Uploaded by enginsumer72

deneme yanılma muhendisligi

advertisement
Makina Dinamiği
Doç. Dr. Cihan Demir
Makina Dinamiği
A-Blok 509
Makina Dinamiği
Dersin İçeriği :
Makinaların dinamiğinde temel kavramlar, Kinematik ve
dinamik problemlerin tanımı, Mekanik sistemlerin
matematik modeli, Makinalarda kuvvet analizi, Güç
dengelenmesi (volan), Rotorlarda kütle denegelenmesi,
Peryodik çevrimli mekanizmaların kütle dengelenmesi
(Krank-Biyel mekanizmaları), Tek serbestlik dereceli
sistemlerin sönümsüz, sönümlü ve zorlanmış titreşimleri
Dersin Amacı : Makinaları dinamik açıdan incelemek için
gerekli bilgileri öğretmek,
Dersin Kazandıracağı Bilgi ve Beceriler: Makina
dinamiği problemlerini tanıma, analiz ve çözüm yapabilme
becerisi
Makina Dinamiği
•
•
•
•
Rao Singiresun S.,Mechanical Vibrations , Prentice
Hall,ISBN: 0130489875
Fuat Pasin, Makina Dinamiği, Seç Kitap Dağıtım.
Fuat Pasin, Mekanik Sistemler Dinamiği, İTÜ.
Kinematics, Dynamics and Design of Machinery
K.J. Waldron and G.L. Kinzel,John Wiley & Sons
2004.
Makina Dinamiği
1
BÖLÜM
GİRİŞ
Makina Dinamiği
Verilen kuvvetler etkisi altında makina
uzuvlarının hareketlerinin incelenmesi veya
hareketin önceden belirlenen bir tarzda
gerçekleşmesi için gerekli şartların
bulunmasıdır.
Makina Dinamiği
Makine: Kendi mekanik kuvvetleri vasıtasıyla
tahrik edilebilecek ve belirli hareketlerle belirli
tesirleri ortaya koyması tarzında düzenlenmiş
mukavim cisimler topluluğudur.
Mekanizma: hareket ve kuvvet iletmek veya
dönüştürmek veya mukavim cisme ait bir
noktanın belirli bir yörünge üzerinde hareket
etmesini sağlamak amacıyla birbirlerine
mafsallanmış uzuvlardan oluşan mekanik
düzenlerdir. En az bir uzvu mekanik olarak
tahrik edilebilen bir mekanizma ise makinadır
Giriş
Pg
•Mekanizma
•Enerji
Pç
• İş
(Enerji)
•Giren enerji=Çıkan enerji + Kayıp enerji
 
Pç
Pg
1
7
Giriş
Enerji
Güç 
Zaman
Enerji
W Nm joul
 P


 Watt
t
s
s

ts
W   P dt
tb
Güç

M 
F V

P= 
U I
p Q
8
Makina Dinamiği
Kapalı Kinematik Zincir
Bir uzvun tespit edilmesi
Mekanizma
F tane uzvun tahriki
Yönlendirilmiş Mekanizma
Belli bir iş için kullanılması
Makina
Makina Dinamiği
Şekil 1. Genel amaçlı kullanılan mekanizmalara örnekler
Mekanizmalar daha çok düzlemsel
mekanizmalardan meydana
gelir. Hacimsel mekanizmalara çok az
rastlanır.
Düzlemsel mekanizma denilince derinliği
olmayan veya derinliği az olan
mekanizmalar anlaşılmamalıdır.
Bir mekanziamanın çeşitli uzuvlarına ait tüm
noktaların yörüngeleri bir ve aynı düzleme
paralel ise böyle mekanizmalara düzlemsel
mekanizma denir.
Makina Dinamiği
Mekanizma denilince akla katı oldukları varsayılan uzuvlar, uzuvları
birbirlerine göre izafi hareket yapabilecek ve devamlı temasta kalacak
tarzda bağlayan mafsallar ve diğer organlar akla gelir. Herhangi bir
mekanizmada birisi sabit uzuv olmak üzere en az üç uzuv bulunur.
MAFSALLAR
Mekanizma uzuvlarının hareketli bağlantı yerlerine genel olarak
mafsal adı verilir.Birbirlerine bağlı parçaların yalnızca izafi
hareket yapmalarını sağlamaktır.
Kinematik Zincir
Eleman çiftleri vasıtasıyla karşılıklı hareket imkanları
sınırlandırılmış katı cisimlerden ibaret uzuvların hareketli
topluluğuna kinematik zincir denir..
Makina: Tek başına belli bir işi gören mekanizma veya
mekanizmalar gurubuna denir
Makina Dinamiği
Serbestlik Derecesi
Herhangi bir cismin hareketi dönme ve öteleme elemanter
hareketlerinin birleşimi tarzındadır. Üç boyutlu uzayda
bir cismin yapabileceği elemanter hareketlerinin sayısı o
cismin serbestlik derecesi olarak tanımlanır.
Kinematik Zincirin Serbestlik Derecesi:
Uzuvlardan birine göre diğer uzuvlarının konumlarının
tamamen belirli bir şekilde elde edilebilmesi için verilmesi
gereken birbirinden bağımsız parametre sayısıdır.
F  3(n  1)  2e1  e2
Makina Dinamiği
a) Açık zincir
b) Kapalı zincir
Mekanizma Zincirleri
Cihan DEMİR
Makina Dinamiği
Mafsal noktaları (Düğüm noktaları)
Değişik mertebeden uzuvlar
Cihan DEMİR
Makina Dinamiği
Birinci Mertebeden
Döner Mafsallı
Çok Katlı Mafsal
İkinci mertebeden
Cihan DEMİR
Makina Dinamiği
Basit döner mafsal(R)
Kapalı Şekil
Kızak(P)
Kapalı Şekil
Cihan DEMİR
Makina Dinamiği
1 DOF
Döner Mafsal
Silindirik Bağlantı
Kayar Yuvarlanmalı
2 DOF
Prizmatik Bağlantı
(Kayar Mafsal)
Küresel Mafsal
3 DOF
Helisel Bağlantı
(Vida Mafsalı)
Düzlemsel Bağlantı
Makina Dinamiği
Şekil 2 Rijit gövdeli bir cisim düzlemde üç serbestlik
derecesine sahiptir
Makina Dinamiği
Cihan DEMİR
Makina Dinamiği
Cihan DEMİR
Makina Dinamiği
Makina Dinamiği
Makina Dinamiği
Makina Dinamiği
Ödev: Aşağıdaki mekanizmanın serbestlik
derecesini bulunuz.
Ödev: Aşağıdaki mekanizmanın serbestlik
derecesini bulunuz.
Makina Dinamiği
Makinaların ve mekanizmaların büyük
çoğunluğunda aktif kuvvetlerden ve atalet
kuvvetlerinden dolayı uzuvlarda doğan ve
makinanın ana hareketine eklenen şekil
değişimleri çok küçüktür.
Şekil değişimleri küçük sınırlar içinde kalan katı
cisimler için rijit kabulu yapılır.
Bu şekil değişimleri zaman içinde genel olarak
titreşim olarak ortaya çıkar
Makina Dinamiği
Mekanik, hareket olaylarını inceleyen bilim dalıdır.
Statik ve Dinamik olarak ele alınmaktadır.
Mekanizmalarda dinamik durum Makine Mühendisliği’nin temel
konuları arasındadır.
Dinamik konuları, kinetik ve kinematik olarak incelenmektedir.
Kinetik, cismin kütlesi göz önüne alınarak cisme tesir eden kuvvetler
, momentler ve meydana gelen hareket hareket arasındaki bağıntıları
inceler.
Kinematik, kinematiği kuran ve ona bu adı veren Amper’e göre,
hareketi doğuran sebepleri, kuvvetleri veya momentleri, kütleleri
gözönüne almaksızın yalnız hareketin incelenmesidir. Hareket eden
maddesel noktaların veya katı cisimlerin geometrik özelliklerinin
değişme tarzını inceleyen bilim dalıdır.
Makina Dinamiği
Kinematikde belirlenmesi gerekenler, her an noktanın veya
katı cismin yeri(yörüngesi) hız ve ivmesidir.
Mekanizma, bir fonksiyonu yerine getiren eleman
çiftlerinin meydana getirdiği katı cisimler zinciridir.
Makine, en az bir mekanizmadan oluşan katı cisimler
zinciridir.
Mekanizmaların kinematik analizlerinde, çoğunlukla
uzuvların (elemanların) hareketleri bazı bilgilerle
verildikten sonra her an geometrik yer üzerinde hızların ve
ivmelerin bulunması istenmektedir.
Makina Dinamiği
Dinamik Analiz
Makina uzuvlarının kütle dağılımı, bir andaki
konum ve hız durumu önceden verilmiştir.
Bilinen aktif kuvvetleri doğuracağı ivme
durumu aranmaktadır.
Dinamik Sentez
Konum, hız durumu, kütle dağılımı ve aktif
kuvvetlerden başka bir de mekanizma için
belirli bir ivme durumu önceden verilmiştir.
Verilen ön şartlara uygun mekanizmaların
yapımı işini üstlenmiştir.
Makina Dinamiği
1) Mekanizmaların harekete başlaması (Makinanın kalkışı) ve
duruşu ile ilgili isteklere göre tamamen belirli dinamik
etkilerin elde edilmesi.(Herhangi bir mafsaldaki Kuvvet
kapalılığı)
2) Uygun tedbirlerle, bir volan veya daha başka enerji
depolayıcı elemanlar vasıtasıyla makinanın içindeki enerji
akımına öyle tesir edilmelidir ki, tahrik ve çevrimlerde
görülen hız değişimleri mümkün mertebe azalsın. Buna
Güç Dengelenmesi denmektedir.
3)Makinanın (mekanizmaların) hareketli uzuvlarının yerleşim
değeri öyle olmalıdır ki, makinanın çalışması esnasında
temele veya makina gövdesine iletilen kuvvetlerin ve
momentlerin zararlı etkileri azaltılabilsin. Buna Kütle
Dengelenmesi (balans) denilmektedir.
Makina Dinamiği
Kinetostatik: Bir makinanın mafsal kuvvetlerinin
ve hareketli uzuvlarının herhangi bir kesitindeki
iç gerilmelerin belirlenmesi problemi ile uğraşır.
Bu da mukavemet hesapları açısından önem
taşımaktadır.
Makina Dinamiği
1.1
BÖLÜM
TEMEL KAVRAMLAR
Makina Dinamiği
Makine: Kendi mekanik kuvvetleri vasıtasıyla
tahrik edilebilecek ve belirli hareketlerle belirli
tesirleri ortaya koyması tarzda düzenlenmiş
mukavim cisimler topluluğudur.
Maddesel nokta(noktasal kütleler) : Mekanikte her cisim zihnen
Maddesel noktalara ayrılabilir yani noktasal kütlelerden meydana
Gelmiştir.
Maddesel Sistem: Noktasal kütlelerden oluşan topluluğa maddesel
sistem ya da mekanik sistem denir.
Makina dinamiği bir maddesel sistemin hareketi problemine girer
Makina Dinamiği
Genelleştirilmiş Koordinatlar (Konum Koordinatları):
Maddesel sisteme ait maddesel noktalar birbirinden
bağımsız hareket edebilen serbest noktalar olmayıp
karşılıklı hareketleri sınırlandırılmış noktalardır.
Sistemin konumuyla ilgili daha az sayıdaki parametre ile
belirlenebilir. Bu parametrelere
Genelleştirilmiş Koordinatlar (Konum Koordinatları)
denir.
Makina Dinamiği
Serbestlik Derecesi: Bir maddesel sistemin konumunu
tamamen belirlemek için verilmesi gereken birbirinden bağımsız
genelleştirilmiş koordinat sayısına serbestlik derecesi denir.
Esas Genelleştirilmiş Koordinatlar: Birbirinden bağımsız bu
sebeple serbestlik derecesine eşit koordinat denir.
Tali Genelleştirilmiş Koordinat: Çoğu durumda maddesel
noktaların fiziksel koordinatlarının hesabında serbestlik
derecesinden daha fazla sayıda genelleştirilmiş koordinat
seçmek hesap kolaylığı sağlar. Bu durumda G.K. Arasındaki
bağıntıyı veren denklemleride göz önüne almak gerekir.
S.D. den fazla olan koordina sayısına tali koordinat sayısı
denir.
Makina Dinamiği
(X1-X2)2+ (Y1 –Y2)2 + (Z1 –Z2 )2=L2
Makina Dinamiği
n4
eI 
eII 
F
• rp= xi + y j yer vektörü ,
• x= R cos φ + (L-Lp) cosΨ
• y=e + Lp sinΨ
• R sinφ + LsinΨ – e = 0
Makina Dinamiği
Oxy,
xA , xB , xC , y A , yB , yC kartezyen koordinatları
n4
y
B
u
AB  l2
eI  3
C
2
A
eII  0
F 3
l1
O
xC  l1 cos 1  u cos 2
yC  l1 sin 1  u sin 2
1
x
x A2  y A2  l12
 xB  x A    y B  y A 
2
xC  x A xB  x A

yC  y A yB  y A
2
 l22
Makina Dinamiği
Sistemdeki Bağlar ve Bağların Sınıflandırılması
Genellikle her maddesel sistemde, sistemin noktasal kütleleri
arasında ve sistem noktaları ile mukayese sistemi arasında
sistemin hareket serbestliğini sınırlayan bağlar mevcuttur.
İki Taraflı Bağlar: Sistem noktalarının herhangi bir hareketini
önlediği takdirde, aynı zamanda bu hareketin doğrudan doğruya
zıddını önlüyorsa böyle bağlara iki taraflı bağlar denir.
Makina Dinamiği
Bir hareketi önlemesine rağmen bunun doğrudan doğruya zıddı
harekete müsade bağlara ise tek taraflı bağlar denir.
ÇİFT TARAFLI BAĞ
TEK TARAFLI BAĞ
Makina Dinamiği
Sistemin hareket serbestliğini sınırlayan bağlar zamana bağlı ve
Zamana bağlı olmayan bağlar olmak üzere iki kısma ayrılır:
•Asılma noktası verilen u=u(t) fonksiyonuna göre
hareket eden basit bir sarkaç
•Hareketli eksen takımı Xr ve Yr yi GK olarak
seçelim
xr 2  yr 2  l 2
•OXY eksen takımını seçelim
x  xr  u (t )
y  yr
G.K . açıkca t yebaglıdır
•O etrafında 𝑎 𝑡 𝑎ç𝚤𝑠𝚤𝑦𝑙𝑎 𝑑ö𝑛𝑒𝑛 𝑏𝑖𝑟 ç𝑢𝑏𝑢𝑘
•ü𝑧𝑒𝑟𝑖𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑦𝑎𝑛 𝑚 kütlesi
•M O ya uzaklığı q G.K.
x  q cos  (t ) y  q sin  (t )
•x ve y G.K.
y
 tn (t ) bag denklemi
x
Makina Dinamiği
n serbestlik dereceli bir sistemin konumunu n+v tane genelleştirilmiş
koordinat ile belirlenmiş olsun.Kartezyen koordinatlar
genelleştirilmiş koordinatlar ve t zamanına bağlı olur.
n
ri  xi i  yi j  zi k
Yer vektörü gözönüne alınırsa
ri  ri (q1 , q2 ,....., qn , t )
Makina Dinamiği
fl (q1 , q2 ,........., qn , t )  0,
l  1, 2,.........,
Genelleştirilmiş koordinatlar arasında v tane bağ şartı varsa
Bu sistemin bağları holonomdur.
Bağ şartlarının içinde genelleştirilmiş koordinatların türevleri
Varsa ve integrasyonla dahi kaldırılamıyorsa böyle sistemlerde
Holonom olmayan bağlar mevcuttur ve holonom olmayan
sistemler denir.
Tali koordinatlar esas genelleştirilmiş koordinatlar ve t cinsinden
Çözülür ve yerine konulursa;
ri  ri (q1 , q2 ,....., qn , t )
Makina Dinamiği
Kartezyen koordinatları, yer vektörleri ve de bağ şartları zamanı
Açık olarak içermiyorsa sistemin bağları zamana bağlı değildir.
Bu sistemlere Skleronom denir
ri  ri (q1 , q2 ,....., qn )
Kartezyen koordinatları, yer vektörleri ve de bağ şartları zamanı
açık olarak içeriyorsa sistemin bağları zamana bağlıdır.
Bu sistemlere rheonom denir
Makina Dinamiği
•Merkez yer değiştirmesi x ve φ koordinatları seçilsin
•Kayma olmaması için silindirin düzleme dokunduğu P noktasının hızının
sıfır olması gerekmektedir.
.
.
.
.
.
f ( x,  )  x  r   0
df
 0; x  r  c  0
.
dq
Makina Dinamiği
Makina Dinamiği
Kuvvetlerin Sınıflandırılması
İç Kuvvetler: Sistemin kendisinden yani sisteme ait
Maddesel noktalar arasındaki karşılıklı etkileşimden
Doğar. Elastik kuvvetler, Bağ kuvvetleri.
Dış Kuvvetler: Sisteme dışında bulunan noktalardan veya
Sistemlerden uygulanan kuvvete denir. Ağırlık kuvveti,
takım tezgahında parcanın kesici takıma gösterdiği mukavemet
Sistemin sınırına göre kuvvetler iç ve dış kuvvet olarak alınabilir.
Aktif Kuvvetler: Ağırlık, tahrik ve faydalı kuvvetler
Gibi belirlenmeleri için gerekli bütün elemanlar belli olan
Veya doğrudan doğruya verilen kuvvetler bu sınıfa aittir.
Bağ Kuvvetleri: Yalnızca harekete konan sınırlamaları
korumak için mevcut olan ve hareket sınırlnadırmalarına
bağlı olarak ortaya çıkar.
Makina Dinamiği
Kuvvetlerin Sınıflandırılması
1
B
f13
f12
2
3
A
f14
4
İç dış kuvvet ayırımı kuvvetlerin doğaları ile ilgilidir. Örneğin şekildeki 2
parçacığının uyguladığı f12 kuvveti A sistemi için bir iç kuvvet, B sistemi
için bir dış kuvvettir. 3 parçacığının 1 parçacığına uyguladığı f13 kuvveti
ise hem A ve hemde B sistemi için bir iç kuvvettir. Buna karşılık 4
parçacığının 1 parçacığına uyguladığı f14 kuvveti her iki sistem için de
bir dış kuvvettir.
KUVVETLERİN SINIFLANDIRILMASI
(iç kuvvet – dış kuvvet)
F1
A
F2
B
Makinanın gövdesi sisteme dahilse hareketli uzuvlarla gövde arasındaki bağlantıyı
oluşturan yataklardaki yatak kuvvetleri iç kuvvetlerdir.Yalnız hareketli uzuvlar
sisteme dahilse yani gövde sistemin dışında ise yatak kuvvetleri
dış kuvvetlerdir.
• Sistemlerin bazıları hareketlerini kısıtlayan engellerin bulunduğu ortamlarda hareket
etmek zorundadır. Ortamdaki engelin hareket eden cisme, olası bütün
hareketlere dik doğrultuda uyguladığı bir N temas kuvvetidir.
• Sistemin bağları zamana bağlı değilse, bağ kuvvetleri hareket doğrultusuna dik
olduğundan iş yapmazlar.
N
N
dr
N
dr
N
N
N
dr
Makina Dinamiği
Sürtünme Kuvvetleri
Birbirlerine temas eden cisimlerin bağıl olarak dengede bulunması
halinde denge sürtünmesinden aksi halde hareket sürtünmesinden
söz edilir.
Atalet Kuvvetleri
•
KÜTLESİ M OLAN BİR NOKTASAL KÜTLENİN İVMESİ a İSE , -ma
BÜYÜKLÜĞÜNE BU MADDESEL NOKTANIN ATALET KUVVETİ ADI
VERİLİR.
•
BİR MADDESEL SİSTEM SÖZ KONUSU OLUNCA, HER NOKTASAL
KÜTLEYE KENDİ KÜTLE VE İVMESİYLE ORANTILI BÜYÜKLÜKTE,
İVME İLE AYNI DOĞRULTUDA VE TERS YÖNDE OLMAK ÜZERE
TESİR
EDEN
KUVVETLERDEN
İBARET
BİR
ATALET
KUVVVETLERİ SİSTEMİ SÖZ KONUSUDUR.
Bir Makinanın Kuvvet Alanı
Kuvvetlerin Sınıflandırılması
Gerçek Kuvvetler-Kurgusal Kuvvetler:
•vb

•z
•Z
•m
•ab
•r
•y

•Hareketli eksen takımı
•a
•B
B
•Y
•Eylemsizlik eksen takımı
•x
•X
•O
55
Kuvvetlerin Sınıflandırılması
F  ma
a  aB    r      r   2  vb
F  m  aB    r      r   2  vb 
Fe  m  aB    r      r   2  vb 
•Eylemsizlik kuvveti
Fm  m    r 
•Merkezkaç kuvveti
Fc  2m  vb
•Coriolis kuvveti
RİJİT CİSİMLERDE KÜTLE
VE KÜTLE DAĞILIMI
Bir rijit cisim, V hacmi boyunca dağılmış olan dm kütle elemanlarının oluşturduğu bir
bütündür. Her hacim elemanında, elemanter kütlenin elemanter hacime oranına yoğunluk adı
verilir.
•
ρ= dm/dV
Yoğunluk cisim içerisinde noktadan noktaya değişebilir (ρ= ρ(x,y,z)). Bu durumda cismin
heterojen bir cisim olduğu söylenir. Özel olarak yoğunluğun cisim boyunca sabit olması
halinde ise homojen bir cisimden söz edilir aşağıdaki şekilde hesaplanan m skaleri rijit cismin
kütlesi adını alır. ro sabit olacağından entegral alındığında ;
m
dm
dv
V
RİJİT CİSİMLERDE KÜTLE VE KÜTLE
DAĞILIMI
•
x
dm, dv
dm, dv
m
dm
n
i 1
D
Cisim homojen ise m=ρV
dmi
dv
D
dm
dv
RİJİT CİSMİN KÜTLE
MERKEZİ
• Rijit cismin, yer vektörü ( entegraller cismin uzama
boyunca alınmak üzere )
• S=(∫r dm)/(∫dm) = 1/m ∫r dm
• Şeklinde tanımlanan S noktasına dijit cismin kütle
merkezi adı verilir. Bu vektörsel denklem yerine,
istenirse, kütle merkezinin koordinatlarını veren
• xs=(1/m) ∫x dm ; ys=(1/m) ∫y dm zs=(1/m )∫z dm
• skaler bağıntılarıma yazılabilir.
RİJİT CİSMİN KÜTLE
MERKEZİ
4
y
m=ρV
8
V= ( 4 x 12)+ (8 x 4) = 80
4
12
m = 80. 1 = 80 [m3 x kg/m3]=80 kg
x
6
xs=(1/80)( 6x48 + 6x32 )=6
Ys=(1/80)( 2x48 + 8x32 )=4,4
RİJİT CİSMİN KÜTLE
MERKEZİ
y
xs
dv
x
x
xs
dm , A
1
m
L
x dm
dm
L
.A.dx
2
x dx
0
2
xs
dV
0
A.dx
1
m
dm
.A L
.
m 2
.A x
( )
m 2
2
v L
.
L.m 2
L
0
L
2
RİJİT CİSMİN EYLEMSİZLİK
TANSÖRÜ
• Rijit cisimlerin kütle dağılımının kinetik bakımdan önem
taşıyan özelliklerine ilişkin bilgiler, eylemsizlik tansörü
adı verilen bir I tansörü ile ifade edilebilir. Bu matrisin
köşegenini oluşturan ifadelere eylemsizlik momenti
(atalet momenti) Iββ adı verilir. Köşegen dışı elemanlar
ise atalet çarpımı olarak adlandırılır ve tümü aşağıdaki
gibi hesaplanır.
•
RİJİT CİSMİN EYLEMSİZLİK
TANSÖRÜ
I xx
I
I yx
I xy
I yy
I xz
I yz
I zx
I zy
I zz
I xx
(y 2
z 2 )dm
I xy
I yx
xy dm
I yy
(x 2
z 2 )dm
I xz
I zx
xz dm
I zz
(x 2
y 2 )dm
I yz
I zy
yz dm
Kütle ve Atalet Elemanları
Bir cismin bir dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin
tanımı:
D
dm
r 2dm
J=
D
r
dönme ekseni
i
I
atalet yarıcapı
m
Problem: Orta noktasından mafsallı ve sabit kesitli bir
çubuğun kütlesel atalet momentinin bulunması
y
x
A
dx
L/2
L
x
ÇÖZÜM:
Elemanter hacim
dV=A dx
Elemanter kütle
dm=ρ dV
Kütlesel atalet momentinin tanımından
L
2
L
2
ρ A x 2 dx=ρ A
J=
-
L
2
J=ρ A
x
3
burada,
=
L
2
m
D
x 2 dx
-
L
3 2
r 2dm
J=
L
2
1
ρ A L3
12
AL
bulunur.
J
1
m L2
12
Problem: Bir ucundan mafsallı ve sabit kesitli bir çubuğun
kütlesel atalet momentinin bulunması
y
L
x 2 dm
I J
dm, dV, A
2
I
z
x
L
.dV
.A.dx
0
L
x
dm
x . .A.dx
0
m
3 L
x
.A.
3
o
L3
.A.
3
.V .A.L
m I J 1 mL2
3
Sabit kesitli homojen çubuğun uçnoktasından dönmesin den
kaynaklanan atalet momenti
Problem: Bir diskin dönme eksenine göre kütlesel atalet
momentinin bulunması.
dΦ
dr
r
dA
Ф
R
L
Çözüm:
dA=r.sin dθ.dr
Elemanter alan
Elemanter hacim
dV=L.dA=L. r. sin dθ.dr
Elemanter kütle
dm=ρ.dV=ρ.L.r.sin dθ.dr
sin d
dm=ρ.Lr.dθ.dr
d
2π R
r 2dm=
J=
D
m
0
.V
0
bulunur.
1
ρ.L.r 3 .dθ.dr= ρ.L.π.R 4
2
2
. .R .L
J
1
m.R 2
2
RİJİT CİSİMLERİN BİR EŞDEĞER MADDESEL
NOKTALAR SİSTEMİNE İNDİRGENMESİ
• Maddesel nokta(noktasal kütleler) : Mekanikte
her cisim zihnen maddesel noktalara ayrılabilir
yani noktasal kütlelerden meydana gelmiştir.
• Böyle
noktasal
kütlelerden
oluşan
topluluğa maddesel noktalar sistemi veya
kısaca maddesel sistem veya mekanik
sistem adı verilir.
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Rijit cismin eylemsizlik özelliklerini tanımlamak için kütlesi, kütle
merkezi ve eylemsizlik tensörünü vermek yeterlidir. Kütlesi, kütle
merkezi, eylemsizlik tensörü birbirinin aynı olan iki rijit cisim
dinamik bakımdan aynı özelliklere sahiptir. Makine dinamiği
problemlerinde bu özellikten yararlanarak bir rijit cismin yerine,
birbirine hayali bağlarla bağlı bir dizi maddesel noktanın oluşturduğu
bir sisteme geçilebilir. Buna rijit cismin bir eşdeğer maddesel noktalar
sistemine indirgenmesi denir.
Bu uygulama özellikle söz konusu maddesel noktaların arzu edilen
uygun yerlere yerleştirilebilmesi halinde yarar sağlar.
Rijit cismin bir eşdeğer maddesel
noktalar sistemine indirgenmesi
y
m1
m2
y
m6
m, Is
m3
s
x
m5
s
x
m4
z
GERÇEK SİSTEM
z
İNDİRGENMİŞ SİSTEM
Rijit cismin bir eşdeğer maddesel
noktalar sistemine indirgenmesi
Her cis min kütlesi bulunur.
n
mi
m
i 1
Her cis min ağırlık merkezi bulunur.
n
n
mi x
i
0,
i 1
n
mi y
0,
i
i 1
mi z
0 .
i
i 1
Her cis min kütlesel atalet momenti bulunur
n
mi (y
2
i
2
i
z )
n
s
x
I ,
i 1
2
i
z )
i 1
n
mi x i yi )
i 1
mi (x
2
i
Isxy
mi x i zi
i 1
m i (x i2
I ,
y i2 )
I sz
Isyz
0
i 1
n
0,
n
s
y
Isxz
n
0,
mi yi z i
i 1
Makina Dinamiği
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi
Şart denklemleri
n
n
n
n
 m  m;  m x  0;  m y  0;  m z  0;
i 1
i
i 1
i i
i 1
i i
i 1
i i
Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel
noktalara indirgenmesi
• Hareketli makine uzuvları çoğunlukla düzlem üzerinde hareket ettiği
için bu özel hali inceleyelim. Bir dijit cismin bütün noktalarının
yörüngeleri birbirine paralel düzlemler içinde kalacak şekilde
hareket ediyorsa bu cismin düzlemsel hareket yaptığı söylenir.
• Düzlemsel hareket yapan bir cisim düzlem içerisinde yer alacak bir
dizi maddesel noktaya aşağıdaki şekil ve formülasyonla
indirgenebilir.
Düzlemsel hareket yapan cisimlerin
maddesel noktalara indirgenmesi
y
y
m1
m, Is
m2
s
s
x
m4
x
m3
Düzlemsel hareket yapan cisimlerin
maddesel noktalara indirgenmesi
n
i 1
n
i 1
n
i 1
i
2
s
mi
mi x
m
i
mi (x i2
0,
n
i 1
yi2 )
mi y i
Isz
I(atalet momenti)
m(kütle)
0
mis2
Makina Dinamiği
Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel
noktalara indirgenmesi
örnek : iki noktaya indirgeme
y
B
A
MA
LA
s
XB
MB
x
Bilinmeyenler = xA, yA , mA ; xB , yB, mB
.N=2 adet noktaya indirgenecek
3 x n = 3 x 2 = 6 adet bilinmeyen vardır.
Bilinmeyenlerden herhangi ikisini biz
seçebiliriz. xA=-LA ; yA=0
Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara
indirgenmesi
örnek :
1 ) mA
mB
2 ) mALA
3 ) m A .0
m
mBx B
mB yB
4 )m A [( L A ) 2
0]
0
0
m B (x B2
y B2 )
mis2
•Yukarıdaki denklemler kullanılarak MA, MB, YB, ve XB aşağıdaki gibi
bulunur.
Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel
noktalara indirgenmesi
örnek :
yB
xB
mA
mB
0
is2
LA
LB
LB
LA
LB
LA
LA
LB
m
LB
m
L
m
LA
m
L
Hesaplanır. Buna göre düzlemsel hareket yapan bir dijit cismi, kütle merkezinden geçen bir
doğru üzerine her biri kütle merkezinin bir yanında kalacak şekilde yerleştirilecek iki
maddesel noktadan oluşan bir maddesel noktalar sistemine indirgenebileceği
anlaşılmaktadır. Bu indirgemede noktalardan birinin konumu keyfi seçilirse diğerinin
konumu ve indirgeme kütleleri yukarıdaki son iki formülle hesaplanabilir.
Makina Dinamiği
Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel
noktalara indirgenmesi
örnek : Üç noktaya indirgeme
y
s
A
MA
LA
ms
B
LB
MB
x
Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel
noktalara indirgenmesi
örnek : Üç noktaya indirgeme
İndirgeme noktaları A,B, ve cismin kütle merkezi
S olsun Problemin MA, XA,YA, MB,YB, XB , Ms,Ys, Xs,
şeklindeki bilinmeyenlerin
• s= 3 x 3 -4 = 5 tanesi keyfi olarak seçilebilir.
• İndirgeme noktalarından birinin S olarak
seçilmesiyle zaten xS=0, yS=0 şeklinde iki keyfi
seçim yapılmış durumdadır. Buna ek olarak
• xA=-LA , yA=0, xB=LB seçimlerini yapalım
Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel
noktalara indirgenmesi
örnek : Üç noktaya indirgeme
mA
mB
mA LA
mB yB
2
A A
m L
mS
m BL B
m
0
0
2
B
m B (L
2
B
y )
mi
2
s
Elde edilir. Bu denklemlerde bilinmeyenler olan YB, MA, MB,
Ms bilinmeyenleri çözülmesiyle ;
Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel
noktalara indirgenmesi
örnek : Üç noktaya indirgeme
yB
mA
mB
ms
0
i
2
s
L A (L A
i
LB )
2
s
L B (L A
is2
1
LA LB
LB )
m
m
2
s
i
m
LAL
2
s
i
m
L BL
Örnek Problem
B
r3
a3
r2
a2
r4
S3
A
S2
AO
S4
a4
Boa
Şekildeki üç çubuk mekanizmasında;
r2 =50 mm, r3 = 200 mm, r4=150 mm,
a2 =25 mm, a3 = 100 mm, a4=50 mm,
m2=0,1 kg , m3 = 0,5 kg , m4=0,3 kg ,
is2 = 20 mm; is3 = 80 mm; is4 = 50 mm;
Verildiğine göre mekanizmayı dinamik eşdeğer olarak S2, A, S3, B, S4
noktalarına yerleştirecek maddesel noktalara indirgeyiniz ?
Çözüm ;
mB(3)
ms3(3)
mA(3)
3 no.lu çubuk
mB(4)
ms4(4)
mA(2)
4 no.lu çubuk
ms2(2)
2 no.lu çubuk
mAo(2)
mBo(4)
Çözüm ;
2 no.lı uzvu ele alalım
m
2
Ao
m(2)
A
m
(2)
s2
2
s2
2
i
m2
a 2r2
20
25.50
2
is2
m2
(r2 a 2 )r2
m 2 (m
(2)
Ao
0,032kg
202
25.50
2
B
m )
0,032kg
0,1 2*0,0032
0,036kg
elde edilir. Benzer hesaplamaların 3,4 numaralı
uzuvlar içinde yapılırsa
3 no.lı uzvu ele alalım
m
3
A
m(3)
B
m
(3)
s3
2
s3
i
m3
a 3r3
2
80
100*200
is32
m3
(r3 a 3 )r3
m3 (m
(3)
A
0,16kg
802
200*100
3
B
m )
0,16kg
0,5 (0,160 ,0,160)
0,18
4 no.lı uzvu ele alalım
m
4
B
m
(4)
Bo
m
(4)
s4
2
s4
i
m4
a 4r4
i
2
50
*0,3 0,05kg
50*150
2
s4
2
(r4 a 4 )r4
m 4 (m
(4)
B
m4
50
*0,3 0,10kg
100*150
4
Bo
m )
0,3 (0,05 0,10)
0,15kg
İndirgenmiş hal
ms3(3)
mA(3)
mB(4)
3 no.lı çubuk
mA(2)
ms4(4)
4 no.lı çubuk
ms2(2)
2 no.lı çubuk
mAo(2)
ms 2
ms( 2)
2
0, 036 kg
mA
m (A2)
m (3)
A
ms3
(3)
m s3
0,180 kg
mB
m (3)
B
ms 4
ms( 4)
4
m (B4)
mBo(4)
0,192 kg
0, 210 kg
0,150 kg
Makina Dinamiği
Virtüel Yer Değiştirme
Bir mekanik sistemde, genelleştirilmiş koordinatların sonsuz küçük ve
sistemin tabi olduğu sınır şartlarının verilmiş bir t anındaki durumlarıyla
bağdaşmak kaydıyla keyfi değişimlerin sonucu ortaya çıkan yer
değiştirmelere virtüel yer değiştirme denir.
Buradaki virtüel terimi, sisteme etkiyen kuvvet ve kısıtların da değişime
uğrayabileceği bir dt zaman aralığında oluşacak gerçek sonsuz küçük yer
değiştirmelerle ayırımı vurgulamaktadır. (Virtüel yer değiştirmede kısıtlar
ilgilenilen t anındaki durumlarında donmuş kabul edilir.)
Virtüel Yer Değiştirme
f serbestlik dereceli ve reonomik bir sistem üzerindeki bir noktanın
yer vektörü;
r  r  q1 ,q 2 ,.....,q f ; t 
dir. Bu noktanın gerçek sonsuz küçük (diferansiyel) yer değiştirmesi;
r
r
dr  
dq j  dt
t
j1 q j
f
şeklindedir. Virtüel yer değiştirme tanımı gereği dt zaman aralığında
oluşacak değişimlerden etkilenmeyeceğinden,
•0
r
r
dr  
dq j  dt
t
j1 q j
f

r
r  
qj
j1 q j
f
101
Virtüel Yer Değiştirme
Buradan hemen anlaşılacağı gibi, reonomik sistemlerde gerçek yer
değiştirmelerle virtüel yer değiştirmeler her zaman bir birinden
farklıdır.
Öte yandan, f serbestlik dereceli skleronomik bir sistem göz önüne
alınırsa,
r  r  q1 ,q 2 ,.....,q f 
gerçek sonsuz küçük yer değiştirmeler bu kez aşağıdaki şekli alır.
r
dr  
dq j
j1 q j
f
102
Virtüel Yer Değiştirme
Virtüel yer değiştirme ise, reonomik sistemin virtüel yer değiştirmesi ile
aynıdır. Hemen görüleceği gibi iki ifade aynı görünümde olup
aralarındaki tek ayırım dqj lerden farklı olarak  q j lerin tanım gereği
keyfi oluşudur. Olası keyfi seçimlerden biri de  q j  dq j ; j=1,2,.....,f
seçilmesidir. Buna göre, skleronomik sistemlerde gerçek sonsuz küçük
yer değiştirme olası virtüel yer değiştirmelerden biridir.
103
Virtüel İş
Bir mekanik sisteme etkiyen bir kuvvetin sistemin bir virtüel yer
değiştirmesi sırasında yapacağı işe bu kuvvetin virtüel işi denir.
 W  F r
veya,
 W  Fx x  Fy y  Fz z
 f x

 f y

 f z

 W  Fx  
 q j   Fy  
 q j   Fz  
qj 
 j1 q

 j1 q

 j1 q

j
j
j






104
Bağ Kuvvetleri
N=Normal kuvvet
T=Teğetsel kuvvet
R=Bileşke kuvvet
105
Virtüel İşler İlkesi
•Bir mekanik sistemin dengede olmasının gerek ve yeter koşulu üzerine
etkiyen kuvvetlerin virtüel işleri toplamının, olası bütün virtüel yer
değiştirmelerde sıfır olasıdır.
 ri
•Fi
 W    Wi   Fi  ri 0
i
i
Virtüel İşler İlkesi
•Bir sisteme etkiyen kuvvetler verilen ve kısıt kuvvetleri şeklinde ikiye
ayrılır.
Fi  Fiv  Fik
•0
 W   Fiv  ri   Fik  ri 0
i
i
•İdeal kısıtlara sahip sistemlerde kısıt kuvvetlerinin yaptığı virtüel işler
toplamı sıfırdır.
 W   Fiv  ri  0
i
•İdeal kısıtlara sahip bir mekanik sistemin dengede olmasının gerek ve yeter
koşulu, üzerine etkiyen verilmiş kuvvetlerin virtüel işleri toplamı, olası
bütün virtüel yer değiştirmelerde sıfır olmasıdır.
Virtüel İşler İlkesi
•f serbestlik dereceli, q1, q2,………,qf genelleştirilmiş koordinatlara sahip
bir holonomik sistemde,
 f  ri

 W   Fi  
qj   0



q
i
j

1
j




 ri 
 W     Fi
 q j  0

q j 
j1  i
f
Qj
r
Q j   Fi i
q j
i

f
 W   Q j q j  0
j1
•Burada Qi, qi genelleştirilmiş koordinata ait genelleştirilmiş kuvvettir.
•İdeal kısıtlara sahip holonomik sistemlerde statik dengenin gerek ve yeter
koşulu
Qj  0 ;
j=1,2,.......,f
AC krank mili 20 N, Biyel CB 35 N
ağırlığındadır. Uzuvların ağırlıkları pistonu
sağa doğru itmektedir. 70 N bir F kuvveti
ile sistemi dengede tutmak istersek
oluşucak olan θ denge açısını bulunuz.
F kuvvetinin yeri, herbir uzvun ağırlık
merkezinin hareketi xB, yW1 ve yW2,
koordinatları ile belirlenmektedir.
B negatif x yönünde , δxB
xB = 0.5 cosθ + 0.5 cosθ = 1 cosθ
δxB = -sinθ δθ
yW1=0.25sinθ
δyW1 = 0.25 cosθ δθ
yW2=0.25sinθ, δyW2 = 0.25 cosθ δθ
Θ da bir artış (i.e. δθ) xB de
azalma, ve yW1 ve yW2 de
artış meydana getirir.
Denge durumu krank
saat
yönü tersi 11.11 derece denge
konumu oluşur.
δU = 0
-20 δyW1 - 35 δyW2 - F δxB = 0
20 (0.25) cosθ δθ + 35 (0.25) cosθ δθ
+ 70 (-sinθ δθ = 0
(13.75 cosθ - 70 sinθ) δθ = 0
θ = tan-1(13.75 / 70) = 11.11o
•Seçilen eksen takımının virtüel yer değiştirme ile aynı yönlü olması +, ters yönlü olması -,
kuvvetin virtüel yer değiştirme ile aynı yönlü alması +, zıt yönlü -
Örnek: Şekildeki mektup terazisinin gösterge taksimatının yapılması
için  sapma açısının tartılacak ağırlığa bağlı olarak hesaplayınız.
G1
•O’
•P
’
G2


•P
•y
•G1:Tartılacak ağırlık
OP=O’P’=a
•G2:Kefe ağırlığı
PP’=OO’
•G3:Karşı ağırlık
OQ=b
•
•x
•O
•Q
G3
Çözüm:
 W    Wi   Fi  ri  0
i
i
y P  a sin

y Q  b sin( + )

 y P  a cos 
 y Q  b cos( + ) 
 W  G1  y P  G 2  y P  G 3  y Q  0
 W  G1 a cos   G 2 a cos   G 3 b cos( + )   0
 W  (G1 +G 2 ) a cos   G 3 b cos( + )   0
 W   (G1 +G 2 ) a cos  G 3 b cos( + )    0


 W  (G1 +G 2 ) a cos  G 3 b cos( + )    0


0
Çözüm:
(G1 +G 2 ) a cos  G 3 b cos( + )  0
(G1 +G 2 ) a cos  G 3 b (cos cos  sin  sin )  0
(G1 +G 2 ) a cos G 3 b (cos cos  sin  sin )

0
cos
cos
(G1 +G 2 ) a +G 3 b (cos  sin  tg )  0
(G1 +G 2 ) a  G 3 b cos
tg 
G 3 b sin

Örnek: Şekildeki kaldırılabilir köprüyü dengede tutacak karşı ağırlığın
‘ye bağlı değişimini bulunuz.
•G

•h

•Q

•a
•b
Çözüm:
G sin 
Qsin 

•h
•Q

•a
•G
b 
a 
•b
Dr. Tamer Kepçeler
119
Çözüm:
 W    Wi   Fi  ri  0
i
i
 W  G sin b   Q sin a   0
 W   G sin b -Q sin a    0
  0

G sin b
Q
sin a
G sin b -Q sin a  0

sin =
b
Q( )=G
a 2  h 2  2ah cos 
ah
h sin
a 2  h 2  2ah cos 
Örnek: Eşit kütleli iki çubuk yatayda çekilen F kuvvetiyle dengede
tutulmaktadır. F kuvvetine bağlı denge konumlarını bulunuz.
•x
•O

•OS1=L, PS2=L
•S1
•OP=2L, PR=2L
•P
•G
•S2

•R
•F
•G
•y
Çözüm:
 W    Wi   Fi  ri  0
i
i
yS1  L cos

 yS  L sin 
yS2  2L cos  L cos

 yS  2L sin   L sin 
x R  2L sin  2L sin

 x R  2L cos   2L cos 
1
2
 W  G  yS  G  yS  R  x R  0
1
2
 W  G L sin   G  2L sin   L sin    F  2L cos   2L cos    0
 W   G L sin  2G L sin  2F L cos     G L sin  2F L cos    0




 W   G L sin  2G L sin  2F L cos     G L sin  2F L cos    0


0


0


2F
G L sin  2G L sin  2F L cos  0

tg =
3G
2F
G L sin  2F L cos  0

tg =
G
D’Alembert İlkesi
•F3
•m3
Fe3  m3r3
•Fi
•mi
•F2
•m2
•F1
•m1
Fei  mi ri
Fe2  m2 r2
Fe1  m1r1
D’Alembert İlkesi


i  Fi  mi ri   0


•Herhangi bir t anında i’inci noktaya
etkiyen dış kuvvet
•Dış kuvvetin etkisinde herhangi bir t
anında i’inci noktada oluşan atalet
kuvveti
•Virtüel işler ilkesi uygulanırsa,
F  m r   r  0
i
•Burada,
i i
i
i
Fi  F  F
v
i
•Verilmiş kuvvetler
k
i
•0
•İdeal kıstlara sahip sistemlerde, kısıt
kuvvetlerinin virtüel işleri toplamı sıfır olur
•Kısıt kuvvetler
D’Alembert İlkesi
F
v
i
i

 mi ri  ri  0
•İdeal kısıtlara sahip her mekanik sistem, üzerine etkiyen verilmiş
gerçek kuvvetlerle kurgusal eylemsizlik kuvvetlerinin virtüel işleri
toplamı, hareketin her t anında ve olası bütün yer değiştirmelerde sıfır
olacak biçimde hareket eder.
Lagrange Denklemleri
f serbestlik dereceli bir mekanik sistemin konumunun n>=f adet
q1,q2,…..,qn genelleştirilmiş koordinatıyla tanımlanmış olsun. Bu
durumda sistemin herhangi bir i’inci noktasının yer vektörü bu n adet
genelleştirilmiş koordinatla, reonomik sistemler halinde t zamanının
fonksiyonu olarak ifade edilebilir.
ri  ri  q1 ,q 2 ,.....,q n ; t 
•1
Buna göre bu noktanın virtüel yer yerdeğiştirmesi aşağıdaki şekilde
yazılabilir.
ri
 ri  
qj
j1 q j
n
•2
Lagrange Denklemleri
2 nolu ifade, ideal kısıtlara sahip sistemlerin hareketlerini yönettiği
bilinen D’Alembert denkleminde yerine konulursa,

i
 n ri
 n 
ri 
F  mi ri  
 q j      F  mi r
 q j  0
 j1 q
 j1  i
q j 
j






•3
Burada, 4 numaralı genelleştirilmiş kuvvet ifadesi 3 nolu ifadede yerine
konursa,
Q j   Fi
i
 ri
q j
•4
Lagrange Denklemleri


n 

 ri  
Q j    mi ri
 qj  0


 i


q
j1 
j




•5
3 nolu ifade yukarıdaki şekilde elde edilir. Burada parantez içindeki i
toplamlı ifade, T sistemin toplam kinetik enerjisini göstermek üzere
aşağıdaki biçimde yazılabilirse,
ri
d  T  T
i mi ri q  dt  q   q
j
j
 j
•6
Lagrange Denklemleri
Bu amaçla,
yazılırsa, buradan
1
T   mi ri 2
2 i
•7
T
r
  mi ri
q j
q j
i
•8
1 nolu denklemi t’ye göre türetirsek,
ri
ri
ri  
qj 
t
j1 q j
n
•9
Lagrange Denklemleri
9 nolu ifadeden kısmi türev alırsak,
 ri
 ri

q j q j
•10
10 nolu ifade 8 nolu ifadede yerine konulursa,
ri
T
  mi ri
q j
q j
i
•11
bulunur. Buradan zaman göre türev alırsak,
ri
d  T 
d  ri 
  mi ri 

   mi ri


dt  q j  i
q j i
dt  q j 
•12
Lagrange Denklemleri
•12 nolu ifadenin son terimi için,
 2 ri
 2 ri
ri
ri  ri
d  ri 
 
qk 

qk   

  

dt  q j  k q jq k
q jt q j  k q k
t  q j
•13
•yazılarak,
ri
ri
d  T 
  mi ri

   mi ri
dt  q j  i
q j i
q j
•14
•elde edilir. Burada 7 nolu ifadeden,
ri
T
  mi ri
q j
q j
i
•olduğuna dikkat edilirse, 6 nolu eşitlik kanıtlanmış olur.
•15
Lagrange Denklemleri
Sonuçta 6 nolu ifade 5 nolu ifadede yerine konularak,


 d  T  T

 Qj   q j  0
 
 

q j
j1  dt  q j 



n
elde edilir.
•Potansiyel Enerji İfadesi
•Sönüm Teriminin Olması Durumu
•16
Genelleştirilmiş Kuvvet
•Fiziksel anlam olarak genelleştirilmiş kuvvet, konumu q esas genelleştirilmiş
koordinatı ile tanımlanan uzva uygulandığında makinaya etkiyen bütün
kuvvetlerin toplam etkisine denk etki yaratacak kuvveti temsil etmektedir. Bu
anlamda bazen Q ya q koordinatının indirgenmiş eşdeğer kuvveti de denir.
7.Tek Serbestlik Dereceli
Düzlemsel Makinaların
Statik Dengesi
Düzlemsel Hareket Yapan Berkil Cisme Etkiyen Kuvvetler
Sisteminin Virtüel İşler Toplamı
Düzlemsel Hareket Yapan Berkil Cisme Etkiyen Kuvvetler
Sisteminin Virtüel İşler Toplamı
•Bir sisteme etkiyen kuvvetlerin toplam virtüel işi için aşağıdaki toplam
yazılabilir.
 W   Fj rA
j
•Burada,
j
rA j  rP  rj  drA j  drP  drj  drA j  drP  d k  rj


 rA   rP  k  r 
j
•Bu ifade yukarıda yerine konulursa,




 W    Fj   rA    rj  Fj  k
 j 
 j

Düzlemsel Hareket Yapan Berkil Cisme Etkiyen Kuvvetler
Sisteminin Virtüel İşler Toplamı
•ifadesi elde edilir. Burada, ilk terim toplam kuvvetler sisteminin F kuvvet
bileşkesi, ikinci terim ise, P noktasından geçen k’ya karşıt eksene göre toplam
M momentidir.
F   Fj ,
M P  M P k   rj  Fj
j
j
•Cisme etkiyen kuvvetler sisteminin virtüel işler toplamı aşağıdaki biçimde
yazılabilir.
 W  F rP  M   Fx x P  Fy yP  M 
P
P
Makinelerin Dengesi
•Berkil uzuvlara ve ideal kısıtlara sahip düzlemsel bir makinanın denge koşulu
virtüel işler ilkesi yardımıyla yazılmak istenirse,makinaya ait i adet her bir
hareketli uzvun üzerine etkiyen (kısıt kuvvetleri hariç) kuvvetlerin yapmış
olduğu virtüel işler toplamı aşağıdaki biçimde yazılabilir.
 W    Wi   F rP  MiPi  0
i
i
i
•Makinanın tek serbestlik dereceli ve holonomik olması durumunda, konum
tek bir q esas genelleştirilmiş koordinatıyla ifade edilebilir. Bu durumda,
•yazılırsa,
 rP  gP  q   q,
i
i
i  g  q   q
Makinelerin Dengesi
•Makinaya ait virtüel işler toplamı aşağıdaki biçimde yazılabilir.
P


Fg
q

M
  i Pi   i g  q   0
i
•skleronomik makinalar aşağıdaki eşitlikleri,
gPi 
v Pi
q
,
g 
i
q
•sağladıkları anımsanırsa, denklem son şeklini aşağıdaki gibi alır.
P


 Fv
i Pi  q   Mi i  q    0
i
Makinelerin Dengesi
•F uzuva etki eden kuvvetin şiddetini ve e yönünü göstermek üzere aşağıdaki
biçimde yazılabilir.
F  Fe
•burada,
e  e q 
rP  rQ
rP  rQ

x  x  i  y  y  j
x  x   y  y 
P
Q
P
Q
2
P
Q
2
P
Q
Genelleştirilmiş Kuvvet
•f serbestlik dereceli holonomik sistemlerde statik dengenin gerek ve yeter
koşulunun Qj j inci genelleştirilmiş koordinata ilişkin genelleştirilmiş kuvveti
göstermek üzere Qj=0 j=1,2,…,f olduğu bilinmektedir. Bu durumda, tek
serbestlik dereceli holonomik makinalarda statik denge denklemi q esas ya
genelleştirilmiş koordinatlar cinsinden aşağıdaki biçimde
P



Q  q    Fg
q

M
i Pi  
i g  q  
i
•da, skloronomik makinalarda,
•yazılabilir.
P

Q  q    Fv
q

M
i Pi  
i i  q  
i
Örnek Problem:
•Şekildeki yükleme mekanizmasının boyutları a=0,585 m, b=1,269 m, l=3 m
olarak verilmiştir. W yükünü dengede tutabilmek için QP hidrolik silindirinin
uygulaması gereken F kuvvetini ve makinanın kazancını 
açısının
fonksiyonu olarak elde ediniz.
      70 , -20    80
Çözüm:
•İlk önce kuvvet etkiyen noktaların (C, P, Q) konumu ve hızını bulalım.
x C  L cos 
y C  L sin 
x P  b cos    
y P  b sin    
x Q  a cos 
y Q  a sin 
dx C
 x C  L sin 
dt
dy C
 y C  L cos 
dt
dx P
 x P  b sin    
dt
dy P
 y P  b cos    
dt
dx Q
 xQ  0
dt
dy Q
 yQ  0
dt
Çözüm:
•F doğrultusundaki e birim vektörü hesaplayalım,
e  e q 
rP  rQ
rP  rQ

x  x  i  y  y  j
x  x   y  y 
P
Q
P
Q
2
P
Q
2
P
Q
•gerekli değerleri yerine koyup işlem yapılırsa,
b cos      a cos   i   bsin      a sin   j

e
a 2  b 2  2ab cos    
•şeklinde hesaplanır. P ve C noktalarının hızları ise,
VP  x P i  yP j  b sin     i  b cos     j
VC  x C i  yC j  L sin  i  L cos  j
Çözüm:
•şeklinde belirlenir. Burada W   Wj
dir. Denge denkleminde yukarıdaki
ifadeler yerine konulup gerekli işlemler yapıldığında aşağıdaki ifade elde edilir.
Fe VP  W VC  0
L
F   
ab
•Mekanik kazank ise,
a 2  b 2  2ab cos    
sin    
cos  W
sin    
W ab
1
   

F
L a 2  b2  2ab cos     cos 
•şeklinde hesaplanır.
8.Tek Serbestlik Dereceli
Düzlemsel Makinaların
Hareket Denklemi
Download
Random flashcards
qweeqwqwe

5 Cards oauth2_google_78146396-8b44-4532-a806-7e25cc078908

En Mimar Architecture LTD ŞTİ XD

2 Cards asilyasar069

KIRIHAN GÜMÜŞ DEDEKTÖR

6 Cards oauth2_google_49cd8e53-7096-4be6-ba73-4ff7e4195b4b

KALPTE İLETİM NOKTALARI

3 Cards oauth2_google_cfd2531f-f18a-45fd-9d97-afe31596ce7b

Create flashcards