Sistem Dinamiği ve Modellemesi

Sistem Nedir?
Belli bir görevi yerine getiren tek bir elemana veya biribirleri ile
fiziksel olarak ilişkilendirilmiş elemanlara sistem denir.
Sistem Dinamiği ve
Modellemesi
Sistem Tanımı ve Temel Kavramlar
Sistem görevini yerine getirirken dışarıdan bir takım fiziksel etkilere
(girdi) maruz kalır. Bu girdiler sonucunda sistem içerisinde görevi
doğrultusunda bir takım tepkiler gözlemlenir. Bu tepkileri temsil
eden fiziksel değişkenler çıktı olarak tanımlanır.
05.11.2012
Süspansiyon Sistemi
2
Dinamik Sistem
Bir sistemin girdisi ve çıktısı arasındaki ilişki, tek tek elemanların
davranışlarını ve elemanlarının birbirleri ve dış etkiler ile
etkileşimini açkılayan fizik kanunları kullanılarak tanımlanır.
Hooke Yasası (Yay)
Girdi
Viskoz Sönüm Kuvveti
Çıktı
Newton ‘un II. Yasası
05.11.2012
3
Dinamik Sistem
Dinamik bir mekanik sistemin belirli bir andaki kuvvet dengesi
d’Alembert İlkesi yardımıyla yazılır
05.11.2012
4
Dinamik Sistem
Bu fizik kanunlarının uygullanmasıyla sistemlerin zamana bağlı
davranışlarını veren denklemler elde edilir. (Modelleme) Bu
denklemler sürekli sistemler için diferansiyel denklem
şeklindedirler.
mx ′′(t) + cx ′(t) + kx(t) − F(t) = 0
mx ′′(t) + cx ′(t) + kx(t) = F(t)
a 2 x ′′(t) + a1 x ′(t) + a0 x(t) = b1u(t)
mx ′′(t) + cx ′(t) + kx(t) − F(t) = 0
Yay kütle amortisör sisteminin dinamik davranışını ifade eden
diferenasiyel denklem
(Doğrusal+Sabit Katsayılı)
Serbest Cisim Diyagramı
Hareket halindeki bir kütle üzerine etki eden dış kuvvetlerin ve o
kütlenin atalet etkisinin toplamı “0” dır
05.11.2012
5
05.11.2012
6
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Sürekli veya Kesikli Sistemler
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Sabit Parametreli veya Zamanla Değişen Parametreli Sistemler
Bir sistemin tüm değişkenleri her an için bir değer alıyorlar ise böyle
sistemler sürekli olarak adlandırılır. Kesikli (Discrete) sistemlerin
değişkenleri ise sadece belirli “t” anlarında bir değer alırlar
Parametreleri zamana bağlı değişmeyen (time invariant) sabit
parametreli sistemlerin cevabı, girdinin tatbik edildiği zamana
bağımlı değildir. Buna karşın değişken parametreli (time variant)
sistemlerde cevap, girdinin uygulandığı zamana bağlıdır. Örnek
olarak, hareketi sırasında kütlesi zamanla değişen bir roket
05.11.2012
7
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Dağılmış veya Topaklanmış Parametreli Sistemler
9
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Tek ve Çok Girdili - Çıktılı Sistemler :
Deterministik bir sistemin cevabı önceden belirli (kestirilebilme) ve
tekrarlanabilme özelliğine sahiptir. Buna karşın Stokastik bir
sistemde bu özellikler yoktur.
05.11.2012
10
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Sistemler :
Doğrusal sistemler, farklı zamanlarda uygulanan girdilere verdikleri
cevapların toplamı, herhangi başka bir anda iki girdinin toplamı
olan girdiye verdiği cevaba eşit olan sistemlerdir.
Bazı sistemlerde kontrol edilen bir tek girdi ve buna bağlı bir tek çıktı
söz konusudur (Single Input - Single Output SISO Systems).
Bazılarında ise birbirini etkileyen birden fazla girdi ile çıktı söz
konusudur (Multiple Input – Multiple Output Systems MIMO).
05.11.2012
8
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Deterministik ve Stokastik (gelişigüzel) Sistemler :
Fiziksel özelliklerinin belli noktalara yığılması veya eleman boyunca
dağılmasına göre sistemler, topaklanmış (Lumped Parameter) veya
dağılmış (Distributed Parameter) parametreli sistemler olarak
ayrılabilir. Topaklanmış sistemler normal adi diferansiyel
denklemlerle ifade edilirken, dağılmış parametreli sistemler kısmi
diferansiyel denklemlerle temsil edilirler
05.11.2012
05.11.2012
11
Doğrusal sistemler n. Mertebeden sabit katsayılı diferansiyel
denklemler kullanılarak modellenirler.
05.11.2012
12
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Sistemler :
Doğrusal Olmayan (Nonlinear) Sistemler herhangi bir girdiye
verdikleri cevaplar, girdinin uygulanma anına ve sistemin o an ki
durumuna bağlı olarak değişim gösteren sistemlerdir.
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Doğrusallık testi :
Herhangi bir sistemin doğrusallığı kontrol etmek için sisteme iki test
uygulanır.
Ölçekleme testi:
Süperpozisyon prensibi:
F (a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = a 1 F ( x 1 ) + a 2 F ( x 2 )
05.11.2012
13
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Doğrusal Olmayan Sistemlerin İncelenmesi :
Fiziksel sistemlerin hemen hepsi gerçekte doğrusal olmayan (Nonlinear) bir karaktere sahiptir. Doğrusal olmayan sistemler; genelde
kontrol devrelerinde fiziksel büyüklüğün bir referans değer
civarında çok dar bir çalışma aralığında değişimi kabülü yapılarak
doğrusal bir yaklaşımla incelenebilir. Bir f(x) fonksiyonu için belirli
bir a noktası etrafında Taylor serisi açılımı:
05.11.2012
14
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Doğrusallaştrıma :
Doğrusallaştırma yapılırken Taylor Serisi Açılımı yapılır ve sadece
doğrusal terim hesaba katılır.
Taylor serisinin genel terimi:
F(a)=
Doğrusallaştırma için n=1 alınır.
Eğer çok değişkenli bir f(.) fonksiyonu söz konusu ise:
05.11.2012
15
05.11.2012
16
Doğrusallaştırma Uygulamaları
Basit Sarkaç T(t)=mgLsinθ(t)
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Tek Değişkenli Denklemlerin Doğrusallaştrıması :
Türev, bir eğrinin hesaplandığı noktadaki eğimini verir.
Örnek: (küçük açı kabulü)
x (t ) = L sin θ (t )
f (θ ) = L sin θ
df (θ )
= L cos θ , θ = 0, L cos θ = L
dθ
f L (θ ) = 0 + L (θ − 0) = Lθ
f L (θ ) = Lθ
05.11.2012
x = Lθ
x& = Lθ&
x&& = Lθ&&
17
05.11.2012
18
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Doğrusallaştrıma :
Eğer çok değişkenli bir f(.) fonksiyonu söz konusu ise:
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Doğrusallaştrıma (çok değişkenli sistem örnek) :
eğrinin (a,b) noktasında için
x ekseni doğrultusundaki eğimini
Q (H , p ) = c .H . p .γ
Kontrol vanasının debisi, vananın giriş ve çıkışları arasındaki basınç
kaybı p ve kontrol girdisi H ye bağlı olarak verilmiştir. Debi
denkleminin vananın bağlanacağı hattın karakterisiklerine göre
belirlenmiş P0 ve H0 noktaları etrafındaki doğrusal ifadesini
bulunuz.
eğrinin (a,b) noktasında için
y ekseni doğrultusundaki eğimini
05.11.2012
19
Dinamik Sistemlerin Sınıflandırılması
Doğrusallaştrıma (çok değişkenli sistem örnek) :
Doğrusallaştırılmış fonksiyon iki değişkene bağlı kısmi türevlere
∂Q
olarak: Q = Qo + ∂Q
( p − po ) +
( H − Ho )
∂p
L
∂H
H = st
= cHo. γ
1
= C1
20
Dinamik Sistemlerin Zaman Cevaplarının Bulunması
Statik (Stasyoner) Eğriler :
Bir sistemin (veya elemanın) Statik (Statsiyoner) davranışı, bu sistemin
girdi ve çıktı değerlerinin düzenli rejim halinde birbirlerine bağlı
değişimini ifade eder. Karmaşık sistemlerde bu girdi çıktı ilişkisi
deneysel olarak elde edilir ve sonuçlar grafik olarak verilir.
p = st
Qo = c. Ho. po.γ
∂Q( po)
∂p
05.11.2012
∂Q( Ho)
,
= c. po.γ = C2
∂H p = st
yazılır Kısmi türevler sırası ile hesaplanıp ifadede yerine konulursa
kontrol vanasının geçirdiği akışkan debisinin, vananın girişi ve çıkışı
arasındaki basınç düşümü p ve vana strok yüksekliği H ye bağlı
ifadesinin (P0,H0) noktası etrafındaki doğrusallaştırımış ifadesi
bulunur
H = st
2 po
QL = Qo + C1 .( p − po) + C2 .( H − Ho)
05.11.2012
21
Doğrusallaştırma Uygulaması
Stasyoner eğrinin yardımı ile bir sistemin belirli bir nokta etrafındaki
davranışı doğrusal olarak bulunabilir.
05.11.2012
22
Doğrusallaştırma Uygulaması
Nümerik Türev:
Şekilde bir santrifüj pompanın H manometrik basma yüksekliğinin, Q debisi ve
pompayı çeviren motorun n devir sayısına göre değişimini gösteren eğriler
verilmiştir. H yüksekliğinin Qn=10 lt/dak., nn=1000 d/dak. değerleri ile verilen
bir Pn noktası civarında lineerleştirilmiş ifadesini yazınız ve Q=9.5 lt/dak,
n=1100 d/dak olması halinde bulunan formülle pompanın basabileceği H
manometrik yüksekliğini hesaplayınız
05.11.2012
23
05.11.2012
24
Doğrusallaştırma Uygulaması
Doğrusallaştırma ifadesi:
H L (Q , n ) = H (Q 0 , n0 ) +
∂H (Q 0 , n0 )
∂n
Q =sbt
(n − n0 ) +
∂H (Q 0 , n 0 )
∂Q
n =sbt
(Q − Q 0 )
Nümerik türevler:
∂H (Q 0 , n 0 )
∂n
∂H (Q , n )
∂Q
Q =sbt
=
(H 2 − H 1 )
44 − 36
8
= 0.04
=
=
(n2 − n1 )
1100 − 900 200
n =sbt
=
(H Q 2 − H Q 1 ) 39 − 41 − 2
= −0.5
=
=
(Q 2 − Q 1 )
12 − 8
4
Bu düzenli rejime geçilirken
gözlemlenen sonra kaybolan
davranışa
geçici rejim davranışı
denmektedir.
X(t)=xg(t)+xd(t)
H L (Q , n ) = 40 + 0.04( n − 1000 ) − 0.5(Q − 10)
H L ( 1100,9.5) = 40 + 0.04( 1100 − 1000) − 0.5( 9.5 − 10) = 43.75 m
05.11.2012
25
Dinamik Sistemlerin Zaman Cevaplarının Bulunması
Kütle-Sönüm-Yay Sisteminin Dinamik Davranışı :
ξ=
x (t ) =
xg(t)
ξ=
xd(t)
05.11.2012
27
Dinamik Sistemlerin Zaman Cevaplarının Bulunması
Kütle-Sönüm-Yay Sisteminin Dinamik Davranışı :
f (t ) = mx&&(t ) + cx& (t ) + kx ( k ), F(t) = 1[N]
x (t ) =

1 
ωn
e −ξωnt sin(ωn 1 − ξ 2 t )
( 1 −
k 
ωn 1 − ξ 2

x dr (t ) =
1
[1 ] = (F (t ))
k
k
Düzenli rejimde bütün
türevler “0” olur
05.11.2012
05.11.2012
xg(t)
26
1
k
ϖn =
c
2 km
xd(t)
f (t ) = mx&&(t ) + cx& (t ) + kx ( k ), F(t) = 1[N]


ωn
e −ξωnt sin(ωn 1 − ξ 2 t )
( 1 −
ωn 1 − ξ 2


k
m
ϖn =
xg(t)
Dinamik Sistemlerin Zaman Cevaplarının Bulunması
Kütle-Sönüm-Yay Sisteminin Dinamik Davranışı :
f (t ) = mx&&(t ) + cx& (t ) + kx ( k ), F(t) = 1[N]
1
x (t ) =
k
Dinamik Sistemlerin Zaman Cevaplarının Bulunması
Dinamik Davranış :
Bir sistemin dinamik davranışı, o sistemin matematiksel modeli olan
denklem takımının çözülmesi ile bulunur. Dinamik davranış, statik
eğriden farklı olarak sistemin düzenli rejime geçmeden önce zaman
bağlı gösterdiği davranışıda içermektedir.
xd(t)
29


ωn
e −ξωnt sin(ωn 1 − ξ 2 t )
( 1 −
ωn 1 − ξ 2


k
m
c
2 km
05.11.2012
xg(t)
xd(t)
28