sabit (belli bir cisim için)

BÖLÜM 5
NEWTON’UN İKİNCİ KANUNU , ÇEKİM
5.1 Giriş
Bundan önceki bölümde kuvvet ve ivme kavramlarını ayrı ayrı inceledik. Denge
problemlerinde bir cisme etkileyen bileşke kuvvet sıfır olduğu zaman ivmenin de sıfır
olduğunu ifade eden Newton un birinci kanununu kullandık. Bundan sonraki adım, bir cisme
etkiyen bileşke kuvvet sıfır olmadığı zaman cismin hareketinin ne olacağını incelemektir. Bu
da Newton un ikinci hareket kanunudur. Bu kanun etkiyen bileşke kuvvet sıfır olmadığı
zaman cismin ivmeli hareket yapacağını ve verilen kuvvet için cismin kütlesine bağlı
olduğunu ifade eder.
Hareket ve hareketi meydana getiren kuvveti birlikte inceleyen mekanik bölümüne dinamik
denir. Statik ivmenin sıfır olduğu halleri, kinematik ise sadece hareketle ilgilenir.
5.2. Newton’un İkinci Kanunu , Kütle
Sükûnetteki bulunan bir cismin kendi kendine harekete geçmeyeceğini deneylerden
bilmekteyiz. Cismin harekete geçmesi için başka bir cisim tarafından çekilmesi veya itilmesi
gerekir. Hareketteki bir cismin durdurulması veya yavaşlatılması için bir kuvvetin gerektiği
de bildiğimiz gerçeklerdendir. Aynı şekilde doğrusal hareket yapan bir cismin yörüngesinden
çıkarılması için yanlamasına bir kuvvet gerekir. Bütün bu yukarıdaki olaylar(hızlanma,
yavaşlama veya hareketin doğrultu değiştirmesi) cismin hızının doğrultu ve şiddet
değişmesini içine alır. Başka bir değişle yukarıdaki hallerin hepsinde cisim ivmeli hareket
yapar ve ivmenin olabilmesi içinde cisme bir dış kuvvetin etkimesi gerekir.
Aşağıdaki örneği göz önüne alalım. Şekil 5.1(a) da görüldüğü gibi sürtünmesiz bir
düzlem üzerinde bulunan serbest bir cisme F kuvveti etkimektedir. Cismin dönmediğini ve
kuvvetin doğrultusunun ağırlık merkezinden geçtiğini kabul edelim. Bu halde cisim dönmez ,
sadece öteleme hareketi yapar. Etkiyen kuvvet dinamometre ile a ivmesi kronometre ile
ölçülür. Önce aynı cisim ; fakat değişik şiddet ve doğrultularda kuvvetler , sonrada farklı
cisimler kullanılarak bir çok ölçmeler yapılır. Bu ölçüler bizi aşağıdaki sonuçlara götürür.
F
Fy
F
ay
a
a
ax
(b)
(a)
Fx
Şekil 5.1 (a) a ivmesi F bileşke kuvvetin doğrultusundadır. (b) bileşen kuvvetlerin her biri,
kendine ait ivme bileşenini verir.
1. Bütün hallerde ivmenin doğrultusu kuvvetin doğrultusuyla aynıdır. Bu sonuç cisim
başlangıçta hareketsiz de olsa belli bir hıza sahipte olsa doğrudur.
2. Belli bir cisim için kuvvetin şiddetinin ivmenin şiddetine oranı sahiptir.
𝐹
𝑎
= sabit (belli bir cisim için)
Yukarıdaki oran genel olarak cisimden cisime değişir. Kuvvetin ivmeye oranı olan bu sabit
sayı cismin bir özelliğini gösterir. Bu da cismin kütlesidir. Kütle m ile gösterilir.
𝐹
𝑎
=m
veya
F=m.a
yazılabilir.
Bir cismi hızlandırmak, hızını küçültmek veya yörüngesinden saptırmak için büyük
kuvvetler gerekiyorsa bu cismin kütlesi de büyüktür. Bu halde cismin eylemsizliği de
büyüktür diyebiliriz. F = m . a denklemi vektörel bir eşitliktir. F vektörü , a vektörünün m
katı kadardır. Ve doğrultusu ile yönü a anınki ile aynıdır. m skaler bir büyüklüktür. Eğer iki
vektör eşitse bunların dik bileşenleri de eşit olur.
Fx = m . ax
Fy = m . a y
Bir cismi aynı anda bir çok kuvvet etkirse kuvvetler x y bileşenlerine ayrılabilir. Ve
∑Fx , ∑Fy cebirsel toplamlar hesaplanabilir. Bundan sonra da ivme bileşenleri
∑Fx = m . ax
∑Fy = m . ay
Eşitliklerinden bulunabilir.
Bu denklem çifti :
∑F = m . a
vektörel denklemine eşdeğerdir. Burada ∑F , cisme etkiyen bütün dış kuvvetlerin vektörel
toplamı veya bileşkesidir.
∑F = m . a denklemi Newton un ikinci hareket kanununun matematik ifadesidir.
Newton , bu kanunu aşağıdaki gibi ifade etmiştir . “Hareketteki değişim uygulanan kuvvetle
orantılıdır ve kuvvetin etkidiği doğrultuda meydana gelir . “ ayrıca ivme kuvvetle orantılıdır
ve kuvvetin doğrultusundadır diyebiliriz.
∑F = m . a dan hareketin sabit ivmeli olması için , gerekli fiziksel şartları görebiliriz. a
ivmesi sabitse ∑F kuvveti de sabit olmalıdır. Başka bir deyimle , sabit ivmeli hareket , sabit
kuvvetin etkisinde meydana gelir. Kuvvet değiştiği zaman , m kütlesi sabit olduğundan ivme
de kuvvetle orantılı olarak değişir.
∑F = m . a da bir cisme etkiyen bileşke kuvvet sıfırsa , cismin ivmesinin sıfır ve
dolayısıyla hızının sabit olacağı açıkça görülmektedir. Yani cisim hareket halinde ise hızının
doğrultusu ve şiddeti değişmeden yoluna devam eder. Eğer cisim hareketsiz bulunuyorsa ,
gene hareketsiz kalır (hızı sabit ve sıfıra eşit). Fakat bunlar Newton ‘ un birinci kanununun
uygulanabileceği şartlardır , buna göre kuvvetle ivmenin sıfır olması halinde birinci kanunun ,
ikinci kanunun özel bir hali olduğunu görmüş oluyoruz. Böylece , ancak iki bağımsız kanun ,
ikinci ve üçüncü kanunların varlığı düşünülebilir.
Newton , birinci kanunun ,ikinci kanunun özel bir hali olduğunu belirtmeliydi. Acaba
niçin birinci kanunu da vermişti. Bu sorunun cevabı şüphesiz , birinci kanunun Galileo
tarafından bulunmuş olması ve Newton ‘ a daha genel olan ikinci kanunu bulmasına imkan
vermesiydi.
5.3. Birim Sistemleri
Bir cismin kütlesi , bu cisme etkiyen bileşke kuvvetin ivmeye oranıdır. Önce İngiliz
mühendislik birim sistemini göz önüne alalım. Bu birim sisteminde kuvvet pound , ivme
ft/sn2 ile ölçülür. Kütle birimi ise , slug denir.
∑F (Ib) = m (slug) × a (ft/sn2) olacaktır.
Metre - kilogram – saniye (mks) birim sisteminde kilogram kütle birimi olarak
alınmıştır. Bu sistemde kuvvet birimi kilograma bir m/sn2 lik kuvvettir. Bu kuvvete 1 Newton
denir. Mks birim sisteminde ;
∑F (Newton) = m (kg) . a (m/sn2)
Santimetre – gram – saniye (cgs) birim sisteminde kütle birimi 1 gramdır. Bu sistemde
bir gramlık kütleye 1 cm/sn2 lik ivme veren kuvvet 1 dyn dir. Cgs birim sisteminde ;
∑F (dyn) = m (gr) . a (cm/sn2)
1 kg = 103 gr ve 1 m/sn2 = 102 cm/sn2 olduğunda 1 newton = 105 dyn olur.
5.4 Kütle ve Ağırlık
Bir cisme yerin uyguladığı çekim kuvvetine, o cismin ağırlığı denir. Bir cisim serbest
düşmeye bırakılınca sadece w ağırlığının etkisinde kalır ve g çekim ivmesiyle hareket eder.
Buna göre cismin kütlesi,
m=
∑𝐹
𝑎
𝑤
=𝑔
olacaktır.
Bir cismin ağırlığı kuvvettir. Kuvvet birimleriyle ölçülmelidir. İngiliz birim sisteminde
ağırlık birimi pound , mks birim sisteminde Newton , cgs birim sisteminde dyn ile ölçülür. Bir
maddenin değişmeyen miktarına kütle denir. İngiliz birim sisteminde kütle birimi slug , mks
birim sisteminde kilogramdır.
Yukarıdaki birim sisteminden başka, mühendislik sistemine benzer şekilde, kütle gibi
kuvvetinde keyfi seçildiği iki birim sistemi daha vardır. Bu sistemler, kuvvet birimi olarak,
standart kilogram ve gramın ağırlıklarını alır. Birincisine ‘ Kilogram kuvvet’ , ikincisine
‘gram kuvvet’ denir. ‘gram kuvvet’ okuyucunun da rastlamış olabileceği gibi, basit fizik
kitaplarında çok kullanılır. ‘Kilogram kuvvet’ özellikle metrik sistemlerin kullanıldığı
mühendislikte kuvvet birimi olarak alınır. Bu kitapta son iki birim kullanılmayacak ve gram
ile kilogram kütle birimi olarak alınacaktır.
5.5 Newton’un Genel Çekim Kanunu
Bütün mekanik konularında, üzerindeki cisimlerle Dünya arasındaki çekim kuvvetleri
ile karşılaşılır. Bu kuvvetlere cisimlerin ağırlığı denir. Şimdi bu çekim olayını ayrıntılarıyla
inceleyeceğiz.
Genel çekim kanunu, Sir Isaac Newton tarafından bulunmuştur. 1686 yılında ilk olarak
verilen ifadesi aşağıdaki şekildedir:
Evrendeki bütün madde parçacıkları, birbirlerini kütlelerinin çarpımı ile doğru aradaki
uzaklıkla ters orantılı bir kuvvetle çekerler.
𝑚𝑚′
𝐹 ∝ 2
𝑟
Yukarıdaki orantılılık ifadesi, çekim sabiti denilen bir G sayısı yardımıyla aşağıdaki şekilde
bir eşitliğe çevrilebilir.
𝐹=𝐺
𝑚𝑚′
𝑟2
Newton’un bu kanunu buluşunda, bir elmanın düşüşünden ilham aldığı söylenir. Bununla
beraber, yukarıdaki bağıntının doğruluğunu göstermek için yaptığı ilk neşriyatın hesapları
ayın etrafındaki hareketi ile ilgilidir.
G sabitinin sayısal değeri, kuvvet, kütle ve uzaklığın, ifade edildiği birim sistemine bağlıdır.
Bu katsayı, m,m’ kütleleri ve birbirinden uzaklıkları bilinen iki cisim arasındaki çekim
kuvveti ölçülerek deney yolu ile bulunabilir. Normal büyüklükte cisimler için bu kuvvet son
derece küçüktür, bununla beraber Rev. John Michell tarafından hazırlanan ve bu iş için ilk
defa Sir Henry Cavendish’ in 1798 de kullandığı bir aletle ölçülebilir. Buna benzer bir aleti
Coulumb elektriksel ve manyetik çekme-itme kuvvetlerinin incelenmesinde kullanmıştı.
Cavendish terazisi (Şekil 5-2) ortasından çok ince bir ipliğe, örneğin kuartz bir tele yatay
olarak asılmış hafif bir çubuğun uçlarına m kütlesinde iki küçük küre tespit edilerek
hazırlanmıştır. Askı teline yapıştırılmış küçük bir ayna ince bir ışık demetini bölmeli bir
cetvele yansıtır. Ölçme yapılırken kütlesi m’ olan iki büyük küre şekildeki gibi yerleştirilir.
Büyük ve küçük küreler arasındaki çekim kuvvetlerinin meydana getirdiği kuvvet çifti askı
telini küçük bir açı kadar burar ve bu burulma askı teline bağlı aynada yansıyan ışık demeti
yardımıyla cetvelde görülebilir.
Çok ince bir askı teli kullanılarak ışık sapması yeteri kadar büyültülebilir ve çekim kuvveti
ölçülebilir. Bu şekilde çekim sabiti için,
𝐺 = 6,670. 10−8 𝑑𝑦𝑛 𝑐𝑚2 ⁄𝑔𝑟 2
𝐺 = 6,670. 10−11 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑚2 ⁄𝑘𝑔2
bulunmuştur.
m
m’
m
m’
Şekil 5.2 Gavendich terazi
5.6. Yerin Kütlesi
G sabitinin sayısal değeri laboratuarlarda yapılan ölçmelerde bulunabildiğinden, yerin
kütlesi hesaplanabilir. Serbest düşen bir cismin hareketinden, bir gramlık bir cisim yerin
uyguladığı çekim kuvvetinin 980 dyn olduğunu biliyoruz. Kütleler arasındaki uzaklık yerin
yarıçapı kadar yani 6380 km veya 6.38 108 cm dir. Buna göre,
980 𝑑𝑦𝑛 =
(6.67 . 10−8 𝑑𝑦𝑛 𝑐𝑚2 ⁄𝑔𝑟 2 ) . (1 𝑔𝑟). 𝑚𝑒
(6.38 . 10−8 𝑐𝑚)2
Eşitlikte me dünyanın kütlesini göstermektedir. Yukarıdaki eşitlikten,
me = 5.98 . 1027 gr
bulunur. Yerin hacmi ise,
V=
4
3
𝜋 . 𝑟 3 = 1.09 . 1027 𝑐𝑚3 tür.
Kütlenin hacme oranı özkütleyi verdiğinden yerin özkütlesi,
𝑚𝑒
𝑉
=
5.98 . 1027 𝑔𝑟
1.09 .
1027
𝑐𝑚3
= 5,5
𝑔𝑟
𝑐𝑚3
bulunur.
5.7. “g” nin Değişimi
g çekim ivmesi cisimlerin kendi ağırlıkları ile kazandıkları ivmedir. Bu cismin ağırlığı
ise,
𝑤=𝐺
𝑚.𝑚𝐸
𝑟2
Şeklinde yazılabilir. Burada m cismin, me yer küresinin kütleleri, r ise yer merkezinin
cisimden uzaklığıdır. Diğer taraftan w = m . g olduğundan
𝑚. 𝑔 = 𝐺
𝑔=
𝑚 . 𝑚𝑒
𝑟2
𝐺 . 𝑚𝑒
𝑟2
bulunur.
G ve me sabit olduğundan, r büyüdükçe g küçülecektir. Buna göre, bir cismin düşmesi
sırasında sabit ivme ile hareket ettiği ancak yaklaşık olarak doğru sayılabilir. Hava direnci bir
tarafa bırakılırsa, cisimler yere yaklaştıkça ivme sürekli olarak artar. Bununla beraber birçok
hallerde bu artış ihmal edilebilir. Yer çekim ivmesi, dünya üzerinde noktadan noktaya çok az
değişir. Bunun sebebi, yer küresinin yarıçapının yerden yere değişmesi, maden filizleri, petrol
ve diğer maddelerin öz kütlesinin yerin ortalama öz kütlesinden farklı oluşudur. Bununla
beraber, en büyük değişme sebebi Bölüm 6 da açıklanacağı gibi yerin dönmesidir.
g nin değerindeki değişimlerin incelenmesi, yerin tabakalarındaki maden filizi ve
petrolun varlığı hakkında fikir verir. Buna göre, g nin incelikli ölçülmesi jeofizik yoldan
maden araştırmasında bir metot olmaktadır.
5.8. Newton ‘ un İkinci Kanununun Uygulanması
Örnek 1 : 10 kg kütlesinde bir cisim, yatay bir düzlem üzerinde hareketsiz duruyor.
Cisimle düzlem arasında sürtünme kuvveti, sabit ve 5 newton olduğuna göre, bu cismin 2
saniyede 4 m/sn lik bir hız kazanması için uygulanması gereken yatay T kuvveti ne olmalıdır?
Bütün kuvvetlerin cismin merkezine etkidiğini kabul ediniz.
Cismin kütlesi bilinmektedir. y doğrultusundaki ivme bileşeni sıfırdır. Belli sürede
kazanılması gereken hızdan faydalanarak x ekseni doğrultusundaki ivme bileşeni bulunabilir.
N
F=5 nt.
T
W=m
g
Kuvvet sabit olduğuna göre ivmenin x ekseni doğrultusundaki bileşeni de sabittir ve ivme
bağıntısından ,
𝑎𝑥 =
𝑣−𝑣0
𝑡
=
4 𝑚⁄𝑠𝑛− 0
2 𝑠𝑛
= 2 𝑚⁄𝑠𝑛2
bulunur.
Newton ‘ un ikinci kanununun bileşenlere ait bağıntılarını kullanarak,
∑Fy = m . ay
N–w=0,
N = w = m. g = 10 kg . 9,8 m/sn2 = 98 newton ,
∑Fx = m . ax
T – 5 sn = 10 kg . 2 m/sn2
T = 25 sn
olmalıdır.
Örnek 2: Bir asansörün yükü ile birlikte ağırlığı 1600 nt gelmektedir. Bu asansör 20 m/ sn
lik hızla inerken sabit bir ivme ile 50 m sonra durduğuna göre hareket süresince askı
halatındaki gerilmeyi bulunuz. (Şekilde görüldüğü gibi)
T
Asansörün kütlesi,
𝑤
1600 𝑛
m = 𝑔 =9.8 𝑚⁄𝑠𝑛2 = 163 𝑘𝑔
sabit ivmeli hareket denkleminde,
𝑣 2 = 𝑣02 + 2 𝑎 𝑦
w
𝑎=
𝑣 2 − 𝑣02
2 𝑦
yazılabilir.
İlk hız -20 m/sn, v hızı sıfırdır. gidilen yol 50 metredir. Bu verilere göre,
𝑎=
0 –( −20 )2
– 2 . 50
= 4 𝑚⁄𝑠𝑛2
bulunur. İvme pozitif olduğuna göre yukarı yönlenmiştir.
∑F = T – w = T – 1600 n
∑F = m a
T – 1600 = 163 . 4 = 652 n
T = 2252 n
bulunur.
Örnek.3 Yatayla θ açısı yapan sürtünmesiz bir eğik düzlem üzerinde bulunan bir kutunun
hareketinin ivmesini bulunuz. Cisme etkiyen kuvvetler, sadece kutunun w ağırlığı ve cisme
düzlemin uyguladığı N normal kuvvettir.(şekil 5. 5)
∑𝐹𝑦 = 𝑁 − 𝑚. 𝑔 cos 𝜃
∑𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑔 sin 𝜃
bulunur. Diğer taraftan, 𝑎𝑦 = 0 olduğu bilindiğinden ∑𝐹𝑦 = 𝑚. 𝑎𝑦 denkleminden 𝑁 =
𝑚. 𝑔 cos 𝜃 bulunur. ∑𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎𝑥 eşitliğinden ise,
𝑚. 𝑔 sin 𝜃 = 𝑚. 𝑎𝑥
𝑎𝑥 = 𝑔. sin 𝜃
bulunur.
N
θ
mg.sinθ
mg.cosθ
w=mg
θ
Örnek.4 Şekilde yatay sürtünmesiz bir düzlem üzerinde bulunan 𝑤1 = 16 𝑛 ağırlığında bir
kutu, sürtünmesiz küçük bir makaradan geçen ince bir iplikle 𝑤2 = 8 𝑛 luk diğer bir cisme
bağlıdır. Sistemin ivmesi ve cisimleri birbirine bağlayan sicimin gerilimi ne kadardır?
Diyagramda cisimlerin her birine etkiyen kuvvetler görülmektedir. Sicimin cisimlere
uyguladığı kuvvetler, etki tepki çifti olarak düşünülebildiğinden, bunlar aynı T harfi ile
gösterilmiştir. Yatay düzlem üzerindeki kutu için,
𝑔 = 10 𝑚⁄𝑠𝑛 alındığında,
∑𝐹𝑥 = 𝑇 = 1,6 𝑘𝑔. 𝑎 ,
∑𝐹𝑦 = 𝑁 − 𝑤𝑦 = 𝑁 − 16 𝑛 = 0
yazılabilir.
N
I
T
w1
w2
Aslında cisim için,
∑𝐹𝑦 = 𝑤2 − 𝑇 = 8 𝑛 − 𝑇
= 0,8 kg . a
olabilir. Cisimlerin her ikisi için de a nın değeri aynı olduğundan, birinci ve üçüncü denklemler
çözülünce,
𝑎 = 3,4
𝑚
𝑠𝑛2
𝑇 = 5,44 𝑛
bulunur.
Örnek.5 buraya kadar, Newton ‘ un ikinci kanunu, etkidiği cisme sabit bir ivme sağlayan,
şiddeti değişmeyen, bileşke kuvvetler haline uygulandı. Bu haller çok önemlidir ve az
matematik ister. Bileşke kuvvetin şiddeti değişirse, ivme de sabit kalmaz ve sabit ivmeli
hareketlere uygulanan denklemlerden faydalanılamaz. Bu kısımda değişen kuvvet etkisinde,
üç hareket örneği inceleyeceğiz.
50 kg kütlesinde bir otomobil, 30 m/sn lik hızla ilerlemektedir. Sürücü arabayı
𝑣 = 𝑣0 − 𝑘. 𝑡 2
bağıntısına uyacak şekilde frenliyor ve durduruyor. Eşitlikteki 𝑣0 = 30 𝑚⁄𝑠𝑛, 𝑘 =
0,30 𝑚⁄𝑠𝑛3 , t frenin uygulamasından sonra geçen ve saniye olarak ölçülen süredir.
Frenlemenin başlamasından 5 saniye sonra, hareketi yavaşlatıcı bileşke kuvveti bulunuz.
Otomobilin kütlesi bilinmektedir. Newton ‘ un ikinci kanunundan faydalanarak bileşke
kuvvetin bulanabilmesi için önce ivmenin hesabı gerekir.
Hız bağıntısından faydalanarak,
𝑎=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑣0 − 𝑘. 𝑡 2 ) = −2 𝑘. 𝑡
bulunur.
𝑡 = 5 𝑠𝑛 𝑖ç𝑖𝑛,
𝑚
𝑎 = −2 .0,30
𝑠𝑛3
. 5 𝑠𝑛 = −3
𝑚
𝑠𝑛2
Olacaktır. Bu andaki kuvvetin şiddeti,
∑𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 50 𝑘𝑔. ( −3
𝑚
𝑠𝑛2
) = −150 𝑛
dır.
Örnek.6 500 kg kütlesinde bir otomobil sukünetten harekete geçiyor. İlk 10 sn içinde
otomobile etkiyen bileşke kuvvet ∑𝐹 = 𝐹0 − 𝑘. 𝑡 ‘ dir. Burada 𝐹0 = 2000 𝑛 , 𝑘 = 100 𝑛⁄𝑠𝑛
ve t hareketin başlamasından sonra saniye olarak geçen süredir. 10 uncu saniye sonundaki
hızı ve bu süre içinde gidilen yolu bulunuz.
Bu problemde otomobilin kütlesi ve etkiyen bileşke kuvvet verilmiştir. Bu verilerden,
Newton’un ikinci kanunundan faydalanarak ivme hesaplanabilir ve hız ile konum kinetik
prensipleri yardımıyla bulunabilir. İkinci kanundan,
𝑎=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
∑𝐹
=
𝑚
𝐹
𝑑𝑣 = 𝑚0 𝑑𝑡 −
∫ 𝑑𝑣 =
𝑣=
𝐹0
𝑚
=
𝑘
𝑚
𝐹0
𝑚
∫ 𝑑𝑡 −
𝑚
𝑘
2𝑚
𝑘
𝑚
𝑡
𝑡 𝑑𝑡
𝐹0
𝑡−
−
𝑘
𝑚
∫ 𝑡 𝑑𝑡
𝑡 2 + 𝐶1
Sonucuna varılır. Eşitlikteki C1 bir integrasyon sabitidir. 𝑡 = 0 için 𝑣 = 0 olduğunan C1 de sıfır
olacaktır. 𝑡 = 0 𝑠𝑛 için,
𝑣=
2000 𝑛
500 𝑘𝑔
= 40
𝑚
𝑠𝑛
.10 𝑠𝑛 −
− 10
𝑚
𝑠𝑛
100 𝑛⁄𝑠𝑛
1000 𝑘𝑔
= 30
𝑚
𝑠𝑛
Konumu bulmak için Denk (5-7) yi kullanabiliriz.
. (10 𝑠𝑛)2
𝑣=
𝑑𝑥
=
𝑑𝑡
𝐹0
∫ 𝑑𝑥 =
𝑥=
𝑚
𝐹0
2𝑚
𝐹0
𝑚
𝑡−
𝑘
2𝑚
∫ 𝑡 𝑑𝑡 −
𝑡2 −
𝑘
6𝑚
𝑡2
𝑘
2𝑚
∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 + 𝐶2
𝑡 2 + 𝐶2
Hareket noktası başlangıç olarak alınırsa, 𝑡 = 0 𝑖ç𝑖𝑛 𝑥 = 0 olacağından 𝐶2 = 0 bulunur.
𝑡 = 10 𝑠𝑛 𝑖ç𝑖𝑛,
𝑥=
2000 𝑛
. (10𝑠𝑛)2 −
1000 𝑘𝑔
100 𝑛⁄𝑠𝑛
. (10𝑠𝑛)2
3000 𝑘𝑔
= 200 𝑚 − 33 𝑚 = 167 𝑚
bulunur.
Çözümlü Problemler
5.1 50 gramlık bir cisim sürtünmesiz bir düzlem üzerinde x=0 konumunda sükunette
bulunuyor. t=0 anında bu cisme x eksenine paralel 10 dyn lik bir kuvvet etkiyor ve 5 sn sonra
bu etki kalkıyor.
a) t = 5 sn sonunda cismin konumu ve hızı ne olur?
b) t = 15 sn sonunda aynı kuvvet tekrar uygulandığına göre, t = 20 sn sonunda cismin hızı ve
konumu ne olur?
N
Çözüm:
F=10
dyn
W
a) 𝑡 = 5 𝑠𝑛
𝑣 =?
𝑥 =?
1
𝑥 = 2 𝑎. 𝑡 2
𝑣 = 𝑎. 𝑡
1 1
5
. . 25 = = 2,5 𝑐𝑚
2 5
2
1
10 = 50. 𝑎
𝑣 = 5 . 5 = 1 𝑐𝑚⁄𝑠𝑛
∑𝐹 = 𝑚. 𝑎
𝑥=
1
𝑎 = 5 𝑐𝑚⁄𝑠𝑛2
b) 𝑡 = 15 𝑠𝑛
𝑡 = 15 − 5 = 10 𝑠𝑛
𝑎𝑙𝚤𝑛𝑎𝑛 𝑦𝑜𝑙 𝑥 = 𝑣. 𝑡
𝐹 = 10 𝑑𝑦𝑛
𝑐𝑖𝑠𝑖𝑚 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 ℎ𝚤𝑧𝑙𝑎 𝑔𝑖𝑑𝑖𝑦𝑜𝑟.
𝑥 = 1.10 = 10 𝑐𝑚 𝑔𝑖𝑑𝑒𝑟.
1
𝑎 = 5 𝑐𝑚⁄𝑠𝑛2
1
𝑥 = 𝑣0 . 𝑡 + 2 𝑎. 𝑡 2
1 1
𝑡 = 5 𝑠𝑛
𝑥 = 1.5 + . . 25 = 5 + 2,5 = 7,5 𝑐𝑚
2 5
𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑦𝑜𝑙
∑𝑥 = 2,5 + 10 + 7,5 = 20 𝑐𝑚
𝐻𝚤𝑧
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎. 𝑡 = 1 +
1
5
. 5 = 2 𝑐𝑚⁄𝑠𝑛
5.2 10 newton luk bir kuvvet düzgün yatay bir düzlem üzerinde duran bir cisme yatay olarak
etkiyor. Cisim sükunetten harekete geçiyor ve 5 saniyede 250 m yol gidiyor.
a) Cismin kütlesi ne kadardır?
b) Kuvvetin etkisi 5 saniye sonunda kalkarsa, bundan sonraki 5 saniye içinde gideceği yol ne
olur?
Çözüm :
N
P=10 nt.
W
a) 𝐹 = 10 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛
1
𝑣0 = 0
𝑡 = 5 𝑠𝑛
1
𝑥 = 2 . 𝑎. 𝑡 2
250 = 2 . 𝑎. 25
∑𝐹 = 𝑚. 𝑎
b) 𝑡 = 5 𝑠𝑛
𝑎 = 20 𝑚⁄𝑠𝑛2
500 = 25. 𝑎
1
10 = 𝑚. 20
𝑃 = 10 𝑛𝑡
𝑥 = 250 𝑚
𝑚 = 2 𝑘𝑔
1
𝑚 = 2 𝑘𝑔
𝑣 = 𝑎. 𝑡
𝑣 = 20.5 = 100 𝑚⁄𝑠𝑛
𝑥 = 𝑣. 𝑡
𝑥 = 100.5 = 500 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑦𝑜𝑙 𝑎𝑙𝚤𝑟.
5.3 Bir tüfek makinesinin hızı 36000 cm / sn dir. Bu mermi yumuşak bir kütüğe çarpıyor ve
kütükte 10 cm ileriliyor. Merminin kütlesi 1,8 gr dır. Mermiyi frenliyen kuvveti sabit kabul
ediniz.
a) Merminin kütük içinde durması için ne kadar süre gerekir ?
b) Frenleme kuvvetinin dyn ve nt olarak şiddeti nedir ?
Çözüm
a) 𝑣0 = 36000 𝑐𝑚⁄𝑠𝑛
𝑣=0
𝑣 2 = 𝑣02 − 2. 𝑎. 𝑥
0
𝑎 = 2.𝑥
𝑥 = 10𝑐𝑚 𝑚 = 1,8 𝑔𝑟 𝑡 = ?
𝑣2
𝑣 = 𝑣0 − 𝑎. 𝑡
𝑡=
b) 𝑣 = 𝑣0 − 𝑎. 𝑡
𝑎=
𝑣0
𝑡
𝑣0
𝑎
=
=
2.𝑥
𝑡=
𝑣0
36000
1
1800
2.10
36000
1
= 1800 𝑠𝑛
= 648 . 105 𝑐𝑚⁄𝑠𝑛2
∑𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 1,8 . 648 . 105 = 1166,4 . 105 𝑑𝑦𝑛 = 1166,4 𝑁𝑡
5.4 16 nt luk bir cisim yatay bir düzlem bir düzlem üzerinde duruyor. Cisimle düzlem
arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,20 statik sürtünme katsayısı 0,30 dur.
a) Cisme yatay 8 nt luk bir kuvvet uygulanınca etkiyen bileşke kuvvet ne olur.
b) 8 nt luk kuvvet cisme 4 sn uygulandıktan sonra etki kaldırılırsa, cisim duruncaya kadar ne
kadar yol gider ?
N
Çözüm :
P=8nt.
f
W
a) ∑𝐹 = 𝑃 − 𝑓𝑘 = 𝑃 − µ𝑘 . 𝑚. 𝑔 = 8 − 0,2 . 16 = 4,8 𝑛𝑡
b) 𝑡 = 4 𝑠𝑛 𝑃 = 8 𝑛𝑡
𝑃 − 𝑓 = 𝑚. 𝑎1
16
4,8 = 9,8 . 𝑎1
𝑎1 = 2,94 𝑚⁄𝑠𝑛2
𝑡 = 4 𝑠𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑟𝑎𝑘𝑖 𝑐𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛 ℎ𝚤𝑧 𝑣𝑒 𝑘𝑜𝑛𝑢𝑚𝑢
𝑥1 =
1
2
. 𝑎1 . 𝑡12
1
𝑥1 =
2
. 2,94 .16
𝑥1 = 23,52 𝑚
𝑣1 = 𝑎1 . 𝑡1 = 2,94 .4 = 11,76 𝑚⁄𝑠𝑛
𝑃 = 8 𝑛𝑡 𝑙𝑢𝑘 𝑒𝑡𝑘𝑖 𝑘𝑎𝑙𝑘𝑎𝑟𝑠𝑎
𝑣0 = 11,76 𝑚⁄𝑠𝑛
∑𝐹 = 𝑚. 𝑎2
2
𝑣 =
𝑣02
𝑣=0
µ𝑘. . 𝑚. 𝑔 = 𝑚. 𝑎2
𝑎2 = 0,2 . 9,8 = 1,96 𝑚⁄𝑠𝑛2
𝑣02
(11,76)2
𝑥2 =
=
= 35,28 𝑚
2𝑎2
2.1,96
− 2. 𝑎2 . 𝑥2
𝑔𝑖𝑑𝑖𝑙𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑦𝑜𝑙 = 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 = 23,52 + 35,28 = 58,8 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒
5.4 Bir cisim, asansörün tavanına bağlı bir dinamometreye asılmıştır.
a) Asansör 4 m/ sn lik bir ivme ile yükselirken dinamometre 45 nt gösteriyor. Cismin gerçek
ağırlığı nedir ?
b) hangi şartlarda dinamometre 35 nt gösterir ?
c) asansörün askı halatı koparsa dinamometre ne gösterir ?
ÇÖZÜM.
a) Asansörde dinamometreye aşağı doğru ağırlığı, yukarı doğru 45 nt etkir.
T=45 nt
a
Harekete sebep olan kuvvet
𝐹 = 𝑇 − 𝑊 = 𝑚. 𝑎
𝑚. 𝑎 = 𝑇 − 𝑚. 𝑔
w
𝑇
𝑎+𝑔
𝑚(𝑎 + 𝑔) = 𝑇
𝑚=
b) 𝐹 = 𝑇 − 𝑊
𝑚. 𝑎 = 𝑇 − 𝑊
𝑊 = 𝑚. 𝑔 =
𝑎=
𝑇−𝑊
𝑚
𝑇
.𝑔
𝑎+𝑔
𝑎=
𝑎 = 0,93 𝑚⁄𝑠𝑛2 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑇 = 35 𝑛𝑡 𝑜𝑙𝑢𝑟.
𝑚=
𝑤 31,96
=
= 3,26
𝑔
9,8
𝑊=
35−31,96
3,26
45
. 9,8 = 31,96
4 + 9,8
= 0,93 𝑚⁄𝑠𝑛2
c) 𝐹 = 𝑚. 𝑔
𝑇 = 0 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝑠𝚤𝑓𝚤𝑟𝚤 𝑔ö𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑟.
𝐹 =𝑇+𝑊
𝑚. 𝑔 = 𝑇 + 𝑚. 𝑔
𝑇=0
5.5 2,5 gr lık bir cisim yatay bir düzlem üzerinde durmaktadır. Cisimle düzlem arasındaki
statik sürtünme katsayısı 0,30 kinetik sürtünme katsayısı 0,25 dır. Cisme değişken ve yatay
bir P kuvveti etkimektedir. Bu kuvvet başlangıçta sıfırdır ve sn de 2 nt artmaktadır.
a) cisim ne zaman harekete geçer?
b)hareketin 8 saniyesinde ivme ne olur?
N
Çözüm
a) 𝐶𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛 ℎ𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡𝑒 𝑔𝑒ç𝑚𝑒𝑠𝑖 𝑖ç𝑖𝑛, 𝑃 = 𝑓𝑠 𝑜𝑙𝑚𝑎𝑙𝚤𝑑𝚤𝑟.
P
f
𝑓𝑠 = µ𝑠 . 𝑁 = µ𝑠 . 𝑚. 𝑔 = 0,3 .9,8 .2,5 = 7,35 𝑛𝑡
W
7,35
𝑡=
= 3,675 𝑠𝑛
2
1 𝑠𝑛 𝑑𝑒 2 𝑛𝑡 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑟𝑠𝑎 7,35 𝑛𝑡 𝑘𝑎ç 𝑠𝑎𝑛𝑖𝑦𝑒𝑦𝑒 𝑘𝑎𝑟ş𝚤𝑙𝚤𝑘 𝑔𝑒𝑙𝑖𝑟.
𝑐𝑖𝑠𝑖𝑚 3,675 𝑠𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡 𝑒𝑡𝑚𝑒𝑦𝑒 𝑏𝑎ş𝑙𝑎𝑟.
b) t = 8 sn
N
a=?
P
P = 7,35 + 2 . 8 = 23,35 nt
fk
fk = µk . m . g = 0,25 . 2,5 . 9,8 = 6,125 nt
∑F = m . a
P – fk = m . a
W
23,35 – 6,125 = 2,5 . a
a = 7 m/sn2
5.6 Bir cisim yatayla θ açısı yapan bir düzlem üzerinde hareketsiz durmaktadır. Kinetik
sürtünme katsayısı 0,50 ve statik sürtünme katsayısı 0,75 tir.
a) θ büyütülüyor. Cismin kaymaya başlayacağı θ açısını bulunuz.
b) Kayma başladığı zaman ivme değeri ne olur?
c) Cismin düzlem üzerinde 20 m kayması için geçecek zamanı hesaplayınız.
Çözüm
N
Fs
W
x
θ
θ
W W
y
a) µ𝑘 = 0,50
µ𝑠 = 0,75
𝑤𝑥 = 𝑤. sin 𝜃
𝑤𝑥 − 𝑓𝑠 = 0
𝑤𝑥 = 𝑓𝑠
𝑤. sin 𝜃 = µ𝑠 . 𝑤. cos 𝜃
b) 𝑤𝑥 − 𝑓𝑘 = 𝑚 . 𝑎
𝑤 . sin 𝜃 − µ𝑘 . 𝑤 . cos 𝜃 =
𝑎
sin 37 − 0,50 . cos 37 = 9,8
c)
𝑥 = 20 𝑚
𝑓𝑠 = 𝑚𝑠 . 𝑤. cos 𝜃
1
𝑥 = 2 . 𝑎 . 𝑡2
sin 𝜃
= µ𝑠 = 0,75
cos 𝜃
𝑤
𝑔
0,6 − 0,5 .0,8 =
20 =
1
2
.𝑎
𝑎
9,8
. 1,96 . 𝑡 2
𝑎 = 0,2 .9,8 = 1,96 𝑚⁄𝑠𝑛2
𝑡 = 4,52 𝑠𝑛
5.7 2 kg kütlede bir cisim 30o eğimli uzun bir düzlem üzerinde 22 m/sn lik bir hızla yukarı
doğru fırlatılıyor. Düzlemle cisim arasındaki sürtünme katsayısı 0,3 tür.
a) Cisim düzlem üzerinde ilerlerken etkiyen sürtünme kuvvetini bulunuz.
b) Cisim düzlem üzerinde ne kadar süre hareket eder?
c) Cisim düzlem üzerinde ne kadar ilerle
d) Cisim ( c ) deki konumundan ilk hareket noktasına ne kadar sürede gelir?
e) Bu noktaya hangi hızla gelir?
f) Cismin kütlesi 2 kg yerine 5 kg olsa idi yukarıdaki soruların cevapları değişir mi idi ?
Çözüm:
a) 𝑚 = 2 𝑘𝑔 𝑣0 = 22 𝑚⁄𝑠𝑛
µ = 0,3
𝑁 − 𝑤𝑦 = 0
𝑁 = 𝑤𝑦 = 𝑤. cos 30
𝑓 = µ . 𝑁 = 0,3 .2 .9,8 . cos 30 = 0,3 . 19,6 − 0,86 = 5,06 𝑛𝑡
b)
∑𝐹 = 𝑚 . 𝑎
𝑉 2 = 𝑉0 − 𝑎. 𝑡
𝑤𝑥 = 𝑤 . sin 30
𝑡=
𝑉𝑜
𝑎
𝑤𝑥 = 2 .9,8 .0,5 = 9,8 𝑛𝑡
22
= 7,43 = 2,96 𝑠𝑛
𝑓 = 5,06 𝑛𝑡.
N
𝑊𝑥 + 𝑓 = 𝑚. 𝑎 9,8 + 5,06 = 2. 𝑎 𝑎 = 7,43 𝑚⁄𝑠 2
W
1
c) 𝑡 = 2,96 𝑠𝑛 𝑥 = 𝑉𝑜 . 𝑡 − 2 𝑎𝑡 2
x
30
30
W W
y
1
𝑥 = 22.2,96 − 7,43(2,96)2 = 32,57 𝑚
2
d)
N
∑ 𝐹𝑘 = 𝑚. 𝑎
fk
𝑊𝑥 − 𝑓𝑘 = 𝑚. 𝑎
W
9,8 − 5,06 = 2. 𝑎
𝑎 = 2,37 𝑚⁄𝑠 2
𝑥 = 32,57 𝑚
𝑥=
1 2
𝑎𝑡
2
1
32,57 = 2,37. 𝑡 2
2
𝑡 = 5,24 𝑠𝑛
x
30
30
W W
y
e) 𝑣 = 𝑎. 𝑡 = 2,37.5,24 = 12,42 𝑚/𝑠𝑛
f) a da değişir. b c d e’ de değişmez. 𝑎 = 𝑔. (sin 30 + 𝜇. cos 30) ivme kütleye bağlı değildir.
5.8 200 gr lık bir cisim 800 gramlık bir cismin üzerinde bulunuyor. Bu sistem şekilde
görüldüğü gibi 200 gr lık bir cisim yardımıyla yatay bir düzlem üzerinde sabit bir hızla
çekiliyor.
a) İlk 200 gr lık cisim şekil (a) da görüldüğü gibi 800 gramlık cismin üzerinden alınıp, askıdaki
200 gramlığa bağlanınca sistemin ivmesi ne olur?
b) Şeklin (b) kısmında 800 gr lık cisme bağlı sicimdeki gerilim nedir?
800 gr
200 gr
800 gr
200 gr
200 gr
Şekil a
Çözüm: a)
Şekil
b
N
N
800 gr
200 gr
T
800 gr A
200 gr
T
A
f
f
T
T
wA
w
200 gr
B 200 gr
Şekil a
Wb
200 gr
Şekil
b
Sistem sabit hızla hareket ettiği için Dengenin 1.ci şartı :
Wb
A cismi için; 𝑇 − 𝑓 = 0 𝑇 = 𝑓
B cismi için; 𝑊𝐵 − 𝑇 = 0 𝑊𝐵 = 𝑇 = 200.980 = 196000 𝑑𝑦𝑛
𝑇 = 𝑓 = 𝜇. 𝑁 = 𝜇. 1000.980
A cismi için; 𝑇 − 𝑓 = 800. 𝑎
B cismi için; 𝑊𝐵 − 𝑇 = 400. 𝑎
196000 = 𝜇. 980000 𝜇 =
196
= 0,2 𝑜𝑙𝑢𝑟.
980
𝑊𝐵 − 𝑓 = 1200. 𝑎 𝑎 =
392000 − 156800
= 196 𝑐𝑚⁄𝑠 2
1200
b) 𝑊𝐵 = 400.980 = 392000 𝑑𝑦𝑛
𝑓 = 𝜇𝑠 . 𝑁 = 0,2.800.980 = 156800 𝑑𝑦𝑛
𝑇 = 800.196 + 156800 = 313600 𝑑𝑦𝑛
5.9 Şekildeki A cisminin ağırlığı 3 n, B cisminin
ağırlığı 30 n dur. B cismi ile yatay düzlem
arasındaki sürtünme katsayısı 0,1 dir.
B
a) B nın ivmesi sağa doğru ve 6 m/sn2 olduğuna
göre O cisminin ağırlığı nedir?
A
C
b) B nın ivmesi yukarıdaki değerde iken sicimlerin
her birindeki gerilim ne kadardır?
Çözüm: a)
N
T
A cismi için 𝑇1 − 𝑊𝐴 = 𝑚𝐴 . 𝑎 … (1)
B cismi için 𝑇2 − 𝑇1 − 𝑓𝐵 = 𝑚𝐵 . 𝑎 … (2)
T
1
C cismi için 𝑊𝑐 − 𝑇2 = 𝑚𝑐 . 𝑎 … (3)
𝜇 = 0,1
3
1 den 𝑇1 − 3 = 9,8 . 𝑎 𝑇1 = 0,3. 𝑎 + 3 = 4,8
A
T
B
1
fB
WB=3
0
WA=3
n
30
2
T
2
C
WC=?
2 den 𝑇2 − 3 − 0,3𝑎 − 0,1.30 = 9,8 𝑎 𝑇2 − 6 = 3,06. 𝑎 + 0,3. 𝑎 𝑇2 = 6 + 3,36.6 = 26,16
𝑊𝑐 − 6 − 3,36. 𝑎 =
𝑊𝑐
.𝑎
9,8
𝑊𝑐 − 6 − 21,96 =
b) 𝑇 = 3 + 0,3.6 = 4,8 𝑛𝑡 𝑇2 = 26,16 𝑛𝑡
6
. 𝑊 𝑊 = 67,58 𝑛𝑡.
9,8 𝑐 𝑐
5.10 Şekilde görüldüğü gibi hafif sürtünmesiz
bir makaradan geçen sicimin uçlarına 100 er
gramlık ağırlıklar asılmıştır. 40 gramlık başka
bir ağırlık cisim üzerine konulmuş ve 2 saniye
sonra kaldırılmıştır.
100
N
50 N
30
a) 40 gramlık cisim kaldırılınca ilk saniye
içinde cisimler ne kadar yol gider?
53
b) 40 gramlık cisim kaldırılmadan evvel sicimdeki gerilim ne kadardır? Bu ağırlık kaldırılınca
ne olur?
c) 40 gramlık ağırlık kaldırılmadan makaranın asıldığı sicimdeki gerilim ne kadardır?
Makaranın ağırlığını ihmal ediniz.
Çözüm:
N
T
𝑊𝐴𝑥 = 𝑊𝐴 . sin 30 = 100.0,5 = 50 𝑛𝑡
𝑊𝐵𝑥 = 𝑊𝐵 . sin 53 = 50.0,8 = 40 𝑛𝑡
𝑊𝐴𝑥 > 𝑊𝐵𝑥 𝑜𝑙𝑑. ℎ𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑎 𝑑𝑜ğ𝑟𝑢𝑑𝑢𝑟.
100
N
WA
x
A cismi için; 𝑊𝐴𝑥 − 𝑇 = 𝑚𝐴 . 𝑎
N
T
50 N
WA
30
WA
WB W
B
y
y
WB
53
B cismi için; 𝑇 − 𝑊𝐵𝑥 = 𝑚𝐵 . 𝑎
𝑊𝐴𝑥 − 𝑊𝐵𝑥 = 𝑎(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 ) 50 − 40 = 𝑎(10,2 + 5,1) 𝑎 =
10
= 0,65 𝑚⁄𝑠𝑛2
15,3
𝑇 = 𝑊𝐴𝑥 − 𝑚𝐴 . 𝑎 = 50 − 10,2 .0,65 = 43,37 𝑛
5.11 10 n luk iki ağırlık şekilde görüldüğü gibi bir sicimin
uçlarına bağlanmıştır. Cisimlerden birisinin 2 saniyede
4 m yol alması için üzerine ne kadar bir ağırlık eklenmelidir?
10 nt
10 nt
x
Çözüm : WA=WB =10 nt t = 2 sn x = 4 m
1
1
𝑥 = 2 𝑎. 𝑡 2 4 = 2 𝑎. 4 = 2. 𝑎 a = 2 m / sn2
A cismi için ; T- WA = mA . a
B cismi için ; ( WB +W’ ) – T = ( mB+m’ ).a
T
WB +W’ – WA = (mA + mB +m’ ) .a
T
W’
B 10 nt
10 nt A
W’ = a.[( 1,02+1,02+ (W’ / 9,8)]
W’ = a. [(2,04 + ( W’ / 9,8)]
WA
W’ = 5,13 nt
WB
5.12 Aşağıdaki ifadenin doğru veya yanlışlığını açıklayınız. Bir elmanın yere düşeceği yerde
dünyanın elmaya doğru yaklaşmama sebebi, dünyanın elmaya nazaran çok büyük olması ve
elmaya daha büyük çekim kuvveti uygulamasıdır.
Çözüm: Evrendeki bütün kütleler birbirlerini 𝐹 = 𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑟2
aynı kuvvetle çekerler. Yalnız
burada kütlesi büyük olanın ivmesi küçük kütlesi küçük olanın ivmesi büyük olur.
Dolaysıyla elmanın ivmesi büyük olur ve elma dünyaya doğru hareket eder. O halde ifade
yanlış olur.
5.13 G yi ölçmekte kullanılan bir Cavendish terazisinde 800 gramlık bir kürenin 4 gramlık
diğer bir küreyi, merkezleri arasındaki uzaklık 4 cm iken 13 . 10-6 dyn lik bir kuvvetle çektiği
görülmüştür. Dünya yüzeyinde yer çekim ivmesi 980 cm/sn2 ve dünyanın yarıçapı 6400 km
dir. Bu verilere göre, dünyanın kütlesini bulunuz.
Çözüm: 𝐹 = 𝐺.
𝑚1 𝑚2
𝑟2
𝐹.𝑟 2
𝐺=𝑚
1 𝑚2
=
13.10−6 .16
800.4
= 6,5. 10−8 𝑑𝑦𝑛. 𝑐𝑚2 /𝑔𝑟
𝑀𝑒
𝑔. 𝑟 2 980. (6400. 103 . 102 )2
𝑔 = 𝐺 2 𝑀𝑒 =
=
= 40559. 1023 𝑔𝑟
𝑟
𝐺
6,5. 10−8
5.14 Her biri 6400 gram olan iki küre A ve B noktalarına tesbit edilmiştir. Yalnız A ve B
noktalarındaki kürelerin çekim etkisinde bulunan, P noktasındaki 10 gramlık kütlenin
doğrultusunu bulunuz.
10 gr
𝑚𝐴 𝑚𝐵
Çözüm: 𝐹𝐴 = 𝐺. 𝑟 2 =
FA α α FB
6400.10
6,67. 10−8 . 100
10 cm
10 cm
𝐹𝐴 = 4,27. 10−5 𝑑𝑦𝑛
6 cm
𝐹𝐵 = 4,27. 10−5 𝑑𝑦𝑛
6400
gr
A
8 cm
8 cm
B 6400 gr
𝐹 = 𝐹𝐴 . cos 𝛼 + 𝐹𝐵 . cos 𝛼 = 2. 𝐹𝐴 . cos 𝛼 = 2 .4,27. 10−5 . 0,6 = 5,12. 10−5 𝑑𝑦𝑛
5.15 Ayın kütlesi yer kütlesinin seksen birde biri ve yarıçapı yerindekinin dörtte biridir. Ay
üzerindeki çekim ivmesi ne kadardır?
Çözüm:
𝑀𝐴 =
𝑀𝑒
80
𝑅𝐴 =
ç𝑒𝑘𝑖𝑚 𝑘𝑢𝑣𝑣𝑒𝑡𝑖 𝑔𝐴 = 𝐺.
𝑅𝑒
,
4
𝑅𝑒
=4
𝑅𝐴
, 𝑔𝑒 = 𝐺.
𝑀
𝐺. 𝐴2
𝑔𝐴
1
16
𝑅𝐴 𝑀𝐴 𝑅𝑒2
=
= 2.
=
. 16 =
𝑔𝑒 𝐺. 𝑀𝑒 𝑅𝐴 𝑀𝑒 80
80
𝑅𝑒2
𝑔𝐴 =
𝑀𝐴
𝑅𝐴2
𝑀𝑒
𝑅𝑒2
16
𝑚
. 9,8 = 1,96 2 𝑜𝑙𝑢𝑟.
80
𝑠𝑛
5.16 Şekilde görüldüğü gibi yatayla 300 A
AB=4 m
açı yapan ve uzunluğu 4 m olan bir eğik
düzlemin üzerinde kütlesi m olan bir
h
cisim en üst noktadan harekete başlıyor.
30O
C
B
a)Bütün yüzeylerde sürtünme katsayısı 0,2
ise cismin B noktasında sahip olduğu hızı ?
b)Cisim yatayda duruncaya kadar aldığı yolu bulunuz. (g = 10 m / sn 2 )
Çözüm :
Sin30 = h / 4
AB = 4 m
h=2m
A
VA=
0
N
AB=4 m
h
f1
VA=0
A
N
AB=4 m
h
f1
WY
30
N
WX
30
VC=0
W
30O
WY
B
C
f2
W
N
WX
VC=
0
W
30O
a) AB arası için Newton’un 2.kanunu: ∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎1
𝑊𝑋 − 𝑓1 = 𝑚. 𝑎1
B
C
f2
VA=0
A
N
AB=4 m
h
f1
WY
30
N
WX
VC=0
W
30O
B
C
f2
W
W
𝑊
𝑊. 𝑠𝑖𝑛30 − µ𝑘 . 𝑊. 𝑐𝑜𝑠30 = .a1
𝑔
10 (0,5-0,2.0,86) = a1
,
a1 = 3,28 m / sn2
𝑣𝐵2 = 𝑣𝐴2 + 2. 𝑎1. 𝐴𝐵
𝑉𝐵2 = 2.3,28.4 = 26,24
𝑉𝐵 = 5,12 𝑚/𝑠𝑛
b) BC arası için Newton’un 2.kanunu: ∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎2
𝑓2 = 𝑚. 𝑎2 𝜇. 𝑚. 𝑔 = 𝑚. 𝑎2 𝑎2 = 0,2.10 = 2 𝑚/𝑠𝑛2
𝑉𝑐2 = 𝑉𝐵2 − 2. 𝑎2 . 𝐵𝐶
𝑉𝐵2 = 2.2. 𝐵𝐶 26,24 = 4. 𝐵𝐶 𝐵𝐶 = 6,56 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒
5.17
Şekilde görüldüğü gibi yolun KL
arası
sürtünmeli olup eğik düzlem
sürtünmesizdir.Kütlesi 2 kg olan cisim v hızıyla K noktasından harekete başlıyor.KL boyunca
cisme f = 5 nt lük bir sürtünme kuvveti etki etmektedir. Cisim KL yolunu geçtikten sonra
eğik düzlemin N noktasına kadar çıkabildiğine göe cismin v hızını bulunuz. g=10 m/sn 2
N
4m
KL
=4m
vK
θ
L
K
Çö𝑧ü𝑚 ∶
𝑓 = 5 𝑛𝑡
𝑓 = µ .𝑚 .𝑔
N
N
N
4m
wx
vK
wy
θ
K
L
f
w
w
KL arası için hareket denklemi :
∑𝐹 = 𝑚 . 𝑎1
𝑓 = 𝑚 . 𝑎1
µ .𝑚 .𝑔 = 𝑚 .𝑎
5 = 2 . 𝑎1
5
𝑣𝐿2 = 𝑣𝐾2 − 2 . . 4
2
𝑣𝐿2 = 𝑣𝐾2 − 2 . 𝑎1 . 𝐾𝐿
sin 𝜃 =
𝑎1 =
5
2
= 2,5 𝑚⁄𝑠𝑛2
𝑣𝐿2 = 𝑣𝐾2 − 20 (1)
4
𝐿𝑁
Eğik düzlemde hareket denklemi :
∑𝐹 = 𝑚 . 𝑎
𝑤𝑥 = 𝑚. 𝑎2
𝑣𝑁2 = 𝑣𝐿2 − 2. 𝑎2 . 𝐿𝑁
𝑚. 𝑔. sin 𝜃 = 𝑚. 𝑎2 10.
𝑣𝐿2 = 2 .
80 = 𝑣𝐾2 − 20
4
40
= 𝑎2 𝑎2 =
𝐿𝑁
𝐿𝑁
40
. 𝐿𝑁 = 80 𝑣𝐿2 = 80 (1)𝑑𝑒 𝑦𝑒𝑟𝑖𝑛𝑒 𝑘𝑜𝑦
𝐿𝑁
𝑣𝐾2 = 100
𝑣𝐾 = 10 𝑚⁄𝑠𝑛
A
5.18 Şekilde görüldüğü gibi bir cisim A noktasından
serbest bırakılıyor. Eğik düzlemi indikten sonra yatayda
ne kadar yol alır. g =10
m/sn2
µ1 =0,1
, cos37 = 0,8 , sin37 = 0,6
15 m
370
µ2 =0,1
C
B
Çözüm : vA = 0
A
AB arası için hareket denklemi :
N1
∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎 = 𝑤𝑥 − 𝑓 1 = 𝑚. 𝑎
µ1 =0,1
m.g.sin37 - µ1.m.gcos37 = m.a
N2
w1x
w1y
w1
10.0,6- 0,1.10.0,8 = a
370
a = 6-0,8 = 5,2 m / sn2
C µ2 =0,1
f2
w2
𝑣𝐵2 = 𝑣𝐴2 + 2. 𝑎. 𝐴𝐵
𝑣𝐵2 = 2.5,2.25 = 260
f1
15
𝑠𝑖𝑛37 = 𝐴𝐵
15
𝐴𝐵 = 0,6=25 m
B
15 m
𝑣𝐵2 = 260
𝑣𝐵 = 16,2 𝑚/𝑠𝑛
BC arası için hareket denklemi :
𝑣𝐶2 = 𝑣𝐵2 − 2. 𝑎. 𝐵𝐶
∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎
260 = 2.2. 𝐵𝐶
𝐵𝐶 =
, µ.m.g = m.a
260
4
a = 0,2. 10 = 2 m / sn2
= 65 𝑚
5.19 Şekildeki m1 kütlesi 4 kg ve m2 kütlesi
2 kg dır. m2 ile yatay düzlem
m2
arasındaki sürtünme katsayısı 0,5
µ=0,5
m1
ve eğik düzlem sürtünmesizdir.
300
a) ipteki gerilim kuvvetini
b) blokların ivmesini bulunuz. sin30 = cos60 = 0,5 , sin60= cos30 = 0,86 , g = 10 m / sn 2
Çözüm:
N2
Üstteki cisim için Nt. 2.Kanunu
N1
𝑇 − 𝑓 = 𝑚1 . 𝑎 𝑓 = 𝜇. 𝑁2 = 0,5.20 = 10 𝑛𝑡
𝑇 − 10 = 2. 𝑎
T
W1x
𝑁2 − 𝑊2 = 0 𝑁2 = 𝑊2 = 2.10 = 20 𝑛𝑡.
0
30
𝑊1𝑥 = 4.10. sin 30 = 40.0,5 = 20 𝑛𝑡.
𝑁1 − 𝑊𝑦 = 0
20 − 𝑇 = 4. 𝑎
𝑇 − 10 = 2. 𝑎
20 − 𝑇 = 4. 𝑎
10 = 6. 𝑎
𝑎=
10
= 1,66 𝑚⁄𝑠𝑛2
6
f
µ=0,5
W2
W1 W1y
Eğik düzlemdeki cisim için;
𝑊1𝑥 − 𝑇 = 𝑚1 . 𝑎
T
𝑇 = 2.1,666 + 10 = 13,33 𝑛𝑡.
5.20 Birbirine iple bağlanmış wA =35,6 nt
, wB =71,2 nt ağırlığındaki iki blok 300
lik bir eğik düzlemden aşağı doğru
kayıyorlar. 35,6 nt luk blok ile düzlem
arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,1
ve 71,2 nt luk blok ile düzlem arasındaki
kinetik sürtünme katsayısı 0,2 dir.
B
A
300
a) Blokların ivmesini bulunuz.
b) 35,6 nt luk bloğun önde gittiğinde ipteki gerilimi bulunuz.
c) Blokların yeri değiştirilirse ipteki
gerilim ne olur. g = 10 m / sn2
NB
Çözüm: a)
B
A cismi için H.D. ;
T
𝑊𝐴 . sin 30 − 𝑇 − 𝜇𝑥 . 𝑊𝐴 . cos 30 = 𝑚𝐴 . 𝑎
NA
T
fB
WBx
WB WBy
B cismi için H.D. ;
A
𝑊𝐵 . sin 30 + 𝑇 − 𝜇𝐵 . 𝑊𝐵 . cos 30 = 𝑚𝐵 . 𝑎
WAx
300
35,6.0,5 − 𝑇 − 0,1.35,6.0,86 =
35,6
𝑎
10
71,2.0,5 + 𝑇 − 71,2.0,2.0,86 =
71,2
𝑎
10
WA
fA
WAy
14,74 − 𝑇 = 3,56. 𝑎
23,35 + 𝑇 = 7,12. 𝑎
38,09 = 10,68. 𝑎
𝑎=
38,09
= 3,56 𝑚⁄𝑠𝑛2
10,68
b) 𝑇 = 7,12.3,56 + 12,25 − 35,6 = 25,34 + 12,25 − 35,6 = 1,99 𝑛𝑡
c) Bu durumda T=0 olur.Bloklar birbirlerinden bağımsız hareket ederler. Belli bir zaman sonra
birinci blok ikinciye çarpar.
5.21 Şekildeki sistem yukarı doğru 2 sn
hareket ettikten sonra ip kopuyor.
a
m1 kütleli cisim ile eğik düzlem arasındaki
sürtünme kuvveti 25 nt dur. İp koptuktan
sonra m1 kütleli cisim kaç sn daha eğik
düzlem üzerinde yukarı doğru hareket
eder. g = 10 m / sn2
m1 =m2=10
kg
m1
m2
300
Çözüm:
𝑚1 = 𝑚2 = 10 𝑘𝑔
𝑓=
25 𝑛𝑡
𝑔 = 10 𝑚⁄𝑠𝑛2
𝑚1 𝑐𝑖𝑠𝑚𝑖 𝑖ç𝑖𝑛 ℎ𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖 ;
∑𝐹 = 𝑚1 . 𝑎
N
T
T
− 𝑤𝑥 − 𝑓 + 𝑇 = 𝑚1 . 𝑎
WX
𝑚2 𝑐𝑖𝑠𝑚𝑖 𝑖ç𝑖𝑛 ℎ𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖
∑𝐹 = 𝑚2 . 𝑎
𝑤2 − 𝑇 = 𝑚2 . 𝑎
f
300
𝑇 − 𝑤𝑥 − 𝑓 = 𝑚1 . 𝑎
Wy
W1
W2
𝑤2 − 𝑇 = 𝑚2 . 𝑎
𝑇 − 50 − 25 = 10 . 𝑎
100 − 75 = 20 . 𝑎
𝑎=
25
= 1,25 𝑚⁄𝑠𝑛2
20
𝑤𝑥 = 𝑤1 . sin 30 = 10 .10 .0,5 = 50 𝑛𝑡
𝑐𝑖𝑠𝑖𝑚 𝑏𝑢 𝑖𝑣𝑚𝑒 𝑖𝑙𝑒 𝑡 = 2 𝑠𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑢𝑑𝑎 ℎ𝚤𝑧
𝑣2 = 𝑣1 + 𝑎 . 𝑡
𝑣1 = 0
𝑣2 = 1,25 . 2 = 2,5 𝑚⁄𝑠𝑛 𝑜𝑙𝑢𝑟.
İp kopunca;
N
∑𝐹 = 𝑚 . 𝑎
50 + 25 = 10 . 𝑎
𝑣 = 𝑣0 − 𝑎 . 𝑡
𝑤𝑥 + 𝑓 = 𝑚 . 𝑎
10 . 𝑎 = 75 𝑚⁄𝑠𝑛2
𝑣=0
WX
𝑣0 = 2,5 𝑚⁄𝑠𝑛
𝑣0 2,5
1
𝑡=
=
=
𝑠𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑟.
𝑎
7,5
3
f
300
Wy
W1
5.22 20o eğimli bir rampa üzerinde Vo ilk hızı
ile yukarı doğru atılan paket B noktasında
durduktan sonra tekrar A noktasına geliyor.
Paket B noktasına 2,4 sn’de. B’den A’ya ise
4,5 sn’de eriştiğine göre
B
V0
a) Paket ile rampa arasındaki sürtünme
katsayısını
A
o
20
b) A ile B arasındaki uzaklığı
c) Paketin A noktasındaki ilk ve son hızını bulunuz. Problem Newton’un 2.inci kanununa göre
çözülecek. ( Sin 20o = 0,34 cos 20o = 0,94 )
Çözüm:
ℎ𝚤𝑧
𝑦𝑜𝑙
𝑑=
𝑣 = 𝑣0 − 𝑎1 . 𝑡1
𝑑 = 𝑣0 . 𝑡1 −
𝑣0 = 𝑎1 . 𝑡1
N
B
1
. 𝑎 . 𝑡2
2 1 1
1
. 𝑎 . 𝑡2
2 1 1
Wy
(1)
W f
A
o
20
𝑤𝑥 + 𝑓 = 𝑚 . 𝑎1
𝑚 . 𝑔 . sin 𝛼 + µ . 𝑚 . 𝑔 . sin 𝛼 = 𝑚 . 𝑎1
(1) 𝑣𝑒 (2) 𝑑𝑒𝑛
N
B
𝑎1 = 𝑔 (sin 𝛼 + µ . cos 𝛼)
𝑎1 𝑡22
=
𝑎2 𝑡12
V0
Wx
1
1
. 𝑎1 . 𝑡12 = . 𝑎2 . 𝑡22
2
2
f
Wy
(4,5)2
𝑔(sin 𝛼 + µ. cos 𝛼)
=
𝑔(sin 𝛼 − µ . cos 𝛼) (2,4)2
𝑣𝐴 = 𝑣0 + 𝑎2 . 𝑡2
𝑦𝑜𝑙
𝑑=
1
. 𝑎 . 𝑡2
2 2 2
20
𝑣𝐴 = 𝑎2 . 𝑡2
(2)
𝑤𝑥 − 𝑓 = 𝑚. 𝑎2
𝑚 . 𝑔 . sin 𝛼 − µ . 𝑚 . 𝑔 . cos 𝛼 = 𝑚 . 𝑎2
𝑏)
𝑎2 = 𝑔 ( sin 𝛼 − µ . cos 𝛼)
𝑎1 = 10 (0,34 + 0,2 .0,94)
𝑎1 = 5,28
𝑑=
A
W
o
µ = 0,203 ç𝚤𝑘𝑎𝑟.
ℎ𝚤𝑧
V
Wx
1
1
. 5,28 . (2,4)2 = . 5,28 .5,76
2
2
𝑑 = 15,2 𝑚
𝑣𝑎 = 𝑎2 . 𝑡2 = 1,52 .4,5 = 6,84 𝑚⁄𝑠𝑛
𝑎2 = 10 (0,34 − 0,2 .0,94)
𝑣0 = 𝑎1 . 𝑡1 = 5,28 . 2,4
𝑎2 = 1,52 𝑚⁄𝑠𝑛2
𝑣0 = 12,67 𝑚⁄𝑠𝑛
5.23 Şekildeki 3 kg lık cisimle yüzey arasındaki
sürtünme katsayısı µ=0,2 dir.Kütleler
sukünetten harekete başlıyarak 5 kg lık cisim 2
m düştükten sonra hızı ne olur? g =10 m/sn2
3 kg
A
B
Çözüm:
𝑚 = 0,2
𝑣0 = 0
𝑥 = 2 𝑐𝑚
𝐴 𝑐𝑖𝑠𝑚𝑖 𝑖ç𝑖𝑛 ℎ𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖
𝑇 − 𝑓 = 𝑚𝑎 . 𝑎
𝐵 𝑐𝑖𝑠𝑚𝑖 𝑖ç𝑖𝑛 ℎ𝑎𝑟𝑒𝑘𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖
𝑤𝐵 − 𝑇 = 𝑚𝐵 . 𝑎
5 kg
𝑣 =?
N
T
𝑤𝐵 − 𝑓 = 𝑎 (𝑚𝑎 + 𝑚𝐵 )
𝑤𝐵 = 5 .10 = 50 𝑛𝑡
f
𝑓 = 𝑚 . 𝑁 = 0,2 . 3 . 10 = 6 𝑛𝑡
W
T
A
50 − 6 = 𝑎 (5 + 3)
𝑎=
44
= 5,5 𝑚⁄𝑠𝑛2
8
𝑇 = 𝑚𝑎 . 𝑎 + 𝑓
WB
𝑇 = 3 . 5,5 + 6 = 22,5 𝑛𝑡
𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛𝑠𝚤𝑧 ℎ𝚤𝑧 𝑓𝑜𝑟𝑚ü𝑙ü𝑛𝑑𝑒𝑛 ;
𝑣 2 = 𝑣02 + 2 . 𝑎 . 𝑥
𝑣 2 = 2 . 5,5 . 2
𝑣2 = 2 . 𝑎 . 𝑥
𝑣 2 = 22
𝑣 = 4,69 𝑚⁄𝑠𝑛