Newton`un II. yasası
advertisement
Newton’un II. yasası Bir cismin ivmesi, onun üzerine etki eden bileşke kuvvetle doğru orantılı ve kütlesi ile ters orantılıdır. Bir cisme 𝐹𝐴 , 𝐹𝐵 ve 𝐹𝐶 gibi çok sayıda kuvvet etkiyorsa, net kuvvet bunların vektörel toplamıdır ve 𝐹𝑁𝐸𝑇 = 𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 + 𝐹𝐶 Alıştırma.. SORU: 0.30 kg kütleli bir hokey diski yatay, sürtünmesiz bir buz zemin üzerinde kaymaktadır. Şekilde görüldüğü gibi, iki kuvvet etki etmektedir. 𝐹1 kuvvetinin büyüklüğü 5.0 N, 𝐹2 kuvvetinin büyüklüğü 8.0 N dur. Diskin ivmesinin büyüklüğü ve yönünü bulunuz. CEVAP: 𝐹𝑥 = 𝐹1𝑋 + 𝐹2𝑋 = 𝐹1 cos −20 + 𝐹2 cos 60 = 5.0 𝑁 0.94 + 8.0 𝑁 0.5 = 8.7 N 𝐹𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 = −𝐹1 sin −20 + 𝐹2 sin 60 =− 5.0 𝑁 0.342 + 8.0 𝑁 0.866 = 5.2 N 𝑎𝑥 = 𝑎= 𝐹𝑥 𝑚 = 29 𝑚/𝑠 2 𝑎𝑦 = 𝐹𝑦 𝑚 = 17 𝑚/𝑠 2 𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑦 2 = 34 𝑚/𝑠 2 Ɵ= 𝑡𝑎𝑛−1 𝑎𝑦 = 300 𝑎𝑥 Ağırlık ve yer çekim kuvveti… Bir cisme dünyanın uyguladığı kuvvet, çekim kuvveti olarak adlandırılır ve 𝐹𝑔 ile gösterilir. Bu kuvvet dünyanın merkezine doğru yönelmiştir. Bir cismin ağırlığı 𝐹𝑔 nin büyüklüğü olarak tanımlanır ve 𝑚𝑔 dir. Newton’un III. Yasası.. İki cisim etkileşiyorsa, 2 cisminin 1 cismine uyguladığı 𝐹21 kuvveti, 1 cisminin 2 cismine uyguladığı 𝐹12 kuvvetine eşit ve zıt yönlüdür. 𝐹12 = −𝐹21 Mekanik problemlerinde çok sıklıkla karşılaşılan kuvvetler ve özellikleri Newton’un evrensel kütle çekim yasasının mekanizması: Bir nokta kütle (𝑚1 ) diğer bir nokta kütleyi (𝑚2 ), iki kütlenin çarpımı ile doğru, aralarındaki (r) uzaklığının karesi ile ters orantılı olacak büyüklükteki bir F kuvveti ile çeker. Kütlelerden ve bu kütlelerin aralarındaki uzaklıktan bağımsız olarak |𝐹1 | ve |𝐹2 | kuvvetlerinin büyüklükleri her zaman birbirine eşittir Değme kuvveti: Bu kuvvet birbirleriyle temas halindeki yüzeyler arasında oluşur. İki tür temas kuvveti vardır. Birincisi temas yüzeyine dik yöndeki normal kuvvet, diğeri temas yüzeyine paralel olan sürtünme kuvveti. Yer çekimi kuvvetini dengeleyen, yüzeye dik ve dışarıya doğru yönelmiş olan kuvvete normal kuvvet (𝐹𝑛 )denir. 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑦 = −𝑚𝑔 Sürtünme kuvveti: Bir cisim, pürüzlü bir yüzeyde yahut hava veya su gibi viskoz bir ortam içinde hareket ediyorsa, çevresi ile arasındaki etkileşmeden dolayı harekete karşı bir direnme doğar. Böyle bir direnme sürtünme kuvveti olarak adlandırılır. Sürtünme kuvvetleri üç büyük etki sonucu ortaya çıkar; Yüzeydeki düzensiz yapının birbirine kenetlenmesi Temas noktaları arasındaki moleküller arası kuvvetlerden kaynaklanan çekim Yumuşak maddelere, daha sert olanların saplanması Birbiriyle temas halinde olan iki yüzey arasındaki statik sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete zıt yönlüdür ve normal kuvveti ile orantılıdır; 𝑓𝑠 ≤ µ𝑠 𝑛 (𝑓𝑠 ; statik sürtünme kuvveti, µ𝑠 ; statik sürtünme katsayısı, 𝑛 normal kuvveti) Hareket eden bir cisme etki eden kinetik sürtünme kuvveti, daima cismin hareketinin zıt yönündedir ve normal kuvveti ile orantılıdır. katsayısı) 𝑓𝑘 ≤ µ𝑘 𝑛 (µ𝑘 ; kinetik sürtünme µ𝑠 ve µ𝑘 yüzey özelliklerine bağlıdır, µ𝑠 > µ𝑘 dir. Gerilme: Bir cisme bağlı olan ipte oluşan bir kuvvettir ve şu özelliklere sahiptir: 1. Her zaman ip boyunca yönelir 2. Her zaman cismi çekecek yöndedir. 3. İp üzerinde A ve B noktalarında aynı büyüklüktedir. Şu kabullenmeler yapılır: 1. İpin kütlesi, bağlı oldukları cisimlerin kütlesine göre çok küçüktür. 2. İp uzamasızdır 3. Makara kullanılması durumunda, makara sürtünmesizdir ve kütlesi ihmal edilebilir. T ile gösterilen gerilme, esnek halat (tel, ip, vs.) tarafından cisme uygulanan bir kuvvettir. Gerilme, ip boyunca her noktada aynıdır. Newton yasalarının uygulamaları (serbest cisim diyagramları) 𝑇 𝐹𝑥 = 𝑇 = 𝑚𝑎𝑥 veya 𝑎𝑥 = 𝑚 Bu şartlarda y yönünde ivme mevcut değildir, 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 ⇒ 𝑎𝑦 = 0 𝑛 + −𝐹𝑔 = 0 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝑛 = 𝐹𝑔 olur. 𝑇 sabit bir kuvvet ise 𝑎𝑥 ivmesi de sabittir. O zaman kinematik eşitliklerden; ∆𝑥 yer değiştirmesi ve 𝑣𝑥 hızını zamanın bir fonksiyonu olarak bulmak için kullanılır. 𝑡 = 0 anında 𝑣𝑥 = 𝑣𝑥𝑖 olmak şartıyla; 𝑣𝑥𝑓 𝑇 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑡 𝑚 1 𝑇 ∆𝑥 = 𝑣𝑥𝑖 𝑡 + 2 (𝑚)𝑡 2 Alıştırma.. SORU: Bir trafik lambası şekilde görüldüğü gibi kablolarla bir desteğe bağlanmıştır. Üst taraftaki kablolar yatayla 370 ve 530 lik açılar yapmaktadır ve lambanın ağırlığı da 125 N dır. Her üç kablodaki gerilmeyi bulunuz. 𝑇3 = 𝐹𝑔 = 125 𝑁 𝑇1𝑥 = −𝑇1 𝑐𝑜𝑠370 ve 𝑇1𝑦 = 𝑇1 𝑠𝑖𝑛370 𝑇2𝑥 = 𝑇2 𝑐𝑜𝑠530 ve 𝑇2𝑦 = 𝑇2 𝑠𝑖𝑛530 𝑇3𝑥 = 0 ve 𝑇3𝑦 = −125 𝑁 𝐹𝑥 = − 𝑇1 𝑐𝑜𝑠370 +𝑇2 𝑐𝑜𝑠530 = 0 𝐹𝑦 = 𝑇1 𝑠𝑖𝑛370+𝑇2 𝑠𝑖𝑛530 + −125 𝑁 = 0 𝑇1 ve 𝑇2 gerilmelerinin yatay bileşenlerinin büyüklükçe eşit olduğu görülür. 𝑇1 ve 𝑇2 gerilmelerinin düşey bileşenlerinin toplamlarının, ağırlığı dengelemesi gerektiği görülür; 𝑇2 yi 𝑇1 cinsinden çözersek; 𝑇2 = 𝑇1 𝑐𝑜𝑠370 = 1.33 𝑇1 cos 530 𝐹𝑦 de yerine yazarsak; 𝑇1 𝑠𝑖𝑛370 + 1.33 𝑇1 𝑠𝑖𝑛530 − 125 𝑁 = 0 𝑇1 = 75.1 𝑁 𝑇2 = 99.9 𝑁 Alıştırma… 𝑚1 𝑣𝑒 𝑚2 kütleli iki blok, şekilde görüldüğü gibi yatay,düzgün ve sürtünmesiz bir yüzey üzerinde birbirine değecek şekilde yerleştirilmiştir. Yatay, sabit bir F kuvveti 𝑚1 kütlesine uygulanıyor. a) iki-bloklu sistemin ivmesini bulunuz. b) Her iki blok arasındaki temas kuvvetini bulunuz. a) 𝐹𝑥 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 = 𝐹 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑎𝑥 𝑎𝑥 = 𝑚 𝐹 1 + 𝑚2 b) her iki cismin serbest cisim diyagramlarını çizersek, 𝐹𝑥 = 𝑚2 𝑎𝑥 ⇒ 𝑃12 = 𝑚2 𝑚1 + 𝑚2 𝐹 (P temas kuvveti, uygulanan F kuvvetinden küçüktür) |𝑃12 |=|𝑃21 | Newton’un II. Yasası 𝑚1 kütlesine uygulanırsa; 𝐹𝑥 = 𝐹 − 𝑃21 = 𝑚1 𝑎𝑥 ⇒ 𝑃21 = 𝐹 − 𝑚1 𝑎𝑥 =𝐹 − 𝑚1 𝐹 𝑚1 +𝑚2 = 𝑚1 𝑚1 +𝑚2 𝐹 Alıştırma… SORU: Kütleleri farklı iki cisim, ağırlığı ihmal edilebilir sürtünmesiz bir makara üzerinden bir iple şekildeki gibi asılmıştır. Bu sisteme "Atwood düzeneği" diyoruz. Sistem serbest bırakıldığında, kütlelerin ivmesi ve ipteki gerilme kuvveti ne olur? CEVAP: 𝑚2 > 𝑚1 olsun; (Eş-1) 𝐹𝑦 = 𝑇 − 𝑚1 𝑔 = 𝑚1 𝑎 𝐹𝑦 = 𝑇 − 𝑚2 𝑔 = − 𝑚2 𝑎 Bu iki denklemde T yi yok edersek ivme; 𝑚2 − 𝑚1 𝑎= 𝑔 𝑚2 + 𝑚1 Eş-1 de yerine koyarsak; 𝑇 = 𝑚1 𝑎 + 𝑔 = 𝑚1 𝑚2 −𝑚1 𝑚2 +𝑚1 +1 𝑔⇒ 2𝑚1 𝑚2 𝑚2 +𝑚1 𝑔 Alıştırma… Farklı kütleli iki cisim, hafif bir iple birbirine bağlandıktan sonra şekilde ki gibi sürtünmesiz bir makaradan geçirilerek, eğik düzlem üzerinde hareketi sağlanmıştır. Cisim, Ɵ açılı eğik düzlem üzerinden kaymaktadır. Her iki cismin ivmesini ve ipteki gerilmeyi bulunuz. İki kütle birbirine bağlı olduğundan aynı ivme ile hareket ederler. 𝑚1 kütlesinin hareket denklemleri; 𝐹𝑥 = 0 (1) 𝐹𝑦 = 𝑇 − 𝑚1 𝑔 = 𝑚1 𝑎𝑦 = 𝑚1 𝑎 (2) 𝑚2 kütlesinin hareket denklemleri; 𝐹𝑥′ = 𝑚2 𝑔𝑠𝑖𝑛Ɵ − 𝑇 = 𝑚2 𝑎𝑥′ = 𝑚2 𝑎 (3) 𝐹𝑦′ = 𝑛 − 𝑚2 𝑔𝑐𝑜𝑠Ɵ = 0 (4) (2) Ve (3) denklemleri birlikte çözülürse; 𝑎= 𝑚2 𝑔𝑠𝑖𝑛Ɵ−𝑚1 𝑔 𝑚1 +𝑚2 elde edilir. (2) denk. yerine koyarsak; 𝑇= 𝑚1 𝑚2 𝑔(𝑠𝑖𝑛Ɵ+1) 𝑚1 +𝑚2 elde edilir. Alıştırma.. Alıştırma… Kütlesi 𝑚1 = 6 𝑘𝑔 olan cisim bir yarım kürenin en alt kısmında durmaktadır. Bu cisim ile yarım küre arasındaki sürtünme katsayısı f=0.2 dir. Yarım kürenin üst tarafından geçen ve sürtünmesiz olarak hareket eden bir iple kütlesi 𝑚2 olan ikinci bir cisme bağlıdır. Sistemin dengede kalabilmesi için 𝑚2 kütlesi kaç kg olmalıdır? Newton’un II. Yasasından kuvvetler dengesi yazılırsa; 𝐹𝑥 = 𝑇𝑐𝑜𝑠450 = 𝐹𝑠 = 𝑓𝑁 𝐹𝑦 = 𝑁 + 𝑇𝑐𝑜𝑠450 = 𝑚1 𝑔 𝑇 = 𝑚2 𝑔 𝑚2 = 2𝑓𝑚1 1+𝑓 = 2 0.2 6 1+0.2 = 2 𝑘𝑔 Alıştırma… Kütlesi 𝑚1 =1 kg olan bir halka, kütlesi 𝑚2 =6 kg lan cisme iple bağlanmıştır. Halka eğim açısı θ=300 olan sürtünmesiz bir çubuk üzerinde serbestçe hareket edebilmektedir. Başlangıçta ip düşeydir. Sistem harekete başladığı anda ipteki gerilme kuvveti kaç N dur? İpteki gerilme kuvveti F olsun. Birinci cisim için Newton’un II. Yasası; 𝑚1 𝑔𝑠𝑖𝑛θ + 𝐹𝑠𝑖𝑛θ = 𝑚1 𝑎 (1) İkinci cisim için Newton’un II. Yasası; 𝑚2 𝑔 − 𝐹 = 𝑚2 𝑎𝑠𝑖𝑛θ yazılabilir. Birinci cisim için hareket denklemi çubuk boyunca, ikinci cisim için ise dikey doğru boyunca yazılmıştır. İkinci cisim için ivme; 𝑚 𝑔−𝐹 𝑎 = 𝑚2𝑠𝑖𝑛θ 2 olarak bulunur. Buradan kuvvet; denklem 1 de yerine yazarak 𝐹= 𝑚1 𝑚2 𝑔𝑐𝑜𝑠 2 θ 𝑚1 +𝑚2 𝑠𝑖𝑛2 θ = 1 6 9.8𝑐𝑜𝑠 2 30 1+6𝑠𝑖𝑛2 30 = 17.6 𝑁 Bölüm:6 Dairesel hareket ve Newton kanunlarının diğer uygulamaları Sabit hızla dairesel bir yörüngede hareket eden cisim düzgün dairesel hareket eder. Hızın büyüklüğü sabit olmasına rağmen sürekli yön değiştirdiği için hareketin ivmesi vardır 𝑎= 𝑣2 −𝑣1 ∆𝑡 Düzgün dairesel harekette, ivme dairenin merkezine doğru yönelir ve büyüklüğü, 𝑎𝑟 = 𝑣2 𝑟 Şekilde görüldüğü gibi, 𝑚 kütleli bir topun, 𝑟 uzunluğunda bir ipin ucuna bağlandığını ve yatay düzlemdeki dairesel yörüngede sabit süratla dönsün; Newton’un II. Yasasını yarıçap doğrultusu boyunca uygularsak, net kuvvetin büyüklüğü; 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑟 = 𝑚 𝑣2 𝑟 Bir cismin üzerine etki eden merkezcil kuvvet ortadan kalkarsa, cisim dairesel hareketini sürdüremez; dairesel yörüngeye teğet olan doğrusal bir yörüngede hareket eder. İp herhangi bir anda koparsa, cisim ipin koptuğu noktadan yörüngeye çizilen teğet boyunca hareketini sürdürür. Alıştırma... SORU: Küçük bir cisim L uzunluklu bir iple tavana asılmıştır. Bu cisim şekilde görüldüğü gibi r yarıçaplı yatay dairesel bir yörünge üzerinde sabit v hızıyla dönmektedir. Cismin v hızını bulunuz. CEVAP: Serbest-cisim diyagramını çizersek; 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 = 0 𝑇𝑐𝑜𝑠θ = 𝑚𝑔 (1) 𝐹𝑥 = 𝑇𝑠𝑖𝑛θ = 𝑚𝑎𝑟 = 𝑚𝑣 2 𝑟 (2) (2) Eşitliği, (1) eşitliğine bölünüp T yok edilirse; 𝑣2 𝑡𝑎𝑛θ = 𝑟𝑔 𝑣= 𝑟𝑔𝑡𝑎𝑛θ 𝑟 = 𝐿𝑠𝑖𝑛θ olduğuna göre; 𝑣= 𝐿𝑔𝑠𝑖𝑛θ𝑡𝑎𝑛θ Alıştırma... SORU: 𝑚 kütleli bir pilot, şekilde görüldüğü gibi uçakla, bir çember etrafında dönmektedir. Bu uçuş düzeninde uçak, 2.70 km (2.70 x 103 𝑚) yarıçaplı düşey düzlemdeki dairesel yörüngede 225 m/s lik sabit hızla hareket ediyor. Koltuğun pilota uyguladığı kuvveti a) dairesel yörüngenin en alt kısmında b) en üstünde hesaplayınız. Sonucu pilotun mg ağırlığı cinsinden bulunuz. CEVAP: a) 𝐹𝑟 = 𝑛𝑎𝑙𝑡 − 𝑚𝑔 = 𝑛𝑎𝑙𝑡 = 𝑚𝑔 + 𝑣2 𝑚𝑟 𝑣2 𝑚𝑟 = 𝑚𝑔 1 + 𝑣2 𝑟𝑔 = 2.91 𝑚𝑔 ( Koltuğun pilota uyguladığı kuvvet 𝑛𝑎𝑙𝑡 pilotun 𝑚𝑔 ağırlığının 2.91 katıdır) b) 𝐹𝑟 = 𝑛ü𝑠𝑡 + 𝑚𝑔 = 𝑣2 𝑚𝑟 𝑣2 𝑚𝑟 𝑛ü𝑠𝑡 = − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔 hissetmektedir) 𝑣2 𝑟𝑔 − 1 = 0.913 𝑚𝑔 (Pilot hafiflemiş
