Slayt 1 - Murat GÜNER

www.muratguner.net
HER GENÇ
MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR
MURAT GÜNER
ATAŞEHİR- 2012
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( fabrika)
B
A
KUMAŞ
İPLİK
f’nin( fabrikanın)
İPLİĞİ KUMAŞA
FONKSİYONU …...............................DÖNÜŞTÜRMESİDİR.
www.muratguner.net
ÖRNEK
t( toprak)
B
A
BİTKİ
TOHUM
t’nin( toprağın)
TOHUMU BİTKİYE
FONKSİYONU …...............................DÖNÜŞTÜRMESİDİR.
www.muratguner.net
A ve B boş olmayan iki küme olsun. AXB nin her alt
kümesine A dan B ye bir bağıntı dendiğini biliyorsunuz.
Şimdi, A dan B ye tanımlanan  bağıntılarından bazılarının
aşağıda değineceğimiz şartları doğrulamasını isteyeceğiz
ve bu bağıntılara fonksiyon diyeceğiz.
TANIM
A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun. A’nın her
elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen f
bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir.
f
Bu durum f : A  B veya A 
B biçiminde gösterilir.
www.muratguner.net
TANIM
A’ dan B’ ye f fonksiyonu A’nın bir x elemanını B’nin bir y
elemanına eşlesin, y ’ye x’in f altında görüntüsü denir.
Bu durum ;
f y,
f : x  y, x 
biri ile gösterilir.
y = f ( x ),
( x , y )  f ifadelerinden
A kümesine f fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine bu
fonksiyonun değer kümesi ve A’nın elemanlarının B
kümesindeki görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü
kümesi denir.Görüntü kümesi f( A ) ile gösterilir.
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
B
0
1
2
0
1
3
6
TANIM
KÜMESİ
f fonksiyonunu şu şekillerde
gösterebiliriz.
GÖRÜNTÜ
KÜMESİ
(f(A))
f(0)= 0
f(1)= 3
f(2)= 6
f = { ( 0, 0 ), ( 1, 3 ), ( 2, 6 ) }
DEĞER
KÜMESİ
f:0 → 0
f:1 → 3
f:2 → 6
f
0→
0
f
1→
3
f
2→
6
www.muratguner.net
ÖRNEK
G
S
0
1
2
3
0
1
2
3
Yanda şeması verilen f
fonksiyonunun:
a) Tanım kümesini yazınız.
b) Değer kümesini yazınız.
c) Görüntü kümesini yazınız.
5
ÇÖZÜM
Tanım Kümesi
,
T = { 0, 1, 2, 3 } = G
Değer Kümesi
,
D = { 0, 1, 2, 3, 5 } = S
Görüntü Kümesi
,
f ( G ) = { 0, 1, 2, 3 }
www.muratguner.net
FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ
1- Tanım kümesinde açıkta eleman kalmaz, değer kümesinde
açıkta eleman kalabilir.
Çocukları
ile beraber bir toplantıANNELER
düzenleyen anneleri düşünelim. Çocuklar tanım
ÇOCUKLAR
kümesi, bu çocukların anneleri de değer kümesi olacak şekilde bunları iki gruba
ayıralım.










TANIM
KÜMESİ
DEĞER
KÜMESİ
Tanım kümesinde bulunan
her çocuğun değer
kümesinde bir annesi
vardır.Dolayısıyla tanım
kümesinde açıkta eleman
kalmamıştır ama çocuğu
olmayan anneler
bulunabilir.(Yani değer
kümesinde açıkta eleman kalabilir.)
www.muratguner.net
2- Tanım kümesinde bir eleman değer kümesindeki birden
fazla elemanla eşlenemez.
ÇOCUKLAR
ANNELER




TANIM
KÜMESİ







DEĞER
KÜMESİ
Tanım kümesindeki bir
çocuğun değer kümesinde
iki tane annesi olmaz .
(Yani tanım kümesindeki bir
eleman değer kümesinde
ancak bir elemanla
eşlenebilir .)
www.muratguner.net
 Tanım kümesindeki birden çok eleman değer
kümesindeki bir elemanla eşlenebilir.
ÇOCUKLAR




TANIM
KÜMESİ
ANNELER






DEĞER
KÜMESİ
Bir problem yoktur.
Çocuğu olmayan anneler
olabilir.Gayet normal.
www.muratguner.net
ÖRNEK
f
G
S
.a
.1
.b
.2
.c
.3
f = { ( a, 2 ), ( b, 1 ), (c, 3 ) } bağıntısı bir fonksiyondur
www.muratguner.net
ÖRNEK
g
G
S
.a
.1
.b
.2
.c
.3
g = { ( a,1 ), ( b, 2 ), ( c, 2 ) } bağıntısı bir
fonksiyondur
www.muratguner.net
ÖRNEK
h
G
S
.a
.1
.b
.2
.c
.3
h = { ( a, 2 ), ( b, 2 ), (c, 2 ) } bağıntısı bir
fonksiyondur
www.muratguner.net
ÖRNEK
k
G
S
.a
.1
.b
.2
.c
.3
k = { ( a, 2 ), ( b, 1 ), (c, 2), (c, 3) } bağıntısı bir fonksiyon
değildir. Çünkü G kümesindeki 'c' elemanının eşlendiği iki
eleman vardır.
www.muratguner.net
ÖRNEK
m
G
S
.a
.1
.b
.2
.c
.3
m = { ( a, 2 ), (c, 3) } bağıntısı bir fonksiyon değildir.
Çünkü; G kümesindeki ‘b' elemanının eşlendiği eleman yoktur.
UYARI: Her fonksiyon bir bağıntıdır fakat; her bağıntı bir fonksiyon
değildir.Fonksiyon tanımını gerçekleyen özel bağıntılar fonksiyon olur.
www.muratguner.net
ÖRNEK
f : N  N , f (x) = x – 10
g : Z  Z , g (x) = (x+1) / 2
h : R  R , h (x) = x2 bağıntılarının hangileri fonksiyondur?
ÇÖZÜM
f fonksiyon değildir. Çünkü 2N olmasına rağmen
f ( 2 ) = 2 – 10 = – 8 N dir.( yani 2 nin görüntüsü yoktur.)
g fonksiyon değildir.Çünkü tanım kümesindeki çift sayıların
görüntüleri değer kümesinde yoktur.g(10) = (10+1)/ 2 = ( 11 / 2 )  Z dir.
h : R  R bir fonksiyondur.Çünkü her bir reel sayıya karşı
bir reel sayı karşılık gelmektedir.
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { a, b, c } kümesinden B = { 5, 6, 7, 8 } kümesine
tanımlanan aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyon belirtir?
a ) β1= { ( a, 5 ), ( b, 5 ), (c, 5 ) }
b ) β2= { ( a, 5 ), ( a, 6 ), (a, 7 ), ( b, 5 ), ( b, 7 ) }
c ) β3= { ( a, 8 ), ( a, 7 ), (b, 8 ), ( b, 5 ) }
d ) β4= { ( a, 5 ), ( b, 6 ), ( b, 7 ), ( c, 8 ) }
e ) β5= { ( c, 5 ), ( a, 6 ), (c, 7 ), ( c, 8 ) }
ÇÖZÜM
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki
( A ’daki ) her elemanın yalnız bir tane görüntüsü olmalıdır.
β1 bu şartı sağladığı için fonksiyondur.
www.muratguner.net
UYARI
s( A ) = n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye
tanımlanabilen fonksiyon sayısı mn dir.
ÖRNEK
s(A) = 2 ve A’dan B’ye 144 fonksiyon tanımlanabildiğine
göre s(B)=?
ÇÖZÜM
s( A ) = 2 s( B ) = m olsun
A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon sayısı m2 dir.
Buna göre
m2 = 144
m = 12 = s( B )
www.muratguner.net
UYARI
s( A ) = n ve s( B ) = m olmak üzere A’dan B’ ye fonksiyon
olmayan bağıntı sayısı; 2mn – mn dir.
ÖRNEK
s( A ) = 2 ve s( B ) = 3 ise A dan B ye fonksiyon
olmayan bağıntı sayısı kaçtır?
ÇÖZÜM
A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntı sayısı;
22.3 – 32 = 26 – 9 = 55
www.muratguner.net
ÖRNEK
3 kişinin katıldığı bir sınav, başarı yönünden kaç farklı
biçimde sonuçlanabilir?
ÇÖZÜM
Sınava katılan 3 kişi A tanım kümesini , sınav sonucu da B kümesini
oluştursun.
A



f
B
. Başarılı
. Başarısız
A dan B ye 23 tane fonksiyon
tanımlandığına göre sınav 8 farklı
biçimde sonuçlanabilir.
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { – 2, – 1, 0, 1, 2 }, B = { – 6, – 4, – 3, 0, 1, 3, 6 }
kümeleri için f : A → B, f ( x ) = 3x bağıntısı verilsin:
a) f bağıntısını şema ile gösterelim. Fonksiyon olup
olmadığını belirtelim.
b) f : A → B ye bir fonksiyon ise f( A ) kümesini bulunuz.
c) f fonksiyonunu ikililer halinde yazınız.
ÇÖZÜM
x = – 2 için f ( – 2 ) = 3( – 2 ) = – 6
( – 2 nin görüntüsü – 6 dır )
x = – 1 için f ( – 1 ) = 3( – 1) = – 3
( – 1 in görüntüsü – 3 tür )
x = 0 için f ( 0 ) = 3( 0 ) = 0
( 0 ın görüntüsü 0 dır )
x = 1 için f ( 1 ) = 3( 1 ) = 3
( 1 in görüntüsü 3 tür )
x = 2 için f ( 2 ) = 3( 2 ) = 6
( 2 nin görüntüsü 6 dır)
www.muratguner.net
x = – 2 için f ( – 2 ) = 3( – 2 ) = – 6 ( – 2 nin görüntüsü – 6 dır )
x = – 1 için f ( – 1 ) = 3( – 1) = – 3 ( – 1 in görüntüsü – 3 tür )
x = 0 için f ( 0 ) = 3( 0 ) = 0 ( 0 ın görüntüsü 0 dır )
x = 1 için f ( 1 ) = 3( 1 ) = 3 ( 1 in görüntüsü 3 tür )
x = 2 için f ( 2 ) = 3( 2 ) = 6 ( 2 nin görüntüsü 6 dır)
f
A
–2
–1
0
1
2
–6
–4
–3
0
1
3
6
B
a) Tanım kümesinin bütün elemanları
değer kümesinde bir ve yalnız bir
elemanla eşlendiği için f bağıntısı bir
fonksiyondur.
b) A kümesinin görüntü kümesi
f(A)={ – 6,–3 ,0,3,6 }
c ) f = { ( – 2, – 6 ), ( –1, – 3 ), ( 0, 0 ), ( 1, 3 ), ( 2, 6 ) }
www.muratguner.net
ÖRNEK
f : A → R, f ( x ) = x2 + 1 ve A = { –2, 0, 1, 2, 3 } ise
f ( A ) kaç elemanlıdır?
ÇÖZÜM
A = { –2, 0, 1, 2, 3 } kümesinin elemanlarının görüntülerini bulalım.
x = – 2 için f ( –2 ) = ( –2 )2 +1 = 5
x= 0
için f ( 0 ) = ( 0 )2 + 1 = 1
x= 1
için f ( 1 ) = ( 1 )2 + 1 = 2
x= 2
için f ( 2 ) = ( 2 )2 + 1 = 5
x= 3
için f ( 3 ) = ( 3 )2 + 1 = 10
f ( A ) = { 1, 2, 5, 10 } olup s ( f ( A ) ) = 4 tür.
www.muratguner.net
ÖRNEK
f : A → B, f ( x ) = 3x – 5 veriliyor. f( A ) = { – 8, – 5, 1, 4 } ise
A tanım kümesinin elamanlarını yazınız.
ÇÖZÜM
3x – 5 = – 8
3x – 5 = – 5
3x – 5 = 1
3x – 5 = 4




A = { – 1, 0, 2, 3 }
x= –1
x= 0
x= 2
x= 3
www.muratguner.net
ÖRNEK
f = { ( 2, 3 ), ( 4, 5 ), ( 6, 3 ), ( 8, 1 ) } bağıntısı bir fonksiyon
ise f fonksiyonunun şemasını çizelim, tanım ve görüntü
kümelerini yazalım.
ÇÖZÜM
Verilen f fonksiyonunun tanım kümesi A , değer kümesi de B olsun .
f fonksiyonunun elemanları olan ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin ( A ),
ikinci bileşenleri de değer kümesinin ( B ) elemanıdır. Buna göre ;
Tanım kümesi
:A={2,4,6,8 }
Görüntü kümesi : f( A ) = { 3 , 5 , 1 }
f
A
B
2
1
4
6
3
8
5
www.muratguner.net
ÖRNEK
f : R  R f ( x ) = 3x – 1 için
a) f ( 2 ) = ?
b) f ( a ) = 8
ise a = ?
ÇÖZÜM
a) f ( 2 ) = 3 ( 2 ) – 1
= 5
b) f ( a ) = 3 ( a ) – 1 = 8
3(a) =8 +1
3 a = 9
a = 3
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( x ) = x3 – 3x2 + 3x – 1 olduğuna göre f( 11 ) = ?
ÇÖZÜM
f( x ) = x3 – 3x2 + 3x – 1 = ( x – 1 )3
f( x ) = ( x – 1 )3
f( 11 ) = ( 11 – 1 )3 = 1000
www.muratguner.net
ÖRNEK
1998
f(x)= x3 – 3x2 + 3x – 1 olduğuna göre f (x + 1) değeri nedir ?
ÇÖZÜM
f ( x ) = x3 – 3x2 + 3x – 1 = ( x – 1 )3
f ( x + 1) = ( x + 1 – 1 )3
f ( x + 1) = x3
www.muratguner.net
ÖRNEK
1999
f ( x ) = x2 – x + 1 olduğuna göre, f (1 – x ) – f ( x ) = ?
ÇÖZÜM
f (x) = x2 – x + 1

f(1–x ) =
( 1 – x )2 – ( 1 – x )+ 1
= 1 – 2x + x2 – 1 + x + 1
= x2 – x + 1
= f(x)
f ( 1 – x ) – f ( x ) = f( x ) – f( x ) = 0
www.muratguner.net
ÖRNEK
2x – 1 , ….. x < 1
f( x ) = 2
x
, .…. 1  x
fonksiyonu için f( –2 ) + f( 4 ) toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
f(– 2 ) = 2 ( – 2 ) – 1 = – 5
f( 4 ) = 42 = 16
f(– 2 ) + f( 4 ) = –5 + 16 = 11
www.muratguner.net
ÖRNEK
1987
f ( 2x +3 ) = 3x + 2 olduğuna göre f ( 0 ) = ?
ÇÖZÜM
2x + 3 = 0
2x = – 3
x= – 3
2
x = – 3 için
2
 3
f ( 0 ) = 3.
 2

2

–9
+2
=
2
–5
=
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( x +2 ) = 3x2 – 2
f(0)+f(3)=?
ÇÖZÜM
x +2 = 0

x = – 2 için
x +2 = 3
x = 1 için

x=–2
f ( 0 ) = 3( –2 )2 – 2

f ( 0 ) = 10
x=1
f ( 3 ) = 3( 1 )2 – 2
f ( 0 ) + f ( 3 ) = 10 + 1 = 11

f(3)=1
www.muratguner.net
ÖRNEK
 x  5   2x  3
f
ise f( 5 ) = ?

x 1
 2x  1
ÇÖZÜM
x = 0 için
 2.0  3
f 5  
3
0 1
www.muratguner.net
ÖRNEK
2010 – LYS
ÇÖZÜM
x = – 2 için
f 3  (2)2  ( 2)  2  6
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( x + 3 ) + f ( x – 2 ) = 2x – 1 ise f ( 5 ) – f (– 5 ) = ?
ÇÖZÜM
x = 2 için
x = – 3 için
,
f( 5)+ f(0 ) =3
,
–
+
– f ( 0 ) + f (– 5 ) = – 7
+
f ( 5 ) – f ( – 5 ) = 10
www.muratguner.net
1989
ÖRNEK
x–2
f ( x +1 ) =
ise en uygun koşullar altında f( x ) =?
x–2
x +1
ÇÖZÜM
x+ 1
x– 2
=a
Buna göre
f(a)=
1
a
f(x)=
1
x

x– 2
x+ 1
=
1
a
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(
x2 + 1
)=
x+ 1
x2 + 1
+ 1 ise f ( x ) = ?
x+ 1
x+ 1
+
2
x +1
ÇÖZÜM
x2 + 1
=a
x+ 1

x+ 1
x2 + 1
Buna göre
f(a)=
1
+ a+1
a
f(x)=
1
+ x+1
x
=
1
a
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( 2a+2 – 8 ) = 2a – 2 ise f ( x ) fonksiyonunu bulunuz.
ÇÖZÜM
2a+2 – 8 = 4.2a – 8 = 4.( 2a – 2 )
f
fonksiyonu ,
f ( 2a – 2 ) eşlediğine göre
4 ( 2a – 2 ) 
f
4(k) 
(k )
f (x )
4(x) 
x
f( x ) =
4
www.muratguner.net
1987
ÖRNEK
f ( x ) doğrusal fonksiyonu için f ( 2 ) = 3, f ( 3 ) = 2 olduğuna
göre f ( 1 ) =?
ÇÖZÜM – 12
f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğuna göre , f ( x ) = ax + b şeklindedir.
f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğu için
1
ARTMIŞ
1
Azalırken
xf (=32) için
=2
x = 3 için
3 = 2a + b
f ( 3 ) = 3a + b
f ( x ) = ax + b
f(x)=–x+5
3 = 2a + b
– 2 = –3a +– b
1
ARTMALI
1
Azalırken
f(2)=3
f(1)=x

f ( 2 ) = 2a + b

1= –a
fa
( 1= )–1
=4
b=5
f ( 1 ) = –1 + 5 = 4
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğu için
9
ARTMIŞ
3
Artarken
f(2)=4
9
ARTMALI
3
Artarken
f ( 5 ) = 13
f(8)=x

f ( 8 ) = 22
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( x ) = 4x – 7 fonksiyonu veriliyor. f ( 2x + 3 )
fonksiyonunun f ( x ) cinsinden değeri nedir ?
ÇÖZÜM
f ( 2x + 3 ) = 4( 2x + 3 ) – 7
= 8x + 12 – 7
= 8x + 5
f (x) + 7
=8 (
)+5
4
= 2f( x ) +14 + 5
= 2f( x ) + 19
f (x) = 4x – 7
f (x) + 7 = 4x
f (x) + 7
x=
4
www.muratguner.net
ÖRNEK
f( x ) = 22x –
bulunuz.
4
olduğuna göre f( x+1) in f(x) türünden değerini
ÇÖZÜM
f( x ) = 22x –
4
f( x ) = 22x –
4

f( x+1 ) = 22(x+1) – 4 = 22x+2– 4
= 22x–2
= 22x – 2 – 2
1
.2  f(x  1).
4
1
f(x)  f(x  1).
 f( x+1) = 4f( x )
4
2x 2
2
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
1992
x
olduğuna göre f ( x – 1 )’ in f ( x ) türünden
f ( x) =
x +1
değerini yazınız.
ÇÖZÜM
x
f ( x) =
x +1

x
f ( x) =
x +1

x 1
x–1
f(x  1) 
=
x
x  1 1
( x'i f (x)’e bağlı
yazmalıyız.)
x = f ( x ).x + f ( x )
x–xf(x)=f(x)
x (1 – f ( x ) ) = f ( x )

f(x)
x
1 f(x)
www.muratguner.net
x 1
x–1
f(x  1) 
=
x
x  1 1
" x'i f (x)’e bağlı
yazmalıyız "
demiştik
f(x)
Burada x 
alınırsa
1 f(x)
f(x)
f(x)  1 f(x)
1
x  1 1 f(x)
1 f(x)


f(x  1) 
f(x)
f(x)
x
1 f(x)
1 f(x)
2f(x)  1
1 f(x)

f(x)
1 f(x)
f( x – 1 ) =
2f( x ) – 1
f( x )
www.muratguner.net
ÖRNEK
1990
f ( x ) = 23x – 1 olduğuna göre f(2x)’in f( x ) cinsinden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
B) 3[f(x)]2
A) 3f(x)
C) 2f(x)
D) 2[f(x)]2
E) 2[f(x)]3
ÇÖZÜM
f (2x) = 23.(2x) – 1
f (2x) =
23x.2.
f (x) = 23x– 1
f (x) = 23x.2-1
f (x) = 23x. 1
2
2f (x) = 23x
1
2
f (2x) = ( 23x )2. 1
2
f (2x) = ( 2f(x))2. 1
2

f (2x) = 2f(x)2
www.muratguner.net
ÖRNEK
x
f ( x +1) ve f ( 5 ) = 9 ise f ( 2 ) kaçtır?
f(x)=
3
16
ÇÖZÜM
x = 4 için
f(4)=
4
3
.
f(5)=
4
3
.
9
16
=
3
4
x = 3 için
f(3)=
3
3
.
f(4) =
3
3
.
3
4
=
3
4
x = 2 için
f(2)=
2
3
.
f(3) =
2
3
.
3
4
=
1
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
1997
f :R  R f ( x ) = 2x + 1 – f ( x +1 ) ve f ( 4 ) = 2 olduğuna
göre f ( 2 )’ nin değeri nedir ?
ÇÖZÜM
x =2 için f ( 2 ) = 4 +1 – f ( 3 ) = 4 +1 – 5 = 0
x =3 için f ( 3 ) = 6 +1 – f ( 4 ) = 6 + 1 – 2 = 5

f(3)=5
www.muratguner.net
ÖRNEK
1998
Bir f fonksiyonu, " Her bir pozitif tam sayı kendi ile çarpımsal
tersinin toplamına götürüyor." şeklinde tanımlanmıştır.Bu
fonksiyon aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir?
x2 + x
A) f ( x ) =
x-1
x
C) f ( x ) = 2
x +1
1
x x 
x
x
B) f ( x ) = 2
x -1
x2 - 1
D) f ( x ) =
x
x2 + 1
E) f ( x ) =
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
f2 ( x ) – 6 f (x ) + 9 = x2 + 2x +1 olduğuna göre f( x )
fonksiyonunu bulunuz.
ÇÖZÜM
f2 ( x ) – 6 f (x ) + 9 = x2 + 2x +1
( f (x ) – 3 )2 = ( x + 1 )2
f (x ) – 3 = x + 1
f (x ) = x + 4
f (x ) – 3 = – ( x + 1 )
f (x ) = – x + 2
www.muratguner.net
FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir f fonksiyonunun elemanları olan ikilileri analitik
düzlemde göstererek oluşturulan noktalar kümesine bu
fonksiyonun grafiği denir.
ÖRNEK
A = { – 2, – 1, 1, 2 } ve B = { 1, 2, 5 } kümeleri ile
A dan B ye f : x  x2 + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM
A = { – 2, – 1,1, 2 } tanım kümesinin elemanlarının f fonksiyonuna göre görüntüleri ;
f ( – 2 ) = ( – 2 )2 + 1 = 5
f ( 2 ) = 22 + 1 = 5
f ( – 1 ) = ( – 1 )2 + 1 = 2
f ( 1 ) = 12 + 1 = 2
www.muratguner.net
f fonksiyonunun liste biçiminde yazarsak
f = { ( – 2, 5 ), ( – 1, 2 ), ( 2, 5 ), ( 1, 2 ) } elde edilir.
Bu noktaları analitik düzlemde gösterirsek aşağıdaki grafik
elde edilir.
A = { – 2, – 1, 1, 2 } ve B = { 1, 2, 5 }
kümeleri ile A dan B ye
f : x  x2 + 1 fonksiyonunun grafiği,
şekildeki kapalı eğri içindeki dört noktadan
ibarettir.
( Burada A ve B kümelerinin sonlu küme
olduğuna dikkatinizi çekmek isterim.)
5
2
–2 –1
1
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
f: R  R, f ( x ) = 3x + 1 olduğuna göre f ( x )’in grafiğini
çiziniz.
ÇÖZÜM
Tanım kümesinin elemanlarından bazılarının görüntülerine bakalım.
…
f ( 0 ) = 3.0 +1 = 1
7
f ( 1 ) = 3.1 + 1 = 4
f ( 2 ) = 3.2 + 1 = 7
4
…
f = {…( 0, 1 ), ( 1, 4 ), ( 2, 7 ) ,... }
Bu noktalar kümesi yandaki grafiği oluşturur.
1
1
2
f’nin sonsuz elemanlı bir kümeden
sonsuz elamanlı bir kümeye tanımlı
fonksiyon olduğuna dikkat ediniz.
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( x ) fonksiyonunun grafiği
yanda verilmiştir.Buna göre
f(1)=?
y
5
–2
0
1
2
3
f(2)=?
x
f(0)=?
–1
f (– 2 ) = ?
ÇÖZÜM
Grafiği verilen bir f( x ) fonksiyonu için ; f( a ) , x ekseni üzerimdeki a noktasından y
eksene çizilen paralelin grafiği kestiği noktanın ordinatıdır.
a) f ( 1 ) = 0
b) f ( 2 ) = – 1
c) f ( 0 ) = 5
d) f ( – 2 ) = 0
ÖRNEK
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
ÖRNEK
www.muratguner.net
ÖRNEK
4
–3
2
3
4
Grafiği verilen f ( x ) fonksiyonu için
f ( x + 2 ) = 0 eşitliğini sağlayan x
değerlerinin toplamı kaçtır?
–2
ÇÖZÜM
f (– 3 ) = 0
f(2)=0
f(4)=0
Buna göre f( x + 2 ) = 0 ise
x +2
=–3
x+2 =2
x+2= 4
Buradan x = – 5, x = 0, x = 2 elde edilir ve bunların
toplamı
–5 +2=–3
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
2011 – LYS
3
x = 5 için g ( 5 ) = 3 – f ( 3 ) = 0
g (– 2 ) + g( 5 ) = 3
x = – 2 için g (– 2 ) = 3 – f ( – 4 ) = 3
0
www.muratguner.net
ÖRNEK
2009 MAT-2
ÇÖZÜM
I f(x) I = 1 veya
I f(x) I = 3 olmalıdır.
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÖRNEK
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÖRNEK
www.muratguner.net
ÖRNEK
y
A ve B kümeleri için yandaki
grafiği inceleyelim.
d
a
b
c
x
f : A → B tanımlı ise
A  R ve B  R dir.
A : Tanım kümesi
[ b , a ] : tanım aralığı
B : Görüntü kümesi
[ c , d ] : görüntü kümesi olur
www.muratguner.net
ÖRNEK
y
A  R olmak üzere f : A → R
fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.
4
a- Tanım aralığı yazınız.
b- Görüntü kümesini yazınız.
ÇÖZÜM
a- Grafiğe göre – 1< x  3 olduğundan
tanım kümesi
A = ( –1, 3 ]
b- Grafiğe göre -5  y  4 olduğundan
görüntü kümesi : f ( A ) = [ – 5, 4 ]
–1
3
0
–5
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
y
Yanda grafiği verilen fonksiyonun
tanım kümesi nedir?
( 4, 13 )
( – 2, 3 )
x
ÇÖZÜM
Grafiğe göre – 2  x  4
Tanım kümesi : [ – 2 , 4 ]
olduğundan
ÖRNEK
www.muratguner.net
ÖRNEK
2010 – LYS
ÇÖZÜM
x = 3 için tanımlı
olmadığından
T.K:(– 3,7] – 3
veya
(– 3,3 ) U ( 3,7 ]
ÖRNEK
www.muratguner.net
ÖRNEK
www.muratguner.net
ÖRNEK
www.muratguner.net
ÖRNEK
www.muratguner.net
ÖRNEK
www.muratguner.net
UYARI
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını
anlamak için y eksenine paralel doğrular çizilir.Bu paralel
doğrular grafiği bir noktada keserse fonksiyondur, grafiği
birden fazla noktada kesiyor ise fonksiyon değildir.
ÖRNEK
y
y
x
y
x
.
Bir adamın iki,üç,dört … doğum günü olmaz.
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
Aşağıdaki f : x → y ile tanımlı kurallardan hangisi
fonksiyon değildir?
Bir adamın
iki doğum
günü olmaz.
www.muratguner.net
FONKSİYON TÜRLERİ
1- BİREBİR (1:1) FONKSİYON
Tanım kümesindeki her farklı elemanın , görüntüsü de farklı
ise bu tip fonksiyona bire bir ( 1:1 ) fonksiyon denir.
ÖRNEK
g
f
A
a
b
c
1
F
2
3
A
K
a
1
b
2
c
3
4
f fonksiyonu birebirdir
g fonksiyonu birebir değildir.
www.muratguner.net
UYARI
Grafiği verilen fonksiyonun 1:1 olduğunu anlamak için x
eksenine paralel çizilir. Bu paraleller grafiği
bir noktada kesiyor ise f birebirdir.
ÖRNEK
y
y
x
x
f , 1:1 fonksiyondur
f , 1:1 değildir
www.muratguner.net
ÖRNEK
s(A) = 3, s( B ) = 5 ise A’ dan B’ ye tanımlanabilecek bire
bir fonksiyon sayısı nedir ?
ÇÖZÜM
s( A ) = 3, s( B ) = 5 olduğuna göre
A’dan B’ye tanımlanabilecek 1:1 sayısı P( m;n ) = m.(m – 1)(m – 2 )… dir.
n tane
Buna göre ;
P( 5 ; 3 ) = 5.4.3 = 60
www.muratguner.net
2- ÖRTEN FONKSİYON
Değer kümesi ile görüntü kümesi eşit olan fonksiyona örten
fonksiyon denir. ( f ( A ) = B )
ÖRNEK
g
f
A
.1
.a
.b
.c
.2
.3
.d
.4
f, örten fonksiyondur
B
A
.a
.b
.1
.c
.2
.3
.d
.4
B
g,fonksiyonu örten değildir.
www.muratguner.net
3- İÇİNE FONKSİYON
Değer kümesi ile görüntü kümesi birbirinden farklı olan
fonksiyona içine fonksiyon denir.( f (A)  B )
ÖRNEK
A
h
.a
.b
.c
.d
.1
.2
.3
.4
h, fonksiyonu içinedir
B
A
k
.a
.b
.c
.d
.1
B
.2
.3
.4
k, fonksiyonu içine değildir.
www.muratguner.net
UYARI
Grafiği verilen bir fonksiyon içine ya da örten olduğunu
anlamak için x eksenine paralel doğrular çizilir.Bu paralel
doğrular grafiği daima keserse örten, grafiği kesmeyen
paraleller varsa f içinedir .
ÖRNEK
f:RR
f:RR
y
y
x
x
Grafiği kesmiyor.
f, örtendir
f, içinedir
www.muratguner.net
BİREBİR ÖRTEN FONKSİYON
f : A  B fonksiyonu hem bire bir hem de örten fonksiyon ise
bire bir örten fonksiyon denir.
 f : A  B fonksiyonunun bire bir örten olabilmesi için s(A) = s(B)
olmalıdır.
 s( A ) = n ve s( B ) = n olmak üzere A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir
ve örten fonksiyon sayısı n! dir.
ÖRNEK
f
A
.1
.a
.2
.b
.3
.c
B
f : A → B fonksiyonunda farklı
elemanların görüntüleri de
farklı ve f ( A ) = B olduğundan
f fonksiyonu birebir örten
fonksiyondur.
www.muratguner.net
ÖRNEK
2008
Aşağıda { a1, a2, a3 } ve B = { b1, b2, b3, b4, b5 } kümeleri
verilmiştir.
f
A
b1
.a1
b2
.a2
b3
.a3
B
A dan B ye f( a2 ) = b4 olacak
şekilde kaç tane birebir
f fonksiyonu tanımlanabilir?
b4
b5
ÇÖZÜM
s( A ) = 2, s( B ) = 4 kabul edelim.
P( 4 ; 2 ) = 4.3 = 12
A’dan B’ye 1:1 fonk. sayısı
P( m;n ) = m.(m – 1)(m – 2 )…
n tane
www.muratguner.net
ÖRNEK
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1:1 ve örtendir?
Üç elaman aynı elamanla
eşlendiği için fonksiyon birebir
olmaz.

fonksiyon değil
İki elaman aynı elamanla
eşlendiği için fonksiyon birebir
olmaz.
www.muratguner.net
BİREBİR İÇİNE FONKSİYON
f : A  B fonksiyonu hem bire bir hem de içine fonksiyon ise
f fonksiyonuna bire bir içine fonksiyon denir.
ÖRNEK
g
A
.a
.b
.c
.1
.6
.3
.4
.5
B
g (A)
g:AB
fonksiyonunda farklı
elemanların
görüntüleri de farklı
ve g(A)B
olduğundan f
fonksiyonu bire bir
içine
fonksiyondur.
www.muratguner.net
ÖRNEK
Aşağıdaki şemalarla belirtilmiş fonksiyonların hangi türleri
tanımladığını söyleyiniz.
A
f
B
.a
.b
.c
.d
.1
.2
.3
İçine fonksiyon
C
g
.k
.f
.r
.n
D
.1
.2
.3
Örten fonksiyon
www.muratguner.net
g
f
.1 F
.2
E .p
.r
F .k
.3
.s
.4
Bire bir içine fonksiyon
M
.a
.b
.c
.d
.e
.f
.0
.l
.1
.m
.2
H
Bire bir örten fonksiyon
h
N
.1
.2
.3
Örten fonksiyon
www.muratguner.net
ÖRNEK
s(A) = 3 ve A’ dan A’ ya tanımlanabilecek bire bir ve örten
olmayan fonksiyon sayısı nedir ?
ÇÖZÜM
s( A ) = 3
A’dan A’ya tanımlanabilecek 1:1 ve örten olmayan
fonksiyon sayısı mm – m! dir.
Buradan
33 - 3! = 27 – 6 = 21
ÖRNEK
ÇÖZÜM
ÖRNEK
2012-LYS
www.muratguner.net
5- BİRİM FONKSİYON
Tanım kümesinin her elemanını kendisi ile eşleyen
fonksiyona birim fonksiyon denir.
ÖRNEK
ÖRNEK
f
A
.1
.1
.2
.3
.2
.3
.4
.4
Aynaya baktığınızda kimi
görürsünüz?
B
f : R → R , f( x ) = x
( birim fonksiyon)
fonksiyonunun grafiği
çiziniz. y
45°
45°
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
f :N  N, x  f ( x ) = ( m – 2 )x +1– n fonksiyonunun
özdeşlik( birim ) fonksiyonu olduğuna göre m + n = ?
ÇÖZÜM
f( x ) fonksiyonunun birim fonksiyon olması için f(x) = x olmalıdır.Yani;
eşitliğin sağında sadece x olmalıdır.
m–2= 1
ve
m= 3
m+n=3+1=4
1–n = 0
n = 1
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
www.muratguner.net
4- SABİT FONKSİYON
Tanım kümesinin bütün elemanlarını değer kümesinin yalnız
bir elemanına eşleyen f fonksiyona sabit fonksiyon denir.
s( A ) = n ve s( B ) = m olmak üzere A dan B ye tanımlanabilen sabit fonksiyon
sayısı m dir.
ÖRNEK
G
ÖRNEK
f
.a
.b
.1
.c
.3
.4
.d
.2
S
f : R  R, f( x ) = 4
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
4
x
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( x ) = ( m – 3 )x – 3 ile tanımlı f fonksiyonunun sabit
fonksiyon olması için m kaç olmalıdır?
ÇÖZÜM
f ( x ) fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için f( x ) = c olmalıdır.
( c  R olmalıdır.Yani; x’li ifade olmayacak )
O halde m – 3 = 0  m = 3 için f fonksiyonu sabit fonksiyon
olur.
Yani;
f ( x ) = ( 3 – 3 )x – 3 = – 3
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( x ) = mx + 6x + m + 2 ile tanımlı f fonksiyonunun sabit
fonksiyon olduğuna göre f (111) kaçtır?
ÇÖZÜM
f ( x ) fonksiyonunun sabit fonksiyon olması için f( x ) = c olmalıdır.
( c  R olmalıdır.Yani ; x’li ifade olmayacak )
f ( x ) = ( m + 6 )x + m + 2
m+6=0m=–6
f ( x ) = ( – 6 + 6 )x – 6 + 2 = – 4
f ( 111 ) = – 4
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
www.muratguner.net
SIFIR FONKSİYONU
f : A  B ye y = f ( x ) fonksiyonunda, 0  B ve x  A için
f ( x ) = 0 ise fonksiyona, sıfır fonksiyonu denir.
 Sıfır fonksiyonu sabit fonksiyondur.
ÖRNEK
f : R  R, f ( x ) = 0 ise f fonksiyonu, denklemi y = 0 olan
doğrudur.Grafiği aşağıdaki gibidir.
y
x
Bu doğru x eksenidir
www.muratguner.net
EŞİT FONKSİYONLAR
f : A  B ve g : A  B iki fonksiyon olsun.xA için
f (x) = g (x) ise f ve g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir.
ÖRNEK
A = { 0, 3 } dan B = { 2, 83 } ye tanımlı f(x) = 3x3+ 2 ve
g(x) = 9x2+2 fonksiyonlarının eşit olup olmadığını gösterelim.
ÇÖZÜM
f (0) = 3.03 + 2 = 2
f (3) = 3.33 + 2 = 83
g (0) = 9.02 + 2 = 2
f (0) = g (0)
g (3) = 9.32 + 2 = 83
f (3) = g (3)
f=g
www.muratguner.net
DENK KÜMELER
Boş olmayan A ve B kümeleri verilsin,
f : A  B bire bir ve örten bir fonksiyon ise A kümesi ile B
kümesi , denk kümelerdir denir ve A  B ile gösterilir.
ÖRNEK
A= {1, 2, 3 } kümesi ile
B = { a, b, c } kümesinin
denk kümeler olduğunu
gösterelim.
f
A
.1
.2
.3
B
.a
.b
.c
ÇÖZÜM
f ( 1 ) = a, f ( 2 ) = b, f ( 3 ) = c olacak biçimde, f : A  B
bire bir ve örten fonksiyonu tanımlanabilir.O halde A kümesi
ile B kümesi birbirine denk kümelerdir ( A  B ) ve s (A ) = s ( B )
www.muratguner.net
TERS FONKSİYON
f
f-1
UYARI
Ters fonksiyonun , bir f fonksiyonun yaptığı işin tersini
yaptığını unutmayalım.
www.muratguner.net
A dan B ye tanımlı bir f bağıntısının tersinin
f -1 = { (y, x) l ( x, y )  f } biçiminde yazıldığını biliyoruz.
Her fonksiyon bir bağıntı olduğundan, fonksiyonların
tersinden söz edebiliriz.Bir fonksiyonun tersi, genel olarak
bir bağıntıdır.Ancak bazı fonksiyonların tersleri fonksiyon
olabilir.
ÖRNEK
A
f
B
B
f-1
A
a
1
1
a
b
2
2
b
c
3
3
c
f bağıntısı içine fonksiyondur.
f-1 bağıntısı fonksiyon değildir.
www.muratguner.net
ÖRNEK
A
f
B
B
f-1
A
x
1
1
x
y
2
2
y
z
3
3
z
f = { ( x, 1 ),( y, 2 ),( z, 3 ) }
bağıntısı 1:1 ve örten
fonksiyondur.
f-1 = { ( 1, x ), ( 2, y ), ( 3, z ) }
bağıntısı fonksiyondur.
Bu örneklerden kolayca görülebileceği gibi
bire bir (1:1) ve örten fonksiyonların tersi vardır.
www.muratguner.net
TANIM
f : A → B ye f : x → y = f( x ) fonksiyonu birebir ve örten
fonksiyon olmak üzere, f-1: y → x = f -1( y ) fonksiyonuna
f fonksiyonunun tersi denir.
UYARI
A
B
f
y
x
f-1
 f :A→B fonksiyonu 1:1 ve örten ise f(x) = y  f-1( y ) = x
 ( f -1 )-1 = f
www.muratguner.net
ÖRNEK
f (x) = x3 + x + m şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun ters
( f-1 ) fonksiyonuna ait grafik (4, – 1 ) noktasından geçtiğine
göre m kaçtır ?
ÇÖZÜM
( 4, – 1 )  f-1

( – 1, 4 )  f

f( – 1 ) = 4
f( – 1 ) = (– 1 )3 – 1 + m = 4
–1 –1 +m = 4
–2 +m = 4
m=4+2=6
www.muratguner.net
ÖRNEK
{ 1, 2, 3 } kümesinden { 10, 11, 12 } kümesine aşağıdaki
fonksiyonlar tanımlanıyor.Bu fonksiyonlardan hangisinin ters
fonksiyonu vardır?
a) { ( 1, 11 ), ( 2, 10 ), ( 3, 12 ) }
b) { ( 1, 12 ), ( 2, 11 ), ( 3, 11 ) }
c) { ( 1, 10 ), ( 2, 10 ), ( 3, 10 ) }
d) { ( 1, 10 ), ( 2, 10 ), ( 3, 11 ) }
e) { ( 1, 12 ), ( 2, 11 ), ( 3, 12 ) }
ÇÖZÜM
Bire bir ve örten fonksiyonların tersi olacağından, doğru
cevap A şıkkıdır.
www.muratguner.net
ÖRNEK
x 3
f(x) 
ve f-1 ( a ) = 2
2x  5
ise a = ?
ÇÖZÜM
f
f-1 ( a ) = 2
2
a
f-1
 f(2)=a
2–3
–1
O halde f ( 2 ) = a =
=
9
2.2 + 5
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(x)  3 2x  11
f-1( a + 11) = 8 olduğuna göre a kaçtır?
ÇÖZÜM
f-1( a + 11) = 8

f( 8 ) = a + 11
f( 8 )  3 2.8  11  a  11
3 = a + 11
a=–8
; f :AB fonksiyonu
1:1 ve örten ise
f( x ) = y  f-1( y ) = x
www.muratguner.net
ÖRNEK
f [ f-1( x ) + 2 ] = 7 – 2f-1( x ) olduğuna göre f( 7 ) kaçtır?
ÇÖZÜM
f-1( x ) = 5 alınırsa parantezin içi 7 olacaktır.
f [ 5 + 2 ] = 7 – 2.5
f(7)=–3
www.muratguner.net
ÖRNEK
f : R → R tanımlı doğrusal fonksiyondur.
f( 2) = 10, f-1( – 8 ) = – 1 olduğuna göre f(1) kaçtır?
ÇÖZÜM
f-1( – 8 ) = – 1

f( – 1 ) = – 8
f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğu için
f ( -1 ) = - 8
6
AZALMALI
f ( 2 ) = 10
1
Azalırken
18
AZALMIŞ
3
Azalırken
f ( 2 ) = 10
f(1)=x

f(1)=4
www.muratguner.net
 f ile f-1 fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre
simetriktir.
x
f(x)
f-1(x)
y
www.muratguner.net
ÖRNEK
f :R  R f ( x ) = 2x – 4 ise
f-1( x ) = ?
ÇÖZÜM
 f :AB fonksiyonu 1:1 ve örten ise f( x ) = y  f-1( y ) = x
y = f ( x ) = 2x – 4 ifadesinde x ile y’ nin yerlerini
değiştirelim ve y yi çekelim.
y = 2x – 4
x = 2y – 4

y= x+4
2
= f-1 ( x )
www.muratguner.net
ÖRNEK
2x  1
R – { – 1} de tanımlanan f(x) 
fonksiyonunun ters
x 1
fonksiyonunu yazınız.
ÇÖZÜM
 f :AB fonksiyonu 1:1 ve örten ise f( x ) = y  f-1( y ) = x
x ile y’nin yerlerini değiştirelim ve y yi çekelim.
2x  1
f(x) 
y
x 1

2y  1
x
y 1

x – 1 = 2y – xy

x – 1 = y( 2 – x )

xy + x = 2y + 1

x  1 1
y
 f (x)
2x
www.muratguner.net
BAZI FONKSİYONLARIN TERSLERİNİN PRATİK OLARAK
BULUNUŞU
x
-1
 f(x) = ax ise f (x) = a , a  0
 f(x) = x + a ise f-1(x) = x – a
x b
 f(x) = ax + b ise f (x) 
, a0
a
R–{–d/c}  R–{–a/c}
1
– dx + b
ax + b
-1
ise f ( x ) =
f( x ) =
cx – a
cx + d
 Genel olarak yukarıdaki kurallara uymayan fonksiyonların
terslerini bulmak için x yerine y, y yerine x yazılarak y
değeri yalnız bırakılır.
www.muratguner.net
ÖRNEK
Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz.
a ) y = 2x

f 1(x) 
x
2
x 3
2
b ) y = 2x – 3

f 1(x) 
c ) y = 3x + 5

f 1(x) 
x 5
3
d) y=–x–9

f 1(x) 
x 9
 –x–9
-1
www.muratguner.net
e ) f(x) 
 x 5
3x  2
f ) f(x) 
2  3x
5x
x
g ) f(x) 
3x
h ) f(x)  3x  1
2

f -1(x) 
 2x  5
3x  1

f -1(x) 
 5x  2
x3

3x
 3x

f (x) 
 x 1 x  1

 2x  1 2x  1
f (x) 

3
3
-1
-1
 Verilen
fonksiyonu
ax  b
f(x) 
cx  d
şeklinde
yazmanız
size
kolaylık
sağlar
www.muratguner.net
ÖRNEK
f :R  R f ( x ) = x7 – 48 ise f-1( x ) = ?
ÇÖZÜM
y = f ( x ) = x7 – 48 ifadesinde x ile y ' nin yerlerini değiştirelim ve y' yi
çekelim.
y = x7 – 48
x = y7 – 48

x + 48 = y7
7
x  48 =
7
y7
y = 7 x  48 = f-1( x)
www.muratguner.net
ÖRNEK
f: [ 3,  ) R, f ( x ) = x2 – 4x + 7 olduğuna göre f -1 ( x ) =?
ÇÖZÜM
f ( x ) = y = x2 – 4x + 7
x = y2 – 4y + 7
; x ile y yer değişti
x = y2 – 4y + 4 – 4 + 7
; 4 eklenip 4 çıkarıldı
x = ( y – 2 )2 + 3
x – 3 = ( y – 2 )2

x  3  (y  2)2

y  f 1(x) 
x 3  y 2
x 3 2
www.muratguner.net
ÖRNEK
ax +1
f :R  R , f ( x ) =
x–4
a ne olmalıdır?
ve f ( x ) = f-1 ( x ) olması için
ÇÖZÜM
ax +1
f(x)=
x–4
ise
f-1 (
ax +1
4x + 1
=
x–4
x–a

a=4
4x +1 dir.
x)=
x–a
www.muratguner.net
1981
ÖRNEK
– 2x
f :R  R, f ( x ) =
biçiminde verilen bir fonksiyondur.
x+a
f ( x ) = f -1 ( x ) olması için a ne olmalıdır?
ÇÖZÜM
f(x)=
– 2x
=
x+a
–2x
x+a
– ax
x+2
ise

f
-1(
–ax
x)=
x+2
a=2
dir.
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( x3 – 3x2 – 5 ) = 3x3 – 9x2 + 7 ise f-1( x ) = ?
ÇÖZÜM
a


x

x3 – 3x2 – 5
3.( x3 – 3x2 – 5 ) + 22
3a + 22
3x + 22
f ( x ) = 3x + 22
x  22
f (x) 
3
1
www.muratguner.net
ÖRNEK
1997
f : lR– { –1 }  lR – { 3 } , x = f ( x ) + 2
3–f(x)
f-1 (x) = ?
olduğuna göre
ÇÖZÜM
f(x)+2
x=
3–f(x)
f(x)’i yalnız bırakmak
gerekir.

x.( 3 – f ( x ) ) = f ( x ) + 2
3x – x f ( x ) = f ( x ) + 2
3x – 2 = f ( x ) + x f ( x )
3x – 2 = f ( x )( 1 + x )
3x – 2
f(x)=
x+1

f
–1(
–x–2
x)=
x–3
www.muratguner.net
ÖRNEK
2+3
x
olduğuna göre f (x) = ?
f ( 2x +1 ) =
5
ÇÖZÜM
1992
2x + 1 fonksiyonunun tersi alınıp eşitliğin sağında ve solunda x yerine
yazılırsa f( x ) fonksiyonu elde edilir.
2

x
 2x  1
x

1




 3 
4
2 


f(x) 

5
5
2
2

x
 2x  1 12
  3

4

5
x 2  2x  13

20
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( 3x – 2 ) = x2 + 1 ise f ( x ) = ?
ÇÖZÜM
3x – 2 ’ in tersini eşitliğin sağında x yerine yazınız
2
 x 2 
f(x)  
 1
 3 
 x 2  4x  4
f(x)  
9


  1

x 2  4x  4  9
f(x) 
9
x 2  4x  13

9
www.muratguner.net
ÖRNEK
y
f : R  R fonksiyonunun grafiği veriliyor.
f ( 2 ) + f-1 ( 2 ) kaçtır ?
f (–1) + f-1 ( 3 )
ÇÖZÜM
f (x)
3
2
1
–1
2
x
Grafiği verilen bir f( x ) fonksiyonu için ; f( a ) , x ekseni üzerimdeki a noktasından
y eksene çizilen paralelin grafiği kestiği noktanın ordinatıdır.
f ( 2 ) = 3,
f (–1) = 1
Grafiği verilen bir f( x ) fonksiyonu için ; f-1( a ) , y ekseni üzerimdeki a noktasından
x eksene çizilen paralelin grafiği kestiği noktanın apsisidir.
f-1( 2 ) = 0, f-1( 3 ) = 2
3+0
f ( 2 ) + f-1 ( 2 )
1
=
=
f (–1) + f-1 ( 3 )
1+2
www.muratguner.net
ÖRNEK
y
Yandaki grafiğe göre ;
f(x)
5
4
–5
a ) f - 1 ( f –1 ( 4 ) ) = ?
–3
7
0
4
5
x
B ) f( f ( 4 ) ) = ?
–3
–5
ÇÖZÜM
a ) f- 1(f-1 ( 4 )) = f- 1(– 5 ) = 7
f-1( 4 ) bulunurken önce y
ekseninden 4 alınır ve sonra 4’e
karşılık gelen x değeri bulunur.
b)f(f ( 4))=f(5) =0
f( 4 ) bulunurken önce x ekseninden
4 alınır ve sonra 4’e karşılık gelen y
değeri bulunur.
www.muratguner.net
BİLEŞKE FONKSİYON
ÖRNEK
f
A
g
B
C
gof
Hurda demiri ayrı ayrı fabrikalarda işleyip JEEP’e
dönüştürmek yerine, tek fabrikada hurda demirden JEEP
elde etme işine bileşke işlemi diyeceğiz.
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = {– 2, 0, 2, 4 }, B = { 0, 4, 16 }, C = { 1, 3, 9 } kümeleri ile
x
, g: B  C , g ( x ) =
+1
2
f : A  B , f (x ) =
fonksiyonlarını şema ile gösterelim.
x2
ÇÖZÜM
f(x)=
x2
g( x ) 
x
1
2
f (– 2 ) = ( – 2 )2 = 4
g(0) = ( 0/2)+1=1
f ( 0 ) = 02 = 0
g(4) = ( 4/2)+1=3
f ( 2 ) = 22 = 4
f ( 4 ) = 42 = 16
g ( 16 ) = ( 16 / 2 ) + 1 = 9
www.muratguner.net
f (– 2 ) = ( – 2 )2 = 4
g(0) = ( 0/2)+1=1
f ( 0 ) = 02 = 0
g(4) = ( 4/2)+1=3
f ( 2 ) = 22 = 4
g ( 16 ) = ( 16 / 2 ) + 1 = 9
f ( 4 ) = 42 = 16
A
.–2
.0
.2
.4
f
B
.0
g
C
.1
.4
.3
.16
.9
f ve g fonksiyonları yardımı ile
A kümesinin elemanları C’ nin
elemanları ile eşlenmiştir.
A
.–2
gof
C
.1
.0
.3
.2
.4
.9
gof fonksiyonu A’nın her
elemanını C’nin bir z elemanı ile
eşlemektedir.
www.muratguner.net
TANIM
f : A  B ye ve g : B  C ye fonksiyonları verilsin. f( x ) = y
g ( y ) = z olsun. g o f : A  C, ( g o f ) ( x ) = z olan
fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve " g o f "
yazılışı " g bileşke f " diye okunur.
B
A
x
f
C
y = f(x)
g
z = g(y)
 Bileşke
gof
( g o f )( x ) = g( f (x ) ) = g( y ) = z
fonksiyonda
uygulamanın
sağdan sola
doğru olduğuna
dikkat ediniz.
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ve g, R den R’ye tanımlıdır.
f( x ) = 4x – 5
ve
g( x ) = x2 + 1 olduğuna göre
( f o g )( x ) ve ( g o f ) ( x ) fonksiyonlarını bulunuz.
ÇÖZÜM
( f o g ) ( x ) = f( g( x ) ) = f (x2 + 1) = 4( x2 + 1 ) – 5 = 4x2 – 1
Sağdaki g fonksiyonunu solda,
f de x yerine yaz
( g o f ) ( x ) = g( f( x ) ) = g( 4x – 5 ) = ( 4x – 5 )2 + 1
Sağdaki f fonksiyonunu solda,
g de x yerine yaz
= 16x2 – 40x + 26
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( x ) = x + 3 , g ( x ) =x2 – 2 ise ( f o g )( – 1 ) = ?
ÇÖZÜM
( f o g )( – 1 ) = f ( g ( –1 ) )
=f(–1)
=–1 +3
=2
; g ( – 1 ) = ( – 1 )2 – 2 = – 1
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(x) = – x + 5
g( x ) = x2006 + 3x2005 – 10 olduğuna göre ( fog )( – 3 ) = ?
ÇÖZÜM
( fog )( – 3 ) = f( g( – 3 ) )
= f( – 10 )
= 15
g( x ) = x2005 ( x + 3 ) – 10
g( – 3 ) = – 10
www.muratguner.net
ÖRNEK
f (x) = 4x
ise ( f o f o ... o f ) ( x ) = ?
10 tane
ÇÖZÜM
( f o f ) ( x ) = 4.( 4x ) = 42 . x
( f o f o f ) ( x ) = 42. ( 4x )= 43 . x
……
( f o f o f o f ) ( x ) = 43.( 4 x ) = 44 . x
( f o f o f o f o.....o f ) ( x ) = 49.( 4x ) = 410 . x
10 tane
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(x) doğrusal fonksiyon olmak üzere ( f o g )( x ) = 2.g(x) + 5
olduğuna göre (f o f )( 3 ) =?
ÇÖZÜM
f ( g( x ) ) = 2.g(x) + 5
(f o f )( 3 ) = f( f ( 3 ) )

f ( x ) = 2x + 5
; f ( 3 ) = 2.3 + 5 = 11
= f( 11 )
= 2.11 + 5 = 27
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { 1, 2, 3, 4 } kümesinde
f = {(1, 3), (2, 3), (3, 4), (4, 2) } fonksiyonu tanımlanıyor.
Buna göre ( f o f o f o f )( 1 ) = ?
ÇÖZÜM
f(f(f(f(1))))=f(f (f(3)))
=f(f (4))
=f(2)
=3
www.muratguner.net
BİLEŞKE FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ
1–foggof
; Değişme özelliği yoktur.
2–(fog)oh=fo(goh)
; Birleşme özelliği vardır.
3 – f o f-1 = f-1 o f = I( x )
; Birim fonksiyon
4 – f o I= I o f = f
5 – (f o g )-1 = g-1 o f-1
6 – f o g = g o f = I( x ) ise f = g-1 veya f-1 = g
7 – a) f o g = h ise g = f-1 o h
b) g o f = h ise
f = g-1 o h
www.muratguner.net
ÖRNEK
[ ( f o g )-1 o f ] ( x ) = 4x – 7
ise g ( 5 ) = ?
ÇÖZÜM
[(fog)
-1
; (f o g )-1 = g-1 o f-1
o f ] = g-1 o f-1 o f
= g-1 o ( f-1 o f )
; Bileşme özelliği
= g-1 o I(x)
;foI=Iof =f
= g-1
[(fog)
-1
of
]-1 = (
g -1 ) -1 =
x+7
4
= g(x)
g(5) =
5+7
4
= 3
www.muratguner.net
ÖRNEK
R den R ye f ve g fonksiyonları veriliyor.
f ( x ) = 2x + 5, ( f o g )= 6x +1 olduğuna göre g(x ) =?
ÇÖZÜM
1. YOL
( f o g )( x ) = 6x + 1

f ( g ( x ) ) = 6x + 1
2 g ( x ) + 5 = 6x + 1
2 g ( x ) = 6x – 4
g ( x ) = 3x – 2
www.muratguner.net
ÇÖZÜM
2. YOL
[ f -1 o ( f o g ) ] ( x )
-1 o f ) o g ]( x )
[
(
f
=
= ( I o g )( x )
[ f -1 o ( f o g ) ] ( x )
= (g)(x)
[ f -1 o ( f o g ) ] ( x )
= (
x–5
) o ( 6x + 1 )
2
6x + 1 – 5
=
2
6x – 4
= 3x – 2
=
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( x ) = 2x + 3, ( f o g )( x ) = 2x – 5
ise g( x ) = ?
ÇÖZÜM
( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = 2 g( x ) + 3 = 2x – 5
2 g( x ) = 2x – 5 – 3
2 g( x ) = 2x – 8
2 g( x ) = 2 ( x – 4 )
g( x ) = x – 4
www.muratguner.net
ÖRNEK
g ( x ) = 4x – 8 , ( g o f )( x ) = 3x2 – 1
ise f( x ) = ?
ÇÖZÜM
( g o f )( x ) = g ( f ( x ) ) = 4f(x) – 8 = 3x2 – 1
4f(x) = 3x2 + 7
3x 2  7
f( x ) 
4
www.muratguner.net
ÖRNEK
g ( x ) = – x +3, ( f o g )( x ) = – 2x – 1 ise f-1( 3 ) = ?
ÇÖZÜM
( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( – x + 3 ) = – 2x – 1
f-1 ( – 2x – 1 ) = – x + 3
f( x ) = y  f-1( y ) = x
x = – 2 için
f-1 ( 3 ) = 5
www.muratguner.net
ÖRNEK
1989
(fog)(x)=
x
ve f ( x ) = x + 1
x2 + 1
olduğuna göre g ( x ) = ?
ÇÖZÜM
( f o g )( x ) = f ( g ( x ) )
= g(x)+1=
g(x) =
g(x) =
x
x2 + 1
x
x2 + 1
x – x2 – 1
x2 + 1
–1
www.muratguner.net
ÖRNEK
1988
x
ve g ( x ) = x + 1
(fog)(x)= 2
x +1
olduğuna göre f( x ) = ?
ÇÖZÜM
x yerine yaz
Tersini
x
( f o g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x + 1 ) =
x2 + 1
f(x)=
=
x–1
( x – 1 )2 + 1
x–1
x2 – 2x + 2
www.muratguner.net
ÖRNEK
f ( x ) = 3x + 5
ve g ( x ) = 3x – 4 ise ( f-1og )-1 ( 2 ) =?
ÇÖZÜM
( f-1og )-1 ( 2 ) = ( g-1 o ( f-1 )-1 ) ( 2 )
; ( f-1 )-1 = f
= ( g-1 o f ) ( 2 )
= g-1( f ( 2 ) )
=
g-1(
=5
11 )
; f ( 2 ) = 3( 2 ) + 5 = 11
; g-1( x ) =
x+4
3
www.muratguner.net
ÖRNEK
g( x ) = x2 – 1 ve f( x ) = 3x – 7 ise ( g o f-1 )-1 ( x ) = ?
ÇÖZÜM
( gof-1 )-1 ( x ) = [ ( f-1 )-1 o g-1 ] (x )
; (f o g )-1 = g-1 o f-1
= ( f o g-1 )(x )
= f ( g-1 ( x ) )
= f ( x 1 )
= 3 x 1 – 7
; g-1( x ) = x + 1
?
www.muratguner.net
ÖRNEK
f(x) = ax + b, g(x) = 3x – 1 fonksiyonları veriliyor.
(fog)(x) = (gof)(x) olması için a ve b arasındaki bağıntı
ne olmalıdır.
ÇÖZÜM
( f o g )(x) = ( g o f )(x) = x olması halinde eşitlik sağlanır.
O halde f o f-1 = I ( x ) = x olduğundan
g-1( x ) = f ( x ) olmalıdır.
?
( f o g )( x ) = f o f-1 = I (x) = x
Buradan
f(x)=
x+1
= ax + b
3

a=b=
1
3
www.muratguner.net
ÖRNEK
5f( x ) – g( x ) = 3x – 15
( f o g-1)( x ) = x olduğuna göre f-1( 3 ) kaçtır?
ÇÖZÜM
( f o g-1)( x ) = x ve g o g-1 = I ( x ) = x olduğundan
g( x ) = f ( x ) olmalıdır.
5f( x ) – g( x ) = 3x – 15
5f( x ) – f( x ) = 3x – 15
4f( x ) = 3x – 15
3x  15
f(x) 
4

 4x  15
f (x) 
3
-1

f -1(3)  9
www.muratguner.net
ÖRNEK
I( x ) birim fonksiyon olmak üzere
f(x) 
3x  1
 2 
g
, ( g o f ) ( x ) = I( x ) dir. 
?
5
 5 
ÇÖZÜM
 3x  1 
x
( g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) )  g
 5 
x = 1 için
 2 
g
 1
 5 
; I( x ) = x
www.muratguner.net
ÖRNEK
–x +1
,x< 2
olduğuna göre ( f o f o f ) ( 2 ) = ?
f (x) =
– 5x+7 , x  2
ÇÖZÜM
(fofof)(2)=f(f(f(2)))
; f ( 2 ) = – 5.2 + 7 = –10 + 7 = – 3
= f ( f (–3 ) )
;f(–3)=–(–3)+1=4
=f(4)
; f ( 4 ) = – 5.4 +7 = – 20 +7 = –13
= –13
www.muratguner.net
ÖRNEK
2000
f(x)
g(x)
g (x) = x3 ve f(x)
fonksiyonunun grafiği yanda
verilmiştir.Buna göre
8
0
4
2
( f o g-1 o f ) ( 0 ) =?
ÇÖZÜM
( f o g-1 o f ) ( 0 ) = f ( g-1 ( f ( 0 ) ) )
= f ( g-1 ( 8 ) )
=f(2)
=0
; g-1( 8 ) = 2
?
www.muratguner.net
ÖRNEK
1998
y
g(x)
3
Grafikteki bilgilere göre ,
2
f(x)
1
2
3 4
x
g( 1 )  ( f o g )( 2 )
?
f(4)
–2
ÇÖZÜM
2f (3)
g( 1 )  ( f o g )( 2 )
g( 1 )  ( f ( g ( 2 ) )


f(4)
f(4)
f(4)
 2  0  1
2
www.muratguner.net
ÖRNEK
y
y = f ( x ) fonksiyonunun grafiği
yanda verilmiştir.( f o f )( x ) = 4
şartını sağlayan x değerlerinin
toplamı kaçtır?
4
–4
0
3
4
x
ÇÖZÜM
( fof )(x)=4  f(f(x))=4 
x=–4
f(x)=0
x=3
x=4
Toplam = – 4 + 3 + 4 = 3
www.muratguner.net
ÖRNEK
www.muratguner.net
PERMÜTASYON FONKSİYON
A  A tanımlanan birebir ve örten her fonksiyona
permütasyon fonksiyon denir. s(A) = n ise n! kadar
permütasyon fonksiyon vardır.
ÖRNEK
A = {1, 2, 3, 4 }, f : A  A f = { (1, 3), ( 2, 1), ( 3, 4 ), (4, 2) }
fonksiyonu permütasyon fonksiyondur ve
Tanım Kümesi
f=
1234
3142
şeklinde gösterilir.
Değer Kümesi
( Görüntü - Kümesi )
www.muratguner.net
ÖRNEK
A ={1,2,3,4 } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları
f =
1234
3421
1234
g=
4312
ise
b) g(3)=?
a) f(2)=?
c ) f fonksiyonunun tersini yazınız.
d ) g fonksiyonunun tersini yazınız.
ÇÖZÜM
a) f= 1234
3421
f fonksiyonunda 2 , 4 ile eşlendiğinden f( 2 ) = 4
www.muratguner.net
f =
1234
3421
b) g =
g=
1234
4312
1234
4312
g fonksiyonunda 3, 1 ile eşlendiğinden g( 3 ) = 1
c)
f-1 =
1234
4 31 2
-1
d) g =
1234
3 42 1
www.muratguner.net
ÖRNEK
A ={a, b , c , d } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları
f =
abcd
cabd
g=
abcd
dcab
ise ( f o g ) = ?
ÇÖZÜM
(fog)=
abcd
cabd
abcd
=
dbca
o
abcd
dcab
d
b
a
c
b
a
c
c
b
a
d
d
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { 1 , 2 , 3 , 4 } kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları
f =
1234
2143
1234
-1
-1
ve g = 3 1 2 4 ise ( f o g ) = ?
ÇÖZÜM
( f-1 o g )-1 = g-1 o ( f-1 )-1 = g-1 o f
=
1234
2314
=
1234
3241
o
1234
2143
; (f o g )-1 = g-1 o f-1
4
3
1
3
2
4
1
4
2
1
2
3
www.muratguner.net
ÖRNEK
ÇÖZÜM
g( f-1 ( 2 ) = g ( 4 ) = 1
2010 – LYS
www.muratguner.net
FONKSİYONLARLA YAPILAN İŞLEMLER
f : A  R, g : B  R fonksiyonları için A ∩ B   olsun.
1) f + g : A ∩ B  R, ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
2) f – g : A ∩ B  R, ( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x )
3) f . g : A ∩ B  R, ( f . g )( x ) = f ( x ).g( x )
4) c  R olmak üzere c.f : A  R, ( c . f ) ( x ) = c . f ( x )
5) x( A ∩ B ) için g(x) ≠ 0 olmak üzere,
f
f 
f(x)
: A ∩ B  R,  (x) 
g
g(x)
 g
www.muratguner.net
ÖRNEK
f : { 1, 3 }  R, f ( x ) = x2 +2, g : { – 2, 1 }  R,
g ( x ) = 2x – 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre 2f + g
fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
f : A  R, g : B  R fonksiyonları için A ∩ B   olsun.
f + g : A ∩ B  R, ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
{ 1, 3 } ∩ { – 2, 1} = { 1 }
( 2f + g ) ( 1 ) = 2 f (1 ) + g ( 1 )
= 2 (12 +2 ) + (2.1 – 1 )
=6+1=7
www.muratguner.net
ÖRNEK
g ( x ) = – x + 4, f ( x ) = x2 + 3 , h ( x ) = x3 – 1 olduğuna
(h  f  g)( 2)
?
göre
hg( 1)
ÇÖZÜM
(h  f  g)( 2)
h ( – 2 ) – f ( – 2 ) + g (– 2 ) – 9 – 7 + 6

=
h ( – 1 ).g (– 1 )
(– 2 ) . 5
hg( 1)
=
– 10
=1
– 10
www.muratguner.net
ÖRNEK
www.muratguner.net
ÖRNEK
1990
1
, ….. x < 0
– 1 , ….. x < 0
g(x ) = x +1 , .…. 0  x < 1
f( x ) =
x – 1 , .…. x  0
0
, .…. 1  x
olduğuna göre (f + g )(x) grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
ÇÖZÜM-1
2

1

1
–1
–1

1
1

( f + g )( 3
0,2
) =) =
f( f(
3 )0,2
+ g(
) +3g(
) =0,2
2 +) =
0–
=0
2 , 8 + 1,2 = 0,4
1
–1
www.muratguner.net
ÖRNEK
1990
1
, ….. x < 0
– 1 , ….. x < 0
g(x ) = x +1 , .…. 0  x < 1
f( x ) =
x – 1 , .…. x  0
0
, .…. 1  x
olduğuna göre (f + g )(x) grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
ÇÖZÜM-2
2
1+1
x < yerlerde
0
Fonksiyonların tanım–kümelerinin
aynı,olduğu
dört işlem yapılabilir.
( f + g )( x ) =1 x – 1+ x + 1 , 0 1x < 1
–1
x–1+0
,– 1 1  x
1
0
,……. x < 0
1
,……..
0x<1
( f + g )( x ) = 2x
–1
x – 1 , .…… 1  x
1
Çizim size bırakılmıştır.