Çözüm: p ve q iki önerme olsun dir. p: x = –3 ve q: y< 8 alınırsa I ve

Çözüm:
p ve q iki önerme olsun
p q q
p dir.
p: x = –3 ve q: y< 8 alınırsa
I ve III ün denk olduğu görülür.
Yanıt B
Çözüm:
Z3 = –27 = 27CiS( +2k )
2k
)
Zk=3CiS (
3
3 3 3
k = 0 için z0=
i
2
2
k=1 için z1=–3
3 3 3
k = 2 için z2=
i olup
2
2
Yanıt A
Çözüm: Şıklar incelenirse II ve IV ün yanlış
oldukları görülür.Yanıt B
Çözüm:
0,9 1 olup Yanıt B
(Bu sorunun yanıtı daha sonra değiştirilmiş
doğru olan seçenek yanlış verilmiştir)
Çözüm:
Her x gerçel sayısı için 1 + x2 > 0 olduğundan A şıkkı özdeşliktir. B x=1 için değil.
C şıkkı (1+cos2x)/2=cos2x olsaydı özdeşlik
olurdu. D şıkkı x = 1 için değil.YanıtA
Çözüm:
xy
eln x
y
ey ln x olduğundan yanıt D
Çözüm:
p q q
p olup yanıt A
II doğru III. Doğru Yoğun olan her
kümenin enaz bir yığılma noktası
olduğundan. IV Doğru. Sınırlı her kümenin
en büyük alt sınırı ve bir en küçük üst sınırı
vardır.YANIT D
Çözüm:
3 1
3 1
3 1
3 1
( 3 1)2 ( 3 1)2
3 1
4
2
in tam katları olarak
5
yazılamaz. Ancak D yazılabilir.
olup A,B ve C
Çözüm:
TANIM: Bir sayısı rasyonel katsayılı bir
polinomun kökü ise sayısına cebirsel aksi
halde transandant(yada aşkın) sayı denir.
A) yanlış. kök2 cebirsel olduğu halde
rasyonel değildir.
B) yanlış.(tanıma aykırı)
C) yanlış. Kök2 irrasyonel olduğu halde
transandant değildir.
D) Doğrudur. Cebirsel sayılar kümesi doğal
sayılarla birebir eşlenebileceğinden
sayılabilir bir kümedir.Reel sayıların alt
kümesi olduğu ise açık.YANIT D
Çözüm:
Bilgi:Rasyonel sayılar sayılabilir sonsuz
elemanlı bir küme olup her alt kümeside
sayılabilirdir.Buna göre I yanlış.
Dizi monoton artan olup limiti en küçük
üst sınırıdır. En büyük alt sınırı ise a1=1
olup A yanlıştır. (Monoton artan diziler
aynı zamanda azalmayan olarak ta
adlandırılabilirler.)
1
1
ye tek terimliler
ye
2
2
1
1
yakınsadığından üst limiti alt limiti
2
2
olup yakınsak değildir.I III IV doğru II
yanlıştır.YANIT:B
çift terimliler
Bir önceki örnektede görüldüğü üzere bir
dizi yakınsak (yada ıraksak) olmayabilir.
Rasyonel bir sayı dizisi irrasyonel bir
sayıya yakınsayabilir. Örneğin (1+1/n) n
dizisi e ye yakınsar.
Bu durumda D doğrudur. Sonsuz elemanlı
rasyonel bir dizinin en az bir alt dizisi
vardır ki yakınsaktır.YANIT:D
Anlamsız Çözüm:
xx0+yy0=25 den (x0,y0)=(4,–3)
bir şık
yerine yazılırsa
4.x–3y=25 olup YANIT D
Simetrik olmadığından (a,b) (b,a) şartı
sağlanmadığından denklik bağıntısı değildir.
(a,b) (b,a) için a=b ve b a ise a = b
olduğundan ters simetrik. Yansıyan ve
geçişmeli olduğundan sıralama bağıntısı.
Tam sıralama bağıntısı değildir. Tam
sıralama olması için her (a.b) ile (c,d)
karşılaştırılabilmelidir. Oysa a c için (a,b)
ler (c,d) ile bu bağıntıya göre
karşılaştırılamaz. YANIT C
f çift ise f '(x) tektir.Buna göre şıklar
incelenirse A doğru diğerleri yanlıştır.
Çözüm:
Teorem:
serisinde
seri ıraksaktır. Bu
durumda A şıkkında verilen ıraksaktır.
Ancak diğer şıkları incelediğimizde
olduğu halde hemen
yakınsak diyemeyiz.
B) p serisi olup p>1 olduğundan yakınsak
C) p serisi olup p>1 olduğundan yakınsak
D) Geometrik seri olup r<1 olduğundan
yakınsak.
Çözüm:
Çözüm: I yanlış. Bu ilginçtir.
Türevlenebildiği halde türevi süreksiz olan
fonksiyonlar vardır. Örneğin f(x)= x2sin(1/x)
eğer x 0 ise f(x) = 0 eğer x = 0 ise. Bu
fonksiyon x = 0 da türevlenebildiği halde
türevi olan fonksiyon süreksizdir.
II zaten doğru
III doğru. Burada dikkat edilmesi gereken
sınırlı ve sürekli olmasıdır.Eğer sınırsız
olsaydı integrallenemiyebilirdi.
IV yanlış. f(x)=|x| x=0 da sürekli ama
türevsizdir örneğin.
YANIT:D
Çözüm:
x=x( ) ve y= y( ) olsun.
=
=
Çözüm:
u = x+y
u–v=2.y= –1 olup
=2 bulunur.
YANIT:C
v= x–y
Yanıt C dir.
Çözüm:
f(–1)=f(1)=0 olup
olur. Yanıt C
Çözüm:
xydxdy
B
1
x
1
xydydx
x
0 x3
1 x3
2 3
1 1
2 3
0
x8
8
1
8
y2
2
x
1
dx
x3
1
x(x x 6 )dx
20
1
Çözüm.
.(x2+4y2+2z2)=(2x,8y,4z)
0
5
48
ÇÖZÜM SAYGIN DİNÇER hocamıza
aittir. YANIT B
gradyantı olup teğet düzlemle yüzeyin
değme noktası B(x0,y0,z0) olsun.
(2x0,8y0,4z0) düzleme dik vektördür.
Düzlem üzerinde A(1,1,1) ise
(2,8,4) düzlemin dik doğrultusu olup
2.(x–1)+8(y–1)+4(z–1)=0 aranan düzlem
denklemidir.
x+4y+2z=7 YANIT B
Çözüm:
y = 0 olduğunda yere çarpacağından
y = 0 için t=
saniye sonra yere çarpar.
Birinci türevin t=
için değeri o
noktadaki hızını vereceğinden
–32 t=
=–
olup YANIT:A
Çözüm: Çok açık 144 yanıtC
Çözüm: Çok açık 144 yanıtB
Çözüm:
Çözüm: C(6,3)+C(6,4)+C(6,5)+C(6,6)=
20+15+6+1=42 YANITC
4. ilk satırın birinci elemanı 1 dir.
Bu tanıma göre B doğru yanıttır.
Çözüm:
Yanıt B
Çözüm: Dizi sırayla yazıldığında tam ortada
kalan sayıya medyan denir. Eğer çift sayıda
terim varsa ortadakinin yanlarında bulunan
iki sayının aritmetik ortalamasıdır. Bu
durumda 5 medyandır. Yanıt C
Çözüm: Yanıt B eğer A tersinir ise
A.x=02x2 homojen denklem sistemini
sağlayan tek bir çözüm vardır o da
x=02x2(matris) dir.
Çözüm:
Yanıt A. Her gerçel sayı IR de 4 ün bir katı
olarak yazılabileceğinden {4} tüm gerçel
sayıları üretir.
B yanlış. Bir baz sıfır vektörünü
içeremez.(çünkü sıfır vektörü lineer
bağımlıdır)
C) yanlış. (1,0)ve(0,1) den farklı bazlar
vardır. (a,b) ve (c,d) için eğer a.d–bc
ise {(a,b) ve (c,d) } bazdır.
D) yanlış {1,i} bir baz olup {i} baz
değildir.
Çözüm:
Yanıt A c
için c.u=0 ancak ve ancak
c=0 olmasıyla mümkündür.
B ve D 0 vektörünü içerdiklerinden liner
bağımsız değillerdir.
C ise u+(–u)=0 olup sıfırdan farklı iki
katsayı var olduğundan (1 ve –1) lineer
bağımsız değildir.
Çözüm:
T nin matris gösterilimi
T(x1,x2)=(0.x1–x2,x1+0.x2) olup
T=
K ve L matrislerine baktığımızda Birinci ve
ikinci sutunları (-1) ile çarpılmış olduğundan
determinantları eşit. K nın 2.satırı ile birinci
satırı yer değiştirdikten sonra –1 ile çarpılıp
M elde edildiğinden K ile M nin
determinantı da eşit. Ancak K nın sadece 2.
Sutunu –1 ile çarpılıp N elde edildiğinden
N nin determinantı K nın determinantının
ters işaretlisine eşittir. Böylece doğru yanıt B
=(b-a)(c-a)(c-b) olup Yanıt:C
dır. Yanıt:C
Çözüm:
W ,{(2,1),(6,1),(4,0)} lineer bağımsız en az
iki vektör tarafından üretilebileceğinden
{(2,1)} W alt uzayı üretemez.(geremez)
Yanıt:D
Çözüm:
Yanıt D: A tersinir, bir başka deyişle
Determinantı sıfırdan farklı olup A.x=0
denkleminin sıfırdan farklı bir çözümü
yoktur. Bu da aşikar çözüm dediğimiz
çözümdür.Aşikar olmayan(sıfırdan farklı)
bir çözüm bulunamaz.
diğer gruba taşınmalıdır) Aynı nedenle II
de yanlış olup
III doğrudur.
dönüşümü bir
grup izomorfizmasıdır.
Çözüm:
Her zaman doğru olmayanı aradığımıza göre
C şıkkı nın her zaman doğru olmadığını
görürüz. a sıfırdan farklı olup u=0 ise a.u=0
dır. Ya da u sıfırdan farklı olup a=0 ise yine
a.u=0 dır.
Çözüm:
Bilgi: eğer her g
için g = olacak
şekilde öyle bir a
ve n
varsa G ye
devirli grup ve a ya da G nin üreteci (ya da
doğuranı) denir.
Buna göre ;
A) 1 , Z nin bir üretici olup devirlidir.
B) {2n: n
kümesi toplamsal grup
olup <2>{2n:n
2 üretecidir.
C) Z2 x Z2 ={(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}
Toplamsal grubu devirli değildir. Hiçbir
elemanı üretici değildir.
D) Z/<2>=Z2={0,1} olup 1 denklik
sınıfı Z2 yi üretir.
Çözüm: Alt grubun mertebesi(eleman
sayısı) grubun mertebesini bölmesi
gerektiğinden 18 in pozitif bölen sayısı
kadar alt grubu vardır.18=2.32 den
2.3=6 tane alt grubu vardır.
YanıtC
Çözüm:
Z9 un tüm alt grup sayısı 32 den dolayı 3
tanedir. Z9 devirli grup olduğundan her alt
grubu devirli olup alt grup sayısı kadar
devirli alt grubu vardır.
YanıtB
Çözüm:
D şıkkı her zaman doğru değildir.Örneğin
Z6 da 2.3=2.0 olduğu halde 3 0 dır.
Çözüm:
Q rasyonel sayılar kümesinin toplamsal
grubu devirli bir grup değildir. Oysa Z
devirli grup olup Q Z ye izomorf
olamaz.(izomorfizma eş yapıdır.Yani bir
gruptaki her özellik eş yapı dönüşümle bir
Yanıt:D
denklemleri ortak çözümü
yapılıp x' ve y' çekilirse
x'=2.x+y+1
y'=x–1 YANIT:A
Çözüm:
olup
Cos(
=
=
olup aralarındaki açı 180°
dir.
Yanıt: D
olup denklemler
ortak çözülürse
olup =300(pozitif
yönde) 60 derece negatif yönde
döndürülmüştür. Yanıt:C
Çözüm:
A) p(x) Q da çarpanlara ayrılamadığından
Q da indirgenemezdir. DOĞRU
B) p(x)=
indirgenebilir. YANLIŞ
C) IR de indirgenirse C de zaten indirgenir.
YANLIŞ
D) Yanlış( Q da indirgenebilir)
:
Yıldıray sancağın çözümü
Genel çözüm
A(x,y)
x–y = 1
B (x',y')
doğru üzerinde olduğundan
denklem sağlanır.
mAB=–1 olduğundan