HOMOJEN OLMAYAN KATI ÖZLÜ BİR ORTAMDA SAÇILMA

i
HOMOJEN OLMAYAN KATI ÖZLÜ BĐR ORTAMDA
SAÇILMA PROBLEMĐNĐN
TEKLĐĞĐ
Đsmail SULAN
YÜKSEK LĐSANS TEZĐ
MATEMATĐK
GAZĐ ÜNĐVERSĐTESĐ
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
NĐSAN 2007
ANKARA
ii
Đsmail SULAN tarafından hazırlanan HOMOJEN OLMAYAN KATI ÖZLÜ
BĐR ORTAMDA SAÇILMA PROBLEMĐNĐN TEKLĐĞĐ adlı bu tezin Yüksek
Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Yrd. Doç. Dr. Adil MISIR
Tez Yöneticisi
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği/oy çokluğu ile MATEMATĐK Anabilim
Dalında YÜKSEK LĐSANS tezi olarak kabul edilmiştir.
Başkan:
:
Prof. Dr. Đbrahim Ethem ANAR
_
Üye
:
Prof. Dr. Baki Đrfan YAŞAR
Üye
:
Doç. Dr. Ogün DOĞRU
Üye
:
Yrd. Doç. Dr. Meryem KAYA
_
Üye
:
Yrd. Doç. Dr. Adil MISIR
_
Tarih
:
09 / 04 / 2007
_
_
Bu tez, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygundur.
iii
TEZ BĐLDĐRĐMĐ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada orijinal olmayan her türlü kaynağa eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Đsmail SULAN
iv
HOMOJEN OLMAYAN KATI ÖZLÜ BĐR ORTAMDA SAÇILMA
PROBLEMĐNĐN TEKLĐĞĐ
(Yüksek Lisans Tezi)
Đsmail SULAN
GAZĐ ÜNĐVERSĐTESĐ
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
Nisan 2007
ÖZET
Bu tez çalışmasında, homojen olmayan bir ortamda akustik geçiş problemine ve
bir katı öze sahip homojen olmayan bir ortamda akustik geçiş problemine ait
teklik teoremleri incelenmiştir.
Bilim Kodu
Anahtar Kelimeler
Sayfa Adedi
Tez Yöneticisi
: 204.1.138
: Saçılma problemi, akustik dalgalar, far-field pattern
: 47
: Yrd. Doç. Dr. Adil MISIR
v
UNIQUENESS OF SCATTERING PROBLEM IN AN INHOMOGENEOUS
MEDIUM WITH RIGID CORE
(M.Sc. Thesis)
Đsmail SULAN
GAZI UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
April 2007
ABSTRACT
In this thesis study, the uniqueness theorems are studied about acoustic
transmission problem in an inhomogeneous medium and acoustic transmission
problem in an inhomogeneous medium with a rigid core.
Science Code
Key Words
Page Number
Adviser
: 204.1.138
: scattering problem, acoustic waves, far-field pattern
: 47
: Asist. Prof. Dr. Adil MISIR
vi
TEŞEKKÜR
Bu çalışmalarımın her aşamasında yakın ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren ve
hiçbir yardımını esirgemeyen değerli hocam, Sayın Yrd. Doç. Dr. Adil MISIR’a en
içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca çalışmalarım süresince her zaman
yanımda olan, bana manevi destek veren aileme de teşekkürlerimi bir borç bilirim.
vii
ĐÇĐNDEKĐLER
Sayfa
ÖZET........................................................................................................................... iv
ABSTRACT................................................................................................................. v
TEŞEKKÜR................................................................................................................ vi
ĐÇĐNDEKĐLER .......................................................................................................... vii
SĐMGELER VE KISALTMALAR........................................................................... viii
1. GĐRĐŞ ....................................................................................................................... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR.......................................................................................... 3
3. HOMOJEN OLMAYAN ORTAMDA SAÇILMA PROBLEMĐ............................ 9
3.1. Problemin Ortaya Konması............................................................................... 9
3.2. Çözümün Tekliği............................................................................................. 16
4. KATI ÖZLÜ GEÇĐRGEN ORTAM ĐÇĐN SAÇILMA PROBLEMĐ .................... 34
4.1. Problemin Ortaya Konması............................................................................. 34
4.2. Çözümün Tekliği............................................................................................. 36
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 45
ÖZGEÇMĐŞ ............................................................................................................... 47
viii
SĐMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aşağıda
sunulmuştur.
Simgeler
Açıklamalar
∂D
D bölgesinin sınırı
D
D bölgesinin (kümesinin) kapanışı
Z
Z kompleks sayısının eşleniği
Rn
n boyutlu Euclid uzayı
Ck(D)
D de tanımlı olan k-inci mertebeye kadar kısmi
türevleri var ve sürekli reel veya komplex değerli
fonksiyonların normlu uzayı
ο
Landau sembolü
Im
Bir kompleks sayısının imajiner kısmı
∆
Laplace operatörü
∇
Gradient operatörü
H
Hilbert uzayı
Sup(A)
A kümesinin supremumu
Y⊥
Y kümesinin diki
∂*(D)
D bölgesinin indirgenmiş sınırı
ℓn (D)
D kümesinin Lebesgue ölçüsü
[Y]
Y kümesini içeren tüm alt uzayların kesişimi
<· , ·>
Đç çarpım operatörü
1
1. GĐRĐŞ
Ters
saçılım
problemi
matematiğin
yeni
inceleme
alanlarından
sayılmaktadır. Bu inceleme alanının temelleri 1960’ların ortalarında Rus
matematikçi Tikhanov tarafından atılmıştır. 2.Dünya Savaşı’nda radar ve
sonarın başarılı bir şekilde kullanılması bilim adamlarında daha çok obje
tanımlayabilme arzusu uyandırdı. Bu olay onların ters saçılma problemi
üzerine eğilmelerinde büyük etki yaptı.
Yalnız bu problemin anlaşılması uzun zaman aldı. Bilgisayarların işlem
kapasitesinin sınırlı olması bu alandaki fiziksel kazancın da sınırlı
olmasına neden oldu.
Tikhanov ve ABD’den Keith Miller tarafından yapılan çalışmalar,
bilgisayarlı hesaplama imkanlarının da yardımıyla ters saçılım problemin
hızlı bir şekilde gelişmesine neden oldu. Daha sonra ters saçılım
probleminin çözümü için Colton ve Kirsch tarafından şu anda lineer
sampling metod olarak bilinen bir yöntem kuruldu. Colton, Piana, Potthast
ve Kirsch tarafından bu metod kullanılır hale getirildi.
Bu yöntemde önce D bölgesi, ızgara şeklinde bölünmüş karelerin içine
alındı. Daha sonra bu kareler üzerinde seçilen bir z noktası bölgenin
sınırına yaklaştırılarak noktanın yeri tespit edildi. Bu şekilde D nin sınırı
tespit edilmeye çalışıldı.
Son yıllarda süper bilgisayarlarında yardımıyla ters saçılım problemi,
tanımlanamayan
objelerin
modellenmesinde
büyük
fayda
sağladı.
Özellikle günümüzde teleskopla görmenin mümkün olmadığı bazı gök
cisimlerinin şeklinin bulunması, tıpta ultrason ve tomografi, askeri radar
sistemleri, define ve mayın taraması gibi pek çok konu ters saçılım
probleminin uygulama alanına girmektedir [1].
2
Ülkemizde saçılım, ters saçılım ve geçiş problemleri üzerinde çalışan
isimlerin başında Đbrahim Ethem ANAR, Mithat ĐDEMEN ve Đbrahim
AKDUMAN gibi isimler gelmektedir. Söz konusu problemlere ait temel
bilgileri ve temel sonuçları Đbrahim Ethem ANAR 2005 yılında yazmış
olduğu Kısmi Diferensiyel Denklemler kitabında toplamıştır. Bu tez
çalışmamda karşıma çıkan saçılma, ters saçılma ve geçiş problemlerine ait
bir çok temel kavramı ve bunların detaylarını [2] den faydalanarak
öğrendiğimi belirtmek isterim.
Bu tez çalışması 4 bölümden oluşmaktadır. Đkinci bölümde bu tez
çalışmasında kullanacağımız bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir.
Üçüncü bölümde ters saçılma problemi ve far-field pattern fonksiyonu
tanımlanarak bölgenin sınırının far-field pattern ile tek olarak belli olduğu
incelenmiştir.
Dördüncü bölümde ise geçirgen olmayan katı öze sahip bir bölge için
geçiş problemi tanımlanmıştır. Daha sonra bu bölgede tanımlanan iki katı
özün çakışık olduğu gösterilerek problemin tekliği incelenmiştir.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde bazı temel kavramlar ile saçılma teorisinin bazı önemli
teoremleri verilecektir.
2.1. Tanım
Ω ⊂ R3 ve p ∈ ℝ (p ≥ 1) olmak üzere; Ω da
∫ u(x)
p
dx < ∞
Ω
şeklinde
tanımlı
ölçülebilir
u(x)
fonksiyonlarının
uzayı
L p (Ω )
ile
gösterilir.
2.2. Tanım
Ω ⊂ R3 kümesi üzerinde tanımlı bir u fonksiyonu için,
K = {x| u(x) ≠ 0}
kümesi verilsin.
K ⊂ Ω ise K ya u nun Ω daki kompakt deste ğ i denir.
2.3. Tanım
Kompakt destekleri Ω ⊂ R3 te olan ve Ω da her mertebeden türevlenebilen
fonksiyonların kümesi C ∞0 (Ω) ile gösterilir.
4
2.4. Tanım
Ω ⊂ R3 olsun. 1 ≤ p< ∞ ve k ∈ ℤ (k>0) olmak üzere k ve daha küçük
mertebeden türevleri L p (Ω ) da olan fonksiyonların uzayı W k,p ( Ω ) ile
gösterilir.
Özel olarak ,
W1,2 (Ω) = H1 (Ω)
ş eklinde gösterilir.
2.5. Tanım
Ω ⊂ R3 olmak üzere C∞0 ( Ω ) nın W k,p ( Ω ) daki kapanı ş ı W0
k, p
gösterilir.
Özel olarak,
W01,2 ( Ω ) = H10 ( Ω )
ş eklinde gösterilir.
2.6. Tanım
Ω ⊂ R3 ve u(x), Ω da ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere;
L2
loc
( Ω ) = {u ∈ Ω ∫ u(x)
K
2
< ∞ , ∀K ⊂ Ω}
( Ω ) ile
5
ş eklinde tanımlıdır.
2.7. Tanım
Ω ⊂ R3 olmak üzere; iki veya daha dü ş ük mertebeden türevleri L 2
loc
(Ω)
2
uzayında bulunan fonksiyonların uzayı H loc
( Ω ) ile gösterilir.
2.8. Tanım
F: C ∞0 → R , F(φ) = ∫ f φ d x
Ω
ş eklinde tanımlanan fonksiyona, f fonksiyonuna kar ş ılık gelen da ğ ılım
denir.
2.9. Tanım
Bir A ⊂ E kümesinin Lebesgue dı ş ölçüsü
µ* (A) = inf
A⊂ ∪ pk
k
ş eklinde
∑ m(p )
k
k
tanımlıdır.
Burada
(p k )
göstermektedir.
A⊂E kümesinin Lebesgue iç ölçüsü
µ∗ (A) =1−µ∗ (E − A)
ş eklinde tanımlıdır ve
Rn
de
açık
aralıklar
dizisini
6
µ∗ (A) ≤ µ∗ (A)
dır.
E ğ er,
µ∗ (A) = µ∗ (A)
ise A ya Lebesgue ölçülebilirdir denir. O zaman µ∗ (A) veya µ∗ (A) ya da A
nın Lebesgue ölçüsü denir.
2.10. Tanım [3]
f, Ω üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun. ∀x,y∈Ω için
|f(x)-f(y)|≤M|x-y|
olacak ş ekilde bir M>0 sayısı varsa f fonksiyonuna Lipschitz ş artını
sa ğ lıyor denir.
2.11. Tanım [3]
E ğ er f fonksiyonu her x 0 ∈ Ω için m defa sürekli diferansiyellenebilir ise
f ye Cm (Ω) sınfındandır denir. E ğ er f, Ω Lipschitz ş artını sa ğ lıyor ise Ω
ya Lipschitzyandır denir.
2.12. Tanım [4]
n∈ ℕ , A ⊂ R n ve d de R n nin bilinen metri ğ i olsun. |A| ile A kümesinin
çapını gösterilim. Yani;
7
|A| = Sup {d(x,y):x,y∈A}
olsun.
E ğ er X ⊆ R n verildi ğ inde her bir i∈ ℕ için
0< |A i |≤ δ
oldu ğ unda
X ⊆ ∪A i
i∈ℕ
olacak ş ekilde {A i : i∈ ℕ } kümelerinin sayılabilir bir koleksiyonu varsa o
zaman {A i : i∈ ℕ } kümesine X in bir δ - örtüsüdür denir
2.13. Tanım [4]
n∈ ℕ , X ⊂ R n ,
s ≥ 0 ve δ > 0 için X kümesinin s- boyutlu Hausdorff
s
ölçüsü D (X) ile gösterilir ve
Ds (X) = inf ∑ Ai s :{A i }, X in bir δ − örtüsü 
 i∈ℕ
olmak üzere
Ds (X) = lim Ds (X)
δ →0 δ
ş eklinde tanımlıdır.

8
2.14. Tanım
Bir (X,d) metrik uzayının sayılabilir yo ğ un bir alt uzayı varsa bu uzaya
ayrılabilir uzay denir.
2.1. Teorem
Bir H Hilbert uzayının bo ş olmayan bir alt kümesi Y olsun. [Y] uzayının
H içinde yo ğ un olması için gerek ve yeter ko ş ul,
Y ⊥ = {x∈H : x⊥Y} = {0}
olmasıdır.
2.2. Teorem (Holmgren Teklik Teoremi) [5]
u∈ C2 (ℝ 3 \D) ∩ C1 (ℝ 3 \D)
fonksiyonu
D
bölgesinin
dı ş ında Helmholtz
denkleminin bir çözümü olsun, öyle ki u fonksiyonu, ∂D nin yüzey
elementi üzerinde sıfır Cauchy verisine sahip olsun. Bu durumda u özde ş
olarak sıfır fonksiyonudur.
9
3. HOMOGEN OLMAYAN ORTAMDA TERS SAÇILMA PROBLEMĐ
Bu bölümde homogen olmayan bir ortamda saçılma ve ters saçılma
problemi ile far-field pattern fonksiyonu tanımlanarak bölgenin sınırının
far-field pattern fonksiyonu ile tek olarak belli oldu ğ u incelenmi ş tir.
3.1. Problemin Ortaya Konması
Ω ⊂ ℝ3 geçirgen bir bölge ve ∂Ω , C2 sınıfından olsun.
• ρ
Ω
ile Ω bölgesinin yo ğ unluk fonksiyonunu,
• c Ω ile Ω bölgesindeki ses dalgasının hız fonksiyonunu,
• ρ ile Ω bölgesinin dı ş ında kalan bölgenin yo ğ unlu ğ unu,
• c ile ℝ 3 \ Ω daki ses dalgasının hızını,
• k ile ℝ 3 \ Ω daki dalga sayısını,
• k 0 ile Ω daki dalga sayısı fonksiyonunu,
• u i ile ba ş langıç dalga (olay dalga, gelen dalga) fonksiyonunu,
• u s ile saçılan dalga fonksiyonunu,
• v ile kırılmaya u ğ rayarak Ω bölgesine geçen dalga fonksiyonunu,
• υ ile ∂Ω yüzeyinin birim dı ş normalini,
• d ile gelen dalganın do ğ rultu vektörünü gösterelim.
x ∈ ℝ3 kayna ğ ına sahip u i ba ş langıç dalgası,
λ=
ρ
≠1
ρΩ
olmak üzere ρ
Ω
yoğunluklu Ω bölgesine girerken kırılmaya uğrayarak, v
dalgasını ve saçılmaya uğrayarak u s dalgasını oluşturur.
10
Buna göre;
u(x) = u i (x) + u s (x); ℝ3 \Ω da
(3.1)
∆u + k 2 u = 0
(3.2)
; ℝ3 \Ω da
u = 0; ∂ Ω da
(3.3)
 ∂u s

lim r 
− iku s  = 0
x = r →∞
 ∂r

(3.4)
şartlarını sağlayan u dalga fonksiyonunu bulma problemine saçılma
problemi denir.
Burada özel olarak dalga sayısı k>0 ve d =1 olmak üzere
u i (x)=eik x.d
şeklinde tanımlıdır.
Eş.3.1 u i ve u s nin super pozisyonu,
Eş.3.2 Helmholtz denklemi,
Eş.3.4 ise Sommerfeld yayılma şartı veya radyasyon yayılma şartı olarak
bilinmektedir.
u i (x)=eik x.d
başlangıç dalga fonksiyonunun birinci ve ikinci basamaktan kısmi
türevlerini alırsak
x =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ve
d =(d 1 ,d 2 ,d 3 ) için
11
u i (x)=u ik(x1d1 +x 2 d 2 +x 3d3 )
olup,
∂ui
= ikd1.eik x d
∂x 1
∂ 2u i
= − k 2 d21 .e ik x d
2
∂x 1
bulunur.
Benzer şekilde
∂ 2u i
= − k 2 d22 .e ik x d
2
∂x 2
∂ 2u i
= − k 2 d32 .e ik x d
2
∂x 3
olur.
Bunları Helmholtz denkleminde yerine yazarsak
∆u i + k 2 u i = -k 2 ( d12 + d22 + d32 ) eik x d + k 2 u i
2
= -k 2 d u i + k 2 u i
= -k 2 u i + k 2 u i = 0
olur.
12
Buna göre u i başlangıç dalga fonksiyonu Helmholtz denklemini sağlar.
Eş.3.2 de
u = ui + us
yazarsak.
∆(u i + u s ) + k 2 (u i + u s )=0
⇒ ∆u i + ∆u s + k 2 u i + k 2 u s = 0 (Laplace operatörünün lineerlik özelliği)
(
)
⇒ ∆ui + k 2ui + ( ∆ u s + k 2 u s )= 0
=0
⇒∆us + k 2us = 0
elde ederiz.
O halde hem u, hem u i
ve hem de u s
Helmholtz denklemini sağlayan
fonksiyonlardır.
Helmholtz denkleminin temel çözümü olarak bilinen
ik x − y
∅ (x,y) = - 1 . e
, (x ≠ y)
4π x − y
fonksiyonu yardımıyla saçılan dalga fonksiyonu,
u s (x) =
e
 1 
∂
ˆ
ˆ ∂ u(y)
e-ikxy
-e-ikxy
.
.
 (u(y)
∫
∂n(y)
∂ n(y)
x 
 4π ∂Ω 
ik x
şeklinde yazılabilir [6].
  1 

ds(y)  + ο   , r= x → ∞
  x 

13
1 
∂
ˆ
ˆ ∂ u(y)
− e− ikxy
e − ikxy
.
 (u(y)
∫
∂ n(y)
∂ n(y)
4π ∂Ω 

ds(y)

ifadesine far-field pattern veya scattering amplitude denir ve u ∞ ( x̂ ,d)
veya A( α ' , α ,k) ile gösterilir.
Burada
x̂ = α ' =
x
, α =d
x
dır.
O zaman
us =
eikr
1
A( α ' , α ,k) + ο ( )
r
r
(3.5)
ş eklinde yazılır.
Bu halde
ikxα
u=e
+ A( α ' , α ,k)
eikr
1
x
+ ο ( ), r= | x | → ∞ , α ' =
r
r
r
olur. E ğ er k sabitse A( α ' , α ,k) kısaca A( α ' , α ) ş eklinde gösterilebilir.
Ş imdi Ω içine iletilen v dalga fonksiyonunu göz önüne alalım.
∆ v + k 02 v = 0 ; Ω da
u=v ;
∂ Ω da
(3.6)
(3.7)
14
∂u
∂v
= λ
∂υ
∂υ
∂ Ω da
(3.8)
sağlanır. Burada
k 02 =
k 2 c2
ve
c02
λ =
ρ
, ( c0 = c Ω )
ρΩ
ile bellidir ve,
k 02 ≠ k 2 ve
λ ≠1
dir.
Ω nın sınırını da S ile gösterece ğ iz. Yani,
∂Ω=S
dir.
Bu durumda ters saçılım problemi; k ve A( α ' , α ,k) far-field patterni
verildi ğ inde bölgenin S sınırının bulunması problemidir.
3.1. Lemma (Rellich Lemma) [6]
ℝ3 \ Ω da u Helmholtz denkleminin bir çözümü olsun. O zaman
15
u∈C 2 ( ℝ3 \ Ω ) için
∫
lim
r →∞
u(x) ds = 0 ⇒ u=0
2
(3.9)
x =r
dır.
3.1.Teorem [6]
Ω ⊂ ℝ3 bir bölge ve bu bölgenin C 2 sınıfından olan ∂Ω sınırı her noktada
dı ş normale sahip olsun.
u∈C 2 ( ℝ 3 \ Ω ) ∩ C( ℝ 3 \Ω) radyasyon yayılma ş artını sa ğ lasın.
O zaman;
∂u
Im
∫ u ∂υ ds ≥ 0 ise
∂Ω
u = 0, x∈ ℝ 3 \Ω
(3.10)
dır.
3.2.Lemma [6]
u∈C 2 ( ℝ 3 \Ω) Helmholtz denklemini ve radyasyon yayılma ş artını sa ğ lasın.
E ğ er;
A( α ' , α )= 0 ise
u = 0, x∈ ℝ 3 \Ω
(3.11)
16
dır.
3.2. Çözümün Tekliği
B i, ℝ 3 te düzgün S sınırına sahip kapalı bir bölge ve B e de basit irtibatlı,
sınırlı olmayan bir dı ş bölge olmak üzere a ş a ğ ıdaki geçi ş problemini ele
alalım.
(∇ 2 + k 2e ) u e (p) = 0
; p∈B e
(3.12)
(∇ 2 + k i2 ) u i (p) = 0
; p∈B i
(3.13)
u(p) = u i (p)
; p∈S
(3.14)
∂u
∂ui
=ρ
∂np
∂np
; p∈S
(3.15)
u(p) = u e (p) + u inc (p)
; p∈B e
(3.16)
 ∂u

r p  e − ik e u e  → 0
 ∂r

 p

;r p → ∞
(3.17)
R.E Kleinmann ve P.A. Martin 1988 de bu problemin çözümünün tekli ğ i
için a ş a ğ ıdaki teoremi incelemi ş lerdir.
3.2. Teorem [7]
k e ∈ ℝ + veya Im(k e ) > 0,
ρ ≠0 ve Im( ρ k e )≥ 0 ve Im( ρ k e k i2 )>0
olmak üzere E ş .3.12 – E ş .3.17 ile belirtilen geçi ş problemi en fazla bir
çözüme sahiptir.
17
Đspat
V e ve Vi , u inc ≡0 olan homogen geçi ş problemini sa ğ lasınlar. B i tamamen
S R nin içinde ve B e,R , B i ile S R arasındaki bölge olmak üzere;
S R ={p∈B e : r p =R},
B e,R ={p∈B e : r p <R},
r p = OP
olsun.
V e ve V e ye B e,R de iki defa 1. Green özde ş li ğ ini uygularsak
∫
Ve .
∂Be,R
∂ Ve
ds = ∫ Ve ∆ Ve dx + ∫ ∇Ve . ∇ Ve dx
∂n
Be,R
Be,R
2
= ∇Ve
∆ V e =- k e2 Ve
oldu ğ u göz önüne alınıp, E ş .3.14 ve E ş .3.15 den
∂ Ve
∫ V . ∂n
e
ds +
SR
∫ Vρ
i
∂Bi
{
(
)}
∂Vi
2
ds = ∫ ∇Ve + Ve -k e2 Ve dx
∂n
Be,R


2
∂ Ve
∂V
2

ds = ∫  ∇Ve − k e2 Ve  dx − ∫ ρ Vi . i ds
⇒ ∫ Ve
∂n

∂n
SR
Be,R 
∂Bi
2
= Ve 

elde edilir.
18
Birinci Green Özde ş li ğ inden


2
∂ Vi
2

2
Vi  dx
∫ ρ Vi . ∂n ds = B∫ ρ  ∇Vi − k i ∂Bi


i
2
= Vi 

oldu ğ u göz önüne alınırsa
∫V
e
SR
{
}
{
}
∂ Ve
2
2
2
2
ds = ∫ ∇Ve − k e2 Ve dx − ∫ ρ ∇Vi − k i2 Vi dx
∂n
Be,R
Bi
olur.
E ş itli ğ in her iki tarafını k e ile çarpıp imajinerini alırsak

∂ V 
2
Im k e ∫ Ve e ds  = Im(k e ) ∫ ∇Ve + k e Ve
∂ n 
Be,R
 SR
{
(
+ Im( ρ k e ) ∫ ∇Vi dx+ Im ρ k e k i2
2
Bi
)∫ V
i
2
2
} dx
dx
(3.18)
Bi
elde edilir.
E ğ er, Im(k e )>0 ise R → ∞ için V e sönümlü oldu ğ undan E ş .3.18 in sol
tarafı sıfıra gider. Teoremde verilen ş artlardan V e ve V i a ş ikar olarak 0’dır.
O zaman homojen problemin a ş ikar çözümü vardır. Bundan dolayı
homogen olmayan problem en fazla bir çözüme sahiptir.
Ş imdi benzer bir problemi daha farklı bir ş ekilde ifade edelim.
19
V i, ℝ 3 te bir bölge Ve = ℝ 3 \Ω olmak üzere S, V i yi içine alan bir yüzey
ve
Vi =Vi ∪ S
Ve = Ve ∪ S
olsun. Ayrıca;
x∈V e → x∈S, u(x) → u + (x) ve
∂u(x)
∂u + (x)
→
∂n
∂n
x∈V i → x∈S, u(x) → u - (x) ve
∂u(x)
∂u - (x)
→
∂n
∂n
olsun.
ρ ,k: ℝ3 → ℂ
sırasıyla sürekli diferransiyellenebilir lokal yo ğ unluk ve lokal dalga sayısı
fonksiyonları olsunlar öyle ki;
x∈ Vi için ρ (x)= ρ i (x) ve k(x) = k i (x)
x∈V e için ρ (x)= ρ e ve k(x) = k e
olsun.
Burada ρ e ve k e kompleks sabitlerdir. O zaman;
u(x)∈C 2 (V i ) ∩ C 1 ( Vi ) ve u s (x)∈C 2 (V e ) ∩ C 1 ( V e ) için
20
(∆+k 2 (x))u(x)=0,
x∈ ℝ 3
(3.19)
(∆+k 2 (x))u s (x)=0,
x∈V e
(3.20)
ρ e .u + (x)- ρ i (x).u - (x) = 0, x∈S
(3.21)
∂ u + (x) ∂ u − (x)
−
= 0,
∂n
∂n
(3.22)
x∈S
 ∂u s (x)

lim r 
− ik e u S (x)  = 0
x = r →∞
 ∂r

(3.23)
ş eklinde tanımlanan geçi ş problemi için teklik teoremi Adil MISIR
tarafından 2005 yılında a ş a ğ ıdaki ş ekilde incelenmi ş tir.
3.3. Teorem [8]
Im(k e )>0, m(x) =
ke
ρe
ρ i (x)
(3.24)
olsun. E ğ er;
Im(m(x))<0, Im( k i2 (x). m(x) )≤ 0, x ∈ V i
(3.25)
ve u(x)∈C 2 (V i ) ∩ C 1 ( Vi ) için


 m(x) 
Im k e ∫ u(x)∇ 
 . ∇ u(x) dx  ≤ 0
 ke 
 Vi

(3.26)
ise E ş .3.19-E ş .3.23 ile belirtilen saçılma problemi en çok bir çözüme
sahiptir.
Đspat
Kabul edelim ki u 1 (x) ve u 2 (x) E ş .3.19-E ş .3.23 probleminin a ş ikar
olmayan iki çözümü olsun. Bu durumda
21
w(x)= u1 (x) − u 2 (x)
ş eklinde tanımlanan w fonksiyonu a ş a ğ ıdaki problemi sa ğ lar.
(∆+k 2 (x))w(x)=0,
x∈ ℝ3
(3.27)
(∆+ k 2e (x))w(x)=0,
x∈V e
(3.28)
ρ e w + (x) - ρ i (x)w - (x) = 0, x∈S
(3.29)
∂ w + (x) ∂ w − (x)
−
= 0,
∂n
∂n
(3.30)
x∈S
 ∂w s (x)

lim 
− ik e w s (x)  = 0
r →∞
 ∂r

(3.31)
Σ R = {x ∈ ℝ 3 : x =R} ve
R, Σ R , tamamen S yüzeyini içine alacak kadar büyük olsun. w ve w
fonksiyonlarına
Ω= ΣR \ V i
üzerinde 1. Green özde ş li ğ ini uygularsak
∫ w(x)∆ w(x) dx = ∫ w(y)
Ω
∂Ω
(
∂ w(y)
ds(y) − ∫ ∇w(x)∇ w(x) dx
∂n
Ω
2
⇒ ∫ w(x)∆ w(x) + ∇w(x)
Ω
= ∇w(x)
2
)
∂ w + (y)
∂ w(y)
dx = ∫ w (y)
ds(y) + ∫ w(y)
ds(y)
∂n
∂n
S
ΣR
+
Ω da ∆ w = -k e 2 w oldu ğ unu göz önüne alırsak E ş .3.32 ifadesi
(3.32)
22
ρi (x) - ∂ w - (y)
∂ w(y)
2
2
w(x)w(x)dx − ∫ ∇w(x) dx
∫Σ w ∂R ds(y) = ∫S ρe w (y) ∂n ds(y) + Ω∫ ke Ω
2
R
(3.33)
= w(x)
haline gelir.
E ş .3.33 de sa ğ tarafın 1. integraline 1.Green özde ş li ğ ini uygularsak
 ρ (x) 
ρi (x) - ∂ w - (y)
ρ (x)
∫S ρe w (y) ∂ n ds(y) = V∫ ρi e w ∆ w dx + V∫ ∇  ρi e w  ∇ w dx
i
= − ∫ k i2 (x)
Vi
i
 ρ (x) 
ρi (x) 2
ρ (x)
2
w dx + ∫ i
∇w dx + ∫ w(x)∇  i  . ∇ w(x) dx
ρe
ρe
 ρe 
V
V
i
(3.34)
i
olur.
Son ifadeyi E ş .3.33 de yerine yazarsak
∫ w(y)
S
∫
Vi
∂ w(y)
ρ (x) 2
2
2
ds(y) = ∫ k e2 w dx − ∫ ∇w dx − ∫ k i2 (x) i
w dx +
∂R
ρe
Ω
Ω
Vi
 ρ (x) 
ρi (x)
2
∇w dx + ∫ w(x)∇  i
∇ w(x)dx
ρe
 ρe 
V
(3.35)
Đ
elde edilir.
E ş .3.35 ün her iki tarafını k e ile çarpıp imajinerini alırsak


∂w(y)
Im  k e ∫ w(y)
ds(y)  = Im k e .k e2
 Σ

∂R
 R

(
) ∫ w dx − Im(k ). ∫ ∇w(x) dx
2
2
e
Ve
Ve

 ρ (x) 
ρ (x) 
2
2
− ∫ Im  k i2 . k e i  w(x) dx + ∫ Im  k e i  ∇w(x) dx
ρe 
ρe 


Vi
Vi


 m(x) 
+ Im  k e ∫ w(x)∇ 
∇
w(x)
dx


 V

k
e


 i

(3.36)
23
elde edilir.
w sönümlü oldu ğ undan E ş .3.36 ün sol tarafı R → ∞ için 0’dır. O zaman
sa ğ tarafta 0 olur.
Im(k e )>0 ⇒ Im(k e k 2e )<0
olur.
E ş .3.24 den E ş .3.36 nın sa ğ tarafı
2
(
2
)
2
Im(k e k 2e ) ∫ w dx − Im(k e ) ∫ ∇w( x ) dx − ∫ Im k i2 . m( x ) . w( x ) dx
Vi
Ve
Vi


 m(x) 
2
+ ∫ Im ( m(x) ) ∇w(x) dx + Im  k e ∫ w(x)∇ 
∇ w(x) dx 

 V

 ke 
Vi

Đ

haline gelir.
E ş .3.25 ve E ş .3.26 dan E ş .3.37 ifadesinin sıfır olması için
w=0
olmalıdır. O zaman
u1 − u 2 = 0
⇒ u1 = u 2
olur.
(3.37)
24
3.4. Teorem [9]
E ş .3.1–E ş .3.7 ile belirtilen geçi ş probleminde ∂Ω sınırı, ∀ α , α ' ∈S 2 için
A (α ',α ) far-field patterni ile tek olarak bellidir.
Đspat
Bu ispata, E ş .3.1-E ş .3.8 denklemlerini yeniden ele alarak ba ş layaca ğ ız.
ℓ u = ∇u(a∇u) + b 2 u = 0, x ∈ ℝ 3
(3.38)
ş eklinde bir operatör tanımlayarak ba ş layalım. Burada ;
a + = λ ; x ∈ Ω
a(x) =  3
a = 1; x ∈ ℝ \Ω
(3.39)
 λk 2 ; x ∈ Ω
b 2 (x) =  2 0
3
k ; x ∈ ℝ \Ω
(3.40)
olarak tanımlansın.
O zaman
u=v ; S=∂Ω da
a-
∂u
∂v
= a+
; S=∂Ω da
∂υ
∂υ
oldu ğ u göz önüne alınırsa
∆v + k 20 v = 0; x ∈ Ω
ℓu = 
2
3
∆u+k u = 0; x ∈ ℝ \Ω
(3.41)
25
olur.
Kabul edelim ki (S 1 , λ1 , k 12 ) ve (S 2 , λ 2 , k 22 ) aynı far-field patterne sahip
iki konfigrasyon olsun (S 1 ≠S 2 ). Buradan bir çeli ş ki elde edece ğ iz.
Burada S j ve k 2j sırasıyla j=1,2 için sınırı ve Ω j bölgesinde ki dalga
sayısını, k 2 de ℝ 3 \Ω j deki dalga sayısını gösteriyor. u j (x, α ), E ş .3.1E ş .3.8 veya (S j , λ j , k 2j ), j=1,2 ile temsil edilen E ş .3.38-E ş .3.41 in a ş ikar
olmayan bir çözümü olsun.
Ω 12 = Ω 1 ∪ Ω 2 ve
'
Ω12
= ℝ 3 \ Ω12
olarak tanımlansın.
A (α ', α ) far-field patterni iki konfigrasyonu da sa ğ lıyorsa Lemma 3.2 den
'
x ∈ Ω12
u 1 (x) = u 2 (x),
sonucu çıkar.
Ş imdi φ∈ W01,1 ( ℝ 3 ) için
∫ ( a ∇u ∇φ − b u φ ) dx
j
ℝ
j
2
j
j
3
integraline bakalım.
Burada
(3.42)
26
a +j = λ j ; x ∈ Ω j
aj =  3
a j =1 ; x ∈ ℝ \Ω j
λ k 2 ; x ∈ Ω j
b 2j =  2j j
; x ∈ ℝ3 \Ω j
k
şeklinde tanımlıdır..
x∈Ω j için Eş.3.42 integrali
∫ ( λ ∇v ∇φ − λ k v φ ) dx
j
j
j
2
j
j
Ωj


= λ j  ∫ ( ∇v j∇φ − k 2j v jφ ) dx 
Ω

 j

olur.
Birinci Green Teoreminden
∂v j
∫ ∇v ∇φdx = ∫ φ ∂υ ds − ∫ φ∆v dx
j
j
Ωj
∂Ω j
Ωj
yazılırsa

∂v
λ j  ∫ φ j ds − ∫ φ∆v jdx − ∫ k 2j φv jdx
 ∂Ω ∂υ
Ωj
Ωj
 j
=λ j
∫
∂Ω j
φ
∂v j
∂υ
=0




ds + λ j ∫ k 2j v jφ dx − λ j ∫ k 2j v jφ dx = 0
Ωj
Ωj
elde edilir.
x∈ ℝ 3 \Ω j için E ş .3.42 integrali 1. Green Teoremiyle
27
∫ ( ∇u ∇φ − k u φ ) dx = ∫
φ
2
j
j
ℝ3 \Ω j
∂ ( ℝ3 \Ω j )
∫
=
φ
∂ ( ℝ 3 \Ω j )
∂u j
∂υ
∫
ds +
φk 2 u jdx −
ℝ3 \Ω j
∂u j
∂υ
∫
∫
ds −
φ∆u jdx −
ℝ3 \Ω j
∫
k 2 u jφdx
ℝ3 \Ω j
k 2 u jφdx = 0
ℝ 3 \Ω
j
=0
=0
'
olur. Ω12
de
a 1 =a 2 =a − =1 ve
b12 = b 22 = k 2 oldu ğ undan
∫ ( a ∇u ∇φ − b u φ ) dx = ∫ ( a ∇u ∇φ − b u φ ) dx = 0
1
1
2
1 1
Ω12
2
2
2
2
Ω12
∫ ( a ∇u ∇φ − b u φ ) dx − ∫ ( a ∇u ∇φ − b u φ ) dx = 0
1
1
2
1 1
Ω12
2
2
2
(3.43)
2
Ω12
olur.
j=1,2 için
ℓ j u j = ∇(a j ∇u j ) + b 2j u j
iki diferansiyel operatör olsun. Bunların Green fonksiyonları
G j (x,y) =
eik o y
1
. u j (x, α ' ) + ο ( ), y → ∞,
y
4π y
α' =
−y
y
ş eklinde tanımlanır [10].
G j (x,y) kompakt kümelerde x e ba ğ lı bir fonksiyondur.
28
'
φ∈ W01,1 ( ℝ3 ) ve y ∈ Ω12
için
∫ [a ∇ G ( x, y ) . ∇ φ − b G ( x, y )φ]dx
w(y) =
1
x
1
2
1
x
1
Ω12
-
∫ [a ∇ G
2
x
2
]
( x, y ) . ∇ x φ − b 22 G 2 ( x, y )φ dx
Ω12
ş eklinde tanımlarsak a j (x) ve b 2j (x) in tanımından ve [11] dan
1
w(y) = ο   ,
y
 
|y| → ∞ ve
( ∆ y +k 2 )w(y) = 0,
'
Ω12
de
olur.
'
için
y ∈ Ω12
w(y) = 0
olur.
O zaman
∫ [a ∇ G (x, y). ∇ φ − a ∇ G (x, y)∇ φ] dx = ∫  b G (x, y) φ − b G
1
Ω12
x
1
x
2
x
1
2
1
x
1
2
2
2
(x, y)φ  dx
Ω12
olur.
S 1 ≡/ S 2 olsun. Ω 2 nin dı ş ında S 1 üzerinde bir t noktası seçelim. ve t
merkezli B(t) yuvarını B(t) ⊂ Ω'2 olacak ş ekilde olu ş turalım.
29
( Ω12 ∩ B(t) ) ∪ ( (Ω12 \B(t) ) = Ω12
oldu ğ undan
∫ [a ∇ G (x, y).∇ φ − a ∇ G
1
x
1
x
2
x
2
(x, y)∇ x φ] dx =
Ω12 ∩ B(t )
−
∫ [a ∇ G (x, y). ∇ φ − a ∇ G
1
x
1
x
2
x
2
(x, y)∇ x φ] dx +
Ω12 \B(t )
∫  b G (x, y) φ − b G
2
1
2
2
1
2
(x, y)φ  dx
Ω12
olur.
w(y) = 0 oldu ğ undan sa ğ taraf sınırlıdır. O zaman sol taraf da sınırlı olur.
Yani
∫ [a ∇ G (x, y).∇ φ − a ∇ G
1
x
1
x
2
x
2
(x, y)∇ x φ] dx <∞
(3.44)
Ω12 ∩ B(t )
olur.
'
'
E ş .3.44 integrali Ω12
de tanımlı de ğ ildir. y∈ Ω12
için φ(x,y) test
fonksiyonunu
φ(x,y) ∈ W01,1 ( ℝ3 )
φ(x,y)=
η( x )
, x∈ ℝ3
x−y
olmak üzere η(x) ∈ C∞0 (ℝ 3 ) parçalı fonksiyonunu
0≤η(x)≤1
30
ve η(x), Ω 12 nin bir kom ş ulu ğ unda 1 de ğ erini alacak ş ekilde seçelim.
B(t) yuvarında, orijini t noktasında ve x 3 = 0 düzlemi S 1 e t de te ğ et olan
bir {(x 1 ,x 2 ,x 3 )} yerel koordinat sistemi tanımlayalım. Bu koordinat
sisteminde
'
y=(0,0,y 3 )∈ Ω12
∩ B(t)
olarak seçelim. O zaman y → x iken Green fonksiyonu
G 1 (x,y) ∼
1 1 p 
,
+
4πa −  r R 
'
y∈ Ω12
∩ B(t), y → x
ş eklinde asimtotik davranı ş gösterir [11].
Burada
p=
a − − a1+
1 − λ1
=
−
+
a + a1
1 + λ1
r = |x-y|
R=
(x1 − y1 ) 2 + (x 2 − y 2 ) 2 + ( x 3 + y 3 ) 2
ş eklinde tanımlanmı ş tır.
'
E ğ er x∈Ω 12 ve y∈ Ω12
ise y 3 >0 ve x 3 <0 olur. O zaman
1
∇ x G 1 (x,y) ∼
4πa −
(
 x−y
x1 − y1 , x 2 − y 2 , − ( x 3 + y3
−
−
p
3
R3
 x−y

) ) 


ve
31
∇ x G 1 (x,y)∇ x φ(x,y) ∼
=
(
1  x − y p x1 − y1 , x 2 − y 2 , − ( x 3 + y3
−
+
4πa −  x − y 3
R3

) ) 
 x−y 
.
3
  x − y 

1
1  p x−y 
1 +

−
4πa x − y 4 
R 
olur.
Benzer ş ekilde G 2 (x,y) , y → x iken
G 2 (x,y) ∼
1
4πa x − y
−
ş eklinde asimtotik davranı ş a sahiptir [11].
O zaman

  x−y 
1
 . −
=
3
3
4
 4π x − y   x − y  4π x − y
a 2 ∇ x G 2 (x,y) . ∇ x φ(x,y) ∼ −
x−y
haline gelir.
y → t iken
∫
( a1∇ x G1 (x, y). ∇ x φ(x, y) − a 2∇ x G 2 (x, y). ∇ x φ(x, y ) dx
Ω12 ∩ B( t )
1
1
∼
∫
4π Ω12 ∩ B(t ) | x − y |4
olur.
 a1+ pa1+ x − y 
− 1 dx
 −+
a −R
a

(3.45)
32
E ğ er
'
z=y=(0,0,y 3 )∈ Ω12
∩ B(t)
alınırsa
|x-y| = R
olur.
y → t iken E ş .3.44 integrali
∫
( a1∇ x G1 (x, y). ∇ x φ(x, y) − a 2∇ x G 2 (x, y). ∇ x φ(x, y ) dx
Ω12 ∩ B(t )
∼
1
1
∫
4π Ω12 ∩B(t ) x − y 4
 a1+ a1+ (a − − a1+ ) 
 − + − − + − 1 dx
a (a + a1 ) 
a
(3.46)
E ş .3.44 ten sol tarafın sınırlı oldu ğ unu biliyoruz. O zaman sa ğ taraf ta
sınırlıdır.
Bu ise ancak
(
)
a1+ a1+ a − − a1+
+
− 1= 0
a − a − (a − + a1+ )
olmasıyla mümkündür.Bu denklemin çözümünden
a − = a1+
çıkar. Bu da bir çeli ş kidir. O zaman
33
S1 ≡ S2
olur.
34
4. KATI ÖZLÜ GEÇĐRGEN ORTAM ĐÇĐN SAÇILIM PROBLEMĐ
Bu kısımda kendisi geçirgen fakat özü geçirgen olmayan bir bölge için
akustik
(ses)
dalgalarının
çok
katlı
engelde
saçılım
problemini
inceleyece ğ iz. Özellikle özün sert veya ses geçirmez oldu ğ u durumlar
üzerinde duraca ğ ız. Problemi ortaya koyduktan sonra özün, far-field
patterni tarafından tek türlü tanımlı oldu ğ unu inceleyece ğ iz.
4.1. Problemin Ortaya Konması
Kabul edelim ki S o, ℝ 3 te C 2 sınıfından sonlu bir yüzey ve S 1 de tamamen
S o ın içinde kalan ve S o ∩ S 1 = ∅ olacak ş ekilde C 2 sınıfından ba ş ka bir
yüzey(öz sınırı) olsun. S o ın dı ş ını Ω + ile, S o ve S 1 yüzeylerinin arasında
kalan bölgeyi de Ω - ile gösterelim.
|d| = 1
olmak üzere;
• k ile Ω + bölgesindeki dalga sayısını (k>0),
• k o ile Ω - bölgesindeki dalga sayısını (k o >0),
• ρ Ω+ ile Ω + nın yo ğ unlu ğ unu,
• ρ Ω− ile Ω - nın yo ğ unluk fonksiyonunu,
• υ ile dı ş birim normal vektörünü gösterelim
Geçirgen S0 yüzeyi ile geçirgen olmayan S 1 yüzeyinin olu ş turdu ğ u timeindependent
(zamandan
ba ğ ımsız)
akustik
dalga
saçılım
problemi
a ş a ğ ıdaki ş ekilde formülize edilir.
∆u(x) + k 2 u(x) = 0,
x∈Ω +
(4.1)
35
∆v(x) + k 02 v(x) = 0,
x ∈ Ω−
(4.2)
u(x) = v(x),
x ∈ S0
(4.3)
∂u(x)
∂ν(x)
=λ
,
∂υ
∂υ
x ∈So
(4.4)
∂v(x)
= 0,
∂υ
x∈S 1
(4.5)
E ş .4.5. Neuman sınır ş artı olarak bilinir.
Burada
∂
dı ş normal vektörü do ğ rultusundaki türevi belirtiyor. k ve k o
∂υ
sırasıyla dı ş bölgedeki ve iç bölgedeki dalga sayılarını, λ sabiti ise
λ=
ρΩ
≠1
ρΩ
+
−
dir.
Burada
λ
dı ş
bölgenin
ve
iç
bölgenin
yo ğ unlukları
oranını
gösteriyor.Ayrıca
u i (x) = eikxd
d do ğ rultusuna sahip ba ş langıç dalga fonksiyonunu ve u s (x) de saçılan
dalga fonksiyonunu göstermek üzere, u nun Ω + daki super position hali
u(x) = u i (x) + u s (x)
ş eklinde tanımlanmı ş tır.
36
Sr, r
yarıçaplı orijin merkezli küre olmak üzere, u s de sommerfeld
yayılma ş artını sa ğ lar.Yani
2
lim ∫
r →∞
Sr
∂u s
− iku s ds = 0
∂υ
(4.6)
dır.
Bundan ba ş ka u s için
e

 1  
. u ∞ ( xˆ ) + ο    , |x| → ∞
x
x 
  
ik x
(4.7)
ş eklinde asimtotik davranı ş a sahibiz. Burada
x̂ =
x
x
ve u ∞ far-field pattern fonksiyonudur. u ∞ , d geli ş do ğ rultusuna ve Ω - deki
k o dalga sayısına ba ğ lı oldu ğ undan u ∞ (., d, k o ) ile ifade edilir.
4.2. Çözümün Tekliği
4.1. Teorem [12]
E ş .4.1-E ş .4.5 ile belirtilen sınır de ğ er problemi için saçıcı S o ve Ω + daki
dalga sayısı k biliniyor olsun. Ω 1 ve Ω 2 , Ω - deki her k o ∈[a,b], 0<a<b ve
u i (., d., k o ) için aynı far-field patterne sahip iki öz olsun. Ayrıca
ko≠ ~
k o için
37
u i (., d, k o ) ≠ u i (., d, ~
ko )
olsun.
O zaman Ω 1 ve Ω 2 özleri çakı ş ıktır. Yani;
Ω1 ≡ Ω2
dir.
Đspat
Đ spatın temel kısmı Green Teoremi’nin düzgün olmayan versiyonudur.
Önce biz düzgün olmayan alanlarda E ş .4.1-E ş .4.5’nin (zayıf) çözümleri
için bir notasyon tanımlayaca ğ ız.
4.1. Tanım [12]
2
u∈ H loc
(Ω ') ∩ H1 (Ω 'R ) olsun. E ğ er u fonksiyonu E ş .4.5 i sa ğ lar ve
∫ (µ∇u∇ϕ − κ uϕ)dx = 0 ,
2
∀ϕ ∈ H 2loc ∩ H10 (Ω ')
Ω'
ise u fonksiyonuna E ş .4.1 – E ş .4.5 in zayıf çözümüdür denir.
Burada
1, x ∈ Ω + ise
µ (x) = 
−
 λ, x ∈ Ω ise
38
 k 2 , x ∈ Ω + ise
κ2 =  2
−
λk 0 , x ∈ Ω ise
ş eklinde tanımlıdır.
Burada
Ω ' = ℝ 3 \Ω ,
2
H1 , H loc
ve H10 sobolev uzayları,
H1 (Ω 'R ) ≡ H1 (Ω ∩ BR )
B R orijin merkezli ve yeterince büyük R yarıçaplı bir yuvardır.
Ayrıca a ş a ğ ıdaki notasyonları kullanaca ğ ız.
Ω 12 = Ω 1 ∪ Ω 2
Ω 12 = Ω 1 ∩ Ω 2
Ω 3 = Ω 12 \ Ω 12
Γ 1 = ∂Ω 1
Γ 2 = ∂Ω 2
Γ3 = ∂Ω3
Γ 12 = ∂Ω 12
Γ 12 = ∂Ω 12
Γ1' = Γ 1 \Ω 2
Γ '2 = Γ 2 \Ω 1
ɶ , Ω \Ω12 nin ba ğ lı bir parçası ş eklinde tanımlansın.
Ω
1
1
(u j ,v j ), j=1,2 aynı far-field patterne sahip E ş .4.1-E ş .4.5 in Ω j ye tekabül
eden çözümleri olsunlar. Yani,
39
u 1∞ =u 2∞
olsun. Lemma 3.2 den Ω + da
u1 ≡ u2
olur.
E ş .4.3 teki sınır ko ş ulu ve Holmgren teklik teoreminden
v 1 (x)=v 2 (x): = V(x),
x∈Ω - \Ω 12
(4.8)
V fonksiyonu Ω 3 ve Ω - \Ω 12 de E ş .4.2 nin çözümü oldu ğ undan Γ 1 ∩ Γ 2 hariç
geri kalan yerde analitik olarak süreklidir. Çünkü hem v 1 hem de v 2 bu
bölgelerde tanımlı ve E ş .4.2 nin çözümleridir. Yalnız Γ 1 ∩Γ 2 de V yüzey
üzerinde diferansiyellenebilir olmayabilir. Dolayısıyla V burada analitik
olarak sürekli olmayabilir.
V, Ω 3 ün Γ 3 sınırında E ş .4.5 ile belirtilen Neuman sınır ko ş ul ş artını
sa ğ lar. Yalnız burada Ω 3 genel olarak düzgün de ğ ildir. Hatta Ω 3 Lipschitz
bile de ğ ildir. Bundan dolayı ispatı tamamlamak için genelle ş tirilmi ş Green
formülüne ihtiyacımız var. Sonucu tespit etmeden önce bazı tanımları
verelim.
Ş imdi düzgün olmayan sınırda normalin tanımına ihtiyacımız var.
x , υ ∈ ℝ n sabit elemanlar ve
υ ≠0
40
olsun.
A ± := {y: ± (y-x). υ >0} ve
A 0 := {y: (y-x). υ =0}
olarak tanımlayalım.
4.2. Tanım [12]
D ℝ n de bir bölge olsun. υ birim vektörü x∈∂D de ∂D nin Federer
anlamında normalidir. E ğ er;
lim ρ -n ℓn(D ∩ Bρ (x) ∩ A + ) = 0
ρ →0
lim ρ -n ℓn(D' ∩ B ρ (x) ∩ A - ) = 0 ise.
ρ →0
Burada
ℓn : ℝ n de Lebesgue ölçüsü
Bρ (x) : x merkezli ρ yarıçaplı yuvar.
D ' = ℝ n \D
dir.
Bunları kullanarak biz düzgün olmayan bir D bölgesinde indirgenmi ş
sınırı tanımlayabiliriz.
4.3. Tanım [12]
Federer anlamında normali mevcut olan x∈∂D noktalarının kümesine D
nin indirgenmi ş sınırı denir. ∂*D ile gösterilir.
41
∂*D = {x∈∂D| x ∂D de Federer anlamında normale sahip}
Bu tanımla ilgili a ş a ğ ıdaki lemma oldukça kullanı ş lıdır.
4.1. Lemma [13]
D sonlu çaplı bir küme ve ∂D sınırı (n-1) boyutlu Hausdorff ölçüsüne
sahip ise (n-1) boyutlu Hausdorff ölçüsüne göre Federer anlamında normal
hemen hemen her yerde tanımlıdır.
4.2. Teorem (Düzgün olmayan bölge için Green Teoremi) [14]
Ω 3 sonlu çaplı bir bölge ve ψ , Ω 3 de tanımlı 1. türevleri var ve
ölçülebilir, 1. türevlerinin pürüzlü izleri Ω 3 ün indirgenmi ş Γ3* sınırında
toplanabilir olan ve (n-1) boyutlu Hausdorff ölçüsüne uyan bir fonksiyon
olsun. O zaman
∫ ∇ψ (x)dx = ∫ ψ (x)υ(x)ds(x)
Ω3
(4.9)
Γ∗3
dir.
Burada υ (x), Γ3∗ ün dı ş birim normalidir.
Ş imdi
ψ := V 1 ∇ V2 - V2 ∇ V1
(4.10)
42
Ω 3 e do ğ ru yayılan içteki
fonksiyonunu dikkate alalım. Burada V j (j=1,2)
k 0 j dalga sayısına kar ş ılık gelen E ş .4.2 nin a ş ikar olmayan çözümleridir.
Yani,
∆V1 + k 01 V12 =0 ve
∆V2 + k 02 V2 2 =0
dır.
Aynı
zamanda
Helmholtz
denkleminin
düzgün
çözümleri gibi
V j ∈H 1 (Ω 3 )
dir.
∫ ∇ψ dx = ∫ ( ∇V ∇ V
1
Ω3
=
2
)
+ V1∆ V2 − ∇ V2∇V1 − V2 ∆V1 dx
Ω3
∫ ∇V ∇ V dx + ∫ ( V ∆ V
1
2
1
Ω3
2
Ω3
= < ∇V1 , ∇V2 > +
)
− V2 ∆V1 dx − ∫ ∇ V2 ∇V1 dx
Ω3
∫ ( V ∆V − V ∆V )dx − < ∇V , ∇V >
1
2
2
1
2
1
Ω3
(
)
= < ∇V1 , ∇V2 > + ∫ V1∆ V2 − V2 ∆V1 dx − < ∇V1 , ∇V2 >
Ω3
= < ∇V1 , ∇V2 > +
∫ ( V ∆V
1
Ω3
=
∫ ( V ∆V − V ∆V )dx
1
2
Ω3
elde edilir.
2
1
2
)
− V2 ∆V1 dx − < ∇V1 , ∇V2 >
sınırlı
bölgelerdeki
43
∆ V2 = − k 022 V2 ve
∆V1 = − k 021 V1
oldu ğ u göz önüne alınırsa son integral
∫ V (− k
1
Ω3
2
02
)
V2 dx −
∫ V (− k
2
Ω3
2
01
)
V1 dx = k 021
∫ V V dx − k ∫ V V dx
1
2
02
2
Ω3
(
1
2
Ω3
)
= k 021 < V1 , V2 > − k 022 < V1 , V2 > = k 021 − k 022 < V1 , V2 >
(4.11)
halini alır.
E ş .4.9 un sa ğ tarafını açarsak.
∫ ψ (x)υ (x)ds(x) = ∫ ( V ∇V − V ∇V )υ (x)ds(x)
1
Γ∗3
2
2
1
Γ∗3

=
∂V
V
∇
V
υ
(x)
−
V
∇
V
υ
(x)
ds(x)
=
V
(
)

∫
∫ ∂υ(x) − V
1
2
Γ∗3
1
Γ∗3



∂ V2 
∂V1 
ds(x) − ∫  V2
 ds(x)
∂υ(x) 
∂υ(x) 
Γ∗3 

∂V2
∂υ(x)
∫
=  V1
Γ∗3
∫
=  V1
Γ∗3
2
2
1
2
∂V1
∂υ(x)

 ds(x)



∂V1 
ds(x) − ∫  V2
 ds(x)
∂υ(x) 

Γ∗3 
elde edilir.
E ş .4.5 Neuman sınır ş artından dolayı
∂V1 ve ∂V2 0’a e ş it oldu ğ undan
∂υ(x)
∂υ(x)
son integral 0’dır. Bundan dolayı E ş .4.11 integrali 0 olur.
44
(k
2
01
)
− k 022 < V1 , V2 > = 0
⇒ < V1 ,V2 > = 0
olur.
Bu da V j (j=1,2) fonksiyonlarının L 2 (Ω 3 ) Hilbert uzayında ortogonal
olduklarını gösterir. V 1 ve V 2 0’dan farklı oldu ğ undan bu durum L 2 (Ω 3 )
ün ayrılabilir olmasıyla çeli ş ir. O zaman
Ω1 ≡ Ω2
elde edilir.
45
KAYNAKLAR
1. Colton D., Coyle J., Monk, P., Recent Developments in Inverse
Acoustic Scattering Theory , Society for Industrial and Applied
Mathematics , 42(3):369-414 (2000)
2. Anar, Đ . E., Kısmi Diferansiyel Denklemler, Palme , Ankara, 187-463
(2005)
3. Reddy, B. D., Introductory Functional Analysis and Boundary-Value
Problems, John Wiley & Sons, Inc. , New York, 162 (1987)
4. Patty, C.W., Foundations of Topology, PWS-Kent Publ. Co. , Boston,
221 (1993)
5. Colton D., Kress, R., Integral Equation Methods in Scattering Theory
John Wiley & Sons Inc., New York, 194 (1983)
6. Colton, D., Kress, R., Invers Acustic and Electromagnetic Scattering
Theory, Springer-Verlag , 20-32 (1992)
7. Kleinman, R.E., Martin, P.A., On Single Integral Equations for the
Transmission Problem of Acoustics, Siam J. Appl. Math ., 48(2):307325 (1998)
8. Mısır, A., On Compact Integral Equation for the Acosstic Scattering
Problem in a Penetrable In Homogeneous Medium, Selçuk J.Appl.
Math. , 6(1) : 3-12(2005)
9. Yan. G., Inverse Scattering for Transmission Problem , Computers and
Mathematics with Application , 44:439-444 (2002)
10. Ramm, A. G., On Completeness of the Products of Harmonic
Functions , Proc. Amer, Math. Soc., 98:46 (1986)
11. Ramm, A. G., Fundamental Solution to Some Eliptic Equations with
Discontinuous Senior Coefficients and an Inequality for those
Sollutions, Math. Inequalities and Applic ., 1(1):99-104 (1998)
12. Pang, P.Y.H, Yan, G., Uniqueness of Inverse Scattering Problem for a
Penetrable Obstacle with Rigid Core, Applied Mathematics Letters ,
14:155-158 (2001)
13. Volpert, A., Hudjaev, S., Analysis in Classes of Discontinuous
Functions
and
Equations
of
of
Mathematical
Physics,
MartinusNijhoff , Dordrecht, 181 (1985)
46
14. Ramm, A. G., Uniqueness Theorems for Invers Obstacle Scattering
Problems in Lipschitz Domains, Appl. Anal., 59: 377-383 (1995)
47
ÖZGEÇMĐŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: SULAN, Đ smail
Uyru ğ u
: T.C.
Do ğ um tarihi ve yeri
: 15.02.1979 Nazilli
Medeni hali
: Bekar
Telefon
: 0 (312) 3677492
Faks
:_
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Lisans
Gazi Üniversitesi
2001
Matematik E ğ itimi
Lise
Nazilli A.Ö.Lisesi
1997
Yıl
Yer
Görev
2001-2003
Mu ş Çö ğ ürlü Đ .Ö.O.
Ö ğ retmen
2003-
Nahit Mente ş e Lisesi
Ö ğ retmen
Đş Deneyimi
Yabancı Dil
Đ ngilizce
Yayınlar
_
Hobiler
Kitap okuma, Bilgisayar teknolojileri, Basketbol