OLASILIK Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 [email protected] www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 31 Ocak 2017 Olasılık Rüstem YILMAZ 0.1 Teorik Olasılık 0.1.1 Deney ve Çıktı 4. Bir zar ile bir madeni paranın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz. Bir madeni paranın havaya atılması, bir zarın atılması, bir hedefe ok ile atış yapılması gibi işlemlere deney denir. Bir deneyin elde edilebilen sonuçlarına deneyin çıktıları denir 0.1.2 Örneklem Uzay ve Örneklem Nokta Bir deneyin elde edilebilecek tüm sonuçlarının kümesine 5. 4 kız 3 erkek arasından rastgele iki kişinin seçilmesi Örnek uzay denir. ve genellikle E harfiyle gösterilir. deneyinin örneklem uzayının eleman sayısını bulunuz. Örnek uzayın her bir elemanına da Örneklem nokta denir. 1. Bir tavla zarının atılışı deneyinde elde edilecek örneklem uzay ve örnek noktaları bulunuz. 6. Özdeş 4 kırmızı 3 mavibilyenin yanyana sıralanması deneyinin örneklem uzayının eleman sayısını bulunuz. 2. Üç madeni paranın havaya atılması deneyinde örneklem uzayı bulunuz. 7. 4 mor, 5 turuncu özdeş bilyenin bulunuduğu bir torbadan 2 bilye alınması deneyinin örneklem uzayının eleman sayısını bulunuz. 3. iki zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayı bulunuz. 2 Olasılık 0.1.3 Rüstem YILMAZ Olay 0.1.4 Örnek uzayın herbir alt kümesine Olay denir. Olasılık(ihtimal,Şans) Bir olayın Örneklem uzay içinde payı demektir. Bu alt kümelerden boş kümeye imkansız(olanaksız) olay, E örneklem uzayınada kesin olay denir. P (A) = s(A) s(E) 0 ≤ s(A) ≤ s(E) olduğundan 0 s(A) s(E) ≤ ≤ =⇒ 0 ≤ P (A) ≤ 1 olur. s(E) s(E) s(E) 8. Bir tavla zarının atılışı deneyinde üst yüze asal gelme olayını yazınız eleman sayısını belirtiniz. 13. Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı gelme olasılığı nedir? 12 9. Üç madeni paranın havaya atılması deneyinde üst yüze 2 tura 1 yazı gelmesi olayını yazınız ve eleman sayısını belirtiniz. 14. Bir zar atıdığında üst yüze 2 gelme olasılığı nedir? 10. iki zarın havaya atılması deneyinde üst yüze gelen sayı- 1 6 15. Bir zarın havaya atılması deneyinde, lar toplamının 5 olması olayını yazınız ve eleman sayısını a. üst yüze gelen sayının asal olma olasılığı kaçtır? 1 belirtiniz. 2 11. 3 kız 4 erkek arasından rastgele iki kişinin seçilmesi deneyinin ikisininde kız olması olayını yazınız ve eleman b. üst yüze gelen sayının en az 5 olma olasılığı kaçtır? 1 sayısını belirtiniz. 3 12. Özdeş 4 siyah 5 mavi bilyenin yanyana sıralanması de- c. üst yüze gelen sayının çift veya asal olma olasılığı kaçtır? 56 neyinde siyah bilyelerin yanyana olması olayını yazınız ve eleman sayısını bulunuz. 3 Olasılık Rüstem YILMAZ 0.1.5 Ayrık olay 17. A ve B, E örnek uzayında iki olaydır. Aynı örnek uzayda yer alan iki olayın kesişimi boş küme P (A) = ise, bu olaylara ayrık olaylar denir. 2 , 5 P (B 0 ) = 1 , 3 ve P (A ∩ B) = olduğuna göre, P (A ∪ B) değeri kaçtır? A ∩ B = ∅, ise P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 4 5 4 15 16. Bir çift zar havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayılar toplamı 5 olması olayı A olsun, üst yüze gelen sayılar toplamı 8 olması olayı B olsun. Buna göre P (A ∪ B) nedir? 0.1.6 Olasılık fonksiyonu ve Özellikleri Bir E Örnek uzayında tanımlı tüm olayların kümesinden [0, 1] aralığına tanımlanan ve aşağıdaki aksiyomları sağlayan P fonksiyonuna Olasılık fonksiyonu denir. A, E örnek uzayında bir olay ve P (A) olayının olasılığı 18. Bir koşuya katılan üç atlet vardır. Atletlerden birincisi- olmak üzere, nin yarışı kazanma olasılığı, ikinci atletin yarışı kazanma olasılığının yarısına, üçüncü atletin kazanma olasılığının ise üç katına eşittir. Bu yarışı birinci atletin kazanma 3 olasılığı nedir? 10 a) 0 ≤ P (A) ≤ 1 b) P (E) = 1 dir. Kesin olaydır. c) P (A) = 0 ise Olanaksız olaydır Özellikler: (a) P (A0 ) : A olayının olmama olasılığı ise P (A) + P (A0 ) = 1 dir (b) A ve B ayrık olmayan iki olay ise P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) (c) P (∅) = 0 (d) A ⊆ B ise P (A) ≤ P (B) dır. 4 Olasılık 0.2 Rüstem YILMAZ Sonsuz Örnek Olay 21. Şekilde ABC dik üçgeni verilmiştir. AB ⊥ BC ,|AB| = 5cm, |BC| = 12cm ise Örnek: Bir dairenin içindeki noktalar kümesi sonsuz örnek uzay olur. Örnek: Bir doğru parçasının üzerindeki noktalar kümesi sonsuz ABC üçgeninin içinde alınan bir herhangi bir noktanın örnek uzay olur. bütün köşelere olan uzaklığının 1cm den fazla olma olasılığı nedir? 19. ABCD karesinin içteğet çemberi çizilmiştir. Buna göre karenin içinde seçilen bir noktanın çembere ait olma olasılığı kaçtır? P (A) = Dairenin Alanı πr2 π = = Karenin Alanı 4.r2 4 20. Bir daire içinde alınan bir noktanın dairenin merkezine çevresinden daha yakın olma olasılığı nedir? 5 Olasılık 0.3 Rüstem YILMAZ Bağımsız Olaylar ve Olasılığı 24. Bir torbada büyüklükleri aynı 4 mavi, 3 kırmızı, 2 beyaz top vardır. Torbadan aynı anda 3 top çekiliyor. Bu Oluşları birbirini etkilemeyen olaylara bağımsız olaylar toplardan; denir. Bağımsız olayların olasılığı ayrı ayrı olasıklıklaa. Üçününde mavi olması, rının çarpımına eşittir. P (P ∩ B) = P (A).P (B) b) İkisinin kırmızı birinin mavi olması, Not: Bir torbadan ard arda bilye alınması olayları bağımsız olaylardır. c) Üçününde farklı renkte olması, 22. Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya atılıyor. Zarın asal sayı paranın tura gelme olasılığı nedir? d) Sadece birinin beyaz olması, olasılıkları nedir? 23. İki madeni para birlikte atılıyor. a. ikisininde yazı gelme olasılığı kaçtır? 1 4 25. 4 erkek, 5 kız bir sırada gelişigüzel sıralanıyorlar. Bu sıralamada; 1 a) Aynı cinsiyetten kişilerin yanyana olması,( 63 ) b. ikisininde aynı gelme olasılığı kaçtır? 1 2 1 b) Erkeklerin yanyana olması,( 21 ) 1 c) İki kız arasında bir erkek olması,?( 126 ) c. en az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır? 3 4 1 d) Başta ve sonda birer kız olma ( 36 ) olasılıkları nedir? 6 Olasılık Rüstem YILMAZ 2 26. İki avcıdan birinin hedefi vurma olasılığı ve diğerinin 5 1 hedefi vurma olasılığı tür. 4 Hedefin; 29. 4 kadın ve 5 erkek arasından 4 k işilik bir kurul oluşturulacaktır. Kurulda en az iki kadının bulunma olasılığı nedir? 1 a) İki avcı tarafından vurulma olasılığı 10 9 b) bir avcı tarafından vurulma olasılığı 20 9 c) hedefin vurulamama olasılığı kaçtır?( 20 ) 30. Bir sınıfta 12 kız ve 24 erkek vardır. Kızların 8 i, erkeklerin 12 si gözlüklüdür. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız veya gözlüklü olma olasılığı nedir? 27. 12 erkek ve 8 kız öğrenciden oluşan bir sınıfta 6 kızın saçları siyahtır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrenci4 nin kız veya siyah saçlı olma olasılığı olduğuna göre 5 sınıfta kaç tane siyah saçlı erkek öğrenci vardır? 28. 31. Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı erkek % 40 ı kızdır. ErkekA = {0, 1, 2, 3, 4, 5} lerin % 40 ı ve kızların % 30 u 8 in üstünde not almıştır. Gelişigüzel seçilen bir öğrencinin 8 in üstünde not almış kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı olma olasılığı nedir? sayılar yazılıyor. Bunlar arasından rastgele seçilen bir sayının, (a) Çift sayı olması, (b) 5 ile bölünebilen bir sayı olması 32. Düzgün bir para 5 kez havaya atılıyor. 3 kez yazı 2 kez tura gelmesi olasılığı nedir? (c) 300 den küçük bir sayı olması (d) İçinde 2 rakamı bulunan bir sayı olması olasılıkları nedir? 7 Olasılık Rüstem YILMAZ 33. 16 takımın katıldığı Dünya kupasında Türkiyenin finali 36. Bir çift zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların aynı veya Almanya ile oynama ve kazanma olasılığı kaçtır? A) 1 16 B) 1 32 C) 1 64 D) 1 120 E) toplamlarının 9 dan büyük olma olasılığı nedir? 1 240 • 1.turda Almanya ile karşılaşmama ve kazanma olasılığı 14 1 1 7 · · = 15 2 2 30 • Çeyrek finalde Almanya ile karşılaşmama ve kazanma olasılığı 6 1 1 3 · · = 7 2 2 14 37. Bir kumbarada 100 kuruş değerinde madeni para vardır. Bunlardan 6 tanesi 10 kuruşluk geri kalanlar 5 kuruşluktur. Rastgele alınan 3 madeni paradan birinin 5 kuruşluk, • Yarı finalde Almanya ile karşılaşmama ve kazanma diğer ikisinin 10 kuruşluk olma olasılığı nedir? olasılığı 2 1 1 1 · · = 3 2 2 6 • Finalde Almanyayı yenme olasılığı 1 2 • Şampiyon olma olasılığı 7 3 1 1 1 · · · = 30 14 6 2 240 38. A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlı tüm fonksiyonlar birer karta yazılıp 34. bir torbaya konuyor. Torbadan bir kart çekildiğinde, bu 333445 kartta yazılı fonksiyonun birebir fonksiyon olma olasılığı nedir? sayısındaki rakamları kullanarak yazılabilen altı basamaklı sayılar arasından ratgele seçilen bir sayının 4 ile başlıyor olma olasılığı nedir? 35. Bir odada 6 evli çift vardır. Bu odadan rastgele iki kişi seçildiğinde, bu iki kişinin karı koca olma olasılığı nedir? 8 Olasılık Rüstem YILMAZ 39. Bir sınıftaki 30 erkek ve 20 kızdan, 18 erkek ve 12 kız 42. A torbasında 4 beyaz, 5 sarı; B torbasında 3 beyaz, 4 matematikten başarılıdır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir sarı top vardır.A dan 1 top çekilip B ye atıldıktan sonra öğrencinin, B den çekilen bir topun sarı olma olasılığı nedir? (a) Erkek olması, (b) Matematikten başarılı olması, 43. A ve B torbalarının her ikisinde de 4 beyaz, 6 mavi top vardır. A dan bir top alınıp rengine bakılmadan B ye; sonradan B den bir top alınıp rengine bakılmadan A ya konduğunda renk bakımından ilk durumu elde etme (c) Kız veya matematikten başarılı olması, olasılığı nedir? (d) Erkek ve matematikten başarısız olması olasılıkları nedir? 2 44. İki avcıdan birinin hedefi vurma olasılığı ve diğerinin 5 1 hedefi vurma olasılığı tür. 4 Hedefin, 40. A = {n : 1 ≤ n ≤ 180 (a) İki avcı tarafından vurulma olasılığı n ∈ Z} kümesinden rastgele seçilen bir sayının (a) 3 ile bölünüp, 4 ile bölünememesi olasılığı nedir? (b) 3 tabanına göre logaritmasının bir tam sayı olma olasılığı nedir? (b) bir avcı tarafından vurulma olasılığı (c) 3 veya 4 ile bölünebilme olasılığı nedir? 41. 16 kişilik bir sınıfta basketbol oynayan 9 kişi, voleybol oynamayan 5 kişi, sadece bir oyun oynayan 4 kişidir. (c) vurulamama olasılığı kaçtır? Rastgele seçilen birinin her iki oyunu da oynuyor olma olasılığı nedir? 9 Olasılık Rüstem YILMAZ 45. (2013-LYS) 48. (2011 LYS) Bir torbada 1’den 9’a kadar numaralanmış dokuz 6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan 2 top bulunmaktadır. Ayşe, 1’den 9’a kadar bir sayı temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden birinin kız, belirleyecek ve daha sonra torbadan rastgele bir top diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır? çekecektir. Topun üzerinde yazılı olan sayı ile belirlediği sayının toplamı en çok 9 ve çarpımı en az 9 olursa Ayşe oyunu kazanacaktır. Ayşe hangi sayıyı belirlerse oyunu kazanma olasılığı en yüksek olur? 49. (2011 YGS) A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Meriçin elinde kırmızı ve beyaz renklerde toplam 10 top vardır. Meriç bu topları iki torbaya her bir torbada en az bir kırmızı ve bir beyaz top olacak şekilde dağıttıktan sonra şunları söylüyor: "Birinci torbada 3 kırmızı top vardır. Torbalardan rastgele birer top çekildiğinde topların ikisinin de kırmızı olma 1 olasılığı ’dir." Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top 2 vardır? 46. (2012-LYS) Bir torbada 5 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır. Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekildiğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma olasılığı kaçtır? 50. (2007-ÖSS) A = {−2, −1, 0, 1} B = {−1, 0, 2, 3} kümeleri veriliyor. AxB kartezyen çarpımından alınan bir elemanın (a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır? 47. (2010 YGS) Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında torbada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır 51. (1998-ÖYS) Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil vardır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığı kaçtır? 10 Olasılık Rüstem YILMAZ 52. (1997-ÖYS) 55. (1992-ÖYS) A torbasında 3 beyaz, 4 kırmızı; B torbasında 5 beyaz, 2 Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Aynı kırmızı top vardır. Aynı anda her iki torbadan birer top anda çekilen 2 bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah alınıyor ve öteki torbaya (A torbasından alınan B ye, B olma olasılığı kaçtır? torbasından alınan A ya) atılıyor. Bu işlemin sonucunda torbalardaki kırmızı ve beyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır? 56. Her birinden üzerinde yazılı sayı adedince olmak üzere 1 den 9 a kadar numaralandırılmış toplardan üzerindeki sayı tek olanlar A torbasına , çift olanlar B torbasına konulmaktadır. Bir çift zar havaya atılıyor ve üst yüzüne gelen sayıların 53. (1995-ÖYS) Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Bu torbadan toplamı 5 ten küçük ise A torbasından, 6 dan büyük ise rasgele çekilen 3 bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin B torbasından bir top rasgele çekiliyor. siyah olma olasılığı kaçtır? Buna göre çekilen topun üzerinde 3 veya 6 yazılı olma olasılığı kaçtır? + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ayrıca 4 4 6 7 8 9 10 C, D noktaları bir çember üzerindedir. 5 5 7 8 9 10 11 6 6 8 9 10 11 12 54. (1990-ÖYS) Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? P (A) = 11 21 6 39 6 3 . + . = 36 25 36 20 200 Olasılık 0.4 Rüstem YILMAZ Koşullu Olasılık 58. E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun E örnek uzayının herhangi iki olayı, A ve B olsun. P (AB) ifadesi B kümesinin içinde A kümesinin elemanlarının oranını ifade eder ki buda aşağıdaki şekilde P (A0 ) = 1 , 2 P (B 0 ) = 2 , 3 P (A ∪ B) = 7 ise, 12 a) P (AB) gösterilir. P (AB) = P (A ∩ B) P (B) Biz buna A nın B ye bağlı olasılığıda deriz. b) P (A0 B 0 ) Not: Eğer E Eş olumlu örnek uzay ise, P (AB) = s(A ∩ B) s(B) c) P (AB 0 ) olasılıkları nedir? Daraltılmış Evrensel Küme Bir olasılıkta sonuç hakkında kısmen bir bilgiye sahip isek tahmin aralığımız kısıtlanmış olur. Olasılığımız artmış demektir. P (A) = s(A) P (A ∩ B) = P (B) s(E 0 ) 59. Bir sınıftaki öğrencilerin %30 u fizikten, % 40 ı kimyadan ve % 10 u da her iki dersten kalmıştır. Bu sınıftan rastgele ÖRNEK: seçilen bir öğrencinin, a) Kimyadan kaldığı bilindiğine göre fizikten de kalmış olması, b) Fizikten geçtiği bilindiğine göre kimyadan kalmış olması 57. 12 erkek ve 8 kızdan, 4 erkek ve 3 kızın saçları sarıdır. Bu gruptan rastgele seçilen biri kız ise sarı saçlı olma olasılığı nedir? 12 olasılıkları nedir? Olasılık Rüstem YILMAZ 60. Bir zar art arda 2 kez atılıyor. 64. A = {a, b, c, d, e, f } a) Birinci atışta 4 geldiği bilindiğine göre, zarlardaki sayılar toplamının 8 den büyük olması, kümesinin alt kümeleri birer karta yazılıp, bir kutuya ko- b) Birinci atışta çift sayı geldiği bilindiğine göre, nuyor. Bu kutudan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen ikinci atışta gelen sayının birinci atıştaki sayıdan karttaki kümenin 4 elemanlı bir küme olduğu bilindiğine daha büyük bir sayı olması olasılıkları nedir? göre bu kümede b nin bulunma olasılığı nedir? 61. Basketbol, voleybol ve futboldan en az birini oynayanlardan oluşan bir grupta; sadece bir oyun oynayanların sayıları eşit ve 4 tür. Sadece iki oyun oynayanların sayıları eşit ve 6 dır. Her üç oyunu da oynayanların sayısı 65. (2013-YGS) 2 dir. Bu gruptan rastgele seçilen birinin en az iki oyun Bir torbada 1’den 10’a kadar numaralandırılmış 10 top oynadığı bilindiğine göre, her üç oyunu da oynuyor olma bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen iki topun olasılığı kaçtır? numaraları toplamının 15 olduğu bilindiğine göre, 7 numaralı topun çekilmiş olma olasılığı kaçtır? 62. A torbasında 3 turuncu, 4 mavi; B torbasında 2 t uruncu, 5 m avi top vardır. Rastgele seçilen bir torbadan bir top alınıyor. Alınan topun mavi olduğu bilindiğine göre A torbasında alınmış olma olasılığı nedir? 66. sınıfta 20 öğrenci vardır. Bunlardan 12 si matematikten, 8 i fizikten ve 5 i hem matematik hem fizikten bütünlemeye kalmıştır. Rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten bütünlemeye kaldığı biliniyor. Bu öğrencinin 63. fizikten de bütünlemeye kalma olasılığı nedir? {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarından rastgele ikisi seçiliyor. Seçilen sayıların toplamı çift olduğu bilindiğine göre, her ikisininde tek sayı olma olasılığı nedir? 13 Olasılık Rüstem YILMAZ 0.5 67. Bir kutuda bulunan 3 madeni paradan bir tanesi iki yü- Deneysel olasılık züde tura olan hileli para ve diğer iki tanesi de düzgün paradır. 0.6 Test-1 Yeşim Bu kutudan rastgele bir para çekilerek 4 defa düzgün bir zemine atıldığında her atışta tura geldiği bilindiğine 1. Bir torbada 5 kırmızı, 4 mavi ve 2 sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bölüm çekildiğinde ikisinin kırmızı, bi- göre, bu paranın hileli para olma olasılığı nedir? risinin sarı gelme olasılığı nedir? A) 4 33 B) 5 33 C) 29 33 D) 11 27 E) 1 3 Hileli Paranın Tura Gelme Olasılığı; 1 3 |{z} · |1.1.1.1 {z } = 1 3 2. Bir para ile hilesiz bir zar aynı anda havaya atılıyor. Hileli Paranın Hileli Paranın Zarın 3 veya paranın yazı gelme olasılığı nedir? Tura Olma Olasılıgı Gelme olasılıgı Hilesiz Paranın Tura Gelme Olasılığına; 2 3 |{z} 1 1 1 1 . . . 2 | 2{z2 2} · Hilesiz Paranın Hilesiz Paranın Gelme olasılıgı Tura Olma Olasılıgı A) = 1 2 B) 2 3 C) 3 4 D) 5 12 E) 7 12 1 24 3. İki madeni para ile hilesiz bir zar aynı anda atılıyor. 1 1 3 = olur. Paranın Tura Gelme Olasılığı: + 3 24 8 Paraların en az birinin tura, zarın ise bir çift sayı gelme olasılığı nedir? Paranın tura geldiği bilindiğine göre, bu paranın hileli A) para olma olasılığı ise; 1 Hileli Paranın Tura olma Olasılıgı 8 = 3 = 3 Tura Olma Olasılığı 9 8 1 8 B) 1 2 C) 3 8 D) 5 6 E) 7 8 4. 3 madeni para ile 2 hilesiz zar atılıyor. Paralardan en az birinin tura ve zarların ikisinin de aynı gelme olasılığı 68. A ve B 3 er elemanlı eşit iki küme olmak üzere, A ve B nedir? kümelerinin alt kümelerinden rastgele birer tane şeçildiğinde bu kümelerin eşit olma olasılığı kaçtır? 1 A) 8 1 B) 64 1 C) 9 1 D) 27 A) 1 E) 32 14 1 12 B) 5 24 C) 5 36 D) 7 36 E) 7 48 Olasılık Rüstem YILMAZ 5. Bir çift hilesiz zar atıldığında gelen sayıların toplamının en az 4 olma olasılığı nedir? 9. Bir torbada 4 beyaz, 4 yeşil bilye vardır. Çekilen bilyeler torbaya geri konmamak koşuluyla arka arkaya 3 bilye çekiliyor. Çekilen birinci bilyenin beyaz, üçüncü A) 2 3 B) 3 4 C) 5 6 D) 11 12 E) 13 24 bilyenin yeşil olma olasılığı nedir? A) 1 2 B) 1 4 C) 1 7 D) 2 7 E) 5 7 6. {1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamları her sayıda bir kez kullanılmak koşuluyla 4 basamaklı sayılar birer karta yazılarak bir torbaya atılıyor. Bu torbadan alınan bir karttaki sayının çift sayı olma olasılığı nedir? A) 1 4 B) 1 3 C) 10. Bir kutudaki 9 pilden 4 ü bozuktur. Bu kutudaki rastgele alınan 3 pilin de bozuk olma olasılığı nedir? 1 2 D) 2 3 E) 3 4 A) 10 21 B) 1 21 C) 4 9 D) 1 3 E) 1 2 7. İki hilesiz zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların üstündeki sayıların toplamının 6 olma olasılığı nedir? 11. Bir torbada 3 beyaz, 2 sarı bilye vardır. Bu torbadan rastgele seçilen iki bilyenin de kırmızı olma olasılığı ne- A) 1 36 B) 1 12 C) 5 36 D) 1 9 E) 1 6 dir? A) 3 28 B) 25 28 C) 1 4 D) 1 3 E) 1 2 8. 5 erkek ve 6 kız öğrenci arasından 3 öğrenci rastgele seçildiğinde en az birisinin erkek öğrenci olma olasılığı nedir? 4 A) 33 12. Bir torbada 4 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Rastgele seçilen üç bilyenin en az ikisinin beyaz olma olasılığı nedir? 29 B) 33 3 C) 5 1 D) 33 A) 2 E) 5 15 3 7 B) 1 7 C) 1 6 D) 1 2 E) 1 3 Olasılık Rüstem YILMAZ 13. Bir madeni parayı art arda üç kez attığımızda, sadece iki kez yazı gelme olasılığı nedir? A) 1 2 B) 1 4 C) 4 8 17. Bir vazodaki çiçeklerden 4’ü karanfil, 3’ü gül ve 5’i laledir. Bu vazodaki 3 çiçek rastgele seçildiğinde iki karanfil D) 3 8 E) 2 3 ve bir lale gelme olasılığı nedir? A) 1 22 B) 3 22 5 27 C) 19 22 D) E) 21 22 14. Bir A torbasında 5 kırmızı ve 4 yeşil bilye, B torbasında ise 7 kırmızı ve 6 yeşil bilye vardır. A torbasında rastgele bir bilye çekilip B torbasına atılıyor. B den rastgele çe- 18. 5 erkek, 4 kız öğrenci arasından rastgele seçilen 2 öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı? kilen bir bilye de A torbasına atılıyor. İlk renk durumun A) bozulmaması olasılığı nedir? A) 34 64 B) 29 23 C) 11 13 D) 5 6 E) tekrar torbaya ayrılmamak koşulu ile peşpeşe iki bilye çekiliyor. İkinci bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir? 37 72 B) 1 2 C) 5 18 D) 4 9 E) 3 8 1 C) 6 2 D) 5 C) 5 18 D) 13 18 E) 1 2 1 4 B) 1 2 C) 6 7 D) 5 12 E) 7 12 20. 2 bay, 3 bayan ve 4 çocuk yuvarlak bir masaya oturduğunda bayların yanyana her olasılığı nedir? oturması olasılığı asadakilerden hangisine eşittir? 1 B) 5 5 6 1 19. Ali’nin basket potasına topu geçirme olasılığı , Can’ın 3 3 ise tür. İki atış yapıldığında topun potaya bir kez gir4 miş olması olasılığı nedir? A) 16. 3 erkek ve 3 kız bir sırada oturuyorlar. 3 kızın yanyana 1 A) 4 B) 4 7 15. Bir torbadan 5 beyaz, 4 kırmızı bilye vardır. Çekilenler A) 1 6 A) 3 E) 4 16 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 2 5 E) 2 9 Olasılık Rüstem YILMAZ 21. Bir torbada sarı ve kırmızı bilyelerin toplam sayısı 28 dir. Bu torbadan rastgele seçilen bir bilyenin kırmızı gelme 2 olasılığı ise sarı bilyelerin sayısı nedir? 7 A) 20 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4 0.7 Test-2 Aleyna Durmaz 23. Bir torbada 6 kırmızı , 4 beyaz, 2 mavi top vardır. Torbadan bir top çekiliyor. Çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır? A) 1 6 B) 1 5 C) 1 4 D) 1 3 E) 1 2 24. Bir çift zar atıldığında yere düşen zarların üzerindeki rakamların toplamının 6 olduğu görülüyor. Zarlardan birinin üzerindeki rakamın 1 olma olasılığı kaçtır? A) 4 5 B) 3 5 C) 2 5 D) 1 5 E) 1 4 22. A=1,2,3,4,5 kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan rakamları farklı 3 basamaklı bütün sayılar birer kağıda yazılıp bir torbaya konuyor. zikten %8 i hem Matematikten hem Fizikten sınıfta kal- Bu torbadan çekilen bir kagıttaki sayının çift sayı olma olasılığı nedir? A) 1 5 B) 2 5 C) 3 5 25. Bir sınıftaki öğrencilerin %10 u Matematikten %15 i Fi- D) 1 3 E) mıştır. Rastgele seçilen bir öğrencinin Matematik veya Fizikten 2 7 kalma olasılığı kaçtır? A) 4 5 B) 8 15 C) 33 100 D) 17 100 E) 13 100 26. Bir kutunun içerisinde 5 tane sarı 4 tane beyaz bilye vardır. Torbadan gelişigüzel 2 bilye çekilince 2 sininde beyaz veya 2 sininde sarı olma olasılığı kactir? A) 17 4 9 B) 10 12 C) 5 9 D) 5 8 E) 30 73 Olasılık Rüstem YILMAZ 0.8 Mevlüt 30. 27. Ömer’in bir hedefi vurma olasılığı 1/4 , Yusuf’un bir hedefi vurma olasılığı 1/6 dır. Bu hedefe 2 kez Ömer, 2 kez Yusuf ateş ediyor. Hedefin vurulmuş olması olasılığı kaçtır ? A) 25 64 B) 39 64 C) 7 16 D) 9 16 E) 25 36 A torbasında 2 beyaz,3 siyah ; B torbasında 3 kırmızı,4 siyah top vardır. A ve B torbalarından rastgele 1’er top çekiliyor. Topların aynı renk olma olasılığı kaçtır? A) 12 35 B) 17 35 C) 18 35 D) 41 70 E) 49 70 28. Bir kenar uzunluğu 2 birim olan bir karenin iç bölgesinde rastgele alınan bir noktanın köşelerden herhangi birine olan uzaklığının 1 birimden küçük veya eşit olma olasılığı edilen 5 basamaklı bütün sayılar bir kağıda yazılıp bir kaçtır? A) π 4 31. 1,2,3,4,5 rakamlarının 120 değişik permütasyonu ile elde B) π2 16 C) π+1 6 D) π 6 E) torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele seçilen bir kağıdın π2 12 üstündeki sayının çift sayı olması olasılığı kaçtır? A) 2 5 B) 3 5 C) 3 10 D) 3 20 E) 8 25 32. 12 kız ,18 erkek öğrencinin bulunduğu 30 kişilik bir sınıfta kızların 8’i ,erkeklerin 12’si gözlüklüdür.Bu sınıftan 29. rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre kız olması olasılığı kaçtır ? A) 1 4 B) 1 5 C) 2 5 D) 3 5 E) 3 10 A torbasından 3 mavi,4 kırmızı B torbasında 4 mavi,5 33. "BAKACAK" kırmızı top vardır. Bu torbalardan rastgele birinden rastgele bir top çekili- kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek elde edilen yor. Çekilen topun mavi renk olma olasılığı kaçtır? 7 harfli anlamlı veya anlamsız tüm kelimler birer kağıda A) 55 63 B) 3 7 C) 5 9 D) 7 16 E) yazılıp bir torbaya konuluyor.Bu torbadan rastgele çe- 55 126 kilen bir kartta sesli harf ile başlayıp sesli harf ile biten bir kelime olması olasılığı kaçtır ? A) 18 1 7 B) 2 7 C) 3 7 D) 5 14 E) 9 14 Olasılık Rüstem YILMAZ 34. "MATEMATİK" kelimesinin harfleri kullanılarak yazıla- 38. Yaşları ardışık tek sayılar olan 11 kişilik bir grubun yaş bilen 9 harfli anlamlı yada anlamsız bütün kelimeler eşit ortalaması 23’tür.Bu gruptan rastgele seçilen 2 kişinin büyüklükte kağıtlara yazılıp bir torbaya atılıyor. Bu tor- yaş ortalamasının 17 olması olasılığı nedir? badan rastgele çekilen bir kağıttaki kelimenin ‘’ KM ‘’ A) ile başlaması olasılığı kaçtır? A) 1 12 B) 1 18 C) 1 24 D) 1 36 E) 1 11 B) 1 22 C) 1 33 D) 1 55 E) 2 55 1 48 39. 2 zar ve 3madeni para aynı anda atılıyor. Zarların farklı 35. Bir sınavda Ali’nin başarılı olma olasılığı 3/4 , Esma- ve paraların aynı gelme olasılığı nedir? nın başarılı olma olasılığı 1/5 ‘tir. Bu sınavda Ali veya A) Esma’dan sadece birinin başarılı olma olasılığı nedir ? A) 3 5 B) 13 20 C) 7 10 D) 3 4 E) 5 24 B) 1 24 C) 7 24 D) 1 3 E) 3 8 4 5 40. Çember üzerinde 6 nokta vardır.Bu noktalardan oluşabi- 36. ‘’ARMUT” lecek tüm çokgenler birer kağıda çizilip torbaya atılıyor. kelimesinin harfleri ile oluşturulan kelimelerden biri se- Torbadan çekilen bir kağıdın üçgen olma olasılığı nedir? çiliyor. Bu kelimedeki sessiz harflerin alfabetik sıraya A) göre dizilmiş olma olasılığı kaçtır? 1 6 A) B) 1 8 C) 1 3 D) 1 3 E) rakıyor.Bu 3 kişiden ilki çıkarken şemsiyesini unutuyor. Diğer 2 kişi çıkarken rastgele bir şemsiye alıp çıktığına göre bu 2 kişinin kendi şemsiyelerini alma olasılığı kaç- B) 1 4 C) 1 6 D) 1 8 E) 18 42 C) 19 42 D) 10 21 E) 11 21 41. Elimizdeki 3 kutudan 1.sinde 3 siyah,12 beyaz ; 2.sinde 2 siyah,3 beyaz ; 3.sünde 1 siyah ,2 beyaz bilye vardır. Rastgele bir kutudan rastgele bir bilye alınıyor.Bu bilyenin siyah olma olasılığı nedir? A) tır? 1 3 B) 5 8 37. Bir lokantaya giden 3 kişi şemsiyelerini vestiyere bı- A) 17 42 1 9 19 14 15 B) 13 45 C) 14 45 D) 1 3 E) 16 45 Olasılık Rüstem YILMAZ 42. Birinci torbada 3 siyah,3 beyaz ; ikinci torbada 2 siyah 46. 1’den 100’e kadar olan (100 hariç) doğal sayılar ayrı 4 beyaz top vardır.Torbaların herhangi birinden rastgele ayrı kağıtlara yazılıp bir torbaya konuluyor.Torbadan bir alınan bir topun beyaz olduğu bilindiğine göre 2. torba- kağıt çekiliyor. Kağıtta yazılan bir sayının 3 veya 4 ile dan alınmış olma olasılığı kaçtır? bölünememesi olasılığı kaçtır? 1 A) 6 1 B) 3 2 C) 7 4 D) 7 6 E) 7 A) 43. Bir torbada 6 beyaz ve bir miktar mavi top vardır.Bu tor- 47 99 0.9 badan rastgele 2 top alındığında toplardan birinin beyaz diğerinin mavi olma olasılığı 8/15 ise torbada başlan- B) 11 16 33 C) 49 99 D) 50 99 E) 91 99 E) 11 12 Cafer 1 1 , P (A ∩ B) = , 3 4 P (A ∪ B) = 1 2 Olduğuna göre P (B 0 ) kaçtır? gıçta kaç top vardır? A) 12 47. P (A) = B) C) 10 D) 9 E)8 A) 1 12 7 12 B) C) 3 4 5 6 D) 48. İçinde 4 sarı 5 lacivert bilye bulunan kutudan rastgele iki bilye çekiliyor. 44. 4 pozitif , 5 negatif sayı arasından rastgele seçilen 4 Buna göre çekilen bilyelerin farklı renkte olma olasılığı sayının çarpımının negatif olma olasılığı kaçtır? A) 1 3 B) 8 21 C) 3 7 D) 10 21 E) kaçtır? 4 7 A) 4 9 B) 5 9 C) 2 3 D) 5 18 E) 2 9 49. 1 den 12 ye kadar numaralandırılmış 12 topun bulunduğu 45. 30 kişilik bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız öğrenci olma olasılığı 2/3 ‘tür. Sınıftaki öğrencilerin %40’ı İngilizce bilmekte olup , İngilizce bilen kızlar bir torbadan rastgele bir top seçiliyor. Seçilen topun numarasının çift sayı veya 3 ile tam bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? İngilizce bilen erkeklerin yarısıdır.Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin erkek veya ingilizce bilen bir öğrenci olma A) 1 12 olasılığı kaçtır? A) 2 5 B) 7 15 C) 8 15 D) 3 5 E) 2 3 50. Şekilli soru 20 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 6 E) 2 3 Olasılık Rüstem YILMAZ 3 tür. Buna göre 4 bu okçunun hedefe 3 kez atış yaptığında hedefi sadece 51. Bir okçunun hedefi vurma olasılığı 55. Bir küpün dört yüzü yeşil iki yüzü maviye boyanmıştır. Bu küp arka arkaya 4 kez atılıyor. Küpün alt yüzeyine 3 kez yeşil 1 kez mavi gelme olasılığı kaçtır? 3.atışında vurma olasılığı nedir? A) 1 64 3 64 B) 3 32 C) D) 9 64 E) 27 64 A) 32 81 B) 8 81 C) 6 81 D) 4 81 E) 1 81 56. Bir A torbasında 3 yeşil 2 turuncu B torbasında 1 yeşil 4 52. Ali’nin elindeki anahtarlardan 6 tane anahtar vardır. Ka- turuncu top vardır. B torbasından bir top çekilip rengine pıyı bu anahtarlardan sadece ikisi açabildiğine göre bakılmadan A ya atılıyor. Sonra A dan bir top çekiliyor. Ali’nin ilk defa 4.denemede açabilme olasılığı kaçtır? A’dan çekilen topun yeşil olma olasılığı kaçtır? (Kapıyı açmayan anahtar elenecektir.) 1 A) 15 2 B) 15 1 C) 5 1 D) 3 A) 1 E) 2 4 15 B) 7 15 C) 8 15 D) 3 5 E) 2 3 57. 23 kişilik bir sınıfta 10 kişi sarışın sarışınların 3ü yeşil 53. Bir firmada çalışan 24 kişinin 7 si evli bayan 9 u be- gözlüdür. Sınıfta yeşil gözlü olmayan 12 vardır. Sınıftan kar erkektir. Bu firmada toplam 12 kişi evli olduğuna seçilen bir öğrencinin yeşil gözlü olduğu bilindiğine göre göre çalışanlardan seçilen bir kişinin erkek olma olası- sarışın olmama olasılığı kaçtır? lığı kaçtır? A) A) 5 12 B) 1 2 C) 1 6 D) 5 8 E) 7 12 58. 3 11 B) 7 12 C) 5 13 D) 8 11 E) 5 11 9889899 Sayısının rakamları yer değiştirilerek yazılan 7 basa- 54. A = {1, 2, 3, 4, 5} maklı sayılardan rastgele seçilen bir sayının aynı raka- kümesinin alt kümelerinden rastgele seçilen bir kümenin 2 elemanlı bir küme olma olasılığı kaçtır? A) 1 7 B) 1 8 C) 3 16 D) 1 4 E) mala başlayıp aynı rakamla biten bir sayı olma olasılığı kaçtır? 5 16 A) 21 1 7 B) 2 7 C) 3 7 D) 4 7 E) 5 7 Olasılık Rüstem YILMAZ 59. Hamza’nın matematik sınavından 5 alma olasılığı 4/5 63. A kutusunda 2 kırmızı 3 sarı, B kutusunda 3 kırmızı 2 Hacer’in 5 alma olasılığı 1/3 tür. Bu sınavdan Hamza’nın sarı bilye vardır. Bir zar atılıyor. Asal sayı gelirse A ku- 5 alma veya Hacer’in 5 almama olasılığı kaçtır? tusundan asal olmayan bir sayı gelirse B kutusundan A) 7 15 B) 8 15 C) 3 5 D) 13 15 E) 14 15 bir bilye çekiliyor. Buna göre çekilen bilyenin sarı olma olasılığı kaçtır? A) 1 2 B) 1 3 C) 2 3 D) 3 5 E) 3 10 60. Dört kez arka arkaya atılan bir paranın en az 3 kez tura geldiği bilindiğine göre 4 kez tura gelme olasılığı kaçtır? A) 1 4 B) 1 5 C) 4 5 D) 1 3 E) 3 4 61. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 64. . Kümesinin elemanları ile yazilabilecek üç basamaklı ve rakamları farkli doğal sayılar özdeş birer karta yazılıyor ve bu kartlar bir torbaya atılıyor. Bu torbadan rastgele seçilen bir kağıdın üzerindeki sayının 400 den büyük sayı olma olasılığı kaçtır? A) 1 2 B) 1 3 C) 2 3 D) 1 4 E) 1 6 Şekildeki 9 noktadan herhangi üçünü köşe kabul eden üçgenlerden rastgele seçilen bir üçgenin bir köşesinişn A noktası olma olasılığı kaçtır? A) 62. 1 den 20 ye kadar numaralandırılmış 20 kuponun bulunduğu bir torbadan rastgele iki kupon seçiliyor. Bu iki kupondaki sayıların toplamının tek sayı olma olasılığı kaçtır? A) 9 19 B) 10 19 C) 11 19 D) 2 5 E) 1 2 22 5 14 B) 2 7 C) 4 7 D) 9 14 E) 5 21