Genişbant Uyumlaştırıcı Tasarımlarında Alternatif Çevrim Güç

Genişbant Uyumlaştırıcı Tasarımlarında Alternatif Çevrim Güç Kazancı İfadesi
Alternative Transducer Power Gain Expression in Broadband Matching
Network Designs
Metin Şengül
Elektrik-Elektronik Mühendisliği, Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi
Kadir Has Üniversitesi
[email protected]
Özet
Şekil 1’ de görülen çift uyumlaştırma problemini ele alalım.
Burada, kompleks yük empedansı Z L , kompleks kaynak
Bu bildiride, literatürde sıklıkla kullanılan empedans tabanlı
çevrim güç kazancı ifadesine alternatif, yansıma katsayısı
tabanlı bir çevrim güç kazancı ifadesi elde edilmiştir.
Türetilen kazanç ifadesi, genişbant çift uyumlaştırma devresi
tasarımında
kullanılmış,
literatürde
mevcut
ifade
kullanıldığında elde edilen performans ile karşılaştırılmıştır.
empedansı
Z G ’ ye genişbantta uyumlaştırılmak
istenmektedir. İki-kapılının giriş yansıma katsayısını yazalım
Abstract
burada Z1 , iki-kapılının çıkışı yük empedansı Z L ile
kapatıldığında iki-kapılının giriş empedansıdır [3,4]. Benzer
biçimde, çıkış yansıma katsayısı şu şekilde ifade edilebilir
ρ1 =
In this paper, a reflection coefficient based transducer power
gain expression has been derived, which is an alternative to
the impedance based expression exists in the literature. A
broadband double matching problem is solved by using the
derived gain expression and the obtained performance has
been compared with the performance obtained via the existing
expression.
ρ2 =
*
Z1 − Z G
Z1 + Z G
(1)
Z 2 − Z L*
Z2 + ZL
(2)
burada Z 2 , iki-kapılının girişi kaynak empedansı Z G ile
kapatıldığında iki-kapılı çıkış empedansıdır [3,4]. İki-kapılı
kayıpsız bir devre olduğu için, sanal eksen üzerinde şu ifade
yazılabilir [3,4]
1. Giriş
Bir kaynak ve yük empedansı arasına, kaynaktan yüke
aktarılan gücü maksimum yapacak şekilde kayıpsız bir ikikapılı devre tasarımı genişbant uyumlaştırma problemi olarak
tanımlanır. Yüke aktarılan gücün kaynaktan alınabilen güce
oranı çevrim güç kazancı (transducer power gain, TPG )
olarak adlandırılır [1].
ρ1 = ρ 2 .
(3)
Dolayısıyla, gerçek frekanslarda çevrim güç kazancı için
aşağıdaki ifade edilebilir [3,4]
2
2
TPG (ω ) = 1 − ρ1 = 1 − ρ 2 .
(4)
Yine Şekil 1‘ de görülen çift uyumlaştırma problemini ele
alalım. Yük empedansı Z L = RL + jX L , uyumlaştırıcının
çıkış
empedansı
Z G = RG + jX G
Şekil 1: Uyumlaştırma problemi.
Z 2 = R2 + jX 2 ,
ve
uyumlaştırıcının
kaynak
empedansı
giriş
empedansı
Z1 = R1 + jX 1 olarak tanımlanırsa, ve bu empedans ifadeleri
denklem (1) veya denklem (2)‘ de, elde edilen yeni yansıma
katsayısı ifadeleri denklem (4)’ te kullanılırsa, empedanslar
türünden yazılan, aşağıda verilen çevrim güç kazancı ifadesi
elde edilmiş olur [1-4]
Genişbant uyumlaştırma problemi iki grupta incelenebilir [2]:
Eğer kaynak empedansı sadece direnç içeriyor ve yük
empedansı kompleks ise tek uyumlaştırma problemi ile karşı
karşıyayız demektir. Fakat kaynak ve yük empedanslarının
kompleks olması durumu çift uyumlaştırma problemi olarak
tanımlanır.
415
TPG (ω ) =
4 Rα Rβ
2
( Rα + Rβ ) + ( X α + X β )
2
.
SG =
(5)
2. Alternatif Çevrim Güç Kazancı İfadesi
Şekil 1’ de görülen kayıpsız bir iki-kapılı için saçılma matrisi
şu şekilde yazılabilir [3,5]
(6)
(7)
( S 2 − S L* )( S L − 1)
( S 2 S L − 1)( S L* − 1)
.
(15)
S2 SL
2
2
2
2
− S2 − S L + 1
2
S 2 S L − S 2 S L − S 2* S L* + 1
(16)
Eğer denklem (13) ve (12), denklem (1)’ de kullanılarak
ulaşılan giriş yansıma katsayısı, denklem (4)’ de yerine
konursa, giriş yansıma katsayısı ve kaynak yansıma katsayısı
türünden çevrim güç kazancı ifadesi elde edilebilecektir.
3. Genişbant Uyumlaştırıcı Tasarımı
Bu bölümde, yeni kazanç ifadesi kullanılarak genişbant
uyumlaştırıcı tasarımı örneği gerçekleştirilecektir. Normalize
edilmiş yük ve kaynak empedans verisi Çizelge 1’ de
verilmiştir. Eğer yük verisi modellenirse bir kapasite
( C L = 4 ) ve bir direncin ( RL = 1 ) paralel bağlı yapısına
(9)
( RL // C L ), kaynak verisi modellenirse bir bobin ( LG = 1 ) ve
(10)
bir direncin ( RG = 1 ) seri bağlı yapısına ( LG + RG ) ulaşılır.
Aynı problem denklem (5)’ teki kazanç ifadesi ile de
çözülmüştür.
Benzer şekilde giriş kapısı Z G ile sonlandırıldığında
uyumlaştırıcının çıkış yansıma katsayısı, uyumlaştırıcının
saçılma parametreleri kullanılarak şu şekilde yazılabilir [6]
S12 S 21S G
1− S 22 S G
(14)
Denklem (16)’ da yer alan S 2 terimi, denklem (11) ile
hesaplanacağı için kaynak yansıma katsayısı da kullanılmış
olacaktır. Dolayısıyla denklem (16)’ da görülen ifade hem tek
uyumlaştırma problemlerinde hem de çift uyumlaştırma
problemlerinde kullanılabilecektir.
(8)
burada S L yük yansıma katsayısıdır
S 2 = S 22 +
1 + S2
.
1 − S2
2
Çıkış kapısı Z L ile sonlandırıldığında, uyumlaştırıcının giriş
yansıma katsayısı, uyumlaştırıcının saçılma parametreleri
kullanılarak şu şekilde yazılabilir [6]
1+ SL
Z L −1
).
(dolayısıyla Z L =
1− SL
ZL +1
Z2 =
TPG (ω ) =
Denklem (6) ve (8)‘ de, g ( p) n. dereceden kesin Hurwitz
polinomu, ve h( p ) ise n. dereceden reel katsayılı bir
polinomdur. f ( p ) polinomu iki-kapılının iletim sıfırlarından
oluşan bir polinomdur.
SL =
(13)
Denklem (15), denklem (4)’ te kullanılırsa, iki-kapılı çıkış
yansıma katsayısı ve yük yansıma katsayısı türünden ifade
edilen çevrim güç kazancı şu şekilde yazılabilir
burada I birim matristir. Denklem (7)‘ nin açık ifadesi
Feldtkeller denklemi olarak bilinir ve şu şekilde ifade edilir
[2,3]
S S S
S1 = S11 + 12 21 L
1− S 22 S L
1 + S1
,
1 − S1
ρ2 = −
İki-kapılı devre kayıpsız olduğuna göre, enerjinin korunumu
ilkesi gereği şu yazılabilir [2,3]
g ( p ) g ( − p ) = h( p ) h( − p ) + f ( p ) f ( − p ) .
Z1 =
Bu aşamada denklem (14) ve (10), denklem (2)’ de
kullanılırsa, çıkış yansıma katsayısı ifadesi şu şekilde
yazılabilir
burada p = σ + jω kompleks frekans değişkeni, ve μ = ±1
bir sabittir. Eğer iki-kapılı karşılıklı ise, f ( p ) polinomu tek
veya çift polinomdur. Bu durumda, eğer f ( p ) çift ise
μ = +1 , ve eğer f ( p ) tek ise μ = −1 ‘ dir.
S ( p) S T (− p) = I ,
(12)
Uyumlaştırıcının giriş ve çıkış empedansları, aşağıdaki
denklemler ile hesaplanabilmektedir [6]
Burada, α = 1 ise β = G ve α = 2 ise β = L olmalıdır.
 S ( p ) S12 ( p ) 
1  h( p ) μ f ( − p ) 
S ( p ) =  11
=


 S 21 ( p) S 22 ( p ) g ( p)  f ( p ) − μ h(− p)
1 + SG
ZG −1
).
(dolayısıyla Z G =
1 − SG
ZG +1
Uyumlaştırıcının tasarım algoritması şu şekilde çalışmaktadır
[6]: İki-kapılı tanımı, denklem (6)’ da verildiği şekilde
yapılmıştır. h( p ) polinom katsayıları serbest eniyileme
parametreleri olarak seçilmiş, iki-kapılının iletim sıfırları
kullanılarak f ( p ) polinomu oluşturulmuş ve denklem (8)
aracılığıyla g ( p) polinomu elde dilmiştir. İstenen kazanç
h( p )
polinom katsayıları
seviyesine gelene dek
eniyilenmiştir.
(11)
burada SG kaynak yansıma katsayısıdır
416
Çizelge 1: Yük ve Kaynak Empedans Verisi
ω
RL
XL
RG
XG
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.0000
0.8621
0.6098
0.4098
0.2809
0.2000
0.1479
0.1131
0.0890
0.0716
0.0588
0.0000
-0.3448
-0.4878
-0.4918
-0.4494
-0.4000
-0.3550
-0.3167
-0.2847
-0.2579
-0.2353
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
Yazılan
h( p )
programda,
4
3
Şekil 3: Uyumlaştırılmış sistemin performansı.
Tasarım için kullanılan algoritma Matlab kullanılarak
gerçekleştirilmiştir. Algoritmada, denklem (16) veya (5)
kullanılmasının süre yönünden bir farkı bulunmamaktadır. Her
iki durumda da bu tasarım yaklaşık 2 saniye içinde
tamamlanmıştır.
polinomu,
2
h( p) = p − p + p − p + 1 olarak başlatılmıştır. f ( p )
f ( p ) = 1 olarak seçilmiş, yani kayıpsız
polinomu
uyumlaştırma devresi alçak-geçiren yapıda olacaktır (tüm
iletim sıfırları sonsuza konulmuştur). Eniyileme sonucunda
uyumlaştırma devresinin giriş saçılma parametresi şu şekilde
elde edilmiştir
S11 ( p ) =
Şekil 4’ te çevrim güç kazancı eğrileri yakınlaştırılarak
çizilmiştir. Bu eğriler için dalgalanma faktörü hesaplanırsa,
aşağıdaki değerlere ulaşılır. Dalgalanma faktörleri dikkate
alındığında, bu örnek için son olarak bir eniyileme yapmaya
gerek olmadığı görülür.
h( p )
g ( p)
burada
2
τ Denklem
16 ve 5 =
h( p) = 2.7791 p 4 − 2.5092 p 3 − 0.1265 p 2 − 1.6763 p − 0.5338 ,
g ( p) = 2.7791 p 4 + 6.1048 p 3 + 5.4458 p 2 + 3.8757 p + 1.1335 .
ZG
E
L2
L1
1:n
C1
C2
2
τ Eniyilenen
=
TPGmax − TPGmin 0.8508 − 0.7146
=
= 0.1906
TPGmin
0.7146
0.8266 − 0.5847
= 0.4137 .
0.5847
Sonuç olarak, literatürde sıklıkla kullanılan empedans tabanlı
çevrim güç kazancı ifadesine alternatif, yansıma katsayısı
tabanlı bir çevrim güç kazancı ifadesi elde edilmiş ve verilen
örnek ile önerilen ifadenin performansının literatürde mevcut
ifadenin performansı ile tamamen aynı olduğu görülmüştür.
ZL
Şekil 2: Tasarlanan genişbant çift uyumlaştırma
devresi; Denklem (16) ve (5): L1 = 0.67377 ,
L2 = 0.64535 , C1 = 4.2992 , C 2 = 4.9596 ,
n = 0.5997 .
Elde edilen giriş saçılma parametresi kullanıldığında, Şekil 2’
de görülen genişbant çift uyumlaştırma devresine ulaşılır.
Hesaplanan eleman değerlerinden anlaşılacağı üzere, denklem
(16) ve (5) tamamen aynı sonucu vermiştir.
Şekil 3’ te görüleceği üzere, uyumlaştırılmış sistemin
başlangıç performansı oldukça iyidir. Ancak ticari programlar
kullanılarak (örneğin Microwave Office, Applied Wave
Research Inc. (AWR) [7]) son bir elemen değeri eniyilemesi
gerçekleştirilebilir. Bu işlem sonucunda ulaşılan normalize
elemen değerleri şunlardır: L1 = 0.6990 , L2 = 0.6854 ,
Şekil 4: Büyütülmüş kazanç eğrileri.
4. Sonuçlar
C1 = 4.3013 , C2 = 4.9663 , n = 0.5972 . Karşılaştırma
amacıyla, denklem (16) ve AWR ile eniyileme yapıldıktan
sonra elde edilen performans eğrileri Şekil 3’ te verilmiştir.
Bu bildiride, kompleks empedanslarla sonlandırılmış bir ikikapılı için alternatif bir çevrim güç kazancı ifadesi elde
417
edilmiştir. Denklem (5) ile verilen çevrim güç kazancı
denklemi literatürde sıklıkla kullanılan bir ifadedir. Burada
kazanç, iki kapılının giriş veya çıkış empedansları, kaynak
veya yük empedansları kullanılarak yazılmıştır. Bu bildiride
türetilen çevrim güç kazancı ifadesi ise, iki kapılının giriş
veya çıkış yansıma katsayıları, kaynak veya yük yansıma
katsayılarına bağlıdır.
Türetilen ifadenin avantajları şu şekilde özetlenebilir:
Denklem (16) ile verilen yeni kazanç ifadesi, eniyileme
parametrelerine kuadratik olarak bağlıdır. Dolayısıyla sonuca
yakınsama davranışı mükemmeldir. Ayrıca tüm saçılma
parametreleri “1” ile sınırlı olduğundan nümerik kararlılığı
yüksektir (denklem (5)’ te yer alan empedans değerlerinde bir
sınırlama yoktur).
Alternatif güç kazancı ifadesi hem tek uyumlaştırma
problemlerinde hem de çift uyumlaştırma problemlerinde
kullanılabilmektedir.
Türetilen ifade kullanılarak çift empedans uyumlaştırıcı
tasarımına bir örnek verilmiştir. Elde edilen performansın
literatürde mevcut ifade kullanıldığında ulaşılan performans
ile aynı olduğu görülmüştür.
5. Kaynaklar
[1] Yarman, B. S., Broadband networks, Wiley
Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering,
vol.II, pp.589-604, 1999.
[2] Yarman, B. S., Design of ultra wideband power transfer
networks, John Wiley & Sons Ltd., United Kingdom,
2010.
[3] Aksen, A., Design of lossless two-port with mixed,
lumped and distributed elements for broadband matching,
Doktora Tezi, Ruhr University, Bochum, Germany,
1994.
[4] Şengül, M., “Broadband Impedance Matching via
Lossless Unsymmetrical Lattice Networks”, Int. J. Elect.
Commun (AEU), 66, 76-79, 2012.
[5] Belevitch V., Classical network theory, Holden Day, San
Francisco, 1968.
[6] Şengül, M., “Design of Practical Broadband Matching
Networks”, IEEE Trans. CAS-2, Express Briefs, 60(9),
552-556, 2013.
[7] AWR: Microwave Office of Applied Wave Research Inc.
Available: www.appwave.com.
418