ankara ün˙ıvers˙ıtes˙ı fen b˙ıl˙ımler˙ı enst˙ıtüsü yüksek l˙ısans tez˙ı dı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
DIŞ MANYETİK ALAN VARLIĞINDA İKİ BOYUTLU YÜZEYLERDE
KÜTLESİZ DIRAC PARÇACIKLARI
Doğukan ÇEVİK
FİZİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2015
Her hakkı saklıdır
TEZ ONAYI
Doğukan ÇEVİK tarafından hazırlanan “Dış Manyetik Alan Varlığında İki Boyutlu
Yüzeylerde Kütlesiz Dirac Parçacıkları” adlı tez çalışması 03/06/2015 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman: Doç. Dr. Şengül KURU
Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı
Jüri Üyeleri:
Başkan: Doç. Dr. İsmet YURDUŞEN
Hacettepe Üniversitesi Matematik Bölümü
Üye
: Doç. Dr. Banu ŞAHİN
Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı
Üye
: Doç. Dr. Şengül KURU
Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı
Yukarıdaki sonucu onaylarım.
Prof. Dr. İbrahim DEMİR
Enstitü Müdürü
ETİK
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez içindeki bütün bilgilerin doğru ve tam olduğunu, bilgilerin üretilmesi
aşamasında bilimsel etiğe uygun davrandığımı, yararlandığım bütün kaynakları atıf yaparak belirttiğimi beyan ederim.
03.06.2015
Doğukan ÇEVİK
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
DIŞ MANYETİK ALAN VARLIĞINDA İKİ BOYUTLU YÜZEYLERDE
KÜTLESİZ DIRAC PARÇACIKLARI
Doğukan ÇEVİK
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Şengül KURU
Bu çalışmada düzlemde ve küre yüzeyinde, dik manyetik alan altında hareket eden Dirac
parçacıkları için Dirac-Weyl denklemi süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri kullanılarak analitik olarak çözülmüştür. Ayrıca parçacığa ait özfonksiyonlar, özdeğerler,
olasılık ve akım yoğunlukları grafikleri çizdirilmiştir.
Haziran 2015, 46 sayfa
Anahtar Kelimeler: Dirac-Weyl denklemi, Dirac parçacıkları, manyetik alan, süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri
ii
ABSTRACT
Master Thesis
MASSLESS DIRAC PARTICLES ON TWO DIMENSIONAL SURFACES IN THE
PRESENCE OF EXTERNAL MAGNETIC FIELDS
Doğukan ÇEVİK
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Physics
Danışman: Assoc. Prof. Dr. Şengül KURU
In this study, Dirac-Weyl equation is solved analytically using supersymmetric quantum
mechanics methods for moving massless particles on the plane and on the sphere surface
under the external magnetic field. In addition, graphics of eigenfunctions, eigenvalues,
probability and current densities are plotted.
Haziran 2015, 46 pages
Key Words: Dirac-Weyl equation, Dirac particles, magnetic field, supersymmetric
quantum mechanic methods
iii
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım esnasında hiçbir zaman bilgi, öneri ve yardımlarını esirgemeyen sayın hocam Doç. Dr. Şengül KURU’ya (Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı) ve aileme
saygılarımı sunar en içten dileklerimle teşekkür ederim.
Doğukan ÇEVİK
Ankara, 03.06.2015
iv
İÇİNDEKİLER
TEZ ONAY SAYFASI
ETİK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
ŞEKİLLER DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
SİMGELER DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
1.
GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.
DIRAC VE DIRAC-WEYL DENKLEMLERİ . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1
Dirac Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.1 Serbest parçacık için Dirac denkleminin düzlem dalga çözümleri . . . .
6
2.1.2 Dirac denklemi için yük ve akım yoğunlukları . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.3 Elektromanyetik potansiyeller altında Dirac denklemi . . . . . . . . . .
9
2.2
Dirac-Weyl Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.1 Grafen için Dirac-Weyl denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.2 Dirac-Weyl denklemi için 4’lü akım ifadesi . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.
SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ YÖNTEMLERİ . . . . .
13
3.1
Çarpanlara Ayırma Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.1.1 Sonsuz kare kuyu potansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2
Darboux Dönüşümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.3
Bağlaştırım Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.4
Şekil Değişmezlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.4.1 Pöschl-Teller potansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.
4.1
DÜZLEMDE HAREKET EDEN KÜTLESİZ PARÇACIKLAR İÇİN
ANALİTİK ÇÖZÜMLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Düzlemde Dirac-Weyl Denklemi ve SUSY Eş Hamiltoniyenler . . . . .
23
v
4.2
Çözülebilir Durumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2.1 Sabit manyetik alan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2.2 Hiperbolik bariyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.
KÜRE YÜZEYİNDE HAREKET EDEN KÜTLESİZ PARÇACIKLAR
İÇİN ANALİTİK ÇÖZÜMLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.1
Küre Üzerinde Dirac-Weyl Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.2
Küresel Moleküller için SUSY Eş Hamiltoniyenler . . . . . . . . . . . .
36
5.3
Çözülebilir Durumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5.3.1 Sabit manyetik alan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.3.2 Değişen manyetik alan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.
SONUÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
ÖZGEÇMİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 3.1 Hamiltoniyen hiyerarşisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Şekil 3.2 H1 ve H2 Hamiltoniyenlerine ait ilk üç özfonksiyon ve eş potansiyeller 18
Şekil 4.1 Sabit manyetik alan durumu için süpereş potansiyeller, manyetik
alan ve enerjiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Şekil 4.2 Sabit manyetik alan durumu için olasılık ve akım yoğunlukları . . .
31
Şekil 4.3 Hiperbolik bariyer için eş potansiyeller, manyetik alan ve enerjiler .
31
Şekil 4.4 Hiperbolik bariyer durumu için olasılık ve akım yoğunlukları . . . .
32
Şekil 5.1 Sabit manyetik alan için süpereş potansiyeller ve özfonksiyonlar . .
42
Şekil 5.2 Değişen manyetik alan için süpereş potansiyeller ve özfonksiyonlar
42
Şekil 5.3 Sabit manyetik alan için φ ve θ yönündeki akım yoğunluğu . . . . .
42
Şekil 5.4 Sabit manyetik alan için olasılık yoğunluğu . . . . . . . . . . . . .
43
vii
SİMGELER DİZİNİ
H
Hamiltoniyen
~A
Vektör potansiyeli
~B
Manyetik alan
L±
Diferansiyel çarpan işlemcileri
Jn
Akım yoğunluğu
ρn
Olasılık yoğunluğu
SUSY
Süpersimetri
viii
1. GİRİŞ
Süpersimetrik (SUSY) kuantum mekaniğinde süperyük işlemcileri bir matris Hamiltoniyenin aynı enerjili dik iki özfonksiyonu arasında dönüşüm üretir ve Hamiltoniyenle
birlikte bir süpercebir oluştururlar (Cooper vd. 1995, Junker 1996). Darboux dönüşümü,
bağlaştırım (intertwining) yöntemi, şekil değişmez potansiyeller ve çarpanlara ayırma
yöntemleri SUSY kuantum mekaniği yöntemlerindendir ve bunlar bir boyutta birbirine
eşdeğerdir. Bu yöntemler çözümü bilinen bir Hamiltoniyenden başlayarak yeni çözülebilen Hamiltoniyenler oluşturmak için kullanılır. Özel olarak, bu çalışmada kullanılacak
olan çarpanlara ayırma yöntemi, hemen hemen eş spektrumlu tam olarak çözülebilen
Hamiltoniyenlerin özdeğerlerini ve özfonksiyonlarını bulmada kullanılır (Cooper vd.
1995, Junker 1996). Bu yöntemler sayesinde fizikte pek çok problem için çözümler,
karşı gelen diferansiyel denklemler doğrudan çözülmeden bulunabilir ve yeni çözülebilir
problemler elde edilebilir.
Grafen, düşük enerjili elektronların kütlesiz Dirac parçacığı karakteri göstermesi ve
önemli elektronik özellikleri nedeniyle fizikte çok ilgi çekmiştir. Fulleren ise karbonun bir diğer allotropu olup, farklı şekil ve boyutlara sahip karbon kafesleridir. 2004
yılında grafenin keşfinden sonra fullerenlere olan ilgi tekrar artmıştır. Son zamanlarda
grafen düzlemine ve fulleren yüzeyine dik bir manyetik alanda Dirac elektronlarının
hareketi üzerine pek çok çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalarda, Fermi hızına sahip,
dış manyetik alan etkisinde kütlesiz Dirac parçacıkları için Dirac-Weyl denklemi ele
alınmıştır. Dirac denklemi kütlesiz Dirac parçacıkları için Dirac-Weyl denklemi olarak
adlandırılır. Genel olarak, bu problemlerin bağlı durum enerjileri ve diğer pek çok özellikleri nümerik hesap yoluyla bulunur. Bu nedenle bu denklemin farklı yüzeyler ve
farklı dış manyetik alanların varlığında analitik olarak çözülmesi ve sonuçlarının yorumlanması, son yıllarda oldukça ilgi çeken grafen, fulleren ve nanotüplerin elektronik
özelliklerinin daha iyi kavranması açısından, önemlidir. Bu denklemler bazı manyetik
alanlar için SUSY kuantum mekaniği yöntemleri kullanılarak analitik olarak kolayca
çözülebilir (Kuru vd. 2009, Jakubsky vd. 2013). Bu tez çalışmasında ilk olarak Dirac
ve Dirac-Weyl denklemleri ele alınmıştır. Daha sonra süpersimetrik kuantum mekaniği
1
yöntemleri kısaca gözden geçirilmiştir. Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri
kullanılarak Dirac-Weyl denkleminin çözümleri düzlem ve küresel yüzey üzerinde yüzeye dik farklı manyetik alan varlığında bulunmuştur.
2
2. DIRAC VE DIRAC-WEYL DENKLEMLERİ
2.1 Dirac Denklemi
Göreli olmayan Schrödinger denklemi
ih̄
∂Ψ (~r,t)
= HΨ (~r,t)
∂t
(2.1)
h̄2 ~ 2
ve serbest parçacık için göreli olmayan Hamiltoniyen H = − ∇ şeklinde verilirler
2m
(Schiff 1949). Burada h̄ Planck sabiti m ise parçacığın kütlesidir. Serbest parçacık için
klasik göreli Hamiltoniyen ise
p
~p2 c2 + m2 c4
(2.2)
olarak tanımlanır. ~p = −ih̄~∇ alınarak, (2.2) ile verilen Hamiltoniyen (2.1) denkleminde
yerine yazılırsa, (2.1) denkleminde uzay ve zaman türevleri arasındaki simetrinin bozulduğu görülür:
ih̄
∂Ψ (~r,t)
= (−h̄2 c2~∇2 + m2 c4 )1/2Ψ (~r,t).
∂t
(2.3)
Ayrıca, bu denklem Lorentz dönüşümleri altında da değişmez değildir. Bu sorunları
ortadan kaldırmak amacıyla, Dirac tarafından ~p momentum işlemcisine göre çizgisel
olan bir H Hamilton işlemcisi önerilmiştir:
H = c ~α ·~p + β mc2 .
(2.4)
E
Ψ (~r,t) = Ψ (~r)e−i h̄ t olarak alınıp, (2.4) ile verilen Hamiltoniyen (2.1) denkleminde yerine yazılırsa
E − c~α ·~p − β mc2 Ψ (~r) = 0
(2.5)
elde edilir. Dirac denklemi olarak adlandırılan bu denklem aşağıdaki gibi de ifade
edilebilir:
∂
2
~
ih̄ + ih̄ c ~α · ∇ − β mc Ψ (~r,t) = 0.
∂t
(2.6)
(2.5) denkleminin serbest parçacığı tanımlaması için ~α ve β ’ların uzay ve zaman koordinatlarından bağımsız olması gerekmektedir. Aksi halde enerjiler uzay ve zamana
3
bağlı olur ve bu da kuvvete yol açar. Ayrıca, denklemin çizgiselliğinin garantilenmesi
için ~α ve β ’ların türev içermemesi gerekir. Böylece, ~α ve β ’lar, (~r,t,~p ve E) ile sıra
değiştirirler, ancak kendi aralarında sıradeğiştirmek zorunda değildirler.
Dirac denkleminin bir çözümünün göreli dalga denkleminin de (Klein-Gordon denkleminin) bir çözümü olması, ~α ve β ile ilgili daha fazla bilgi verir. Göreli dalga denklemi
− h̄2
∂ 2Ψ (~r,t)
= (−h̄2 c2 ∇2 + m2 c4 )Ψ (~r,t)
∂t 2
(2.7)
ile verilir. Dış alan olmadığında (2.6) denkleminin düzlem dalga çözümleri (2.7) denklemini sağlamalıdır. Ancak bunun tersi doğru olmak zorunda değildir.
~α ve β ’ların üzerindeki kısıtlamalar, (2.5) denklemi soldan E + c~α ·~p + β mc2 ifadesi
ile çarpılarak elde edilir (Schiff 1949):
E + c~α ·~p + β mc2
E − c~α ·~p − β mc2 Ψ (~r,t) = 0,
E 2 − c2 [αx2 p2x + αy2 p2y + αz2 p2z + px py (αx αy + αy αx ) + (αy αz + αz αy )py pz
+(αz αx + αx αz )px pz
] − m2 c4 β 2 − mc3 [(α
xβ
(2.8)
+ β αx )px + (αy β + β αy )py
+(αz β + β αz )pz ]Ψ (~r,t) = 0.
Yukarıdaki ifade (2.7) denklemi ile uyumlu olmalıdır. Böylece ~α ve β ’lar için aşağıdaki
koşullar elde edilir:
αx αy + αy αx = αy αz + αz αy = αz αx + αx αz = 0,
αx β + β αx = αy β + β αy = αz β + β αz = 0,
αx2 = αy2 = αz2 = 1,
(2.9)
β 2 = 1.
Bu denklem sisteminden görüldüğü gibi ~α ve β ’lar anti-komütatiftir. Bu nedenle sayı
olamazlar, ancak matrisler ile temsil edilebilirler. Denklem (2.4) ile verilen H Hamiltoniyeni Hermitik olduğundan ~α ve β ’lar da Hermitik olmak zorundadır. Ayrıca ~α ve
β ’lar birbirleri ile sıradeğişmediklerinden ancak bir tanesi köşegen olabilir. Köşegen
olan matris β olarak kabul edilirse, β 2 = 1 koşulundan, β matrisinin özdeğerleri ±1
4
olarak bulunur. Böylece β matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir

β =

1n×n
0
0
−1m×m
,
n > 0,
m > 0.
(2.10)
~α ve β ’lar anti-komütatif olduğundan, β sabit sayı olamaz ve bu yüzden n ve m sıfırdan
büyük olmalıdır. Buna göre αx β + β αx = 0 çarpımının ( jl). elemanı
(αx ) jm βml + β jm (αx )ml = 0
(2.11)
olarak yazılır. βml = βl δml bağıntısı kullanılırsa
(αx ) jl (βl + β j ) = 0
(2.12)
elde edilir. (2.12) denklemine göre βl = β j ise (αx ) jl = 0 olmalıdır. Ancak βl 6= β j
durumunda (αx ) jl sıfır olmak zorunda değildir. O halde ~α ’nın bileşenlerinin matris
temsili

αi = 
0
(αi1 )n×m
(αi2 )m×n
0

,
i = x, y, z
(2.13)
şeklindedir. i = x için αx2 = 1 koşulundan

0

αx2


0
αx1
αx2
0
αx1

0

=
αx1 αx2
0
0
αx2 αx1

=1
(2.14)
aşağıdaki denklemler elde edilir:
αx1 αx2 = 1,
(2.15)
αx2 αx1 = 1.
n 6= m durumunda, özel olarak n = 1, m = 2 için (2.15) bağıntısını sağlayan αx1 ve αx2
aşağıdaki gibi seçilebilir:

αx1 =
a b
,
αx2 = 
5
c
d

.
(2.16)
Yukarıdaki gibi verilen αx1 ve αx2 (2.15)’de yerine yazılırsa
ac + bd = 1,
ca = 1,
cd = 0,
ad = 0,
bd = 1
(2.17)
eşitlikleri elde edilir ve buradan a, b, c, d sabitleri için tek değerli çözümlere ulaşılamaz.
Bu nedenle n = m olmalıdır. Yani ~α ve β matrisleri karesel olmalıdır. n = m = 1 durumu
2 × 2’li anti-komütatif Pauli spin matrislerine yol açar:

σx = 
0 1
1 0


,
σy = 
0 −i
0
i


,
σz = 
1
0
0 −1

.
(2.18)
Benzer inceleme n = m = 2 için yapılırsa αx1 = σx , αy1 = σy ve αz1 = σz olduğu görülür.
Buna göre n = m = 2 için ~α ve β matrisleri

β =

12×2
0
0
−12×2
,

~α = 
0 ~σ
~σ
0


(2.19)
olarak alınabilir. Burada ~σ = (σx , σy , σz ) Pauli matrisidir.
~α ve β matrisleri 4 × 4’lü matrisler olduklarından, (2.5) denkleminin çözümü olan özfonksiyonlar da 4 satır 1 sütundan oluşan bir matris olmalıdır (Schiff 1949)

ϕ (~r,t)
 1

 ϕ2 (~r,t)
Ψ (~r,t) = 

 ϕ3 (~r,t)

ϕ4 (~r,t)




.



(2.20)
Böylece, (2.5) denklemi dört tane birinci mertebeden kısmi diferansiyel denkleme eşdeğerdir.
2.1.1 Serbest parçacık için Dirac denkleminin düzlem dalga çözümleri
Dirac denklemi için düzlem dalga çözümleri
~
ϕ j (~r,t) = U j ei(k·~r−ωt) ,
6
j = 1, 2, 3, 4
(2.21)
∂
’nin h̄ω, ih̄~∇’nın ise h̄k özdeğerli özfonksiyonlarıdır.
∂t
(2.19) ile verilen ~α , β matrisleriyle, (2.20) ve (2.21) ifadeleri (2.5) denkleminde yerleşeklinde önerilebilir. ϕ j ’ler ih̄
rine yazılırsa aşağıdaki denklem sistemi elde edilir:
(E − mc2 )U1 − c(Px − iPy )U4 − cPzU3 = 0,
(E − mc2 )U2 − c(Px + iPy )U3 + cPzU4 = 0,
(E + mc2 )U3 − c(Px − iPy )U2 − cPzU1 = 0,
(2.22)
(E + mc2 )U4 − c(Px + iPy )U1 + cPzU2 = 0.
Yukarıdaki homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümü ancak katsayılar determinantının sıfır olması durumunda vardır. Katsayılar determinantı sıfıra eşitlenirse
(E 2 − m2 c4 − p2 c2 )2 = 0
(2.23)
denklemi elde edilir. Açık çözümler herhangi bir p momentumu için enerjinin işareti
p
seçilerek bulunur; E± = ± c2 p2 + m2 c4 . Herbir enerji için iki tane çizgisel bağımsız
çözüm vardır. E+ için (2.5) denklemine ait çizgisel bağımsız çözümler

1


0


cpz
U1 = 

 E+ + mc2
 c(px + ipy )
E+ + mc2

0


1


U2 =  c(px − ipy )

 E+ + mc2

cpz
−
E+ + mc2
7





,



(2.24)





,



(2.25)
ve E− için çizgisel bağımsız çözümler





U3 = 



cpz
E− − mc2
c(px + ipy )
E− − mc2
1





,



(2.26)
0





U4 = 



c(px − ipy )
E− − mc2
cpz
−
E− − mc2
0





,



(2.27)
1
şeklinde bulunur (Griffiths 2008). Bu çözümler normalize edilebilirler (ΨΨ † = 1) .
(2.24) ve (2.25) denklemleri parçacıklara (elektronlara) karşılık gelen, (2.26) ve (2.27)
denklemleri ise anti-parçacıklara (deşiklere) karşılık gelen çözümler olarak adlandırılırlar.
2.1.2 Dirac denklemi için yük ve akım yoğunlukları
Yük ve akım yoğunluklarını elde etmek için (2.6) denklemi soldan Ψ † ile, (2.6) denkleminin Hermitik eşleniği ise sağdan Ψ ile çarpılıp her iki denklem birbirinden çıkarılır:
∂Ψ ∂Ψ †
†
ih̄ Ψ
+
Ψ + ih̄ c ~α · Ψ †~∇Ψ + ~∇Ψ †Ψ = 0,
∂t
∂t
(2.28)
∂
~ r,t) = 0.
ρ(~r,t) + ~∇ · J(~
∂t
~ r,t) = cΨ † ~α Ψ ise akım yoğunluğudur.
Burada ρ(~r,t) = Ψ †Ψ olasılık yoğunluğu, J(~
8
2.1.3 Elektromanyetik potansiyeller altında Dirac denklemi
Dış elektrik ve manyetik potansiyeller altında, (2.5) denklemindeki momentum ve enerji
q
~p −→ ~p − ~A
c
E −→ E − qφ
(2.29)
[(E − qφ ) − ~α · (c~p − q~A) − β mc2 ]Ψ = 0
(2.30)
olarak değiştirilirse, Dirac denklemi
h
i
2
~
~
şeklinde yazılır. (2.30) denklemi soldan (E − qφ ) + α · (c~p − qA) + β mc terimi ile
çarpılıp, ~α ve β ’ların denklem (2.9) ile verilen özellikleri kullanılırsa
{(E −qφ )2 −[~α ·(c~p−q~A)]2 −m2 c4 +(E −qφ )~α ·(c~p−q~A)−~α ·(c~p−q~A)(E −qφ )}Ψ = 0
(2.31)
elde edilir. (2.31) denkleminin ikinci terimi aşağıdaki bağıntı kullanılarak açılabilir
~ = ~B · C
~ + i~σ 0 · (~B × C).
~
(~α · ~B)(~α · C)
(2.32)
Burada, ~σ 0 işlemcisi aşağıdaki gibi tanımlıdır:

~σ 0 = 
~σ
0
0 ~σ

.
(2.33)
Böylece (2.31) denklemi
{(E − qφ )2 − (c~p − q~A)2 + qh̄c~σ 0 · ~B − m2 c4 + (E − qφ )~α · (c~p − q~A)−
(2.34)
~α · (c~p − q~A)(E − qφ )}Ψ = 0
şeklinde yazılır. Burada ~B = ~∇ × ~A ile tanımlanan manyetik alandır. (2.34) denkleminin
∂
son iki teriminde ~p = −ih̄~∇ ve E = ih̄ ifadeleri yerlerine koyulup düzenleme yapılırsa
∂t
[(E − qφ )2 − (c~p − q~A)2 − m2 c4 + qh̄c~σ 0 · ~B + iqh̄ c ~α ·~ε]Ψ = 0
9
(2.35)
denklemi elde edilir. Burada ~ε = ~∇φ şeklinde tanımlanan elektrik alandır. (2.35)
denkleminin ilk üç terimi göreli Schrödinger denklemidir. Kalan terimler ise görelilik
katkılarıdır.
2.2 Dirac-Weyl Denklemi
Kütlesiz spin- 12 parçacıkları tasvir etmek için 1929 yılında Weyl tarafından iki bileşenli
bir denklem önerilmiştir:
ih̄
∂ Φ(~r,t)
= c ~α ·~p Φ(~r,t).
∂t
(2.36)
Yukarıdaki denklem Dirac-Weyl denklemi olarak adlandırılır (Greiner 1987). Bu denklemdeki ~α matrisleri aşağıdaki bağıntıyı sağlarlar:
{αi , α j } = 2δi j ,
i, j = 1, 2, 3.
(2.37)
Burada, {, } anti-komütasyon bağıntısını temsil etmektedir. (2.37) bağıntısı Pauli matrisleri tarafından sağlandığından, ~α matrisleri Pauli matrisleri olarak seçilebilirler:
ih̄
∂ Φ(~r,t)
= c ~σ ·~p Φ(~r,t).
∂t
(2.38)
Bu denklem (2.6) ile verilen Dirac denkleminin β matrisli teriminin bulunmadığı duruma karşı gelir. Spin- 21 , yüksüz, “kütlesi sıfır” olan ve ışık hızında ilerleyen Nötrinonun
hareketi (Greiner 1987) ile karbonun allotropları olan grafen, fulleren ve nanotüplerde
kütlesiz Dirac elektronlarının hareketi Dirac-Weyl denklemi ile tanımlanır.
2.2.1 Grafen için Dirac-Weyl denklemi
Grafen iki boyutlu, altıgen örgü yapısına sahip tek tabakalı karbon yapıdır. Grafende
Fermi hızı (v f = c/300) ile ilerleyen, kütlesiz Dirac elektronlarının hareketi Dirac-Weyl
denklemi ile tanımlanır. Ayrıca karbonun diğer allotropları olan fullerenler ve nanotüplerde de bu kütlesiz parçacıkların hareketi Dirac-Weyl denklemi ile anlatılır. Ancak bu
10
durumda denklem sırası ile küre ve silindir yüzeyinde ifade edilir. Dirac elektronları
için Dirac noktası yakınında Hamiltoniyen
H = v f ~σ ·~p
(2.39)
∂ ∂
, ) momentum işlem∂x ∂y
cisidir. Kütlesiz Dirac elektronu için (2 + 1) boyutta Dirac-Weyl denklemi
şeklindedir. Burada ~σ = (σx , σy ) Pauli matrisleri ve ~p = −ih̄(
v f (~σ ·~p) Φ(x, y,t) = ih̄
∂ Φ(x, y,t)
∂t
(2.40)
ile verilir (Castro Neto vd. 2009).
2.2.2 Dirac-Weyl denklemi için 4’lü akım ifadesi
(2.38) denkleminde momentum işlemcisi ~p = −ih̄~∇ yerine yazılırsa
ih̄
elde edilir. ∇µ =
1 ∂Φ
+ ih̄~σ · ~∇Φ = 0
c ∂t
(2.41)
1∂ ~
− ∇ ve σµ = {1, ~σ } tanımları kullanılarak (2.41) denklemi
c ∂t
σµ ∇µ Φ = 0
(2.42)
olarak ifade edilir. (2.41) denklemi soldan (Φ)† ile, (2.38) denkleminin Hermitik eşleniği
ise sağdan Φ ile çarpılıp birbirinden çıkarılırsa, Dirac elektronu için süreklilik ifadesi
elde edilir:
∇µ (Φ)† σµ Φ = 0.
(2.43)
Jµ = (Φ)† σµ Φ
(2.44)
Buradan, dörtlü akım ifadesi
11
olarak yazılır. (2.44)’ün, uzay (olasılık akım yoğunluğu) ve zaman (olasılık yoğunluğu)
bileşenleri aşağıdaki gibidir (Greiner 1987):
J~ = c(Φ)†~σ Φ,
ρ = (Φ)† (Φ).
12
(2.45)
3. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ YÖNTEMLERİ
3.1 Çarpanlara Ayırma Yöntemi
Tek parçacıklı bir sistem için Hamilton işlemcisi
H1 = −
h̄2 d 2
+V1 (x)
2m dx2
(3.1)
ile verilir. Burada V1 (x) sisteme ait potansiyel enerji fonksiyonudur. ψ0 (x), H1 ’nin
|x| sonsuza giderken sıfıra giden, düğüm noktası olmayan ve ε01 = 0 enerji özdeğerli
bir özfonksiyonu olsun. ε01 = 0 enerji özdeğerli ψ0 (x) taban durumuna karşı gelen
H1 ψ0 (x) = ε01 ψ0 (x) Schrödinger denklemi
h̄2 d 2 ψ0 (x)
−
+V1 (x)ψ0 (x) = 0
2m dx2
(3.2)
olarak yazılır. Yukarıdaki denklemden V1 (x) potansiyeli taban durum fonksiyonu cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir:
V1 (x) =
h̄2 ψ000 (x)
.
2m ψ0 (x)
(3.3)
Burada, ve bundan sonra “ 0 ” fonksiyonun argümanına göre türevini gösterecektir;
d 2 ψ0 (x)
00
ψ0 (x) =
. Eğer taban durumu biliniyorsa, V1 (x) potansiyeli hesaplanabilir. H1
dx2
Hamiltoniyeni biri diğerinin Hermitsel eşleniği olan iki diferansiyel işlemcinin çarpımı
olarak yazılabilir:
H1 = L+ L− = −
h̄2 d 2
+V1 (x).
2m dx2
(3.4)
L− ve L+ işlemcileri, W (x) süperpotansiyeli cinsinden
h̄ d
L+ = − √
+W (x)
2m dx
h̄ d
L− = √
+W (x),
2m dx
(3.5)
şeklindedir. Böylece, L± diferansiyel işlemcileri H1 ’de yerine yazılarak, V1 (x) potansiyeli
h̄
V1 (x) = W 2 (x) − √ W 0 (x)
2m
13
(3.6)
olarak elde edilir. (3.6) denklemi W (x) için bir Riccati denklemidir. Taban durumu için
H1 ψ0 (x) = 0 olduğu bilinmektedir. Buradan, L+ L− ψ0 (x) = 0’dan L− ψ0 (x) = 0 sonucuna ulaşılır. Bu sonuç kullanılarak süperpotansiyel taban durumu cinsinden yazılabilir
h̄ ψ00 (x)
.
W (x) = − √
2m ψ0 (x)
(3.7)
(3.5) denklemi ile verilen diferansiyel işlemcilerin ters sıradaki çarpımı yeni bir Hamiltoniyen verir:
H2 = L− L+ = −
h̄2 d 2
+V2 (x).
2m dx2
(3.8)
Burada V2 (x),
h̄
V2 (x) = W 2 (x) + √ W 0 (x)
2m
(3.9)
şeklindedir ve V1 (x)’in süpersimetrik eşi olarak adlandırılır. V1 (x), V2 (x) eş potansiyellerine (süpereş) karşı gelen Hamiltoniyenlerin enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları
yakından ilişkilidir.
H1 ve H2 Hamiltoniyenlerinin enerji özdeğerleri sırası ile εn1 ve εn2 olarak gösterilsin.
Bu Hamiltoniyenlere ait özdeğer denklemleri
H1 ψn1 (x) = L+ L− ψn1 (x) = εn1 ψn1 (x),
(3.10)
H2 ψn2 (x) = L− L+ ψn2 (x) = εn2 ψn2 (x)
(3.11)
şeklinde yazılabilir. (3.10) denklemine soldan L− ve (3.11) denklemine soldan L+
işlemcisi etki ettirilirse sırası ile aşağıdaki eşitlikler elde edilir:
L− L+ L− ψn1 (x) = H2 (L− ψn1 (x)) = εn1 (L− ψn1 (x)),
(3.12)
L+ L− L+ ψn2 (x) = H1 (L+ ψn2 (x)) = εn2 (L+ ψn2 (x)).
(3.13)
14
Bu denklemlerden
1 ,
εn2 = εn+1
1 )−1/2 L− ψ 1 (x),
ψn2 (x) = (εn+1
n+1
2 (x)
ψn1 (x) = (εn2 )−1/2 L+ ψn−1
(3.14)
1 )−1/2 ve (ε 2 )−1/2 normalizasyon katsayılarıdır. Göbağıntıları yazılabilir. Burada (εn+1
n
rüldüğü gibi L± işlemcileri eş Hamiltoniyenlerin özfonksiyonlarını birbirine dönüştürür.
Burada H1 Hamiltoniyeninin taban durumu L− işlemcisi tarafından yok edildiği için bu
durumun herhangi bir süpersimetrik karşılığı bulunmamaktadır. H1 ’in özfonksiyonları
biliniyorsa (3.5) denkleminde tanımlanan işlemciler sayesinde H2 ’nin özfonksiyonları
elde edilebilir. Özetle, çözülebilir bir potansiyelden yola çıkılarak onun süpersimetrik
eşi olan çözülebilir bir başka potansiyel elde edilebilir. Bu şekilde elde edilen eş Hamiltoniyenler hemen hemen eş spektrumludur (Cooper vd. 1995).
H2 Hamiltoniyeni bir başka L2+ işlemcisi ve onun eşleniği L2− işlemcisi cinsinden tekrar
çarpanlarına ayrılabilir. Bu H2 Hamiltoniyeninin eşi ise bir başka H3 Hamiltoniyenidir.
Böylece taban durum enerjisi ε02 = ε11 olan H2 ’den başlayarak, H2 ’nin süpersimetrik eşi
olan H3 Hamiltoniyeni de benzer olarak kurulabilir ve H3 ’ün özdeğer ve özfonksiyonları bulunabilir. Bu şekilde elde edilen hiyerarşide her yeni Hamiltoniyen bir tane daha
az bağlı duruma sahip olur. Bu hiyerarşiye ait enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları
aşağıdaki gibi yazılır
m−1
m−2
1
εnm = εn+1
= εn+2
= ... = εn+m−1
,
(3.15)
1
−1/2 1
−1/2 +
1
+
+
1
ψnm (x) = εn+m−1
− εm−2
... εn+m−1 − ε01
Lm−1 Lm−2
Lm−3
...L1+ ψn+m−1
(x).
(3.16)
Burada n ilgili Hamiltoniyenin kaçıncı özdeğeri olduğunu gösterirken, m sayısı ise
hangi Hamiltoniyene ait olduğunu göstermektedir. şekil 3.1’de Hamiltoniyen hiyerarşisi
gösterilmektedir. Böylece H1 ’in tüm enerji ve özfonksiyonları bulunarak Hamiltoniyen
hiyerarşisindeki tüm özfonksiyonlar ve özdeğerler bulunmuş olur (Cooper vd. 1995).
15
Şekil 3.1 Hamiltoniyen hiyerarşisi
3.1.1 Sonsuz kare kuyu potansiyeli
Sonsuz kare kuyu potansiyeli

0 ≤ x ≤ L,
0

V (x) = 
(3.17)
x < 0,
∞
x > L,
için Schrödinger denklemi
d 2 ψ(x)
+ k2 ψ(x) = 0,
dx2
(3.18)
2m|ε|
olarak tanımlanır. (3.18) denklemine ait bire boyh̄2
landırılmış taban durum çözümü
şeklindedir. Burada k2 =
r
ψ01 (x) =
π 2
sin
x
L
L
(3.19)
h̄2 π 2
2mL2
(3.20)
ve taban durum enerji özdeğeri
ε0 =
16
olarak bulunur. Görüldüğü gibi sonsuz kuyu potansiyeline karşı gelen Hamiltoniyenin
taban durum enerjisi sıfır değildir. Ancak bu Hamiltoniyenden taban durum enerjisi
çıkarılarak çarpanlarına ayrılabilir. Çarpanlarına ayrılabilen Hamiltoniyen H1 = H − ε0
ile gösterilsin. H1 Hamiltoniyenine ait enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları (0 ≤ x ≤ L)
için
r
ψn1 (x) =
(n + 1)π
2
sin
x ,
L
L
εn1 =
n(n + 2)h̄2 π 2
;
2mL2
n = 0, 1, 2
(3.21)
şeklindedir. H1 Hamiltoniyeni için süperpotansiyel taban durum özfonksiyonu kullanılarak
h̄ 1 dψ01
h̄ π
πx
W (x) = − √
= −√
cot
1
L
2m ψ0 dx
2m L
(3.22)
biçiminde bulunur. V1 (x) potansiyelinin süpersimetrik eşi olan V2 (x), denklem (3.9)’dan
i
h̄
h̄2 π 2 h
2 πx
V2 (x) = W 2 (x) + √ W 0 (x) =
2
csc
−
1
2m L2
L
2m
(3.23)
olarak elde edilir. (3.14) denklemi kullanılarak H2 Hamiltoniyenine ait özfonksiyonlar
da bulunur. Örneğin,
π h̄
πx
ψ02 (x) = L− ψ11 = −2 √
sin2
L
mL3
(3.24)
1 (x) bağıntısınşeklindedir. Benzer olarak diğer özfonksiyonlar da ψn2 (x) = L− ψn+1
dan elde edilir. şekil 3.2’de H1 ve H2 Hamiltoniyenlerine ait ilk üç dalga fonksiyonu
çizdirilmiştir. Görüldüğü gibi V1 (x) = 0 potansiyelinden başlanılıp, sıfırdan farklı olan
(3.23) ile verilen potansiyele ulaşılır (Cooper vd. 1995).
3.2 Darboux Dönüşümü
Tek parçacık için Sturm-Liouville denklemi
00
− ψ (x) + u(x)ψ(x) = λ ψ(x)
17
(3.25)
Ψ2nHxL
Ψ1nHxL
1.5
1.0
0.5
0.5
0.2
0.6
1
x
0.2
0.6
1
x
-0.5
-0.5
-1.0
-1.5
V1,2HxL
300
250
200
150
100
50
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
Şekil 3.2 H1 ve H2 Hamiltoniyenlerine ait ilk üç özfonksiyon ve eş potansiyeller.
şeklindedir. Bu denklemin λ1 özdeğerine karşı gelen çözümü ψ1 (x) olsun. (3.25) denkleminin keyfi bir ψ(x) çözümü için, ψ1 (x) tarafından üretilen Darboux dönüşümü
ψ[1] (x) =
0
ψ1 (x)
0
d
W (ψ1 (x), ψ(x))
− σ1 ψ(x) = ψ (x) −
ψ(x) =
dx
ψ1 (x)
ψ1 (x)
(3.26)
ile verilir (Matveev ve Salle 1991). Burada σ1 , ψ1 (x)’in logaritmik türevini ve W (ψ1 (x),
ψ(x)) ise aşağıdaki gibi tanımlanan Wronskian determinantını göstermektedir:
0
0
W (ψ1 (x), ψ(x)) = ψ1 (x)ψ (x) − ψ1 (x)ψ(x).
(3.27)
(3.26) ile verilen dönüşüm (3.25)’e uygulanırsa
00
− ψ[1] (x) + u[1] (x)ψ[1] (x) = λ ψ[1] (x)
18
(3.28)
denklemi elde edilir. Görüldüğü gibi Darboux dönüşümü denklemin formunu değişmez
bırakır. Burada u[1] (x);
u[1] (x) = u(x) − 2σ1x = u(x) − 2
d2
ln ψ1 (x)
dx2
(3.29)
şeklindedir.
Böylece, Darboux dönüşümü ile çözülebilir bir potansiyelden yeni çözülebilir potansiyeller elde edilir. Bu dönüşüm birden fazla kere uygulanabilir. Bu durum Crum
Dönüşümü olarak adlandırılır (Matveev ve Salle 1991).
3.3 Bağlaştırım Yöntemi
Hl−1 ve Hl Hamiltoniyen işlemcileri Ll+ işlemcisi ile aşağıdaki gibi ilişkilendirilebilirler:
Ll+ Hl−1 = Hl Ll+ .
(3.30)
Bu şekilde Ll+ bağlaştırım işlemcisi Hl−1 ve Hl işlemcilerinin özfonksiyonları arasında
bağlaştırım kurar. Bağlaştırım işlemcisinin özellikleri aşağıdaki gibidir:
1) ψnl−1 (x), Hl−1 ’in εnl−1 özdeğerli bir özfonksiyonu ise, ψnl (x) = Ll+ ψnl−1 (x)’de Hl ’nin
εnl−1 özdeğerli bir özfonksiyonudur. Hl−1 ve Hl Hamiltoniyenleri için Schrödinger
denklemleri,
Hl−1 ψnl−1 (x) = εnl−1 ψnl−1 (x),
Hl ψnl (x) = εnl ψnl (x)
(3.31)
şeklinde yazılabilir. Ll+ işlemcisi Hl−1 ’e uygulanırsa
Ll+ Hl−1 ψnl−1 (x) = εnl−1 Ll+ ψnl−1 (x),
Hl (Ll+ ψnl−1 (x)) = εnl−1 (Ll+ ψnl−1 (x)) (3.32)
eşitlikleri elde edilir. Yani Ll+ ψnl−1 (x), Hl ’nin εnl−1 özdeğerli bir özfonksiyonudur.
2) Ll+ işlemcisinin Hermitik eşleniği olan Ll− işlemcisi, Ll+ işlemcisinin tersi yönde
19
bağlaştırım yapar
Hl−1 Ll− = Ll− Hl .
(3.33)
3.4 Şekil Değişmezlik
Daha önce anlatılan süpersimetrik eş potansiyellerin şekilleri aynı ve sadece parametreleri farklı ise onlara şekil değişmez potansiyeller denir. Aradaki ilişki
V2 (x; a1 ) = V1 (x; a2 ) + R(a1 )
(3.34)
şeklindedir. Burada, a1 parametrelerin kümesi, a2 = f (a1 ) şeklinde a1 ’in fonksiyonu
ve R(a1 ) ise x’den bağımsız bir fonksiyondur. (3.34) ile verilen özellik kullanılarak
şekil değişmez potansiyellerin enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları bulunabilir. Şekil
değişmezlik koşulu tekrarlanırsa
m−1
d2
Hm = − 2 +V1 (x; am ) + ∑ R(ak )
dx
k=1
(3.35)
olduğu açıktır. Burada kolaylık için h̄2 = 2m = 1 olarak alınmıştır ve am = f m−1 (a1 )’dir
( f fonksiyonu m − 1 kere uygulanmıştır). Benzer şekilde Hm+1 Hamiltoniyeni yazılabilir:
Hm+1 = −
m
m−1
d2
d2
+V
(x;
a
)
+
R(a
)
=
−
+V
(x;
a
)
+
m
1
m+1
2
∑ k
∑ R(ak ).
dx2
dx2
k=1
k=1
(3.36)
Hm ve Hm+1 Hamiltoniyenlerinin spektrumları karşılaştırıldığında Hm ’nin taban durumu
dışında her iki Hamiltoniyeninde aynı spektruma sahip olduğu görülmektedir. Hm ’nin
taban durum enerji özdeğeri
m−1
ε0m =
∑ R(ak )
(3.37)
k=1
şeklindedir. Bu denklemden ε01 = 0 olduğu açıkça görülmektedir. Hm ve Hm+1 Hamiltoniyenleri arasında yapılan bu karşılaştıma H1 ve H2 ’ye kadar sürdürülebilir. Taban
durum enerjisi sıfır olan H1 Hamiltoniyenin n’inci özdeğeri Hn Hamiltoniyeninin taban
20
durumuna karşılık gelir. Böylece H1 ’in spektrumu aşağıdaki gibidir:
n
εn1 (a1 ) =
∑ R(ak ),
ε01 (a1 ) = 0.
(3.38)
k=1
Benzer şekilde şekil değişmezlik özelliği yardımı ile özfonksiyonlar da bulunabilir.
H1 ’in n. enerji düzeyine karşılık gelen normalize olmamış özfonksiyonu L+ işlemcileri yardımıyla elde edilir
ψn1 (x; a1 ) ∝ L+ (x; a1 )L+ (x; a2 )...L+ (x; an )ψ0n (x; an+1 ).
(3.39)
3.4.1 Pöschl-Teller potansiyeli
Pöschl-Teller potansiyeline karşı gelen Hamiltoniyen,
Hl = −
d2
l(l + 1)
−
2
dx
cosh2 x
(3.40)
ile verilir. Burada h̄2 = 2m = 1 alınmıştır. Bu Hamiltoniyen birinci mertebeden L+ ve
L− işlemcileri ile aşağıdaki gibi çarpanlarına ayrılabilir;
Hl = Ll+ Ll− + λl .
(3.41)
Burada L± çizgisel işlemcileri ve λl = ε0l
Ll± = ∓
d
+ l tanh x,
dx
λl = −l 2
(3.42)
şeklinde tanımlanır. (3.41) denklemine karşı gelen süperpotansiyel ise W (x) = l tanh x
olarak ifade edilir. Ll± ’lerin ters sıradaki çarpımı Hl−1 Hamiltoniyenine yol açar. Böylece,
hiyerarşi için
−
+
Hl = Ll+ Ll− + λl = Ll+1
Ll+1
+ λl+1
21
(3.43)
eşitliği elde edilir (Cooper vd. 1995). Hl ve Hl−1 Hamiltoniyenleri arasındaki bağlaştırım
bağıntıları
Ll− Hl = Hl−1 Ll− ,
Ll+ Hl−1 = Hl Ll+
(3.44)
şeklindedir. (3.40) Hamiltoniyenine ait λl = ε0l = −l 2 enerjili taban durum özfonksiyonu, Ll− ψ0l (x) = 0’dan hesaplanır:
ψ0l (x) = N0 (cosh x)−l .
(3.45)
Burada N0 normalizasyon katsayısıdır. ε0l = ε1l+1 = −l 2 enerji özdeğerli ψ1l+1 (x) özfonksi+
yonu ise ψ1l+1 (x) = Ll+1
ψ0l (x) formülü kullanılarak aşağıdaki gibi elde edilir:
ψ1l+1 (x) = N1 (2l + 1) sinh x(cosh x)−l−1 .
(3.46)
Benzer olarak, ε0l = ε1l+1 = ε2l+2 = −l 2 enerji özdeğerli ψ2l+2 (x) özfonksiyonu ψ2l+2 (x) =
+
ψ1l+1 (x) eşitliğinden faydalanılarak bulunabilir:
Ll+2
ψ2l+2 (x) = N2 (2l + 1)(cosh x)−l [2(l + 2)(tanh x)2 − 1].
(3.47)
Hl+n Hamiltoniyeninin εnl+n = −l 2 enerjili özfonksiyonu ise aşağıdaki ifadeden bulunur
(Cooper vd. 1995),
+
+
+
ψnl+n (x) = Nnl+n Ll+n
Ll+n−1
...Ll+1
ψ0l (x).
(3.48)
Burada Nnl+n normalizasyon katsayısıdır. εnl = −(l − n)2 enerjili, ψnl (x) durumu ise
ψnl (x) = 2(n+1−λ ) (1 + tanh x)(n+1−λ )/2 (1 − tanh x)−(n+1−λ )/2
1 + tanh x
.
2 F1 2λ − n − 1, −n; λ − n;
2
olarak elde edilir.
22
(3.49)
4. DÜZLEMDE HAREKET EDEN KÜTLESİZ PARÇACIKLAR İÇİN ANALİTİK ÇÖZÜMLER
4.1 Düzlemde Dirac-Weyl Denklemi ve SUSY Eş Hamiltoniyenler
Düzlemde v hızıyla hareket eden kütlesiz Dirac parçacıkları için Dirac-Weyl denklemi
aşağıdaki gibidir
∂ Φ(x, y,t)
.
∂t
v(~σ ·~p)Φ(x, y,t) = ih̄
(4.1)
Φ(x, y,t) özfonksiyonları
Φ(x, y,t) = Ψ(x, y) e−
iEt
h̄
(4.2)
şeklinde seçilir, bu ifade (4.1)’de yerine yazılırsa
v(~σ ·~p)Ψ(x, y) = EΨ(x, y)
(4.3)
durağan durum Dirac-Weyl denklemi elde edilir. Yüzeye dik bir manyetik alan ile
q
parçacığın etkileşmesi (4.3) denkleminde ~p −→ ~p − ~A değişikliğini gerektirir. Elekc
tronun yükü q = −e’dir ve vektör potansiyel
~A = (Ax , Ay , 0),
~B = ~∇ × ~A
(4.4)
ile verilmektedir. Böylece (4.3) denklemi
h e i
v ~σ · ~p + ~A Ψ(x, y) = EΨ(x, y)
c
(4.5)
şeklini alır. Burada Ψ(x, y) = (φ1 (x, y) φ2 (x, y))T iki sütunlu bir matristir ve T işareti
matrisin transpozunu göstermektedir. (4.5) denkleminin açık matris formu yazılarak
φ1 (x, y) ve φ2 (x, y)’yi içeren iki ayrı denklem elde edilir (Kuru vd. 2009):
eAy
eAx
∂
∂
−i
+i
−i +
φ2 (x, y) = ε̃φ1 (x, y),
∂x
ch̄
∂ y ch̄
eAy
∂
eAx
∂
−i
+i
+i −
φ1 (x, y) = ε̃φ2 (x, y).
∂x
ch̄
∂ y ch̄
(4.6)
23
(4.7)
E
ile verilir. y yönünde öteleme simetrisine sahip bir manyetik alan seçilip,
vh̄
vektör potansiyeli için Landau ayarı kullanılırsa
Burada ε̃ =
~A(x) = (0, Ay (x), 0) ,
~B(x) = (0, 0, B(x)) ,
B(x) =
dAy (x)
dx
(4.8)
(4.6) ve (4.7) denklemleri y’den bağımsız olurlar. Bu durumda Ψ(x, y) çözümü
T
Ψ(x, y) = eiky ψ 1 (x) iψ 2 (x)
(4.9)
biçiminde yazılabilir. Burada k, y doğrultusundaki dalga sayısını göstermektedir. Seçilen
bu çözüm ile (4.6) ve (4.7) denklemleri aşağıdaki hale gelirler:
d
e
+ k + Ay ψ 2 (x) = ε̃ψ 1 (x),
dx
ch̄
e
d
− + k + Ay ψ 1 (x) = ε̃ψ 2 (x).
dx
ch̄
(4.10)
(4.11)
(4.10) ve (4.11) denklemlerinden ikinci mertebeden iki tane diferansiyel denklem elde
edilir
"
2
#
2
dA
eA
d
e
y
y
H1 ψ 1 (x) = − 2 + k +
+
ψ 1 (x) = εψ 1 (x),
dx
ch̄
ch̄ dx
(4.12)
2
#
2
dA
eA
e
d
y
y
H2 ψ 2 (x) = − 2 + k +
−
ψ 2 (x) = εψ 2 (x).
dx
ch̄
ch̄ dx
(4.13)
"
E2
şeklinde tanımlanır. H1 ve H2 etkin Hamiltoniyenleri ise kısaca
h̄2 v2
aşağıdaki formda yazılabilirler:
Burada ε = ε̃ 2 =
H1 = −
d2
+V1 (x),
dx2
H2 = −
d2
+V2 (x).
dx2
(4.14)
Birinci mertebeden birbirinin Hermitsel eşleniği olan diferansiyel işlemciler
L± = ∓
d
+W (x)
dx
24
(4.15)
olarak tanımlansın. Bu durumda W (x) süperpotansiyeli
W (x) = k +
eAy
ch̄
(4.16)
şeklindedir. Böylece (4.10) ve (4.11) denklemleri (4.15) denkleminde tanımlanan işlemciler cinsinden yazılabilir
L− ψ 2 (x) = ε ψ 1 (x),
L+ ψ 1 (x) = ε ψ 2 (x).
(4.17)
Ayrıca denklem (4.14) ile verilen Hamiltoniyenler bu işlemciler cinsinden çarpanlarına
ayrılabilirler:
H1 = L− L+ ,
H2 = L+ L− .
(4.18)
Bu Hamiltoniyenlere ait V1,2 (x) potansiyelleri ise denklem (4.16) ile verilen süperpotan0
siyeller cinsinden, W = dW /dx olmak üzere
V1 (x) = W 2 +W 0 ,
V2 (x) = W 2 −W 0
(4.19)
şeklinde ifade edilebilirler. (4.17) ve (4.18) denklemlerinden yararlanarak
H1 L− = L− H2
(4.20)
bağlaştırım bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıdan çıkarılabilecek birçok sonuç vardır: 1)
H1 ve H2 Hamiltoniyenlerinin birbirlerinin süpersimetrik eşleri olduğu söylenebilir. 2)
Eğer H1 (H2 ) Hamiltoniyeninin spektrumu biliniyorsa, onun eşi olan H2 (H1 ) Hamiltoniyeninin de spektrumu taban durumu hariç bulunabilir.
Bu yöntem uygulanırken üç farklı durum göz önüne alınabilir.
(i) {ψn2 (x)} özfonksiyonlar kümesine karşılık gelen H2 Hamiltoniyeninin özdeğerler
kümesi {εn2 }, n : 0, 1, 2, ... olsun. Eğer H2 ’nin taban durumu L− işlemcisi tarafından
yok ediliyorsa
L− ψ02 (x) = 0
25
(4.21)
denklemi yazılabilir. (4.18) denkleminden yararlanarak eş Hamiltoniyenlerin özfonksiyonları ve enerji özdeğerleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibi ifade edilir;
1
1
ψn−1
(x) = p L− ψn2 (x),
εn2
1
εn−1
= εn2 ,
n = 1, 2, ... .
(4.22)
Yukarıdaki denklem kullanılarak Dirac-Weyl denkleminin özfonksiyonları ve enerji özdeğerleri



Ψ0 (x, y) = eiky 
0
iψ02 (x)

,
ε̃0 = ε02 = 0
(4.23)

Ψn

1 (x)
ψn−1

,

2
iψn (x)
q
p
1 ,
ε̃±,n = ± εn2 = ± εn−1

(x, y) = eiky
şeklinde yazılır (Kuru vd. 2009). Dirac-Weyl denklemine ait özfonksiyonlar biliniyorsa
olasılık yoğunluğu
1
ρn = (Ψn (x, y))† (Ψn (x, y)) = (ψn−1
(x))2 + (ψn2 (x))2
(4.24)
ifadesinden hesaplanabilir. y yönündeki akım yoğunluğu ise aşağıdaki gibi yazılır:
1
jn,y (x) = e v (Ψn (x, y))† σy (Ψn (x, y)) = 2e v ψn−1
(x)ψn2 (x).
(4.25)
Dikkat edilmelidir ki uygulanan dış manyetik alan Dirac elektronlarının x yönünde
hareketini engelleyeceğinden, x yönündeki akım yoğunluğunun sıfır çıkması beklenir.
Gerçekten de x yönündeki akım yoğunluğu sıfır çıkar:
jn,x (x) = e v (Ψn (x, y))† σx (Ψn (x, y)),

1 (x)
jn,x (x) = e v ψn−1

1 (x)
ψn−1

 0 1 

− iψn2 (x) 

 = 0.
1 0
iψn2 (x)
26
(4.26)
(4.24) ve (4.25) denklemlerinin her ikiside zamandan bağımsız oldukları için durağan
durumlara karşılık gelmektedirler. Ayrıca y yönünde öteleme simetrisine sahip olduklarından y’den bağımsızdırlar. (4.23) denkleminden görüldüğü gibi spektrumdaki negatif
ve pozitif enerji özdeğerleri fiziksel olarak sırası ile elektronlara ve deşiklere karşılık
gelmektedirler.
(ii) H1 Hamiltoniyeninin εn1 ,
n = 0, 1, 2, ... özdeğerlerine karşı gelen özfonksiyonlar
kümesi {ψn1 (x)} olsun ve H1 işlemcisinin taban durumu L+ işlemcisi tarafından yok
edilsin:
L+ ψ01 (x) = 0.
(4.27)
Buradan ε01 = 0 sonucu açıkça görülmektedir. Böylelikle ilk durumdakine benzer olarak
1
2
ψn−1
(x) = p L+ ψn1 (x),
εn1
2
εn−1
= εn1 ,
n = 1, 2, ...
(4.28)
denklemleri yazılabilir. Dirac-Weyl denklemi için özfonksiyonlar ve enerji özdeğerleri

Ψ0 (x, y) = eiky 
ψ01 (x)
0

,
ε̃0 = ε01 = 0
(4.29)

Ψn (x, y) = eiky 
ψn1 (x)
2 (x)
iψn−1

,
p
p
ε̃±,n = ± εn2 = ± εn1 − 1
şeklindedir.
(iii) Her iki Hamiltoniyenin de taban durumlarının sıfırdan farklı olduğu durumda
L− ψ02 (x) ∝ ψ01 (x) 6= 0
L+ ψ01 (x) ∝ ψ02 (x) 6= 0,
(4.30)
denklemleri yazılabilir. Her iki Hamiltoniyene ait özfonksiyonlar ve enerji özdeğerleri
aşağıdaki gibidir:
1
ψn1 (x) = √ L− ψn2 (x),
εn
1
ψn2 (x) = √ L+ ψn1 (x),
εn
27
εn1 = εn2 = εn .
(4.31)
Genel olarak Dirac-Weyl denkleminin özdeğer ve özfonksiyonları ise

Ψn (x, y) = eiky 
ψn1 (x)
iψn2 (x)

,
√
ε̃±,n = ± εn
n = 0, 1, 2, ...
(4.32)
olarak yazılır.
4.2 Çözülebilir Durumlar
Bu bölümde detaylı bir şekilde tam çözülebilir etkin potansiyellere neden olan bazı özel
vektör potansiyeli durumları incelenecektir. Örneklerde kullanılacak α, w, D parametreleri pozitiftir.
4.2.1 Sabit manyetik alan
(4.8) denkleminden pozitif z yönünde düzleme dik sabit bir manyetik alan elde edebilmek için ~B = (0, 0, B0 ) ve Ay = B0 x olarak seçilsin. Bu durumda, (4.16) denklemindeki süperpotansiyel
W (x) = k +
eB0
1
x = k + wx,
ch̄
2
B0 =
ch̄
w
2e
(4.33)
şeklindedir. Burada w sabitinin boyutu (uzunluk)−2 ’dir. (4.19) denkleminden yararlanılarak aşağıdaki eş potansiyeller elde edilir
w2
2k 2 1
V1 (x) =
x+
+ w,
4
w
2
w2
2k 2 1
V2 (x) =
x+
− w.
4
w
2
(4.34)
Burada (i) ile verilen durum göz önünde bulundurulursa H1 ve H2 ’nin enerji özdeğerleri
ε02 = 0,
1
εn2 = εn−1
= nw,
n = 1, 2, ...
(4.35)
olarak bulunur. Sisteme ait özfonksiyonlar ise Hermite polinomları cinsinden
1 2
ψn2 (z(x)) = ψn1 (z(x)) = Cn e− 2 z Hn (z) = φn (x)
28
(4.36)
şeklindedir (Cooper vd. 1995). Burada Cn normalizasyon katsayısıdır ve
r 2k
w
z(x) =
x+
2
w
(4.37)
ile verilir. şekil 4.1’de sabit manyetik alan durumu için eş potansiyellerin, manyetik alan
ve enerjilerin, şekil 4.2’de ise sabit manyetik alan durumu için olasılık ve akım yoğunluklarının grafikleri çizdirilmiştir. Böylece Dirac-Weyl denkleminin enerji özdeğerleri
ve özfonksiyonları (4.23) denkleminden aşağıdaki gibi elde edilir:

Ψn (x, y) = eiky 
φn−1 (x)
iφn (x)

,
√
ε̃±,n = ± wn,
n = 1, 2, ...
(4.38)
(4.35) denklemi ile verilen enerji özdeğerleri dalga sayısı olan k’dan bağımsızdır. Yalnızca etkin potansiyeller ve özfonksiyonlar dalga sayısına bağlıdır.
4.2.2 Hiperbolik bariyer
Bir diğer çözülebilir durum ise vektör potansiyelinin Ay =
B0
tanh αx olduğu durumdur.
α
Bu vektör potansiyeline karşılık gelen manyetik alan
~B(x) = 0, 0,
B0
cosh2 αx
(4.39)
şeklindedir ve süperpotansiyel ise
W (x) = k + D tanh αx,
D=
eB0
h̄cα
(4.40)
ile verilir. Böylece (4.19) denkleminden potansiyeller
V1 (x) = k2 + D2 − D(D − α)sech2 αx + 2kD tanh αx,
(4.41)
V2
(x) = k2 + D2 − D(D + α)sech2 αx + 2kD tanh αx
29
¶HkL
V1,2HxL, eBHxLcÑ
2.0
4
1.5
3
-6
-4
2
1.0
1
0.5
2
-2
x
-2
1
-1
2
k
Şekil 4.1 Sabit manyetik alan durumu için eş potansiyeller, manyetik alan ve enerjiler
olarak elde edilir. Yalnızca k < D için H1 ve H2 Hamiltoniyenlerinin spektrumu sınırlıdır. Bu potansiyeller için enerji özdeğerleri
1
εn2 = εn−1
= D2 + k2 − (D − nα)2 −
k2 D2
>0
(D − nα)2
(4.42)
ve özfonksiyonlar
(s j −n+a j ,s j −n−a j )
ψnj (z(x)) = (1 − z)(s j −n+a j )/2 (1 + z)(s j −n−a j )/2 Pn
(z(x))
j = 1, 2
(4.43)
şeklinde bulunur (Cooper vd. 1995). Burada
z = tanh αx, s1 =
D
α
− 1, s2 = s1 + 1, a1 =
(a,b)
Pn
Jacobi polinomlarını gösterir ve
kD
α(D−nα−α) ,
a2 =
kD
α(D−nα)
olarak tanım-
lanır. şekil 4.3’de eş potansiyeller, manyetik alan ve enerjiler, şekil 4.4’de ise hiperbolik
bariyer durumu için olasılık ve akım yoğunlukları grafikleri görülmektedir. Dirac-Weyl
denkleminin özdeğerleri ise
s
ε̃±,n = ±h̄v
D2 + k2 − (D − nα)2 −
olarak elde edilir.
30
k2 D2
(D − nα)2
(4.44)
jnHxL
ev
ΡnHxL
0.4
0.2
0.3
0.1
-6
-4
x
2
-2
-0.1
-6
-4
-2
2
-0.2
x
4
Şekil 4.2 Sabit manyetik alan durumu için olasılık ve akım yoğunlukları
V1,2HxL, eBHxLcÑ
50
¶HkL
6
30
4
2
10
-4
-2
2
4
x
-6
-2
2
6
Şekil 4.3 Hiperbolik bariyer için eş potansiyeller, manyetik alan ve enerjiler
31
k
jnHxL
eΥ
ΡnHxL
1
0.6
0.2
0.6
-3
1
-1
-0.2
0.2
-4
-2
2
-0.6
x
Şekil 4.4 Hiperbolik bariyer durumu için olasılık ve akım yoğunlukları
32
x
5. KÜRE YÜZEYİNDE HAREKET EDEN KÜTLESİZ PARÇACIKLAR İÇİN
ANALİTİK ÇÖZÜMLER
5.1 Küre Üzerinde Dirac-Weyl Denklemi
(3 + 1) boyuttaki Dirac-Weyl denklemi kartezyen koordinatlarda aşağıdaki gibi ifade
edilir:
∂ Φ(x, y, z,t)
.
(5.1)
∂t
∂ ∂ ∂
Burada ~σ = (σx , σy , σz ) Pauli matrisi ve ~p = −ih̄
, ,
üç boyutta momentum
∂x ∂y ∂z
işlemcisidir. Dirac elektronu ile manyetik alanın etkileşimi göz önüne alınırsa (5.1)
q
denkleminde ~p −→ ~p − ~A değişikliğinin yapılması gerekir. Burada q = −e elektronun
c
~
yüküdür ve A vektör potansiyeli aşağıdaki gibi tanımlanır
v(~σ ·~p)Φ(x, y, z,t) = ih̄
~A = (Ax , Ay , Az ),
~B = ~∇ × ~A.
(5.2)
Böylece (5.1) denklemi
h e ~ i
~
v σ · ~p + A Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z)
c
(5.3)
şeklinde yazılır.
Küresel koordinatlar ve kartezyen koordinatlar arasındaki ilişki
x = r sin θ cos φ ,
y = r sin θ sin φ ,
z = r cos θ
(5.4)
ile verilir. Burada (r, θ , φ ) küresel koordinatları, 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π
aralıklarında tanımlanmışdır. Bu çalışmada z yönünde dönme simetrisine sahip küre
yüzeyine dik bir manyetik alan ele alınacaktır. Bu nedenle vektör potansiyeli aşağıdaki
biçimde olmalıdır:
~A = A(θ )φ̂ = A(θ )(− sin φ , cos φ , 0).
33
(5.5)
Küresel koordinatlarda (5.3) denklemi matris formunda


H =
−i(cos θ ∂∂r − sinr θ ∂∂θ
1
∂
ie
e−iφ (−i sin θ ∂∂r − i cosr θ ∂∂θ − r sin
θ ∂ φ + c h̄ A(θ ))
1
∂
ie
eiφ (−i sin θ ∂∂r − i cosr θ ∂∂θ + r sin
θ ∂ φ − c h̄ A(θ ))
i(cos θ ∂∂r − sinr θ ∂∂θ )


(5.6)
şeklindedir. Böylece Dirac-Weyl denklemi
HΨ(r, θ , φ ) = ε̃Ψ(r, θ , φ ),
ε̃ =
E
h̄v
(5.7)
olarak elde edilir. r = R sabit seçilerek, yani problem küre yüzeyine sınırlandırılarak
denkleme ait özfonksiyon Ψ(r, θ , φ ) = Ψ(θ , φ ) şeklinde alınabilir. z yönündeki toplam
açısal momentum işlemcisi
Jz = −ih̄
∂
h̄
+ σz
∂φ 2
(5.8)
olarak yazılır. Sistem z ekseni etrafında dönme simetrisine sahip olduğu için Jz ve H
işlemcileri sıradeğişir. Böylece aşağıdaki denklem yazılabilir:
Jz Ψ(θ , φ ) = λ h̄Ψ(θ , φ ).
(5.9)
Jz ’nin açık ifadesi yerine konulup (5.9) denklemi çözülürse Ψ(θ , φ )


1
ei(λ − 2 )φ
f1 (θ ) 

1
i(λ
+
)φ
2
e
f2 (θ )

Ψ(θ , φ ) = N 
(5.10)
olarak elde edilir (Jakubsky vd. 2013). Burada λ buçuklu bir tek sayı ve N ise normalizasyon katsayısıdır. (5.6) ve (5.10) denklemleri (5.7) ’de yerine yazılırsa
i
d
i
i
d
λ
e
sin θ σz
−
cos θ +
σx
+
+ A(θ ) σy F(θ ) = ε̃F(θ )
R
dθ
R
2R sin θ
dθ
R sin θ ch̄
(5.11)
f2 (θ ))T aşağıdaki gibi seçilsin
denklemine ulaşılır. Burada F(θ ) = ( f1 (θ )

F(θ ) = eiθ
σy
2


34
ψ 1θ )
ψ 2 (θ )


.
(5.12)
(5.11) denkleminde σz ’li terimi yok etmek için, F(θ ) ifadesi (5.11) denkleminde yerine
konulup Baker-Campbell-Hausdorff formülü uygulanırsa


0
S21




1
1
S12  ψ (θ ) 
 ψ (θ ) 

 = ε̃ 

0
ψ 2 (θ )
ψ 2 (θ )
(5.13)
matris formundaki denklem elde edilir. Matris elemanları olan S12 ve S21 ise aşağıdaki
gibi tanımlanır
i d
i
λ
e
S12 = −
−
cot θ − i
+ A(θ ) ,
R dθ 2R
R sin θ ch̄
(5.14)
i
λ
e
i d
−
cot θ + i
+ A(θ ) .
S21 = −
R dθ 2R
R sin θ ch̄
Denklem (5.13) ile verilen Hamiltoniyen açıkça Hermitsel değildir. Hermitsellik için
i
cot θ teriminin ortadan kaldırılması gerekir. Bu sebeple ψ 1 (θ ) ψ 2 (θ ) özfonksi2R
yonu
T
T
(5.15)
ψ 1 (θ ) ψ 2 (θ ) = eβ (θ ) g1 (θ ) i g2 (θ )
şeklinde seçilmelidir. Bu ifade (5.13)’de yerine konularak β (θ ) fonksiyonunun açık
ifadesi elde edilir. Böylece (5.15) denklemi
T
T
1
ψ 1 (θ ) ψ 2 (θ ) = √
g1 (θ ) ig2 (θ )
sin θ
(5.16)
şeklinde yazılır. (5.16), (5.13) denkleminde yerine yazılıp düzenleme yapılırsa


0
M21




1
1
M12  g (θ ) 
 g (θ ) 

 = ε̃ 

2
2
0
ig (θ )
ig (θ )
(5.17)
elde edilir. Burada M12 ve M21
λ
e
i d
M12 = −
−i
+ A(θ ) ,
R dθ
R sin θ ch̄
i d
λ
e
M21 = −
+i
+ A(θ )
R dθ
R sin θ ch̄
(5.18)
35
ile verilir. Böylece (5.17) denklemi, g1 (θ ) ve g2 (θ ) fonksiyonları için bir çift diferansiyel denklem olarak yazılabilir (Jakubsky vd. 2013):
d
λ
eR
+
+ A(θ ) g2 (θ ) = R ε̃ g1 (θ ),
dθ sin θ ch̄
(5.19)
d
λ
eR
−
+
+ A(θ ) g1 (θ ) = R ε̃ g2 (θ ).
dθ sin θ ch̄
5.2 Küresel Moleküller için SUSY Eş Hamiltoniyenler
(5.17) denklemindeki süpersimetrik yapıyı ortaya koymak için aşağıdaki işlemciler tanımlansın:
L± = ∓
d
+W (θ ),
dθ
W (θ ) =
λ
eR
+ A(θ ).
sin θ ch̄
(5.20)
Burada W (θ ) süperpotansiyel olarak adlandırılır. Bu seçim ile (5.17) denklemi

 0

iL+
−iL−
0



g1 (θ )
ig2 (θ )




 = R ε̃ 
g1 (θ )
ig2 (θ )



(5.21)
şekilde yazılabilir. Benzer olarak (5.19) denklemi de L± işlemcileri cinsinden aşağıdaki
gibi ifade edilebilir:
L− g2 (θ ) = R ε̃ g1 (θ ),
L+ g1 (θ ) = R ε̃ g2 (θ ).
(5.22)
(5.22) denklemlerinden bir çift ikinci mertebeden diferansiyel denklem elde edilir:
H1 g1 (θ ) = L− L+ g1 (θ ) = ε g1 (θ ),
H2 g2 (θ ) = L+ L− g2 (θ ) = ε g2 (θ ).
36
(5.23)
Burada ε = ε̃ 2 R2 olarak tanımlanır. (5.23) denklemleri matris formunda tek bir denklem
olarak aşağıdaki gibi yazılır:


L− L+


0
L+ L−
0


g1 (θ )
ig2 (θ )




=ε
g1 (θ )
ig2 (θ )


.
(5.24)
Eş Hamiltoniyenler ise
H1 (θ ) = −
d2
+V1 (θ ),
dθ 2
H2 (θ ) = −
d2
+V2 (θ )
dθ 2
(5.25)
şeklindedir. V1 (θ ) ve V2 (θ ) potansiyelleri süperpotansiyel cinsinden aşağıdaki gibi
yazılırlar:
V1 (θ ) = W (θ )2 +W 0 (θ ),
V2 (θ ) = W (θ )2 −W 0 (θ ).
(5.26)
Yukarıdaki bağıntılar H1 ve H2 Hamiltoniyenlerinin bir boyutta süpersimetrik eş Hamiltoniyenler olduklarını göstermektedir. L± ise bu iki eş Hamiltoniyen arasında bağlaştırım
işlemcileridir
H1 L− = L− H2 ,
H2 L+ = L+ H1 .
(5.27)
Yukarıdaki bağlaştırım bağıntıları, eğer bir Hamiltoniyenin H1 (H2 ) spektrumu biliniyorsa, eş Hamiltoniyeninin spektrumunun taban durumu hariç aynı olduğunu göstermektedir. Burada da 4. Bölümdeki (i) durumu ele alınacaktır.
{g2n (θ )} özfonksiyonlar kümesine karşılık gelen H2 Hamiltoniyeninin kesikli spektrumu
{εn2 },
n = 0, 1, ... ile gösterilsin. L− işlemcisi H2 ’nin taban durumunu yok etsin
L− g20 (θ ) = 0.
(5.28)
L− işlemcisi yerine yazılıp, diferansiyel denklem çözülürse H2 için taban durumu
g20 (θ ) = N0
Zθ
θ λ
eR
0
0
exp −
A(θ )dθ
cot
2
0 ch̄
(5.29)
olarak elde edilir. (5.23) ve (5.28) denklemlerinin bir sonucu olarak ε02 = 0’dır. (5.29)
denklemi [0, π] aralığında karesi integrallenebilir olduğu ve sınır koşullarını sağladığı
37
sürece iyi tanımlıdır. H1 ’in kesikli spektrumu {εn1 } ve {g1n (θ )} normalize özfonksiyonları
1
g1n−1 (θ ) = p L− g2n (θ ),
εn2
1
εn−1
= εn2 ,
n = 1, 2, ...
1
.
ε0n = εn2 = εn−1
ε0 = ε02 = 0,
(5.30)
(5.31)
şeklinde elde edilir. Yukarıdaki sonuçlar ile birlikte Dirac-Weyl denkleminin özfonksiyonları ve enerji özdeğerleri


0
e−iθ σy /2 

Ψ0 (θ , φ ) = N √

,
1
sin θ
i(λ
+
)φ
2
2
ie
g0 (θ )
ε̃±, 0 =
1√
ε0 = 0
R
(5.32)


1
i(λ − 2 )φ g1 (θ )
n−1
e−iθ σy /2  ±e

Ψ±,n (θ , φ ) = N √

,
1
sin θ
i(λ
+
)φ
2
2
ie
gn (θ )
ε̃±, n = ±
1√
εn
R
ile verilir. φ̂ ve θ̂ yönündeki akım yoğunlukları
jn,φ (θ ) = e v (Ψ±,n (θ , φ ))† σφ (Ψ±,n (θ , φ )) =
2e v 1
g (θ ) g2n (θ ),
sin θ n−1
jn,θ (θ ) = e v (Ψ±,n (θ , φ ))† σθ (Ψ±,n (θ , φ )) = e v (g2n (θ ))2 − (g1n−1 (θ ))2
(5.33)
(5.34)
ve olasılık yoğunluğu
ρn (θ ) = (Ψ±,n (θ , φ ))† (Ψ±,n (θ , φ )) =
1 1
(gn−1 (θ ))2 + (g2n (θ ))2
sin(θ )
(5.35)
şeklindedir. Akım yoğunlukları φ ’den bağımsızdır ve hem φ hem de θ yönünde akım
vardır.
5.3 Çözülebilir Durumlar
Bu bölümde A(θ ) için (5.17) özdeğer denkleminin analitik olarak çözülebileceği bazı
özel fonksiyonlar düşünülecektir. Çözülebilirlikleri, H1 ve H2 etkin Hamiltoniyenlerinin
çarpanlarına ayrılabilmelerinden kaynaklanmaktadır. A(θ ) için çözülebilir durumlar
38
aşağıdaki gibi sıralanabilir:
1. A(θ ) = 0,
2. A(θ ) =
3. A(θ ) =
4. A(θ ) =
5. A(θ ) =
6. A(θ ) =
7. A(θ ) =
B0
cot θ ,
R
0 λ
ch̄
,
eR sin θ
λ
ch̄
+ D4 ,
eR sin θ
ch̄
λ
−C5 tan θ + D5 sec θ ,
eR sin θ
D6
ch̄
λ
+C6 cot θ +
,
eR sin θ
C6
ch̄
λ
D7
−C7 tan θ +
.
eR sin θ
C7
Burada λ 0 , Dk ve Ck gerçel sabitlerdir. Yukarıda belirtilen durumlara karşılık gelen
manyetik alanlar
~B = ~∇ × ~A =
d
1
[
(A(θ )R sin θ )]r̂
R2 sin θ dθ
(5.36)
denkleminden elde edilir. Bu durumların hepsi analitik olarak çözülebilir olmalarına
karşın bazı durumlar fiziksel olarak ilginçtir. Örneğin (2) ve (6) durumlarında A(θ )
ifadesi cot θ terimini içerir. Bu fonksiyon fullerende Dirac monopolünün varlığına
karşılık gelmektedir.
5.3.1 Sabit manyetik alan
Vektör potansiyel A(θ ) =
B0
cot θ olarak seçilirse, manyetik alan
R
~B =
1
R2 sin θ
[
d
B0
(A(θ )R sin θ )]r̂ = − 2 r̂
dθ
R
(5.37)
eB0
, D2 = λ ’dır. Burada sabitin işareti manyetik alanın yönech̄
limini belirler. Bu duruma karşılık gelen Dirac-Weyl denklemi fullerende örgü yapısı
şeklinde bulunur. C2 =
39
modelinde kullanılır. B0 sabiti örgü yapısındaki kusurlar ile ilgilidir. Manyetik alan
bulunduğuna göre süperpotansiyel kolaylıkla yazılabilir
λ
eR
W (θ ) =
−
sin θ ch̄
B0
cot θ
R
= D2 csc θ −C2 cot θ .
(5.38)
Burada, D2 = λ ve C2 = eB0 /ch̄ ’dır. (5.26) denklemi kullanılarak eş potansiyeller
aşağıdaki gibi elde edilir
V1 (θ ) = −C22 − D2 csc θ cot θ (2C2 + 1) + csc2 θ [D22 +C22 +C2 ],
V2 (θ ) = −C22 − D2 csc θ
(5.39)
cot θ (2C2 − 1) + csc2 θ [D22 +C22 −C2 ].
Ele alınan bu örnek dördüncü bölümdeki ilk duruma karşılık gelmektedir. Yani g20 ’ın
taban durumu L− işlemcisi tarafından yok edilir. Elde edilen eş potansiyeller ayrıca
Scarf-I trigonometrik sınıfındaki potansiyellerdendir (Cooper vd. 1995). C2 ’nin pozitif
olduğunu varsayılırsa enerji özdeğerleri
ε0 = ε02 = 0,
1
εn = εn2 = εn−1
= (C2 + n)2 −C22 ,
n = 1, 2, ...
(5.40)
şeklinde bulunur. Bu durumda özfonksiyonlar ise Jacobi polinomları cinsinden yazılır:
(s j +a j −1/2,s j −a j −1/2)
gnj (w(θ )) = (1 − w)(s j +a j )/2 (1 + w)(s j −a j )/2 Pn
(w(θ )),
j = 1, 2.
(5.41)
(a,b)
Burada Pn
,
a, b > −1 Jacobi polinomları, w(θ ) = − cos θ , s1 = C2 + 1, s2 = C2 ,
a1 = a2 = D2 ’dir. Kabuledilebilir bir çözüm için D2 sabitinin |λ | = |D2 | ≤ C2 koşulunu
sağlanması gerekir (Cooper vd. 1995). şekil 5.1’de sabit manyetik alan için süpereş
potansiyeller ve özfonksiyonlar, şekil 5.3’de ise φ ve θ yönündeki akım yoğunluğu
grafikleri çizdirilmiştir. (5.32) denklemi kullanılarak Dirac-Weyl denklemine ait enerji
özdeğerleri
1
ε̃±, n = ±
R
q
(C2 + n)2 −C22 ,
olarak elde edilir.
40
n = 1, 2, ...
(5.42)
5.3.2 Değişen manyetik alan
A(θ ) vektör potansiyeli
ch̄
A(θ ) =
eR
D6
λ
+C6 cot θ +
sin θ
C6
(5.43)
için manyetik alan (5.37) denkleminden yararlanılarak
~B =
1
D6
−C6 R sin θ + R cos θ r̂
R3 sin θ
C6
(5.44)
olarak bulunur. Bir önceki örnektekine benzer olarak süperpotansiyel ve eş potansiyeller
W (θ ) = −C6 cot θ −
V1 (θ ) = −C62 +
D6
,
C6
(5.45)
D26
+C6 (C6 + 1) csc2 θ + 2D6 cot θ ,
C62
(5.46)
D2
V2 (θ ) = −C62 + 26 +C6 (C6 − 1) csc2 θ + 2D6 cot θ
C6
şeklindedir. Eş Hamiltoniyenlere ait enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları ise aşağıdaki
gibi ifade edilir:
ε0 = ε02 = 0,
1
εn = εn2 = εn−1
= (C6 + n)2 −C62 −
D26
D26
+
,
(C6 + n)2 C62
(−s j −n+ia j ,−s j −n−ia j )
j
gn (w(θ )) = (w2 − 1)−(s j +n)/2 ea j θ Pn
(w(θ )),
j = 1, 2.
(5.47)
(a,b)
Burada Pn
a, b > −1 Jacobi polinomları, w(θ ) = i cot θ , s1 = C6 + 1, s2 = C6 , a1 =
D6
D6
, a2 =
’dir (Cooper vd. 1995). şekil 5.2’de değişen manyetik alan
C6 + 1 + n
C6 + n
için süpereş potansiyeller ve özfonksiyonların grafikleri çizdirilmiştir. (5.32) denklemi
kullanılarak Dirac-Weyl denklemine ait enerji özdeğerleri aşağıdaki gibi yazılır
1
ε̃±, n = ±
R
s
(C6 + n)2 −C62 −
41
D26
D26
+
.
(C6 + n)2 C62
(5.48)
eR2
BHΘL
cÑ
V1,2HΘL,
g01HΘL g12HΘL
1
10
0.5
5
Π
2
Θ
Π
Θ
Π
2
Π
-0.5
-5
Şekil 5.1 Sabit manyetik alan için süpereş potansiyeller ve özfonksiyonlar
eR2
BHΘL
cÑ
V1,2HΘL,
g01HΘL g12HΘL
15
1
0.5
5
Π
2
Θ
Π
2
Θ
Π
-0.5
Π
-5
-1
Şekil 5.2 Değişen manyetik alan için süpereş potansiyeller ve özfonksiyonlar
jn,ΦHΘ L2ev
jn,ΘHΘ Lev
0.5
0.5
0.5
1.5
3
Θ
Θ
0.5
-0.5
1.5
-0.5
Şekil 5.3 Sabit manyetik alan için φ ve θ yönündeki akım yoğunluğu
42
3
ΡnHΘ L
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Θ
Şekil 5.4 Sabit manyetik alan için olasılık yoğunluğu
43
6. SONUÇ
Dirac denklemi kütlesiz Dirac parçacıkları için Dirac-Weyl denklemi olarak adlandırılır.
Dirac-Weyl denklemi örneğin nötrinoyu veya grafende kütlesiz Dirac parçacıklarını
tanımlar. Bu denklemlerin analitik olarak çözülmesi fizikte oldukça önemlidir. Bu
denklemleri çözmenin bir yolu da SUSY kuantum mekaniği yöntemlerini kullanmaktır. Bu tez çalışmasında Dirac-Weyl denkleminin SUSY kuantum mekaniği yöntemleri
kullanılarak analitik olarak çözülmesi amaçlanmıştır.
Yüzeye dik dış manyetik alan etkisinde, düzlemde ve küre yüzeyinde kütlesiz Dirac
parçacıkları için Dirac-Weyl denklemi ele alınmıştır. SUSY kuantum mekaniği yöntemlerinden çarpanlarına ayırma yöntemi kullanılarak, bazı özel manyetik alanlar için
bu denklemlerin çözümleri (özdeğer ve özfonksiyonları) analitik olarak bulunmuş ve
ayrıca akım ve yük yoğunlukları hesaplanıp grafikleri çizdirilmiştir.
Karbon tabanlı elektronik aletlerin geliştirilmekte olduğu bu günlerde bu çalışma oldukça
büyük öneme sahiptir. Düzlemde ve küre yüzeyinde dik manyetik alan altında hareket
eden kütlesiz Dirac parçacıkları, sırasıyla grafen ve fullerende hareket eden Dirac elektronlarına karşı getirilebilir. Bu çalışmada SUSY kuantum mekaniği yöntemleri kullanılarak grafen ve fullerenin bazı elektronik ve manyetik özellikleri analitik olarak incelendi. Silindir yüzeyinde hareket eden Dirac parçacıklarının yüzeye dik manyetik
alan altında hareketinin SUSY kuantum mekaniği yöntemleri kullanılarak incelenmesi
ise karbonun bir diğer allotropu olan nanotüpün bazı elektronik ve manyetik özelliklerine yol açar. Literatürde bu konuda pek çok çalışma vardır, ancak uygulanan manyetik
alanlar değiştirilerek yeni çözümlere ulaşılabilir.
44
KAYNAKLAR
Cooper, F., Khare A. and Sukhatme, U. 1995. Phys. Rep., Vol. 251; 267-385.
Greiner, W. 1987. Relativistic Quantum Mechanics, Wave Equations. Berlin, SpringerVerlag.
Griffiths, D. 2008. Introduction to Elementary Particles. Mörlenbach, Wiley-VchVerlag.
Jakubsky, V., Kuru, Ş., Negro, J. and Tristao, S. 2013. J. Phys.: Condens. Matter, Vol.
25; 165301.
Junker, G. 1996. Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics. Berlin,
Springer-Verlag.
Kuru, Ş., Negro, J. and Nieto, L.M. 2009. J. Phys.: Condens. Matter, Vol. 21; 455305.
Matveev, V.B. and Salle, M.A. 1991. Darboux Transformation and Solitons. Berlin,
Springer-Verlag.
Schiff, I.L. 1949. Quantum Mechanics. New York, McGraw-Hill Book Company.
Castro Neto, A.H., Guinea, F. and Peres, N.M.R., Novoselov, K.S., Geim, A.K. 2009.
Rev. Mod. Phys., Vol.81; 109-163.
45
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Doğukan ÇEVİK
Doğum Yeri
: Samsun/Ondokuzmayıs
Doğum Tarihi
: 24 Mayıs 1990
Medeni Hâli
: Bekâr
Yabancı Dili
: İngilizce
Lise
: Samsun Namık Kemal Lisesi (2007), Ankara
Lisans
: Ankara Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri (2012)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı ( Şubat 2013 - Haziran 2015 )
46