İNTEGRAL ALMA KURALLARI Çözüm 5 ÖRNEK ı f (x) = 4x + 1 ise bu türev fonksiyonu integre edilirse f(x) bulunur. a ∈ Z+ olmak üzere ı xadx ve f (2) = 4 ise f(x) = ı f (x)dx = f(x) = (4x + 1)dx = a kaçtır? f(x) = 2x2 + x + c Çözüm f(x) = 4x2 +x+c 2 f(0) = 5 xadx ise c = 5 olmalıdır. O halde f(x) = 2x2 + x + 5 bulunur. ı ı f (x) = xadx ı f (x) = xa bulunur. 8 ÖRNEK ı ı f (2) = 4 ise f (2) = 2a = 4 olduğundan a = 2 bulunur. Her x reel sayısı için dy = 2xy dx f(x) = ve f(1) = 1 olduğuna göre, y = f(x) fonksiyonu neye eşittir? 6 ÖRNEK (3x2 + 2x)dx Çözüm ve f(0) = 12 olduğuna göre f(1) kaçtır? Çözüm f(x) = 3 x 3 2x 2 + +c (3x2 + 2x)dx = 3 2 f(x) = x3 + x2 + c f(0) = 0 + 0 + c = 12 ise c = 12 dy = 2xy dx ise dy = 2xdx dir. y Bu eşitliğin her iki tarafına integral alma işlemi uygulanırsa dy = y 2xdx Iny + c1 = x 2 + c 2 O halde f(x) = x3 + x2 + 12 olur. f(1) = 1 + 1 + 12 = 14 bulunur. Iny = x 2 + c 2 − c1 C Iny = x 2 + c olur. Buradan y yi yalnız bırakırsak; ÖRNEK 7 2 f(x) = y = ex +c bulunur. f(1) = 1 olduğuna göre, ı f (x) = 4x + 1, f(0) = 5 1 = e1+c ise c = –1 olmalıdır. ise f(x) fonksiyonu neye eşittir? O halde 2 f(x) = ex 12 –1 bulunur. İntegral İNTEGRAL ALMA KURALLARI 5. y ADIM GÜÇLENDİRME TESTİ-5 (ÇÖZÜMLÜ) f(x) d(e x .x ) x2 d + x 2 1. x 3 1 –1 işleminin sonucu nedir? A) ex B) exdx C) xdx D) x E) 1 Yukarıdaki grafik 3. dereceden f(x) polinom fonksiyonuna aittir. 2. x +1 f(x) = x x x4 + ax 3 + bx 2 + cx 4 f(x)dx = olduğuna göre, 11a + 2b + c kaçtır? dx 3 B) - 2 A) -9 C) 1 2 D) 2 5 2 E) fonksiyonu veriliyor. f(1) = 0 olduğuna göre, f(2) kaçtır? A) -2 B) 0 C) 2 2 D) 2 E) 2 2 6. m ve n sıfırdan farklı reel sayılardır. e2 x - 4 x dx e - (2e)x 3. f(x) = sin (mx) dx + fonksiyonu veriliyor. π f(0) = f = 2 n cos (nx) dx m aşağıdakilerden hangisine eşit olduğuna göre n olabilir? 2x işleminin sonucu nedir? x 2 B) x − + c e A) x + ex + c D) x + C) 2x x e In2 +c A) -2 1 B) - 2 E) 3 dx x2 1+ 2 y işleminin sonucu nedir? cos2 x - 1 dx sin4 x A) sinx + c B) –cosx + c D) –cotx + c 32 3 2 2x ex + c E) x − +c e ((In2) − 1) (1− In2) işleminin sonucu nedir? 1) A D) x 7. 4. C) 1 2) D C)cotx + c B) y.arctanx + c x C) y.arctan + c y x D) 1 .arctan + c y y E) tanx + c 3) D A) arctanx + c 4) C 5) A E) y.arctan(xy) + c 6) A 7) C İntegral BELİRLİ İNTEGRAL ADIM 3 ÖRNEK 2 t2 d dt BELİRLİ İNTEGRALDE LEİBNİTZ TEOREMİ 0 x3 dx dt işleminin sonucu nedir? 1 u(x) f(x) = h(t) dt Çözüm Öncelikle köşeli parantezin içindeki ifadeyi çözümleye- v(x) fonksiyonunun türevi Leibnitz Teoremine göre şu şekilde hesaplanır. lim. t2 d dt d (f ( x )) = f ′( x ) = u′( x ).h(u( x )) − v ′( x )h(v( x )) dx x3 dx integralin t değişkenine bağlı türevi 1 sorulmakta. Leibnitz teoremini uygulayabiliriz. t2 ADIM PEKİŞTİRME 1 ÖRNEK x2 f(x) = d dt t3 dt t +1 ı olduğuna göre, f (1) kaçtır? 0 Çözüm f ′(1) = 0 1 2 x f ′( x ) = 2x ⋅ = ( t 2 )′ .( t 2 )3 − (1)′ .( 1)3 = 2t.t6 = 2t7 Bulduğumuz bu sonucu soruda yerine yazalım. 2 f ′( x ) = ( x 2 )′ x3 dx t2 d dt 2 2 2t 8 dt = 2t7 dt = 8 x3 dx 0 1 = 0 2.28 − 0 = 64 8 bulunur. 2t7 ( x 2 )3 x3 − ( x )′ ⋅ 2 2 2 (x ) + 1 x +1 4 ÖRNEK x x6 x3 − 1⋅ 2 x +1 x +1 e2t dt 4 2 1 1 − = 2 2 2 ÖRNEK 2 lim bulunur. işleminin sonucu nedir? x2 – 4 x®2 a Çözüm 2 Hatırlatma : f(x) dx = 0 a x sinx d dx et dt e2t dt işleminin sonucu nedir? 0 lim x®2 Çözüm Soruda integralin x değişkenine bağlı türevi sorulmaktadır. Leibnitz Teoremini uygulayabiliriz. et dt ′ . e0 = (sin x)′ .esin x − (0) 0 0 = cosx.esinx İntegral bulunur. e2t dt 2 x2 = –4 2 22 – 4 = 0 0 0 ı belirsizliği L Hospital kuralını uygulayabiliriz. 0 x e2t dt sinx d dx 2 2 lim x®2 ı (x2 – 4) e2 x − 0 e 4 = x→2 2x 4 lim = lim x→2 ( x )′ .e2 x − (2)′ .e2 2x bulunur. 117 BELİRLİ İNTEGRAL ADIM GÜÇLENDİRME TESTİ-1 7 1. 7 5. -10 dx + 5 dx -7 B) – 3 5 fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 5x + 1 B) 12x işleminin sonucu nedir? A) – 5 x +1 dx x2 f(x) = C) – 1 D) 1 C) x + 3 D) x E) 0 E) 5 p 2 6. 5 0 2 2. 2 ex dx + 0 5 B) e5 A) ln2 C) 5 D) 0 x7 dx + D) –ln(1 – ln2) E) ln(2 + ln2) 3 x7 10 dx (2x + 3)2 7. dx 1 işleminin sonucu nedir? işleminin sonucu nedir? B) 229 C) ln(1 + e) E) –5 10 0 A) 232 B) –ln2 16 10 3. p 6 işleminin sonucu nedir? (ex + 1) dx işleminin sonucu nedir? A) e25 cot x dx 1+ In(sin x ) C) 224 D) 212 E) 28 A) 2 9 B) 1 3 C) 4 9 D) 7 9 2 3 E) p 3 4. d dx (sinx.cosx + 1)2 dx 3 8. 0 işleminin sonucu nedir? 1 x +1 dx x 2 + 2x işleminin sonucu nedir? A) 3 2 1) C 124 B) 1 2 2) E C) 1 4 D) 0 3) B E) - 1 2 4) D 1 1 1 A) In5 B) In3 C) In2 D) 1 2 2 2 5) E 6) D 7) C E) 0 8) A İntegral ALAN HESABI ADIM ALAN HESABI Bir eğrinin altında kalan bölgenin alanı belirli integral yardımıyla hesaplanabilir. Alanın hesaplanabilmesi için eğrinin altında kalan bölge sonsuz adet küçük dikdörtgenlere bölünür. Elde edilen bu dikdörtgenlerin alanlarının limit durumda hesaplanması belirli integral yardımıyla yapılarak oluşan bölgenin alanı bulunur. Bir grafik üzerinde bu anlattıklarımızı örnekleyelim. (*) f(x) fonksiyonu x ekseni altında negatif değerlidir. B alan değeri pozitif olduğundan eşitlik için integralin sonucu (–1) ile çarpılmalıdır . c b f(x) dx = a c f(x) dx + a f(x) dx = A – B olur. b Çünkü x ekseni üstündeki bölgede f(x) pozitif değerli, x ekseni altındaki bölgede f(x) negatif değerlidir. Şekilde çizilen dikdörtgenin alanı: dA = f(x) dx Bu şekilde sonsuz adet dikdörtgenin toplam alanı ADIM PEKİŞTİRME b f(x) dx ÖRNEK 1 a integraliyle hesaplanarak eğrinin altında a ile b sınırları arasında kalan bölgenin alanı bulunur. BİR EĞRİNİN OX EKSENİ İLE ARASINDA KALAN BÖLGENİN ALANINI BULMA Yukarıdaki grafikte taralı bölgenin alanı 3 br2 oldu4 ğuna göre f(x) dx işleminin sonucu nedir? 0 Taralı bölgenin büyüklüğü A ise Çözüm b A = f(x) dx dir. a Şekilde A ve B bölgelerinden oluşan dikdörtgenin alanı 8 br2 dir. A = 3 br2 olduğuna göre, B = 5 br2 olmalıdır. O halde b B =– f(x) dx ... (*) a İntegral 4 B= f(x) dx = 5 bulunur. 0 137 HACİM HESABI 5. y = x2 + 1 eğrisi, x ≥ 0 ve y = 3 doğrusunun sınırladığı bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür? ADIM PEKİŞTİRME TESTİ 1. A) Yukarıdaki grafikte gösterilen taralı bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç p br3 tür? A) e2 –1 B) 2(e2 – 1) D) e2(e2 – 1) B) 211 5 4p 3 B) 8p 3 3p 2 D) 2p 5p 3 E) E) e(e2 – 1) C) 243 10 D) Yukarıdaki grafikte gösterilen taralı bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür? C) 4p D) A) 221 211 E) 10 10 3. y = 4 − x 2 eğrisinin y ekseni etrafında 180° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür? A) C) C) 2e2(e2 – 1) parabolü, x = 2 ve x = 3 doğruları ile sınırlı 2. y = bölgenin x ekseni etrafında 180° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç p br3 tür? 243 5 B) p 6. x2 A) 2p 3 B) 2p C) 11p 6 D) 3p E) 13p 2 7. y = –8x + 8 ve y = –8x + 16 doğruları ile y = 0 doğrusu arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür? 16p 32p E) 3 3 4. 3p 2 A) 8p 3 B) 4p C) 16p 3 D) 8p 56p 3 E) 8. Yukarıdaki grafikte gösterilen taralı bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür? A) 8p 5 1) C 158 B) 16p 15 2) E C) 32p 15 D) 3) D 24p 128p E) 5 5 4) B Yukarıdaki grafikte gösterilen taralı bölgenin x ekseni etrafında 90° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür? A) 5) D p 120 B) p 24 6) C C) p 15 D) 13p 64p E) 12 15 7) E 8) B İntegral MARATON TESTLERİ 13. 2 2 x y + =4 1 4 9. elipsi tarafından sınırlanan bölgenin alanı kaç br2 dir? A) p B) 2p C) 3p D) 4p E) 8p 3t 10. 1 dx x lim t→∞ t Yukarıdaki grafikte gösterilen taralı bölgenin alanı kaç br2 dir? A) p – 3 işleminin sonucu nedir? A) 0 B) 1 C) ln2 D) ln3 B) p – 2 işleminin sonucu nedir? y = k. Inx x A) sinx – ln |x| + c B) tanx + c C) cotx + c D) ln |sinx| – cosx + c x e E) p + 1 sin2 x + cos x dx sin x y 1 D) p E) e2 14. 11. C) p – 1 Yukarıdaki grafikte gösterilen taralı bölgenin OX ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi, sayıca taralı bölgenin alanına eşit olduğuna göre k kaçtır? E) ln |sinx| + x + c p 15. (x2 + x) cos x dx 0 işleminin sonucu nedir? 2e A) 3π(e − 2) D) e B) π(e − 2) 2e π(e − 2) π C) e(e − 2) E) πe 3(e − 2) A) –2p – 2 B) –2p C) 2p D) 0 E) 1 16. 12. y=2ax3 y=3a x Yukarıdaki grafikte y = 2ax3 , y=3a x eğrileri ve x = a doğrusu verilmiştir. Buna göre (S1 – S2) farkının en büyük değerini alması için a nın değeri kaç olmalıdır? 3 A) 2 9) E 182 B) 3 2 10) D C) 5 3 2 D) 1 11) A 1 E) 2 12) D Yukarıda gösterilen taralı bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç p birim küptür? A) e4 – e2 13) C D) B) e4 + e2 e4 2 14) D C) E) e2 + e 15) A e 4 + e2 2 16) C İntegral MARATON TESTLERİ 8. 12. Yandaki grafikte gösterilen taralı bölgenin x ekseni etrafında döndü­rülmesi ile olu­şan cismin hacmi kaç p birim küptür? Yandaki grafikte y = ax2 parabolü, x = a doğrusu ve d doğrusu verilmiştir. S1 ve S2 pozitif olmak üzere üzerin­de yazılı oldukları bölgenin alanlarını göstermektedir. S1 – S2 farkının en küçük değerini alması için a kaç olmalıdır? A) 1 2 B) 1 C) 3 2 D) 2 E) 5 2 A) 129 5 B) 64 5 C) 24 D) 32 13. Yandaki grafikte gösterilen taralı bölgenin x = 3 doğ­ rusu etrafında dön­ dürülmesi ile olu­şan cismin hacmi kaç birim küptür? 9. Yandaki grafikte gösterilen taralı bölgenin alanı 10 br2 olduğuna göre, A) 2 3p 2 B) 4p C) 5p kezi Oy ekseni üze- işleminin sonucu nedir? B) – 10 rinde C) –8 D) 6 E) 12 sin x dx 1+ sin x 0 B) 0 çember, A ve B noktalarına x2 y= parabolüne 4 te­ğettir. B) 10 3 − A) 10 3 işleminin sonucu nedir? A) –p olan Çemberin yarıçapı 4 br olduğuna göre taralı bölgenin alanı kaç birim karedir? p 10. 16p 19p E) 3 6 Yandaki grafikte mer- 0 A) –14 D) 14. ı x .f (x) dx E) 36 D) 9 3p C) 1 D) p – 2 E) p + 1 7π 16π C) 12 3 − 3 3 E) 16 3 15. Yandaki grafikte gösterilen taralı bölgenin alanı p 4 11. A(x), OABC dikdörtgeni- (tan3x + 1) (cot2x + 1) dx nin alanı B(x) olduğuna A( x ) işleminin göre, xlim →∞ B( x ) p 6 işleminin sonucu nedir? A) 3 1 - 2 B) 2 2 8) C 192 9) D C) 3- 1 2 D) 2 3 10) D sonucu kaçtır? E) 3 +2 A) 11) C 1 4 12) A B) 1 3 13) E C) 2 5 D) 14) C 2 3 E) 1 15) B İntegral