fuzzy quasi-metrik uzaylar ümmügülsüm akdoğan yüksek lisans tezi

FUZZY QUASİ-METRİK UZAYLAR
ÜMMÜGÜLSÜM AKDOĞAN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
OCAK 2011
ANKARA
Ümmügülsüm AKDOĞAN tarafından hazırlanan “FUZZY QUASİ-METRİK
UZAYLAR” adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu
onaylarım.
Prof. Dr. Cemil YILDIZ
…………………………………
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında
Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL
…………………………………
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Prof. Dr. Cemil YILDIZ
…………………………………
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ
…………………………………
Matematik Anabilim Dalı, A.Ü.
Tarih: 27/01/2011
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans
derecesini onamıştır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
…………………………………
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde
elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak
hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin
kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Ümmügülsüm AKDOĞAN
iv
FUZZY QUASİ-METRİK UZAYLAR
(Yüksek Lisans Tezi)
Ümmügülsüm AKDOĞAN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Ocak 2011
ÖZET
Bu tezde, fuzzy metrik uzayların bir genelleştirilmesi olan fuzzy quasimetrik uzaylar ile ilgili tanımlar verilmiş ve bazı özellikleri incelenmiştir.
Ayrıca quasi-metrik uzaylardan yararlanarak tam fuzzy quasi-metrik
uzaylar, dengeli fuzzy quasi-metrik uzaylar, iyi (nice) fuzzy quasi-metrik
uzaylar ve özellikleri incelenmiştir. Son olarak, bi-tam(bicomplete)
quasi-metrik uzayların bir genellemesi olan bi-tam fuzzy quasi-metrik
uzay ve özellikleri verilmiştir.
Bilim Kodu
: 204.1.132
Anahtar Kelimeler : quasi-metrik, fuzzy quasi-metrik, fuzzy quasi-metrik
tamlaması, fuzzy quasi-metrik bi-tamlaması
Sayfa Adedi
: 68
Tez Yöneticisi
: Prof. Dr. Cemil YILDIZ
v
FUZZY QUASİ-METRİC SPACES
(Ms.C. Thesis)
Ümmügülsüm AKDOĞAN
GAZI UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
January 2011
ABSTRACT
In this thesis, we give some definitions related with fuzzy quasi-metric
spaces that generalizes the fuzzy metric spaces and discuss some
properties of ıts. Furthermore, Using complete quasi-metric, we
investigate complete fuzzy quasi-metric spaces, balanced fuzzy quasimetric spaces, nice fuzzy quasi-metric spaces and properties of these
spaces. Finally, we introduce the bicomplete fuzzy quasi-metric spaces
and ıts properties that generalizes bicomplete quasi-metric spaces.
Science Code
Key Words
Page Number
Adviser
: 204.1.132
: quasi-metric, fuzzy quasi-metric spaces,
completion of fuzzy quasi-metric, bicompletion of
fuzzy quasi-metric spaces.
: 68
: Prof. Dr. Cemil YILDIZ
vi
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren Hocam
Prof. Dr. Cemil YILDIZ’ a, manevi destekleriyle beni hiçbir zaman yalnız
bırakmayan annem Müslime AKDOĞAN, babam İsa AKDOĞAN ve abim
Abdullah AKDOĞAN’ a,
çalışmalarım boyunca beni her defasında
yüreklendiren dostlarıma teşekkürü bir borç bilirim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET............................................................................................................. iv
ABSTRACT ................................................................................................... v
TEŞEKKÜR ................................................................................................... vi
İÇİNDEKİLER................................................................................................vii
SİMGELER VE KISALTMALAR ........................................................................ viii
1.GİRİŞ ..........................................................................................................1
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER ...............................................................4
2.1.Fuzzy Küme ve Fuzzy Küme ile İlgili İşlemler .......................................4
2.2.Fuzzy Topolojik Uzay ve Özellikleri .......................................................9
2.3. Fuzzy Metrik Uzay ve Fuzzy Metrik Tarafından Üretilen Topoloji ....... 18
3.FUZZY QUASİ-METRİK UZAYLAR .......................................................... 22
3.1. Kramosil ve Michalek Anlamında Fuzzy Quasi-metrik Uzaylar .......... 22
3.2. George ve Veeramani Anlamında Fuzzy Quasi-metrik Uzaylar ......... 28
4. TAM FUZZY QUASİ-METRİK UZAYLAR ................................................. 35
4.1. Tam Fuzzy Quasi-Metrik Uzaylar ve Özellikleri .................................. 35
4.2. Bi-Tam (Bicomplete) Fuzzy Quasi-Metrik Uzaylar ve Özellikleri......... 56
KAYNAKLAR................................................................................................ 66
ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................. 68
viii
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
kümesinin üyelik fonksiyonu
’ den ’ ya tanımlanan fonksiyonların kümesi
Fuzzy topolojisi
Fuzzy kapalılar ailesi
fuzzy kümesinin içi
fuzzy kümesinin kapanısı
fuzzy noktasının fuzzy komsuluklar ailesi
fuzzy kümesinin tümleyeni
fuzzy topolojisi için taban
fuzzy noktasının fuzzy komsuluklar tabanı
fuzzy noktasının yerel tabanı
fuzzy topolojisi için alt taban
kümesinin kardinalitesi
fuzzy topolojik uzayının agırlıgı
fuzzy noktasının karakteri
Alef sıfır
Metrik uzay
ix
Simgeler
Açıklama
∗
Sürekli t-norm
∗
! "
τ
#
Fuzzy quasi-metrik uzay
Fuzzy quasi-metrik uzayda açık yuvar
Fuzzy quasi-metrik tarafından üretilen topoloji
Fuzzy quasi-metrik uzayda bir dizi
1
1.GİRİŞ
Günümüz bilimi Aristo mantığı temeli üzerine inşa edilmiştir. Bu mantığa
uymayan her şey kolayca bilim dışı damgası yemiştir. Bu yaklaşım tarzı
özellikle problemlerin çözümünün varsayımlar üzerine dayandığı mühendislik
alanında hakimdir. Ancak hayat Aristo mantığına ve onu kayıtsız şartsız
kabul etmiş mühendislere karşı oldukça acımasızdır. Uzun çalışmaların
ürünü her formül, her hesap saklanamayan bir gerçekle “Hata katsayısı” ile
beraber ele alınır. Doğa olaylarını açıklamak için kullandığımız matematiksel
yöntemlerin ve modellerin yararı, gücü ve heybeti tartışılamaz. Ancak
matematiğin kesin deterministik niteliğinin uygulamada gerçeğe çoğunlukla
uymaması, yüzyıllar boyunca bilim adamlarını ve düşünürleri uğraştırmıştır.
Matematiksel temsiller, evrenin karmaşıklığı ve sınırsızlığı karşısında daima
yetersiz ve çok yapay kalmıştır. Bu nedenle doğa olaylarını açıklarken,
çoğunlukla kesinlik değil, belirsizlik kullanılmıştır. İşte bilimin geldiği bu
noktada 1965 yılında California Berkeley Üniversitesinden Prof. Dr. L.A.
Zadeh [1], “Fuzzy küme” kavramını tanıtmıştır. O tarihten sonra önemi
gittikçe artarak günümüze kadar gelen fuzzy küme ve bunun sonucu fuzzy
mantık, belirsizliklerin anlatımı ve belirsizliklerle çalışılabilmesi için önemli bir
matematiksel disiplin haline gelmiştir. Bilindiği gibi istatistikte ve olasılık
kuramında, belirsizliklerle değil, kesinlikle çalışılır ama insanın yaşadığı
ortam daha çok belirsizliklerle doludur. Bu yüzden insanoğlunun sonuç
çıkarabilme
yeteneğini
anlayabilmek
için
belirsizliklerle
çalışmak
gerekmektedir. Bu kuram yardımı ile artık bilimsel hesaplamalarda, gerçek
yaşamın
belirsizliğini
bilimsel
doğruluktan
taviz
vermeden
içlerinde
barındırabilecektir. Kısaca fuzzy küme ve fuzzy mantık teorisi, Aristo
mantığının siyah-beyaz ikilemine karşılık, Zadeh [1]’ in siyah ile beyaz
arasında grinin çeşitli derecelerinin varlığının bilimsel olarak bir ifadesidir. Bu
teori kendine çok sayıda uygulama alanı bulmuştur. Örneğin; günlük
hayatımızda sıkça kullandığımız otomobillerin vites kutularında, bulaşık ve
çamaşır makinelerinde, hastalıkların tedavisi için ilaçların geliştirilmesinde,
elektronik devrelerin ve yapay zekanın karar verme algoritmasında hatta
2
fuzzy temelli bilgisayar ve mühendislik sistemleri ile işlemekte olan Tokyo
metrosunda, son zamanlarda bilgisayar ve enformatik bilimleri, kontrol
sistemleri, genetik kodlama ve şifreleme, yüksek çözünürlüklü LCD plazma
televizyon ve bilgisayar ekranlarında fuzzy küme ve fuzzy mantığın yoğun
olarak kullanıldığı alanlar olarak karşımıza çıkmıştır. Birçok bilim adamı fuzzy
metriği, fuzzy kümeler üzerinde farklı tanımlamışlardır. Ancak her tanımın
ortak çıkış noktası boştan farklı bir küme üzerindeki metrik yapı olmuştur.
Fuzzy metrik alanındaki ilk çalışmayı 1975 yılında Kramosil ve Michalek [2]
ve daha sonra 1979 yılında Erceg [3], 1982 yılında Deng [4], 1984 yılında
Kaleva ve Seikkala [5], 1994 yılında George ve Veeramani [6] yapmıştır.
Fuzzy metrikle ilgili birden çok tanımın olmasının temel sebepleri arasında
fuzzy
metriğin
sürekli
üçgen
t-normlarla
veya
düzey
kümeleri
ile
tanımlanmasının yanı sıra fuzzy metrikten yararlanarak Haussdorf topolojisini
elde etmek yer almaktadır. Quasi-metrik uzayların tamlaması alanındaki
çalışmalar ise 1982 yılında D. Doitchinov [7] ile başlamış ve 1996 yılında
H.P.A. Künzi ve S. Romaguera [8] Doitchinov tamlaması üzerinde çalışmalar
yapmıştır.
Bu tezin ikinci bölümünde Zadeh [1]’in fuzzy küme tanımı, fuzzy küme ile ilgili
temel kavramları ve bu kavramların bazı özellikleri verilmistir. Chang [9] ve
Nanda [10]’ ün ortaya koyduğu fuzzy topolojik uzay tanımı ve bazı özellikleri
gösterilmiş. Ayrıca fuzzy quasi-metrik uzaylar için bir temel olan fuzzy metrik
kavramı1975 yılında Kramosil ve Michalek [2] ve 1994 yılında George ve
Veeramani [4] tarafından verilen fuzzy metrik uzay özellikleri verilmiştir.
Tezin üçüncü bölümünde Kramosil ve Michalek [2] tarafından verilen fuzzy
metrik uzay ve George ve Veeramani [4] tarafından verilen fuzzy metrik uzay
kavramlarının 2004 yılında Valentin Gregori ve Salvador Romaguera [11]
tarafından fuzzy quasi metrik uzaylara genelleştirilmesi incelenmiştir. Ayrıca
her fuzzy metriğin aslında bir fuzzy quasi-metrik olduğu ve aralarındaki
ilişkiler ele alınmıştır. Ayrıca fuzzy quasi-metriğin bir topoloji oluşturduğu
gösterilmiştir.
3
Dördüncü bölümde ise iki önemli kavramdan bahsedilecektir. Bu kavramlar
verilirken klasik anlamda quasi-metrik uzayların bir genişlemesi olan ve
üçüncü bölümde inşa edilen fuzzy quasi-metrik uzaylar kullanılmıştır.
Böylelikle birinci kısımda D. Doitchinov [7] tarafından verilen iddialar ışığında
V.gregori, J.A. Mascarell ve A. Sapena [12]’ de verilen fuzzy quasi metrik
uzayların tamlaması üzerinde durulmuştur. Bu fuzzy quasi-metrik uzaylarda
cauchy dizi kavramı verilmiş ve bu uzayların özel bir sınıfının tamlaması
tanımlanmıştır. İkinci kısmında ise, V.gregori, S. Romaguera ve A. Sapena
[13] tarafından verilen fuzzy quasi-metrik uzayların bi-tamlama kavramı
verilerek bunun izometri ile bir tek olduğu gösterilmiştir.
4
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Bu bölümün birinci kısmında fuzzy küme tanımı ve fuzzy kümeler ile ilgili
işlemlere yer verilmiştir. İkinci kısımda ise, fuzzy topolojik uzay ve fuzzy
topolojik uzayların özellikleri incelenmiştir. Bölümün sonunda, fuzzy metrik
kavramı ile ilgili özellikler incelenerek fuzzy metrik tarafından üretilen topoloji
ve özellikleri ele alınmıştır.
2.1. Fuzzy Küme ve Fuzzy Küme ile İlgili İşlemler
2.1. Tanım
boştan farklı herhangi bir küme ve $ %&'( olmak üzere ’den ’ya
tanımlanan bütün fonksiyonların kümesini ile gösterelim. ’ in her bir
elemanına ’in bir fuzzy kümesi denir [1].
2.2. Tanım
) * ve $ %&'( olmak üzere + , üyelik fonksiyonu ile karakterize
edilen $ - + . / 0 1 kümesine ’de bir fuzzy kümesi
denir%'(.
Bundan sonra zaman zaman yerine , (x) yerine alınacaktır
2.3. Tanım
boştan farklı bir küme olmak üzere ’ deki
üyelik fonksiyonu
2 3
5 3 $
$ 4 & 3 ) 6
2
fuzzy kümesinin
2+ ,
ya ’ de fuzzy noktası denir. Burada . noktasına
6
2 fuzzy noktasının desteği (dayanağı) ve 5 . &'( sayısına
2 fuzzy
şeklinde tanımlı ise,
2’
noktasının değeri denir.
Bundan sonra fuzzy noktasını
2
yerine ile göstereceğiz.
5
2.4. Tanım
boştan farklı herhangi bir küme, ’de bir fuzzy noktası ve ’in bir fuzzy
kümesi olsun. Eğer her
. için 7 ise ’ya aittir ( ’yi içerir)
denir ve 8 ile gösterilir.
2.5. Tanım
ve * kümeleri birer fuzzy kümesi olup,
9 . için $ '⇒ $ - '+
9 . için * $ &⇒* $ - &+
. /
. /
şeklinde ifade edilir [9]. Buradan her klasik anlamdaki kümenin bir fuzzy
kümesi olduğu sonucu çıkar.
Kümeler teorisinde bilinen kapsama “0 :, eşitlik “=”, birleşim ”;” ve kesişim
“ < ” işlemleri fuzzy kümelerinde sırasıyla 7 $ = > işaretleri kullanılarak
aşağıdaki gibi tanımlanır.
2.6. Tanım
’ deki herhangi iki fuzzy küme ve olsun. ve ’nin üyelik fonksiyonları
sırasıyla ve ? olmak üzere, her
(1) 7 @ 7 ? . için;
(2) $ @ $ ? (3) = $ A B C $ DEFG- ? /
(4) > $ H B I $ DJK- ? /
(5)LM B N $ ' O şeklinde tanımlanır [9].
6
2.7. Tanım
’deki fuzzy kümelerin bir ailesi -LP /P.Q olsun. Buna göre birleşim ve kesişim
işlemlerinin genelleştirilmiş hali
(1) A $ = R @ C $ GSTU V
P.Q
P.Q
(2)H $ > R @ I $ JK TU V
P.Q
P.Q
şeklinde tanımlanır [9].
2.8. Tanım
ve , ’de herhangi iki fuzzy küme olmak üzere ve fuzzy kümelerinin
farkı
O $ > @ W? $ XYZ- ?N /
fuzzy kümesi olarak tanımlanır [9].
Örnek
=-[ \/ ve $ %&'( olmak üzere ’ de iki fuzzy küme $ -E &]^ _ &]`/
ve $ -E &]a _ &]b/ şeklinde tanımlansın. Bu durumda = , > , LM ,
O kümeleri birer fuzzy kümedir. Gerçekten ve , fuzzy kümelerinin her
. için üyelik fonksiyonlarının değerleri sırasıyla ve ? olsun.
Buna göre E . için E $ &]^ ve ? E $ &]a , _ . için _ $ &]` ve
? _ $ &]b ’dir.
= $ A @ C $ DEFG- ? /
@ C E $ &]^ ve C _ $ &]b
@ = $ -E &]^ _ &]b/
> $ H @ I $ DJK- ? /
7
@ I E $ &]a ve I _ $ &]`
@ > $ -E &]a _ &]`/
B N $ ' O @ N E $ &]b ve N _ $ &]`
@ =-E &]b _ &]`/
O $ > @ W? $ DJK- cd /
@ W? E $ &]^ ve W? _ $ &]^
@ O $ -E &]^ _ &]^/
2.1. Teorem
’de iki fuzzy küme ve olsun. Bu durumda
(i)
(ii)
= fuzzy kümesi ve kümelerini ihtiva eden en küçük kümedir.
> fuzzy kümesi ve kümeleri tarafından ihtiva edilen en büyük
fuzzy kümedir [14].
İspat
ve fuzzy kümelerinin üyelik fonksiyonları sırasıyla ve ? olsun.
= $ A @ C $ DEFG- ? / olduğundan 7 ve 7 A ’ dir.
Kabul edelim ki ve ’yi ihtiva eden en küçük fuzzy küme H olsun. H fuzzy
kümesinin üyelik fonksiyonu I olmak üzere 7 H olduğundan (x) ≤ I (x)
ve 7 H olduğundan ? ≤ I e’dir. Buradan
DEFG- ? / 7 I ⇒=? $ C 7 I = $ A fuzzy kümesi ve ’yi ihtiva eden bir küme olup kabulden dolayı
8
(x) ≤ I (x) ≤C ve ? ≤ I (x) ≤ C ⇒ I (x) ≤ C O halde her
. için C $ I (x) olup A $ H ’dir. Buna göre ve ’yi
ihtiva eden en küçük fuzzy küme = ’dir.
(ii) şıkkı (i) şıkkına benzer şekilde ispat yapılabilir.
2.1. Sonuç
’ deki fuzzy kümeler ve A olsun. Bu durumda
(İ) = g $ > g $ g = $ > $ (ii) = $ = > $ > = $ $ > (iii) = = A $ = = A, > > A $ > > A
(iv) 7 ⇒ = $ 7 ⇒ > $ (v) > = A $ > = > A = > A $ = > = A
dir [14].
2.2. Sonuç
ve , ’de iki fuzzy küme olsun. Bu durumda
(i) O * $ (ii) *M $ , h M $ * LM M $ (iii) 7 @ iM ≤ LM
(iv) L > iM = LM = iM , L = iM = LM > iM
dir [14].
9
2.2. Teorem
kümesi üzerindeki herhangi bir fuzzy kümesi A olsun. Bu durumda
(i) > LM = * olmak zorunda değildir.
(ii) = LM $ olmak zorunda değildir [14].
Örnek
$ -E _/ olmak üzere ’ de bir fuzzy kümesi $ -E &]a _ &]j/ olarak
verilsin.
> LM = * ve = LM = midir?
Çözüm
LM =-E &]k _ &]'/olmak üzere
> LM = DJK- ld / olduğundan > LM =-E &]a _ &]'/ ) *
= LM = DEFG- ld / tanımına göre = LM $ -E &]k _ &]j/ ) 2.2. Fuzzy Topolojik Uzay ve Özellikleri
2.9. Tanım
boştan farklı bir küme ve ≤ m fuzzy kümelerinin bir ailesi olsun. Aşağıdaki
şartları sağlayan ailesine üzerinde fuzzy topolojisi, ( ) ikilisine de fuzzy
topolojik uzay denir.
no * . &' . #
n p 9o p q # . ⇒ r R . Rso
n t 9J . R . ⇒ u R . R.v
topolojisinin her bir elemanına ’de fuzzy açık küme, uzayına göre
10
tümleyeni fuzzy açık olan kümeye de fuzzy kapalı küme denir [9].
2.3. Teorem
fuzzy topolojik uzay olmak üzere $ -w . x wSyy3FEEz{ @
w . / şeklinde tanımlı (kapalılar) ailesi
|o * . #
| p 9wo wp q w# . ⇒ u wR . Rso
| t 9J . Y}YZwR . ⇒ r wR . R.v
şartlarını sağlar [9].
2.10. Tanım
fuzzy topolojik uzay ve . olsun.
L
$= - x 7 . / $ GS- x 7 . /
şeklinde tanımlanan fuzzy kümesine fuzzy kümesinin içi denir. Tanımdan
da anlaşıldığı gibi L
fuzzy açık bir kümedir. Üstelik L
, ’ nın kapsadığı en
geniş fuzzy açık kümedir [9].
2.4. Teorem
fuzzy topolojik uzay, . m olsun.’ nın fuzzy açık küme olması için
gerekli ve yeterli koşul $ L
olmasıdır [10].
2.3. Sonuç
fuzzy topolojik uzay ve . m ve fuzzy kümesinin içi olsun. Bu
durumda
(i)
$ *
$ *
11
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
7 $ 7 ⇒ > > $ > sağlanır [14].
2.11. Tanım
fuzzy topolojik uzay, . m olsun.
$> - x 7 . / $ JK- x 7 . /
ile tanımlanan fuzzy kümesine fuzzy kümesinin kapanışı denir. kümesi
tanımdan da anlaşıldığı gibi fuzzy kapalı bir kümedir. Ayrıca , ′ yı
kapsayan en küçük fuzzy kapalı kümesidir [9].
2.5. Teorem
fuzzy topolojik uzay ve . m olsun. ’ nın fuzzy kapalı küme olması
için gerekli ve yeterli koşul $ olmasıdır [10].
2.4. Sonuç
fuzzy topolojik uzay, ve h ‘ in iki fuzzy kümesi ve , ‘ nın
kapanışı olsun. Bu durumda
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
$*
~ $ *
7  = 7 ⇒ 7 ~
12
(v)
~~~~~~~
 = ~
= $ özellikleri vardır [9].
2.6. Teorem
fuzzy topolojik uzay ve . m olsun. Bu durumda
(i)
(ii)
~~~
$ = M dir [15].
2.12. Tanım
fuzzy topolojik uzay ve . m olsun. ‘ yı ihtiva eden bir fuzzy açık
kümesini kapsayan kümesine, fuzzy kümesinin bir komşuluğu denir.
Buna göre
’ nın fuzzy komşuluğu @ € . [‚ ƒ 7 7 [16].
2.13. Tanım
fuzzy topolojik uzay ve , ’in bir fuzzy noktası olsun.fuzzy noktasını
içeren bir fuzzy açık kümesini kapsayan kümesine, ’ nin fuzzy
komşuluğu denir.
. @ € . „ var ƒ 8 7 [16].
2.14. Tanım
fuzzy topolojik uzay, . … ve , fuzzy noktasının komşuluklar
ailesi olsun. Bu durumda aşağıdaki özellikler vardır.
o 9 . ⇒ 8 p 9o p . ⇒ o > p . 13
t Herhangi bir . ve 7 ⇒ . † Her . için ‡ 7 olacak şekilde öyle bir ‡ . vardır ki
ˆ 7 ‡ şartını sağlayan her ˆ fuzzy noktası için . ˆ dur [16].
2.15. Tanım
fuzzy topolojik uzay,
kümesinde fuzzy noktasının
komşuluklar ailesi ve de ’ nin bir alt ailesi olsun. ’ nin her elemanına karşılık 7 olacak biçimde ’ nin en az bir elemanı varsa
ailesine ’ nin fuzzy komşuluklar tabanı (fuzzy yerel tabanı) denir [16].
2.16. Tanım
fuzzy topolojik uzay ve 7 olsun. Her . için = = R olacak
P.‰
şekilde -R /R.Š 7 alt ailesi varsa ’ ya için bir taban denir. Yani,
için taban @ 9 . için € ′ 7 var ƒ $ = ′ [14].
?.β
2.17. Tanım
fuzzy topolojik uzay ve 7 olsun. ’ nin elemanlarının her sonlu
kesişimlerinin oluşturduğu fuzzy kümeler sınıfı için bir taban oluşturuyor ise
ailesine için bir alt taban denir. Yani;
için bir alt taban @ { > Œ+  7 Žsonlu } için taban
‹.θ
şeklindedir [14].
2.18. Tanım
fuzzy topolojik uzay ve için bir taban olsun. ’ in bir fuzzy
noktası için $ -+ 8 . / ailesini göz önüne alalım. 8 olmak
üzere her . için 8 7 olacak şekilde en az bir . varsa ailesine fuzzy noktasının topolojisine göre yerel tabanı (lokal tabanı)
14
denir [14].
2.19. Tanım
ve  herhangi iki küme olsun. ’ den ’ ye birebir ve örten bir fonksiyon
varsa, ve  kümelerine elemanları sayısı bakımından denktir ya da aynı
kardinal sayıya sahiptir denir. Herhangi bir kümesinin kardinal sayısı bu
kümenin kardinalitesiyle belirlenir ve ile gösterilir. Bütün pozitif tam
sayıların ‘ ’ kümesinin kardinal sayısı (aler sıfır) ile gösterilir [15,17].
2.20. Tanım
Bir küme sonlu ya da kardinalitesi (aler sıfır) ise bu kümeye sayılabilir
küme, aksi halde sayılamaz küme denir [17].
2.21. Tanım
fuzzy topolojik uzay ve “ $ -/ ailesi ’ nun bütün tabanlarının ailesi
olsun. Her . “ için kardinal sayılar kümesinin en küçük elemanına
fuzzy topolojik uzayının ağırlığı (weight) denir ve ile gösterilir.
Başka bir deyimle,
$ XYZ- x nun tabanı} [15,17].
2.22. Tanım
fuzzy topolojik uzay, ’in bir fuzzy noktası ve -/ ’nin
komşuluklar tabanlarının bir ailesi olsun. kardinal sayılarının en küçük
elemanına fuzzy noktasının karakteri denir ve ile gösterilir.
Başka bir deyimle,
$ XYZ-+ fuzzy noktasının komşuluklar tabanı } [15,17].
2.23. Tanım
fuzzy topolojik uzayının her fuzzy noktasının sayılabilir bir komşuluklar
15
tabanı varsa bu uzaya birinci sayılabilir fuzzy topolojik uzayı denir [14].
2.24. Tanım
fuzzy topolojik uzayı sayılabilir bir tabana sahipse bu uzaya ikinci
sayılabilir fuzzy topolojik uzayı denir [14].
2.7. Teorem
Her ikinci sayılabilir fuzzy topolojik uzayı, birinci sayılabilir fuzzy topolojik
uzayıdır [14].
İspat
ikinci sayılabilir fuzzy topolojik uzayı olsun. O halde sayılabilir bir
tabana sahiptir. ’nun sayılabilir tabanı olsun. $ -+ 8 . / ailesini
göz önüne alalım ve bu ailenin fuzzy noktasının komşuluklar tabanı
olduğunu gösterelim. İlk olarak 7 ve sayılabilir olduğundan ailesi
sayılabilirdir. Şimdi 8 olacak şekilde . alalım. ’ nun tabanı
olduğundan 8 7 olacak şekilde . vardır.
8 ve . ⇒ . O halde 8 olacak şekilde . için 8 7 olacak şekilde en az bir
. elemanı bulunduğundan , noktasının komşuluklar tabanıdır. Bu
durumda fuzzy topolojik uzayının her noktasının sayılabilir bir
komşuluklar tabanı vardır. Böylece birinci sayılabilir fuzzy topolojik
uzayıdır.
2.25. Tanım
ve herhangi iki küme ve ”+ ,  bir fonksiyon olsun. , ’de bir fuzzy
kümesi ve üyelik fonksiyonu ? ise bu durumda ”Wo ’ de ’ de bir fuzzy
kümesi olup üyelik fonksiyonu, 9 . için
•–— ? $ ? ” 16
şeklinde tanımlanır [9].
2.26. Tanım
ve  herhangi iki küme ve ”+ ,  bir fonksiyon olsun. Eğer ’de bir
fuzzy kümesi ve üyelik fonksiyonu ise ” da  üzerinde bir fuzzy kümesi
olup üyelik fonksiyonu, 93 .  için
• 3 $
™š› - e/”Wo 3 ) *
˜ m.•–— œ
&”
Wo 3
$*
6
şeklinde tanımlanır. Burada ”Wo 3 $ - . x ” $ 3/ ’dir [9].
2.8. Teorem
,  herhangi iki küme, ”+ ,  bir fonksiyon, , ’ de ve , Y’de fuzzy
kümeler olsun. Aşağıdaki özellikler vardır:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
9 . … ⇒ ”M 7 ”M 9 . ž ⇒ ”Wo $ ”Wo 9o p . … için o 7 p ⇒ ”o 7 ”p 9o p . ž için o 7 p ⇒ ”Wo o 7 ”Wo p
9 7 ⇒ 7 ”Wo ”
9 7 ž ⇒ ””Wo 7 ‘ herhangi bir küme ve Ÿ+  , ‘ bir fonksiyon olsun. 9A . için
Ÿ¡”Wo A $ ”Wo ŸWo A’ dir [9].
İspat
1) Eğer ”Wo 3 $ * ise eşitlik söz konusudur.
93 .  için ”Wo 3 ) * olsun.
17
•d 3 $
™š› -' O e/ ⇒ •d 3 $ ' O
m.•–— œ
•N 3 $ ' O •£ 3 $
olduğundan 93 .  için
™š› - e/
YZ¢
- e/
m.•–— œ
m.•–— œ
•N 3 7 •d 3
” 7 ”M olduğu görülür.
elde edilir. Böylece
2) 9 . ž ve 9 . için
•–— ?N $ ?N ” $ ' O ? ” ⇒ •–— ?N $ ' O •–— ? $ ¤•–— ?¥
eşitliğinden 9 . için •–— ?N $ elde edilir.
N
¤•–— ?¥
N
olup ”Wo $ ”Wo 3) 9o p . … için o 7 p olsun. Eğer ”Wo 3 $ * ise eşitsizlik sağlanır.
93 .  için ”Wo 3 ) * olsun.
o 7 p ⇒ — 7 ¦ ⇒
™š› T— eV 7
m.•–— œ
⇒ •— 3 7 •¦ 3 ⇒ ”o 7 ”p ™š› T¦ V
m.•–— œ
eşitsizliğinden 9o p . … için o 7 p ⇒ ”o 7 ”p elde edilir.
4) 9o p . ž için o 7 p olsun. Eğer ”Wo 3 $ * ise eşitsizlik sağlanır.
93 .  için ”Wo 3 ) * olsun. Bu durumda 9 . için ” .  olsun.
o 7 p ⇒ ?— ” 7 ?¦ ” ⇒ •–— ?— 7 •–— ?¦ ⇒ ”Wo o 7 ”Wo p eşitsizliğinden o 7 p ⇒ ”Wo o 7 ”Wo p olduğu görülür.
18
Diğer eşitsizlikler de benzer şekilde gösterilebilir.
2.3. Fuzzy Metrik Uzay ve Fuzzy metrik tarafından Üretilen Topoloji
2.27. Tanım
boştan farklı bir küme, ∗ sürekli t-norm ve , 1 1 %& ∞6 üzerinde
tanımlı bir fuzzy küme olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan ∗ üçlüsüne X
kümesi üzerinde bir fuzzy metrik uzay denir.9 3 y . ve G " § & için;
1) 3 " § &
2) 3 " $ ' @
$3
3) 3 " $ 3 "
4) 3 " ∗ 3 y G 7 y " ¨ G
5) 3 ] + & ∞ , %&'( soldan süreklidir [6].
2.1. Not
1) ∗ fuzzy metrik uzayında. 9 3 . , " § & ve & 8 ! 8 ' için;
3 " § ' O ! olduğunda 3 "
§ ' O ! olacak biçimde & 8 "
8 "
aralığında bir "
bulunabilir.
2) Her bir !o !p !t !† !© . &' için; !o § !p iken !o ∗ !t ª !p olacak biçimde !t
ve her bir !† için !© ∗ !© ª !† olacak biçimde !© bulunabilir [6].
2.1. Önerme
9 3 . için 3 ] + & ∞ , %&'( azalmayandır [6].
2.5. Sonuç
Her metrik uzay fuzzy metrik uzaydır. Ancak tersi doğru değildir.
19
Örnek
metrik uzay olsun. Her E _ . %&'( için E ∗ _ $ E_ olsun. " § &için;
3 " $
"
" ¨ 3
şeklinde tanımlanan ∗ bir fuzzy metrik uzaydır.
2.28. Tanım
∗ bir fuzzy metrik uzay ,
. , " § & ve & 8 ! 8 ' olsun. Bu durumda
! " $ -3 . + 3 " § ' O !/
kümesine
merkezli ve ! yarıçaplı açık yuvar denir [6].
2.9. Teorem
Her açık yuvar açık bir kümedir [6].
İspat
! " açık yuvarını ele alalım. 3 . ! " keyfi bir nokta olsun. ! "’
nin tanımından;
3 . ! " « 3 " § ' O !
3 " § ' O ! « 3 "
§ ' O ! olacak biçimde & 8 "
8 " aralığında
bir "
bulunabilir.
!
$ 3 "
olsun. !
$ 3 "
§ ' O ! olduğundan !
§ ' O G §
' O !
olacak biçimde & 8 G 8 ' aralıgında bir G bulunabilir. Üstelik
!
§ ' O G olacak biçimde verilen !
ve G için !
∗ !o ª ' O Gşartını sağlayan
& 8 !o 8 ' aralığında bir !obulunabilir.
Şimdi 3 ' O !o " O "
açık yuvarını göz önüne alalım. Gösterelim ki
3 ' O !o " O "
0 ! " ’ dir.
20
y . 3 ' O !o " O "
olsun. O halde 3 y " O "
§ ' O ' O !o $ !o ’ dir.
O halde,
y " ª 3 "
∗ 3 y " O "
« y " § !
∗ !o ª ' O G
« y " § ' O !
« y . ! "
olur. Böylece 3 ' O !o " O "
0 ! " dir. 3 . ! " keyfi olduğundan
her 3 . ! " için en az bir 3 ' O !o " O "
açık yuvarı var öyle ki
3 ' O !o " O "
0 ! " olur. Buradan ! " açık bir kümedir.
2.6. Sonuç
∗ bir fuzzy metrik uzay olsun.
τ $ - ¬ + 9 . ‹­‹ ! " 0 ‘Žƒ…ƒ„‹­‹†‡" § Ÿ˜‡! . ŸŹ˜ƒ”†Ç”/
şeklinde tanımlanan τ , üzerinde topolojidir [6].
İspat
"o ) g kümesinin hiçbir elemanı olmadığından g ’ nin elemanlarını merkez
kabul eden açık yuvar boştur. Dolayısıyla g tarafından kapsanır. O halde
g . τ dir. 9 . için ! " 0 olduğundan . τ olur. Böylece
g . τ ’ dir.
"p ) o p q # . τ olsun.
#
#
J ­ R $ g« ­ R . τ
Rso
#
JJ ­ R ) g
Rso
Rso
21
olsun.
#
€ . ­ R
Rso
Var öyle ki 9J $ 'a ] ] ] K için
. R ve R . τ ’ dir. O halde 9J $ 'a ] ] ] K
için !R " 0 R olacak biçimde & 8 !R 8 ' ve " § & vardır.
9J $ 'a q K için ! $ DJK-!R / diyelim.
« 9J $ 'a q K
" § & var
! " 0 !R " 0 R olacak biçimde & 8 ! 8 ' ve
#
#
« ! " 0 ­ R « ­ R . τ
Rso
Rso
"t -R /R.v 0 τ « ® R . τ
olduğunu görelim.
R.v
J ® R $ « ® R . τ
R.v
olduğu açıktır.
R.v
JJ ® R ) g ⇒ € . ® R [‚ ƒ €J
. Y}YZ . R¯ °R¯ . τ
R.v
R.v
dir. O halde €J
. için ! " 0 R¯ olacak biçimde & 8 ! 8 ' ve " § &
vardır.
R¯ 0 ® R
R.v
olduğundan & 8 ! 8 ' ve " § & için
! " 0 R¯ 0 ® R ⇒ ! " 0 ® R
dir. O halde
® R . τ
R.v
dir.
R.v
Böylece τ , üzerinde bir topolojidir.
R.v
22
3. FUZZY QUASİ-METRİK UZAYLAR
Bu bölümde ilk olarak I.Kramosil ve J.Michalek tarafından tanımlanan fuzzy
quasi-metrik uzay ve özellikleri incelenmiştir. Ayrıca KM-fuzzy quasi-metrik
tarafından üretilen topoloji ve özellikleri ele alınmıştır. Son olarak A.George
ve P.Veeramani tarafından tanımlanan fuzzy quasi-metrik uzay ve özellikleri
incelenerek GV-fuzzy quasi-metrik tarafından üretilen topoloji ve özellikleri
ele alınmıştır.
3.1. Kramosil ve Michalek Anlamında Fuzzy Quasi-metrik Uzaylar
3.1. Tanım
∗+ %&'( 1 %&'( , %&'( ikili işlem olsun. Eğer bu ∗ işlemi aşağıdaki şartları
sağlıyor ise, bu durumda ∗ işlemine sürekli t-norm denir. 9E _ ± ²%&'( için;
1)
2)
3)
4)
5)
E∗_ $_∗E
E ∗ _ ∗ ± $ E ∗ _ ∗ ±
∗ işlemi sürekli
E∗'$E
E 7 ±Ž_ 7 JFKE ∗ _ 7 ± ∗ [18].
Örnek
(i)
(ii)
E ∗ _ $ E_
E ∗ _ $ XYZE _  (9E _²%&'(
şeklinde tanımlanan ikili işlemler birer sürekli t-normdur [18].
23
Çözüm
(i) E ∗ _ $ E_ şeklinde tanımlanan ikili işlemin sürekli t-norm olduğunu
gösterelim. 9E _ ± ²%&'( için;
(1) E ∗ _ $ E_ $ _E $ _ ∗ E « E ∗ _ $ _ ∗ E
(2) E ∗ _ ∗ ± $ E_ ∗ ± $ E_± $ E_± $ E ∗ _± $ E ∗ _ ∗ ±
« E ∗ _ ∗ ± $ E ∗ _ ∗ ±
(3) E# , _# , %&'( üzerinde iki dizi ve E# ³ E, _# ³ _ olsun.
E# ³ E ve _# ³ _ « E# _# ³ E_ « E# ∗ _# ³ E ∗ _
«∗ dizisel sürekli
«∗ süreklidir.
(4) E ∗ ' $ E' $ E « E ∗ ' $ E
(5) E 7 ±Ž_ 7 « E_ 7 ± « E ∗ _ 7 ± ∗ O halde ∗ sürekli t-normdur.
(ii) Benzer şekilde E ∗ _ $ XYZE _  (9E _²%&'( ikili işleminin sürekli t-norm
olduğu görülür.
3.2. Tanım
boştan farklı bir küme, ∗ sürekli t-norm ve , 1 1 %& ∞’6 de tanımlı bir
fuzzy küme olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan ∗ üçlüsüne ’ de bir
KM-fuzzy quasi-pseudo-(metrikimsi)-metrik uzay denir.9 3 y . için;
KM1) 3 & $ &
KM2) " $ ', " § &
24
KM3) 3 " ∗ 3 y G 7 y " ¨ G, G " ª &
KM4) 3 ] + %& ∞6 , %&'( soldan süreklidir [11].
3.3. Tanım
Eğer ’ de ∗ KM-fuzzy quasi-pseudo-(metrikimsi)-metrik uzayı
aşağıdaki şartı sağlıyor ise, bu durumda ∗’ a ’ de bir KM-fuzzy quasi-
metrik uzay denir.9 3 . ve " § & için;
$ 3 B 3 " $ 3 " $ ' [11].
KM2’)
3.4. Tanım
Eğer ’ de ∗ KM-fuzzy quasi-pseudo-(metrikimsi)-metrik uzayı
aşağıdaki şartı sağlıyor ise, bu durumda ∗’ a ’ de bir ´o KM-fuzzy
quasi-metrik uzay denir.9 3 . ve " § & için;
$ 3 B 3 " $ ' [11].
KM2’’)
3.5. Tanım
Eğer ’ de ∗ KM-fuzzy quasi-pseudo-(metrikimsi)-metrik uzayı
aşağıdaki şartı sağlıyor ise, bu durumda ∗ ’ a ’ de bir KM-fuzzy
(pseudo-) metrik uzay denir.9 3 . ve 9" § & için;
KM5) 3 " $ 3 " [11].
3.1. Not
Aşağıdaki ifadeler vardır.
1)
2)
3)
Her KM-fuzzy metrik uzay ´o -KM-fuzzy quasi metrik uzaydır.
Her ´o -KM-fuzzy quasi metrik uzay KM-fuzzy quasi-metrik uzaydır.
Her KM-fuzzy quasi-metrik uzay KM-fuzzy quasi-pseudo-metrik
uzaydır.
25
Bu ifadelerin tersleri genelde doğru değildir [11].
3.6. Tanım
boştan farklı bir küme, ∗ sürekli t-norm ve , 1 1 %& ∞’6 de tanımlı bir
fuzzy küme olsun.
Wo 3 " $ 3 "
şeklinde tanımlanan Wo , 1 1 %& ∞6 üzerinde bir fuzzy kümedir [11].
3.1. Önerme
∗ ’ de bir KM-fuzzy quasi-(pseudo) metrik uzay olmak üzere
Wo ∗üçlüsü ’ de bir KM-fuzzy quasi-(pseudo-)metrik uzaydır [11].
3.7. Tanım
boştan farklı bir küme, ∗ sürekli t-norm ve , 1 1 %& ∞’6 de tanımlı bir
fuzzy küme olsun.
R 3 " $ DJK- 3 " Wo 3 "/
şeklinde tanımlanan R , 1 1 %& ∞’6 de bir fuzzy kümedir [11].
3.2.Önerme
∗ ’ de bir KM-fuzzy quasi-metrik uzay olmak üzere R ∗üçlüsü
’ de bir KM-fuzzy quasi-(pseudo-)metrik uzaydır [11].
3.3. Önerme
∗ ’de bir KM-fuzzy quasi-pseudo-metrik uzay olsun. Bu durumda her
bir 3 . için 3 µ azalmayandır [11].
26
İspat
3 . ve & 8 " 8 G olsun. Kabul edelim ki 3 G 8 3 " dır. Bu
durumda
G O " ∗ 3 " 7 3 G 8 3 "
dır.
KM-fuzzy
$ 3 B G O " $ ' dir. Bu
quasi-pseudo-metrik uzay tanımından
durumda
3 " ∗ ' $ 3 " 8 3 "
dir. Bu bir çelişkidir. O halde 3 . ve & 8 " 8 G için 3 " 7 3 G
dir. Yani 3 µ azalmayandır.
Örnek
$ ¶ ve E ∗ _ $ E_ olsun. 9 3 . ve " § & için
3 " $ · ¤
O 3 Wo
¥¸
"
şeklinde tanımlanırsa, bu durumda ∗ bir KM-fuzzy quasi-metrik
uzaydır.
Çözüm
KM1) 9 3 . ve " § & için 3 " § &
KM2’) 3 " $ ' B
B
o
º–»
¹ ¼
$'B
O 3
$ & B O 3 $ & B
"
º–»
¼
$3
$'
KM3) 3 " ∗ 3 y G 7 y " ¨ G olduğunu göstermek için
O y 7 ½
"¨G
"¨G
¾ O 3 ¨ ½
¾ 3 O y
G
"
eşitsizliğini ele alalım. Buradan
27
«
O y O 3 3 O y
7
¨
"¨G
"
G
«
«
W¿
À’Á
7
'
ÁWœ’ÀœW¿
ÀÁ
Wœ œW¿
 À  Á
7
'
W¿
 À’Á
$
«
Wœ œW¿
À  Á
'
'
Wœ œW¿
 À  Á
7
« 3 " ∗ 3 y G 7 y " ¨ G
'
W¿
 À’Á
KM4) 3 ] + %& ∞6 , %&'( soldan sürekli midir? 9"
§ &için
ÂYX– 3 " $ ÂYX–
À³À¯
'
Wœ
À³À¯
 À
ÂYX 3 " $ 3 "
À³À¯ –
$
ÂYX
'
À³À¯ –
Wœ
 À
$
'
Wœ
 À¯
dir. O halde 3 ] + %& ∞6 , %&'( soldan süreklidir. Böylece ∗ bir
KM-fuzzy quasi-metrik uzaydır.
3.2. Not
Yukarıdaki örnekte ¶ yerine herhangi bir metrik uzayı ve t-norm için de
E ∗ _ $ DJKE _ alınabilir. Her fuzzy metrik uzay fuzzy quasi-metrik uzaydır.
Ancak tersi genelde doğru değildir.
3.8. Tanım
∗ ’de bir KM-fuzzy quasi-pseudo-metrik uzayı verilsin. Bu durumda
9 . & 8 ! 8 'Ž" § & olmak üzere;
! " $ -3 . + 3 " § ' O !/
kümesine
merkezli !-yarıçaplı açık yuvar denir [11].
3.9. Tanım
∗ ’de bir KM-fuzzy quasi-pseudo-metrik uzay olsun. Bu durumda
28
τ $ - ¬ + ð‚ . YçYZ ! " ¬ ÄÂ[Å[|\YçYXÆ°" § &°!
. &'[‚Æı‚] /
şeklinde tanımlanan τ ’ ye ’ de bir topoloji denir ve bu topoloji KM-fuzzy
quasi-pseudo-metriğinin ürettiği ´
topolojisidir [11].
3.4. Önerme
∗ ’ de bir KM-fuzzy quasi-pseudo-metrik uzay olsun. Bu durumda her
! " açık yuvarı τ topolojisi için açık bir kümedir [11].
. için 4 ¤ ¥ + K $ a^ q Ç açık yuvarlar ailesi τ ’ ye göre
o o
# #
noktasının yerel tabanıdır.
3.3. Not
1)
2)
[11].
∗ bir ´o KM-fuzzy quasi-metrik uzay ise τ ’de bir ´o topolojidir.
∗ bir KM-fuzzy metrik uzay ise τ ’ de bir Hausdorff topolojidir
3.2. George ve Veeramani Anlamında Fuzzy Quasi-metrik Uzaylar
3.10. Tanım
boştan farklı bir küme, ∗ sürekli t-norm ve , 1 1 & ∞’ de tanımlı bir
fuzzy küme olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan ∗ üçlüsüne ’ de bir
GV-fuzzy quasi-pseudo-(metrikimsi)-metrik uzay denir.9 3 y . ve G " § &
için;
GV1) 3 " § &
GV2) " $ '
GV3) 3 " ∗ 3 y G 7 y " ¨ G
GV4) 3 ] + & ∞ , 6&'( süreklidir [11].
29
3.11. Tanım
Eğer ’de ∗ GV-fuzzy
quasi-pseudo-(metrikimsi)-metrik
uzayı
aşağıdaki şartı sağlıyor ise, bu durumda ∗’ a ’ de bir GV-fuzzy quasi-
metrik uzay denir.9 3 . ve " § & için;
$ 3 B 3 " $ 3 " $ ' [11].
GV2’)
3.12. Tanım
Eğer ’de ∗ GV-fuzzy
quasi-pseudo-(metrikimsi)-metrik
uzayı
aşağıdaki şartı sağlıyor ise, bu durumda ∗’ a ’de bir ´o GV-fuzzy
quasi-metrik uzay denir.9 3 . ve " § & için;
$ 3 B 3 " $ ' [11].
GV2’’)
3.13. Tanım
Eğer ’ de ∗ GV-fuzzy quasi-pseudo-(metrikimsi)-metrik uzayı
aşağıdaki şartı sağlıyor ise, bu durumda ∗ ’ a ’ de bir GV-fuzzy
(pseudo-) metrik uzay denir.9 3 . ve 9" § & için;
GV5) 3 " $ 3 " [11].
3.4. Not
Aşağıdaki ifadeler vardır;
1)
2)
3)
Her GV-fuzzy metrik uzay ´o -GV-fuzzy quasi metrik uzaydır.
Her ´o GV-fuzzy quasi metrik uzay GV-fuzzy quasi-metrik uzaydır.
Her GV-fuzzy quasi-metrik uzay GV-fuzzy quasi-pseudo-metrik
uzaydır.
Bu ifadelerin tersleri genelde doğru değildir [11].
30
Örnek
$ È ve E ∗ _ $ E_ olsun. Her " § & için;
3
3 " $ É3

73
3 7
6
şeklinde tanımlanırsa, bu durumda
uzaydır.
∗ bir GV-fuzzy quasi-metrik
Çözüm
GV1) 9 3 . È ve 9" § & için 3 " § & olduğu açıktır.
GV2) 9 3 . È ve 9" § & için 3 " $ ' B
i)
ii)
7 3 « 3 " $
3 7
ve
olduğunu görelim.
Kabul edelim ki
için
$3
$3
3 " ∗ 3 y G 7 y " ¨ G
7 3 7 y ise 3 " $ œ, 3 y G $
3
7 $ y " ¨ G
3y y
œ
ve y " ¨ G $ ¿ olup
¿
ve y " ¨ G $
¿
ve y " ¨ G $
¿
7 y 7 3 ise 3 " $ , 3 y G $
œ
7 3 ise 3 " $ , 3 y G $
œ
3 " ∗ 3 y G $
iii)
9G " § &
7 3 olsun.
3 " ∗ 3 y G $
ii)
$'B
« 3 " $ œ $ ' B
GV3) 9 3 . È
i)
œ
y7
œ
y
7 $ y " ¨ G
33 y
œ
$ 3 olduğunu görelim.
¿
¿
olup
olup
31
3 " ∗ 3 y G $
Benzer şekilde 3 7
GV4)
y y
7 $ y " ¨ G
33
için de 3 " ∗ 3 y G 7 y " ¨ G dir.
Açıkça görülebilir ki, 9"
§ & için
ÂYX 3 " $ 3 "
À³À¯
dir. Bu sebeple 3 ] + & ∞ , 6&'( süreklidir. Böylece ∗ bir GV-
fuzzy quasi-metrik uzaydır.
3.5. Not
boştan farklı bir küme, ∗ sürekli t-norm ve , 1 1 & ∞’ de tanımlı bir
fuzzy küme olsun.
Wo 3 " $ 3 "
R 3 " $ XYZ- 3 " Wo 3 "/
şeklinde tanımlanan Wo ve R 1 1 & ∞ üzerinde tanımlı birer fuzzy
kümedir. Ayrıca ∗ ’ de bir GV-fuzzy quasi-(pseudo) metrik uzay ise
Wo ∗ ve R ∗ ’ de birer GV-fuzzy quasi-(pseudo) metrik
uzaylardır. O halde GV2’) şartı aşağıdaki şarta denktir;
9 . , " § & için " $ ' ve her
) 3 " § &için R 3 " 8 ' dir [11].
3.6. Not
Her bir ∗ GV-fuzzy quasi-(pseudo) metrik uzay ve 9 3 . için
3 & $ & olarak tanımlandığında ∗, bir KM-fuzzy quasi-pseudometrik uzaydır. Buradan her bir GV-fuzzy quasi-pseudo-metrik uzay bir
τ topolojisi üretir. Bu τ topolojisi KM-fuzzy quasi-metrik uzay konusunda
verilen topoloji ile çakışır [11].
32
Örnek
quasi-metrik uzay olsun. Her E _ . %&'( için E ∗ _ $ E_ işlemi sürekli t-
norm olsun. " § &için;
Ê 3 " $
"
" ¨ 3
şeklinde tanımlanan Ê , 1 1 & ∞ ’ de tanımlı bir fonksiyondur. Bu
durumda Ê ∗ bir GV-fuzzy quasi-metrik uzaydır.
Çözüm
1)
" . & ∞ ve metrik tanımından 3 § & olup Ê 3 " § &
dır.
2)
9 3 . ve " § & için;
Ê 3 " $ ' B
"
$ ' B 3 $ & B
" ¨ 3
$3
dır.
3)
9 3 y . ve G " § & için Ê 3 " ∗ Ê 3 y G 7 Ê y " ¨ G
eşitsizliğinin sağlandığını gösterelim. Metrik tanımına göre y 7 3 ¨
3 y ve
À’Á
y 7 ½
«
«
À
§ '
À’Á
Á
§ ' olduğundan;
"¨G
"¨G
¾ 3 ¨ ½
¾ 3 y
"
G
y 3 3 y
7
¨
"
G
"¨G
y G 3 ¨ "3 y
7
"G
"¨G
«'¨
G 3 ¨ "3 y
y
7'¨
"G
"¨G
33
«
" ¨ G ¨ y G" ¨ G 3 ¨ "3 y
7
"¨G
"G
33 y ª & olduğundan
" ¨ G ¨ y G" ¨ G 3 ¨ "3 y
7
"¨G
"G
G" ¨ G 3 ¨ "3 y ¨ 33 y
"G
"¨G
"G
7
«
G" ¨ G 3 ¨ "3 y ¨ 33 y " ¨ G ¨ y
7
G
"¨G
"
¾½
¾7
«½
" ¨ G ¨ y
" ¨ 3 G ¨ 3 y
⇒
Ê 3 " ∗ Ê 3 y G 7 Ê y " ¨ G
dır.
4)
9 3 . ve "
§ & için;
ÂYX "
"
"
À,À¯
ÂYX Ê 3 " $ ÂYX
$
$
$ Ê 3 "
À,À¯
À,À¯ " ¨ 3
ÂYX " ¨ 3 "
¨ 3
À,À¯
olduğundan Ê 3 ] + & ∞ , 6&'( süreklidir.
Böylece Ê , ’ de bir GV-fuzzy quasi-metrik ve Ê ∗ GV-fuzzy quasi-
metrik uzaydır.
3.7. Not
Yukarıdaki örnekte tanımlanan Ê ∗ GV-fuzzy quasi-metrik uzayı standart
fuzzy quasi-metrik uzay olarak adlandırılır. Ayrıca Ê Wo $ ʖ—
Ê R $ ÊU dir [11].
ve
34
3.14. Tanım
τ topolojik uzayı KM (veya GV)-fuzzy quasi-metrikle uyumludur, eğer üzerinde ∗ KM (veya GV)-fuzzy quasi-metriği var ƒτ $ τ ise[11].
3.8. Not
Yukarıdaki örnekten her quasi-metriklenebilir topolojik uzay uyumlu bir GVfuzzy quasi-metriğine izin verir [11].
35
4. TAM FUZZY QUASİ-METRİK UZAYLAR
Bu bölümde ilk olarak tanımlamış olduğumuz fuzzy quasi-metrik uzaylar ile
quasi-metrik uzaylar arasındaki benzerlikler üzerinde durulacaktır. Ayrıca,
Cauchy dizisi kavramı yakınsak dizi kavramına genelleştirilerek tamlama
kavramı tanımlanacaktır. Fuzzy quasi-metrik uzayların tam olması için her
Cauchy dizisinin yakınsak olması önermesinden yararlanılarak fuzzy quasimetrik uzayların tamlaması verilecektir. Tam fuzzy quasi-metrik uzayların
tamamiyle quasi-metriklenebilir olması tanımlanacaktır. Ayrıca fuzzy quasimetrik uzaylarda izometri kavramı verilerek izometriye göre tamlanabilme
incelenecektir. Son olarak fuzzy quasi-metrik uzayların bi-tamlanabilmesi ve
özellikleri ele alınmıştır. Ayrıca bi-tam fuzzy quasi metrik uzaylarla klasik
anlamdaki quasi-metrik uzayların arasındaki ilişkiler incelenmiştir.
4.1. Tam Fuzzy Quasi-Metrik Uzaylar ve Özellikleri
İlk olarak fuzzy metrik uzaylardaki bir dizinin yakınsak olmasını tanımlayalım.
4.1. Tanım
∗ bir fuzzy metrik uzay, #
dizisi
’ de bir dizi ve
& 8 ! 8 ' sayısına karşılık K ª K
iken az bir K
. È sayısı varsa #
#
#
,
,
,
veya ÂYX#,Ë
+ B
+ B
#
$
#
# "
. olsun. Her
§ ' O ! olacak şekilde en
noktasına yakınsıyor denir ve
ile gösterilir. Bir başka ifadeyle;
9& 8 ! 8 ' için €K
. È var ƒ 9K ª K
« 9& 8 ! 8 ' için €K
. Èvar ƒ 9K ª K
«
#
# "
§'O!
. ! " [19].
4.1. Önerme
∗ fuzzy metrik uzay ve #
’ de bir dizi olsun. #
noktasına yakınsaması için gerek ve yeter şart K , Ì için olmasıdır [6].
dizisinin
#
" , '
36
İspat
«+ Kabul edelim ki
,
#
olsun. Bu durumda & 8 ! 8 ' için en az bir K
. È
sayısı var öyle ki her K ª K
iken
#
. ! " « #
#
. ! "’ dir. Bu durumda
" § ' O ! « ' O #
Böylece K , Ì için #
" , ' olur.
her K ª K
iken ' O #
" 8 ! olur. O halde
Í+ K , Ì için ' O «
#
#
#
Buradan
" , ' ise, & 8 ! 8 ' için en az bir K
. È var öyle ki
" 8 ! « . ! "
#
,
" 8 !
#
" § ' O !
elde edilir.
4.2. Tanım
∗ bir fuzzy quasi-metrik uzay ve È doğal sayılar kümesi olsun. 9K . È
için K $
#
. olmak üzere + È , şeklinde tanımlanan her fonksiyona
fuzzy quasi-metrik uzayında bir dizi denir ve gösterilir [12].
# #.È veya kısaca #
ile
4.2. Önerme
∗ fuzzy quasi-metrik uzayında bir gerek ve yeter şart her " § & için ÂYX# #
,
B 9" § & için ÂYX# # "
#
# "
dizisi
noktasına yakınsar
$ ' dır. Diğer bir deyimle;
$ ' dir [12].
Bundan sonra klasik anlamda quasi-metrik uzay ile ilgili bazı tanım ve
teoremler verilecektir.
4.3. Tanım
) * bir küme ve , 1 , %& ¨Ì6 bir fonksiyon olsun. 9 3 y . için
37
i)
ii)
3 $ 3 $ & @
3 7 y ¨ y 3
$ 3;
şartlarını sağlayan fonksiyonuna ’ de bir quasi-metrik ve ikilisine
quasi-metrik uzay denir [7].
4.1. Not
quasi-metriği üzerinde „Ê ´
topolojisini oluşturur öyle ki Ê Î $
-3 . + 3 8 Î/ olmak üzere -Ê Î+
bu topolojinin tabanıdır [7].
. Î § &/ açık yuvarlar ailesi
4.3. Önerme
quasi-metrik uzayında iki dizi var ƒ 9D K ª K
iken Ï
Ð
ÏÏ
#
Ï
Ð
ve ÏÏ
#
olsun. 9Î § & için €K
. È
O ! 8 Î B ÂYXÐ# gösterim fuzzy quasi-metrik uzaylara genişletilecektir [12]:
Ï
Ð
ÏÏ
#
$ ! dir. Bu
4.4. Tanım
quasi-metrik uzayında #
3Ð dizisi var ƒ ÂYXÐ# 3Ð dizisinin bir ortak dizisidir [12].
dizisine Cauchy dizisi denir, eğer ’ de bir
#
$ & ise. Bu durumda 3Ð dizisi #
Alışılmış olarak, bir quasi-metrik uzaya tamdır denir, eğer her Cauchy dizisi
yakınsak ise.
4.5. Tanım
quasi-metrik uzayın bir tamlaması ∗ ∗ tam quasi-metrik uzaydır,
öyle ki , ∗ ∗ ’ in içine bir quasi-izometrik olarak gömülebiliyorsa, bir
başka deyimle , ∗ ∗ ’ in yoğun bir alt kümesine quasi-izomorfik ise
[12].
38
topolojik uzayı tamamiyle quasi-metriklenebilirdir eğer „ ile uyumlu tam quasi-metriği topoloji oluşturuyorsa, yani, ’ nin oluşturduğu „ topolojisi ile çakışıyorsa.
4.6. Tanım
quasi-metriği aşağıdaki şartı sağlıyor ise, bu durumda quasi-metrik
uzayına dengeli veya B-quasi-metrik uzay denir,
(B) Eğer bir K için
ÂYXÐ# Ï
ÏÏ
#
Ð
ve ÏÏ
Ï Ï
#
Ð
Ï
’ de iki dizi ve
#
7 ! Ï ve
Ï
ÏÏ
. ise, bu durumda her
bir D için her
ÏÏ $ & olup, buradan Ï ÏÏ
ÏÏ
7 ! Ï ¨ ! ÏÏ dır [12].
Ð
7 ! ÏÏ ve
(B) şartını sağlayan her quasi-metriğine dengeli veya B-quasi-metrik denir.
B-quasi-metriklerin sınıfı B ile gösterilir.
B-quasi-metrik tarafından üretilen topoloji Tychonoff ‘ tur.
4.7. Tanım
quasi-metrik uzayında her ortak dizisi denktir denir ve ÏÏ
Ï
Ð
#
ve Ñ
[7] ‘ de gösterildiği gibi Ï
ise [12].
ÏÏ
ÏÏ
#
Ð ’
Ð
#
Ï
ve ÏÏ
Ð
iki Cauchy dizisi olsun. nin her ortak dizisi Ï
#
Ï
# ’
nin
ise, bu iki dizi
ile gösterilir. Ayrıca ‘Ñ’ denklik bağıntısıdır ve
Ñ
ÏÏ
Ð
B
Ï
#
ve ÏÏ
Ð
bir ortak diziye sahip
4.2. Not (B-quasi-metrik uzayların D-tamlaması)
Yukarıdaki ‘Ñ’ ile tanımlanan eşdeğerlik bağıntısı ile B-quasi-metrik
uzayındaki Cauchy dizilerinin bütün eşdeğerlik sınıflarının ailesi ∗ ile
gösterilir.
Ò Ï Ò ÏÏ . ∗ , Ò Ï sınıfının ortak dizisi 3 Ï Ð ve Ò ÏÏ sınıfının bir Cauchy dizisi
ÏÏ
#
olsun. Bu durumda
∗ Ò Ï Ò ÏÏ $ ÂYXÐ# 3 Ï Ð ÏÏ
#
39
alalım. [7]’ de bu tanımın iyi tanımlı olduğu gösterilmiştir. Ayrıca ∗ ∗ bir
tam
B-quasi-metrik
uzaydır.
Üstelik
5 $ -
# + #
, /
şeklinde
tanımlanan 5+ ³ ∗ ∗ fonksiyonu bir quasi-metrik dahil etmedir, ve
∗ ∗ , ’ nin bir tamlamasıdır. ∗ ∗ , ’ nin D-tamlaması olarak
adlandırılır [12].
4.8. Tanım
∗ fuzzy quasi-metrik uzayında #
3Ð dizisi var ƒ9" § & için ÂYXÐ# 3Ð #
dizisine Cauchy dizisi denir, eğer
# "
$ ' ise [11].
Cauchy dizisi olmak üzere yukarıdaki şartı sağlayan herhangi bir 3Ð dizisine, # ’
nin ortak dizisi denir.
4.9. Tanım
∗ fuzzy quasi-metrik uzayına tamdır denir, eğer ’ deki her Cauchy
dizisi ’ ye göre yakınsak ise [12].
4.4. Önerme
∗ fuzzy quasi-metrik uzay olsun. Buna göre;
i)
Her yakınsak dizi bir Cauchy dizisi;
ii)
Bir Cauchy dizisinin her alt dizisi bir Cauchy dizisidir [12].
4.10. Tanım
∗ fuzzy metrik uzayında #
dizisine Cauchy dizisi denir, eğer verilen
her & 8 Î 8 ' ve " § & için €F . È ƒ 9D K ª F iken [12].
# Ð "
§ ' O Î ise
4.5. Önerme
Eğer ∗ fuzzy metrik uzay ise, bu durumda Tanım 4.8. ve Tanım 4.10.
eşdeğerdir [12].
40
4.6. Önerme
quasi-metrik uzay ve’ nin oluşturduğu Ê fuzzy quasi-metrik olsun.
Bu durumda # ,
’ de bir Cauchy dizisidir gerek ve yeter şart Ê ∗’ de bir cauchy dizisi ise.
# ,
Bu önermenin bir sonucu aşağıdaki gibidir. [12].
4.1. Sonuç
quasi-metrik uzay olsun. quasi-metrik uzayı tamdır @ Ê ∗
fuzzy quasi-metrik uzayı tam ise. [12].
4.7. Önerme
∗ fuzzy quasi-metrik uzayında
‡# $ 4 3 . 1 + ¤ 3 #¥ § ' O #Ç , n=2,3,… olmak üzere
o
o
-‡# + K $ a^ q / ailesi üzerinde ile uyumlu ‡ quasi-düzgünlük için bir
tabandır [11].
4.1. Teorem
∗ tam fuzzy quasi-metrik uzay olsun. Bu durumda tamamiyle
quasi-metriklenebilirdir [12].
İspat
‡# $ 4 3 . 1 + ¤ 3 #¥ § ' O #Ç şeklinde tanımlı -‡# + K . È/ ailesinin
o
o
ürettiği ‡ quasi-düzgünlük ile quasi-metriğin quasi-düzgünlüğünün
çakıştığını göz önüne alalım. quasi-metriğinin tam olduğunu gösterelim.
Gerçekten;
# ,
’ de bir Cauchy dizisi ve 3Ð , # ’nin
bir ortak dizisi olsun.
41
" § & , & 8 ! 8 ' alalım ve
ÂYXÐ# 3Ð #
o
Ó
7 DJK-! "/ şeklinde F . È seçelim. Kabulden
$ & dır. Böylece her D K ª K
için 3Ð şekilde K
. È vardır. Sonuç olarak her bir D K ª K
için
3Ð # "
ª ½3Ð #
dir. O halde her " § & için ÂYXÐ# 3Ð #
. ‡Ó olacak
'
'
¾§'O §'O!
F
F
# "
$ ' dir. Böylece # ,
∗
tam fuzzy quasi-metrik uzayında bir cauchy dizisi olup yakınsaktır. Bu
durumda , ’ de tam quasi-metriktir.
4.2.Sonuç
Bir topolojik uzay tamamiyle quasi-metriklenebilirdir B bu uzay tam fuzzy
quasi-metriği ile uyumlu ise [12].
İspat
tamamiyle quasi-metriklenebilir topolojik uzay olduğunu kabul edelim.
, ’ de ile uyumlu bir tam quasi-metrik olsun. Sonuç 4.1. gereğince tarafından üretilen Ê fuzzy quasi-metriği tamdır ve ile uyumludur.
Bunun tersi Teorem 4.1. den elde edilir.
4.11. Tanım
∗ ve  Ôfuzzy quasi-metrik uzaylar olsun. Bu durumda
a)
Eğer her bir 3 . ve 9" § & için 3 " $ 3 " ise, b)
Eğer ’ den  ’ nin üzerine bir quasi-izometri var ise, ∗ ve
fonksiyonu ’ den ’ ye bir quasi-izometri denir.
 Ô quasi-izometrik denir [12].
ve fuzzy metrik olduğunda ’ ye izometri, ve ’ ye izometrik denir.
42
anlamındaki her quasi-izometri birebirdir. Üstelik 3Ð , # ’
Klasik metrik konusunda birkaç noktaya değinelim. Tanım 4.11. (a)
dizisi olmak üzere # ’
# ,
nin bir ortak
’ de bir Cauchy dizisi ise, bu durumda 3Ð ,
nin ortak dizisi olacak şekilde # de ’ de bir Cauchy dizisidir.
4.12. Tanım
∗ bir fuzzy quasi-metrik uzay olsun. ∗’ ın bir fuzzy quasi-metrik
tamlaması  Ô tam fuzzy quasi-metrik uzaydır öyle ki ∗ ,  ’ nin
yoğun bir alt uzayına quasi-izometriktir [12].
4.13. Tanım
Bir ∗ fuzzy quasi-metrik uzayına tamlanabilir denir, eğer fuzzy quasi
metrik tamlamasına izin verirse [12].
Benzer şekilde, tanım 4.10. kullanılarak, fuzzy metrik uzayın bir fuzzy metrik
tamlaması ve tamlanabilir fuzzy metrik uzay tanımlanabilir. Aşağıda verilecek
olan sonuçlar, bu kavramlarla ilişkilidir:
4.2. Teorem
∗ fuzzy metrik uzayı tamlanabilirdir gerek ve yeter şart her E# ve
_# Cauchy dizileri aşağıdaki şartları sağlıyor ise:
(C1) & Ì’ da tanımlı ve 6&'( de değer alan " , ÂYX# E# _# " fonksiyonu
süreklidir.
(C2) Eğer €G § & için
ÂYX# E# _# G $ ' ise, bu durumda 9 " § & için
ÂYX# E# _# " $ ' dir [12].
4.3. Not (Fuzzy Metrik Tamlaması)
Õ Ô,
[19]’ da verildiği gibi ∗ fuzzy metrik uzayının bir tamlaması teorem 4.2. koşulları altında aşağıdaki gibi inşa edilebilir.
43
E# ve _# ’ deki iki Cauchy dizisi olmak üzere bunlar eşdeğerdir denir ve
E# Ö_# ile gösterilir, eğer 9 " § & için ÂYX# E# _# " $ ' ise. ‘ Ö ’
eşdeğerlik bağıntısı ile ∗ ’ daki Cauchy dizilerinin bütün eşdeğerlik
sınıflarının ailesini × ile gösterilir. E# . EØ ve _# . _× olmak üzere
EØ _× " $ ÂYX# E# _# " ile tanımlı +× 1 × 1 & ¨Ì ³ 6&'(
fuzzy
kümesi, × üzerinde tam fuzzy metriktir. Üstelik gösterilebilir ki , ×’ nın yoğun
bir alt kümesidir [12].
Şimdi fuzzy quasi-metrik uzaylarda dengeli fuzzy quasi-metrik tanımını ve bu
kavramla ilgili dengeli quasi-metrikte olan birçok kavramın dengeli fuzzy
quasi-metrik uzayda nasıl olduğu verilecektir.
4.14. Tanım
∗ bir fuzzy quasi-metrik uzay olsun. fuzzy quasi-metriğine dengeli
veya BF-quasi-metrik denir, eğer aşağıdaki şart sağlanır ise:
BF) Eğer Ï
#
ve ÏÏ
Ð ,
∗’ da iki dizi ve
durumda her bir n için Ï Ï
! ÏÏ ve her " § & için ÂYXÐ# "p ª ! Ï ∗ ! ÏÏ dır [12].
# "o ÏÏ
Ð
Ï
ÏÏ
. , "o "p § & ise, bu
ª ! Ï ve her bir m için Ï
# "
ÏÏ
ÏÏ
$ ' olup, buradan Ï Ð "p ÏÏ
ª
"o ¨
4.4. Not
Dengeli fuzzy quasi-metriklerle beraber fuzzy quasi-metrik uzaylara dengeli
fuzzy quasi-metrik uzaylar veya BF-quasi-metrik uzaylar denir. Bunların sınıfı
BF ile gösterilir [12].
4.8. Önerme
quasi-metrik uzay ve metriğinin oluşturduğu fuzzy quasi-metrik Ê
olsun. Bu durumda
bir B-quasi metriktirB Ê bir BF-quasi-metrik ise [12].
44
İspat
bir B-quasi metrik,
Ê Ï Ê ÏÏ
Ï Ï
Ï
# "o ÏÏ
ª !Ï
Ð "p ÂYXÐ# Ê ÏÏ
Ð
Ï
ÏÏ
. , "o "p § & olsun. Kabul edelim ki her bir n için
şartını
sağlayan
ª ! ÏÏ şartını sağlayan Ï
# "
$ '. Bu durumda
Ï
#
ÏÏ
Ð
dizisi,
her
bir
m
için
dizisi ve her " § & için
'
'
$ "o ½
O '¾ 7 "o ½ Ï O '¾
Ï
Ï
Ê # "o !
#
ve benzer şekilde
ÏÏ
ÏÏ Ð
'
7 "p ½ ÏÏ O '¾
!
dir. Şimdi " § & için
ÂYXÐ# Ê ÏÏ
Ð
Ï
# "
$ ÂYXÐ#
À
À’Ê ÙÙ Ú Ù Û dir. bir B-quasi metrik olduğundan
Ï ÏÏ 7 "o ¤ Ù O '¥ ¨ "p ¤
o
o
Ü ÙÙ
Ü
$ ' ⇒ ÂYXÐ# ÏÏ
Ð
Ï
#
$&
O '¥
dir. Şimdi kolay bir hesaplama ile,
Ê Ï ª
ÏÏ
"o ¨ "p $
"o ¨ "p
"o ¨ "p ¨ Ï ÏÏ "o ¨ "p
ª ! Ï ! ÏÏ ]
'
'
"o ¨ "p ¨ "o ¤ Ï O '¥ ¨ "p ¤ ÏÏ O '¥
!
!
gösterilebilir. Böylece Ê bir BF-quasi-metriktir.
Tersine olarak kabul edelim ki Ê bir BF-quasi-metrik ve her bir n için
Ï Ï
#
7 ! Ï , her bir m için olsun. G § & sabit olsun.
ÏÏ
ÏÏ
Ð
7 ! ÏÏ ve ÂYXÐ# ÏÏ
Ð
Ï
#
$&
45
Ê Ï Ï
# G
$
G
G ¨ Ï Ï
#
ª
G
G ¨ !Ï
ve benzer şekilde
Ê ÏÏ
Ð
ÏÏ
G ª
G
G ¨ ! ÏÏ
dir. Ayrıca her " § & için
ÂYX Ê ÏÏ
Ð#
Ð
Ï
# "
$ ÂYX
Ð# "
"
¨ ÏÏ
Ð
Ï
#
$ '
dir. Bu durumda Ê bir BF-quasi-metrik olduğundan, kolay hesaplama ile
Ï ÏÏ $ aG ½
Ê '
Ï
ÏÏ aG
'
Ï
ÏÏ
O '¾ 7 aG Ý G
G O 'ß 7 ! ¨ !
G ¨ ! Ï Þ G ¨ ! ÏÏ
dir. Böylece bir B-quasi metriktir.
4.9. Önerme
Her fuzzy metrik dengelidir [12].
İspat
∗ bir fuzzy metrik uzay,
her bir n için Ï Ï
# "o " § & için ÂYXÐ# ÏÏ
ª ! Ï ∗ ∗ ! ÏÏ
Ï ÏÏ
Ð
Ï
#
ÏÏ
Ð à
ÏÏ
. , "o "p § & olsun ve kabul edelim ki
ª ! Ï , her bir m için # "
"o ¨ "p ¨ à ª Ï Ï
Ï
Ï
ÏÏ
Ð
ÏÏ
$ ' . Şimdi keyfi bir à § & için
# "o ∗ Ï
#
ÏÏ
Ð à
∗ dir. Bu durumda
Ï ÏÏ
"p ª ! ÏÏ ve her
"o ¨ "p ¨ à ª ! Ï ∗ ! ÏÏ ∗ ÂYX Ð#
Ï
#
ÏÏ
Ð à
$ ! Ï ∗ ! ÏÏ
ÏÏ
Ð
ÏÏ
"p 46
Ve süreklilik aksiyomu ve à keyfi olduğundan Ï ÏÏ
dır.
"o ¨ "p ¨ ª ! Ï ∗ ! ÏÏ
Yukarıdaki önermeden bütün fuzzy metrik uzayların sınıfı, BF sınıfının bir alt
sınıfıdır. Diğer taraftan Önerme 4.8. ile [11] ve [20] den BF sınıfına ait olan
fuzzy-metriklenemeyen fuzzy quasi-metrik uzaylar vardır.
4.10. Önerme
"
§ & alalım. bir BF-quasi-metrik için aşağıdakiler vardır;
1)
Eğer her " § & için ÂYX# 2)
Eğer her " § & için ÂYX# 3)
Eğer her " § & için ÂYX# ise, bu durumda 3 "
ª !; (i)
ise, bu durumda 3 "
ª !; (ii)
durumda
4)
# 3 "
ª!
" $ ' ve 9K . È için # 3 "
ª!
# "
# "
$ ' ise, bu
# 3 "
$ ' ise, bu
$ ' ve ÂYX# 3
Eğer her " § & için ÂYX# #
" $ ' ve ÂYX# Eğer her " § & için ÂYX# #
" $ ' ve ÂYXÐ 3 3Ð "
$ ' ve her
durumda
5)
$ 3; (iii)
#
$ ' ve 9K . È için # "
$ 3; (iV)
D K . È için # 3Ð "
ª & ise, bu durumda 3 "
ª ! dir (V) [12].
Önerme 4.2 ve (iii)’ den aşağıdaki sonucu vereceğiz.
4.3. Sonuç
Her BF-quasi-metrik ´p -fuzzy quasi-metriktir [12].
47
4.11. Önerme
BF-quasi-metrik olmak üzere eğer 9" § & için ÂYX# 9" § &
ÂYXÐ# için
ÂYXÐ 3 3Ð " $ '
# 3Ð "
ise,
$ 3 " dir (Vi) [12].
bu
durumda
# "
$ ' ve
9" § &
için
İspat
" § & ve & 8 Î 8 3 " alalım. Î Ï . %&'6 var ƒ 3 " O Î 8 3 " ∗
Î Ï ve Îo . &' seçelim ƒÎo ∗ Îo ∗ Îo § Î Ï .
Süreklilik aksiyomundan à 8 p pozitif sayısı bulunabilir ƒ 3 " O aà §
3 " ∗ Îo
À
dır.
Şimdi,
# 3Ð "
ª #
à ∗ 3 " O aà ∗
3 3Ð à eşitsizliğinden € Ï . È var ƒ 9D K § Ï için 3 " ∗ Îo ∗ Îo § 3 " ∗ Î Ï § 3 " O Î
eğer
ve 3Ðâ sırasıyla #á her bir k ve s için #
#á 3Ðâ "
dır.
# 3Ð "
Diğer
ª Îo ∗
taraftan
ve 3Ð dizilerinin alt dizileri olmak üzere
ª 3 " ¨ Î olsun. Bu durumda (V)’ den
3 " ª 3 " ¨ Î elde edilir. Bu bir çelişkidir. O halde € ÏÏ . È var ƒ
9D K § ÏÏ
ÂYXÐ# için
# 3Ð "
# 3Ð "
$ 3 " dır.
8 3 " ¨ Î
dır.
Sonuç
olarak
(Vi)’ dan aşağıdaki sonuç elde edilir.
4.4. Sonuç
Herhangi BF-quasi-metrik olmak üzere;
1)
2)
Eğer 9" § & için ÂYX# 3 . , " § & için ÂYX# #
#
Eğer 9" § & için ÂYX# 3 . , " § & için ÂYX# 3
" $ ' ise, bu durumda herhangi bir
" $ 3 " dir (Vii).
# "
# "
$ ' ise, bu durumda herhangi bir
$ 3 " dir (Viii) [12].
4.12. Önerme
Her BF-quasi-metriklenebilir topolojik uzay tamamiyle düzenlidir [12].
48
İspat
∗ BF-quasi-metrik uzayında kapalı bir alt küme olsun ve
ã
alalım. " § & için " $ GS- E "+ E . / dır. İddia edilir ki €" § &
için " 8 ' dir. Gerçekten, ! . &' ve G § & için ! G açık
yuvarını göz önüne alalım. Eğer 9" § & için " $ ' ise, bu durumda
€E . için E G § ' O ! dir. Yani E . ! G ve
çelişkidir.
. dır. Bu bir
(Viii)’ den À 3 $ 3 " şeklinde tanımlanan À + , %&'( fonksiyonu
süreklidir.
Şimdi
3 $ DE -À 3 F/
"§&
alalım
şeklinde
öyle
ki
tanımlanan
" $ F 8 '
+ , %F '(
ve
fonksiyonu
tanımlansın. Açıkça süreklidir, $ F ve $ ' dir. Şimdi de ”y $
¿Wo
ÓWo
şeklinde tanımlanan ”+%F '( , %&'( sürekli fonksiyonunu göz önüne
alalım. %&'( ’ de değer alan ve ä $ ' ve ä $ & şeklinde tanımlanan
ä $ ” å bileşke fonksiyonu ’ de süreklidir.
Şimdi ∗ üzerinde bir eşdeğerlik bağıntısı aşağıdaki gibi tanımlanır.
4.15. Tanım
∗ BF-quasi-metrik uzayında denir ve ÏÏ
Ï
Ð ’
#
#
æ
Ð
B
Ï
ÏÏ
ÏÏ
#
ve Ð
ile gösterilir, eğer #
ve nin her ortak dizisi æ
Ï
Ï
Ï
#
ÏÏ
Ï
# ’
ÏÏ
Ð
Cauchy dizileri denktir
nin her ortak dizisi ise. Başka bir ifade ile;
Ð
ÏÏ
Ð
ve
bir ortak diziye sahipseler [12].
4.13. Önerme
Her Cauchy dizisi kendisinin herhangi bir alt dizisine denktir [12].
4.14. Önerme
BF-quasi-metrik ve #
³
olsun. Bu durumda 3Ð , dizisidir B 9" § & için ÂYXÐ 3Ð " $ ' dir [12].
# ’
nin ortak
49
İspat
3Ð , #
için3Ð için bir ortak dizi olsun. 9Î . &' ve " § & için € var ƒD K § # "
§ ' O Î dır. 8 D sabit olsun. 9" § & için ÂYX# ' olduğundan, (i)’ den D K § için 3Ð " ª ' O Îdır.
Tersine, 3Ð # "
ª ¤3Ð ¥ ∗ ¤ ÂYXÐ 3Ð " $ ' elde edilir.
À
p
À
# p¥
# "
$
eşitsizliğinden 9" § & için
Yukarıdaki önerme ve (ii)’ den aşağıdaki önermeyi elde ederiz.
4.15. Önerme
bir BF-quasi-metrik olsun. Eğer Ï
#
,
ise, bu durumda
ÏÏ
Ð
,
Ï
#
ve dır [12].
ÏÏ
Ð
eşdeğer Cauchy diziler ve
Tanım 4.15 ve Önerme 4.15’ den aşağıdaki önerme elde edilir.
4.16. Önerme
. noktasına yakınsayan bütün Cauchy dizilerinin ailesi Cauchy dizilerinin
eşdeğerlik sınıfını oluşturur [12].
Tamlaması olmayan fuzzy metrik uzaylar olduğundan, yapılacak tamlama
bazı BF-quasi-metrik uzaylarla sınırlandırılacaktır.
4.16. Tanım
∗ BF-quasi-metrik uzayına iyi (nice) denir, eğer #
herhangi bir
Cauchy dizisi ve 3Ð herhangi bir ortak dizi (bazı Cauchy dizileri için) olmak
üzere aşağıdaki şartlar sağlanırsa;
N1) & Ì ’ da tanımlı ve 6&'( de değer alan " , ÂYXÐ# 3Ð fonksiyonu süreklidir.
# "
50
N2) Eğer €G § & için
ÂYXÐ# 3Ð # "
ÂYXÐ# 3Ð # G
$ ' dir (yani 3Ð #
$ ' ise, bu durumda 9 " § & için
için bir ortak dizidir) [12].
Verilen bir ∗ iyi uzayındaki Cauchy dizilerinin bütün eşdeğerlik
sınıflarının ailesini × ile gösterelim. Aşağıdaki verilecek olan tanım ile ×
Õ fuzzy quasi-metrik olduğunu göstereceğiz.
üzerindeki 4.17. Tanım
Kabul edelim ki ∗ bir iyi uzaydır. Ò Ï Ò ÏÏ . × , Ò Ï sınıfının ortak dizisi
3 Ï Ð ve Ò ÏÏ sınıfının Cauchy dizisi ÂYXÐ# 3 Ï Ð ÏÏ
uzaydır [12].
# "
ÏÏ
#
Õ Ò Ï Ò ÏÏ " $
olsun. " § & için Õ iyi tanımlıdır ve Õ
Õ ∗ fuzzy quasi-metrik
alalım. Yukarıdaki gösterimler altında aşağıdaki önermeyi elde edebiliriz.
4.17. Önerme
∗ iyi uzay olsun.
9 . için 5 $ -
# + #
, / (ix)
Õ
Õ ∗’ a bir quasişeklinde tanımlanan 5+ , × fonksiyonu ∗’ dan izometridir [12].
4.18. Önerme
∗ iyi uzay olsun. Herhangi bir Ò . × ve 9" § & için
1)
2)
#
Õ Ò 5
.ÒB # "
$ ' ise.
Õ 53Ð Ò " $ ' ise [12].
3Ð , Ò sınıfının ortak dizisidir B ÂYXÐ 4.5. Not
Yukarıdaki önermeden 5, ×’ da yoğundur [12].
51
4.19. Önerme
Õ dengelidir [12]
Eğer ∗ iyi ise, bu durumda İspat
Ò Ï Ò ÏÏ . × , "o "p § & ve Ò Ï # ve Ò ÏÏ Ð , × ’ da iki dizi olsun öyle ki K . È için
Õ Ò Ï Ò Ï "o ª !o ,
#
D.È
Õ Ò ÏÏ Ò Ï " $ ' olsun.
Ð
#
Õ Ò ÏÏ Ò ÏÏ "p ª !p
Ð
için
Kabul edelim ki K . È için T
#+ 9" § &
ve
için
. ÈV , Ò Ï # sınıfının bir Cauchy dizisi ve
D . È için T3Ð + ˆ . ÈV, Ò ÏÏ Ð sınıfının bir ortak dizisidir. à § & alalım. Önerme
ç
4.18’ deki 1)’ den herhangi bir K doğal sayısı için
Õ Ò Ï 5
#
# à
§ ' O dir.
#
o
#
Û
$
#
var öyle ki
Benzer şekilde Önerme 4.18’ deki 2)’ den herhangi bir D . &' için
Õ 53Ð Ò ÏÏ à § ' O o dir.
3çÐÚ $ 3Ð bulunabilir öyle ki Ð
Bu durumda, " § & için
3Ð # "
#
Õ 53Ð 5
$
# "
Õ 53Ð Ò ÏÏ à ∗ Õ Ò ÏÏ Ò Ï " O aà ∗ Õ Ò Ï 5
ª
Ð
Ð
#
#
# à
dır. Sonuç olarak
9" § & için ÂYXÐ# 3Ð # "
$ ' dir (x).
Ò Ï sınıfının 3ÓÏ ortak sabit dizisi ve Ò ÏÏ sınıfının
için
3ÓÏ # "o
Õ 53ÓÏ 5
¨ aà $ # "o
¨ aà
Õ 53ÓÏ Ò Ï à ∗ Õ Ò Ï Ò Ï "o ∗ Õ Ò Ï 5
ª
#
#
ÏÏ
Á
# à
Cauchy dizisi olsun. "o § &
52
'
Õ 53ÓÏ Ò Ï à ∗ !o ∗ ½' O ¾
ª
K
dir.
Î . &' alalım ve Î Ï . %&'6 seçelim öyle ki Î Ï ∗ Î Ï § Î dır.
Önerme 4.18’ deki 2)’ den
Õ 53ÓÏ Ò Ï " $ ' olduğundan € oÏ
9" § & için ÂYXÓ 3ÓÏ # "o
¨ aà § !o ∗ Î Ï dir.
var ƒ F K § oÏ için
Süreklilik aksiyomu ve δ keyfi olduğundan €o var ƒ
F K § o için 3ÓÏ # "o § !o ∗ Î Ï (xi)
dır. Benzer şekilde €p var ƒ
D G § p için 3Ð ÏÏ
Á "p § !p ∗ Î Ï (xii)
dır. Bu durumda fuzzy quasi-metriğinin sağladığı özellikler BF) şartı ile (x)(xii) şartları birlikte göz önüne alındığında F G § $ DE -o p / için
3ÓÏ ÏÏ
Á "o
¨ "p ª !o ∗ Î Ï ∗ !p ∗ Î Ï ª !o ∗ !p ∗ Î Ï elde edilir. O halde
Õ Ò Ï Ò ÏÏ "o ¨ "p ª !o ∗ !p dir.
4.5. Sonuç
Õ (i) ile (Viii) arasındaki özelliklere sahiptir [12].
4.3. Teorem
Õ
Õ ∗ fuzzy quasi-metrik uzayı tamdır
∗ iyi uzay olsun. Bu durumda [12].
İspat
Õ
Õ ∗ BF-quasi-metrik uzayında Ò# Cauchy dizisi ve Ò# ’ nin ortak dizisi
éÐ olsun. Her bir K için -
#
R +J
. È/, ∗’ da Ò# sınıfına ait bir dizi ve
53
her bir D için T3êÐ + ë . ÈV, éÐ sınıfının ortak dizisi olsun. Önerme 4.17’ deki
1)’ den
Õ Ò# 5
9K . È için €J# var ƒ J ª J# için #
R "
§ ' O # dir. Benzer şekilde
o
Õ 53êÐ éÐ " § ' O
9D . È için €ëÐ var ƒ ë ª ëÐ için #
$
#
RÛ
o
Ð
dir.
ve 3Ð $ 3êÐÚ alalım. Kolayca gösterilebilir ki, ∗ uzayında bir Cauchy dizisi ve # ’
nin ortak dizisi 3Ð ’ dir. Ò, # ’
#
Õ
Õ ∗’ da Ò# , Ò dir. O halde ilk olarak " § & ve
sınıfı olsun. Gösterelim ki J ª J# için
Õ 53Ð 5
$
#
R "
3Ð #
R "
§ ½' O
"
'
'
Õ ½éÐ Ò# ¾ ∗ ' O
¾∗
^
K
D
"
"
Õ ½53Ð éÐ ¾ ∗ Õ ½éÐ Ò# ¾ ∗ Õ ½Ò# 5
ª
^
^
#
R e ait bir eşdeğerlik
"
¾
^
dir. Şimdi kolayca görülebilir ki 9" § & için 3Ð #
R "
$ ' dir. Sonuç olarak
Õ Ò Ò# " $ ' dir. Yani Ò# , Ò ve Õ
Õ ∗ tamdır.
9" § & için ÂYX# Õ
Õ ∗ ∗’ nin tamlamasıdır.
Önerme 4.17 ve Önerme 4.18’ den Õ
Õ ∗ tamlaması ∗ iyi uzayının Doitchinov
Yukarıda inşa edilen fuzzy tamlaması veya DF-tamlaması olarak adlandırılır.
4.20. Önerme
Eğer ∗ BF-quasi-metrik uzayı tam ise, bu durumda bunun tamlaması
ile DF-tamlaması (bir quasi-izometriye göre) çakışır [12].
54
4.21. Önerme
Õ
Õ ∗ DFEğer ∗ iyi fuzzy metrik uzay ise, bu durumda bunun tamlaması, [19]’ de inşa edilen ∗’ ın fuzzy metrik tamlaması ile çakışır
[12].
İspat
İlk olarak işaret edelim ki Teorem 4.2’ nin C1) ve C2) şartları sağlanır. Fuzzy
metrik uzayında her Cauchy dizisi kendisinin bir ortak dizisidir ve bunun tersi
de doğrudur.
Önerme 4.5’ e göre ∗ fuzzy metrik uzayında anlamında #
#
George ve
Veeramani anlamında Cauchy dizisidir gerek ve yeter şart Tanım 4.8
Cauchy dizisidir. Üstelik kolayca gösterilebilir ki Tanım 4.15’
de tanımlanan ‘æ’ eşdeğerlik bağıntısı tamamiyle Not 4.3’ de tanımlanan Ö
eşdeğerlik sınıflarının aileleri çakışır ve bunlar × ile gösterilir.
eşdeğerlik bağıntısıdır. Sonuç olarak bu iki anlamda Cauchy dizilerin
Son olarak Not 4.3’ de tanımlanan fuzzy metrik ile Tanım 4.17’ de verilen
Õ fuzzy quasi-metriği çakışır öyle
∗’ ın DF-tamlamasında tanımlanan ki fuzzy metrik uzayda her Cauchy dizisi kendisinin ortak dizisidir ve tersi de
doğrudur.
4.22. Önerme
∗ ve  Ô iki BF-quasi-metrik uzaylar olsun. Eğer ∗ iyi ve
Õ
Õ ∗ 0  Ô dır.
 Ô tam ve ∗ 0  Ô ise, bu durumda Õ
Õ ∗, ∗’ nin DF-tamlamasıdır ve kapsamalar quasi-metrik
Burada dahil etmesidir, ikincisi bir öncekinin genişlemesidir. Özellikle ∗ ’ ın
Õ
Õ ∗ 0 Ï Ï Ô dır [12].
herhangi bir Ï Ï Ô DF-tamlaması için 55
4.6. Sonuç
Eğer ∗ ve  Ô nice fuzzy quasi-metrik uzaylar ve ∗ 0
Õ
Õ ∗ 0 × ÕÔ’ dır
 Ô ise, bu durumda bunların DF-tamlamaları için (Her iki kapsama quasi-metrik dahil etmesidir) [12].
4.23. Önerme
B-quasi-metrik uzay ve tarafından üretilen Ê fuzzy quasi-metrik
olsun. Bu durumda
1)
3# , #
-cauchy dizisinin ortak dizisidir B Ê -cauchy dizisinin
ve Ê ∗ ’ da sırasıyla ‘Ñ’ ve ‘æ’ ile tanımlanan Cauchy
de ortak dizisi ise.
2)
#
dizilerinin bütün eşdeğerlik sınıflarının ailesi ∗ ve × çakışır [12].
4.4. Teorem
B-quasi-metrik uzay olsun. Bu durumda ile elde edilen Ê ∗
fuzzy quasi-metrik uzayı bir DF-tamlamasına izin verir. Üstelik Ê ∗’ nin
ÕÊ ∗ DF-tamlaması ∗ ile elde edilen ∗ Ê∗ ∗ fuzzy quasi-metrik
× uzayıdır (Burada ∗ ∗ , Not 4.2’ de inşa edilen ’ nin D-tamlamasıdır.)
[12].
İspat
B-quasi-metrik uzay ve ∗ ∗ , bunun D-tamlaması olsun. Önerme
4.7’ den Ê fuzzy quasi-metrik dengelidir. İddia ediyoruz ki Ê iyidir.
Gerçekten, Ê ∗’ da 3Ð ortak dizi ve #
4.22’ den Ò Ò Ï . × var öyle ki 3Ð , Ò sınıfının bir ortak dizisi ve Cauchy dizisi olsun. Önerme
sınıfının -Cauchy dizisidir. Bu durumda (ii)’ den ÂYXÐ# 3Ð ve böylece 9" § & için ÂYXÐ# Ê 3Ð " , ÂYXÐ# Ê 3Ð # "
# "
#
# ,
ÒÏ
$ ∗ Ò Ò Ï $ À’Ê∗îîÙ § & vardır. Açıkça
À
fonksiyonu sürekli ve N1) şartı sağlanır.
56
Diğer yandan kabul edelim ki €G § & için ÂYXÐ# Ê 3Ð durumda ÂYXÐ#
Á
Á’ÊœÚ Û 9" § & için ÂYXÐ# Ê 3Ð ve N2) şartı sağlanır.
$ ' ve böylece ÂYXÐ# 3Ð # "
$ ' dır. Böylece 3Ð #
# ’
# G
$ ' dir. Bu
$ & dır. O halde
in bir ortak dizisi
ÕÊ ∗ DF-tamlamasını göz önüne alalım (Burada
Böylece Ê ∗’ nin × bir önceki önermeden ∗ ve × çakışır). Ò Ò Ï . × ve 3Ð , Ò sınıfının bir ortak
dizisi ve # ,
Ò Ï sınıfının bir Ê -cauchy dizisi olsun. Bu durumda Tanım 4.17’
den 9" § & için
ÕÊ Ò Ò Ï " $ ÂYXÐ# Ê 3Ð ÕÊ $ Ê∗ dır.
ve böylece # "
$ À’ïPð
À
ÚÛ ÊœÚ Û
$ À’Ê∗ îîÙ $ Ê∗ Ò Ò Ï "
À
4.2. Bi-Tam (Bicomplete) Fuzzy Quasi-metrik Uzaylar ve Özellikleri
George ve Veeramani anlamındaki fuzzy metrik uzayların tamlanamadığı
bilinmektedir ancak bunların bi-tamlığı yapılabilmektedir. Bu bölümde klasik
anlamdaki quasi-düzgünlük ve quasi-metrik uzay tamlama teorisi için tatmin
edici bir araç olan bi-tamlık kavramı üzerinde durulucaktır. GV-fuzzy quasimetrik uzayların bi-tamlanabilmesi tabi yoldan yapılabildiği gibi [21]’ de
verilen fuzzy metrik uzayların tamlamasına çok yakın bir şekilde inşa edilir.
Şimdi klasik anlamdaki bi-tamlığı verelim.
4.18. Tanım
quasi-metrik uzayına bi-tam denir, eğer Á tam metrik uzay ise.
Burada Á fonksiyonu, 1 ’ de Á 3 $ DE - 3 Wo 3/ şeklinde
tanımlı olup, ’ de bir metriktir. Bu tanım fuzzy quasi-metrik uzaylarla ifade
edilebilirdir [11].
57
4.19. Tanım
∗ fuzzy quasi-metrik uzayına bi-tam denir, eğer R ∗ fuzzy metrik
uzayı tam ise. Bu durumda , üzerinde bir bi-tam fuzzy quasi-metriktir [11].
’ deki bi-Cauchy dizisinden, R ∗’ daki Cauchy dizisini anlayacağız.
4.20. Tanım
Eğer fonksiyonu, ∗ fuzzy quasi-metrik uzayından  Ô fuzzy
quasi-metrik uzayına bir izometri ve birebir olsun ve dizisi ise, bu durumda # # ’
# #
de bi-Cauchy dizisidir [13].
’ de bi-Cauchy
4.21. Tanım
∗ bir fuzzy quasi-metrik uzay olsun. ∗’ ın fuzzy quasi-metrik bi-
tamlaması ( ∗ ’ ın bi-tamlaması)  Ô bi-tam fuzzy quasi-metrik
uzayıdır öyle ki ∗ ’nin bir τñU -yoğun alt uzayına izometriktir [13].
Şimdi fuzzy metrik uzayın tamlanamadığıyla ilgili örneği verelim:
Örnek
∗ işlemi %&'( 1 %&'(’ de tanımlı sürekli t-norm ve E ∗ _ $ DE -& E ¨ _ O '/
verilmiş olsun. Şimdi, -
# +K
# #òt
ve 3# #òt , < $ * olacak şekildeki $
ª ^/ ve $ -3# +K ª ^/ kümelerindeki ayrık noktaların iki dizisi olsun.
$ ; alalım. 9K D ª ^" § &için
'
'
O
ô
K>D K=D
' '
# 3Ð " $ 3Ð # " $ ¨
K D
# Ð "
$ 3# 3Ð " $ ' O ó
şeklinde tanımlı , 1 1 & ¨Ì’ da bir fuzzy küme alalım. , ’ de bir
fuzzy metriktir öyle ki # #òt
ve 3# #òt ’ deki Cauchy dizileri, , ’ deki
ayrık topoloji ve ∗ tamlanamaz.
58
Her fuzzy metrik uzay, fuzzy quasi-metrik uzay olduğundan ve gerçekten
fuzzy metrik uzaylardaki bi-tamlık ve tamlık çakışır. Yukarıdaki örnek bize
gösterdi ki, bi-tamlık içermeyen fuzzy quasi-metrik uzaylar vardır.
4.22. Tanım
∗ fuzzy quasi-metrik uzayı bi-tamlanabilir denir, eğer bu uzay fuzzy
quasi-metrik bi-tamlamaya izin verir ise. [13].
4.24. Önerme
∗ bir fuzzy quasi-metrik uzay ve Ô bir bi-tam fuzzy quasi- metrik
uzay olsun. Eğer ’ in τU -yoğun bir alt kümesi ve + ∗ ,  Ô bir
izometri ise, bu durumda ä+ ∗ ,  Ô bir tek izometri var öyle ki
äõö $ dir [11].
İspat
, 6‡ 1 quasi-düzgün uzayından  ‡ñ quasi-düzgün uzayına quasi-
dan , quasi-düzgün bir şekilde sürekli olan bir tek ä+ ‡ ,  ‡ñ düzgün bir şekilde sürekli bir fonksiyon olduğu açıktır. [18]’ deki teorem 3.29’
genişlemesine sahiptir. Gerçekten, ä’ nin ∗’ dan  Ô’ a bir izometri
olduğunu gösterelim. 3 . ve " § &olsun. Bu durumda ’ da dizileri var öyle ki U -ye göre
ä
#
¤ä
,
ve 3# ve 3# , 3 dır. O halde ñU -ye göre
, ä ve ä3# , ä3 dir. Î 8 " olacak şekilde & 8 Î 8 ' seçelim.
Buradan €K
. È var ƒK ª K÷ için
¤ #
#
#
Î
Î
¥ § ' O Î ¤3# 3 ¥ § ' O Î
a
a
# ä
dır. O halde,
Î
Î
¥ § ' O Î ¤ä3 ä3# ¥ § ' O Î
a
a
3 " ª ¤ #
Î
¥ ∗ a
# 3# "
Î
O Î ∗ ¤3# 3 ¥
a
59
ª ' O Î ∗ ä
# ä3# "
ª ' O Î ∗ %' O Î Ô ä
O Î ∗ ' O Î
# ä3# "
O aÎ Ô ' O Î( ∗ ' O Î
dır. ∗ ve Ô işlemlerinin sürekliliği ve ä ä3 µ’ nin soldan sürekliliğinden
3 " ª ä ä3 " elde edilmiş olur. Kolay bir hesaplama ile
ä ä3 " ª 3 " olduğu gösterilebilir. Böylece ä , ∗ ’ dan
 Ô’ a bir izometridir.
4.25. Önerme
o o Ôo ve p p Ôp , ∗ fuzzy quasi-metrik uzayının iki fuzzy quasi-
metrik bi-tamlaması olsun. Bu durumda o o Ôo ve p p Ôp izometriktir.
Böylece eğer fuzzy quasi-metrik uzay, fuzzy quasi-metrik bi-tamlığına sahip
ise, bu izometriye göre tektir [13].
İspat
p p Ôp , ∗’ ın fuzzy quasi-metrik bi-tamlığı olduğundan ∗’ dan
p p Ôp ’ nin τñU -yoğun alt uzayına bir izometri vardır. Önerme 4.24. den
¦
’ nin o o Ôo üzerine bir tek ä genişlemesi vardır. Böylece ä’ nin örten
olduğunu göstermek yeterlidir. Gerçekten 3p . p verildiğinde ’ de dizisi var öyle ki τñU ’ ye göre ä
¦
#
, 3p dir. ä izometri olduğundan # #
# #
bi-
Cauchy dizisidir ve böylece τñU ’ ye göre 3o . o noktasına yakınsar. O halde
ä3o $ 3p dir.
—
4.26. Önerme
∗ bir fuzzy quasi-metrik uzay olsun. Bu durumda her bir " § &için
µ µ "+ 1 τU 1 τU , 6&'(
fonksiyonu süreklidir [13].
60
İspat
" § & sabit olsun. 3 . ve, Ï
Ï
# 3# # ,
1 ’ de bir dizi olsun öyle ki bu dizi
τU 1 τU ’ ye göre 3’ ye yakınsasın. Bu durumda #Ï 3#Ï # ’ nin # 3# # alt
dizisi için 3 " $ ÂYX# Gerçekten, # 3# "olduğunu
Ï
Ï
6
# 3# "# &'(’
bir alt dizisi var öyle ki de bir dizi olduğundan,
# 3# "# dizisi
sabit bir δ § & ƒ aà 8 " olsun. Bu durumda
# 3# "
ª #
göstermek yeterlidir.
Ï
Ï
# 3# # ’
nin # 3# #
6&'(’ in bir noktasına yakınsar.
à ∗ 3 " O aà ∗ 3 3# à
ve
3 " ¨ aà ª # à
∗ # 3# "
∗ 3# 3 à
dir.
ÂYX# R # à
$ ÂYX# R 3 3# à $ ' olduğundan
3 " ¨ aà ª ÂYX #
# 3# "
ª 3 " O aà
dır. Sonuç olarak 3 µ’ nin sürekliliğinden 3 " $ ÂYX# dır.
# 3# "
4.23. Tanım
∗ bir fuzzy quasi-metrik uzay ve E# # ve _# # , ’ de bi-Cauchy
dizileri olsun.
a)
Eğer G § & var ƒ ÂYX# R E# _# G $ ' ise, E# # ve _# # nokta-denk
denir.
b)
Eğer her " § & için ÂYX# R E# _# " $ ' ise, E# # ve _# # denk denir
ve E# # ø _# # ile gösterilir [13].
61
4.6.Not
Yukarıdaki ù ø ù bağıntısının, ∗ fuzzy quasi-metrik uzayındaki bütün biCauchy dizilerinin kümesi üzerinde denklik bağıntısı olduğu açıktır [13].
4.27.Önerme
∗ bir bi-tamlanabilir fuzzy quasi-metrik uzayı aşağıdaki şartları sağlar;
C1) E# # _# #
’
durumda " ú
ÂYX# E# _# ", & ¨Ì’ dan 6&'(’e olan fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur.
de
bi-cauchy
dizileri
ise,
bu
C2) Her bir nokta-denk bi-Cauchy dizileri eşdeğerdir [13].
İspat
Kabul edelim ki ∗ bi-tamlanabilir olsun.  Ô, ∗’ ın (izometriye
göre) bir tek bi-tamlaması ve , ’ den  ’ nin bir τñU -yoğun alt uzayına
izometri olsun.
İlk olarak C1) şartının elde edildiğini gösterelim.
E# # ve _# # ’ de iki bi-Cauchy dizileri ve " § & sabit olsun. E# ve
#
_# # ’ de bi-Cauchy dizileri olduğundan, ’ de E ve _ noktaları var öyle
ki τñU ’ ye göre E# , E ve _# , _ dır. 4.26. Önerme’ den
E _ " $ ÂYX# E# _# "
dir. Böylece E _ " $ ÂYX E# _# "dir. O halde E _ µ’ nin sürekliliği
#
ve E _ " § & olmasından " ú ÂYX# E# _# " & ¨Ì ’ dan 6&'( ’e
fonksiyonu süreklidir.
Sonuç olarak, E# # ve _# # ’ de nokta-eşdeğer bi-Cauchy dizileri olsun.
Bu durumda €G § &için R E# _# G $ ' dir. [7]’ deki Teorem 1’ den C2)
şartının ispatı elde edilir. Yani 9" § & için ÂYX# R E# _# " $ 'dir. Böylece
E# # ve _# # eşdeğerdir.
62
4.28. Önerme
∗, Önerme 4.27’ deki C1) ve C2) şartlarını sağlayan bir fuzzy quasi-
metrik uzay olsun. ’ deki bütün bi-Cauchy dizilerinin kümesi , Tanım 4.21.
b)’ deki ù ø ù bağıntısı  üzerinde bir eşdeğerlik bağıntısı ve ø’ ya göre bütün
denklik sınıflarının kümesi × olsun, öyle ki × $ -E+
û E+ $ E# # . / dir. Her bir
E+ $ E# # , _+ $ _# # . , " § & için;
Õ E
û _× " $ ÂYX# E# _# "
Õ ∗, ∗’ a izometrik olan τÕU ’ ye göre yoğun bir alt
dır. Bu durumda × Õ ∗
uzayını kapsayan bi-tam fuzzy quasi-metrik uzaydır. O halde × ∗’ ın (izometriye göre) bir tek bi-tamlamasıdır [13].
İspat
Õ ’ nın iyi tanımlı olduğunu gösterelim. Bunun için ’ de E# # ,
İlk olarak _# # ,E#Ï # , _#Ï # bi-Cauchy dizileri öyle ki E# # ø E#Ï # ve _# # ø _#Ï #
olsun. " § & ve & 8 Î 8 "
verilmiş
olsun.
şartından à § & ƒ
C1)
ÂYX# E# _# " O aà § ÂYX# E# _# " O Î dir. Tanım 3.10’ daki GV3)
şartından
ve
∗
sürekli
ÂYX# E#Ï _#Ï " ª ÂYX# E# _# " O aà
ÂYX# E# _# "ù dir.
t-norm
ve
böylece
olduğundan
ÂYX# E#Ï _#Ï " ª
ÂYX# E# _# " ª
Õ iyi tanımlı ve C1)’ den her EØ,_×.×" § &
ÂYX# E#Ï _#Ï "dir. Sonuç olarak Benzer
şekilde
Õ E
için û _× " § & dır.
gösterilir
ki
Õ E
Õ E
Açıkça her EØ . × " § & için û E
û " $ ' dir. Üstelik G § & için û _× G $
Õ _× E
Õ E
Õ _× E
û G $ ' ise, C2)’ den her " § & için û _× " $ û " $ ' dir.
Böylece E# # ø _# # ve EØ $ _× dir.
Her bir E
û _× ±ü . × ve G " § & için
63
Õ E
û ±ü " ¨ G $ ÂYX E# ±# " ¨ G ª ÂYX E# _# " ∗ ÂYX _# ±# G
#
Õ E
Õ _× ±ü G
$
û _× " ∗ #
#
elde edilir.
Õ E
Õ , ×
Son olarak C1) şartı ve her E
û _× . × için û _× µ sürekli olduğundan üzerinde bir fuzzy quasi-metriktir.
Her K . È için
#
$
×
olmak üzere $ ý
# # ile verilen + , fonksiyonunu tanımlayalım ’ nin birebir olduğu açıktır. Üstelik her bir 3 . ý " $ 3 " dir. Böylece , ’ den’e
ý 3
Õ ve " § & için açıkça bir izometridir.
Şimdi gösterilim ki , ’ de τÕU -yoğundur. Gerçekten E+ $ E# # .  ,
08ε8' ve " § & verilmiş olsun. K
. È var ƒ her K D ª K
için E# EÐ " §
' O p dır. O halde
÷
Õ E
û E#¯ " $ ÂYX E# E#¯ " ª ' O
#
ve
Õ E# E
û " $ ÂYX E#¯ E# " ª ' O
¯
#
Sonuç olarak
E
û E#¯ " ª ' O
Î
a
Î
a
Î
a
dir. E#¯ . û Î " olduğundan , ’ de τÕU -yoğundur.
E
Õ ∗’ ın tekliği elde edilir.
Son olarak Önerme 4.25’ den izometriye göre × Önerme 4.27. ve Önerme 4.28. birlikte göz önüne alındığında [7]’ deki
teorem 1’ in fuzzy quasi-metrik uzaylara genelleştirilmesini aşağıda verelim.
64
4.5. Teorem
∗ fuzzy quasi-metrik uzayı bi-tamlanabilir gerekli ve yeterli koşul
∗, Önerme 4.27’ deki C1) ve C2) şartlarını sağlarsa. Bu durumda bi-
tamlama izometriye göre tektir ve bunun tekliği Önerme 4.28’ deki gibi inşa
edilebilir [13].
Şimdi de bi-tamlanabilir fuzzy quasi-metrik uzaylar için aşağıdaki iki örneği
verelim.
Örnek
quasi-metrik uzay olsun. Gösterelim ki Ê Þ standart fuzzy quasi-
metrik uzayı bi-tamlanabilirdir.
Çözüm
3 . için Á 3 $ X[e- 3 3 / ile tanımlanan ’deki Á
metriği verilmiş olsun. Ayrıca ’ nin quasi-metrik bi-tamlaması × ile
Her
gösterilsin. Bu durumda, Ê Þ ’ da her bir E+ $ E# # ve _+ $ _# # biCauchy dizileri ve her bir " § & için
ÂYX Ê E# _# " $ ÂYX
#
#
"
"
"
$
$
" ¨ E# _# " ¨ ÂYX E# _# " ¨ EØ _×
$ Ê× EØ _× "
#
Ê $ Ê× dır. C2) şartı açıkça
dir. Bu gösteriyor ki C1) şartı sağlanır ve sağlandığından
Ê Þ
bi-tamlanabilirdir.
Üstelik
Ê Þ ’
ın
bi-
tamlanabilirdir. Üstelik bu bi-tamlama ’ nin standart fuzzy quasi-metrik
uzay bi-tamlamasıdır.
Örnek
quasi-metrik uzay olsun. 3. Bölümde verilen örneğe benzer şekilde
gösterilebilir ki m Ê Þ fuzzy quasi metrik uzaydır, öyle ki ù Þ ù %&'(’ de
65
normal çarpım ve m Ê , 1 1 & ¨Ì içinde bir fuzzy küme olmak üzere,
her 3 . , " § & için
m Ê 3 " $  3
"
Wo
dır. en az iki farklı noktaya sahip iken m Ê Þ standart fuzzy quasi-
metrik uzay olmadığı gösterilebilir. Açıkça Á ’ de bir Cauchy dizisi var
gerekli ve yeterli koşul m Ê Þ ’ da bi-Cauchy dizisidir. Böylece eğer
Ê Þ’ da E+ $ E# # , _+ $ _# # bi-Cauchy dizileri için ’ nin (quasi-
metrik) bi-tamlaması × ile gösterilir ise, 9" § & için
E# _# ÂYX m Ê E# _# " $ ÂYX  #
#
"
$  ÂYX E# _# #
"
Wo
Wo
Wo
EØ _×
$  "
dır ve Önerme 4.27’ deki C1) şartı sağlanır. C2) şartı da sağlandığından
m Ê Þ bi-tamlanabilirdir. Üstelik eşitliklerden gösterilebilir ki m Ê Þ’
nin bi-tamlaması × m Ê× Þ fuzzy quasi-metrik uzaydır.
66
KAYNAKLAR
1.
Zadeh, L.A., “Fuzzy Sets”, Inform and Control, 8: 338-353 (1965).
2.
Kramosil, I., Michalek J., “Fuzzy Metric and Statistical Metric Spaces”,
Kybernetika, 11: 326-334 (1975).
3.
Erceg, M.A., “Metric Spaces in Fuzzy Set Theory”, J.Math.Anal.Appl.,
69: 205-230 (1979)
4.
Deng, Z.K., “Fuzzy Pseudo-Metric Spaces”, J.Math.Anal.Appl., 86:
74-95 (1982)
5.
Kaleva, O. and Seikkala, S., “On Fuzzy Metric Spaces”, Fuzzy Sets
and Systems, 12: 215-229 (1984).
6.
George,A. And Veeramani, P., “On Some Results in Fuzzy Metric
Spaces”, Fuzzy Sets and Systems, 64: 395-399 (1994).
7.
Doitchinov, D., “On Completeness in Quasi-Metrik Spaces”, Topology
and Its Applications, 30:127-148 (1988)
8.
Künzi, H.P.A., Romaguera, S., “Some Remarks on Doitchinov
Completeness”, Topology and Its Applications, 74: 61-72 (1996)
9.
Chang, C.L., “Fuzzy Topological Spaces”, J.Math.Anal.Appl., 24:
182-190 (1968).
10.
Nanda, S., “On Fuzzy Topological Spaces”, Fuzzy Sets and
Systems, 19: 193-197 (1986).
11.
Gregori, V. And Romaguera, S., “Fuzzy Quasi-Metric Spaces”,
Applied General Topology, 1: 129-136 (2004).
12.
Gregori, V., Mascarell J.A., Sapena, A., “On Completion of Fuzzy
Quasi-Metric Spaces”, Topology and Its Applications, 153: 886-899
(2005).
13.
Gregori, V.,Romaguera, S., Sapena, A., “A Characterization of
Bicompletable Fuzzy Quasi-Metric Spaces”, Fuzzy Sets and
Systems, 152: 395-402 (2005).
14.
Alaca, C., “Fuzzy Uzaylarında Süreklilik”, Yüksek Lisans Tezi, Gazi
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 6-20 (2001).
67
15.
16.
Liu, Ying-Ming and Luo, Mao-Kang, “Fuzzy Topology”, World
Scientific Publishing, 9: 82(1998)
Mıng, P.P. and Liu, Ying-Ming, “Fuzzy Topology ] Neighborhood
Structure of a Fuzzy Point and More-Smith Convergence”,
J.Math.Anal.Appl., 76: 571-599 (1980).
17.
Yıldız, C., “Topolojik Uzayın Temel Kavramları”, Genel Topoloji, Gazi
Üniversitesi, Ankara, 69-70 (2002)
18.
George,A. And Veeramani, P., “On Some Results of Analysis for
Fuzzy Metric Spaces”, Fuzzy Sets and Systems, 90: 365-368 (1997).
19.
Akman, Y., “Fuzzy Metrik Uzayları”, Yüksek Lisans Tezi, Gazi
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 39-41 (2007).
20.
Gregori, V. And Romaguera, S., “Some Properties of Fuzzy Metric
Spaces”, Fuzzy Sets and Systems, 115: 485-489 (2000).
21.
Gregori, V. And Romaguera, S., “Characterizing Completable Fuzzy
Metric Spaces”, Fuzzy Sets and Systems, 144: 411-420 (2004)
22.
Fletcher, P. And Lindgren, W.F., “Quasi-Uniform Spaces”, Marcel
Dekker, New York, (1982).
23.
Gregori, V. And Romaguera, S., “On Completion of Fuzzy Metric
Spaces”, Fuzzy Sets and Systems, 130: 399-404 (2002).
68
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: AKDOĞAN, Ümmügülsüm
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri : 30.05.1986 Ankara
Medeni hali
: Bekar
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Lisans
Gazi Üniversitesi/ Matematik Bölümü
2008
Lise
Süleyman Demirel Anadolu Lisesi
2004
Yabancı Dil
İngilizce