PID

4. QUADCOPTERİN UÇUŞ KONTROLCÜ TASARIMI
Günümüz kontrolcüleri arasında adaptif kontrolör, doğrusal ikinci dereceden
düzenleyici (LQR), geri adımlamalı denetleyici (GAD), kayan tipli denetleyici (KKD)
ve oransal-integral-türev denetleyici (PID) gibi birçok kontrolcü yaklaşımı mevcuttur.
Bu
çalışmada
quadcopter
için
PID
denetleyici
ile
kontrolcü
tasarımı
gerçekleştirilecektir.
4.1. P, I ve D Kontrol Mekanizmaları
PID denetleyicilerden ve nasıl çalıştıklarından bahsetmeden önce PID
denetleyiciyi oluşturan kontrol mekanizmalarını bilmek gerekir.
4.1.1. Proportional (Oransal) kontrol
Oransal kontrol, sistemdeki hatanın belirli bir kazanç değeri ile çarpımı kadar
kontrolcü çıkışında bir etki oluşturur, mevcut hataya bağlıdır ve sistemdeki hatayı
azaltmayı hedefler. Hata, sistemden istenilen cevap ile sistemin hali hazırda ürettiği
cevap arasındaki farktır. Hata azaldıkça daha düşük bir kontrol etkisi gösterip çıktının
referansa yumuşak bir şekilde yaklaşmasını sağlar. Buna karşılık hata küçüldükçe
oransal kontrol etkisi çok zayıflar sistem çıktısı istenilen değere asla tam ulaşamaz. Bu
sorun integral kontrolün kullanılmasıyla yok edilebilir.
4.1.2. Integral (Toplamsal) kontrol
İntegral kontrol, oransal kontrolün sisteme olan etkisinin azalmaya başladığı anda
devreye girerek sistemdeki kalıcı hatayı yok etmeyi hedefler. Sistemde ki kontrol
işlemi başladığı andan etkinin hesaplandığı ana kadar geçen tüm anlardaki hatanın
toplamına orantılı olarak kontrolcü çıkışında bir etki oluşturur. Bu integral etkisi
sistemin geçmişteki yaptığı hatların toplamını ifade eder. Sistem cevabının istenilen
değere ulaşması geciktikçe integral kontrol etkisi de artacaktır.
22
4.1.3. Derivative (Türevsel) kontrol
Türevsel kontrol, oransal kontrolün sistemdeki aşma değerini azaltıp sistemin
reaksiyon hızını artırmayı hedefler. Sistemde ki hatanın değişimine orantılı olarak
kontrolcü çıkışında bir etki oluşturur. Türev işlemi sistem çıktısının hesaplandığı
andan bir sonraki anda alacağı değere ilişkin bir veri üretir. Dolayısı ile türevsel
kontrol sisteme bir öngörü kazandırır.
4.2. PID Kontrol Parametreleri
PID’yi oluşturan kontrol mekanizmaları sisteme belirli bir katsayılarla etki ederler.
Bu katsayılar Kp, Ki, Kd katsayılarıdır. Bu katsayıların uygun şartlarda sistemi kontrol
etmesi için belirlenmesi gerekir. Bu katsayıları belirlemeden önce bu katsayıların
sisteme olan etkilerini bilmek gerekir.
4.2.1. Oransal kontrol parametresi (Kp)
Oransal kontrol parametresi sistemin hataya göre tepki şiddetini ve hızını artırıp
azaltmaya yarar. Oransal kontrol parametresi sistemin hassasiyetini belirler. Oransal
kontrol parametresinin artırılması sistemin istenilen değere daha hızlı ulaşmasını
sağlarken çıkış sinyalinin istenilen değerin üzerine çıkmasına yani hatanın büyümesine
ve çıkış sinyalinde osilasyona (dalgalanmaya) neden olurken kalıcı hatanın azalmasını
sağlar. Aynı şekilde azaltılması da sistemin daha geç istenilen değere ulaşmasına ve
kalıcı hatanın artmasına neden olurken çıkış sinyalinin istenilen değerin üzerine çıkma
değeri ve çıkış sinyalindeki osilasyon azalmış olur.
Şekil 4. 1 Oransal kontrol parametresinin sisteme etkisi
23
4.2.2. İntegral kontrol parametresi (Ki)
İntegral kontrol parametresi sistemin hata birikimine göre tepkisini artırıp
azaltmaktadır. İntegral kontrol parametresinin değerini artırmak veya azaltmak
sistemde oransal kontrol parametresinin artırılması veya azaltılması ile oluşan
sonuçlara benzerlik gösterirken integral kontrol parametresinin farkı kalıcı hatayı
sıfırlamasıdır. Oluşan sonuçlardaki benzerlik sadece çıkış sinyalinin davranış
biçimiyle ilgilidir. Çıkış sinyalinin genliğindeki veya şiddetindeki değişiklik integral
kontrolde daha fazladır. Bunun nedeni ise oransal kontrolün hatanın anlık değeri ile
ilgilenmesi, integral kontrolün ise hatanın toplam değeri ile ilgilenmesinden
kaynaklıdır.
Şekil 4. 2 İntegral kontrol parametresinin sisteme etkisi
4.2.3. Türevsel kontrol parametresi (Kd)
Türevsel kontrol parametresi hatanın değişimine göre tepkisini artırır veya azaltır.
Türevsel kontrol parametresini artırmak sistemin istenilen değere ulaşmasını ve
sistemin kalıcı hale geçmesini hızlandırırken aşım değerlerini ve dalgalanmaları
azaltır. Türevsel kontrol parametresinin değerini azaltmak sistemin istenilen değere
ulaşmasını ve sistemin kalıcı hale geçmesini yavaşlatırken aşım değerlerini ve
dalgalanmaları artırır.
24
4.3. PID Denetleyici ve Çeşitleri
PID denetleyiciler, endüstriyel kontrol sistemlerinde en çok kullanılan denetim
biçimidir. Yapısının basit olması, ayarlanacak değişken sayısının az olması ve fiziksel
olarak gerçekleştirmenin kolay yapılması sayesinde çok tercih edilen denetleyici
türüdür. PID denetleyiciye, girişe uygulanan sinyal (hedef, referans) ile sistem
çıkışından geri besleme ile alınan sinyalin (anlık, mevcut) farkı uygulanır. Fark alma
işlemi sonucunda oluşan sinyale hata (error) sinyali denir. Bu hata sinyaline göre PID
denetleyici hatayı en aza indirgemeye çalışan bir denetleyici çıkış sinyali oluşturur.
Şekil 4. 3 PID denetleyicinin sisteme uygulanışı
4.3.1. P (Oransal) denetleyici
P denetleyici en basit denetleyiciyi temsil eder. P denetleyicide sadece oransal
kontrol yapılmaktadır. P denetleyici hata azaldıkça daha düşük bir kontrol etkisi
gösterip sistem çıkışının istenilen değere yumuşak bir şekilde yaklaşmasını sağlar bu
sayede salınım etkisi gözlemlenmeyecektir. Buna karşılık hata küçüldükçe kontrol
etkisi çok zayıflayacak belirli bir değerin altında P denetleyicinin sisteme etkisi çok
zayıflayacak ve sistem çıkışı istenilen değere asla tam ulaşamayacaktır. Bu kalıcı hal
hatasının oluşmasını engellemek için denetleyici çıkışına bir sabit değer eklenir.
25
Şekil 4. 4 P denetleyici blok diyagramı
Şekil 4.4’de P denetleyicinin bir sistem (plant) üzerine uygulanması
görülmektedir. Sistem çıkışı y(t) elde edilmek istenen (hedef noktası) giriş r(t) olarak
ifade edilmiştir. PID denetleyiciye giriş sinyali olarak hata sinyali e(t) uygulanır.
Bu hata işareti oransal denetim için Kp kazanç katsayısıyla çarpılır ve u(t)
denetleyici çıkış üretilir ve sisteme uygulanır. Şekil 4.4’de görülen P denetleyicinin
matematiksel ifadesi;
u(t) = Kp 𝑒(𝑡) şeklinde tanımlanır.
4.3.2. PI (Oransal-Integral) denetleyici
PI denetleyicide sistemin oransal ve integral kontrol yapılmaktadır. PI
denetleyicide amaç sistem çıkışının yerleşme zamanını fazla uzatmadan kalıcı hal
hatasını sıfırlamaya veya azalmaya çalışmaktır.
Şekil 4. 5 PI denetleyici blok diyagramı
26
Şekil 4.5’de PI denetleyicinin bir sistem (plant) üzerine uygulanması
görülmektedir. Sistem çıkışı y(t) elde edilmek istenen (hedef noktası) giriş r(t) olarak
ifade edilmiştir. PI denetleyiciye giriş sinyali olarak hata sinyali e(t) uygulanır.
Bu hata işareti oransal denetim için Kp kazanç katsayısıyla ve integral denetim için
integrali alınarak Ki kazanç katsayıyla çarpılır. Bu iki işlemin sonucunda elde edilen
işaretler toplanarak u(t) denetleyici çıkış üretilir ve sisteme uygulanır.
Şekil 4.5’de görülen PI denetleyicinin matematiksel ifadesi;
𝑡
u(t) = Kp 𝑒(𝑡) + Ki ∫0 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 şeklinde tanımlanır.
4.3.3. PD (Oransal-Türevsel) denetleyici
PI denetleyicide sistemin oransal ve türevsel kontrolü yapılmaktadır. PD
denetleyicide amaç sistem çıkışının yerleşme zamanını kısaltmak ve aşım değerlerini
azaltmaya çalışmaktır.
Şekil 4. 6 PD denetleyici blok diyagramı
Şekil 4.6’de PD denetleyicinin bir sistem (plant) üzerine uygulanması
görülmektedir. Sistem çıkışı y(t) elde edilmek istenen (hedef noktası) giriş r(t) olarak
ifade edilmiştir. PID denetleyiciye giriş sinyali olarak hata sinyali e(t) uygulanır.
Bu hata işareti oransal denetim için Kp kazanç katsayısıyla ve türevsel denetim için
türevi alınarak Kd kazanç katsayısıyla çarpılır. Bu iki işlemin sonucunda elde edilen
işaretler toplanarak u(t) denetleyici çıkış üretilir ve sisteme uygulanır.
27
Şekil 4.6’de görülen PID denetleyicinin matematiksel ifadesi;
u(t) = Kp 𝑒(𝑡) + Kd
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
şeklinde tanımlanır.
4.3.4. PID (Oransal-Integral-Türevsel) denetleyici
PID denetleyicide sistemin oransal, integral ve türevsel kontrolü yapılmaktadır.
PID denetleyicide amaç aşım değerleri az olan, hızlı reaksiyon gösteren ve kalıcı hal
hatası sıfır olan bir sistem cevapları elde etmektir.
Şekil 4. 7 PID denetleyici blok diyagramı
Şekil 4.7’de PID denetleyicinin bir sistem (plant) üzerine uygulanması
görülmektedir. Sistem çıkışı y(t) elde edilmek istenen (hedef noktası) giriş r(t) olarak
ifade edilmiştir. PID denetleyiciye giriş sinyali olarak hata sinyali e(t) uygulanır.
Bu hata işareti oransal denetim için Kp kazanç katsayısıyla, integral denetim için
integrali alınarak Ki kazanç katsayıyla, türevsel denetim için türevi alınarak Kd kazanç
katsayısıyla çarpılır. Bu üç işlemin sonucunda elde edilen işaretler toplanarak u(t)
denetleyici çıkış üretilir ve sisteme uygulanır.
Şekil 4.7’de görülen PID denetleyicinin matematiksel ifadesi;
𝑡
u(t) = Kp 𝑒(𝑡) + Ki ∫0 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 + Kd
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
şeklinde tanımlanır.
28
4.4. PID Denetleyici Kontrol Parametrelerini Ayarlama Yöntemleri
PID denetleyicilerde önemli olan Kp, Ki ve Kd kontrol parametrelerinin
belirlenmesidir. Bu katsayıların uygun şartlarda sistemi kontrol etmesi için
belirlenmesi gerekir. Bu katsayıları belirlemenin kolay bir yolu ve net bir cevabı
yoktur. Sistemde en az veya sıfır hata, minimum aşım, kısa sürede hatayı giderme ve
sistemde kararlılığı sağlama gibi kriterleri yerine getirecek Kp, Ki ve Kd kontrol
parametreleri seçilmelidir. Yani sistem, en küçük hatayı en az zamanda ve en az
salınım ile yapması gerekir.
PID denetleyicinin kontrol parametrelerinin ayarlanmasına yönelik oldukça fazla
çalışma literatürde yer almaktadır. PID kontrol parametrelerinin ayarlanmasına
yönelik yapılan çalışmalarda önerilen yöntemlerin önemli kısmının ortak özelliği,
kontrol parametrelerin belirlenmesinde sistemin açık çevrim ve kapalı çevrimde
gösterdiği çıkış karakteristiğinin kullanılmasıdır. Bu yöntemlerin diğer bir özelliği de
kolay uygulanabilir olmasıdır. Bu çalışmada, kolaylığı ve uygulanabilirliği açısından
değerlendirildiğinde literatürde öne çıkan, sistemin açık çevrim ve kapalı çevrim
cevabına dayalı yöntemler ele alınmıştır.
4.4.1. Açık çevrim Ziegler-Nichols yöntemi
Sistemin, uygulanan basamak girişine verdiği çıkış eğrisinde eğimin maksimum
olduğu nokta bulunur ve bu noktadan geçen bir teğet doğru çizilir. Teğetin x eksenini
kestiği nokta ile orijin (sıfır noktası) arası ölü zamanı (L), aynı nokta ile referans değeri
ve teğetin kesiştiği noktadan x eksenine indirilen dikmenin kesiştiği nokta arasındaki
fark ise zaman sabitini (T) ve orijin ile referans değeri arası ise sistemin kazancını (K)
verir.
.
Şekil 4. 8 Sistemin açık çevrim basamak cevabı eğrisi
29
Elde edilen T ve L değerleri ile Tablo 1’deki formüllerden faydalanılarak denetleyici
kontrol parametreleri bulunur.
Tablo 1. Açık çevrim Ziegler-Nichols PID kontrol parametreleri ayarlama kuralları
Denetleyici
Çeşidi
P
Kp
Ti (1 / Ki)
Kd (Td)
T/L
∞
0
PI
0,9T / L
L / 0,3
0
PID
1,2T / L
2L
0,5L
4.4.2. Kapalı çevrim Ziegler-Nichols yöntemi
Bu yöntemde başlangıç olarak PID denetleyicide integral kontrol parametresi Ki
ve türevsel kontrol parametresi Kd sıfır yapılarak devre dışı bırakılır ve denetleyicinin
sadece oransal kontrol parametresi Kd ile çalışması sağlanır. Sistemin girişine bir
basamak girişi uygulanır ve oransal kontrol parametresi Kd sıfırdan başlayarak
sistemin çıkışında sürekli ve aynı genlikte salınım elde edilinceye kadar arttırılır.
Sürekli salınımı veren Kp oransal kontrol parametresi Ku ve sürekli salınım periyodu
Pu saniye cinsinden olarak tespit edilir. Tablo 2’de verilen formüllerde bu değerler
yerine konularak PID kontrol parametreleri bulunur.
Tablo 2. Kapalı çevrim Ziegler-Nichols PID kontrol parametreleri ayarlama kuralları
Denetleyici
Çeşidi
P
Kp
Ti (1 / Ki)
Kd (Td)
0,5Ku
∞
0
PI
0,45Ku
1 / 1,2Pu
0
PID
0,6Ku
0,5Pu
0,125Pu
4.4.3. Cohen-Coon yöntemi
Cohen-Coon yöntemi baskın bir kutup tasarım yöntemidir ve kesin performans
kontrolü elde etmek için bazı kutupları bulmaya çalışır. Birinci derece ölü zamanlı
sistem (First- Order Plus Dead-Time, FOPDT) modeline dayanmaktadır. Bu ayarlama
yöntemi yaklaşımı, sistemdeki bozulmalar nedeniyle genlik oranını düşürmektedir.
30
Bu nedenden dolayı integratör hatasını en aza indirmek için sistemdeki bozulmalar
sıfır kabul edilir. Cohen-Coon yönteminde sistemin basamak girişine verdiği çıkış
eğrisi elde edilir ve bu çıkış eğrisinden K, T ve L değerleri bulunur. Bu değerler ile α
= KL / T, τ = L / L+T değerleri hesaplanır. Daha sonra Tablo 3 kullanılarak PID kontrol
parametreleri hesaplanır.
Tablo 3. Cohen -Coon PID kontrol parametreleri ayarlama kuralları
τi
Denetleyici
Çeşidi
Kp
P
1
0.35𝜏
(1 +
)
𝑎
1−𝜏
0.9
0.92𝜏
(1 +
)
𝑎
1−𝜏
1.24
0.13𝜏
(1 +
)
𝑎
1−𝜏
1.35
0.18𝜏
(1 +
)
𝑎
1−𝜏
PI
PD
PID
τd
3.3 − 3𝜏
𝐿
1 + 1.2𝜏
2.5 − 2𝜏
𝐿
1 − 0.39𝜏
0.27 − 0.36𝜏
𝐿
1 − 0,87𝜏
0.37 − 0.37𝜏
𝐿
1 − 0.81𝜏
4.4.4. Chien – Hrones – Reswick yöntemi
Chien – Hrones – Reswick yönteminde PID kontrol parametreleri sistemin açık
çevrim basamak cevabından faydalanılarak K, T ve L değerleri elde edilmektedir ve α
= KL / T kullanılarak parametrelerin hesaplanmasını gösteren kurallar Tablo 4’de
hedef noktası regülasyonu için, Tablo 5’de ise bozucu etkisini durdurmak için
verilmiştir.
Tablo 4. CHR yöntemi ile PID kontrol parametreleri ayarlama kuralları hedef noktası regülasyonu
%0 Aşım
%20 Aşım
Denetleyici
Çeşidi
Kp
τi
τd
Kp
τi
τd
P
0.3 / α
-
-
0.7 / a
-
-
PI
0.35 / α
1.2T
-
0.6 / a
T
-
PID
0.6 / α
T
0.5L
0.95 / a
1.4T
0.47L
31
Tablo 5. CHR yöntemi ile PID kontrol parametreleri ayarlama kuralları bozucu etkiyi durduran
%0 Aşım
%20 Aşım
Denetleyici
Çeşidi
Kp
τi
τd
Kp
τi
τd
P
PI
PID
0.3 / α
0.6 / α
0.95 / α
4L
2.4L
0.42L
0.7 / a
0.7 / a
1.2/ a
2.3L
2L
0.42L
4.4.5. Wang – Juang – Chan yöntemi
Bu ayarlama yönteminin Wang, Juang ve Chan tarafından önerilmiştir. Oransalİntegral-Türev kontrol parametrelerini seçmek kolay ve etkilidir. Optimum İntegralZaman-Mutlak hata kriterleri üzerine inşa edilen bir yöntemdir. Kontrol edilen,
denetleyici sistemin K, L ve T parametreleri biliniyorsa Tablo 6’da verilen kurallara
göre hesaplamalar yapılır.
Tablo 6. WJC yöntemi ile PID kontrol parametreleri ayarlama kuralları
Denetleyici Türü
Kp
τi
τd
PID
(0.7303 +
𝑇
0.5307 ) (𝑇 +
𝐿
0.5𝐿)
𝑇 + 0.5𝐿
0.5𝐿𝑇 / (𝑇
+ 0.5𝐿)
4.5. PID Denetleyici İle Quadcopterin Kontrolü
Quadrotor projesi, oldukça kararsız bir sistemi kontrol edecek yüksek seviye
kontrol özellikleri taşıması gereken bir sistemdir. Dört rotorlu bir uçan sistem, bir veya
iki rotorlu helikopterlere göre daha karmaşık kontrol özelliklerine gereksinim
duymaktadır. Bunun nedenlerinden biri de dört rotorlu bir sistemin her motorunun
farklı sinyallerle ancak çok ince bir uyum içinde hareket ettirilmesi zorunluluğudur.
Bunun nedeni de quadcopterin hareketi için herhangi bir kontrol yüzeyine ihtiyaç
duyulmamasıdır. Sadece yapılması gereken motor devirlerinin uygun işaretlerle ince
bir ayarda kontrol etmektir.
32
Bölüm 2 de anlatılan quadcopterin roll, pitch, yaw ve throttle kontrolünün sisteme
uygulanışı MATLAB simulink programında tasarlanması Şekil 4.9’da gösterilmiştir.
Şekil 4. 9 Quadcopterin MATLAB simulink modellemesi
33