MAT - Mustafa Sezer PEHLİVAN Mustafa Sezer PEHLİVAN

*
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Yüksek İhtisas Üniversitesi
Beslenme ve Diyetetik Bölümü
KARTEZYEN ÇARPIMI
İlk elemanı birinci kümeden, ikinci elemanı ikinci
kümeden
gelen
ikililerin
oluşturduğu
kümeye
Kartezyen Çarpımı denir.
Örnek : A = {a,b} ve B = {1,2,3} ise
A x B = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}
B x A = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
yazılır.
olur.
şeklinde
Mustafa Sezer PEHLİVAN
KARTEZYEN ÇARPIMI
Örnekte olduğu gibi;
AxB≠BxA
(Kartezyen çarpım işleminin değişme özelliği yoktur.)
Yine örnekte görüldüğü gibi A kümesinin 3, B
kümesinin 2 elemanı vardır. AxB kümesinin eleman
sayısı ise 6 ‘dır.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
KARTEZYEN ÇARPIMI
Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ;
kartezyen
çarpımı
oluşturan
kümelerin
eleman
sayılarının çarpımına eşittir.
s(AxB) = s(BxA) = s(A). s(B)
Mustafa Sezer PEHLİVAN
BAĞINTI
Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt kümesine
Bağıntı denir.
Eğer bağıntı, AxB ‘nin alt kümesi ise o bağıntıya A’dan
B’ye bir bağıntı denir.
Buradaki birinci küme, bağıntının tanım kümesi ; ikinci
küme ise bağıntının değer kümesi olarak adlandırılır.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
BAĞINTI
“n” elemanlı bir kümenin tüm bağıntılarının sayısı 2n
olduğundan dolayı A’dan B’ye yazılabilecek tüm
bağıntıların sayısı da 2s(A).s(B)’ dir.
Örneğin;
s(A) = 4 ve s(B) = 3 ise A’dan B’ye yazılabilecek tüm
bağıntıların sayısı 212 olur. Tabii ki aynı şekilde B’den
A’ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 212 ‘dir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
BAĞINTI
Örnek:
A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere A’dan B’ye bir
bağıntı tanımlayalım :
b ={(1,1),(2,a),(3,2) } ise grafik ile gösterimi şöyle olur :
β
A
1
2
3
B
1
2
a
b
C
Mustafa Sezer PEHLİVAN
BAĞINTI
b : A  B olmak üzere tanımlanmış;
A tanım kümesi, B değer kümesi, C ise görüntü
kümesi olarak tanımlanır.
Örnek üzerinden tanımlarsak;
C = b (A) = {b(1), b(2), b(3)} = {1,2,a} kümesine
görüntü kümesi denir ve görüntü kümesi her zaman
değer kümesi ile aynı anlama gelmeyebilir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A’nın her
elemanını B’nin bir tek
elemanı ile eşleyen f
bağıntısına A dan B ye bir fonksiyon denir ve
f:A
B, A
f
B veya x
f(x)=y biçiminde
gösterilir.
A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine
ise değer kümesi denir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
Şekilde A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)} biçiminde de gösterilir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
Eğer bağıntı; tanım kümesinin her elemanını değer
kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa
o bağıntıya fonksiyon denir.
Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon
aynı zamanda bir bağıntıdır.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
Not:
Verilen bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için;
 Tanım
kümesinde
açıkta
eleman
kalmamalıdır.
Değer kümesinde açıkta eleman kalabilir. Yani tanım
kümesinin her elemanının kullanılmış olması gerekir.
 Tanım kümesinin her elemanının yalnız bir tane eşi-
değeri- olmalıdır.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2
elemanının 1’den fazla değeri
olduğu için fonksiyon değildir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
Tanım kümesinde açıkta
eleman kaldığı için
fonksiyon değildir.
f(2) = tanımsız.
Her iki şartı da sağladığı
için fonksiyondur.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
Tanım kümesinin bir x elemanı, değer kümesinin bir y
elemanına f ile bağlı ise bunu, bağıntıda kullanılan
(x,y) ϵ f şeklinde gösterim yerine f:x
y veya
genellikle y=f(x) biçiminde gösterilir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
 Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı
fonksiyon olmayabilir.
 Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
 s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
 A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
 B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
 A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan
bağıntıların sayısı 2m.n – nm dir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
 Grafiği
verilen
bir
bağıntının
fonksiyon
olup
olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular
çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği grafiği yalnız
ve yalnız bir noktada kesiyorsa verilen bağıntı x ten y
ye bir fonksiyondur.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
Örnek:
Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış
fonksiyonun tanım, görüntü ve değer kümelerini
bulunuz.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
Çözüm:
Tanım kümesi = [-1,7]
Değer kümesi = [-5,8]
Görüntü kümesi = [-5,8]
Görüntü kümesi, değer kümesine eşit veya onun alt
kümesi olabilir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
Örnek:
Aşağıda gerçel sayılarda tanımlanmış olan bağıntı
fonksiyon mudur ?
-4
y
x
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON
Çözüm:
Bu bağıntı, tanım kümesinin (-,-4) aralığındaki
değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir.
Aynı zamanda [-4,) aralığındaki değerlerinin de
birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir.
Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için
yeterlidir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
FONKSİYON TÜRLERİ
İçine Fonksiyon
Eğer fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin alt
kümesi (değer kümesinin bazı elemanlarının tanım
kümesinde karşılığı yok) ise bu tür fonksiyonlara İçine
fonksiyon denir.
İçine fonksiyonlarda değer kümesinde en az bir
eleman açıktadır.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Birebir Fonksiyon
x1,x2  A için,
f (x1) = f (x2) iken x1 = x2 ise,
f fonksiyonu bire bir fonksiyondur Ya da
f (x1)  f (x2) iken x1  x2 ise,
f fonksiyonu bire birdir.
f, A dan B ye bir fonksiyon olsun. f nin tanım
kümesindeki her farklı elemanının görüntüsü farklı
ise, f fonksiyonuna bire bir (1-1) fonksiyon denir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Birebir Fonksiyon
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi, değer kümesine
fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
eşit
olan
f:A→B
f(A) = B ise, f örtendir.
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen
bire bir örten fonksiyonların sayısı,
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Örten Fonksiyon
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Birim Fonksiyon
Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü yine aynı
ise bu tip fonksiyona birim fonksiyon denir ve  ile
gösterilir.
f:AB
f(a) = a, f(b) = b, f(c) = c dir.
Buna göre, f birim fonksiyondur.
f
A
B
a.
.a
b.
.b
c.
.c
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Sabit Fonksiyon
Tanım
kümesindeki
kümesindeki
bir
bütün
elemanları
elemana
değer
eşleyen
fonksiyona sabit fonksiyon denir.
x  A ve c  B için, f(x) = c oluyorsa f, A dan B ye
sabit fonksiyondur.
c = 0 vex  A için, f(x) = 0 ise f fonksiyonu sıfır
fonksiyonudur.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Sabit Fonksiyon
f
h
A
B
1.
2.
3.
C
D
. -1
. -1
1.
.0
.0
2.
.1
.1
3.
.2
f(x) = 1 fonksiyonu
sabit fonksiyondur.
.2
h(x) = 0 fonksiyonu
sıfır fonksiyonudur.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Tek ve Çift Fonksiyon
f:R→R
 f(-x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
 f(-x) = -f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Fonksiyonlarda Dört İşlem
f ve g birer fonksiyon olsun.
f:R→R
g:R→R
olmak üzere,
f ± g(x): R → R
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Fonksiyonlarda Dört İşlem
f . g(x): R → R
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
f/g (x): R → R
f/g (x)=f(x)/g(x), (g(x)≠0)
Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan
 Birincisi; işlemlerin sonucunun tanım kümesi, f ve g fonksiyonlarının
tanım kümelerinin kesişim kümesidir,
 ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların
görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Ters Fonksiyon
f : A  B, f = {(x, y)|x  A, y  B}
bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B  A, f–1 = {(y, x)|(x, y)  f} fonksiyonuna f nin
ters fonksiyonu denir ve f–1(x) ile gösterilir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Ters Fonksiyon
f
A
B
f:AB
f(x) = y
f -1(y) = x
.y
x.
f -1
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Ters Fonksiyon
(x, y)  f ise, (y, x)  f–1 olduğu için,
y = f(x) ise, x = f–1(y) dir.
Ayrıca, (f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ≠ f(x) tir.
f fonksiyonu bire bir ve örten değilse,
f–1 fonksiyon değildir.
f : A  B ise, f–1 : B  A olduğu için, f nin tanım
kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi
de, f–1 in tanım kümesidir.
f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.
f–1(b) = a ise, f(a) = b dir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Ters Fonksiyon
y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
y = f(x)  x = f -1 (y) olduğundan f -1 i bulmak için x,y cinsinden
bulunur ve x ile y nin yerleri değiştirilir.
Örnek:
f :R
R, f(x)
f(x)
olduğuna göre f -1 i bulalım.
y
 3x + 2 = 4y
 3x = 4y - 2
x
f: R
R
f: x
y
f(x) =y
 f -1 (x)
olur.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Bileşke Fonksiyon
f : A  B, g : B  fC fonksiyonları
tanımlansın. f ve
g
B
C
A
g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C
kümesinin elemanlarına
eşleyen fonksiyona
g ile f
x.
.z
.y
nin bileşke fonksiyonu denir ve gof(x)=g(f(x))
şeklinde gösterilir.
gof
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Bileşke Fonksiyon
Bileşke fonksiyonların özellikleri
• Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda, fog ≠ gof dir.
• Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu
“fonksiyonlarda
değişme
özeliği
yoktur.”
gerçeğini
değiştirmez.
• Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
• Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
Mustafa Sezer PEHLİVAN
SORU 1:
Mustafa Sezer PEHLİVAN
SORU 2:
Mustafa Sezer PEHLİVAN
SORU 3:
Mustafa Sezer PEHLİVAN
SORU 4:
Mustafa Sezer PEHLİVAN
SORU 5:
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 ,𝑔 𝑥 =
hesaplayınız.
1
𝑥
için
aşağıdaki
ifadeleri
 𝑓+𝑔 3
 𝑓−𝑔 8
 𝑓. 𝑔 −1

𝑓
𝑔
35
 2𝑓 + 3𝑔 15
Mustafa Sezer PEHLİVAN
SORU 6:
𝑓 𝑥 =
1−𝑥
,𝑔
1+𝑥
𝑥 =
1+𝑥
1−𝑥
için
 𝑓𝑜𝑓 𝑥
 𝑓𝑜𝑔 𝑥
 𝑔𝑜𝑓 𝑥
 𝑔𝑜𝑔 𝑥
Mustafa Sezer PEHLİVAN
Soru 7:
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 1, 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 1 için aşağıdaki ifadeleri
hesaplayınız.
• 𝑓 𝑓 2
• 𝑓 𝑔 1
• g 𝑓 −1
• g 𝑔 0
Mustafa Sezer PEHLİVAN