8.Sınıf EBOB EKOK Çalışma Kağıdı

Yayın No : 4
8.Sınıf
3
ÇARPANLAR ve KATLAR
TEOG Matematik
+
EBOB ve EKOK - Çalışma Kağıdı
2
1 ÷
Ortaokul Matematik Kafası
Kazanım 8.1.1.2.
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
Alıştırmalar - 1
Verilen sayıların en büyük ortak bölenlerini (EBOB) zihinden
bulunuz.
Bir doğal sayının çarpanlarının aynı zamanda o sayının
bölenleri olduğunu daha önce öğrenmiştik.
Şimdi 24 ve 36 sayılarının bölenlerini inceleyelim :
24
144444244443
1 $ 24
2 $ 12
3$8
4$6
36
144444244443
1 $ 36
2 $ 18
3 $ 12
4$9
6$6
24 ün bölenleri : 1 2 3 4 6 8 12 24
a) 12
15
b) 18
32
c) 30
50
d) 15
60
e) 36
48
f)
400
480
36 nın bölenleri : 1 2 3 4 6 9 12 18 36
g) 8
En Büyük Ortak Bölen
24 ve 36 nın ortak bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 12
48
h) 28
35
ı)
45
63
i)
77
99
j)
18
25
k) 19
37
l)
12
48
m) 19
37
n) 25
75
o) 150
ö) 48
72
p) 39
65
s) 55
66
24
36
72
v) 18
30
45
z) 28
36
45
İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleriden en büyük
olanına; En Büyük Ortak Bölen kısaca EBOB denir.
Başka bir deyişle EBOB, birden fazla sayıyı kalansız bölebileceğimiz en büyük sayıdır.
© Kerim Hoca
24 ve 36 nın en büyük ortak böleni (EBOB) : 12*
Birden fazla sayının EBOB'unu bulmak için; sayılar birlikte
asal çarpanlarına ayrılır. Bir sayı sayı herhangi bir asal sayıya bölünemediğinde alta tekrar yazılıp sonraki asal sayıya
bölünmeye çalışılır. Tüm sayıları aynı anda bölen asal sayı-
350
lar işaretlenip çarpıldığında EBOB bulunur.
Örnekler
120 ve 180 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
120
180
2
60
90
2
30
45
2
15
45
3
5
15
3
5
5
5
1
1
2 $ 2 $ 3 $ 5 = 60
t)
100
120
ş) 15
u) 6
120 ve 180 sayılarının En Büyük Ortak Böleni 60'tır.
25
8
40
10
t)
EBOB (120, 180) = 60 şeklinde de gösterilebilir.
y) 80
Gerçekten de 120 ve 180 sayılarını kalansız bölebileceğimiz
en büyük sayı 60'tır.
3
+
2
1 ÷
© 2017 - 2018
1
90
150
www.kerimhoca.com
TEOG Matematik
Ortaokul Matematik Kafası
EBOB Problemleri
Alıştırmalar - 2
Aşağıdaki sayıların EBOB'larını örnekteki gibi
asal çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunuz.
168
280 2
84
140 2
42
70 2
21
35 3
7
35 5
7
7 7
1
1
a) 6
Örnek
İki farklı kapta 48 litre ayçiçek yağı ve 36 litre zeytinyağı
vardır.
10
72
Yağlar birbirine karıştırılmadan aynı hacimde en
fazla kaç litrelik şişelere doldurulabilir?
•
Bu iş için en az kaç şişe gereklidir?
Çözüm :
Yağlar daha küçük şişelere bölüştürüleceğinden şişelerin
hacmi, bu sayıları bölebileceğimiz sayılar olmalıdır.
EBOB (168, 280) = 2 $ 2 $ 2 $ 7
= 56
b) 40
•
Bu yüzden 36 ve 48'in bölenlerini inceleyelim:
c) 84
140
36'nın bölenleri :
48'in bölenleri :
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48
Şişelerin hepsi aynı olacağından hem 48'i hem 36'yı bölen
ortak sayılar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.
192
e) 60
90
© Kerim Hoca
d) 112
Yani tüm yağları 1'er , 2'şer , 3'er , 4'er , 6'şar veya 12'şer
litrelik şişelere koyabiliriz. Fakat soruda en fazla hacimde olması istendiğinden ortak bölenler arasında en büyük olanını
yani 12 litrelik şişeyi seçeriz.
f)
98
154
g) 98
154
Böylece şişe hacmi en büyük olurken, daha az şişe gerekir.
Şimdi de kaç şişe gerektiğini bulalım.
Şişeler 12 litre olacağından ;
Zeytinyağı için 36 ' 12 = 3 adet şişe,
Ayçiçek yağı için 48 ' 12 = 4 adet şişe, toplamda 3 + 4 = 7
adet şişe gereklidir.
Bu soruda birden fazla çokluğu daha küçük parçalara böldüğümüzden sayıların ortak bölenlerine ihtiyaç duyduk. Verilen
çoklukların daha küçük parçalara bölünmesi gerektiği bu
tarz problemlerde En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kullanırız.
Örnek
h) 24
32
80
i)
36
60
36 kg şeker, 54 kg pirinç ve 90 kg nohut birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükte torbalara
doldurulacaktır. Bu iş için en az kaç torba gerekir?
72
Çözüm :
Az sayıda torba kullanmak istiyorsak; torbaların boyutu
54, 72 ve 96 kilogramın hepsini bölebilen en büyük sayı
olmalıdır.
j)
3
+
48
60
64
2
1 ÷
© 2017 - 2018
k) 70
80
90
36
18
9
3
1
2
54
27
27
9
3
1
90
45
45
15
5
5
1
2
2
3
3
3
5
EBOB (36, 54, 90) = 2 $ 3 $ 3 = 18 dir.
Torbalar 18 kilogramlık olursa,
36 ' 18 = 2 torba bb_
bb
54 ' 18 = 3 torba b` Toplam 10 torba gerekir.
bb
90 ' 18 = 5 torba b
a
www.kerimhoca.com
TEOG Matematik
Ortaokul Matematik Kafası
Açık Uçlu Sorular
6. 128 ve 98 kesirlerini doğal sayı yapan en büyük
A
1. 40, 55 ve 75 litrelik üç bidon, zeytinyağı ile doludur. Bu
A
A doğal sayısı kaçtır?
zeytinyağlar hiç artmayacak biçimde, ayrı ayrı ve eşit ölçüde
mümkün olan en büyük kaplara doldurulmak isteniyor.
Buna göre;
a) Her kaba kaçar litre zeytinyağı konulmalıdır?
b) Bu iş için kaç tane kap gerekir?
7. Türkiye'de yapılan bir spor turnuvasına dört farklı ülkeden
18, 24, 78 ve 36 sporcu katılmıştır. Aynı ülke sporcularının
aynı odada ve bütün odalarda eşit sayıda sporcu kalması
şartıyla odalar ayarlanıyor.
Buna göre en az kaç oda gerekir?
2. Boyları 120 metre ve 288 metre olan iki farklı tel, aynı
boydaki en uzun parçalara bölünürse kaç parça tel elde
edilir?
8. 36 kesri kaç farklı doğal sayı ile sadeleştirilebilir?
3. Eni 32 metre, boyu 48 metre olan dikdörtgen şeklindeki
bir baçenin etrafına, köşelerine de gelmek şartıyla eşit
aralıklarla fidan dikilecetir. Bu iş için en az kaç adet fidan
gerekir?
© Kerim Hoca
75
9.
45 m
60 m
105 m
Yanda verilen üçgen şeklindeki bahçenin çevresine
köşelere de gelecek şekilde eşit aralıklarla aydınlatma
lambaları yerleştirilecektir. Bu iş için en az kaç lamba
gerekir?
10. Kenar uzunlukları 150 m ve 175 m olan dikdörtgen şeklindeki
4. Boyutları 80 metre ve 72 metre olan bir arsa, hiç boşluk
bir tarlanın etrafına köşelerinde de olmal şartıyla fidan
dikilecektir.
kalmadan boyutları en büyük olan kare şeklinde eş piknik
alanlarına ayrılmak isteniyor. Buna göre kaç piknik alanı
elde edilebilir?
a) İki fidan arası en fazla kaç m olabilir?
b) Bir fidan 12TL ise, en az kaç liralik fidan alınır?
5. Kenar uzunlukları 28 m ve 35 m şeklindeki bir spor
salonunun tabanı aynı boyuttaki kare parkelerden
en az kaç tanesi ile döşenebilir?
3
+
2
1 ÷
© 2017 - 2018
11. 123, 153 ve 183 sayılarını ayrı ayrı böldüğümüzde her
defasında 3 kalınını veren en büyük doğal sayı kaçtır?
3
www.kerimhoca.com
TEOG Matematik
Ortaokul Matematik Kafası
En Küçük Ortak Kat (EKOK)
ı)
20 , 25
i)
40 , 50
j)
12 , 15 , 20
k) 8 , 10 , 20
8 ve 10 sayılarının katlarını inceleyelim :
8'in katları : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, ...
10'in katları: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, ...
En Küçük Ortak Kat
8 ve 10'un ortak katları : 40, 80, 120, ...
m) 20 , 40 , 120
n) 3 , 5 , 18
8 ve 10'un en küçük ortak katı (EKOK) : 40*
8 ve 10'ın katları ilk 40'ta kesiştiklerinden, tüm ortak katları
40'ın katlarıdır. Yani 40, 80, 120, 160, 200, 240, ...
Alıştırmalar - 2
İki veya daha fazla sayının ortak katların en küçük olanına;
En Küçük Ortak Kat kısaca EKOK denir.
Aşağıdaki sayıların EKOK'larını asal çarpanlara ayırma
yöntemiyle bulalım.
Birden fazla sayının EKOK'unu bulmak için EBOB bulurken
a) 18
24
b) 125
c) 75
80
d) 72
yaptığımız gibi sayıları asal çarpanlarına ayırırız. Çizgininin
150
sağındaki tüm asal sayıları çarptığımızda EKOK'u buluruz.
24
28
2
12
14
2
6
7
2
3
7
3
1
7
7
EKOK (24, 48) = 2 $ 2 $ 2 $ 3 $ 7 = 168
1
© Kerim Hoca
24 ve 42 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulalım.
120
24 ve 42'nin ortak katlarından en küçüğü 168'dir.
Tüm ortak katları ise 168'in katlarıdır. Yani 168, 336, 504, ...
Alıştırmalar - 1
Verilen sayıların en küçük ortak katlarını (EKOK) zihinden
bulalım.
a) 12 , 15
b) 8 , 12
c) 9 , 15
d) 15 , 20
e) 25 , 45
f)
g) 7 , 8
h) 9 , 11
3
+
2
1 ÷
© 2017 - 2018
e) 8
15
f)
104
120
g) 8
15
h) 104
120
10 , 30
4
www.kerimhoca.com
TEOG Matematik
28
i)
36
Ortaokul Matematik Kafası
j)
24
44
Başlangıç
1. Zil
15
2. Zil
30
20
45
60
40
75
60
90
80
100
İlk defa
60. dk’da
birlikte çalarlar.
b) Ziller her 60 dakika bir beraber çaldıklarından 4. defa birlikte çalmaları için 4 # 60dk = 240 dk geçmelidir.
k) 72
90
m) 49
70
c) 400 dakikda içerisinde 6 defa 60 dakika olduğundan,
ziller 400 dakika içerisinde 6 defa birlikte çalarlar.
Örnek
Kenar uzunlukları 18 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklindeki fayanslarla kare şeklinde bir alan oluşturulmak
isteniyor.
a) Karesel bölgenin bir kenar uzunluğu en az kaç cm olur?
n) 20
30
50
p) 24
36
b) Bu iş için en az kaç tane fayans gerekir?
48
© Kerim Hoca
Çözüm :
a)
18
18
90 cm
KARE
18
18
18
EKOK Problemleri
30
İki farklı çalarsaat çalıştırıldıktan sonra biri 15 dakikada
bir, diğeri ise 20 dakikada bir çalmaktadır. Saatler aynı
anda çalıştırıldıktan sonra ;
a) İlk kez kaçıncı dakikada birlikte çalarlar?
İşte bu sayı da ; 18 ve 30'un EKOK'u olan 90'dır.
b) 4. kez birlikte çalmaları için kaç dakika geçmelidir?
Yani oluşturacağımız en küçük karenin bir kenar uzunluğu
90 cm olmalıdır. Dilersek bundan sonra bir kenar uzunluğu
90'ın katları olan 180 cm, 270 cm, 360 cm, ...olan kareler
oluşturabiliriz.
c) 400 dakika içerisinde kaç defa birlikte çalarlar?
Çözüm :
a)
b)
Birincil zil 15'in katlarında > 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
İkinci zil 20'nin katlarında > 20, 40, 60, 80, 100, ...
dakika geçtikten sonra çalarlar.
Şekilde görüldüğü gibi yanyana 3, yukarıya doğru 5 fayans
kullanıldığından toplam 3 # 5 = 15 fayans gerekir.
60. dakika iki sayının da ortak katı olduğundan ilk olarak 60.
dakika birlikte çalarlar.
3
30
90 cm
Yukarıdaki gibi fayansları köşeden başlayarak yana ve yukarıya doğru dizdiğimizde 18'in ve 30'un katlarını elde ederiz.
Oluşturacağımız alan kare olduğundan, karenin bir kenar
uzunluğu hem 18'in hem de 30'un ortak katı olmalıdır.
Örnek
+
30
2
1 ÷
© 2017 - 2018
Ayrıca karenin alanını, bir fayansın
alanına bölerek de bulabiliriz
5
5
3
90 # 90
= 15
18 # 30
www.kerimhoca.com
TEOG Matematik
Ortaokul Matematik Kafası
7. Aynı duraktan kalkan minibüslerden biri 24 dakikada,
Açık Uçlu Sorular
diğeri 20 dakikada bir sefere çıkmaktadır. İlk kez saat
05.00'de sefere başlayan minibüsler, bundan sonra saat
kaçta tekrar aynı anda sefere çıkarlar?
1. 12 ve 15 sayılarının üç basamaklı ortak katlarından
en küçüğü kaçtır?
8. Melisa gidecekleri piknik için paket halinde satılan tabak
2. 9 ve 12'ye kalansız bölünebilen en küçük doğal sayı
ve bardaklardan alacaktır. Tabaklar sekizli, bardaklar
on dörtlü paketlerde satılmaktadır. Melisa eşit sayıda
tabak ve bardak alacağına göre, bu paketlerden en az
kaç tane almalıdır?
kaçtır?
3. 8 ve 20'ye bölündüğünde 1 kalanını veren en küçük sayı
kaçtır?
9. Bir kutudaki şekerler önce 6'şarlı, sonra 8'erli olarak
4. Bir hastanede çalışan iki hemşireden Elif 4 günde bir, Buse
ise 10 günde bir nöbet tutmaktadır.
Birlikte aynı gün nöbet tuttuktan en az kaç gün sonra
tekrar birlikte nöbet tutarlar?
© Kerim Hoca
paketleniyor. İki durumda da 5 şeker arttığına göre,
kutuda en az kaç şeker vardır?
10.
1
1
işleminde paydalar en az kaçta eşitlenebilir?
+
70 85
11. Kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı 10 cm olan dikdörtgen
şeklindeki kartlar kenarları boyunca birleştirilerek bir kare
oluşturulacaktır.
5. Boyutları 10 cm, 12 cm ve 15 cm olan dikdörtgenler
a) Oluşturulacak karenin bir kenarı en az kaç
sanitmetre olabilir?
prizması şeklindeki kutulardan en az kaç tanesi ile bir
küp yapılabilir?
b) Bu kare için en az kaç kart gerekir?
6. 8 eklendiğinde hem 18'e hem de 22'ye kalansız
12.
bölünebilen en küçük sayı kaçtır?
25 cm
. . .
. . .
15 cm
Ahmet 25 cm ve 15 cm uzunluğundaki farklı çubukları
yukarıdaki gibi uç uca ekleyip aynı boya getirmek istiyor.
Çubukların aynı boyda olması için en az kaç çubuğa
gerek vardır?
3
+
2
1 ÷
© 2017 - 2018
6
www.kerimhoca.com
TEOG Matematik
Ortaokul Matematik Kafası
EBOB - EKOK Diğer Özellikler
Alıştırmalar - 1
Verilen sayıların EBOB ve EKOK'larını bulalım.
Birbirinin katı olan iki doğal sayının EBOB'u bu sayılardan küçük olanına, EKOK'u ise büyük olanına eşittir.
a) 20
Örnek
60
EBOB =
b) 10
80
EBOB =
EKOK =
EKOK =
5 ve 25 sayıları için EBOB = 5, EKOK = 25'dir.
c) 8
16
EBOB =
e) 3
72
EBOB =
EKOK =
İki sayının EBOB'uyla EKOK'unun çarpımı bu sayıların
çarpımına eşittir.
EBOB (x, y) $ EKOK (x, y) = x $ y
EKOK =
d) 25
f)
4
75
EBOB =
120
EBOB =
EKOK =
EKOK =
Örnek
8 ve 10 sayıları için EBOB = 2, EKOK = 40'tır.
g) 40
80
EBOB =
EKOK =
Sayıların çarpmı ile EBOB ve EKOK'un çarpımı 80'e eşittir.
Verilen sayıları beraber asal çarpanlarına ayırarak EBOB
ve EKOK bulmayı öğrenmiştik. Şimde de sayılar ayrı ayrı
asal çarpanlarına ayrılmış olarak verildiğinde EBOB ve
EKOK'u bulalım.
2
3
5
B = 2 $3
2
Ortak asal sayılardan üssü küçük olanları çarptığımızda
EBOB'u buluruz.
3
EBOB (A, B) = 2 $ 3
5
2
İki doğal sayının EBOB'unun bölenleri (çarpanları)
aynı zamanda bu sayıların ortak bölenleridir.
EBOB =
EBOB =
EKOK =
EKOK =
2
4
EKOK =
EKOK =
2
f)
3
B = 2$5
EBOB =
EKOK =
EKOK =
3
2
3
2
3
2
A = 2 $ 5 $ 13
EBOB =
4
7
3
d) A = 2 $ 5 $ 13
2
B = 2$5
EBOB =
g) A = 2 $ 3 $ 7
2
B = 5 $ 13
© 2017 - 2018
2
EBOB =
4
60 ve 160 sayılarının en büyük ortak böleni 20'dir.
20'nin bölenleri ise 1, 2, 4, 5, 10, 20'dir.
Bu sayılar aynı zamandan 160 ve 60'ın tüm ortak bölenleridir.
2
b) A = 2 $ 3
3
B = 2$3
e) A = 3 $ 7
6
3
B = 2 $7
Örnek
1 ÷
2
a) A = 3 $ 7
B = 3 $ 11
5
EKOK (A, B) = 2 $ 3 $ 7
3
EKOK =
2
Tüm asal sayılardan üssü büyük olanları çarptığımızda
EKOK'u buluruz.
+
EBOB =
Verilen sayıların EBOB ve EKOK'larını bulalım.
c) A = 2 $ 3 $ 7
4
B = 2 $3
4
300
Alıştırmalar - 2
© Kerim Hoca
4
A = 2 $3 $7
h) 150
4
2
5
2
h) A = 2 $ 3 $ 7
4
5
2
B = 2 $ 3 $ 13
EBOB =
EBOB =
EKOK =
EKOK =
www.kerimhoca.com
TEOG Matematik
Ortaokul Matematik Kafası
Açık Uçlu Sorular
Notlarım
1. 18 ve 20 sayılarının en büyük ortak böleni ile en küçük
ortak katının çarpımı kaçtır?
2. Biri diğerinin 7 katı olan iki doğal sayının en küçük ortak
katı 210 olduğuna göre bu sayıları bulalım.
3. Biri diğerinin üç katı olan iki sayının en büyük ortak
4. İki doğal sayının EBOB'u 2, EKOK'u 330'dur.
Bu sayılardan biri 30 olduğuna göre diğer sayı kaçtır?
© Kerim Hoca
böleni ile en küçük ortak katının toplamı 180 olduğuna
göre bu sayıları bulalım.
5. En büyük ortak böleni 40 olan iki farklı doğal sayının
toplamı en az kaçtır?
6. EKOK'u 120 olan üç farklı doğal sayının toplamı en fazla
kaçtır?
7. Birbirinin tam katı olan iki doğal sayının EKOK'u 20
olduğuna göre, bu sayı çiftlerini bulalım.
3
+
2
1 ÷
© 2017 - 2018
8
www.kerimhoca.com