ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER (1

ÇÖZÜMLÜ SORULAR
SORU 7.1
Şekilde gösterilen düz yüzeyli levha üzerinden; ortalama sıcaklığı ve hızı sırasıyla 27C ve
10 m/s olan hava hareketi söz konusudur. Levha uzunluğu 1m, genişliği ise 0.5 m olduğuna
göre; yüzey uzunluğu boyunca 0.2 m aralıklarla hidrodinamik sınır tabaka kalınlıklarını
tespit ediniz?
Not (1): Verilen ortalama sıcaklıkaki havanın özellikleri aşağıda verilmiştir:
  1,1614 kg/m 3 ; cp  1.007 kj/kg.K;   15,89.10-6 m 2 / s
Not (2): Türbülanslı akım durumunda sınır tabaka kalınlığı için formül aşağıda verilmiştir:
 h ( x)  0,37.x. Re x 1/ 5
ÇÖZÜM
x=0,2 m için
Re x 
U x


10.0,2
 1,26.10 5 laminar akış
15,89.10 6
Hidrodinamik sınır tabaka kalınlığı;
5.0,2
 x ( x) 
 2,82.10 3 m
Re 0, 2
x=0.4 m, x=0.6 m, için akış yine laminar olduğundan yukarıdaki işlemler aynen takip edilir.
x=0,8 m için;
Re x 
U x


10.0,8
 5,03.10 5 türbülanslı akış
15,89.10 6
x=0.8 m ‘den sonra akım türbülanslı olduğundan dolayı;
 h ( x)  0,37.x. Re x 1/ 5  0,021 m
x=1 m, için yukarıdaki işlemler aynen takip edilir.
Elde edilen değerlere ilişkin tablo aşağıda verilmiştir:
 h (x)
x=0,2 m
2,82.10-3 m
x=0,4 m
3,98.10-3 m
x=0,6 m
4,88.10-3 m
217
x=0,8 m
0,021 m
x=1 m
0,0256 m
SORU 7.2
Şekilde gösterilen levha üzerinde, boydan boya olmak üzere ‘W’ genişliğinde ince ve eğimli
bir kanal (çatlak) bulunmaktadır. Kılcal çatlak içerisinde kararlı bir akış gerçekleştiğine göre;
NS denklemlerini kullanarak, akışkana ait hız profilini ve akışkan debisini veren formülü
türetiniz?
ÇÖZÜM
Basınç kuvveti ile yerçekimi etkisi birlikte tek bir terim olarak yazılırsa, modifiye edilmiş
basınç terimi,
Pˆ  P  gz
şeklinde elde edilir. Navier-Stokes (NS) denklemleri (x- ve z- yönleri için) ise,
  2v
 2v
Pˆ
   2x  2x
x
z
 x



  2v
 2v 
Pˆ
0
   2z  2z 
z
z 
 x
0
şeklindedir. NS denklemleri ve süreklilk denkleminden aşağıdaki sonuçlar elde edilir:
Pˆ
 0;
z
vz  0 
 2vz  2vz
 2 0
2x
 z
v x
=0
x
Bu şartlarda NS denkleminin sadece ‘x’ yönünde çözümü gereklidir:
d 2vx
dPˆ
0

dx
dz 2
dPˆ
 sabit
dx
Bu denklemin genel çözümü,
218
1  dPˆ 


  dx 
dz 2
dv x 1  dPˆ 
 z  C1
 
dz
  dx 
1  dPˆ  2

 z  C1 z  C 2
vx 
2  dx 
d 2vx

şeklindedir. Özel çözüm için sınır şartları,
v x  0 at x  0;
v x  0 at x  W
uygulanırsa, C2 = 0 elde edilir.
0
1  dPˆ  2

W  C1W
2  dx 
C1 
 1  dPˆ 

W
2  dx 
Katsayıların değerleri yazıldığında hız dağılımı için aşağıdaki
denklem elde edilir:
vx 
1  dPˆ  2
  z  Wz
2  dx 


Yandaki şekilde hız dağılımının şematik görüntüsü verilmiştir.
Hacimsel debi ise aşağıdaki şekilde bulunur:
Q   vdA
Birim uzunluk göz önüne alınırsa; A = L × W = 1 × W = W, ve dA = dw.
W
Q   v x dA   v x dw
0




1  dPˆ  2


 dx  z  Wz dw
2

0


W
Q 

1  dPˆ  W 2
   z  Wz dw
2  dx  0
219
W
1  dPˆ   z 3 Wz 2 
 
Q

2   dx   3
2 
0
W
1  dPˆ   W 3 W 3 




2   dx   3
2 
0
Sonuç olarak hacimsel debi için aşağıdaki denklem elde edilir:
W 3  dPˆ 
 
Q
12  dx 
Birim alan için hacimsel debi (q = Q/A) ise, A = 1xW = W olduğundan,
q
W 2  dPˆ 
 
12  dx 
elde edilir.
220
SORU 7.3
Şekilde gösterilen eğimli silindirik boru içerisinde kararlı bir akış gerçekleştiğine göre; NS
denklemlerini kullanarak, akışkana ait hız profilini ve akışkan debisini veren formülü
türetiniz?
ÇÖZÜM
Silindirik koordinatlar göz önüne alındığında, şekilde gösterilen ‘x’ yönü için Navier-Stokes
denklemi,
0
P
    v  
 g x   r x  
x
r  r  r  
şeklinde yazılabilir. Denklemi daha basit forma indirmek için,
gx = gsinφ
olduğundan hareketle;
P

 g x  P  gx sin  
x
x
yazılabilir. Şekilde verilen bilgilerden, x sin  = z, denkleme uygulanırsa,
P

dPˆ
 g x  P  gz  
x
x
dx
elde edilir ( P̂ :modifiye edilmiş basınç). Denklem bu durumda aşağıdaki basit forma
dönüşür:
0
dPˆ   d  dv x  

 
r
dx r  dr  dr  
dPˆ
 sabit
dx
Bu durumda integrasyon işlemi,
221
d  dv x  1  dPˆ 
r
  r
dr  dr    dx 
 dv  1  dPˆ 
d r x   
rdr
 dr    dx 
dv x 1  dPˆ  r 2

r
 
 C1
dr
  dx  2
şeklinde uygulanır.
dv x
dr
0
r 0
olduğundan C1 = 0. İkinci kez integrasyon uygulandığında,
dv x 
1  dPˆ 

 rdr
2  dx 
1  dPˆ  r 2
1  dPˆ  2

 C 
 r  C
vx 
2  dx  2
4  dx 
elde edilir. ‘C’ sabiti, r = R için vx = 0 sınır şartı uygulanarak,
0
1  dPˆ  2

R C
4  dx 
C
 1  dPˆ  2

R
4  dx 
bulunur. Hız dağılımı bu durumda aşağıdaki denklemle ifade edilir:
vx 
1  dPˆ  2
  r  R2
4  dx 


Yandaki şekilde hız dağılımının şematik görüntüsü verilmiştir.
Hacimsel debi (Q):
R

1  dPˆ  2
  dPˆ  R 3
2
  r  R 2 2r dr 
r
dr

R
r
dr




4  dx 
2  dx  0
0
0

R
R
Q   v x 2r dr  
0
Q
 R 4
8


 dPˆ 
 
 dx 
 
Birim alan için hacimsel debi (q), A = πR2:
q
Q
 R2

8
R 2
 dPˆ 
 
 dx 
 
222
SORU 7.4
Şekilde gösterilen düşey boruda bağıl yoğunluğu SG=0.87 ve kniematik viskozitesi
=2.2x10-4 m2/s olan yağ, Q=4x10-4 m3/s debisi ile akmaktadır.
a) Boru içerisindeki sürtünme kayıplarını hesaplayınız?
b) Manometre sıvısı için SG=1.3 olduğuna gore, ‘h’ yüksekliğinin değerini bulunuz?
S G = 0 .8 7
20 m m
4 m
h
Q
S G = 1 .3
ÇÖZÜM
SG = 0.87 olduğundan, ρ = 870 kg/m3
Q= 4×10-4 m3/s
a)
v
Q
Q

 1.273 m/s
A π D2
4
vD (1.273)(0.02)

 115.75 Laminar flow
ν
2.2 104
fL v 2
64 L v 2
(64)(4)
(1.273) 2
HA 


 89.6 J/kg
D 2 Re D D 2 (115.75)(0.02)
2
Re D 
b)
p1
p
1
1
 v12  gz1  2  v2 2  gz 2  H A
 2
 2
p1  p2  g ( z2  z1 )  H A
p1  p2  (869.13)(9.807)(4)  (869.13)(89.6)  43779.8 Pa
p2  gh 1  mgh  g(h  h 2 )  p1
p1  p2  g(h  h1  h 2 )  mgh ,
(h1  h2 )  ( z1  z 2 )  4 m
p1  p2   g (h  4)   m gh  g (  m   )h  4g
( p  p 2 )  4 g (43779.8)  4(869.13)(9.807)
h 1

g ( m   )
(9.807)(1.3  999  869.13)
h=18.5 m
223
(1)
(2)
SORU 7.5
Ani daralan bir boruda akan suyun debisi 0.040 m3/s olup, ani daralan kesitte boru çapı 0.12
m’den 0.06 m’ ye düşmektedir. Boru içi sürtünme kayıplarını ihmal ederek, toplam basınç
düşüşünü hesaplayınız?
ÇÖZÜM
Q  0.04m3 / s
Q
Q
0.04
v1 


 3.537 m/s
A1 π D 2 π (0.12) 2
1
4
4
Q
Q
0.04
v2 


 14.147 m/s
A 2 π D 2 π (0.06) 2
2
4
4
p1 1 2
p2 1 2
 v1  gz1 
 v2  gz 2  H B
 2
 2
p1  p2 

2
(v2 2  v12 )    k
v2 2
2
Ani daralma için; k  0.40 alınırsa,
p1  p 2 
999
(14.147) 2
(14.147 2  3.537 2 )  999(0.4)
2
2
p1  p2  93719.8  39987.5
p1  p2  133707.3Pa
224