y∫ = 2 xy 2 dy ∫ dz −1/ 2 −1/ 2 6 1 x = −1/ 2 1 / 6 − 1 / 6= 0 ( g ∇ 2 f − f ∇ 2 g )dv = ∫ s ( f ∇g − g ∇f ) ⋅ ds ⇒ II. Green özdeşliği 51. F = 5r sinφ a r + r 2 cos φ aφ vektör alanı için (a) aşağıdaki şekilde görülen yönde ABCDA konturu etrafında F ⋅ d ’yi ve (b) ∇ × F ’yi bulunuz. (c) Taralı alan üzerinde ∫ ∇ × F ⋅ ds ’yi ∫ hesaplayınız ve (a)’da bulunan sonuç ile karşılaştırınız. s Vektör Analizi 123 AB konturu üzerinde: ∫ AB F d (5r sinφ a r + r 2 cos φ a= φ ) ⋅ d φ aφ 1 0 1 π /2 π /2 2 2 a ⋅ a + a ⋅ a = φ φ φ φ r d r d r 5 sin cos sin φ 0 = 1 φ φ φ r ∫ ∫ 0 0 π /2 θ= 90° iken r = 1 BC konturu üzerinde: = sin 90° 1 = sin 90° 1 = cos90 ° 0 y F y sin 90° 1 = sin θ × sin φ cos φ 2 = cos 90° 0 d 2 2 15 y2 2 2 ) ⋅ a = 5 sin a ⋅ a + cos a ⋅ a = 5 = dy r φ dy r φ dy φ a + φ a r r (5 sin cos y r y y φ φ r ∫BC ∫ ∫ 1 1 2 2 1 2 90 ve φ =° 90 iken r = θ =° y CD konturu üzerinde: ∫ CD F d 2 (5r sinφ a r + r cos= φ aφ ) ⋅ 2dφ aφ 4 0 1 2 0 2 5 sin 2 2 cos r d r d φ φ a ⋅ a + = φ φ a −8 r φ φ ⋅ aφ ∫π / 2 ∫π / 2 0 90° iken r = 2 θ= DA konturu üzerinde: − sin 0°=0 sin 90° 1 = cos 0° 1 = F x 2 cos 0 1 sin θ cos φ − sin φ d x sin 0° 0 = = 1 1 2 2 φ aφ ) ⋅ dxa x ∫ 5 r sinφ dx a r ⋅ a x + ∫ r cos= φ dx aφ ⋅ a x 0 ∫DA (5r sinφ ar + r cos= 2 2 90° ve φ = 0° iken r = θ= x 1 15 F ∫ ⋅ d = 1 + 2 − 8 = 2 ar 1 ∂ ∇ × (5r sinφ a r + r 2 cos φ aφ ) = 2 r sin θ ∂r 5r sinφ F r aθ ∂ ∂θ 0 r sin θ aφ ∂ ∂φ 3 r sin θ cos φ =r 5 cos θ − 3r cos φ aθ cos φ a r + sin θ si n θ cos 2 θ r 2.44 matrisinden ∇ × F 'nin z bileşeni: cos φ − (5 − 3r sin θ )cos φ = ∇×F z sin θ θ= 90° iken cos90°=0 ve sin90°=1 = ( 3r − 5 ) cos φ a z 7/3 3/ 2 −1 −1 ∇×F z ds z 2 2 π /2 π /2 1 2 3 ∫ ρ d ρ ∫ cos φ dφ − 5 ∫ ρ d ρ ∫ cos φ dφ = ( 3r − 5) cos φ a z ⋅ (a z ρ d ρ dφ ) = ∫s ∇ × F z ⋅ ds z = ∫ s 1 0 1 0 2 θ= 90° iken r = ρ 124 Elektromanyetik Alan Teorisi ε 3 STATİK ELEKTRİK ALANLARI 3.1 GİRİŞ Vektör işlemleri ve hesaplamaları öğrenildikten sonra artık elektromanyetik alan teorisinin keşfi yolunda gereken donanım edinilmiş demektir. Bu bölümde durgun yüklerden dolayı statik elektrik alanlarına (elektrostatik) çalışılacaktır. Bir yük bir noktada yoğunlaştırılmış veya belli bir yolla dağıtılmış olabilir. Her durumda yükün zamanla sabit olduğu varsayılmaktadır. Öncelikle uzayda sabit iki nokta yükü arasındaki elektrostatik kuvveti ilgilendiren Coulomb kanunu ifade edilecektir. Elektrik alan şiddeti birim yük başına kuvvet olarak tanımlandıktan sonra (a) Elektrik alan şiddetinin rotasyonel olmadığı, (b) Elektrostatik alan içinde bir noktadan diğer bir noktaya yükün hareketi sonucu yapılan işin alınan yoldan bağımsız ve sadece yolun uç noktalarına bağlı olduğu vurgulanacaktır. Elektrik alan şiddeti elektrik potansiyeli ile ifade edilecek ve elektrostatik alan içinde bir yükü bir yerden başka bir yere hareket ettirmek için gereken enerji ifadesi çıkarılacaktır. Aynı zamanda elektrostatik alanlarda ortamın etkisi de keşfedilecek ve sınır yük yoğunlukları tanımlanacak; elektrostatik alan problemlerinin çözümünün çeşitli metotları (Gauss kanunu, Poisson ve Laplace eşitlikleri, imaj metodu) incelenecek ve bir kapasitans kavramı geliştirilecek ve bir kapasitörde depolanan enerji ifadesi elde edilecektir. Bu bölümde tartışılan elektrostatik alanların bazı yönleri fizikte tartışılan konuların bir tekrarı olarak gözükebilir. Bazı tekrarlar kısımlar arasında sürekli bir bağlantı sağlamak için olsa da öğrenme işlemini motive etmek için gereklidir. Anlayışlı, zeki bir öğrenci bu tekrarı faydalı bulacaktır. 3.2 COULOMB KANUNU Tarihsel olarak elektrostatikteki miktarsal ilişkiler Fransız fizikçisi Charles Augustin de Coulomb’un deneyleri ile başlamaktadır. Elektrostatik veya statik elektrik, yüklü bir parçacığın 126 Elektromanyetik Alan Teorisi diğeri üzerine etkilediği elektrik kuvveti ile ilgili olarak Coulomb kanununun miktarsal ve deneysel doğrulanabilir ifadesine dayanmaktadır. Bu deneysel kurallar ile başlanarak Maxwell eşitlikleri biçiminde sentezleme bir indüktif yani tümevarımsal yaklaşımdır. Coulomb deneyleri sonucu yüklü iki parçacık arasındaki elektrik kuvvetinin yüklerin çarpımı ile doğru orantılı, yüklerin aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı, yüklerin birbirini birleştiren hat boyunca yönlenmiş ve aynı yükler için itici ve zıt yükler için çekici olduğunu önermektedir. Eğer, q 1 ve q 2 şekil 3.1’de görüldüğü gibi P(x,y,z) ve S(x′,y′,z′) noktalarında bulunan yüklü parçacıklar ise q 2 ’den dolayı q 1 ’e etkiyen elektrik kuvveti aşağıdaki gibi ifade edilmektedir. qq F12 = K 1 2 2 a12 R12 (3.1) Şekil 3.1 İki nokta yükü arasındaki elektrik kuvveti (3.1) eşitliğinde; (a) F12 q 2 ’den dolayı q 1 ’e etkiyen kuvvet, (b) K kullanılan birim sistemine bağlı orantı katsayısı, (c) R 12 P ve S noktaları arasındaki uzaklık ve (d) a12 S noktasından P noktası yönünü gösteren birim vektördür. S’den P’ye uzunluk vektörü R 12 = R12 a12 = r1 − r2 ile tanımlanır; r1 ve r2 sırasıyla P ve S noktalarının pozisyon vektörleridir. Uluslararası birim sisteminde (SI) orantı katsayısı, (3.2) Statik Elektrik Alanları 127 K= 1 4πε o = 9 × 109 (3.3) dir; ε o =8,85 × 10−12 ≈ 10 F/m (Farad/metre) boş uzayın (vakum) geçirgenliğidir. Böylece 36π −9 F12 = q1q2 a12 4πε o R122 (3.4a) q1q2 (r1 − r2 ) F12 = 3 4πε o r1 − r2 (3.4b) veya yazılır. Bu eşitlik sadece elektron ve protonlar gibi yüklü parçacıklar için geçerli olmayıp nokta yükleri olarak düşünülebilen yüklü cisimler için de geçerlidir. Yüklü cisimler, büyüklükleri aralarındaki uzaklığa göre çok az olduğu sürece nokta yükleri olarak kabul edilirler. Her biri 1 Coulomb’luk (C) yüke sahip iki nokta yükü arasındaki uzaklık 1 metre (m) ise boş uzayda her yüke etkiyen kuvvetin büyüklüğü (3.4) den 9×109 newton (N) dur. (3.4)’den q 2 üzerinde q 1 ’in etkilediği kuvvet q 1 üzerine q 2 ’nin etkilediği kuvvete büyüklük olarak eşit fakat birbirlerine zıt yönde olduğu açıktır. Bu aşağıdaki gibi ifade edilir. F21 = −F12 (3.5) (3.5) eşitliği 3. Newton kanunu ile uyum içindedir. Coulomb kanunu’nun 10-14 metre kadar küçük uzaklıkları (atomların çekirdekleri arasındaki uzaklık) içine alacak şekilde doğrulanmış olduğu vurgulanmalıdır. Bununla birlikte uzaklık 10-14 m’den daha küçük olduğunda nükleer kuvvet elektrik kuvvetine baskın olma eğilimindedir. ÖRNEK 3.1 0,7 mC ve 4,9 µC’luk iki nokta yükü boş uzayda (2,3,6) ve (0,0,0)’da bulunmaktadır. 0,7 mC’luk yük üzerine etkiyen kuvveti hesaplayınız. ÇÖZÜM 4,9 µC’luk yükten 0,7 mC’luk yüke uzunluk vektörü R 12 = r1 − r2 = 2a x + 3a y + 6a z ve R12 = 22 + 32 + 62 = 7 m dir. 0,7 mC’luk yüke etkiyen kuvvet (3.4b)’den 9 × 109 × 0,7 × 10−3 × 4,9 × 10−6 F0,7 mC = [2a x + 3a y + 6a z ] = 0,18a x + 0,27a y + 0,54a z N 3 7 olarak hesaplanır. Her bir yüke etkiyen kuvvetin büyüklüğü aşağıdaki gibi hesaplanır. 0,182 + 0,27 2 + 0,542 = 0,63 N 128 Elektromanyetik Alan Teorisi Coulomb kuvveti hakkında diğer bir gerçek ise toplanabilirlik (süperpozisyon) prensibi ile uygunluğudur. Buna göre, n nokta yüklü bir sistemden dolayı q nokta yüküne etkiyen toplam kuvvet, Ft şekil 3.2’de görüldüğü gibi her bir q yüküne ayrı ayrı etkiyen kuvvetlerin vektörel toplamıdır. Bu işlem Ft = qi (r − ri ) q 3 4πε o r − ri i =1 n ∑ (3.6) ile ifade edilir; r ve ri vektörleri q ve q i nokta yüklerinin pozisyon vektörleridir. Şekil 3.2 n yüklü sistemde q yüküne etkiyen toplam kuvvet ÖRNEK 3.2 200 nC’luk üç eşit yük boş uzayda (0,0,0), (2,0,0) ve (0,2,0) de bulunmaktadır. (2,2,0)’da 500 nC’luk bir yüke etkiyen toplam kuvveti belirleyiniz. ÇÖZÜM Uzunluk vektörleri ve büyüklükleri (Şekil 3.3) aşağıdaki gibi hesaplanabilir. R1 =r − r1 = 2a y R 2 =r − r2 =2a x R 3 =r − r3 =2a x + 2a y R1 = 2 m R2 = 2 m R3 = 8 m Şekil 3.3 q 1 ’den dolayı q 2 ’ye etkiyen kuvvet, 9 × 10 9 × 200 × 10 −9 × 500 × 10 −9 F1 = [2a y ] = 225a y µN 3 2 ve aynı şekilde q 2 ve q 3 ’den dolayı q’ye etkiyen kuvvetler, F2 = 225a x µN ve F3 = 79,6[a x + a y ] µN Statik Elektrik Alanları 129 den q’ye etkiyen toplam kuvvet (3.6)’dan Ft = F1 + F2 + F3 = 304,6[a x + a y ] µN olarak hesaplanır. q üzerine üç yükün etkidiği net itme kuvveti ekseni ile 45°lik açı yapan bir hat boyunca yönlenmiştir. 304,62 + 304,62 = 430,8 μN ve x ALIŞTIRMALAR 1. 5 nC’luk bir yük P (2, π / 2, −3) ’de -10 nC’luk bir yük Q(5, π ,0) ’da bulunmaktadır. Yüklerin birbiri üzerine etkilediği kuvveti hesaplayınız. Bu kuvvetin türü nedir? 2. 2 nC, -5 nC ve 0,2 nC’luk yükler sırasıyla P (2, π / 2, π / 4) , Q(1, π , π / 2) ve S (5, π / 3, 2π / 3) ’e konulmuştur. P noktasındaki 2 nC’luk yüke etkiyen kuvveti bulunuz. Bu kuvvet itme veya çekme kuvveti midir? 3.3 ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ Durgun yüklerdeki kuvvetlerin nasıl hesaplanacağı bilindikten sonra başka bir alan biriminin tanımlanmasına niçin gerek duyulmaktadır? Aşağıdaki paragrafta bu sorunun cevabı verilmeye çalışılmaktadır. (a) Yükler arasındaki uzaklık (b) q t test yüküne etkiyen kuvvet Şekil 3.4 Coulomb kanunu, aradaki uzaklık ne olursa olsun (şekil 3.4a), bir yükün diğer bir yük üzerinde daima bir kuvvet oluşturacağını ifade etmektedir. Fizikte bir yüke diğer bir yükten dolayı etkiyen kuvvet çoğunlukla uzaktan etkileşim olarak adlandırılır. Yükler durgun olduğu sürece, uzaktan etkileşim düşüncesi gerekli bütün gereksinimleri doyurur. Bununla beraber eğer bir yük diğerine doğru hareket ettirilirse Coulomb kanununa göre yükler tarafından etkiyen kuvvetin de ani olarak değişmesi gerekir. Bunun tersine görecelik teorisi bir yükün hareketi hakkındaki bilginin (bozucu etki) diğer yüke ulaşması için belli bir zaman alması gerektiğini zorunlu kılmaktadır çünkü hiçbir sinyal ışık hızından daha hızlı hareket edemez. Bundan dolayı yükler üzerine etkiyen kuvvetlerin artışı ani olamaz ve böylece yük sistemleri ile ilgili enerji ve momentin geçici olarak denge dışı olacağı gösterilir. Bu gerçekte görecelik teorisi ile uyum içinde olup etkileşimli cisimler için moment ve enerjinin kendileri tarafından korunamayacağını ifade etmektedir. Cisimlerden kaçan (kaybolan) moment ve enerjinin hesaba katılması için etkileşen cisimlerin bulunduğu ortamda, alanın biçimini veya örüntüsünü bozucu etki gösteren ekstra bir şeyin varolması gerekir. Bu ekstra şey alan olarak adlandırılır. Bu bakımdan bir yük üzerine başka bir yükün varlığında etkiyen 130 Elektromanyetik Alan Teorisi kuvvetin bir alan olarak tanımlanması oldukça kullanışlı olmaktadır. Yükü çevreleyen uzayda her yerde bir elektrik alanı veya elektrik alan şiddetinin var olduğu söylenebilir. Diğer bir yük bu elektrik alanına getirildiğinde, üzerine etkiyen bir kuvvetle karşılaşır. Bir P noktasındaki elektrik alan şiddetini dedekte etmek için bu noktaya bir pozitif test yükü, q t yerleştirilir ve üzerine etkiyen kuvvet ölçülür. Elektrik alan şiddeti bu durumda birim yük başına kuvvet olarak tanımlanır. Çünkü q t kendi alanını da meydana getirdiğinden başlangıçtaki elektrik alanının biçimini bozar. Yükün büyüklüğünden kaynaklanan bozucu etkinin en aza indirilmesi için büyüklüğünün olabildiğince küçük olması gerekir. Gerçekte ölçümler q t ’nin büyüklüğünde sürekli bir artışla yapılabilir ve şekil 3.4b’de görüldüğü gibi daha sonra qt → 0 limitinde elektrik alan şiddetinin elde edilmesi için veride extrapolasyon yapılır. Elektrik alan şiddetinin büyüklüğü, qt = 0 ’da eğrinin eğimidir. E elektrik alan şiddeti q t birim test yüküne etkiyen kuvvet F E = lim qt →0 q t (3.7) olarak tanımlanır; F kuvveti q t test yüküne etkiyen toplam kuvvettir. Bir vektör alanı olan elektrik alan şiddetinin birimi N/C yani Newton/Coulomb’dur. Daha sonra görüleceği gibi N/C boyutsal olarak V/m yani Volt/metre’dir. Elektrik alan şiddeti birim yük başına kuvvet olarak tanımlanmasına rağmen metre başına volt ifadesi yaygındır. Eğer E uzayda bir noktadaki elektrik alan şiddeti ise bu noktada q yüküne etkiyen kuvvet Fq = qE (3.8) ifadesi bundan sonra elektrik alanı içine yerleştirildiğinde yüke etkiyen elektrostatik kuvvetin hesaplanması için kullanılacaktır. (3.4)’den S ’de bir q nokta yükünden dolayı P noktasındaki elektrik alan şiddetinin ifadesi E= q (r1 − r2 ) aR 3= 4πε o [r1 − r2 ] 4πε o R 2 q (3.9) olarak yazılabilir; R’den 12 indisi kısaltma için düşürülmüş ve a R birim vektörü S ’den P’ye yönlenmiş birim vektördür. n nokta yükünden dolayı elektrik alan şiddeti, (3.6) eşitliğinden E= n ∑ i =1 (r − ri ) 4πε o [r − ri ]3 qi (3.10) dir. ri vektörü q i yükünün bulunduğu yerden E ’nin ölçüm noktasına doğru uzunluk vektörüdür. ÖRNEK 3.3 20 nC ve -20 nC’luk iki nokta yükü uzayda (1,0,0) ve (0,1,0)’da bulunmaktadır. (0,0,1)’deki elektrik alan şiddetini belirleyiniz. ÇÖZÜM İki uzunluk vektörü ve büyüklükleri, Statik Elektrik Alanları 131 R1 =− r r1 = −a x + a z ⇒ R1 =r − r1 = 2 m ve R 2 =− r r2 = −a y + a z ⇒ R2 =− r r2 =2 m (3.10) eşitliğinde yerine konularak elektrik alan şiddeti aşağıdaki gibi elde edilir. 20 × 10 −9 − 20 × 10 −9 − + + E = 9 × 10 9 a a ( ) (−a y + a z ) = 63,67[−a x + a y ] N/C x z 3 3 1,414 1,414 Bu noktaya kadar her yükün bir noktada yoğunlaşmış olduğu varsayıldı. Daha karmaşık durumlar yüklerin doğrusal elemanlarda, yüzeylerde ve hacimlerde sürekli dağılımını içerir. Bundan dolayı daha ileri gitmeden önce özellikle aşağıdaki gibi yük dağılımları tanımlanacaktır. Hat Yük Yoğunluğu Bir yük doğrusal bir eleman üzerinde dağıtıldığında birim uzunluk başına yük olan hat yük yoğunluğu, ∆q ∆ l → 0 ∆l ρ l = lim (3.11) olarak tanımlanır; ∆q yükü ∆l doğrusal elemanı üzerindeki yüktür. Yüzey Yük Yoğunluğu Bir yük bir yüzey üzerine dağıtıldığında birim yüzey alan başına yük olan yüzey yük yoğunluğu, ∆q ∆ s → 0 ∆s ρ s = lim (3.12) olarak tanımlanır; ∆q yükü ∆s yüzey elemanı üzerindeki yüktür. Hacim Yük Yoğunluğu Eğer yük bir hacimle sınırlandırılmış ise birim hacim başına yük olan hacim yük dağılımı, ∆q ∆ v → 0 ∆v ρ v = lim (3.13) olarak tanımlanır; ∆q yükü ∆v hacim elemanı ile sınırlanan yüktür. 3.3.1 YÜK DAĞILIMLARINDAN DOLAYI ELEKTRİK ALAN ŞİDDETİ Bir hat yük dağılımı verildiğini varsayalım (Şekil 3.5a) ve amaç bir P( x, y, z ) noktasındaki elektrik alan şiddetinin belirlenmesidir. Hat hepsi limite sıfıra giden n sayıda küçük kısımlara bölünür. 132 Elektromanyetik Alan Teorisi (a) Hat yük dağılımı (b) Yüzey yük dağılımı (c) Hacim yük dağılımı Şekil 3.5 P noktasındaki (a) hat, (b) yüzey ve (c) hacim yük dağılımlarından dolayı elektrik alan şiddetinin bulunması için gösterimler. Sonra ∆qi = ρl ∆li yükü içeren bir ∆l i elemanı hat üzerine keyfi olarak seçilir ve elektrik alan şiddetine katkısı belirlenir. Net elektrik alan şiddeti, toplamın limitinde E = lim n →∞ n ∑ i =1 ∆qi (r − r 'i ) 4πε o r − r 'i 3 olarak elde edilir. r P noktasının pozisyon vektörü ve ri′ ∆li ' yük elemanının yani P' ( x' , y ' , z ' ) noktasının pozisyon vektörüdür. Karışıklık olmaması için genelde üslü harfler kaynak noktasının koordinatları için ve üslü olmayan harfler alan miktarının belirleneceği noktalar için kullanılmıştır. Önceki eşitliğin sağ tarafı gerçekte çizgisel integrali tanımlamaktadır (Kısım 2.7). Böylece E= 1 4πε o ∫ c ρ (r − r ' ) 3 d ' r − r' (3.14) Statik Elektrik Alanları 133 olarak yazılabilir; r vektörü P( x, y, z ) noktasının pozisyon vektörü ve r ′ vektörü d′ uzunluk elemanının yani P' ( x' , y ' , z ' ) noktasının pozisyon vektörüdür. Benzer şekilde yüzey yük dağılımından dolayı (şekil 3.5b) elektrik alan şiddetinin ifadesi E= 1 4πε o ∫ s ρ s (r − r ' ) (3.15) 3 ds' r − r' ve son olarak hacim yük dağılımından dolayı P noktasındaki elektrik alan şiddeti (şekil 3.5c) E= 1 4πε o ∫ v ρ v (r − r ' ) 3 dv' r − r' (3.16) olarak elde edilebilir. ÖRNEK 3.4 (a) ρ l = 100 nC/m ’lük düzgün bir hat yük yoğunluğu z ekseni boyunca -∞ ile 0 arasında (yarı sonlu) bulunmaktadır. P(0,0,2) noktasındaki elektrik alan şiddetini bulunuz. 1 µC’luk bir yük P noktasına yerleştirilirse üzerine etkiyen kuvveti hesaplayınız. (b) ρ l = 100 nC/m ’lük düzgün hat yük yoğunluğu z ekseni boyunca -∞ ile +∞ arasında bulunuyorsa uzayda her yerdeki elektrik alan şiddetini hesaplayınız. ÇÖZÜM (a) Şekil 3.6a’da görüldüğü gibi orijinden z = z ' uzaklığında ρ l dz ' diferansiyel yük elemanı dikkate alınsın. z ' ’den P’ye uzunluk vektörü r − r ' = ( z − z ' )a z ve büyüklüğü r − r ' = ( z − z ' ) ’dir. P noktasındaki elektrik alan şiddeti (3.14)’den aşağıdaki gibi bulunur. (a) (b) Şekil 3.6 134 Elektromanyetik Alan Teorisi 0 1 z − z ' −∞ E= ρ 4πε o 0 0 ρ 1 ρ 1 ρ dz ' 1 a = ∫−∞ ( z − z ')2 z 4πε o z − z ' −∞ a z= 4πε o z − 0 − z + ∞ a z= 4πεo z a z Değerler yerine konularak 9 × 109 × 100 × 10−9 E= a z = 450a z V/m 2 elde edilir. z=2 m’de 1 µC’luk yüke etkiyen kuvvetin büyüklüğü ve yönü aşağıdaki gibidir. F = qE = 1 × 10 −6 × 450a z = 450a z µN (b) Şekil 3.6b’de görüldüğü gibi, yüklerin − L / 2 ve L / 2 arasında bulunduğu varsayılsın. z ekseninde, orijinden z = z ' uzaklığında ρ l dz ' diferansiyel yük elemanı dikkate alındığında z ' ’den P’ye uzunluk vektörü R = r − r ' = ρa ρ − z ' a z ve büyüklüğü R = r − r ' = ρ 2 + z '2 ’dir. P noktasındaki elektrik alan şiddeti (3.14)’den aşağıdaki gibi bulunur. L /2 L /2 z' − ρ ρ 2 + z '2 E ρ 4πε o ∫ L/2 −L/2 1 ρ 2 + z '2 − L /2 − L /2 ρ L / 2 ρ L / 2 dz ' dz ' dz ' = ρaρ − z 'az (ρaρ − z 'az ) 3 3 3 ∫ ∫ − − L / 2 L / 2 4πε o 4πε o ρ 2 + z '2 ρ 2 + z '2 ρ 2 + z '2 ρ z' E= 4πε o ρ ρ 2 + z '2 L/2 aρ + −L / 2 az ρ 2 + z '2 − L / 2 L/2 1 0 1 1 L/2 L/2 ρ a + ρ a E= + − z ρ 2 2 2 2 2 2 2 2 4πε o 4πε o ρ ρ + L / 4 ρ ρ + L / 4 ρ + L / 4 ρ + L /4 E= L ρ 2 2 2πε o ρ 4ρ + L a ρ Eşitlikte görüldüğü gibi E alanının z bileşeni kaybolmaktadır. L → ∞ yani yükler sonsuz uzunlukta ise elektrik alan şiddeti aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Elektrik alan şiddeti sadece uzaklığın bir fonksiyonu olarak ters orantılı azalmaktadır. E= ρ aρ 2πε o ρ ÖRNEK 3.5 Şekil 3.7’de görüldüğü gibi yük b yarıçapında halka biçiminde düzgün olarak dağıtılmıştır. Halkanın ekseninde herhangi bir noktadaki elektrik alan şiddetini belirleyiniz. Statik Elektrik Alanları 135 Şekil 3.7 Düzgün yük dağılımlı bir halkadan dolayı P’deki elektrik alan şiddeti ÇÖZÜM Silindirik koordinatlarda yük dağılımı yönünde diferansiyel uzunluk elemanı bdφ ' ’dir. Diferansiyel yük elemanından gözlem noktasına P(0,0, z ) uzunluk vektörü aşağıdaki gibi yazılır. R = −ba ρ + za z Böylece (3.14)’den ρ E= 4πε o 2π ρb 1 bdφ ' (−ba ρ + za z ) = 2 2 3/ 2 2 4πε o [b + z 2 ]3 / 2 [b + z ] 0 ∫ 2π 2π − b a ρ dφ '+ z dφ ' a z 0 0 ∫ ∫ elde edilir çünkü a ρ = a x cos φ '+ a y sin φ ' olduğundan ikinci taraftaki birinci integral 2π 2π 2π 2π 2π a d φ ' = a cos φ ' d φ ' + a ρ x y ∫ sin φ ' dφ ' = −a x sin φ ' 0 + a y cos φ ' 0 = 0 ∫ ∫ 0 0 0 olur. İkinci taraftaki ikinci integral 2π’dir. Böylece halkanın ekseninde P noktasındaki elektrik alan şiddeti, E= ρbz 2ε o [b + z ] 2 2 3/ 2 az (3.17) olur. z=0’da yani halkanın merkezinde, elektrik alan şiddeti sıfırdır. Niçin? ÖRNEK 3.6 İç yarıçapı a ve dış yarı çapı b olan ince bir diskin üzerinde (a) ρ s düzgün yüzey yük yoğunluğu, (b) ρ s ρ ' yarıçap ile doğru orantılı ve (c) ρ s / b 2 − ρ '2 yarıçap ile ters orantılı yüzey yük yoğunluğu bulunuyorsa z ekseninde herhangi bir noktadaki elektrik alan şiddetini belirleyiniz. (d) a = 0 ve b = ∞ iken z ekseni boyunca uzanan bir çizgi boyunca elektrik alan şiddetinin grafiğini çiziniz. (e) Yükleri zıt ve aynı işaretli, aralarında belirli bir uzaklık bulunan eşit yük yoğunluğunda iki sonsuz düzlem yükü z = 1 ve z = −1 ’de bulunmaktadır. z ekseni boyunca uzanan bir çizgi boyunca elektrik alan şiddetinin grafiğini çiziniz. 136 Elektromanyetik Alan Teorisi ÇÖZÜM (a) Şekil 3.8’de görüldüğü gibi bir diferansiyel yüzey elemanı ile çevrelenen yük ρ s ρ ' dρ ' dφ ' dir. z ekseninde yükten P noktasına olan uzunluk vektörü R = − ρ ' a ρ + za z ve R = ρ ' 2 + z 2 ’dir. P (0,0, z ) noktasında elektrik alan şiddeti (3.15)’den, ρ E= s 4πε o b 2π ρ ' dρ ' dφ ' ∫ ∫ [ρ ' + z 2 a 0 dir; burada da yine önceki örnekte olduğu gibi 2π ∫0 2 3/ 2 ] [ − ρ ' a ρ + za z ] a ρ dφ ' = 0 dir. Şekil 3.8 Delik disk üzerindeki düzgün yük dağılımından dolayı ekseninde bulunan P’deki elektrik alan şiddeti Şimdi başka bir görüş vurgulanabilir. Gözlem noktasına göre yük dağılımının simetriliğinden dolayı E ’nin a ρ bileşeninin olmadığı söylenebilir. E ’nin a ρ bileşenine katkıda bulunan P’nin bir tarafındaki her yük elemanı için P’nin diğer tarafında bunu tamamen yok eden bir yük elemanı vardır. Bundan dolayı net katkı sıfır olduğundan b = E ρs 4πε o b ∫ a ρ 'd ρ ' ∫a ( ρ '2 + z 2 )3/2 b 2π ρs z ρ ' d ρ ' dφ ' 1 2π − φ ' 0 az z az 2 ∫0 [ ρ '2 + z 2 ]3/= 2 2 4πε o ρ' + z a ρ z 1 1 − E= s 2 2 2 2ε o a + z b + z2 az (3.18) elde edilir. Şekil 3.9a’da görüldüğü gibi çok geniş dış yarıçaplı, b → ∞ içi boş bir disk için elektrik alan şiddeti, ρ z 1 E= s 2ε o a 2 + z 2 a z (3.19) Statik Elektrik Alanları 137 (a) İçi boş sonsuz düzlem yükünden dolayı P’deki elektrik alan şiddeti (b) Sonlu içi dolu disk yükünden dolayı P’deki elektrik alan şiddeti (c) Sonsuz düzlem yükünden dolayı P’deki elektrik alan şiddeti Şekil 3.9 dir. Şekil 3.9b’de görüldüğü gibi b dış yarıçapında sonlu bir disk için (3.18)’den elektrik alan şiddeti (a = 0) aşağıdaki gibi bulunur. ρ z 1 1 E= s − 2 a 2 1/ 2 z 2ε o z (b + z ) (3.20) Son olarak sonsuz bir düzlem yükünden dolayı herhangi bir noktadaki elektrik alan şiddeti (şekil 3.9c) a → 0 ve b → ∞ konularak (3.18)’den elde edilebilir. Böylece ρ E = s az 2ε o (3.21) 138 Elektromanyetik Alan Teorisi edilir ki bu elektrik alan şiddeti z’nin bütün değerleri için sabittir. Hatta sonsuz düzlem yükü mevcut olmasa bile sonlu düzlem yükünün elektrik alan şiddeti sonsuz düzlem yükününkine yakınlaştırılabilir. (b) ρ E= s 4πε o ρ ' 2 dρ ' dφ ' ρ s z ρ' − + = a z a ρ [ ' ] ln 2 ρ '+ ρ '2 + z 2 − ρ z ∫a ∫0 [ ρ '2 + z 2 ]3 / 2 4πε o ρ '2 + z 2 b 2π b 2π φ' a 0 z a ρ '2 dρ ' ρ' 2 2 ( ρ '2 + z 2 )3 / 2 = ln 2 ρ '+ ρ ' + z − ( ρ '2 + z 2 )1 / 2 ∫ ρ z b + z 2 + b2 E = s ln + 2ε o a + z 2 + a 2 a z2 + a2 − a z z 2 + b 2 b 2 2 tanh −1 ρ ' + z b2 + z 2 2π 3 ρ ' dρ ' (c) ∫ a ρ dφ ' = 0 olduğu hatırlanarak ve = b2 + z 2 2 2 1/ 2 2 2 3/ 2 0 (b − ρ ' ) ( ρ ' + z ) 1 − 2 2 2 2 (b + z ) ρ ' + z ∫ ρ E= s 4πε o b 2π ∫ ∫ (b a 0 2 dρ ' dφ ' − ρ ' ) ( ρ '2 + z 2 ) 3 / 2 2 1/ 2 2 2 tanh −1 ρ ' + z 1 ρz b2 + z 2 − za z = s 3 4πε o (b 2 + z 2 ) ρ '2 + z 2 b2 + z 2 b ile, a b 2π φ' 0 az a 2 2 2 2 −1 a + z tanh −1 b + z tanh ρ z 1 1 b2 + z 2 + b2 + z 2 − E= s − 3 3 2 2 2 2 2 2 2ε o (b + z ) b 2 + z 2 (b + z ) a + z b2 + z 2 b2 + z 2 a z (d) Sonsuz düzlem yükü şekil 3.10a’da ve z eksenindeki elektrik alan şiddeti şekil 3.10b’de görüldüğü gibidir. (e) Sonsuz düzlem yükleri ve z eksenindeki elektrik alan şiddetleri şekil 3.11’de görüldüğü gibidir. Zıt işaretli yüklerde elektrik alan şiddeti düzlemlerin dışında mevcut olmayıp düzlemlerin arasında iki katına çıkmıştır. Aynı işaretli yüklerde elektrik alan şiddeti düzlemlerin içinde mevcut olmayıp düzlemlerin dışında iki katına çıkmıştır. Statik Elektrik Alanları 139 Şekil 3.10 Sonsuz düzlem yükünün aşağısı ve yukarısındaki elektrik alan şiddeti ve z eksenindeki elektrik alan şiddeti 140 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 3.11 (a) Zıt ve (b) aynı işaretli iki sonsuz düzlem yükünün aşağısı, yukarısı ve arasındaki elektrik alan şiddeti ve z eksenindeki elektrik alan şiddeti ALIŞTIRMALAR 3. Örnek 3.5’deki E = ρbz 2ε o [b + z ] 2 2 3/ 2 a z ifadesinden yararlanarak Örnek 3.6a’yı çözünüz. 3.4 ELEKTRİK AKISI VE ELEKTRİK AKI YOĞUNLUĞU Bir elektrik alanında bir noktaya bir test yükü yerleştirelim ve hareket etmesine izin verelim. Test yüküne etkiyen kuvvet onu belli bir yol boyunca hareket ettirecektir. Bu yol kuvvet hattı veya akı hattı olarak adlandırılır. Test yükü başka bir yere konularak başka bir kuvvet hattı meydana getirilebilir. Bu yolla işlem tekrarlanarak istenildiği kadar çok kuvvet hattı meydana getirilebilir. Bir bölgeyi sonsuz kuvvet hatları ile kalabalıklaştırmamak için bir yükün kuvvet hatları sayısının Coulomb olarak yükün büyüklüğüne eşit olduğunu ifade etmek alışılagelmiştir. Akı hatlarının elektrik akısını temsil ettiği söylenir. Elektrik akı hatları gerçek olmayıp, gösterim ve göze hitap etme açısından ve elektrik alanlarının tanımlanmasında kullanışlı bir kavramdır. Şekil 3.12’de görüldüğü gibi yalıtılmış pozitif bir yükün elektrik akısı radyal olarak dışarıya doğru bir yönü göstermektedir. Şekil 3.13a bir çift eşit ve zıt nokta yükü ve şekil 3.13b pozitif yüklü iki cisim arasındaki elektrik akı hatlarını göstermektedir. Birbirine zıt yüklenmiş paralel düzlemler arasındaki elektrik akı hatları şekil 3.14’de görülmektedir. Herhangi bir noktadaki elektrik alan şiddetinin elektrik akı hatlarına teğet (tanjant) olduğu iyi bilinmektedir. İlk araştırmacılar elektrik akısı için aşağıdaki özellikleri ortaya çıkarmışlardır: Ortamdan bağımsız olmalıdır, Büyüklüğü sadece elektrik akısının orijini olan yüke bağlıdır, Eğer nokta yükü R yarıçapında imajiner bir küre içinde çevrelenmişse, elektrik akısının kürenin yüzeyi boyunca dik ve düzenli olarak geçmesi gerekir ve Birim yüzey alanı başına akı olan elektrik akı yoğunluğu R2 ile ters orantılıdır. Statik Elektrik Alanları 141 Şekil 3.12 Yalıtılmış pozitif yükün elektrik akı hatları Elektrik alan şiddeti de büyüklüğünün ortamın geçirgenliğine bağlı olmasının dışında [3.9 eşitliği] bu sınırlamalara uygunluk sağlamaktadır. Bu bakımdan elektrik akı yoğunluğu D elektrik alan şiddeti E ile aşağıdaki gibi tanımlanabileceği kolaylıkla anlaşılabilir. D = ε oE (3.22) ε o boş uzayın geçirgenliği (şimdiye kadar seçilen ortam) olarak daha önceden tanımlanmıştır. (3.22)’de daha önce bulunan E ifadesi yerine konularak q nokta yükünden dolayı r yarıçapındaki elektrik akı yoğunluğu, D= q ar 4πr 2 (3.23) elde edilir. Bu eşitlikten D ’nin biriminin C/m2 olduğu açıktır. (a) Pozitif ve negatif yük arasında (b) İki pozitif yük arasında Şekil 3.13 Yüklü cisimler arasındaki elektrik akı hatları 142 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 3.14 Birbirine zıt yüklü paralel düzlemler arasındaki (saçaklamalı) elektrik akı hatları 3.4.1 ELEKTRİK AKISI Şimdi elektrik akısı, Ψ elektrik akı yoğunluğu D ile Ψ = D ⋅ ds ∫ (3.24) s olarak tanımlanabilir; ds şekil 3.15’de görüldüğü gibi s yüzeyinde bulunan diferansiyel yüzey elemanıdır. Eğer D ve ds aynı yönde ise s’den geçen akı maksimumdur. ÖRNEK 3.7 Bir bölgede elektrik akı yoğunluğu D = 10a r + 5aθ + 3aφ mC/m2 dir. z ≥ 0 ve x 2 + y 2 + z 2 = 36 bölgesi ile sınırlanan yüzeyden geçen elektrik akısını belirleyiniz. ÇÖZÜM Küresel koordinatlarda 6 m yarıçapında diferansiyel yüzey ds = 36 sin θ dθ dφ a r dir. Yüzeyi geçen elektrik akısı aşağıdaki gibi hesaplanır. Ψ = = ∫ D ⋅ ds s 360 ∫ π /2 0 sin θ dθ ∫ 2π 0 dφ mC Şekil 3.15 Bir yüzeyi geçen elektrik akısı Statik Elektrik Alanları 143 3.4.2 GAUSS KANUNU Gauss kanunu kapalı bir yüzeyden geçen net dışa doğru akının bu yüzeyle çevrelenen toplam yüke eşit olduğunu, ∫ s D ⋅ ds = Q (3.25) ifade etmektedir. Gauss kanunu’nu ispatlamak için şekil 3.16’da görüldüğü gibi keyfi bir s yüzeyi ile O noktasında bulunan Q nokta yükünü çevreleyelim. s yüzeyindeki P noktasındaki elektrik akı yoğunluğu, Q D= aR 4πR 2 (3.26) dir. R = r − r ' = Ra R O’dan P’ye uzunluk vektörüdür. s kapalı yüzeyinden geçen elektrik akısı, = Ψ ∫ s D ⋅= ds Q 4π a R ⋅ a n ds ∫ s R 2 dir. Bu eşitlikte a R .a n ds / R 2 katı açıdır, dΩ ve şekil 3.16’da görüldüğü gibi O ’da ds yüzeyi ile bir açı yapmaktadır. Buna göre bu eşitlik, = Ψ ds ∫ D ⋅= s Q 4π ∫ d Ω s olarak yazılabilir. Bununla beraber Vektör Hesabı’ndan herhangi bir kapalı yüzeyin ifade ettiği katı açı 4π steradyan olduğundan yüzeyden geçen toplam akı, Şekil 3.16 Q nokta yükünden dolayı s kapalı yüzeyi içinden geçen elektrik akısı = Ψ ds ∫ D ⋅= Q s olup ispatı yapılan şeydir. İntegralin alındığı yüzey bir Gauss yüzeyi olarak adlandırılır. (3.25) eşitliği Gauss kanunu’nun matematiksel bir ifadesidir. Gauss kanunu kelimelerle şu şekilde ifade edilebilir. Bir kapalı yüzeyden çıkan toplam elektrik akısı sayısal olarak kapalı yüzey içindeki net pozitif yüke eşittir. Gauss kanunu boş uzayda elektrik alan şiddeti ile Q ∫ E ⋅ ds = ε s o (3.27) 144 Elektromanyetik Alan Teorisi olarak da ifade edilebilir. Eğer yükler bir yüzeyle sınırlanan bir hacimde dağıtılmış ise (3.25) ∫ D ⋅ ds = ∫ ρ dv s v v (3.28) olarak yazılabilir. Eğer yükler bir yüzey veya doğrusal bir eleman üzerine yayılmışsa benzer eşitlikler yazılabilir. (3.28) eşitliği Gauss kanunu’nun integral biçimi olarak bilinir. Önceki eşitliğin gelişiminden de açık olmakla birlikte kapalı bir yüzeyin dışındaki bir yükün çevrelenen toplam yüke katkısı yoktur. Aynı zamanda kapalı yüzey içinde yüklerin tam olarak nerede bulunduğu da hiç problem değildir. Eğer elektrik alan şiddeti veya elektrik akı yoğunluğu yüzeydeki her noktada biliniyorsa Gauss kanunu çevrelenen toplam yükün belirlenmesi için kullanılabilir. Bununla beraber eğer yük dağılımı simetrik ve elektrik akı yoğunluğunun sabit olduğu uygun bir yüzey seçilebiliyorsa Gauss kanunu alan problemlerindeki karmaşıklığı büyük oranda azaltır. Diverjans teoremi uygulanarak (3.28) ∫ ∇ ⋅ Ddv = ρ v dv v ∫ v olarak da yazılabilir. Bu eşitliğin bir s yüzeyi ile sınırlanan herhangi bir v hacmi için doğru olması gerekir ve iki integral birbirine eşittir. Buna göre uzayda herhangi bir noktada ∇ ⋅ D = ρv (3.29) olur. Bu eşitlik Gauss kanununun nokta veya diferansiyel biçimi olarak adlandırılır. (3.29) eşitliği sözlü olarak şu şekilde ifade edilebilir: Uzayda herhangi bir noktadan elektrik akı hatlarının çıktığı yerde bir pozitif yük yoğunluğu (kaynak) vardır. Eğer yük yoğunluğu negatifse (yutak) elektrik akı hatları noktaya doğru yaklaşarak birleşirler. (3.29) eşitliği, elektrik akı yoğunluğu’nun bir bölgede mevcut olan serbest yüklerin bir ölçüsü olduğunu göstermektedir. Dielektrik malzemeler tartışmasında bu gerçek tekrar vurgulanacaktır. Şimdiye kadar dikkate alınan örneklerde hacim yük dağılımından dolayı herhangi bir noktada E alanının hesaplanmasından, integrasyon işleminin içerdiği karmaşıklıktan dolayı üstü kapalı olarak kaçınıldı. Şimdi bu tip problemlerden bazıları yük dağılımı simetrik olduğu sürece Gauss kanunu kullanılarak çok daha kolaylıkla çözülebilir. ÖRNEK 3.8 Gauss kanunu kullanılarak yalıtılmış bir q nokta yükünden dolayı herhangi bir P noktasındaki E ’yi bulunuz. ÇÖZÜM Şekil 3.17’de görüldüğü gibi merkezinde yükün bulunduğu, R yarıçapında küresel bir Gauss yüzeyi oluşturalım. Akı hatları pozitif nokta yükünden dışa doğru radyal olarak yönlendiğinden elektrik alan şiddeti kürenin yüzeyine normal yani dik olur (başka yön bu gibi olmaz). Elektrik alan şiddeti, E = Er ar ile ifade edilir. Kürede her nokta q’nin yerleştiği merkezden eşit uzaklıkta olduğundan E r ’nin r = R ’de yüzeyde her noktada aynı büyüklükte olması gerekir. Böylece Statik Elektrik Alanları 145 π ∫ E ⋅ ds = E ∫ r s ∫ 2π R 2 sin θ dθ dφ = 4πR 2 Er 0 0 olur. Küresel yüzey ile çevrelenen toplam yük q’dür böylece P’de elektrik alan şiddeti (3.27)’den 4πR 2 Er = q εo veya Er = q 4πε o R 2 olup Coulomb kanunu kullanılarak elde edilen sonuç ile aynıdır. Şekil 3.17 Orijindeki q nokta yükünü çevreleyen R yarıçapında küresel Gauss yüzeyi ÖRNEK 3.9 (a) Şekil 3.18a’da görüldüğü gibi a yarıçapında küresel yüzey üzerine yükler düzgün olarak ( ρ s ) dağıtılmıştır. (b) Şekil 3.18b’da görüldüğü gibi a yarıçapında bir küre içinde yükler ρ v hacimsel yük yoğunluğunda düzgün olarak dağıtılmıştır. Her iki durum için uzayda her yerdeki elektrik alan şiddetini belirleyiniz. ÇÖZÜM (a) Küresel yük dağılımı, elektrik alan şiddetinin sabit olduğu r yarıçapında küresel Gauss yüzeyinin seçimini sunmaktadır. Yüzey r < a yarıçapında iken çevrelenen yükün olmamasından dolayı elektrik alan şiddetinin sıfır olması gerekir. r > a iken Gauss yüzeyi içinde kalan toplam yük Q = 4πa 2 ρ s dir. Burada da yine ∫ E ⋅ ds = 4πr E 2 s r olur. Böylece Gauss kanunundan Er = Q 4πε o r 2 = ρsa2 ε or 2 r ≥ a için bulunur. Bu eşitliğin çözümünden şekil 3.18c’deki E r ile r’nin değişim grafiği elde edilir. (b) Yüzey r ≤ a yarıçapında iken çevrelenen yük, 146 Elektromanyetik Alan Teorisi 4 Q = πr 3 ρ v 3 olarak hesaplanır ve ∫ E ⋅ ds = 4πr 2 E r s ile Gauss kanunundan (3.27) Er = ρv r 3ε o r ≤ a için bulunur. Yüzey r ≥ a yarıçapında iken çevrelenen yük, 4 Q = πa 3 ρ v 3 ile Gauss kanunundan Er = a 3 ρv 3ε o r 2 r ≥ a için elde edilir. Bu eşitliklerin çözümünden şekil 3.18d’deki E r ile r’nin değişim grafiği elde edilir. (a) a yarıçapında küre üzerinde ρ s yüzey yük dağılımını çevreleyen r yarıçapında küresel (Gauss) yüzeyi (b) ρ v hacimsel yük dağılımı ile a yarıçapında kürenin içindeki ve dışındaki küresel (Gauss) yüzeyleri (c) E r ile r değişim grafiği (d) E r ile r değişim grafiği Şekil 3.18 Statik Elektrik Alanları 147 ALIŞTIRMALAR 4. Örnek 3.9b’de yük dağılımı rρ v ile verilmişse uzayda her yerdeki elektrik alan şiddetini belirleyerek grafiğini çiziniz. z = 5 / 2 m düzleminde ½ m yarıçapında dairesel bir pencereden geçen elektrik akı 5. yoğunluğu D = 10 sin φ a ρ + 12 z cos(φ / 4)a z C/m2 olarak verilmiştir. Pencereden geçen toplam akı nedir? 6. a ve b yarıçapları ile sınırlanan (a < b) küresel bölge içindeki yük dağılımı ρ v = k / r olarak verilmiştir. Boşlukta her yerde elektrik alan şiddetini belirleyiniz. r = b küresel yüzeyinden geçen toplam akı nedir? 7. Sonsuz uzunlukta a yarıçapında bir silindirik iletkenin yüzeyinde düzgün ρ s yüzey yük dağılımı vardır. Boşlukta her yerdeki elektrik alan şiddetini ve elektrik akı yoğunluğunu hesaplayınız. b yarıçapında bir (b > a) silindirik yüzeyden geçen akıyı hesaplayınız. 8. Boş uzayda E = (20 / r 2 )a r ise (3,-4,1) noktasındaki ρ v ’yi bulunuz. 3.5 ELEKTRİK POTANSİYELİ Şimdiye kadar bahsedilen elektrostatik etkiler elektrik alan şiddetinin tanımlanmasında kullanılmıştı. Bu kısımda elektrik potansiyeli olarak bir skaler tanımlanmakta çünkü bu çok sayıda farklı biçimdeki karmaşık hesaplamaların sadeleştirilmesine yardımcı olmaktadır. Bir skaler miktar ile çalışmak bir vektör miktarı ile çalışmaktan daha kolaydır. Bir E elektrik alanına q pozitif test yükü yerleştirilirse yük üzerinde F = qE ile verilen bir itici kuvvet olacaktır. Bu kuvvet altında şekil 3.19a’da görüldüğü gibi yük dl diferansiyel uzaklığına hareket eder. Yükün hareketi nedeniyle elektrik alanı ile bir iş yapılır. Elektrik alanı tarafından harcanan enerji artışı veya basitçe E alanı ile yapılan iş miktarı, dWe = F ⋅ dl = qE ⋅ dl dir; e indisi E alanı ile yapılan işi işaretlemektedir. İş E alanı ile yapıldığında pozitif test yükü daima E ’nin yönünde hareket etme eğilimindedir. Eğer test yükü harici bir Fext kuvveti ile E ’nin zıt yönünde hareket ettirilirse harici kuvvet ile yapılan diferansiyel iş dW = −Fext ⋅ dl olur; (-) işareti yükün E alanının zıt yönünde hareket ettiğini göstermektedir. Hareketli yükün kazanılabileceği kinetik enerji ihmal edilerek, harici kuvvetin şekil 3.19b’de görüldüğü gibi elektrik kuvveti ile tam dengeli olduğu varsayılacaktır. Bu durumda aşağıdaki ifade yazılır. dW = − qE ⋅ d b noktasından a noktasına test yükünün hareket ettirilmesi için harici kuvvet ile yapılan toplam iş 148 Elektromanyetik Alan Teorisi a Wab = − q E ⋅ d ∫ b (3.30) Şekil 3.19 Elektrik alanı içinde (a) serbest bırakılmış ve (b) harici kuvvetin etkisi altındaki test yükünün hareketi dir. Eğer şekil 3.20’de görüldüğü gibi kapalı bir yol etrafında yük hareket ettirilirse yapılan iş sıfır olmalıdır. Başka ifadeyle Şekil 3.20 Elektrik alanında c kapalı yolu boyunca q yükünün hareketi ∫ E ⋅ d = 0 c (3.31) olur ki basitçe E alanının statik şartlar altında rotasyonel olmayan veya korunumlu olduğunu ifade etmektedir. Bu ∇×E = 0 (3.32) anlamına gelmektedir. Bir vektör alanının rotasyonel’i sıfır ise vektör alanı bir skaler alanın gradyanı ile temsil edilebilir. Böylece skaler V alanı ile E alanı E = −∇V olarak ifade edilebilir. Eksi işaretinin nedeni biraz sonra açıklanacaktır. (3.33) Statik Elektrik Alanları 149 Şimdi 3.30 a a Wab = − q E ⋅ d = q ∇V ⋅ d ∫ ∫ b b olarak ifade edilebilir. ∇V ⋅ d = dV konularak (Kısım 2.8) Wab = q Va ∫ Vb dV = q[Va − Vb ] = qVab (3.34) olur; V a ve V b a ve b noktalarındaki V skaler alanının değerleridir. V a ve V b sırasıyla a ve b noktalarında bir referans noktasına göre elektrik potansiyelleridir. Vab = Va − Vb b noktasına göre a noktasının potansiyelidir (bu iki nokta arasındaki potansiyel farkı olarak adlandırılır). Eğer yapılan iş pozitif ise bu durumda a noktasındaki potansiyel b noktasındakinden yüksektir. Başka bir ifadeyle harici kuvvet pozitif yükü E alanının tersine ittiğinde yükün potansiyel enerjisi artar. Bundan dolayı (3.33)’de negatif işareti kullanılmıştır. Farklı ifadeyle elektrik alanındaki pozitif yükün hareketinde yapılan iş yükün potansiyel enerjisindeki artışa eşittir. Böylece potansiyel fark, q → 0 limitinde birim yük başına potansiyel enerjideki değişim yani a Wab = − E ⋅ d b q →0 q ∫ Vab = lim (3.35) dir. (3.35)’den potansiyel fonksiyonun birimi J/C veya V’tur. (3.33) ve (3.35)’den elektrik alan şiddetinin V/m ile niçin ifade edildiği açıktır. ÖRNEK 3.10 Orijindeki q nokta yükünden dolayı iki nokta arasındaki potansiyel farkı belirleyiniz. ÇÖZÜM q nokta yükünün r radyal uzaklığındaki elektrik alan şiddeti E= ar q 4πε o r 2 dir. Orijinde bulunan q yükünden P ve S noktasının radyal uzaklıkları sırasıyla r 1 ve r 2 ise bu durumda (3.35)’den Vab = − ∫ r1 r2 q 4πε o r 2 dr = q 1 1 − 4πε o r1 r2 Eğer r2 = ∞ konularak, sonsuzdaki S noktasına göre P noktasının potansiyeli mutlak potansiyel olarak bilinir. Böylece r1 = R ’de P noktasının mutlak potansiyeli, V= q 4πε o R (3.36) olur. (3.36) eşitliği sabit yarıçaplı bir yüzeyde potansiyelin değişmeden kaldığını göstermektedir. Potansiyelin aynı olduğu bir yüzey eş potansiyel yüzey olarak bilinir. Böylece bir nokta yükü için eş potansiyel yüzeyler şekil 3.21’de olduğu gibi kürelerdir. Şekil 3.22’de görüldüğü gibi düzgün 150 Elektromanyetik Alan Teorisi yüklü bir hattın eş potansiyel yüzeylerinin ortak merkezli silindirler olduğunun doğrulanması öğretici olacaktır. Kısım 3.3’de elektrik alan şiddeti hat yük yoğunluğu, yüzey yük yoğunluğu ve hacim yük yoğunluğu ile ifade edilmişti. Aynı ifadeler herhangi bir noktadaki potansiyel için de elde edilebilir. Detayları ihmal edilerek eşitlikler doğrudan aşağıdaki gibi yazılır: Hacim yük yoğunluğu dağılımı: V= 1 4πε o ∫ ρv dv' r − r' (3.37a) ∫ ρ s ds ' s r − r' (3.37b) ∫ ρ dl ' l r − r' (3.37c) v Yüzey yük yoğunluğu dağılımı: V= 1 4πε o Hat yük yoğunluğu dağılımı: V= 1 4πε o c Şekil 3.21 Nokta yükünün eş potansiyel yüzeyleri Şekil 3.22 Düzgünce yüklenmiş hat’tın eş potansiyel yüzeyleri ÖRNEK 3.11 a yarıçapında yüklü bir halka düzgün bir yük dağılımı taşımaktadır. Halkanın eksenindeki herhangi bir noktada potansiyel ve elektrik alan şiddetini belirleyiniz. ÇÖZÜM Düzgün yük dağılımı taşıyan yüklü halka şekil 3.23’de görülmektedir. z ekseninde P(0,0,2) noktasındaki potansiyel (3.37c)’den V ( z) = 1 4πε o ∫ ρl a 2π 0 (a + z ) 2 2 1/ 2 dφ ' = ρl a 2ε o a 2 + z 2 Statik Elektrik Alanları 151 olup halkanın merkezinde aşağıdaki gibi olur. V ( z = 0) = ρl 2ε o Şekil 3.23 Düzgünce yüklenmiş halka ∂ 1 z Elektrik alan şiddeti, (3.33)’den =− 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 (a + z ) ∂z (a + z ) ρ a ∂V ( z ) z E = −∇V = − az = 2 a 2 3/ 2 z 2ε o (a + z ) ∂z dir. Halkanın merkezinde, z=0’daki elektrik alan şiddeti yük dağılımının simetriliğinden beklenildiği gibi sıfırdır. ÖRNEK 3.12 Yükler, a yarıçapında, sonsuz uzunlukta bir silindirin dış yüzeyinde ρ s düzgün yüzey yük yoğunluğunda dağılmıştır. Silindirin merkezinden başlamak üzere uzaklığın bir fonksiyonu olarak elektrik alan şiddetini bularak uzayda iki nokta arasındaki potansiyel fark ifadesini elde ediniz. ÇÖZÜM Dış yüzeyi düzgünce yüklenmiş, sonsuz uzunlukta silindirik çubuk şekil 3.24’de görülmektedir. Yarıçapın 0 < ρ < a arası değişiminde Gauss kanununa göre E sıfırdır. Yarıçapın a ≤ ρ < ∞ arası değişiminde elektrik alan şiddetinin, P noktasının açısal konumundan bağımsız olarak sadece yarıçap, ρ doğrultusunda olduğu ( E ρ ) kolayca tahmin edilebilir. Birim uzunluk başına silindir yüzeyindeki toplam yük ile E alanı Gauss kanunundan (silindir biçiminde kapalı Gauss yüzeyi) aşağıdaki gibi hesaplanır. ε o ∫ E ⋅ ds ρ = q s 2π 1 0 0 ε o Eρ ρ ∫ dφ ∫ dz = 2πaρ s ε o Eρ ρ 2π 1 = 2πaρ s 152 Elektromanyetik Alan Teorisi aρ E = s aρ εoρ Şekil 3.24 Dış yüzeyi düzgünce yüklenmiş, sonsuz uzunlukta silindirik çubuk etrafındaki elektrik alan şiddeti. P noktasındaki E iki diferansiyel yük elemanının elektrik alanlarının radyal bileşenlerinin, E ρ toplamıdır. Uzayda iki nokta ( ρ1 < ρ 2 ) arasındaki potansiyel fark ifadesi aşağıdaki gibi elde edilir. ln ρ1 ρ2 ρ1 a ρ ρ1 1 ρ a aρs ρ2 s aρ ⋅ aρ d ρ = −∫ − s∫ Vab = dρ = ln ρ2 εoρ εo ρ2 ρ εo ρ1 Eşitlikten görüldüğü gibi ρ 2 = ∞ konularak sonsuza göre mutlak potansiyelin hesaplanması tanımlanmamış bir sonuca götürür. Bir referans potansiyel noktasının seçilmesiyle sorunun üstesinden gelinmiş olur. ALIŞTIRMALAR Q1 = 120 nC ve Q2 = 800 nC ’luk iki nokta yükü 40 cm’lik bir uzaklık ile birbirinden 9. ayrılmıştır. Aradaki uzaklığı 30 cm’ye düşürmek için ne kadar enerji harcanmalıdır? q aR ve vektör işlemlerini kullanarak (a) ve (b) 10. (3.9) ⇒ E = E = −∇ V ∇ × E =0 4πε o R 2 olduğunu gösteriniz. 11. Sonsuz uzunlukta, düzgünce yüklenmiş bir hattın eş potansiyel yüzeylerinin eş merkezli silindirler olduğunu gösteriniz. 3.6 ELEKTRİK DİPOLÜ Elektrik dipolü birbirine çok yakın bir çift eşit ve zıt işaretli yükler olarak tanımlanır. Şekil 3.25a’da görüldüğü gibi her yükün büyüklüğü q ve aralarındaki açıklığın d olduğunu varsayalım. Amaç dipol’ün uzayda herhangi bir P ( x, y, z ) noktasında oluşturduğu potansiyel ve elektrik alan şiddetinin belirlenmesidir. Yükler arasındaki açıklığın gözlem noktasına olan uzaklıkla karşılaştırıldığında çok küçük olduğunu varsayalım. P noktasındaki toplam potansiyel, Statik Elektrik Alanları 153 (b) P dipolden çok uzakta iken (r >> d ) uzaklık yaklaşımları (a) Elektrik dipolü ve P noktasına göre uzaklık vektörleri Şekil 3.25 V= q 1 1 q r2 − r1 − = 4πε o r1 r2 4πε o r1r2 dir; r 1 ve r 2 şekilde görüldüğü gibi yükler ile P noktası arasındaki uzaklıklardır. Şekil 3.25b’de görüldüğü gibi eğer yükler z ekseni boyunca simetrik olarak yerleştirilmiş ve gözlem noktası r >> d olacak şekilde oldukça uzaksa bu durumda r 1 ve r 2 uzaklıkları aşağıdaki gibi yakınlaştırılabilir. r1 ≈ r − 0,5d cosθ , r2 ≈ r + 0,5d cosθ ve r1r2 ≈ r 2 − (0,5d cosθ ) 2 ≈ r 2 Buna göre P’deki potansiyel, V= q d cosθ 4πε o r 2 olarak yazılabilir. θ = 90° iken dipolü ikiye bölen ara düzlemde herhangi bir noktadaki V potansiyelinin sıfır olduğu gözlenebilir. Eğer bu ara düzlemde bir yük bir noktadan diğer noktaya hareket ederse enerji harcamaz. Negatiften pozitif yüke hat yönünde p = qd büyüklüğünde bir p = qda z dipol moment vektörü tanımlandığında P noktasındaki potansiyel aşağıdaki gibi yazılabilir. V= p ⋅ ar p cosθ = 4πε o r 2 4πε o r 2 (3.38) Dipolün etrafında bir noktadaki potansiyel uzaklığın karesi ile azalırken tek nokta yükü durumunda potansiyel uzaklıkla ters orantılıdır. 154 Elektromanyetik Alan Teorisi Eş potansiyel yüzeylerin elde edilmesi için (3.38)’deki V potansiyelinin sabit değerler almasına izin verelim. (3.38)’deki değişkenler sadece θ ve r’dir. Böylece eş potansiyel yüzey eşitliği aşağıdaki gibi olur. cosθ = sabit r2 (3.39) İdeal elektrik dipolünün eş potansiyel yüzeyleri şekil 3.26a’da görülmektedir. Şimdi E = −∇V kullanılarak P noktasındaki elektrik alan şiddeti hesaplanabilir. Küresel koordinatlar kullanılarak V skaler potansiyel fonksiyonunun negatif gradyanından (2.78) E= p 4πε o r 3 [2 cosθ a r + sin θ aθ ] (3.40) olarak hesaplanır. 2 cosθ a r + sin θ aθ = 3 cosθ a r − (cosθ a r − sin θ aθ ) = 3 cosθ a r − a z (3.41) özdeşliğinden yararlanılarak P noktasındaki elektrik alan şiddeti 3(p ⋅ r )r − r 2p Ε= 4πε o r 5 (3.42) olarak yazılabilir. Elektrik alan şiddeti uzaklığın ters kübü olarak azalır. Ara düzlemde, θ = ±π / 2 alan çizgileri aθ = −a z boyunca yönlenmiştir. Bu konumda E , E=− p 4πε o r 3 θ = ±π / 2 için (3.43) biçimini alır. θ = 0 ve θ = π iken alan çizgileri p dipol momentine paraleldir. İdeal dipol elektrik alan şiddeti örüntüsü şekil 3.26a’da görülmektedir. Fiziksel dipol (3.26b) ile ideal dipol alanları, orijin etrafındaki bölge dışında birbirine çok benzemektedir. Aradaki farklılık, fiziksel dipolde nokta yükleri arasında bir d açıklığı varken ideal dipolde bu açıklığın olmamasıdır. Dipolde yükler arasındaki açıklık gözlem noktasına göre oldukça küçük veya yüklerin bulunduğu yere göre gözlem noktası çok uzaktaysa orijin etrafındaki alanların farklılığı gözardı edilebilir. (3.42) eşitliğinden ideal dipol’ün etrafındaki bir noktanın (r) mutlak potansiyeli aşağıdaki gibi hesaplanarak 3.38 eşitliği doğrulanabilir. r r r 3(p ⋅ r ) r − r 2p 1 3(p ⋅ r ) r p 1 3(p ⋅ r ) r p −∫ E ⋅ d = −∫ − − 3 dra r = − − 3 dra r V= dr = r r 4πε o r 5 4πε o ∞∫ r 5 4πε o ∞∫ r 5 ∞ ∞ r r 1 3 p cos θ r 2 p cos θ − − V= r5 r3 4πε o ∞∫ p cos θ 1 − − dr = 4πε o r 2 p cos θ = 2 4πε o r ∞ r İşaretleri ve konumlarına bağlı olarak yük ve yük çiftlerinin pozisyona bağlı (birbirlerini birleştiren doğru boyunca) V ve E değişimleri şekil 3.26c’de görülmektedir. Statik Elektrik Alanları 155 (a) İdeal elektrik dipolünün eş potansiyel yüzeyleri ve elektrik alan çizgileri (b) Fiziksel elektrik dipolünün eş potansiyel yüzeyleri ve elektrik alan çizgileri Şekil 3.26 Elektromanyetik Alan Teorisi Yük çiftleri Yük çiftleri Tek yük (ötelenmiş) Tek yük (ötelenmiş) Tek yük (orijnde) 156 Şekil 3.26c İşaretleri ve konumlarına bağlı olarak yük ve yük çiftlerinin pozisyona bağlı (birbirlerini birleştiren doğru boyunca) V ve E değişimleri Statik Elektrik Alanları 157 Elektrik dipolü kavramı, dielektrik (yalıtkan) malzemenin elektrik alanı içindeki davranışının açıklanmasında çok kullanışlıdır. Elektrik dipol’ünün daha uygun bir tanımı aşağıdaki gibidir. Elektrik dipolü küçük bir uzaklık ile birbirinden ayrılmış eşit büyüklükte ve zıt polaritede iki yük olarak tanımlanır. Her dipolun oluşturduğu vektör, dipol momenti olarak adlandırılır. q her yükün büyüklüğü ve d negatiften pozitif yüke uzunluk vektörü ise bu durumda dipol momenti p =q d olur. ÖRNEK 3.13 10-11 metre uzaklık ile birbirinden ayrılmış elektron ve proton z=0 ikiye bölen düzleminde z ekseni boyunca simetrik olarak konulmuştur. P(3,4,12)’deki potansiyeli ve E alanını (a) dipol kavramını kullanarak ve (b) ayrı ayrı yükleri dikkate alarak belirleyiniz ve ayrıca sonuçları karşılaştırınız. ÇÖZÜM (a) Şekil 3.25b’de görüldüğü pozisyon vektörü ve büyüklüğü: r = 3a x + 4a y + 12a z r=13 m Dipol momenti: p = qda z = 1,6 × 10−19 × 10−11 a z = 1,6 × 10−30 a z (3.38)’den P noktasındaki potansiyel, p⋅r 9 × 109 × 1,6 × 10−30 × 12 V= = = 7,86527 × 10−23 V 3 3 4πε o r 13 (3.42)’den P noktasındaki elektrik alan şiddeti, 9 × 109 E= (1,6 × 10−30 )[3 × 12(3a x + 4a y + 12a z ) − 132 a z ] 5 13 E = [4,189a x + 5,58a y + 10,2a z ] × 10−24 V/m olarak hesaplanır. (b) Şekil 3.25a’yardımı ile uzaklık vektörleri ve büyüklükleri aşağıdaki gibi hesaplanır. d r1 = r − a z = r − 0,5 × 10−11 a z = 3a x + 4a y + (12 − 0,5 × 10−11 )a z 2 r1 = 12,999999999995385 m ve d r2 = r + a z = r + 0,5 × 10−11 a z = 3a x + 4a y + (12 + 0,5 × 10−11 )a z 2 r2 = 13,000000000004615 m r2 − r1 = 13,000000000004615 - 12,999999999995385 = 9,23706 × 10-12 158 Elektromanyetik Alan Teorisi r1r2 = 13,000000000004615 × 12,999999999995385 ≅ 169 P(3,4,12) noktasındaki potansiyel ve elektrik alan şiddeti aşağıdaki gibi hesaplanır. V= -12 q r2 − r1 9 −19 9,23706 × 10 = 7,87063 × 10−23 V = 9 × 10 × 1,6 × 10 4πε o r1r2 169 9 × 109 × 1,6 × 10−19 [3a x + 4a y + 11,999999999995a z ] E1 = 3 r1 9 × 109 × 1,6 × 10−19 E2 = − [3a x + 4a y + 12,000000000005a z ] 3 r2 E ≈ E1 + E 2 = [4,189a x + 5,58a y + 10,2a z ] × 10−24 V/m (a) ve (b)’deki hesaplamaların karşılaştırılmasıyla, dipol kavramı kullanılarak, gözlem noktası çok uzakta olduğu sürece, hemen hemen aynı sonucun daha kolaylıkla elde edilebileceği görülmektedir. ALIŞTIRMALAR 12. Şekil 3.26b’deki yükler nokta yükü yerine sonlu yarıçapta küreler olsaydı, eşpotansiyel yüzeyler ve elektrik kuvvet çizgilerinin biçimi ne olurdu? 13.= 3.40 ⇒ E p 4πε o r 3 [2cos θ a r + sin θ aθ ] eşitliğini doğrulayınız. 14. Elektrik dipolünün kuvvet hatları ifadesini elde ediniz. 15. Elektrik dipolünün elektrik alan şiddetinin genliğinin aşağıdaki gibi olduğunu gösteriniz. E= 16. p 4πε o r 3 1 + 3 cos 2 θ (3.44) Elektrik dipolünün oluşturduğu elektrik alan şiddetinin korunumlu alan olduğunu gösteriniz. 3.7 ELEKTRİK ALANINDAKİ MALZEMELER Boş uzayda (vakum) çeşitli yük dağılımlarının meydana getirdiği alanlara yeterli vurgu yapıldı; şimdi elektrostatik alan çalışmasının tamamlanması için malzemeler tartışılabilir. Malzemeler üç geniş kategoride sınıflandırılır: İletkenler, yarı-iletkenler ve yalıtkanlar. 3.7.1 ELEKTRİK ALANINDAKİ İLETKENLER Bir iletken metal gibi bir malzeme olup oldukça çok sayıda serbest elektron bulundurur. Bir elektrona eğer (a) çekirdeği ile gevşek olarak bağlı, (b) iletken içinde serbest gezebiliyor, (c) son derece küçük elektrik alanına tepki verebiliyor ve (d) bir kuvvet altında kaldığı sürece hareketini sürdürüyor ise serbest elektron denir. Statik Elektrik Alanları 159 Metal kristallerin kafes boşluğunda normalde çekirdekten serbest olarak atom başına bir, iki veya üç valens elektronu vardır. Isıl uyarıdan dolayı bu serbest elektronlar kafes boşluğunda rasgele hareket ederler. Yalıtılmış iletkenin herhangi bir yönünde elektronların net bir sürüklenmesi yoktur. Bu elektronlar harici bir enerji kaynağı ile iletken içinde elektrik alanı uygulandığında akıma katkı sağlayan elektronlara benzer. Bir malzemenin serbest elektronlarının sayısı ile tanımlanması yerine iletkenliği ile tanımlanması tercih edilmiştir. İletkenlik daha ileri olarak Kararlı Elektrik Akımları bölümünde tartışılmaktadır. Şimdilik valens elektronlarının sayısının artışı ile malzemenin iletkenliğinin azalacağı basitçe ifade edilebilir. Başka ifadeyle, bir valens elektronlu metallerin iletkenliği iki veya daha fazla valens elektronlu metallerin iletkenliğinden daha yüksektir. Kararlı Elektrik Akımları bölümünde akım taşıyan iletkenin içinde gerçekten nelerin yer aldığı da tartışılacaktır. Bu kısımda amaç, statik elektrik alanına yerleştirildiğinde yalıtılmış bir iletkenin davranışının incelenmesidir. Yalıtılmış iletkenin elektriksel olarak nötr olduğunun hatırlanması iyi olur. Başka ifadeyle, iletkende elektronlar olduğu kadar çok sayıda pozitif yükler de vardır. Öncelikle, bir iletken içinde fazladan bir yük kalabilir mi? sorusu sorulduğunda cevap tabii ki vurgulayarak hayır olacaktır çünkü yükler aralarındaki karşılıklı itme kuvvetinden dolayı uzaklaşmalarını sürdüreceklerdir veya fazla yük içerden dışa doğru hareket ederek yalıtılmış iletkenin yüzeyinde kendisini dağıtacaktır. Bu işlem ne kadar süre alır? Burada da yine miktarsal bir cevap Kararlı Elektrik Akımları bölümünde verilmekle beraber, bu zaman bakır gibi iyi bir iletken için 10-14 saniye seviyesinde oldukça küçüktür. Bu, kararlı durum denge şartları altında iletken içindeki net hacim yük yoğunluğunun sıfır olduğunu vurgulamaktadır. Yani iletken içindeki yük yoğunluğu aşağıdaki gibi verilir. ρv = 0 (3.45) Şekil 3.27 Elektrostatik alan içindeki yalıtılmış letken Şimdi şekil 3.27’de görüldüğü gibi elektrik alanı içine yalıtılmış bir iletken yerleştirildiğini varsayalım. Uygulanan harici elektrik alanı serbest elektronlar üzerinde bir kuvvet meydana getirir ve E alanının zıt yönünde hareket etmelerine neden olur. İletkenin bir kenarı negatif yüklü olurken diğer taraf pozitif olarak yüklenir. Yüklerin böyle bir ayrımı, iletkene doğrudan temas olmadığından indüklenen yükler olarak adlandırılır. Bu indüklenen yükler, iletken içinde uygulanan harici elektrik alanına eşit ve zıt yönde elektrik alanı üretir. Başka bir ifadeyle, kararlı duruma ulaşıldığında iletken içindeki net elektrik alanı sıfır olur. Böylece denge durumundaki bir iletkenin içinde Ε=0 (3.46) 160 Elektromanyetik Alan Teorisi olur. (3.46) eşitliği, iletken malzemenin her noktasında potansiyelin aynı olması anlamına gelir. Böylece statik şartlar altında, yalıtılmış iletkende hacim yük yoğunluğu veya elektrik alan şiddeti varlığını devam ettiremez. Her iletken bir eş potansiyel uzay bölgesi oluşturur. ÖRNEK 3.14 Yük a yarıçapında küresel bir bölge içinde düzgünce dağıtılmıştır. Şekil 3.28a’da görüldüğü gibi iç yarıçapı b ve dış yarıçapı c olan yalıtılmış iletken bir küresel kabuk eş merkezli olarak yerleştirilmiştir. Bölgede her yerdeki elektrik alan şiddetini belirleyerek şekil 3.28b’deki grafiği doğrulayınız. ÇÖZÜM Şekilde görüldüğü gibi uzay dört bölgeye bölünebilir. Bölge I: r < a yarıçapı için çevrelenen toplam yük, 4 Q = πr 3 ρ v 3 dir. Düzgün yük dağılımı nedeniyle, E alanının sadece radyal yönde ve sabit bir (Gauss) küresel yüzeyinde olması gerekir. Buna göre ∫ Ε ⋅ ds = 4πr Ε 2 s yazılır. Buradan 0 < r < a için 4πr 2 Εr = r 4 r πr 3 ρ v yani E = ρ va r olur. 3ε o 3ε o (a) İletken kabuk ile çevrelenmiş küresel yük dağılımı Şekil 3.28 Bölge II: a ≤ r < b için çevrelenen toplam yük, 4 Q = πa 3 ρ v 3 dir ve Gauss kanunundan, E aşağıdaki gibi ifade edilir. (b) E r ’nin radyal yönde değişimi Statik Elektrik Alanları 161 4 πa 3 ρ v 3ε o 4πr 2 Εr = veya a3 E= ρa 2 v r 3ε o r a≤r≤b için Bölge III: b ≤ r ≤ c . İletken içinde E ’nin sıfır olması gerektiğinden r = b yüzeyi, çevrelenen toplam yüke eşit büyüklükte bir negatif yükle yüklenmelidir. Eğer ρ sb yüzey yük yoğunluğu ise bu durumda yüzeydeki yükün − 4πb 2 ρ sb olması gerekir. Buna göre ρ sb aşağıdaki gibi ifade edilir. 4 − 4πb 2 ρ sb = πa 3 ρ v 3 veya ρ sb = − a3 ρv 3b 2 Bölge IV: r≥c: Eğer yalıtılmış iletken kabuğun iç tarafı negatif bir yük kazanırsa r = c ’deki dış tarafın eşit miktarda pozitif yük kazanması gerekir. ρ sb dış yüzeydeki yüzey yük yoğunluğu ise bu durumda 4 4πc 2 ρ sb = πa 3 ρ v 3 veya ρ sc = a3 ρv 3c 2 olur. Bu bölgedeki elektrik alan şiddeti aşağıdaki gibi hesaplanır. a3 E= ρa 2 v r 3ε o r r ≥ c için ÖRNEK 3.15 Şekil 3.29a’da görüldüğü gibi iç yarıçapı a ve dış yarıçapı b olan iletken bir kabuğun ortasında bir +Q nokta yükü bulunmaktadır. Gerekli hesaplamaları yaparak, radyal uzaklığın bir fonksiyonu olarak elektrik alan şiddeti ve potansiyel değişimlerinin grafiklerini çiziniz. ÇÖZÜM Şekilde görüldüğü gibi uzay üç bölgeye bölünebilir. E alanı hesaplamaları: Bölge I: Düzgün yük dağılımı nedeniyle, E alanının sadece radyal yönde ve sabit bir (Gauss) küresel yüzeyinde olması gerekir. Buna göre oluşturulan Gauss eşitliğinden, 162 Elektromanyetik Alan Teorisi 4πr 2 Εr = 0 < r < a için E = Q 4πε o r 2 Q εo a r olur. (a) İç yarıçapı a ve dış yarıçapı b olan iletken kabuk ve ortasındaki +Q yükü (b) İletken kabuk varken elektrik alan şiddetinin radyal yönde değişimi (c) İletken kabuk varken (düz çizgi) ve yokken (kesik çizgi) potansiyelin radyal yönde değişimi Şekil 3.29 Bölge II: a ≤ r ≤ b . İletken içinde E sıfırdır ve r = a yüzeyi, çevrelenen toplam yüke eşit büyüklükte negatif yüke sahip olur. Bu yüzeydeki ρ sa yüzey yük yoğunluğu aşağıdaki gibi ifade edilir. ρ sa = − Q 4πa 2 Statik Elektrik Alanları 163 Bölge III: b ≤ r ≤ ∞ . Yalıtılmış iletken kabuğun dış tarafı içteki negatif yüklerin büyüklüğünde pozitif yük kazanarak yüzeyinde, ρ sb = Q 4πb 2 yük yoğunluğu barındırır. Bu bölgedeki elektrik alan şiddeti aşağıdaki gibi hesaplanır. E= Q 4πε o r 2 ar b ≤ r ≤ ∞ için V alanı hesaplamaları: Potansiyellerin hesaplanmasına potansiyelin en düşük (veya sıfır) olduğu (kaynaktan en uzaktaki) r = ∞ ’dan başlanır. III. bölgedeki potansiyel değişimi, bölgedeki E ile aşağıdaki gibi hesaplanır. r VIII = − E ⋅ d = − ∫ ∞ r Q 1 Q = a r ⋅ dr a r = 2 ∞ 4πε r 4πε o r ∞ 4πε o r o ∫ r Q Buradan b noktasındaki potansiyel, Vb = Q 4πε ob dir. II. bölgedeki potansiyel değişimi, b noktasındaki V b potansiyeli ile toplanarak, bölgedeki E ile aşağıdaki gibi hesaplanır. r r VII = − E ⋅ d + Vb = − 0a r ⋅ dra r + ∫ ∫ b b Q 4πε ob = Q 4πε ob Bölgedeki E alanı 0 (sıfır) olduğundan VII = Vb = Va olduğu açıkca görülmektedir. I. bölgedeki potansiyel değişimi, a noktasındaki V a potansiyeli ile toplanarak, bölgedeki E ile aşağıdaki gibi hesaplanır. r VI = − ∫ E ⋅ d + Va = −∫ r a a Q 4πε o r a ⋅ dra r + 2 r VI = Q 1 Q Q a−r Q = + = + 4πε o a 4πε o r a 4πε o b 4πε o ar 4πε o b Q r Q a−r 1 + 4πε o ar b Elde edilen bütün E ve V eşitlikleriyle şekil 3.29b ve c’deki grafikler çizilir. Şekil 3.29b’de görüldüğü gibi iletken kabuğun varlığı, E r grafiğinde a ile b arasını kesip çıkararak grafiğin 164 Elektromanyetik Alan Teorisi eğiminde herhangi bir değişiklik meydana getirmemiştir. Şekil 3.29c’de ise iletken kabuğun varlığı, b < r < ∞ arasındaki grafiğin eğiminde bir değişiklik meydana getirmezken, b’deki potansiyeli a’ya getirerek 0 < r < a arasındaki potansiyelin eğimini artırmış yani potansiyel daha kısa bir aralığa hapsedilmiştir. ALIŞTIRMALAR 17. a yarıçapında çok uzun iletken bir silindir ρ sa yüzey yük yoğunluğu taşımaktadır. Bu iletken, iç yarıçapı b ve dış yarıçapı c olan diğer bir iletken silindir ile çevrelenmiştir. Boşlukta her yerdeki elektrik alan şiddetini hesaplayınız. Dış iletkenin iç yüzeyindeki yük yoğunluğu nedir? Dış iletkenin dış yüzeyindeki yük yoğunluğu nedir? Dış iletkenin dış yüzeyi topraklandığında yüklere ve alanlara ne olur? 18. Önceki örnekte iç iletkendeki yüzey yük yoğunluğu pozitif ise iç iletkenin potansiyeli dış iletkenden daha mı az yoksa daha mı çok olur? İki iletken arasındaki potansiyel farkı nedir? 19. b yarıçapında bir kürenin içindeki yük dağılımı ρ v = (b + r )(b − r ) C/m3 olarak verilmiştir. Boşlukta her yerdeki elektrik alan şiddeti ve potansiyeli hesaplayınız. Potansiyelin r = ∞ ’da sıfır olduğunu varsayınız. 3.7.2 ELEKTRİK ALANINDAKİ DİELEKTRİKLER İdeal dielektrik’in (yalıtkan) kafes yapısında serbest elektron olmayan malzeme olduğu kesin olarak söylenebilir. İdeal dielektrik içindeki bütün elektronlar bileşen molekülleri ile kuvvetlice yapışıktırlar. Bu elektronlar rasgele hareketlerine zıt yönde çok kuvvetli dahili engelleyici kuvvetler ile etkileşim altındadırlar. Bundan dolayı harici bir enerji kaynağı ile bir elektrik alanı verildiğinde dielektrik içinden akım geçmez. Daha uygun tanımla, ideal dielektrik pozitif ve negatif yükleri birbirinden ayrılmayacak şekilde çok sert yapışmış olan malzemedir. Tabii ki hiçbir gerçek cisim ideal dielektrik değildir. Bunun yanında iyi bir iletkenden 1020 kez daha küçük iletkenlikte malzemeler vardır. Belli bir şiddetten daha az elektrik alanlarına maruz bırakıldığında bu malzemeler sadece ihmal edilebilir akım akışına izin verirler. Bütün pratik amaçlar için bu malzemeler ideal (mükemmel) dielektrikler olarak sayılabilirler. Bir elektrik kuvvetinin etkisi altında dielektrik malzemenin molekülleri bir bozulma ile karşılaşarak pozitif yükün merkezi ile negatif yükün merkezi artık çakışmaz. Böyle bir moleküle veya dielektrik malzemeye polarize olmuş (kutuplanmış) denilir. Malzeme polarize durumunda çok sayıda dipol içerir. Normal durumunda bir dielektrik kalın dilim tabakanın şematik temsili şekil 3.30a’da görülmektedir. Şekil 3.30b’de aynı kısmın bir elektrik alanının etkisi altında olduğu durum görülmektedir. Şimdi şekil 3.31’de görüldüğü gibi polarize dielektrik malzemenin dışında P noktasındaki potansiyeli hesaplayalım. Bunun için öncelikle birim hacim başına dipol sayısı olarak aşağıdaki gibi P polarizasyon vektörü tanımlansın. Statik Elektrik Alanları 165 (a) Pozitif yüklerin merkezinin negatif yüklerin merkezi ile çakıştığı normal durumda dielektrik (b) Yük çiftleri arasındaki ayrımı ve kutuplanmayı gösteren polarize dielektrik Şekil 3.30 ∆p P = lim ∆v → 0 ∆v (3.47) Şekil 3.31 Polarize dielektrik malzemenin P noktasında oluşturduğu potansiyel ∆p ∆v →0 limitinde ∆v hacminin dipol momentidir. (3.47) eşitliği basitçe v’ye göre p ’nin türevinin tanımıdır. Bu bakımdan şekil 3.31’deki dv ' hacmi için dp , dp = Pdv ' (3.48) olarak tanımlanabir. dp ’den dolayı P noktasındaki potansiyel, P ⋅ aR dV = dv ' 4πε o R 2 (3.49) ile ifade edilir; R = r − r ' = r − r ' a R = Ra R dir. ∇' (1 / R) = (1 / R 2 )a R olduğundan (3.49) P ⋅ ∇ '(1 / R ) dV = dv ' 4πε o biçimini alır. P ⋅ ∇' (1 / R) = ∇'⋅(P / R) − (∇'⋅P) / R vektör özdeşliği (Vektör Analizi bölümü) kullanılarak (3.50) (3.50) 166 Elektromanyetik Alan Teorisi 1 P ∇'⋅P dV = ∇'⋅ − dv' R 4πε o R olarak yazılabilir. Buna göre, polarize dielektrik’in v′ hacmi üzerinde integral alınarak P noktasındaki potansiyel, P 1 ∇'⋅P V= dv' ∇'⋅ dv'− v' R 4πε o v ' R ∫ ∫ ifadesinde ikinci tarafın birinci terimine diverjans teoremi uygulanarak V= 1 4πε o P ⋅ an 1 ds ' − s' R 4πε o ∫ ∇'⋅P dv' v' R ∫ (3.51) elde edilir. (3.51)’den, polarize dielektrik’in P noktasındaki potansiyelin iki terimin cebirsel toplamı olduğu açıktır. Bunlar bir yüzey terimi ve bir hacim terimidir. Eğer sınır yüzey yük yoğunluğu, ρ sb= P ⋅ a n (3.52) ve sınır hacim yük yoğunluğu, ρvb = −∇ ⋅ P (3.53) olarak tanımlanırsa (3.51) V = ρ 1 ρ sb ds ' + ∫ vb dv ' ∫ ' ' s v R R 4πε o (3.54) olarak yazılabilir. Böylece bir dielektrik malzemenin polarizasyon kaynağının sınır yük dağılımları olduğu anlaşılır. Bu sınır yük dağılımları serbest yükler gibi olmayıp daha önce bahsedildiği gibi yük çiftlerinin ayrılması ile meydana gelir. Eğer dielektrik bölge sınır yük yoğunluğuna ek olarak serbest yük yoğunluğu da içerirse, dielektrik bölgede E alanının belirlenmesi için serbest yük yoğunluğundan dolayı katkının da eklenmesi gerekir. Buna göre ifade ρ v + ρ vb ρ v − ∇ ⋅ P ∇⋅E = = εo εo veya ∇ ⋅ ε oE + P = ρv ( ) (3.55) olur. (3.55)’in sağ tarafı basitçe serbest yük yoğunluğudur. Boş uzaydaki alanlar tartışılırken serbest yük yoğunluğunun ∇ ⋅ D ’ye eşit olduğu söylenmişti. Gerçekte bu hala doğrudur ve boş uzayda P →0 olduğu (3.55)’den açıktır. Bundan dolayı, herhangi bir ortam için elektrik akı Statik Elektrik Alanları 167 yoğunluğunun tanımı şimdi aşağıdaki gibi dielektrik malzemede polarizasyonun etkisi dahil edilerek genelleştirilebilir. D = ε oE + P (3.56) Bu durumda ∇ ⋅ D daima herhangi bir ortamdaki serbest yük yoğunluğunu temsil edecektir. Dielektrik ortamda dipol momenti, p harici bir E alanı ile indüklenmektedir. Eğer dipol momenti ve dolayısiyle polarizasyon vektörü E ile orantılı ise malzemeye doğrusal denilir. Eğer dielektriğin elektriksel özellikleri yönden bağımsız ise ortama izotropik denilir. Eğer malzemenin bütün kısımları aynı ise dielektrik malzemeye homojen denilir. Doğrusal, izotropik veya homojen dielektrik malzeme A sınıfı dielektrik olarak anılır. Bu kitapta dielektrik ortamın tamamen A sınıfı tipinde olduğu varsayılmaktadır. Böylece E ile polarizasyon vektörü, P arasında P = ε o χE (3.57) ilişkisi yazılabilir. χ orantı katsayısı elektriksel duyarlılık olarak adlandırılır ve ε o faktörü boyutsuz bir miktar yapmak için konulmuştur. (3.56) şimdi D = ε o (1 + χ )E (3.58a) olarak ifade edilebilir. (1 + χ ) miktarı ortamın bağıl geçirgenliği veya dielektrik sabiti olarak anılır ve ε r ile sembolize edilir. Böylece en sonunda elektrik akı yoğunluğunun genel ifadesi D = ε oε r E = εE (3.58b) olur; ε = ε oε r ortamın geçirgenliğidir. (3.58b) eşitliği ortamın geçirgenliği, ε ile D ve E terimleri arasında yapısal bir ilişki verir. Boş uzay için ε r = 1 olduğundan D = ε o E ’dir. Bundan dolayı herhangi bir ortamda elektrostatik alanlar aşağıdaki eşitlikleri doyurur. ∇×E = 0 (3.59a) ∇ ⋅ D = ρv (3.59b) D = εE (3.59c) ρ v ortamdaki serbest hacim yük yoğunluğu, ε = ε oε r ortamın geçirgenliği ve ε r dielektrik sabiti veya ortamın bağıl geçirgenliğidir. Gerçekte şimdiye kadar geliştirilen bütün eşitlikler ε o ’ın ε ile değiştirilmesiyle genelleştirilebilir. 168 Elektromanyetik Alan Teorisi Tablo 3.1 Dielektrik malzemelerin yaklaşık dielektrik sabitleri ve dielektrik dayanımları Dielektrik Malzeme Dielektrik Sabiti Dielektrik dayanımı (kV/m) Hava Bakalit Ebonit Epoksi Cam Gutta-percha Mika Mineral yağı Parafin Polystyrene (köpük) Paranol Porselen Quartz Lastik Transformotor yağı Saf su 1,0 4,5 2,6 4 4,5 4 6 2,5 2,2 2,6 5 5 5 2,5-3 2-3 81 3000 21000 60000 35000 90000 14000 60000 20000 29000 30000 20000 11000 30000 25000 12000 - İzotropik olmayan yani anisotropik dielektrik malzemelerde P ile E artık parallelliğini sürdüremez ve D ile E arasındaki ilişki aşağıdaki gibi bir matrisle tanımlanır. Homojen olmayan dielektrik malzemelerde geçirgenlik, pozisyona bağlılığının gösterilmesi için ε ( x, y, z ) ile tanımlanır. Dx ε xx D = ε y yx Dz ε zx ε xy ε xz E x ε yy ε yz E y ε zy ε zz E z E alanı elektronları moleküllerden tamamen çekecek bir seviyeye artırıldığında dielektrik malzemenin delinmesi yer alacak ve akabinde bir iletken gibi davranacaktır. Delinmeden önce bir dielektriğin dayanabileceği maksimum E alanı malzemenin dielektrik dayanımı olarak adlandırılır. Bazı malzemelerin dielektrik sabiti ve maksimum dielektrik dayanımları tablo 3.1’de verilmiştir. ÖRNEK 3.16 Bir q nokta yükü sonsuz uzunlukta doğrusal, izotropik ve homojen dielektrik ortam ile çevrelenmiştir. E alanını, D alanını, P polarizasyon vektörünü, ρ sb sınır yüzey yük yoğunluğunu ve ρ vb sınır hacim yük yoğunluğunu hesaplayınız. Nokta yükünün etrafında dielektrik ortamın varlığı ve yokluğunda E , D , P ve V büyüklüklerinin yarıçap ile değişimlerini grafiksel olarak gösteriniz. ÇÖZÜM E , D ve P doğrusal bir ortamda birbirine paralel olduğundan E alanının a r yönünde olması beklenir. Böylece Gauss kanunundan ortamdaki tek serbest yük q olarak q ∫ D ⋅ ds = s veya Statik Elektrik Alanları 169 4πr 2 Dr = q yazılır ve buna göre D= q ar 4πr 2 olur. (3.59)’dan elektrik alan şiddeti E= q 1 ar 4πε o r ε r 2 olarak ifade edilir. Böylece bir dielektrik malzemenin varlığı E alanını ε r faktörü kadar azaltmış fakat D alanı değişmeden kalmıştır. (3.56)’dan P P = D − ε oE = q ε r −1 ar 4πr 2 ε r olarak hesaplanabilir. (2.88)’den ∇ ⋅ P = 0 olduğu hatırlanarak (3.53)’den sınır hacim yük yoğunluğu sıfırdır. Dielektrik ortam iki yüzeyle sınırlanmıştır: birisi r→∞ da ve diğeri ise nokta yükünün etrafında. R→∞ da yüzeydeki sınır yüzey yük yoğunluğu 0<r<∞ bölgesinde E alanına katkı sağlamazken nokta yükü etrafında yüzeydeki yüzey yük yoğunluğu E alanına katkı sağlar. R→0 iken P →∞ dur. R→0 iken P’deki olağan dışılıkla beraber makroskobik skalada limit sıfıra yaklaşırken yarıçap a olarak alınabilir. Böylece q yüküne yakın dielektriğin yüzeyindeki toplam sınır yükü Qsb =lim 4π a 2 ρ sb =lim 4π a 2 P ⋅ ( −a r ) =−4π a 2 a →0 a →0 q 4πε r a 2 (ε r − 1) =−q εr −1 εr ve sınır yük yoğunluğu, ρ sb = − q ε r −1 4πa 2 ε r olur. Böylece E alanının kaynağı olan toplam yük, qt = q + Qsb = q − q ε r −1 q = εr εr ile ifade edilir.Toplam yük ε r faktörü ile azalmıştır. Bu E alanının aynı faktör ile azalmasından dolayıdır. ε r artarken ortamdaki elektrik alan şiddeti azalır. Elde edilen sonuçlar şekil 3.32’de grafik haline getirilmiştir. Şekil 3.32a’da görüldüğü gibi dielektrik ortamın varlığı D alanında bir değişme meydana getirmezken dielektrik ortam varken D etkisi meydana getiren fazladan bir P oluşmaktadır. Bunun nedeni dielektrik yüzeyinde sınır yüzey yüklerinin oluşmasıdır. Şekil 170 Elektromanyetik Alan Teorisi 3.32b’de dielektrik malzemenin varlığının E alanını ε r faktörü kadar azalttığı görülmektedir. Şekil 3.32c’deki potansiyel değişimleri E alanlarındakine benzer bir etki meydana getirmiştir. Şekil 3.32d’de ise, kaynak nokta yükü yarıçapının bir a yarıçapına atanmış durumda, serbest ve sınır yüzey yük yoğunluklarının radyal yöndeki değişimleri görülmektedir. r = ∞ ’da, grafikte gösterilmeyen ayrıca bir ρ sb ( r =∞ ) vardır fakat Gauss kanununa göre bu yüklerin a < r < ∞ bölgesindeki alanlara hiçbir katkısı yoktur. Şekil 3.32 (a) Dielektrik ortam yokken ve varken D ve P alanlarının radyal doğrultudaki değişimleri, (b) Dielektrik ortam yokken ve varken E alanlarının radyal doğrultudaki değişimleri, (c) Dielektrik ortam yokken ve varken potansiyellerin (V) radyal doğrultudaki değişimleri ve (d) Dielektrik ortam yokken ve varken serbest ( ρ s ) ve sınır yüzey ( ρ sb ) yük yoğunluklarının radyal doğrultudaki değişimleri (Grafiklerde karşılaştırma kolaylığı bakımından ε r = 2 alınmıştır). ALIŞTIRMALAR 20. ∇' (1 / R ) = (1 / R 2 )a R olduğunu gösteriniz. 21. 10 mm yarıçapında bir dielektrik çubuk z ekseninde z = 0 ile z = 10 m arasında uzanmaktadır. Çubuğun polarizasyonu P = [2 z 2 + 10]a z dir. Sınır hacim yük yoğunluğunu ve her yüzeydeki yüzey polarizasyonunu hesaplayınız. Toplam sınır yükü nedir? 22. Kenarı b olan bir dielektrik küpte polarizasyon vektörü P = xa x + ya y + za z olarak veriliyor. Eğer koordinatların orijini kübün merkezinde ise sınır hacim yük yoğunluğunu ve sınır yüzey yük yoğunluğunu bulunuz. Bu durumda toplam sınır yükü kaybolur mu? Statik Elektrik Alanları 171 23. Yarıçapı b olan dielektrik silindir uzunluğu boyunca polarize edilmiş ve z ekseninde z = − L / 2 ile z = L / 2 arasında uzanmaktadır. Eğer polarizasyon düzgün ve genliği P ise dielektrik silindirin hem içinde ve hem de dışında, z eksenindeki bir noktada bu polarizasyondan kaynaklanan elektrik alanını hesaplayınız. 24. Sonsuz bir hat yükü sabit geçirgenlikte dielektrik bir ortam içinde çevrelenmiştir. Ortamda herhangi bir noktadaki elektrik alan şiddetini belirleyiniz. Hat a→0 olacak şekilde a yarıçaplı bir silindire yakınlaştırıldığında sınır yük yoğunluğu nedir? 3.7.3 ELEKTRİK ALANINDAKİ YARI-İLETKENLER Silikon ve germanyum gibi bazı malzemelerde, valens elektronlarının toplam sayısının küçük bir kısmı kafes boşluğunda rasgele hareket edebilecek serbestliktedir. Bu serbest elektronlar malzemeye belli bir iletkenlik kazandırır. Bu malzeme tipi yarı-iletken zayıf bir iletkendir. Eğer yarı-iletken içine bir miktar yük yerleştirilirse itici kuvvetlerden dolayı bir iletkende olduğundan daha yavaş bir hızda yükler dış yüzeye itilecektir. Denge durumu kazanıldığında yarı-iletken içinde kalmış fazladan hiç yük olmayacaktır. Eğer yalıtılmış yarı-iletken bir elektrik alanına yerleştirilirse serbest elektronların hareketi sonunda bir elektrik alanı üreterek uygulanan harici alanı dengeleyecektir. Burada da yine kararlı durum şartları altında yalıtılmış yarı-iletken içinde net elektrik alanı sıfır olacaktır. Böylece bir yarı-iletken elektrostatik alana maruz bırakıldığında iletkenden farklı davranmaz. Bu bakımdan elektrostatik alanlar bakış açısından bütün malzemeler iki kategoriye ayırılabilir: iletkenler ve dielektrikler. 3.8 ELEKTRİK ALANINDA DEPOLANAN ENERJİ Bu kısımda elektrik alanında depolanan enerjinin belirlenmesi için birisi kaynaklar ile ve diğeri alan miktarları ile iki metot geliştirilecektir. Kaynak miktarları ile depolanan enerji ifadesinin çıkartılması Elektrik alanından yoksun bir bölge dikkate alınsın. Böyle bir bölge oluşturmak için ortamda herhangi bir yük varsa bunların sonsuza yerleştirilmesi gerekir. Mevcut n nokta yükünün her birinin sonsuz bir uzaklıkta olduğunu kurgulayalım. Şimdi şekil 3.33’de görüldüğü gibi q 1 nokta yükü sonsuzdan getirilip a noktasına yerleştirilsin. Bunu yapmak için gereken enerji sıfırdır, W1 = 0 çünkü yük herhangi bir kuvvetin etkisinde değildir. Şimdi q 1 nokta yükünün varlığı bölgede bir potansiyel dağılım meydana getirdiğinden diğer q 2 yükü sonsuzdan b noktasına getirilirse bunu yapmak için gereken enerji, W2 = q2Vb ,a = q1q2 4πεR olur; V b,a potansiyeli a noktasındaki q 1 nokta yükünün b noktasında doğurduğu potansiyel ve R iki yük arasındaki uzaklıktır. Bu ifadenin yapılmasında potansiyel için referans noktası sonsuzda seçilmiştir. İki yükün sonsuzdan a ve b noktalarına getirilmesi için gereken enerji ifadesi aşağıdaki gibi yazılır. W = W1 + W2 = q1q2 4πεR (3.60) 172 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 3.33 İki nokta yükü arasındaki potansiyel enerji (3.60) eşitliği herhangi bir ortamda aralarında R uzaklığı olan iki nokta yükünün potansiyel enerjisini (tam olarak ortak potansiyel enerji) verir. Bununla beraber eğer işlem tersine çevrilir ve başlangıçta alanlardan yoksun olan bölgeye önce q 2 yükü b noktasına getirilirse, bunu yapmak için gereken enerji sıfır olurdu, W2 = 0 . q 2 ’den dolayı bir a noktasındaki potansiyel Va ,b = q2 4πεR dir ve q 1 nokta yükünün a noktasına getirilmesi için harcanan enerji W1 = q1 Vb ,a = q1q2 4πεR olur. Tersine çevrilmiş işlem için toplam enerji gereksinimleri W = W1 + W2 = q1q2 4πεR (3.61) olduğundan her iki durum için gereken enerji aynıdır böylece hangi yükün önce getirilmiş olması hiç problem değildir. Şimdi şekil 3.34’de görüldüğü gibi sonsuzdan sırasıyla a, b ve c noktalarına getirilecek q 1 , q 2 ve q 3 üç nokta yüklü sistemde tartışmayı genişletelim. Bunun için gereken enerji (a, b, c sırasıyla getirilecek) aşağıdaki gibi verilir. W = W1 + W2 + W3 = 0 + q2Vb ,a + q3 (Vc ,a + Vc ,b ) = 1 q2 q1 q3q1 q3q2 + + 4πε R21 R31 R32 (3.62) Şekil 3.34 Üç nokta yüklü sistemde potansiyel enerji Üç yükün ters sırada önceki pozisyonlara getirilmesi durumunda toplam enerji harcaması W = W3 + W2 + W1 = 0 + q2Vb ,c + q1 (Va ,c + Va ,b ) = 1 q2 q3 q1q3 q1q2 + + R13 R12 4πε R23 (3.63) Statik Elektrik Alanları 173 olup (3.62) ile aynıdır. Her durumda yapılan iş yük sisteminde depolanan enerjinin miktarını artırır. (3.62) ve (3.63)’ün ortalaması alınarak, 1 W = [ q1 (Va ,c + Va ,b ) + q2 (Vb,a + Vb,c ) + q3 (Vc ,a + Vc ,b )] 2 elde edilir. Va ,c + Va ,b b ve c noktalarındaki yüklerden dolayı a noktasındaki toplam potansiyel olduğundan V1 = Va ,c + Va ,b = 1 q3 q + 2 4πε R13 R12 yazılabilir. Aynı şekilde b ve c noktalarındaki potansiyeller V2 = Vb ,a + Vb ,c ve V3 = Vc ,a + Vc ,b olur. Toplam enerji şimdi W= 3 1 [q1V1 + q2V2 + q3V3 ] = 1 ∑ qiVi 2 2 i =1 olarak yazılabilir. n nokta yüklü bir sistem için bu eşitlik W= 1 n ∑ qiVi 2 i =1 (3.64) ifadesi ile genelleştirilebilir. (3.64) eşitliği, ortak alanlı bir grup enerjinin elektrostatik potansiyel enerjisinin hesaplanmasına izin verir. Eğer yükler sürekli veya kesintisiz olarak dağıtılmışsa (3.64) W= 1 ρ vVdv 2 v ∫ (3.65) olur. ρ v v içindeki hacim yük yoğunluğudur. Bu eşitlik hacim yük yoğunluğu ve potansiyel ile bir yük sisteminin enerjisinin standart ifadesidir. Yüzey yük yoğunluğu, hat yük yoğunluğu ve nokta yükleri bu eşitliğin özel durumlarını temsil etmektedir. ÖRNEK 3.17 10 cm yarıçapında metal bir küre 10 nC/m2’lik bir yüzey yük yoğunluğu barındırıyorsa sistemde depolanan enerjiyi hesaplayınız. ÇÖZÜM Küre yüzeyindeki potansiyel, π 2π ρ ds V =∫ s = 9 × 109 × 10 × 10−9 × 0,1∫ sin θ dθ ∫ dφ = 113,1 V 4 πε R o s 0 0 olarak hesaplanır ve sistemde depolanan enerji (3.65)’den 174 Elektromanyetik Alan Teorisi W= 1 1 ρ sVds = QtV 2s 2 ∫ olur; Q t küredeki toplam yüktür. Düzgün bir yük dağılımı için toplam yük, Qt = 4πR 2 ρ s = 4π (0,1) 2 10 × 10 −9 = 1,257 nC ile depolanan enerji miktarı aşağıdaki değere sahiptir. W = 0,5 × 1,257 × 10 −9 × 113,1 = 71,08 × 10 −9 J Alan miktarları ile depolanan enerji ifadesinin çıkartılması Şimdi alan miktarları ile bir elektrostatik sistemde enerjinin başka bir ifadesini çıkaralım. Gauss kanunu, ∇ ⋅ D = ρ v kullanılarak (3.65) W= 1 V (∇ ⋅ D)dv 2 v ∫ olarak ifade edilebilir. Bunun yanında Vektör Analizi bölümündeki V (∇ ⋅ D) = ∇ ⋅ (VD) − D ⋅ ∇V vektör özdeşliği kullanılarak enerji ifadesi = W 1 ∇ ⋅ V D dv − D ( ) ∫v ⋅ (∇V )dv 2 ∫v olarak elde edilir. Birinci hacim integralinin kapalı bir yüzey integraline dönüştürülmesi için diverjans teoremi aşağıdaki gibi kullanılabilir. ∫ v ∇ ⋅ (VD= )dv V D ∫ ⋅ ds s Bu integral işleminde v hacminin seçimi keyfidir. Tek sınırlama s’nin v’yi sınırlamasıdır. Eğer sınırlayan yüzeyde V ve D ’nin ihmal edilebilecek kadar küçük olduğu çok büyük bir hacim üzerinde integral alınırsa yüzey integrali kaybolur. Buna göre elektrostatik sistemde depolanan enerji W =− 1 1 D ⋅ (∇V )dv = ∫ D ⋅ E dv ∫ 2 v 2 v (3.66) ’ye indirgenir. Bu eşitlik alan miktarları ile elektrostatik enerjinin belirlenmesine izin verir. (3.66)’daki hacim integralinin boşlukta bütün (R→∞) üzerinde olduğuna dikkat edilmelidir. Eğer birim hacim başına enerji olan enerji yoğunluğu w= 1 1 2 1 2 D ⋅ E= ε E = D 2 2 2ε (3.67) Statik Elektrik Alanları 175 olarak tanımlanırsa enerji yoğunluğu ile (3.66) W = ∫ wdv (3.68) v olarak ifade edilebilir. (3.65)’den enerji yoğunluğunun diğer ifadesi w= 1 ρ vV 2 (3.69) olur. (3.67)’nin incelenmesi, alanların sürekliliğinden dolayı bütün uzayda enerji yoğunluğunun sıfır olmayabileceğini göstermektedir. Bunun yanında (3.69) sadece yüklerin olduğu yerde enerji yoğunluğunun sıfır olmadığını önermektedir. Bir eşitlik diğerini yalanlar mı? Toplam enerji, uzayın tamamı üzerinde enerji yoğunluğunun integrali alınarak bulunduğundan ters düşmenin olmadığını bilmek yeterli olacaktır. ÖRNEK 3.18 3.17 örneğini (3.66)’yı kullanarak çözünüz. ÇÖZÜM Yük dağılımı kürenin yüzeyinde olduğundan kürenin içindeki enerji yoğunluğu sıfırdır. Gauss kanunu, Q ∫ D ⋅ ds = t s kullanılarak uzayda herhangi bir noktadaki elektrik akı yoğunluğu 4π (0,1) 2 × 10 × 10−9 0,1× 10−9 Q = D = t 2 ar = a a r C/m2 r 4πr 4πr 2 r2 dir. (3.67)’den enerji yoğunluğu, w= 1 (0,1) 2 × 10−18 D ⋅ E= 2 2ε o r 4 ile sistemdeki toplam enerji aşağıdaki gibi elde edilir. W= (0,1) 2 × 10−18 2 r dr 0 ,1 2ε o r 4 ∫ ∞ π ∫ 0 ∫ 2π sin θ dθ dφ = 0 ∞ (0,1) 2 × 10−18 1 π 2π cosθ 0 φ 0 = 71,06 nJ 2 × 8,85 × 10−12 r 0,1 ALIŞTIRMALAR 25. Yarıçapı a olan küresel bir hacimde düzgün bir ρ v hacim yük dağılımı vardır. (3.65)’i kullanarak sistemin toplam enerjisini hesaplayınız. 26. Önceki alıştırmada (3.68)’i kullanarak sistemin toplam enerjisini hesaplayınız. 27. Yarıçapı a olan küresel hacimde ρ v düzgün hacim yük dağılımı vardır. Yük dağılımı iç yarıçapı b, dış yarıçapı c olan ve ε geçirgenliğinde, eş merkezli dielektrik kabuk ile çevrelenmişse (a) sistemde depolanan toplam enerjiyi, (b) sınır yük yoğunluklarını ve (c) net sınır yükünü belirleyiniz. 176 Elektromanyetik Alan Teorisi 3.9 SINIR ŞARTLARI Bu kısımda iki ortam arasındaki sınırda elektrik alanlarının davranışını yöneten şartlar incelenmektedir. Ara yüzey bir dielektrik ve bir iletken veya farklı iki dielektrik arasında olabilir. Bir ara yüzeyin her iki yanındaki elektrik alanlarının davranışını yöneten eşitlikler sınır şartları olarak bilinir. 3.9.1 D ’NİN NORMAL BİLEŞENİ Şekil 3.35a’da görüldüğü gibi Gauss Kanununu bir ara yüzeyde elektrik akı yoğunluğunun normal bileşeni’ne ait sınır şartlarının bulunması için uygulayalım. Bir hap kutucuğu veya tablet şeklinde yarısı ortam 1’de ve diğer yarısı ortam 2’de bir Gauss yüzeyi oluşturalım. Her ortamdaki elektrik akı yoğunluğu, ortamdaki yüzey boyunca temelde sabit olacak şekilde her düz yüzey çok küçüktür. Hap kutucuğunun yüksekliği ∆h sıfıra küçülecek şekilde eğri yüzeyin alanı da ihmal edilebilecek kadar küçük ve ayrıca ara yüzeyde bir serbest yüzey yük yoğunluğu, ρ s olduğu varsayılıyor. a) Sınır şartları (b) Normal bileşenler Şekil 3.35 D ve E alanlarının normal bileşenlerini içeren sınır şartları Eğer yüzey alanı ∆ s ise tabletin çevrelediği toplam yük ρ s ∆s dir. Gauss kanunu uygulanarak D1 ⋅ a n ∆s − D2 ⋅ a n ∆s = ρ s ∆s veya a n ⋅ (D1 − D2 ) = ρs (3.70a) veya D n1 − D n 2 = ρ s (3.70b) elde edilir. a n ortam 2’den ortam 1’i gösteren ara yüzeye normal birim vektördür. D n1 ve D n2 şekil 3.35b’de görüldüğü gibi sırasıyla ortam 1 ve ortam 2’de ara yüzeye normal D alanının Statik Elektrik Alanları 177 bileşenleridir. (3.70b) eşitliği ara yüzeyde serbest yüzey yük yoğunluğu varsa elektrik akı yoğunluğunun normal bileşenlerinin süreksiz olduğunu ifade etmektedir. D = εE olduğundan (3.70a) E ’nin normal bileşenleri ile de aşağıdaki gibi yazılabilir. a n ⋅ (ε1E1 − ε 2 E2 ) = ρs (3.70c) veya ε1En1 − ε 2 En 2 = ρ s (3.70d) Ara yüzey farklı iki dielektrik arasında olduğunda yük oraya bilinerek konulmadığı sürece sınırda hiçbir serbest yüzey yük yoğunluğunun olması beklenilmez. Bir yükün böyle bilinerek konulması ihtimali gözardı edildiğinde, bir dielektrik sınır boyunca elektrik akı yoğunluğunun normal bileşenlerinin sürekli olduğu bulunur yani ρ s = 0 konularak Dn1 = Dn 2 (3.71a) ε1En1 = ε 2 En 2 (3.71b) veya elde edilir. Eğer ortam 2 bir iletken ise elektrik akı yoğunluğu D2 statik şartlar altında sıfır olmalıdır. Ortam 1’de elektrik akı yoğunluğu D1 ’in normal bileşeninin var olması için (3.70b)’ye uygun olarak iletkenin yüzeyinde bir serbest yüzey yük yoğunluğunun olması gerekir yani a n ⋅ D1 = Dn1 = ρ s (3.72a) ε1En1 = ρ s (3.72b) veya Bir iletken yüzeyinin tam üzerinde bir dielektrik ortamda elektrik akı yoğunluğunun normal bileşeni iletken üzerindeki yüzey yük yoğunluğuna eşittir. 3.9.2 E ’NİN TANJANT BİLEŞENİ Elektrik alanının yapısı gereği korunumlu ve buna uygun olarak 0 olduğu bilinmektedir. ∫ E ⋅ d = Bu sonucu şekil 3.36a’da görüldüğü gibi ara yüzey boyunca uzanan kapalı abcda yoluna uygulayalım. Kapalı yol herbirinin uzunluğu ∆w olan ara yüzeyin zıt kenarlarında birbirine paralel ve eşit ab ve cd segmentlerinden ve herbirinin uzunluğu ∆h olan daha kısa bc ve da segmentlerinden oluşmaktadır. ∆h→0 olduğundan ∫ E ⋅ d çizgisel integraline bc veya da uzunluk segmentlerinin katkıları ihmal edilebilir. Böylece E1 ⋅ ∆w − E2 ⋅ ∆w = 0 178 Elektromanyetik Alan Teorisi a) Sınır şartları b) Tanjant bileşenleri Şekil 3.36 E alanının tanjant bileşenleri için sınır şartları veya (E1 − E 2 )∆w = 0 elde edilir. ∆w = ∆wat olarak ifade edilirse, a t şekil 3.36a’da görülen ara yüzeye tanjant birim vektörüdür, önceki eşitlik 0 at ⋅ (E1 − E2 ) = veya E t1 = E t 2 (3.73a) olur. E t1 ve E t 2 şekil 3.36b’de görüldüğü gibi sırasıyla ortam 1 ve ortam 2 de E alanının tanjant bileşenleridir. Bu eşitlik ara yüzeyde elektrik alan şiddetinin tanjant bileşenlerinin sürekli olduğunu ifade etmektedir. (3.73a) eşitliği vektörel biçimde aşağıdaki gibi de yazılabilir. a n × ( E1 − E 2 ) = 0 (3.73b) Eğer ortam 1 bir dielektrik ve ortam 2 bir iletken ise iletkenin hemen yakınında ortam 1’de elektrik alanının tanjant bileşeninin sıfır olması gerekir çünkü bir iletkenin içinde elektrostatik alanlar mevcut olamaz. Bundan dolayı bir iletkenin hemen üzerindeki elektrostatik alan daima iletkenin yüzeyine normaldir. ÖRNEK 3.19 Q yükü R yarıçapında bir metal kürenin yüzeyi üzerine düzgünce dağılmıştır. Küre yüzeyinin hemen üzerindeki E alanını belirleyiniz. ÇÖZÜM Yüzey yük yoğunluğu, Statik Elektrik Alanları 179 ρs = Q 4πR 2 olduğundan iletken yüzeyin hemen üzerinde D alanının sadece normal bileşeni var olabilir ve D = Dr a r olur. (3.72a)’dan Dr = Q 4πR 2 yazılır. Eğer küreyi çevreleyen ortamın geçirgenliği ε ise Er = Dr / ε = Q 4πεR 2 ifadesi Gauss kanunu ile kolaylıkla doğrulanabilen bir sonuçtur. ÖRNEK 3.20 (a) x = 0 düzlemi, (b) y = 0 düzlemi, (c) z = 0 düzlemi boş uzay ile dielektrik sabiti 5 olan bir dielektrik ortam arasındaki sınırı işaretlemektedir. Boş uzayda ara yüzeye yakın E alanı E = 13a x + 40a y + 50a z V/m’dir. Ara yüzeylerin diğer tarafındaki E alanlarını belirleyiniz ve şekil üzerinde gösteriniz. ÇÖZÜM (a) x > 0 dielektrik ortam 1 ve x < 0 boş uzay, ortam 2 olsun. Bu durumda E 2 = 13a x + 40a y + 50a z olur. Ara yüzeye normal a n birim vektörü a x ’dir. E alanının tanjant bileşenleri sürekli olduğundan E y1 = E y 2 = 40 ve E z1 = E z 2 = 50 olması gerekir. Dielektrik-dielektrik arayüzey için D alanının normal bileşenleri de sürekli olduğundan ε1Ex1 = ε 2 Ex 2 ifadesi ve ε 2 = ε o ve ε1 = 5ε o ile E x1 = E x 2 13 = = 2,6 5 5 elde edilir. Böylece ortam 1’deki E alanı aşağıdaki gibi hesaplanır (Şekil Ö.3.20a). E1 = 2,6a x + 40a y + 50a z V/m 180 Elektromanyetik Alan Teorisi (b) y > 0 dielektrik ortam 1 ve y < 0 boş uzay, ortam 2 olsun. Bu durumda E 2 = 13a x + 40a y + 50a z olur. Ara yüzeye normal a n birim vektörü a y ’dir. E alanının tanjant bileşenleri sürekli olduğundan E x1 = E x 2 = 13 ve E z1 = E z 2 = 50 olması gerekir. Dielektrik-dielektrik arayüzey için D alanının normal bileşenleri de sürekli olduğundan ε1E y1 = ε 2 E y 2 ifadesi ve ε 2 = ε o ve ε1 = 5ε o ile E y1 = Ey2 5 = 40 =8 5 elde edilir. Böylece ortam 1’deki E alanı aşağıdaki gibi hesaplanır (Şekil Ö.3.20b). E1 = 13a x + 8a y + 50a z V/m (c) z > 0 dielektrik ortam 1 ve z < 0 boş uzay, ortam 2 olsun. Bu durumda E 2 = 13a x + 40a y + 50a z olur. Ara yüzeye normal a n birim vektörü a z ’dir. E alanının tanjant bileşenleri sürekli olduğundan E x1 = E x 2 = 13 ve E y1 = E y 2 = 40 olması gerekir. Dielektrik-dielektrik arayüzey için D alanının normal bileşenleri de sürekli olduğundan ε1E z1 = ε 2 E z 2 ifadesi ve ε 2 = ε o ve ε1 = 5ε o ile E z1 = E z 2 50 = = 10 5 5 elde edilir. Böylece ortam 1’deki E alanı aşağıdaki gibi hesaplanır (Şekil Ö.3.20c). E1 = 13a x + 40a y + 10a z V/m Statik Elektrik Alanları 181 (a) (b) (c) Şekil Ö.3.20 ÖRNEK 3.21 Şekil 3.37a’da görüldüğü gibi, aralarında d uzaklığı bulunan oldukça büyük A yüzey alanı ile iki paralel plakaya bir kaynaktan V o gerilimi uygulanıyor. Kaynak bağlantısı kesildikten sonra plakalar arasını tamamen doldurmayacak şekilde bir dielektrik malzeme ( ε oε r ) yerleştiriliyor. Daha sonra dielektrik malzeme varken kaynak tekrar bağlanıyor. En sonunda kaynak bağlantısı tekrar kesilip dielektrik uzaklaştırılıyor. Dielektriğin konulmasından (a) önce, (b) sonra, (c) kaynak tekrar bağlandıktan sonra ve (d) kaynak bağlantısı kesilip dielektrik tekrar uzaklaştırıldıktan sonra V, E, D, P, Q, ρ s ve ρ sb ’yi bularak grafik ortamında gösteriniz. Plakaların saçaklamasını ihmal ediniz. Negatif yüklü plaka topraklanmıştır. ÇÖZÜM (a) Kaynak bağlı iken ve dielektrik henüz yokken E, D, P, Q, ρ s ve ρ sb : E= Vo V/m d D = εoE = εo Vo C/m² d P = D − ε o E = 0 C/m² ρ s = Dn = ε o Vo C/m² d Q = ρs A = ε o Vo A C d ρ sb = − P = 0 C/m² (b) Kaynak bağlantısı kesilip dielektrik malzeme konulduğunda V, E, D, P, Q, ρ s ve ρ sb : Kaynak bağlantısı kesildiğinde her plakadaki Q değişmeden kaldığından ρ s değişmez. Bunun sonucu olarak plakalar arasındaki D, 182 Elektromanyetik Alan Teorisi D = εoE = εo Vo C/m² d değişmeden kalır. Bu D, plakalar arasında bulunan malzemelerin içindeki elektrik alanlarının belirleyicisidir. Plakalar ile dielektrik malzeme arası bölgedeki elektrik alanı, E a Ea = D εo = Vo V/m d olarak hesaplanır ve önceki durumuna göre değişmeden kalmıştır. Dielektrik içindeki elektrik alanı, E d Ed = D ε oε r = Vo V/m εrd dielektrik yerleştirilmeden önceki durumuna göre azalmıştır. Dielektrik malzeme içinde, P = D − ε o Ed = ε o Vo V V ε −1 C/m² − εo o = εo o r d d εr εrd kutuplanması oluşmuştur. Pozitif plakaya yakın dielektrik yüzeyindeki sınır yüzey yük yoğunluğu, ρ sb = − P = −ε o Vo ε r − 1 d εr dir. Dielektrik malzemenin kalınlığı d d ve plakalar ile dielektrik malzeme arası bölgenin uzunlukları d a ise (2d a + d d = d ) plakalar arasındaki potansiyel, V d V V 1 Vo d a + o d d + o d a = o 2d a + d d d d εr d εr V olarak hesaplanır. Dielektrik içindeki elektrik alanı azaldığından plakalar arası (toplam) potansiyel azalma göstermiştir. (c) Dielektrik malzeme varken kaynak tekrar bağlandığında V, E, D, P, Q, ρ s ve ρ sb : Plakalar arası potansiyel tekrar V o kaynak potansiyeline yükselerek, Ea d a + Ea 1 εr d d + Ea d a = Vo V eşitliğinden plakalar ile dielektrik malzeme arasındaki bölgedeki E a elektrik alan şiddeti, Statik Elektrik Alanları 183 Şekil 3.37 Dielektrikli ortamda sınır koşullarının etkisi için gösterimler. (a) Dielektrik yok ve kaynak bağlı ve (b) dielektrik var ve kaynak bağlantısı kesik (şekillerde karşılaştırma kolaylığı bakımından ε r = 2 , 2d a + d d = d ve 3d a = d d = 3 alınmıştır). 184 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 3.37 (devamı) Dielektrikli ortamda sınır koşullarının etkisi için gösterimler. (c) dielektrik var ve kaynak tekrar bağlı ve (d) kaynak bağlantısı aniden kesilmiş ve dielektrik aniden uzaklaştırılmış (şekillerde karşılaştırma kolaylığı bakımından ε r = 2 , 2d a + d d = d ve 3d a = d d = 3 alınmıştır). Statik Elektrik Alanları 185 ε rVo ε rVo = 2 d aε r + d d 2d a (ε r − 1) + d Ea = V/m d −2 d a ve dielektrik malzeme içindeki elektrik alanı, E d Ed = Ea εr = Vo Vo = 2 d aε r + d d 2d a (ε r − 1) + d V/m d −2 d a olarak hesaplanır. Plakalar ile dielektrik malzeme arası bölgedeki elektrik akısı, D = ε o Ea = ε o ε rVo C/m² 2d a (ε r − 1) + d ve dielektrik malzeme içindeki elektrik akısı, D = ε oε r E d = ε o ε r Vo C/m² 2d a (ε r − 1) + d ile önceki durumlarına göre artmış fakat ortamdan bağımsız olma özelliğini sürdürmüştür. Dielektrik malzeme içinde, P = D − εoE = ε V (ε − 1) ε oε rVo ε oVo C/m² = o o r − 2d a (ε r − 1) + d 2d a (ε r − 1) + d 2d a (ε r − 1) + d ile öncekinden daha büyük bir kutuplanma oluşmuştur. Pozitif plakaya yakın dielektrik yüzeyindeki sınır yüzey yük yoğunluğu, ρ sb ρ sb = − P = − ε oVo (ε r − 1) 2d a (ε r − 1) + d pozitif plakadaki yük yoğunluğu, ρ s ρ s = Dn = ε o ε rVo C/m² 2d a (ε r − 1) + d ve pozitif plakadaki toplam yük, Q Q = ρs A = ε o ε rVo A C 2d a (ε r − 1) + d önceki durumlarına göre artış göstermiştir. (d) Kaynak bağlantısı aniden kesilerek dielektrik malzeme aniden uzaklaştırıldığında V, E, D, P, Q, ρ s ve ρ sb : 186 Elektromanyetik Alan Teorisi Pozitif ve negatif plakalardaki toplam yükler (Q), yük yoğunlukları ( ρ s ) değişmeden kalır. Dn = ρ s = ε oε rVo C/m² 2d a (ε r − 1) + d olduğundan plakalar arasındaki elektrik akı yoğunluğu önceki durumu ile aynı kalır. Dielektrik olmadığından, P ve ρ sb oluşmaz ve plakalar arasındaki bütün bölgedeki elektrik alan şiddeti, E= D εo = ε rVo 2d a (ε r − 1) + d V/m olur. (2d a + d d = d ) uzunluğundaki hava aralığından oluşan plakalar arasındaki yeni potansiyel, V = Ed = ε rVo d 2d a (ε r − 1) + d V ile önceki durumuna göre artar. Bu yüksek potansiyel, kaynak bağlı olsaydı kaynak geriliminden (Vo ) yüksek olduğundan dolayı kaynağa doğru bir akım akıtarak üzerindeki fazla yükleri boşaltmaya çalışırdı. Bunun mümkün olmadığı durumda, plakalar arası gerilim yalıtım sorunu oluşturacak şekilde çok arttığından, negatif yükler (aradaki uzaklığa bağlı olarak) pozitif plakaya atlama eğilimi ile en kısa zamanda yük dengesine kavuşmaya çalışırdı. Elde edilen sonuçlar şekil 3.37a, b, c ve d’de grafiksel olarak gösterilmiştir. Eğer şekil 3.37c’de, plakaların uzunluğunun sonlu varsayımı ile dielektrik malzeme plakalar arasını kısmi veya tamamen terkedecek şekilde hareket ettirilirse kaynak ve plakalar arasında sürekli bir akım alış verişi olacaktır. Kapasitif yaklaşım algılayıcılarının tasarımı bu prensipten yararlanılarak yapılmaktadır. ALIŞTIRMALAR 28. ε 1 ve ε 2 geçirgenliklerinde iki dielektrik ortam düz bir ara yüzey ile ayrılmıştır. Eğer θ 1 ve θ 2 ara yüzeye normal E1 ve E2 ’nin yaptığı açılar ise θ 1 ve θ 2 arasında bir ilişki bulunuz. 29. 10 cm yarıçapındaki silindirik iletkende ρ s = 200 μC/m 2 ’lük düzgün yüzey yük dağılımı bulunmaktadır. İletken sonsuz bir dielektrik ortama (ε r = 5) gömülmüştür. Sınır şartlarını kullanarak iletken yüzeyinin hemen üzerindeki dielektrik ortamda D ve E ’yi belirleyiniz. İletkenin yakınındaki dielektrik yüzeyde birim uzunluk başına sınır yüzey yük yoğunluğu nedir? 30. Boş uzay ve iletken arasındaki ara yüzeyi dikkate alınız. Boş uzayda E alanının x bileşeni 10 V/m ve ara yüzeyin normali ile 30° açı yapmaktadır. E alanının diğer bileşenleri ne olmalıdır? Ara yüzeydeki yüzey yük yoğunluğu nedir? 3.10 KAPASİTÖRLER VE KAPASİTANS Şekil 3.38a’da görüldüğü gibi birbirine yakın keyfi biçimde yalıtılmış iki iletken bir kapasitör oluşturur. Harici bir enerji kaynağı ile bir iletkenden diğerine yükler transfer edilebilir. Başka ifadeyle kapasitör harici bir kaynak kullanılarak yüklenmektedir. Yükleme (şarj) işleminin bütün zamanlarında iki iletkenin yükü eşit ve zıt işaretli olacaktır. Yüklerin bu ayrımı dielektrik ortamda bir elektrik alanı ve sonuçta iletkenler arasında potansiyel farkı meydana getirir. Yükleme işlemine devam ederken bir iletkenden diğerine daha fazla yük transferi ile aralarında daha fazla potansiyel Statik Elektrik Alanları 187 farkı olacağı açıktır. Basitçe iletkenler arasındaki potansiyel fark transfer edilen yükle orantılıdır. Böyle bir anlayış bir iletkendeki yükün diğerine göre potansiyeline oranı ile kapasitansın tanımlanmasına yardımcı olur. Kapasitans matematiksel olarak C= Qa Vab (3.74) gibi tanımlanır; C farad (F) olarak kapasitans, Q a Coulomb (C) olarak iletkendeki yük ve V ab volt (V) olarak a iletkeninin b iletkenine göre potansiyelidir. (b) Paralel plakalı kapasitör (a) Yüklü kapasitör Şekil 3.38 Kapasitörler elektronikte frekans ayarlı devrelerin tasarımında ve güç sistemlerinde devrelerin güç katsayısının düzeltilmesinde kullanılmaktadır. Bunun yanında bir iletim hattının iletkenleri arasında ve bir diyotun pn jonksiyonlarında bir kapasitansın varlığı henüz kavranılmamış olabilir. ÖRNEK 3.22 Şekil 3.38b’de görüldüğü gibi her birinin yüzey alanı A ve birbirinden d uzaklığı ile ayrılmış, paralel iki iletken levha paralel plakalı bir kapasitör oluşturur. Üst plakadaki yük +Q ve alt plakadaki yük -Q’dür. Kapasitörün kapasitansı nedir? Sistemin kapasitansı ile ortamda depolanan enerjiyi ifade ediniz. ÇÖZÜM Diğer boyutları ile karşılaştırıldığında levhalar arasında ayrımın çok küçük olduğu varsayılsın. Bu yüzden kenar etkileri (saçaklama) ihmal edilebilir ve her plakanın iç yüzeyi üzerinde yükün düzgün olarak dağıldığı, ρ s = Q / A varsayılabilir. İletkenler arasındaki elektrik alan şiddeti ρ E = − s az ε dir. Q yükü z=d ’de bulunan üst plakadaki yük, A her plakanın yüzey alanı ve ε ortamın geçirgenliğidir. z = 0 ’da plakadaki yükün -Q olduğuna dikkat edilmelidir. a plakasının b plakasına göre potansiyeli, ρ a Vab = − ∫ E ⋅ dl =s b ε ∫ z 0 ρz ε dz =s 188 Elektromanyetik Alan Teorisi veya z = d iken Vab = ρ s d Qd = ε εA bulunur ve böylece paralel plakalı kapasitörün kapasitansı C= Q εA = Vab d (3.75a) dir. Sistemde depolanan enerji çeşitli değişkenleri ile aşağıdaki gibi elde edilir. W= 1 1 Ad 2 1 d 2 1 2 1 εE 2 dv = ρs = Q = Q = CVab2 2 v 2 ε 2 εA 2C 2 ∫ Bunlar bir kapasitörde depolanan enerjinin temel devre eşitlikleridir. ÖRNEK 3.23 Şekil 3.39’da görüldüğü gibi bir küresel kapasitör a ve b yarıçaplarında eş merkezli iki metal küreden biçimlenmiştir. İç küredeki yük +Q ve dış küredeki yük -Q dür. Sistemin kapasitansını belirleyiniz. Yalıtılmış bir kürenin kapasitansı nedir? 6,5×106 metre yarıçapında yalıtılmış bir kürenin (dünya) kapasitansını hesaplayınız. Küreler aralarındaki açıklık yarıçaplarına kıyasla çok küçük ise kapasitansın yaklaşık ifadesini çıkartınız. Şekil 3.39 Küresel kapasitör ÇÖZÜM Küreler üzerinde düzgün bir yük dağılımı için Gauss kanunundan küreler arasındaki elektrik alan şiddeti aşağıdaki gibi bulunur. E= Q ar 4πεr 2 Dış küreye göre iç kürenin potansiyeli, Vab = − Q 4πε ∫ a b 1 Q 1 1 − dr = 2 4πε a b r ve buradan sistemin kapasitansı, C= Q 4πεab = Vab b−a (3.75b) Statik Elektrik Alanları 189 bulunur; b→∞ konularak yalıtılmış bir kürenin kapasitansı, C = 4πεa elde edilir. Dünya için ε = ε o değerleri konularak, C= 6,5 × 10 6 = 0,722 × 10 − 3 F veya 722 µF 9 × 10 9 bulunur. Eğer iki küre arasındaki ayrım çok küçük yani d = b − a ve d << a ise ab ≈ a 2 yaklaşımı yapılabilir ve sistemin kapasitansı, C= Q 4πεa 2 εA = = Vab b−a d (3.75c) olarak bulunur. A = 4πa 2 iç kürenin yüzey alanıdır. (3.22) ve (3.23) örneklerinden iki iletken arasındaki kapasitansın a) iletkenlerin biçimi ve büyüklüğü, b) aralarındaki ayrım ve c) ortamın geçirgenliğine bağlı olduğu açıktır. Aşağıdaki örnekten görüleceği gibi (3.75c) iki iletkenli bir sistemin kapasitansının belirlenmesi için her zaman kullanılabilecek çok kuvvetli bir eşitliktir. ÖRNEK 3.24 (3.75c)’yi kullanarak bir küresel kapasitörün kapasitansını belirleyiniz. ÇÖZÜM Şekil 3.40a’da a≤r≤b arasındaki bölge ∆r i <<r i olarak n bölgeye bölünsün; ∆r i r i yarıçapındaki i. kapasitörün iki yüzeyi arasındaki açıklık, A i yüzey alanı, ε i geçirgenliği ve C i (3.75c)’den hesaplanabilecek kapasitansıdır. r=a ve r=b arasında birbirine seri bağlanmış n kapasitör olduğundan iki küre arasındaki kapasitans eşitliği, 1 = C n ∆ri i =1 i ∑ε A (3.76) i olarak yazılır. n→∞ ve ∆r i →0 limitinde (3.76) eşitliğindeki toplama işlemi bir integral işlemi ile 1 b dr = C ∫a ε (r ) Ar Şekil 3.40 (3.77) 190 Elektromanyetik Alan Teorisi değiştirilebilir; ε (r ) geçirgenliğin r’nin bir fonksiyonu olduğunu sembolize etmekte ve A r şekil 3.38b’de görüldüğü gibi keyfi bir r yarıçapındaki kesit alanıdır (4πr2). (3.77) eşitliği küresel kapasitör için geliştirilmekle beraber genel bir eşitlik olarak davranılmalıdır çünkü benzer ifadeler paralel plakalı ve silindirik kapasitörler için de yazılabilir. Eğer ortamın geçirgenliği sabit varsayılırsa bu durumda iki küresel iletken arasındaki kapasitans 1 1 = C 4πε r dr ∫r a 2 = 1 1 1 − 4πε a r ve C= 4πεar r−a C= 4πεab b−a veya r = b iken olur ki (3.75b)’de verilen sonuçla tam olarak aynıdır. İçteki küresel iletkenin yarıçapı, a sabit ve dıştaki iletken kürenin yarıçapı, r değişirse yarıçapa bağlı kapasitans değişimi şekil 3.40c’de görüldüğü gibi olur. ÖRNEK 3.25 Eş merkezli iki küresel kabuk arasındaki bölge şekil 3.41a’da görüldüğü gibi farklı iki dielektrik ile doldurulmuştur. Sistemin kapasitansını bulunuz. Bir çap boyunca D ve E alanlarının ve C kapasitanslarının grafiklerini çiziniz (kapasitans grafiğinde içteki kürenin yarıçapını, a sabit tutunuz). ÇÖZÜM Problemin geometrisinden E alanının radyal yönde olduğu ve tanjant bileşenlerinin iki ortam arasındaki sınırda sürekli olduğu, Er1 = Er 2 görülmektedir. D = εE olduğundan, Dr1 = ε1Er1 ve Dr 2 = ε 2 Er 2 ifadeleri ile Dr 2 = ε2 ε Dr1 veya Dr1 = 1 Dr 2 ε1 ε2 (3.78) elde edilir. Gauss kanunundan herhangi bir kapalı yüzeyde a ≤ r ≤ b iken ∫ D.ds = Q (3.79) Dr1 + Dr 2 = Q / 2πr 2 (3.80) s ’den Statik Elektrik Alanları 191 bulunur. (3.78) ve (3.80)’den Dr1 = Q Q ε1 ve Er1 = 2πr 2 (ε1 + ε 2 ) 2πr 2 (ε1 + ε 2 ) veya Dr 2 = Q Q ε2 ve Er 2 = 2 2 2πr (ε1 + ε 2 ) 2πr (ε1 + ε 2 ) Şekil 3.41 (a) Eş merkezli küresel kabuklar. Çap boyunca (b) E , (c) D ve (d) C değişimleri (Grafiklerde karşılaştırma kolaylığı bakımından ε r 2 = 2ε r1 alınmıştır). elde edilir. Dış küreye göre iç kürenin potansiyeli a Q 1 Q b − a Vab = − dr = 2 2π (ε1 + ε 2 ) b r 2π (ε1 + ε 2 ) ab ∫ ve buradan sistemin kapasitansı 192 Elektromanyetik Alan Teorisi ab C = 2π (ε1 + ε 2 ) = C1 + C2 b − a bulunur. Ortam 1 ve ortam 2’nin kapasitansları sırasıyla ab C1 = 2πε1 b − a ve ab C2 = 2πε 2 b − a dir. Böylece sistemin kapasitansı iki kapasitansın paralel kombinasyonunun eşdeğeridir. Bu sonuç elektrik devrelerinin analizinde kullanılmaktadır. Elde edilen sonuçlar şekil 3.41b, c ve d’de grafik ortamına aktarılmıştır. ALIŞTIRMALAR 31. İki paralel plaka 2 mm kalınlığında bir dielektrik (ε r = 6) ile ayrılmıştır. Her plakanın alanı 40 cm2 ve aralarındaki potansiyel fark 1,5 kV’tur. (a) kapasitansı, (b) elektrik alan şiddetini, (c) elektrik akı yoğunluğunu, (d) polarizasyon vektörünü, (e) serbest yüzey yük yoğunluğunu, (f) sınır yük yoğunluklarını ve (g) kapasitörde depolanan enerjiyi belirleyiniz. 32. Önceki alıştırmayı boş uzay için yeniden çözünüz. İki kapasitansın oranı nedir? 33. a yarıçapında bir silindirik iletken b yarıçapında diğer bir iletken ile silindirik kapasitör Qa / Vab ) eşitliğini oluşturmak için çevreleniyor. Ortamın geçirgenliği ε’dir. 3.74 ⇒ (C = kullanarak birim uzunluk başına kapasitans ifadesini elde ediniz. Kapasitörün uzunluğu L ise toplam kapasitans nedir? b 1 dr 34. Önceki alıştırmayı 3.77 ⇒ = eşitliğini kullanarak çözünüz. ∫ a ε (r ) Ar C 35. 10 cm yarıçapında iç küresel kabuk 12 cm yarıçapındaki dış kabuğa göre 1000 V potansiyelde tutuluyor. Ortamın dielektrik geçirgenliği 2,5’tur. Ortamdaki E , D ve P ’yi belirleyiniz. Her iletken üzerindeki yüzey yük yoğunluğu nedir? Sınır yük yoğunlukları nedir? Sistemin kapasitansı nedir? 36. Önceki alıştırmayı boş uzay için yeniden çözünüz. İki kapasitansın oranı nedir? 37. Örnek 3.22’de ortamın geçirgenliği z = 0 ’da ε 1 ’den z = d ’de ε 2 ’ye doğrusal olarak artmaktadır. Paralel plakalı kapasitörün kapasitansını bulunuz. Eğer ε 2 → ε1 ise kapasitans nedir? 3.10.1 YÜKLÜ CİSİMLERDEKİ ELEKTROSTATİK KUVVETLER Yüklü cisimlerin birbiri üzerine etkilediği kuvvetlerin belirlenmesini içeren karmaşık sistemlerde, iki nokta yükü arasındaki kuvvetin bulunmasında kullanılan Coulomb kanununun kullanılması pratik değildir. Bu durum, yüklü iki paralel plaka gibi basit bir sistemden oluşan kapasitör plakaları üzerindeki kuvvetlerin bulunması için de geçerlidir. Sistemin elektrostatik enerjisini dikkate alarak cisim üzerindeki kuvvetin bulunması zahiri yer değişimi metodu olarak adlandırılır. Statik Elektrik Alanları 193 Araları belirli bir uzaklık ile birbirinden ayrılmış (ve yalıtılarak dış dünya ile irtibatı kesilmiş) cisimlerin üzerindeki yükler sabittir. Cisimlerin birindeki elektrik kuvvetinin, dl uzaklığı (zahiri) yer değişimi yaptığı varsayılsın. Yapılan mekanik iş, dWe = F ⋅ dl olur; F sabit yüklü cisim üzerindeki kuvvettir. Sistem, harici bir enerji kaynağı olmaksızın yalıtılmış olduğundan, mekanik iş depolanan enerji ile eşleşmelidir. dWe = − dW = F ⋅ dl eşitliğinde ∇W ⋅ dl = dW konularak (Kısım 2.8) F = −∇W N elde edilir. Dikdörtgen koordinat sisteminde, üç boyutlu uzay için bu eşitlik aşağıdaki gibi ifade edilir. ∂W ∂W ∂W F = − ax + ay + a z N dy dz dx Örneğin, şekil 3.38b’de görülen Q yükü ile yüklü paralel plakalardan oluşan kapasitörün üst plakasındaki kuvvet aşağıdaki gibi bulunur. Q2 z ∂ 2εA ∂W Q2 F=− az = − az = − az N dz dz 2εA 3.11 POISSON VE LAPLACE EŞİTLİKLERİ Önceki kısımlarda yük dağılımının her yerde belirlenmiş olduğu ortamlarda elektrostatik alanlar bulunmuştu. Pratikte karşılaşılan problemlerin çoğu bu tipten değildir ve hatta yük dağılımının hesaplanmasından önce elektrik alanlarının öncelikle belirlenmesi gerekir. Yüzey yük yoğunluğu veya potansiyelin belirlendiği sınır yüzeylerini içeren problemler ile de karşılaşılır. Böyle problemler sınır değer problemleri olarak adlandırılır. Bu kısımda bu tip elektrostatik problemlerin çözümü için alternatif bir yaklaşım geliştirilmektedir. Nokta biçiminde Gauss kanunu, D = εE doğrusal bir ortamda ∇ ⋅ (εE) = ρ v olarak ifade edilebilir; ρ v hacim yük yoğunluğudur. Bu eşitlikte E = −∇V ifadesi yerine konularak ∇ ⋅ (−ε∇V ) = ρ v elde edilir. (2.126) eşitliğindeki vektör özdeşliği kullanılarak (3.81) eşitliği ε∇ ⋅ (∇V ) + ∇V .∇ε = − ρ v (3.81) 194 Elektromanyetik Alan Teorisi veya ε∇ 2V + ∇V .∇ε = − ρ v (3.82) olarak ifade edilebilir ki bu V potansiyel fonksiyonu ve hacim yük yoğunluğu, ρ v ile ikinci derecede kısmi bir diferansiyel eşitliktir. (3.82) eşitliği ε’nin pozisyonunun bir fonksiyonu olduğu durumda bile geçerlidir. Bu eşitlik sınır şartları, ρ v ve ε’nin fonksiyonel bağımlılığı bilinirse çözülebilir. Bununla beraber homojen bir ortamda öncelikle (3.82) eşitliğinin çözümü ile ilgileniliyorsa, bu ε’nin sabit olması anlamına gelir ve bu durumda ∇ε = 0 olduğundan (3.82) ∇ 2V = − ρ v / ε (3.83) olur. Bu eşitlik Poisson eşitliği olarak adlandırılır ve bir bölgede lokal yük dağılımına bağlı potansiyel dağılımı ifade etmektedir. (3.83) eşitliğinin çözümü gerçekte bilinmektedir ve bu (3.37) ile verilmiştir. Elektrostatikte iletkenlerin yüzeyindeki yük dağılımlarını içeren bazı problemler vardır. Bu durumlarda ilgili bölgede çoğu noktalardaki hacim yük yoğunluğu sıfırdır. Böylece ρ v ’nin kaybolduğu bölgede (3.83) ∇ 2V = 0 (3.84) olur ve Laplace eşitliği olarak adlandırılır. Yüksüz bir bölgede sınır şartlarına bağımlı Laplace eşitliğini doğuran bir V potansiyel fonksiyonu araştırılacaktır. Yüksüz bir ortamda potansiyel fonksiyon bilindikten sonra E = −∇V olarak elektrik alan şiddeti belirlenebilir. Doğrusal homojen ve yüksüz bir bölgede ∇ ⋅ E = 0 ’dır. Bunlar Vektör analizi bölümünde değinildiği gibi I. sınıf alanlardır. Bu yüzden Laplace eşitliğinin çözümü tektir. Kapasitans, iletkenlerin yüzeyindeki yükler, enerji yoğunluğu ve sistemde depolanan toplam enerji gibi ilgili miktarlar da belirlenebilir. ÖRNEK 3.26 Şekil 3.42’de aralarında d açıklığı ve yüzey alanı A olan iki metal plaka paralel plakalı bir kapasitör oluşturmaktadır. Üst levha V o potansiyelinde tutulmakta ve alt levha ise topraklanmıştır. a) Potansiyel dağılımı, b) elektrik alan şiddetini, c) her plakadaki yük dağılımını ve d) paralel-plakalı kapasitörün kapasitansını belirleyiniz. e) İki plaka arasında aynı zamanda bir − ρ v z / d yük yoğunluğu olduğu durumda işlemleri tekrarlayınız. ÇÖZÜM (a) z=0 ve z=d de xy düzleminde iki metal levha eş potansiyel yüzeyler oluşturduğundan V potansiyelinin sadece z’nin bir fonksiyonu olması beklenir. Plakalar arasında yüksüz bir bölge için Laplace eşitliği ∂ 2V =0 ∂z 2 Statik Elektrik Alanları olur ve çözümü, integral, 195 ∂ ∂V ∂z ∂z d dV = 0 kısmi türevi yerine dz dz = 0 adi türevi alınarak ve iki kere ∫ dV = ∫ 0dz = ∫ 0 ⇒ V = a ve ∫ dV = ∫ adz ⇒ V = az + b ’den V = az + b dir; a ve b sınır şartları bilgisinden hesaplanacak sabitlerdir. Şekil 3.42 Paralel plakalı yüklü kapasitör z=0 iken, V=0 ⇒ b=0’dır. Bu durumda, plakalar içindeki potansiyel dağılım V = az olur. z=d iken V=V o potansiyel a=V o /d olduğunu önermektedir. Böylece paralel plakalı bir kapasitördeki V= z Vo d olarak doğrusal değişir. (b) Elektrik alan şiddeti, ∂V V E = −∇V = −a z =− o a z ∂z d ve elektrik akı yoğunluğu εV D = εE = − o a z d olarak hesaplanabilir. (c) Bir iletkende D alanının normal bileşeni yüzey yük yoğunluğuna eşit olması gerektiğinden alt plakadaki yüzey yük yoğunluğu ρ s ( z =0 ) = − ve üst plakadaki yüzey yük yoğunluğu εVo d 196 Elektromanyetik Alan Teorisi ρ s ( z =d ) = εVo d dir. (d) Üst plakadaki toplam yük, Q= εVo A d ile paralel plakalı kapasitörün kapasitansı aşağıdaki gibi elde edilir. C= Q εA = Vo d (e) Poisson eşitliği ∂ 2V ρ v z = ∂z 2 ε o d olur ve çözümü V= ρv 3 z + az + b 6ε o d dir; a ve b sınır şartları bilgisinden hesaplanacak sabitlerdir. z=0 iken, V=0 ⇒ b=0’dır. z=d iken Vo = V ρd ρv 2 d + ad ⇒ a = o − v dır. d 6ε o 6ε o Bulunan a ve b yerine konularak, paralel plakalı kapasitördeki potansiyel değişimi, V= ρv 3 Vo ρv d z z + − 6ε o d d 6ε o olarak bulunur. Elektrik alan şiddeti aşağıdaki gibi hesaplanır. ρ V ρ d ∂ v z 3 + o − v z V ρ d ∂V 6ε o d d 6ε o ρ v z 2 + o − v a z E = −∇V = −a z = −a z = − ∂z ∂z 2ε o d d 6ε o Alt plakadaki yüzey yük yoğunluğu, ρ s ( z =0 ) = − ε oVo d + ρv d 6 Statik Elektrik Alanları 197 ve üst plakadaki yüzey yük yoğunluğu ρ s ( z =d ) = ε oVo d + ρv d 3 dir. İki plakadaki yük yoğunlukları farklı olduğundan bunlardan elde edilen yük miktarı ile kapasitansın hesaplanması anlamsızdır. ÖRNEK 3.27 Bir koaksiyel kablonun a yarıçapındaki iç iletkeni (şekil 3.43) V o potansiyelinde ve b yarıçapındaki dış iletkeni topraklanmıştır. a) iletkenler arasındaki potansiyel dağılımı, b) iç iletkendeki yüzey yük yoğunluğunu ve c) birim uzunluk başına kapasitansı belirleyiniz. ÇÖZÜM a ve b yarıçapında iki iletken eşpotansiyel yüzeyler oluşturduğundan V potansiyelinin sadece ρ’nin bir fonksiyonu olması beklenir. Böylece Laplace eşitliği (2.106) 1 d dV ρ ρ dρ dρ = 0 olur. İki kere integral sonucu V = c ln ρ + d elde edilir; c ve d integrasyon sabitleridir. Şekil 3.43 ρ=b’de V=0 ⇒ d = −c ln b olur ve buradan V = c ln ρ − c ln b = c ln( ρ / b) elde edilir. ρ=a’da V=V o ⇒ c = Vo / ln(a / b) olur ve buradan a≤ ρ≤ b bölgesi içindeki potansiyel dağılım, V = Vo elektrik alan şiddeti, ln( ρ / b) ln(a / b) 198 Elektromanyetik Alan Teorisi Vo a ρ ∂V E = −∇V =− aρ = ∂ρ ρ ln(b / a) ve elektrik akı yoğunluğu, εVoa ρ D = εE = ρ ln(b / a ) bulunur. ρ=a’da D ’nin normal bileşeni iç iletkende yüzey yük yoğunluğu, ρs = εVo a ln(b / a ) ile sonuçlanır. İç iletkende birim uzunluk başına yük, Q= 2πεVo ln(b / a ) ve son olarak birim uzunluk başına kapasitans, C= 2πε ln(b / a ) elde edilir. ÖRNEK 3.28 V o potansiyelindeki iç küresinin yarıçapı a ve 0 potansiyeldeki dış küresinin yarıçapı b olan bir küresel kapasitörde küreler arasındaki gerilim dağılımının V (r ) = [(b − r ) /(b − a )](a / r )Vo olduğunu doğrulayınız. ÇÖZÜM Genel ifade için iç küredeki gerilimin V 1 ve dış küredeki gerilimin V 2 olduğunu varsayalım. Küresel geometrinin simetriğinden dolayı elektrik potansiyeli θ ve φ’den bağımsızdır. Laplace eşitliği, ∇ 2V = 1 ∂ 2 ∂V 1 ∂V 1 ∂ 2V ∂ sin =0 + + r θ ∂θ r 2 sin θ ∂φ 2 r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ elektrik potansiyeli θ ve φ’den bağımsız olduğundan tek boyutlu bir eşitliğe, 1 ∂ 2 ∂V r =0 r 2 ∂r ∂r dönüşür. r’ye göre bir kere integral alınarak, dV c = dr r 2 ve ikinci kez integral alınarak Statik Elektrik Alanları 199 c V =− +d r elde edilir. Elde edilen iki integrasyon sabiti (c ve d) iki iletken küresel kabuktaki sınır şartlarından belirlenecektir. r = a ’da V1 = − c +d a r = b ’de c V2 = − + d b eşitliklerinden c= ab(V2 − V1 ) b−a ve d= bV2 − cV1 b−a elde edilir. İntegrasyon sabitleri yerine konularak c 1 ab V (r ) = − + d = (V1 − V2 ) + bV2 − aV1 b−a r r genel ifadesi elde edilir. İçteki küre V1 = Vo ve dıştaki küre V2 = 0 potansiyellerinde ise V (r ) = b−r a Vo b−a r doğrulanması istenen ifadedir. ALIŞTIRMALAR 38. Homojen dielektrik ortam a ve b yarıçaplarında eş merkezli iki küresel kabuk arasındaki bölgeyi doldurmaktadır. İç kabuk V o potansiyelinde tutulmakta ve dış kabuk ise topraklanmıştır. (a) potansiyel dağılımı, (b) elektrik alan şiddetini, (c) elektrik akı yoğunluğunu, (d) iç kabuğun yüzey yük yoğunluğunu, (e) kapasitansı ve (f) sistemde depolanan toplam enerjiyi hesaplayınız. 39. Bir koaksiyel kabloda iletkenler arasındaki boşluk aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi eş merkezli iki dielektrik tabaka ile doldurulmuştur. (a) her ortamın potansiyel fonksiyonunu, (b) her bölgedeki E ve D alanlarını, (c) iç iletkendeki yük dağılımını ve (d) kapasitansı belirleyiniz. Kapasitansın iki kapasitörün seri bağlanmış eşdeğerine eşit olduğunu gösteriniz. 200 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 3.44 İki dielektrik katmanlı koaksiyel kablonun kesit görünüşü 40. V(x,y,z) Laplace eşitliğinin bir çözümü ise ∂V / ∂x , ∂ 2V / ∂x 2 ve ∂ 2V / ∂x∂y ’nin de Laplace eşitliğinin çözümü olduğunu gösteriniz. 41. Örnek 3.26’yı ortamın geçirgenliği ε = ε o (1 + mz ) olarak verildiğinde çözünüz (m: sabit). 3.11.1 LAPLACE EŞİTLİĞİNİN DEĞİŞKEN AYRIMI METODU İLE ÇÖZÜMÜ Çözümlü örneklerde gösterildiği gibi bir boyutlu problemler için Laplace eşitliğinin çözümü kolaydır. Eğer alan iki veya üç boyutlu ise aşağıdaki gibi değişken ayrımı veya çarpım çözümü metodu izlenir. Dikdörtgen koordinat sisteminde ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + =0 + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 (3.85) ile verilen Laplace eşitliğini dikkate alalım. Bunun çözümünün V = X ( x)Y ( y ) Z ( z ) (3.86) biçiminde olduğu varsayılsın. Burada çözümün, X (x) - sadece x’in bir fonksiyonu; Y( y) - sadece y’nin bir fonksiyonu; Z (z ) - sadece z’nin bir fonksiyonu olarak üç fonksiyonun çarpımı olduğu kabul edilmiştir. 3.86’nın 3.85’de yerine konulmasıyla X Y Z + + =0 X Y Z (3.87) ∂ 2Y ∂2 X ∂2Z elde edilir. X = X (x) , Y = Y ( y ) , Z = Z (z ) , X = 2 , Y = 2 ve Z = 2 dir. 3.87 eşitliği x, ∂y ∂x ∂z y ve z değişkenlerinin bütün değerleri için geçerli olmalıdır. 3.87’deki her terim bir değişken içermektedir. Örneğin ikinci terim sadece y’nin bir fonksiyonu ve üçüncü terim sadece z’nin bir fonksiyonudur. Birinci terim ikinci ve üçüncü terimlerin cebirsel toplamı, [ X / X = −(Y / Y + Z / Z )] olduğundan x’le değişmez, birinci terim de x’le değişmemelidir. Sonuç olarak x’in x ile değişmeyen bir fonksiyonu, X / X bulunmaktadır. Bu fonksiyon bir sabit (k x2 ) ise doğru olabilir. Benzer Statik Elektrik Alanları 201 şekilde ikinci ve üçüncü terimlerin de sabitler, (k y2 ) , (k z2 ) olduğu sonucuna varılabilir. Böylece 3.87’den aşağıdaki biçim elde edilir. k x2 + k y2 + k z2 = 0 (3.88) Bir anda bir değişken içeren diferansiyel eşitlikler, X − k x2 X = 0 (3.89a) Y − k y2Y = 0 (3.89b) Z − k z2 Z = 0 (3.89c) olarak yazılır. Örneğin X / X = k x2 ifadesi X = k x2 X ’ye veya X − k x2 X = 0 ’a dönüşür. 3.89 eşitliklerinin çözümü X = a x cosh k x x + bx sinh k x x (3.90a) Y = a y cosh k y y + by sinh k y y (3.90b) Z = a z cosh k z z + bz sinh k z z (3.90c) ile verilir. 3.86’dan Laplace eşitliğinin çözümü yukarıdaki çözümlerin çarpımıdır. Sonunda V = (a x cosh k x x + bx sinh k x x)(a y cosh k y y + by sinh k y y )(a z cosh k z z + bz sinh k z z ) (3.91) elde edilir. 3.88’den en azından bir sabitin negatif olması gerektiği açıktır. Keyfi olarak k x2 negatif alınırsa 3.89a X + k x2 X = 0 (3.92) X = a ' x cos k x x + b' x sin k x x (3.93) olur. Çözümü ise olur. 3.91’de x içindeki hiperbolik kosinüs (cosh) ve sinüs (sinh) fonksiyonları dairesel fonksiyonlara (cos ve sin) dönüşmüştür ve bu durumda çözüm V = (a ' x cos k x x + b' x sin k x x)(a y cosh k y y + by sinh k y y )(a z cosh k z z + bz sinh k z z ) (3.94) olur. Çoğu problemlerde ilgi noktası iki boyutlu alanlar olup koordinatların birinde alan değişim göstermez. Bu durumda sadece x ve y’nin bir fonksiyonu olarak 3.85 aşağıdaki gibi verilir. ∂ 2V ∂ 2V + =0 ∂x 2 ∂y 2 (3.95) 202 Elektromanyetik Alan Teorisi Çözümü V = (a x cosh k x x + bx sinh k x x)(a ' y cos k y y + b' y sin k y y ) (3.96a) V = (a ' x cos k x x + b' x sin k x x)(a y cosh k y y + by sinh k y y ) (3.96b) veya biçimindedir. ÖRNEK 3.29 Şekil 3.45a’da dikdörtgensel elektrot yapısının dört kenarındaki potansiyeller gösterilmiştir. Laplace eşitliğinin biçimi nedir? ÇÖZÜM Çözümler 3.96a ve 3.96b ile verilen biçimdedir. Keyfi olarak 3.96a seçilsin. x = 0 ’da V = 0 sınır şartı a x = 0 olmasını gerektirir. Aynı zamanda y = 0 ’da V = 0 sınır şartı ile a ' y = 0 olur. Sonuç olarak 3.96a eşitliği V = Cn sinh k x x sin k y y olur. Cn = bxb' y ’dir. Daha da ötesi, 3.95 eşitliğinden, k x2 + k y2 = 0 ilişkisi k x2 = − k y2 yani k x ve k y büyüklüklerinin aynı olduğunu, k x = k y = k hatırlatır. Çözümün istenilen biçimi V = Cn sinh kx sin ky (3.97) olur. Bu genelde bütün iki boyutlu problemler için doğrudur. Eğer 3.96b seçilmiş olsaydı sonuç aşağıdaki gibi olacaktı. V = C 'n sin kx sinh ky (a) (b) Şekil 3.45 Statik Elektrik Alanları 203 ÖRNEK 3.30 Örnek 3.29’da şekil 3.45a’da verilen elektrotlar ile sınırlanan bölge içindeki potansiyel dağılımın tam çözümü amacıyla C n ve k sabitlerinin değerlendirilmesi için daha ileri sınır şartları uygulayınız. ÇÖZÜM x’in bütün değerleri, 0 < x < b için y = 0 ’da V = 0 sınır şartından, sin ka = 0 veya k = nπ a (3.98) elde edilir. n bir tam sayıdır. 3.98’in 3.97’de yerine konulması V = Cn sinh nπx nπy sin a a (3.99) ile sonuçlanır. y’nin bütün değerleri, 0 < y < a için x = b ’de V = Vo son sınır şartı 3.99’a konulduğunda 3.99 bu sınır şartının doyuramaz fakat 3.99 sonsuz sayıda tam sayılar, n için bir çözümdür. Buna göre sonsuz sayıda çözüme sahip olunabilir ve çözüm en genel biçiminde aşağıdaki gibidir. V= ∞ ∑C n sin n =1 nπy nπx sinh a a (3.100) Bu ifade y = 0 , y = a ve x = 0 ’da sınır şartlarını doyurur. x = b ’de sınır şartının doyurulması için x = b ’de C n ’nin bulunması gerekir. 3.100’den x = b ’de V = Vo Vo = ∞ ∑C n sinh n =1 Vo = ∞ ∑a n sin n =1 ile sonuçlanır; an = Cn sinh nπy nπb sin a a (3.101) nπy = f ( y) a (3.102) nπb ve 3.102 bir Fourier sinüs serisidir. Fourier katsayısı, a n a an = 0 an = 4Vo nπ n çift n tek ile verilir. Böylece son olarak, Cn = 4Vo an = sinh( nπb / a ) nπ sinh( nπb / a ) (3.103) 204 Elektromanyetik Alan Teorisi ile V= ∞ 4Vo sinh( nπx / a ) nxy sin sinh( nπb / a ) a n =1 ∑ nπ (3.104) tek sonucu elde edilir. Bu eşitliğe göre, a = b kare biçimli elektrot düzeneğinde potansiyel dağılım şekil 3.45b’de gösterilmiştir. Eş potansiyel çizgilerine ortogonal elektrik alan şiddeti çizgileri kesik çizgiler ile gösterilmiştir. 3.12 İMAJ METODU Şimdiye kadar boş uzayda sadece yüklerin olduğu ve bölgede alanlarını etkileyebilecek başka hiçbir şey olmadığı üstü kapalı olarak varsayıldı. Genellikle yükler (veya yük dağılımları) iletken yüzeylere yakındırlar ve bölgedeki toplam alanların elde edilmesi için bunların etkisinin dikkate alınması gereklidir. Örneğin açık iletkenli bir iletim hattındaki alanlar üzerinde yerin etkisi ihmal edilemez. Aynı şekilde verici ve alıcı antenlerin alan modelleri monte edildikleri iletken gövdeler tarafından büyük oranda değiştirilir. Bir alanın yakınında bulunan iletkenin etkisinin hesaba katılması için iletkenin yüzeyindeki yük dağılımı bilinmelidir ki bu iletkenin hemen üzerindeki alanlara bağlı olmaktadır. Bunun yanında statik alanlar durumunda (a) bir iletkenin eş potansiyel yüzey oluşturduğu, (b) yalıtılmış iletkenin içinde hiç alan olmadığı ve (c) alanların iletkenin yüzeyine normal olduğu bilinmektedir. Bu gözlemler iletkenin yüzeyindeki yük dağılımının ve bölgede alanlar üzerindeki etkisinin ölçülmesine yardımcı olacaktır. Şekil 3.46 Sonsuz iletken düzlemin hemen üzerindeki q nokta yükünün eşpotansiyel yüzeyleri ve kuvvet çizgileri Dipol konusunda ikiye bölen düzlemde herhangi bir noktadaki potansiyelin sıfır ve elektrik alan şiddetinin düzleme normal olduğu ifade edilmişti. Bu yüzden ikiye bölen düzlem bir iletken düzlemin gereksinimlerini doyurmaktadır. Başka ifadeyle eğer iletken düzlem ikiye bölen düzlem ile çakışacak şekilde yerleştirilirse dipolün alan modeli değişmeden kalır. Eğer iletken düzlemin altındaki negatif yük kaldırılırsa düzlemin üzerindeki bölgede alan dağılımı aynı kalır ve iletken yüzeyinin üzerinde indüklenen toplam yük şekil 3.46’da görüldüğü gibi -q dür. Tersine sonsuz uzunlukta bir iletken düzlemin üzerinde h uzaklığında bir nokta yükü verilmişse düzlem ihmal edilerek ve düzlemin diğer tarafında aynı uzaklıkta bir -q yükü (imajı) oluşturularak düzlemin Statik Elektrik Alanları 205 üzerinde herhangi bir noktada potansiyel ve elektrik alanı belirlenebilir. İmajiner -q yüküne gerçek q yükünün imajı denilir. Böylece imaj metodunda iletken düzlem geçici olarak ihmal edilir ve düzlemin arkasına imajiner bir yük yerleştirilir. İmajiner yük gerçek yüke büyüklük olarak eşit ve ters polaritededir. Gerçek ve imajiner yükler arasındaki uzaklık gerçek yük ve düzlem arasındaki uzaklığın iki katıdır. Bununla beraber bu ifadeler sadece sonsuz uzunlukta ve derinlikteki iletken düzlem için doğrudur. Eğri bir yüzey için imajiner yük büyüklük olarak eşit olmamakla beraber iletken yüzeyin diğer tarafı kadar uzaklıkta değildir. Bu gerçek bir örnekle vurgulanacaktır. İmaj metodunda aşağıdaki noktaların hatırlanması yararlı olur: İmaj yükü kurgusal veya hayali bir yüktür. İmaj yükü iletken düzlemin bölgesinde yerleştirilmiştir. İletken düzlem bir eş potansiyel yüzeydir. Bir nokta yükü paralel iki iletken düzlem arasında çevrelendiğinde imajların sayısı sonsuzdur. Bunun yanında ikiye bölen düzlem için imajların sayısı düzlemler arasındaki açı kadar sonlu olacaktır (360° ’nin alt katları). Genelde, θ iki düzlemin ara kesit açısı ise bir nokta yükünden dolayı alanlar iki düzlem arasında yerleştirilmiştir. ÖRNEK 3.31 Bir q nokta yükü sonsuz uzunlukta ve derinlikte bir iletken düzlemin yüzeyinin hemen üzerine yerleştirilmiştir. Herhangi bir P noktasında potansiyel ve elektrik alan şiddetini hesaplayınız. Düzlemin yüzeyinde indüklenen toplam yükün -q olduğunu gösteriniz. Şekil 3.47 Sonsuz iletken düzlem üzerindeki bir nokta yükü ÇÖZÜM Şekil 3.47’de iletken düzlemin yüzeyi üzerinde (0,0,d)’de bir q nokta yükü görülmektedir. Alanların belirlenmesi için (0,0,-d)’de bir -q imajiner yükü yerleştirilir ve düzlemin varlığı geçici olarak ihmal edilir. P(x,y,z) ve z≥0 da herhangi bir noktadaki potansiyel V= dir. R1 = x 2 + y 2 + ( z − d ) 2 q 1 1 − 4πε R1 R2 ve R2 = x 2 + y 2 + ( z + d ) 2 dir. İletken yüzeyinde yani z=0 düzleminde R1 = R2 ve V=0 ’dır. P noktasındaki elektrik alan şiddeti, q x x y y z + d z − d E = −∇V = − 3 − 3 a x + 3 − 3 a y + 3 − 3 a z 4πε R2 R1 R1 R2 R1 R2 dir ve iletken düzlemin yüzeyinde E alanı aşağıdaki gibi bulunur. 206 Elektromanyetik Alan Teorisi 2qd E=− az 4πεR 3 z = 0 olduğundan, R = R1 = R2 = x 2 + y 2 + d 2 dir. D alanının normal bileşeninin, z=0’da iletkenin yüzeyindeki yüzey yük yoğunluğuna eşit olması gerektiğinden ρs = − 2qd 4πR 3 elde edilir. Böylece sonsuz uzunluktaki bir iletkenin yüzeyinde indüklenen toplam yük ∫ Q = ρ s ds = − s 2qd 4π ∫ ρdρ ∞ 0 (ρ + 2 2π ∫ dφ = −q d 2 )3 / 2 0 olarak hesaplanır. Sonuç olarak iletkenin yüzeyindeki toplam yük beklenildiği gibi -q ’dür. ÖRNEK 3.32 Arasında 90° açı bulunan iki düzlem şekil 3.48’de görülmektedir. (3,4,0)’da 100 nC’luk bir yük yerleştirilmiştir. (3,5,0)’daki elektrik potansiyelini ve elektrik alan şiddetini bulunuz. Şekil 3.48 90° açılı iki iletken düzlemin önündeki nokta yükü ve imajları. ÇÖZÜM İki düzlem arasındaki kesişim açısı 90° olduğundan n=360/90=4’tür ve şekilde gösterildiği gibi üç adet hayali yüke gerek vardır. (x,y,z) P noktasının genel koordinatları ise bu durumda R uzunlukları aşağıdaki gibi elde edilir. R1 = ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 + z 2 R2 = ( x + 3) 2 + ( y − 4) 2 + z 2 R3 = ( x + 3) 2 + ( y + 4) 2 + z 2 R4 = ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 + z 2 Bölgenin boş uzay olduğu varsayılarak P(x,y,z) noktasındaki potansiyel Statik Elektrik Alanları 207 1 1 1 1 V = 9 × 10 9 × 100 × 10 − 9 − + − R1 R2 R3 R4 ve P(3,5,0)’da V(3,5,0) = 735,2 V dir. Elektrik alan şiddetinin ∂V ∂V ∂V E = −∇V = − ax − ay − az ∂x ∂y ∂z genel ifadesinden P(3, 5, 0)’da x − 3 x + 3 x + 3 x − 3 ∂V = 900 − 3 + 3 − 3 + 3 = 19,8 ∂x R2 R3 R4 R1 aynı şekilde P(3,5,0)’da ∂V = −891,36 ∂y ve ∂V =0 ∂z elde edilir. Buradan, P(3,5,0)’daki E alanı bileşenleri ile beraber aşağıdaki gibi yazılır. E = −19,8a x + 891,36a y V/m ÖRNEK 3.33 Şekil 3.49a’da görüldüğü gibi bir q nokta yükü a yarıçapında topraklanmış iletken kürenin merkezinden d uzaklığında yerleştirilmiştir. Küredeki yüzey yük yoğunluğunu hesaplayınız. (a) İletken kürenin dışındaki nokta yükü (b) P noktası iletken kürenin yüzeyinde iken uzaklıklar Şekil 3.49 208 Elektromanyetik Alan Teorisi ÇÖZÜM Yüzeyin eğri yapısından dolayı imaj yükünün gerçek q yüküne büyüklük olarak eşit olması beklenmez. İmaj yükünün -mq olduğunu varsayalım; m bir sabittir. İmaj yükü şekil 3.49a’da görüldüğü gibi gerçek yük ile kürenin merkezini birleştiren hat üzerinde bulunmaktadır. Böylece herhangi bir P noktasındaki potansiyel, V= q 1 m − 4πε R1 R2 ile verilir; R1 = r 2 + d 2 − 2rd cosθ ve R2 = r 2 + b 2 − 2rb cosθ dir. Sınır şartı, r = a ’da yani kürenin yüzeyinde V = 0 veya potansiyelin kaybolmasını yani 1 a 2 + d 2 − 2ad cosθ = m a 2 + b 2 − 2ab cosθ ilişkisinin kurulmasını gerektirir. m ve b’nin bulunması için iki eşitliğe ihtiyaç vardır. Bunun yapılması için her iki tarafın karesi alınır ve cosθ katsayıları eşitlenerek ( a 2 + d 2 )m 2 = a 2 + b 2 ve 2adm 2 = 2ab terimleri elde edilir. Bu eşitlikler çözülerek m2 = b , d b= a2 d ve m= a d katsayıları bulunur. Buradan imaj yükünün, − mq = − a q d eşitliğinden m ≤ 1 olduğu açıktır. Sadece d=a iken m = 1 ’dir. Bunun anlamı gerçek yük, küre yüzeyinin hemen üzerinde iken imaj yükünün gerçek yüke büyüklük olarak eşit olmasıdır. Küreden uzaklaştıkça imaj yükü merkeze doğru hareket eder. Küredeki yüzey yük yoğunluğu D alanının normal bileşenine eşittir. P kürenin yüzeyi üzerinde (şekil 3.49b) ve m = a / d ve r = a olduğundan, küredeki yük yoğunluğu aşağıdaki gibi bulunur. ρ s = a r ⋅ D= a r ⋅ (−ε∇V )= −ε ∂V ∂r r =a q 1 a ∂ − 2 4πε a + d 2 − 2ad cosθ d a 2 + b 2 − 2ab cosθ ρ s = −ε ∂a Statik Elektrik Alanları ρs = − 209 q a (a − b cosθ ) (a − d cosθ ) − 2 2 3 4π d (a 2 + b 2 − 2ab cosθ )3 a d ad θ ( 2 cos ) + − ρs = − q d 2 − a2 4πa (a 2 + d 2 − 2ad cosθ )3 b = a 2 / d dir. Elde edilen bu yük yoğunluğundan küre üzerindeki toplam yük, π Qküre 2π q(d 2 − a 2 )a a 2 + d 2 − 2ad cosθ a − φ 0 = − q = − mq = a 2 ρ s sin θdθ dφ = − 0 0 d 4π ad (a 2 + d 2 − 2ad cosθ )3 0 π ∫ ∫ 2π 2 d ( d 2 −a 2 ) olarak beklenildiği gibi hesaplanır. ALIŞTIRMALAR 42. ρ düzgün yük yoğunluklu sonsuz incelikte bir hat ile sonsuz iletken düzlem arasında d açıklığı vardır. (a) hat boyunca iletken düzlemde birim uzunluk başına indüklenen yükü ve (b) eş potansiyel yüzey eşitliğini belirleyiniz. Bu eş potansiyel yüzeylerin birkaçını çiziniz. 43. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi z yönünde uzanan sonsuz iki iletken düzlem φ = 0 ve φ= 60° dedir. Her iki plaka toprak potansiyelinde iken bir q nokta yükü Q(2, π / 6,0) ’da bulunmaktadır. (5, π / 6,0) noktasındaki potansiyeli bulunuz. 44. Önceki alıştırmayı, nokta yükü yerine düzgün yük yoğunluklu ince bir hat kullanıldığında yeniden çözünüz. 3.14 ÖZET Elektrostatik alan teorisi durgun yükler ile oluşturulan ve zamanla değişmeyen alanlar çalışmasıdır. Bütün teori Coulomb tarafından yapılan deneysel gözlemlerden çıkmaktadır. Coulomb kanununun miktarsal bir ifadesi aşağıdaki gibidir. qq F = 1 2 2 aR 4πεR Daha ileri deneysel gözlemler bir q nokta yükünün etrafına yerleştirilen belli sayıda diğer yüklerin nokta yükü üzerinde meydana getirdiği toplam kuvvetin, q yüküne her bir yükün ayrı ayrı oluşturduğu kuvvetlerin toplamına eşit olduğunu göstermiştir. Bu aşağıdaki eşitlik ile verilir. F= n ∑ i =1 qqi (r − ri ) 3 4πε r − ri Elektrik alan şiddeti q t →0 limitinde qt test yüküne etkiyen kuvvet ile tanımlandı. Bir nokta yükünden dolayı bir ortamda bir noktadaki elektrik alan şiddeti 210 Elektromanyetik Alan Teorisi E= q aR 4πεR 2 ile verilir. Hacim, yüzey ve hat yük dağılımından dolayı bir noktadaki elektrik alan şiddeti için de aşağıdaki gibi ifadeler elde edildi. 1 E= 4πε ∫ r − r' 1 E= 4πε ∫ r − r' 1 E= 4πε ∫ r − r' ρ 'v dv' 3 (r − r ' ) v ρ 's ds ' 3 (r − r ' ) s ρ 'l dl ' 3 (r − r ' ) c Elektrik akı yoğunluğu D = εE = ε o E + P olarak tanımlandı ve bir yüzeyden geçen elektrik akısı aşağıdaki gibi ifade edildi. Ψ = D ⋅ ds ∫ s Gauss kanunu kapalı bir yüzeyden dışa doğru net akının kapalı yüzey içindeki pozitif yüke eşit olduğunu ifade etmektedir. Bu integral formunda D ∫ ⋅ ds = Q s ve nokta veya diferansiyel formunda ∇ ⋅ D = ρv olarak ifade edilir. Yük dağılımı simetrik olduğu sürece elektrik akı yoğunluğunun bulunması için Gauss kanunu kullanılabilir. Bunu yapmak için üzerinde D alanının normal bileşeninin sabit olduğu bir Gauss yüzeyinin de var olduğunun doğrulanması gerekir. E alanına yerleştirilmiş yalıtılmış bir dielektrik malzemenin her yüzeyinde ρ sb= P ⋅ a n ile ifade edilen bir sınır yüzey yük yoğunluğu ve dielektrik malzeme içinde ρ vb = −∇ ⋅ P Statik Elektrik Alanları 211 ile verilen bir sınır hacim yük yoğunluğunun olması beklenir. Elektrik potansiyeli birim yük başına yapılan iş olarak tanımlandı ve E alanı ile a Vab = − E ⋅ dl ∫ b eşitliği elde edildi. Bir q nokta yükünden dolayı b noktasındaki mutlak potansiyel aşağıdaki gibi ifade edildi. Vb = q 4πεR Hacim, yüzey ve hat yük dağılımlarından dolayı elektrik potansiyel fonksiyonları aşağıdaki gibi elde edildi. ρ 'v dv' 1 4πε ∫ r − r ' V= v ρ 's ds ' 1 4πε ∫ r − r ' V= s V= ρ 'l dl ' 1 4πε ∫ r − r ' c Potansiyel dağılımından E alanı E = −∇V olarak bulunabilir. Zamanla değişmeyen elektrik alan şiddeti doğası gereği korunumlu olduğundan ∇×E = 0 ile ifade edildi. D ’nin normal bileşeni genelde sınırda sürekli değildir ve E alanının tanjant bileşeni sınırda süreklidir. Bunlar aşağıdaki gibi ifade edilir. a n ⋅ (D1 − D2 ) = ρs a n × ( E1 − E 2 ) = 0 D ’nin normal bileşeni ve E ’nin tanjant bileşeni farklı iki dielektrik ortam arasındaki ara yüzeyde süreklidir. Statik dengede bir iletken içindeki hacim yük yoğunluğu ve alanlar sıfırdır. n nokta yükünden dolayı elektrostatik enerji, 212 Elektromanyetik Alan Teorisi W= 1 n ∑ qiVi 2 i =1 ile; sürekli hacim yük dağılımı için elektrostatik enerji, 1 ρ vVdv 2 ∫v W= ile ve D ve E alanları ile elektrostatik enerji W= 1 D ⋅ E dv 2 ∫v ile ifade edilir. Kapasitans bir iletken üzerindeki yükün diğer iletkene göre potansiyeline oranı olarak tanımlanmıştır. Paralel plakalı bir kapasitörün kapasitansı, C= εA d L uzunluğunda silindirik bir kapasitörün (koaksiyel kablo) kapasitansı C= 2πεL ln(b / a ) ve son olarak küresel bir kapasitörün kapasitansı C= 2πεab b−a dir. İki iletken arasındaki kapasitans 1 = C b dr ∫ ε (r ) A a r genel ifadesi ile belirlenir. Herhangi bir ortamdaki potansiyel dağılımın genel ifadesi ε∇ 2V + ∇V ⋅ ∇ε = − ρv olup ikinci derece bir diferansiyel eşitliktir. Eğer ortamın geçirgenliği sabitse Poisson eşitliği, ∇ 2V = − ρ v / ε ve eğer ilgili bölgede net hacim yük yoğunluğu sıfır ise Laplace eşitliği ∇ 2V = 0 elde edilir. Yükler sonsuz uzunlukta iletken bir bölgeye yakın bulunduğunda alanlar imajlar metodu ile belirlenebilir. İmaj yükleri ilgili bölgenin dışında bulunur ve iletken ihmal edilir. Statik Elektrik Alanları 213 3.15 ÇALIŞMA SORULARI 1. Bir cisim yüklü ise ne denilmek istenilir? 2. Kapalı bir sistemde net yük korunduğunda ne denilmek istenilir? 3. Coulomb kanununu kendi cümlelerinizle ifade ediniz. 4. Bir bölgeye iki pozitif yük konulursa bunlar bir .........................kuvveti altında kalacaklardır. 5. Bir bölgeye iki negatif yük konulursa bunlar bir ........................kuvveti altında kalacaklardır. 6. Pozitif yük negatif yükün yakınına konulursa pozitif yük .................. kuvveti altında kalacaktır. 7. Elektrik alan şiddeti nedir? 8. Bir nokta yükünün en değişmez tanımı ne olmalıdır? Olabilecek diğer yük dağılımları nedir? 9. Coulomb başına newton’un boyutsal olarak metre başına volt olduğunu ispatlayınız. 10. Hacim yük yoğunluğu terimi ile yüzey yük yoğunluğunu tanımlayınız. 11. Yüzey yük yoğunluğu terimi ile hat yük yoğunluğunu tanımlayınız. 12. Kuvvet hattı nedir? 13. 10 C’luk bir nokta yükünün kuvvet hatları sayısı.................................... 14. Elektrik alanında pozitif test yükünün hareketi ile yapılan iş pozitif ise iş bir..................... kuvveti ile yapılır. Potansiyel hareket yönünde...................... 15. Pozitif test yükünün hareketi yönünde potansiyel azalırsa iş bir ...........kuvveti ile yapılır. 16. E = −∇V eşitliğinde negatif işaretin önemi nedir? 17. Gauss kanununu ifade ediniz. 18. (a) ρ v = kρ 2 , (b) ρ v = kρ cos φ , (c) ρ v = k / ρ ve ρ ≠ 0 , (d) ρ v = kr , (e) ρ v = kr cosθ ve (f) ρ v = kr cos φ durumları için Gauss kanunu kullanılabilir mi? 19. Kibrit kutusu büyüklüğünde içi boş iletken statik bir elektrik alanına konulmuştur. İletkenin içindeki elektrik alanı nedir? İletkenin iç ve dış yüzeyindeki yük dağılımını çiziniz. 20. 100 V potansiyelde tutulan kibrit kutusu büyüklüğünde içi boş iletken statik bir elektrik alanına konulmuştur. İletkenin içindeki elektrik alanı nedir? 21. Gauss kanununun uygulanması için Gauss yüzeyinde D alanının normal bileşeninin sabit tutulması gerekli midir? Nedenini açıklayınız. 22. 10 mC’luk bir yük iletken bir kabuk içine konulmuştur. İç yüzeyde indüklenen yük nedir? Dış yüzeydeki yük nedir? Yükün kabuk içinde konulduğu yer önemli midir? 214 Elektromanyetik Alan Teorisi 23. ∇ ⋅ D ’nin fiziksel önemi nedir? 24. Yük b yarıçapında ince bir küresel kabuk üzerine yayılmışsa kabuk içindeki E nedir? 25. Bir nokta yükünü oluşturmak için ne kadar enerji gerekir? Bir nokta yükü gerçekten var olabilir mi? 26. Eş potansiyel yüzeyler niçin elektrik akı hatlarına diktir? 27. 1 C’luk nokta yükü boşlukta sonsuzdan a noktasına getiriliyor. Bunu yapmak için ne kadar enerji gerekir? 1 C’luk ikinci yükün sonsuzdan b noktasına getirilmesi için enerji harcaması 1 J ise yükler arasındaki uzaklık nedir? 28. Önceki soruda boşluk ε r = 4 ortamı ile değiştiriliyor. Aynı enerji harcaması için iki yük arasındaki uzaklık nedir? 29. Sınır şartları ile ne denilmek isteniyor? 30. ∇ 2V = 0 ’nin çözümü tek midir? 31. Laplace eşitliğinin çözümünde sınır şartlarının önemi nedir? 32. Sınır yükünün tanımı nedir? 33. Küresel yük dağılımı için r yarıçapındaki alanın r yarıçapındaki hacim içinde bütün yükün merkezde yoğunlaşmış olarak aynı ve dışarıdaki yüklerin yok edilmiş gibi olduğunu gösteriniz. 34. Yüksüz bir bölgede E x = αx ve E y = βy dir. Ez ’yi bulunuz. 35. n kapasitör seri bağlanmışsa etkin kapasitans nedir? 36. n kapasitör paralel bağlanmışsa etkin kapasitans nedir? 37. Kapasitörler seri bağlandığında her kapasitördeki yük niçin aynıdır? 38. Kapasitörler paralel bağlandığında her kapasitördeki yük aynı mıdır? 39. Bir iletkenin yüzeyindeki yüzey yoğunluğu 10 mC/ m2 ise yüzeyinin hemen üzerindeki elektrik akı yoğunluğu nedir? 40. Boş uzay ve dielektrik sabiti 5 olan dielektrik bir ortam arasındaki ara yüzeyi dikkate alınız. Boş uzayda D alanının normal bileşeni 10 C/m2 ve dielektrik ortamda E alanının tanjant bileşeni 100 V/m dir. D alanının tanjant bileşeni ve E alanının normal bileşenini bulunuz. 41. Önceki sorudaki sınır yüzey yük yoğunluğu nedir? 42. Sınır şartları uygulanırken sınır yük yoğunlukları dikkate alınır mı? 43. Bir dielektrik ortamda Gauss kanunu uygulanırken sınır yük yoğunluklarının dikkate alınması gerekir mi? Statik Elektrik Alanları 215 44. Elektrik alanı E = 10a y + 20a z V/m olarak veriliyor. Bu düzgün bir alan mıdır? Niçin? Büyüklüğü nedir? Birim vektörler ile yapılan açıların kosinüsü nedir? 3.16 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR 1. 5 nC’luk bir yük P (2, π / 2, −3) ’de -10 nC’luk bir yük Q(5, π ,0) ’da bulunmaktadır. Yüklerin birbiri üzerine etkilediği kuvveti hesaplayınız. Bu kuvvetin türü nedir? P(2, π / 2, −3) ⇒ P (0, 2, −3) , Q(5, π ,0) ⇒ Q(−5,0,0) , PQ = R= −5a x − 2a y + 3a z ⇒ R =38 ×10 9 1 5 × 10−9 × 10 × 10−9 [−5a x − 2a y + 3a z ] = 9,61a x + 3,84a y − 5,76a z nN = − 3 πε 4 o 38 F−10 nC = 11,84 nN 9 F−10 nC çekme kuvveti 2. 2 nC, -5 nC ve 0,2 nC’luk yükler sırasıyla P (2, π / 2, π / 4) , Q(1, π , π / 2) ve S (5, π / 3, 2π / 3) ’e konulmuştur. P noktasındaki 2 nC’luk yüke etkiyen kuvveti bulunuz. Bu kuvvet itme veya çekme kuvveti midir? P (2, π / 2, = π / 4) P(2sin 90° cos 45°, 2sin 90° sin 45°, 2cos90 = °) P ( 2, 2,0) Q(1, π , π = / 2) P (1sin180° cos90°,1sin180° sin 90°,1cos180 = °) Q(0,0, −1) S (5, π / 3, 2π / 3) = S (5sin 60° cos120°,5sin 60° sin120°,5cos 60°) = S (− 75 / 16,15 / 4,5 / 2) = R QP = ( 2 − 0)a x + ( 2 − 0)a y + [0 − (−1)]a z ⇒ RQP = QP 5 SP = R SP = [ 2 − (− 75 / 16)]a x + ( 2 − 15 / 4)a y + (0 − 5 / 2)a z ⇒ RSP = 29 + 75 2 − 225 / 2 / 4,95148 ×10 9 1 2 × 10−9 × −5 × 10−9 ( 2a x + 2a y + a z ) 3 4πε o 5 9 F2 nC, -5 nC −9 −9 −9 8,0498×10 11,3842×10 11,3842×10 9 9 9 = F2 nC, -5 nC − ax − ay − az N 9 9 9 0,5 × 10 5 0, 25 × 10 10 0, 25 × 10 10 F2 nC, -5 nC = 18 nN 216 Elektromanyetik Alan Teorisi ×10 9 1 2 × 10−9 × 0, 2 × 10−9 [( 2 + 75 / 16)a x + ( 2 − 15 / 4)a y − 5 / 2a z ] 3 4πε o 29 + 75 / 2 − 225 / 2 F2 nC, 2/10 nC= 0,106144 × 10−9 a x − 0,007696 × 10−9 a y − 0,007413 × 10−9 a z N F2 nC, 2/10 nC = 0,106681 nN 9 F2 nC, 2/10 nC F2 nC = F2 nC, -5 nC + F2 nC, 2/10 nC = −(11, 27 × 10−9 a x + 11,39 × 10−9 a y + 8,057 × 10−9 a z ) N F2 nC ≈ 18 nN çekme kuvveti 3. Örnek 3.5’de elde edilen E = ρbz 2ε o [b + z ] 2 2 3/ 2 a z ifadesinden yararlanarak Örnek 3.6a’yı çözünüz. dq 2πρ ' d ρ ' ρ s = = ⇒ dE 2πρ ' d ρ ' z ρ s az ⇒ 4πε o [ ρ '2 + z 2 ]3/ 2 Ez = z ρs b ρ ' d ρ ' ρs z 1 1 = − 2 2 2 3/ 2 ∫ a 2 2 2ε o [ ρ ' + z ] 2ε o a + z b + z2 az 4. Örnek 3.9b’de yük dağılımı rρ v ise uzayda her yerdeki elektrik alan şiddetini belirleyiniz. Q 4 4 π r ρv 3 ρv r 2 2 Er r ≤ a Er r ≤ a E ⋅ ds 4π r = ⇒= ∫= s 3ε o εo Gauss kanunundan Q 4 4 π a ρv a 4 ρv 3 ⇒= 2 E = ⋅ π = ds r E E 4 r r ∫ s r ≥a r ≥a εo 3ε o r 2 Gauss kanunundan 5. z = 5 / 2 m düzleminde ½ m yarıçapında dairesel bir pencereden geçen elektrik akı yoğunluğu D = 10 sin φ a ρ + 12 z cos(φ / 4)a z C/m2 olarak verilmiştir. Pencereden geçen toplam akı nedir? Statik Elektrik Alanları Ψ = ∫ s D ⋅ ds = ∫ s 217 5/2 1/ 2 2π z ∫ ρ d ρ ∫ cos(φ / 4)d= φ 15 C (10sin φ a ρ + 12 z cos(φ / 4)a z ) ⋅ ( ρ d ρ dφ a= ) 12 z 0 0 6. a ve b yarıçapları ile sınırlanan (a < b) küresel bölge içindeki yük dağılımı ρ v = k / r olarak verilmiştir. Boşlukta her yerde elektrik alan şiddetini belirleyiniz. r = b küresel yüzeyinden geçen toplam akı nedir? 0 ≤ r ≤ a arası I. Bölge: Q = 0 , EI = 0 π 2π = r 2 sin θ dθ ∫ dφ 4π r 2 Er ve Bölge: ∫ E ⋅ ds Er ∫ = a ≤ r ≤ b arası II. s Q = ∫ r a 0 0 2π π Q 2π k (r 2 − a 2 ) k r 2 − a2 k 2 , = E = ar r dr ∫ sin θ dθ ∫= dφ 2π k (r 2 − a 2 ) , 4π r 2 E= r II 0 0 εo εo 2ε o r 2 r = Q 2π k (b 2 − a 2 ) , 4π r 2 E= b ≤ r ≤ ∞ arası III. Bölge: r k b2 − a 2 Q 2π k (b 2 − a 2 ) , EIII = ar = 2ε o r 2 εo εo 7. Sonsuz uzunlukta a yarıçapında bir silindirik iletkenin yüzeyinde düzgün ρs yüzey yük dağılımı vardır. Boşlukta her yerdeki elektrik alan şiddetini ve elektrik akı yoğunluğunu hesaplayınız. b yarıçapında bir (b > a) silindirik yüzeyden geçen akıyı hesaplayınız. 218 Elektromanyetik Alan Teorisi Q Q 2π ah ρ s a ρ s aρs = = ⇒E = a ≤ ρ ≤ ∞ ⇒ ∫ ρ s= ds 2π ah ρ s ⇒ ∫ D ⋅= ds 2πρ hDρ ⇒ D ρ ρ s s 2πρ h ρ εoρ Gauss kanunundan Ψ = ∫ s D ⋅ ds = ∫ 2π 0 aρs ρ = 2π aρ s ρ dφ ∫ dz 0 8. Boş uzayda E = (20 / r 2 )a r ise (3,-4,1) noktasındaki ρv’yi bulunuz. Q 20 4 π r 3 ρv −9 r2 60 1036π 60ε o ρv r 3 2 3 −12 ∫ s E ⋅ ds =4π r Er = ε o ⇒ Er =3ε o ⇒ ρv = r 3 ⇒ ρv = 32 +( −4)2 +13 =4 × 10 C/m Gauss kanunundan 9. Q1 = 120 nC ve Q2 = 800 nC ’luk iki nokta yükü 40 cm’lik bir uzaklık ile birbirinden ayrılmıştır. Aradaki uzaklığı 30 cm’ye düşürmek için ne kadar enerji harcanmalıdır? Q QQ E = 1 2 ar ⇒ W = −Q2 ∫ E ⋅ dl = − 1 2 c 4πε o r 4πε o ∫ 0,3 0,4 QQ 1 1 1 − = dr =1 2 720 μJ 2 r 4πε o 0,3 0, 4 W > 0 olduğundan, yükler birbirini itmekte ve harici kuvvet iş yapmaktadır. q aR 10. (3.9) ⇒ E = ve vektör işlemlerini kullanarak (a) E = −∇V ve (b) ∇ × E = 0 olduğunu 2 4πε o R gösteriniz. V − ar / r 2 −∇ (1/ r ) Q Q ar Q 1 E= ∇ = −∇ = −∇V 2 = − 4πε o r 4πε o r 4πε o r Statik Elektrik Alanları ∇×E 219 r aθ r sin θ aφ ar 1 ∂ ∂ ∂ 0 = 2 r sin θ ∂r ∂θ ∂φ Q 0 0 4πε o r 2 Er 11. Sonsuz uzunlukta, düzgünce yüklenmiş bir hattın eş potansiyel yüzeylerinin eş merkezli silindirler olduğunu gösteriniz. E ρ d ρ ρ2 ρ ρ a ⋅ d ρaρ = −∫ E ⋅ d = −∫ − V= ρ1 2πε ρ ρ c 2πε o o ρ2 ∫ρ 1 1 ρ ρ d ρ = ln 1 ρ 2πε o ρ 2 Eğer merkezden uzakta ρ 2 = sabit noktasında bir referans noktası alınırsa merkeze yakın ρ1 = sabit noktasında V = sabit potansiyeli ile eş potansiyel yüzeyler eş merkezli silindir ailesi oluşturur. 12. Şekil 3.26b’deki yükler nokta yükü yerine sonlu yarıçapta küreler olsaydı, eşpotansiyel yüzeyler ve elektrik kuvvet çizgilerinin biçimi ne olurdu? Eşpotansiyel yüzeyler ve elektrik kuvvet çizgilerinin biçimi değişmeden kalırdı. Herhangi bir sonlu yarıçaplı küresel yükü çevreleyen eşpotansiyel küresel yüzeyler, şekilde görüldüğü gibi, eş merkezli olmayan küresel kabuklar biçiminde kalmaya devam eder. 13. E = p 4πε o r 3 [2 cosθ a r + sin θ aθ ] eşitliğini doğrulayınız. p 1 ∂V qd cos θ p ∂V 1 ∂V [2cos θ a r + sin θ aθ ] V= ⇒ E = −∇V = ar + aθ + aφ = 2 3 4πε o r 4πε o r ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ 14. Elektrik dipolünün kuvvet hatları ifadesini elde ediniz. p 2cos θ c 3 dr 4πε o r cos θ = = 2 rdθ p sin θ sin θ c 4πε r 3 o dr rdθ p 2cos θ p sin θ dr cos θ θ d φ= dl= c E ⇒ dl= dra r + rdθ aθ + r sin c ar + c a ⇒ = 2 dθ 3 3 θ 4πε o r 4πε o r r sin θ sabit cEr a r 0 cEθ aθ ln(sin θ ) rk ln 1 cos θ dr = 2 d θ ⇒ ln r + ln k = 2ln(sin θ ) ⇒ sin 2 θ= r k ⇒ r= d sin 2 θ ∫r ∫ sin θ 1/ d 1/ k 2 220 Elektromanyetik Alan Teorisi ρ2 ρ 2 + z2 r = d sin 2 θ ⇒ z = d 2/3 ρ 4/3 − ρ 2 şekil 3.26a’daki gibi kuvvet hatları veya elektrik alanı çizgileri oluşturur. ρ +z 2 2 15. Elektrik dipolünün elektrik alan şiddetinin genliğinin E = p 4πε o r 3 1 + 3 cos 2 θ olduğunu gösteriniz. Eθ Er p p p E= 2cos θ a r + sin θ aθ ⇒ E 2 = Er2 + Eθ2 ⇒ E = 1 + 3cos 2 θ 3 3 4πε o r 4πε o r 4πε o r 3 16. Elektrik dipolünün oluşturduğu elektrik alan şiddetinin korunumlu alan olduğunu gösteriniz. ar ∂ 1 ∇×E = 2 ∂r r sin θ p 2cos θ 4πε o r 3 Er r aθ r sin θ aφ ∂ ∂ 1 p 2cos θ p 2cos θ = − + ∂θ ∂φ r 4πε o r 3 4πε o r 3 p sin θ 0 4πε o r 3 0 a= φ Eθ ∇ × E = 0 olduğundan E alanı korunumlu veya konservatif bir alandır. 17. a yarıçapında çok uzun iletken bir silindir ρ sa yüzey yük yoğunluğu taşımaktadır. Bu iletken, iç yarıçapı b ve dış yarıçapı c olan diğer bir iletken silindir ile çevrelenmiştir. Boşlukta her yerdeki elektrik alan şiddetini hesaplayınız. Dış iletkenin iç yüzeyindeki yük yoğunluğu nedir? Dış iletkenin dış yüzeyindeki yük yoğunluğu nedir? Dış iletkenin dış yüzeyi topraklandığında yüklere ve alanlara ne olur? Statik Elektrik Alanları 221 0 ≤ ρ ≤ a arası I. Bölge: Q = 0 , EI = 0 2π a ρ sa a ≤ ρ ≤ b arası II. Bölge: EII = Q a Q a a ρ sa Q aρ aρ = εoρ 2πε o ρ − = − ρ sa ρ= b 'de ρ sb = 2π b b ρ= c 'de ρ sc = + = + ρ sa 2π c c b ≤ ρ ≤ c arası III. Bölge: EIII = 0 a ρ sa c ≤ ρ ≤ ∞ arası IV. Bölge: E= E= aρ IV II εoρ 0 EIV = 0 Dış iletkenin dış yüzeyi topraklandığında ρ sc =⇒ 18. Önceki örnekte iç iletkendeki yüzey yük yoğunluğu pozitif ise iç iletkenin potansiyeli dış iletkenden daha mı az yoksa daha mı çok olur? İki iletken arasındaki potansiyel farkı nedir? 2π a ρ sa Q Vab = − ∫ EII ⋅ d = − c 2πε o ∫ a b aρ b d ρ = sa ln a ρ εo 1 a noktasındaki potansiyel b’dekinden yüksektir. 19. b yarıçapında bir kürenin içindeki yük dağılımı ρ v = (b + r )(b − r ) C/m3 olarak verilmiştir. Boşlukta her yerdeki elektrik alan şiddeti ve potansiyeli hesaplayınız. Potansiyelin r = ∞ ’da sıfır olduğunu varsayınız. r π 2π 0 0 0 2 2 2 0 ≤ r ≤ b arası I. Bölge: Q0≤ r ≤b = ∫ (b − r )r dr ∫ sin θ dθ ∫ Q (5b 2 − 3r 2 )r 2 E π E ar ⋅ ds = 4 r E = ⇒ = r I ∫ s εo 15ε o (5b 2 − 3r 2 )r 5b 2 r 2 3 4 VI = −∫ dr = − + r + k 15ε o 15ε o 2 60ε o integrasyon sabiti 4 3 2 dφ = π r (5b − 3r 2 ) 15 222 Elektromanyetik Alan Teorisi b4 5b 2 r 2 3 4 b4 − + r= b 'de VI = Vb ⇒ k = ⇒ VI = r + εo 4ε o 15ε o 2 60ε o 4 k b4 2 4 ve r = b 'de ⇒ Vr =b = b 4ε o 15ε o = r 0= 'da Vr = 0 = b ≤ r ≤ ∞ arası II. Bölge: Qb ≤ r ≤∞ 4 3 2 8 2 b5 ar π b (5b − 3b 2= π b5 ⇒ E= ) II 15 15 15 ε o r 2 b noktasında r 2 b 2 b 1 2 b 1 1 2 b4 VII = dr V −∫ = − − = − ⇒ = b ∞ 15 ε r 2 15 ε o r ∞ 15 ε o r 15 ε o ∞ o 0 5 5 r 5 20. ∇' (1 / R ) = (1 / R 2 )a R olduğunu gösteriniz. R = r − r ' = ( x − x ')a x + ( y − y ')a y + ( z − z ')a z ⇒ R 2 = ( x − x ') 2 + ( y − y ') 2 + ( z − z ') 2 R ar ( x − x ') ( y − y ') ( z − z ') ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ay + a z =3 =2 ∇ '(1 / R ) = ay + ax + az = 3 ax + R R3 R3 R R ∂x ' R ∂z ' R ∂y ' R 21. 10 mm yarıçapında bir dielektrik çubuk z ekseninde z = 0 ile z = 10 m arasında uzanmaktadır. Çubuğun polarizasyonu P = [2 z 2 + 10]a z dir. Sınır hacim yük yoğunluğunu ve her yüzeydeki yüzey polarizasyonunu hesaplayınız. Toplam sınır yükü nedir? A= π a2 = π (10 × 10−3 ) 2 = π 10−6 m 2 P = [2 z 2 + 10]a z ⇒ ρ vb = −∇ ⋅ P = −4 z P ⋅ az I. Yüzey: ρ sbI = z =10 = [2 z 2 + 10] z =10 = 210 C/m 2 Statik Elektrik Alanları 223 II. Yüzey: ρ sbII =− P ⋅ a z z =0 = [2 z 2 + 10] z =10 =−10 C/m 2 0 III. Yüzey: ρ sbIII =P ⋅ a ρ =[2 z 2 + 10] a z ⋅ a ρ =0 a 2π 10 Qvb = −4 z ) dz = −200π a 2 ∫v ρvb dv = ∫0 ρ d ρ ∫0 dφ ∫0 ( ρvb Toplam sınır yükü = 210π a 2 − 10π a 2 − 200π a 2 = 0 22. Kenarı b olan bir dielektrik küpte polarizasyon vektörü P = xa x + ya y + za z olarak veriliyor. Eğer koordinatların orijini kübün merkezinde ise sınır hacim yük yoğunluğunu ve sınır yüzey yük yoğunluğunu bulunuz. Bu durumda toplam sınır yükü kaybolur mu? P = xa x + ya y + za z ⇒ ρvb = −∇ ⋅ P = −3 C/m3 Toplam sınır yüzey yükü Yüzey ρ sb= P ⋅ a n x = +b / 2 ρ sb = P ⋅ a z = ( xa x + ya y + za z ) ⋅ (+a x ) x = + b / 2 = b / 2 x = −b / 2 ρ sb = P ⋅ a z = ( xa x + ya y + za z ) ⋅ (−a x ) x = − b / 2 = b / 2 y = +b / 2 ρ sb = P ⋅ a z = ( xa x + ya y + za z ) ⋅ (+a y ) y = + b / 2 = b / 2 y = −b / 2 ρ sb = P ⋅ a z = ( xa x + ya y + za z ) ⋅ (−a y ) y = − b / 2 = b / 2 z = +b / 2 ρ sb = P ⋅ a z = ( xa x + ya y + za z ) ⋅ (+a z ) z = + b / 2 = b / 2 z = −b / 2 ρ sb = P ⋅ a z = ( xa x + ya y + za z ) ⋅ (−a z ) z = − b / 2 = b / 2 Genel toplam sınır yüzey yükü (b / 2) × b × b = b3 / 2 (b / 2) × b × b = b3 / 2 (b / 2) × b × b = b3 / 2 (b / 2) × b × b = b3 / 2 (b / 2) × b × b = b3 / 2 (b / 2) × b × b = b3 / 2 3b3 224 Elektromanyetik Alan Teorisi hacim Toplam sınır hacim yükü =−3 C/m × (b × b × b) m3 =−3b3 C 3 Toplam sınır yükü = −3b3 + 3b3 = 0 23. Yarıçapı b olan dielektrik silindir uzunluğu boyunca polarize edilmiş ve z ekseninde z = − L / 2 ile z = L / 2 arasında uzanmaktadır. Eğer polarizasyon düzgün ve genliği P ise dielektrik silindirin hem içinde ve hem de dışında, z eksenindeki bir noktada bu polarizasyondan kaynaklanan elektrik alanını hesaplayınız. P = Pa z ⇒ ρ vb = −∇ ⋅ P = 0 ρ sb Eüst z = P ⋅ a z =Pa z ⋅ (+a z ) z /2 L= P 4πε o b 2π 0 0 ∫∫ L/2 =+ P ve ρ sb ρ d ρ dφ ρ 2 + ( z − L / 2) 2 3 = P ⋅ a z =Pa z ⋅ (−a z ) z = =− P z= −L/2 −L/2 [ − ρ a ρ + ( z − L / 2)a z ] 2π ∫0 a ρ dφ = 0 b 1 P ( z − L / 2) − = 2 4πε o ρ + ( z − L / 2) 2 2π 2P ( z − L / 2) φ 0 az = − − 1 a z 2ε o b 2 + ( z − L / 2) 2 0 Ealt 3 −P 4πε o b ∫∫ 0 2π 0 ρ d ρ dφ ρ 2 + ( z + L / 2) 2 1 − P ( z + L / 2) = − 4πε o ρ 2 + ( z + L / 2) 2 [ − ρ a ρ + ( z + L / 2)a z ] 2π ∫0 a ρ dφ = 0 b 2π 2P ( z + L / 2) φ 0 az = − 1 a z 2ε o b 2 + ( z + L / 2) 2 0 2P ( z − L / 2) 2P ( z + L / 2) E= Eüst + Ealt = − − 1 a z + − 1 a z 2ε o ρ 2 + ( z − L / 2) 2 2ε o b 2 + ( z + L / 2) 2 = 2P ( z + L / 2) ( z − L / 2) − 2ε o b 2 + ( z + L / 2) 2 ρ 2 + ( z − L / 2) 2 az Statik Elektrik Alanları 225 24. Sonsuz bir hat yükü sabit geçirgenlikte dielektrik bir ortam içinde çevrelenmiştir. Ortamda herhangi bir noktadaki elektrik alan şiddetini belirleyiniz. Hat a→0 olacak şekilde a yarıçaplı bir silindire yakınlaştırıldığında sınır yük yoğunluğu nedir? ρ ∫ D ⋅ ds =Q ⇒ 2πρ L = ρ L ⇒ Dρ = 2πρ ⇒ Eρ = s Dρ ε = ρ 2π ε oε r ρ ε Dρ= ε o Eρ + Pρ ⇒ Pρ= ρvb = −∇ ⋅ P = ρ ε r − 1 ρ ε r − 1 ⇒ Pρ= aρ 2πρ ε r 2πρ ε r 1 ∂ ρ ε r − 1 ρ = 0 ρ ∂ρ 2πρ ε r Hat a→0 olacak şekilde a yarıçaplı bir silindire yakınlaştırıldığında sınır yük yoğunluğu: ρ sb ρ =a ρ ε −1 ρ ε r − 1 =P ⋅ (−a ρ ) =− r a ρ ⋅ a ρ =− 2π a ε r 2π a ε r Birim uzunluk başına sınır yükü: Qsb ρ =a ε −1 = 2π a ρ sb = − ρ r εr ε − 1 ρ ρ − ρ r = Hat yükü ε r faktörü ile azalmıştır. ε r Etkin hat yük yoğunluğu: ρ e = εr εr faktörünün D üzerinde bir etkisi yoktur. 25. Yarıçapı a olan küresel bir hacimde düzgün bir ρ v hacim yük dağılımı vardır. (3.65)’i kullanarak sistemin toplam enerjisini hesaplayınız. Gauss kanunundan, Q ρv ρv 4 3 2 Yüzey r ≤ a yarıçapında iken: ∫ s D ⋅ = ds 4π r D = π r ρv ⇒ D= ra r ⇒ E= ra r r rI rI 3 3 3ε o Q ρv a3 ρv a3 4 2 Yüzey r ≥ a yarıçapında iken: ∫ s D= ⋅ ds 4π r = DrII a ⇒ = E ar π a3 ρv ⇒ = Dr r rII 3 3 r2 3ε o r 2 r ρ a3 r ≥ a iken: Vo = − ∫ ErII ⋅ dra r = − v −∞ 3ε o ρv a3 1 dr = ⇒V ∫−∞ r 2 3ε o r r Va r ρ a2 ρ r ≤ a iken: Vr = Va − ∫ ErI ⋅ dra r = v − v a 3ε o 3ε o ∫ r a rdr = r =a ρv a 2 Va = = 3ε o ρv a 2 ρv 2 ρ a2 ρ − ( r − a 2 )= v − v r 2 3ε o 6ε o 2ε o 6ε o 226 Elektromanyetik Alan Teorisi π 2π 1 1 2 a a2 4π a 5 2 r2 2 = − = sin W= ρ V dv ρ r dr θ d θ d φ ρv v r v ∫0 ∫0 2 ∫v 2 ∫0 2ε o 6ε o 15ε o 26. Önceki alıştırmada (3.68)’i kullanarak sistemin toplam enerjisini hesaplayınız. 1 DrII ⋅ErII dv rI ⋅E rI dv ∫v D 2 ∫v DrII ErII DrI ErI π π 2π 2π 1 a ρv ρv 2 1 a ρv a3 ρv a3 2 ar ⋅ W = ∫ ra r ⋅ ra r r dr ∫ sin θ dθ ∫ dφ + ∫ ra r r dr ∫ sin θ dθ ∫ dφ 2 2 0 0 0 0 2 0 3 3ε o 2 0 3 r 3ε o r 4π a 5 2 = ρv 15ε o 1 2 27. Yarıçapı a olan küresel hacimde ρ v düzgün hacim yük dağılımı vardır. Yük dağılımı iç yarıçapı b, dış yarıçapı c olan ve ε geçirgenliğinde, eş merkezli dielektrik kabuk ile çevrelenmişse (a) sistemde depolanan toplam enerjiyi, (b) sınır yük yoğunluklarını ve (c) net sınır yükünü belirleyiniz. Q ρv 4 2 Yüzey r ≤ a yarıçapında iken: ∫ s D= ⋅ ds 4π r = Dr π r 3 ρv ⇒= DrI ra r 3 3 Q ρv a3 4 3 2 Yüzey r ≥ a yarıçapında iken: ∫ s D= ⋅ ds 4π r = DrII ar π a ρv ⇒ = Dr 3 3 r2 2 Dr 5 2π 2 a/5 2 2 a π 2π 4π a 5 ρ v2 1 ρv 1 ρv 4 I. Bölge: WI ∫= = r dv r dr = θ d θ d φ sin ∫0 ∫0 v 2ε 3 2ε o 3 ∫0 90ε o o Statik Elektrik Alanları 227 b−a 2 Dr ab 2π 2 2 3 2 2 b π π 1 ρv a 1 ρv 3 1 2π b − a 2 5 II. Bölge: WII ∫= sin θ dθ ∫ dφ dv ρv a = 3 a ∫a r 2 dr= 2 ∫ 0 0 v 2ε 3 2 9 r ε εo b o o III. Bölge: c −b 2 Dr bc 2π 2 3 2 3 2 2π π 1 ρv a 1 ρv a c 1 2π c − b 2 6 dv dr ∫ sin θ dθ ∫ dφ ρv a ∫b 2 = 2 ∫= 0 0 v 2ε ε r 2ε rε o 3 9ε r ε o bc r o 3 r WIII ε ε 2 Dr 1/ c 2π 2 2 3 2 π 2π 1 ρv a 1 ρv 3 ∞ 1 2π 1 2 6 IV. Bölge: WIV ∫= dv a ∫ 2 dr= sin θ dθ ∫ dφ ρv a = 2 ∫ v 2ε c 0 0 2ε o 3 r 9ε o c o 3 r W =WI + WII + WIII + WIV = 4π a 5 ρ v2 2π b − a 2 5 2π c − b 2 6 2π 1 2 6 + ρv a + ρv a + ρv a 90ε o 9ε o b 9ε r ε o bc 9ε o c D E 3 ρv a3 ρv a 1 ρv a3 ε r − 1 P= D − ε oE = 2 ar − ε o ar = 2 ar 3 r 3 r 2 ε oε r 3 r εr 0 3 ρ 1 ∂ a ε −1 ρvb = −∇ ⋅ P = − 2 r 2 v 2 r = 0 r ∂r 3 r ε r ρ sb ρ sb r =b r =c ρ a3 ε − 1 ρv a3 ε r − 1 a a = −P ⋅ ar = − v 2 r ⋅ = − r r 3 b εr 3 b2 ε r ρ a3 ε − 1 ρ a3 ε − 1 = +P ⋅ ar = + v 2 r + v 2 r ar ⋅ ar = 3 c εr 3 c εr 28. ε1 ve ε2 geçirgenliklerinde iki dielektrik ortam düz bir ara yüzey ile ayrılmıştır. Eğer θ1 ve θ2 ara yüzeye normal E1 ve E2 ’nin yaptığı açılar ise θ1 ve θ2 arasında bir ilişki bulunuz. 228 Elektromanyetik Alan Teorisi Dielektrik ortamda ρ s = 0 Et 1 Et 2 E1 sin θ1 = E2 sin θ 2 tan θ1 ε1 ε r1 = = ε1 E1 cosθ1 = ε 2 E2 cosθ 2 tan θ 2 ε 2 ε r 2 Dn1 Dn 2 29. 10 cm yarıçapındaki silindirik iletkende ρ s = 200 μC/m 2 ’lük düzgün yüzey yük dağılımı bulunmaktadır. İletken sonsuz bir dielektrik ortama (ε r = 5) gömülmüştür. Sınır şartlarını kullanarak iletken yüzeyinin hemen üzerindeki dielektrik ortamda D ve E ’yi belirleyiniz. İletkenin yakınındaki dielektrik yüzeyde birim uzunluk başına sınır yüzey yük yoğunluğu nedir? İletken ortamda D2 =0 ⇒ E2 =0 Dρ 1 200 40 = = V/m Dn1a n =Dρ 1a ρ ⇒ Dn1 =Dρ 1 =ρ s =200 μC/m 2 ⇒ Eρ 1 = ε1 5ε o ε o Pρ 1 =Dρ 1 − ε o Eρ 1 =200 − ε o 40 εo =160 μC/m 2 ⇒ ρ sb ρ =10 cm =−P ⋅ a ρ =−160 μC/m 2 30. Boş uzay ve iletken arasındaki ara yüzeyi dikkate alınız. Boş uzayda E alanının x bileşeni 10 V/m ve ara yüzeyin normali ile 30° açı yapmaktadır. E alanının diğer bileşenleri ne olmalıdır? Ara yüzeydeki yüzey yük yoğunluğu nedir? Ex = Ext1 10sin = 30° 5 V/m = E yt1 E y = sin 60° ( 3/2)E y V/m Ara yüzeyde Ext1= E yt1 ⇒ 5= E y 3 / 2 ⇒ E y= 10 / 3= 5,7735 V/m En 11,547 ρ s = Dn = ε o Ex2 + E y2 = ε o 102 + 102 / 3 = 0,1022 nC/m 2 Statik Elektrik Alanları 229 31. İki paralel plaka 2 mm kalınlığında bir dielektrik (ε r = 6) ile ayrılmıştır. Her plakanın alanı 40 cm2 ve aralarındaki potansiyel fark 1,5 kV’tur. (a) kapasitansı, (b) elektrik alan şiddetini, (c) elektrik akı yoğunluğunu, (d) polarizasyon vektörünü, (e) serbest yüzey yük yoğunluğunu, (f) sınır yük yoğunluklarını ve (g) kapasitörde depolanan enerjiyi belirleyiniz. A 10−9 40 × 10−4 = = 106,1 pF C ε= 6 d 36π 2 × 10−3 V 1500 10−9 E= − az = − a = − a ⇒ D = E = − −39,79a z nC/m 2 ε 750 V/m 6 750a z = z −3 z d 2 × 10 36π εr εr −1 6 −1 P= D − ε oE = D −39,79 −33,15a z nC/m 2 = az = εr 6 6 Yüzey yükleri: ρ s Sınır yükleri: ρ sb üst plaka üst plaka = −D = 39,79 nC/m 2 ve ρ s alt plaka =− P ⋅ a z =−33,15a z nC/m 2 ve ρ sb = D = −39,79 nC/m 2 alt plaka =+ P ⋅ a z =+33,15a z nC/m 2 1 2 1 10−9 1500 ε E =6 14,92 J/m3 Enerji yoğunluğu: w = − = 2 2 36π 2 × 10−3 2 Toplam enerji: = W ∫ v v −4 −3 = 14,92 × 40 × 10 × 2 × 10= wdv 119,37 μJ 32. Önceki alıştırmayı boş uzay için yeniden çözünüz. İki kapasitansın oranı nedir? A 10−9 40 × 10−4 = C ε= = 17,68 pF d 36π 2 × 10−3 V 1500 10−9 E= − az = − a = − a ⇒ D = ε E = − −6,63a z nC/m 2 750 V/m 750a z = z −3 z d 2 × 10 36π 1−1 P= D − ε oE = D 0 = 1 Yüzey yükleri: ρ s Sınır yükleri: ρ sb üst plaka üst plaka = −D = 39,79 nC/m 2 ve ρ s = 0 ve ρ sb alt plaka alt plaka = D = −39,79 nC/m 2 =0 1 2 1 10−9 1500 E = − = 2, 487 J/m3 Enerji yoğunluğu: w = −3 2 2 36π 2 × 10 2 230 Elektromanyetik Alan Teorisi Toplam enerji: = W ∫ v v −4 −3 = 2, 487 × 40 × 10 × 2 × 10= wdv 19,895 μJ 33. a yarıçapında bir silindirik iletken b yarıçapında diğer bir iletken ile silindirik kapasitör Qa / Vab ) eşitliğini oluşturmak için çevreleniyor. Ortamın geçirgenliği ε’dir. 3.74 ⇒ (C = kullanarak birim uzunluk başına kapasitans ifadesini elde ediniz. Kapasitörün uzunluğu L ise toplam kapasitans nedir? aρ a a Dρ =ρ s ⇒ Eρ = ρ s ⇒ Vab = − s ρ ρε ε a 1 b ρ ∫ aρ d ρ = s ln(b / a ) ε A Qa ε 2π Lε = = C = 2π aL ρ s Vab a ρ s ln(b / a) ln(b / a) b 1 dr 34. Önceki alıştırmayı 3.77 ⇒ = eşitliğini kullanarak çözünüz. ∫ a ε (r ) A r C 1 = C ∫ b a dρ dρ 2πε L = ⇒C ln(b / a )= 2πρε L 2πε L ln(b / a ) 35. 10 cm yarıçapında iç küresel kabuk 12 cm yarıçapındaki dış kabuğa göre 1000 V potansiyelde tutuluyor. Ortamın dielektrik geçirgenliği 2,5’tur. Ortamdaki E , D ve P ’yi belirleyiniz. Her iletken üzerindeki yüzey yük yoğunluğu nedir? Sınır yük yoğunlukları nedir? Sistemin kapasitansı nedir? = Vab E= r 2400ε r Q 1 1 1 1 − ⇒ = − = ⇒ πε o C Q 1000 6000 4πε r ε o a b 4π 2,5ε o 0,1 0,12 Q Q = 4πε r ε o r 2 2400πε r ε o 600 600 600 V/m ⇒ D= 2,5ε o 2 C/m 2 = ε r ε o E= ε rε o = r r 2 2 2 4πε r ε o r r r r Pr =Dr − ε 0 Er = 2,5ε o = ρ sa 600 600 600 − ε o 2 =1,5ε o 2 C/m 2 2 r r r 2400π 2,5ε o Q = = 150000ε o C/m 2 2 4π a 4π 0,12 2400π 2,5ε o Q 312500 ρ sb = − = − = − ε o C/m 2 2 2 4π b 4π 0,12 3 ρvb = −∇ ⋅ P = − 1 ∂ 2 1 ∂ 600 (r Pr ) = − 2 r 21,5ε o 2 = 0 2 r ∂r r ∂r r Statik Elektrik Alanları 231 600 ρ = −1,5ε o 2 = −90000ε o C/m 2 sb r = a 0,1 ρ sb= P ⋅ a r 600 ρ = +1,5ε o = +62500ε o C/m 2 sb r =b 0,122 C = Q 2400π 2,5ε o = = 6πε o F Vab 1000 36. Önceki alıştırmayı boş uzay için yeniden çözünüz. İki kapasitansın oranı nedir? Vab = Er = 1 Q 1 1 Q 1 Q 2400πε o C = − ⇒ = − ⇒ 1000 4πε o a b 4πε o 0,1 0,12 Q 4πε o r 2 = 2400πε o 600 600 600 = V/m ⇒ Dr = ε o Er = ε o 2 = ε o 2 C/m 2 2 2 4πε o r r r r Pr =Dr − ε 0 Er = εo 600 600 − εo 2 = 0 2 r r 2400πε o Q = = 60000ε o C/m 2 2 4π a 4π 0,12 = ρ sa 2400πε o 125000 Q − = − = − ρ sb = ε o C/m 2 2 2 4π b 4π 0,12 3 ρvb = −∇ ⋅ P = − ρ sb ρ sb= P ⋅ a r ρ sb C = 0 1 ∂ 2 ( r P r) = 0 r 2 ∂r r =a r =b =0 =0 Q 2400πε o = = 2, 4πε o F 1000 Vab 37. Örnek 3.22’de ortamın geçirgenliği z = 0 ’da ε1’den z = d ’de ε2’ye doğrusal olarak artmaktadır. Paralel plakalı kapasitörün kapasitansını bulunuz. Eğer ε 2 → ε1 ise kapasitans nedir? ε= ε1 + 1 C ∫ d 0 ε 2 − ε1 = ε1 ⇒ ε z⇒ε d=z 0=z d = ε2 A(ε 2 − ε1 ) dz d = = ln(ε 2 / ε1 ) ⇒ C ε 2 − ε1 A(ε 2 − ε1 ) d ln(ε 2 / ε1 ) z A ε1 + d 232 Elektromanyetik Alan Teorisi ε 2 → ε1 iken eln(ε 2 / ε1 ) ≅ 1 + ln(ε 2 / ε1 ) ⇒ ln(ε 2 / ε1 ) = A(ε 2 − ε1 ) Aε1 ε2 ε −ε − 1= 2 1 ⇒ C = = d ln(ε 2 / ε1 ) d ε1 ε1 ε 2 − ε1 ε1 38. Homojen dielektrik ortam a ve b yarıçaplarında eş merkezli iki küresel kabuk arasındaki bölgeyi doldurmaktadır. İç kabuk Vo potansiyelinde tutulmakta ve dış kabuk ise topraklanmıştır. (a) potansiyel dağılımı, (b) elektrik alan şiddetini, (c) elektrik akı yoğunluğunu, (d) iç kabuğun yüzey yük yoğunluğunu, (e) kapasitansı ve (f) sistemde depolanan toplam enerjiyi hesaplayınız. c1 ∂ 2 ∂V 2 0 V= ∇ V = r − + c2 ⇒ =⇒ ∂r ∂r r V c 1 1 0 c2 =1 ⇒ V = =⇒ −c1 − r r b Vo Vo 1 1 = Vo ⇒ c1 = ⇒V = − 1 1 1 1 r b − − b a a b V r =a r =b ε abVo Vo 1 1 Vo abVo ∂V ∂ E = −∇V = − ar = − ar = a ⇒ D = εE = ar − ar = 2 r ∂r ∂r 1 1 r b (b − a )r (b − a )r 2 1 1 2 − − r a b a b ρ sa= D= ε abVo (b − a )a A Qa = ρ sa × 4π a 2 = 2 ve ρ sb = −D = − ε abVo (b − a )a 2 4π a 2 = ε abVo (b − a )b 2 4πε abVo Q 4πε ab 1 2πε ab 2 Vo ⇒C = a = ⇒ W = CVo2 = (b − a ) 2 (b − a ) Vo (b − a ) 39. Bir koaksiyel kabloda iletkenler arasındaki boşluk aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi eş merkezli iki dielektrik tabaka ile doldurulmuştur. (a) her ortamın potansiyel fonksiyonunu, (b) her bölgedeki E ve D alanlarını, (c) iç iletkendeki yük dağılımını ve (d) kapasitansı belirleyiniz. Kapasitansın iki kapasitörün seri bağlanmış eşdeğerine eşit olduğunu gösteriniz. I. Bölge: ∇ 2V = 1 ∂ ∂V ρ ρ ∂ρ ∂ρ =0 ⇒ V =k1 ln ρ + k2 Statik Elektrik Alanları 233 k2 ρ = a ’da V1 = Vo ⇒ k2 =− V0 k1 ln a ⇒ V1 = k1 ln ρ + V0 − k1 ln a ⇒ V= Vo + k1 ln( ρ / a ) 1 ∂V k εk E1ρ = − 1= − 1 ⇒ D1ρ = − 1 1 ∂ρ ρ ρ ρ = c ’de V1 = V2 ⇒ D1ρ = D2 ρ ⇒ Vo + k1 ln(c / a) = k3 ln(c / b) Vo k1 = − M ε 2 ε1k1 = ε 2 k3 ⇒ ⇒ M = ε1 ln(b / c) + ε 2 ln(c / a ) V o k = − ε 1 3 M ρs D = ε k ε1 ε 2 2π aL ρ V ⇒Q = = − 1 1= a a M 1ρ ρ = a o a s ρ a ρ a= 2πε1ε 2 = L Vo M V2 k3 ln ρ + k4 = II. Bölge: k4 ρ = b ’de V2 = 0 ⇒ k4 = k3 ln ρ − k3 ln b ⇒ V2 = k3 ln( ρ / b) − k3 ln b ⇒ V2 = k ε k ∂V − 2 = − 3 ⇒ D2 ρ = − 2 3 E2 ρ = ∂ρ ρ ρ 1 1 C1 C2 2πε1ε 2 L Vo Qa ε1 ln(b / c) + ε 2 ln(c / a ) 2πε1ε 2 L 1 ln(c / a ) ln(b / c) = = ⇒ = + C= ε1 ln(b / c) + ε 2 ln(c / a) C Vo Vo 2πε1 L 2πε 2 L C1 ve C2 seri bağlı 40. V(x,y,z) Laplace eşitliğinin bir çözümü ise ∂V / ∂x , ∂ 2V / ∂x 2 ve ∂ 2V / ∂x∂y ’nin de Laplace eşitliğinin çözümü olduğunu gösteriniz. ∇ 2V = ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + + = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂ 2 ∂V ∂x 2 ∂x 2 ∂ ∂V + 2 ∂y ∂x 2 ∂ ∂V + 2 ∂z ∂x ∂V 2 (∇ V ) = 0 ⇒ ∂x ∂ 2 ∂ 2V ∂ 2 ∂ 2V ∂ 2 ∂ 2V ∂ 2V 2 0 + + ⇒ 2 (∇ V ) = ∂x 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂z 2 ∂x 2 ∂x ∂ 2 ∂ 2V ∂ 2 ∂ 2V ∂ 2 ∂ 2V ∂ 2V + + ⇒ (∇ 2V ) = 0 2 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x∂y ∂z ∂x∂y ∂x∂y 234 Elektromanyetik Alan Teorisi 41. Örnek 3.26’yı ortamın geçirgenliği ε = ε o (1 + mz ) olarak verildiğinde çözünüz (m: sabit). 0 ≤ z ≤ d arasında ⇒ ∇ ⋅ D= 0 ⇒ ∇ ⋅ ε E = 0 ⇒ ε∇ ⋅ E + E ⋅ ∇ε = 0 ∂Ez dE + Ez a z ⋅ mε o a z = 0 ⇒ ε o z (1 + mz ) + Ez m = 0 ∂z dz ∇ε E ε ε = ε o (1 + mz ) ⇒ ∇ε = mε o a z ⇒ ε o (1 + mz ) ∇⋅E dEz m =− dz Ez 1+ mz dEz a a m dV = − − ln(1 + mz ) + ln a ⇒ − = ⇒V = − ln(1 + mz ) + b dz ⇒ ln Ez = dz 1 + mz 1 + mz Ez m E a /(1+ mz ) = z Ez z = 0 'da V = 0 ⇒ b = 0 ln(1 + mz ) m Vo ⇒ Ez = −Vo Vo m V = z =d 'de V = Vo ⇒ a =− ln(1 + md ) (1 + mz ) ln(1 + md ) ln(1 + mz ) ε ε o (1 + mz ) m εom Dz = −Vo = −Vo ⇒ ρs z = (1 + mz ) ln(1 + md ) ln(1 + md ) ε m V = ⇒Q ln(1 + md ) ε o mA Vo = ln(1 + md ) ε o mA Q C = = Vo ln(1 + md ) o o d= z d 42. ρ düzgün yük yoğunluklu sonsuz incelikte bir hat ile sonsuz iletken düzlem arasında d açıklığı vardır. (a) hat boyunca iletken düzlemde birim uzunluk başına indüklenen yükü ve (b) eş potansiyel yüzey eşitliğini belirleyiniz. Bu eş potansiyel yüzeylerin birkaçını çiziniz. Sonsuz uzunlukta sonsuz incelikteki hattın etrafındaki elektrik alan şiddeti:= E ρ E= ρ aρ ρ aρ 2πε o ρ ρ = b noktasındaki potansiyel sıfır alınarak: ln( r1 / b ) r1 ρ r1 1 ρ b − ∫ + Eρ d ρ = − + dρ = Pozitif yüklü hat V+ = ln b 2πε o ∫b ρ 2πε o r1 ρ r ln 2 ⇒ VP = V+ + V− = r2 r 2πε r1 ρ ρ b 2 1 − ∫ − Eρ d ρ = + ∫ − ln dρ = Negatif yüklü hat V− = b b ρ πε r 2πε o 2 o 2 ln( r2 / b ) Eş potansiyelleri ifade eden eş merkezli olmayan çemberler ailesi ifadesi: r2 r1 k 2 2 (d + y ) + x 4k 2 k2 +1 k2 − x 2 = sabit ⇒ y = d ± d − x (d − y ) 2 + x (k 2 − 1) 2 k 2 −1 k 2 −1 Statik Elektrik Alanları 235 veya d − 2 dy + y ρ y 2 2 2 2 2 2 r1 = ρ + d − 2d ρ sin φ = d − 2dy + y + x = (d − y ) 2 + x 2 2 2 2 r22 = ρ 2 + d 2 + 2d ρ sin φ = d 2 + 2dy + y 2 + x 2 = (d + y ) 2 + x 2 ρ2 y d 2 + 2 dy + y 2 r2 k 22 r1 2 2 2 r2 (d + y ) + x k2 +1 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d = ⇒ + + = − + ⇒ + − + d= y x k y x x y y ( ) [( ) ] 2 0 2 2 2 d − + − r y x k ( ) 1 1 2 2 k2 +1 Eşitliğin iki tarafına d 2 eklenerek xy düzleminde eş potansiyelleri ifade eden eş merkezli k −1 olmayan çemberler ailesi ifadesi: 2 2 2 2 2 k2 +1 k2 +1 k 2 + 1 2kd 2 2 k +1 2 x + y − 2 yd 2 + d2 2 + d =0 + d 2 ⇒ x + y−d 2 = k −1 k −1 k 2 −1 k −1 k −1 2 2 2 xy düzleminde eş merkezli olmayan çemberler ailesi 236 Elektromanyetik Alan Teorisi ε Ey ρ 1 ∂r2 1 ∂r1 ρ d + y d − y ρ d + y d − y ∂V = − − + 2 E y = −∇V = − = − 2 + 2 ⇒ Dy = − ∂y r1 r1 2πε r2 ∂y r1 ∂y 2πε r2 2π r22 ρs y =0 ρ d d Dy = = − 2 + 2 2 2π d + x d + x2 ρ d − 2 = π d + x2 ∞ 1 ρ ρ dx x − d∫ − tan −1 − ρ C/m dy = Birim uzunluk başına yük: Q = = 2 2 ∫0 −∞ d d −∞ + π π x ∞ x 1 tan −1 d d ∞ 1 −∞ π π − − = π 2 2 43. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi z yönünde uzanan sonsuz iki iletken düzlem φ = 0 ve φ= 60° dedir. Her iki plaka toprak potansiyelinde iken bir q nokta yükü Q(2, π / 6,0) ’da bulunmaktadır. (5, π / 6,0) noktasındaki potansiyeli bulunuz. φ = 0 ve φ= 60° deki sonsuz iletken düzlemler yerine aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi imaj yükleri konularak problem çözülür. P (5, π / 6,0) ⇒ P (5cos30°,5sin 30°,0) = P ( 75 / 4,5 / 2,0) Q(2, π / 6,0) ⇒ Q(2cos30°, 2sin 30°,0) = Q( 3,1,0) Statik Elektrik Alanları 237 1 19,26745149 ° 90° 150° 210 270° 330 ° 1 1 1 1 1 2 4 q 1 q 4 + − + − = − VP= − 21 + 4πε 3 76 / 4 39 7 39 76 / 4 4πε 39 76 0,051901 30° q 1 olurdu. Sonsuz iletken 4πε 3 düzlemlerin varlığı P ve Q noktaları arasındaki uzaklığı artırıcı (3 yerine 19,2674) etki göstererek VP noktasındaki potansiyeli azaltmaktadır. φ = 0 ve φ= 60° deki sonsuz iletken düzlemler olmasaydı VP = 44. Önceki alıştırmayı, nokta yükü yerine düzgün yük yoğunluklu ince bir hat kullanıldığında yeniden çözünüz. ρ ρ E = aρ ⇒ V = − 2πε o ρ 2πε o ∫ ρ b ρ b d ρ = ln (b noktasında potansiyel sıfır alınsın) ρ 2πε o ρ 1 90° 150° 270° ° 30° 210° 330 ρ b b b b b b + ln − ln + ln − ln V= P ln − ln 2πε o 3 7 76 / 4 39 39 76 / 4 b = 100 alınırsa 90° 150° 270° ° 30° 210° 0,1281 330 ρ 100 ρ 133 100 100 100 100 100 − ln + ln − ln + ln − ln VP = ln = ln 2πε o 3 7 76 / 4 39 39 76 / 4 2πε o 117 3.17 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER 1. 2 µC’luk bir nokta yükü P (0, 4,0) ’da ve 10 µC’luk ikinci bir yük Q(3,0,0) ’da bulunmaktadır. Her yüke etkiyen kuvveti bulunuz. FP = 7,2 mN 1/(4πε o ) QP = R −6 −6 2 × 10 × 10 × 10 FP = F2 μC = 9 × 109 [ − 3 a + 4 a ] = − 4,32 a + 5,76 a y mN x y x 3 5 R =5 FQ = − FP = 4,32a x − 5,76a y mN F10 μC F2 μC FQ = 7, 2 mN 2. (2 / 10,3 / 10,0) ’de 200 nC’luk nokta yükü ve (5 / 10,7 / 10, −13 / 10) ’da -1300 nC’luk yük varsa orijinde bulunan 1 µC ’luk bir nokta yüküne etkiyen kuvveti belirleyiniz. FP1 =13,909 mN 1/(4πε o ) R1 −6 −9 9 1 × 10 × 200 × 10 9 × 10 [−0, 2a x − 0,3a y ] = FP1 = −7,72a x − 11,57a y mN 3 0,36 = R1 = 0,13 0,36 238 Elektromanyetik Alan Teorisi FP2 = 4,808 mN 1/(4πε o ) R2 −6 −9 9 1 × 10 × 1300 × 10 FP2 =− 9 × 10 a a a a a a y mN − − + = + − [ 0,5 0,7 1,3 ] 1,54 2,16 4,01 x y y x y 3 1,5588 = R2 = 2,43 1,5588 FP =11,95 mN FP = FP1 + FP2 = −6,18a x − 9, 41a y − 4,01a z mN 3. 100 nC/m yoğunluklu düzgün olarak yüklenmiş sonsuz uzunlukta bir hat z yönünde uzanmaktadır. (3, 4,0) ’da 500 nC’luk bir yüke etkiyen kuvveti bulunuz. /a 0 2 ∞ ∞ 1 z − a 2 a 2 + z 2 −∞ a 2 + z 2 −∞ R ∞ ρ ∞ ρ dz dz dz (aa ρ − za z ) aa ρ − ∫= z az = aρ 3 3 3 ∫ −∞ −∞ 2 2 2 2 2 2 4 2 a πε πε o o a +z a +z a +z R a2 + z 2 = 2 E ρ 4πε o ∫ ∞ −∞ 1/(2πε o ) ρ 500 × 10−9 × 100 × 10−9 qE = q Fq =500 nC = aρ = aρ = 18 × 109 180a ρ μN 2πε o a 5 4. 100 nC/m’lik eşit ve zıt düzgün yük dağılımı ile paralel sonsuz iki hat 1 mm uzaklık ile birbirinden ayrılmıştır. Birim uzunluk başına kuvveti belirleyiniz. Bu kuvvetin türü nedir? 1/(2πε ) o çekme kuvveti −9 2 ρ × (− ρ ) ρ 9 (100 × 10 ) E= aρ ⇒ F = aρ = −18 × 10 a = − 0,18 a ρ ρ N 2πε o d 2πε o d 1 × 10−3 5. Elektron ve proton arasındaki uzaklık 0,05 nm ise elektrik kuvveti ve çekim kuvveti arasındaki oranı hesaplayınız. Çekim sabitinin 6,67×10-11 Nm/kg2 ve Newton çekim kanununun geçerli olduğunu varsayınız. Statik Elektrik Alanları 239 1/(4πε o ) (−1,6 × 10−19 )(+1,6 × 10−19 ) −9 Fe = = × 9 × 109 92,16 10 N F (0,05 × 10−9 ) 2 92,16 × 10−9 e = 2, 27 × 1039 = −11 −31 −27 −48 6,67 × 10 × 9,1 × 10 × 1,672 × 10 −48 40,59 × 10 Fg = = 40,59 × 10 N Fg −9 2 × (0,05 10 ) elektrik kuvveti baskındır 2 Kütle çekim kuvveti=gm1m2 / r 6. Elektron hidrojen atomunun çekirdeği etrafında 0,05 nm yarıçapında dönmektedir. Açısal hızı ve elektronun zaman periyodunu belirleyiniz. 1/(4πε o ) (−1,6 × 10−19 )(+1,6 × 10−19 ) 9 × 109 92,16 × 10−9 N = Fe = (0,05 × 10−9 ) 2 m υ2 Fe = = mrω 2 ⇒ ω = r r 2ω 2 Fe mr = 92,16 × 10−9 = 45 × 1015 rad/s 9,1 × 10−31 × 0,5 × 10−9 ω= 2π f= 2π / T ⇒ T= 2π / ω= 139,6 × 10−18 s 7. Yüklü iki parçacık ortak bir noktadan her biri L uzunluğunda bir iple asılmıştır. Her parçacığın kütlesi m ve q yükü taşıyorsa her ipin dikey ile yaptığı θ açısını belirleyiniz. Q2 sin 3 θ Q2 = F= 2 4πε o 4 L2 sin 2 θ cos θ 4πε o 4 L mg veya F = T sin θ 3 mg = cos θ tan θ Q2 = F = mg tan θ 1 + tan 2 θ 4πε o 4 L2 mg 8. Birinci çeyrekte bulunan bir çeyrek diskteki yüzey yük yoğunluğu ρ s = K cos φ C/m 2 dir. Diskin yarıçapı a ise P (0,0, h) noktasındaki E alanını bulunuz. 240 E Elektromanyetik Alan Teorisi K 4πε o a π /2 0 0 ∫∫ ρ d ρ cos φ dφ K = ( − ρ a ρ + za z ) 3 2 4πε o ρ +z R 2 R3 E alanı bileşenleri: − ρa a π /2 0 0 ∫∫ ρ ρ d ρ cos φ dφ a a y + ha z ) − − ρ φ ρ φ ( cos sin x 3 2 2 ρ +h R R3 π /4 2 K a ρ d ρ π /2 2 K a a + a 2 + h2 cos ln d φ φ − = − Ex = a a x ∫0 x 4πε o ∫0 ρ 2 + h 2 3 16ε o a 2 + h 2 h φ + 1 sin 2φ π /2 2 4 0 a 2 2 − ρ ρ 2 + h2 + ln ρ + ρ +h h 0 1/ 2 2 K a ρ d ρ π /2 K a a + a 2 + h2 cos sin ln d Ey = a − = − φ φ φ ay y ∫0 4πε o ∫0 ρ 2 + h 2 3 8πε o a 2 + h 2 h π /2 2 − 12 cos φ 0 a 2 2 − Ez ρ ρ 2 + h2 + ln ρ + ρ +h h 0 1 1 1 Kh a ρ d ρ π / 2 Kh π / 2 1 = cos φdφ a z cos φdφ − az 3 ∫ ∫ ∫ 0 0 2 2 h 4πε o 0 ρ 2 + h 2 4πε o + a h π /2 π /2 sin φ 0 sin φ 0 a − 1 ρ 2 + h2 0 9. Aşağıdaki şekilde görülen yalıtılmış iki yüzeydeki yük dağılımı ρ sa = A cos φ C/m 2 ve ρ sb = − A cos φ C/m 2 dir. z ekseninde z = h noktasındaki elektrik alan şiddetini bulunuz. Statik Elektrik Alanları 241 0 ≤ φ ≤ π / 2 arasındaki ρ sb = − A cos φ yük dağılımından kaynaklanan E alanı: A E= − 4πε o b ∫∫ 0 π /2 0 ρ d ρ cos φ dφ 3 ρ 2 + z2 A ( − ρ a ρ + za z ) = 4πε o b ∫∫ 0 π /2 0 R R3 ρ d ρ cos φ dφ 3 ρ 2 + h2 ( ρ cos φ a x + ρ sin φ a y − ha z ) R R3 E alanı bileşenleri: ρ − ln ρ + h 2 + ρ 2 h2 + ρ 2 ( ) b φ π /2 + sin 2φ 2 4 0 0 2 π /2 b ρ dρ A A b + b2 + h2 b 2 Ex = a cos ln − = − φ φ d ax x ∫0 4πε o ∫0 ρ 2 + h 2 3 16πε o h b 2 + h 2 π /4 ρ − ln ρ + h 2 + ρ 2 h2 + ρ 2 ( ) 1 b 0 π /2 − 12 cos 2 φ 0 A b ρ 2 d ρ π / 2 A b + b2 + h2 b Ey = − a = − cos sin d φ φ φ ln a y 3 ∫ ∫ 0 2 2 y 4πε o 0 ρ 2 + h 2 8πε o h + b h 1/ 2 b 1 1 1 Ah b ρ d ρ π / 2 Ah Ez = cos φdφ a z = − − az 3 ∫ ∫ 0 4πε o 0 ρ 2 + h 2 4πε o b 2 + h 2 h π /2 sin φ 0 − 1 h2 + ρ 2 0 π ≤ φ ≤ 3π / 2 arasındaki ρ sa = A cos φ yük dağılımından kaynaklanan E alanı: E A 4πε o b 3π / 2 ∫ ∫π 0 ρ d ρ cos φ dφ A = ( − ρ a ρ + za z ) 3 4πε o ρ 2 + z 2 R R3 E alanı bileşenleri: b 3π / 2 ∫ ∫π 0 ρ d ρ cos φ dφ 3 ρ 2 + h2 R3 (− ρ cos φ a x − ρ sin φ a y + ha z ) R 242 Elektromanyetik Alan Teorisi ρ ln ρ + h 2 + ρ 2 − h2 + ρ 2 ( Ex A 4πε o ) 4πε o 3 π /2 1 π /4 ( A φ + sin 2φ 2 4 π 2 b 3 / 2 π A b + b2 + h2 b ρ dρ 2 cos d φ φ = a − ln x ∫0 2 2 3 ∫ 2 π 16πε o h b + h2 ρ +h ρ − ln ρ + h 2 + ρ 2 h2 + ρ 2 Ey b 0 ) ax b 3π / 2 0 − 12 cos 2 φ π b ρ 2 d ρ 3π / 2 A b + b2 + h2 b = cos sin a − φ φ d φ ln y 3 ∫ ∫ π 0 2 8πε o h b + h2 ρ 2 + h 2 1/ 2 ay b 1 Ah b ρ d ρ 3π / 2 Ah 1 1 Ez = − − az cos φdφ a z = 2 3 ∫π ∫ 0 2 h 4πε o 4πε o b + h ρ 2 + h 2 3 π /2 φ sin π − 1 h2 + ρ 2 0 Toplam E alanı bileşenleri: π ≤φ ≤ 3π / 2 0 ≤φ ≤π / 2 arası 2 2 2 2 A b+ b +h b A b+ b +h b = − − Ex ln ax + ln ax 2 2 2 2 16πε o 16πε o h h b + h b + h = A b + b2 + h2 b − ln 2 8πε o h b + h2 ax 0 ≤φ ≤π / 2 arası π ≤φ ≤ 3π / 2 2 2 2 2 A b+ b +h b A b+ b +h b = − − Ey ln ay + ln ay 2 2 2 2 8πε o 8πε o h h b +h b +h = A b + b2 + h2 b − ln 2 4πε o h b + h2 ay 0 ≤φ ≤π / 2 arası π ≤φ ≤ 3π / 2 1 1 1 1 Ah Ah = − az − = − az 0 Ez 4πε o b 2 + h 2 h 4πε o b 2 + h 2 h 10. b yarıçapında yarı dairesel yüklü bir halka xy düzleminde uzanmakta ve merkezi orijindedir. Yük dağılımı K sin φ ise P (0,0, h) noktasındaki E alanını bulunuz. Statik Elektrik Alanları = E K 4πε o ∫ π 0 243 b sin φ dφ Kb (−ba ρ + za z ) = 2 2 4πε o + z R b 3 ∫ π 0 sin φ dφ 3 2 2 + h b R3 (−b cos φ a x − b sin φ a y + ha z ) R R3 E alanı bileşenleri: 0 π Kb π sin φ dφ Kb 2 cos sin cos 0 b d φ φ φ φ − = Ex = a ax = x 3 ∫0 4πε o ∫0 b 2 + h 2 3 4πε o b 2 + h 2 π − 12 cos 2 φ 0 π /2 π K π sin φ dφ Kb Kb 2 ay = − = − − Ey = a a φ φ φ b sin sin d y 3 3 ∫0 3 y ∫ 0 4πε o b2 + h2 4πε o b 2 + h 2 8ε o b 2 + h 2 φ2 − 14 sin 2φ π 0 Ez 2 π Kh π sin φ dφ Kh Kh a a = = sin φdφ a z 3 z 3 ∫0 3 z ∫ 0 4πε o b2 + h2 4πε o b 2 + h 2 2πε o b 2 + h 2 π φ − cos 0 11. Düzgün ρ yük yoğunluklu düzgün bir hat ( x, − L / 2,0) ile ( x, L / 2,0) arasında uzanmaktadır. P (0,0, z ) ’deki E alanını bulunuz. E ρ 4πε o ∫ L/2 −L/2 dy 3 x2 + y 2 + z 2 R3 (− xa x − ya y + za z ) R 244 Elektromanyetik Alan Teorisi E alanı bileşenleri: L/2 L/2 ρ ρx xdy y − ∫ − Ex = ax = 4πε o − L / 2 x 2 + y 2 + z 2 3 4πε o ( x 2 + z 2 ) x 2 + y 2 + z 2 R ax −L/2 3 =− ρ x L 2 2 2 4πε o ( x + z ) x + ( L / 2) 2 + z 2 ax L/2 L/2 ρ ρ 1 ydy Ey = a ay − − ∫ = − y 3 L 2 2 2 − / 2 4πε o 4πε o x + y + z x2 + y 2 + z 2 −L/2 R3 0 ρx 1 1 a = 0 = − − + 2 2 2 2 2 2 y 4πε o + ( / 2) ( / 2) + x L z x L z + + ρ Ez = 4πε o ρz y ∫− L / 2 2 2 2 3 a z = 4πε o ( x 2 + z 2 ) x 2 + y 2 + z 2 x +y +z L/2 az zdy L/2 −L/2 R3 = ρ z L 2 2 2 4πε o ( x + z ) x + ( L / 2) 2 + z 2 az 12. Düzgün ρ yük yoğunluklu düzgün bir hat z ekseninde z = 0 ve z = ∞ arasında uzanmaktadır. P ( ρ ,φ , z ) ’deki E alanını bulunuz. E ρ 4πε o ∫ ∞ 0 ρ ρ = ( ρ a ρ − za z ) 3 4πε o ρ 2 + z 2 R dz ∫ ∞ dz ρ 2 + z2 0 3 ρ aρ − 4πε o ∫ ∞ 0 zdz ρ 2 + z2 3 az R3 ρρ z = 2 4πε o ρ z 2 + ρ 2 ∞ 0 ρ 1 aρ − − 2 4πε o z + ρ2 ∞ ρ ρ az = aρ − az 4πε o ρ 4πε o ρ 0 Statik Elektrik Alanları 245 13. Düzgünce yüklenmiş iki hat z ekseninde z = −∞ ve z = ∞ arasında uzanmaktadır. Hattın biri 1 µC/m’lik yük dağılımı taşımakta olup y = −3 m ’de ve diğer hat -1 µC/m yük dağılımı taşımakta olup y = 3 m ’de bulunmaktadır. x ekseninde x = 4 m ’deki E alanını belirleyiniz. a R1 4 3 a a + ρ1 x y E1 = + 2πε o R1 R1 6a y −6 1 × 10 5 (4a x + 3a y − 4a x + 3a y ) = 4320a y V/m E = E1 + E2 = 50πε o ρ 2 4a x − 3a y E2 = − R 2πε o R2 2 5 a R2 14. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi 2, -3 ve 0,5 µC/m2 düzgün yük yoğunlukları taşıyan sonsuz üç elektrik yaprağı 1 mm hava aralığı ile ayrılmıştır. Boşlukta her yerdeki elektrik alan şiddetini bulunuz. 246 Elektromanyetik Alan Teorisi 1 I. Bölge ⇒ EI = (+0,5 − 3 + 2)10−6 a z =−28, 274a z kV/m 2ε o 1 II. Bölge ⇒ EII = (−0,5 − 3 + 2)10−6 a z =−84,823a z kV/m 2ε o 1 III. Bölge ⇒ EIII = (−0,5 + 3 + 2)10−6 a z =+254, 47a z kV/m 2ε o 1 IV. Bölge ⇒ EIV = (−0,5 + 3 − 2)10−6 a z =+28, 274a z kV/m 2ε o 15. 600sin 2φ = 600sin φ cos φ nC/m’lik yük dağılımlı 0,2 m yarıçapında bir yay z=0 düzleminde 0 ≤ φ ≤ π / 2 arasında uzanmaktadır. (a) P(0,0,1) ve (b) orijindeki E alanını belirleyiniz. ρl = 600sin φ cos φ dlφ E 1 4πε o ∫ π /2 0 600sin 2φ bdφ 600 = (−ba ρ + za z ) πε o 4 3 2 2 + z b R= − b cos φ a x − b sin φ a y + za z ∫ π /2 0 R3 −b sin φ cos 2 φ a x bdφ −b cos φ sin 2 φ a y 3 b 2 + z 2 + z sin φ cos φ a z = 600 4πε o b + z 2 E = z =1 600 4πε o 0, 22 + 12 E = z =0 3 2 3 (− b3 a x − b3 a y + 2z a z ) a x − 0,2 a y + 12 a z ) (− 0,2 3 3 600 (− 13 a x − 13 a y ) 2 4πε o 0, 2 16. Sonlu uzunlukta ve 100z nC/m’lik yük dağılımlı bir hat −10 ≤ z ≤ 10 arasında uzanmaktadır. z = 0 düzleminde hattan 2 metre uzaklıktaki E alanını belirleyiniz. L/2 0 z L/2 − 2 2 ρ L / 2 ρ zdz a z ρ + (aa ρ − za z )= − E= aρ − az 2 2 4πε o ∫− L / 2 a 2 + z 2 3 4πε o a z + 2 2 −L/2 ln z a z + + + / 2 L − 2 2 − L / 2 + a + ( L / 2) ρ L az = + ln −2397,51a z V/m E = − − 4πε o L / 2 + a 2 + ( L / 2) 2 ρ 2 + ( L / 2) 2 R ( ) 17. b yarıçapında oldukça ince bir silindir ρs düzgün yüzey yük dağılımı taşımaktadır. Eğer silindir Q(0,0, − L / 2) ’den S (0,0, − L / 2) ’ye uzanıyorsa P (0,0, h) noktasındaki E alanını bulunuz. h = 0 , z = L / 2 ve z = − L / 2 deki elektrik alan şiddetleri nedir? Statik Elektrik Alanları 247 E = ρs 4πε o L/2 ∫ ∫ 2π −L/2 0 bdφ dz b 2 + (h − z ) R a a − + − b h z [ ( ) ρ z] 3 2 − b cos φ a x − b sin φ a y + ( h − z ) a z 2 2 L/2 2π bd φ d ( h − z ) z L/2 2π b dz sin φ d φ ρ s L / 2 2π b dz cos φ dφ a + E= a a −∫ ∫ − x 3 z 3 y ∫− L / 2 ∫0 2 ∫− L / 2 ∫0 2 4πε o − L / 2 0 b 2 + (h − z ) 2 3 b + (h − z )2 b + (h − z )2 0 0 bρ s 1 1 a = E − z 2 2 2 2 2ε o + − + + b L h b L h / 2 / 2 ( ) ( ) E h= − L / 2 bρ s 1 1 = − 2 2 2 2ε o b 2 + L / 2 − − L / 2 b + ( L / 2 − L / 2) ( )) ( bρ s 1 1 a = 0 = − h=0 2 2 z 2 2 2ε o + − + + b L / 2 0 b L / 2 0 ( ) ( ) bρ s 1 1 E = − h= L / 2 2 2 2ε o b 2 + ( L / 2 − L / 2 )2 b + ( L / 2 + L / 2) bρ s 1 1 a = − az z 2ε o b 2 + L2 b E bρ s 1 1 a = − az z 2ε o b b 2 + L2 18. Elektrik akı yoğunluğu D = 6 ya x + 2 xa y + 14 xya z mC/m2 olarak veriliyor. (a) (2,0,0), (0,2,0), (0,2,2) ve (2,0,2) ile tanımlanan bir dikdörtgen, (b) z = 0 ’da xy düzleminde 10 cm yarıçapında bir daire ve (c) (0,0,0), (2,0,0) ve (0,2,0) ile sınırlanan üçgensel bölgeden geçen elektrik akılarını belirleyiniz. 248 (a) Elektromanyetik Alan Teorisi ∫ D= ⋅ ds ∫ ⋅ ds D= s s ∫ s ds 2 2 2 2 (6 ya x + 2 xa y + 14 xya z ) ⋅ (dydza x + dxdz= a y ) 6 ∫ ydy ∫ dy + 2 ∫ xdx ∫= dz 32 mC 0 0 0 0 ds 0,1 2π (6 2 14 ) 14 cos sin y x xy d d d + + ⋅ ρ ρ φ = ρ φ ρ φ ρ ρ a a a a x y z z ∫s ∫0 ∫0 dφ x (b) y 2π 0 ,1 3 cos φ sin φ dφ 0 = 14 = ∫0 ρ d ρ ∫ 0 2π 1 − cos 2 φ 2 0 0 y2 2 ∫ s ⋅ ds D= (c) 2− x 2 ds 2 2− x 2 ydy 7 ∫ x[(2 − x) 2 − 2]dx a z 14 ∫ xdx ∫ = ∫s (6 ya x + 2 xa y + 14 xya z ) ⋅ dxdy= 0 2 0 (2 − x ) 2 − 2 2 2 4 x3 x 4 = 7 x2 − + = −56 / 3 mC 3 4 0 19. 0,2 m yarıçapında uzun bir silindir z ekseninde uzanmakta ve 10 mC/m2 ’lik düzgün bir yüzey yük yoğunluğu taşımaktadır. ρ = 2 m , π / 4 ≤ φ ≤ 3π / 4 ve 2 ≤ z ≤ 4 ile sınırlanan pencereden geçen akıyı hesaplayınız. ∫ D ⋅ ds = Q ⇒ Dρ = s aρs ρ ⇒ ψ = ∫ D ⋅ ds s ρ =a =∫ 3π / 4 π /4 aρs ρ 4 ρ dφ ∫ dz = aπρ s = 2π mC 2 20. Yük b yarıçapında çok uzun bir silindirin yüzeyi üzerinde düzgün olarak dağılmıştır. Her yerdeki elektrik alan şiddetini hesaplayınız. ρ=c (c>b), 0≤φ≤π/2 ve 0≤z≤h ile sınırlanan bir pencereden ne kadar akı geçer. ρ <b⇒E= 0 b ρ ⇒ ψ = ρ > b ⇒ E = s aρ εoρ ∫ ε E ⋅ ds= s o π /2 1 0 ρ bρ s ∫ h ρ dφ ∫ dz = bh ρ s π2 0 Statik Elektrik Alanları 249 21. Gauss kanununu kullanarak sonsuz düzlem yük yaprağı üzerinde düzgün bir yük dağılımından dolayı herhangi bir noktadaki elektrik alan şiddeti ve elektrik akı yoğunluğunu hesaplayınız. ∫ D ⋅ ds =Q ⇒ 2 D A = ρ A ⇒ D z s s = z ρs 2 ⇒ Ez = ρs 2ε o 22. 2/10 m, 4/10 m, 6/10 m ve 8/10 m yarıçaplarında eş merkezli dört küresel kabuk sırasıyla 10, 2, -0,5 ve 0,5 µC/m2 ’lik düzgün yük dağılımları taşımaktadır. (a) 1/10 m, (b) 3/10 m, (c) 5/10 m, (d) 7/10 m ve (e) 1 m yarıçaplarındaki E alanlarını belirleyiniz. Qçevrelenen Er = ar 4πε o r 2 = E r = 0,1 m 0 = ar 0 4πε o 0,12 ×10 9 1 4π 0, 22 × 10 × 10−6 a r 502,65a r kV/m = 2 0,3 4πε o 9 E r = 0,3 m ×10 9 1 4π (0, 22 × 10 − 0, 42 × 2)10−6 a r 36,19a r kV/m = 2 0,5 4πε o 9 E r = 0,5 m ×10 9 1 4π (0, 22 × 10 − 0, 42 × 2 − 0,62 × 0,5)10−6 a r = −23,08a r kV/m = 2 0,7 4πε o 9 E r = 0,7 m ×10 9 1 4π (0, 22 × 10 − 0, 42 × 2 − 0,62 × 0,5 + 0,82 × 0,5)10−6 a r 24,88a r kV/m = 2 0,7 4πε o 9 E r =1 m 23. Q nokta yükü orijinde bulunmaktadır. r = a , 0 ≤ θ ≤ θ o ve 0 ≤ φ ≤ 2φ ile sınırlanan yüzeyden geçen akıyı hesaplayınız. D= Q ar ⇒ ψ = 4π r 2 ∫ D ⋅ ds = s Q 4π ∫ θo 0 2π 1 2 Q (1 − cos θ o ) r sin θ dθ ∫ dφ = 2 0 2 r 24. Çok uzun bir koaksiyel kablonun iç iletkeninin yarıçapı a ve dış iletkeninin iç yarıçapı b ve dış yarıçapı c’dir. İki iletken arasındaki bölgedeki hacim yük yoğunluğu k / ρ ’dir (k: sabit). Dış iletken (a) topraklanmamış ve (b) topraklanmış iken boşlukta her yerdeki elektrik alan şiddeti ve elektrik akı yoğunluğunu belirleyiniz. ρ < a iken : D =0 ⇒ E =0 250 Elektromanyetik Alan Teorisi Q çevrelenen 2π h ρ k dφ dz ρd ρ ∫a ρ ∫0 ∫0 ρ −a k ρ −a a ≤ ρ ≤ b iken : ∫ D ⋅ ds= 2πρ hDρ= 2π ( ρ − a )kh ⇒ Dρ= k ⇒ Dρ= s ρ εo ρ Gauss kanunundan b ≤ ρ ≤ c iken : D =0 ⇒ E =0 dış iletken topraklanmamış Qçevrelenen b−a k b−a ρ ≥ c iken : ∫ D ⋅ ds= 2πρ hDρ= 2π (b − a)kh ⇒ Dρ= k ⇒ Eρ= s ρ εo ρ Gauss kanunundan Dρ =0 ⇒ Eρ =0 dış iletken topraklı 25. b yarıçapında bir küresel hacim r = 0 ’dan başka her yerde k / r 2 ’lik düzgün bir yük dağılımı taşımaktadır. (a) r < b ve (b) r > b bölgesindeki elektrik akı yoğunluğunu belirleyiniz. Gauss kanunundan 2 r r π 2π k 4π rk ⇒ D= r < b iken k ∫ 2 dr ∫ sin θ dθ ∫ dφ= 4π rk ⇒ ∫ D ⋅ ds= 4π r 2 Dr ⇒ 4π r 2 D= r r s 0 r 0 0 r Q Q k bk r > b iken Q= 4π b 2 = 4π bk ⇒ 4π bk= 4π r 2 Dr ⇒ Dr= 2 b r 26. 5 cm yarıçapında düzgünce yüklenmiş çok uzun bir silindirden dolayı 1 m yarıçapındaki elektrik alan şiddeti 100 kV/m dir. Silindirdeki yüzey yük yoğunluğu ne olmalıdır? ∫ D ⋅ ds= s aρs 2πρ LDρ ⇒ 2πρ LDρ = 2π aL ρ s ⇒ Dρ = ρ ⇒ Eρ = aρs εoρ ⇒ ρs = ε o ρ a Eρ ρ 10 1 = = × 103 17,68 μC/m 2 100 ρs 36π 0,05 −9 a 27. z = 0 ile z = L arasında çok uzun ρ düzgün yük yoğunluklu ince bir hattan dolayı P (a,φ ,0) noktasındaki elektrik potansiyeli ve elektrik alan şiddeti ifadesini elde ediniz. = V ρ 4πε o ∫ L 0 1 = dz ρ 2 + z2 ( ) L L + ρ 2 + L2 ρ ρ ln z + ρ 2 + z 2= ln ρ 4πε o 4πε o 0 = R ρ a ρ − za z Vρ = a = ρ L + a 2 + L2 ln a 4πε o Statik Elektrik Alanları 251 ∂ L + ρ 2 + L2 ln ρ ∂ρ ρ ρ L a ρ ⇒ Eρ =a = E = −∇V = − − 2 2 4πε o ρ L + ρ 4πε o a L L +a 2 2 aρ 28. 500 nC’luk bir yük orijinde yerleştirilmiştir. –600 nC’luk bir yükün sonsuzdan sabit yükün 1 mm yakınına getirilmesiyle açığa çıkan enerji miktarını belirleyiniz. 9×10 QQ 1 500 × 10−9 × (−600) × 10−9 W= 1 2 = = −2,7 J 4πε o R 4πε o 1 × 10−3 9 500 nC’luk yükün elektrik alanı -600 nC’luk yükü kendisine doğru çekmekte ve serbest bırakılan enerji 2,7 J’dur. 29. b yarıçapında ρs düzgün yoğunluklu bir diskin eksenindeki bir noktanın potansiyelini ve E alanını bulunuz. V = b ρ s b 2π ρ d ρ d φ ρs b ρ d ρ ρs ρs 2 2 z ρ + = = = ∫ ∫ ∫ 0 0 2 2 0 2 2 0 4πε o 2ε o 2ε o 2ε o ρ +z ρ +z ( z 2 + b2 − z ) ρ z − 1 a z E = −∇V = − s 2ε o b 2 + z 2 30. İç yarıçapı a ve dış yarıçapı b olan düzgünce yüklenmiş içi boş bir diskin eksenindeki potansiyeli ve elektrik alan şiddetini bulunuz. = V b ρ s b 2π ρ d ρ d φ ρs b ρ d ρ ρs ρs 2 2 = = = + ρ z ∫ ∫ ∫ 0 2 2 2 2 a a a 4πε o 2ε o 2ε o 2ε o ρ +z ρ +z ( z 2 + b2 − z 2 + a 2 ) ρ z z − E = −∇V = − s 2 2ε o b 2 + z 2 a + z2 az 31. Bir pozitif nokta yükünden 20 cm uzaklıktaki elektrik potansiyeli 9 kV’tur. Yükün genliği nedir? (a) 18 kV ve 3 kV potansiyellerindeki eş potansiyel yüzeylerin yarıçapını belirleyiniz. = V Q 4πε o R −3 200 nC ⇒= Q 4πε o RV ⇒ 4πε o 0, 2 × 10= 1/9×109 ×10 9 1 200 × 10−9 Q = V 18 kV iken = R = = 0,1 m 4πε oV 4πε o 18 × 103 9 ×10 9 1 200 × 10−9 Q = V 3 kV iken = R = = 0,6 m 4πε oV 4πε o 3 × 103 9 252 Elektromanyetik Alan Teorisi 32. Elektrik alanı E =10a x + 20a y + 20a z kV/m olarak veriliyor. 0,1 nC’luk bir yükü (a) orijinden (3,0,0)’a, (b) (3,0,0) dan (3,4,0)’a ve orijinden doğrudan (3,4,0)’a taşımak için gerekli işi bulunuz. (a) E d 0,1 1 3 (0,0,0) 'dan (3,0,0)'a ⇒ W1 = − q ∫ (10a x + 20a y + 20a z ) ⋅ (dxa x + dya y + dza z ) = − q ∫ 10 a x ⋅ a x dx 0 c = −3 μJ E d 0,1 1 4 − q ∫ 20 a y ⋅ a y dy = (3,0,0) 'dan (3,4,0)'a ⇒ W2 = − q ∫ (10a x + 20a y + 20a z ) ⋅ (dxa x + dya y + dza z ) = c 0 = −8 μJ W =W1 + W2 =−3 − 8 =−11 μJ (b) E d (0,0,0) 'dan (3,4,0)'a doğrudan ⇒ W = − q ∫ (10a x + 20a y + 20a z ) ⋅ (dxa x + dya y + dza z ) c 0,1 1 1 3 4 = − q ∫ 10 a x ⋅ a x dx − q ∫ 20 a y ⋅ a y dy = −11 μJ 0,1 0 0 33. E = 10a x kV/m ve orijindeki potansiyel sıfır ise boşluktaki her noktadaki potansiyeli bulunuz. x x VP ( x , y , z ) = −∫ E ⋅ d = − ∫ 10a x ⋅ a x dx = −10 x kV 0 0 34. Orijine yakın elektrik potansiyeli V = 10 x 2 + 20 y 2 + 5z V/m olarak veriliyor. Elektrik alan şiddeti nedir? Bu potansiyel fonksiyonu var olabilir mi? ∂ ∂ ∂ E = −∇V = − 10 x 2a x + 20 y 2a y + 5 za z = − ( 20 xa x + 40 ya y + 5a z ) V/m ∂ x ∂ y ∂ z ∇ × E = 0 olduğundan bu potansiyel fonksiyon var olabilir. 35. Yarıçapı a olan sonsuz uzunlukta bir silindirin içinde ρv hacim yük yoğunluğu düzgün olarak dağılmıştır. Silindirin içinde ve dışında bütün noktalardaki elektrik potansiyelini ve elektrik alan şiddetini hesaplayınız. Statik Elektrik Alanları 253 a ≤ ρ iken silindirin içinde: 2π h ρ ρv ∫ ρ d ρ ∫ dφ ∫ dz 0 0 0 Dρ ρρ v ρρv 2 2 ds hD h D E πρ πρ ρ D ⋅ = = ⇒ = ⇒ = = v ρ ρ ρ ∫s 2 2ε o Dρ ε Gauss kanunundan a ≤ ρ iken silindirin dışında: Eρ Q a h 2π ρv ∫ ρ d ρ ∫ dφ ∫ dz 0 0 0 2 2 D ρ ρ a a ρ 2 v v 2 ds hD a h ⇒ = ⇒ = = D = ⋅ πρ = π ρ D E v ρ ρ ρ ∫ s ε 2ρ 2 ρε o Gauss kanunundan Q ρ =a ρ =a a ρv 2 a ρv = 2ε o = E V ρ =b ρ ≥a 2 ρ a ρ 1 a 2 ρv b v = −∫ dρ = 0 ise a ≤ ρ iken silindirin dışında: V ( ρ ) = ln b ρ 2ε o 2ε o ρ E V (a) ρ ≤a 2 a ρv b ρ ρv a 2 ρv b ρv ρ dρ = a ≥ ρ iken silindirin içinde: V ( ρ ) = ln − ∫ ln + (ρ 2 − a2 ) a a a 4ε o 2ε o 2ε o 2ε o 36. Bölgedeki elektrik alan şiddeti E = 10 ya x + 10 xa y + 2 za z kV ise 2 m yarıçapındaki bir çemberin φ = 0 ’dan φ = π / 4 ’e yayı boyunca 0,5 mC’luk bir yükün taşınmasında yapılan iş miktarını belirleyiniz. Yolun iki ucu arasındaki potansiyel fark nedir? ∇ ⋅ E = 0 olduğundan E var olabilir. π /4 Vba = − ∫ E ⋅ dl = − ∫ (10 ya x + 10 xa y + 2 za z )2dφ aφ 0 c cos φ − sin φ x 0 π /4 π /4 Vba = − ∫ 20 × 2sin φ a x ⋅ aφ dφ − ∫ 20 × 2cos φ a y ⋅ aφ dφ − ∫ 4 z a z ⋅ aφ 2dφ y π /4 0 0 π /4 0 π /4 Vba 40 ∫ sin 2 φ dφ − 40 ∫ cos 2 φ dφ = = qVba = 0,5 × 10−3 × −20 kV ⇒ Wba = − × 103 = −10J 20 0 0 E alanı iş yapıyor π /4 φ 1 − sin 2φ 2 4 0 − 1 4 π /4 φ 1 + sin 2φ 2 4 0 1 4 37. ρ düzgün yük yoğunluklu bir hat z = − L / 2 ile z = L / 2 arasında uzanmaktadır. (0,0, z > L / 2) noktasındaki elektrik potansiyeli ve elektrik alan şiddeti ifadesini elde ediniz. ρ V = 4πε o ρ ρ dz ' L/2 z−L/2 = [− ln( z − z ')] − L / 2 = − ln −L/2 z − z ' 4πε o 4πε o z + L / 2 ρ 1 ρ 1 L E = −∇V = − az = az 4πε o z − L / 2 z + L / 2 4πε o z 2 − L2 / 4 E = ∞a z ∫ L/2 z=L/2 254 Elektromanyetik Alan Teorisi 38. 10 nC’luk pozitif bir yük z = 0,5 μm ’ye ve -10 nC’luk negatif yük z = −0,5 μm ’ye yerleştirilerek bir dipol oluşturuluyor. P(0,0,1) noktasındaki potansiyeli ve E alanını belirleyiniz. az pa z p ⋅ a r 10 × 10−9 × 10−6 p cos θ Vp = = = = 90 μV 4πε o r 2 4πε o r 2 4πε o (10−6 ) 2 qd cos 0°=1 = Ep p a= cos 0° 1 sin 0° 0 = z 10 × 10−9 × 10−6 qd [2cos sin ] 2 + = = a a a z 180a z μV/m θ θ r θ 3 −6 3 4πε o r 4πε o (10 ) 39. (0,0,a)’da q, (0,0,0)’da -2q ve (0,0,-a)’da q yükleri ile dörtlü yük oluşturuluyor. P (0,0, z >> a ) daki potansiyeli ve elektrik alan şiddetini bulunuz. = V q 1 q 2 1 2a 2 − = + ⇒V 4πε o z − a z z + a 4πε o z ( z 2 − a 2 ) z >> a ≅ q 2a 2 4πε o z 3 q ∂ 2a 2 q 6a 2 E = −∇V = − a az = z 4πε o ∂z z 3 4πε o z 4 40. Orijine ek bir q yükü konulmuşsa bir dipolün potansiyel ve E alanı ifadesini düzelterek yeniden yazınız. p ⋅ ar q qd q 1 = + = + p ⋅ a ⇒ = E ar V q ( ) [2cos θ a r + sin θ aθ ] + r 2 2 2 3 4πε o r 4πε o r 4πε o r 4πε o r 4πε o r 2 q E= [(r + 2d cos θ ) a r + d sin θ aθ ] 3 4πε o r 41. Uzun bir koaksiyel kablo a yarıçapında iç iletken ve iç yarıçapı b ve dış yarıçapı c olan dış iletkenden oluşmaktadır. İç iletken düzgün ρs yüzey yük dağılımı taşımaktadır. (a) dış iletken topraklanmamışsa ve dış iletken topraklanmışsa boşlukta her yerdeki E alanını bulunuz. Dış iletken topraklanmamış Dış iletken topraklı E 0 E 0 ρ < a iken= ρ < a iken= aρs aρs a ≤ ρ ≤ b iken:= Eρ a ≤ ρ ≤ b iken:= Eρ εoρ b ≤ ρ ≤ c iken:= Eρ 0 aρs ρ > c iken: E= ρ εoρ εoρ b ≤ ρ ≤ c iken:= Eρ 0 0 ρ > c iken: E= ρ 42. Düzgün ρs yük yoğunluğu a yarıçapında mevcuttur. Bu iletken iç yarıçapı a ve dış çevrelenmiştir. (a) boşlukta her noktada D , hesaplayınız. sonsuz uzunlukta bir metal silindirin yüzeyinde yarıçapı b olan eş merkezli bir dielektrik ile E ve P ve (b) sistemdeki enerji yoğunluğunu Statik Elektrik Alanları 255 ρ < a iken E = 0 a ≤ ρ ≤ b iken: aρs ε o aρs − ρ ε oε r ρ Dρ a ρ s aρs aρs ε r − 1 ∫ s D ⋅ ds= 2πρ Dρ= 2π a ρ s ⇒ Dρ= ρ ⇒ Eρ= ε = ερ ⇒ P= D − ε o E ⇒ Pρ= ρ ε r Q Gauss kanunundan −aρ aρ εr −1 aρ ε − 1 aρ ε − 1 P ⋅ an = s r P an = =⋅ − s r = − = ρ sb ρ a= ρ ρ , sb ρ b s b εr a εr εr 1 ∂ aρs ε r − 1 ρvb = −∇ ⋅ P = − ρ = 0 ρ ∂ρ ρ ε r 1 aρ w= s 2ε ρ 2 ρ > b iken: Dρ= aρs 1 aρs ⇒ Eρ= = ⇒ w= 2ε o ρ ρ εo εoρ Dρ aρs 2 43. Yüksüz ve homojen olmayan bir ortamda ∇ ⋅ E için bir ifade bulunuz. ∇⋅ε Ε Ε ⋅ ∇ε ε pozisyonun bir fonksiyonu ise ∇ ⋅ D= 0 ⇒ ∇ ⋅ ε Ε= 0 ⇒ ε∇ ⋅ Ε + Ε ⋅ ∇ε = 0 ⇒ ∇ ⋅ Ε = − ε 44. Dielektrik ortamın dielektrik geçirgenliği ε = α z n dir (α ve n sabitlerdir). Ortamdaki elektrik alan şiddetinin sadece z bileşeni varsa ∇ ⋅ E = − nE / z olduğunu gösteriniz (E: elektrik alan şiddetinin genliği). 256 Elektromanyetik Alan Teorisi ∂α z n ∂z Ea z Ea z nα z n −1 a z E nα z n n Ε ⋅ ∇ε ∇⋅Ε = − =− = − =− E n n z z ε αz αz 45. b yarıçaplı metal küre üzerinde ρ s düzgün yüzey yük dağılımı bulunmaktadır (küredeki toplam yük: Q). Çevreleyen ortamın geçirgenliği ε = ε o (1 + a / r ) olarak değişmektedir. (a) boşlukta her noktadaki D , E ve P , (b) sınır yük yoğunlukları ve (c) dielektrik bölgedeki potansiyelin V (Q / 4πε o a ) ln(1 + a / r ) olduğunu gösteriniz. Dr a2 a2 a2 2 2 D ⋅ = = ⇒ = ⇒ = = = ds 4 π r D 4 π a ρ D ρ E ρ ρs r s r s r s ∫s r2 ε ε o (a + r )r a+r 2 ε r Gauss kanunundan o r Q εr a2 a2 a3 ρs = ρs Pr =Dr − ε o Er = 2 ρ s − ε o ε o (a + r )r (a + r )r 2 r ρ sb r − ar ar ρs a3 a3 , = P ⋅ a = = = P ⋅ a = ρ ρ ρs n s sb r b n a= (a + a)a 2 2 (a + b)b 2 ∂ a3 ∂r ( a + r ) 1 ∂ 2 a3 a3 ρvb = −∇ ⋅ P = − 2 r ρ ρ = − − s 2 s r ∂r (a + r )r 2 (a + r ) Q 4π r 2 2 r a ρs a ρs r Q a+r Q ln ln(1 + a / r ) −∫ − = V= dr = ln = ∞ ε (a + r )r 4πε o a ε o a + r ∞ 4πε o a r o 46. ε r = 5,5 dielektrik ortamındaki iki nokta yükü arasındaki açıklık 10 mm’dir. Her nokta yükü 10 µC ise ortak potansiyel enerji nedir? V1 10 × 10−6 Q1 W Q 10 ×= 10−6 16,36 J = = 2 4π 5,5 × 10−9 / 36π 4πε r 47. 20 cm × 20 cm ölçülerinde iki paralel plaka 1 mm’lik aralıkla birbirinden ayrılmıştır. Plakalar 250 nC/m2 ’luk eşit ve zıt düzgün yüzey yük yoğunluklarına sahiptir. Ortamın dielektrik sabiti 2 ise depolanan enerjiyi hesaplayınız. Statik Elektrik Alanları 257 w 1 1 1 ( ρ s ) 2 Ad (250 × 10−9 ) 2 × 20 × 20 × 10−4= W D= Ez Ad = = × 1 × 10−3 70,7 nJ z −9 v 2 2 2 2 10 / 36 εε π × × o ρs ρs ε 48. 100 nC ve 300 nC’luk iki yükü sonsuzdan boş uzaya sırasıyla (0,3,3) m ve (4,0,3) m’ye getirmek için gereken enerji miktarını hesaplayınız. ×10 9 Q1Q2 1 100 × 10−9 × 300 × 10−9 = = 54 μJ W = 2 3 4πε o 4πε o 4 + 3 9 5 49. 100, 200 ve 300 nC’luk üç yük aralarındaki açıklık 5 cm olacak şekilde konulmuştur. Sistemde depolanan toplam enerji nedir? V3 V1 V2 3 Q + Q3 Q1 + Q3 Q1 + Q2 1 1 1 Q1 2 (Q1Q2 + Q2Q3 + Q3Q1 ) W= ∑ qiV= + Q2 + Q3 = i 2 i =1 2 4πε o R 4πε o R 4πε o R 4πε o R 9 ×10 9 1 1 −9 −9 −9 −9 −9 −9 = 54 mJ (100 × 10 × 200 × 10 + 200 × 10 × 300 × 10 + 300 × 10 × 100 × 10 ) = 4 πε 5 o 50. Çok uzun eş merkezli iki silindirik iletken arasındaki elektrik alanı E = (100 / ρ ) a ρ V/m dir. İç iletkenin yarıçapı 0,2 m ve dış iletkenin yarıçapı ise 0,5 m dir. Sistemdeki enerji yoğunluğunu ve birim uzunluk başına toplam enerji birikimini belirleyiniz= ε o 5,5) . (ε ε= oε r w 1 0,5 100 100ε 1 W = ∫ 2 D ⋅ E dv = ∫ v 2 0,2 ρ ρ 2π 1 2π 1 1 0,5 1 ρ d ρ ∫0 dφ ∫0 dz = ∫0,2 d ρ ∫0 dφ ∫0 dz = 1, 4 μJ 2 ρ 51. Yarıçapı a olan metal küreye Q pozitif yükü kazandırılıyor. Küre yüzeyindeki elektrik potansiyeli V ise sistemin elektriksel potansiyel enerjisinin 12 QV olduğunu gösteriniz. dW = VdQ ⇒ W = ∫ Q 0 Q 4πε a dQ= 1 Q2 1 Q 1 = = Q QV 2 4πε a 2 4πε a 2 52. a = 20 cm yarıçapında katı iletken küre iç yarıçapı b = 30 cm ve dış yarıçapı c = 40 cm olan iletken küresel kabuk içine eş merkezli olarak konulmuştur. İç küreye 20 µC ve dış küreye -10 µC’luk yük yerleştirilmiştir. İki iletken arasındaki ortamın dielektrik sabiti 5’dir. (a) Boşlukta her noktada D , E ve P ve (b) sistemdeki toplam enerjiyi bulunuz. 258 Elektromanyetik Alan Teorisi Q Q w −6 −6 π 0,3 20 × 10 2π 1 20 10 × r 2 dr ∫ sin θ dθ ∫ d= φ 0,6 J 0, 2 ≤ r ≤ 0,3 ⇒ W = = ∫ 1 2 2 ∫v 12 D ⋅ E dv 0 0 2 0,2 4π r 4π 5ε o r Q Q w 6 − −6 2π π ∞ (20 − 10) × 10 1 (20 10) 10 − × 1 0, 4 ≤ r ⇒ W= dv r 2 dr ∫ sin θ dθ ∫ d= φ 1,125 J D ⋅ E = 2 2 2 ∫v 2 ∫ 0,4 0 0 2 4π r 4πε o r W =W1 + W2 = 0,6 + 1,125 =1,725 J 53. x = 5 düzleminde bir ara yüzey 4 ve 16 dielektrik sabitleri ile iki dielektrik ortamı ayırmaktadır. Ara yüzeyin bir tarafındaki E alanı 4 dielektrik sabiti ile E1 =12a x + 24a y − 36a z V/m dir. Ara yüzeyin diğer tarafındaki E ve D alanını belirleyiniz. E = +24 V/m Et1 = Et 2 ⇒ 2 y E2 z = −36 V/m Dn1 = Dn 2 ⇒ ε1 E1x =ε 2 E2 x ⇒ E2 x = 4 12 = 3 V/m 16 E1 =12a x + 24a y − 36a z ⇒ E2 =3a x + 24a y − 36a z 54. Boşlukta yarıçapı 20 cm olan metal küre yüzeyinin hemen üzerindeki elektrik alanının genliği 10 MV/m ise bu metal kürenin yüzeyindeki yük ne olmalıdır? ρ = D = ε E s r 0,2 r r 0,2 m= o r r 0,2 m m = = = 10−9 36π 10 × 106= 88, 42 μC/m 2 55. Birbirine zıt yüklü paralel plakalar arasındaki bölgedeki elektrik alanı 10 kV/m’dir. Her plakanın alanı 25 cm2 ve aralarındaki açıklık 1 mm ise her plaka üzerindeki yüzey yük yoğunluğu ve toplam yükü bulunuz. Ortamın dielektrik sabiti 3,6’dır. Ez = −10000 V/m ⇒ Dz = ε Ez = −3,6 10 10 × 103 = −0,3183 μC/m 2 36π −9 } ρ s + = +0,3183 μC/m 2 ρ s − = −0,3183 μC/m 2 Statik Elektrik Alanları 259 Q+ = ρs+ A = +0,3183 × 25 × 10−4 = +795,75 pC Q− = ρs+ A = −0,3183 × 25 × 10−4 = −795,75 pC 56. z yönünde sonsuz uzunlukta bir düzlemin sınırı aşağıdaki şekildeki gibi (4,0,0) ve (0,3,0) noktalarından geçmektedir. Ortam 1 (ε r = 2,5) deki elektrik alan şiddeti E1 = 25a x + 50a y + 25a z V/m’dir. Ortam 2 (ε r = 5) ’deki E2 alanını belirleyiniz. cos53,13°a x + sin 53,13°a= 0,6a x + 0,8a y a= n y E1 = 25a x + 50a y + 25a z ⇒ E1 − E2 = (25 − Ex 2 )a x + (50 − E y 2 )a y + (25 − Ez 2 )a z E2 = Ex 2a x + E y 2a y + Ez 2a z D1 D2 0 a n ⋅ (ε1E1 − ε 2 E2 ) = (0,6a x + 0,8a y )2,5(25a x + 50a y + 25a z ) = (0,6a x + 0,8a y )5( Ex 2a x + E y 2a y + Ez 2a z ) I 0,6 × 25 + 0,8 × 50 = 0,6 Ex 2 + 0,8 E y 2 2 27,5 260 Elektromanyetik Alan Teorisi ax a y az 0⇒ 0,6 0,8 0 0 a n × (E1 − E2 ) = = (25 − Ex 2 ) (50 − E y 2 ) (25 − Ez 2 ) [0,6(50 − E y 2 ) − 0,8(25 − Ex 2 )] 0,8(25 − Ez 2 )a x + 0,6( Ez 2 − 25)a y + (0,8Ex 2 − 0,6 E y 2 + 10) a z = 0 Ez 2 = 25 0,8 Ex 2 − 0,6 E y 2 = −10 II Ey 2 Ex 2 Ez 2 27,5 0,6 Ex 2 + 0,8 E y 2 = I ve II'den ⇒ E 2= 8,5 a x + 28 a y + 25 a z −10 0,8 Ex 2 − 0, 6 E y 2 = 57. Önceki problemde ortam 2 bir iletken ve ortam 1 de elektrik alan şiddetinin y bileşeni 50 V/m ise E alanının diğer bileşenleri nedir? a= cos53,13°a x + sin 53,13°a= 0,6a x + 0,8a y ve E1 = Ex1a x + E y1 a y + Ez1a z n y 50 0 ax a y az a n × (E1 − E2 ) =0 ⇒ a n × E1 =0 ⇒ 0,6 0,8 0 =0 ⇒ Ex1 50 Ez1 = 37,5a x + 50a y 0,8 Ez1a x + 0,6 Ez1a y + (0,6 × 50 − 0,8 × Ex1 )a z = 0⇒E 1 = Ex1 ε1E1 0,6 = Ez 1 0 50 37,5 V/m ve = 0,8 an E1 0 2 a n ⋅ ( D1 − D2 ) = ρ s ⇒ ρ s = (0,6a x + 0,8a y ) ⋅ (37,5 a y ) 2,5ε o = 1,38 nC/m a x + 50 Ex1 E y1 Statik Elektrik Alanları 261 58. Aşağıdaki şekilde üç dielektrik ortam ile paralel plakalı bir kapasitör görülmektedir. Sistemin toplam kapasitansı nedir? A 100 × 10−4 C = C1 + C2 + C3 = ε o (ε r1 + ε r 2 + ε r 3 ) = d 10−3 10−9 36π (9 + 3,6 + 2) =1, 29 nF 59. Aşağıdaki şekildeki paralel plakalı kapasitörün kapasitansını bulunuz. 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = + = + = −9 −9 −4 −4 10 10 C ε1 A1 ε 2 A2 9 36π × 100 × 10 3,6 36π × 100 × 10 1,592 455 0,636 0, C1 (nF) −3 −3 C2 (nF) C (nF) 0,5 × 10 0,5 × 10 d1 d 2 1 1 + C1 C2 60. Aşağıdaki şekildeki koaksiyel hattın birim uzunluk başına kapasitansını belirleyiniz. ve ε r 2 2,5 , L = 10 m , a = 1 cm ve b = 1,5 cm ise hattın birim uzunluk başına toplam = ε r1 5= kapasitansı nedir? 262 Elektromanyetik Alan Teorisi C = C1 + C2 = 1 1 + = 0,015 d d ∫c ε1 A ∫c ε 2 A ∫0,01 5ε 1 + dρ 2π 1 ρ dφ ∫ dz ∫ 0 1 0,015 dρ 0,01 π ∫ o π 1 2,5ε o ∫ ρ dφ ∫ dz 0 0 A A πε o 1 1 7,5 0,5142 nF/m = = = + ln1,5 ln1,5 0, 4054 2,5πε o o 5πε C1 = 0,343 nF/m C2 = 0,171 nF/m 61. Aşağıdaki şekildeki kapasitörün yüklü iki iletken plakaları ρ = 10 cm ve ρ = 30 cm ’dedir. Plakalar arasındaki ortamın dielektrik sabiti 3,6 ise sistemin kapasitansı nedir? 1,318×10 1 dρ 12 1,1989 10 ln = × × = 0,76 pF 3 ⇒ C ρ 3,6ε π / 4 dφ 0,1 dz 0,3 ln 0,1 o ∫π /6 ∫0 12 1 = C d ∫ ε A= ∫ c 0,3 0,1 dρ = 0,1 ε ∫ ρ dφ ∫ dz 0 π /6 π /4 A ∫ 0,3 0,1 (π /12)×0,1 = 26,18×10−3 62. Eş merkezli iki küre arasındaki bölge aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi iki dielektrik malzeme ile doldurulmuştur. Sistemin kapasitansını belirleyiniz. Statik Elektrik Alanları 263 1 1 1 1 1 1 1 = + = + = + C C1 C2 4πε1ac 4πε 2bc 4π 5ε o 0,1 × 0, 2 4π 10ε o 0, 2 × 0,3 0,3 − 0, 2 c − a b − c 0, 2 − 0,1 1 1 1 = + = 111,11 238 666,66 95, C1 C2 C 63. Yarıçapı b olan küresel bir bulut içinde düzgün ρv hacimsel yük dağılımı bulunmaktadır. Poisson ve Laplace eşitliklerini kullanarak boşlukta her noktadaki potansiyel dağılımı ve elektrik alan şiddetini hesaplayınız ve çiziniz. Küresel bulutun dışında (r > b) : 1 ∂ 2 ∂Vo r ∇ 2V = r 2 ∂r ∂r c c1 0 ⇒ ∫ dVo = 0 ∫ dr ⇒ Vo = c1 ⇒ ∫ dVo = dr ⇒ Vo = − 1 + c2 = 2 ∫ r r c c c r → ∞ iken Vo = 0 ⇒ 0 = − 1 + c2 ⇒ c2 = 0 ⇒ Vo (r ) = − 1 ⇒ Eo = −∇Vo =12 a r ∞ r r Küresel bulutun içinde (r < b) : ∂ ∂V ∇ 2V = r 2 i ∂r ∂r c ρ ∂ Vi = − v r + 32 3ε o r ∂r ρv 2 − r = εo ρv ρv 2 ρv r 3 ρv r 3 1 ∂ 2 ∂Vi ∂ 2 2 r dV r dr V c r V ∇V= = − ⇒ = − ⇒ = − + ⇒ = − + c3 3 i i i ∫ 3ε o 3ε o r 2 ∂r ∂r εo εo ∫ ∂r ρ c ∂ Ei = −∇Vi = − Vi a r olduğundan Ei = v r − 32 a r ⇒ r → 0 iken Ei 0 olamaz ve c3 0 ve = = r ∂r 3ε o ρ Ei = v ra r olur. 3ε o = r b'de Dn1 = Dn 2 ⇒ ε o ρv ρ v b3 c = b ε o 12 ⇒ c= 1 3ε o 3ε o b ρ ρ ρ r2 ∂ Vi =− v r ⇒ ∫ ∂Vi =− v ∫ r ∂r ⇒ Vi =− v + c4 ⇒ ∂r 3ε o 3ε o 3ε o 2 r = b'de Vi = Vo ⇒ − c4 ρv b ρ ρ ρ r ρ ρ r2 + c4 = v b 2 ⇒ c4 = v b 2 ⇒ Vi = − v + v b2 = v b2 − 3ε o 2 3ε o 2ε o 3ε o 2 2ε o 2ε o 3 2 2 ρ ∂ Ei = −∇Vi = − Vi a r = v ra r 3ε o ∂r 264 Elektromanyetik Alan Teorisi Vi Vo 2 c1 ρ v b3 ρv b2 − b = 2ε o 3 3ε o b ρ b3 1 ρ b3 1 c ∂ ⇒ = 'de a Vo = − 1 = − v ⇒ Eo = −∇Vo = − Vo a r = v r b r 3 ∂r 3ε o r 2 r 3ε o r ρv ba = ρv b 1 a r r 3ε 3ε o b 2 o Ei Eo 64. Paralel plakalı kapasitörün üst plakası 100 V potansiyelinde ve alt plakası –100 V potansiyelindedir. Plakalar sonsuz genişlikte ve 4 cm açıklıktadır. Ortam boş uzay olduğunda (a) plakalar arasındaki potansiyel dağılımı, (b) bölgedeki E ve D alanlarını ve (c) her plakadaki yüzey yük yoğunluğunu belirleyiniz. z =0 a 5000 = 100 V ⇒ 100 = a 0,04 z = 0,04 − 100 ⇒= z V ( z ) 5000 z − 100 = ∂ E = −∇V = − (5000 z − 100)a z = −5000a z V/m ∂z 2 ρ = +44, 25 nC/m D = ε o E = −44, 25a z nC/m 2 s + 2 ρ s − = −44, 25 nC/m V ∂V 2 ∇ V = 2 = 0 ⇒ V = az + b ⇒ ∂z V 2 b =−100 V ⇒ b =−100 ⇒ V = az − 100 65. Bir koaksiyel kablonun a yarıçapında iç iletkeni Vo potansiyelinde ve b yarıçapındaki dış iletkeni topraklanmış iken potansiyel dağılımı belirleyiniz. İletkenler arasındaki boşluk eş merkezli iki dielektrik ile doldurulmuştur. İç dielektrik malzemenin geçirgenliği ε1 ve dış dielektrik malzemenin geçirgenliği ise ε2 dir. Dielektrik ara yüzey c yarıçapındadır. (a) potansiyel dağılımı, (b) her bölgedeki E ve D alanlarını, (c) iç iletkendeki yüzey yük yoğunluğunu ve (d) kablonun birim uzunluk başına kapasitansını belirleyiniz. Statik Elektrik Alanları 265 I. Bölge V 1 ∂ ∂ ρρ ∇ 2V = =0 ⇒ V1 =k1 ln ρ + k2 V1 ρ = a = Vo ⇒ k2 = Vo − k1 ln a V1 = k1 ln( ρ / a ) + Vo ρ ∂ρ ∂ρ 0 ⇒ k4 = −k3 ln b V2 = k3 ln( ρ / b) V2 ρ =b = 1 ∂ ∂V ∇ 2V = ρ ρ =0 ⇒ V2 =k3 ln ρ + k4 V1 ρ = c = V2 Dρ 1 ρ = c = Dρ 2 ρ ∂ρ ∂ρ II. Bölge ∂ ∂ Dρ 1 = Dρ 2 ⇒ ε1 Eρ 1 = ε 2 Eρ 2 ⇒ −ε1 [k1 ln( ρ / a ) + Vo ] = −ε 2 k3 ln( ρ / b) ⇒ ε1k1 = ε 2 k3 ∂ρ ∂ρ ε −∇V1 −∇V2 k = 2k k1 / ρ k3 / ρ 1 ε1 3 k3 ln(c / b) Vo + k1 ln(c / a ) = ε1Vo k3 = ε2 k3 ε1 ln(c / b) + ε 2 ln(a / c) ε1 V1 ρ == V2 ⇒ c k3 ln(c / b) ε 2Vo Vo + k1 ln(c / a ) = k1 = ε1 ε1 ln(c / b) + ε 2 ln(a / c) k ε2 1 k1 ln ( a c ) ε 2Vo ε 2 ln( ρ / c) + ε1 ln(c / b) = ln( ρ / a ) + Vo Vo ε1 ln(c / b) + ε 2 ln(a / c) ε1 ln(c / b) + ε 2 ln(a / c) ρa V1 E1 = −∇V1 = −Vo V2 ε2 ρ[ε1 ln(c / b) + ε 2 ln(a / c)] aρ = ε 2Vo aρ ρ[ε1 ln(b / c) + ε 2 ln(c / a)] ε1Vo ε1 ln( ρ / b) = ln( ρ / b) Vo ε1 ln(c / b) + ε 2 ln(a / c) ε1 ln(c / b) + ε 2 ln(a / c) k3 E2 = −∇V2 = − ρ s + =⋅ D1 a ρ Voε1 Voε1 aρ = aρ ρ[ε1 ln(c / b) + ε 2 ln(a / c)] ρ[ε1 ln(b / c) + ε 2 ln(c / a)] ε1E1 ⋅ a ρ = ρ a= ρ a = C = Voε1ε 2 = a[ε1 ln(b / c) + ε 2 ln(c / a )] 2πε1ε 2 Q+ 2π a ρ s + F/m (birim uzunluk başına) = = Vo Vo ε1 ln(b / c) + ε 2 ln(c / a) 66. Bir koaksiyel kablonun a yarıçapındaki iç iletkeni 100 V potansiyelinde ve 20 cm yarıçapındaki dış iletkeni topraklanmış iken potansiyel dağılımı belirleyiniz. İletkenler arasındaki boşluk eş merkezli iki dielektrik ile doldurulmuştur. İç dielektrik malzemenin geçirgenliği 3 ve dış dielektrik malzemenin geçirgenliği ise 9 dur. Dielektrik ara yüzey 15 cm yarıçapındadır. (a) potansiyel dağılımı, (b) her bölgedeki E ve D alanlarını, (c) iç iletkendeki yüzey yük yoğunluğunu ve (d) 100 m uzunluğunda kablonun kapasitansını belirleyiniz. Önceki problemde verilen değerler yerine konularak aşağıdaki sonuçlar hesaplanır. 266 Elektromanyetik Alan Teorisi ε 2Vo ln( ρ / a ) + Vo = −199, 485ln( ρ / a ) + 100 V ε1 ln(c / b) + ε 2 ln(a / c) V1 = V2 = ε1Vo ln( ρ / b) = −66, 486ln( ρ / b) V ε1 ln(c / b) + ε 2 ln(a / c) E1 = 5, 291 ε 2Vo 199, 485 aρ = a ρ V/m ⇒ D1 = ε1E1 = a ρ nC/m 2 ρ[ε1 ln(b / c) + ε 2 ln(c / a)] ρ ρ ρs+ E2 = ρ =a = 52,91 nC/m 2 Voε1 66, 486 5, 291 aρ = a ρ V/m ⇒ D2 = ε 2 E2 = a ρ nC/m 2 ρ[ε1 ln(b / c) + ε 2 ln(c / a)] ρ ρ ρs− Q+ = 2π a ρ s + = 33, 242 nC/m ⇒ C= ρ =b = 26, 46 nC/m 2 Q+ = 332, 44 pF/m (birim uzunluk başına) 100 Vo 67. Laplace eşitliğini kullanarak a ve b yarıçaplarında eş merkezli iki küresel kabuğun kapasitansını hesaplayınız. İç iletken Vo potansiyelinde ve dış iletken topraklanmıştır. İç kabuktaki yüzey yük yoğunluğu nedir? Sistemin kapasitans ifadesini çıkartınız. c c − 1+ 1 r b c1 V c1 ( b1 − 1r ) Vo c1 V r =b =0 ⇒ c2 = ⇒= 1 ∂ ∂V 1 1 b = − + ∇ 2V = 2 r 2 = ⇒ V c 0 V = 1 1 ( b − r ) 2 − r r ∂r ∂r (b a) V V r = a = Vo ⇒ c1 = 1 o 1 (b − a) V ab 1 ∂V Vo ab 1 E = −∇V = − ar = a ⇒ D = εo o ar ⇒ ρs+ 2 r ∂r b−a r b − a r2 = ε oVo b a (b − a ) εVb εb Q+ = 4π a o Q+ = 4π a 2 ρ s + = 4π a o o ⇒ C = Vo (b − a ) (b − a ) r =a 68. Laplace eşitliğini kullanarak 5 cm ve 10 cm yarıçaplarında eş merkezli iki küresel kabuğun kapasitansını hesaplayınız. İç iletken 500 V potansiyelinde ve dış iletken topraklanmıştır. İç kabuktaki yüzey yük yoğunluğu nedir? Ortamın dielektrik sabiti 9’dur. Ortamdaki potansiyel dağılımı ve elektrik alanını hesaplayınız. Önceki problemde verilen değerler yerine konularak istenilen büyüklükler hesaplanır. 500 1 1 50 1 1 − = − = − 500 1 0,1 r r 1 1b r 1 − − b a 0,1 0,05 Vo ab 1 500 × 0,05 × 0,1 1 50 = E = ar = ar ar b − a r2 0,1 − 0,05 r 2 r2 = V Vo Statik Elektrik Alanları 267 50 450 3,9825 = D ε= a ε o 2 ar = a r nC/m 2 9ε o = oε r E 2 r r r r ρ s + r == D= ε o a 450 =ε o 180 × 103 =1,593 μC/m 2 2 0,05 r 2 = a2 180 × 103 1800πε o =50 nC Q+ 4π 0,052 ε o= = = C 1800πε o = 3,6πε o =100 pF 500 69. a ve b yarıçaplarında iki iletken silindir ile sınırlanan bölge içindeki yük dağılımı ρ v = A / ρ C/m3 tür. Ortamın elektriksel geçirgenliği ε, iç iletkendeki potansiyel dağılım Vo ve dış iletken topraklanmışsa (a) iki iletken arasındaki potansiyel dağılımı, (b) elektrik alan şiddetini, (c) her iletkendeki yüzey yük yoğunluğunu ve (d) birim uzunluk başına kapasitansı belirleyiniz. A → 0 ise bütün ifadeleri sadeleştiriniz. ∂ ∂V A ρ = − ∂ρ ∂ρ ε A A A 1 ∂ ∂V ∇ 2V = − ⇒ ∫ ∂V = − ∫ ∂ρ ⇒ V = − ρ + c1 ⇒ ρ = ρ ∂ρ ∂ρ ερ ε ε ρV = − A ρ + c1 ⇒ ∫ ∂= V − ε A A 1 ∂ρ + c ∫ ∂ρ ⇒ V = − ρ + c ln ρ + c ε∫ ρ ε 1 1 2 A c V =− + 1 ε ρ A ( b − ρ ) + c1 ln( ρ / b ) ε A(b − ρ ) A(b − a ) ln( ρ / b) Aρ Ab = + Vo − V V= − + c1 ln ρ + − c1 ln b ε ε ln(a / b) ε ε A(b − a ) Vo − A(b − a ) ε ln( / ) ⇒ V ρ == V V c a b c = + ⇒ = 1 1 o o a ln(a / b) ε V ρ =b =0 ⇒ 0 =− Ab ε Ab + c1 ln b + c2 ⇒ c2 = − c1 ln b ⇒ ε A(b − a ) − Vo A ∂V ε E = −∇V = − aρ = − aρ ⇒ D = ε E = ρ ln(b / a) ∂ρ ε ρs+ ρ =a = A− A(b − a) − ε Vo A − ρ ln(b / a) a ρ A(b − a ) − ε Vo A(b − a ) − ε Vo A(b − a ) − ε Vo Q+ 2π a ⇒ Q+ = 2π a A − = ⇒C = A− a ln(b / a ) a ln(b / a ) Vo Vo a ln(b / a ) ρs+ 2πε A → 0 iken C = ln(b / a ) 268 Elektromanyetik Alan Teorisi 70. ρ = 0,1 m ve ρ = 0, 2 m silindirik yüzeyleri ile sınırlı z yönünde sonsuz genişlikte iki iletken düzlem 30° ’lik bir açı ile yapmaktadır. Bir plaka 10 kV potansiyelde ve diğeri ise topraklanmıştır. Potansiyel dağılımı, plakalar arasındaki boş uzayda E ve D alanlarını ve sistemin birim uzunluk başına kapasitansını bulunuz. ∇ 2V = 1 ∂ 2V =0 ⇒ V =φ c1 + c2 ⇒ 2 2 ρ ∂φ V 60000 φV ⇒V = π = ⇒ = c π 10000 60000 / 1 φ =π /6 V φ =0 =0 ⇒ c2 =0 1 ∂V 60000 60000 60000 E = −∇V = − = − aφ V/m ⇒ D = −ε o aφ C/m 2 ⇒ ρ s + φ =π /6 = −ε o C/m 2 ρ ∂φ ρπ ρπ ρπ 2 Birim uzunluk başına 117 ,157 nC/m 0,2 1 Q+ 60000 1 60000 6 2 ln 2 nC/m ⇒ C = Q+ = ∫ ρ s + dsφ = ε o d ρ ∫ dz = ε o = ε o ln 2 = 11,7157 nF 0 s Vo π ∫0,1 ρ π π 0,693 d ρ dz Birim uzunluk başına W W = 12 CVo2 = W ∫= wdv 12 ∫ D ⋅ Edv v v 2 π 0,2 /6 60000 ρ d ρ ∫ dφ W = 12 ∫ ε o veya 0,1 0 ρπ 0,2 = ln 2 ln Birim uzunluk başına 0,1 π /6 Birim uzunluk başına 6ln 2 2 2 585,78 μJ = = ε W 10000 π 0,2 /6 o 1 60000 1 π = ε 585,78 μJ ∫0,1 d ρ ∫0 dφ 2 o ρ π 71. z eksenine paralel topraklanmış sonsuz iki plaka φ = 0° ve φ= 60° ’de bulunmaktadır. 500 nC’luk bir yük (5,30°,10) metreye konulmuştur. (7,30°,10) metredeki elektrik alan şiddetini ve potansiyel fonksiyonu hesaplayınız. Plakalar arasındaki ortamın boş uzay olduğunu varsayınız. Statik Elektrik Alanları 269 P(7, π / 6,0) ⇒ P(7 cos30°,7sin 30°,10) = P( 147 / 4,7 / 2,10) Q(5, π / 6,0) ⇒ Q(5cos30°,5sin 30°,10) = Q( 75 / 4,5 / 2,10) 1 3,472511598 −9 q 1 1 1 1 1 1 500 × 10 5 2 2 − + − + − = − + VP = = 1294,712 V 4πε 2 4πε o 12 39 109 12 109 39 39 109 0,287976 30° 90° 150° 210° 270° 330° q 1 olurdu. Sonsuz iletken 4πε 2 düzlemlerin varlığı P ve Q noktaları arasındaki uzaklığı artırıcı (2 yerine 3,4725) etki göstererek VP noktasındaki potansiyeli azaltmaktadır. φ = 0 ve φ= 60° deki sonsuz iletken düzlemler olmasaydı VP = 72. Bir q yükü R yarıçapında topraklanmış metal kürenin merkezinden d uzaklığında bulunmaktadır. Topraklanmış kürenin yüzeyindeki toplam yükün doğrudan integrasyon ile q ' = − qR / d olduğunu gösteriniz. Bu yük nereden gelmektedir? a r ⋅a z R 2 2 R2 2 2 2 2 2 r1 = Ra r − da z ⇒ r1 = r1 ⋅ r1 = R + d − 2dR cos θ ⇒ r2 = R + − 2 R cos θ d d R cos θ R/d 2 q R/d 1 P (r ,φ ) noktasındaki: V = − 4πε o R 2 + d 2 − 2dR cos θ R4 R2 R 2 + 2 − 2r cos θ d d P (r ,φ ) noktasındaki: E r=R = −∇V r=R = R2 − d 2 ar 4πε o R r13 q 270 ρs Elektromanyetik Alan Teorisi = εo E r=R r=R ⋅ a r= q R2 − d 2 q R2 − d 2 2 ⇒ dQ = ρ ds = R sin θ dθ dφ s 4π R r13 4π R r13 r 1 q' dr1 Rd 2 2 2π q R −d 2 π q( R − d ) R π 1 q( R − d ) d + R 1 R sin θ dθ = Q= R ∫ sin θ dθ ∫ dφ = dr1 = − q 3 3 2 ∫ ∫ − 0 0 0 d R 4π R r1 2R 2d r1 r1 d 2 2 2 2 2 2π θ değişkenini r1 değişkenine değiştirme r θ sin Rd 2 2 2 dθ ⇒ sin θ dθ = 1 dr1 r1 = R + d − 2 Rd cos θ ⇒ 2r1dr1 = 2 Rd sin θ dθ ⇒ dr1 = r1 Rd 2 Rd − 0 θ =0 ⇒ r12 =R 2 + d 2 −2 Rd cos θ ⇒ r1 = R 2 + d 2 − 2 Rd = d − R θ = π ⇒ r12 = R 2 + d 2 −2 Rd cosθ ⇒ r1 = R 2 + d 2 + 2 Rd = d + R π +2 Rd 73. Elektromanyetik alanların yoğunlaştırılmasında kullanılan aşağıdaki şekildeki dielektrik merceğin sol yüzeyi dairesel silindir ve sağ tarafı düzlemdir. 1. bölgede P ( ρ , 45°, z ) ’de = E1 5a ρ − 3aφ ise 3. bölgede E3 ’ün x eksenine paralel olması için merceğin dielektrik sabiti ne olmalıdır? Statik Elektrik Alanları 271 1/ 2 1/ 2 E y1 Ex1 a a a = ° + ° cos 45 sin 45 ρ x y E1 = E a + ⇒ = 5a ρ − 3aφ ⇒ 25 / 2 25 / 2 ay x 1 1/ 2 1/ 2 a = − sin 45° a x + cos 45° a y φ = Et1 E= Eφ 2 sınır şartından t 2 veya Eφ 1 Eφ 2 P noktasında alanın φ bileşeni teğet olduğundan Eφ 2 = −3 aφ 5 a ρ − 3aφ ⇒ E2 = εr2 = Dn1 D= Dρ 2 sınır şartından n 2 veya Dρ 1 Eρ 2 5 P noktasında alanın ρ bileşeni dik olduğundan E ρ 2 = aρ ε r 2 25 / 2 25 / 2 25 / 2 5 5 0 ⇒ εr2 = − 9 / 2 a y ⇒ − 9/2 = E2= a ρ − 3aφ= + 9 / 2 a x + εr2 εr2 3 εr2 εr2 0 Ex 2 25 / 2 18 a x + 9 / 2 a x E2 = 5/3 Dx 2 = Dx 3 Dn 2 D= E x3 n 3 sınır şartından Q noktasında alanın x bileşeni dik olduğundan ε r 2 E x 2 5 18 a x = 50 a x E3 = 3 Ex 3 Vektörlerin büyüklükleri ölçekli çizilen şekilde P noktasındaki E2 alanının genliği Q noktasındaki E2 alanının genliği ile aynı alındığından E3 = 50a x hesaplanmıştır. Gerçekte E2 > E2 P Q olduğundan E3 daha küçük genlikte olacaktır. 272 Elektromanyetik Alan Teorisi σ 4 KARARLI ELEKTRİK AKIMLARI 4.1 GİRİŞ Statik elektrik alanları bölümünde esas olarak durgun yüklerin alanları ve bu yükler arasındaki kuvvetler ile ilgilenildi. Bu bölümde ilgi noktası, elektrostatik alanların etkisi altında iletken ortamdaki yüklerin hareketidir. Hareketli yükler bir elektrik akımı oluşturur. Böyle akımlar doğal olarak çoğu durumlarda oluşabilir. Böyle bir olgu olan yıldırımda yükler atmosferden geçerek bulutlar ve yer arasında yük değişimi yaparak feci kazalara neden olabilir. Yıldırımdaki yüklerin akışı kararlı değildir fakat günlük yaşamda batarya ile beslenen aygıtlar kararlı akımlara örnek sayılabilir. Yalıtılmış bir iletkenin elektrik alanı içine yerleştirildiği durum önceden tartışılmıştı; iletkenin iç kısmı yüksüz olarak kalmakta ve yükler iletkenin yüzeylerinde kendilerini yeniden düzene sokmaktadır. Yalıtılmış iletkenin içindeki elektrik alan şiddeti iletken elektrostatik dengeye ulaştığında kaybolur. Şimdi iletkenin iki ucundan eşit ve zıt yüklü parçacıkların aniden konulduğu varsayılsın. İletken yük dengesini kaybeder ve konulan yükler ile iletken içinde bir elektrik alanı meydana gelir. Elektrik alanı bu yükleri her iki tarafa da hareket ettirmeye zorlar. Zıt yüklü parçacıklar temasa geçer geçmez birbirini yok eder. Bu işlem bütün yükler kayboluncaya kadar sürer. Bu olduğunda iletkendeki elektrik alanı da kaybolur ve iletken yük denge pozisyonuna yeniden kavuşur. Bu bölümdeki amaç iletkenlerin dengeye ulaşmasının çok hızlı olduğunu göstermektir. İyi bir iletkende dengeyi yakalamak için gereken zaman saniyenin çok küçük kısmıdır. Bu çok kısa zaman süresince yükler iletken içinde kendilerini yeniden düzenlerler. Yüklerin bu hareketi akım olarak adlandırılır çünkü yükler çok kısa bir süre için harekette olduğundan akım genelde geçici akım olarak adlandırılır. Akım iletken ortamda bir noktayı geçmekte olan iletilen yükün oranı, i= dq dt (4.1) olarak tanımlanır. dq yükü dt zamanında bir noktayı geçmekte olan yük miktarıdır. i küçük harfi genellikle zamanın bir fonksiyonu olduğunu göstermek amacıyla kullanılmıştır. Akımın SI birimi 274 Elektromanyetik Alan Teorisi amper’dir (A) ve Fransız fizikçi Andre Marie Ampère onuruna bu isim verilmiştir. Bir amperlik akım bir saniyede bir Coulomb’luk yükün iletilmesine karşılık gelmektedir. Bu bölümde tartışma sadece kararlı akımlar, yani zamanla sabit akımlar ile sınırlanmıştır. I büyük harfi kararlı bir akımın temsilinde kullanılmıştır. Kararlı akım doğru akım olarak da adlandırılır. 4.2 AKIM VE AKIM YOĞUNLUĞU Bu kısımda iletim akımı ve taşınım akımı olarak akımın iki tipi tanıtılmaktadır. Hem taşınım ve hem de iletim akımları için birim yüzey alan başına akım veya akım yoğunluğu da tartışılmaktadır. 4.2.1 İLETİM AKIMI Bakır, gümüş veya altın gibi metallerde serbest yük taşıyıcılar çoğunlukla elektronlardır. Daha özel olarak, iletim işlemine katkı sağlayan bir atomun valens elektronudur. Herhangi bir atoma bağlı olmadığı sürece, bir elektrona serbest elektron adı verilir. Serbest elektron kristal kafesin tamamında hareket yeteneğine sahiptir. Bununla beraber ağır ve pozitif yüklü iyonlar kristal kafesteki düzenli pozisyonlarında iyice sabitlenmişlerdir ve metaldeki akıma katkı sağlamazlar. Bundan dolayı bir metal iletkendeki akım iletim akımı olarak adlandırılır ve bu temelde bir elektron akışıdır. Girişte bahsedildiği gibi yüklerin geçici akışları elektrik alanı içine yerleştirilmiş yalıtılmış bir iletkende çok kısa bir zamanda durur. Bir iletkendeki kararlı akımın sürdürülmesi için bir uçtan sürekli bir elektron beslemesi ve bunların diğer uçtan sürekli alınması gereklidir. Hatta iletken boyunca bir kararlı akım akıyor olsa da iletkenin kendisi bir bütün (elektrostatik) olarak nötr’dür. Yalıtılmış iletkende elektronların rasgele ısıl hareketleri yüksek hızda, tipik olarak 106 m/s civarında ve olabilecek her yönde yer alır. İletkenin silindir biçiminde ve z yönünde konulduğu varsayılsın. İletkenin eksenine dik, iletken boyunca bir düzlemde z’nin pozitif yönünde geçen elektron miktarının negatif z yönünde geçen elektron miktarı ile aynı olduğu bulunacaktır. Başka ifadeyle net değişim sıfır olduğundan yalıtılmış iletkendeki net akım sıfırdır. İletken iki ucundan bir bataryaya bağlı olduğunda iki ucu arasında bir potansiyel fark oluşur ve şekil 4.1a’da görüldüğü gibi iletkenin içinde de bir elektrik alanının olması gerekir. İletken teldeki elektrik alanı serbest elektron üzerinde z yönünde bir kuvvet oluşturur. Elektron bu kuvvete tepki olarak çok kısa bir zamanda hızlanır çünkü her hızlanmasının sonucunda bir iyonla çarpışır. Her çarpışmadan sonraki yeni hız hemen hemen çarpışmadan önceki hızdan bağımsızdır. Gerçekte bir parça bakır içinde hareket eden elektronlar saniye başına 1014 çarpışma ile karşılaşırlar. Her çarpışma elektronu yavaşlatır, bir durma noktasına getirir veya hareket yönünü değiştirir. Elektronun hızının değiştirilmesi için elektrik alanının tekrar verilmesi gerekir. Bu bakımdan z yönünde, elektrik kuvveti ile oluşturulan hızdaki değişim elektronun rasgele hızından çok küçük olmakta ve uygulanan elektrik alanı sürüklenme hızı olarak bilinen rasgele hızın sistematik bir bileşenini üretir. Sürüklenme hızı şekil 4.1b’de görüldüğü gibi elektronun z yönünde aşamalı olarak sürüklenmesine neden olur (sürüklenme, kavramın vurgulanması için abartılmıştır). z yönünde elektronların net sürüklenmesi iletken içinde bir akım oluşturur. Akımın geleneksel yani bilinen yönü elektrik alanı yönündedir. Başka ifadeyle elektronlar akımın tersi yönde hareket ederler. İletken içindeki akım, kesit alanı iletkenin uzunluğu boyunca değişse de bütün kesitlerde aynıdır. Elektrik akımının bu sabitliliği yükün korunumu kanunu ile uyum Kararlı Elektrik Akımları 275 içindedir yani varsayılan kararlı durum şartları altında yükler kararlı olarak birikemez veya iletkende herhangi bir noktadan kararlı olarak akamazlar (kaçıp gidemez). Basitçe ifade edilirse bir nokta, kararlı bir akımın sürdürülmesi için bir yük kaynağı veya alıcısı gibi davranamaz. (a) Uçlarına gerilim uygulanmış iletken tel içindeki elektrik alanı ve serbest elektronlar (b) Elektronun E alanı (kesik çizgi) ile ve E alanı olmaksızın (koyu çizgi) hareketi Şekil 4.1 4.2.2 TAŞINIM AKIMI Boş uzayda (vakum) yüklü parçacıkların hareketi taşınım akımı oluşturur denilmektedir. Bir vakum tüpünde katot’tan anoda elektronların hareketi taşınım akımına klasik bir örnektir. Bu durumda katot’tan yeni yayılan elektronlar çok yavaş hareket ederler. Anoda yakınlaşan elektronlar çok yüksek hız kazanmışlardır. Bu katot’tan anoda olan bütün yol boyunca elektronun herhangi bir çarpışma ile asla karşılaşmamasından dolayıdır. Bunun yanında, kararlı bir akım için birim kesit alanını geçen yükün aynı olması gerekir. Bu bakımdan, elektronun hızı artarken şekil 4.2’de görüldüğü gibi yük yoğunluğu azalır. Buna göre, taşınım akımı ve iletim akımı arasındaki açık bir fark taşınım akımının elektrostatik olarak nötr olmadığıdır ve elektrostatik yükünün hesaba katılması gerekir. Taşınım akımı yük akışının sağlanması için ne bir iletkene gerek duyar ne de ohm kanunu ile uyum içindedir. Şekil 4.2 Elektron tüpündeki yük yoğunluğu 4.2.3 TAŞINIM AKIM YOĞUNLUĞU Yüklerin hareketinin tanımlanması için şekil 4.3’de görüldüğü gibi, yüklerin bir elektrik alanının etkisi altında U ortalama hareket hızıyla, ρ v hacim yük dağılımı oluşturduğu bir bölgeyi dikkate alalım. ∆t zamanında yükler dl = U∆t 276 Elektromanyetik Alan Teorisi gibi dl uzaklığı kadar hareket edeceklerdir. Uzunluk elemanı ortalama hız ile aynı yöndedir. Eğer sürüklenme hızına normal Δ s yüzey alanı olarak imajiner bir pencere (Δ s = ∆sa n ) dikkate alınırsa, pencere içinden geçen yük hareketi Şekil 4.3 Boş uzaydaki yüklerin E alanının etkisi altında hareketi dq = ρ v ∆v = ρ v Δ s ⋅ dl olurdu. Akım i = dq / dt olduğundan ∆s yüzeyinden geçen ∆I akımı aşağıdaki gibi bulunur. dl = ∆I ρ v Δ s ⋅ = ρ v Δ s ⋅ U dt (4.2) Taşınım akım yoğunluğu, J (birim kesit alanı başına akım) ile akım ∆I =J ⋅ Δs olarak tanımlandığında (4.2)’den, J = ρvU (4.3) ve bir s yüzeyi içinden geçen akım = I ∫ J ⋅ ds s (4.4) elde edilir. Bu ifadelerden, bir bölgedeki akımın tanımlanması için yüzeyden hangi yüklerin geçtiğinin belirlenmesi gerektiği açıktır. Tersine J akım yoğunluğu tamamen bir vektör nokta fonksiyonu ile tanımlanabilir. Bundan dolayı akım yoğunluğu kavramı alanların tanımlanmasında akımdan daha kullanışlıdır. J ’ye geleneksel olarak hacim akım yoğunluğu denir. U + ve U − ortalama hızları ile hareket eden ρ v + ve ρ v − yük yoğunlukları ile negatif yükler kadar pozitif yükler de varsa bir elektrik alanının etkisi altında bunlar zıt yönlerde hareket edeceklerdir. Pozitif yükler elektrik alanı yönünde sürüklenecek ve negatif yükler elektrik alanının tersi yönünde hareket edecektir. İkisinin katkısı sonucu, pozitif yüklerden dolayı oluşan akım negatif yüklerden dolayı oluşan akımla aynı yönde olacaktır. Böylece toplam akım yoğunluğu J = ρv + U + + ρv − U − (4.5) Kararlı Elektrik Akımları 277 olur ve bir yüzeyden geçen toplam akım (4.4)’den elde edilebilir. Çünkü ortalama hızları ile yüklerin hareketi dikkate alınmaktadır ve gerçekte bir bölgedeki kararlı akım tartışılmaktadır; burada akımın değişim oranı sıfırdır. Eğer bir bölgede her yerde akım yoğunluğu zamanla sabit kalıyorsa kararlı akımdan bahsedilmiş olunur. 4.2.4 İLETİM AKIM YOĞUNLUĞU U e bir iletken içinde uygulanan E alanından dolayı elektronun ortalama hızı (veya sürüklenme hızı), m e elektronun kütlesi ve τ çarpışma başına ortalama zaman olsun. Bu durumda bir elektronun τ zamanında moment kaybı me U e ’dir. Böylece çarpışmalarda elektronun kaybettiği ortalama moment miktarı me U e / τ olur. Elektrik kuvvetinden dolayı elektronun kazandığı moment − eE ’dir. Kararlı durum şartları altında, moment kaybı ile kazanç eşleşmeli yani me U e τ = − eE olmalıdır. Buradan, eτE Ue = − me veya U e = −u e E (4.6) elde edilir ki burada, ue = eτ me elektron hareketliliği olarak adlandırılır. (4.6) eşitliği iletken ortamda elektronun sürüklenme hızının uygulanan elektrik alanı ile orantılı olduğunu ifade etmektedir. Orantı sabiti elektron hareketliliğidir. Birim hacim başına N elektron varsa elektron yük yoğunluğu ρv − = -Ne (4.7) dir; e elektrondaki yükün büyüklüğüdür. Böylece iletken ortamda iletim akım yoğunluğu, J = ρv−Ue veya J = Neue E = σE (4.8) 278 Elektromanyetik Alan Teorisi ile verilir; σ = Neue ortamın öziletkenliği olarak bilinir. Öziletkenliğin birimi metre başına siemenstir (S/m). (4.8) eşitliği Ohm kanununun mikroskobik eşdeğeri olarak söylenir. İletken ortamda herhangi bir noktadaki akım yoğunluğunun elektrik alan şiddeti ile orantılı olduğunu ifade etmektedir. Orantı sabiti ortamın öziletkenliğidir. Doğrusal bir ortam için J ve E aynı yöndedir. Elektrik devre teorisinde direnç gerilim ve akıma bağlı olmadığı sürece Ohm kanunu geçerlidir. Aynı şekilde eğer ortamın öziletkenliği elektrik alan şiddetinden bağımsız ise iletken malzeme Ohm kanunu ile uyum içindedir. Gauss kanunu gibi Ohm kanununun elektromanyetizmanın genel bir kanunu olmadığı akılda tutulmalıdır. Ohm kanunu temel olarak bazı malzemelerin elektriksel özellikleri ile ilgili bir belirtmedir. (4.8) ile uyum içindeki malzemeler, doğrusal iletken veya Ohm’ik iletken olarak adlandırılır. Öziletkenliğin tersi özdirenç, ρ= 1 σ (4.9) olarak adlandırılır ve özdirencin birimi ohm.metre (Ωm) dir. Tablo 4.1’de bazı malzemelerin özdirençleri görülmektedir. Table 4.1 Metal, yarı-iletken ve yalıtkanların öz dirençleri Metaller Yarı-iletkenler Yalıtkanlar Malzeme Özdirenç (Ω⋅m) Malzeme Özdirenç (Ω⋅m) Malzeme Özdirenç (Ω⋅m) Aluminyum Karbon (grafit) Amber 2,82×10-8 3,5×10-5 5×1014 Konstantan Germanyum 0,42 Cam 1010-1014 49×10-8 -8 3 Bakır Silikon Sert Lastik 1013-1016 1,7×10 2,6×10 Altın Mika 1011-1015 2,44×10-8 -8 Demir Quartz 8,9×10 7,5 ×1017 Civa Sülfür 1015 95,8×10-8 -8 Nikrom Kuru toprak 105 100×10 Nikel Su 103 7,8×10-8 -8 Gümüş Damıtık su 1,59×10 5×103 Tungsten Trafo yağı 1011 5,6×10-8 ÖRNEK 4.1 10 V’luk potansiyel fark 2 m uzunluğundaki bakır telin uçlarında tutulmaktadır. Çarpışmalar arasındaki ortalama zaman 2,7×10-14 s ise serbest elektronların sürüklenme hızını belirleyiniz. ÇÖZÜM İletken telin z yönünde uzandığı ve üst ucun aşağıya göre pozitif olduğunu varsayalım. Bu durumda iletken teldeki alan şiddeti, 10 E = − a z = −5a z V/m 2 elektron hareketliliği, ue = eτ 1,6 × 10 −19 × 2,7 × 0 −14 = = 4,747 × 10 − 3 me 9,1 × 10 − 31 Kararlı Elektrik Akımları 279 ve buradan sürüklenme hızı Ue = −ue E = 4,747 × 10−3 × 10−3 × 5a z = 23,74 × 10−3 a z m/s bulunur. Bunun sonucu olarak elektron z yönünde 23,74 mm/s’lik bir hızla hareket etmektedir. Elektronun aşağı uçtan yukarı uca zigzag yaparak gitmesi yaklaşık olarak 84 saniye (2 m / 23,74 mm) zaman alacaktır. Bununla birlikte iletken telden geçen akım ışık hızında hareket edecektir. Bu durumda ne olur; iletken telin aşağı ucundan giren bir elektron elektrik alanı ile komşu elektronu iter ve iletken tel içinde sıkıştırıcı bir dalga meydana getirir. Sıkıştırıcı dalga ışık hızında hareket eder ve elektronları iletken telin diğer uç noktasına hemen hemen anında fırlatır. ALIŞTIRMALAR 1. 0,125 cm çapında alüminyum telin bir ucu 0,25 cm çapında bakır tel ile kaynaklanmıştır. Bu kompozit telden 8 mA geçmektedir. Her iletken teldeki akım yoğunluğu nedir? 2. 100 km uzunluğunda yüksek gerilim iletim hattında 3 cm çapında bakır kablo kullanılmaktadır. Kablodan 1000 A’lik bir kararlı akım (DC) geçiyorsa, (a) kablonun içindeki elektrik alan şiddeti, (b) serbest elektronun sürüklenme hızı, (c) kablodaki akım yoğunluğu ve (d) elektronun kablonun bütün uzunluğunu geçmesi için gereken zamanı belirleyiniz. Çarpışmalar arasındaki ortalama zamanın 2,7 × 10−14 s olduğunu varsayınız. 3. Bir vakum tüpündeki elektronların ortalama hızı 1,5×106 m/s dir. Akım yoğunluğu 5 A/mm2 ise elektronların akışına normal düzlemden birim kesit alanından geçen elektron sayısını belirleyiniz. 4.3 İLETKENİN DİRENCİ dl uzunluğundaki bir iletkenin direnci, dV −E ⋅ dl dR = = I ∫ J ⋅ ds s eşitliğinde olduğu gibi E ve J alan miktarları ile ohm kanunundan elde edilebilir. dV potansiyeli dl uzunluğundaki iletkenin iki ucu arasındaki potansiyel farktır. Şekil 4.4’de görüldüğü gibi E iletken içindeki elektrik alan şiddeti, J = σE hacim yük yoğunluğu ve I her yüzeyden geçen akımdır. İletkenin a ucundaki potansiyelin b ucundakinden daha yüksek olduğu varsayılmıştır. İletkenin toplam direnci, R=∫ a b −E ⋅ dl J ∫ ⋅ ds (4.10) s ile bulunur ve bu eşitlik çok genel olup iletkenliği akım yönünde değişen iletken bir ortamın direncinin belirlenmesine izin verir. İletkenliği sabit homojen ortam durumunda (4.10) eşitliği aşağıdaki gibi yazılır. 280 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 4.4 Uçlarına gerilim uygulanmış akım taşıyan iletken a − ∫ E ⋅ dl V b ab R = = I ∫ J ⋅ ds (4.11) s Homojen iletken ortam içindeki elektrik alan şiddeti biliniyorsa (4.11) eşitliği iletkenin direncinin belirlenmesinde kullanılabilir. Keyfi veya rasgele biçimdeki iletken malzeme içindeki E alanı her zaman belirlenemeyebilir. Bu durumda elektrik alan şiddetinin belirlenmesi için yaklaşık metotlar veya sayısal tekniklerin kullanımına başvurulabilir. ÖRNEK 4.2 V o potansiyel farkı l uzunluğundaki bakır tele uygulanmıştır. A iletken telin kesit alanı ise iletken telin direnç ifadesini elde ediniz. V o =2 kV, l = 200 km ve A = 40 mm2 ise iletken telin direnci nedir? ÇÖZÜM İletken telin z yönünde uzandığı ve üst ucun alt uca göre V o potansiyelde olduğunu varsayalım. İletken teldeki elektrik alan şiddeti, V E = − o az l dir. σ bakırın öziletkenliği ise iletken telin herhangi bir kesitindeki hacim akım yoğunluğu, σV J = σE = − o a z l ile iletken telden geçen akım aşağıdaki gibi elde edilir. I= σ Vo J ∫s ⋅ ds = l ∫ ds = σ Vo A s Buradan, (4.11) kullanılarak iletken telin R= ρl Vo l = = σVo A σA A l l Kararlı Elektrik Akımları 281 direnç ifadesi iletken ortamın fiziksel parametreleri ile direncin teorik bir ifadesini vermektedir. Değerler yerine konularak direncin istenilen sayısal değeri aşağıdaki gibi hesaplanır. R= 1,7 × 10 −8 × 200 × 103 = 85 Ω 40 × 10 − 6 ALIŞTIRMALAR 4. 2 cm yarıçapında alüminyum iletken 100 A akım taşımaktadır. İletkenin boyu 100 km ise (a) İletkendeki akım yoğunluğu, (b) İletkendeki E alanı, (c) İletken uçlarındaki potansiyel düşümünü ve (d) İletken direncini belirleyiniz. 5. İç çapı 2 cm ve dış çapı 5 cm olan ortası boş demir silindirin uzunluğu 200 m’dir. Silindir içindeki elektrik alan şiddetinin genliği 10 mV/m dir. (a) silindir uçlarındaki potansiyel düşümünü, (b) silindirden geçen akımı ve (c) silindirin direncini belirleyiniz. 6. Önceki alıştırmadaki boş silindir aynı uzunlukta içi dolu bakır silindir ile değiştiriliyor. Aynı direnç için bakır silindirin yarıçapını bulunuz. Uygulanan aynı gerilim için bakır silindir içindeki elektrik alan şiddeti ve akım yoğunluğunu hesaplayınız. 4.4 SÜREKLİLİK EŞİTLİĞİ Kapalı s yüzeyi ile sınırlanan iletken bölge şekil 4.5’de görülmektedir. Bölgedeki hacim yük yoğunluğunun ρ v olduğunu varsayalım ve yüzeyi terk eden akım hacim yük yoğunluğu J ile tanımlanabilmektedir. Dışa doğru yönde s kapalı yüzeyini geçen toplam akım aşağıdaki gibi yazılır. i= (t ) ∫ J ⋅ ds s (4.12) Şekil 4.5 s yüzeyi ile sınırlanan iletken ortamda dışa doğru yük akışı Akım basitçe saniye başına yük akışı olduğundan yükün dışa doğru akışı s ile sınırlanan bölge içinde yük konsantrasyonunu aynı miktarda azaltmalıdır. Yüzeyi terk eden yük miktarı sınırlanan bölgeden azalan yük miktarına eşit olması gerektiğinden akım, i (t ) = − dQ dt (4.13) olarak da ifade edilebilir; Q herhangi bir t zamanında yüzeyin çevrelediği toplam yüktür. Q hacim yük yoğunluğu, ρ v ile ∫ Q = ρ v dv v (4.14) 282 Elektromanyetik Alan Teorisi olarak yazılabilir; burada integral s ile çevrelenen bölge boyunca alınır. (4.12), (4.13), ve (4.14) birleştirilerek d − ∫ ρ dv ∫ J ⋅ ds = dt s v v (4.15) elde edilir. (4.15) eşitliği süreklilik eşitliliğinin integral biçimi olarak bilinir ve yükün korunumu prensibinin matematiksel ifadesidir. Bir bölgede yükün herhangi bir değişiminin bölgeyi çevreleyen yüzey içinde bir yük akışı ile eşlik edilmesi gerektiğini ifade etmektedir. Başka ifadeyle yük yeniden yaratılamaz veya yok edilemez, sadece taşınabilir. (4.15) eşitliğinin sol tarafındaki kapalı yüzey integrali diverjans teoremi uygulanarak bir hacim integraline dönüştürülebilir. İlgili bölge durgun olduğundan zamana göre diferansiyel hacim yük yoğunluğunun kısmi türevi ile değiştirilebilir. Şimdi (4.15) ∂ρ v ∇ ⋅ Jdv = − dv v v ∂t ∫ ∫ veya ∂ρ v ∇ ⋅ J + dv = 0 v ∂t ∫ olarak yazılabilir. İlgi altındaki hacim keyfi olduğundan önceki eşitliğin genelde doğru olması için tek yol integralin her noktada kaybolmasıdır. Buradan süreklilik eşitliğinin diferansiyel (nokta) biçimi ∂ρ ∇⋅J + v = 0 ∂t (4.16a) ∂ρ ∇⋅J = − v ∂t (4.16b) elde edilir ve bu eşitlik olarak da yazılabilir. (4.16) eşitliği değişen yük yoğunluğu ( ρ v ) noktalarının J hacim akım yoğunluğuna kaynaklık ettiğini ifade etmektedir. İletken ortamda kararlı (doğru) akımı sürdürmek için değişen yük yoğunluğunun hiç noktası (kaynağı) olmayabilir. Bu durumda (4.16) 0 ∫ J ⋅ ds = s (4.17a) veya ∇⋅J = 0 (4.17b) olur. (4.17a) eşitliği herhangi bir kapalı yüzey boyunca net kararlı akımın sıfır olduğunu ifade etmektedir. Eğer kapalı s yüzeyi bir nokta olarak büzülürse (4.17a) Kararlı Elektrik Akımları 283 ΣI = 0 (4.17c) olarak yorumlanabilir ki bu Kirchhoff akım kanununun bir ifadesidir. Yani bir noktada (jonksiyon veya düğüm) akımların cebirsel toplamı sıfırdır. (4.17b) eşitliği Iletken ortam içinden geçen kararlı akımın oluşturduğu akım yoğunluğunun selenoidal veya sürekli olması anlamındadır. (4.17b)’de J = σE konularak ∇ ⋅ (σE) = 0 veya σ∇ ⋅ E + E∇σ = 0 (4.18) elde edilir. Homojen ortam için ∇σ = 0 olduğundan (4.18) ∇⋅E = 0 olur. E = −∇V konularak 4.18 eşitliği ∇ 2V = 0 (4.19) olarak yazılabilir. (4.19) eşitliği iletken ortam içindeki potansiyel dağılımın ortam homojen ve akım dağılımı zamanla değişmediği sürece Laplace eşitliğini doyurduğunu açıkça ifade etmektedir. ÖRNEK 4.3 Her biri A kesit alanlı, sonsuz öziletkenlikte iki paralel levha arasındaki uzaklık l’dir. Şekil 4.6’da görüldüğü gibi levhalar arasındaki potansiyel fark V ab ’dir. Levhalar arasındaki ortam homojen ve özIletkenliği, σ sonlu ise levhalar arasındaki bölgenin direncini belirleyiniz. Şekil 4.6 Arasında iletken ortam bulunan iki paralel levha ÇÖZÜM Her paralel levhanın direnci sonsuz iletkenliğinden dolayı sıfırdır. (4.19) homojen ve iletken ortamda potansiyel dağılımın belirlenmesi için kullanılabilir. Potansiyel dağılımın sadece z’nin bir fonksiyonu olması beklenir. (4.19)’dan d 2V =0 dz 2 ve iki kere integral sonucu 284 Elektromanyetik Alan Teorisi V = az + b elde edilir; a ve b integrasyon sabitleridir. Sınır şartları uygulanarak z = 0’da V = 0 → b = 0 ve z = l ’da V = V ab → a = V ab /l elde edilir. Böylece levhalar arası iletken ortamdaki potansiyel dağılım aşağıdaki gibi bulunur. z V = Vab l İletken ortamdaki elektrik alan şiddeti, V ∂V E = −∇V = − a z = − ab a z ∂z l ve ortamdaki akım yoğunluğu, σV J = σE = − ab a z l bulunur ve buradan J ’ye normal yüzeydeki akım, I= σ AVab J ∫s ⋅ ds = l dan son olarak iletken ortamın direnci R= Vab l = I σA (4.20) bulunur ki bu iletken telin direnci için daha önce elde edilen ifade ile aynıdır. Gerçekte bu eşitlik herhangi bir homojen, düzgün kesitli iletken ortamın direncinin belirlenmesinde kullanılabilir. Şekil 4.7 n sayıda elemana (hücre) bölünmüş homojen olmayan iletken ortam (sadece i. eleman gösterilmiştir) Homojen olmayan, iletken ortamın direncinin belirlenmesi için (4.20) doğrudan kullanılamaz. Bunun yanında n→∞ iken dl→0 gibi her biri dl uzunluğunda bölge n elemana bölünürse bu durumda şekil 4.7’de görüldüğü gibi her elemanın sabit iletkenlikte olduğu varsayılabilir. (4.20) den i. elemanının direnci, Kararlı Elektrik Akımları 285 R= dli σ i Ai ifadesinde dl i σ i ve A i sırasıyla i. elemanın uzunluğu, iletkenliği ve kesit alanıdır. Böylece birbirine seri bağlanmış n elemanın toplam direnci, R= n ∑ N dli i =1 i ∑σ A (4.21a) dl σA (4.21b) Ri = i =1 i olup n→∞ iken dl→0 limitinde (4.21a) R=∫ c olur. Eğer iletkenlikteki değişimler kesintili ise (4.21a) iletken ortamın toplam direncinin belirlenmesinde kullanılabilir. İletkenlik uzunluğun bir fonksiyonu olarak verilmişse (4.21b), (4.18) veya (4.10) homojen olmayan iletken ortamın direncinin hesaplanmasında kullanılabilir. ÖRNEK 4.4 Şekil 4.8’de görüldüğü gibi σ = m / ρ + k öziletkenliğinde bir malzeme (m ve k sabitlerdir) a ve b yarıçaplı eşmerkezli silindirik iletkenler arasındaki boşluğu doldurmaktadır. V o iki iletken arasındaki potansiyel fark ve her iletkenin uzunluğu L ise malzemenin direnci, akım yoğunluğu ve malzemedeki elektrik alan şiddeti ifadelerini elde ediniz. Şekil 4.8 Eş merkezli silindirik iki iletken arasındaki homojen olmayan iletkenden geçen akım ÇÖZÜM (a) Metot 1: (4.21b) kullanılarak direnci hesaplayalım. Herhangi bir ρ yarıçapında diferansiyel uzunluk dρ ve kesit alanı 2πρL ’dir. Malzemenin direnci aşağıdaki gibi bulunur. R= b dρ b dρ 1 ∫ (m / ρ + k )2πρL = ∫ (m + kρ )2πL = 2πLk ln(m + kρ ) a a b a = 1 m + kb ln 2πLk m + ka M m + kb olarak alınırsa R = olur. M = ln 2πLk m + ka (b) Metot 2: (4.10) malzemenin direncinin belirlenmesinde kullanılsın. Herhangi bir kesit alanından geçen toplam I akımının aynı olması gerektiğinden malzemedeki J akım yoğunluğu J= I 2πρL aρ 286 Elektromanyetik Alan Teorisi dir ve I akımı henüz bilinmemektedir. Ortamdaki elektrik alan şiddeti, J E= = σ I aρ 2πL(m + kρ ) den iki iletken arasındaki potansiyel fark, a Id ρ I IM m + kb ln Vo = − ∫ E ⋅ dl = = = ∫ 2π L(m + k ρ ) 2π Lk m + ka 2π Lk c b bulunur ve iletken malzemenin direnci, R= Vo M = I 2πLk ile iletken malzemeden geçen akım aşağıdaki gibi elde edilir. I= 2πLk Vo M Buradan ortamdaki elektrik alan şiddeti ve akım yoğunluğu sırasıyla E= 2πLk Vo k M aρ = Voa ρ (m + kρ ) M 2πL(m + kρ ) ve m + kρ k k Voa ρ = J = σE = Voa ρ Mρ ρ (m + kρ ) M olarak bulunur. Bu metot uzun olmakla beraber ortamdan kararlı bir akım geçtiğinde kullanışlıdır. Burada ilgi noktası (a) İletken ortamda E ve D alanlarının, (b) İletkenlerdeki yüzey yük yoğunluklarının, (c) ortam içindeki hacim yük yoğunluğunun ve (d) İletken ortamdaki toplam yükün belirlenmesidir. ALIŞTIRMALAR k 7. Örnek 4.4’de J = Vo a ρ hacim akım yoğunluğunun 4.17b ⇒ ∇ ⋅ J = 0 ile uyuştuğunu Mρ gösteriniz. 8. Örnek 4.4’de ε iletken malzemenin elektriksel geçirgenliği ise (a) ortamdaki elektrik akı yoğunluğunu, (b) iç iletkendeki yüzey yük yoğunluğunu ve toplam yükü, (c) dış iletkendeki yüzey yük yoğunluğu ve toplam yükü ve (d) ortamdaki hacim yük yoğunluğunu ve toplam yükü belirleyiniz. 9. Örnek 4.4’ü (4.18)’i kullanarak tekrar ediniz. Kararlı Elektrik Akımları 287 10. 10 cm ≤ r ≤ 21 cm , 30° ≤ θ ≤ 45° ve π / 6 ≤ φ ≤ π / 3 ile sınırlanan homojen iletken ortamın iletkenliği 0,4 S/m dir. θ= 45° ’deki yüzey toprak potansiyelinde ve θ= 30° ’deki yüzey 100 V’tadır. Laplace eşitliğini kullanarak ve kenar etkilerini ihmal ederek ortamın direncini belirleyiniz. 11. Önceki alıştırmada iletken ortamın elektriksel geçirgenliği ε = 5ε o ise (a) ortamdaki elektrik akı yoğunluğunu, (b) θ = 45° ’de iletkendeki yüzey yük yoğunluğunu ve toplam yükü, (c) θ = 30° de iletkendeki yüzey yük yoğunluğunu ve toplam yükü ve (d) ortamdaki hacim yük yoğunluğunu ve toplam yükü belirleyiniz. 4.5 DURULMA ZAMANI Üzerinde fazladan ρ v yük yoğunluğu bulunan, ε geçirgenliği ve σ öziletkenliği ile yalıtılmış, doğrusal, homojen ve izotropik bir ortamı dikkate alalım. Daha önce bahsedildiği gibi, yükler arasındaki elektrostatik itme kuvveti elektrostatik dengenin kazanılması için ortamın çevreleyen yani dış yüzeyi üzerine fazla yükleri hareket ettirecektir. Yüklerin bu göç işlemi süresince süreklilik eşitliliğinin sağlanması gerekir. Yani ortamda herhangi bir noktada ∂ρ ∇⋅J + v = 0 ∂t olur ve bu eşitlikte J = σE konularak σ∇ ⋅ E + ∂ρ v =0 ∂t ve ∇ ⋅ E yerine ρ v / ε konularak ∂ρ v σ + ρv = 0 ∂t ε elde edilir ki bu hacim yük yoğunluğu (ρ v ) ile birinci derece diferansiyel eşitliktir. Bunun çözümü ∫ dρ v ∫ / ρ v = −(σ / ε ) dt → ln ρ v − ln ρ o = −(σ / ε )t ρv = ρo e − (σ / ε )t (4.22) dir; ρ o yük yoğunluğu t=0 ’daki hacim yük yoğunluğudur. (4.22) eşitliği denge pozisyonuna üstel olarak ulaşıldığını vurgulamaktadır ve teorik olarak iletken ortam içerisindeki fazladan yüklerin tamamının kaybolması sonsuza dek zaman alacaktır. ε / σ oranı zaman boyutunda olup aşağıdaki gibi durulma zamanı, τ olarak adlandırılır. τ= ε σ (4.23) Durulma zamanı iletken ortamın ne hızda elektrostatik dengeye yaklaştığının bir ölçüsüdür ve gerçekte herhangi bir ortamda yük için başlangıç değerinin 1/e (% 36,8)’ine inmesi için gereken 288 Elektromanyetik Alan Teorisi zamandır. t=5τ zamanına kadar ortam içindeki yük yoğunluğu başlangıç değerinin % 1’inden daha aşağı değerine düşecektir. Genelde iletken ortamın 5 durulma zamanından sonra denge durumunu kazanmış olduğu ifade edilebilir. Durulma zamanı ortamın öziletkenliği ile ters orantılıdır - öziletkenliğin büyük olması iletken ortamın elektrostatik dengeyi kazanması için gereken zamanı azaltacaktır. Bakır için σ=5,8×107 S/m ve ε≈ε o ile durulma zamanı τ=1,52×10-19 saniyedir. Bakırın elektrostatik dengeyi hemen hemen aniden kazandığı söylenebilir. Diğer taraftan saf su için durulma zamanı 40 ns ve amber için 70 dakikadır. ÖRNEK 4.5 Bir miktar yük yalıtılmış iletkenin içine konulmuştur. Yükü sınırlayan kapalı yüzeyden geçen akım i(t)=0,125e-25t A olarak gözlenmiştir. (a) durulma zamanını, (b) başlangıç yükünü ve (c) t=5τ zamanında yüzeyden iletilen yükü belirleyiniz. ÇÖZÜM Durulma zamanı τ =1/25 = 0,04 s dir. t e −25t t zamanında yüzeyden geçen yük 0,125 e −25t dt = − 0,125 0 25 t ∫ ∫ t ∫ 0 = 5 × 10−3 (1 − e −25t ) t Q = idt = 0,125 e −25t dt = 5(1 − e −25t ) mC 0 0 (4.24) ifadesinde t=5τ=0,2 s konularak kapalı yüzeyden geçen yük, Q = 4,97 mC olarak elde edilir. Bunun yanında (4.24)’de t=∞ konularak kapalı yüzeyden geçmiş olan toplam yük 5 mC olarak elde edilir. Yükün daha ileri bir iletimi olmadığından yüzeyden geçen akım sıfırdır. Bu yüzden iletkenin içine yerleştirilen toplam yük t=0’da 5 mC olmalıdır. ALIŞTIRMALAR 12. Ortamdaki hacim akım yoğunluğu= J sin(10 x)a x + ya y + e −3 z a z A/m 2 ise hacim yük yoğunluğunun zamanla değişim oranını belirleyiniz. 13. Önceki alıştırmayı J e − βρ cos φ a ρ + ln(cos β z )a z A/m 2 için tekrar ediniz. = 14. Sabit ε geçirgenliğinde ve σ öziletkenliğinde 10 cm yarıçapında bir silindir t=0 3 zamanında ρ o = 10 μC/m ’lük bir yük yoğunluğu ile 2 cm yarıçapına kadar düzgünce yüklenmiştir. (a) her zaman için yük dağılımını, (b) boşlukta her yerdeki elektrik alan şiddetini, (c) dış yüzeydeki yük yoğunluğunu ve (d) iletim akım yoğunluğunu belirleyiniz. Yük iletim işleminin 5 durulma zamanı aldığını varsayarak (i) bakır silindir, (ii) alüminyum silindir, (iii) karbon silindir ve (iv) quartz silindirin dış yüzeyinde yükün birikimi için ne kadar zaman geçecektir? Kararlı Elektrik Akımları 289 4.6 JOULE KANUNU Elektrik alanının etkisi altında yüklerin ortalama U hızı ile hareket ettikleri bir ortamı dikkate alalım. Eğer ρ v hacim yük yoğunluğu ise dv hacminde yüke etkiyen kuvvet dF = ρ v dvE dir ve yükler dl = Udt olacak şekilde dt zamanında bir dl uzaklığına gitmişse elektrik alanı tarafından yapılan iş dW =dF ⋅ dl =ρ v U ⋅ E dv dt =J ⋅ E dv dt olur; J = ρ v U dir. Güç birim zaman başına iş olduğundan elektrik alanı ile sağlanan güç dW = J ⋅ E dv dt dp= ile ifade edilir. Bu ifade dp = p dv şeklinde tanımlanırsa güç yoğunluğu, p (birim hacim başına güç) p= J ⋅ E (4.25a) olarak yazılabilir. (4.25a) eşitliği Joule kanununun nokta (veya diferansiyel) biçimi olarak adlandırılır. Elektrik alanı tarafından birim hacim başına verilen güç elektrik alan şiddeti ve hacim akım yoğunluğunun skaler çarpımı anlamına gelmektedir. Buna göre v hacmini ilgilendiren güç = P ∫ v p dv = ∫ v J ⋅ E dv (4.25b) ile verilir ve bu eşitlik Joule kanununun integral biçimi olarak adlandırılır. İletken ortamda serbest yüklerin hareketi yer alırsa E alanı ile oluşturulan kuvvetler çarpışma işlemi süresince momentteki kayıp ile dengelenir. Bu durumda elektrik alanı ile verilen güç ısı olarak kaybolur yani dirençlerin Ohmik veya Joule ısınmasıyla sonuçlanır. Bu durumda p güç yoğunluğu birim hacim başına üretilen ısının zaman oranını temsil eder. Doğrusal iletken için J = σE olduğundan birim hacim başına kaybolan güç p = σ E ⋅ E= σ E2 (4.26a) P = ∫ σE 2 dv (4.26b) ve toplam güç kaybı v dir. L uzunluğunda ve A düzgün kesit alanında bir iletkenin iki ucu arasındaki potansiyel fark V ise güç yoğunluğu, 290 Elektromanyetik Alan Teorisi 2 V p = σ W/m³ L ve ısı olarak iletkenden kaybolan güç, P= σAV 2 L = V2 W R (4.27a) olur; R = L / σA iletkenin direncidir. (4.27a) eşitliği Joule kanununun eşdeğer bir biçimi olup elektrik devre teorisinde dirençten ısı olarak kaybolan gücün belirlenmesinde yaygın olarak kullanılır. P = I 2R (4.27b) ifadesinin doğrulanması öğretici olacaktır. Bu ifade Joule kanununun diğer bir eşdeğer biçimi olup doğrusal bir iletkende ısı kayıp oranının akımın karesi ile değiştiğini ifade etmektedir. ÖRNEK 4.6 Plakaları 10 cm × 10 cm ve 0,2 cm açıklığında olan paralel plakalı bir kapasitör ε r =2 ve σ=4×10-5 S/m olan bir ortam içermektedir. Ortamın içinden kararlı bir akımı sürdürmek için plakalar arasına 120 V’luk bir potansiyel farkı uygulanmıştır. Elektrik alan şiddetini, hacim yük yoğunluğunu, güç yoğunluğunu, güç kaybını, akımı ve ortamın direncini belirleyiniz. ÇÖZÜM z=0’da alt plakanın potansiyeli 0 V ise z=0,2 cm’de üst plakanın potansiyeli 120 V’tur. Ortamdaki elektrik alan şiddeti, 120 E=− a z = −60a z kV/m 0,002 ve σ = 4×10-5 S/m’lik ortam için akım yoğunluğu, J = −4 × 10−5 × 60 × 103 a z = −2,4a z A/m2 ile ortamdan geçen akım, I = ∫ J ⋅ ds = 2, 4 × 100 × 10−4 = 24 mA s bulunur. Ortamdaki güç yoğunluğu, p = J ⋅ E = 2, 4 × 60 × 103 =144 kW/m3 ve ortamdaki toplam güç kaybı, P = ∫ pdv = 144 × 10 3 × 100 × 10 −4 × 0,2 × 10 −2 = 2,88 W v olduğundan, P = I 2 R ile ortamın direnci aşağıdaki gibi hesaplanır. Kararlı Elektrik Akımları 291 R= 2,88 = 5000 Ω veya 5 kΩ (24 × 10 −3 ) 2 ALIŞTIRMALAR 15. Direnç kavramını kullanarak Örnek 4.6’daki ortamın direncinin 5 kΩ olduğunu gösteriniz. Aynı zamanda akımı ve ortamda ısı olarak güç kaybını da doğrulayınız. 16. Her biri 5 cm yarıçapında dairesel iki metal plaka paralel plakalı kapasitör oluşturacak şekilde 5 cm açıklıkla tutuluyor. Aradaki boşluk birisi 3 cm kalınlığında, öziletkenliği 40 µS/m ve dielektrik katsayısı 5 olan ve diğeri 2 cm kalınlığında, öziletkenliği 60 µS/m ve dielektrik katsayısı 2 olan iki dilim kayıplı dielektrik ile dolduruluyor. Plakalar arasındaki 200 V potansiyel fark ile ortamdan kararlı bir akım geçiriliyor. Her bölgedeki elektrik alan şiddeti, akım yoğunluğu, güç yoğunluğu ve güç kaybı nedir? Her bölgenin direncini bulunuz. Toplam direnç nedir? Her plakadaki yük yoğunluğu ve iki dilim arasındaki ara yüzeydeki serbest yük yoğunluğunu bulunuz. 17. Önceki alıştırmada aşağıdaki şekildeki gibi dielektrik dilimlerin yerleri değiştirilirse iki dilim arasındaki ara yüzeydeki serbest yük yoğunluğuna ne olur? Serbest yük yoğunluğu hangi durumda sıfır olur? 4.7 DİYOTTAKİ KARARLI AKIM Şekil 4.9’da görüldüğü gibi paralel iki plakadan oluşan diyot dikkate alınsın. Plakanın biri katot ve diğeri anottur. Anot V o pozitif geriliminde tutulmakta ve katot topraklanmıştır. Plakaların alanı aralarındaki açıklığa kıyasla çok büyükse potansiyel dağılım sadece z’nin bir fonksiyonu olacaktır. Böylece bölgede herhangi bir noktadaki elektrik alan şiddeti aşağıdaki gibi ifade edilir. dV E=− az dz Şekil 4.9 Vakum tüplü diyot Katot elektron yayması için ısıtılmaktadır ve buradan çıkan elektronlar E alanının etkisi altında anoda doğru hareket ederler. U = Ua z herhangi bir t zamanında elektronun hızı olsun. m elektronun kütlesi ve -e yükü ise bu durumda elektrona etkiyen kuvvet − eE ’dir. Bu kuvvet m dU dV az = e az dt dz 292 Elektromanyetik Alan Teorisi mU dU dV =e dz dz veya d 1 mU 2 − eV = 0 dz 2 olarak elektronun hızlanmasını açıklamaktadır. Her iki tarafın integrali alınarak 1 mU 2 = eV + c 2 elde edilir; c integrasyon sabitidir. Eğer elektron katotta (V=0) durgun olarak (U=0) başlarsa bu durumda c = 0 ile önceki eşitlik 1 mU 2 = eV 2 (4.28) olur. (4.28) eşitliği elektrik alanı tarafından verilen potansiyel enerjinin elektronda kinetik enerjiye dönüştürüldüğünü ifade etmektedir. Plakalar arasında herhangi bir noktada elektronun hızı 2eV U = m 1/ 2 (4.29) dir ve U’nun belirlenmesi için plakalar arasındaki potansiyel dağılımın (V) bilinmesi gerekir. Bunun yanında plakalar arasındaki potansiyel dağılımın d 2V ρ =− v 2 εo dz (4.30) Eşitliğinde olduğu gibi Poisson eşitliğini doyurması gerekir. ρ v =-Ne ve N bölgede birim hacim başına elektron sayısıdır. Ek olarak J = ρ v U = ρ vUa z = Ja z dir. Kararlı akım için ∇ ⋅ J = 0 ⇒ J = ρ v U = sabit ’tir. Bu yüzden U artarken ρ v azalır. Böylece hacim yük yoğunluğu ρv = J 2eV m olarak ifade edilebilir; K= dir. (4.30)’dan ρ v elimine edilerek J 2e m = K V (4.31) Kararlı Elektrik Akımları 293 d 2V K =− 2 dz εo V elde edilir. İntegral alınarak 2 K dV V +k = −4 εo dz elde edilir; k diğer bir integrasyon sabitidir. Katotta z=0, V=0 ve dV/dz=0 böylece integrasyon sabiti k = 0 olur. Buna göre 4K dV = − dz 1/ 4 εo V olur ki tekrar integrasyonla 4K 4 3/ 4 z + k1 V = − εo 3 elde dilir; k 1 diğer bir integrasyon sabiti olup z=0’da V=0 olduğundan yine sıfırdır. Buradan 16 3 / 2 J V = −4 9 εo m 2 z 2e (4.32) bulunur ve z=d için V=V o olduğundan son olarak 4 ε 2e J = − o2 (Vo )3 / 2 m 9 d (4.33) elde edilir. Bu eşitlik Child-Langmuir ilişkisi olarak adlandırılan doğrusal olmayan bir ilişkidir çünkü akım yoğunluğu ve dolayısiyle akım V o 3/2 ile orantılıdır. +z yönünde hareket eden bir elektron akıntısının –z yönünde bir akım oluşturması gerektiğinden akım yoğunluğu J ’nin negatif olduğuna dikkat edilmelidir. Paralel plakalar arasındaki potansiyel dağılımın, z V = Vo d 4/3 (4.34) olduğu da gösterilebilir ve plakalar arasındaki bölgedeki elektrik alan şiddeti, 1/ 3 4V z dV E=− az = − o az 3d d dz (4.35) dir ki z=0’da E alanının sıfır olduğunu açıkça göstermektedir. Bu pratikte küçük fakat sonlu bir değer alacaktır. Son olarak Poisson eşitliğinden uzay yük yoğunluğu aşağıdaki gibi bulunur. 294 Elektromanyetik Alan Teorisi ρv = − 4ε oVo −2 / 3 z 9d 4 / 3 (4.36) ÖRNEK 4.7 Bir vakum tüpü diyotunun anodu 1000 V’ta ve katot topraklanmıştır. Plakalar 5 cm açıklıktadır. Diyottaki (a) potansiyel dağılım, (b) elektrik alan şiddeti, (c) hacim yük yoğunluğu ve (d) yük yoğunluğunu belirleyiniz. ÇÖZÜM (a) (4.34)’den plakalar arasındaki potansiyel dağılım: 4/3 z = V 1000 = 54, 288 z 4/3 kV 0,05 (b) (4.35)’den elektrik alan şiddeti: 1/3 4 × 1000 z − −72,384 z1/3a z kV/m E= az = 3 × 0,05 0,05 (c) (4.33)’den akım yoğunluğu: 2 × 1,6 × 10−19 4 10−9 J= − 2 9 36π (0,05) 9,11 × 10−31 1/ 2 × 10003/ 2 a z = −29, 42a z A/m 2 (d) (4.36)’dan uzay yük yoğunluğu: 4 × 10−9 × 1000 ρv = z −2/3 = − −213,34 z −2/3 nC/m3 36π × 9 × (0,05) 4/3 ALIŞTIRMALAR 18. Örnek 4.7’deki her plaka 10 cm kenarında kare biçimli ise diyottaki akımı elde ediniz. Elektronun maksimum hızı nedir? E alanı ile sağlanan maksimum enerji nedir? 19. Önceki alıştırmayı anottaki potansiyeller (a) 500 V ve (b) 5000 V ise tekrar ediniz. 20. Örnek 4.7’yi anottaki potansiyeller (a) 500 V ve (b) 5000 V ise tekrar ediniz. 4.8 AKIM YOĞUNLUĞU İÇİN SINIR ŞARTLARI Bu kısımda, J akım yoğunluğunun σ 1 ve σ 2 öziletkenlikli ortamlar arasındaki ara yüzeyden geçerken nasıl değiştiği irdelenmektedir. Şekil 4.10’da görüldüğü gibi bir hap kutucuğu veya tablet biçiminde kapalı bir yüzey oluşturulsun. Kutucuğun yüksekliği, radyal yüzeyinden akıma katkısı ihmal edilebilecek kadar çok küçüktür. Kararlı Elektrik Akımları 295 Şekil 4.10 J ’nin normal bileşeni için sınır şartları ∫ s J ⋅ ds = 0 integrali h → 0 iken kutucuğun kapalı s yüzeyi üzerinde hesaplanarak a n ⋅ J1∆ s − a n ⋅ J 2 ∆ s =0 a n ⋅ ( J1 − J 2 ) = 0 (4.37a) J n1 = J n 2 (4.37b) veya bulunur; n indisi alan miktarının normal bileşenini göstermektedir. (4.37) eşitliği elektrik akım yoğunluğu J ’nin normal bileşeninin sınır boyunca sürekli olduğunu ifade etmektedir. E alanının tanjant bileşeni a n × [E1 − E 2 ] = 0 sınır boyunca sürekli ve J = σE olduğundan ara yüzeydeki (şekil 4.11) J ’nin tanjant bileşen eşitliği J1 J 2 an × − = 0 σ 1 σ 2 (4.38a) J t1 σ 1 = J t2 σ 2 (4.38b) veya olarak yazılabilir; t indisi alan miktarının tanjant bileşenini ima etmektedir. (4.38) eşitliği ara yüzeydeki akım yoğunluklarının tanjant bileşenlerinin oranının öziletkenliklerin oranına eşit olduğu anlamına gelmektedir. 296 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 4.11 Ara yüzeyin hemen altı ve hemen üzerindeki akım yoğunluklarının normal ve tanjant bileşenleri (4.37), (4.38) ve şekil 4.11’den J n1 J σ1 = n2 σ 2 J t1 Jt 2 veya tan θ1 σ 1 = tan θ 2 σ 2 (4.39) elde edilir. Özel bir durum olarak zayıf öziletkenlikli bir bölge (ortam 1) ve yüksek öziletkenlikli bir bölge (ortam 2) arasındaki ara yüzey dikkate alınsın. Eğer θ 2 açısı 0° ve 90° arasında bir açı ise bu durumda (4.39)’dan σ 2 >>σ 1 den dolayı θ 1 çok küçük bir açı olacaktır. Başka ifadeyle ortam 1’de J ve E hemen hemen ara yüzeye normaldir. Bu yüzden tanjant bileşenleri ihmal edilebilir kadar küçüktür. Diğer taraftan ortam 2’de E ’nin normal bileşeni, En 2 = σ1 E n1 σ2 (4.40) olup bu da çok küçüktür. Bu yüksek iletkenlikli ortamda pratik olarak E alanının olmaması anlamına gelmektedir. Bu yüzden ara yüzeyde bir serbest yük yoğunluğunun olması gerekir. D alanının normal bileşenlerinden serbest yüzey yük yoğunluğu, ρ s = Dn1 − Dn 2 = Dn1 1 − ε1 ε 2 ε1σ 2 − ε 2σ 1 σ 1ε 2 = J n1 − = En1 σ 2ε1 σ2 σ1 σ 2 (4.41) olarak hesaplanabilir. (4.41) eşitliği ortam 1 de J ’nin normal bileşeni ile yüzey yük yoğunluğunu verir. Benzer bir ifade ortam 2 de J ’nin normal bileşeni ile de elde edilebilir. ÖRNEK 4.8 Ortam 1’in dielektrik sabiti 2 ve öziletkenliği 40 µS/m’dir. Ortam 2’nin (z≤0) dielektrik sabiti 5 ve öziletkenliği 50 nS/m dir. J 2 ’nin büyüklüğü 2 A/m2 ve θ 2 =60° ise J 1 ve θ 1 ’i hesaplayınız. Ara yüzeydeki yüzey yük yoğunluğu nedir? ÇÖZÜM Verilen bilgiden J n 2 = 2 cos 60° = 1 A/m2 ve J t 2 = 2 sin 60° = 1,732 A/m2 Kararlı Elektrik Akımları 297 olarak hesaplanır. Sınır şartından (4.37b), J n 2 = J n1 = 1 A/m2 dir. Sınır şartı uygulanarak (4.38b), J t1 = 40 × 10 −6 × 1,732 = 1385,6 A/m2 50 × 10 − 9 ve buradan J1 =+ 12 1385,62 ≈ 1385,6 A/m 2 ve θ = tan −1 (1385,6) = 89,96° hesaplanır. Son olarak (4.41)’den yüzey yük yoğunluğu aşağıdaki gibi hesaplanır. 2 5 10 −9 ρ s = 1 − = −0,88 mC/m2 −6 50 × 10−9 36π 40 × 10 ALIŞTIRMALAR 21. Ortam 1’deki akım yoğunluğunun normal bileşen terimi J n1 ve ortam 2’deki akım yoğunluğunun normal bileşen terimi J n 2 ile farklı öziletkenliklerde iki iletken ortam arasındaki ara yüzeydeki yüzey akım yoğunlukları ρ s ifadelerini elde ediniz. 22. Ortam 1’deki (x ≥ 0, ε r1 = 1 ve σ 1 = 20 µS/m) hacim akım yoğunluğu J1 = 100a x + 20a y − 50a z A/m2 dir. Ortam 2 deki (x ≤ 0, ε r2 = 5, σ 2 = 80 µS/m) hacim akım yoğunluğunu elde ediniz. Ara yüzeydeki θ 1 , θ 2 ve ρ s ’yi de hesaplayınız. Ara yüzeyin her iki yanındaki E ve D alanları nedir? 4.9 D VE J ARASINDAKİ BENZERLİK Şimdi statik (zamanla değişmeyen) şartlar altında D ve J alanları arasında benzerlik olduğunun vurgulanması avantajlı olacaktır. Bununla iki alanın aynı matematiksel biçimdeki eşitliklerle tanımlanabileceği anlaşılabilir. Örneğin kararlı akım için ∇⋅J = 0 (4.42a) ∇⋅D = 0 (4.42b) J = σE (4.43a) D = εE (4.43b) ve yüksüz bir ortamda dir çünkü benzerliği vardır. ∇×E = 0 298 Elektromanyetik Alan Teorisi ile sabit ε geçirgenliğinde ve σ öziletkenliğinde doğrusal bir ortam için ∇×J = 0 (4.44a) ∇×D = 0 (4.44b) yazılır. İki iletken ortam arasındaki ara yüzeyde normal bileşenlerin sürekliliğinden iki dielektrik ortam arasında J n1 = J n 2 (4.45a) Dn1 = Dn 2 (4.45b) J t1 σ 1 = J t2 σ 2 (4.46a) Dt1 ε1 = Dt 2 ε 2 (4.46b) ve tanjant bileşenlerinin sınır şartlarından ve ifadeleri elde edilir. Bu ifadelerden J eşitliklerinin elde edilebilmesi için elektrostatik alan eşitliklerinde, D yerine J ve ε yerine σ konulması yeterli olacaktır. Yüksüz bir ortamda D ve J alanları arasındaki benzerliği kullanmak için ortam dielektrik varsayılarak önce D alanı belirlenir. Daha sonra ε yerine σ konularak akım yoğunluğu elde edilebilir. Aşağıdaki örnekte bu işlem açıklanmaktadır. ÖRNEK 4.9 Paralel plakalı bir kapasitörde iki plaka arasındaki potansiyel fark V o dır. Her plakanın alanı A, aralarındaki açıklık d ve iletken ortam ε geçirgenliği ve σ öziletkenliği ile karakterize ediliyorsa D ve J alanları arasındaki benzerliği kullanarak ortamdan geçen akımı belirleyiniz. ÇÖZÜM Paralel plakalı kapasitördeki elektrik alan şiddeti V E = − o az d dir ve burada plakalar arasındaki açıklık z yönünde ve z=0’daki alt plakaya göre z=d’deki üst plaka pozitif varsayılmıştır. Ortamdaki elektrik akı yoğunluğu D = εE ’den aşağıdaki gibi kolaylıkla yazılır. ε D = − Voa z d Yüksüz bir ortam için D ve J arasındaki benzerlik kullanılarak ε yerine σ konularak ortamdaki hacim akım yoğunluğu, Kararlı Elektrik Akımları 299 σ J = − Vo a z d elde edilebilir. Buradan ortamdan geçen akım I= olarak bulunur ve R = σ A Vo J ∫s ⋅ ds = d Vo = R d ortamın direncidir. σA Statik elektrik alanları bölümünde kapasitans = C ∫ ρ ds= ∫ ε E ds Q = Vab s s a − ∫ E ⋅ dl b n s − ∫ E ⋅ dl a (4.47) b olarak tanımlanmıştı; ρ s = εEn kapasitörün a iletkeninin yüzeyindeki yüzey yük yoğunluğudur. G iletkenliği direncin tersi olarak tanımlanırsa bu durumda (4.11)’den ∫ J ⋅ ds= ∫ σ E ds I = G = Vab s a − ∫ E ⋅ dl b n s − ∫ E ⋅ dl a (4.48) b elde edilir ve (4.47) ve (4.48) karşılaştırılarak G= σ C ε (4.49) bulunur. Bu eşitlik kapasitansı bilinen herhangi bir konfigürasyonun iletkenliğinin ve dolayısiyle direncinin bulunmasına yardım eder. ÖRNEK 4.10 Her biri A alanlı iki paralel plaka d uzaklığı ile ayrılmıştır. Plakalar arasındaki ortam öziletkenliği σ ve geçirgenliği ε’dir. Paralel plakalı kapasitörün direncini bulunuz. ÇÖZÜM Paralel plakalı kapasitörün kapasitansının aşağıdaki gibi olduğu biliniyor. C= εA d (4.49)’dan iletkenlik, G= σ σA C= ε d ve buradan kapasitörün plakaları arasındaki direnç aşağıdaki gibi elde edilir. 300 Elektromanyetik Alan Teorisi R= d 1 = G σA ÖRNEK 4.11 Eş merkezli iki metal küre arasındaki ortamın öziletkenliği σ ve geçirgenliği ε’dir. İç kürenin yarıçapı a ve dış kürenin iç yarıçapı b ise küreler arasındaki ortamın direncini belirleyiniz. ÇÖZÜM Statik elektrik alanları bölümünde eşmerkezli iki küre arasındaki kapasitans C= 4πεab b−a olarak ifade edilmişti. Buna göre (4.49)’dan iletkenlik, G= 4πσab b−a ve bundan küreler arasındaki bölgenin direnci aşağıdaki gibi bulunur. R= b−a 4πσab ÖRNEK 4.12 Çok uzun bir koaksiyel kablo arasındaki bölge σ öziletkenliğinde ve ε geçirgenliğinde malzeme ile doldurulmuştur. İç ve dış iletkenlerin yarıçapları sırasıyla a ve b ise iletkenler arasında birim uzunluk başına direnci bulunuz. ÇÖZÜM Koaksiyel kablonun birim uzunluk başına kapasitansı C= 2πε ln(b / a ) olarak elde edilmişti. ε ile σ ’nin yeri değiştirilerek birim uzunluk başına iletkenlik, G= 2πσ ln(b / a ) elde edilir. Buradan eş merkezli iki iletken arasında birim uzunluk başına direnç aşağıdaki gibidir. R= ln(b / a ) 2πσ 4.10 KISMİ DİRENÇ Bir hat yük yoğunluğunun çevresindeki alanların bulunması için hat yükünün sonsuz uzunlukta olduğu, paralel plakalı düzlem kapasitör içindeki alanların hesaplanmasında plakaların sonsuz uzunlukta olduğu ve bir küresel kapasitörde yüklerin (veya potansiyellerin) bulunduğu küresel kabukların tam küre olduğu varsayılmıştı. Sonlu uzunluktaki hat yükü veya sonlu uzunluktaki düzlem kapasitörün içindeki veya tam küre oluşturmamış iki küresel kabuk arasındaki alanların (ve kapasitansların) hesaplanmasında saçaklama etkisinden dolayı tam çözümün elde edilmesi sayısal veya özel çözüm tekniklerinin kullanılmasını gerektirir. Elektrostatikteki saçaklamadan Kararlı Elektrik Akımları 301 kaynaklanan çözüm zorluğunun tersine, iletim akımı saçaklama yapmadan sonlu bir hacime sıkıştırılabildiğinden, eş potansiyel yüzeyler arasındaki direnç 4.20 ile tanımlanan Ohm kanunu kullanılarak (eş potansiyel yüzeyler formüle edilebildiği sürece) kolaylıkla hesaplanabilir. Bulunan dirençten 4.49 yardımı ile kapasitans hesaplanabilir fakat burada saçaklamadan ve sonlu boyuttan kaynaklanan hatanın dikkate alınması gerekir. Eş potansiyel yüzeylerdeki akım yoğunluğunun belirlenmesinde, D ve J arasındaki benzerlikten yararlanılır. Örneğin şekil 4.12’de θ ve r ve şekil 4.13 ve 4.14’de λ ve µ (ve hatta φ)’nin sonlu değerleri ile sınırlanmış taralı bölgeler gibi sonlu küresel, basık küremsi ve sivri küremsi kabuklardaki akım yoğunlukları, bu kabukların sonlu olmayan tam boyutlarında uygulanan yük dağılımları dikkate alınarak kolaylıkla hesaplanabilir. Daha sonra oluşan eş potansiyel yüzeyler istenildiği yerde sınırlanarak aralarında kalan bölgenin kısmi direnci hesaplanabilir. Şekil 4.12 Küresel geometride, ρ2 a 2 sin 2 θ − ρ2 r2 + z2 ρ2 z2 + = 1 sabit küreler, veya = 1 a 2 (1 + λ2 ) a 2 (1 + λ2 ) r2 ρ2 z2 z2 − = 0 sabit koniler ve φ = tan −1 ( y / x) sabit veya = 0 2 2 2 2 2 2 a (1 − µ ) a µ a cos θ yüzeyleri ortogonal eş potansiyel yüzeyler oluşturur ( r 2 = a 2 (1 + λ2 ) , ρ = r sin θ ve µ = cosθ ’dir). 302 Elektromanyetik Alan Teorisi (a) Şekil 4.12’de, küresel koordinat sistemine uygun geometride akımın r, θ ve φ yönünde geçtiği durumlar için kısmi dirençler, Rr , Rθ ve Rφ diferansiyel uzunluk elemanları ile aşağıdaki gibi hesaplanır. Akım r yönünde: r Rr = ∫ → r2 r2 − dr r2 1 2 r r1 ∫ dr ∫ = θ = θ φ φ θ ∫θ rdθ ∫φ r sin θ dφ σ ∫θ sin θdθ ∫φ dφ σ − cosθ θ d r r = = → σsr σ d d→ σ θ φ r1 ∫ ∫ 2 1 Rr = r1 2 2 1 2 1 2 1 1 φ φ2 φ1 (r2 − r1 ) σ (cosθ1 − cosθ 2 )(φ2 − φ1 )(r1r2 ) (4.50) Akım θ yönünde: θ2 Rθ = ∫ dθ θ = = σsθ σ d→ d→ σ r φ ∫ ∫ 1 r2 φ2 ∫ dr ∫φ r1 θ2 ∫θ r sin θ dφ rdθ = 1 1 θ 2 = θ2 1 r2 φ2 r1 φ1 σ ∫ dr ∫ (1 − cosθ 2 ) 1 + cosθ1 ln (1 − cosθ ) 1 + cosθ 1 2 Rθ = σ (r2 − r1 )(φ2 − φ1 ) Burada, tan θ ln tan 2 θ 1 → ∫θ dφ 1 dθ = r φ sin θ σ r r2 φ φ2 1 1 (4.51) sin θ 1 − cosθ 1 − cosθ ’dir. = = sin θ 1 + cosθ 1 − cos 2 θ Akım φ yönünde: Rφ = φ σsφ = ∫ → dφ → → σ ∫ d r ∫ dθ Rφ = φ2 φ2 1 1 ∫φ r sin θ dφ = ∫φ dφ = θ θ dθ σ ∫ dr ∫ rdθ σ ∫ dr ∫ θ θ sin θ σ r r2 r1 r2 2 1 r1 2 1 (φ2 − φ1 ) (1 − cosθ 2 ) 1 + cosθ1 σ (r2 − r1 ) ln (1 − cosθ ) 1 + cosθ 1 2 φ φ φ2 1 θ2 θ ln tan r1 2 θ 1 r2 (4.52) (b) Şekil 4.13’de, basık küremsi koordinat sistemine uygun geometride akımın λ, µ ve φ yönünde geçtiği durumlar için Rλ , Rµ ve Rφ kısmi dirençleri diferansiyel uzunluk elemanları ile aşağıdaki gibi hesaplanır. Kararlı Elektrik Akımları 303 Şekil 4.13 Basık küremsi geometride, ρ2 a (1 − µ ) 2 2 − z2 a µ 2 2 ρ2 a 2 (1 + λ2 ) + z2 a 2λ2 = 1 aynı odaklı basık küreler, = 1 tek kanatlı hiperboloidler ve φ = tan −1 ( y / x) sabit yüzeyleri ortogonal eş potansiyel yüzeyler oluşturur ( ρ = a (1 + λ2 )(1 − µ 2 ) , z = aλµ ve µ = cosθ ’dir). Akım λ yönünde: λ2 → Rλ = λ = σsλ ∫ dλ = σ ∫ d µ ∫ dφ σ µ a ∫µ → → 2 1 ∫λ 1 a λ2 + µ 2 dλ 1 + λ2 φ2 λ + µ2 dµ ∫ a (1 + λ2 )(1 − µ 2 ) dφ 2 φ1 1− µ 2 304 Elektromanyetik Alan Teorisi λ2 −1 λ2 1 ∫λ 1 + λ dλ = tan λ Rλ = µ φ µ φ σa ∫ dµ ∫ dφ σa µ µ φ φ µ φ 2 1 1 2 2 1 Rλ = 2 2 1 1 1 tan −1 λ2 − tan −1 λ1 σa( µ 2 − µ1 )(φ2 − φ1 ) (4.53) λ1 = 0, λ2 = ∞, µ1 = 0, µ 2 = 1, φ1 = 0 ve φ2 = 2π iken hesaplanan direnç, Rλ = tan −1 ∞ π / 2 1 = = σ 2πa σ 2πa σ 4a (4.54) yayılım (veya Holm) direnci olarak adlandırılır. Akım µ yönünde: µ2 ∫µ → Rµ = µ = σsµ ∫ d µ = σ ∫ d λ ∫ dφ σ λ a ∫λ → 1 → φ2 λ + µ2 dλ ∫ a (1 + λ2 )(1 − µ 2 ) dφ 2 φ1 1+ λ 1 Rµ = ∫µ 1 1 dµ 1− µ2 λ2 φ2 λ1 φ1 σa ∫ dλ ∫ dφ = λ2 + µ 2 dµ 1− µ2 2 2 µ2 a µ2 ( µ + 1) ln ( µ − 1) µ1 φ2 λ2 2σa λ λ φ φ 1 1 ( µ 2 + 1)( µ1 − 1) ( µ 2 − 1)( µ1 + 1) Rµ = 2σa (λ2 − λ1 )(φ2 − φ1 ) ln Akım φ yönünde: Rφ = φ = σsφ ∫ → φ2 → d φ → σ ∫ d λ × ∫ d µ = ∫φ λ2 σ∫ a λ1 φ2 Rφ = a (1 + λ2 )(1 − µ 2 ) dφ 1 ∫φ µ2 λ2 + µ 2 λ2 + µ 2 d λ a ∫µ1 1 − µ 2 dµ 1 + λ2 dφ 1 σa ∫ λ2 λ1 µ2 λ2 µ2 µ 2 1 1 λ2 + µ σ λ d λ d a d ∫λ1 1 + λ2 ∫µ1 1 − µ 2 dµ 1 + λ2 ∫µ1 1 − µ 2 (4.55) Kararlı Elektrik Akımları 305 φ Rφ = φ φ2 1 µ µ λ λ2 1 λ2 1 µ + 1 2 µ + 1 2 µ2 −1 −1 2 + σa tan λ − 2 µ µ + ln σa λ λ − tan λ ln 1 λ1 2 λ1 2 1 µ − 1 µ1 µ − 1 µ1 Rφ = 2(φ2 − φ1 ) ( µ + 1)( µ1 − 1) σa (λ2 − λ1 ) ln 2 − 2( µ 2 − µ1 )(tan −1 λ2 − tan −1 λ1 ) ( µ 2 − 1)( µ1 + 1) (4.56) (c) Şekil 4.14’de, sivri küremsi koordinat sistemine uygun geometride akımın λ, µ ve φ yönünde geçtiği durumlar için kısmi dirençler, Rλ , Rµ ve Rφ diferansiyel uzunluk elemanları ile aşağıdaki gibi hesaplanır. Akım λ yönünde: Rλ = ∫ λ2 → d λ λ = = → σsλ σ d d→ µ φ σ ∫ ∫ ∫λ 1 µ2 ∫µ a λ2 − µ 2 dλ λ2 − 1 φ2 λ − µ2 a (λ2 − 1)(1 − µ 2 ) dφ d µ 2 ∫ φ 1− µ 1 2 a 1 λ2 λ2 (λ − 1) ln (λ + 1) λ1 1 ∫λ λ − 1 dλ = Rλ = µ φ σa ∫ dµ ∫ dφ µ φ 2 1 2 1 µ φ 2σa µ µ2 φ φ2 2 1 1 1 (λ2 − 1)(λ1 + 1) (λ2 + 1)(λ1 − 1) Rλ = 2σa ( µ 2 − µ1 )(φ2 − φ1 ) ln (4.57) Akım µ yönünde: µ2 ∫µ → Rµ = µ = σsµ ∫ d µ = σ ∫ d λ ∫ dφ σ λ a ∫λ → 1 → a λ2 − µ 2 dµ 1− µ2 φ2 λ2 − µ 2 d λ a (λ2 − 1)(1 − µ 2 ) dφ 2 ∫ φ λ −1 1 2 1 µ2 µ2 Rµ = ∫µ 1 1 dµ 1− µ2 λ2 φ2 λ1 φ1 σa ∫ dλ ∫ dφ = 1 ln(µ + 1) 2 ln(µ − 1) µ λ φ 1 σaλ λ2 φ φ2 1 1 ( µ 2 + 1)( µ1 − 1) ( µ 2 − 1)( µ1 + 1) Rµ = 2σa (λ2 − λ1 )(φ2 − φ1 ) ln (4.58) 306 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 4.14 Sivri küremsi geometride, − ρ2 a (1 − µ ) 2 2 z2 + a µ 2 2 ρ2 z2 + = 1 aynı odaklı sivri küreler, a 2 (λ2 − 1) a 2λ2 = 1 çift kanatlı hiperboloidler ve φ = tan −1 ( y / x) sabit yüzeyleri ortogonal eşpotansiyel yüzeyler oluşturur. ρ = a (λ2 − 1)(1 − µ 2 ) , z = aλµ ve µ = cosθ ’dir. Akım φ yönünde: Rφ = φ σsφ = ∫ φ2 → d φ → → σ ∫ d λ ∫ d µ = ∫φ a (λ2 − 1)(1 − µ 2 ) dφ 1 λ2 σ∫ a λ1 µ2 λ2 − µ 2 λ2 − µ 2 d λ a ∫µ1 1 − µ 2 dµ λ2 − 1 Kararlı Elektrik Akımları 307 φ2 Rφ = ∫φ dφ 1 λ2 λ2 λ1 λ2 − 1 σa ∫ dλ µ2 ∫µ 1 1 dµ − σa 1− µ 2 λ2 ∫λ 1 1 dλ 2 λ −1 µ2 ∫µ 1 µ2 dµ 1− µ 2 φ Rφ = 2φ φ2 1 µ µ λ − 1 λ2 µ + 1 2 λ2 2 σa µ µ ln + λ λ ln 1 1 λ +1 λ µ − 1 µ1 1 Rφ = 2(φ2 − φ1 ) (λ − 1)(λ1 + 1) ( µ + 1)( µ1 − 1) σa ( µ 2 − µ1 ) ln 2 + (λ2 − λ1 ) ln 2 (λ2 + 1)(λ1 − 1) ( µ 2 − 1)( µ1 + 1) (4.59) ÖRNEK 4.13 (a) Şekil 4.12’de, homojen iletken ortamla (aluminyum, σ = 38 × 106 S/m ) doldurulmuş, r1 = 36 , r2 = 101 , θ1 = 11,31° , θ 2 = 78,69° , φ1 = 30° ve φ2 = 60° ile sınırlanan taralı bölgenin ortogonal yönlerdeki dirençlerini, Rr , Rθ ve Rφ hesaplayınız. (b) Şekil 4.13’de, homojen iletken ortamla doldurulmuş, a = 26 , λ1 = 1 / 26 , λ2 = 75 / 26 , θ1 = 11,31° , θ 2 = 78,69° , φ1 = 30° ve φ2 = 60° ile sınırlanan taralı bölgenin ortogonal yönlerdeki dirençlerini, Rλ , Rµ ve Rφ hesaplayınız. (c) Şekil 4.14’de, homojen iletken ortamla doldurulmuş, a = 26 , λ1 = 27 / 26 , λ2 = 101 / 26 , θ1 = 11,31° , θ 2 = 78,69° , φ1 = 30° ve φ2 = 60° ile sınırlanan taralı bölgenin ortogonal yönlerdeki dirençlerini, Rλ , Rµ ve Rφ hesaplayınız. ÇÖZÜM (a) Akım r yönünde: Rr = (r2 − r1 ) 101 − 36 = 6 σ (cosθ1 − cosθ 2 )(φ2 − φ1 )(r1r2 ) 38 × 10 (cos11,31° − cos 78,69°)(π / 3 − π / 6) 36 101 Rr = 4,303 × 10−9 Ω Akım θ yönünde: (1 − cosθ 2 ) 1 + cosθ1 ln (1 − cosθ ) 1 + cosθ 1 2 Rθ = σ (r2 − r1 )(φ2 − φ1 ) Akım φ yönünde: ln (1 − cos 78,69°) 1 + cos11,31° = (1 − cos11,31°) 1 + 78,69° = 4,933 × 10−8 Ω 38 × 106 ( 101 − 36 )(π / 3 − π / 6) 308 Elektromanyetik Alan Teorisi (φ2 − φ1 ) Rφ = (1 − cosθ 2 ) 1 + cosθ1 (1 − cosθ ) 1 + cosθ 1 2 σ (r2 − r1 ) ln Rφ = (π / 3 − π / 6) = 8,558 × 10−10 Ω (1 − cos 78,69°) 1 + cos11,31° 38 × 106 ( 101 − 36 ) ln ( 1 cos 11 , 31 ) 1 78 , 69 − ° + ° (b) Akım λ yönünde: Rλ = −1 tan −1 −1 tan λ2 − tan λ1 = σa( µ 2 − µ1 )(φ2 − φ1 ) 38 × 106 26 75 1 − tan −1 26 26 = 1,061× 10−8 Ω 25 1 − (π / 3 − π / 6) 26 26 Akım µ yönünde: ( µ 2 + 1)( µ1 − 1) ( µ 2 − 1)( µ1 + 1) Rµ = = 2σa (λ2 − λ1 )(φ2 − φ1 ) ln ln 2 × 38 × 106 25 +1 26 25 −1 26 75 26 − 26 1 − 1 26 1 + 1 26 = 1,386 × 10−8 Ω 1 (π / 3 − π / 6) 26 Akım φ yönünde: Rφ = 2(φ2 − φ1 ) σa (λ2 − λ1 ) ln ( µ 2 + 1)( µ1 − 1) − 2( µ 2 − µ1 )(tan −1 λ2 − tan −1 λ1 ) ( µ 2 − 1)( µ1 + 1) 2(π / 3 − π / 6) Rφ = 38 × 106 (c) Akım λ yönünde: 25 + 1 75 1 26 ln − 26 25 26 26 26 − 1 25 1 −1 75 − 2 tan − 26 26 26 1 + 1 26 1 − tan −1 26 1 − 1 26 = 8,549 × 10−10 Ω Kararlı Elektrik Akımları 309 101 27 26 − 1 26 + 1 ln (λ − 1)(λ1 + 1) 101 + 1 27 − 1 ln 2 26 26 (λ2 + 1)(λ1 − 1) Rλ = = = 2,227 × 10−8 Ω 2σa ( µ 2 − µ1 )(φ2 − φ1 ) 25 1 2 × 38 × 106 26 (π / 3 − π / 6) − 26 26 Akım µ yönünde: ( µ 2 + 1)( µ1 − 1) ( µ 2 − 1)( µ1 + 1) Rµ = = 2σa (λ2 − λ1 )(φ2 − φ1 ) ln ln 2 × 38 × 106 25 1 + 1 − 1 26 26 25 1 − 1 + 1 26 26 = 2,188 × 10−8 Ω 101 27 26 (π / 3 − π / 6) − 26 26 Akım φ yönünde: Rφ = 2(φ2 − φ1 ) σa ( µ 2 − µ1 ) ln (λ2 − 1)(λ1 + 1) ( µ + 1)( µ1 − 1) + (λ2 − λ1 ) ln 2 (λ2 + 1)(λ1 − 1) ( µ 2 − 1)( µ1 + 1) 2(π / 3 − π / 6) Rφ = 38 × 106 101 − 1 27 + 1 25 1 26 26 + 101 − 27 ln 26 ln − 26 101 27 26 26 26 1 + − 1 26 26 25 +1 26 25 −1 26 1 − 1 26 1 + 1 26 Rφ = 7,942 × 10 −10 Ω ALIŞTIRMALAR 23. Örnek 4.13’ü dikdörtgen koordinat sistemi için tekrarlayınız. 24. Örnek 4.13’ü silindirik koordinat sistemi için tekrarlayınız. 25. İç yarıçapı a ve dış yarıçapı b olan iki iletken küresel kabuk V o potansiyelinde tutuluyor. Kabuklar arasındaki ortam ε geçirgenliği ve σ öziletkenliği ile karakterize ediliyor. D ve J alanları arasındaki benzerliği kullanarak ortamdan geçen akımı belirleyiniz. 26. V o = 1000 V, a = 2 cm, b = 5 cm, ε r = 1 ve σ = 4 µS/m ise önceki alıştırmada ortamdan geçen akım nedir? Ortamın kapasitansı ve direncini de hesaplayınız. Ortamda kaybolan güç nedir? 310 Elektromanyetik Alan Teorisi 27. 100 m uzunluğunda bir koaksiyel kablonun iç iletkeninin yarıçapı 2 cm ve 5 cm dir. İletkenler arasındaki potansiyel fark 5 kV’tur. D ve J arasındaki benzerlikten yararlanarak ε r = 2 ve σ = 10 μS/m ile karakterize edilen iki iletken arasındaki ortamdaki akımı belirleyiniz. Ortamda kaybolan gücü hesaplayınız. Ortamı eşdeğer devre ile temsil ediniz. 4.11 ELEKTROMOTOR KUVVETİ Statik elektrik alanları bölümünde, herhangi bir kapalı yol etrafındaki elektrik alan şiddetinin tanjant bileşeninin integralinin 0 ∫ E ⋅ dl = c ifadesiyle sıfır olduğu belirtilmişti. Bu bölümde iletken bir ortamdaki hacim akım yoğunluğunun J = σE ve iletkenden geçen akımın I =∫ J ⋅ ds =∫ σ E ⋅ ds s s olduğu gösterildi. Bu eşitliklerden saf bir elektrik alanının kapalı yolda (döngü) bir akım sirkülasyonuna neden olamayacağı anlaşılmaktadır. Elektrostatik alanlara ek olarak kararlı akımın sürdürülmesi için bir döngüde enerji kaynağının da var olması gerekir. Harici enerji kaynağı bir kimyasal reaksiyon (elektriksel olmayan), bir mekanik sürücü (doğru-akım generatörü), ışıkla çalışan bir kaynak (güneş hücresi) veya sıcaklığa duyarlı bir aygıt (ısılçift: termokupl) olabilir. Bu aygıtlar elektriksel olmayan enerjiyi elektrik enerjisine dönüştürdüklerinden elektrik devrelerinde korunumlu olmayan elemanlar olarak düşünülürler ve bunlar korunumlu olmayan elektrik alanları, E' meydana getireceklerdir. Bu durumda kapalı döngüdeki toplam elektrik alanı E + E' olur ve döngünün toplam gücü P= ( E ∫ + E ') ⋅ Jdv v ile ifade edilir. Eğer döngüdeki kararlı akımın düzgünce dağıtılmış olduğu varsayılırsa bu durumda → Jdv I dl ile değiştirilebilir ve hacim integrali P= I ( E + E ') ⋅ dl = I E ∫ ∫ '⋅ dl c c olur. Kapalı döngüdeki elektromotor kuvveti (emf) = ξ E ∫ '⋅ dl (4.60) c ile tanımlanarak döngüye verilen güç P =ξ I elde edilir. Bundan dolayı döngüye verilen güç emf ve akımın çarpımıdır. (4.61) Kararlı Elektrik Akımları 311 a ve b noktaları arasındaki devrenin döngünün (kol: branş) bir kısmı için b b b 1 J dl E ⋅ = −[Vb − Va ] + ξ ab ∫ ∫ + E ' ⋅ dl =∫ E ⋅ dl + ∫ E '⋅ dl = b a σ a a (4.62) a yazılabilir; ξ ab a ve b noktaları arasındaki kaynağın (kaynakların) emf’sidir. Eğer ξ ab sıfır ise a ve b arasındaki devre branşına pasif branş denir. Eğer ξ ab sıfır değil ise branş bir emf kaynağı (aktif kaynak) içermektedir. (4.62)’nin sol tarafı basitçe IR ’dir. Bunun böyle olduğunun gösterilmesinin en basit yolu şekil 4.15’de görüldüğü gibi A kesit alanlı ve a ve b noktaları arasında L uzunluğu ile silindirik bir iletkendeki akımın düzgünce dağıldığını düşünmektir. Bu durumda J=I/A ve (4.62)’nin sol tarafı IL = IR σA olur; R= L σA a ve b noktaları arasındaki iletkenin direncidir. Şimdi (4.62) eşitliği − [Vb − Va ] + ξ ab = IR (4.63) olarak yazılabilir. Eğer a dan b’ye branş aktif kaynak içermezse bu durumda bu eşitlik Va − Vb = IR (4.64) olur. (4.64) eşitliği bir direncin uçlarındaki gerilim düşümü ve içinden geçen akım arasındaki ilişkiyi vermektedir. I’nin pozitif olması için V a ’nın V b ’den büyük olması gerekir yani a noktası b noktasından yüksek potansiyelde olmalıdır. Akım a noktasından girer ve b noktasından çıkar. b noktasının a ile aynı olduğu kapalı bir döngü düşünülürse bu durumda V b = V a olur ve (4.63) ξ = IR (4.65a) olur. Bu durumda R devrenin toplam direncini ve ξ devredeki emf’nin tamamını temsil etmektedir. Eğer kapalı döngü m emf kaynağı ve aynı akımı taşıyan n direnç içerirse bu durumda (4.65a) m n k =1 j =1 ∑ξ k =∑ IR j (4.65b) olur. Bu eşitlik Kirchoff gerilim kanununun matematiksel bir ifadesidir ve herhangi bir kapalı döngü emf’lerinin cebirsel toplamının aynı döngüdeki gerilim düşümlerinin toplamına eşit olduğunu ifade etmektedir. 312 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 4.15 Silindirik iletkenden akan düzgün yoğunluklu akım Aşağıdaki örnek basit bir elektrik devresine Kirchoff akım kanunu, (4.17c) ve Kirchoff gerilim kanununun (4.65b) nasıl uygulandığını göstermektedir. Bu kanunlar devreler dersinde kullanıldığından dolayı bu kitapta daha fazla yer verilmeyecektir. ÖRNEK 4.14 Şekil 4.16’da görülen devre elemanlarının her birinden geçen akımı bulunuz. Kaynakların verdiği toplam gücü hesaplayınız. Şekil 4.16 ÇÖZÜM Şekildeki devrede her elemandan geçen akımların yönleri keyfi olarak işaretlenmiştir. Herhangi bir düğüm noktasındaki akımların cebirsel toplamı sıfır olduğundan (4.17c)’den bir düğüm noktasına giren akımların toplamının düğüm noktasını terk eden akımların toplamına eşit olmalıdır. Böylece b noktasında I1 = I 2 + I 3 veya I 3 = I1 − I 2 (4.66) olur. Uygun işaretleriyle emf’lerin toplamı ile döngü 1 (abda) ve döngü 2 (bcdb) deki IR’nin toplamı eşitlenerek 10 × 103 I1 + 20 × 103 I 3 = 110 30 × 103 I 2 − 20 × 103 I 3 = 110 veya I1 + 2 I 3 = 0,011 Kararlı Elektrik Akımları 313 3I 2 − 2 I 3 = 0,011 elde edilir. (4.66) dan I 3 ’ün eşleniği konularak önceki eşitlikler 3I1 − 2 I 2 = 0,011 − 2 I1 + 5I 2 = 0,011 olarak yazılabilir. Herhangi bir standart metotla çözülerek I 1 = 7 mA, I 2 = 5 mA ve I 3 = 2 mA bulunur. Devreye verilen toplam güç (4.51)’den Ps = 110 × 7 × 10−3 + 110 × 5 × 10−3 = 1,32 W ve dirençler tarafından ısı olarak kaybolan toplam güç (4.27b)’den Pd = (0,007) 210 × 10−3 + (0,005) 2 30 × 10−3 + (0,002) 2 20 × 10−3 = 1,32 W hesaplanır. Böylece kaynakların verdiği güç enerjinin korunumuna uygun olarak dirençlerden kaybolan güce eşittir. ALIŞTIRMALAR 28. 1,3 mm çapında ve 10 km uzunluğunda bakır iletken 24 V’luk emf kaynağına bağlanmıştır. (a) İletken telin direnci, (b) telden geçen akım, (c) teldeki akım yoğunluğu, (d) telden ısı olarak kaybolan güç ve (e) kaynağın verdiği gücü belirleyiniz. 29. Önceki alıştırmada bakır tel aynı uzunlukta bir Nikrom (Nikel-krom) tel ile değiştiriliyor. Isı olarak kaybolan gücün aynı olması için Nikrom telin çapı ne olmalıdır? n 30. n adet seri direncin eşdeğer direncinin R = ∑ Ri olduğunu gösteriniz; i. direnç değeri R i dir. i =1 n 31. n adet paralel direncin eşdeğer iletkenliğinin, G = ∑ Gi olduğunu gösteriniz; i. iletkenliği G i = 1/R i dir. direncin i =1 32. Aşağıdaki şekilde görülen devrenin her elemanından geçen akımı bulunuz. (a) her dirençte harcanan gücü, (b) her kaynaktan sağlanan gücü ve (c) a ve b arasındaki potansiyel farkını hesaplayınız. 314 Elektromanyetik Alan Teorisi 4.12 ÖZET dq olarak tanımlandı; dq yükü dt zamanında sonlu kesit alanından transfer edilen dt diferansiyel yüktür. Akım i= Akımın taşınım ve iletim akımı olmak üzere iki tipine değinildi. Taşınım akımı vakum içinde yüklerin akışından dolayı ve iletim akımı iletkendeki elektronların akışından dolayıdır. Birim alan başına akım, akım yoğunluğu olarak tanımlandı. Taşınım akım yoğunluğu J = ρvUv dir; ρ v hacim yük yoğunluğu ve U v bu yüklerin ortalama hızıdır. İletim akım yoğunluğu J = σE dir; σ ortamın öziletkenliği ve E iletken içindeki elektrik alan şiddetidir. Alan miktarları ile bir iletkenin direnci −E ⋅ dl R = ∫ b ∫ J ⋅ ds a s dir ve doğrusal ortam için bu aşağıdaki gibi ifade edildi. R= σA ℓ uzunluk, σ öziletkenlik ve A iletkenin kesit alanıdır. Süreklilik eşitliğinin ∂ρ ∇⋅J = − v ∂t Kararlı Elektrik Akımları 315 genel ifadesi elde edildi ve bu bir ortamdan geçen kararlı akım için aşağıdaki gibi olmaktadır. ∇⋅J = 0 Doğrusal, izotropik ve homojen iletken ortamda potansiyel dağılım aşağıdaki gibi Laplace eşitliğini doyurur. ∇ 2V = 0 Bu eşitliğin çözümü E alanı, D alanı, J akım yoğunluğu, I akımı ve ortamın direncinin belirlenmesini sağlar. Bir iletkenin içine fazladan bir yük yerleştirilirse aşağıdaki eşitliğe göre fazla yük iletkenin yüzeyi üzerinde yeniden dağılacaktır: ρ v = ρo e −t / τ τ = ε / σ durulma zamanıdır. Bütün pratik amaçlar için iletkenin içindeki yük t = 5τ zamanında kaybolacaktır. Isı olarak iletkenden kaybolan güç Pd = I 2 R = V2 R ve alan miktarları ile iletken ortamın gücü = P ∫ E ⋅ J dv v ile verilir. İki iletken ortam arasındaki sınır şartlarından ara yüzeyde J ’nin normal bileşeninin J n1 = J n 2 eşitliğinde olduğu gibi sürekli olduğu bulundu ve aşağıdaki gibi ara yüzeyde J ’nin tanjant bileşenlerinin oranı öziletkenliklerin oranına eşittir. J t1 σ 1 = J t2 σ 2 Verilen bir iletken düzenlemesi için kapasitans bilgisinden iletkenlik aşağıdaki gibi belirlenebilir. G= σ C ε Elektromotor kuvveti (emf) çıkış terminallerinde potansiyel farkı tutmakta olan bir aygıttır. Negatiften pozitif terminale akım akışı olduğunda elektrik devresine enerji verir. Emf kaynağı tarafından verilen güç P =ξ I 316 Elektromanyetik Alan Teorisi ile ifade edildi. Kirchhoff akım kanunu, n ∑ Ik = 0 k =1 ifadesi ile bir düğüm noktasındaki elektrik akımlarının cebirsel toplamının sıfır olduğunu ifade etmektedir. Kirchhoff gerilim kanunu, m n j =1 k =1 ∑ ξ j = ∑ IRk ifadesi ile kapalı bir döngüde emf’lerin cebirsel toplamının dirençlerdeki gerilim düşümlerinin cebirsel toplamına eşit olduğunu ifade etmektedir. 4.13 ÇALIŞMA SORULARI 1. Kararlı akım taşıyan iletkende elektrik alan şiddeti niçin sıfır değildir? 2. Aynı uzunlukta ve aynı kesitte bakır ve aluminyum iletkenler uçlarında aynı potansiyel farkına sahiptirler. Aynı akımı taşırlar mı? 3. V o potansiyel farkı d çapında ve L uzunluğunda bir iletken telin iki terminali arasında tutuluyor. (a) potansiyel fark ikiye katlandığında, (b) çap ikiye katlandığında ve (c) uzunluk ikiye katlandığında elektronun sürüklenme (drift) hızı nasıl etkilenir? 4. Bir tel I kararlı akımı taşımaktadır. (a) uzunluğu ikiye katlandığında, (b) kesit alanı ikiye katlandığında, (c) uzunluğu ikiye katlanıp kesit alanının yarısı alındığında akım yoğunluğu, J nasıl etkilenir? 5. Bir iletken telin alanı A, uzunluğu L ve direnci R ohm’dur. Bir kalıptan çekilerek yeni uzunluğu 3L olmuştur. Yeni direnci nedir? 6. Kararlı akım taşıyan iletken ortamda potansiyel dağılımı belirlemek için Laplace eşitliği ne zaman kullanılabilir? 7. Potansiyel fark ve emf arasındaki fark nedir? 8. Paralel plakalı kapasitörün plakaları arasındaki ortamın öziletkenliği ve geçirgenliği sırasıyla σ ve ε’dir. t = 0’da kapasitör V o ile yükleniyor. Kapasitördeki yük aynı kalır mı? 9. Önceki soruda kapasitörün τ = σ / ε düşünürsünüz? zaman sabiti ile deşarj olacağı söylenirse ne 10. 10 Ω, 0,5 W’lık bir direnç 10 Ω, 5 W’lık diğer bir direnç ile seri bağlanıyor. Etkin direnç nedir? Güç oranı nedir? Seri kombinasyondan güvenli olarak geçebilecek maksimum akım nedir? Kararlı Elektrik Akımları 317 11. 10 Ω, 0,5 W’lık bir direnç 10 Ω, 5 W’lık diğer bir direnç ile paralel bağlanıyor. Etkin direnç nedir? Güç oranı nedir? Paralel kombinasyondan güvenli olarak geçebilecek maksimum akım nedir? 12. ξ = IR Ohm kanununa uymayan bir ortama uygulanır mı? 13. p noktasındaki potansiyel V p ise gerçekten ne denilmek isteniyor? 14. Çok ince bir iletken 10 A’lik bir akım taşımaktadır. İletkende saniyede bir noktayı geçen elektronların sayısını belirleyiniz. 15. Kararlı akım taşıyan bir tel elektrostatik dengede midir? 16. İletken içindeki elektrik alan şiddeti sıfır ise iletkende bir akım olabilir mi? 17. İletken içindeki net akım sıfır ise iletken içinde elektrik alanı olabilir mi? 18. Kirchhoff akım kanununu ifade ediniz. 19. Kirchhoff gerilim kanununu ifade ediniz. 20. Joule kanunu nedir? 4.14 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR 1. 0,125 cm çapında alüminyum telin bir ucu 0,25 cm çapında bakır tel ile kaynaklanmıştır. Bu kompozit telden 8 mA geçmektedir. Her iletken teldeki akım yoğunluğu nedir? 8 × 10−3 = J = 6518,986469 A al 2 akım yoğunlukları oranı 0,125 × 10−4 π I 2 6518,986469 A J = ⇒ = 4 ⇒ A 1629,746617 A 8 × 10−3 = = J 1629,746617 A 2 cu 0, 25 −4 × π 10 2 2. 100 km uzunluğunda yüksek gerilim iletim hattında 3 cm çapında bakır kablo kullanılmaktadır. Kablodan 1000 A’lik bir kararlı akım (DC) geçiyorsa, (a) kablonun içindeki elektrik alan şiddeti, (b) serbest elektronun sürüklenme hızı, (c) kablodaki akım yoğunluğu ve (d) elektronun kablonun bütün uzunluğunu geçmesi için gereken zamanı belirleyiniz. Çarpışmalar arasındaki ortalama zamanın 2,7 × 10−14 s olduğunu varsayınız. = J 1000 1000 = = 1414770,605 A 2 π Rcu π (3 / 2) 210−4 E = ρcu J = 1,72 × 10−8 × 1414770,605 = 0,024333022 V/m 1/ ρcu 318 = ue Elektromanyetik Alan Teorisi eτ 1,6 × 10−19 × 2,7 × 10−14 = = 4,75 × 10−3 −31 me 9,1 × 10 l yıl 24,7349 100 × 103 −3 865187709,9 s U= ue E= 4,75 × 10 × 0,024333022= 0,11558 m/s ⇒ = t = e −3 0,11558 × 10 Ue 3. Bir vakum tüpündeki elektronların ortalama hızı 1,5×106 m/s dir. Akım yoğunluğu 5 A/mm2 ise elektronların akışına normal düzlemden birim kesit alanından geçen elektron sayısını belirleyiniz. J 5 × 106 A/m 2 = 3,333 C/m3 ⇒ J = ρv U ⇒ ρv = = 6 U 1,5 × 10 m/s elektron sayısı: = N ρv 3,333 C/m3 = = 20,8333 × 1018 elektron/m3 e 1,6 × 10−19 C 4. 2 cm yarıçapında alüminyum iletken 100 A akım taşımaktadır. İletkenin boyu 100 km ise (a) İletkendeki akım yoğunluğu, (b) İletkendeki E alanı, (c) İletken uçlarındaki potansiyel düşümünü ve (d) İletken direncini belirleyiniz. 2 79577,47155 A/m a a 100 Ez = = − ∫ E z ⋅ dl = − ∫ Ez dz = ρal J z = Ez (b − a ) 2,82 × 10−8 × 2, 244 mV/m ⇒ Vab = −4 2 b b π × 2 × 10 3 = − 0) 224, 4 V Vab 2, 244(100 × 10= Vab 224, 4 = = 2, 244 Ω R= I 100 5. İç çapı 2 cm ve dış çapı 5 cm olan ortası boş demir silindirin uzunluğu 200 m’dir. Silindir içindeki elektrik alan şiddetinin genliği 10 mV/m dir. (a) silindir uçlarındaki potansiyel düşümünü, (b) silindirden geçen akımı ve (c) silindirin direncini belirleyiniz. Kararlı Elektrik Akımları 319 −10 a z mV/m dza z Vab = −∫ a b Ez a ⋅ dl = − ∫ Ez dz = −10 × 10−3 (0 − 200) = 2V b Ez 10 × 10−3 = − −112,36a z kA/m 2 ⇒ Jz = a = −8 z 8,9 × 10 ρal − Ja z I = = R ∫ s ds z 5 2π 112,36 ∫ ρ d ρ ∫ dφ = 741, 28 A J z ⋅ (− ρ d ρ dφ a= z) 21π cm 2 2 0 Vab 2 = = 2,7 mΩ I 741, 28 6. Önceki alıştırmadaki boş silindir aynı uzunlukta içi dolu bakır silindir ile değiştiriliyor. Aynı direnç için bakır silindirin yarıçapını bulunuz. Uygulanan aynı gerilim için bakır silindir içindeki elektrik alan şiddeti ve akım yoğunluğunu hesaplayınız. Acu = ρl R = 1,72 × 10−8 × 200 = 1, 274 × 10−3 m 2 ⇒ a = −3 2,7 × 10 1, 274 × 10−3 π = 20,14 mm 2 V/ 200 m Ez 10 × 10−3 Jz = = − a = −581,395a z kA/m 2 −8 z 1,72 × 10 ρcu k 7. Örnek 4.4’de J = Vo a ρ hacim akım yoğunluğunun 4.17b ⇒ ∇ ⋅ J = 0 ile uyuştuğunu Mρ gösteriniz. Jρ kVo 1 ∂ kVo ρ = 0 = J a ρ ⇒= ∇⋅J Mρ ρ ∂ρ M ρ 320 Elektromanyetik Alan Teorisi 8. Örnek 4.4’de ε iletken malzemenin elektriksel geçirgenliği ise (a) ortamdaki elektrik akı yoğunluğunu, (b) iç iletkendeki yüzey yük yoğunluğunu ve toplam yükü, (c) dış iletkendeki yüzey yük yoğunluğu ve toplam yükü ve (d) ortamdaki hacim yük yoğunluğunu ve toplam yükü belirleyiniz. 2π aLε kVo ε kVo 2π aL ρ s ρ a = ρ = + ⇒ Q ρ a= = + = (m + ka ) M (m + ka ) M ε kVo = D ε= E aρ ⇒ 2π bLε kVo ε kVo (m + k ρ ) M ρ 2π aL ρ s ρ b = − ⇒ Q ρ b= = − s ρ b = = = (m + kb) M (m + kb) M s ρ a = ρv = ∇ ⋅ D = ε kVo ε kVo m 1 ∂ ρ = ⇒ ρ ∂ρ (m + k ρ ) M M ρ (m + k ρ ) 2 L 2π ε kVo m b ε kVo m 2π L(b − a) 1 = Qv ∫= ρv dv ρ d ρ ∫ dφ= dz 2 ∫ ∫ v a ρ (m + k ρ ) 0 0 M M (m + ka )(m + kb) L 2π b − + Q ρ b + Qv= QT== Q ρ a= 1 k (m+k ρ ) a 2π aLε kVo 2π bLε kVo ε kVo m 2π L(b − a ) − + = 0 (m + ka ) M (m + kb) M M (m + ka )(m + kb) 9. Örnek 4.4’ü (4.18)’i kullanarak tekrar ediniz. σ ∇σ m 1 ∂ m ρ Eρ + Eρ a ρ ⋅ − 2 a ρ = 0 ∇ ⋅ J = 0 ⇒ ∇ ⋅ σ E = 0 ⇒ σ∇ ⋅ E + E ⋅ ∇σ = 0 ⇒ + k ρ ρ ∂ρ ρ E m 1 E m m 1 ∂ 1 ∂ m ∂ ρ Eρ =Eρ 2 ⇒ ρ Eρ = ρ ρ Eρ = ρ ⇒ ⇒ +k m + kρ ρ ρ ∂ρ ρ m + kρ ∂ρ ρ ρ ∂ρ ρ ρ ∂ Eρ + Eρ ∂ρ Eρ ( m − m − k ρ ) Eρ k ∂ ∂ ∂ ∂ρ Eρ = Eρ = Eρ = − k ⇒ − ⇒ m + kρ m + kρ Eρ ∂ρ ∂ρ m + kρ dρ ∫ +k ρ m ∫ Eρ dEρ c1 c1 dρ dV ln(m + k ρ ) = − = −k ⇒ ln Eρ = − k ⇒ E = −∇V ⇒ + ln c1 ⇒ Eρ = + + ρ ρ Eρ m + kρ k m k d m kρ dEρ c1 dρ V ρ =b= 0= ln(m + kb) ⇒ c2 ∫ m+k ρ k ∫dV dρ ln(m + k ρ ) k dV = −c1 ⇒V = −c1 Vo ⇒ c1 = Vo ⇒ + c2 ⇒ V ρ == a m + kρ k m + kb ln m + ka M V= Vo m + kb ln M m + kρ Kararlı Elektrik Akımları 321 E ρ Vo m + kb kVo kVo ε kVo V V ⇒ Eρ = = = ⇒ Dρ = ⇒ Jρ σ ln = ⇒ E −∇ M m + kρ M (m + k ρ ) M (m + k ρ ) m M (m + k ρ ) +k ρ Jρ = I= ∫ J ⋅ ds = 2πρ L s kVo Mρ kVo V M ⇒R= o = Mρ I 2π Lk Q 2π aLε k C= a = Vo M (m + ka ) ε kVo ε kVo 2 2 Dρ ρ == Q aL aL ρ= ⇒ = π ρ = π ⇒ sa a sa a M (m + ka ) M (m + ka ) 2πε L m → 0 iken C = ln(b / a ) 10. 10 cm ≤ r ≤ 21 cm , 30° ≤ θ ≤ 45° ve π / 6 ≤ φ ≤ π / 3 ile sınırlanan homojen iletken ortamın iletkenliği 0,4 S/m dir. θ= 45° ’deki yüzey toprak potansiyelinde ve θ= 30° ’deki yüzey 100 V’tadır. Laplace eşitliğini kullanarak ve kenar etkilerini ihmal ederek ortamın direncini belirleyiniz. ∇ 2V = 0 ⇒ ∂ ∂V ∂θ 1 = 0 ⇒ V sin θ = c1 ⇒ ∂V = c1 ⇒ sin θ 2 ∂θ r sin θ ∂θ sin θ 2 dθ sin θ ∫ =0 ⇒ c2 =0,881c1 V −229, 28ln ( tan θ2 ) + 0,881 V= c1 ln ( tan θ2 ) + c2 ⇒ θ= 45° ⇒V = = ⇒ = − V c 100 229, 28 1 θ= 30° σ Eθ 1 ∂V 229, 28 91,712 E = −∇V ⇒ Eθ = − aθ = ⇒ Jθ = aθ r ∂θ r sin θ r sin θ dsθ π /3 0,2 100 = 20,83 Ω I= ∫ Jθ ⋅ r dr sin θ dφ aθ = 91,712 ∫ dr ∫ dφ= 4,8 A ⇒ R= π /6 s 0,1 4,8 11. Önceki alıştırmada iletken ortamın elektriksel geçirgenliği ε = 5ε o ise (a) ortamdaki elektrik akı yoğunluğunu, (b) θ = 45° ’de iletkendeki yüzey yük yoğunluğunu ve toplam yükü, (c) θ = 30° de iletkendeki yüzey yük yoğunluğunu ve toplam yükü ve (d) ortamdaki hacim yük yoğunluğunu ve toplam yükü belirleyiniz. 10,14 × 10−9 20,28 × 10−9 ρ = + = + nC/m 2 sa θ= 30° 10,14 r sin 30° r = Dθ ε= Eθ 5ε o= Eθ nC/m 2 ⇒ −9 r sin θ 10,14 × 10 14,34 × 10−9 ρ = − = nC/m 2 sb θ= 45° r sin 45° r 322 Elektromanyetik Alan Teorisi dsθ = r dr sin θ dφ aθ π /3 20,28 × 10−9 0,2 Qsa r sin 30 = = °dr ∫ dφ 530,9291 pC ∫ 0,1 π /6 r dsθ = r dr sin θ dφ aθ 0,2 π /3 14,324 × 10 Qsb = r sin 45°dr ∫ dφ = −530,9291 pC ∫ 0,1 π /6 r −9 ρv = ∇ ⋅ D ⇒ 1 10,14 ∂ sin θ = 0 ⇒ Qv = 0 r sin θ ∂θ r sin θ 12. Ortamdaki hacim akım yoğunluğu= J sin(10 x)a x + ya y + e −3 z a z A/m 2 ise hacim yük yoğunluğunun zamanla değişim oranını belirleyiniz. ∂ρ ∂ sin(10 x) ∂y ∂e −3 z ∂ρ ∂ρ −3 z 3 ∇ ⋅ J + v = 0 ⇒ v = −∇ ⋅ J ⇒ v = − + + = −[10cos(10 x) + 1 − 3e ] A/m ∂t ∂t ∂t ∂x ∂y ∂z 13. Önceki alıştırmayı J e − βρ cos φ a ρ + ln(cos β z )a z A/m 2 için tekrar ediniz. = ∂ρ v ∂ρ 1 ∂ ∂ −β = −∇ ⋅ J ⇒ v = − ρ e ρ cos φ + ln(cos β z ) = e − βρ ( β − 1 / ρ ) cos φ + β tan( β z ) A/m3 ∂t ∂t ∂z ρ ∂ρ öziletkenliğinde 10 cm yarıçapında bir silindir t=0 14. Sabit ε geçirgenliğinde ve σ zamanında ρ o = 10 μC/m3 ’lük bir yük yoğunluğu ile 2 cm yarıçapına kadar düzgünce yüklenmiştir. (a) her zaman için yük dağılımını, (b) boşlukta her yerdeki elektrik alan şiddetini, (c) dış yüzeydeki yük yoğunluğunu ve (d) iletim akım yoğunluğunu belirleyiniz. Yük iletim işleminin 5 durulma zamanı aldığını varsayarak (i) bakır silindir, (ii) alüminyum silindir, (iii) karbon silindir ve (iv) quartz silindirin dış yüzeyinde yükün birikimi için ne kadar zaman geçecektir? Q çevrelenen ρ2 ρv 2π 2 ρv = = ⇒ Eρ= ρ ∫ s E ⋅ ds 2πρ Eρ 0 ≤ ρ ≤ 2 cm 0 2 cm ρ ≤ ≤ 2ε ε Gauss kanunundan Q çevrelenen 0,022 ρv 2π 2 0,022 ρ v = ⇒E = ρ 2 ≤ ρ ≤10 cm ρ 2 ≤ ρ ≤10 cm ∫ s E ⋅ ds 2πρ E= ε 2ερ Gauss kanunundan Kararlı Elektrik Akımları 323 − ρ ≤ 2 cm ρ o − t /τ 2ε ρ e ρ ≤ 2 cm σ Eρ ρ e − t /τ ρ o (0,02) 2 − t /τ o = ⇒= ρv Eρ e ⇒= Jρ ερ 2 0 ρ ≥ 2 cm 2+ ≤ ρ ≤10− cm 2 ρ o (0,02) 2ε o ρ ρ ≥10+ cm ρ ≤ 2 cm ρo − t /τ ρe σ 2ε 2 ρ o (0,02) − t /τ e σ 2ερ 2+ ≤ ρ ≤10− cm 0 ρ ≥10+ cm − = − ε Eρ ρ 10 cm = ρ s (dış yüzey) ε o Eρ ρ 10= 20(1 − e − t /τ ) nC/m 2 = cm + (0,02)2 − t /τ ε o 10×10−6 e 2ε o 0,1 20×10−9 − (0,02)2 ε 10×10−6 2ε 0,1 20×10−9 εo σ 10−9 −8 Tcu = 5× 2,57033 × 10−3 s / 1,72 × 10 = 36π εo σ 10−9 −8 5× 1,56218 × 10−3 s / 2,83 × 10 = Tal = ε 36π τ = ⇒ T = 5τ ⇒ εo σ σ 10−9 −5 5× 1, 263134 × 10−6 s / 3,5 × 10 = Tc = π 36 εo σ −9 17 T = 5 × 10 / 7, 5 ×= 10 58,946275 × 10−30 s q π 36 15. Direnç kavramını kullanarak Örnek 4.6’daki ortamın direncinin 5 kΩ olduğunu gösteriniz. Aynı zamanda akımı ve ortamda ısı olarak güç kaybını da doğrulayınız. R= dl V 120 V 2 1202 0, 2 × 10−2 = = Ω ⇒ = = = ⇒ = = = 2,88 W I P 5000 0,024 A ∫c σ A 4 × 10−5 × 100 × 10−4 R 5000 R 5000 16. Her biri 5 cm yarıçapında dairesel iki metal plaka paralel plakalı kapasitör oluşturacak şekilde 5 cm açıklıkla tutuluyor. Aradaki boşluk birisi 3 cm kalınlığında, öziletkenliği 40 µS/m ve dielektrik katsayısı 5 olan ve diğeri 2 cm kalınlığında, öziletkenliği 60 µS/m ve dielektrik katsayısı 2 olan iki dilim kayıplı dielektrik ile dolduruluyor. Plakalar arasındaki 200 V potansiyel fark ile ortamdan kararlı bir akım geçiriliyor. Her bölgedeki elektrik alan şiddeti, akım yoğunluğu, güç yoğunluğu ve güç kaybı nedir? Her bölgenin direncini bulunuz. Toplam direnç nedir? Her plakadaki yük yoğunluğu ve iki dilim arasındaki ara yüzeydeki serbest yük yoğunluğunu bulunuz. 324 Elektromanyetik Alan Teorisi 3 × 10−2 95492,96585 Ω = −6 −2 2 40 × 10 π (5 × 10 ) R = R1 + R2 =137934, 284 Ω −2 2 × 10 R2 = = 42441,31816 Ω 60 × 10−6 π (5 × 10−2 ) 2 R1 I= V 200 I = = 1, 44996584 mA ⇒ J = J1 = J 2 = = 0,184615384 A/m 2 R 137934, 284 (5 × 10−2 ) 2 π A 0,1846 = 4615,3846 V/m E1 40 = × 10−6 J σE ⇒ = 0,1846 E = = 3076,9230 V/m 2 60 × 10−6 = P V2 2002 = = 0, 2899 W R 137934, 284 0,1846 × 4615,3846 = 852,071 W/m3 p1 = p =J ⋅E ⇒ 0,1846 × 3076,9230 = 568,047 W/m3 p2 = 2 852,071 × π (5 × 10−2 ) 2 × 3 × 10−= 0, 200764499 W P= p1v= 1 1 ⇒ P = P1 + P2 = 0,2899 W −2 2 −2 π = × × × × = 568,047 (5 10 ) 2 10 0,089228614 W P= p v 2 2 2 −9 −ε r1ε o E1 = −5 10 4615,3846a z = −0, 204 × 10−6 a z D1 = 36π ⇒ ρs = −a z ⋅ (D2 − D1 ) = −0,14963 μC/m 2 −9 6 − 10 −ε r 2ε o E2 = −2 36π 3076,9230a z = −0,0544 × 10 a z D2 = 0 J J σ1 σ2 ρs = −a z ⋅ (D2 − D1 ) ⇒ D1 = D2 ⇒ ε r1ε o E1 = ε r 2ε o E2 ⇒ ε r1ε o E1 = ε r 2ε o E2 ⇒ 0 için ρ s = D1 −9 4615,3846 = ρs+ = −a z ⋅ (ε r1ε o E1 ) = +5 10 +0, 204 μC/m 2 36π D2 −9 ρs− = −2 10 3076,9230 = −0,0544 μC/m 2 a z ⋅ (ε r 2ε o E2 ) = 36π ε r1 ε r 2 = σ1 σ 2 Kararlı Elektrik Akımları 325 Plakalardaki yük yoğunlukları ve iki dilim arasındaki ara yüzeydeki serbest yük yoğunluğu arasındaki ilişki: ρ s + + ρ s − + ρ s =0 ⇒ 0, 204 − 0,0544 − 0,1496328 = 0 Kayıplı iki dielektrik dikkate alınmadan sadece kapasitans ve yük ilişkisinden hesaplanacak plakalardaki yük yoğunluklarının doğru sonuç vermeyeceği aşağıda görülmektedir. 5 1036π ε1 C1 = = = 11,57 × 10−12 F −6 σ 1 R1 40 × 10 × 95492,96 11,57 × 10−12 × 6,94 × 10−12 ⇒ C= = 4,34 × 10−12 F −12 −12 11,57 10 6,94 10 × + × 2 1036π ε2 C2 = = = 6,94 × 10−12 F σ 2 R2 60 × 10−6 × 42441,31 Q =VC =200 × 4,34 × 10−12 =868,56 × 10−12 C −9 −9 Q Q −12 868,56 × 10 868,56 × 10−12 2 + = + = − = −0,11058 μC/m 2 ρs+ = 0,11058 μC/m ρ s− π (5 × 10−2 ) 2 π (5 × 10−2 ) 2 A A yanlış sonuçlar 17. Önceki alıştırmada aşağıdaki şekildeki gibi dielektrik dilimlerin yerleri değiştirilirse iki dilim arasındaki ara yüzeydeki serbest yük yoğunluğuna ne olur? Serbest yük yoğunluğu hangi durumda sıfır olur? −9 4615,3846a z = D1 = −ε r1ε o E1 = −5 10 −0, 204 × 10−6 a z 36π 0,14963 μC/m 2 −a z ⋅ (D1 − D2 ) = ⇒ ρs = −6 10−9 D2 = −ε r 2ε o E2 = −2 36π 3076,9230a z = −0,0544 × 10 a z D2 −9 −a z ⋅ (ε r 2ε o E2 ) = +2 10 +0,0544 μC/m 2 ρs+ = 3076,9230 = 36π D1 −9 ρs− = a z ⋅ (ε r1ε o E1 ) = −5 10 4615,3846 = −0, 204 μC/m 2 36π Plakalardaki yük yoğunlukları ve iki dilim arasındaki ara yüzeydeki serbest yük yoğunluğu arasındaki ilişki: 326 Elektromanyetik Alan Teorisi 0 ρ s + + ρ s − + ρ s =0 ⇒ 0,0544 − 0, 204 + 0,1496328 = J J σ1 σ2 ε ε ρs = −a z ⋅ (D1 − D2 ) ⇒ D1 = ε r 2ε o E2 ⇒ ε r1ε o E1 = ε r 2ε o E2 ⇒ r1 = r 2 0 için ρ s = D2 ⇒ ε r1ε o E1 = 0 σ1 σ2 18. Örnek 4.7’deki her plaka 10 cm kenarında kare biçimli ise diyottaki akımı elde ediniz. Elektronun maksimum hızı nedir? E alanı ile sağlanan maksimum enerji nedir? I = JA = 29, 42 × 102 × 10−4 = 0, 2942 A J = ρv U ⇒ ρv = J 2eV m ⇒ U son = 2 × 1,6 × 10−19 × 1 × 103 = 18,742 × 106 m/s 9,11 × 10−31 2eV = m U son Ene rji = 1 1 2 9,11 × 10−31 (18,74 × 106 ) 2 = mU = 1,6 × 10−16 J 2 2 19. Önceki alıştırmayı anottaki potansiyeller (a) 500 V ve (b) 5000 V ise tekrar ediniz. Anottaki potansiyel 500 V ise: I = JA =10, 4 × 102 × 10−4 = 0,104 A J = ρv U ⇒ ρv = J ⇒ U son = 2eV m 2eV = m 2 × 1,6 × 10−19 × 5 × 102 = 13, 2526 × 106 m/s 9,11 × 10−31 U son Enerji = 1 1 2 9,11 × 10−31 (13, 2526 × 106 ) 2 = 8 × 10−17 J mU = 2 2 Anottaki potansiyel 5000 V ise: I = JA = 328,92 × 102 × 10−4 = 3, 2892 A J = ρv U ⇒ ρv = J ⇒ U son = 2eV m 2eV = m 2 × 1,6 × 10−19 × 5 × 103 = 41,9083 × 106 m/s 9,11 × 10−31 U son Enerji = 1 1 2 9,11 × 10−31 (41,9083 × 106 ) 2 = mU = 8 × 10−16 J 2 2 20. Örnek 4.7’yi anottaki potansiyeller (a) 500 V ve (b) 5000 V ise tekrar ediniz. Kararlı Elektrik Akımları 327 Anottaki potansiyel 500 V ise: 4/3 z 27,144 z 4/3 kV = V 500 = 0,05 1/3 4 × 500 z E= − az = −36,192 z1/3a z kV/m 3 × 0,05 0,05 2 × 1,6 × 10−19 4 10−9 J= − 9 36π (0,05) 2 9,11 × 10−31 1/ 2 × 5003/ 2 a z = −10, 4a z A/m 2 4 × 10−9 × 500 ρv = z −2/3 = − −106,67 z −2/3 nC/m3 36π × 9 × (0,05) 4/3 Anottaki potansiyel 5000 V ise: 4/3 z = V 5000 = 271, 44 z 4/3 kV 0,05 1/3 4 × 5000 z E= − az = −361,92 z1/3a z kV/m 3 × 0,05 0,05 2 × 1,6 × 10−19 4 10−9 J= − 9 36π (0,05) 2 9,11 × 10−31 1/ 2 × 50003/ 2 a z = −328,92a z A/m 2 4 × 10−9 × 5000 ρv = z −2/3 = − −1066,7 z −2/3 nC/m3 4/3 36π × 9 × (0,05) 21. Ortam 1’deki akım yoğunluğunun normal bileşen terimi J n1 ve ortam 2’deki akım yoğunluğunun normal bileşen terimi J n 2 ile farklı öziletkenliklerde iki iletken ortam arasındaki ara yüzeydeki yüzey akım yoğunlukları ρ s ifadelerini elde ediniz. Dn1 ε1σ 2 −ε 2σ1 ε1 σ2 σ 1ε 2 ε1σ 2 − ε 2σ 1 ε1 ε 2 ρ s = Dn1 − Dn 2 == = Dn1 1 − E J − n n 1 1 σ 2ε 1 σ σ σ2 2 1 J n1 = En 2 Dn 2 σ1 Dn1 σ1 σ ε = ⇒ Dn 2 = 1 2 Dn1 E ⇒ σ 2 n 1 ε 2 σ 2 ε1 σ 2 ε1 σ1 Dn 2 ε1σ 2 −ε 2σ1 ε2 σ1 ε1σ 2 − ε 2σ 1 ε1 ε 2 σ 2 ε1 ρ s = Dn1 − Dn 2 == Dn 2 − 1 E= J n2 − n2 σ1 σ1 σ 2 σ 1 ε 2 Jn 2 En 2 = D σ1 Dn1 σ ε σ1 ⇒ Dn1 = 2 1 Dn 2 E ⇒ n2 = σ1 ε 2 σ 2 n 1 ε 2 σ 2 ε1 σ2 328 Elektromanyetik Alan Teorisi 22. Ortam 1’deki (x ≥ 0, ε r1 = 1 ve σ 1 = 20 µS/m) hacim akım yoğunluğu J1 = 100a x + 20a y − 50a z A/m2 dir. Ortam 2 deki (x ≤ 0, ε r2 = 5, σ 2 = 80 µS/m) hacim akım yoğunluğunu elde ediniz. Ara yüzeydeki θ 1 , θ 2 ve ρ s ’yi de hesaplayınız. Ara yüzeyin her iki yanındaki E ve D alanları nedir? 12900 113,5781 A/m J1 = = J= 100a x + 20a y − 50a z ⇒ θ= cos −1 1 1 2 100 = 28,3032° 12900 J n1 =J n 2 =J n ⇒ J x 2 =100 80 56400 237,4868 A/m 2 J2 = = = J y2 = 20 80 σ2 100 20 J t= J t1 ⇒ θ 2 cos −1 = 65,0974° 100a x + 80a y − 200a z ⇒= 2 ⇒ J= 2 80 σ1 56400 J = −200 (−50) = z 2 20 ρs −9 ε1 ε 2 1 5 10 100 J = − = − = 11,05 µ C/m 2 n −6 −6 ara yüzey 80 × 10 36π 20 × 10 σ1 σ 2 23. Örnek 4.13’ü dikdörtgen koordinat sistemi için tekrarlayınız. x2 x dx dx x x2 ∫ x ( x2 − x1 ) ∫ x1 x 1 Rx = = = = = y2 z2 y2 z2 σ sx σ ∫ dy ∫ dz σ dy dz σ y z σ ( y2 − y1 )( z2 − z1 ) y1 z1 y z ∫ ∫ y1 z1 y2 y dy dy y y2 y ∫ ∫ ( y2 − y1 ) y1 y 1 = = = = Ry = x2 z2 x2 z2 σ s y σ ∫ dx ∫ dz σ dx dz σ x z σ ( x2 − x1 )( z2 − z1 ) x1 z1 x z ∫ ∫ x1 z1 z2 z dz z z2 ∫ ( z2 − z1 ) z ∫ z1 1 z Rz = = = = = x2 y2 x2 y2 σ sz σ ∫ dx ∫ dy σ dx dy σ x y σ ( x2 − x1 )( y2 − y1 ) x1 y1 x y ∫ ∫ dz x1 y1 24. Örnek 4.13’ü silindirik koordinat sistemi için tekrarlayınız. Kararlı Elektrik Akımları 329 ρ2 ρ2 ∫ρ dρ ln ρ ρ ρ ∫ρ1 = ∫ρ = 1 ln( ρ 2 / ρ1 ) ρ 1 Rρ = = = = z2 z2 z2 φ2 φ2 φ2 σ sρ σ ∫ ρ dφ ∫ dz σ ρdφ dz σ dφ dz σ φ z σ (φ2 − φ1 )( z2 − z1 ) φ1 z1 z φ ∫ ∫ ∫ ∫ dρ dρ φ1 φ1 z1 φ2 ρ2 z1 φ2 φ ρ dφ dφ ρ dφ φ φ2 φ ∫ ∫ ∫ (φ2 − φ1 ) φ1 φ1 φ 1 Rφ = = = = = = z2 z2 ρ2 ρ2 z ρ ρ d 2 2 σ sφ σ ∫ d ρ ∫ dz σ d ρ dz σ σ ln( ρ 2 / ρ1 )( z2 − z1 ) z ρ ∫ρ ∫z ∫ ∫ dz σ ln ρ ρ1 z z1 1 1 ρ1 z2 ρ z1 z2 z dz dz dz z z2 ∫ ∫ z 2( z2 − z1 ) ∫ z1 z1 z 1 = = = = = = Rz ρ2 φ2 ρ2 φ2 ρ 2 2 σ sz σ ∫ d ρ ∫ ρ dφ σ d ρ ρ dφ σ ρ d ρ dφ σ ( ρ 2 − ρ12 )(φ2 − φ1 ) ρ2 φ2 ρ φ ∫ρ1 ∫φ1 ∫ρ1 ∫φ1 σ φ 2 ρ φ1 1 25. İç yarıçapı a ve dış yarıçapı b olan iki iletken küresel kabuk V o potansiyelinde tutuluyor. Kabuklar arasındaki ortam ε geçirgenliği ve σ öziletkenliği ile karakterize ediliyor. D ve J alanları arasındaki benzerliği kullanarak ortamdan geçen akımı belirleyiniz. c V r =b =0 ⇒ c2 = 1 c c 1 1 ab ∂ ∂ V b 0 0 V= ∇ 2V =⇒ =⇒ − 1 + c2 ⇒ −Vo + 1 r2 ⇒V = ab r ∂r ∂r r r a−b b V = Vo ⇒ c1 = Vo = r a a − b 1 ab 1 ab E = −∇V ⇒ Er = Vo 2 ⇒ Dr = ε Vo 2 r a −b r a −b Benzerlikten J r = σ Vo 1 ab ⇒ I= r2 a − b 2π 1 ab 2π 2 ab J ∫s ⋅ ds= σ Vo r 2 a − b ∫0 r sin θ dθ ∫0 dφ = σ 4π Vo a − b 26. V o = 1000 V, a = 2 cm, b = 5 cm, ε r = 1 ve σ = 4 µS/m ise önceki alıştırmada ortamdan geçen akım nedir? Ortamın kapasitansı ve direncini de hesaplayınız. Ortamda kaybolan güç nedir? ab 2 × 10−2 × 5 × 10−2 I= σ 4π Vo = 4 × 10−6 4π 1000 = 1,676 mA a −b 3 × 10−2 27. 100 m uzunluğunda bir koaksiyel kablonun iç iletkeninin yarıçapı 2 cm ve 5 cm dir. İletkenler arasındaki potansiyel fark 5 kV’tur. D ve J arasındaki benzerlikten yararlanarak ε r = 2 ve σ = 10 μS/m ile karakterize edilen iki iletken arasındaki ortamdaki akımı belirleyiniz. Ortamda kaybolan gücü hesaplayınız. Ortamı eşdeğer devre ile temsil ediniz. 1 ∂ ∂V ρ ∇ V =0 ⇒ ρ ∂ρ ∂ρ 2 V ρ =b =⇒ 0 c2 = −c1 ln b Vo ρ ln Vo ⇒ V = =0 ⇒ V =c1 ln ρ + c2 ⇒ ln(a / b) b V ρ = a = Vo ⇒ c1 = ln(a / b) 330 Elektromanyetik Alan Teorisi D ve J arasındaki benzerlikten Vo Vo Vo = ⇒ Dρ ε = ⇒ Jρ σ E = −∇V ⇒ Eρ = ρ ln(b / a) ρ ln(b / a) ρ ln(b / a) I= ∫ s J ⋅ ds = σ 2π 1 L 2πσ LVo Vo 2π 10 × 10−6 × 100 × 5 × 103 d dz I ρ φ = ⇒ = = 34, 286 A ∫0 ln(b / a ) ∫0 ρ ln(b / a ) ln(5 / 2) G= Vo ln(b / a ) ln(5 / 2) R = = = = 145,83 Ω ⇒ 2πσ L 2π 10 × 10−6 × 100 I = C 1 2πσ L 2π 10 × 10−6 × 100 = = = 0,006857 S R ln(b / a ) ln(5 / 2) 10−9 2π × 100 ε ε 2π L = G = 2 = 12,126 nF σ ln(b / a ) 36π ln(5 / 2) 28. 1,3 mm çapında ve 10 km uzunluğunda bakır iletken 24 V’luk emf kaynağına bağlanmıştır. (a) İletken telin direnci, (b) telden geçen akım, (c) teldeki akım yoğunluğu, (d) telden ısı olarak kaybolan güç ve (e) kaynağın verdiği gücü belirleyiniz. ρL V 1,72 × 10−8 × 10 × 103 24 = 129,584 Ω ⇒ I= = = 0,185 A ⇒ −6 2 A π (1,3 / 2) × 10 R 129,584 I 0,185 = 139,53 kA/m 2 ⇒ Pd = I 2 R = 0,1852 × 129,584 = 4, 44 W J= = −6 2 A π (1,3 / 2) × 10 R= = 29. Önceki alıştırmada bakır tel aynı uzunlukta bir Nikrom (Nikel-krom) tel ile değiştiriliyor. Isı olarak kaybolan gücün aynı olması için Nikrom telin çapı ne olmalıdır? Pd = 2 2 24 V ⇒ 4, 44 = ⇒ R = 129,6 Ω ⇒ R = R R ρL D π 2 2 ⇒ 129,6 = ni-cr ρ 100 × 10−8 × 10 × 103 2 D π 2 D = 9,9118 mm n 30. n adet seri direncin eşdeğer direncinin R = ∑ Ri olduğunu gösteriniz; i. direnç değeri R i dir. i =1 n adet seri direncin uçlarındaki toplam gerilim düşümü V ise i. direncin uçlarındaki gerilim düşümü IRi olduğundan = V n n = IR I ∑ R ∑ i =i 1 =i 1 i n dir. R eşdeğer direnç ise V = IR ve buradan R = ∑ Ri yazılır. i =1 n 31. n adet paralel direncin eşdeğer iletkenliğinin, G = ∑ Gi olduğunu gösteriniz; i. i =1 iletkenliği G i = 1/R i dir. direncin Kararlı Elektrik Akımları 331 n adet paralel direncin uçlarındaki toplam gerilim düşümü V ise i. dirençten geçen akım I i n n n V 1 olduğundan= dir. R eşdeğer direnç ise I = V / R ve buradan = I ∑ I i ∑= V ∑ =i 1 =i 1 Ri =i 1 Ri n n n V 1 1 1 veya G = ∑ Gi yazılır. = V ∑ ⇒= ∑ R Ri R i 1 Ri = i 1= i =1 32. Aşağıdaki şekilde görülen devrenin her elemanından geçen akımı bulunuz. (a) her dirençte harcanan gücü, (b) her kaynaktan sağlanan gücü ve (c) a ve b arasındaki potansiyel farkını hesaplayınız. 1 10 I 2 + 20 I 4 = 9 10( ) I I ⇒ + = −3 10 I 5 − 20 I 4 = −12 2 5 3 I= I 2 − I5 4 4 −12 10 I 5 − 20 I 4 = −12 ⇒ 30 I 5 − 20 I 2 = 3 2 30 I 3 − 10( I 5 + I 2 ) = −24 −0,9 A ⇒ I3 = 10( I 2 + I 5 ) = −3 1 4 30 I 5 − 20 I 2 = −12 −18 ⇒ I 5 = −0,36 A ⇒ 50 I 5 = 20 I 5 + 20 I 2 = −6 1 1 10( I 2 + I 5 ) = I1 = I 2 + I3 = −3 −0,84 A I 2 0,06 A ⇒= I 4 0, 42 A ⇒= 10 I 5 − 20 I 4 = I6 = I5 + I3 = −12 −1, 26 A 2 24,3 0,036 1,296 3,528 −7,56 −21,6 −15,12 2 2 2 Pverilen =9 I1 − 24 I 3 − 12 I 6 =29,16 W = Pkayıp = 30 I 3 + 10 I 2 + 10 I 5 + 20 I 42 = 29,16 W Vab = 20 I 4 = 20 × 0, 42 = 8, 4 V 4.15 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER 1. Bakırda yaklaşık olarak 8,5 × 1028 / m3 serbest elektron vardır. 10 cm2 kesit alanlı bakır telden geçen akım 1500 A ise (a) elektronların ortalama sürüklenme hızını, (b) akım yoğunluğunu, (c) elektrik alan şiddetini ve (d) elektron hareketliliğini hesaplayınız. J = σ E ⇒ E = ρ J = 1,7 × 10−8 1500 = 25,5 mV/m 10 × 10−4 332 Elektromanyetik Alan Teorisi σ σ 1 1 J = Neue E ⇒ ue = = = = 4, 275 mm/s −8 Ne ρ Ne 1,72 × 10 × 8,5 × 1028 × 1,6 × 10−19 Ue = −ue E ⇒ U e = −ue E = −4, 275 × 25,5 = −109 μm/s 2. 100 V’luk potansiyel farkı 2 mm yarıçapında ve 10 m uzunluğunda nikel telin iki ucu arasında tutuluyor. (a) elektrik alan şiddetini, (b) akım yoğunluğunu ve (c) nikel telden geçen akımı hesaplayınız. E σ E= = J = ρ 100 / 10 = ⇒I= 128, 205 × 106 A/m 2 = JA 128, 205 × 106 × π 22 ×= 10−6 1611,071545 A −8 7,8 × 10 3. Elektrik alanının etkisi altında vakumda elektronların ortalama hızı 3×105 m/s dir. Akım yoğunluğu 10 A/cm2 ise elektron akışına dik düzlemden birim kesit alanı başına geçen elektron sayısını belirleyiniz. σ J = Neue E ⇒ N = 10 × 104 J = = 2,08 × 1018 elektron eue 1,6 × 10−19 × 3 × 105 4. Bir elektrolitte aynı kütleli pozitif ve negatif iyonlar 0,2 nA/m2 ’lik bir akım yoğunluğundan sorumludurlar. Her iyonun ortalama yük yoğunluğu metre küp başına 25e ise ortalama iyon hızı nedir? (e elektronun yüküdür). ρ = ρ J 0, 2 × 10−9 J = ρ v + U + + ρ v − U − ⇒ v + v − ⇒ J = 2 ρ vU ⇒ U = = = 2,5 × 107 m/s −19 U = U × × × ρ 2 2 25 1,6 10 − + v 5. Paralel iki iletken plaka arasındaki boşluk saf silikon ( ε ≈ 1 ) ile doldurulmuştur. Kapasitörden geçen sızıntı akımı 100 A ise her plakadaki yükü belirleyiniz. 2,6 × 105 100 = − J =σ E ⇒ E =ρ J =2,6 × 103 × − a a z V/m ⇒ z A A 2,3 × 10−6 C/m 2 ρ = + 1 2,6 × 105 s + üst plaka 2,3 × 10−6 A εε o E = −ε εo D= az = a z C/m 2 ⇒ A A 2,3 10−6 × ρ C/m 2 = − s − alt plaka A Q+ = A ρ s + üst plaka = +2,3 × 10−6 C Q− = A ρ s − 6. alt plaka = −2,3 × 10−6 C 2 × 1, 29 mm çapında ve 30 km uzunluğunda bir iletken tel (a) bakır, (b) gümüş, (c) Nikromdan yapılmış ise direnci nedir? Kararlı Elektrik Akımları 333 = Rcu 1,7 × 10−8 × 30 × 103 = 97,55 Ω π 1, 292 × 10−6 = Ral 2,83 × 10−8 × 30 × 103 = 162, 4 Ω π 1, 292 × 10−6 = Rni 100 × 10−8 × 30 × 103 = 5738, 4 Ω π 1, 292 × 10−6 7. Aşağıdaki şekildeki bakır halkanın A ve B sınırları arasındaki direnci nedir? dl ρ dφ dR= ⇒ R= σA ∫ π /2 0 dφ π = t σ 2 ln( σ t b / a) ∫a ρ d ρ ∫0 dz b 8. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi kesik dairesel koni demirden yapılmıştır. Koninin düz uçları arasındaki direnci nedir? 334 Elektromanyetik Alan Teorisi x b − a (12 − 2) × 10−2 = = = 0,01 ⇒ r = 0,1 + 0,01z ⇒ A = π (0,1 + 0,01z ) 2 2 2 z 500/3 2 10000 1 2 1 dz = R = − = 4,72 μΩ 2 8 − ∫ σπ 0 (0,1 + 0,01z ) (1 / 8,9 × 10 ) π 10+ z 0 σ 9. Önceki problemdeki kesik dairesel koninin düz uçları arasındaki potansiyel farkı 2 mV’tur. (a) koni içindeki potansiyel dağılımı, (b) elektrik alan şiddetini, (c) hacim akım yoğunluğunu ve (d) koniden geçen akımı hesaplayınız. 2 × 10−3 423,58 I= 423,58 A ⇒ J = = − a ⇒ −6 −4 z 2 π (10+ z ) 10 4,72 × 10 J 423,58 0, 2 E= = − a = − a z V/m −8 −4 z 2 σ π (1 / 8,9 × 10 ) (10+ z ) 10 (10+ z ) 2 σ 2 1 0,12 − 10 + z 0 2 0,12 Doğrulama ⇒ V = − ∫ E ⋅ dl = ∫0 (10+ z )2 dz =2 mV c 10. 10 km uzunluğunda içi dolu kablo iki iletken malzemeden yapılmıştır. İçteki malzeme bakır ve 2 cm yarıçapındadır. Dıştaki malzeme konstantan ve dış yarıçapı 3 cm dir. Kablodan geçen akım 100 A ise (a) her malzemenin direncini, (b) her malzemedeki akımı, (c) her malzemedeki akım yoğunluğunu ve (d) her malzemedeki elektrik alan şiddetini belirleyiniz. Rcu Rcons R V 100 × 0,1311 = 0,1311 Ω ⇒ = = 13,11 V = −8 3 Rcu + Rcons 10 × 10 × 49 × 10 = = 3,119 Ω Rcons π (32 × 10−2 − 22 × 10−2 ) 2 Rcu = 10 × 103 × 1,72 × 10−8 = 0,137 Ω π (2 × 10−2 ) 2 ρcu J cu 13,11 95,69 −8 2 3 I cu = = 95,69 A ⇒ J cu = = ⇒ E = × × × 76,15 kA/m 1,72 10 76,15 10 cu Rcu π (2 × 10−2 ) 2 Acu = 1,31 mV/m 13,11 4, 2 I cons = 03 =4, 2 A ⇒ J cons = 2 =2,67 kA/m 2 ⇒ Econs =49 × 10−8 × 2,67 × 1 −4 2 Rcons π (3 − 2 ) × 10 ρcons J cons Acons = 1,31 mV/m Kararlı Elektrik Akımları 335 11. 1 cm2 kesit alanlı bakır tel düzgünce dağıtılmış 200 A akım taşımaktadır. Bakırda elektron yoğunluğu metre küp başına 8,5×1028 elektron ise elektronların ortalama sürüklenme hızını belirleyiniz. Teldeki elektrik alan şiddeti nedir? Tel 100 km uzunlukta ise uçları arasındaki potansiyel farkı hesaplayınız. İletken telin direnci nedir? I/A ρJ 200 −4 200 J 10 Ue = = = 147,06 × 10−6 m/s ⇒ E = 1,72 × 10−8 × −4 = 34, 4 mV/m 28 −19 10 ρv 8,5 × 10 × 1,6 × 10 J = ρv Ue Ne 3440 V= 34, 4 × 10−3 × 100 × 103 = 3440 V ⇒ R = 17, 2 Ω − ∫ E ⋅ dl = = c 200 ρ l 1,72 × 10−8 × 100 × 10−3 R= = = 17, 2 Ω A 10−4 12. Yarıçapları a ve b (b>a) olan eş merkezli iki iletken küre arasındaki boşluk= σ m/r+k öziletkenliğinde homojen olmayan malzeme ile doldurulmuştur, a ≤ r ≤ b ve m ve k sabitlerdir. İçteki küre V o potansiyelinde ve dıştaki küre topraklanmıştır. (a) ortamın direncini, (b) her küredeki yüzey yük yoğunluğunu, (c) ortamdaki hacim yük yoğunluğunu, (d) her küredeki toplam yükü, (e) bölgedeki akım yoğunluğunu ve (f) bölgeden geçen akımı hesaplayınız. σ ∇σ m m 1 ∂ 2 ∇ ⋅ J = 0 ⇒ ∇ ⋅ σ E = 0 ⇒ σ∇ ⋅ E + E ⋅ ∇σ = 0 ⇒ + k 2 r Er + Er a r ⋅ − 2 a r = 0 r r ∂r r ∂ m m m + 2rk 1 ∂ 2 m 1 ∂ 2 ⇒ Er = − Er Er 2 ⇒ 2 r Er = Er + k 2 r Er = ∂ ∂r r r r r (m + rk ) r (m + rk ) r r ∂r r2 ∂ Er + Er 2 r ∂r m + 2 rk ∫ r ( m + rk ) dr ∫ Err dEr c d m + 2rk m + 2rk − Er ⇒ = − dr ⇒ ln Er = − ln r (m + rk ) + ln c1 ⇒ Er = 1 Er = dr r (m + rk ) Er r (m + rk ) r (m + rk ) c1 dV = E −∇V ⇒ = − dr r (m + rk ) dE c1 b dr ∫ r ( m + rk ) V r =b= 0 ⇒ c2 = m ln m + bk ∫dV dr r 1 m −c1 ⇒ V = −c1 ln + ⇒ c dV = Vo ⇒ Vo ⇒ c1 = V r == 2 a + m r (m + rk ) m rk + m ak b ln + m bk a M Vo m + kr b V = ln M m + kb r 336 V= Elektromanyetik Alan Teorisi Vo M Vo V m m m + kr b ⇒ J r = σ Er = σ o ⇒ ln ⇒ E = −∇V ⇒ Er = M r (m + kr ) M r (m + kr ) m + kb r Er mVo mVo Jr σ = ⇒ Jr = Mr 2 m Mr ( m + kr ) r I= ∫ J ⋅ ds = s 4π r 2 +k mVo mVo Vo M R = = 4π ⇒= 2 Mr M I 4π m 13. Bir elektromıknatıs silindirik nüve üzerine sarılan 200 sarımlı sargıdan oluşturuluyor. Bakır telin çapı 0,45 mm ve bir sarımın ortalama yarıçapı 8 mm dir. İletken telin direnci nedir? R= ρ 2π × 8 × 10−3 × 200 L = 1,72 × 10−8 × = 1,09 Ω 2 A 0, 45 × 10−3 π × 2 14. 10 m uzunluğunda ve 0,5 mm yarıçapında bir iletken telin uçları arasına 12 V’luk bir potansiyel uygulandığında 2 A geçmektedir. İletken telin direnci ve öziletkenliği nedir? R =6 Ω L 10 12 ⇒ = ⇒ σ = 2,122065 × 106 S/m R= −3 2 σ A 2 σπ (0,5 × 10 ) 15. Karbon çubuğun yarıçapı 0,25 mm ise 10 Ω’luk bir direnç yapmak için ne kadar uzunlukta karbon çubuk gerekir? R= ρ L L ⇒ 10 = 3,5 × 10−5 × ⇒ L = 56,1 mm A π (0, 25 × 10−3 ) 2 16. 2 mm yarıçapında ve 10 m uzunluğunda içi dolu bir iletken 2 mm iç yarıçapında içi boş bir iletken ile değiştirilecektir. İletkenlerin direnci, malzemesi ve uzunlukları aynı ise içi boş iletkenin dış yarıçapı ne olmalıdır? R1 R2 A2 A1 L1 L2 2 2 ⇒ π 2 = π (b − 22 ) ⇒ b = ρ1 = ρ 2 A1 A2 8 = 2,8284 mm 17. Uzunluğu 200 km ve çapı 4 cm olan bir yüksek gerilim kablosundan geçen akım 1,2 kA’dir. Kablonun direnci 4,5 Ω ise (a) kablo uçları arasındaki potansiyel düşümünü, (b) elektrik alan şiddetini, (c) akım yoğunluğunu ve (d) malzemenin özdirencini belirleyiniz. Malzemenin türü ne olabilir? Kararlı Elektrik Akımları 337 V = 1200 × 4,5 = 5400 V ⇒ E = I 5400 1200 = 0,027 V/m ⇒ J = = = 954929,6586 A/m 2 A π (2 × 10−2 ) 2 200000 E 0,027 ⇒ ρ = 2,827433388 × 10−8 Ω J = ⇒ 954929,6586 = m ρ ρ aluminyum 18. 500 trilyon elektron yükü t=0 zamanında 10 cm yarıçapında alüminyum kürenin içine atılıyor. Bu yükün miktarı nedir? Durulma zamanı nedir (ε r aluminyum = 1) ? Yükün başlangıç değerinin % 80’ine düşmesi için ne kadar zaman geçmesi gerekir? q= −500 × 1012 × 1,6 × 10−19 = −80 μC = ρv ρo e τ − t /( ε /σ ) 10−9 −8 2 ,82 10 36 π 0,8 ρ o −t / ⇒= ρv ρo e ( ε /σ ) τ = ρε o = ⇒ t τ ln1, = 25 55,786 × 10−21 s 19. Bir iletken ortamdaki fazla yük, miktarının yarısına 100 ns’de düşüyor. Ortamın dielektrik sabiti 2,5 ise öziletkenliği nedir? Durulma zamanı nedir? 200 ns sonra ortamda yükün yüzde kaçı mevcut olacaktır? ρv ρo e = ρv =ρo e 0,5 ρo τ − t /( ε /σ ) 10−9 /σ ) −100×10−9 /(2,5 2,5 10−9 36π ρv ρo e 10−9 ln 2= ⇒ = ⇒ 100 × = ⇒ σ 153, 2191 μS/m σ 36π ε 2,5 10−9 τ= = = 0,144269567 μs σ 153, 2191 × 10−6 36π τ − t /( ε /σ ) ρ ⇒ v =e −200×10 ρo −1,38629375 −9 /0,144269567×10−6 1 = =% 25 4 20. Yalıtılmış bir iletkenin içine fazla bir yük yerleştirilmiştir. Yükü çevreleyen kapalı yüzeyden geçen akım i (t ) = 0, 2 e −50t A olarak gözlenmiştir. (a) Durulma zamanını, (b) başlangıç yükünü, (c) t=2τ’da yüzeyden iletilen toplam yükü ve (d) akımın başlangıç değerinin % 10’u olması için geçen zamanı belirleyiniz. i (= t ) 0, 2 e −50t ⇒= t) τ 1 / 50 = 0,02 s ⇒ Q(= ∫ t 0 t idt = 0, 2 ∫ e −50t dt = 0 4 1000 (1 − e −50t ) C 4 (1 − e −50 ∞ ) = Q t →∞ =1000 4 C 1000 (başlangıç yükü) −2 1/ τ τ − 50× 2(1/50) 4 (1 − e 3, 4586 mC Q t = 2τ = 1000 ) = 0,1353 0, 2 1 −50 t i (t ) 0, t t 46,0517 ms = = = = 0, 2 e −50t ⇒ 1 10e −50t ⇒ ln10 ⇒ 2 e ⇒ = 10 50 i ( t = 0) 338 Elektromanyetik Alan Teorisi 21. Hacim akım yoğunluğunun J = e − x sin ω x a x A/ m 2 yoğunluğunun zamanla değişim oranını bulunuz. olduğu bir ortamda hacim yük ∂ρ J = e − x sin ω x a x ⇒ v = −∇ ⋅ J = e − x (sin ω x − ω cos ω x) ∂t 22. ρ v hareketli yüklerin hacim yük yoğunluğu ρv ∇ ⋅ U + (U ⋅ ∇) ρv + ∂ρv / ∂t = 0 olduğunu gösteriniz. ve U ortalama hızı ise ∇⋅ ρv U ∂ρ v ∂ρ ∇ ⋅J + = 0 ⇒ U ⋅ ∇ρ v + ρ v ∇ ⋅ U + v = 0 ∂t ∂t ∇⋅ ρv U 23. 100 V’luk potansiyel fark 2 mm yarıçapında ve 10 m uzunluğunda nikel telin iki ucu arasında tutuluyor. (4.27) eşitliğini kullanarak telde kaybolan gücü bulunuz. (4.25) eşitliği ile bulunan cevabı doğrulayınız. 8 = = 10 V/m ⇒ = ρ 10 / 7,8 × 10−= E 100 / 10 J E/= 128, 2051 × 106 A/m 2 P= ∫ v p J ⋅ E dv= 128, 2051 × 106 × 10 × π × 22 × 10−6 × 10= 161107,3156 W R= V2 7,8 × 10−8 × 10 = Ω ⇒ = = VI= 161107,3156 W P 0,062 π 22 × 10−6 R 24. 10 m uzunluğunda ve 0,5 mm yarıçapında bir iletken telin uçları arasına 12 V’luk bir potansiyel uygulandığında 2 A geçmektedir. Isı olarak kaybolan gücü bulunuz. P = VI = 12 × 2 = 24 W 25. Karbon çubuğun yarıçapı 0,25 mm ise 10 Ω’luk direnç yapmak için ne kadar uzunlukta karbon çubuk gerekir? Karbon çubuğun uçları arasına 12 V’luk potansiyel farkı uygulandığında kaybolan güç nedir? R= ρL A ⇒ 10 = 3,5 × 10−5 × L V 2 122 0,056 m L P ⇒ = ⇒ = = = 14, 4 W 10 π 0, 252 × 10−6 R 26. İç ve dış yarıçapları 8 mm ve 10 mm olan bir koaksiyel kablonun iletkenleri arasındaki ortamın dielektrik katsayısı 2 ve öziletkenliği 6,25 µS/m dir. Kablonun birim uzunluğu başına direnci nedir? İletkenler arasındaki potansiyel fark 230 V ise kabloya verilen toplam güç nedir? V ρ =b =⇒ 0 c2 = −c1 ln b 1 ∂ ∂V ln(b / ρ ) ρ ∇V= =0 ⇒ V =c1 ln ρ + c2 ⇒ Vo ⇒ V =Vo ln(b / a ) ρ ∂ρ ∂ρ V ρ = a = Vo ⇒ c1 = ln(a / b) 2 Kararlı Elektrik Akımları E = −∇V ⇒ E = 339 Vo σ Vo aρ ⇒ J = aρ ρ ln(b / a) ρ ln(b / a) I= R= ∫ J ⋅ ds = s σ Vo 2π 1 0 ρ ln(b / a ) ∫ L ρ dφ ∫ dz = 0 2π Lσ Vo ln(b / a ) Vo Vo2 2302 ln(b / a ) ln(10 / 8) ⇒R= ⇒R= = Ω ⇒ = = = 931 W P 56,82 I R 56,82 2π Lσ 2π 100 × 6, 25 × 10−6 27. Bir elektrostatik generatörün kayışı 30 cm genişliğinde ve 20 m/s hızla hareket etmektedir. Kayış 50 µA’e karşılık gelen miktarda yük taşımaktadır. Kayıştaki yüzey yük yoğunluğunu hesaplayınız. I = ρ s × genişlik × uzunluk 10 × 10−6 ⇒ ρs = = 8,33 μC/m 2 saniye 30 × 10−2 × 20 28. Her biri 1 m2 alanında paralel iki metal plaka arasındaki bölge 0,5 mm, 0,2 mm ve 0,3 mm kalınlıklarında ve sırasıyla 10 kS/m, 500 S/m ve 0,2 MS/m öziletkenliklerinde üç iletken ortam ile dolduruluyor. İki plaka arasındaki etkin direnç nedir? Plakalar arasındaki potansiyel fark 10 mV ise her bölgedeki J ve E alanları nedir? Her ortamdaki güç kaybı ve toplam güç kaybı nedir? 0,5 × 10−3 = R1 = 50 × 10−9 Ω 3 10 × 10 × 1 0, 2 × 10−3 −9 = 400 × 10 Ω R = R1 + R2 + R3 = 451,5 × 10−9 Ω R2 = 500 × 1 0,3 × 10−3 = R3 = 1,5 × 10−9 Ω 6 0, 2 × 10 × 1 I= V 10 × 10−3 I = = 22148,39 A ⇒ J1 = J 2 = J 3 = = 22148,39 kA/m 2 R 451,5 × 10−9 A 340 Elektromanyetik Alan Teorisi 22148,39 2, 2148 V/m = E1 = 10 × 103 22148,39 =44, 2967 V/m J =σ E ⇒ E2 = 500 22148,39 0,11074 V/m = = E3 0, 2 × 106 P = V 2 (10 × 10−3 ) 2 = = 221, 48 W R 451,5 × 10−9 29. Önceki problemde sınır şartlarını kullanarak iletken üç ortam arasında iki ara yüzeydeki yüzey yük yoğunluklarını belirleyiniz (ε r = 1) . −9 2, 2148a z D1 = −ε o E1 = − 10 36π ρ s1 =a z ⋅ (D1 − D2 ) =372,08 pC/m 2 10−9 D2 = −ε o E2 = − 36π 44, 2967a z ⇒ ρs 2 = a z ⋅ ( D 2 − D3 ) = −390,68 pC/m 2 −9 10 −ε o E3 = − 36π 0,11074a z D3 = 30. Plakalar arasındaki açıklığı 10 cm olan bir diyotun anodu katoduna göre 10 kV potansiyelindedir. Katotta bir elektronun başlangıç hızı sıfır ise anoda çarptığındaki son hızı nedir? Diyottaki gerilim dağılımını, elektrik alan şiddetini ve akım yoğunluğunu belirleyiniz. J = ρv U ⇒ ρv = J ⇒ U son = 2eV m 2eV = m 2 × 1,6 × 10−19 × 10 × 103 = 59, 267 × 106 m/s 9,11 × 10−31 U son 4/3 z z V= Vo = 10 × 103 d 0,1 4/3 = 215, 443 z 4/3 kV 1/3 1/3 4Vo z 4 10 × 103 z − − −287, 26 z1/3a z kV E= az = az = 3d d 3 0,1 0,1 Kararlı Elektrik Akımları −9 1 4 ε 2e 4 10 J= (Vo )3/ 2 a z = − o2 − 2 9 d m 9 36π 0,1 341 2 × 1,6 × 10−19 (10 × 103 )3/ 2 a z = −23, 29a z kA/m 2 −31 9,11 × 10 31. Önceki problemde her plakanın alanı 4 cm2 ise diyottaki akımı hesaplayınız. I = JA = 23, 29 × (4 × 10−2 ) 2 = 37,265 A 32. σ 1 =100 S/m ve ε r1 =9,6 ile karakterize edilen ortam 1’deki 50 A/m2 lik akım yoğunluğu ara yüzeyin normali ile 30° lik bir açı yapmaktadır. Ortam 2’nin öziletkenliği 10 S/m ve dielektrik katsayısı 4 ise ortam 2’deki akım yoğunluğu nedir? Normal ile hangi açıyı yapmaktadır? Ara yüzeydeki yüzey yük yoğunluğu nedir? 3/2 1875 + 6,25 = 1881,25 2 2 50cos30= 43,3012 A/m = J= J= ° 43,3012 A/m ⇒ J= 2 2 n1 n1 n2 43,3012 + 2,5 43,3733 A/m 2 = J2 1/ 2 σ2 10 43,3012 30° 25 A/m 2 ⇒= 25 2,5 A/m 2 = J t1 50sin= Jt 2 J t1 = = = θ 2 cos −1 = 3,3041° 100 σ1 43,3733 ε1 −0,304 J n1 −9 σ1 ε1 ε 2 9,6 4 10 ⇒ = − = − ⇒ = − ρ ρ D D J 43,3012 s n1 n2 n1 s ε2 100 10 36π σ1 σ 2 = Dn 2 ε= E J 2 n2 n2 σ2 = Dn1 ε= 1 En1 ρ s = −116,391467 pC/m 2 33. İki iletken arasındaki düz ara yüzey aşağıdaki şekilde görülmektedir. Ara yüzeyin (σ 1 =100 S/m, ε r1 =2) tam üzerindeki ortam 1’deki akım yoğunluğu J1 = 20a x + 30a y − 10a z A/m 2 ise ara yüzeyin hemen altındaki (σ 2 =1000 S/m, ε r2 =9) ortam 2’deki akım yoğunluğu nedir? Her iki taraftaki ilgili E ve D alan bileşenleri nedir? Ara yüzeydeki yüzey yük yoğunluğu nedir? 342 Elektromanyetik Alan Teorisi cos30°a x + sin 30°a= 1 / 2a x + 3 / 2a y a= n y a n ⋅ (J1 − J 2 ) =0 ⇒ (1 / 2a x + 3 / 2a y ) ⋅ [(20a x + 30a y − 10a z ) − ( J x 2a x + J y 2a y + J z 2a z )] =0 10 + 15 3 − J x 2 / 2 − J y 2 3 / 2 = 10 + 15 3 0 ⇒ J x2 / 2 + J y2 3 / 2 = I 20a x + 30a y − 10a z J x 2a x + J y 2a y + J z 2a z J1 J 2 0 (1 / 2a x + 3 / 2a y ) × − an × − =⇒ 100 1000 σ σ 1 2 100 1000 0 = 3 Jy2 3 3J x 2 0 − = − − 20 2000 10 2000 ax a y az J J 3 3 3 y2 x2 = 0 ⇒ 1/ 2 3 / 2 0 − = 1000 − + 2 2 20 10 J y2 1 2 J x2 3 J z 2 II − − + − 10 1000 10 1000 10 1000 3 3J x 2 3 J z 2 1 J z 2 3 J y 2 3 a − a + a − + + − − − 20 2000 x 20 2000 y 20 2000 10 2000 z 38,0866 J x2 J y2 3 135 3 10 + 15 3 + = J= 155 − 2 2 x2 2 I ve II'den 3 195 3 2 3J x 2 − J y = − 45 3 1000 − + J y 2 = 2 2 2 20 10 19,5577 J t1 σ 1 σ2 1000 = ⇒ J z2 = − J z1 = 10 = −100 ⇒ J 2 = 38,0866a x + 19,5577a y − 100a z A/m 2 σ1 Jt 2 σ 2 100 Kararlı Elektrik Akımları 343 J n1 = a n ⋅ J1 = (1 / 2a x + 3 / 2a y ) ⋅ (20a x + 30a y − 10a z ) = 10 + 15 3 = 35, 98 135 3 195 J n 2 = a n ⋅ J 2 = (1 / 2a x + 3 / 2a y ) ⋅ 155 − − 45 3 a y − 100a z ax + 2 2 J n2 = ε1 ρ s =J n1 σ1 − 155 135 3 195 3 135 − − + 35,98 = 10 + 15 3 = 4 4 2 2 ε2 9 11 10−9 2 ε = + − = + =3, 4995 pC/m 2 (10 15 3) (10 15 3) 100 1000 o σ2 π 1000 36 veya ε1 ρ s =J n 2 σ1 − ε2 9 11 10−9 2 ε = + − = + =3, 4995 pC/m 2 (10 15 3) (10 15 3) 100 1000 o σ2 π 1000 36 34. Bir koaksiyel kablonun iç iletkeninin yarıçapı 10 cm ve dış iletkeninin yarıçapı 40 cm’dir. 10 ≤ ρ ≤ 20 arasındaki ortamın öziletkenliği σ 1 =50 µS/m ve geçirgenliği ε 1 =2ε o ve 20 ≤ ρ ≤ 40 arasındaki ortamın öziletkenliği σ 2 =100 µS/m ve geçirgenliği ε 2 =4ε o dir. D ve J arasındaki benzerliği kullanarak birim uzunluk tabanında (a) her bölgenin kapasitansını, (b) her bölgenin direncini, (c) toplam kapasitansı ve (d) toplam direnci belirleyiniz. 2πε1 2π × 2 × 10−9 = = 160,3 pF/m ln(c / a ) 36π ln 2 C1C2 C = = 106,87 pF/m ⇒ −9 C1 + C2 2πε 2 2π × 4 × 10 C2 = = = 320,6 pF/m ln(b / c) 36π ln 2 C1 = σ1 = C1 452, 24 × 10−6 Sm ε1 G1G2 G = = 301,7152 × 10−6 Sm ⇒ σ2 G + G2 1 = G2 = C2 906, 48 × 10−6 Sm ε2 = G1 = R1 1= / G1 2206 Ω / m ⇒ R = R1 + R2 = 3309 Ω / m = R2 1 = / G2 1103 Ω / m 35. Önceki problemde sınır şartlarını kullanarak ara yüzeydeki yüzey yük yoğunluğunu hesaplayınız. Koaksiyel kablonun uzunluğu 100 m ve iletkenler arasındaki potansiyel fark 10 V’tur. 344 Elektromanyetik Alan Teorisi J 480,9759 9,619518 E1 = aρ = aρ = σ1 ρ 50 ρ J 480,9759 4,809759 E2 = = aρ = aρ σ2 ρ 100 ρ 10 3309 I 100 480,9759 J= aρ = aρ = μA/m 2 ρ 2πρ L 2πρ100 −9 10 9,619518 a ρ = 170,11a ρ pC/m 2 V/m ⇒ D1 = ε1E1 = 2 ρ 36π − 9 10 4,809759 a ρ = 170,11a ρ pC/m 2 V/m ⇒ D2 = ε 2 E 2 = 4 ρ 36π ρs ρ = 20 cm = Dn1 − Dn 2 = 0 36. Önceki problemin eşdeğer devresini çiziniz. Kapasitörü yüklemek için V o gerilimi uygulanmıştır. Eğer gerilim t=0 anında kaldırılırsa kapasitör uçlarındaki gerilimin başlangıç değerinin yarısı olması için geçen zamanı belirleyiniz. Bütün pratik amaçlar için kapasitörün tamamen deşarj olması için ne kadar zaman geçecektir? −9 = τ 353,63283×10 s Vo −T /τ = Vo e ⇒ T= τ ln 2= 3309 × 106,87 × 10−12 ln 2= 245,12 ns ⇒ 5τ= 1,768 μs 2 37. İçteki küresel iletkenin yarıçapı 3 cm ve dıştaki küresel iletkenin yarıçapı 9 cm’dir. 3 cm’den 6 cm’ye uzanan 50 µS/m öziletkenliğinde ve 3ε o geçirgenliğinde iç ve 6 cm’den 9 cm’ye uzanan 100 µS/m öziletkenliğinde ve 4ε o geçirgenliğinde iki dış ortam vardır. D ve J arasındaki benzerliği kullanarak (a) her bölgenin kapasitansını, (b) her bölgenin direncini, (c) toplam kapasitansı, (d) toplam direnci belirleyiniz. 4πε1ac 3 × 10−9 3 × 6 × 10−4 = 4π = 20 pF −2 C1C2 36π 3 × 10 c−a = = 16 pF C ⇒ −9 −4 C1 + C2 4πε 2bc 4 × 10 6 × 9 × 10 = = 80 pF C2 = 4π b−c 36π 3 × 10−2 = C1 G1 = G= 2 σ1 50 × 10−6 C1 = × 20 × 10−12 = 37,7 × 10−6 S ε1 10−9 3 36π σ2 100 × 10−6 12 C= 226,19 × 10−6 × 80 × 10−= 2 −9 ε2 10 4 36π G1G2 G = = 32,3147 × 10−6 S ⇒ G1 + G2 S R1 = 1 / G1 = 0,026525 × 106 Ω 6 ⇒ R = R1 + R2 = 0,030964 × 10 Ω 6 R2 = 1 / G2 = 0,00442 × 10 Ω 38. Önceki problemde iletkenler arasındaki potansiyel fark 50 V ise sınır şartlarını kullanarak ara yüzeydeki yüzey yük yoğunluğunu belirleyiniz. Kararlı Elektrik Akımları = I 345 I 1,616 × 10−3 128,57 50 = 1,616 mA ⇒ J = a= a= a r μA/m 2 r r 0,030964 × 106 A 4π r 2 r2 J1 ε ε E1 = ⇒ D1 = 1 J1 ⇒ D2 = 2 J 2 ⇒ J σ1 σ1 σ2 r = 6 cm = J1 = J 2 −9 128,57 3 4 10 − =6,32 nC/m 2 (6 × 10−2 ) 2 50 × 10−6 100 × 10−6 36π ρ s =a r ⋅ (D1 − D2 ) = 39. Önceki problemin eşdeğer devresini çiziniz. Kapasitörü yüklemek için Vo = 50 V gerilimi uygulanmıştır. Eğer gerilim t=0 anında kaldırılırsa kapasitör uçlarındaki gerilimin başlangıç değerinin yarısı olması için geçen zamanı belirleyiniz. Bütün pratik amaçlar için kapasitörün tamamen deşarj olması için ne kadar zaman geçecektir? −9 Vo = Vo e −T /τ 2 τ 495,424×10 s = 2 0,030964 × 106 × 16 × 10−12 ln = 2 343, 4 ns ⇒ 5= ⇒ T= τ ln = τ 2,47712 μs 40. Aşağıdaki şekildeki devrenin eşdeğer direnci nedir? R= 100 + 5(10 + 5) = 103,75 Ω 5 + 10 + 5 41. Aşağıdaki şekilde Vab yi belirleyiniz. I3 I1 I2 Va − 10 Va Va − 6 b düğüm noktası referans alınarak a düğüm noktasında + + =0 ⇒ Va =4 V 10 5 10 42. Aşağıdaki şekilde her kaynaktan sağlanan güç nedir? Sağlanan güç ile devrede kaybolan güç eşit midir? 346 Elektromanyetik Alan Teorisi Va − 40 Va Va − Vb 40 − 36 + + I1 = 0,4 A 0 = V − V = 14 480 V = 36 V 10 120 120 10 a b a ⇒ ⇒ ⇒ 25 − 24 −Va + 14Vb = Vb − Va Vb Vb − 25 300 Vb = 24 V I2 = = 0,1 A + + = 0 10 120 120 10 P40 = 40 × 0,4 = 16 W V 18,5 W ⇒ P40 V + P25 V = P25 = 25 × 0,1 = 2,5 W V I1 2 P10 Ω= 10 × 0,4 = 1,6 W I 22 2 P10 Ω= 10 × 0,1 = 0,1 W (Vb −Va )2 2 (36 − 24) P120 Ω = = 1, 2 W ⇒ P + P + P 18,5 W 10 Ω 10 Ω 120 Ω + P120 Ω + P120 Ω = 120 2 Va 362 P120 Ω = = 10,8 W 120 Vb2 2 24 P120 Ω = = 4,8 W 120 2 µ 5 STATİK MANYETİK ALANLAR 5.1 GİRİŞ Mıknatıslanma özelliği barındıran demir cevherinin veya mıknatısın keşfi manyetizma adı altında çalışma yapan bilim adamları arasında ilgi uyandırmıştır. Mıknatısın kendisini kuzey ve güney kutuplarına yönlendirmesi manyetik kuvvet olarak adlandırılan diğer bir kuvvetin varlığının kabul edilmesine öncülük etmiştir. Manyetik kuvvet tarafından etkilenebilen (mıknatıslanabilen) bir malzemeye manyetik malzeme adı verilir. Manyetik malzemeler sınıfına dahil edilen malzemeler, demir, kobalt ve nikeldir. Manyetize olmuş veya mıknatıslanmış bir malzemeye mıknatıs adı verilir. Asılı tutulan bir mıknatısın kuzeyi gösteren ucuna kuzey kutbu ve diğer ucuna ise güney kutbu adı verilir. Bir mıknatısın daima kuzeyi gösteren kuzey kutbu ilk denizcilik çalışmaları ve yapılan keşiflerde önemli etkiye sahip olmuştur. Şekil 5.1’de görüldüğü gibi dünyanın merkezinde varlığı düşünülen mıknatıs yerin dönme ekseni ile yaklaşık 15° açı yapacak şekilde dünyanın merkezine konulmuş gibidir. Dünya’nın manyetik alanı her ne kadar içine yerleştirilmiş dev bir mıknatıs ile temsil edilebilir gibi gözükse de böyle bir şeyin gerçek olması mümkün gözükmemektedir. Dünyanın çekirdek kısmında büyük demir rezervleri bulunmaktadır fakat çok yüksek sıcaklıklar kalıcı mıknatıslığın oluşmasını engellemektedir. Dünya’nın çekirdek kısmında (elektriksel) yük taşıyan bazı (manyetik) akımların oluşması dünya’nın manyetik alanlarının kaynağı olarak düşünülmektedir. İçerideki elektriksel ve manyetik alanların etkisiyle dönme oluşmakta ve dünya güneşin etkisiyle yörüngede kalmaktadır. Dünya’nın içindeki manyetik alanların şiddeti konusunda kesin bilgi olmamakla birlikte mevcut cihazlarla ölçülemeyecek büyüklükte (ve depremleri oluşturan yerkabuğunun hareketleri ile etkileşimde) şiddetli alanların varlığı büyük olasıdır. Elektrik alanının yük ile ilişkisinde olduğu gibi manyetik alan da mıknatıslarla etkileşim içindedir. Manyetik kuvvet hatlarının (mıknatısın dış kısmı) şekil 5.2’de görüldüğü gibi, kuzey kutbundan çıkarak güney kutbuna gittiği söylenir. Manyetik alan içine diğer bir mıknatıs konulursa bir çekim veya itme kuvveti altında kalacaktır. Deneysel gözlemlerden aynı kutupların birbirini ittiği ve farklı kutupların birbirini çektiği bulunmuştur. 348 Şekil 5.1 Dünyanın coğrafik ekseni ve manyetik ekseni arasındaki sapma. N M ve S M manyetik ekseni ve N C ve S C coğrafik ekseni göstermektedir. Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 5.2 Çubuk mıknatısı çevreleyen manyetik akı hatları Şekil 5.3’de görüldüğü gibi mıknatıslarla yapılan deneyler, mıknatıs ne kadar küçük parçaya bölünürse bölünsün, kuzey ve güney kutbun ayrılamayacağını da göstermiştir. Başka ifadeyle yalıtılmış tek yani yalnız bir kutup fiziksel bir gerçek olmamaktadır. Şekil 5.3 Çubuk mıknatısın çok sayıda küçük parçalara (mıknatıslara) bölünmesi Manyetik malzemelerin mıknatıslanabileceği ve mıknatıs olarak kullanılabileceği gerçeğinin dışında manyetizma on dokuzuncu yüzyılın başına kadar en az anlaşılmış ve ihmal edilmiş bir bilim alanı olmuştur. 1820’de Hans Christian Oersted manyetik bir iğnenin akım taşıyan bir iletken tarafından saptığını deneysel olarak keşfettiğinde önemli ve büyük bir gelişme olmuştur. Bu olay elektrik ve manyetizma bilimi arasındaki açıklığı kapatmıştır. Bilim adamları elektrik akımlarının da manyetik alan kaynakları olduğunu hemen kavramışlardır. Oersted’in keşfinden kısa bir süre sonra Biot-Savart, akım taşıyan iletken tarafından bir noktada meydana getirilen manyetik akı yoğunluğunu belirlemek için deneysel bir eşitlik geliştirmiştir. Şimdi Biot-Savart kanunu Coulomb kanununun manyetik eşdeğeri olarak görülmektedir. 1825’de André Marie Ampère akım taşıyan iletkenler arasında manyetik kuvvetin varlığını keşfetmiş ve bir dizi deneylerin sonucuna dayanan kalitatif ilişki grubunun fomülasyonunu yapmıştı. Bu keşifler günlük hayatta kullanılan elektrik makinalarının gelişimine öncülük etmiştir. Statik Manyetik Alanlar 349 Bu bölüm statik manyetik alanlar veya manyetostatik çalışmasına yani kararlı veya DC akımların meydana getirdiği manyetik alanlara ayrılmıştır. Başlangıç Biot-Savart (Jean-Baptiste Biot ve Félix Savart) kanunu ile yapılacak ve bu kanun verilen bir akım dağılımının oluşturduğu manyetik alanın hesabında temel bir formül olarak kullanılacaktır. 5.2 BİOT-SAVART KANUNU Şekil 5.4’de görüldüğü gibi I kararlı akımı taşıyan d uzunluğunda ince bir iletken elemanın bir P noktasında meydana getirdiği manyetik akı yoğunluğu deneysel olarak aşağıdaki gibi bulunmuştur. Id × a R dB = k R2 Bu eşitlikte dB manyetik akı yoğunluğu (T) veya (Wb/m2), d akım yönünde uzunluk elemanı, a R vektörü d ’den P noktasına doğru birim vektör, P noktası d akım elemanından R uzaklığında ve k ise orantı katsayısıdır. Şekil 5.4 Q noktasındaki akım elemanının P noktasında meydana getirdiği manyetik akı yoğunluğu Q(x′,y′,z′)’den P(x,y,z)’ye uzunluk vektörü, R R = Ra R = r − r ' ve SI birim sisteminde k sabiti, k= µo 4π olarak ifade edilir; µ o = 4π × 10 −7 H/m boşluğun geçirgenliğidir. k’nın yerine konulması ile dB aşağıdaki gibi tanımlanabilir. µ o Id × R dB = 4πR 3 (5.1) İntegral alınarak, µ B= o 4π Id × R ∫ R3 c (5.2) 350 Elektromanyetik Alan Teorisi elde edilir. B vektörü I kararlı akımı taşıyan ince iletkenin P(x,y,z) noktasındaki manyetik akı yoğunluğudur. B ’nin yönü d ve R düzlemlerine diktir. (5.2)’deki integral altı değişken içerir: x, y, z, x′, y′ ve z′. x, y, z üssüz değişkenleri P noktasının koordinatlarıdır ve integrasyon işlemine dahil edilmemiştir. Bunun yanında x′, y′ ve z′ üslü değişkenleri (yapay değişkenler olarak da bilinir) Q noktasının koordinatlarıdır ve integrasyon işlemine dahil edilmiştir. İntegrasyon işlemi bu üslü değerleri elimine eder. Bundan dolayı B sadece üssüz değişkenlerin bir fonksiyonu olur. P(x,y,z) noktasına alan noktası ve Q(x′,y′,z′) noktasının ise kaynak noktası olduğu söylenir. d elemanı d ' olarak (5.2) eşitliğinde yazılabilirdi fakat fazladan bir üst indis kullanımından kaçınılması tercih edilmiştir. Üslü koordinatların kullanımı üslü ve üssüz değişkenler arasındaki farkın gösterilmesinin gerektiği yerde söz konusu olacaktır. Kararlı elektrik akımları bölümünde bahsedildiği gibi Id akım elemanı J v hacimsel akım yoğunluğu ile Id = J v dv olarak tanımlanabilir ve J v ile B ’nin ilişkisi µo J v × R B= dv 4π ∫v R 3 (5.3) olarak elde edilebilir (şekil 5.5). Benzer bir eşitlik yüzey akım yoğunluğu J s (A/m) ile de aşağıdaki gibi yapılabilir (örneğin şekil 5.6 da görüldüğü gibi iletkenin yüzeyinden akım aktığında). µo J s × R ds B= 4π ∫s R 3 Şekil 5.5 Hacimsel akım yoğunluğundan dolayı P noktasındaki manyetik akı yoğunluğu (5.4) Şekil 5.6 Yüzey akım dağılımından dolayı P noktasındaki manyetik akı yoğunluğu Statik Manyetik Alanlar 351 Akım temelde bir yük akışı olduğundan dolayı (5.2) eşitliği U ortalama hızıyla hareket eden q yükü ile de tanımlanabilir (J v = ρ v U) . Eğer ρ v hacimsel yük yoğunluğu, A iletkenin kesit alanı ve d iletkenin uzunluk elemanı ise bu durumda dq = ρ v dv = ρ v Adl ’dir. Böylece (5.3) eşitliğinden µ o qU × R B= 4π R 3 (5.5) elde edilir. Bu eşitlik, ortalama U hızıyla hareket eden q yükünün R uzaklığında meydana getirdiği manyetik akı yoğunluğunu vermektedir. Eşitlik, yükün manyetik alan oluşturması için hareket halinde olması gerektiğini vurgulamaktadır. Aşağıdaki örnekler, akım taşıyan iletkenlerin bir noktadaki manyetik akı yoğunluğunun belirlenmesi için Biot-Savart kanununun uygulamalarını göstermektedir. ÖRNEK 5.1 Sonlu uzunlukta ince bir iletken şekil 5.7a’da görüldüğü gibi z=a ile z=b arasında uzanmaktadır. xy düzleminde bir P noktasındaki manyetik akı yoğunluğunu belirleyiniz. a→-∞ ve b→∞ ise P noktasındaki manyetik akı yoğunluğu nedir? (a) Sonlu uzunlukta, akım taşıyan iletkenin meydana getirdiği manyetik akı yoğunluğu (b) Sonsuz uzunlukta akım taşıyan iletkenin manyetik akı hatları iletkene dik düzlemde ortak merkezli çemberler gibidir. Şekil 5.7 → ÇÖZÜM I dl = Idza z ve R = ρa ρ − za z olduğundan Id × R = Idza z × ( ρa ρ − za z ) = Iρdzaφ dir ve bu (5.2) eşitliğinde yerine konularak b µ Ib ρdz µ Iρ z B= o a = o aφ 2 2 3/ 2 φ 4π a ( ρ + z ) 4π ρ 2 ρ 2 + z 2 a ∫ 352 Elektromanyetik Alan Teorisi µ I b a − B= o 2 2 2 4πρ ρ + b ρ + a2 aφ elde edilir. Sonuca göre B ’nin aφ yönünde sıfır olmayan bir değerinin olduğu görülmektedir. Akım z yönünde olduğundan ve B ’nin buna dik yönde olması gerektiğinden bu sonuç beklenmiştir. Önceki eşitlikte a=-∞ ve b=∞ konularak sonsuz uzunlukta iletkenin bir noktada meydana getirdiği B alanı, µ I B = o aφ 2πρ (5.6) bulunur. (5.6) eşitliğinden görüldüğü gibi manyetik akı yoğunluğu ρ’nin bir fonksiyonu olarak ters orantılı değişir. İletkene dik düzlemde şekil 5.7b’de görüldüğü gibi manyetik akı hatları iletkeni çevreleyen çemberler şeklindedir. Burada sağ el kuralının hatırlanmasında yarar vardır. Düzgün yük yoğunluklu uzun bir hattın etrafındaki E alanının büyüklüğünün değişimine (E = ρl / 2ε o ρ a ρ ) benzer şekilde B alanının büyüklüğünün ρ ile değişiminin ilginçliğine dikkat edilmelidir. Bu, bazı şartlar altında elektrostatik ve manyetostatik alanlar arasında, alanların yönlerinin farklı olması durumunda bile bir ilişki olabileceğini göstermektedir. Daha sonraki kısımlarda bunun hakkında daha fazla şey söylenecektir. ÖRNEK 5.2 (a) Şekil 5.8a’da görüldüğü gibi b yarıçapında dairesel kapalı bir çerçeve xy düzleminde ve I akımı taşımaktadır. Pozitif z ekseninde bir noktadaki manyetik akı yoğunluğu için eşitlik oluşturunuz. Çerçeveden çok uzakta bir noktadaki manyetik akı yoğunluğunun yaklaşık eşitliği nedir? (b) Şekil 5.8b’de görüldüğü gibi kenarı b olan kare biçimli kapalı bir çerçeve xy düzleminde ve I akımı taşımaktadır. Pozitif z ekseninde bir noktadaki manyetik akı yoğunluğu için eşitlik oluşturunuz. (c) Şekil 5.8c’de görüldüğü gibi, y yönünde J s = J oa y yüzey akım yoğunluğu geçiren sonsuz iletken levhanın z ekseninde P noktasındaki manyetik akı yoğunluğu ifadesini elde ediniz. ÇÖZÜM (a) d = bdφ aφ ve R = −ba ρ + za z olduğundan d × R = bdφ aφ × (−ba ρ + za z ) = (b 2a z + bza ρ )dφ ve (5.2) eşitliğinden manyetik akı yoğunluğu, µ Ib 2 B= o 4π 2π µ Ibz dφ a + o 2 2 3/ 2 z 4π (b + z ) 0 ∫ 2π µo Ib 2 dφ 2π φ 0 az = a ρ 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 (b + z ) 4π (b + z ) 0 ∫ Statik Manyetik Alanlar 353 (a) Akım taşıyan kapalı dairesel iletken çerçevenin z ekseninde P noktasındaki manyetik akı yoğunluğu (b) Akım taşıyan kare biçimli kapalı iletken çerçevenin z ekseninde P noktasındaki manyetik akı yoğunluğu (c) y yönünde, J s = J o a y sabit yüzey akım yoğunluğu geçiren sonsuz iletken levhanın z ekseninde P noktasındaki manyetik akı yoğunluğu Şekil 5.8 B= µo Ib 2 2(b + z ) 2 2 3/ 2 az elde edilir çünkü a ρ = a x cos φ + a y sin φ olduğundan ikinci integral 2π ∫ 0 2π 2π 0 0 2π 2π a ρ dφ = a x cos φdφ + a y sin φdφ = −a x sin φ 0 + a y cos φ 0 = 0 ∫ ∫ (5.7) 354 Elektromanyetik Alan Teorisi olmaktadır. Böylece akım taşıyan çerçevenin ekseninde manyetik akı yoğunluğunun sadece z yönünde bileşeni vardır. z=0 konularak çerçevenin merkezindeki manyetik akı yoğunluğu aşağıdaki gibi elde edilir. µ I B = o az 2b (5.8) İstenilen nokta çerçeveden çok uzakta olduğunda payda terimi yaklaşık olarak (b 2 + z 2 ) 3 / 2 ≈ z 3 yazılabilir ve buna göre manyetik akı yoğunluğu, µ Ib 2 B = o 3 az 2z (5.9) olarak tanımlanabilir. İstenilen nokta çerçeveden çok uzakta olduğunda çerçevenin boyutu z uzaklığına göre çok küçük olduğundan akım taşıyan çerçeve bir manyetik dipol olmaktadır. m = Iπb 2 a z = IAa z (5.10) olarak tanımlanan manyetik dipol momenti ile B alanı (5.9) eşitliğinden µm B= o 3 2πz olur; A çerçevenin alanıdır. Örnek 5.2a’da B alanının belirlenmesi için z ekseninde bir P noktası seçilmiştir. Boşlukta keyfi bir noktada B alanının hesaplanması oldukça karmaşıktır ve uygun bir yaklaşım kısım 5.7’de verilmiştir. Bunun yanında akım taşıyan çerçevenin etrafındaki manyetik akı çizgilerinin genel bir görünüşü şekil 5.9’da verilmiştir. Akı hatlarının yönüne göre üst kısım bir kuzey kutbu gibi davranmakta ve aynı şekilde alt kısım ise güney kutbu olmaktadır. Bundan dolayı akım taşıyan sargı bir elektromıknatıs olarak adlandırılır. (b) Kare biçimli akım çevrimi dört ayrı parçaya ayrılabilir. Her parçanın P noktasında oluşturduğu kısmi manyetik akı yoğunluğu bulunarak süperpozisyon prensibi ile toplanır. y = −b / 2 kenarındaki akım elemanı için diferansiyel uzunluk elemanı, d = dx a x ve uzunluk elemanı, R = −( xa x − b / 2a y ) + za z ’dir. (5.2) eşitliğinden y = −b / 2 kenarının oluşturduğu manyetik akı yoğunluğu aşağıdaki gibi hesaplanır. µI B y =−b / 2 = o 4π d × R µo I = −b / 2 4π R3 ∫ b/2 ∫ b/2 −b / 2 b (dx a x ) × − xa x + a y + za z 2 2 b x + + z2 2 2 3 Statik Manyetik Alanlar 355 Şekil 5.9 Akım taşıyan dairesel çerçevenin (fiziksel manyetik dipol) etrafındaki manyetik akı çizgileri ve eşpotansiyel yüzeyler (kısım 5.7) µI B y =−b / 2 = o 4π ∫ b/2 −b / 2 b a z − za y 2 2 b x2 + + z 2 2 3 dx b/2 µ I b x B y = − b / 2 = o a z − za y 2 4π 2 2 b 2 b 2 z + x + + z2 2 2 B y =−b / 2 µ I b b = o a z − za y 2 4π 2 2 b b 2 + z2 z + 2 2 −b / 2 y = −b / 2 kenarının tam simetriğindeki ( y = b / 2) akım elemanının P noktasında oluşturduğu manyetik akı yoğunluğu, yukarıdaki aynı yol takip edilerek, 356 Elektromanyetik Alan Teorisi B y =b / 2 µ I b b = o a z + za y 2 4π 2 2 b b 2 + z2 z + 2 2 olarak hesaplanır. Bulunan iki akı yoğunluğu toplanarak, B y = − b / 2 + B y =b / 2 µ I b b =2 o 4π 2 2 b 2 b 2 + z2 z + 2 2 µ Ib 2 a z = o 4π 1 a z 2 b 2 b2 2 z + +z 2 2 elde edilir. Sonuçtan görüldüğü gibi akı yoğunluğunun y bileşenleri birbirini götürmektedir. Benzer şekilde, x = −b / 2 ve x = b / 2 kenarlarındaki akım elemanlarının P noktasında oluşturduğu manyetik akı yoğunluğu aşağıdaki gibi bulunur. µ Ib 2 1 B x = − b / 2 + B x =b / 2 = o az 2 4π 2 b b 2 z + + z2 2 2 P noktasındaki akı yoğunluğu, aşağıda görüldüğü gibi bir kenardaki akım elemanının oluşturduğu akı yoğunluğunun 4 katıdır. 1 µ Ib 2 az B = B y = − b / 2 + B y =b / 2 + B x = − b / 2 + B x =b / 2 = o 2 2π 2 b b 2 z + + z2 2 2 T z = 0 konularak kare biçimli akım çevriminin merkezindeki akı yoğunluğu, µ I 2 2 B z =0 = o az π b T olarak hesaplanır. (c) Şekil 5.8c’den görüldüğü gibi diferansiyel yüzey elemanı, ds = dxdy ve uzunluk elemanı, R = −( xa x + ya y ) + za z ’dir. 5.4 eşitliğinden sonsuz düzlemden geçen sabit yüzey akım yoğunluğunun oluşturduğu manyetik akı yoğunluğu aşağıdaki gibi hesaplanır. µ B= o 4π ∫ s Js × R µ ds = o 3 4π R ∫ y =∞ y = −∞ ∫ x =∞ x = −∞ J oa y × (−( xa x + ya y ) + za z ) x2 + y 2 + z 2 3 dxdy Statik Manyetik Alanlar 357 µ J B= o o 4π ∫ y =∞ y = −∞ ∫ y =∞ y = −∞ y = −∞ x =∞ x x = −∞ x2 + y 2 + z ∫ ∫ ∫ x =∞ x = −∞ y =∞ ∫ x =∞ x = −∞ xa z + za x x +y +z 2 2 2 3 dxdy ∞ ,∞ =0 dxdy = − ln y + x 2 + y 2 + z 2 3 −∞ , −∞ 2 xy −1 dxdy = tan 3 2 z x + y2 + z2 x2 + y 2 + z 2 z µo J o + 2 a x B= − µo J o a x 2 ∞ ,∞ = 2π −∞ , −∞ z>0 T z<0 Çözüm, sonsuz iletken düzlemin aşağısı ( z < 0) ve yukarısındaki ( z > 0) manyetik akı yoğunluklarının zıt yönlerde olduğunu göstermektedir. Bu durum sağ el kuralı ile kolaylıkla doğrulanabilir. İlk bakışta B alanı, kapalı bir döngü oluşturmuyor gözükmekte fakat sonsuz düzlemin bir tarafından sonsuza giden kuvvet çizgilerinin diğer taraftan geri döndüğü dikkate alınırsa, B alanının selenoidal özelliğini koruduğu doğrulanabilir. ALIŞTIRMALAR 1. 0 ≤ z ≤ ∞ arasındaki çok ince bir iletken telden geçen I akımından dolayı z = 0 düzlemindeki herhangi bir noktadaki manyetik akı yoğunluğu ifadesini elde ediniz. 2. − L ≤ z ≤ L arasındaki düzgün bir telden I akımı geçmektedir. Teli ikiye bölen düzlemde herhangi bir noktadaki manyetik alan nedir? 3. Aşağıdaki şekilde (şekil 5.10) görüldüğü gibi sonsuz uzunlukta a yarıçapında içi dolu manyetik olmayan bir iletkenden I akımı geçmektedir. İletkenin iç ve dış kısımlarındaki manyetik akı yoğunluğunun radyal yönde değişim eğrisinin şekilde görüldüğü gibi olduğunu doğrulayınız. (a) Sonsuz uzunlukta I akımı taşıyan yuvarlak iletken (b) Manyetik akı yoğunluğunun radyal yönde değişimi Şekil 5.10 358 Elektromanyetik Alan Teorisi 4. Aşağıdaki şekilde (şekil 5.11) görüldüğü gibi, çok uzun ve hava nüveli silindirik selenoid oluşturmak için b yarıçapında ve L uzunluğundaki silindir üzerine çok ince iletken telden N sarım sıkıca sarılmıştır. İletken telden I kararlı akımı geçtiğinde silindir eksenindeki herhangi bir noktadaki manyetik akı yoğunluğunu bulunuz. Silindirin merkezindeki ve uçlarındaki manyetik akı yoğunlukları nedir? Şekil 5.11 Çok uzun, hava nüveli silindirik selenoid 5.3 AMPÈRE KUVVET KANUNU Ampère tarafından yapılan deneylerin çoğu akım taşıyan bir iletkene başka bir akım taşıyan iletkenin etkilediği kuvvetin belirlenmesi ile ilgiliydi. Deneylerinin sonucunda akım taşıyan I 1d 1 ve I 2 d 2 elemanlarının etkileşiminde 1 nolu elemanın 2 nolu eleman üzerinde oluşturduğu manyetik kuvveti aşağıdaki gibi gösterebilmişti. µ o I 2 d 2 I1d 1 × R 21 dF2 = × 3 4π R21 R 21 şekil 5.12’de görüldüğü gibi I 1d 1 den I 2 d 2 ’ye uzunluk vektörüdür. Eğer şekil 5.13’de görüldüğü gibi her akım taşıyan eleman, akımı taşıyan iletkenin bir parçası olduğundan 1 nolu akım taşıyan iletkenin 2 nolu akım taşıyan iletkene etkilediği manyetik kuvvet µ F2 = o 4π I1d 1 × R 21 ∫ I 2d 2 × ∫ R3 21 c2 c1 olur ve bu eşitlik Ampère kuvvet kanunu olarak bilinir. (5.11a) Statik Manyetik Alanlar 359 Şekil 5.12 1 nolu akım elemanından dolayı 2 nolu akım elemanındaki manyetik kuvvet Şekil 5.13 1 nolu iletkenin 2 nolu iletken üzerindeki manyetik kuvveti (5.2) eşitliği kullanılarak (5.11a) eşitliği aşağıdaki gibi yazılabilir. F2 = ∫ I 2 d 2 × B1 (5.11b) c2 µ B1 = o 4π ∫ c1 I1d 1 × R 21 3 R21 (5.11c) olarak 1 nolu akım taşıyan iletkenin I 2 d 2 akım taşıyan elemanın bulunduğu yerde meydana getirdiği manyetik akı yoğunluğudur. Genel olarak akım taşıyan iletken harici bir B manyetik alanına yerleştirildiğinde iletkende aşağıdaki gibi bir manyetik kuvvet meydana gelir. F = ∫ Id × B (5.12a) c Hacimsel akım yoğunluğu ile (5.12a) eşitliği F = ∫ J v × B dv (5.12b) v olarak ifade edilebilir. (5.12b) eşitliği Ampère kuvvet kanununun genel biçimi olarak düşünülebilir. J v dv yerine J s ds konulmasıyla harici manyetik alan içinde bulunan yüzey akım dağılımı üzerindeki manyetik kuvvet ifadesi elde edilebilir. Eğer ρ v1 hacimsel yük yoğunluğu, U1 yükün ortalama hızı ve A1 akım taşıyan iletken 1’in kesit alanı ise dq1 = ρ v1 Ad1 ve J v1dv1 = dq1 U1 ’dir. Eğer bölgedeki manyetik akı yoğunluğu B ise q1 yükü üzerindeki manyetik kuvvet, F1 = q1U1 × B (5.13) 360 Elektromanyetik Alan Teorisi olur. B aynı zamanda yüklerin hareketi ile meydana gelmişse (5.5)’den U 2 ortalama hızıyla hareket eden q 2 tarafından üretilen manyetik alanda q 1 yüküne etkiyen manyetik kuvvet, [ µo q q F1 = U × U × R 1 1 2 2 12 4πR123 ] (5.14) ile ifade edilir ve (5.14) eşitliği manyetik kuvvetin temel bir kuralı olarak önerilebilir ve Ampère kuvvet kanunu ve Biot-Savart kanunu ifadelerinin elde edilmesi için kullanılabilir. Burada elektrik kuvveti ve yerçekimi gibi hareketli iki yük arasındaki manyetik kuvvetin aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı olarak değiştiğini söylemek yerinde olacaktır. ÖRNEK 5.3 Şekil 5.14’de görülen bükülü iletken I akımı taşımakta ve xy düzleminde uzanmaktadır. Ortamdaki manyetik akı yoğunluğu B = Ba z ise iletkene etkiyen manyetik kuvveti bulunuz. Şekil 5.14 ÇÖZÜM İletkenin x =-(a+L) ve x =-a arası kısmına etkiyen manyetik kuvvet (5.12a) eşitliğinden F1 = −a ∫ IB(a x × a z )dx = − BILa y −( a + L) ve benzer şekilde iletkenin x=a ve x=a+L arası kısmına etkiyen manyetik kuvvet, (a+ L) F2 = IB(a x × a z )dx = − BILa y ∫ a dir. a yarıçapında yarı-çember yaya etkiyen kuvvet, −2 aρ 0 0 0 IB ( ) ad φ BIa [ cos φ sin φ ] d φ BIa ( cos φ ) π ay = F3 = a × a = a + a = − −2 IBaa y y ∫ φ z ∫ x π π bulunarak tüm iletkendeki bileşke manyetik kuvvet, F = F1 + F2 + F3 = −2 IB ( a + L)a y Statik Manyetik Alanlar 361 elde edilir. Bükülmüş iletkene etkiyen toplam manyetik kuvvetin 2(L+a) uzunluğunda düz iletkene etkiyen kuvvetle aynı olduğuna dikkat edilmelidir. ÖRNEK 5.4 Şekil 5.15’de sonsuz uzunlukta akım taşıyan bir iletkenden b uzaklığında sonlu L uzunluğunda akım taşıyan diğer bir iletken yerleştirilmiştir. Sonlu iletkenin birim uzunluğu başına etkiyen manyetik kuvveti belirleyiniz. ÇÖZÜM 5.1 örneğinden, I akımı taşıyan sonsuz uzunlukta iletkenden b uzaklığında meydana gelen manyetik akı yoğunluğu, µ I B = o aφ 2πb ile (5.12a)’dan sonlu iletkene etkiyen manyetik kuvvet Şekil 5.15 µo I 2 F = 2π b −L 2 ∫ (-a z × a= φ ) dz +L 2 µo 2 I La ρ 2π b elde edilir. Buradan akım taşıyan sonlu iletkende birim uzunluk başına manyetik kuvvet aşağıdaki gibi hesaplanır. F µo 2 Fbirim uzunluk= = I a ρ N/m L 2π b (5.15) F manyetik kuvveti a ρ yönünde ve sonsuz uzunluktaki iletkenden uzak yönü gösterdiğinden doğal olarak itici bir kuvvettir. Her iki iletken aynı yönde akım taşısalardı aralarındaki manyetik kuvvet çekici bir kuvvet olacaktı. (5.15) eşitliği gerçekte akım birimi olan amper’in tanımında kullanılır: Aralarında bir metre açıklık ile her biri 1 metre uzunluğunda, akım taşıyan paralel iki iletken birbirleri üzerinde 2 × 10 −7 newton’luk kuvvet meydana getiriyorlarsa her iletkenden geçen akım 1 amperdir. Akım taşıyan iki iletken için (5.1) eşitliği ∫∫ [ µII F2 = o 1 2 4π c 2 c1 1 × d d 1 × R 21 2 3 R21 ] 362 Elektromanyetik Alan Teorisi olarak da yazılabilir. A × ( B × C) = B( A ⋅ C) − C( A ⋅ B) vektör özdeşliği kullanılarak önceki F2 eşitliği µII F2 = o 1 2 4π c 2 ∫∫ c1 d 2 ⋅ R 21 d 1 − 3 R21 c d 1 ⋅ d 2 R 21 3 R21 c1 ∫∫ 2 3 = −∇(1 R21 ) olduğundan sağ taraftaki birinci integral gibi yazılabilir. R 21 / R21 − 1 ⋅ d 2 d 1 21 c1 c2 ∫ ∫ ∇ R olur. I 2 akımı taşıyan iletken kapalı bir döngü veya çerçeve ise Stokes teoremi uygulanarak çizgisel integral aşağıdaki gibi yüzey integraline dönüştürülür. − 1 ⋅ d s2 d 1 ∇ × ∇ R21 c1 s2 ∫∫ Bununla beraber bu integral, skaler bir fonksiyonun gradyanının rotasyonel’i sıfır olacağından sıfırdır. Böylece herhangi bir biçimde akım taşıyan çerçeveye etkiyen manyetik kuvvet aşağıdaki gibi ifade edilir. µII F2 = − o 1 2 4π ∫ c1 d 1 ⋅ d 2 c∫ R213 R 21 2 (5.16) Aşağıdaki örnek (5.16) eşitliğinin bir uygulamasını vermektedir. ÖRNEK 5.5 Dikdörtgen biçiminde I 2 akımı taşıyan bir çerçeve şekil 5.16’da görüldüğü gibi I 1 akımı taşıyan düz bir iletkenin yakınına yerleştirilmiştir. Çerçeve üzerine etkiyen manyetik kuvveti belirleyiniz. ÇÖZÜM Çerçeveye etkiyen toplam manyetik kuvvet çerçevenin dört kısmına, AB, BC, CD ve DA etkiyen kuvvetlerin toplamıdır. AB veya CD’nin diferansiyel uzunluk parçası d 2 = dz 2 a z ve BC veya DA’nın ise d 2 = dy 2 a y dir. Düz iletkenin diferansiyel uzunluğu d 1 = dz1a z dir. (5.16) eşitliği d 1 ve d 2 diferansiyel uzunluk elemanlarının (çerçevenin BC ve DA kısımları için) nokta çarpımını içermekte ve nokta çarpım sıfırdır. Bundan dolayı sadece AB ve CD kısımları kapalı çerçeveye etkiyen toplam manyetik kuvvete katkı sağlamaktadır. Öncelikle çerçevenin AB kısmına etkiyen manyetik kuvveti belirleyelim. Uzunluk vektörü, R 21 = ba y + ( z2 − z1 )a z Statik Manyetik Alanlar 363 olarak tanımlanır. (5.16)’dan AB kısmındaki manyetik kuvvet, µII FAB = − o 1 2 4π L a ∫ dz ∫ 1 −L −a ba y + ( z2 − z1 ) a z [b 2 + ( z2 − z1 ) 2 ] 3 2 dz2 µ II FAB = − o 1 2 ( L + a ) 2 + b 2 − ( L − a ) 2 + b 2 a y 2πb (5.17) dir. Parantez içindeki değer pozitiftir ve negatif işareti AB kısmına etkiyen manyetik kuvvetin çekici özellikte olduğunu göstermektedir. Benzer şekilde CD kısmı için aşağıdaki ifade elde edilebilir. µII FCD = − o 1 2 4π −a L ∫ dz ∫ 1 −L a ca y + ( z2 − z1 ) a z [c 2 + ( z2 − z1 ) 2 ] 3 2 dz2 µII FCD = o 1 2 ( L + a ) 2 + c 2 − ( L − a ) 2 + c 2 a y 2πc (5.18) FCD ’nin açıkca itici özellikte olduğu görülmektedir. Böylece dikdörtgen çerçeveye etkiyen toplam manyetik kuvvet, µ I I 1 1 F = −a y o 1 2 ( L + a ) 2 + b 2 − ( L − a ) 2 + b 2 + ( L + a ) 2 + c 2 − ( L − a ) 2 + c 2 c 2π b olur ve c>b olduğundan bu eşitlik akım taşıyan düz iletken ile akım taşıyan çerçeve arasındaki çekme kuvvetini göstermektedir. Şekil 5.16 Sonsuz uzunlukta düz iletkenin meydana getirdiği manyetik alan içine yerleştirilmiş akım taşıyan çerçeve ALIŞTIRMALAR 5. Örnek 5.3’ü B = Ba x ve B = Ba y için tekrar ediniz. 364 6. 7. Elektromanyetik Alan Teorisi F1 = [ ] µo q1U1 × q2 U 2 × R12 eşitliğini manyetik kuvvetin temel bir kuralı varsayarak Biot3 4π R12 Savart kanunu ve Ampère kuvvet kanunu ifadelerini elde ediniz. (5.17) ve (5.18) eşitliklerini doğrulayınız. 8. Örnek 5.5 de L=10 m, b=2 cm, c=10 cm, a=5 cm ve I 1 =I 2 =10 A ise çerçeveye etkiyen manyetik kuvveti bulunuz. 5.4 MANYETİK TORK Şekil 5.17 Manyetik alanın akım taşıyan çerçevede oluşturduğu torkun belirlenmesi için gösterimler. Önceki kısımda, manyetik alan içine konulmuş akım taşıyan iletken üzerinde bir kuvvet oluştuğu ve bu kuvvetin hem manyetik alana ve hem de iletkene dik yönde olduğu bulunmuştu. Bununla Statik Manyetik Alanlar 365 beraber akım taşıyan sargı bir manyetik alan içine yerleştirilirse, sargıda meydana gelen manyetik kuvvet sargının dönmesine neden olabilir. Gerçekte bu, elektrik motorları ve D’Arsonval tipi elektrik sayaçlarının esas çalışma prensibidir. Şekil 5.17a’da görüldüğü gibi tek sarımlı akım taşıyan bir çerçeve B manyetik alanı içine konulmuştur. Sargı düzlemi manyetik alana paralel ve z ekseni etrafında dönebilecek serbestliktedir. Sargının kesit alanı LW’dir. Ampère kuvvet kanununa göre bc ve da kenarına etkiyen kuvvet yoktur. B alanının ab ve cd kenarlarında meydana getirdiği kuvvetler aşağıdaki gibidir. Fab = − BILa y Fcd = BILa y Şekil 5.17b sargının kenarlarına etkiyen kuvvetleri göstermektedir. İki kuvvetin hareket hatları çakışmadığından bu kuvvetler sargıyı ekseni etrafında döndürecek bir tork meydana getirir. ab ve cd kenarlarının moment kolları, (W 2)a x ve − (W 2)a x dikkate alınarak ab ve cd kenarlarındaki torklar aşağıdaki gibi bulunur. W 1 Tab = a x × Fab = − BILWa z 2 2 W 1 Tcd = − a x × Fcd = − BILWa z 2 2 Sargıya etkiyen net tork, T = Tab + Tcd = − BILWa z olur. Bu ifade manyetik dipol momenti ile T = m×B (5.19) m = ILWa y = IAa y (5.20) olarak yazılabilir. dir. Şimdi tork’un etkisi altında sargının dönerek şekil 5.17c’de görüldüğü gibi y ekseni ile θ açısı yaptığını varsayalım. ab ve cd kenarlarındaki manyetik kuvvetler aynı kalmakla beraber bc ve da kenarlarına etkiyen manyetik kuvvetler aşağıdaki gibi bulunur. Fbc = ∫ I ( dxa x + dya y ) × a x B = − BIW cosθ a z c2 Fda = BIW cosθ a z 366 Elektromanyetik Alan Teorisi Fbc ve Fda kuvvetlerinin hareket hattı aynı olduğundan z yönünde bileşke kuvvet sıfırdır. Böylece şekil 5.17d’de görüldüğü gibi torka katkısı olan kuvvetler sadece Fab ve Fcd dir. ab ve cd kenarlarına etkiyen torklar, 1 W Tab = a x sin θ − a y cosθ × (−a y BIL) = − BILW sin θ a z 2 2 [ ] W 1 Tcd = − a x sin θ + a y cosθ × (a y BIL) = − BILW sin θ a z 2 2 [ ] ile bileşke tork, T = Tab + Tcd = − BILW sin θ a z = m × B (5.21) elde edilir. Sargı üzerindeki tork sinüsoidal olarak değiştiğinden sargı manyetik alana paralel olduğunda tork maksimumdur. Aynı mantıkla manyetik alan sargı düzlemine dik olduğunda tork sıfırdır. Eğer sargı düzlemi manyetik alana dik değilse, sargı düzlemi torkun yönü tarafından alana dik oluncaya kadar döndürülme eğilimindedir. Başlıca bir deyimle m manyetik dipol momenti B ile aynı doğrultuya gelmeye çalışır. Sargı düzlemi manyetik alana dik olduğunda sargı bu pozisyonda kilitlenir ve bundan sonra dönme gerçekleşmez. (5.21) eşitliği dikdörtgen sargı için geliştirilmiş olmakla beraber herhangi biçimdeki bir sargı için de geçerlidir. Eğer sargı birbirine yakın sarılmış N sarımlı ise sargıda manyetik alan tarafından meydana getirilen net tork bir sarımlı sargının N katı olacaktır. ÖRNEK 5.6 200 sarımlı dairesel sargının ortalama alanı 10 cm² dir. Sargı düzlemi 1,2 T’lik düzgün manyetik akı yoğunluğu ile 30° açı yapmaktadır (şekil 5.18a). Sargıdan 50 A geçerse sargıdaki torku belirleyiniz. (a) B alanına daldırılmış sargı (b) Yan görünüş Şekil 5.18 Örnek 5.6 için dairesel sargı ÇÖZÜM Dipol momentinin yönünü gösteren sargının yan görünüşü şekil 5.18b’de görülmektedir. Manyetik dipol momenti xy düzlemindedir ve genliği aşağıdaki gibi hesaplanır. m = NIA = 200 × 50 × 10 × 10−4 = 10 At.m² Statik Manyetik Alanlar 367 Sargı üzerindeki tork, T = m × B = a z 10 × 1,2 sin 60° = 10,39a z Nm olarak elde edilir. ALIŞTIRMALAR 9. 10 cm × 20 cm ebadında 10 sarımlı bir sargı 0,8 T’lık manyetik alana yerleştirilmiştir. Sargıdan 15 A geçmekte ve uzun ekseni boyunca serbestçe dönebilmektedir. Tam bir dönüş için sargının yer değişimi açısı ile sargıya etkiyen tork grafiğini çiziniz. 10. Bir D’Arsonval sayacı 0,2 T’lık manyetik alanda 4 cm uzunluğunda ve 2,5 cm genişliğindeki sargısı 25 sarımlı olacak şekilde tasarlanmıştır. Aygıtın geri getirici torku bir yay ile uygulanmakta ve bu θ sapma açısı ile orantılıdır. Yay sabiti derece başına k=50 µNm’dur. Skalada bulunan 50° ’lik yay 100 eşit taksimata bölünmüştür. Aygıtın tasarımı, manyetik alan daima sargının eksenine göre radyal yönde olacak şekilde yapılmıştır. (a) sapmanın her derecesi için, (b) skala taksimatı için ve (c) tam skala sapması için sargıdan geçen akımı hesaplayınız. 5.5 MANYETİK AKI VE GAUSS KANUNU Şekil 5.19a’da c kontur’u ile sınırlanmış s açık yüzeyini geçen manyetik alan hatları görülmektedir. Bütün yüzey boyunca, duruma bağlı olarak B manyetik akı yoğunluğu düzgün olabilir veya olmayabilir. Şekil 5.19b’de görüldüğü gibi yüzey n sayıda küçük yüzeylere bölünür ve her bir yüzeyi geçen B alanının düzgün yoğunlukta olduğu varsayılırsa; bu durumda ∆si yüzeyini geçen manyetik akı ∆Φ i = B i ⋅ ∆si olarak tanımlanır. Eşitlikte B i ∆si yüzeyini geçen manyetik akı yoğunluğudur. s yüzeyini geçen toplam manyetik akı aşağıdaki gibi verilir. n Φ = ∑ B i ⋅ ∆si i =1 Bu eşitlikteki toplam küçük yüzeyler sıfıra yaklaşırken bir belirli integral ile değiştirilebilir. Böylece s açık yüzeyini geçen manyetik akı Φ = ∫ B ⋅ ds (5.22) s ile tanımlanır. Manyetik akı weber (Wb) olarak ölçülür. Manyetik akı yoğunluğu yüzeye tanjant ise yüzeyi geçen toplam akı sıfırdır. Bir mıknatısın kuzey ve güney kutupları ayrılamadığından kuzey kutbundan ayrılan manyetik akı hatlarının sayısı güney kutbuna giren manyetik akı hatlarının sayısına eşittir. Buna ek olarak sonsuz uzunlukta akım taşıyan bir iletkenin çevresindeki manyetik akı hatlarının eş merkezli çemberler biçimini aldığı gösterilmişti. Bütün bu gözlemler, manyetik akı hatlarının daima sürekli olduğu 368 Elektromanyetik Alan Teorisi sonucuna öncülük etmektedir. Başka bir deyimle kapalı yüzeye giren akı kapalı yüzeyi terk eden akıya eşit yani ∫ B ⋅ ds = 0 (5.23a) s dir. (5.23a) eşitliği manyetik alanlar için Gauss kanununun integral biçimi olarak bilinir. Kapalı yüzey integrali aşağıdaki gibi, diverjans teoreminin doğrudan bir uygulaması ile hacim integraline dönüştürülebilir: ∇ ⋅ B ∫ dv = 0 v v kapalı s yüzeyi ile sınırlanan hacimdir. Çünkü gözlem altındaki hacim genellikle sıfır olmadığından bu eşitliğin anlamı ∇⋅B = 0 (5.23b) dir. (5.23b) eşitliği manyetik alanlar için Gauss kanununun diferansiyel veya nokta biçimi olarak bilinir. B ’nin diverjansı sıfır olduğundan manyetik akı yoğunluğu selenoidal biçimdedir. Kararlı akımlar tarafından üretilen manyetik alanlar üzerinde tartışılmasına rağmen (5.23a ve b) eşitlikleri tamamen geneldir ve akımların zamanla değişimi durumunda da geçerlidir. (5.23b) eşitliği daha sonra Maxwell’in dört denkleminden birisi olarak karşımıza gelecektir. (a) Açık bir yüzeyi geçen manyetik akı hatları (b) n sayıda küçük yüzeylere bölünmüş aynı açık yüzey Şekil 5.19 ÖRNEK 5.7 Çok uzun, benzer ve paralel iki iletken zıt yönlerde 1000 A akım geçirmekte ve 100 m açıklığındaki direkler üzerine gerdirilmiştir. Eğer iletkenlerin yarıçapı 2 cm ve eksenleri arasındaki açıklık 1 m ise iletkenler ve iki direk arası ile sınırlanan bölgeyi geçen akıyı bulunuz. Statik Manyetik Alanlar 369 ÇÖZÜM Her biri a yarıçapında, b uzaklığı ile birbirinden ayrılmış ve zıt yönlerde akım taşıyan paralel iletkenler şekil 5.20’de görülmektedir. İki direk arası uzaklık L’dir. İletkenlerin düzleminde bir y noktasındaki manyetik akı yoğunluğu, µI B=− o 2π 1 1 y + b − y a x ile istenilen akı, Φ= µo I 2π b−a ∫ a 1 µo I 1 y y + b − y dy dz = 2π ln b − y 0 L ∫ b−a L z0 = a µo IL b − a ln π a elde edilir. Diferansiyel yüzey, ds = − dydza x ’dir. Şekil 5.20 İki iletken telli iletim hattı Örnekte verilen (a=0,02 m, b=1 m, L=100 m ve I=1000 A) sayısal değerler yerine konulduğunda istenilen akı aşağıdaki gibi bulunur. Φ=155,67 mWb ÖRNEK 5.8 B = Ba z ise orijinde bulunan R yarıçapında ve z=0 düzlemi ile sınırlanan bir yarı küreyi geçen manyetik akıyı hesaplayınız. ÇÖZÜM Şekil 5.21’de olduğu gibi yarı küre ve r yarıçapındaki dairesel disk bir kapalı yüzey oluşturduğundan dolayı yarı küreyi geçen akının diskten geçen akı ile tamamen aynı olması gerekir. Diski ve yarı küreyi geçen akılar aşağıdaki gibi hesaplanır. Küresel koordinat sisteminde a z ⋅ a r = cosθ olduğu hatırlanmalıdır. 370 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 5.21 Bir yarı küreyi geçen manyetik akı Φ disk R = B ⋅ ds z = ∫ 0 π /2 Φ yarı küre = B ⋅ dsr = s R ρ2 2π φ 0 = π R2B Ba z ⋅ ρ dρ dφa z =B 2 0 0 ∫ ∫ s ∫ 2π 2π π /2 1 2π Ba z ⋅ r 2 sin θ dθ dφ a r = − BR 2 cos 2 θ φ 0 = π R 2 B 2 0 0 ∫ ∫ 0 ALIŞTIRMALAR 11. Sonsuz uzunlukta akım taşıyan iletkenin oluşturduğu B manyetik alanının Gauss kanununu sağladığını gösteriniz. 12. Örnek 5.7’yi her iki iletken z yönünde akım taşırken tekrarlayınız. 13. Kenarı 2b olan bir küp orijinde bulunmaktadır. Çok uzun düz bir iletken z ekseninde yerleştirilmiş ve z yönünde I akımı taşımaktadır. x=b yüzeyinden geçen akıyı bulunuz. 14. B = 12 xa x + 25 ya y + cza z ise c’yi bulunuz. 5.6 MANYETİK VEKTÖR POTANSİYELİ Önceki kısımda bahsedildiği gibi, manyetik akı yoğunluğu, diverjansı sıfır olduğundan daima selenoidal (sürekli) dir. Diverjansı sıfır olan bir vektör başka bir vektör biriminin rotasyonel’i olarak ifade edilir: B = ∇×A (5.24) A manyetik vektör potansiyelidir ve Wb/m olarak ifade edilir. Çoğu kez, manyetik vektör potansiyeli, A bulunduktan sonra (5.24) kullanılarak B bulunur. A ’nın tanımlanması için B alanı ifadesini veren Biot-Savart kanununu dikkate alalım. Akım taşıyan bir iletkenin P(x,y,z) noktasında meydana getirdiği manyetik akı yoğunluğu aşağıdaki gibi ifade edilmektedir. Statik Manyetik Alanlar 371 µ I B= o 4π ∫ c d ′ × R R3 R = ( x − x ′)a x + ( y − y ′)a y + ( z − z ′)a z dir. Eşitlikte üslü koordinatların da kullanıldığına dikkat edilmelidir. Bu durumda, kaynak (üslü) ve alan (üslü olmayan) koordinatları arasındaki farkın görülmesi yararlı olacaktır. R 1 ∇ = − 3 R R olduğundan dolayı manyetik akı yoğunluğu, µ I 1 B = o ∇ × d ′ 4π c R ∫ (5.25) olarak da yazılabilir. Vektörel çarpımda terimler ters sırada yazılarak negatif işaret elimine edilmiştir. (2.127) vektör özdeşliği kullanılarak (5.25) d ′ 1 1 ′ ∇ × d = ∇ × − [∇ × d ′] R R R olarak tanımlanabilir. Rotasyonel işlemi P(x,y,z) noktasının üslü olmayan koordinatlarına göre olduğundan, ∇ × d ′ = 0 ’dır. Böylece (5.25)’den µo I d ′ ∇× B= 4π c R ∫ elde edilir. İntegrasyon ve diferansiyel farklı iki değişken grubuna göre olduğundan işlem sırası değiştirilebilir ve aşağıdaki eşitlik yazılır. µ I B = ∇× o 4π d ′ c R ∫ (5.26) 5.24 ve 5.26’nın karşılaştırılması ile manyetik vektör potansiyeli, A için aşağıdaki ifade edilir. µ Α= o 4π ∫ c Id′ R (5.27a) Eğer akım taşıyan iletken kapalı bir döngü oluşturuyorsa bu eşitlik µ A= o 4π ∫ c Id′ R gibi olur. (5.27a) hacimsel akım yoğunluğu ile genelleştirilerek (5.27c) bulunur. (5.27b) 372 Elektromanyetik Alan Teorisi µ A= o 4π ∫ v J v dv′ R (5.27c) Rotasyonel’i manyetik akı yoğunluğu, B ’yi verecek şekilde manyetik vektör potansiyeli, A tanımlandı. Vektör analizi bölümünde tartışıldığı gibi bir vektör alanı sadece rotasyonel ve diverjansı birlikte tanımlandığında tek olarak tanımlanabilir. Bundan dolayı A’nın diverjansının yine de tanımlanması gerekmektedir. Manyetostatikte ∇ ⋅ A = 0 ’dır ve bu sınırlama Coulomb geyç’i (ayarı) olarak adlandırılır. A kullanılarak manyetik akı (Φ) da tanımlanabilir: Φ = ∫ B ⋅ ds = ∫ ( ∇ × A ) ⋅ ds s s Stokes teoreminin doğrudan bir uygulaması sonucunda Φ = A ⋅ d ∫ (5.28) c bulunur. c açık s yüzeyini çevreleyen konturdur. ÖRNEK 5.9 Çok uzun düz bir iletken z eksenine yerleştirilmiş ve z yönünde I akımı taşımaktadır. İletkenin orta kesit düzleminde bir noktadaki manyetik vektör potansiyelinin ifadesini elde ediniz. Bu noktadaki manyetik akı yoğunluğu nedir? ÇÖZÜM Şekil 5.22’de görüldüğü gibi akım taşıyan iletken z yönünde z=-L ve z=L arasında uzanmaktadır. Idza z akım elemanından P noktasına R uzunluk vektörü R = ρa ρ − za z ’dir. Böylece P noktasındaki manyetik vektör potansiyeli, µ I a A= o z 4π L ∫ −L dz ρ 2 + z2 = L µo I ln( z + ρ 2 + z 2 ) 4π −L µ I A = o ln[ L + L2 + ρ 2 ] − ln[− L + L2 + ρ 2 ] a z 4π (5.29) olur ve bu akım taşıyan iletkenin orta kesit düzlemindeki manyetik vektör potansiyelinin tam bir ifadesidir. Çok uzun bir iletken için, L>>ρ ρ 2 L + L2 + ρ 2 ≈ L + L 1 + ≈ 2 L 2 L ve ρ 2 ρ 2 − L + L2 + ρ 2 ≈ − L + L 1 + ≈ 2 L 2 L Statik Manyetik Alanlar 373 yaklaşımları kullanılarak µ I 2L A = o ln az 2π ρ (5.30) elde edilir. P noktasındaki manyetik akı yoğunluğu (5.24)’den aρ 1 ∂ B = ∇×A = ρ ∂ρ Aρ az 1 ∂ = ∂z ρ Az ρaφ ∂ ∂φ ρAφ aρ ∂ ∂ρ 0 az ∂ ∂z ρaφ ∂ ∂φ =− µo I 2 L ln ρ 2π 0 1 ∂Az µ IL aφ = o 2 2πρ L + ρ 2 ∂ρ aφ olarak elde edilir. L>>ρ yaklaşımı bir kere daha yapılarak, µ I B = o aφ 2πρ (5.31) bulunur ki bu eşitlik sonsuz uzunlukta akım taşıyan iletken için daha önce Biot-Savart kanunu kullanılarak elde edilen B alanı ifadesi ile aynıdır. Şekil 5.22 Akım taşıyan sonlu iletkenin P noktasında meydana getirdiği manyetik vektör potansiyeli ÖRNEK 5.10 Şekil 5.23’de görüldüğü gibi uzun bir koaksiyel kablonun içindeki iletkenin yarıçapı 1 cm ve z yönünde 80 A akım taşımaktadır. Dış iletken çok ince ve yarıçapı 10 cm’dir. İletkenler içinde kalan toplam akıyı hesaplayınız. ÇÖZÜM Kablonun boyu ile karşılaştırıldığında iletkenler arasındaki açıklık çok küçük olduğundan kablo içinde herhangi bir noktadaki vektör potansiyeli için yaklaşık ifade (5.30) kullanılabilir. (5.28)’den toplam akı aşağıdaki ifade ile elde edilir. Φ= A ∫ ⋅ d = c A ⋅ d + A ⋅ d + A ⋅ d + A ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅d c1 c2 c3 c4 374 Elektromanyetik Alan Teorisi Koaksiyel kablo içindeki akının genel bir ifadesinin elde edilmesi için a ve b nin sırasıyla iç ve dış iletkenlerin yarıçapları olduğu kabul edilsin. Manyetik vektör potansiyelinin sadece z bileşeni olduğundan c 2 ve c 4 hatları boyunca integralin hiç katkısı olmayacaktır. Bu durumda, Φ = µo I ∫c A ⋅ d + c∫ A ⋅ d= 2π 1 3 µo I 2L ∫− L ln a dz − 2π L L µ IL b 2L = o ln dz π b a ∫ ln −L (5.32) olarak elde edilen akı ifadesinden, I=80 A, L=50 m, a=1 cm, ve b=10 cm değerleri yerine konularak Φ = 3,68 mWb değeri bulunur. Şekil 5.23 Akım taşıyan koaksiyel kablo 5.7 MANYETİK DİPOL Kısım 5.2’de, akım taşıyan kapalı dairesel iletken çerçevenin eksenindeki akı yoğunluğunun hesaplanmasında manyetik dipol konusuna kısaca değinilmişti. Gözlem noktası çerçevenin yarıçapına göre oldukça büyük olduğunda dipol olarak davranan çerçevenin etrafında oluşan akı yoğunluğu manyetik vektör potansiyeli kavramı kullanılarak aşağıdaki yaklaşımla hesaplanabilir. Şekil 5.24a’da görüldüğü gibi, çevrimin merkezini küresel koordinatların orijinine yerleştirerek, P(r ,θ ,φ ) noktasındaki manyetik vektör potansiyelini hesaplayalım. Simetrilikten dolayı manyetik alanın P noktasının φ açısından bağımsız olduğu açıktır. yz düzleminde P (r ,θ , π / 2) noktasını alalım. Şekilden görüleceği gibi P noktasındaki aφ , akım elemanının (d ) bulunduğu yerdeki aφ ile aynı değildir (gerçekte P noktasındaki aφ birim vektörü − a x ’dir). 5.27b eşitliğindeki, d ve R aşağıdaki gibi bulunur. ve d = bdφaφ = bdφ (− sin φa x + cos φa y ) Statik Manyetik Alanlar 375 (a) Dairesel akım çevriminin (manyetik dipol) P noktasındaki manyetik akı yoğunluğu (b) İdeal manyetik dipolün etrafındaki manyetik akı çizgileri ve eşpotansiyel yüzeyler Şekil 5.24 R = r − r ' = (r sin θ cos π / 2a x + r sin θ sin π / 2a y + r cosθa z ) − (b cos φa x + b sin φa y ) R = −b cos φa x + (r sin θ − b sin φ )a y + r cosθa z R = b 2 + r 2 − 2br sin θ sin φ 376 Elektromanyetik Alan Teorisi r >> b olduğunda, binom açılımı ile 1 1 b sin θ cos φ = 1 + R r r ifadesi yazılabilir. 5.27b eşitliğinin doğrudan uygulanması ile µ A= o 4π µ Ib A= o 4πr ∫ 2π 0 ∫ c Id µo Ib = R 4πr ∫ 2π 0 b sin θ cos φ 1 + dφ (− sin φa x + cos φa y ) r b sin θ b sin θ cos φ sin φa x + cos φa y + cos 2 φa y dφ − sin φa x − r r 2π µ Ib b sin θ 1 b sin θ 1 2π 2π 2π 2 o ( φ + cos φ sin φ ) 0 a y A= − (− cos φ ) 0 a x − − cos φ a x + sin φ 0 a y + 4πr r 2 r 2 0 µ Iπb 2 sin θ A= o ay 4πr 2 veya alanın simetriliğinden dolayı genelleştirilerek µ Iπb 2 sin θ A= o aφ 4πr 2 elde edilir. Dipol moment vektörü, m = Iπb 2a z ile A aşağıdaki biçimde yazılabilir. µm × ar o A= Wb/m 4πr 2 aφ = a z × a ρ = a z × a r sin θ ’dir. m kullanılarak elde edilen A ile 3. bölümde p ile elde edilen V ifadelerindeki benzerlik karşılaştırılabilir. (5.24) kullanılarak B aşağıdaki gibi elde edilir. 1 1 ∂ µo Iπb 2 sin θ ∂ µo Iπb 2 sin θ a r − B = ∇ × A = sin θ r ∂r r 4πr 2 4πr 2 r sin θ ∂θ aθ µ Iπb 2 cosθ µo Iπb 2 sin θ B= o ar + aθ 2πr 3 4πr 3 µm B = o 3 (2 cosθa r + sin θaθ ) 4πr İdeal manyetik dipolün etrafındaki manyetik akı yoğunluğu dağılımı ve eşpotansiyel yüzeyler şekil 5.24b’de görülmektedir. Statik Manyetik Alanlar 377 ALIŞTIRMALAR 15. Örnek 5.10’da iletkenler içindeki bölgedeki manyetik akı yoğunluğunu kullanarak çevrelenen toplam akıyı belirleyiniz. 16. L uzunluğunda kısa ve düz bir iletken z yönünde I akımı taşımaktadır. İletkenden uzakta bir noktadaki manyetik vektör potansiyelinin aşağıdaki gibi olduğunu gösteriniz. R orijinden gözlem noktasına olan uzaklıktır. Bu noktadaki manyetik akı yoğunluğu nedir? µ IL A = o az 4πR 5.8 MANYETİK ALAN ŞİDDETİ VE AMPÉRE KANUNU Elektrostatik alanlar üzerinde çalışılırken, elektrik akı yoğunluğu elektrik alan şiddeti ile D = εE olarak tanımlanmış ve D ortamın geçirgenliğinden bağımsızdı. Şimdi boşluktaki manyetik alan şiddeti, H B H= (5.33a) B = µo H (5.33b) µo veya olarak tanımlanır. (5.33) eşitliklerinden manyetik alan şiddetinin geçirgenlikten bağımsız olduğu açıktır ve B ve H arasındaki bağıntı D ve E arasındakine benzemektedir. Kısım 5.8’de malzemelerin bulunduğu ortamda H tanımlanarak detaylı davranışına deyinilecektir. J ’nin sıfır olduğu bölgelerde H ’nin korunumlu olduğu veya değişmediği de gösterilecek yani H manyetik skaler potansiyeli adında başka bir alan biriminin gradyanı ile tanımlanabilecektir. (5.33) eşitliğinden boşlukta B ve H ’nin aynı yönde olduğu açıktır. Şimdi Ampère devre kanunu manyetik alan şiddeti ile ifade edilebilir. Ampère devre kanunu Ampère devre kanunu, (kısaca Ampère kanunu olarak söylenir), bir kapalı yol etrafındaki manyetik alan şiddetinin çizgisel integralinin çevreleyen akıma eşit olduğunu ifade etmekte yani I ∫ H ⋅ d = (5.34a) c dir. I kapalı yol içindeki kesit alanının çevrelediği net akımdır. (5.34a) eşitliği Ampère kanununun integral biçimidir. I akımı herhangi biçimdeki bir iletkenden taşınabilir veya bir yük akışı olabilir (vakum tüpündeki bir elektron hüzmesi veya ışını). Elektrostatikte Gauss kanunu bir bölgede elektrik alanlarının hesaplanması için yeterli simetrik yük dağılımları için kullanılmıştı. Manyetostatikte Ampère kanunu Biot-Savart kanununda olduğu gibi yoğun integral işlemleri olmaksızın manyetik alanların belirlenmesini kolaylaştırır. 378 Elektromanyetik Alan Teorisi Akım hacimsel akım yoğunluğu ile I = ∫ J v ⋅ ds s gibi ifade edilebildiğinden Ampère kanununun integral biçimi (5.34a)’dan ∫ H ⋅ dl = ∫ J c v ⋅ ds s olur. Stokes teoremi, ∫ (∇ × H)ds = J v ⋅ ds ∫ s s eşitliğinde olduğu gibi yüzey integrali ile çizgisel integralin tanımlanmasına izin verir. s keyfi açık yüzeyi c kapalı konturu ile çevrelendiğinden önceki eşitlik ∇ × H = Jv (5.34b) gibi genelleştirilmiş formda yazılabilir. Bu eşitlik daima statik alanlar için Ampère kanununun nokta (diferansiyel) biçimi olarak adlandırılır. Aşağıdaki örnekler simetri şartlarını sağlayan akım dağılımları için manyetik alanların belirlenmesinde Ampère kanununun bazı uygulamalarını göstermektedir. ÖRNEK 5.11 Çok uzun, ince düz bir iletken z eksenine yerleştirilmiş ve z yönünde I akımı taşımaktadır. Ampère kanununu kullanarak boşlukta herhangi bir noktadaki manyetik alan şiddetini bulunuz. ÇÖZÜM Şekil 5.25’de görüldüğü gibi simetrik tartışması manyetik alan hatlarının eş merkezli çemberler olması gerektiğini dikte etmektedir. Her bir çember boyunca manyetik alan şiddeti, ∫ c 2π H ⋅ d = H φ ρdφ = 2πρH φ ∫ 0 eşitliğinde olduğu gibi sabit genlikte olacaktır. Şekil 5.25 Çok uzun akım taşıyan iletkeni çevreleyen manyetik alan Kapalı yol ile çevrelenen akım I olduğundan Ampère kanunu, Statik Manyetik Alanlar 379 µ I I H= aφ veya B = o aφ 2πρ 2πρ olarak elde edilir ve böylece Ampère kanunu daha önce Biot-Savart kanunu kullanılarak bulunan aynı sonucu verir. ÖRNEK 5.12 Şekil 5.26a’da görüldüğü gibi iç yarıçapı a ve dış yarıçapı b olan çok uzun içi boş bir iletken z ekseni boyunca yerleştirilmiş ve z yönünde I akımı taşımaktadır. Akım düzenli dağılmışsa boşlukta herhangi bir noktadaki manyetik alan şiddetini belirleyiniz. ÇÖZÜM Akım dağılımı düzenli olduğundan aşağıdaki gibi hacimsel akım yoğunluğu ile ifade edilebilir. Jv = I az 2 π (b − a ) 2 Simetrik tartışması sonucu alan hatlarının eş merkezli çemberler, manyetik alan şiddetinin φ yönünde ve H φ ’nin her bir çember boyunca sabit genlikte olması beklenir. İlgili üç bölge vardır ve her bir bölgedeki manyetik alan şiddeti ayrı ayrı hesaplanacaktır. Bölge 1, ρ≤a: Silindirin boş bölgesindeki kapalı yolun içindeki akım sıfır olduğundan manyetik alan şiddeti bu bölgede sıfırdır. Böylece ρ≤a için H = 0 ’dır. (b) a≤ρ≤b için kapalı dairesel yolu gösteren kesit görünüş (a) Akım taşıyan içi boş iletken (c) ρ≥b de kapalı yolu gösteren kesit görünüş Şekil 5.26 Örnek 5.12 için içi boş iletken Bölge 2, a≤ρ≤b: ρ yarıçapında kapalı dairesel kontur ile akım taşıyan iletkenin kesit görünüşü şekil 5.26b’de görülmektedir. Çevrelenen net akım, I çevrelenen = J v ⋅ ds = ∫ s ρ ∫ ve H ∫ ⋅ d = 2πρH φ c 2π I I (ρ 2 − a2 ) d d ρ ρ φ = b2 − a 2 π (b 2 − a 2 ) a 0 ∫ 380 Elektromanyetik Alan Teorisi olarak Ampère kanunundan (eşitliklerin sağ tarafları eşitlenerek), H aşağıdaki gibi bulunur. I ρ 2 − a 2 H= aφ a≤ρ≤b için 2πρ b 2 − a 2 Bölge 3, ρ≥b: Bu durumda gözlem noktası iletkenin dışında (şekil 5.26c) olduğundan çevrelenen net akım I ’dir. Böylece bu bölgedeki net manyetik alan şiddeti aşağıdaki gibi elde edilir. I H= aφ 2πρ ρ≤b için ÖRNEK 5.13 Şekil 5.27a’da görüldüğü gibi N sarımlı birbirine yakın aralıklı sargı (toroidal sarım) torodial biçimde sarılmıştır. Halkanın iç ve dış yarıçapları a ve b ve halkanın yüksekliği h’dir. Eğer sargıdan I akımı geçerse; a) halka içindeki manyetik alan şiddetini, b) manyetik akı yoğunluğunu ve c) halka ile çevrelenen toplam akıyı bulunuz. (a) Toroidal sargı (b) a ≤ ρ ≤ b yarıçapında dairesel döngü ile çevrelenen toplam akımın gösterilmesi için kesit görünüş Şekil 5.27 ÇÖZÜM Şekil 5.27b’de sargı ve halkanın kesit görünüşü görülmektedir. Ampère kanununun uygulanması, sadece halka içinde manyetik alan şiddetinin varlığını gösterir. Halka içinde herhangi bir ρ yarıçapında manyetik alan şiddeti φ yönünde ve genliği sabittir. Çevrelenen toplam akım NI olduğundan, Ampère kanunundan, halka içindeki manyetik alan şiddeti NI H= aφ 2πρ a≤ρ≤b için dir ve halka içinde herhangi ρ yarıçapındaki manyetik akı yoğunluğu, µ NI B = µo H = o aφ 2πρ a ≤ ρ ≤ b için Statik Manyetik Alanlar 381 olur. Halka içindeki toplam akı aşağıdaki gibi bulunur. µ NI Φ = B ⋅ ds = o 2π ∫ b dρ h ∫ ρ ∫ dz = a 0 µo NIh ln(b / a ) 2π ALIŞTIRMALAR 17. a = 10 cm yarıçapında dairesel kesit alanlı çok uzun düz bir iletken z eksenine yerleştirilmiştir. İletken z yönünde kesit alanı boyunca düzgünce dağıtılmış 100 A taşımaktadır. (a) iletkenin içinde ve (b) iletkenin dışındaki manyetik alan şiddetini bulunuz. İletkenin merkezinden, uzaklığın bir fonksiyonu olarak manyetik alan şiddetinin grafiğini çiziniz. 18. Örnek 5.13’de N=500 sarım, a=15 cm, b=20 cm, h=5 cm ve I=2 A ise halka içindeki manyetik alan şiddetini, manyetik akı yoğunluğunu ve toplam akıyı bulunuz. Halka içinde manyetik alan şiddeti düzgün ve ortalama yarıçaptaki genliğe eşit varsayılırsa halka içindeki manyetik akı yoğunluğu ve toplam akıyı hesaplayınız. Bu varsayımla meydana gelen hata nedir? 19. Çok ince bir tel helisel bir sargı biçiminde sıkıca sarılarak bir selenoid oluşturuluyor. Sargının iç yarıçapı b ve selenoid çok uzunsa sargı içindeki manyetik alan şiddetinin genliğinin nI olduğunu gösteriniz; I sargıdan geçen akım ve n birim uzunluk başına sarım sayısıdır. Sargı içindeki manyetik akı yoğunluğunu ve sargıyı kesen toplam akıyı da hesaplayınız. 5.9 MANYETİK MALZEMELER Manyetik alanlar teorisi şimdi manyetik malzemeler içeren bölgelere uygulanabilir. Tartışmanın uzantısı dielektrik malzemelerdeki elektrik alanlarına paralel olacak fakat bazı farklılıklar olduğunda zaman zaman vurgulanacaktır. Şekil 5.28a’da görüldüğü gibi genelde selenoid olarak adlandırılan, I akımı taşıyan L uzunluğunda silindirik bir sargı ile bir deney yapılsın. İletkenlerin birbirine yakın ve düzenli aralıklarla sarıldığı varsayılmıştır. Deney ve çözüm sonucunda selenoidin merkezindeki manyetik akı yoğunluğunun şekil 5.28b’de görüldüğü gibi her iki ucunun iki katı kadar büyük olduğu bulunur. Eğer bu alanın içine değişik cisimler yerleştirilirse dBz / dz gradyanının büyük olduğu selenoid’in uç kısımlarında numune cisimlere etkiyen manyetik kuvvetlerin maksimum olduğu anlaşılabilir. Numunenin daima selenoid’in üst ucundan yerleştirildiğini varsayarak deneye devam edelim ve numune üzerindeki kuvveti gözlemleyelim. Gözlemler herhangi bir numune üzerindeki kuvvetin numunenin kütlesi ile orantılı olduğunu ve numune çok büyük olmadığı sürece numunenin biçiminden bağımsız olduğunu ortaya çıkaracaktır. Aynı zamanda, bazı numunelerin alanın içine doğru daha güçlü çekilirken diğer numunelerin itildiği gözlenecektir. Üzerinde zayıf bir itme kuvveti meydana gelen cisimler diamanyetik olarak adlandırılırlar. Pratik olarak bütün organik bileşenler ve inorganik bileşenlerin çoğu diamanyetiktir. Gerçekte diamanyetizma her atom ve molekülün bir özelliği olarak dikkate alınır. Şekil 5.29a’da bir diamanyetik malzeme olan cam’ın manyetik alan içindeki davranışı görülmektedir. Çekme kuvveti oluşturan cisimlerin iki belirgin tipi vardır. Zayıf bir kuvvetle merkeze doğru çekilen cisimlere paramanyetik denilir. Aluminyum, bakır gibi çoğu diğer metallerdeki paramanyetizma, diamanyetizmadan çok büyük değildir. Şekil 5.29b’de bir paramanyetik malzeme olan aluminyum’un manyetik alan içindeki davranışı görülmektedir. Bunun yanında demir ve manyetit gibi bazı cisimler ferromanyetik olarak adlandırılırlar. Ferromanyetik cisimlere etkiyen manyetik kuvvet paramanyetik cisimlere etkiyenden 5000 kat daha büyük olabilir. Bazı 382 Elektromanyetik Alan Teorisi diamanyetik, paramanyetik ve ferromanyetik maddelerin bağıl geçirgenlikleri tablo 5.1’de listelenmiştir. (b) Selenoid’in ekseni üzerindeki manyetik akı yoğunluğu grafiği (a) Selenoidal sargı Şekil 5.28 Tablo 5.1 MANYETİK OLMAYAN MADDELER Diamanyetik maddeler Paramanyetik maddeler Madde Madde µr µr Bakır Gümüş Azot Bizmut Karbon Hidrojen Silikon Grafit 0,999991 0,999998 0,999996 0,999983 0,999956 0,99998 0,999997 0,99988 Aluminyum 1,00008 Magnezyum 1,00015 Oksijen 1,00167 Hava 1,0000004 Tungsten 1,000068 Berilyum 1,00000079 Nikel klorit 1,00004 Mangan sülfat 1,0001 MANYETİK MADDELER Ferromanyetik maddeler Madde µr Kobalt Nikel Yumuşak çelik Demir Permalloy (Fe, Ni, Mn alaşımı) Demir tozu Silikon çelik Ferrit 250 600 2000 5000 100000 100 3500 1000 Paramanyetik ve diamanyetik cisimlere etkiyen kuvvet oldukça az olduğundan pratik amaçlar için beraber gruplandırılır ve manyetik olmayan malzemeler olarak adlandırılır. Manyetik olmayan bütün cisimlerin geçirgenliği boş uzay ile aynı varsayılmaktadır. (a) Diamanyetik madde olan cam manyetik alana (b) Paramanyetik madde olan aluminyum yerleştirildiğinde manyetik alan tarafından manyetik alana yerleştirildiğinde manyetik alan itilerek alana dik bir konum alır. doğrultusunda bir konum alır. Şekil 5.29 Diamanyetik ve paramanyetik maddelerin manyetik alan içindeki davranışı Statik Manyetik Alanlar 383 Malzemelerin manyetik özelliklerinin tam olarak tanımlanabilmesi için quantum mekaniği kavramına gerek vardır fakat bu konu kitabın amacı dışına taşmaktadır. Bunun yanında manyetik özelliklerin bir kısmını açıklamak için atomun temel ve basit bir modeli kullanılabilir. Şekil 5.30a’da görüldüğü gibi bir çekirdeğin etrafındaki elektronlar sabit hızda yörüngelenmişlerdir. Akım saniye başına verilen bir noktayı geçen yük miktarı olduğundan yörüngedeki bir elektron I= eU e 2πρ (5.35) genliğinde halka akımı meydana getirir. e elektrondaki yükün genliği, U e hız ve ρ ise yarıçaptır. Şekil 5.30b’de görüldüğü gibi yörüngedeki elektron, eU e ρ m= az 2 (5.36) ile ifade edilen bir yörüngesel manyetik momente neden olur. (a) Dairesel yörüngesinde hareket eden elektronu gösteren atom modeli (b)Yörüngesel manyetik moment (c) Spin manyetik momenti Şekil 5.30 384 Elektromanyetik Alan Teorisi Quantum mekaniğinin temel bir ilkesi olarak yörüngesel açısal momentin genliği daima h/2π’nin bir tam çarpımıdır; h Planck sabitidir (h = 6,63 × 10−34 J ⋅ s) . Bir elektron aynı zamanda yörüngesel hareketi dışında bir açısal momente sahiptir. Bu, elektronun sabit bir hızda kendi ekseni etrafında sürekli olarak dönmesi şeklinde düşünülebilir. Şekil 5.30c’de görüldüğü gibi elektronun kendi etrafında dönüşü bir dolaşım (sirkülasyon) yükü meydana getirerek elektrona bir spin manyetik momenti verir. Spin manyetik momentinin genliği, ms = he = 9,27 × 10 − 24 Am2 8πme (5.37) eşitliğinde olduğu gibi sabittir; m e elektronun kütlesidir. Atomun net manyetik momenti bütün elektronların yörüngesel ve spin momentlerinin yönleri ile beraber dikkate alınarak toplanmasıyla elde edilir. Net manyetik alan bir akım döngüsünde (manyetik dipol) olduğu gibi bir alan meydana getirir. Şekil 5.31’de demir, nikel, bakır ve aluminyum atomlarının kabuklarındaki elektron dağılımları ve manyetik alan kaynağı olan elektronları görülmektedir. Şekil 5.32a’da görüldüğü gibi harici bir manyetik alanın yokluğunda bir malzeme parçası içindeki manyetik dipoller rasgele yönlendirilmişlerdir. Bundan dolayı net manyetik moment hemen hemen sıfırdır. Şekil 5.32b’de görüldüğü gibi harici manyetik alanın varlığında, manyetik alanla aynı doğrultuya gelecek şekilde her manyetik dipol üzerinde tork oluşur. Şekil ideal bir yönlenmeyi göstermektedir fakat gerçekte yönlenme kısmidir. Manyetik dipollerin yönlenmesi bir dielektrik ortamda elektrik dipollerinin yönlenmesine benzemekle beraber bariz farklılıklar vardır. Elektrik dipollerinin yönlenmesi orijinal elektrik alanını azaltırken paramanyetik ve ferromanyetik malzemelerdeki manyetik dipollerin yönlenmesi orijinal manyetik alanı artırır. Malzeme içindeki manyetik dipollerin yönlenmesi şekil 5.32c’de görüldüğü gibi malzemenin yüzeyinden geçmekte olan bir akıma eşdeğerdir. Bu akım malzeme içinde ek bir manyetik alana neden olur. Şimdi bu nicelik olarak ispatlanabilir. Δv küçük hacminde n atom varsa ve m i i. atomun manyetik momenti ise bu durumda birim hacim başına manyetik moment, n M = lim ∆v → 0 ∑ mi i =1 ∆v (5.38) olarak ifade edilir. M ≠ 0 ise bir malzeme manyetize olmuş veya mıknatıslanmış denilir. Bir dv′ → → diferansiyel hacmi için manyetik dipol momenti, dm = Mdv ′ dir. dm ’nin oluşturduğu vektör potansiyeli aşağıdaki gibi yazılır. µ M × a o R dA = dv′ 2 4πR 1 aR ∇′ = 2 R R vektör özdeşliği kullanılarak (5.39) eşitliği, (5.39) Statik Manyetik Alanlar 385 Şekil 5.31 Maddelerin manyetik özelliklerinin açıklanması için (a) demir, (b) nikel, (c) bakır ve (d) aluminyum atomlarının kabuklarındaki elektron dağılımları. µM 1 dA = o × ∇′ dv′ 4π R → olarak tanımlanabilir. v′ manyetize malzemenin hacmi ise oluşan manyetik vektör potansiyeli, µ 1 A = o M × ∇′ dv′ 4π v′ R ∫ ile ifade edilir. Şimdi, 386 Elektromanyetik Alan Teorisi (a) Rasgele yönlenmiş manyetik (b) Harici B alanı manyetik dipolleri ile bir manyetik dipollerin aynı doğrultuya malzeme parçası. gelmesine neden olur. (c) (b)’de doğrultuya gelmiş küçük döngüler malzemenin yüzeyinden geçen akıma eşdeğerdir. Şekil 5.32 M 1 1 M × ∇′ = ∇′ × M − ∇′ × R R R vektör özdeşliği kullanılarak manyetik vektör potansiyeli, µ A= o 4π M µo ∇′ × M dv'− ∇′ × dv′ R 4 π R v′ v′ ∫ ∫ olarak yazılır. ∫ ∇′ × Mdv′ =−∫ M × ds′ v′ s′ vektör özdeşliği kullanılarak A , µ o ∇′ × M µ A =∫ dv′ + o 4π v′ R 4π M × an µo J ′vb µo J ′sb dv′ + ds′ ∫s′ R ds′ = 4π v∫′ R 4π ∫s′ R (5.40) gibi yeniden yazılabilir; J vb = ∇ × M (5.41) J sb = M × a n (5.42) sınır hacim akım yoğunluğu ve ise sınır yüzey akım yoğunluğudur. (5.41) ve (5.42)’de rotasyonel ve vektörel çarpım işlemlerinin her ikisi kaynak noktayı gösterdiğinden anlayış kolaylığı bakımından üs işaretleri konulmamıştır. (5.40) eşitliği, manyetize malzeme içinde, sınır hacim akım yoğunluğu ve malzemenin yüzeyindeki Statik Manyetik Alanlar 387 sınır yüzey akım yoğunluğu ile (manyetize malzemenin) manyetik vektör potansiyelinin belirlenebileceğini göstermektedir. Ek olarak manyetik vektör potansiyeline katkı sağlayacak serbest hacim akım yoğunluğu, J vf ve serbest yüzey akım yoğunluğu, J sf olabilir. Böylece ortamdaki toplam hacim akım yoğunluğu J v = J vf + J vb olur. Bunun yanında (5.34)’den J vf = ∇ × H ’dir. Boşluktaki manyetik akı yoğunluğu B = µo H veya H = B / µo olduğundan boşlukta, B ∇ × = J vf µo dir. J vb ’nin katkısını dikkate almak için manyetik ortamda artış gösteren B alanı B ∇ × = J vf + J vb = ∇ × H + ∇ × M µo veya B = µo [H + M ] (5.43) olur. (5.43) eşitliği çok genel olup doğrusal olan veya olmayan her ortam için geçerlidir. Doğrusal homojen ve izotropik ortam için H ile M M = χmH (5.44) olarak ifade edilebilir. χ m orantı sabitidir ve manyetik duyarlılık olarak adlandırılır. (5.44) (5.43)’de yerine konularak B = µo [1 + χ m ]H = ( µo µ r )H = µH (5.45) elde edilir. µ = µ o µ r miktarı ortamın geçirgenliğidir ve µ r parametresi ortamın bağıl geçirgenliğidir. Doğrusal, izotropik ve homojen ortam için χ m ve µ r sabitlerdir. Paramanyetik ve diamanyetik malzemeler için µ r = 1 varsayılması pratik bir alışkanlık olmuştur. Bunlara daha önce manyetik olmayan malzemeler denilmişti. Bunların yanında, 1 T’lik akı yoğunluğunda ferromanyetik malzemelerin bağıl geçirgenliği 5000 kadar büyük olabilir. (5.44) eşitliğinin sadece doğrusal, homojen ve izotropik malzemeler için geçerli olduğu hatırlanmalıdır. Anisotropik malzemeler için B , H ve M daha fazla paralelliğini sürdüremez. Anisotropik malzemelerin detaylı bir tartışması bu ders kitabının amacı dışına taşmakta ve ferromanyetik malzemelerin davranışına kısmi bir bakış kısım 5.12’deki manyetik devreler tartışmasına bir temel olduğundan gerek duyulmaktadır. İzotropik olmayan yani anisotropik manyetik malzemelerde B ile H artık parallelliğini sürdüremez ve B ile H arasındaki ilişki 388 Elektromanyetik Alan Teorisi Bx µ xx B = µ y yx Bz µ zx µ xy µ yy µ zy µ xz H x µ yz H y µ zz H z gibi bir matrisle tanımlanır. Homojen olmayan manyetik malzemelerde geçirgenlik, pozisyona bağlılığının gösterilmesi için µ ( x, y, z ) ile tanımlanır. En yaygın anisotropik manyetik malzeme tek ferromanyetik kristaldir. 5.9.1 FERROMANYETİZMA Demir, kobalt ve nikel gibi ferromanyetik malzemelerin davranışı, manyetik domenler dikkate alınarak açıklanır. Bir manyetik domen şekil 5.33a’da görüldüğü gibi bütün manyetik dipollerin mükemmel yönlendiği çok küçük bir bölgedir. Manyetik dipollerin yönlenme doğrultusu bir domenden diğerine değişir; bundan dolayı bu bakir malzeme manyetize olmamış durumlarda mevcuttur. Manyetik malzeme harici manyetik alana yerleştirildiğinde bütün dipoller bu manyetik alan yönünde yönlenme eğiliminde olacaklardır. Manyetik malzemenin harici manyetik alan içine yerleştirilmesinin bir yolu şekil 5.33b’de görüldüğü gibi akım taşıyan bir iletkenin malzemenin etrafına sarılmasıdır. Malzemenin içindeki bazı domenlerin alan yönüyle hemen hemen aynı doğrultuya gelmesi beklenebilir. Bu domenler komşu domenlere rağmen boyut olarak büyüme eğilimindedir. Bir domenin büyümesi sadece sınırlarını değiştirir ve domen sınırlarının hareketi malzemenin çekirdek yapısına bağlıdır. Aynı zamanda, bazı domenlerin uygulanan alan yönünde dipollerini döndürmesi de beklenebilir. Sonuç olarak malzeme içindeki manyetik akı yoğunluğu artar. (a) Manyetize olmamış ferromanyetik malzemede manyetik dipollerin rasgele yönlenmesi (b) Sarılmış sargı manyetik malzemede manyetik akı meydana getirir Şekil 5.33 Sargıdaki akım, manyetik malzeme içinde bağımsız bir değişken olarak düşünülebilecek, H alanı meydana getirir. Uygulanan H alanı ortamda bir B alanı meydana getirir. Ortamdaki B alanı zayıf olduğu sürece domen duvarlarının hareketi tersine dönüşümlüdür. Sargıdaki akımın artırılarak, H alanının artışının sürdürülmesi ile ortamdaki B alanı, daha fazla manyetik dipoller kendilerini B alanı ile aynı doğrultuya getirdiğinden, gittikçe daha kuvvetli olur. Şekil 5.34a’da görüldüğü gibi eğer manyetik malzeme içindeki B alanı ölçülürse ilk önce B ’nin yavaşca arttığı sonra daha hızlı yükseldiği ve daha sonra çok yavaş ve en sonunda düz bir şekil alacağı Statik Manyetik Alanlar 389 görülecektir. Şekil 5.34a’daki kesikli olmayan düz çizgi çoğunlukla manyetik malzemenin mıknatıslanma karakteristiği olarak adlandırılır. Her manyetik malzemenin farklı mıknatıslanma karakteristiği vardır. B ’deki değişimler M ’deki değişimlerden dolayıdır. Düz bölge, manyetik malzemedeki bütün dipollerin hemen hemen B alanının yönü ile kendilerini aynı doğrultuya getirmiş olduklarını göstermektedir. B ve H bilindiği sürese M = B / µo − H olduğundan M gerçekten belirlenebilir. Şimdi sargıdaki akımın azaltılarak, H alanının azaltılması ile başlanırsa, şekil 5.34a’da kesik çizgilerle görüldüğü gibi B alanının hızlı olarak azalmadığı bulunur. Bu tersine dönüşümsüzlük histerezis olarak adlandırılır. Kesik çizgili eğri, H alanı sıfır olduğunda bile malzeme içinde hala bir miktar manyetik akı yoğunluğu kaldığını göstermektedir. Bu artık veya kalıcı akı yoğunluğu, B r olarak adlandırılır. Manyetik malzeme mıknatıslanmış ve bir sabit mıknatıs olmuştur çünkü manyetik domenler bir kere harici manyetik alana tepki olarak bir yönde doğrultuya geldikten sonra bir kısmı bu durumda kalma eğilimindedir. Kalıcı manyetik akı yoğunluğunun yüksek olması sabit mıknatıs gerektiren uygulamalar için manyetik malzemelere daha uygun olmaktadır. Doğru akım makinaları bu kategoriye düşmektedir. Yüksek kalıcı akı yoğunluğuna sahip bir manyetik malzemeye sert manyetik malzeme denilir. Şekil 5.33b’deki sargıdan geçen akımın yönü değiştirilirse malzemedeki akı yoğunluğunun, H ’nin zıt yönündeki bir değerinde sıfır olduğu bulunur. H alanının bu değerine giderici veya koersif kuvvet, H c denilir. H alanının her iki yönde artırılması ve azaltılması ile şekil 5.34b’de görüldüğü gibi histerezis döngüsü (çevrimi) olarak bilinen bir eğri ortaya çıkar. Histerezis döngüsünün alanı birim dalga başına kayıp enerjiyi (histerezis kaybı) verir. Bu enerji her dalgada bir kere olmak üzere, manyetik domenlerin bir yöne yönlendirilmesi ve zıt yönde aynı domenlerin tekrar yönlendirilmesi için gerekmektedir. Transformotor ve indüksiyon motorları gibi alternatif akım uygulamalarında olabildiğince düşük histerezis kayıplı manyetik malzemelere gerek duyulmaktadır. Başka bir ifadeyle bu malzemelerin kalıcı akı yoğunluğunun olabildiğince düşük olması gerekir. Böyle özelliği taşıyan malzemelere yumuşak manyetik malzemeler denilir. (a) Manyetik malzemenin mıknatıslanma karakteristiği (b) Histerezis döngüsü Şekil 5.34 ÖRNEK 5.14 Örnek 5.13’deki sargı bağıl geçirgenliği µ r olan bir manyetik malzeme üzerine sarıldığında; a) birim hacim başına manyetik momentini, b) sınır hacim akım yoğunluğunu, c) sınır yüzey akım yoğunluğunu bulunuz. 390 Elektromanyetik Alan Teorisi ÇÖZÜM Bağıl geçirgenlik ile manyetik duyarlılık, χ m = µr −1 ile ifade edildiğinden, birim hacim başına manyetik moment veya mıknatıslanma vektörü, (µ − 1) NI M= r aφ 2πρ dir ve buradan sınır hacim akım yoğunluğu, (5.41)’den, aşağıdaki gibi elde edilir. J vb = ∇ × M = 0 Hacim dört yüzey ile sınırlanmıştır; aşağıdaki gibi her yüzeyde ayrı ayrı sınır yüzey akım yoğunluğu hesaplanır. Üst yüzeydeki sınır yüzey akım yoğunluğu, (5.42)’den: J sb üst yüzey ( µ − 1) NI = M × az = r aρ 2πρ Alt yüzeydeki sınır yüzey akım yoğunluğu: J sb alt yüzey ( µ − 1) NI aρ = M × (−a z ) = − r 2πρ ρ=a yüzeyindeki sınır yüzey akım yoğunluğu: J sb ρ =a = M × (−a ρ ) ρ =a = ( µ r − 1) NI az 2πa En son olarak, ρ=b yüzeyindeki sınır yüzey akım yoğunluğu aşağıdaki gibi bulunur. J sb ρ =b = M × (a ρ ) ρ =b =− ( µ r − 1) NI az 2πb ÖRNEK 5.15 Yarıçapı b ve yüksekliği L olan mıknatıslanmış dairesel silindirik biçimli manyetik malzemenin ekseninde bir P noktasındaki manyetik akı yoğunluğunu belirleyiniz. Eksenel mıknatıslanma M = M oa z ’dir. ÇÖZÜM Silindirik çubuk biçimli mıknatısı ilgilendiren bu problemde, şekil 5.35a’da görüldüğü gibi mıknatıs ekseninin z ekseni ile çakıştığını varsayalım. Mıknatıs içinde mıknatıslanma, M sabit olduğundan J vb = ∇ × M = 0 ’dır ve buna karşılık gelen eşdeğer hacim akım yoğunluğu yoktur. Yan duvarlardaki yüzey akım yoğunluğu, J sb yan yüzey = M × a n = M oa z × a ρ = M oaφ Statik Manyetik Alanlar 391 dir. Buna göre mıknatıs, M o A/m çevresel akım yoğunluğunda bir silindirik akım tabakasına benzer. a z × a z = 0 olduğundan üst ve alt yüzeylerde yüzey akımları yoktur. P(0,0,z)’deki B ’nin L bulunması için M o dz ' aφ diferansiyel akım elemanını veya I = M o dz ' akımını dikkate alalım. ∫ 0 (5.7) eşitliğinden B= µo Ib 2 2(b + z ) 2 2 a = 3/ 2 z ∫ L 0 µo ( M o dz ' )b 2 2 b2 + ( z − z' )2 3 az = µo M ob 2 2 µ M z z−L B= o o − 2 2 2 2 b + ( z − L) 2 b +z L z '− z b 2 b + ( z − z' ) 2 2 az 0 a T z b = 1 ve L = 1 iken z eksenindeki akı yoğunluğu grafiği şekil 5.35b’de görülmektedir. Şekilden görüldüğü akı yoğunluğu mıknatısın tam ortasında, z = 0,5 maksimumdur. Benzer durum sonlu uzunluktaki bir selenoidin eksenindeki alanlar için de geçerlidir. (a) Düzgünce mıknatıslanmış dairesel silindirik mıknatısın eksenindeki P noktasındaki manyetik akı yoğunluğunun bulunması için gösterimler. (b) b = 1 ve L = 1 iken z eksenindeki akı yoğunluğu grafiği Şekil 5.35 ALIŞTIRMALAR 20. Çok ince bir tel helisel sargı biçiminde sıkıca sarılarak b iç yarıçapında, µ r bağıl geçirgenliğinde çok uzun bir selenoid oluşturuluyor. M mıknatıslanma vektörü, J vb sınır hacim akım yoğunluğu ve J sb sınır yüzey akım yoğunluğunu hesaplayınız. 21. Örnek 5.14’de, µ r =1200, N=500 sarım, I=2 A, a=15 cm, b=20 cm ve h=5 cm ise manyetik akı yoğunluğunu, sınır hacim akım yoğunluğunu, sınır yüzey akım yoğunluğunu ve halka içindeki toplam akıyı bulunuz. 392 Elektromanyetik Alan Teorisi 5.10 MANYETİK SKALER POTANSİYEL Kısım 5.6’da B manyetik akı yoğunluğu A manyetik vektör potansiyeli ile B = ∇×A gibi tanımlanmış ve hacim akım yoğunluğu, J ile A ’nın aşağıdaki gibi genel bir ifadesi elde edilmişti. µ A= o 4π ∫ v J v dv R Aynı zamanda hacim akım yoğunluğu, J v ’den dolayı bir noktadaki manyetik alan şiddeti, H için ∇ × H = Jv (5.46) ifadesi elde edilmiş ve bu eşitlik Ampére kanunu olarak adlandırılmıştı. Bu eşitlikten, akım taşıyan bir bölgedeki manyetik alan şiddetinin doğal olarak korunumlu olmadığı anlaşılmaktadır. Genel olarak H alanı rotasyoneldir. Tersine sabit yüklerden dolayı herhangi bir noktadaki elektrik alan şiddeti, E daima bir korunumlu alanı temsil etmektedir çünkü ∇ × E = 0 ’dir. Kaynaksız yani akımların olmadığı bir bölgede, (5.46) ∇×H = 0 (5.47a) olur ve aynı zamanda c kapalı döngüsü herhangi bir akımı çevrelemediğinde ∫ H ⋅ d = 0 (5.47b) c olduğunu gösterir. Elektrostatik alanlarda korunumlu E alanı elektrik potansiyeli V ile E = −∇V olarak gösterilmişti ve a noktasının b noktasına göre potansiyeli (a ve b noktaları arasındaki potansiyel farkı) a Vab = − ∫ E ⋅ d b olarak elde edilmişti. (5.47a) bölgede akımlar olmadığı sürece H ’nin korunumlu olduğunu öne sürdüğünden bir skaler alan ile H , Statik Manyetik Alanlar 393 H = -∇ℑ (5.48a) olarak ifade edilebilir. ℑ , manyetik skaler potansiyeli veya manyetostatik potansiyel olarak adlandırılır. Manyetik skaler potansiyelinin SI birimi amperdir. ℑa ve ℑb a ve b noktalarındaki manyetik skaler potansiyeller ise bu durumda a noktasının b noktasına göre manyetik potansiyel farkı aşağıdaki gibi ifade edilir. ℑab = ℑa − ℑb = - H ⋅ d a ∫ (5.48b) b Manyetomotor kuvveti veya mmf terimi genelde herhangi iki nokta arasındaki manyetik potansiyel farkının tanımlanmasında kullanılır. ∇ ⋅ B = 0 ve B = µH ’den ortam doğrusal, izotropik ve homojen olduğu sürece ∇⋅H = 0 elde edilir. Önceki eşitlikte, H yerine (5.48a)’daki ifadesi yerine konularak ∇2ℑ = 0 (5.49) elde edilir ki bu, akım olmayan bir bölgedeki manyetik skaler potansiyeli için Laplace eşitliğini vermektedir. (5.49) eşitliği Statik Elektrik Alanları bölümünde ∇ 2V = 0 ’nin çözümünde olduğu gibi, aynı yolla çözülebilir. Kısım 5.13’deki manyetik devreler üzerine çalışılırken önceki eşitliklere detaylı değinilecektir. ÖRNEK 5.16 Çok uzun ve düzgün bir iletken z ekseni boyunca uzatılmış ve z yönünde düzgün bir I akımı taşımaktadır. Boşlukta iki nokta arasındaki manyetik potansiyel farkı için bir ifade elde ediniz. Şekil 5.36 P noktasının Q noktasına göre manyetik potansiyeli ÇÖZÜM İletkeni çevreleyen bölge (5.46)’yı karşılamaktadır. Bu bölgedeki manyetik alan şiddeti, I H= aφ 2πρ dir ve buradan, 394 Elektromanyetik Alan Teorisi I dφ H ⋅ d = H φ ⋅ aφ dρ a ρ + ρdφ aφ + dz a z = ρH φ dφ = 2π [ ] elde edilir. Boşluktaki iki nokta, şekil 5.36’da görüldüğü gibi P ( ρ p , φ p , z p ) ve Q ( ρ q , φ q , z q ) ise bu durumda P noktasının Q’ye göre manyetik potansiyeli aşağıdaki gibi bulunur. φp ℑPQ = − ∫φ 2π dφ = − 2π [φ I I P ] − φq = [ I φq − φ p 2π ] q Şekil 5.36 φ p >φq olduğunu göstermektedir. Bundan dolayı bu ifade Q ile P arasındaki yoldaki mmf düşümünü vermektedir. ALIŞTIRMALAR 22. Örnek 5.13’deki toroidal sargıda halkanın ortalama yarıçapında herhangi iki nokta arasındaki mmf düşümü ifadesini elde ediniz. 23. Bölgedeki manyetik akı yoğunluğu biliniyorsa, bölgede akım bulunmayan herhangi iki nokta arasındaki manyetik potansiyel farkı ifadesinde geçirgenliğin etkisi nedir? 24. xy düzleminde bulunan ve yarıçapı b olan dairesel bir çerçeve φ yönünde I akımı taşımaktadır. Eksende herhangi iki nokta arasındaki manyetik potansiyel farkı için bir ifade elde ediniz. P(0,0,0) ve Q(0,0,∞) noktaları arasındaki manyetik potansiyel farkı nedir? 5.11 MANYETİK ALANLAR İÇİN SINIR ŞARTLARI Manyetik alanların uygulamaları veya manyetik devrelerin analizi dikkate alınmadan önce farklı geçirgenliklere sahip iki ortam (bölge) arasındaki sınırda manyetik alanların davranışının bilinmesi gerekmektedir. Bir ara yüzey olarak da bilinen bir sınır bir bölgenin bitişini ve diğer bir bölgenin başlangıcını işaretleyen sonsuz derecede küçük kalınlıkta bir alandır. 5.11.1 B ALANININ NORMAL BİLEŞENİ İÇİN SINIR ŞARTI İki bölge arasındaki ara yüzeyde, manyetik akı yoğunluğunun normal bileşenleri için sınır şartının belirlenmesinde şekil 5.37’de görüldüğü gibi oldukça küçük kalınlıkta düz bir silindir biçiminde (hap kutusu veya tablet) bir Gauss yüzeyi oluşturulsun. Manyetik akı hatları sürekli olduğundan, Şekil 5.37 B alanının normal bileşenleri için sınır şartı Statik Manyetik Alanlar 395 ∫ B ⋅ ds = 0 s dir. s kutucuğun yüzeyinin tamamıdır. Kutucuğun oldukça küçük olan kalınlık kısmından akan akı ihmal edildiğinde bu eşitlik ∫ B ⋅ ds + ∫ B ⋅ ds = 0 s1 s2 olur. Eğer a n , bölge 1’i işaretleyen ara yüzeye normal birim vektör ise Bn1 = a n ⋅ B1 ve Bn 2 = a n ⋅ B 2 ara yüzeyde iki bölgedeki B alanının normal bileşenleridir ve ds1 = a n ds1 ve ds2 = a n ds2 diferansiyel yüzeylerdir. Bu durumda önceki eşitlik ∫ Bn1ds1 − ∫ Bn 2 ds2 = 0 s1 s2 veya ∫ Bn1ds1 = ∫ Bn 2 ds2 s1 (5.50) s2 olarak yazılabilir ki basitçe sınırı terk eden toplam akının sınıra giren akı miktarına eşit olduğunu ifade etmektedir. Bu eşitlik manyetik devrelerin analizinde kullanılacaktır. Eşit iki yüzey yani oldukça küçük kalınlıktaki bir kutucuk için ∫ ( Bn1 − Bn 2 )ds = 0 s dir. Gözlem altındaki yüzey keyfi olduğundan bu sonuç skaler biçimde Bn1 = Bn 2 (5.51a) olarak ifade edilebilir ki manyetik akı yoğunluğunun normal bileşenlerinin sınırda birbirine eşit olduğunu ifade etmektedir. (5.51a) eşitliği vektörel biçimde a n ⋅ ( B1 − B 2 ) = 0 (5.51b) olarak ifade edilebilir. 5.11.2 H ALANININ TANJANT BİLEŞENLERİ İÇİN SINIR ŞARTI H alanının tanjant bileşenleri için sınır şartının elde edilmesinde şekil 5.38’de görülen kapalı yolu dikkate alalım. Kapalı yola Ampère kanunu uygulanarak ∫ H ⋅ d = ∫ H ⋅ d + ∫ H ⋅ d + ∫ H ⋅ d + ∫ H ⋅ d = I c c1 c2 c3 c4 396 Elektromanyetik Alan Teorisi elde edilir. I akımı c kapalı yolu ile çevrelenen toplam akımdır. Şekil 5.38 H alanının tanjant bileşenleri için sınır şartı c2 ve c4 yollarının her biri oldukça küçük kalınlıkta yani ∆w → 0 olduğundan toplam mmf düşümüne katkıları ihmal edilebilir. Böylece bu integraller düşürülerek, eşitlik aşağıdaki son halini alır. ∫ H ⋅ d + ∫ H ⋅ d = I c1 c3 Şekilde görüldüğü gibi a n , a t ve a p birbirlerine dik birim vektörleri ve I hacim akım yoğunluğu ile ifade edilebiliyorsa önceki eşitlik ∫ (H 1 − H 2 ) ⋅ at d = J v ⋅ a p d∆w ∫ c1 (5.52) s olarak yazılabilir. Bununla beraber ∆w→0 limitinde lim J v ∆w = J s ∆w → 0 olur; J s yüzey akım yoğunluğudur (A/m). Sağ el kuralına göre, a t = a p × a n olduğundan, (5.52) eşitliği ( H − H ) ⋅ ( a × a ) d = J 1 2 p n ∫ ∫ s ⋅ a p d c1 C1 olarak ifade edilebilir. Vektör analizi bölümünden vektör özdeşliği kullanılarak bu ifade ∫ [a n × (H1 − H 2 )] ⋅ a p d = ∫ J s ⋅ a p d C1 C1 ye dönüşür ve buradan a n × ( H1 − H 2 ) = J s (5.53a) elde edilir. Bu eşitlik sınırdaki H alanının tanjant bileşenlerinin süreksiz olduğunu ifade etmektedir. (5.53a) eşitliği skaler biçimde Statik Manyetik Alanlar 397 H t1 − H t 2 = J s (5.53b) olarak yazılabilir. (5.53b)’nin uygulanmasında yüzey akım yoğunluğu a p yönünde olduğu zaman H t1 ’in H t 2 ’den büyük olduğu unutulmamalıdır. Aynı zamanda a p ’nin H ’nin tanjant bileşenini içeren düzleme dik birim olduğuna dikkat edilmelidir. Burada iletkenliği sonlu olan iki manyetik ortam için yüzey akım yoğunluğu J s ’nin sıfır olduğunun söylenmesi gerekir; eğer ortamların her birinde akan bir akım varsa bu hacim akım yoğunluğu biçiminde, J v olacaktır. Eğer ortamın birisi mükemmel iletken ise J s mükemmel iletkenin yüzeyinde olacaktır çünkü mükemmel iletkenin içinde manyetik alan yoktur. ÖRNEK 5.17 Sonlu iletkenlikli iki manyetik ortam arasındaki ara yüzeyde tan φ1 / tan φ 2 = µ1 / µ 2 olduğunu gösteriniz; φ1 ve φ2 sırasıyla şekil 5.39a’da görüldüğü gibi 1. ve 2. bölgelerdeki manyetik alanlara normal (dik) yapılan açılardır. ÇÖZÜM B alanının normal bileşenlerinin sürekliliğinden (5.51a) B1 cosφ1 = B2 cosφ 2 (5.54) elde edilir. Her bir ortam sonlu iletkenliğe sahip olduğundan J s = 0 dır ve buna göre (5.53b)’den H alanının tanjant bileşenleri de Şekil 5.39 (a) İki manyetik ortam arasındaki ara yüzey. Ara yüzeyde (b) µ r 2 = 2400 ve µ r1 = 1 ve (c) µ r 2 = 24 ve µ r1 = 1 iken φ1 ve φ2 açıları. H t1 = H t 2 de olduğu gibi süreklidir. Bu ifadeden, Bt1 µ1 veya = Bt 2 µ2 398 Elektromanyetik Alan Teorisi B1 sin φ1 = µ1 B2 sin φ 2 µ2 (5.55) elde edilir. (5.54) ve (5.55)’den tan φ1 µ1 = tan φ 2 µ 2 elde edilebilir ki bu iki ortamın geçirgenlikleri ve açıları arasındaki istenilen ilişkidir. Bununla beraber aşağıdaki yorumların yapılması faydalı olacaktır. φ1=0 ise bu durumda φ2 ’de sıfırdır. Başka bir deyimle manyetik alan hatları her bir bölgede sınıra normaldir ve aynı genliktedir. 2. bölgenin geçirgenliği 1. bölgenin geçirgenliği ile karşılaştırıldığında çok yüksek ve φ2 90° ’den küçükse φ1 açısı çok küçük olacaktır. Başka bir ifadeyle manyetik alan hatları oldukça yüksek geçirgenlikli bir manyetik bölgeye girerken diktir. Eğer 1. bölge boşluk ve 2. bölge 2400 bağıl geçirgenliğinde çelik ve φ2=45° ise bu durumda φ1=0,02° ’dir (şekil 5.39b,c). Bu gerçek elektrik makinalarında manyetik yolların biçimlendirilmesinde kullanılır. ÖRNEK 5.18 10 cm yarıçapında ve bağıl geçirgenliği 5 olan sonlu iletkenlikte bir silindirdeki manyetik akı yoğunluğu 0,2 / ρ aφ T olarak değişken bulunmuştur. Silindiri çevreleyen bölge boşluk ile karakterize edilirse silindirin hemen dışındaki manyetik akı yoğunluğunu belirleyiniz. ÇÖZÜM Ara yüzey (veya sınır) 10 cm yarıçapında bulunduğundan, sınırın hemen altındaki manyetik akı yoğunluğu, 0,2 Bc = a φ = 2a φ T 0,1 dir. B alanının sınıra tanjant olduğu ve silindirin sonlu iletkenliğinin, J s = 0 anlamına geldiği hatırlanmalıdır. Bu nedenle H alanının tanjant bileşenleri sürekli olmalıdır. Bununla beraber ρ = 10 cm de silindirde H ’nin tanjant bileşeni, Hc = 2 a = 318,31aφ kA/m −7 φ 5 × 4π × 10 ile boşlukta silindirin yüzeyinin hemen üzerindeki manyetik alan şiddeti, H a = H c = 318,31aφ kA/m eşitlenir. Son olarak boşlukta silindir yüzeyinin hemen üzerindeki manyetik akı yoğunluğu aşağıdaki gibidir. B a = µo H a = 4π × 10−7 × 318,31× 103 aφ = 0,4aφ T Statik Manyetik Alanlar 399 ALIŞTIRMALAR 25. 2 y − x + 4 ≤ 0 ile sınırlanan sonlu manyetik iletkenlikte bir bölgenin bağıl geçirgenliği 10 ve manyetik akı yoğunluğu B = 2a x + 3a y − 5a z T ’dır. Diğer bölgeler boşluk ile karakterize edilirse (a) her bölgedeki alanı, (b) manyetik bölgedeki mıknatıslanma vektörünü ve (c) boşluktaki alanı hesaplayınız. 26. x=0 düzlemi hava ve manyetik malzeme arasındaki bir ara yüzeyi oluşturmaktadır. Havadaki akı yoğunluğunun genliği 0,5 T ve x ekseni ile 5° açı yapmaktadır. Manyetik bölgedeki akı yoğunluğu 1,2 T ise (a) x ekseni ile yaptığı açıyı ve (b) manyetik malzemenin geçirgenliğini belirleyiniz. Her iki bölgedeki H alanları nedir? 5.12 MANYETİK ALANDAKİ ENERJİ Elektrik alanında elektrik enerjisinin depolanabildiği gibi manyetik alanda da manyetik enerji depolanabilmektedir. Manyetik enerji manyetik alanı oluşturan, akım taşıyan bir iletken veya sargı içeren bir devreden gelmelidir. Eğer alan boşlukta oluşmuş ise akım kesildiğinde ve manyetik alan bittiğinde manyetik enerjinin tamamı devreye geri döner ve yeniden kazanılabilir. Boşluk dışı başka bir ortamda ise enerjinin bir kısmı bu ortamda kaybolur ve yeniden kazanılamaz. Bir manyetik ortamda manyetik enerjinin kaybı ile bilgiler detaylı olarak Zamanla değişen manyetik alanlar bölümünde verilmektedir. Statik elektrik alanları bölümünde bir elektrik alanında we = 1 D⋅E 2 olarak enerji yoğunluğu ifadesinin çıkarılmasında detaylar verilmişti ve bir ortamda depolanan toplam elektrik enerjisi, We = 1 D ⋅ Edv 2 ∫v olarak yazılmıştı. Statik manyetik alandaki enerji yoğunluğu ifadesi kolaylıkla elde edilemez; bu Zamanla Değişen Manyetik Alanlar bölümünde elde edilmiştir. Şimdilik bir manyetik alandaki enerji yoğunluğu, wm wm = 1 B⋅H 2 (5.56a) olarak tanımlanacak ve görüldüğü gibi bu ifade elektrik alanı için çıkartılana çok benzemektedir. B = µH olduğunda (5.56a) wm = 1 1 2 µH 2 = B 2 2µ (5.56b) olarak ifade edilebilir. Herhangi bir sonlu hacimdeki toplam manyetik enerji, aşağıdaki gibi manyetik enerji yoğunluğunun hacim üzerinde integralidir. 400 Elektromanyetik Alan Teorisi ∫ Wm = wm dv (5.57) v ÖRNEK 5.19 5.13 örneğindeki toroidal sargının manyetik alanında depolanan enerjiyi hesaplayınız. ÇÖZÜM Toroidin içindeki manyetik alan şiddeti için aşağıdaki gibi bir ifade elde edilmişti. NI H= aφ 2πρ a ≤ ρ ≤ b için a ve b toroidin iç ve dış yarıçaplarıdır. Buna göre, (5.56b)’den toroid içindeki manyetik enerji yoğunluğu ve (5.57)’den toroid içindeki toplam manyetik enerji aşağıdaki gibi elde edilir. wm = ∫ Wm = wm dv = v 1 1 NI µo H 2 = µo 2 8 πρ b N 2I 2 1 µo dρ 2 ρ 8π a ∫ 2π h ∫ ∫ dφ dz = 0 0 2 µo 2 2 N I h ln[b / a ] 4π ALIŞTIRMALAR 27. Bir toroidin iç yarıçapı 10 cm, dış yarıçapı 14 cm ve yüksekliği 4 cm’dir. Düzgünce sarılmış bir sargıdan 0,5 A akım geçmektedir. Ortalama yarıçaptaki manyetik alan şiddeti 79,578 A/m ise sargıdaki sarım sayısını belirleyiniz. Nüvenin geçirgenliği 500 ise manyetik alanda depolanan enerjiyi hesaplayınız. 28. Bir koaksiyel kabloda akım iç iletkenin (ρ=a) dış yüzeyinde ve dış iletkenin (ρ=b) iç yüzeyinden akmaya zorlanmaktadır. Koaksiyel kablo I akımı taşıyorsa, iki iletken arası manyetik olmayan bölgedeki manyetik alanda birim uzunluk başına depolanan enerjiyi belirleyiniz. 29. Önceki alıştırmayı akımın içteki iletkende düzgünce dağıtıldığını varsayarak tekrarlayınız. 5.13 MANYETİK DEVRELER Manyetik akı hatları kapalı bir yol oluşturduğundan ve bir sınıra giren manyetik akı sınırı terk eden manyetik akı gibi olduğundan manyetik akı ile bir kapalı iletken devreden geçen akım arasında benzerlik kurulabilir. Bir iletken devrede akım, iletkeni çevreleyen bölge içinden hiçbir kaçak olmaksızın, sadece iletkenin içinden akar. Manyetik malzeme içindeki manyetik akı verilen bir yol ile tamamen sınırlanamaz fakat manyetik malzemenin geçirgenliği malzemeyi çevreleyen (boşluk gibi) ortama kıyasla çok yüksek ise akının çoğu yüksek geçirgenlikli malzeme içinde kalacaktır. Bu malzemeyi çevreleyen bölge içinde hemen hemen ihmal edilebilir akı ile manyetik akının manyetik malzeme içinde yoğunlaşmasına neden olacaktır. Manyetik perdeleme (ekranlama, kalkanlama) manyetik akının böyle bir davranışına dayanmaktadır. Yüksek geçirgenlikte bir malzeme boyunca akının kanallanması bir iletken boyunca akımın akışına çok benzemektedir. Bundan dolayı bir manyetik malzeme içindeki akının izlediği kapalı yola manyetik devre adı verilir. Manyetik devreler döner makinalar, transformotorlar, elektromıknatıslar ve röleler gibi aygıtların en önemli parçalarını oluştururlar. Statik Manyetik Alanlar 401 Basit bir manyetik devre, birbirine yakın boşluklu helisoidal olarak sarılmış toroidal sargı biçiminde üstü kapalı olarak dikkate alınmıştı. Manyetik akının sadece toroidin nüvesi içinde olduğu söylenmişti. Şimdi bu gözlemi genişletelim ve genelleştirelim. Toroid nüvesi çok yüksek geçirgenlikte (µr) manyetik malzemeden yapılmış ve üzerine sarılmış sargı sadece bir kısmında yoğunlaştırılmış ise manyetik akının çok büyük bir kısmı hala toroidin nüvesi boyunca geçecektir. Sargının ürettiği toplam akının bir kısmı manyetik devreyi çevreleyen ortam boyunca yolunu tamamlamaz ve kaçak akı olarak adlandırılır. Manyetik devrelerin tasarımında, kaçak akı her zaman ekonomik olarak mümkün olabilecek minimum değerde tutulmaya çalışılır. Bundan dolayı manyetik devrelerin analizinde kaçak akı ihmal edildiğinden burada dikkate alınmayacaktır. Toroid durumunda, manyetik alan şiddeti ve manyetik akı yoğunluğunun dairesel yolun yarıçapı ile ters orantılı olduğu bulunmuştu. Başka bir ifadeyle manyetik akı yoğunluğu toroidin iç yarıçapında maksimum ve dış yarıçapında minimumdur. Manyetik devrelerin analizinde manyetik malzemenin içinde manyetik akı yoğunluğunun düzgün ve genliğinin ise ortalama yarıçaptaki manyetik akı yoğunluğuna eşit olduğu varsayılmaktadır. Üzerinde çalışılan toroidal manyetik devre sürekli bir kapalı yol şeklinde idi. Bununla beraber döner makinalar gibi uygulamalarda kapalı yol bir hava aralığı ile kesilmektedir. Manyetik devre şimdi şekil 5.40a’da görüldüğü gibi çok yüksek geçirgenlikli bir manyetik malzemeye seri bir hava aralığından oluşmaktadır. Devre seri olduğundan dolayı manyetik malzemedeki manyetik akı hava aralığındaki manyetik akıya eşittir. Hava aralığındaki manyetik akının yayılmasına, şekilde gösterildiği gibi saçaklama adı verilir ve bundan kaçınılamaz. Bununla beraber eğer hava aralığının boyu diğer ölçülere kıyasla çok küçükse akı hatlarının çoğu tamamen hava aralığındaki manyetik nüvenin karşılıklı yüzeyleri arasında kalacak ve saçaklama ihmal edilecektir. Özet olarak varsayımlar aşağıdaki gibidir. Manyetik akı hiçbir kaçak olmaksızın manyetik malzeme içinde kalacak şekilde sınırlandırılmıştır. Hava aralığı bölgesinde manyetik akının yayılması ve saçaklanması yoktur. Manyetik akı yoğunluğu manyetik malzeme içinde düzgündür. (a) Hava aralıklı manyetik devre (b) Ortalama L uzunluğunda A kesit alanlı manyetik devre (c) Eşdeğer devre Şekil 5.40 Şimdi şekil 5.40b’de görülen bir manyetik devreyi dikkate alalım. Eğer sargı N sarımlı ve I akımı taşıyorsa uygulanan manyetomotor kuvveti (mmf) NI’dir. SI birim sisteminde sarım sayısı boyutsuz bir miktar olmasına rağmen amper sarım (At) birimi mmf’nin birimi olarak akımın temel biriminden (A) ayırmak için kullanılacaktır. Buna göre, 402 Elektromanyetik Alan Teorisi ℑ = NI = H ⋅ d ∫ c ve eğer manyetik alan şiddeti manyetik malzeme içinde düzgün düşünülüyorsa bu eşitlik HL = NI (5.58) olur. L şekilde görüldüğü gibi manyetik yolun ortalama uzunluğudur. Manyetik malzeme içindeki manyetik akı yoğunluğu aşağıdaki gibi ifade edilir. µ manyetik malzemenin geçirgenliğidir. Manyetik malzemedeki akı µNIA Φ = ∫ B ⋅ ds = BA = L s dir; A manyetik malzemenin kesit alanıdır. Bu eşitlik aynı zamanda aşağıdaki gibi yazılabilir. Φ= NI ℑ = L / µA L / µA (5.59) Manyetik devrede manyetik akı ve uygulanan mmf elektrik devresindeki akıma ve uygulanan emf’ye benzetilebilir. Buna göre (5.59)’daki payda bir elektrik devresindeki direnç gibi olmalıdır. Bu miktar manyetik devrenin relüktansı, (ℜ) olarak tanımlanır ve birimi weber başına ampersarım (At/Wb)’dır. ℜ= L µA (5.60) olduğundan (5.59) eşitliği relüktans, ℜ ile aşağıdaki gibi yeniden düzenlenebilir. Φ ℜ = NI (5.61) (5.61) eşitliği manyetik devre için Ohm kanunu olarak bilinir. Bir iletkenin direnci, R = L / σA olduğundan manyetik malzemenin geçirgenliği bir iletkenin iletkenliğine benzer. Manyetik malzemenin geçirgenliğinin yüksek olmasıyla relüktansı en az olur. Uygulanan aynı mmf’nin yüksek geçirgenlikli malzeme içinde oluşturduğu akı düşük geçirgenlikli malzemedekine göre daha fazla olacaktır. Bu sonuç şaşırtıcı olmamalıdır çünkü bu yapılan varsayımlara uygundur. Şimdi manyetik devrenin eşdeğer devresi şekil 5.40c’de görüldüğü gibi gösterilebilir. Şekil 5.41a’da görüldüğü gibi manyetik malzeme iki veya daha fazla kısımdan oluştuğunda, şekil 5.41b’de görüldüğü gibi relüktanslar ile gösterilebilir. Toplam relüktans ayrı kısımların relüktanslarının seri ve paralel kombinasyonlarından elde edilebilir çünkü relüktanslar dirençler gibi aynı kurala uymaktadırlar. Statik Manyetik Alanlar 403 Eğer Hi manyetik devrenin i. kısmındaki manyetik alan şiddeti ve Li ortalama uzunluk ise bu durumda manyetik devredeki toplam mmf uygulanan mmf ile aynı olmalıdır. Buna göre, n ∑ H i Li = NI (5.62) i =1 eşitliği bir elektrik devresi için Kirchhoff gerilim kanununa benzemektedir. (a) Düzgün kalınlıkta seri-paralel manyetik devre (b) Eşdeğer devre Şekil 5.41 (5.62)’den her manyetik devrenin daima eşdeğer elektrik benzeri bir devre kullanılarak analiz edilebileceği gözükmektedir. Bununla beraber, bu sadece doğrusal manyetik malzemeler (sabit geçirgenlikli malzemeler) için geçerlidir. Şekil 5.42’de (II ve III nolu eğriler) görüldüğü gibi, bir ferro-manyetik malzemenin geçirgenliği manyetik akı yoğunluğunun bir fonksiyonudur. Grafikteki eğriler uygulanan mmf ve manyetik malzeme içindeki manyetik akı yoğunluğu arasındaki ilişkiyi tanımlamaktadır. Buna mıknatıslanma karakteristiği veya basitçe B-H eğrisi adı verilir. Manyetik malzemenin geçirgenliği akı yoğunluğu ile değiştiğinde manyetik malzemeye doğrusal olmayan denilir. Demir gibi ferro-manyetik malzemelerin kullanıldığı bütün aygıtlar doğrusal olmayan manyetik devreler şeklindedir. Temelde manyetik devrelerin analizi ile ilgili iki tip problem ve çözüm metodu vardır. Şekil 5.43’te, referans kolaylığı bakımından, problem tipleri ve çözüm metotları tablo haline getirilmiştir. Problemin birinci tipinde (I), manyetik devrede istenilen akı yoğunluğunun meydana getirilmesi için uygulanan mmf’nin belirlenmesini gerektirir. İkinci problem (II), istenilen manyetik akı yoğunluğunu verecek mmf’nin hesaplanması ile ilgilidir. Doğrusal manyetik devre için her problemin çözümü manyetik malzemenin geçirgenliği sabit olduğundan eşdeğer devre yaklaşımı (IA-Alanlar metodu ve IIA-Relüktans metodu) kullanılarak elde edilebilir. Doğrusal olmayan manyetik devrede istenilen akı yoğunluğunun sağlanması için gereken mmf’nin belirlenmesi oldukça basittir. Her manyetik kısımdaki akı yoğunluğu hesaplanabilir ve B-H eğrisinden H elde edilebilir (IB). H bilindiğinden her manyetik kısım boyunca mmf düşümleri belirlenebilir. Gereken mmf (5.62)’ye uygun olarak basitçe mmf düşümlerinin toplamıdır. Doğrusal olmayan bir devrede problemin ikinci tipi irdeleme tekniği kullanılarak çözülebilir (IIB). Bu durumda manyetik bölgelerin birindeki mmf düşümü için uygun bir tahmin yapılır ve sonra toplam mmf gereksinimleri elde edilir. Sonuçlar karşılaştırılır ve sonuçlar farklı ise başka bir uygun tahmin yapılır. Bu şekilde irdeleme sonucu hesaplanan mmf ve uygulanan mmf arasındaki hatanın kabul edilebilir sınırlar içinde olduğu bir duruma gelinir. Kabul edilebilir sınırı neyin belirleyeceği başka bir tartışmalı noktadır. Burada, belirtilmediği sürece bu hata için ±% 2’lik bir sınır kullanılacaktır. 404 Elektromanyetik Alan Teorisi Hatanın daha da azaltılması için bir bilgisayar programı yazılabilir. Bundan sonra doğrusal ve doğrusal olmayan manyetik devreler için örnekler verilecektir. Şekil 5.42 Çeşitli manyetik malzemelerin mıknatıslanma karakteristikleri (B-H eğrileri). I ve IV ve V (hava) nolu eğriler doğrusal karakteristik gösterdiğinden doğrusal malzemeler olarak adlandırılır. II ve III nolu eğrileri oluşturan malzemelerin geçirgenliği akı yoğunluğunun bir fonksiyonu olduğundan doğrusal olmayan malzemeler olarak adlandırılır. Şekil 5.43 Manyetik devre problemleri ve çözüm metotları ÖRNEK 5.20 Şekil 5.40a’da görülen manyetik devreye benzer kare kesitli bir elektromıknatısın sıkıca sarılmış sargısında 1500 sarım vardır. Manyetik nüvenin iç ve dış yarıçapları sırasıyla 10 cm ve 12 cm ve hava aralığının boyu 1 cm’dir. Sargıdaki akım 4 A ve manyetik malzemenin bağıl geçirgenliği 1200 ise manyetik devredeki akı yoğunluğunu belirleyiniz. ÇÖZÜM (Problem tipi ve çözüm metodu: IIA-Relüktans metodu) Manyetik malzemenin geçirgenliği sabit olduğundan ve uygulanan mmf bilindiğinden nüvedeki akı yoğunluğunun belirlenmesi için relüktans metodu kullanılabilir. Statik Manyetik Alanlar 405 Ortalama yarıçap 11 cm ve manyetik yolun ortalama uzunluğu Lm = 2π × 11 − 1 = 68,12 cm dir. Saçaklama etkisi ihmal edildiğinden, manyetik yolun kesit alanı, Am = Ag = 2 × 2 = 4 cm2 hava aralığının kesit alanı ile aynı olur. Her bölgenin relüktansı aşağıdaki gibi hesaplanır. ℜm = 68,12 × 10−2 = 1,129 × 106 At/Wb −7 −4 1200 × 4π × 10 × 4 × 10 ℜg = 1× 10−2 = 19,894 × 106 At/Wb −7 −4 4π × 10 × 4 × 10 Seri devredeki toplam relüktans, ℜ = ℜm + ℜ g = 21,023 × 106 At/Wb ve manyetik devredeki akı, Φ= 1500 × 4 = 285,402 × 10 6 Wb 21,023 × 10 6 ile hava aralığında veya manyetik bölgedeki akı yoğunluğu aşağıdaki gibi elde edilir. Bm = B g = 285,402 × 10 −6 = 0,714 T 4 × 10 − 4 ÖRNEK 5.21 Seri-paralel manyetik devre şekil 5.44’de verilmiştir. Boyutlar cm’dir. Hava aralığındaki akı yoğunluğu 0,05 T ve manyetik bölgenin bağıl geçirgenliği 500 ise 1000 sarımlı sargıdaki akımı hesaplayınız. Şekil 5.44 406 Elektromanyetik Alan Teorisi ÇÖZÜM (Problem tipi ve çözüm metodu: IA-Alanlar metodu) Hava aralığındaki akı yoğunluğu verildiğinden hava aralığındaki akı hesaplanabilir. def ve chg manyetik kısımları hava aralığı ile seri olduğundan aynı akıyı taşırlar. Böylece bu kısımların her biri için mmf düşümü aşağıdaki tabloda olduğu gibi hesaplanabilir. Kısım fg def chg Akı (mWb) Alan (cm2) B (T) H (At/m) 6 × 4 = 24 0,12 0,05 39788,74 6 × 4 = 24 0,12 0,05 79,58 6 × 4 = 24 0,12 0,05 79,58 fg, def, chg manyetik kısımlarındaki toplam mmf düşümü L (cm) 0,50 28,00 31,50 mmf (At) 198,94 22,28 25,07 246,29 dc bölgesi için mmf düşümü fg, def ve chg bileşik bölgeleri için aynı olduğundan dc bölgesindeki akı geriye doğru işlem yapılarak belirlenebilir. dabc bölgesindeki akı dc ve fg bölgelerindeki akıların toplamıdır. Bu her bölge için mmf düşümü aşağıda tablolanmıştır. Kısım dc ad ab bc Akı (mWb) Alan (cm2) B (T) H (At/m) 6 × 6 = 36 3,48 0,967 1539,31 4 × 4 = 16 3,60 2,25 3580,99 4 × 4 = 16 3,60 2,25 3580,99 4 × 4 = 16 3,60 2,25 3580,99 Manyetik devrenin toplam mmf düşümü L (cm) 16 18 16 18 mmf (At) 246,29 644,58 572,96 644,58 2108,41 Sargıdaki akım: I = 2108,41/1000 = 2,108 A’dir. ÖRNEK 5.22 Manyetik malzemesinin mıknatıslanma karakteristiği şekil 5.42’deki II nolu eğri ile verilen bir manyetik devre şekil 5.45’de verilmiştir. Boyutlar mm’dir. Manyetik devre 20 mm’lik düzgün kalınlıkta ve hava aralığındaki akı yoğunluğu 1,0 T ise 500 sarımlı sargıdaki akımı bulunuz. ÇÖZÜM (Problem tipi ve çözüm metodu: IB) Manyetik malzemenin geçirgenliği akı yoğunluğuna bağlı olduğundan akı yoğunluğu bilinmedikçe relüktansı hesaplanamaz. Bu tip problemler aşağıdaki gibi BH grafiği yardımı ile kolaylıkla çözülebilir. Hava aralığındaki akı yoğunluğu bilindiğinden hava aralığındaki akı, Φ ab = 1,0 × 6 × 10−3 × 20 × 10−3 = 0,12 × 10−3 Wb Şekil 5.45 Statik Manyetik Alanlar 407 olarak hesaplanabilir. Devrenin her kısmındaki akı manyetik devre seri bir manyetik devre olduğundan aynıdır. Şimdi aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi her kısım için mmf düşümü hesaplanabilir. Kısım ab bc cd de ef fa Akı (mWb) Kesit alanı (mm2) B (T) H (At/m) 0,12 120 1,00 795774,72 0,12 120 1,00 250 0,12 160 0,75 150 0,12 400 0,30 60 0,12 160 0,75 150 0,12 120 1,00 250 Manyetik devrenin toplam mmf düşümü L (mm) 2 56 87 134 87 76 mmf (At) 1591,55 14,00 13,05 80,40 13,05 19,00 1731,05 Böylece 500 sarımlı sargıdaki akım aşağıdaki gibi hesaplanır. I= 1731,05 = 3,4621 A 500 ÖRNEK 5.23 Ortalama uzunlukları ve kesit alanları ile bir manyetik devre şekil 5.46’da görülmektedir. 600 sarımlı sargı 10 A akım taşıyorsa seri manyetik devredeki akı nedir. Manyetik malzeme için şekil 5.42’deki II nolu mıknatıslanma eğrisini kullanınız. Şekil 5.46 ÇÖZÜM (Problem tipi ve çözüm metodu: IIB) Uygulanan mmf = 600 × 10 = 6000 At’dir. Manyetik devre doğrusal olmadığından akının belirlenmesi için irdeleme metodunun kullanılması gerekmektedir. Başka bilgi olmadığından toplam mmf düşümünün % 50’sinin hava aralığında yer aldığını varsayalım. Bu sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Birinci irdeleme: Kısım ab bc cd da Akı (mWb) Kesit alanı (cm2) B (T) H (At/m) 0,942 10 0,942 749619,78 0,942 10 0,942 225 0,942 15 0,628 125 0,942 10 0,942 225 Seri manyetik devredeki toplam mmf düşümü L (cm) 0,4 30,0 20,0 30,0 mmf (At) 3000 67,5 25 67,5 3160 Uygulanan mmf’nin çoğunun hava aralığında düştüğü açıkça ortadadır. Hava aralığındaki mmf düşümünün toplam mmf düşümüne oranı 0,9498 (=3000/3160) yani hava aralığındaki mmf düşümü uygulanan mmf’nin yaklaşık % 95’idir. Bununla beraber hava aralığındaki mmf düşümündeki bir artış her manyetik bölgedeki akı yoğunluğunu artıracaktır. Doğrusal olmayan manyetik davranış her manyetik kısımdaki mmf düşümünde bariz bir artışa da neden olabilir. 408 Elektromanyetik Alan Teorisi Böylece hava aralığında toplam mmf düşümünün % 95 yerine sadece % 79 olduğunu varsayalım. Buradan ikinci irdelemeye hava aralığında 4740 At (0,79×6000)’lik mmf düşümü ile başlanabilir. Sonuçlar aşağıda verilmiştir. İkinci irdeleme: Kısım ab bc cd da Akı (mWb) Kesit alanı (cm2) B (T) H (At/m) 1,489 10 1,489 1184908 1,489 10 1,489 2240 1,489 15 0,993 247 1,489 10 1,489 2240 Seri manyetik devredeki toplam mmf düşümü L (cm) 0,4 30,0 20,0 30,0 mmf (At) 4740 672 49,4 672 6133,4 Yüzde hata hala % 2,22 [= 100 × (6133,4 − 6000) / 6000] olup istenilen sınırın biraz üzerindedir. İkinci irdeleme tablosundan 133,4 At’lik ekstra mmf düşümünün çoğunun hava aralığında olacağı sonuç olarak söylenebilir. Eğer hava aralığındaki mmf düşümü 4700 At veya yakın değere azaltılırsa hatanın ±% 2 sınırına getirilmesi mümkündür. Bir irdeleme daha yapıldığında sonucu aşağıda verilmiştir. Üçüncü irdeleme: Kısım ab bc cd da Akı (mWb) Kesit alanı (cm2) B (T) H (At/m) 1,476 10 1,476 1150000 1,476 10 1,476 2150 1,476 15 0,985 240 1,476 10 1,476 2150 Seri manyetik devredeki toplam mmf düşümü L (cm) 0,4 30,0 20,0 30,0 mmf (At) 4700 645 48 645 6038 Şimdi yüzde hata % 0,633 [= 100 × (6038 − 6000) / 6000] olup istenilen sınır içindedir. Bu bakımdan daha fazla irdelemeye gerek kalmamaktadır. Manyetik nüvedeki akı 1,476 mWb’dir. ALIŞTIRMALAR 30. Aşağıdaki şekilde (şekil 5.47) görülen manyetik malzemenin kalınlığı 10 cm’dir. c ayağında 7 mWb’lik akı meydana getirmek için 500 sarımlı sargıdan geçmesi gereken akım ne olmalıdır? Şekil 5.42’deki II nolu mıknatıslanma eğrisini kullanınız. Şekil 5.47 31. Şekil 5.47’de görülen manyetik malzemenin kalınlığı 10 cm’dir. 500 sarımlı sargıdan 2 A akım geçerse manyetik devrenin her bacağındaki akıyı belirleyiniz. Şekil 5.42’deki II nolu mıknatıslanma eğrisini kullanınız. Statik Manyetik Alanlar 409 32. Şekil 5.44’deki seri-paralel manyetik devrenin hava aralığındaki akı yoğunluğu 0,05 T ve manyetik bölgenin bağıl geçirgenliği 500 ise relüktans metodunu kullanarak manyetik devrenin 1000 sarımlı sargısından geçen akımı bulunuz ve eşdeğer manyetik devresini çiziniz (Boyutlar cm’dir). 33. Dairesel kesit alanlı bir manyetik devrede 10 mWb’lik bir akı meydana getirmek için gereken mmf’yi bulunuz. Halkanın iç çapı 20 cm ve dış çapı 30 cm’dir. Manyetik malzemenin geçirgenliği 1200’dür. Manyetik yolun relüktansı nedir? 5.13.1 MANYETİK DEVRELERDEKİ KUVVETLER VE TORKLAR Yüklü cisimlerin birbiri üzerine etkilediği kuvvetlerin belirlenmesini içeren karmaşık sistemlerde, sistemin elektrostatik enerjisi dikkate alınarak, cisim üzerindeki kuvvet zahiri yer değişimi metodu ile bulunmuştu. Akım taşıyan oldukça uzun paralel iletkenlerin üzerindeki kuvvetlerin bulunması dışında manyetik kuvvetlerin Ampere kanunu uygulanarak bulunması pratik değildir. Bunun için kısım 3.10.1’dekine benzer zahiri yer değişimi metodu kullanılır Akım taşıyan devrelerden birinin halka akısını değiştirmeyecek, emf indüklemeyecek ve sisteme harici kaynaktan enerji girmesine izin vermeyecek şekilde, dl uzaklığı (zahiri) yer değişimi yaptığını varsayalım. Yapılan mekanik iş (depolanan manyetik enerjiyi azaltarak), dWm = F ⋅ dl olur; F sabit akı altında cisim üzerindeki kuvvettir. Mekanik iş depolanan enerji ile eşleşmelidir. dWm = − dW = F ⋅ dl eşitliğinde ∇W .dl = dW konularak (Kısım 2.8) F = −∇W N (5.63) elde edilir. Dikdörtgen koordinat sisteminde, üç boyutlu uzay için bu eşitlik aşağıdaki gibi ifade edilir. ∂W ∂W ∂W F = − ax + ay + a z N dy dz dx (5.64) Eğer manyetik devre, bir noktadan dönebilecek (yani tork oluşturabilecek) şekilde yataklanırsa, sistemin oluşturacağı mekanik iş Tz dφ olur ve oluşan tork, Tz = − ∂W dφ Nm (5.65) ile ifade edilir. Burada yataklamanın z ekseninde yapıldığı ve akının sabit olduğu varsayılmıştır. ÖRNEK 5.24 Şekil 5.48’de görülen, manyetik nüvesinin kesit alanı A olan elektromıknatısın N sarımlı sargısından geçen I akımı manyetik devrede φ akısı üretmektedir. Armatürün kaldırıcı kuvvetini belirleyiniz. 410 Elektromanyetik Alan Teorisi ÇÖZÜM Armatürün z’de dz diferansiyel yer değişimi (zahiri yer değişimi) yapmasına izin verelim. Bu sırada φ sabit kalsın. Armatürün yer değişimi sadece hava aralığının uzunluğunu değiştirecek ve yer değişimi süresince iki hava aralığı arasındaki depolanan manyetik enerji değişmiş olacaktır. 5.57’den B2 φ2 dW = dWhava aralıra = 2 Adz = dz 2 µo µo A (5.66) elde edilir. Hava aralığındaki her artış (pozitif dz) φ sabit olduğu sürece depolanan manyetik enerjiyi artıracaktır. 5.64 kullanılarak, ∂W F=− az = − dz ∂ φ2 z µo A dz az = − φ2 az N µo A (5.67) elde edilir. Burada negatif işareti, kuvvetin hava aralığını azaltma (yani armatürü çekme) eğiliminde olduğunu göstermektedir. Şekil 5.48 5.14 ÖZET Statik manyetik alan teorisi hareketli yükler tarafından oluşturulan zamandan bağımsız alanlar çalışmasıdır. Hareketli bir yük akım oluşturduğundan akım terimi ile ortamdaki manyetik akı yoğunluğu (Biot-Savart kanunu) aşağıdaki gibi tanımlandı. Statik Manyetik Alanlar 411 µ B= 4π Id × R ∫ R3 c Manyetik alan şiddeti ile manyetik akı yoğunluğu aşağıdaki gibi tanımlandı. B = µH Manyetik alanda akım taşıyan iletkene etkiyen kuvvet Ampère kuvvet kanunu ile F = ∫ Id × B c olarak verilir; B eşitlikte verilen I akımından başka bir kaynağın ürettiği manyetik akı yoğunluğudur. Akım taşıyan çerçeve manyetik alana konulursa T = m×B torku ile etkilenir ve çerçeve düzlemi B alanına normal oluncaya kadar döner. Manyetik dipol momentinin (m) genliği basitçe çerçevenin kesit alanı ve akımının çarpımıdır. Yönü sağ el kuralı ile verilir. Bir açık yüzeyi geçen manyetik akı, Φ = ∫ B ⋅ ds s iken kapalı yüzeyi terkeden net akı sıfırdır. Bu aşağıdaki gibi ifade edilir. B ⋅ ds = 0 ∫ veya ∇⋅B = 0 s Bu eşitlik manyetik alan için Gauss kanunu olarak bilinir ve manyetik akı yoğunluğunun selenoidal olduğunu ifade etmektedir. Ampère devre kanunu, ∫ H ⋅ d = I veya ∇ × H = J v c ile verilir ve akım veya akım dağılımı yüksek derecede simetriliğini koruduğu sürece H alanının kolaylıkla hesaplanmasına yardım eder. µ A= 4π ∫ c Id R ile tanımlanan manyetik vektör potansiyelinden manyetik akı yoğunluğu, 412 Elektromanyetik Alan Teorisi B = ∇×A olarak da hesaplanabilir. Yüzey veya hacim akım dağılımı için A eşitliğindeki Id yerine J s ds veya J v dv konulabilir. Bir açık yüzeyi geçen akı aşağıdaki gibi de verilebilir. c açık yüzey s ile sınırlanan konturdur. Φ = ∫ A ⋅ d c Bir manyetik bölgede sınır hacim akım yoğunluğu ve sınır yüzey akım yoğunluğu ifadeleri de aşağıdaki gibi elde edildi. J vb = ∇ × M ve J sb = M × a n M polarizasyon vektörüdür. Manyetik alanlar için iki sınır şartı aşağıdaki gibi elde edilmiştir. a n ⋅ (B1 − B 2 ) = 0 ve a n × (H1 − H 2 ) = J s Manyetik alandaki enerji yoğunluğu, wm = 1 1 1 2 B ⋅ H = µH 2 = B 2 2 2µ olarak elde edildi. Manyetik skaler potansiyeli kullanılarak manyetik devreler analiz edildi. Herhangi iki a ve b noktaları arasındaki manyetik potansiyel farkı, ℑab = ℑa − ℑb = − H ⋅ d a ∫ b dir. Manyetik alan için Ohm kanunu ifadesi NI = Φ ℜ dir; Statik Manyetik Alanlar 413 ℜ= L µA manyetik devrenin relüktansıdır. Kapalı bir manyetik devrede mmf düşümünün uygulanan toplam mmf’ye eşit olduğu söylendi. Bu n ∑ H i Li = NI i =1 ile ifade edilir ve manyetik devrelerin analizinde kullanılmaktadır. Örneklerin yardımı ile iki tip manyetik devre problemlerinin analizi için teknikler gösterildi. Manyetik devrelerde akım taşıyan devrelerdeki kuvvetler ve torklar zahiri yer değişimi metodu ile hesaplandı. 5.15 ÇALIŞMA SORULARI 1. q yükü boşlukta U hızı ile hareket etmektedir. Bu yükün her noktada ürettiği manyetik alan ifadesini yazınız. 2. Hareketli yük elektrik alanı meydana getirebilir mi? 3. Durgun yük manyetik alan meydana getirebilir mi? 4. Manyetik alana durgun bir yük yerleştirilirse yüke etkiyen kuvvet nedir? 5. Biot-Savart kanununu kendi sözlerinizle ifade ediniz. 6. İki yük aynı yönde hareket ediyor. Birbirlerine etkiyen kuvvet nedir? 7. Bir yük alan yönünde hareket ediyor. Yüke etkiyen kuvvet nedir? 8. Yüklü partikül herhangi bir kuvvet ile etkilenmeksizin bir manyetik alandan geçiyor. Manyetik alan hakkında hangi sonuca varırsınız? 9. x yönünde hareket eden bir elektron manyetik alanın y yönünde olduğu bir bölgeye giriyor. Bölgede elektronun hareket yönü nedir? 10. Manyetik dipol nedir? Manyetik dipol elektrik dipolünden nasıl farklılık gösterir? 11. Manyetik alanın belirlenmesinde Ampère devre kanunu ne zaman kullanılır? 12. Manyetik alan şiddeti genelde korunumlu alan mıdır? 13. 10 cm çapında bir tel 100 A akım taşımaktadır. (a) akım iletken içinde düzgünce dağılmış ise ve (b) akım telin hemen üzerinden akıyorsa telin dışındaki manyetik alan şiddetini bulunuz. Telin içindeki manyetik alan şiddeti nedir? 14. Ampère kuvvet kanununu açıklayınız. 414 Elektromanyetik Alan Teorisi 15. Paralel iki iletken aynı yönde akım taşımaktadırlar. Birbirine etkiyen kuvvetlerin türü (itici veya çekici) nedir? 16. Manyetik vektör potansiyeli ile ne denilmek isteniyor? 17. Manyetik vektör potansiyeli ve manyetik skaler potansiyeli arasındaki fark nedir? 18. Elektrostatik alanlar durumunda elektrik vektör potansiyeli gibi şeyler niçin yoktur? 19. Boşluk ve manyetik malzeme arasındaki sınırda J s ’nin olması için şart ne olmalıdır? 20. Manyetik vektör potansiyelinden Biot-Savart kanunu çıkartılabilir mi? 21. ∇ ⋅ B = 0 ’nin önemi nedir? 22. Sınır hacim akım yoğunluğu ve sınır yüzey akım yoğunluğu ile ne denilmek isteniyor? 23. Polarizasyon vektörünün önemi nedir? 24. Relüktans ve mmf arasındaki ilişki nedir? 25. Akı ve relüktans arasındaki ilişki nedir? Akı doğrusal mıdır? 26. Akımın tanımlanması için kuvvet eşitliği kullanılabilir mi? Evet ise nasıl? 27. Kararlı manyetik alan oluşturulduktan sonra bunun sürdürülmesi için herhangi bir enerji gerekir mi? Açıklayınız. 28. Manyetik devrelerin tasarımında istenilen akı yoğunluğu daima olabildiğince az miktarda mmf ile oluşturulmaya çalışılır. Bunun demek istediğini (a) manyetik malzemenin geçirgenliği ve (b) manyetik malzemenin relüktansı ile açıklayınız. 29. mmf kendisini üreten akımla sayısal olarak aynı olabilir mi? 30. Akı yoğunluğu artırılırsa ferromanyetik malzemenin relüktansına ne olur? 31. Ferromanyetik malzemenin geçirgenliği malzemedeki akı yoğunluğu azalırken artar mı? 32. Manyetik olmayan malzemenin geçirgenliği akı yoğunluğu ile değişir mi? Relüktansı nasıl değişir? 33. Ohm kanunu ferromanyetik malzemelerde manyetik alana uygulanabilir mi? 34. Manyetik malzeme doymuş denildiğinde ne denilmek isteniyor? Manyetik malzeme doyduğunda geçirgenliğine ne olur? 35. Histerezis nedir? Histerezis kaybı ile ne denilmek isteniyor? Histerezis kaybı yumuşak çeliğe göre sert çelikte daha fazla mıdır? 36. Perminvar olarak bilinen nikel kobalt manganez alaşımının çok geniş akı yoğunluğu aralığında sabit geçirgenlikte olduğu bulunmuştur. Böyle malzemeleri bulmak niçin önemlidir? Statik Manyetik Alanlar 415 37. Bizmut ferromanyetik malzeme olmamakla beraber manyetik alana konulduğunda direncini değiştirir. Bölgedeki manyetik akı yoğunluğunun ölçülmesinde bizmut kullanılabilir mi? Açıklayınız. 38. Curie noktası oldukça düşük olan bazı alaşımlar vardır. Bu alaşımların her birinin küçük bir sıcaklık değişiminde geçirgenliklerinde bariz değişim gösterdiği bulunmuştur. Böyle alaşımlar sıcaklık ölçümünde kullanılabilir mi? Açıklayınız. 39. Kalıcı (artık) akı yoğunluğu nedir? 5.16 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMALAR 1. 0 ≤ z ≤ ∞ arasındaki çok ince bir iletken telden geçen I akımından dolayı z = 0 düzlemindeki herhangi bir noktadaki manyetik akı yoğunluğu ifadesini elde ediniz. 0 ∞ µo I µo I b a Örnek 5.1’den a = 0 ve b = ∞ iken B= − aφ = aφ 2 2 4πρ ρ 2 + b 2 4πρ a ρ + 0 ∞ 2. − L ≤ z ≤ L arasındaki düzgün bir telden I akımı geçmektedir. Teli ikiye bölen düzlemde herhangi bir noktadaki manyetik alan nedir? µo I −L L − Örnek 5.1’den a = − L ve b = L iken B= 4πρ ρ 2 + L2 ρ 2 + L2 µo I aφ = 2πρ L ρ 2 + L2 aφ 3. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi sonsuz uzunlukta a yarıçapında içi dolu manyetik olmayan bir iletkenden I akımı geçmektedir. İletkenin iç ve dış kısımlarındaki manyetik akı yoğunluğunun radyal yönde değişim eğrisinin şekilde görüldüğü gibi olduğunu doğrulayınız. I ρ ≤ a iken ⇒ ∫ c çevrelenen = ∫ J ⋅ ds ⇒= H H ⋅ dl s Hφ aφ 2πρ aφ I az π a2 ρ ≥ a iken ⇒ ∫ c H ⋅ dl = Hφ aφ 2πρ aφ I I çevrelenen πρ 2 ⇒H = µo I ρ Iρ ⇒ = a B aφ T φ 2π a 2 2π a 2 µo I I = aφ ⇒ B aφ T 2πρ 2πρ 4. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, çok uzun ve hava nüveli silindirik selenoid oluşturmak için b yarıçapında ve L uzunluğundaki silindir üzerine çok ince iletken telden N sarım sıkıca sarılmıştır. İletken telden I kararlı akımı geçtiğinde silindir eksenindeki herhangi bir noktadaki 416 Elektromanyetik Alan Teorisi manyetik akı yoğunluğunu bulunuz. Silindirin merkezindeki ve uçlarındaki manyetik akı yoğunlukları nedir? L /2 nIb 2 ( z − h ) B b2 b2 + ( h − z ) 2 − L /2 2π φ0 0 N L / bdsdφ 2 L L π / 2 2 / 2 R µo J s × µo µo n Ib dz (h − z )nIbdz 2π = ds dφ a z + dφa ρ R3 4π ∫s 4π ∫− L / 2 b 2 + ( z − h) 2 3 ∫0 4π ∫− L / 2 b 2 + ( z − h) 2 3 ∫0 nIaφ − ba ρ + ( h − z ) a z µ nI L/2+h L/2−h + B= o 2 2 2 b2 + ( h − L / 2) b + (h + L / 2) 2 B h= L / 2 = µo nI L 2 b +L 2 2 az , B h=0 = µo nI L 2 b + ( L / 2) 2 2 az , B h= − L / 2 = µo nI L 2 b +L N = B µ= µo Ia z o nIa z L →∞ L 5. Örnek 5.3’ü B = Ba x ve B = Ba y için tekrar ediniz. B = Ba x (5.12a) eşitliğinden iletkenin x =-(a+L) ve x =-a arası kısmına etkiyen manyetik kuvvet: = F1 −a ∫ 0 IB (a x × a x )= dx 0 −(a+ L) ve benzer şekilde iletkenin x=a ve x=a+L arası kısmına etkiyen manyetik kuvvet: a z 2 2 az Statik Manyetik Alanlar 417 (a+ L) F = 2 ∫ 0 IB (a x × a x )dx = 0 a a yarıçapında yarı-çember yaya etkiyen kuvvet: a −az φ 0 0 0 0 0 − IBa sin φ π a z = F3 = ∫ IB((− sin φ a x + cosφ a y ) × a x )adφ =IBa ∫ [− sin φ a x × a x + cosφ a y × a x ]dφ = π π Tüm iletkendeki bileşke manyetik kuvvet: F = F1 + F2 + F3 = 0 B = Ba y (5.12a) eşitliğinden iletkenin x =-(a+L) ve x =-a arası kısmına etkiyen manyetik kuvvet: = F1 −a ∫ az IB (a x × a y )= dx IBLa z −(a+ L) ve benzer şekilde iletkenin x=a ve x=a+L arası kısmına etkiyen manyetik kuvvet: F = 2 (a+ L) ∫ az IB (a x × a y )dx = IBLa z a a yarıçapında yarı-çember yaya etkiyen kuvvet: a az φ 0 0 0 0 F= φ IBa ∫ [− sin φ a x × a y + cos φ a y × a y ]d= φ IBa (cos φ ) π a z 3 ∫π IB((− sin φ a x + cos φ a y ) × a y )ad= π = 2 IBaa z Tüm iletkendeki bileşke manyetik kuvvet: 2 418 Elektromanyetik Alan Teorisi F = F1 + F2 + F3 = 2 IB ( L + a )a z 6. F1 = [ ] µo q1U1 × q2 U 2 × R12 eşitliğini manyetik kuvvetin temel bir kuralı varsayarak Biot3 4π R12 Savart kanunu ve Ampère kuvvet kanunu ifadelerini elde ediniz. I 2 dl2 µo q2 U 2 × R F1 ∫ q1U1 × = c1 4π R 3 I1 dl1 B2 7. (5.17) ve (5.18) eşitliklerini doğrulayınız. µII FAB = − o 1 2 4π FAB L a ba y + ( z2 − z1 ) a z −a b 2 + ( z2 − z1 ) 2 ∫ dz ∫ 1 −L 3 dz2 1 1 a − z1 a + z1 − + b2 +( a + z1 )2 b2 +( a − z1 )2 b2 b2 +( z1−a )2 b2 b2 +( z1+ a )2 a a z2 − z1 1 − 2 2 2 2 2 b + ( z2 − z1 ) b b + ( z1 − z2 ) −a −a L a L a µII ( z2 − z1 ) 1 dz2 a z = − o 1 2 b ∫ dz1 ∫ dz2 a y + ∫ dz1 ∫ 3 3 −L −a −a 4π − L b 2 + ( z − z1 ) 2 b 2 + ( z2 − z1 ) 2 2 L L 2 2 2 a + z1 + b 2 + ( a + z1 ) b 2 + ( a + z1 ) − b 2 + ( a − z1 ) l n 2 2 2 b − a + z1 + b + ( a − z1 ) − L −L 2 2 2 2 b 2 + ( a − L )2 − b 2 + ( a + L )2 b 2 + ( a + L )2 − b 2 + ( a − L )2 a + L + b +( a + L ) − a − L + b +( a + L ) − ln 2 2 2 b2 b2 )2 a − L + b +( a − L ) − a + L + b +( a − L ln1 0 µII FAB = − o 1 2 ( L + a)2 + b2 − ( L − a)2 + b2 a y 2π b Statik Manyetik Alanlar 419 µII FCD = − o 1 2 4π FCD L −a ca y + ( z2 − z1 ) a z −L a c + ( z2 − z1 ) ∫ dz1 ∫ 2 2 3 dz2 1 1 a + z1 a − z1 − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c +( a − z1 ) c +( a + z1 ) c c +( z1+ a ) c c +( z1−a ) −a −a z2 − z1 1 − 2 2 c 2 + ( z2 − z1 ) c 2 c 2 + ( z1 − z2 ) a a −a −a L µII L ( z2 − z1 ) 1 = − o 1 2 c ∫ dz1 ∫ dz2 a z dz2 a y + ∫ dz1 ∫ 3 3 − − L a L a 4π c 2 + ( z − z1 ) 2 c 2 + ( z2 − z1 ) 2 2 L L 2 2 2 2 2 c 2 + ( a − z1 ) − c 2 + ( a + z1 ) − ln a − z1 + c 2 + ( a − z1 ) a + z1 + c + ( a + z1 ) −L 2 c 2 2 2 2 −L a − L + c +( a − L ) a + L + c +( a + L ) − ln 2 2 2 2 c 2 +( a + L ) − c 2 +( a − L ) c 2 +( a − L ) − c 2 +( a + L ) − a + L + c 2 +( a + L )2 a − L + c 2 +( a − L )2 c2 c2 ln1 − 0 µo I1 I 2 ( L + a)2 + c 2 − ( L − a)2 + c 2 a y = FCD 2π c 8. Örnek 5.5 de L=10 m, b=2 cm, c=10 cm, a=5 cm ve I1 =I2 =10 A ise çerçeveye etkiyen manyetik kuvveti bulunuz. 10 10 µ I I 1 1 2 2 2 2 F= −a y o 1 2 ( L + a ) 2 + b − ( L − a ) 2 + b + ( L + a ) 2 + c − ( L − a ) 2 + c c 2π b 10 10 5 2 5 2 5 1 5 1 10 100 1 10 100 2 100 100 100 10 100 10 100 10 = −119,999a y μN 9. 10 cm × 20 cm ebadında 10 sarımlı bir sargı 0,8 T’lık manyetik alana yerleştirilmiştir. Sargıdan 15 A geçmekte ve uzun ekseni boyunca serbestçe dönebilmektedir. Tam bir dönüş için sargının yer değişimi açısı ile sargıya etkiyen tork grafiğini çiziniz. m B T = m × B = mB sin θ = 10 × 15 × 10 × 20 × 10−4 × 0,8sin θ = 2, 4sin θ Nm 420 Elektromanyetik Alan Teorisi 10. Bir D’Arsonval sayacı 0,2 T’lık manyetik alanda 4 cm uzunluğunda ve 2,5 cm genişliğindeki sargısı 25 sarımlı olacak şekilde tasarlanmıştır. Aygıtın geri getirici torku bir yay ile uygulanmakta ve bu θ sapma açısı ile orantılıdır. Yay sabiti derece başına k=50 µNm’dur. Skalada bulunan 50° ’lik yay 100 eşit taksimata bölünmüştür. Aygıtın tasarımı, manyetik alan daima sargının eksenine göre radyal yönde olacak şekilde yapılmıştır. (a) sapmanın her derecesi için, (b) skala taksimatı için ve (c) tam skala sapması için sargıdan geçen akımı hesaplayınız. k m kθ B 50 × 10−6 −4 T= m × B= mB sin θ= 25 × 4 × 2,5 × 10 I × 0, 2sin 90°= 0,005 I ⇒ I θ = 1= = 10 mA/derece ° 0,005 I tam skala = 50 × 10−6 mA =10 × 50 derece =500 mA 0,005 derece I skala = taksimatı 500 mA = 5 mA 100 11. Sonsuz uzunlukta akım taşıyan iletkenin oluşturduğu B manyetik alanının Gauss kanununu sağladığını gösteriniz. B φ µo I 1 ∂ µo I = B aφ ⇒= ∇⋅B = 0 2πρ ρ ∂φ 2πρ 12. Örnek 5.7’yi her iki iletken z yönünde akım taşırken tekrarlayınız. Statik Manyetik Alanlar 421 B ds µo I 1 µo I 1 ( dydz = Φ ∫ − + ⋅ − = a ax ) x s 2π 2π y b− y L 1 µo I 1 b−a L ln[ y ( y − b)] a z 0 dz − dy= ∫ 0 2π y b− y −a µo IL (b − a)(b − a − b) ln = = 0 2π ( ) a a b − ∫ b−a 0 1 13. Kenarı 2b olan bir küp orijinde bulunmaktadır. Çok uzun düz bir iletken z ekseninde yerleştirilmiş ve z yönünde I akımı taşımaktadır. x=b yüzeyinden geçen akıyı bulunuz. y − sin φ = − = − aφ ⋅ a x = ρ y 2 x + y 2 b B ds µo I µI Φ=∫ a ⋅ a x dydz = − o s 2πρ φ 2π ∫ b −b b µI y dy ∫ dz = − o ln y 2 + b 2 2 2 − b 2π y +b b −b z −b = − b µo I b2 + b2 2b ln =0 2π b2 + b2 14. B = 12 xa x + 25 ya y + cza z ise c’yi bulunuz. By Bx Bz ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅ B = 0 ⇒ 12 x + 25 y + cz = 0 ⇒ 12 + 25 + c = 0 ⇒ c = −37 ∂x ∂y ∂z 15. Örnek 5.10’da iletkenler içindeki bölgedeki manyetik akı yoğunluğunu kullanarak çevrelenen toplam akıyı belirleyiniz. B ds µ 80 0,1 1 100 µo I µo 8000 o = Φ ∫ aφ ⋅ a= ρ = d dz d ρ= dz ln10 3,68 mWb φ ∫ ∫ s 2πρ 0,01 0 ρ 2π 2π 16. L uzunluğunda kısa ve düz bir iletken z yönünde I akımı taşımaktadır. İletkenden uzakta bir noktadaki manyetik vektör potansiyelinin aşağıdaki gibi olduğunu gösteriniz. R orijinden gözlem noktasına olan uzaklıktır. Bu noktadaki manyetik akı yoğunluğu nedir? µo I = A 4π az az L/2 1 µo IL µo IL µo IL = a = a = a − a dz θ θ cos ( sin θ) z z r ∫− L / 2 R R R R 4π 4π 4π R >> L ar 1 ∂ B = ∇×A = 2 r sin θ ∂r µo IL cos θ 4π R R≅r R >> L r aθ ∂ ∂θ µ IL − r o sin θ 4π R R≅r R >> L r sin θ aφ µ IL ∂ = o 2 sin θ aφ ∂φ 4π r 0 422 Elektromanyetik Alan Teorisi 17. a = 10 cm yarıçapında dairesel kesit alanlı çok uzun düz bir iletken z eksenine yerleştirilmiştir. İletken z yönünde kesit alanı boyunca düzgünce dağıtılmış 100 A taşımaktadır. (a) iletkenin içinde ve (b) iletkenin dışındaki manyetik alan şiddetini bulunuz. İletkenin merkezinden, uzaklığın bir fonksiyonu olarak manyetik alan şiddetinin grafiğini çiziniz. I çevrelenen 100 ρ dl ds ρ ≤ a iken ⇒ ∫ H ⋅ = ⋅ ⇒H = J a= 1591,55 ρ aφ A/m 2 φ ∫ c s 2 a π Hφ aφ 2πρ aφ 100 πρ 2 π a2 ρ ≥ a iken ⇒ ∫ c H ⋅ dl = Hφ aφ 2πρ aφ az 100 15,9155 100 ⇒ H= a= aφ A/m φ 2πρ ρ I çevrelenen 18. Örnek 5.13’de N=500 sarım, a=15 cm, b=20 cm, h=5 cm ve I=2 A ise halka içindeki manyetik alan şiddetini, manyetik akı yoğunluğunu ve toplam akıyı bulunuz. Halka içinde manyetik alan şiddeti düzgün ve ortalama yarıçaptaki genliğe eşit varsayılırsa halka içindeki manyetik akı yoğunluğu ve toplam akıyı hesaplayınız. Bu varsayımla meydana gelen hata nedir? H = Hφ = 1061,03 A/m NI 500 × 2 159,1549 ρ = 0,15 aφ aφ aφ A/m ⇒ = = ρ 2πρ 2πρ H φ ρ = 0,2 = 795,7745 A/m Bφ = 1,33 mT 200 × 10−6 ρ = 0,15 −7 159,1549 B= aφ = aφ T ⇒ µo H = 4π × 10 ρ ρ Bφ ρ = 0,2 = 1,00 mT Φ= µo NIh b 500 × 2 × 0,05 20 ln = 4π × 10−7 ln = 2,876 μWb 2π a 2π 15 159,15 H φ = 909, 428 A/m 20 + 15 = 0,175 ρ = 17,5 cm ⇒ Ortalama yarıçapta, = 2 B =4π × 10−7 × 909, 428 =1,1428 mT φ 0,05 2,857 μWb ⇒ hata % = Φ 1,1428 × 10−3 × (0, 2 − 0,15) × = = 2,876 − 2,857 100 % 0,66 = 2,876 19. Çok ince bir tel helisel bir sargı biçiminde sıkıca sarılarak bir selenoid oluşturuluyor. Sargının iç yarıçapı b ve selenoid çok uzunsa sargı içindeki manyetik alan şiddetinin genliğinin nI olduğunu gösteriniz; I sargıdan geçen akım ve n birim uzunluk başına sarım sayısıdır. Sargı içindeki manyetik akı yoğunluğunu ve sargıyı kesen toplam akıyı da hesaplayınız. ∫ c H ⋅dl= H z L= nIL ⇒ H = nI ⇒ B= µo nI ⇒ Φ= µo nI π b 2 z z I çevrelenen Statik Manyetik Alanlar 423 20. Çok ince bir tel helisel sargı biçiminde sıkıca sarılarak b iç yarıçapında, µr bağıl geçirgenliğinde çok uzun bir selenoid oluşturuluyor. M mıknatıslanma vektörü, J vb sınır hacim akım yoğunluğu ve J sb sınır yüzey akım yoğunluğunu hesaplayınız. Önceki alıştırmadan H z = nI M z = χ m H z = ( µr − 1)nI ⇒ J vb = ∇ ⋅ M = 0 ⇒ J sb ρ =b = M × a ρ = ( µr − 1)nIa z × a ρ = ( µr − 1)nIaφ 21. Örnek 5.14’de, µr =1200, N=500 sarım, I=2 A, a=15 cm, b=20 cm ve h=5 cm ise manyetik akı yoğunluğunu, sınır hacim akım yoğunluğunu, sınır yüzey akım yoğunluğunu ve halka içindeki toplam akıyı bulunuz. ( µ − 1) NI (1200 − 1) × 500 × 2 a = 190826,7768 a ⇒ J = ∇ × M =0 M= r aφ = φ φ vb 2πρ 2πρ ρ H NI 4π × 10−7 × 1200 × 500 × 2 0, 24 = B µo µ r = aφ = aφ aφ= ⇒Φ ρ 2πρ 2πρ M 190826,7768 190826,7768 = J sb = aφ × a z aρ üst yüzey ρ ρ J sb alt yüzey M 190826,7768 190826,7768 = aφ × (−a z ) =− aρ ρ ρ M 190826,7768 = J sb = aφ × (−a ρ ) 1272178,512a z ρ = a= 0,15 ρ 0,2 0, 24 0,15 ρ ∫ 0,05 d ρ ∫= dz 3, 45 mWb 0 424 Elektromanyetik Alan Teorisi J sb ρ = b= 0,2 M 190826,7768 = aφ × a ρ = −954133,884a z ρ 22. Örnek 5.13’deki toroidal sargıda halkanın ortalama yarıçapında herhangi iki nokta arasındaki mmf düşümü ifadesini elde ediniz. NI H= aφ NI 2πρ ⇒ ∫ H ⋅ dl= φ c 2π dl φ = ρ dφ aφ φ2 ∫φ d= φ 1 NI (φ2 − φ1 ) 2π 23. Bölgedeki manyetik akı yoğunluğu biliniyorsa, bölgede akım bulunmayan herhangi iki nokta arasındaki manyetik potansiyel farkı ifadesinde geçirgenliğin etkisi nedir? B a ’den verilen bir B için ℑab = ℑa − ℑb = - ∫ H ⋅ d manyetik potansiyel farkı µ ile B = µH ⇒ H = µ ters orantılı değişmektedir. b 24. xy düzleminde bulunan ve yarıçapı b olan dairesel bir çerçeve φ yönünde I akımı taşımaktadır. Eksende herhangi iki nokta arasındaki manyetik potansiyel farkı için bir ifade elde ediniz. P(0,0,0) ve Q(0,0,∞) noktaları arasındaki manyetik potansiyel farkı nedir? = H I dl × R ∫= c 4π R 3 ∫ 2π I (bdφ aφ ) × (−ba ρ + z a z ) 4π b 2 + z 2 0 3 H z Ib 2 3 2 2 2 b +z Hρ 0 Ib 2 2π dφ Ibz 2π dφ = az + (a x cos φ + a y sin φ ) 4π ∫0 b 2 + z 2 3 4π ∫0 b 2 + z 2 3 aρ = ℑ z2 H z dz ∫= z1 ∫ z2 z1 z2 z1 I ⇒ℑ = dz − = 3 2 2 2 b 2 + z22 b z + 2 b2 + z 2 1 Ib 2 ∞ H dz ∫= 0 z I 2 Statik Manyetik Alanlar 425 25. 2 y − x + 4 ≤ 0 ile sınırlanan sonlu manyetik iletkenlikte bir bölgenin bağıl geçirgenliği 10 ve manyetik akı yoğunluğu B = 2a x + 3a y − 5a z T ’dır. Diğer bölgeler boşluk ile karakterize edilirse (a) her bölgedeki alanı, (b) manyetik bölgedeki mıknatıslanma vektörünü ve (c) boşluktaki alanı hesaplayınız. düzlem x = ∇f −a x + 2a y x 0 iken y ≤ −2 2y − x + 4 ≤ 0 ⇒ y ≤ − 2 ⇒ = ⇒ f = 2 y − x + 4 ⇒ an = 2 = ∇f 5 y 0 iken x ≥ 4 I B 2 = 2a x + 3a y − 5a z ⇒ a ⋅ B − B = ⇒ − C + C = ( ) 0 2 4 n x y 1 2 B1 = C x a x + C y a y + C z a z 1 B2 B1 − µo µr ax ay az C z = − 12 B 2 = 2a x + 3a y − 5a z B2 1 2 B1 7 0 = 0 ⇒ 2C x + C y = = 0⇒ − ⇒ an × − 10 µ µ µ 5 5 B1 = C x a x + C y a y + C z a z o o r II 10 C x − 102 C y − 103 C z + 105 0,52 1,74 4 C x = −13 / 25 −C x + 2C y = ⇒ ⇒ B = − a + I ve II'den (13 / 25) (87 / 50)a y − (1 / 2)a z x 1 7 C y = 87 / 50 10 2C x + C y = 26. x=0 düzlemi hava ve manyetik malzeme arasındaki bir ara yüzeyi oluşturmaktadır. Havadaki akı yoğunluğunun genliği 0,5 T ve x ekseni ile 5° açı yapmaktadır. Manyetik bölgedeki akı yoğunluğu 1,2 T ise (a) x ekseni ile yaptığı açıyı ve (b) manyetik malzemenin geçirgenliğini belirleyiniz. Her iki bölgedeki H alanları nedir? 426 Elektromanyetik Alan Teorisi 0,5 cos5° = 65, 48° Bn1= Bn 2 ⇒ θ= cos −1 1, 2 Ht1 Ht 2 B1 sin φ1 B2 sin φ2 1, 2 sin 65, 48° ⇒ µr 2 = 25,0535 = = 0,5 sin 5° µ1 µ2 0,5sin 5° 1,2sin 65,48° 0,04357 A/m 0,04357 A/m = 1 25,0535 27. Bir toroidin iç yarıçapı 10 cm, dış yarıçapı 14 cm ve yüksekliği 4 cm’dir. Düzgünce sarılmış bir sargıdan 0,5 A akım geçmektedir. Ortalama yarıçaptaki manyetik alan şiddeti 79,578 A/m ise sargıdaki sarım sayısını belirleyiniz. Nüvenin geçirgenliği 500 ise manyetik alanda depolanan enerjiyi hesaplayınız. Bφ= µo µr H φ= 4π × 10−7 × 500 × 79,578 ≅ 50 mT ⇒ Φ= BA= 50 × 10−3 (0,14 − 0,04)0,04= 80 μWb ρm Ortalama yarıçap: = λ= N Φ ⇒ L= wm = H 2πρ m 79,578 × 2π × 0,12 0,1 + 0,14 = 0,12 m ⇒= N = = 120 sarım 2 I 0,5 1 2 1 N Φ 120 × 80 × 10−6 LI = 19, 2 × 10−3 × 0,52 = 2, 4 mJ = = 19, 2 mH ⇒ Wm = 0,5 2 2 I 1 1 B⋅H= 50 × 10−3 × 79,578 = 1,99 J/m3 2 2 W = m dv ∫w= v m = 2, 4 mJ 1,99(0,14 − 0,1)0,04 × 2π × 0,12 28. Bir koaksiyel kabloda akım iç iletkenin (ρ=a) dış yüzeyinde ve dış iletkenin (ρ=b) iç yüzeyinden akmaya zorlanmaktadır. Koaksiyel kablo I akımı taşıyorsa, iki iletken arası manyetik olmayan bölgedeki manyetik alanda birim uzunluk başına depolanan enerjiyi belirleyiniz. Statik Manyetik Alanlar H= a ≤ ρ ≤b 427 µo I I aφ ⇒ B= aφ = ⇒Φ a ≤ ρ ≤b 2πρ 2πρ µo I 2π B ⋅ ds ∫= s b 1 a ρ ∫ 1 d ρ= ∫ dz 0 µo I b ln 2π a 1 1 2 µo I 2 b λ N Φ µo b L= = = ln H/m ⇒ Wm = LI = ln J/m I I 2π a 2 4π a wm = µo I 2 1 B⋅H= J/m3 ⇒ Wm = 2 8π 2 ρ 2 ∫ v wm dv = µo I 2 8π 2 b 1 a ρ2 ∫ 2π 1 0 0 ρ d ρ ∫ dφ ∫ dz = µo I 2 b ln J/m 4π a 29. Önceki alıştırmayı akımın içteki iletkende düzgünce dağıtıldığını varsayarak tekrarlayınız. H B ρ ≤a a ≤ ρ ≤b Iρ aφ 2π a 2 ⇒ Wm µo I ρ aφ = 2π a 2 = Önceki örnekten Wm ρ ≤a = a ≤ ρ ≤b = µo I 2 1 B H ⋅ = dv 2 ∫v 8π 2 a 4 ∫ a 0 µo I 2 b ln J/m ⇒ Wm = Wm 4π a 2π 1 0 0 ρ 3 d ρ ∫ dφ ∫ dz = ρ ≤a + Wm = a ≤ ρ ≤b µo I 2 J/m 16π µo I 2 µo I 2 b + ln J/m 16π 4π a 30. Aşağıdaki şekilde görülen manyetik malzemenin kalınlığı 10 cm’dir. c ayağında 7 mWb’lik akı meydana getirmek için 500 sarımlı sargıdan geçmesi gereken akım ne olmalıdır? Şekil 5.42’deki II nolu mıknatıslanma eğrisini kullanınız. Φ B 7 (7 / 2) × 10−3 Φ a =Φ b = c = mWb ⇒ Ba =Bb = c = =0,7 T ⇒ Bc =1, 4 T 2 2 2 5 × 10−2 × 10 × 10−2 H= H= 140 A/m b Mıknatıslanma eğrisinden ⇒ a ⇒ H c = 1775 A/m ℑ 959,75 2 ℑ = 1775(50 − 5)10−2 + 140(70 + 45)10−= = = 1,9195 A I 959,75 At ⇒ = N 500 31. Aşağıdaki şekilde görülen manyetik malzemenin kalınlığı 10 cm’dir. 500 sarımlı sargıdan 2 A akım geçerse manyetik devrenin her bacağındaki akıyı belirleyiniz. Şekil 5.42’deki II nolu mıknatıslanma eğrisini kullanınız. 428 Elektromanyetik Alan Teorisi 1000 At uygulanan mmf’nin % 70’inin c bacağında düştüğü varsayılsın. 1. İrdeleme: 500 × 2 = Bacak Akı (Wb) Alan (m2) c 68 × 10−4 50 × 10−4 −4 −4 B (T) grafikten 1,36 H (At/m) 700/0,45 1555,55 34×10−4 a 34 × 10 50 × 10 50×10−4 0,68 Toplam mmf düşümü = hata 857,33-1000 = -% 14, 267 1000 grafikten 136,81 L (m) mmf (At) 0,45 ←700 1,15 157,33 çok düşük 857,33 Statik Manyetik Alanlar 429 1000 At uygulanan mmf’nin % 82’sinin c bacağında düştüğü varsayılsın. 2. İrdeleme: 500 × 2 = Bacak Akı (Wb) Alan (m2) c 70,5 × 10−4 50 × 10−4 B (T) grafikten 1, 41 H (At/m) 820/0,45 1822, 22 35,25×10−4 a 35, 25 × 10 −4 50 × 10 −4 grafikten 138, 27 −4 50×10 0,705 L (m) mmf (At) 0,45 ←820 1,15 159,01 hala düşük 979,01 Toplam mmf düşümü hata = 979,01-1000 = -% 2, 099 1000 1000 At uygulanan mmf’nin % 84’inin c bacağında düştüğü varsayılsın. 3. İrdeleme: 500 × 2 = Bacak Akı (Wb) Alan (m2) c 71 × 10−4 50 × 10−4 B (T) grafikten 1, 42 H (At/m) 840/0,45 1866,66 35,5×10−4 a 35,5 × 10 −4 50 × 10 −4 50×10−4 0,71 Toplam mmf düşümü 140 L (m) mmf (At) 0,45 ←840 1,15 161 grafikten tamam 1001 1001-1000 hata = = +% 0,1 ≤ % 2 1000 32. Aşağıdaki şekildeki seri-paralel manyetik devrenin hava aralığındaki akı yoğunluğu 0,05 T ve manyetik bölgenin bağıl geçirgenliği 500 ise relüktans metodunu kullanarak manyetik devrenin 1000 sarımlı sargısından geçen akımı bulunuz ve eşdeğer manyetik devresini çiziniz (Boyutlar cm’dir). 430 Elektromanyetik Alan Teorisi 0,5 × 10−2 = 1,658 × 106 H −1 −7 −4 4π × 10 × 24 × 10 28 × 10−2 3 −1 ℜ= = 185,68 × 10 H def 4π × 10−7 × 500 × 24 × 10−4 T =ℜ abcd + ( ℜ def +ℜ fg +ℜchg )/ / ℜcd ℜ 16 × 10−2 ℜT 585,61 × 103 H -1 ℜ= = 70,74 × 103 H −1 ⇒= cd 4π × 10−7 × 500 × 36 × 10−4 31,5 × 10−2 208,89 × 103 H −1 ℜ= = chg −7 −4 4π × 10 × 500 × 24 × 10 352 × 10−2 −1 3 = 517, 25 × 10 H ℜabcd = 4π × 10−7 × 500 × 24 × 10−4 ℜ= fg Φ = Φ1 + Φ 2 = 3,603 mWb ℑab ℑ ⇒ [Φ1 (ℜdef + ℜ fg + ℜchg )] ΦℜT 2109,73 I = = 2,10973 A = 3, 483 mWb = 1000 N ℜcd −4 0,05 × 24 × 10= 120 μWb Φ= 1 Φ2 33. Dairesel kesit alanlı bir manyetik devrede 10 mWb’lik bir akı meydana getirmek için gereken mmf’yi bulunuz. Halkanın iç çapı 20 cm ve dış çapı 30 cm’dir. Manyetik malzemenin geçirgenliği 1200’dür. Manyetik yolun relüktansı nedir? 20 / 2 + 30 / 2 Ortalama yarıçap: ρ m == 12,5 cm ⇒ Ortalama uzunluk: lm = 2πρ m = 0,785 m 2 2 5 A= π r2 = π × 10−2 = 1,9635 × 10−3 m 2 2 lm 0,785 = ℜ = = 265123,7639 H −1 −7 µo µr A 4π × 10 × 1200 × 1,9635 × 10−3 ℑ = Φℜ = 10 × 10−3 × 265123,7639 = 2651, 2376 At 5.17 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER 1. 2 cm yarıçapında dairesel çerçeve 10 A akım taşımaktadır. Tam ve yaklaşık ifadeleri kullanarak (a) çerçevenin merkezinde, (b) çerçevenin ekseninden 10 cm uzaklıkta ve (c) çerçevenin ekseninden 10 m uzaklıktaki manyetik akı yoğunluğunu bulunuz. Dairesel çerçevenin manyetik dipol momenti nedir? Statik Manyetik Alanlar 431 314,159×10−6 µo I 4π × 10−7 × 10 5.8'den ⇒= B = az = az 2b 2 × 2 × 10−2 π 10−4 a z T −6 2 ,36968×10 2 −7 −2 2 −4 µo Ib 4π × 10 × 10 × (2 × 10 ) π 10 5.7'den = ⇒B = a = a az T 3 z 3 z 2 2 −2 2 −2 2 2 6 26 2 b +z 2 (2 × 10 ) + (10 × 10 ) −12 2,5132×10 2 − 7 − 2 2 µ Ib 4π × 10 × 10 × (2 × 10 ) π 10−4 a a 5.7'd en ⇒ B = o = = az T z 3 z 3 13250053 89 2 b2 + z 2 2 (2 × 10−2 ) 2 + 102 = m IA = a z 10π (2 × 10−2 ) 2 a z = 4π 10−3 2. Bir selenoidin yarıçapı 2 mm ve uzunluğu 1,2 cm’dir. Birim uzunluk başına sarım sayısı 200 ve akım 12 A ise (a) merkezde ve (b) selenoid’in uçlarındaki manyetik akı yoğunluğunu hesaplayınız. µ nI B h= − L / 2 = o 2 h= + L / 2 B 1, 2 × 10−2 4π × 10−7 × 200 × 12 az = a z = 1, 487a z mT −3 2 −2 2 2 2 2 b +L (2 × 10 ) + (1, 2 × 10 ) L µo nI h=0 4π × 10−7 × 200 × 12 1, 2 × 10−2 L = az = a z 2,86a z mT 2 −3 2 −2 2 2 2 2 (2 × 10 ) + (1, 2 × 10 ) b + ( L / 2) 3. Uzun bir selenoidin sarım sayısı 2 sarım/mm’dir. İç kısmında 0,5 T’lık manyetik alan üretilmesi için sargıdan geçmesi gereken akımı belirleyiniz. N sarım/metre L B z = µo n Ia z ⇒ 0,5 = 4π × 10−7 × 2000 × I ⇒ I = 198,9436 A 4. Kenarı 10 cm olan kare biçimli bir çerçeve birbirine yakın ve sıkıca sarılmış 500 sarımlı ve 120 A akım taşımaktadır. Çerçevenin merkezindeki manyetik akı yoğunluğunu belirleyiniz. B µo I 2 2 4π × 10−7 × 120 2 2 N= a z =500 a z 0,6788a z T 0,1 π b π 5. Yarıçapları a ve b olan yarı dairesel iki iletken tam bir çerçeve oluşturmak için düz iletken parçalarla birleştiriliyor. Çerçevenin ekseninde herhangi bir noktadaki manyetik akı yoğunluğunu belirleyiniz. Örnek 5.2’den µ Ia 2 Ba = o 3 4π a 2 + z 2 ∫ π 0 dφa z + µo Iaz 4π a + z 2 2 3 ∫ π 0 cos φ dφa x + µo Iaz 4π a + z 2 2 3 ∫ π 0 sin φ dφa y π φ0 Ba = µo Ia 2 π 4π a 2 + z 2 a + 3 z µo Iaz 4π a 2 + z 2 0 π sin φ 0 a x + 3 µo Iaz 4π a 2 + z 2 2 π (− cos φ ) 0 a y 3 432 Bb Elektromanyetik Alan Teorisi µo Ib 2 4π b 2 + z 2 2π 3 ∫π dφa z + µo Ibz cos φ dφa x + 2π 4π b 2 + z 2 3 ∫π µo Ibz 4π b 2 + z 2 2π 3 ∫π sin φ dφa y 2π φπ Bb = µo Ib π 2 4π b 2 + z 2 a + 3 z µo Ibz 4π b 2 + z 2 0 2π sin φ π a x + 3 µo Ibz 4π b 2 + z 2 −2 2π (− cos φ ) π a y 3 × R R d d a ≤ x ≤ b arasındaki düz iletken için: dx a x × (− xa x + za z ) =− zdx a y a µ Iz a µ Iz µo I dx x b a B a ≤ x ≤b = − o ∫ a = − o ay = − 2 ay 3 y 2 2 2 2 2 2 b 4π 4π z x + z b 4π z b + z a +z x2 + z 2 − a ≤ x ≤ −b arasındaki düz iletken için: µ Iz − b µI dx b a B − a ≤ x ≤− b = − o ∫ a = o − ay 3 y − a 2 2 2 2 4π 4π z b + z a +z x2 + z 2 2 B − a≤ x≤− b µ I a2 B = B a + Bb + 2B a ≤ x ≤b = o 4 a2 + z 2 3 µ Iz a b o − 3 2π a 2 + z 2 3 2 2 b2 b z + az + + ay 3 2 2 b +z µo I b a − 2 + 2 a 2 + z 2 2π z b + z µ I = a b veya = b a ise ⇒ B = o 2 a2 a +z 2 2 3 az 6. 500 nC’luk yük 1,2a z T’lık manyetik alanda 500a x + 2000a y m/s’lik hızla boşlukta P(3,4,5) noktasını aniden geçiyor. Yüke etkiyen manyetik kuvveti belirleyiniz. Statik Manyetik Alanlar 433 2400 a − 600 a x y q a a a U B x y z −9 −9 F= qU × B= 500 × 10 × [(500a x + 2000a y ) × 1, 2a z ]= 500 × 10 500 2000 0 = 1, 2a x − 0,3a y mN 0 0 1, 2 7. Uçları (-3,-4,0) m ve (5,12,0) m olan doğrusal bir iletken 250 A akım taşımaktadır. Boşluktaki manyetik akı yoğunluğu 0,2a z T ise iletkene etkiyen manyetik kuvveti belirleyiniz. d 400 800 B 5 12 F= × B = ( a + a ) × 0, 2 a = − 50 a + 50 a = − 50(5 + 3) a + 50(12 + 4) a x Id I dx dy dx dy y z x y ∫ ∫ x ∫ y ∫ c −3 c −4 8. Aşağıdaki şekilde P noktasındaki manyetik akı yoğunluğunu bulunuz. Örnek 5.2’den yarı çember iletken: 0 R= −ba ρ + z a z = −ba ρ ⇒ dl = bdφ aφ 0 µo Ia 2 Bsc = 3 2 4π a 2 + z ∫ π 0 dφa z + 0 0 −2 π π − sin φ 0 a x + cos φ 0 a y 0 µo Ia z 4π a 2 + z 2 3 0,6283×10−3 aρ −7 π µo I 4π × 10 × 100 ∫0 dφ (cos φ a x + sin φ a y ) =4a a z = 4 × 5 × 10−2 a z 0 Örnek 5.1’den üst, alt ve yan iletkenler: µo I 4πρ b ρ 2 + b2 az a z 0 µo I b a − B üst = aφ = 2 4πρ ρ + b 2 ρ 2 + a 2 0 −3 0,2×10 7 − 4π × 10 × 100 2 a z = B alt 4π 0,05 0,052 + 22 434 Elektromanyetik Alan Teorisi µo I 4πρ B yan L ρ 2 + ( L / 2)2 az −L L/ 2 a z / 2 µo I b a = − aφ = 2 4πρ ρ + b 2 ρ 2 + a 2 −L/2 L/2 −9 249,922×10 − 7 4π × 10 × 100 0,1 a 2 2 z 4π 2 2 (0,1 / 2) + B = Bsc + B üst + B alt + B yan =1,02854 × 10−3 a z T 9. Aşağıdaki şekilde 20 A akım taşıyan bükülü tel xy düzleminde bulunmaktadır. Bölgedeki manyetik alan 1 T’dır. İletkene etkiyen kuvveti belirleyiniz. (5.12a) eşitliğinden iletkenin y =-(a+L) ve y =-a arası kısmına etkiyen manyetik kuvvet: F1 = −a ∫ 100 IB (a y × a z )dy = BILa x = 1, 25 × 20 × 4 a x N −(a+ L) ve benzer şekilde iletkenin y=a ve y=a+L arası kısmına etkiyen manyetik kuvvet: F2 = (a+ L) ∫ 100 IB (a y × a z )dy = BILa x = 1, 25 × 20 × 4 a x N a a yarıçapında yarı-çember yaya etkiyen kuvvet: 2 aρ 50 π /2 π / 2 π /2 F3 = ∫ IB (aφ × a z )adφ =BIa ∫ [a x cos φ + a y sin φ ] dφ =BIa sin φ 3π / 2 a x =2 × 20 × 1, 25 × 1a x N 3π / 2 3π / 2 Tüm iletkendeki bileşke manyetik kuvvet: F = F1 + F2 + F3 = BILa x + BILa x + 2 IBaa x = 2 IB ( L + a )a x = 250a x N 10. Aşağıdaki şekildeki 1,2 m uzunluğundaki metal çubuğun kütlesi 500 gram ve 0,9 T’lık manyetik alanda bir çift esnek kablo ile asılı tutulmaktadır. Tutucu kabloların gerginliğini gidermek için gereken akımı belirleyiniz. Akım yönü ne olmalıdır? Statik Manyetik Alanlar 435 BIL = mg ⇒ 0,9 I1, 2 = 0,5 × 9,81 ⇒ I = 4,54 A 11. Çok uzun düz bir iletken 500 A akım taşımaktadır. 80 cm×20 cm ölçülerinde dikdörtgen çerçeve 20 A taşımaktadır. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çerçevenin 80 cm’lik kenarı iletken tele paralel ise çerçeveye etkiyen manyetik kuvvet nedir? Örnek 5.4’den B µo I1 F ∫ I2d × aφ = 2πρ c µo I1 I 2 = FAB 2π b µo I1 I 2 FCD = 2π c itme kuvveti µo I1 I 2 L 4π × 10−7 × 500 × 20 × 0,8 () 8 mN dz a × a = = a = a a ρ ρ ρ ∫+ L / 2 z φ 2π b 2π 0, 2 −L2 çekme kuvveti µo I1 I 2 L 4π × 10−7 × 500 × 20 × 0,8 a a a a a dz × = − = − = − ( ) 4 mN ρ ρ ρ ∫− L / 2 z φ 2π c 2π 0, 4 + L2 kuvveti itme kuvveti itme kuvveti çekme FT = FAB + FCD = 8a ρ mN − 4a ρ mN = 4a ρ mN 436 Elektromanyetik Alan Teorisi 12. Düz ve uzun iki iletken aynı yönde 15 A akım taşımakta ve 15 mm uzaklık ile ayrılmışlardır. Bir iletkenin tam uzunluğunun diğer iletkenin 0,5 m’lik kısmına etkilediği manyetik kuvvet nedir? µ µ 4π × 10−7 (5.15)'den F = 152 × 0,5a ρ = − o I 2 La ρ = − o I 2 La ρ = − −1,5a ρ mN −3 2π b 2π b 2π × 15 × 10 çekme kuvveti 13. 800 nC ve 400 nC’luk iki nokta yükü bir düzlemde sırasıyla 20000 km/s ve 50000 km/s hızla aynı yönde hareket etmektedirler. Bir anda 400 nC’luk yük (0,0,0)’da ve 800 nC’luk yük (0,1/10,0)’da ise bu anda 800 nC’luk yüke etkiyen elektrik kuvvetinin manyetik kuvvete oranını belirleyiniz. 800 nC’luk yüke etkiyen toplam kuvvet nedir? 400 nC’luk yüke etkiyen elektrik kuvvetinin manyetik kuvvete oranı nedir? 400 nC’luk yüke etkiyen toplam kuvvet nedir? İki yüke etkiyen toplam kuvvet aynı mıdır? = Fe800 q1q2 800 × 10−9 × 400 × 10−9 = a = a y 0, 288a y N 2 y 2 10−9 4πε o R 4π 36π 0,1 −a Fm800 y az 7 − µ 4π × 10 =o 2 q1 U1 × q2 × U 2 × a y = 2 800 × 10−9 × 400 × 10−9 × a x × (a x × a y ) = −3, 2a y mN 4π R 4π 0,1 U1a x U 2a x Fe800 −3 = 90 FT800 = Fe800 + Fm800 = 0, 288a y − 3, 2 × 10 a y = 0, 2848a y N ⇒ Fm800 14. Önceki problemi yüklerin zıt yöndeki hareketi için tekrarlayınız. = Fe800 q1q2 800 × 10−9 × 400 × 10−9 = a = a y 0, 288a y N önceki problemdeki ile tamamen aynı y 2 2 10−9 4πε o R 4π 36π 0,1 Statik Manyetik Alanlar 437 a Fm800 y U1a x U 2a x −az − 7 µ 4π × 10 =o 2 q1 U1 × q2 × U 2 × a y = 2 800 × 10−9 × 400 × 10−9 × a x × (−a x × a y ) = +3, 2a y mN 4π 0,1 4π R FT800 = Fe800 + Fm800 = 0, 288a y + 3, 2 × 10−3 a y = 0, 2912a y N 15. Hidrojen atomunda bir elektron 5,3×10-11 m yarıçapında bir yörüngede dönmektedir. Elektronun hızı 2200 km/s dir. Elektronun kendi yörüngesinin merkezinde ürettiği manyetik alan nedir? Çekirdek ve elektron arasındaki elektriksel çekim kuvveti 2 e (1,6 × 10−19 ) 2 Fe = aρ = aρ = − − 10−9 −82,022 × 10−9 a ρ N 4πε o R 2 4π 36π (5,3 × 10−11 ) 2 Elektron üzerindeki manyetik kuvvet −19 −13 6 Fm = −e U −eUBa ρ = −1,6 × 10 × 2, 2 × 10 Ba ρ = −3,52 × 10 Ba ρ N = ×B Uaφ Ba z merkezkaç kuvveti −31 meU 2 9,1 × 10 × (2, 2 × 106 ) 2 −8 Fc = aρ = − aρ = 8, 31 × 10 a ρ N R 5,3 × 10−11 Fe + Fm + Fc = 0 ⇒ −82,022 × 10−9 a ρ − 3,52 × 10−13 Ba ρ + 8,31 × 10−8 a ρ = 0 ⇒ B = 3,0625 kT 16. U hızıyla hareket eden q nokta yükü için B = µoε o U × E olduğunu gösteriniz. E nokta yükünün elektrik alan şiddetidir. D =ε o E q µo B= a = µoε o U × E (qU × a r ) = µo U × 2 2 r 4π R 4π R 17. Sonsuza uzanan paralel iki iletken zıt yönlerde 10 A ve 20 A akım taşımaktadır. İletkenler arasındaki açıklık 10 cm ise her iletkenin birim uzunluğu başına etkiyen kuvveti hesaplayınız. (5.15)'den = F µo 4π × 10−7 I1 I= 10 × 20 = a ρ 400a ρ μN 2a ρ 2π b 2π × 0,1 itme kuvveti 438 Elektromanyetik Alan Teorisi 18. Kare biçimli çerçeve düzgün B = 1, 2a y T manyetik alanında asılı durumda serbestçe dönebilmektedir. Çerçevenin sarım sayısı 400, çerçevenin her kenarı 50 cm ve 8 A akım taşıyorsa çerçeve manyetik alana (a) paralel ve (b) dik ise çerçeveye etkiyen kuvveti belirleyiniz. (a) Paralel Fab= NIL × B= 400 × 8 × 0,5a x × 1, 2a y= 1920a z N Fcd =NIL × B =400 × 8 × 0,5(−a x ) × 1, 2a y =−1920a z N Fbc= NIL × B= 400 × 8 × 0,5(a y ) × 1, 2a y= 0 Fda= NIL × B= 400 × 8 × 0,5(−a y ) × 1, 2a y= 0 T =r × Fcd =0,5a y × (−1920a z ) =−960a x Nm (saat yönünde dönüş) m B T =NIAa z × 1, 2a y =−400 × 8 × 0,52 × 1, 2a x =−960a x Nm (manyetik dipol momenti ile doğrulama) (b) Dik Fab= NIL × B= 400 × 8 × 0,5a x × 1, 2a y= 1920a z N ⇒ kuvvetler birbirini götürdüğünden tork oluşmaz Fcd =NIL × B =400 × 8 × 0,5(−a x ) × 1, 2a y =−1920a z N Fbc= NIL × B= 400 × 8 × 0,5(−a z ) × 1, 2a y= 1920a x N ⇒ kuvvetler birbirini götürdüğünden tork oluşmaz Fda= NIL × B= 400 × 8 × 0,5(a z ) × 1, 2a y =−1920a x N 19. Bir galvanometrenin dairesel sargısı sıkıca sarılmış 1500 sarımlı ve ortalama yarıçapı 1,2 cm’dir. Sargı düzlemi 0,5 T’lık düzgün manyetik akı yoğunluğunda, gerdirici bir tel ile paralel tutuluyor. 10 A’lik bir akım 30° ’lik bir sapma meydana getiriyorsa gerdirici iletkenin birim radyan başına geri getirici torku veya gerginlik sabiti nedir? Statik Manyetik Alanlar 439 m= NIAa z= 1500 × 10 × π (1, 2 × 10−2 ) 2 a z= 6,786a z ° k T= mB sin θ= kθ ⇒ 6,786sin 30= π 6 ⇒ k= 3, 24 Nm/rad 20. Kenarı 10 cm olan kare biçimli sargının sarım sayısı 1200 ve 25 A akım taşımaktadır. Sargının 1,2 T’lık manyetik alanda φ=0° ile φ=180° arası dönmesi için gereken iş miktarını hesaplayınız; φ manyetik dipol momenti ve manyetik alan arasındaki açıdır. m π = T NIA B sin = θ 360sin θ ⇒ = W 360 ∫ sin θ= dθ 720 J 0 21. Uzun, düz bir iletken 100 A akım taşımaktadır. ρ=1 cm, ρ=10 cm, z=5 cm ve z=50 cm ile sınırlanan düzlemden geçen toplam akıyı hesaplayınız. ln 0,1 0,01 0,5 − 0,05 0,5 µo I µo I 0,1 1 I = H aφ= ⇒B aφ = ⇒Φ ∫= B ⋅ ds d ρ ∫= dz 20,72 μWb s 0,05 2πρ 2πρ 2π ∫0,01 ρ 22. Her biri 1 mm yarıçapında çok uzun düz iki iletken 10 cm bir uzaklık ile birbirinden ayrılmıştır. İletkenler eşit ve zıt yönlerde 200 A akım taşıyorsa iletkenlerin düzleminden birim uzunluk başına geçen akıyı belirleyiniz. Akımlar aynı yönde olduğunda akı ne olacaktır? Örnek 5.7’den 0,099 H ln x d − x 0,001 ds 0,099 1 µo I I 1 1 1 1 a y ⋅= = Φ zıt ∫ µo + + dxdza y dx ∫ dz ∫ s 2π x d − x 2π 0,001 x d − x 0 9,19024 −7 0,099 0,1 − 0,001 4π × 10 × 200 = ln 0,1 − 0,099 0,001 = 367,61 μWb 2π 440 Elektromanyetik Alan Teorisi ln x ( x − d ) 0,099 0,001 H ds 1 µo I 0,099 1 I 1 1 1 a y ⋅ dxdz ay = Φ aynı ∫ µo − = − dx ∫ dz ∫ 0,001 0 s 2π x d − x 2π x d − x 0 1 −7 4π × 10 × 200 0,099(0,099 − 0,1) = ln = 0 2π 0,001(0,001 − 0,1) 23. Genişliği b olan çok uzun bakır şerit, üzerinde düzgünce yayılmış I akımı taşımaktadır. Şeritin orta çizgi noktasının üzerinde bir uzaklıktaki manyetik alan şiddeti ve manyetik akı yoğunluğu nedir? (Y − y ) R= X 2 + (Y − y )2 X 2 + (Y − y )2 I I Idy Xa x + (Y − y )a y ⇒ aφ = − sin φ a x + J s =a z ⇒ dI =dy ⇒ dH = aφ ⇒ R = 2π bR b b ln X 2 + ( y −Y ) 2 b /2 tan −1 y −Y X X X 2 + (Y − y )2 cos φ a y b /2 − b/ 2 − b /2 / 2 / 2 b b / 2 b (Y − y ) I I I X dyaφ = dy a x + − H= dy a y 2π bR ∫− b / 2 2π b ∫− b / 2 X 2 + (Y − y ) 2 2π b ∫− b / 2 X 2 + (Y − y ) 2 H I 2π b ln X 2 + (b / 2 − Y ) 2 X 2 + ( −b / 2 − Y ) 2 I −1 b / 2 − Y −b / 2 − Y = − tan −1 ax + tan a y ⇒ B µo H 2π b X X 24. 10 A akım taşıyan sıkıca sarılmış 50 sarımlı bir sargının kesit alanı 20 cm2 ve 3x + 4 y + 12 z = 26 düzleminde bulunmaktadır. Sargı orijinden uzağa yönlendirilmişse manyetik momentini belirleyiniz. ∇f 4 12 3 f = 3 x + 4 y + 12 z − 26 ⇒ ∇f = 3a x + 4a y + 12a z ⇒ a n = ± = ± ax + a y + az ∇f 13 13 13 1 m 4 12 3 ± 50 × 10 × 20 × 10−4 × a x + a y + a z m= NIA a n = 13 13 13 Artı (+) işaret m ’nin orijinden uzağa ve eksi (-) işaret m ’nün orijine doğru yönlenmiş olduğunu göstermektedir. Statik Manyetik Alanlar 441 25. I akımı taşıyan L uzunluğunda akım elemanı z yönündedir. Çok uzak bir noktadaki manyetik vektör potansiyeli ve manyetik alan şiddetini bulunuz. R = ra r = xa x + ya y + za z ⇒ R = x2 + y 2 + z 2 = r = Az ax ∂ B = ∇×A = ∂x ay ∂ ∂y 0 0 µo I 4π µo I L / 2 µI dz ⇒ R >>= L iken Az dz ⇒ Az = o L ∫ −L/2 R − L / 2 4π R 4π R ∫ L/2 y − x 3 − 3 x2 + y 2 + z 2 2 2 2 + + x y z ∂ µo IL ∂ 1 1 ay a = + − x ∂x x 2 + y 2 + z 2 4π ∂y x 2 + y 2 + z 2 4π x 2 + y 2 + z 2 az ∂ ∂z µo IL r a φ sin θ ( − sin φ a x + cos φ a y ) sin θ sin φ sin θ cos φ µo IL y x µo IL B = 2 − a x + a y = 2 sin θ aφ 4π r r r 4π r 26. Sonlu iletkenlikte, manyetik olmayan çok uzun bir silindirin çapı 20 cm ve 100 A akım taşımaktadır. Silindir içinde düzgün bir akım dağılımı için silindirin içinde ve dışında herhangi bir noktadaki manyetik alan şiddetini belirleyiniz. Boşlukta herhangi bir noktadaki manyetik alan şiddetinin rotasyonel’i nedir? Eğer silindirin iletkenliği sonsuz ise alanlara ne olur? 2 I ρ 2 πρ I I = = çevrelenen I 100 π a2 2 a a = a ⇒ ρ ≤ a iken J = 2 a z = 3183,098 A/m z z πa π 0,12 Iρ = 1591,549 ρ A/m H φ 2= π a2 2ρ aρ az ρ aφ 1 ∂ ∂ ∂ I 1 ∂ 2 I = ∇×H = = a =J ρ az 2 2 z ∂φ ∂z 2π a ρ ∂ρ ρ ∂ρ πa Iρ 0 ρ 0 2π a 2 442 Elektromanyetik Alan Teorisi aρ 1 ∂ 100 15,9154 I A/m ⇒ ∇ × H = ρ ≥ a iken ⇒ Hφ = = = 2πρ 2πρ ρ ρ ∂ρ 0 ρ aφ ∂ ∂φ I ρ 2πρ az ∂ = 0 ∂z 0 H1φ aφ H 2 φ aφ az aρ a n × ( H1 − H 2 ) = J s veya skaler biçimde H t1 − H t 2 = J s sınır şartı ifadesinden iletkenliği sonlu iki manyetik ortamda yüzey akım yoğunluğu J s sıfır olduğundan H t1 = H t 2 olur. Eğer akım taşıyan silindirin iletkenliği sonsuz yani mükemmel iletken ise J s mükemmel silindirik iletkenin yüzeyindedir çünkü mükemmel iletkenin içinde manyetik alan yoktur ve sınır şartı H t1 = J s olur. 27. Her biri 10 m uzunluğunda düz, paralel iki iletken eşit ve zıt yönlerde 10 A akım taşımaktadır. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi iletkenler arasındaki açıklık 2 m’dir. P(3,4,0) m noktasındaki manyetik vektör potansiyelini, manyetik akı yoğunluğunu ve manyetik alan şiddetini hesaplayınız. µo I 2L ln 2 2π x + ( y − d )2 2 / r1 r 2 2 x + (y + d) r1 µo I ln ⇒ Az = Az1 + Az 2 = µo I 2L 2π x 2 + ( y − d ) 2 Az 2 = − ln 2π x 2 + ( y + d )2 r2 Az1 = ax ∂ B = ∇×A = ∂x ay ∂ ∂y 0 0 ∂ r2 ∂ r2 ln ln ∂y r1 ∂x r1 az µ I d + y y − d µ I x x ∂ = o 2 − 2 ax − o 2 − 2 a y ∂z 2π r2 r1 2π r2 r1 µo I r2 ln 2π r1 Statik Manyetik Alanlar 443 −1/51 −4/51 3 1 4 4 1 3 µ o I d+y y−d x x B − 2 a − 2 − 2 a 2 2 2 x 2 2 y 2π x + ( y + d ) + − + + + − ) x y d x y d x y d ( ) ( ) ( 1 1 1 1 3 3 3 4 4 4 4 3 B B= −39, 2156a x + 156,8627a y nT ⇒ H = = −31,83a x + 124,827a y mA/m 4π 10−7 10 µo 28. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi çok uzun kablolar ile bağlı kısmi dairesel çerçeve 10 A akım taşımaktadır. Çerçevenin merkezindeki manyetik alan şiddetini ve manyetik akı yoğunluğunu hesaplayınız. I dl φ × R 2 −ba ρ ⇒ dl φ = Kısmi dairesel çerçeve: R = bdφ aφ ⇒ dl φ × R = b dφ a z ⇒ H o = ∫ 4π c R 3 I 2π −φ I Ho = = dφ a z (2π − 2φ )a z ∫ 4π b φ 4π b I I nolu iletken: R = dxa x ⇒ dl × R = − xa x − ca y ⇒ dl = −cdxa z ⇒ H I = 4π dl × R ∫c R3 a Ic a dx Ic x I a HI = a = az = − − 1 − 2 az 3 z ∫ 2 2 2 2 ∞ 4π 4π c c + x ∞ 4π c c +a x2 + c2 I − xa x + ca y ⇒ dl = dxa x ⇒ dl × R = cdxa z ⇒ H II = II nolu iletken: R = 4π = H II ∞ dl × R ∫c R3 dx Ic I a Ic ∞ x = az = az 1 − 2 3 ∫ a 2 2 2 4π 4π c c + x a 4π c c + a2 x2 + c2 az I+II nolu iletken: a 2 + c 2 = b 2 ⇒ a = b cos φ ⇒ c = b sin φ H I+II = I a I 1 I 1 − cos φ a z ⇒ H I+II = 1 − cos φ ) a z = 1 − 2 ( az 2 2π c 2π b sin φ 2π b sin φ + c a b 444 Elektromanyetik Alan Teorisi 3,01144 /12 π I I 1 − cos φ I 1 − cos φ (π − φ )a z + H =H o +H I+II = az a z 23,96 a z A/m = π − φ + = 2π b 2π b sin φ 2π b sin φ π /12 0,2 π /12 = B µ= 30,1144 a z μT oH 10 29. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi ρ = ae −φ /π ile tanımlanan tek sarımlı logaritmik spiral 5 A akım taşımaktadır. Eğer a=10 cm ise kabloların etkisini ihmal ederek spiralin orijinindeki manyetik alan şiddetini ve manyetik akı yoğunluğunu hesaplayınız. ae− φ /π dφ a φ −φ / π R= −ρaρ = − ae a ρ ⇒ dl = ρ dφ aφ ⇒ dl × R = a 2 e −2φ /π dφ a z 2π I dl × R I 2π a 2 e −2φ /π I 2π φ / π I I φ /π φ /π H = = = π ) 0 az dφa z = e dφ a z e (e= − φ π 3 / 3 ∫ ∫ ∫ 4π a 4a 4π c R 4π 0 (ae ) 4π a 0 5 6,389 I H= (e 2 − 1) a z = 79, 8632a z A/m 4 a 2π 0 az 0,1 30. İç yarıçapı 30 cm ve dış yarıçapı 40 cm olan demir halkanın yüksekliği 5 cm ve dikdörtgen kesit alanlıdır. Düzgünce sarılmış 1000 sarımlı toroidal sargı 1 A akım taşımaktadır. Demirin bağıl geçirgenliği 500 ise halkadaki minimum ve maksimum akı yoğunluklarını hesaplayınız. İlgili manyetik alan şiddetleri nedir? Halkadaki akı nedir? max max 500 1000 × 1 NI H = = 530,517 A/m = φ ρ = 0,3 = µ µ B H 0,333 T Hφ = φ φ o r 2π 0,3 ρ 0,3=ρ 0,3 = 2πρ ⇒ ⇒ 1000 × 1 H φ ρ = 0,4 = 0,249 T Bφ ρ = 0,4 = µo µ r Bφ = µo µr H φ H= = 397,887 A/m φ ρ = 0,4 2π 0, 4 500 min min Φ= ∫ B ⋅ ds= s µo µ r NI 2π 0,4 1 0,3 ρ ∫ dρ∫ 0,05 0 dz= 4π × 10−7 × 500 × NI 2π 0, 4 × ln = 1, 44 mWb × 0,05 0,3 Statik Manyetik Alanlar 445 31. 10 cm yarıçapında çok uzun silindirik iletkendeki akım yoğunluğu J v = 200 e − ρ / 2a z A/m 2 olarak veriliyor. Boşlukta herhangi bir noktadaki manyetik alan şiddetini hesaplayınız. 200[ 4− 2 ( 2+ ρ ) e− ρ /2 ] -200e− ρ /2 ( 4+ 2 ρ ) 2 πρ H φ ρ 0 2π 2π ρ 2π 200 e Hφ ρ d φ ρd ρ ∫ ∫ 0 ∫0 0 ρ ≤ a iken: ∫ H ⋅ d = J v ⋅ ds ∫ c s − ρ /2 dφ ⇒ 2πρ H φ = 200 × 2π [4(1 − e − ρ / 2 ) − 2 ρ e − ρ / 2 ] I H φ = 200 4(1 − e − ρ / 2 ) − 2 ρ e − ρ / 2 ρ 200[ 4−2 ( 2+ a ) e− a /2 ] a -200 e− ρ /2 ( 4+ 2 ρ ) 0 2 πρ H φ 2π 2π a 2π 200 e Hφ ρ d φ ρd ρ ∫ ∫ 0 ∫0 0 ρ ≥ a iken: ∫ H ⋅ d = J ⋅ ds ∫ s v c − ρ /2 dφ ⇒ 2πρ H φ = 200 × 2π [4(1 − e − a / 2 ) − 2ae − a / 2 ] I 4(1 − e − a / 2 ) − 2ae − a / 2 4(1 − e −1/ 20 ) − e −1/ 20 / 5 H φ 200 = = 200 ρ ρ 32. Bir koaksiyel kablonun a yarıçapında iç iletkeni, iç yarıçapı b ve dış yarıçapı c olan silindirik kabuk ile çevrelenmiştir. İç iletken ve dış kabuk, iletkenler içinde düzgünce dağıtılmış eşit ve zıt I akımı taşımaktadır. (a) ρ ≤ a, (b) a ≤ ρ ≤ b, (c) b ≤ ρ ≤ c ve (d) ρ ≥ c bölgelerindeki manyetik alan şiddeti ifadelerini elde ediniz. a ≤ ρ ≤ b ile sınırlanan bölge ile çevrelenen akıyı birim uzunluk başına hesaplayınız. Bu bölgede birim uzunluk başına depolanan enerji nedir? 2 /2 2π ρ 2 πρ H φ 2π Hφ ρ d φ ∫ 0 I: ρ ≤ a iken: ∫ H ⋅ d = I ρ 2π ∫0 ρ d ρ ∫0 dφ J ⋅ ∫ v ds ⇒ H=φ π a2 c s Iρ 2π a 2 2 πρ Hφ 2π Hφ ρ d φ ∫ 0 I II: a ≤ ρ ≤ b iken: ∫ H ⋅ d = ∫ J v ⋅ ds ⇒ H φ= c I 2πρ s ρ 2 −b 2 2 ρ2 2 ρ 2π 2 πρ H φ b ρ I 2π ρd ρ ∫ Hφ ρ d φ 0 ∫ π ( c 2 − b 2 ) ∫b 0 I III: b ≤ ρ ≤ c iken: ∫ H ⋅ d =− ∫ J v ⋅ ds 2π s c 2 πρ H φ 2π Hφ ρ d φ ∫ I −I = 0 0 IV: c ≤ ρ iken: ∫ H ⋅ d = ∫ J v ⋅ ds ⇒ H φ = 0 c s dφ ⇒ 2πρ H φ =− I I ρ 2 − b2 I c2 − ρ 2 ⇒ = H φ c2 − b2 2πρ c 2 − b 2 446 Elektromanyetik Alan Teorisi 33. Önceki problemde a ≤ ρ ≤ b ile sınırlanan bölge ile çevrelenen akıyı birim uzunluk başına hesaplayınız. Bu bölgede birim uzunluk başına depolanan enerji nedir? Φ = µo I B ∫s ⋅ ds= 2π b 1 a ρ ∫ 1 = d ρ ∫ dz wm 1 I2 Wm = ∫ B ⋅ Hdv = µo 2 v2 8π 0 b 1 a ρ2 ∫ µo I b ln Wb/m 2π a 2π 1 0 0 ρ d ρ ∫ dφ ∫ dz = µo I2 b ln J 4π a 34. b yarıçaplı çember şeklinde bükülmüş ince telden I akımı geçmektedir. Dairesel çerçevenin ekseni z ekseni ile çakışmaktadır. z=-∞ ile z=∞ arasında z ekseni boyunca ∫ H ⋅ d yi hesaplayınız. Bu cevaptan hangi sonuç çıkarılır? (b 2a z + bza ρ )dφ d = bdφ aφ ⇒ R = bdφ aφ × (−ba ρ + za z ) = −ba ρ + za z ⇒ d × R = Hz 0 2 2 2π I I 2π b bz Ib d d d φ φ φ = + = H= a a z 3 ∫0 2 2 3 ρ 2 2 3 a z 4π ∫0 4π ∫0 b 2 + z 2 3 b2 + z 2 b +z 2 b +z 2 ∞ 2 ∞ ∞ Ib I z I ∞ −∞ = dz = = = − I 3 ∫c H ⋅ dl ∫−∞ H z dz ∫−∞ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b z b b + + ∞ + ∞ 2 b +z −∞ 2 2π b a z + bza ρ Statik Manyetik Alanlar 447 35. Boş uzay olan bölge 1’deki (z > 0) manyetik akı yoğunluğu B =1,5a x + 0,8a y + 0,6a z mT dır. z = 0 bölge 1 ve 2 arasındaki sınırı işaretliyorsa 100 bağıl geçirgenliğindeki bölge 2’deki manyetik akı yoğunluğunu belirleyiniz. Teğet bileşenler µ 2 Normal bileşen Bx 2 = µ Bx1 = 100 × 1,5 = 150 mT Bt1 Bt 2 1 = ⇒ Bn1 = Bn 2 ⇒ Bz1 = Bz 2 = 0,6 mT , µ µ1 µ2 B = 2 B = 100 × 0,8 = 80 mT y 2 µ1 y1 veya az B1 =1,5a x + 0,8a y + 0, 6a z ⇒ a n ⋅ (B1 − B 2 ) =0 ⇒ Bz 2 = 0,6 mT B 2 = Bx 2a x + By 2a y + Bz 2a z 1 B2 B1 − µo µr Bx 2 =150 mT B y 2 =80 mT ax ay az az B1 =1,5a x + 0,8a y + 0,6a z B1 B2 =0 0 0 1 =0 ⇒ ⇒ an × − B 2 = Bx 2a x + By 2a y + Bz 2a z r µo µo µ By 2 B B 100 1,5 − x 2 0,8 − 0,6 − z 2 100 100 100 B 2 = 150a x + 80a y + 0,6a z mT 36. Önceki problemde her bölgedeki mıknatıslanma vektörünü hesaplayınız. Sınır hacim ve sınır yüzey akım yoğunlukları nedir? 448 Elektromanyetik Alan Teorisi 1 I. Bölge (boş uzay): χ m = µr − 1= 0 ⇒ M = χ m H 2 = 0 ⇒ J sb = M × a n = 0 ⇒ J vb = ∇ × M = 0 100 (150a x + 80a y + 0,6a z ) B2 = 99 mT II. Bölge (boş uzay): χ m = µr − 1= 99 ⇒ M = χ m H 2 = χ m µ r µo 100 × 4π × 10−7 J vb = ∇ × M = 0 ⇒ sınırda: J sb = M × (−a z ) = 118, 2a y − 63,03a x kA/m 37. 12a y kA/m ’lik akım yaprağı z = 0 ’da iki bölgeyi ayırmaktadır. z > 0 ile tanımlanan bölge 2’nin bağıl geçirgenliği 200 ve manyetik alan şiddeti H1 = 40a x + 50a y + 12a z kA/m dir. z < 0 ile tanımlanan bölge 1’nin bağıl geçirgenliği 1000 ise bu bölgedeki manyetik alan şiddetini belirleyiniz. H1= 40a x + 50a y + 12a z kA/m ⇒ B1= µ1H1= 200 µo H1 Bz1 = Bz 2 ⇒ 200 × µo × 12 × 103 = 1000 × µo × H z 2 ⇒ H z 2 = 2, 4 kA/m a n × (H1 − H 2 ) = J s ⇒ H x1 − H x 2 = J sy ⇒ H x 2 = 40 − 12 = 28 kA/m H y1 − H y 2 = 0= ⇒ H y 2 50 kA/m ⇒ H 2 = 28a x + 50a y + 2, 4a z kA/m 38. a = 10 cm yarıçapında mükemmel silindirik iletken etrafındaki manyetik alan şiddeti (10/ρ ) aφ A/m dir. İletken yüzeyindeki yüzey akım yoğunluğu ve akım nedir? (10/ρ ) a φ aρ 0 a n × ( H1 − H 2 ) = J s ⇒ J s ρ = a sınırında ρ =a 100 10 = a z A/m ⇒ I = 2π × 0,1 × 100 = 62,83 A 0,1 39. Bir manyetik malzemede H alanı 300 A/m iken B alanı 1,2 T’dır. H alanı 1500 A/m’ye yükseltildiğinde B alanı 1,5 T olmaktadır. Mıknatıslanma vektöründeki değişim nedir? 1, 2 = 3183,0988 µr1 4= π × 10−7 × 300 = B µo µ r H ⇒ 1,5 µ = = 795,7747 r2 4π × 10−7 × 1500 M 1 3182,0988 ×= = 300 954629,64 M 2 − M1 100 = % 24,89 ⇒ % artış = = × = M 794,7747 1500 1192162,05 M1 2 µr =+ 1 χm ⇒ 40. Aşağıdaki şekilde manyetik malzemenin bağıl geçirgenliği 2000 olan 2 cm kalınlığında seri manyetik devre görülmektedir. Sargıdaki akım 0,2 A ise manyetik devredeki akıyı belirleyiniz. Statik Manyetik Alanlar kısım (cm) ab 36 bc 56 cd 36 da 56 449 ℜ A (cm ) / µo µr A (H −1 ) 4 358,099 × 103 8 278,521 × 103 NI 1000 × 0, 2 Φ = = 193,3 μWb ⇒= 12 119,366 × 103 ℜT 1,0345 × 106 8 278,521 × 103 1,0345 × 106 ℜT 2 41. Önceki problemde (a) her kısımdaki manyetik enerji yoğunluğunu ve depolanan enerjiyi, (b) manyetik ortamda depolanan toplam enerjiyi ve (c) eşdeğer indüktansı hesaplayınız. kısım (cm) ab 36 bc 56 cd 36 da 56 A (cm 2 ) 4 8 12 8 B (T ) wm (J/m3 ) Wm (mJ) WmT = 19,352 mJ 0, 483 46, 416 6,684 1 0, 242 11,652 5, 22 ⇒ 2 W= L I ⇒= L 0,97 H mT 2 0,2 0,161 5,157 2, 228 0, 242 11,652 5, 22 42. Önceki problemde relüktans kavramını kullanarak indüktansı ve manyetik devrede depolanan enerjiyi hesaplayınız. L= N2 10002 1 2 = =0,97 H ⇒ WmT = L I =19,352 mJ 6 ℜT 1,0345 × 10 2 0,2 43. Aşağıdaki şekilde malzemenin manyetik geçirgenliği 500 olan 6 cm kalınlığındaki seri manyetik devrede 500 sarımlı sargıdan geçen akım 0,8 A ise hava aralığında 1,44 mWb’lik bir manyetik akı oluşması için 700 sarımlı sargıdan geçen akımı belirleyiniz. olduğunu varsayınız. Hava aralığındaki mmf düşümünün uygulanan mmf’e oranını hesaplayınız. 450 Elektromanyetik Alan Teorisi kısım (cm) 0,05 ab 10 bc 8 cd 16 de 8 ef 5,95 fa ℜ A (cm ) / µo µr A (H −1 ) ℑ 1,44×10−3 12 331573 NI Φ= ⇒= ℑ 1240, 45 At 12 132629 ℜT 24 53052 ℑ500 sarım = 500 × 0,8 = 400 At ⇒ 12 212207 ℑ700 sarı= 1240, 45 − 400 = 840, 45 At m 24 53052 840, 45 I= = 1, 2 A 700 sarım 12 78914 700 861427 ℜT 2 44. Önceki problemi şekil 5.42’deki II nolu manyetik malzemenin B-H eğrisini kullanarak tekrar ediniz. Kısım ab bc cd de ef fa Φ mWb 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 A cm2 12 12 24 12 24 12 = I 700 sarım B T 1,2 1,2 0,6 1,2 0,6 1,2 H L A/m cm 954930 0,05 625 10 120 8 625 16 120 8 625 5,95 Toplam mmf düşümü 696,3475 − 400 = 0, 4233 A 700 HL At 477,46 62,5 9,6 100 9,6 37,1875 696,3475 Statik Manyetik Alanlar 451 45. Önceki problemde manyetik malzemenin manyetik geçirgenliği 500 iken (a) her kısımdaki manyetik enerji yoğunluğunu ve depolanan enerjiyi, (b) manyetik ortamda depolanan toplam enerjiyi, (c) enerji kavramını kullanarak indüktansı ve (d) relüktans kavramını kullanarak indüktansı hesaplayınız. B Kısım ab bc cd de ef fa AL 3 T 1,2 1,2 0,6 1,2 0,6 1,2 cm 0,6 120 192 192 192 71,4 wm = 1 B2 2 µo µ r Wm = wm AL 3 J/m 572957,7951 1145,91 286,48 1145,91 286,48 1145,91 WmT J 0,3437 0,138 0,055 0,220 0,055 0,082 0,894 enerji kavramından indüktans 0,894 1 2 WmT LI ⇒= L 1,67 H = 1240, 45 2 I 500+700 = = 1,0337 A ⇒ sarım 500 + 700 N 2 12002 = L = = 1,67 H ℜT 861427 relüktans kavramından indüktans 46. Aşağıdaki şekildeki manyetik devrede şekil 5.42’deki II nolu manyetik malzemenin B-H eğrisini kullanarak hava aralıklarında 0,75 T’lık akı yoğunluğu meydana getirmek için 1600 sarımlı sargıdan geçmesi gereken akımı belirleyiniz. Kısım ab bc cd de ef fa Φ mWb 1,125 1,125 1,125 1,125 1,125 1,125 A cm2 15 15 15 15 20 15 B T ←0,75→ 0,75 ←0,75→ 0,75 0,56 0,75 H L A/m cm 596831 0,5 150 52 596831 0,5 150 2 115 15 150 2 Toplam mmf düşümü = I1600 sarım 6069,55 = 3,7934 A 1600 HL At 2984,15 78 2984,15 3 17,25 3 6069,55 452 Elektromanyetik Alan Teorisi 47. Önceki problemde (a) her kısımdaki manyetik enerji yoğunluğunu ve depolanan enerjiyi, (b) manyetik ortamda depolanan toplam enerjiyi, (c) indüktansı ve (d) toplam relüktansı hesaplayınız. Kısım ab bc cd de ef fa B T 0,75 0,75 0,75 0,75 0,56 0,75 H A/m 596831 150 596831 150 115 150 wm = 12 BH AL cm3 7,5 780 7,5 30 300 30 3 J/m 223811,63 56,25 223811,63 56,25 32,2 56,25 WmT Wm = wm AL J 1,678587 0,043875 1,678587 0,001688 0,00966 0,001688 3,414084 enerji kavramından indüktans 1 2 = ⇒ L 0, 4745 H = WmT L I = L 2 3,7934 3,414084 N2 16002 = = 0, 47449 H ℜT 5395155,556 HL / Φ=6069,55/1,125 relüktans kavramından indüktans 48. Önceki problemde sargıdaki akım % 50 artırılırsa hava aralığındaki akı yoğunluğu ne olacaktır? mmf'de % 50 artış: = ℑ 6069,55 = × 1,5 9104,325 At 2 × 2984,15 × 100 = artıştan önce hava aralığındaki yüzde mmf: % 98,33 6069,55 Uygulanan mmf’nin % 96’sının hava aralığında düştüğü varsayılsın: Kısım ab Φ mWb 1,0983×15×10−4 1,64745 A cm2 1,64745 15 15 B T 874000× µo 1,0983 H A/m 4370/0,005 874000 350 4370/0,005 874000 9104,325 × 0,96 = 4370 At 2 L cm HL At 0,5 ←4370 52 182 0,5 ←4370 350/0,52 grafikten bc 1,0983 874000× µo 1,0983×15×10−4 cd 1,64745 15 1,0983 de 1,64745 15 1,0983 ef 1,64745 20 0,8237 fa 1,64745 15 1,0983 = hata 8961,5-9104,325 = -% 1,568 < ±% 2 daha fazla irdelemeye gerek yoktur. 9104,325 2 350 grafikten 15 170 grafikten 2 350 Toplam mmf düşümü grafikten 7 170/0,15 25,5 350/0,02 7 8961,5 350/0,02 49. Aşağıdaki şekildeki seri-paralel manyetik devrede, şekil 5.42’de II nolu manyetik malzemenin B-H eğrisini kullanarak, hava aralığında 0,2 T’lık akı yoğunluğu oluşturmak için 200 sarımlı Statik Manyetik Alanlar 453 sargıdan geçen akımı, indüktansı ve manyetik alanda depolanan enerjiyi hesaplayınız (Ölçüler cm’dir). Kısım Φ mWb A cm2 B T ab 0,64 32 0,2 bc 0,64 32 ←0,2→ cd 0,64 32 0,2 8 1,33 96 0,1775 H A/m grafikten 40 159155 grafikten 40 L cm HL At 26,5 10,6 1 1591,55 26,5 10,6 ℑabcd 1,33×0,0008 1,064 1,64 + 0,64 1,704 afed ad I= 200 sarım = ℜ grafikten 1479,5871 1612,75 1612,75/1,09 109 19 45 Toplam mmf düşümü 1612,75 grafikten 8,55 1621,3 1621,3 = 8,1065 A 200 1621,3 2002 1 2 N2 −1 951467,1362 H L LI= 1,38 J = ⇒ = = = 0,042 H ⇒ W= m −3 1,704 × 10 2 ℜ 951467,1362 50. Önceki problemde akım % 20 artırılırsa hava aralığındaki akı yoğunluğu ne olacaktır? mmf'de % 50 artış: = ℑ 1621,3= × 1,5 2431,95 At 1591,55 artıştan önce hava aralığındaki yüzde mmf: × 100 = % 98,165 1621, 3 Uygulanan mmf’nin % 98’inin hava aralığında düştüğü varsayılsın: 2431,95 × 0,98 ≅ 2384 At Kısım Φ mWb A cm2 B T ab 0,9586 32 0,2996 bc 0,9586 32 0,2996 cd 0,9586 32 0,2996 H A/m grafikten 58 238400 grafikten 58 L cm HL At 26,5 15,37 1 ←2384 26,5 15,37 ℑabcd 2414,74 454 Elektromanyetik Alan Teorisi 1,48×0,0008 afed ad = hata 1,184 1,184 + 0,9586 2,1426 8 1, 48 96 0,223 grafikten 2414,74/1,09 2215,3578 109 19 44 Toplam mmf düşümü grafikten 2414,74 8,36 2423,1 2423,1- 2431,95 = -% 0,3639 < ±% 2 daha fazla irdelemeye gerek yoktur. 2431,95 εµ 6 STATİK ALAN UYGULAMALARI 6.1 GİRİŞ Önceki bölümlerde temelleri tartışılan statik elektrik ve manyetik alanların bazı uygulamaları şimdi açıklanabilir. Bu uygulamalardan bazıları önceki bölümlerin içine kolaylıkla konulabilirdi fakat aşağıdaki nedenlerden dolayı ayrı bir bölüm oluşturulması düşünülmüştür. Bazı uygulamaların bütün olarak anlaşılabilmesi, elektrostatik ve manyetostatik alanların ikisinin birden bilinmesini gerektirmektedir. Örneğin bir siklotron’da yüklü parçacığın hızlanması elektrik alanı ile yapılırken dönüş ise manyetik alan ile yerine getirilir. Bu bölümde statik alanların ana uygulamaları sunularak öneminin okuyucu tarafından kavranılması amacı taşınmaktadır. Bazı kitaplarda, statik alan uygulamaları konusu önemsiz izlenimi bırakacak şekilde kısaca verilmeye çalışılmıştır. Sınıfta statik alan uygulamalarının verilmesi için yeterli zaman yoksa bu bölüm öğrenci için çok iyi bir okuma ödevi olabilir. 6.2 YÜKLÜ PARÇACIK SAPMASI Elektrostatik alanların en yaygın uygulamalarından biri elektron veya proton gibi yüklü bir parçacığın yörüngesinin kontrol edilmesi için saptırılmasıdır. Katot ışınlı osiloskop, siklotron, mürekkepli-jet yazıcı ve hız seçici gibi aygıtlar bu prensibe dayanmaktadır. Katot ışınlı osiloskopta bir elektron ışınının yükü sabit iken bir mürekkepli-jet yazıcıda mürekkebin küçük parçacıklarındaki elektrik yükü yazılacak karaktere bağlı olarak değişir. Her durumda yüklü parçacığın sapması bir çift paralel plaka arasındaki potansiyel fark korunarak yapılır. Şekil 6.1’de görüldüğü gibi u x hızı ile x yönünde hareket eden m kütleli ve q yükü ile yüklü bir parçacığı dikkate alalım. t=0 zamanında yüklü parçacık V o potansiyel farkında tutulan paralel levha çifti arasındaki bölgeye girer. 456 Elektromanyetik Alan Teorisi Şekil 6.1 Düzgün E alanı içindeki yüklü parçacığın yörüngesi Elektrik alan hatlarının saçaklaması ihmal edilerek paralel plakalar arasındaki elektrik alan şiddeti, V E = − o az L ile verilir. L paralel iki plaka arasındaki açıklıktır. Elektrik alanından dolayı yüklü parçacık üzerine etkiyen kuvvet F = qE olup aşağı yöndedir. Yüklü parçacık üzerinde yerçekimi kuvvetinin etkisi ihmal edilerek z yönündeki ivme, az = − qVo mL (6.1) ile z yönünde paralel plakalar içindeki yüklü parçacığın hızı, uz = azt (6.2) z = 12 a z t 2 (6.3) olur çünkü t=0’da u z =0’dır. z yönünde yüklü parçacığın yer değişimi, dir çünkü t=0’da z=0’dır. t zamanında x yönünde yüklü parçacığın yer değişimi, x = uxt (6.4) dir. Paralel plakalar arasındaki bölgede yüklü parçacığın kaldığı sürece alınan zaman T= d ux ile verilir. Böylece paralel plakalar içinde yüklü parçacığın yörüngesi (6.3) ve (6.4)’den (6.5) Statik Alan Uygulamaları 457 az 2 qVo 1 x z= − mL 2 u x (6.6) olup bir parabol eşitliğidir. ÖRNEK 6.1 1,5 kV’luk potansiyel farkı 10 cm aralıklı iki paralel plaka arasında tutulmaktadır. 2 keV’lik kinetik enerjili bir elektron, elektrik alanına dik açıda saptırma plakalarına girmektedir. Eğer plakalar 20 cm uzunluğunda ise a) plakalar arasında elektronun bulunduğu sürede geçen zaman ve b) plakalar arasında iken elektronun sapmasını belirleyiniz. ÇÖZÜM x yönünde t=0’da elektronun kinetik enerjisi, 1 2 mu x2 = Ve = 2 × 10 3 × 1,6 × 10 −19 olarak belirlenebilir. Elektronun kütlesi için m = 9,11× 10 −31 kg konularak elektronun hızı, u x = 26,505 × 10 6 m/s elde edilir. a) Elektronun paralel plakalar arasında bulunduğu sürece geçen zaman aşağıdaki gibi hesaplanır. T= 20 × 10 −2 = 7,54 × 10 −9 s veya 7,54 ns 6 26,505 × 10 b) (6.6)’dan elektronun sapması aşağıdaki gibi elde edilir. 1,6 × 10 −19 × 1,5 × 10 3 z= 2 × 9,11× 10 −31 × 0,1 2 20 × 10 −2 = 74,97 × 10 3 m veya 74,97 mm 6 26,505 × 10 ALIŞTIRMALAR 1. Örnek 6.1’deki plakalar arasındaki açıklık 5 cm’ye düşürülürse 0,5 cm’lik bir sapmaya neden olacak uygulama gerilimi nedir? Elektronun paralel plakalar arasındaki hareketi süresince hızzaman grafiğini çiziniz. 2. Örnek 6.1’de sapmanın 2 cm olması için plakaların uzunluğu ne olmalıdır? Elektronun paralel plakalardan çıktığında aldığı zamanı hesaplayınız. Elektronun çıkış zamanında sapma yönündeki hızı nedir? 6.3 KATOT IŞINLI OSİLOSKOP Katot ışınlı osiloskop’un temel özellikleri şekil 6.2’de görülmektedir. Tüp camdan yapılmış ve içi tamamen boşaltılmıştır. Isıtıcı bir flaman ile ısıtıldığında katot elektron yayar. Bu elektronlar daha sonra katota göre birkaç yüz voltluk bir potansiyelde tutulan anoda doğru hızlandırılır. Küçük bir deliğe sahip olan anot, içinden ince bir elektron ışınının geçmesine izin verir. Hızlanmış elektronlar bundan önceki kısımdakine benzer bir davranışla hem yatay ve hem de dikey boyutlarda 458 Elektromanyetik Alan Teorisi saptırılabilecekleri bir bölgeye girerler. Son olarak elektron ışını bir cisim (fosfor) ile kaplanmış görünür ışık yayan ekranın iç yüzeyine bombardıman edilir. Şekil 6.2 Katot ışınlı osiloskop’un temel elemanları Katodun yüzeyinden yayılan elektronun başlangıç hızının sıfır olduğu varsayılsın. Anot ve katot arasındaki potansiyel fark V 1 ise anottan çıkan elektronun hızı, kinetik enerjisindeki kazançtan 1 2 mu x2 = eV1 veya ux = 2e V1 m (6.7) olarak elde edilir. Yatay saptırma plakaları arasında gerilim olmadığı ve alt plakasına göre üst dikey saptırma plakasında V o gerilimi tutulduğu varsayılmaktadır. Elektron yatay saptırma plakaları arasından etkilenmeden geçer ve dikey saptırma plakaları arasındaki bölgede, pozitif z yönünde bir kuvvet ile etkilenir. Şekil 6.3’de görüldüğü gibi, elektron dikey saptırma bölgesini x=d ’de terkederken dikey yer değişimi, (6.6) dan eVo d z1 = 2mL u x 2 (6.8) dir. x=d için z yönünde ilgili hız, uz = edVo mLu x (6.9) olur ancak x yönündeki hız değişmeden kalır. Elektron dikey saptırma bölgesinden çıkarken u x ve u z ’nin ikisinin birden sabit olduğu düz bir çizgide hareket eder. Şimdi u hızı x ekseni ile bir θ açısı yapar. tan θ = uz ux (6.10) dir. Elektronun saptırma plakalarından ortaya çıkarak ekrana doğru bir D uzaklığına hareket etmesi için gereken zaman, Statik Alan Uygulamaları 459 t2 = D ux ile edD 1 z2 = u z t2 = Vo mL u x 2 (6.11) ifadesi elde edilir. Şekil 6.3 Katot ışınlı osiloskop’un çalışma prensibi Bu eşitlikte u x yerine eşdeğeri konulduktan sonra ekrana çarpan elektronun toplam dikey yer değişimi z = z1 + z2 = d [0,5d + D]Vo 2L V1 (6.12) elde edilir. (6.12)’den, anot ve katot arasındaki potansiyel farkı sabit tutulduğunda, elektronların sapmasının dikey saptırma levhaları arasındaki potansiyel farkı ile orantılı olduğu açıktır. Yatay saptırma plakaları arasına bir potansiyel farkı uygulanarak elektronların y yönünde de hareketi sağlanır. Bu yüzden elektron ışınının hangi noktada ekrana vuracağı dikey ve yatay saptırma gerilimlerine bağlıdır. ÖRNEK 6.2 Katot ışınlı osiloskop’un anot ve katodu arasındaki potansiyel farkı 1000 V’tur. Dikey saptırma levhalarına ait ölçüler L=5 mm, d=1,5 cm ve V o =200 V’tur. D uzaklığı 15 cm’dir. Anottan sıfır başlangıç hızı ile bırakılan bir elektronun a) dikey saptırma plakalarına girerken x yönündeki hızını, b) plakalar arasında z yönündeki hızını ve ivmesini, c) z yönündeki çıkış hızını ve d) ekrandaki elektronun toplam yer değişimini bulunuz. ÇÖZÜM a) (6.7)’den elektron anodu terkederken x yönündeki hızı, 2 × 1,6 × 10 −19 × 1000 ux = 9,1 × 10 − 31 12 = 18,75 × 10 6 m/s olarak ışık hızının % 10’undan daha küçük olduğundan görecelik etkileri ihmal edilebilecek kadar küçüktür. Bu hızda elektronun kütlesi hemen hemen durgun durumundaki ile aynıdır. 460 Elektromanyetik Alan Teorisi b) z yönünde elektronun ivmesi ve hızı (6.1) ve (6.2)’den aşağıdaki gibi hesaplanır. az = e 1,6 × 10 −19 × 200 Vo = = 7,03 × 1015 m/s2 mL 9,1× 10 −31 × 5 × 10 −3 u z = a z t = 7,03 × 1015 t m/s c) Elektron saptırma levhasını T= d 1,5 × 10 −2 = = 8 × 10 −10 s veya 0,8 ns 6 u z 18,75 × 10 olacak şekilde t=T zamanında geçecektir. Böylece z yönünde çıkış hızı aşağıdaki gibi bulunur. u z = 7,03 × 1015 × 8 × 10 −10 = 5,624 × 10 6 m/s d) (6.12)’den elektronun toplam sapması: z= 1,5 × 10 −2 × 200 d [0,75 + 15]× 10 − 2 = 4,725 cm = u z 2 × 5 × 10 − 3 × 1000 ALIŞTIRMALAR 3. Paralel iki plaka 5 cm aç