RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ: ENERJİNİN KORUNUMU

RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ:
ENERJİNİN KORUNUMU
Amaçlar:
a) Korunumlu kuvvetlerin
potansiyel enerjisinin hesabı.
b) Enerjinin korunumu
prensibinin uygulanması.
ENERJİNİN KORUNUMU
Enerjinin korunumu prensibi dinamik problemlerin çözümü için
daha kolay bir enerji yöntemidir. Hatırlanırsa, iş ve enerji prensibi
de bir enerji yöntemidir.
Problem için uygunsa, enerjinin korunumu iş ve enerji
prensibinin probleme uygulanmasından daha kolaydır.
Bunun nedeni, korunumlu kuvvetlerin yaptığı işin hesabının daha
kolay olmasıdır. Fakat, kuvveti korunumlu yapan şey nedir?
KORUNUMLU KUVVETLER
F kuvvetinin yaptığı iş gidilen güzergahtan bağımsızsa, F
kuvveti korunumlu bir kuvvettir denir.
Bu durumda iş cismin başlangıç ve son konumuna bağlıdır ve
arada alınan yolun hiçbir etkisi yoktur.
Dinamikte karşılaşılan tipik korunumlu kuvvetler, yerçekimi
kuvvetleri (ağırlık) ve elastik kuvvetlerdir (yay kuvveti).
Sürtünme kuvveti korunumlu bir kuvvet DEĞİLDİR!
ENERJİNİN KORUNUMU
Bir rijit cisme korunumlu kuvvetler etki etmekteyse, bu
kuvvetlerin yaptığı iş korunur. Bu durumda, kinetik enerji ve
potansiyel enerjinin toplamı sabit kalır.
Bu prensibe enerjinin korunumu denir ve aşağıdaki gibi ifade
edilir:
T1 + V1 = T2 + V2 = Sabit
Bir başka deyişle, korunumlu kuvvetler etkiyen bir cisim, bir
noktadan başka bir noktaya hareket ettiğinde, kinetik enerjisi
potansiyel enerjiye veya tersi yönde bir dönüşüm mevcuttur.
YERÇEKİMSEL POTANSİYEL ENERJİ
Bir cismin yerçekimsel potansiyel enerjisi, cismin ağırlık
merkezinin belli bir referans düzlemine olan yüksekliğinin bir
fonksiyonudur.
Yerçekimsel potansiyel
enerji, aşağıdaki gibi
hesaplanır:
Vg = W yG
Yerçekimsel potansiyel enerji yG pozitifse, pozitiftir. Çünkü,
referans düzlemine doğru hareket ettiğinde ağırlığın pozitif iş
yapma yeteneği vardır.
ELASTİK POTANSİYEL ENERJİ
Yay kuvvetleri de korunumlu (konservatif) kuvvetlerdir.
Yay kuvveti (F = ks)’nin
potansiyel enerjisi
aşağıdaki gibi bulunur:
Ve = ½ k s2
Dikkat edilirse elastik potansiyel enerji her zaman pozitiftir!
ANALİZ YÖNTEMİ
Hız, yerdeğiştirme ve korunumlu kuvvet içeren problemlerin
çözümünde, enerjinin korunumu prensibi kullanılabilir:
• Potansiyel Enerji: İki diyagram çizin, birincisi cismin ilk
konumunu göstersin, ikincisi ise ikinci konumunu. Her iki
pozisyon için potansiyel enerji aşağıdaki ifadeler
kullanılarak hesaplanır:
V = Vg + Ve, burada Vg= W yG ve Ve = 1/2 k s2.
• Kinetik Enerji: Her iki konum için cismin kinetik enerjisini
hesaplayın. Kinetik enerjinin iki bileşeni olacaktır, ötelenme
kinetik enerjisi 1/2m(vG)2 ve dönme kinetik enerjisi,1/2 IGω2.
• Daha sonra enerjinin korunumu uygulanır.
ÖRNEK 1
Verilen: AB çubuğunun 10 kg’lık
kütlesi vardır. B pistonu
rijitliği k = 800 N/m olan
bir yaya bağlıdır. θ = 0°
durumunda, yay uzamamış
durumdadır. A ve B
cisimlerinin kütleleri
ihmal edilmiştir.
Aranan: θ = 30°’den durağan haldeyken serbest bırakılan
çubuğun, θ = 0° anındaki açısal hızını bulunuz.
Plan: Tüm kuvvetler korunumlu olduğuna göre, enerjinin
korunumundan yararlanılabilir. Yer değiştirme θ’nın bir
fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Çubuğun 1 ve 2
durumları için potansiyel ve kinetik enerjileri
hesaplanmalıdır.
Çözüm:
ÖRNEK 1 (devam)
Başlangıç Durum
Son Durum
Potansiyel Enerji:
Referans düzlemi θ = 0° konumuna yerleştirilmiştir.
Bu durumda yerçekimsel ve elastik potansiyel enerji 2.
durumda ⇒ V2 = 0 olacaktır.
1. durumdaki yerçekimsel potansiyel enerji: - (10)( 9.81)[ ½
(0.4 sin 30°)]
1. durumdaki elastik pot. enerji: ½ (800) (0.4 sin 30°)2
Bu durumda, V1 = - 9.81 + 16.0 = 6.19 N⋅m
ÖRNEK 1 (devam)
Başlangıç Durumu
Son Durum
Kinetik Enerji:
1. durumda, çubuk durağan halde:
Böylece, T1 = 0.
2. durumda, açısal hız ω2 ve ağırlık merkezinin hızı vG2’dir.
Böylece, T2 = ½ (10)(vG2)2 + ½ (1/12)(10)(0.42)(ω2)2
Dikkat edilirse hem ötelenme hem de dönme kinetik enerjisi var!
ÖRNEK 1 (devam)
İkinci durumda, A noktası anlık dönme
merkezidir.
Yani, vG2 = rG/IC ω = 0.2 ω2 . Then,
T2 = 0.2 ω22 + 0.067 ω22 = 0.267 ω22
Şimdi enerjinin korunumu uygulanabilir ve bilinmeyen ω2
hesaplanabilir:
T1 + V1 = T2 + V2
0 + 6.19 = 0.267ω22 + 0 ⇒ ω2 = 4.82 rad/s
ÖRNEK 2
Verilen: 30 kg kütleye sahip
sarkacın kütle merkezi G’dir ve
kütle atalet yarıçapı kG= 0.3 m’dir.
θ = 0°’de durağan haldeyken
serbest bırakılmaktadır. θ = 0°
iken yay uzamamış haldedir.
Aranan: Sarkacın θ = 90° anındaki açısal hızını bulunuz.
Yöntem: Enerjinin korunumu kullanılacaktır. Önce, ilk konum ve
ikinci konumdaki potansiyel ve kinetik enerjiler
hesaplanacak, sonra enerjinin korunumu uygulanacak.
ÖRNEK 2 (devam)
Çözüm:
Potansiyel Enerji:
θ = 0° durumunu referans düzlemi
olarak alalım. Burada yerçekimsel ve
elastik potansiyel enerji sıfırdır!
Bu durumda,
Vg1 = Ve1 = 0
Dikkat edilirse, yayın uzamamış
boyu 0.15 m’dir.
θ = 90°’de yerçekimsel potansiyel enerji:
Vg2 = - 30 (9.81) (0.35) = -103.0 N⋅m
θ = 90°’de elastik potansiyel enerji ise:
Ve2 = ½ 300 (√ 0.62 + 0.452 – 0.15)2 = 54.0 N⋅m
ÖRNEK 2 (devam)
Kinetik Enerji:
θ = 0°’de, sarkaç durağan durumda
olduğundan
T1 = 0.
θ = 90°’de, sarkaç O noktası
etrafında dönme hareketi
yapmaktadır:
T2 = ½ IO (ω2)2
burada IO = IG + m (dOG)2 = (30) 0.32 + 30 (0.35)2 = 6.375 kg⋅m2
T2 = ½ 6.375 (ω2)2 olarak bulunur.
ÖRNEK 2 (devam)
Enerjinin korunumundan:
T1 + V1 = T2 + V2
0 + 0 = = ½ 6.375 (ω2)2 + (-103 + 54.0)
ω için bu denklem çözülürse:
ω = 3.92 rad/s olarak bulunur.