Kovaryans - Ümit ATİLA Kişisel Web Sayfası
advertisement
BSM-767 MAKİNE ÖĞRENMESİ Makine Öğrenmesine Giriş ve Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Ümit ATİLA [email protected] http://web.karabuk.edu.tr/umitatilla/ Makine Öğrenmesi Nedir? • Veri boyutunun büyüklüğü insanların ondan faydalı bilgi çıkarmasını zorlaştırır. • Verinin sunuluş biçimi bile bize anlamakta zor gelebilir. • Sayılarla dolu bir dosya içinde kaybolup gidebiliriz. Ancak veriyi bir grafik üzerinde görselleştirsek daha anlaşılır olabilir. 2 Makine Öğrenmesi Nedir? • İnsan 3 boyutlu hayatında 3 boyuttan yüksek boyuta sahip verileri yorumlamakta zorlanır. • Bilgisayarlar için yüksek boyutlu veri problem oluşturmaz. • Ya problemin boyutunu azaltıp kendiniz çözersiniz veya bilgisayara makine öğrenmesi ile çözdürürsünüz. 3 Makine Öğrenmesi Nedir? • Örnek verileri ve geçmiş deneyimleri kullanarak performans kriterini optimize etmektir. • Makine öğrenmesinde verinin rolü kaçınılmazdır. • Öğrenme algoritması, veriden bilgi veya özellik ortaya çıkarmak ve öğrenme için kullanılır. • Veri setinin kalitesi ve büyüklüğü öğrenme ve tahmin performansını etkileyecektir. 4 Genelleme (Generalization) • Makine öğrenmesinde amaç genelleme kapasitesine ulaşmaktır. • Bir bilgisayarın bir problemin çözümü hakkında yorum yapabilme kapasitesine ulaşmasıdır. • Bilgisayar örnekler üzerinden öğrenir ve görmediği örnekler hakkında doğru tahminlerde bulunmaya çalışır (genelleme) 5 Makine Öğrenmesi Türleri • Öğrenme, "pratik yaptıkça bir iş daha iyi yapabilir hale gelmek" olarak ta tanımlayabiliriz. • Peki bilgisayar daha iyi bir konuma geldiğini nasıl bilir ve kendisini daha iyi bir konuma nasıl getirir? • Bu sorunun cevabı bize farklı öğrenme türleri ile verilir. 6 Makine Öğrenmesi Türleri • Danışmanlı (Supervised) Öğrenme: • Danışmansız (Unsupervised) Öğrenme: • Reinforcement Öğrenme: • Evrimsel Öğrenme: 7 Danışmanlı Öğrenme • Sınıflandırma ve tahmin yöntemlerine danışmanlı öğrenme yöntemleri de denilebilir. 8 Danışmanlı Öğrenme Regresyon • Bu değerlerin bir fonksiyondan geldiğini kabul ederek bu fonksiyonun ne olduğunu ortaya çıkarmak istiyorsunuz. • Böylece verilecek her hangi bir x girişi için y çıkışının ne olduğunu söyleyebileceksiniz. • Genellikle fonksiyon yaklaşma veya interpolasyon problemi olarak ta tanımlanır. 9 Danışmanlı Öğrenme Regresyon • Bu tablodaki veriler için kullanılabilecek birkaç fonksiyon şekilde verilmiştir. • Sol üst: Noktaların gösterimi, • Sol alt: İki olası çözüm. Noktaları doğrular ile birleştirme (istenen şeyi tam sağlamıyor) veya (ax3+bx2+cx+d) şeklinde kübik fonksiyon kullanma (Birçok nokta için hata yüksek). 10 Danışmanlı Öğrenme Sınıflandırma • N adet sınıftan birine ait olan örneklerle eğitim yaparak giriş vektörlerinin N adet sınıftan hangisine ait olacağını belirleme problemidir. • Her örnek bir sınıfa aittir ve sınıflar kümesi problem uzayında olası tüm girişler için kullanılır. • Bazı örnekler her hangi bir sınıfa dahil edilemeyebilir. 11 Danışmanlı Öğrenme Sınıflandırma • Bozuk para tanıyan makine • Özellik vektöründe yer alabilecek parametreler • Çap, ağırlık, şekil (çoğaltılabilir) • Hangi parametreleri kullanmalıyız? 12 Danışmanlı Öğrenme Sınıflandırma • Farklı sınıflandırma algoritmalarının hepsinin amacı karar sınırları (decision boundaries) belirlemektir. • Şekilde soldaki doğrulardan oluşan karar sınırı, sağdaki eğrilerden oluşan karar sınırına sahip sınıflandırıcıya nazaran performansı kötüdür. 13 Makine Öğrenmesi Süreci • 1-Veri Toplama ve Hazırlama • 2-Özellik Seçimi • 3-Algoritma Seçimi • 4-Parametre ve Model Seçimi • 5- Eğitim • 6-Test 14 Terminoloji • Öğrenme algoritmalarında giriş ve buna karşılık çıkış vardır. • Girişler: x = (x1,x2,…,xm) m boyutlu giriş vektörü • Ağırlıklar: wij, i düğümünü j düğümüne bağlayan ağırlıklandırılmış bağlantı. W ağırlık matrisinde topluca belirtilirler. • Çıkışlar: y = (y1,y2,…,yn) n boyutlu çıkış vektörü • Hedef: t = (t1,t2,….,tn) n boyutlu hedef vektörü. Danışmanlı öğrenmede kullanılan beklenen çıkış değerlerinden oluşan vektördür. 15 Ağırlık Uzayı • Elimizdeki veriler 2 ve 3 boyutlu ise görselleştirme kolaydır. • 3 boyuttan sonrası için sadece 3 tane özelliğin 3 boyutlu ortama yansıması gözlenebilir. • Veriler gibi başka büyüklüklerde grafikte izlenebilir. Örneğin makine öğrenmesi algoritmalarında kullanılan parametreler. • Parametreler koordinat düzleminde (Ağırlık Uzayı) temsil edilebilir. 16 Boyut Sorunu • Boyut arttıkça uzayda temsil edilen birim hiperdüzlemin boyutu artmaz. • Birim hiperdüzlem orijinden 1 birim uzaklıkta yer alan noktaların birleştirilmesi ile elde edilen alandır. • 2 boyutta (0,0) koordinatı etrafında çemberdir, 3 boyutta (0,0,0) etrafında küre. • 3 boyuttan sonra hiperdüzlem elde edilir. 17 Boyut Sorunu • 100 boyuta çıkıldığında elde edilen hiper düzlemin sınırının orijine uzaklığı 0.1'e düşer. • Böylece hiperdüzlemin hacminin küçüldüğü anlaşılır. • Hiperdüzlemin hacmi formülü Vn = (2π / n) Vn-2 18 Boyut Sorunu • Makine öğrenmesi algoritmaları için bunun yorumu • Giriş parametrelerinin boyutu arttıkça algoritmanın iyi genelleme yapabilmesi için daha fazla örneğe ihtiyaç duyulur. • Sınıflandırmada parametre sayısı arttıkça başarılı sınıflandırma için göstermemiz gereken örnek sayısı da artar. 19 Makine Öğrenme Algoritmalarını Test Etme • Algoritmamızın ne kadar başarılı olduğunu bilmek isteriz. • Öğrenmenin performansını öngörebilmek için Test Veri Seti kullanılır. Eğitim Veri seti ile aynı dağılıma sahip olmalıdır. 20 Makine Öğrenme Algoritmalarını Test Etme • a, elimizdeki eğitim kümesi ve b ile c ise test kümeleri • c kümesi, a ve b'den farklı dağılıma sahip. Bu durumda a'dan öğrenilen özelliklerin c'de kullanılabilir olmasını bekleyemeyiz. 21 Makine Öğrenme Algoritmalarını Test Etme • Bu 2 karar sınırı eğitim kümesinde %100 başarı gösterirken, test kümesinde daha farklı bir davranış sergilemekte. 22 Overfitting (Aşırı Uyum) • Ne az eğitim ne de çok aşırısı işimize yaramaz. • Eğer çok fazla eğitim gerçekleştirirseniz veriye aşırı uyum gerçekleşir (ezberleme) yani algoritma verideki gürültü ve yanlışlıklar da öğrenilir ve genelleme yeteneğine zarar verilir. 23 Overfitting (Aşırı Uyum) • Aşırı uyum gerçekleşmeden önce eğitimi durdurmalıyız. • Eğitimde her adımda ne kadar iyi genelleme yapıldığına bakmalıyız. • Bunun için eğitim veya test seti kullanılamaz. • Validation set (değerlendirme verisi) gerekir. 24 Çapraz Geçerlik (Cross-validation) • Genel olarak 3 veri setimiz vardır. Eğitim, Değerlendirme ve Test. • Elimizdeki verinin bu üç veri setine dağıtılması da başarının tarafsızlığı için önemlidir. • Bunun için cross-validation (çapraz geçerlik) kuralları uygulanır. • Üç tip çapraz geçerlik yöntemi önerilmiştir: • Rasgele örnekleme • K parçalı • Birini hariç tut 25 Çapraz Geçerlik (Cross-validation) Rasgele Örnekleme • Rasgele örneklemede eğitim test ve değerlendirme kümelerine rasgele örnekler seçilerek aktarılır. • Çapraz geçerlik içerisinde en yüksek başarıyı sağlayan yöntemdir. 26 Çapraz Geçerlik (Cross-validation) K-Parçalı • K parçalıda veri K adet kümeye ayrılır. • Birisi test kümesi için ve biriside değerlendirme kümesi için ayrılır diğer K-2 küme birleştirilip eğitim kümesi için seçilir. • Bu işlem kümeler değiştirilerek K kez tekrarlanır. • Genel başarı için K adet başarı değerinin ortalaması alınır. 27 Çapraz Geçerlik (Cross-validation) Birini Hariç Tut • K parçalının bir türüdür. Burada algoritma N adet verinin bir tanesinde değerlendirilir N-1 tanesinde eğitilir. • Her eğitimde bir tane örnek dışarıda bırakılır ve diğerleri eğitimde kullanılır. • K parçalı ve Birini Hariç tut yöntemlerinin hesaplama maliyeti rasgele örneklemeden çok yüksektir. 28 Karışıklık Matrisi • Sınıflandırma algoritmalarının başarısını tayin etmek için kullanılan bir yöntemdir. • Karışıklık Matrisinde, satırları beklenen sınıfları ve sütunları da tahmin edilen sınıfları temsil eden bir kare matris oluşturulur. • Matristeki diagonal veriler doğru olarak tahmin edilen örnek sayılarıdır. • Diagonalda yer alan sayıların matristeki toplam örnek sayısına bölümü doğru sınıflandırma başarısını yüzde olarak verir. • Buna doğruluk (Accuracy) denir. 29 Doğruluk Ölçütleri • Binary sınıflandırma problemlerinde olası sınıflar basit bir tablo ile ifade edilebilir. • Bu tabloda TrueProzitif Sınıf1'e dahil edilen ve gerçekte de Sınıf1'e ait olan örnek sayısı, FalsePozitif ise yanlışlıkla Sınıf1'e dahil edilen örnek sayısıdır. • Benzer şekilde TrueNegatif Sınıf2'ye dahil edilen ve gerçekte de Sınıf2'e ait olan örnek sayısı, FalseNegatif ise yanlışlıkla Sınıf2'e dahil edilen örnek sayısıdır. • Bu tabloda diagonal'de yer alanlar doğru sınıflandırmalar diğerleri ise yanlış sınıflandırmalardır. 30 Doğruluk Ölçütleri • Doğruluk (accuracy) ise şu şekilde tanımlanır. • Ancak sınıflandırıcı performansını ifade etmek için doğruluk tek başına yetersizdir. • Bir birine zıt iki çift ölçüt sensivity ile specifity ve Precision ile Recall sınıflandırıcı performansını ifade etmek için kullanılır. 31 Doğruluk Ölçütleri • ROC (Receiver Operator Characteristic) eğrisi, sınıflandırma başarısını yorumlamak ve sınıflandırıcıları karşılaştırmak için kullanılır. • TruePozitif örneklerin oranının, FalsePozitif örneklerin oranına göre nasıl değiştiğini gösterir. • Sınıflandırıcının bir kez çalıştırılması ROC grafiğinde bir nokta bırakır. Bu nokta (0,1) ise %100 TP ve %0 FP olduğu anlamına gelir. • Her şeyi yanlış sınıflandıran bir sınıflandırıcı ise (1,0) noktasındadır. • Böylece ne kadar sol üst tarafta isek o kadar başarılıyız demektir. 32 Doğruluk Ölçütleri • ROC grafiğinde bir nokta yerine eğri elde etmenin yolu çapraz geçerlilik uygulamaktır. • Eğer veri seti 10'a bölünürse 10 farklı test setinde 10 farklı sınıflandırma sonucu elde edersiniz ve bir eğri oluşturabilirsiniz. • Her sınıflandırıcı için bu şekilde ROC eğrileri elde edilerek sınıflandırıcılar karşılaştırılabilir. 33 Dengeli Olmayan Veri Setileri için Doğruluk Ölçütü • Genelde veri setleri dengeli değildir. • Dengeli olmayan veri setlerinde dengeli doğruluğu hesaplamak için Sensivity ve Specifity toplanıp 2'ye bölünebilir. • Ancak daha doğru bir ölçü kullanmak isterseniz bu durumda kullanılabilecek uygun doğruluk ölçüsü Matthew Benzerlik Katsayısıdır (MCC). 34 Temel İstatistik Kavramları Ortalamalar • Mean (μ): Örneklerin ortalamasıdır. Örnek toplamının örnek adedine bölümüdür. • Medyan: Bir örnek setindeki ortanca değerdir. Çift sayıda örnek varsa ortaya en yakın iki örneğin ortalamasıdır. Önce kümedeki örnekler büyüklüğe göre sıralanır. • Mod: Bir örnek setindeki örneklerden frekansı en fazla olanın frekans (küme için kaç adet bulunuyor) değeridir. 35 Temel İstatistik Kavramları Varyans-Kovaryans • Beklenen değer (Expected Value-E): Bir grup sayının beklenen değeri onların ortalamasıdır. • Varyans (σ2): Bir örnek kümesindeki değerlerin dağılımını gösterir. Örnek değerleri ile örnek kümesinin beklenen değeri (mean) arasındaki farkların kareleri toplamıdır. • Standart Sapma (σ): Varyansın kareköküdür. 36 Temel İstatistik Kavramları Varyans-Kovaryans • Kovaryans: Varyans bir örneğin ortalamaya göre değişimine bakar. Kovaryans ise iki örneğin birbirine göre değişimine bakar. • Kovaryans hesaplanırken iki ayrı örnek kümesindeki örneklerin kendi kümelerinin ortalama değerlerinden farklarının beklenen değeri çarpılır. • Eğer iki örnek bağımsız ise kovaryans sıfırdır yani örneklerin korelasyonsuzdur. • Yani örneklerin ikisi de aynı anda artıyor ve azalıyorsa kovaryans pozitiftir. Biri artıyorken diğeri azalıyorsa negatiftir. 37 Temel İstatistik Kavramları Varyans-Kovaryans • Kovaryans, bir veri setindeki tüm veri çiftleri arasındaki korelasyona bakmak için kullanılabilir. • Bunun için tüm örnek çiftlerinin kovaryansı hesaplanır ve bunlar kovaryans matrisi denilen matrise yerleştirilir. • Burada xi, i. örneğin elemanlarını tanımlayan sütun vektörü, μi ise bu sütun vektördeki elemanların mean değeri. • Matris kare matristir. Diagonal elemanlar varyansları verir ve matris simetriktir yani cov(xi,xj) = cov(xj,xi) • X'in mean değeri E(X) olarak düşünüldüğünde bu matris aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. 38 Temel İstatistik Kavramları Varyans-Kovaryans • Kovaryans bize veri hakkında ne söyler? • Esas olarak verinin her boyuta göre nasıl değiştiği bilgisini verir. • Şekilde görülen veri setleri ve bir X test noktası görülüyor. Burada X verinin bir parçası mıdır diye sorulsa. Muhtemelen soldaki için evet, sağdaki için hayır dersiniz. • Bu cevabı verirken verinin ortalamasına baktığınız gibi test noktasının gerçek veri dağılımının neresinde olduğuna da bakarsınız. 39 Temel İstatistik Kavramları Varyans-Kovaryans • Eğer veri belli bir nokta etrafında sıkı bir şekilde toplanmış olsaydı, test noktasının bu merkeze ne kadar mesafede olduğuna bakardınız. • Eğer veri merkez etrafında toplanmak yerine yayılmış olsaydı. Test noktasının merkeze olan mesafesi çok önemli olmayacaktı. • Bu fikri hesaba alan bir mesafe ölçüsü vardır. Mahalanobis. • Burada x, sütun vektörü olarak alınan veri noktası, μ mean'i veren sütun vektörü ve 𝛴 −1 ise kovaryans matrisinin tersidir. • Eğer kovaryans matrisi, birim matris olarak ayarlanırsa bu durumda Mahalanobis mesafesi Öklit mesafesine dönüşür. 40 Temel İstatistik Kavramları Gauss Dağılımı • En iyi bilinen olasılık dağılımıdır. • Bir boyutta şekilde verildiği gibi bir eğridir. • Formülü ise • Burada σ, standart sapma, μ ise mean değeridir. 41 Temel İstatistik Kavramları Gauss Dağılımı • Gauss dağılımı, Merkezi Limit Teoreminden dolayı bir çok problemde karşımıza çıkar. • Bu teorem, bir çok rasgele küçük değerin Gauss dağılımına sahip olacağını söyler. Yüksek boyutta şu şekilde hesaplanır. • Burada 𝛴, kovaryans matrisi, 𝛴 −1 kovaryans matrisin tersi, 𝛴 ise bu matrisin determinantıdır. 42 Temel İstatistik Kavramları Gauss Dağılımı • Şekilde iki boyutta üç farklı durum görülmekte. • Birincisi, kovaryans matrisin birim matrisi olduğu durumda. Küresel kovaryans matrisi olarak bilinir. • İkinci durum, sadece kovaryans matrisin diagonalinde sayıların olduğu durum • Üçüncüsü ise genel durum. 43 Bias-Varyans Çekişmesi • Makine öğrenmesinde karmaşık modeller öğrenmede daha fazla veriye ihtiyaç duyarlar ve overfitting riski yüksektir. • Overfitting engellemek için validation setler kullanılır. • Daha karmaşık bir modelin her zaman daha iyi sonuçlar vermeyeceğini göstermek için basit bir fikir ortaya atılmıştır. Bias-varyans çekişmesi. 44 Bias-Varyans Çekişmesi • Makine öğrenmesi gerçekleştiren bir model iki sebeple kötü olabilir. • Veriye uyum sağlayamamıştır (bias) • Hassas değildir. Sonuçlarda çok fazla varyasyon vardır (varyans) • Model karmaşıklaştıkça bias artar, varyans düşer. Modeli spesifik hale getireyim deseniz ve varyansı artırsanız bu sefer de bias düşer. • Bir modelde hatayı hesaplamanın en genel yöntemi hedef ve gerçek çıkış arasındaki farkları karelerini toplamaktır. 45 Bias-Varyans Çekişmesi • Bu hata formülüne baktığımızda bu formülü parçalamak suretiyle buradan varyans ve bias büyüklüklerini elde edebiliriz. • Diyelim ki yaklaşmaya çalıştığımız fonksiyon 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝜀 olsun. Burada 𝜀 gürültüdür ve 0 varyans ve mean değerine sahip olduğu varsayılır. • Biz makine öğrenmesi algoritmasını ℎ 𝑥 = 𝑤 𝑇 𝑥 + 𝑏 2 hipotezini hata kareleri toplamını 𝑦𝑖 − ℎ 𝑥𝑖 𝑖 minimize etmek için veriye uydurmaya çalışırız. 46 Bias-Varyans Çekişmesi • Modelimizin başarılı olup olmadığını görmek için bağımsız bir veri olarak x* girişi kullanılır ve rasgele bir değer olduğunu varsaydımız hata kareleri toplamının beklenen değeri hesaplanır. • Hatırlayacağımız gibi 𝐸 𝑥 = 𝑥ҧ mean değeridir. • Eğer Z rasgele bir değer ise bu durumda şu eşitlik yazılabilir. 𝐸 = (𝑍 − 𝑍)ҧ 2 = 𝐸 𝑍 2 − 2𝑍 𝑍ҧ + 𝑍ҧ 2 ഥ + 𝑍ҧ 2 = 𝐸[𝑍 2 ] − 2𝐸[𝑍]𝑍 = 𝐸[𝑍 2 ] − 2𝑍ҧ 𝑍ҧ + 𝑍ҧ 2 = 𝐸[𝑍 2 ] − 𝑍ҧ 2 47 Bias-Varyans Çekişmesi • Bu eşitlikten hareketle yeni bir giriş için hata kareleri toplamının beklenen değerini hesaplayabiliriz. 48 Bias-Varyans Çekişmesi • Eşitliğin sağ tarafındaki 3 büyüklükten en soldaki test verisinin varyansıdır ve indirgenemez hatadır ve bizim kontrolümüzün dışındadır. • İkinci terim varyans ve üçüncüsü ise bias karesidir. • Burada bias büyüklüğü yaklaşma hatasıdır… Bias terimi bize neyi veriyor? Gerçek fonksiyon ile ortalama gerçeklenen fonksiyon arasındaki farktır. • Varyans büyüklüğü ise tahmin hatasıdır… Yani öğrenen model tarafından eğitim seti için gerçeklenen fonksiyonun ortalamasından bir örneğin gerçeklemesi çıkartılıyor ve karesi alınıyor. 49 Bias-Varyans Çekişmesi 50 Bias-Varyans Çekişmesi 51
