VOLAN ENERJI DEPOLAMA SISTEMLERI

MAK585 Dinamik Sistemlerin
Modellenmesi ve Simülasyonu
2017-Güz Dönemi
Gebze Teknik Üniversitesi
Makine Mühendisliği Bölümü
Prof.Dr. Selim Sivrioğlu
[email protected]
20.10.2017
Elektrohidrolik servoaktüatör sistem modellemesi
Elektrohidrolik servoaktüatörler büyük ve tahmin edilemeyen dış yüklerin olması
durumunda hızlı ve doğru cevap vermenin gerekli olduğu havacılıkta ve robotik
sistemlerde kullanılmaktadır.
Servoaktüatör elektrohidrolik servovalf ile bağlantılı bir hidrolik silindirden meydana
gelmektedir. Şekilde şematik olarak gösterilmiştir.
Bu sistemde anahtar eleman servovalfdir. Servovalfler debiyi sıfırdan nominal bir
değer arasında değiştirme kapasitesinde olan özellikle debi kontrol valfleri olarak
tasarlanmaktadır. Bu sadece akış yönünü kontrol etmek için iki veya üç belirlenmiş
konum arasında içteki valf makarası gibi hareketli bir elemanı hareket ettirerek
tasarlanan bir çok hidrolik valfden farklıdır.
Servovalf
Servovalf
S kapısı(Besleme)
Q1 debisi C1 kapısı
R kapısı(Dönüş)
ecommand
Ampf.
C2 kapısı Q2 debisi
Fext
mact
P1 , V1
P2 , V2
Hidrolik Aktüatör
bact
xact
kact
Elektrohidrolik servoaktüatör sistem modellemesi
Elektrohidrolik Servoaktüatör Modellemesi
1. Servovalf modeli
2. Mekanik model(piston, piston kolu ve yük hareketinin
modeli)
3. Hidrolik akışkan kapasitansı modeli(hidrolik silindir içi
basınç değişimi modeli)
4. Akışkan debisi değişimi modeli(silindir içi basıncın
valf makara konumuna bağlı switchlenmesi)
adımları ile oluşturulur.
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
Şekilde tipik bir dört yollu hidrolik valfin valf
makarası ve kapılarının kesit hali
gösterilmektedir. Valfin iç elemanları yani valf
makarası birbirinden ayrılabilen kapıları olan
silindirik bir delik içinde hareket etmekte
serbesttir. Makara sağa hareket ettiğinde
kontrol kapılarını(C1 ve C2) sırasıyla besleme
basıncı ve dönüş kapılarına açar. Makara
sola hareket ettiğinde bağlantı tersine döner
ve akışkan besleme kapısından C2 ye ve C1
den dönüş kapısına doğru akabilir. Bir
servovalf, makaranın hızlı ve doğru şekilde
tamamen açık ve tamamen kapalı arasında
herhangi bir noktada konumlanmasını
müsaade eden karmaşık bir mekanizmaya
sahiptir
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
1. Servovalf modeli
Servovalfler için üreticinin verdiği özellikler içinde valf makarasının
cevap zamanı vardır yani valf sargısında akımdaki değişimlere
cevap olarak valf makarasının pozisyonunu değiştirmek ne kadar
hızlı olabilir anlamındadır. Bir çok uygulama için ikinci dereceden
lineer bir model bu cevabı doğru şekilde tanımlar ve bu modelin
parametreleri üretici kataloglarından çıkartılabilir. Bu denklemin
formu
xvalve  vvalve
(1)
vvalve  a1vvalve  a0 xvalve  b0ecommand
(2)
burada a1 , a0 , b 0 model parametreleridir. Bu iki denklem
servoaktüatörün durum denklemini oluşturur.
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
2. Mekanik model
Hidrolik aktüator sisteminin mekanik kısmında
enerji depolayan iki eleman vardır. İlki piston,
piston kolu ve dış yükün biraraya getirdiği kütle
mact ve diğeri yay katsayısı kact dır. Hidrolik
aktüatörün hareket denklemi aşağıdaki şekilde
yazılabilir.
Servovalf
Servovalf
ecommand
Ampf.
Q1 akışı
Q2 akışı
Fext
mact xact  bact xact  kact xact  ( P1  P2 ) Apist  Fext
mact
P1 ,V1
P2 ,V2
Hidrolik Aktüatör
Durum denklemi:
xact  vact
vact 
1
( P1  P2 ) Apist  bact vact  kact xact  Fext 
mact
(3)
(4)
bact
xact
kact
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
3. Hidrolik akışkan kapasitansı modeli
Sistemin hidrolik kısmında aktüatörü harekete geçiren kuvvet, valf yolu ile
aktüatöre giren ve çıkan akışkandan kaynaklanan silindir içindeki basınçtan
meydana gelir. Aktüatör pistonu ve valf arasındaki tuzaklanmış hacim akışkan
kapasitansı olarak modellenebilir ve P1 ve P2 basınçları iki hidrolik kapasitansında
depolanan potansiyel enerjiyi temsil eden durum değişkenleridir:
P1 
P2 
1
(Q1  Apist vact )
Cf1
1
( Apist vact  Q2 )
Cf 2
(5)
(6)
Servovalf
Servovalf
ecommand
Ampf.
Q2 debisi
Q1 debisi
Fext
𝐴𝑝𝑖𝑠𝑡
mact
Cf1 
V1 ( xact )
Cf 2 
V2 ( xact )
(7)
P1 ,V1


P2 ,V2
Hidrolik Aktüatör
(8)
burada  akışkanın bulk modülüdür ve hacim değişimi ve basınç değişimi
arasındaki ilişkiyi belirleyen fiziksel bir özelliktir.
bact
xact
kact
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
Akışkan kapasitansının ifade ettiği anlam, tuzaklanmış hacimlerin(V1 ve V2)
aktüatör içindeki pistonun anlık pozisyonuna bağlı olduğunu belirtmesidir.
Keza Q1 ve Q2 nin işaretleri dikkate alınır. Q1 debisi C1 kapısından çıkan
akışkanın silindirin sol tarafına giren akış olarak tanımlanır. Q2 debisi C2
kapısında silindirin sağ tarafından gelen akışkanın valf içine giren akışkan
olarak tanımlanır.
Servovalf
Servovalf
S kapısı(Besleme)
Q1 debisi C1 kapısı
R kapısı(Dönüş)
ecommand
Ampf.
C2 kapısı Q2 debisi
Fext
mact
P1 , V1
P2 , V2
Hidrolik Aktüatör
bact
xact
kact
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
(1)-(6) denklemleri servo aktüatörü tanımlayan durum değişkeni denklemleridir.
Bununla birlikte valf içine olan debiler(Q1 ve Q2) durum değişkenlerinin
fonksiyonu olarak tanımlanmadığı için model eksiktir.
Genel olarak burada ele alınan sistemdeki makara valfler türbülanslı akışlı
keskin kenarlı orifisler olarak modellenir. Debi valf boyunca basınç farkının kare
kökü ile orantılıdır. Örneğin valf makarasının konumu pozitif ise(Şekilde sağ
taraf) o zaman Q1 aşağıdaki şekilde modellenir:
Q1  Cd Av
2

( Ps  P1 )
(9)
𝑃𝑠
burada Cd orifis katsayısıdır ve genellikle
valf uygulamaları için
0.61 olarak alınır. Av valf makarası tarafından
kapatılan kapı alanı olan
valf orifisinin kesit alanıdır.
𝑃1
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
Valf kesit şeklinden orifis alanının doğrudan valf pozisyonu
xvalve ile orantılı olduğu anlaşılır. Genel olarak gerçek kapı
dikdörtgen şeklindedir ve alan valf makarasının konumu ile
valf kapısının genişliği wvalve in çarpımına eşittir.
Av  wvalve xvalve
(9) denklemi xvalve bağlı olarak aşağıdaki gibi yeniden
yazılabilir.
Q1  Cd wvalve xvalve
2

( Ps  P1 )
(10)
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
4. Akışkan debisi değişimi modeli
Modelin tamamlanması için iki durum daha vardır. Birincisi (10)
denklemi eğer silindir içindeki basınç (P1) besleme basıncı Ps ‘den daha
büyük ise gerçekleştirilemez.
P1  PS
Böyle bir durum çok kısa bir süre için oluşabilir ve denklemlerin bu
ihtimali dikkate alacak şekilde düzeltilmesi gerekmektedir.
𝑃𝑠
Q1 debisi
Q2 debisi
Fext
mact
P1 ,V1
P2 ,V2
Hidrolik Aktüatör
bact
xact
kact
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
4. Akışkan debisi değişimi modeli
Diğeri eğer valf makara pozisyonu negatif ise, Q1 ve Q2 farklı valf kapılarından
gelen veya giden akışları gösterir. Bu durumlar aşağıda şartlı denklemlerle
belirli kabullerle ifade edilmiştir.
if xvalve  0
𝑃𝑠
Q1  Cd wvalve xvalve sgn( Ps  P1 )
xvalve  0
xvalve  0
Q2  Cd wvalve xvalve
Q1 debisi
Q2 debisi
Fext
mact
P1 ,V1
P2 ,V2
Hidrolik Aktüatör
bact
kact
2

2

Ps  P1
(11)
( P2 )
(12)
( P1 )
(13)
if xvalve  0
xact
Q1  Cd wvalve xvalve
2

Q2  Cd wvalve xvalve sgn( Ps  P2 )
2

Ps  P2
(14)
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
>> help sign
sign Signum function.
For each element of X, sign(X) returns 1 if the element
is greater than zero, 0 if it equals zero and -1 if it is
less than zero. For the nonzero elements of complex X,
sign(X) = X ./ ABS(X).
sgn() : signum fonksiyonu
signum fonksiyonunun özelliği:
sgn( y )  1
y0
sgn( y )  1
y0
sgn( y )  0
y0
13
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi-sayısal örnek
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi-sayısal örnek
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
%servopara.m
b0=90;
a0=360000;
a1=1000;
Apist = 0.0075; % mˆ2
S = 0.7; % m
B = 6.89e8; % beta_fluid [Pa]
rho = 900.0; % rho_fluid kg/mˆ3
Cd = 0.61;
wv = 0.0025; % m
Ps = 2.07e7; % Pa
mact=40;
bact=6000;
kact=800;
%servosim.m
plot(tm,Vo(:,1),'b-.',tm,Vo(:,2),'r-')
xlabel('Zaman [s]');
ylabel('x_{act} [m] , v_{act} [m/s]');
legend('x_{act}','v_{act}')
figure(2)
plot(tm,Vo(:,3))
figure(4)
plot(tm,Vo(:,4))
figure(5)
plot(tm,Vo(:,5))
xlabel('Zaman [s]');
ylabel('x_{valve} [m]');
figure(6)
plot(tm,Vo(:,6),tm,Vo(:,7),'r-.')
xlabel('Zaman [s]');
ylabel('Debiler Q_1, Q_2 [m^3/s]');
legend('Q_1','Q_2')
function [pdots1,pdots2, pdots3,pdots4] = vflow(u1,u2,u3,u4,u5)
%
% function to compute valve flows and pressure derivatives
% u1 = valve position
% u2 = P1
% u3 = P2
% u4 = actuator position
% u5 = actuator velocity
% parameters
Apist = 0.0075; % mˆ2
S = 0.7; % m
B = 6.89e8; % Pa
rho = 900.0; % kg/mˆ3
Cd = 0.61;
wv = 0.0025; % m
Ps = 2.07e7; % Pa
%
if u1>= 0
Q1 = Cd*wv*u1*sign(Ps-u2)*(2/rho*abs(Ps-u2))^0.5;
Q2 = Cd*wv*u1*(2/rho*u3)^0.5;
else
Q2 = Cd*wv*u1*sign(Ps-u3)*(2/rho*abs(Ps-u3))^0.5;
Q1 = Cd*wv*u1*(2/rho*u2)^0.5;
end
%
Cf1 = 1/B*1.2*Apist*(S/2+u4);
Cf2 = 1/B*1.2*Apist*(S/2-u4);
%
pdots1= 1/Cf1*(Q1-Apist*u5);
pdots2=1/Cf2*(Apist*u5-Q2);
pdots3= Q1;
pdots4= Q2;
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
Simulasyon bloğuna giriş
başlangıç zamanında 0 V,
0.5 s de 10 V a yükselen ve
1 s de 0 V a dönen zamanla
değişen bir voltajdır. Sistem
hakkındaki bilgimize göre
servovalf tam açık
pozisyonda(10 V kumanda
voltajında) 0.5 inci saniyede
açıldığı durumu ve 1 inci
saniyede kapalı pozisyona
döndüğünü yansıtmaktadır.
Şekil simülasyondan elde
edilen valf makara cevabını
göstermektedir.
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
Şekil valf içinden sisteme olan debi
değişimini göstermektedir. Valf
açıldığında sol taraftaki odaya anlık
olarak debi cevabıdır(Q1) fakat
dönüş tarafının debisi(Q2) cevap
vermekte yavaştır çünkü bu akış yük
pistonu genişlerken düşük basınç
akışkanı aktüatörün dışına akar.
Elektrohidrolik servoaktüatör modellemesi
Son olarak aktüatörün hareketi
şekilde gösterilmiştir. Valf açılması
ve kapanması noktasında sönüm
katsayısının yüksek olmasına
karşın hız oldukça büyük salınımlar
yapmaktadır. Bu aktüatör basınçları
ve debilerini içeren dinamik
genellikle çok yüksek oranda az
sönümlü olduğundan elektrohidrolik
servo sistemlerin tipik özelliğidir.
Ödev
Hidrolik servovalf sisteminin Simulink modelinin aynısını
oluşturunuz.
a. Aynı parametre değerleri için simülasyon sonuçlarını elde
ediniz.
b. mact=80 kg için simülasyon sonuçlarını elde ediniz.
Hareket denklemi: Enerji Metodu
Konservatif bir sistemin hareket denklemi enerji
ilişkisinden oluşturulabilir.
Hareket eden bir konservatif sistemde toplam mekanik
enerji, kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır.
T  U  (toplam mekanik enerji)=sabit
d
(T  U )  0
dt
24
Hareket denklemi: Enerji Metodu
Şekildeki sistemde kütlenin hızından dolayı kinetik enerji T ve
yayın deformasyonundan dolayı potansiyel enerji U söz
konusudur. Sistem konservatif olduğundan toplam mekanik
enerji sabittir ve zamana bağlı türevi sıfır olmak zorundadır.
Yay
kuvveti
Yayın serbest
k
uzunluğu
0
Statik
çökme
 st
Statik
denge
m
0
x
mg
0
Yaydaki
potansiyel
enerji
 st
0
x
Yay
deformasyonu
25
Enerji Metodu
Hareket denklemini çıkarmak için kütlenin hareketi x(t) nin statik
denge konumundan ölçüldüğünü düşünelim.
Yayın kütlesi ihmal edilirse sistemin kinetik enerjisi:
T
1 2
mx
2
Tüm sistemin potansiyel enerjisi
(1) yaydaki gerilme enerjisi,
(2) kütlenin yükseltisinin değişmesinden dolayı enerjinin toplamıdır.
Statik denge konumunda sistemin net potansiyel enerjisi:
x
U   (toplam yay kuvveti)dx  mgx
0
x
  (mg  kx)dx  mgx
0

1 2
kx
2
26
Enerji Metodu
d
(T  U )  0
dt
d 1 2 1 2
 mx  kx   (mx  kx) x  0
dt  2
2

x0
mx  kx  0
x  n2 x  0
n 
k
m
: sistemin doğal frekansı
Doğal frekans sistemin bir özelliğidir. m ve k nin bir fonksiyonudur
ve titreşimin genliğinden veya sistemin hangi yolla hareket
ettirildiğinden bağımsızdır.
27
Enerji Metodu
Problem:
Kütlesi m olan üniform bir silindir
denge konumundan küçük bir q0
açısı kadar döndürülüp bırakılıyor.
Hareket denklemini enerji metodu ile
bulunuz. Silindirin kaymadan döndüğü
kabul edilmektedir.
Çözüm:
k
k
q
+
a
r
x
Eğer silindirin ekseni x mesafesi kadar hareket
ederse ve q açısı kadar dönerse:
+
+
x  rq
yazılabilir. Görüldüğü gibi silindir hem dönme
hareketi hem de öteleme hareketi yapmaktadır.
Dolayısı ile kinetik enerji denkleminde bu durum
dikkate alınacaktır.
28
Enerji Metodu
Silindirin kinetik enerjisi öteleme ve dönme hareketinin
kinetik enerjisi :
T
1 2 1 2
mx  Jq
2
2
Burada J silindirin kütlesel atalet momenti
J
1 2
mr
2
Enerji denklemini q bağlı yazmak istersek
x  rq
T
1
11
1
1
3

m(rq ) 2   mr 2  q 2  mr 2q 2  mr 2q 2  mr 2q 2
2
22
2
4
4

29
Enerji Metodu
Potansiyel enerjide yayların maruz kaldığı toplam deplasman:
x
xa
a
+
+
q
Potansiyel enerji sadece yayların genleşmesi veya sıkışmasından
dolayıdır.
1
U  2  k ( x  xa ) 2  k ( rq  aq ) 2  k (r  a) 2 q 2
2
Ötelemeden dolayı
yerdeğiştirme
dönmeden dolayı
yerdeğiştirme
30
Enerji Metodu
d
(T  U )  0
dt
d 3 2 2
2 2
mr
q

k
(
r

a
)
q 0

dt  4

3 2
mr 2qq  k (r  a ) 2 2qq  0
4
3 2
2 
mr
q

k
(
r

a
)
q q  0

4

q 0
3 2
mr q  k (r  a) 2 q  0
4

31
k (r  a) 2
q
q 0
3 2
mr
4
Enerji Metodu
Şekilde gösterilen disk kütle
merkezi O etrafında dönmektedir.
Diskin O noktası etrafında atalet
momenti Io dur. Ayrıca k yayı a
yarıçapına ve m kütlesi b yarıçapına
bağlanmıştır. Hareket denklemini
enerji metodunu kullanarak
bulunuz.
32
Enerji Metodu
Potansiyel enerji
Kinetik enerji
1 2 1 2 2
kx  ka q
2
2
x  aq
U
1
1
I Oq 2  my 2
2
2
y  bq
T
1
T  ( I O  mb 2 )q 2
2
T  U  sabit
d
(T  U )  0
dt
d 1
1 2 2
2
2
(
I

mb
)
q

ka q   0
O

dt  2
2

( I O  mb 2 )qq  ka 2qq  0
( I O  mb 2 )q  ka 2q  q  0
( I O  mb 2 )q  ka 2q  0
33
Enerji Metodu
q
silindir
R
silindir
R
m
m
J0
0
0
R1
a
0
R1
( R  R1 )q
q1
b
a
mg
a
mg
Sekil m kütlesine ve R1 yarıçapına sahip
R yarıçaplı eğri bir yüzey üzerinde kaymadan
dönen bir silindiri göstermektedir. Sistemin
hareket denklemini enerji metodu ile çıkartınız.
Doğal frekansını bulunuz.
34
Enerji metodu
Silindirin kinetik enerjisi öteleme ve dönme hareketlerinden dolayıdır.
Silindirin kütle merkezinin öteleme hızı
vt  ( R  R1 )q
Silindirin açısal hızı
a  q1  q
q1 açısının q cinsinden ifadesi gereklidir.
Silindir kaymadan döndüğünden ab yayı ab yayına eşittir.
Rq  R1q1
q1 
R
q
R1

q1 
R
q
R1
Açısal hız ifadesi: a  q1  q
R

R
 a  q  q  a    1  q
R1
 R1 
35
Enerji Metodu
Silindirin toplam kinetik enerjisi:
T
1 2 1
1
1
mvt  J oa2  m[( R  R1 )q ]2  J o [( R / R1  1)q ]2
2
2
2
2
burada J 0 silindirin 0 noktasindan eksene göre atalet momentidir.
Jo 
1
mR12
2
Statik denge konumuna göre silindirin kütle merkezinin
yükselmesindeki değişimden dolayı U potansiyel
enerjisi
U  mg[( R  R1 )  ( R  R1 ) cos q ]
U  mg ( R  R1 )(1  cos q )
q
( R  R1 ) cos q
R
m
0
{
0
b
a
mg
36
Enerji Metodu
d
(T  U )  0
dt
d 1
1

2
2
m
[(
R

R
)
q
]

J
[(
R
/
R

1)
q
]

mg
(
R

R
)(1

cos
q
)
1
o
1
1

0
dt  2
2

m( R  R1 )qq  J o ( R / R1  1)qq  mg ( R  R1 ) sin qq  0
Jo 
1
mR12 yazılır ve düzenlenirse:
2
3

2
m
(
R

R
)
q

mg
(
R

R
)
sin
q
1
1
 2
 q  0
q
2g
sin q  0 (Nolineer model)
3( R  R1 )
sin q
q
q
alınırsa
2g
q 0
3( R  R1 )
n 
2g
3( R  R1 )
37
q
2g
sin q  0 (Nolineer model)
3( R  R1 )
q
2g
q
q  0 (Lineer model)
3( R  R1 )
silindir
R
m
0
a
0
R1
( R  R1 )q
q1
b
a
mg
R  0.8m
R1  0.2m
m  10kg
q 0  5o ,30o
38
39
Silindirin q0 =5o için sonuçlar
6
4
q 0  5o
q [ degree ]
2
0
-2
-4
lineer
nonlineer
-6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
5
Silindirin q0 =30o için sonuçlar
30
20
q 0  30o
q [ degree ]
10
0
-10
-20
lineer
nonlineer
-30
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
5
40
Ödev
k
r
O
R

R yarıçapında üniform bir tekerlek eğimli bir düzlem
üzerinde kaymadan yuvarlanmaktadır. Tekerleğe sabitlenmiş
tekerlekle eş merkezli r yarıçaplı bir tambur etrafında bir telin ucu
bağlanmıştır. Telin diğer ucu k yay katsayılı bir yaya
bağlanmıştır. Hem yay hem de tel düzleme paraleldir. Tekerlek/tambur
toplam kütlesi m ve tekerleğin O merkezi içinden geçen eksene göre
atalet momenti J dir. Eğer tekerlek denge
konumundan küçük bir miktar yerdeğiştirilir bırakılırsa hareket denklemini
enerji metodu ile bulunuz.
41