Makina Dinamiği Doç. Dr. Cihan Demir Makina Dinamiği A-Blok 509 Makina Dinamiği Dersin İçeriği : Makinaların dinamiğinde temel kavramlar, Kinematik ve dinamik problemlerin tanımı, Mekanik sistemlerin matematik modeli, Makinalarda kuvvet analizi, Güç dengelenmesi (volan), Rotorlarda kütle denegelenmesi, Peryodik çevrimli mekanizmaların kütle dengelenmesi (Krank-Biyel mekanizmaları), Tek serbestlik dereceli sistemlerin sönümsüz, sönümlü ve zorlanmış titreşimleri Dersin Amacı : Makinaları dinamik açıdan incelemek için gerekli bilgileri öğretmek, Dersin Kazandıracağı Bilgi ve Beceriler: Makina dinamiği problemlerini tanıma, analiz ve çözüm yapabilme becerisi Makina Dinamiği • • • • Rao Singiresun S.,Mechanical Vibrations , Prentice Hall,ISBN: 0130489875 Fuat Pasin, Makina Dinamiği, Seç Kitap Dağıtım. Fuat Pasin, Mekanik Sistemler Dinamiği, İTÜ. Kinematics, Dynamics and Design of Machinery K.J. Waldron and G.L. Kinzel,John Wiley & Sons 2004. Makina Dinamiği 1 BÖLÜM GİRİŞ Makina Dinamiği Verilen kuvvetler etkisi altında makina uzuvlarının hareketlerinin incelenmesi veya hareketin önceden belirlenen bir tarzda gerçekleşmesi için gerekli şartların bulunmasıdır. Makina Dinamiği Makine: Kendi mekanik kuvvetleri vasıtasıyla tahrik edilebilecek ve belirli hareketlerle belirli tesirleri ortaya koyması tarzında düzenlenmiş mukavim cisimler topluluğudur. Mekanizma: hareket ve kuvvet iletmek veya dönüştürmek veya mukavim cisme ait bir noktanın belirli bir yörünge üzerinde hareket etmesini sağlamak amacıyla birbirlerine mafsallanmış uzuvlardan oluşan mekanik düzenlerdir. En az bir uzvu mekanik olarak tahrik edilebilen bir mekanizma ise makinadır Giriş Pg •Mekanizma •Enerji Pç • İş (Enerji) •Giren enerji=Çıkan enerji + Kayıp enerji Pç Pg 1 7 Giriş Enerji Güç Zaman Enerji W Nm joul P Watt t s s ts W P dt tb Güç M F V P= U I p Q 8 Makina Dinamiği Kapalı Kinematik Zincir Bir uzvun tespit edilmesi Mekanizma F tane uzvun tahriki Yönlendirilmiş Mekanizma Belli bir iş için kullanılması Makina Makina Dinamiği Şekil 1. Genel amaçlı kullanılan mekanizmalara örnekler Mekanizmalar daha çok düzlemsel mekanizmalardan meydana gelir. Hacimsel mekanizmalara çok az rastlanır. Düzlemsel mekanizma denilince derinliği olmayan veya derinliği az olan mekanizmalar anlaşılmamalıdır. Bir mekanziamanın çeşitli uzuvlarına ait tüm noktaların yörüngeleri bir ve aynı düzleme paralel ise böyle mekanizmalara düzlemsel mekanizma denir. Makina Dinamiği Mekanizma denilince akla katı oldukları varsayılan uzuvlar, uzuvları birbirlerine göre izafi hareket yapabilecek ve devamlı temasta kalacak tarzda bağlayan mafsallar ve diğer organlar akla gelir. Herhangi bir mekanizmada birisi sabit uzuv olmak üzere en az üç uzuv bulunur. MAFSALLAR Mekanizma uzuvlarının hareketli bağlantı yerlerine genel olarak mafsal adı verilir.Birbirlerine bağlı parçaların yalnızca izafi hareket yapmalarını sağlamaktır. Kinematik Zincir Eleman çiftleri vasıtasıyla karşılıklı hareket imkanları sınırlandırılmış katı cisimlerden ibaret uzuvların hareketli topluluğuna kinematik zincir denir.. Makina: Tek başına belli bir işi gören mekanizma veya mekanizmalar gurubuna denir Makina Dinamiği Serbestlik Derecesi Herhangi bir cismin hareketi dönme ve öteleme elemanter hareketlerinin birleşimi tarzındadır. Üç boyutlu uzayda bir cismin yapabileceği elemanter hareketlerinin sayısı o cismin serbestlik derecesi olarak tanımlanır. Kinematik Zincirin Serbestlik Derecesi: Uzuvlardan birine göre diğer uzuvlarının konumlarının tamamen belirli bir şekilde elde edilebilmesi için verilmesi gereken birbirinden bağımsız parametre sayısıdır. F 3(n 1) 2e1 e2 Makina Dinamiği a) Açık zincir b) Kapalı zincir Mekanizma Zincirleri Cihan DEMİR Makina Dinamiği Mafsal noktaları (Düğüm noktaları) Değişik mertebeden uzuvlar Cihan DEMİR Makina Dinamiği Birinci Mertebeden Döner Mafsallı Çok Katlı Mafsal İkinci mertebeden Cihan DEMİR Makina Dinamiği Basit döner mafsal(R) Kapalı Şekil Kızak(P) Kapalı Şekil Cihan DEMİR Makina Dinamiği 1 DOF Döner Mafsal Silindirik Bağlantı Kayar Yuvarlanmalı 2 DOF Prizmatik Bağlantı (Kayar Mafsal) Küresel Mafsal 3 DOF Helisel Bağlantı (Vida Mafsalı) Düzlemsel Bağlantı Makina Dinamiği Şekil 2 Rijit gövdeli bir cisim düzlemde üç serbestlik derecesine sahiptir Makina Dinamiği Cihan DEMİR Makina Dinamiği Cihan DEMİR Makina Dinamiği Makina Dinamiği Makina Dinamiği Makina Dinamiği Ödev: Aşağıdaki mekanizmanın serbestlik derecesini bulunuz. Ödev: Aşağıdaki mekanizmanın serbestlik derecesini bulunuz. Makina Dinamiği Makinaların ve mekanizmaların büyük çoğunluğunda aktif kuvvetlerden ve atalet kuvvetlerinden dolayı uzuvlarda doğan ve makinanın ana hareketine eklenen şekil değişimleri çok küçüktür. Şekil değişimleri küçük sınırlar içinde kalan katı cisimler için rijit kabulu yapılır. Bu şekil değişimleri zaman içinde genel olarak titreşim olarak ortaya çıkar Makina Dinamiği Mekanik, hareket olaylarını inceleyen bilim dalıdır. Statik ve Dinamik olarak ele alınmaktadır. Mekanizmalarda dinamik durum Makine Mühendisliği’nin temel konuları arasındadır. Dinamik konuları, kinetik ve kinematik olarak incelenmektedir. Kinetik, cismin kütlesi göz önüne alınarak cisme tesir eden kuvvetler , momentler ve meydana gelen hareket hareket arasındaki bağıntıları inceler. Kinematik, kinematiği kuran ve ona bu adı veren Amper’e göre, hareketi doğuran sebepleri, kuvvetleri veya momentleri, kütleleri gözönüne almaksızın yalnız hareketin incelenmesidir. Hareket eden maddesel noktaların veya katı cisimlerin geometrik özelliklerinin değişme tarzını inceleyen bilim dalıdır. Makina Dinamiği Kinematikde belirlenmesi gerekenler, her an noktanın veya katı cismin yeri(yörüngesi) hız ve ivmesidir. Mekanizma, bir fonksiyonu yerine getiren eleman çiftlerinin meydana getirdiği katı cisimler zinciridir. Makine, en az bir mekanizmadan oluşan katı cisimler zinciridir. Mekanizmaların kinematik analizlerinde, çoğunlukla uzuvların (elemanların) hareketleri bazı bilgilerle verildikten sonra her an geometrik yer üzerinde hızların ve ivmelerin bulunması istenmektedir. Makina Dinamiği Dinamik Analiz Makina uzuvlarının kütle dağılımı, bir andaki konum ve hız durumu önceden verilmiştir. Bilinen aktif kuvvetleri doğuracağı ivme durumu aranmaktadır. Dinamik Sentez Konum, hız durumu, kütle dağılımı ve aktif kuvvetlerden başka bir de mekanizma için belirli bir ivme durumu önceden verilmiştir. Verilen ön şartlara uygun mekanizmaların yapımı işini üstlenmiştir. Makina Dinamiği 1) Mekanizmaların harekete başlaması (Makinanın kalkışı) ve duruşu ile ilgili isteklere göre tamamen belirli dinamik etkilerin elde edilmesi.(Herhangi bir mafsaldaki Kuvvet kapalılığı) 2) Uygun tedbirlerle, bir volan veya daha başka enerji depolayıcı elemanlar vasıtasıyla makinanın içindeki enerji akımına öyle tesir edilmelidir ki, tahrik ve çevrimlerde görülen hız değişimleri mümkün mertebe azalsın. Buna Güç Dengelenmesi denmektedir. 3)Makinanın (mekanizmaların) hareketli uzuvlarının yerleşim değeri öyle olmalıdır ki, makinanın çalışması esnasında temele veya makina gövdesine iletilen kuvvetlerin ve momentlerin zararlı etkileri azaltılabilsin. Buna Kütle Dengelenmesi (balans) denilmektedir. Makina Dinamiği Kinetostatik: Bir makinanın mafsal kuvvetlerinin ve hareketli uzuvlarının herhangi bir kesitindeki iç gerilmelerin belirlenmesi problemi ile uğraşır. Bu da mukavemet hesapları açısından önem taşımaktadır. Makina Dinamiği 1.1 BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR Makina Dinamiği Makine: Kendi mekanik kuvvetleri vasıtasıyla tahrik edilebilecek ve belirli hareketlerle belirli tesirleri ortaya koyması tarzda düzenlenmiş mukavim cisimler topluluğudur. Maddesel nokta(noktasal kütleler) : Mekanikte her cisim zihnen Maddesel noktalara ayrılabilir yani noktasal kütlelerden meydana Gelmiştir. Maddesel Sistem: Noktasal kütlelerden oluşan topluluğa maddesel sistem ya da mekanik sistem denir. Makina dinamiği bir maddesel sistemin hareketi problemine girer Makina Dinamiği Genelleştirilmiş Koordinatlar (Konum Koordinatları): Maddesel sisteme ait maddesel noktalar birbirinden bağımsız hareket edebilen serbest noktalar olmayıp karşılıklı hareketleri sınırlandırılmış noktalardır. Sistemin konumuyla ilgili daha az sayıdaki parametre ile belirlenebilir. Bu parametrelere Genelleştirilmiş Koordinatlar (Konum Koordinatları) denir. Makina Dinamiği Serbestlik Derecesi: Bir maddesel sistemin konumunu tamamen belirlemek için verilmesi gereken birbirinden bağımsız genelleştirilmiş koordinat sayısına serbestlik derecesi denir. Esas Genelleştirilmiş Koordinatlar: Birbirinden bağımsız bu sebeple serbestlik derecesine eşit koordinat denir. Tali Genelleştirilmiş Koordinat: Çoğu durumda maddesel noktaların fiziksel koordinatlarının hesabında serbestlik derecesinden daha fazla sayıda genelleştirilmiş koordinat seçmek hesap kolaylığı sağlar. Bu durumda G.K. Arasındaki bağıntıyı veren denklemleride göz önüne almak gerekir. S.D. den fazla olan koordina sayısına tali koordinat sayısı denir. Makina Dinamiği (X1-X2)2+ (Y1 –Y2)2 + (Z1 –Z2 )2=L2 Makina Dinamiği n4 eI eII F • rp= xi + y j yer vektörü , • x= R cos φ + (L-Lp) cosΨ • y=e + Lp sinΨ • R sinφ + LsinΨ – e = 0 Makina Dinamiği Oxy, xA , xB , xC , y A , yB , yC kartezyen koordinatları n4 y B u AB l2 eI 3 C 2 A eII 0 F 3 l1 O xC l1 cos 1 u cos 2 yC l1 sin 1 u sin 2 1 x x A2 y A2 l12 xB x A y B y A 2 xC x A xB x A yC y A yB y A 2 l22 Makina Dinamiği Sistemdeki Bağlar ve Bağların Sınıflandırılması Genellikle her maddesel sistemde, sistemin noktasal kütleleri arasında ve sistem noktaları ile mukayese sistemi arasında sistemin hareket serbestliğini sınırlayan bağlar mevcuttur. İki Taraflı Bağlar: Sistem noktalarının herhangi bir hareketini önlediği takdirde, aynı zamanda bu hareketin doğrudan doğruya zıddını önlüyorsa böyle bağlara iki taraflı bağlar denir. Makina Dinamiği Bir hareketi önlemesine rağmen bunun doğrudan doğruya zıddı harekete müsade bağlara ise tek taraflı bağlar denir. ÇİFT TARAFLI BAĞ TEK TARAFLI BAĞ Makina Dinamiği Sistemin hareket serbestliğini sınırlayan bağlar zamana bağlı ve Zamana bağlı olmayan bağlar olmak üzere iki kısma ayrılır: •Asılma noktası verilen u=u(t) fonksiyonuna göre hareket eden basit bir sarkaç •Hareketli eksen takımı Xr ve Yr yi GK olarak seçelim xr 2 yr 2 l 2 •OXY eksen takımını seçelim x xr u (t ) y yr G.K . açıkca t yebaglıdır •O etrafında 𝑎 𝑡 𝑎ç𝚤𝑠𝚤𝑦𝑙𝑎 𝑑ö𝑛𝑒𝑛 𝑏𝑖𝑟 ç𝑢𝑏𝑢𝑘 •ü𝑧𝑒𝑟𝑖𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑦𝑎𝑛 𝑚 kütlesi •M O ya uzaklığı q G.K. x q cos (t ) y q sin (t ) •x ve y G.K. y tn (t ) bag denklemi x Makina Dinamiği n serbestlik dereceli bir sistemin konumunu n+v tane genelleştirilmiş koordinat ile belirlenmiş olsun.Kartezyen koordinatlar genelleştirilmiş koordinatlar ve t zamanına bağlı olur. n ri xi i yi j zi k Yer vektörü gözönüne alınırsa ri ri (q1 , q2 ,....., qn , t ) Makina Dinamiği fl (q1 , q2 ,........., qn , t ) 0, l 1, 2,........., Genelleştirilmiş koordinatlar arasında v tane bağ şartı varsa Bu sistemin bağları holonomdur. Bağ şartlarının içinde genelleştirilmiş koordinatların türevleri Varsa ve integrasyonla dahi kaldırılamıyorsa böyle sistemlerde Holonom olmayan bağlar mevcuttur ve holonom olmayan sistemler denir. Tali koordinatlar esas genelleştirilmiş koordinatlar ve t cinsinden Çözülür ve yerine konulursa; ri ri (q1 , q2 ,....., qn , t ) Makina Dinamiği Kartezyen koordinatları, yer vektörleri ve de bağ şartları zamanı Açık olarak içermiyorsa sistemin bağları zamana bağlı değildir. Bu sistemlere Skleronom denir ri ri (q1 , q2 ,....., qn ) Kartezyen koordinatları, yer vektörleri ve de bağ şartları zamanı açık olarak içeriyorsa sistemin bağları zamana bağlıdır. Bu sistemlere rheonom denir Makina Dinamiği •Merkez yer değiştirmesi x ve φ koordinatları seçilsin •Kayma olmaması için silindirin düzleme dokunduğu P noktasının hızının sıfır olması gerekmektedir. . . . . . f ( x, ) x r 0 df 0; x r c 0 . dq Makina Dinamiği Makina Dinamiği Kuvvetlerin Sınıflandırılması İç Kuvvetler: Sistemin kendisinden yani sisteme ait Maddesel noktalar arasındaki karşılıklı etkileşimden Doğar. Elastik kuvvetler, Bağ kuvvetleri. Dış Kuvvetler: Sisteme dışında bulunan noktalardan veya Sistemlerden uygulanan kuvvete denir. Ağırlık kuvveti, takım tezgahında parcanın kesici takıma gösterdiği mukavemet Sistemin sınırına göre kuvvetler iç ve dış kuvvet olarak alınabilir. Aktif Kuvvetler: Ağırlık, tahrik ve faydalı kuvvetler Gibi belirlenmeleri için gerekli bütün elemanlar belli olan Veya doğrudan doğruya verilen kuvvetler bu sınıfa aittir. Bağ Kuvvetleri: Yalnızca harekete konan sınırlamaları korumak için mevcut olan ve hareket sınırlnadırmalarına bağlı olarak ortaya çıkar. Makina Dinamiği Kuvvetlerin Sınıflandırılması 1 B f13 f12 2 3 A f14 4 İç dış kuvvet ayırımı kuvvetlerin doğaları ile ilgilidir. Örneğin şekildeki 2 parçacığının uyguladığı f12 kuvveti A sistemi için bir iç kuvvet, B sistemi için bir dış kuvvettir. 3 parçacığının 1 parçacığına uyguladığı f13 kuvveti ise hem A ve hemde B sistemi için bir iç kuvvettir. Buna karşılık 4 parçacığının 1 parçacığına uyguladığı f14 kuvveti her iki sistem için de bir dış kuvvettir. KUVVETLERİN SINIFLANDIRILMASI (iç kuvvet – dış kuvvet) F1 A F2 B Makinanın gövdesi sisteme dahilse hareketli uzuvlarla gövde arasındaki bağlantıyı oluşturan yataklardaki yatak kuvvetleri iç kuvvetlerdir.Yalnız hareketli uzuvlar sisteme dahilse yani gövde sistemin dışında ise yatak kuvvetleri dış kuvvetlerdir. • Sistemlerin bazıları hareketlerini kısıtlayan engellerin bulunduğu ortamlarda hareket etmek zorundadır. Ortamdaki engelin hareket eden cisme, olası bütün hareketlere dik doğrultuda uyguladığı bir N temas kuvvetidir. • Sistemin bağları zamana bağlı değilse, bağ kuvvetleri hareket doğrultusuna dik olduğundan iş yapmazlar. N N dr N dr N N N dr Makina Dinamiği Sürtünme Kuvvetleri Birbirlerine temas eden cisimlerin bağıl olarak dengede bulunması halinde denge sürtünmesinden aksi halde hareket sürtünmesinden söz edilir. Atalet Kuvvetleri • KÜTLESİ M OLAN BİR NOKTASAL KÜTLENİN İVMESİ a İSE , -ma BÜYÜKLÜĞÜNE BU MADDESEL NOKTANIN ATALET KUVVETİ ADI VERİLİR. • BİR MADDESEL SİSTEM SÖZ KONUSU OLUNCA, HER NOKTASAL KÜTLEYE KENDİ KÜTLE VE İVMESİYLE ORANTILI BÜYÜKLÜKTE, İVME İLE AYNI DOĞRULTUDA VE TERS YÖNDE OLMAK ÜZERE TESİR EDEN KUVVETLERDEN İBARET BİR ATALET KUVVVETLERİ SİSTEMİ SÖZ KONUSUDUR. Bir Makinanın Kuvvet Alanı Kuvvetlerin Sınıflandırılması Gerçek Kuvvetler-Kurgusal Kuvvetler: •vb •z •Z •m •ab •r •y •Hareketli eksen takımı •a •B B •Y •Eylemsizlik eksen takımı •x •X •O 55 Kuvvetlerin Sınıflandırılması F ma a aB r r 2 vb F m aB r r 2 vb Fe m aB r r 2 vb •Eylemsizlik kuvveti Fm m r •Merkezkaç kuvveti Fc 2m vb •Coriolis kuvveti RİJİT CİSİMLERDE KÜTLE VE KÜTLE DAĞILIMI Bir rijit cisim, V hacmi boyunca dağılmış olan dm kütle elemanlarının oluşturduğu bir bütündür. Her hacim elemanında, elemanter kütlenin elemanter hacime oranına yoğunluk adı verilir. • ρ= dm/dV Yoğunluk cisim içerisinde noktadan noktaya değişebilir (ρ= ρ(x,y,z)). Bu durumda cismin heterojen bir cisim olduğu söylenir. Özel olarak yoğunluğun cisim boyunca sabit olması halinde ise homojen bir cisimden söz edilir aşağıdaki şekilde hesaplanan m skaleri rijit cismin kütlesi adını alır. ro sabit olacağından entegral alındığında ; m dm dv V RİJİT CİSİMLERDE KÜTLE VE KÜTLE DAĞILIMI • x dm, dv dm, dv m dm n i 1 D Cisim homojen ise m=ρV dmi dv D dm dv RİJİT CİSMİN KÜTLE MERKEZİ • Rijit cismin, yer vektörü ( entegraller cismin uzama boyunca alınmak üzere ) • S=(∫r dm)/(∫dm) = 1/m ∫r dm • Şeklinde tanımlanan S noktasına dijit cismin kütle merkezi adı verilir. Bu vektörsel denklem yerine, istenirse, kütle merkezinin koordinatlarını veren • xs=(1/m) ∫x dm ; ys=(1/m) ∫y dm zs=(1/m )∫z dm • skaler bağıntılarıma yazılabilir. RİJİT CİSMİN KÜTLE MERKEZİ 4 y m=ρV 8 V= ( 4 x 12)+ (8 x 4) = 80 4 12 m = 80. 1 = 80 [m3 x kg/m3]=80 kg x 6 xs=(1/80)( 6x48 + 6x32 )=6 Ys=(1/80)( 2x48 + 8x32 )=4,4 RİJİT CİSMİN KÜTLE MERKEZİ y xs dv x x xs dm , A 1 m L x dm dm L .A.dx 2 x dx 0 2 xs dV 0 A.dx 1 m dm .A L . m 2 .A x ( ) m 2 2 v L . L.m 2 L 0 L 2 RİJİT CİSMİN EYLEMSİZLİK TANSÖRÜ • Rijit cisimlerin kütle dağılımının kinetik bakımdan önem taşıyan özelliklerine ilişkin bilgiler, eylemsizlik tansörü adı verilen bir I tansörü ile ifade edilebilir. Bu matrisin köşegenini oluşturan ifadelere eylemsizlik momenti (atalet momenti) Iββ adı verilir. Köşegen dışı elemanlar ise atalet çarpımı olarak adlandırılır ve tümü aşağıdaki gibi hesaplanır. • RİJİT CİSMİN EYLEMSİZLİK TANSÖRÜ I xx I I yx I xy I yy I xz I yz I zx I zy I zz I xx (y 2 z 2 )dm I xy I yx xy dm I yy (x 2 z 2 )dm I xz I zx xz dm I zz (x 2 y 2 )dm I yz I zy yz dm Kütle ve Atalet Elemanları Bir cismin bir dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin tanımı: D dm r 2dm J= D r dönme ekseni i I atalet yarıcapı m Problem: Orta noktasından mafsallı ve sabit kesitli bir çubuğun kütlesel atalet momentinin bulunması y x A dx L/2 L x ÇÖZÜM: Elemanter hacim dV=A dx Elemanter kütle dm=ρ dV Kütlesel atalet momentinin tanımından L 2 L 2 ρ A x 2 dx=ρ A J= - L 2 J=ρ A x 3 burada, = L 2 m D x 2 dx - L 3 2 r 2dm J= L 2 1 ρ A L3 12 AL bulunur. J 1 m L2 12 Problem: Bir ucundan mafsallı ve sabit kesitli bir çubuğun kütlesel atalet momentinin bulunması y L x 2 dm I J dm, dV, A 2 I z x L .dV .A.dx 0 L x dm x . .A.dx 0 m 3 L x .A. 3 o L3 .A. 3 .V .A.L m I J 1 mL2 3 Sabit kesitli homojen çubuğun uçnoktasından dönmesin den kaynaklanan atalet momenti Problem: Bir diskin dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin bulunması. dΦ dr r dA Ф R L Çözüm: dA=r.sin dθ.dr Elemanter alan Elemanter hacim dV=L.dA=L. r. sin dθ.dr Elemanter kütle dm=ρ.dV=ρ.L.r.sin dθ.dr sin d dm=ρ.Lr.dθ.dr d 2π R r 2dm= J= D m 0 .V 0 bulunur. 1 ρ.L.r 3 .dθ.dr= ρ.L.π.R 4 2 2 . .R .L J 1 m.R 2 2 RİJİT CİSİMLERİN BİR EŞDEĞER MADDESEL NOKTALAR SİSTEMİNE İNDİRGENMESİ • Maddesel nokta(noktasal kütleler) : Mekanikte her cisim zihnen maddesel noktalara ayrılabilir yani noktasal kütlelerden meydana gelmiştir. • Böyle noktasal kütlelerden oluşan topluluğa maddesel noktalar sistemi veya kısaca maddesel sistem veya mekanik sistem adı verilir. Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Rijit cismin eylemsizlik özelliklerini tanımlamak için kütlesi, kütle merkezi ve eylemsizlik tensörünü vermek yeterlidir. Kütlesi, kütle merkezi, eylemsizlik tensörü birbirinin aynı olan iki rijit cisim dinamik bakımdan aynı özelliklere sahiptir. Makine dinamiği problemlerinde bu özellikten yararlanarak bir rijit cismin yerine, birbirine hayali bağlarla bağlı bir dizi maddesel noktanın oluşturduğu bir sisteme geçilebilir. Buna rijit cismin bir eşdeğer maddesel noktalar sistemine indirgenmesi denir. Bu uygulama özellikle söz konusu maddesel noktaların arzu edilen uygun yerlere yerleştirilebilmesi halinde yarar sağlar. Rijit cismin bir eşdeğer maddesel noktalar sistemine indirgenmesi y m1 m2 y m6 m, Is m3 s x m5 s x m4 z GERÇEK SİSTEM z İNDİRGENMİŞ SİSTEM Rijit cismin bir eşdeğer maddesel noktalar sistemine indirgenmesi Her cis min kütlesi bulunur. n mi m i 1 Her cis min ağırlık merkezi bulunur. n n mi x i 0, i 1 n mi y 0, i i 1 mi z 0 . i i 1 Her cis min kütlesel atalet momenti bulunur n mi (y 2 i 2 i z ) n s x I , i 1 2 i z ) i 1 n mi x i yi ) i 1 mi (x 2 i Isxy mi x i zi i 1 m i (x i2 I , y i2 ) I sz Isyz 0 i 1 n 0, n s y Isxz n 0, mi yi z i i 1 Makina Dinamiği Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Şart denklemleri n n n n m m; m x 0; m y 0; m z 0; i 1 i i 1 i i i 1 i i i 1 i i Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi • Hareketli makine uzuvları çoğunlukla düzlem üzerinde hareket ettiği için bu özel hali inceleyelim. Bir dijit cismin bütün noktalarının yörüngeleri birbirine paralel düzlemler içinde kalacak şekilde hareket ediyorsa bu cismin düzlemsel hareket yaptığı söylenir. • Düzlemsel hareket yapan bir cisim düzlem içerisinde yer alacak bir dizi maddesel noktaya aşağıdaki şekil ve formülasyonla indirgenebilir. Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi y y m1 m, Is m2 s s x m4 x m3 Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi n i 1 n i 1 n i 1 i 2 s mi mi x m i mi (x i2 0, n i 1 yi2 ) mi y i Isz I(atalet momenti) m(kütle) 0 mis2 Makina Dinamiği Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi örnek : iki noktaya indirgeme y B A MA LA s XB MB x Bilinmeyenler = xA, yA , mA ; xB , yB, mB .N=2 adet noktaya indirgenecek 3 x n = 3 x 2 = 6 adet bilinmeyen vardır. Bilinmeyenlerden herhangi ikisini biz seçebiliriz. xA=-LA ; yA=0 Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi örnek : 1 ) mA mB 2 ) mALA 3 ) m A .0 m mBx B mB yB 4 )m A [( L A ) 2 0] 0 0 m B (x B2 y B2 ) mis2 •Yukarıdaki denklemler kullanılarak MA, MB, YB, ve XB aşağıdaki gibi bulunur. Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi örnek : yB xB mA mB 0 is2 LA LB LB LA LB LA LA LB m LB m L m LA m L Hesaplanır. Buna göre düzlemsel hareket yapan bir dijit cismi, kütle merkezinden geçen bir doğru üzerine her biri kütle merkezinin bir yanında kalacak şekilde yerleştirilecek iki maddesel noktadan oluşan bir maddesel noktalar sistemine indirgenebileceği anlaşılmaktadır. Bu indirgemede noktalardan birinin konumu keyfi seçilirse diğerinin konumu ve indirgeme kütleleri yukarıdaki son iki formülle hesaplanabilir. Makina Dinamiği Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi örnek : Üç noktaya indirgeme y s A MA LA ms B LB MB x Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi örnek : Üç noktaya indirgeme İndirgeme noktaları A,B, ve cismin kütle merkezi S olsun Problemin MA, XA,YA, MB,YB, XB , Ms,Ys, Xs, şeklindeki bilinmeyenlerin • s= 3 x 3 -4 = 5 tanesi keyfi olarak seçilebilir. • İndirgeme noktalarından birinin S olarak seçilmesiyle zaten xS=0, yS=0 şeklinde iki keyfi seçim yapılmış durumdadır. Buna ek olarak • xA=-LA , yA=0, xB=LB seçimlerini yapalım Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi örnek : Üç noktaya indirgeme mA mB mA LA mB yB 2 A A m L mS m BL B m 0 0 2 B m B (L 2 B y ) mi 2 s Elde edilir. Bu denklemlerde bilinmeyenler olan YB, MA, MB, Ms bilinmeyenleri çözülmesiyle ; Düzlemsel hareket yapan cisimlerin maddesel noktalara indirgenmesi örnek : Üç noktaya indirgeme yB mA mB ms 0 i 2 s L A (L A i LB ) 2 s L B (L A is2 1 LA LB LB ) m m 2 s i m LAL 2 s i m L BL Örnek Problem B r3 a3 r2 a2 r4 S3 A S2 AO S4 a4 Boa Şekildeki üç çubuk mekanizmasında; r2 =50 mm, r3 = 200 mm, r4=150 mm, a2 =25 mm, a3 = 100 mm, a4=50 mm, m2=0,1 kg , m3 = 0,5 kg , m4=0,3 kg , is2 = 20 mm; is3 = 80 mm; is4 = 50 mm; Verildiğine göre mekanizmayı dinamik eşdeğer olarak S2, A, S3, B, S4 noktalarına yerleştirecek maddesel noktalara indirgeyiniz ? Çözüm ; mB(3) ms3(3) mA(3) 3 no.lu çubuk mB(4) ms4(4) mA(2) 4 no.lu çubuk ms2(2) 2 no.lu çubuk mAo(2) mBo(4) Çözüm ; 2 no.lı uzvu ele alalım m 2 Ao m(2) A m (2) s2 2 s2 2 i m2 a 2r2 20 25.50 2 is2 m2 (r2 a 2 )r2 m 2 (m (2) Ao 0,032kg 202 25.50 2 B m ) 0,032kg 0,1 2*0,0032 0,036kg elde edilir. Benzer hesaplamaların 3,4 numaralı uzuvlar içinde yapılırsa 3 no.lı uzvu ele alalım m 3 A m(3) B m (3) s3 2 s3 i m3 a 3r3 2 80 100*200 is32 m3 (r3 a 3 )r3 m3 (m (3) A 0,16kg 802 200*100 3 B m ) 0,16kg 0,5 (0,160 ,0,160) 0,18 4 no.lı uzvu ele alalım m 4 B m (4) Bo m (4) s4 2 s4 i m4 a 4r4 i 2 50 *0,3 0,05kg 50*150 2 s4 2 (r4 a 4 )r4 m 4 (m (4) B m4 50 *0,3 0,10kg 100*150 4 Bo m ) 0,3 (0,05 0,10) 0,15kg İndirgenmiş hal ms3(3) mA(3) mB(4) 3 no.lı çubuk mA(2) ms4(4) 4 no.lı çubuk ms2(2) 2 no.lı çubuk mAo(2) ms 2 ms( 2) 2 0, 036 kg mA m (A2) m (3) A ms3 (3) m s3 0,180 kg mB m (3) B ms 4 ms( 4) 4 m (B4) mBo(4) 0,192 kg 0, 210 kg 0,150 kg Makina Dinamiği Virtüel Yer Değiştirme Bir mekanik sistemde, genelleştirilmiş koordinatların sonsuz küçük ve sistemin tabi olduğu sınır şartlarının verilmiş bir t anındaki durumlarıyla bağdaşmak kaydıyla keyfi değişimlerin sonucu ortaya çıkan yer değiştirmelere virtüel yer değiştirme denir. Buradaki virtüel terimi, sisteme etkiyen kuvvet ve kısıtların da değişime uğrayabileceği bir dt zaman aralığında oluşacak gerçek sonsuz küçük yer değiştirmelerle ayırımı vurgulamaktadır. (Virtüel yer değiştirmede kısıtlar ilgilenilen t anındaki durumlarında donmuş kabul edilir.) Virtüel Yer Değiştirme f serbestlik dereceli ve reonomik bir sistem üzerindeki bir noktanın yer vektörü; r r q1 ,q 2 ,.....,q f ; t dir. Bu noktanın gerçek sonsuz küçük (diferansiyel) yer değiştirmesi; r r dr dq j dt t j1 q j f şeklindedir. Virtüel yer değiştirme tanımı gereği dt zaman aralığında oluşacak değişimlerden etkilenmeyeceğinden, •0 r r dr dq j dt t j1 q j f r r qj j1 q j f 101 Virtüel Yer Değiştirme Buradan hemen anlaşılacağı gibi, reonomik sistemlerde gerçek yer değiştirmelerle virtüel yer değiştirmeler her zaman bir birinden farklıdır. Öte yandan, f serbestlik dereceli skleronomik bir sistem göz önüne alınırsa, r r q1 ,q 2 ,.....,q f gerçek sonsuz küçük yer değiştirmeler bu kez aşağıdaki şekli alır. r dr dq j j1 q j f 102 Virtüel Yer Değiştirme Virtüel yer değiştirme ise, reonomik sistemin virtüel yer değiştirmesi ile aynıdır. Hemen görüleceği gibi iki ifade aynı görünümde olup aralarındaki tek ayırım dqj lerden farklı olarak q j lerin tanım gereği keyfi oluşudur. Olası keyfi seçimlerden biri de q j dq j ; j=1,2,.....,f seçilmesidir. Buna göre, skleronomik sistemlerde gerçek sonsuz küçük yer değiştirme olası virtüel yer değiştirmelerden biridir. 103 Virtüel İş Bir mekanik sisteme etkiyen bir kuvvetin sistemin bir virtüel yer değiştirmesi sırasında yapacağı işe bu kuvvetin virtüel işi denir. W F r veya, W Fx x Fy y Fz z f x f y f z W Fx q j Fy q j Fz qj j1 q j1 q j1 q j j j 104 Bağ Kuvvetleri N=Normal kuvvet T=Teğetsel kuvvet R=Bileşke kuvvet 105 Virtüel İşler İlkesi •Bir mekanik sistemin dengede olmasının gerek ve yeter koşulu üzerine etkiyen kuvvetlerin virtüel işleri toplamının, olası bütün virtüel yer değiştirmelerde sıfır olasıdır. ri •Fi W Wi Fi ri 0 i i Virtüel İşler İlkesi •Bir sisteme etkiyen kuvvetler verilen ve kısıt kuvvetleri şeklinde ikiye ayrılır. Fi Fiv Fik •0 W Fiv ri Fik ri 0 i i •İdeal kısıtlara sahip sistemlerde kısıt kuvvetlerinin yaptığı virtüel işler toplamı sıfırdır. W Fiv ri 0 i •İdeal kısıtlara sahip bir mekanik sistemin dengede olmasının gerek ve yeter koşulu, üzerine etkiyen verilmiş kuvvetlerin virtüel işleri toplamı, olası bütün virtüel yer değiştirmelerde sıfır olmasıdır. Virtüel İşler İlkesi •f serbestlik dereceli, q1, q2,………,qf genelleştirilmiş koordinatlara sahip bir holonomik sistemde, f ri W Fi qj 0 q i j 1 j ri W Fi q j 0 q j j1 i f Qj r Q j Fi i q j i f W Q j q j 0 j1 •Burada Qi, qi genelleştirilmiş koordinata ait genelleştirilmiş kuvvettir. •İdeal kısıtlara sahip holonomik sistemlerde statik dengenin gerek ve yeter koşulu Qj 0 ; j=1,2,.......,f AC krank mili 20 N, Biyel CB 35 N ağırlığındadır. Uzuvların ağırlıkları pistonu sağa doğru itmektedir. 70 N bir F kuvveti ile sistemi dengede tutmak istersek oluşucak olan θ denge açısını bulunuz. F kuvvetinin yeri, herbir uzvun ağırlık merkezinin hareketi xB, yW1 ve yW2, koordinatları ile belirlenmektedir. B negatif x yönünde , δxB xB = 0.5 cosθ + 0.5 cosθ = 1 cosθ δxB = -sinθ δθ yW1=0.25sinθ δyW1 = 0.25 cosθ δθ yW2=0.25sinθ, δyW2 = 0.25 cosθ δθ Θ da bir artış (i.e. δθ) xB de azalma, ve yW1 ve yW2 de artış meydana getirir. Denge durumu krank saat yönü tersi 11.11 derece denge konumu oluşur. δU = 0 -20 δyW1 - 35 δyW2 - F δxB = 0 20 (0.25) cosθ δθ + 35 (0.25) cosθ δθ + 70 (-sinθ δθ = 0 (13.75 cosθ - 70 sinθ) δθ = 0 θ = tan-1(13.75 / 70) = 11.11o •Seçilen eksen takımının virtüel yer değiştirme ile aynı yönlü olması +, ters yönlü olması -, kuvvetin virtüel yer değiştirme ile aynı yönlü alması +, zıt yönlü - Örnek: Şekildeki mektup terazisinin gösterge taksimatının yapılması için sapma açısının tartılacak ağırlığa bağlı olarak hesaplayınız. G1 •O’ •P ’ G2 •P •y •G1:Tartılacak ağırlık OP=O’P’=a •G2:Kefe ağırlığı PP’=OO’ •G3:Karşı ağırlık OQ=b • •x •O •Q G3 Çözüm: W Wi Fi ri 0 i i y P a sin y Q b sin( + ) y P a cos y Q b cos( + ) W G1 y P G 2 y P G 3 y Q 0 W G1 a cos G 2 a cos G 3 b cos( + ) 0 W (G1 +G 2 ) a cos G 3 b cos( + ) 0 W (G1 +G 2 ) a cos G 3 b cos( + ) 0 W (G1 +G 2 ) a cos G 3 b cos( + ) 0 0 Çözüm: (G1 +G 2 ) a cos G 3 b cos( + ) 0 (G1 +G 2 ) a cos G 3 b (cos cos sin sin ) 0 (G1 +G 2 ) a cos G 3 b (cos cos sin sin ) 0 cos cos (G1 +G 2 ) a +G 3 b (cos sin tg ) 0 (G1 +G 2 ) a G 3 b cos tg G 3 b sin Örnek: Şekildeki kaldırılabilir köprüyü dengede tutacak karşı ağırlığın ‘ye bağlı değişimini bulunuz. •G •h •Q •a •b Çözüm: G sin Qsin •h •Q •a •G b a •b Dr. Tamer Kepçeler 119 Çözüm: W Wi Fi ri 0 i i W G sin b Q sin a 0 W G sin b -Q sin a 0 0 G sin b Q sin a G sin b -Q sin a 0 sin = b Q( )=G a 2 h 2 2ah cos ah h sin a 2 h 2 2ah cos Örnek: Eşit kütleli iki çubuk yatayda çekilen F kuvvetiyle dengede tutulmaktadır. F kuvvetine bağlı denge konumlarını bulunuz. •x •O •OS1=L, PS2=L •S1 •OP=2L, PR=2L •P •G •S2 •R •F •G •y Çözüm: W Wi Fi ri 0 i i yS1 L cos yS L sin yS2 2L cos L cos yS 2L sin L sin x R 2L sin 2L sin x R 2L cos 2L cos 1 2 W G yS G yS R x R 0 1 2 W G L sin G 2L sin L sin F 2L cos 2L cos 0 W G L sin 2G L sin 2F L cos G L sin 2F L cos 0 W G L sin 2G L sin 2F L cos G L sin 2F L cos 0 0 0 2F G L sin 2G L sin 2F L cos 0 tg = 3G 2F G L sin 2F L cos 0 tg = G D’Alembert İlkesi •F3 •m3 Fe3 m3r3 •Fi •mi •F2 •m2 •F1 •m1 Fei mi ri Fe2 m2 r2 Fe1 m1r1 D’Alembert İlkesi i Fi mi ri 0 •Herhangi bir t anında i’inci noktaya etkiyen dış kuvvet •Dış kuvvetin etkisinde herhangi bir t anında i’inci noktada oluşan atalet kuvveti •Virtüel işler ilkesi uygulanırsa, F m r r 0 i •Burada, i i i i Fi F F v i •Verilmiş kuvvetler k i •0 •İdeal kıstlara sahip sistemlerde, kısıt kuvvetlerinin virtüel işleri toplamı sıfır olur •Kısıt kuvvetler D’Alembert İlkesi F v i i mi ri ri 0 •İdeal kısıtlara sahip her mekanik sistem, üzerine etkiyen verilmiş gerçek kuvvetlerle kurgusal eylemsizlik kuvvetlerinin virtüel işleri toplamı, hareketin her t anında ve olası bütün yer değiştirmelerde sıfır olacak biçimde hareket eder. Lagrange Denklemleri f serbestlik dereceli bir mekanik sistemin konumunun n>=f adet q1,q2,…..,qn genelleştirilmiş koordinatıyla tanımlanmış olsun. Bu durumda sistemin herhangi bir i’inci noktasının yer vektörü bu n adet genelleştirilmiş koordinatla, reonomik sistemler halinde t zamanının fonksiyonu olarak ifade edilebilir. ri ri q1 ,q 2 ,.....,q n ; t •1 Buna göre bu noktanın virtüel yer yerdeğiştirmesi aşağıdaki şekilde yazılabilir. ri ri qj j1 q j n •2 Lagrange Denklemleri 2 nolu ifade, ideal kısıtlara sahip sistemlerin hareketlerini yönettiği bilinen D’Alembert denkleminde yerine konulursa, i n ri n ri F mi ri q j F mi r q j 0 j1 q j1 i q j j •3 Burada, 4 numaralı genelleştirilmiş kuvvet ifadesi 3 nolu ifadede yerine konursa, Q j Fi i ri q j •4 Lagrange Denklemleri n ri Q j mi ri qj 0 i q j1 j •5 3 nolu ifade yukarıdaki şekilde elde edilir. Burada parantez içindeki i toplamlı ifade, T sistemin toplam kinetik enerjisini göstermek üzere aşağıdaki biçimde yazılabilirse, ri d T T i mi ri q dt q q j j j •6 Lagrange Denklemleri Bu amaçla, yazılırsa, buradan 1 T mi ri 2 2 i •7 T r mi ri q j q j i •8 1 nolu denklemi t’ye göre türetirsek, ri ri ri qj t j1 q j n •9 Lagrange Denklemleri 9 nolu ifadeden kısmi türev alırsak, ri ri q j q j •10 10 nolu ifade 8 nolu ifadede yerine konulursa, ri T mi ri q j q j i •11 bulunur. Buradan zaman göre türev alırsak, ri d T d ri mi ri mi ri dt q j i q j i dt q j •12 Lagrange Denklemleri •12 nolu ifadenin son terimi için, 2 ri 2 ri ri ri ri d ri qk qk dt q j k q jq k q jt q j k q k t q j •13 •yazılarak, ri ri d T mi ri mi ri dt q j i q j i q j •14 •elde edilir. Burada 7 nolu ifadeden, ri T mi ri q j q j i •olduğuna dikkat edilirse, 6 nolu eşitlik kanıtlanmış olur. •15 Lagrange Denklemleri Sonuçta 6 nolu ifade 5 nolu ifadede yerine konularak, d T T Qj q j 0 q j j1 dt q j n elde edilir. •Potansiyel Enerji İfadesi •Sönüm Teriminin Olması Durumu •16 Genelleştirilmiş Kuvvet •Fiziksel anlam olarak genelleştirilmiş kuvvet, konumu q esas genelleştirilmiş koordinatı ile tanımlanan uzva uygulandığında makinaya etkiyen bütün kuvvetlerin toplam etkisine denk etki yaratacak kuvveti temsil etmektedir. Bu anlamda bazen Q ya q koordinatının indirgenmiş eşdeğer kuvveti de denir. 7.Tek Serbestlik Dereceli Düzlemsel Makinaların Statik Dengesi Düzlemsel Hareket Yapan Berkil Cisme Etkiyen Kuvvetler Sisteminin Virtüel İşler Toplamı Düzlemsel Hareket Yapan Berkil Cisme Etkiyen Kuvvetler Sisteminin Virtüel İşler Toplamı •Bir sisteme etkiyen kuvvetlerin toplam virtüel işi için aşağıdaki toplam yazılabilir. W Fj rA j •Burada, j rA j rP rj drA j drP drj drA j drP d k rj rA rP k r j •Bu ifade yukarıda yerine konulursa, W Fj rA rj Fj k j j Düzlemsel Hareket Yapan Berkil Cisme Etkiyen Kuvvetler Sisteminin Virtüel İşler Toplamı •ifadesi elde edilir. Burada, ilk terim toplam kuvvetler sisteminin F kuvvet bileşkesi, ikinci terim ise, P noktasından geçen k’ya karşıt eksene göre toplam M momentidir. F Fj , M P M P k rj Fj j j •Cisme etkiyen kuvvetler sisteminin virtüel işler toplamı aşağıdaki biçimde yazılabilir. W F rP M Fx x P Fy yP M P P Makinelerin Dengesi •Berkil uzuvlara ve ideal kısıtlara sahip düzlemsel bir makinanın denge koşulu virtüel işler ilkesi yardımıyla yazılmak istenirse,makinaya ait i adet her bir hareketli uzvun üzerine etkiyen (kısıt kuvvetleri hariç) kuvvetlerin yapmış olduğu virtüel işler toplamı aşağıdaki biçimde yazılabilir. W Wi F rP MiPi 0 i i i •Makinanın tek serbestlik dereceli ve holonomik olması durumunda, konum tek bir q esas genelleştirilmiş koordinatıyla ifade edilebilir. Bu durumda, •yazılırsa, rP gP q q, i i i g q q Makinelerin Dengesi •Makinaya ait virtüel işler toplamı aşağıdaki biçimde yazılabilir. P Fg q M i Pi i g q 0 i •skleronomik makinalar aşağıdaki eşitlikleri, gPi v Pi q , g i q •sağladıkları anımsanırsa, denklem son şeklini aşağıdaki gibi alır. P Fv i Pi q Mi i q 0 i Makinelerin Dengesi •F uzuva etki eden kuvvetin şiddetini ve e yönünü göstermek üzere aşağıdaki biçimde yazılabilir. F Fe •burada, e e q rP rQ rP rQ x x i y y j x x y y P Q P Q 2 P Q 2 P Q Genelleştirilmiş Kuvvet •f serbestlik dereceli holonomik sistemlerde statik dengenin gerek ve yeter koşulunun Qj j inci genelleştirilmiş koordinata ilişkin genelleştirilmiş kuvveti göstermek üzere Qj=0 j=1,2,…,f olduğu bilinmektedir. Bu durumda, tek serbestlik dereceli holonomik makinalarda statik denge denklemi q esas ya genelleştirilmiş koordinatlar cinsinden aşağıdaki biçimde P Q q Fg q M i Pi i g q i •da, skloronomik makinalarda, •yazılabilir. P Q q Fv q M i Pi i i q i Örnek Problem: •Şekildeki yükleme mekanizmasının boyutları a=0,585 m, b=1,269 m, l=3 m olarak verilmiştir. W yükünü dengede tutabilmek için QP hidrolik silindirinin uygulaması gereken F kuvvetini ve makinanın kazancını açısının fonksiyonu olarak elde ediniz. 70 , -20 80 Çözüm: •İlk önce kuvvet etkiyen noktaların (C, P, Q) konumu ve hızını bulalım. x C L cos y C L sin x P b cos y P b sin x Q a cos y Q a sin dx C x C L sin dt dy C y C L cos dt dx P x P b sin dt dy P y P b cos dt dx Q xQ 0 dt dy Q yQ 0 dt Çözüm: •F doğrultusundaki e birim vektörü hesaplayalım, e e q rP rQ rP rQ x x i y y j x x y y P Q P Q 2 P Q 2 P Q •gerekli değerleri yerine koyup işlem yapılırsa, b cos a cos i bsin a sin j e a 2 b 2 2ab cos •şeklinde hesaplanır. P ve C noktalarının hızları ise, VP x P i yP j b sin i b cos j VC x C i yC j L sin i L cos j Çözüm: •şeklinde belirlenir. Burada W Wj dir. Denge denkleminde yukarıdaki ifadeler yerine konulup gerekli işlemler yapıldığında aşağıdaki ifade elde edilir. Fe VP W VC 0 L F ab •Mekanik kazank ise, a 2 b 2 2ab cos sin cos W sin W ab 1 F L a 2 b2 2ab cos cos •şeklinde hesaplanır. 8.Tek Serbestlik Dereceli Düzlemsel Makinaların Hareket Denklemi
