ELASTİK BİYELLİ KRANK-BİYEL MEKANİZMALARININ DİNAMİK
advertisement
11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 ELASTİK BİYELLİ KRANK-BİYEL MEKANİZMALARININ DİNAMİK KARARLILIĞI HAKKINDA PARAMETRİK İNCELEMELER Özgür TURHAN İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, 80191 Gümüşsuyu, İSTANBUL [email protected] Gökhan BULUT İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, 80191 Gümüşsuyu, İSTANBUL [email protected] ÖZET Bu çalışmada, elastik biyelli krank-biyel (KB) mekanizmalarının dinamik kararlılığına çeşitli sistem parametrelerinin etkisi incelenmiştir. Bu amaçla hareketli biyel viskoelastik malzemeden yapılmış bir EulerBernouilli kirişi olarak modellenmiş, elde edilen kısmi türevli diferansiyel denklem Galerkin Yöntemi yardımıyla peryodik katsayılı bir adi diferansiyel denklem takımına (Mathieu-Hill denklemleri takımı) dönüştürülmüş ve bu denklemlerin kararlılığı Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemi yardımıyla incelenerek çeşitli boyutsuz parametre düzlemlerinde kararlılık kartları verilmiştir. Anahtar Kelimeler: Krank-Biyel Mekanizması, Dinamik Kararlılık, Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemi 1. GİRİŞ Daha hızlı, daha güçlü fakat daha hafif makinalar yapma genel hedefinin önündeki en büyük engel, bu koşullar altında, makinaların istenmeyen elastik davranışlar göstermesidir. Bu nedenle, bu hedefe yönelik kuramsal çalışmalar arasında elastik uzuvlu makinaların dinamiği konusundaki araştırmalar önemli bir yer tutar. Peryodik çevrimli makinalar söz konusu olduğunda -ki çoğu makina böyledirelastik uzuvların dinamik davranışının bir çok durumda peryodik katsayılı, lineer, adi diferansiyel denklemlere (Mathieu-Hill denklemleri) uyduğu; yani bunların parametre tahrikli sistemler oluşturduğu bilinmektedir. Parametre tahrikli sistemler kendilerine özgü rezonans koşullarına sahiptir. Bu rezonans koşullarının belirlenmesi problemi dinamik kararlılık analizi problemi adını alır ve tıpkı sıradan titreşim sistemlerindeki doğal frekans hesabı problemi gibi büyük öneme sahiptir. Genellikle, parametrik ve bileşik rezonans olmak üzere, iki tip rezonans; buna bağlı olarak da (yalnız parametrik rezonans koşullarının belirlendiği) parametrik kararlılık analizi ve (her iki tipten rezonans koşullarının belirlendiği) tam kararlılık analizi olmak üzere iki tür kararlılık analizi ayırdedilir. Kararlılık analizinin sonuçları, çoğunlukla, seçilmiş bir parametre düzleminde kararlı ve kararsız parametre bölgelerinin gösterildiği kararlılık kartları yardımıyla sergilenir. Esnek uzuvlu makinaların dinamik kararlılık analizi problemi bir çok araştırmacının ilgisini çekmiştir. Burada yalnızca Krank-Biyel (KB) mekanizması ile ilgili çalışmaları anmak gerekirse; Jasinski, Lee ve Sandor [1], Badlani ve Kleinhenz [2], Zhu ve Chen [3], Tadjbakhsh ve Younis [4], Turhan [5] ve Wang [6] elastik biyelli; Badlani ve Midha [7] veTurhan [8] visko-elastik biyelli KB mekanizmalarının kararlılığını incelemişler; Chivate ve Farhang [9] kayış-kasnak mekanizması ile çalıştırılan viskoelastik biyelli bir KB mekanizmasının, Lu, Haque ve Lakshmikumaran [10] ise zemine elastik olarak bağlı, elastik biyelli bir KB mekanizmasının kararlılığını ele almışlardır. Bu çalışmalarda Bolotin Yöntemi [11], monodromi matrisi yöntemi, pertürbasyon yöntemi gibi çeşitli yöntemler kullanılmıştır. Anılan çalışmaların her birinde hızın ve bir tek diğer sistem parametresinin, bazen de bunlara ek olarak sönümün KB mekanizmasının kararlılığı üzerindeki etkisi incelenmiş ise de; tüm sistem parametrelerinin etkilerini topluca ortaya koyan bir çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışmanın amacı, bu çok önemli mekanizmada olası tüm tasarım parametrelerinin kararlılık üzerindeki etkilerini ayrı ayrı inceleyip kararlılık kartları yardımıyla bir arada sergilemektir. Bu yapılırken, hız, sönüm, krank yarıçapı, piston kütlesi gibi etkileri daha önce de incelenmiş parametreler yanında kaçık merkezli KB mekanizmalarında merkez kaçıklığı da ilk kez kararlılık üzerindeki etkisi bakımından ele alınacaktır. Çalışmada visko-elastik biyelli, kaçık merkezli bir Krank-Biyel mekanizması göz önüne alınacak ve bu mekanizmanın kararlılığı üzerinde etkili olan sistem parametrelerinin tam bir listesi ortaya konulduktan sonra tüm bu parametrelerin etkileri , orijinal haliyle Turhan ve Bulut bir parametrik kararlılık analiz yöntemi olan Bolotin yönteminin bir tam kararlılık analiz yöntemine genelleştirmesi olan Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemi [12] yardımıyla incelenecektir. L(u) = ∂ 2u ∂ϕ 22 + EI ∂4 ρAω22 ∂x 4 [(1 + ηω2 ∂ )u] − [rC 23 (l − x) ∂ϕ 2 F 1 ∂ 2u ∂u + G 32 (l 2 − x 2 ) + x ] + (rC23 + G 32 x) − G 32 u 2 2 2 ∂x ρAω2 ∂x 2. HAREKET DENKLEMLERİ 1 + (G′3x − rS23] = 0 l Şekil 1-a daki KB mekanizması göz önüne alınsın ve biyel dışındaki uzuvların rijid, buna karşılık biyelin, gerilme ( σ) - şekil değiştirme ( ε ) ilişkisi, E Young modülünü, η ise viskoz sönüm orantı katsayısını dε göstermek üzere, σ = E (ε + η ) olacak şekilde dt Kelvin-Voight malzeme modeline (Şekil 1-b) uyan visko-elastik, düzgün kesitli, homojen, basit mesnetli bir Euler-Bernouilli kirişi olduğu varsayılsın. (1) kısmi türevli diferansiyel denklemi ile basit mesnet sınır koşullarından oluşan sınır-değer problemine uyacağı gösterilebilir [5,8]. Burada, 1 1 && 3 − rS 23 ω 22 )m 3S 3 − m 4&s& + ( lϕ 3 2 Fx = C3 (2) pistonun biyele uyguladığı tepki kuvvetinin boyuna bileşeni olup ϕ 2 = ω 2 t , u = y / l boyutsuz değişkenleri ile hepsi rijid KB mekanizmasının kinematiğine ilişkin ifadeler olan ve ϕ2 nin fonksiyonu olarak kolayca hesaplanabilen && 3 / ω 22 , G 3 = ϕ& 3 / ω 2 , G ′3 = ϕ G ′4 = &s& / ω 22 , Krankın sabit ω2 açısal hızıyla döndüğü, mekanizma üzerine bunun gerektirdiği çalıştırma momenti dışında hiç bir dış kuvvetin etkimediği ve lineer olmayan terimlere yol açan Coriolis kuvvetlerinin göz ardı edilebildiği kabulleri altında hareketli biyelin düzlem içi eğilme titreşimlerinin, (EI, A ve ρ, biyelin, sırasıyla, eğilme rijidliğini, kesit alanını ve kütlesel yoğunluğunu göstermek üzere) Si = sin ϕ i , C i = cos ϕ i , Sij = sin(ϕ i − ϕ j ), y j ρ,A,EI, l ,(m3) A ϕ3 i 3 Fy r A0 1 ϕ2 e 4 B Fx x Fy s (a) ηE E (b) Şekil 1 Viskoelastik Biyelli Krank-Biyel Mekanizması (a) Mekanizma (b) Kelvin-Voight Malzeme Modeli 2 m4 B Fx 2 1 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 C ij = cos(ϕ i − ϕ j ) gösterilimleri kullanılmıştır. kütlesini Ayrıca m3 biyelin, m4 ise pistonun göstermektedir. Galerkin yöntemi yardımıyla, (1) de tanımlı sınırdeğer probleminin yerine, onu belli bir yaklaşıklıkla temsil edecek, sonlu sayıda denklemden oluşan bir adi diferansiyel denklem takımı geçirilebilir. Bu amaçla g i (ϕ 2 ) ler bilinmeyen ağırlık fonksiyonları, iπx ψ i ( x ) = sin( ) fonksiyonları ise basit mesnet l sınır koşullarına sahip hareketsiz kirişin öz fonksiyonlarından ibaret bir ortogonal fonksiyonlar takımı olmak üzere, sınır değer probleminin çözümü N ~ u ( x , ϕ 2 ) = ∑ g i (ϕ 2 )ψ i ( x ) (3) i =1 sonlu serisi ile yaklaşık olarak temsil edilir ve bu çözüm (1) de yerine konulup l ~ ∫ L(u )ψ j (x)dx = 0 ; 0 j=1,2,...,N şeklinde N adet ortogonalizasyon şartı yazılırsa, vektör-matris formundaki ifadesi ζ 1 g ′′ + Eg ′ + [ E + P (ϕ 2 )]g = q(ϕ 2 ) Ω Ω2 (4) şeklinde olan bir adi diferansiyel denklem takımına ulaşılır. Burada g, elemanları gi(ϕ2) ler olan N boyutlu bilinmeyenler vektörü; E, elemanları 4 e ii = (πi) olan sabit bir köşegen matris; P(ϕ2), köşegen elemanları S S S 1 µ Pii (ϕ 2 ) = [ (C 23 − 23 3 ) + (G 32 + 3 G ′3 ) 2 C3 3 C3 G ′4 5 ](iπ) 2 − G 32 (5) −λ lC 3 4 köşegen dışı elemanları ise Pij (ϕ 2 ) = 2ij − (−1) i+ j G 32 , i 2 + j2 2 2 2 (i − j ) {[1 − (−1) i + j ]µC 23 , i≠j (6) ζ=η λ = EI ρAl Ω = ω2 / , 4 m4 , m3 EI ρAl 4 , µ = lr (8) boyutsuz parametreleri kullanılmıştır. Yapısında geçen ve KB mekanizmasının kinematiğiyle ilgili olan S3, C3, S23, C23, G3, G ′3 , G ′4 terimleri ϕ2 nin 2π peryodik fonksiyonları olduğundan (4) denklem takımı bir Mathieu-Hill denklemleri takımı oluşturmaktadır. Öte yandan, bu terimler (8) de tanımlı µ parametresinin yanısıra, ilgilenilen KB mekanizmasının merkez kaçıklığının bir ölçüsü olan β = el parametresine de bağlı olduklarından, (5) ten λ ya bağımlılık da dikkate alınarak P=P(λ,µ,β,ϕ2) yazılabileceği anlaşılır. Böylece, (4) denkleminin kararlılık analizinde gerekli olan homojen kısmı, problemin bağımlı olduğu parametreleri açıkça gösterecek biçimde g′′ + ζ 1 Eg′ + [ 2 E + P(λ, µ, β, ϕ 2 )]g = 0 Ω Ω (9) şeklinde yazılabilir. Buna göre, sistemin kararlılığı üzerinde etkili olacak sistem parametreleri Ω = ω2 / EI ρAl µ = lr , β = 4 , ζ=η EI ρAl 4 , λ = e l m4 , m3 (10) şeklindeki beş parametreden ibarettir. Aşağıda bu parametrelerinin her birinin KB mekanizmasında elastik biyelin dinamik kararlılığı üzerindeki etkileri incelenecektir. 3. KARARLILIK ANALİZİ Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemine [12] göre i=j dinamik davranışı (9) şeklindeki bir Mathieu-Hill denklemleri takımınca tasvir edilen N serbestlik dereceli bir dinamik sistemin, bir eksenine Ω nın yerleştirildiği bir parametre düzlemindeki kararsızlık (rezonans) bölgelerinin sınırındaki Ω değerlerinin şöyle hesaplanabileceği gösterilebilir [13]: p=-m,..,-1,0,1,..m matrisleri Pp=Pp(λ,µ,β); P=P(λ,µ,β,ϕ2) matrisinin m şeklinde olan NxN boyutlu bir matris, q(ϕ2) ise elemanları q i (ϕ 2 ) = 2 {[1 − (−1) i ]µS 23 + (−1) i G ′3 iπ (7) şeklinde tanımlı Nx1 boyutlu bir sütun matris olup P (λ, µ, β, ϕ 2 ) = ∑ Pp (λ, µ, β)e ipϕ 2 (11) p=− m şeklinde bir karmaşık Fourier serisine açındırılmasıyla elde edilen NxN boyutlu karmaşık Fourier katsayı matrisleri; Ei, Fi ler k. hiper-satır, q. hiper-sütun elemanları Turhan ve Bulut E 0kq = 2ikIδ kq , polinomunun bir özdeğeri olmamak kaydıyla (17) 1 = 1 + 1 yazılıp (18) denklemi denkleminde Ω δ E1kq = ζE F0kq = − k 2 Iδ kq + Pk −q , F1kq = iqζE, Ω F2kq = E (12) M o = M o + 1δ M1 + şeklinde tanımlı NxN matrisler olan, aslında sonsuz boyutlu fakat yaklaşık bir hesapta −K ≤ k ≤ + K , −K ≤ q ≤ + K olacak şekilde η1xη1 ; η1 = N(2K + 1) boyutlu kısımları dikkate alınan hiper-matrisler; Ui ler 0 U0 = - F0 I 0 0 , U1 = , - E 0 F E 1 1 0 U2 = - F2 0 0 1 δ2 M2 , M1 = M1 + M2 = M2 1 M , 2 2δ (19) değerleriyle Ω için çözülebilir ve Ω buradan Ω= δΩ δ+ Ω şeklinde hesaplanabilir. Problemin kurgusu şöyle bir gözden geçirildiğinde kolayca görüleceği gibi (14-16) problemlerinden hangisi söz konusu olursa olsun (18) denklemindeki G matrisi G=G(ζ,λ,µ,β) şeklinde sistem parametrelerine bağlı olacaktır. Buna göre bu parametrelerden üçü sabitlenip dördüncüsü adım adım değiştirilerek Ω nın (13) şeklinde tanımlı, yaklaşık hesapta 2η1x 2η1 boyutlu hiper-matrisler; B(Ui) ler Ui lerin [12] ve [14] te tanımları verilen, yaklaşık hesapta η2 xη2 ; η 2 = 2η1 (2η1 − 1) boyutlu karşılıklı toplam (bialternate sum) matrisleri olmak üzere, harmonik parametrik rezonans sınırlarındaki Ω değerleri det[G (ς, λ, µ, β) − ΩI ] = 0 (20) harmonik altı parametrik rezonans sınırlarındaki Ω değerleri özdeğer analizi probleminden hesaplanmasıyla, bu dördüncü parametre ile Ω nın oluşturduğu parametre düzleminde, rezonans bölgelerinin sınırları elde edilebilir. Bu yapılırken, gerçel olmayan Ω değerlerinin ve (yapılan hesabın bir yaklaşık hesap olmasıyla bağlantılı olarak) yakınsaması yeterli olmayan Ω değerlerinin elenmesi gerektiğini belirtelim fakat kısalık bakımından burada bunu yapmanın yöntemlerinin ayrıntılarına girmeyelim. det[[F0 + 1 / 2iE 0 − 1 / 4I] + 1 / Ω[F1 + 1 / 2iE1 ] 4. PARAMETRİK İNCELEMELER det [F0 + 1 / ΩF1 + 1 / Ω 2 F2 ] = 0 2 + 1 / Ω F2 ] = 0 (14) Bu bölümde, yukarıda kısaca tanıtılan hesapların, bu amaç için özel olarak geliştirilen bir FORTRAN programı yardımıyla gerçekleştirilmesi ile elde edilen sonuçlar sergilenecektir. Ancak, hesaba geçmeden önce, elde edilecek sonuçların güvenilirliğini etkileyen bazı hesap parametrelerinden kısaca söz edilmesi yerinde olacaktır. (15) bileşik rezonans sınırlarındaki Ω değerleri ise det[B(U 0 ) + 1 / ΩB(U1 ) + 1 / Ω 2 B(U 2 )] = 0 (16) problemlerinin çözümünden hesaplanabilir. Bu çözümlerin nasıl gerçekleştirilebileceğini görmek için her üç problemi temsilen 1 M + 1 M =0 det M o + Ω 1 2 Ω2 Bu parametrelerden ilki, (11) denklemindeki Fourier serisi açınımlarında dikkate alınacak terim sayısını belirleyen m parametresidir. Sonuçların güvenilirliğini güvence altına alacak m değerini belirleyebilmek için, Pij fonksiyonlarının (5-6) denklemlerindeki gerçek ifadeleri ile (11) denklemindeki Fourier serisi açınımlarının farklı parametre kombinasyonlarına karşılık gelen durumlarda ayrıntılı bir karşılaştırması yapılmış ve en az m=8 (8 harmonik) alınması gerektiği görülüp hesaplarda bu değer benimsenmiştir. Buna göre bir parametre taranarak gerçekleştirilen hesapların her adımında 2m+1=17 adet Pp karmaşık Fourier katsayıları matrisinin hesaplanması gerekmiş ve bu iş katsayıları veren integraller Simpson kuralı ile sayısal yoldan hesaplanarak gerçekleştirilmiştir. (17) problemi ele alınırsa, Ω2 ile çarpılıp det M o ≠0 olmak kaydıyla − M o−1M1 − M o−1M 2 det[G − ΩI ] = 0 ; G = (18) I 0 şeklinde lineerleştirilerek bu problemin Ω için bir özdeğer hesabı problemine dönüştürülebileceği görülür. Artık Ω buradan, uygun bir özdeğer hesabı rutini yardımıyla, kolaylıkla hesaplanabilecektir. det M o =0 olması halinde ise 1δ ilgili matris 4 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 Hesaplar üzerinde etkili iki diğer parametre de (3) denklemiyle verilen Galerkin serisindeki N terim sayısı (ki burada mod sayısı diye anılacaktır) ve (12) matrislerinin boyutunu tayin eden K sayısıdır. Bunlardan N sayısı, kullanılan ayrık matematiksel modelin gerçek sürekli sistemi temsil yeteneğinin bir ölçüsünü oluştururken K sayısı, bir yandan ele alınacak parametre düzlemi üzerinde saptanacak kararsızlık (rezonans) bölgelerinin sayısını bir yandan da bunların hesap hassasiyetini belirlemektedir. Öyle ki 1. mertebeden kararsızlık bölgelerinden K. mertebeden kararsızlık bölgelerine kadar elde edilmekte, bunlardan 1. mertebeden olanlar için K. mertebeden (en yüksek) yaklaşıklık, diğerleri için ise giderek azalan mertebeden yaklaşıklıklar elde edilmektedir. Bu söylenilenlerden kolayca anlaşılacağı gibi, N ve K değerlerinin kararlılık analizi sonuçlarında bir yakınsama oluşmasına yetecek kadar büyük seçilmesi gerekmektedir. Bu seçimlerden Bölüm 4.1 de ayrıntılı olarak söz edilecektir. H Ω11 = 9.869 , H H Ω14 = 2.467 , Ω15 = 1.974 , ... S Ω11 = 19.739 , i=1,2,...,N; k=1,2,...,K 2ωi ( 2 k −1) i=1,2,...,N; k=1,3,5, ... ωi m ω j k i, j=1,2,...,N; k=1,2,...,K (26) Merkez kaçıklığının kararlılık üzerindeki etkisini incelemek üzere, l = 0.3 m, µ = r / l = 0.3 , λ = m 4 / m 3 = 0.5 şeklinde tanımlı bir KB e mekanizması için Ω − β(= ) parametre düzleminde l farklı mod sayıları ve sönüm değerleri için elde edilen kararlılık kartları Şekil 2, 3 ve 4 te verilmiştir. Bu şekillerde taralı alanlar kararsız parametre bölgelerini (rezonans bölgeleri) göstermektedir. Ayrıca, sınırları koyu renk çizilmiş bölgeler harmonik parametrik rezonans bölgeleri, açık renk çizilmiş olanlar ise harmonik altı parametrik rezonans bölgeleridir. Şekillerde β<0.7 bölgesinin dışına çıkılmamasının nedeni krankın dönebilmesi için β+µ<1 koşulunun sağlanmasının gerekmesidir. Bu şekillerden Şekil 2 de yalnızca 1. modu hesaba katan (N=1) tek terimli Galerkin açınımı, Şekil 3 ve 4 te ise, sırasıyla, 2 ve 3 mod hesaba katan (N=2 ve N=3) Galerkin açınımları kullanılmıştır. Şekillerin her birinde (a) da daha düşük (ζ=0.001) (b) de ise daha yüksek (ζ=0.01) sönüm değerlerine ilişkin sonuçlar verilmiştir. Şekil 2, 3 ve 4 ün çıplak gözle bir karşılaştırması, N=2 ve N=3 ile yapılan hesapların, 1. mod bakımından zaten kararsız olan bölgelerin içerisinde 2. moda ve 3. moda ait kararsızlık bölgelerinin de bulunacağı kuramsal öneme sahip bilgisini sağlamakla birlikte, kararsız bölgenin dış sınırını oluşturan birinci moda ait bölge sınırlarında gözle görülür bir değişikliğe yol açmadıklarını ortaya koymaktadır. Buradan N=1 ile yapılan hesapların pratik bakımdan yeterli olduğu izlenimi doğsa da daha kesin bir hükme varabilmek ve hesaplarda kullanılacak N ve K değerlerini kararlaştırabilmek için Tablo 1 ve 2 de birinci moda ait bazı kararlılık sınırlarının farklı N ve K değerleri ile elde edilen sayısal değerleri karşılaştırılmıştır. Bu Tabloların (ve burada verilmeyen diğerlerinin) incelenmesinden, pratik bakımdan önem taşıyan 1. mod kararlılık sınırlarında yeterli yakınsama için N=2, K=8 alınmasının uygun olacağı anlaşılmış ve tüm hesaplarda bu değerler benimsenmiştir. Burada, N=2 gibi mütevazi bir terim sayısıyla sürekli sistemin dinamik davranışına yakınsama sağlayan (22) (23) i. ve j. modlara ait k. mertebeden (ikili) bileşik rezonans bölgeleri ise C Ω ijk = S Ω13 = 3.948 , 4.1. Merkez Kaçıklığının Kararlılık Üzerindeki Etkisi i. moda ait k. mertebeden harmonik altı parametrik rezonans bölgeleri Ω Sik = (25) noktaları civarından çıkmaları gerektiği anlaşılır. Aşağıda verilecek tüm kararlılık kartlarının bu beklentilerle uyumlu olduğu görülecektir. (21) ωi k S Ω12 = 6.579 , S S Ω14 = 2.819 , Ω15 = 2.191 , ... şeklinde belli olan sistemde kararsızlık bölgelerinin –var olmaları halinde- Ω ekseninin hangi noktalarından çıkacağı bellidir. Buna göre, sistemde sönüm bulunmaması halinde, i. moda ait k. mertebeden harmonik parametrik rezonans bölgeleri H Ω ik = H Ω13 = 3.289 , harmonik altı parametrik rezonans bölgelerinin ise Hesaba geçmeden kaydedilmesinde yarar olan bir başka husus da elde edilecek kararlılık kartlarının görünümleri hakkındaki kuramsal beklentilerdir. Floquet Kuramına göre, burada ele alınan ve boyutsuz doğal frekansları (4) denklemindeki E matrisinin elemanlarının karekökleri olarak ωi=i2π2 H Ω12 = 4.935 , (24) noktalarından çıkacaktır. Aşağıda sunulacak hesapların hiç birinde pratik bakımdan anlamlı parametre bölgelerinde bileşik rezonans bölgesine rastlanmadığı için bunlar bir yana bırakılır ve (21) değerleri (22) ve (23) ifadelerinde yerlerine konularak parametrik rezonans bölgelerinin çıkış noktaları belirlenirse, birinci moda (i=1) ilişkin harmonik parametrik rezonans bölgelerinin 5 Turhan ve Bulut Galerkin yönteminin geçmeyelim. Tablo 1 β=0.3 İçin gücüne işaret H Ω11 Bölgesi Alt Sınırı (ζ=0.001) K Ω N 4 8 12 16 1 6.554270 6.554891 6.554891 6.554891 2 6.517405 6.517985 6.517985 6.517985 3 6.517250 6.517828 6.517828 6.517828 Tablo 2 β=0.3 İçin S Ω 12 Bölgesi Alt Sınırı (ζ=0.001) K Ω N etkisi olumsuzdur. Biyelin eğilme titreşimlerinin 1. doğal frekansı (Boyutsuz karşılığı: ω1=π2) ile karşılaştırılabilir mertebedeki yüksek hızlarda kararsızlık neredeyse kaçınılmaz görünmektedir. Ayrıca, bunun yarısı mertebesindeki hızlardan itibaren dar kararsızlık bantlarıyla karşılaşma olasılığının da dikkate alınması gerektiği anlaşılmaktadır. ii) Malzeme sönümünün kararlılık üzerindeki etkisi olumludur. Sivri uçlu kararsızlık bölgelerinin uçlarını yuvarlatıp bunları hız ekseninden kopartarak özellikle küçük merkez kaçıklığına sahip mekanizmalarda kararlı hız aralıklarını genişletmektedir. Şekillerden çıplak gözle görülmese de sönümün hesaplara yansıyan bir etkisinin de sistem doğal frekanslarını ve bununla bağlantılı olarak rezonans bölgesi sınırlarını hafifçe aşağı çekmesi olduğunu belirtelim. iii) Merkez kaçıklığının kararlılık üzerindeki etkisi olumsuzdur. Kaçıklık arttıkça kararsızlık bölgeleri genişlemekte ve üst mertebeden yeni kararsızlık bölgeleri devreye girmektedir. Ancak β<0.1 olacak şekildeki “makul” bir Merkez kaçıklığının kararlılık üzerinde kayda değer bir etkisi bulunmamaktadır. etmeden 4 8 12 16 1 5.456263 5.457946 5.457946 5.457946 2 3 5.437181 5.437027 5.438651 5.438595 5.438651 5.438596 5.438651 5.438596 Şekil 2-4 ten dikkate alınan parametrelerin kararlılık üzerindeki etkileri bakımından çıkartılabilecek sonuçlara gelince; i) Hızın kararlılık üzerindeki Ω Ω (a) (b) β β Şekil 2 KB Mekanizmasının Kararlılığına Merkez Kaçıklığının Etkisi (1 Mod) (a) ζ=0.001, (b) ζ=0.01 6 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 Ω Ω (b) (a) β β Şekil 3 KB Mekanizmasının Kararlılığına Merkez Kaçıklığının Etkisi (2 Mod) (a) ζ=0.001, (b) ζ=0.01 Ω Ω (a) (b) β β Şekil 4 KB Mekanizmasının Kararlılığına Merkez Kaçıklığının Etkisi (3 Mod) (a) ζ=0.001, (b) ζ=0.01 7 Turhan ve Bulut anlaşılmaktadır. ii) Malzeme sönümünün kararlılık üzerindeki etkisi olumludur ve yine Bölüm 4.1 deki değerlendirmeler geçerlidir. iii) Piston kütlesinin kararlılık üzerindeki genel etkisi olumsuzdur. Piston kütlesinin artması hem, genellikle (Genellikle çünkü bunun önemli istisnaları bulunduğu şekilden görülmektedir), var olan kararsızlık bölgelerinin genişlemesine, hem de üst mertebeden yeni kararsızlık bölgelerinin devreye girmesine yol açmaktadır. Buradan, çok yüksek hızlara çıkması istenen KB mekanizmalarında pistonun elden geldiğince hafif yapılması gerektiği anlaşılmaktadır. Esasen bu, sarsma kuvvetlerinin azaltılması, düzgün çalışmanın sağlanması, mafsal ve yatak kuvvetlerinin küçültülmesi gibi başka dinamik gerekçelerle de istenen bir özelliktir. 4.2. Krank-Biyel Mekanizmasının Kararlılığına Piston Kütlesinin Etkisi l = 0.25 m, µ = r2 / l = 0.25 , β = 0 şeklinde tanımlı merkezcil bir KB mekanizması için, N=2, K=8 değerleri ve iki farklı sönüm değeri için Ω − λ(= m4 ) m3 düzleminde elde edilen kararlılık kartları Şekil 5 te verilmiştir. Bu şekillerin incelenmesiyle, göz önüne alınan parametrelerin kararlılık üzerindeki etkileri hakkında şu sonuçlara varılmaktadır: i) Hızın kararlılık üzerindeki etkisi olumsuzdur ve Bölüm 4.1 deki değerlendirmeler geçerlidir. Ancak, birinci doğal frekansın üstündeki hızlarda kararlı çalışmayı olanaklı kılan dar bir kararlılık bandının bulunacağı Ω Ω (a) (b) λ λ Şekil 5 KB Mekanizmasının Kararlılığına Piston Kütlesinin Etkisi (a) ζ=0.001, (b) ζ=0.01 yine Bölüm 4.1 deki değerlendirmeler geçerlidir. iii) Krank yarıçapının kararlılık üzerindeki genel etkisi olumsuzdur. Krank yarıçapının artması hem istisnai parametre bölgeleri dışında- var olan kararsızlık bölgelerinin genişlemesine, hem de üst mertebeden yeni kararsızlık bölgelerinin devreye girmesine yol açmaktadır. Her ne kadar kendilerinden beklenen görevleri yerine getirebilmek için KB mekanizmalarının 0.2-0.3 aralığında bir µ değerine sahip olmaları gerektiği ve uygulamanın bu yönde olduğu bilinmekte ise de, dikkat çekici bir özellik olarak, çok küçük µ değerleri bölgesinde kararlılığı yitirmeden çok yüksek hızlara çıkma olanağının bulunduğunu not etmekte yarar vardır. 4.3. Krank-Biyel Mekanizmasının Kararlılığına Krank Yarıçapının Etkisi l = 0.25 m, λ = m 4 / m 3 = 0.5 , β = 0 şeklinde tanımlı merkezcil bir KB mekanizması için, N=2, K=8 değerleri ve iki farklı sönüm değeri için Ω − µ(= lr ) düzleminde elde edilen kararlılık kartları Şekil 6 da verilmiştir. Bu şekillerin incelenmesiyle, göz önüne alınan parametrelerin kararlılık üzerindeki etkileri hakkında şu sonuçlara varılmaktadır: i) Hızın kararlılık üzerindeki etkisi olumsuzdur ve Bölüm 4.1 ve 4.2 deki değerlendirmeler geçerlidir. ii) Malzeme sönümünün kararlılık üzerindeki etkisi olumludur ve 8 11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003 Burada son bir not olarak, merkezcil KB mekanizmalarında stroğun s=2r olacak biçimde krank yarıçapının iki katına eşit olmasıyla bağlantılı olarak, Şekil 6 nın bu tip KB mekanizmaları s özelinde bir Ω − 2l diyagramı olarak okunmasının da mümkün olduğunu, dolayısıyla büyüyen stroğun kararlılık üzerinde olumsuz etkisi bulunacağının anlaşıldığını kaydedelim. Ω Ω (b) (a) µ µ Şekil 6 KB Mekanizmasının Kararlılığına Krank Yarıçapının Etkisi (a) ζ=0.001, (b) ζ=0.01 birlikte bu problemde bileşik rezonansların uygulama bakımından etkili olmadığı ve parametrik kararlılık analizinin yeterli olduğu sonucuna varılmıştır. 5. SONUÇ Biyeli elastik diğer uzuvları rijid kabul Krank-Biyel mekanizmalarında çeşitli parametrelerinin biyelin düzlem içi titreşimlerinin kararlılığı üzerindeki incelenmiştir. edilen sistem eğilme etkileri Kararlılık üzerindeki etkisi incelenen parametrelerden hız, merkez kaçıklığı, krank yarıçapı ve piston kütlesinin genel olarak olumsuz, malzeme sönümünün ise olumlu etkisi bulunduğu belirlenmiştir. Buna göre çok yüksek hızlara çıkması düşünülen bir Krank-Biyel mekanizmasının Modelde krank ve piston elastikliğinin göz ardı edilmiş olması, bu uzuvların temel frekanslarının biyelinkine oranla yüksek mertebeden olması halinde -ki gerçek durum budur- biyelin kendi yüksek titreşim modlarının göz ardı edilmesinden ki bu çalışmada bunun yerinde olduğu gösterilmiştirdaha büyük bir eksiklik değildir. e tasarımında β = l merkez kaçıklığı / biyel boyu oranı, µ = lr krank yarıçapı / biyel boyu oranı ve λ= Buna karşılık, mekanizmanın kendi parametrelerinin etkilerini açıkça gözleyebilmek amacıyla, olası dış kuvvetlerin dikkate alınmamış olması, burada elde edilen sonuçları, böyle kuvvetler etkisindeki mekanizmalara doğrudan uygulanamaz hale getirmektedir. Somut durumlarda bu etkileri de hesaba katarak buradaki analizin yinelenmesi gerekeceğinin belirtilmesi gerekir. m4 m3 piston kütlesi / biyel kütlesi oranı elden geldiğince küçük; malzeme sönümü ise elden geldiğince büyük tutulmalıdır. Ayrıca, aynı EI Ω = ω2 / boyutsuz hız oranında kalarak ρAl 4 fiilen daha yüksek hızlara çıkabilmek için biyelin büyük eğilme rijidliğine fakat küçük kütle ve uzunluğa sahip olacak biçimde tasarlanması; yani biyelin eğilme titreşimlerinin doğal frekanslarının elden geldiğince yüksek tutulması gerektiği Yapılan incelemelerde, zaten parametrik rezonansın hüküm sürdüğü çok yüksek hız bölgelerinde bazı bileşik rezonans bölgelerine rastlanmış olmakla 9 Turhan ve Bulut 14. Fuller, A., T., 1968, Conditions for A Matrix to Have Only Characteristic Roots With Negative Real Parts, Journal of Mathematical Analysis and Aplications, 23, 71-98 anlaşılmaktadır. Bütün bu sonuçlar sağ duyuya uygun ve beklenen sonuçlardır. Bunların yanısıra, yüksek hızlara çıkılırken rastlanan ilk rezonans bölgesinin üzerinde dar da olsa kararlı çalışma bölgelerinin var olabileceği görülmüştür. Bu, “kritik üstü” hızlarda çalışacak mekanizmalar tasarlanabileceğini gösteren anlamlı bir sonuç olarak görülmelidir. KAYNAKLAR 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Jasinski, P.W., Lee, H.C., Sandor, G.N., 1970, Stability and Steady-State Vibrations in A High-Speed Slider-Crank Mechanism, J. of Applied Mech., 1069-1076. Badlani, M., Kleinhenz, N., 1979, Dynamic Stability of Elastic Mechanisms, ASME J. Mech. Des., 101, 149-153. Zhu, Z.G., Chen, Y., 1983, The Stability of Motion of A Connecting Rod, ASME J. Mech., Trans. And Autom. in Design, 105, 637-640. Tadjbakhsh, I.G., Younis, C.J., 1986. Dynamic Stability of the Flexible Connecting Rod of A Slider-Crank Mechanism, ASME J. Mech.,Trans. and Autom. in Design, 108, 487496. Turhan, Ö., 1995. Dynamic Stability of FourBar and Slider-Crank Mechanism With Elastic Coupler, Mech. and Mach. Theory, 30, 871882. Wang, Y.M.,1998, The Stability Analysis of A Slider-Crank Mechanism Due To the Existence of Two-Component Parametric Resonance, Int. J. of Solids and Structures, 36, 4225-4250. Badlani, M., Midha, A., 1983, Effect of Internal Material Damping on the Dynamics of A Slider-Crank Mechanism, 105, 452-459. Turhan, Ö., 1996, Dynamic Stability of FourBar and Slider-Crank Mechanisms With Viscoelastic (Kelvin-Voight Model) Coupler, Mech. and Mach. Theory, 31, 77-78. Chivate, P.N., Farhang, K., 1993, Parametric Stability of Belt-Driven Slider-Crank Mechanisms With Flexible Coupler, ASME Dyn. and Vib. of Time-Varying Sys. and Str., 56, 97-109. Lu, S.Y., Haque, I., Lakshmikumaran, A., 1995, An Investigation of the Dynamic Stability of A Slider-Crank Mechanism with Link and Drive Train Flexibility, Journal of Sound and Vibration, 182,3-22. Bolotin, V.V., 1964, The Dynamic Stability of Elastic Systems, Holden-Day Inc., California. Turhan, Ö., 1998, A Generalized Bolotin’s Method for Stability Limit Determination of Parametrically Excited Systems, Journal of Sound and Vibration, 216, 851-863. Bulut, G., Elastik Uzuvlu Makinaların Dinamik Kararlılığı, Y. Lisans Tezi, İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2002. 10
