ANKARA ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ DOKTORA

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
EŞLENİKLER VE AKTÜERYAL RİSK MODELLEMESİ
Serap YÖRÜBULUT
İSTATİSTİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2012
Her hakkı saklıdır
TEZ ONAYI
Serap YÖRÜBULUT tarafından hazırlanan “Eşlenikler ve Aktüeryal Risk
Modellemesi” adlı tez çalışması 05/11/2012 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği
ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı’nda
DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman
: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU
Jüri Üyeleri:
Başkan: Prof. Dr. H. Öztaş AYHAN
Orta Doğu Teknik Üniversitesi İstatistik Anabilim Dalı
Üye
: Prof. Dr. Olcay ARSLAN
Ankara Üniversitesi İstatistik Anabilim Dalı
Üye
: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU
Kadir Has Üniversitesi Uluslararası Ticaret ve Finans Bölümü
Üye
: Prof. Dr. Fahrettin ARSLAN
Ankara Üniversitesi İstatistik Anabilim Dalı
Üye
: Doç. Dr. Sevtap KESTEL
Orta Doğu Teknik Üniversitesi Uygulamalı Matematik Enstitüsü
Aktüerya Bilimleri Anabilim Dalı
Yukarıdaki sonucu onaylarım.
Prof.Dr.Özer KOLSARICI
Enstitü Müdür
ÖZET
Doktora Tezi
EŞLENİKLER VE AKTÜERYAL RİSK MODELLEMESİ
Serap YÖRÜBULUT
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
İstatistik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU
Bu tezde yeni bir olasılık dağılımı olarak iki değişkenli sözde (pseudo) Gompertz
olasılık dağılımı sunulmuş ve ulaşılan sonuçların risk kuramı ve analizinde kullanılması
üzerinde durulmuştur. Dağılımın temel özellikleri ortaya konulmuştur. Dağılım için sıra
istatistikleri, rekor değerler ve genelleştirilmiş sıra istatistiklerinin eşlenikleri ele alınmış
ve gösterilmiştir. Sunulan dağılımın çoklu yaşam süreleri ile ilgili istatistik modelleme
ve sonuç çıkarımı bakımından önemi dolayısıyla dağılıma ait yaşam ve bozulma
fonksiyonları elde edilmiş, bu fonksiyonların dağılım parametreleri ve değişken
değerleri bağlamında davranışları incelenmiştir. Eşlenikler için elde edilen yaşam ve
bozulma fonksiyonlarının güvenilirlik analizi ile finansal ve aktüeryal risk analizlerinde
kullanımına esas olan olasılıksal ifadeler ortaya konulmuş ve yorumları yapılmıştır.
Kasım 2012, 100 sayfa
Anahtar Kelimeler: Eşlenikler, Sıra İstatistiklerinin Eşlenikleri, Rekor Değer,
Genelleştirilmiş Sıra İstatistikleri, Sözde Dağılım, İki Değişkenli Sözde-Gompertz
Dağılımı, Yaşam Fonksiyonu, Bozulma Fonksiyonu
i
ABSTRACT
Ph. D. Thesis
CONCOMITANTS and ACTUARIAL RISK MODELLING
Serap YÖRÜBULUT
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Statitistics
Supervisor: Prof. Dr. Ömer L. GEBİZLİOĞLU
This thesis presents a new bivariate Pseudo-Gompertz probability distribution and
elaborates on the implications of the obtained results about it for the risk theory and
analysis area. The distributional properties of the distribution are shown. The order
statistics, record values and concomitants of the generalized order statistics for the
Pseudo-Gompertz distribution are discussed. Emphasizing the use of the distribution for
the statistical modeling and inference about multiple lifetimes, survival and hazard
functions are developed and their behaviours with respect to the model parameters and
the values of the variables are investigated. The essential probabilistic expressions and
their interpretations are given for the utilization of the survival and hazard functions in
the reliability, and financial and actuarial risk analysis.
November 2012, 100 pages
Key Words: Concomitants, Concomitants of Order Statistics, Record Values,
Generalized Order Statistics, Pseudo Distribution, Bivariate Pseudo-Gompertz
Distribution, Survival Function, Hazard Function
ii
TEŞEKKÜR
Doktora öğrenimim boyunca; çalışmalarımın her safhasında ilgi ve önerileri ile beni
yönlendiren, desteğini esirgemeyen değerli danışman hocam, Sayın Prof. Dr. Ömer L.
GEBİZLİOĞLU (Kadir Has Üniversitesi İktisadi, İdari ve Sosyal Bilimler Fakültesi
Uluslararası Ticaret ve Finans Bölümü)’ na sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Tez çalışmalarım süresince; desteğini ve bilgilerini esirgemeyen, yoluma ışık tutan, Tez
İzleme Komitesi Üyeleri değerli hocalarım, Sayın Prof. Dr. Fahrettin ARSLAN (Ankara
Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü)’ na ve Sayın Doç. Dr. Sevtap KESTEL
(Orta Doğu Teknik Üniversitesi Aktüerya Anabilim Dalı)’ e minettarlığımı bildirerek
teşekkürlerimi sunarım.
Bu süreçte, bana her türlü desteği veren ve hep yanımda olan değerli aileme, sevgili
eşim Suat YÖRÜBULUT (Kırıkkale Üniversitesi İnşaat Mühendisliği)’a, ve değerli
arkadaşım Ars. Gör. Dr. Funda ERDUGAN (Kırıkkale Üniversitesi İstatistik Bölümü)’a
tüm kalbimle teşekkür ederim.
Serap YÖRÜBULUT
Ankara, Kasım 2012
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET……………………………………………………………………….....
ABSTRACT…………………………………………………………………..
TEŞEKKÜR………………………………………………………………….
SİMGELER DİZİNİ…………………………………………………………
ŞEKİLLER DİZİNİ………………………………………………………….
ÇİZELGELER DİZİNİ……………………………………………………...
1. GİRİŞ VE ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR.…………………………………...
2. SIRA İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİ ………………………...
2.1 Sıra İstatistiklerinin Eşlenikleri ile Regresyon Modelleri …..………...
3. İKİ DEĞİŞKENLİ SÖZDE DAĞILIMLAR.……………………………
3.1 İki Değişkenli Sözde Gompertz Dağılımı……………………………….
4. İKİ DEĞİŞKENLİ SÖZDE GOMPERTZ DAĞILIMININ SIRA
İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİ ………………………………..
4.1 Sıra İstatistiklerinin Eşlenikleri ile Yaşam Analizi…………………….
5. İKİ DEĞİŞKENLİ SÖZDE GOMPERTZ DAĞILIMINA
AİT REKOR DEĞERLERİNİN EŞLENİKLERİ………………………
5.1 Rekor Değerlerin Eşleniklerinin Dağılım Teorisi...................…………
5.2 İki Değişkenli Sözde Gompertz Dağılımı için Rekor Değerin
Eşleniği........................................................................................................
5.3 Rekor Değerin Eşlenikleri ile Yaşam Analizi..........................................
5.4 İki Değişkenli Sözde Gompertz Dağılımı için Rekor Değerlerin
Eşleniklerinin Ortak Dağılımı…………………………………………...
6. İKİ DEĞİŞKENLİ SÖZDE GOMPERTZ DAĞILIMINA AİT
GENELLEŞTİRİLMİŞ SIRA İSTATİSTİKLERİNİN
EŞLENİKLERİ……………………………………………………………
6.1 Genelleştirilmiş Sıra İstatistiklerinin Eşleniklerinin Dağılım Teorisi ..
6.2 İki Değişkenli Sözde Gompertz Dağılımı için Genelleştirilmiş Sıra
İstatistiklerinin Eşleniği............................................................................
7. SIRA İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİNİN GÜVENİLİRLİK
VE AKTÜERYAL RİSK ALANINDA UYGULAMASI……………….
8. TARTIŞMA VE SONUÇ………………………………………………….
KAYNAKLAR……………………………………………………………….
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………..
iv
i
ii
iii
v
vii
viii
1
6
15
18
23
30
35
48
48
50
52
68
72
72
76
88
91
93
99
SİMGELER DİZİNİ
o.y.f.
olasılık yoğunluk fonksiyonu
d.f.
dağılım fonksiyonu
g.s.i.
genelleştirilmiş sıra istatistiği
X r:n
r -inci sıra istatistiği
Y[ r:n ]
r -inci sıra istatistiğinin eşleniği
( X r:n , Y[ ] )
r -inci sıra istatistiği ve eşleniği
f X r:n
X r:n sıra istatistiğinin o.y.f.
fY[r:n]
Y[r:n] sıra istatistiğinin eşleniğinin o.y.f.
SY[r:n]
Y[r:n] sıra istatistiğinin eşleniğinin yaşam
r :n
fonksiyonu
hY[r:n]
Y[r:n] sıra istatistiğinin eşleniğinin bozulma
fonksiyonu
H ( n)
n -inci sıra harmonik sayı
ψ ( .)
Digamma fonksiyonu
Av
Ödeneğin aktüeryal bugünkü değeri
Rr
r -inci üst rekor değer
R[r ]
r -inci üst rekor değerin eşleniği
f Rr
Rr rekor değerin o.y.f.
f R[r ]
R[r ] rekor değerin eşleniğinin o.y.f.
S R[r]
R[r ] rekor değerin eşleniğinin yaşam fonksiyonu
v
hR[r]
R[r ] rekor değerin eşleniğinin bozulma fonksiyonu
ξ[r ] p
r -inci rekor değerin eşleniğinin p -inci çeyrekliği
2
F1 ( a , b; c; z )
Gauss hipergeometrik fonksiyonu
p
Fq (α1 , α 2 ,..., α p ; β1 , β 2 ,..., β q ; z )
Genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyonu
F1 ( a, b; x )
Kummer Confluent Hipergeometrik fonksiyon
1
U ( r , n, m, k )
r -inci düzgün genelleştirilmiş sıra istatistiği
X ( r , n , m, k )
r -inci g.s.i
Y[ r , n ,m ,k ]
r -inci g.s.i.’nin eşleniği
f r ,n ,m,k
r -inci g.s.i.’nin o.y.f
f[ r , n , m , k ]
r -inci g.s.i.’nin eşleniğinin o.y.f
SY[r ,n ,m ,k ]
r -inci g.s.i.’nin eşleniğinin yaşam fonksiyonu
hY[r ,n ,m ,k ]
r -inci g.s.i.’nin eşleniğinin bozulma fonksiyonu
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 3.1 İki değişkenli sözde Gompertz dağılımının bazı parametreler için olasılık
yoğunluk fonksiyonları…………………………………………………… 26
Şekil 3.2 İki değişkenli sözde Gompertz dağılımının bazı parametreler için yaşam
fonksiyonları……………………………………………………………… 29
Şekil 4.1 Y[r:n]
eşleniğinin
y = 0.1 ,
y = 0.5 ,
y = 1 değerleri için yaşam
fonksiyonları…………………………………………………………
Şekil 4.2 Y[r:n] eşleniğinin r = 1 , r = 5 , r = 10 değerleri için yaşam fonksiyonları…
Şekil 4.3 Y[r:n] eşleniğinin y = 0.1 ,
y = 0.5 ,
42
43
y = 1 değerleri için bozulma
fonksiyonları …………………………………………………………
46
Şekil 4.4 Y[r:n] eşleniğinin r = 1 , r = 5 , r = 10 değerleri için bozulma fonksiyonları 47
Şekil 5.1 R[ r ] eşleniğinin y = 0.1 , y = 0.5 , y = 1 değerleri için yaşam fonksiyonları
57
Şekil 5.2 R[ r ] eşleniğinin r = 1 , r = 5 , r = 10 değerleri için yaşam fonksiyonları
58
Şekil 5.3 R[ r ] eşleniğinin
y = 0.1 ,
y = 0.5 ,
y = 1 değerleri için bozulma
fonksiyonları………………………………………………………….
61
Şekil 5.4 R[ r ] eşleniğinin r = 1 , r = 5 , r = 10 değerleri için bozulma fonksiyonları.. 62
vii
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 4.1 Y[r:n] eşleniğinin yaşam fonksiyonu değerleri…………………………..
40
Çizelge 4.2 Y[r:n] eşleniğinin bozulma fonksiyonu değerleri………………………..
44
Çizelge 5.1 R[ r:n] eşleniğinin yaşam fonksiyonu değerleri………………………….
55
Çizelge 5.2 R[ r:n] eşleniğinin bozulma fonksiyonu değerleri……………………….. 59
Çizelge 5.3 R[ r:n] rekor değerlerin eşleniklerinin medyan değerleri………………...
63
Çizelge 5.4 R[ r:n] rekor değerlerin eşleniklerinin mod değerleri……………………
64
Çizelge 5.5 R[ r:n] rekor değerlerin eşleniklerinin ortalama değerleri……………….. 65
Çizelge 5.6 R[ r:n] rekor değerlerin eşleniklerinin 2-inci moment değerleri…………
67
Çizelge 5.7 R[ r:n] rekor değerlerin eşleniklerinin varyans değerleri………………...
67
Çizelge 6.1. g.s.i.’nin parametrelerinin seçimine göre özel durumlar………………
75
viii
1. GİRİŞ VE ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR
Bir değişkene ait veri toplanırken bu değişkene etkisi olan diğer değişkenlerde göz
önünde bulundurulmalıdır. Asıl değişkene etkisi olduğu düşünülen bu değişken
literatürde eşlenik değişken (concomitant variables), açıklayıcı değiken (explanatory
variables) veya eşdeğişken (covariables) olarak yer almaktadır.
Eşlenikler, bir kitlenin Y özelliği aynı kitlenin X
özelliğine göre incelendiği
durumlarda sıklıkla kullanılmaktadır. Risk yönetiminin, sistem güvenirliği, finans ve
aktüerya bilimi gibi alanlarında zayıflıktan veya kusurlardan kaynaklanan kayıpları
ortaya çıkarmada kullanılmaktadır.
İstatistik kuramı ve yöntemleri kapsamında eşlenikler pek çok analiz ve modelleme
yaklaşımında kullanılmaktadır. Bunun en öne çıkan örnekleri Yaşam (Sağ Kalım)
analizlerinde görülmektedir (Lee 1980, London 1988).
Yaşam tabloları yaşam süresinin önemli bir değişken olduğu güvenilirlik, sağlık ve
aktüerya gibi alanlarda yaşam verilerinin analizi için kullanılır. Yaşam tablolarında,
değişkenlere ait olasılıksal değerler belirli zaman aralıkları çerçevesinde gruplanarak
değerlendirilebilir.
Yaşam verileri ve eşlenikleri konusunda yapılan çalışmalar son 25 yılda gelişmiştir.
Hazelring vd. (1982) yaşam modellerinin genel bir ailesini ortak bir diferansiyel
denklem ile tanımlayarak, parametrik yaşam analizlerinde uzunluğuna ve kesitsel
sansürlü (Longitudial and Cross-Sectional-Censored) ve aralık sansürlü (IntervalCensored) verileri eşlenik bilgiler ile birleştirerek istatistiksel modeller sunmuştur.
Feigl ve Zelen (1965), Zippin ve Armitage (1966) ve Glasser (1967) eşlenik değişkenler
ile yaşam verilerinin analizi için yaşam zamanlarının üstel dağıldığını ve dağılımın
parametresinin eşlenik değişkenlerin fonksiyonu olması varsayımı ile modeller
üretmiştir. Cox (1972) de farklı bir yaklaşım öne sürerek, yaşam tablosu regresyon
modeli ile Kaplan ve Meier (1958) tarafından tanımlanan yaşam tablosu içindeki eşlenik
1
bilgisini vermiştir. Holford (1976) ise genel yaşam tablosu regresyon modelini takip
edilen aralıklar içinde ki bölünmüş periyoda aktüeriyal yaşam tablosu metodunu
kullanarak tanımlamıştır.
Eşleniklerin en çok ve etkili olarak ele alındığı alanlardan biri de sıra istatistikleri ve
buna dayalı kuram, model ve uygulamalardır.
Bir kitle özelliğini belirten X ile ilişkili olan ve Y ile gösterilebilen karakteristikler
X ’in eşleniği olarak adlandırılabilir. Örneğin, bir araştırmada X bir puan değeri, Y ise
ilgili bir performans ölçüsü olabilir veya X bir ağırlık ve Y de bir sağlık göstergesi
olabilir. Özellikle çok değişkenli dağılımlarda sıra istatistikleri ve eşleniklerinin ortak
dağılımlarını karakterize etme problemi istatistik bilimi açısından hem kuram hem de
uygulama alanında önemli bir yere sahip olmakta ve güvenilirlik analizi ile finansal ve
aktüeryal risk analizlerinde, ekonomi, tıp, biyoloji, hidroloji, jeoloji gibi pek çok
uygulama alanlarında kullanılabilmektedir.
Eşleniklerin aktüeryal uygulamalarda; bir sigorta şirketinin bireysel poliçelerinin veya
portföylerinin birbirleri ile ilişkili iki veya daha fazla rasgele hasar ölçümleri bir hasar
karakteristiği ve eşlenikleri olarak ele alınabilir.
Literatürde sıra istatistiklerinin eşlenikleri ile ilgili pek çok çalışma vardır. David ve
Nagaraja (1998, 2003) çok değişkenli veri kümeleri için parametre tahmininde, Wang
(2008), bir dağılımın belirli kuantili için X açıklayıcı değişkeni verildiğinde Y yanıt
değişkeninin koşullu ortalamasının tahmininde, Qinying ve Nagaraja (2009a)
eşleniklerin analizinde sıra istatistikleri ve sıra istatistiklerinin dağılım özelliklerini
kullanmış ve belirlemiştir. Qinying ve Nagaraja (2009b), iki değişkenli Normal dağılım
için korelasyon katsayısını tahmin etmek için eşlenikleri kullanmıştır.
Bairamov, Kotz ve Bekçi (2001) genelleştirilmiş iki değişkenli Farlie-GumbelMorgenstern (FGM) dağılımı için, Bairamov ve Eryılmaz (2006) ilerleyen II. tür
sansürleme modeli için ve Beg ve Ahsanullah (2004) FGM dağılımı için genelleştirilmiş
sıra istatistiklerinin eşleniklerinin momentleri arasındaki ilişkileri göstermiştir.
2
Eryılmaz (2005) ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ),..., ( X n , Yn ) rastgele değişken çiftlerinin birbirinden
bağımsız
fakat
keyfi
dağılımlı
olduğunda
sıra
istatistiklerinin
eşleniklerini
genelleştirmiş ve bunların dağılım özellikleri konusunda bazı sonuçlar sunmuştur.
Wang ve Nagaraja (2010) bağımlı gözlemlerin özel bir durumu için sıra istatistiklerinin
eşleniklerinin sonlu boyutlu ve asimtotik dağılımlarını elde etmiştir.
Arnold vd. (2009) çok değişkenli sıra istatistiklerinden yararlanarak çok değişkenli
eşleniklere değinmiştir.
Gebizlioğlu ve Yağcı (2008) aktüeryal risk analizinde sıra istatistiklerinin eşleniklerini
kullanarak
iki
değişkenli
bağımlı
risklerin
quantili
için
tolerans
aralığını
belirlemişlerdir. Kaluszka ve Okolewski (2008, 2010) aynı dağılıma sahip rasgele
değişken çiftinin bir örneklemi temelinde eşleniklerin beklenen değeri için sınırlar
belirlemiş ve seçilmiş sıra istatistiklerinin eşleniklerinin maksimumunun momentleri
için sınırlar oluşturmuş ve bu sınırları bazı sigorta primlerini karşılaştırmak için
kullanmışlardır.
İki ve daha çok rasgele değişkenin birbirine bağımlı olması gerek kuramsal açıdan,
gerek bağımlılığın doğadaki yapısı açısından gerçek yaşamdaki duruma daha uygun
olmaktadır. Bu sebeple birbirlerine bağımlı olan çok değişkenli rasgele değişkenlerin
olasılık dağılımlarının modellenmesi önemli olmaktadır. Ancak kuramsal ve uygulama
alanında rasgele değişkenlerin gerçek olasılık dağılımı ile çözümleme ve sonuç çıkarımı
yapmak her zaman mümkün olmamaktadır. Bu nedenle sözde sağılımlar, Filus ve Filus
(2006) tarafından uygun rasgele değişkenlerin bileşimi olarak stokastik modellemeye
dayalı verilerde olasılık dağılımlarının yeni bir sınıfı olarak tanımlanmıştır.
Shahbaz vd. (2009) iki değişkenli sözde üstel dağılımını, Shahbaz ve Shahbaz (2009,
2011) iki ve üç değişkenli sözde Raleigh dağılımını, Shahbaz vd. (2011) iki değişkenli
sözde Weibull dağılımını tanımlayarak bu dağılımın bazı standart özelliklerini
göstermiş ve sıra istatistikleri ve eşleniklerinin dağılımlarını elde etmişlerdir.
3
Tez çalışmasında eşleştirilmiş yaşam süreleri için sıralı rasgele değişkenlerin eşlenikleri
hakkında olasılık modelleri ve yeni bir olasılık dağılımı önerisi yer almaktadır. Bu
dağılım bazında yaşam ve bozulma fonksiyonları tanımlanarak bunlara bağlı olarak
oluşturulan yaşam tabloları sunulmuş ve bu tabloların finans ve sigortacılık alanlarında
kullanımlarını kolaylaştırıcı temel denklemler verilmesi amaçlanmıştır.
Belirtilen çalışmalar ve bunların sonuçlarından yararlanan tezin bölümleri şöyle
oluşturulmuştur: İkinci Bölümde Yang (1977), David ve Galambos (1974),
Bhattacharya (1984) ve son zamanlarda da David ve Nagaraja’nın (1998) çalışmalarına
bağlı kalınarak, sıra istatistikleri ve eşlenikleri hakkında temel kavramlar verilmiş ve
eşleniklerin dağılım özellikleri ile ilgili teoremler ve bilgiler sunulmuştur. Bu bölümde
ayrıca eşlenikler ile kurulan regresyon modelleri konusu da ele alınmıştır.
Üçüncü Bölümde, iki değişkenli sözde dağılımlar hakkında temel bilgiler sunulmuş ve
literatürde oluşturulan bazı iki değişkenli sözde dağılımlar incelenmiştir. Çalışmanın
özgün kısmını oluşturan ilk sunumlarını içeren bu bölümde iki değişkenli sözde
Gompertz dağılımı tanımlanarak dağılım özellikleri ortaya konulmuştur.
Dördüncü Bölüm; çalışmanın diğer özgün sonuçlarından oluşmaktadır: Bu bölümde, iki
değişkenli sözde Gompertz dağılımı için sıra istatistiklerinin eşleniklerinin olasılık
yoğunluk fonksiyonu, dağılım fonksiyonu, yaşam ve bozulma fonksiyonları elde
edilerek, seçilmiş parametre değerleri temelinde yaşam fonksiyonu ve bozulma
fonksiyonları hesaplanmış ve tablolaştırılmış, ve fonksiyonların parametreler ve
değerlerine göre davranışlar grafiksel olarak gösterilmiştir.
Yine özgün sonuçların sunulduğu Beşinci Bölümde; rekor değerlerin eşleniklerinin
dağılım özellikleri sunulmuş ve iki değişkenli sözde Gompertz dağılımı için rekor
değerlerin eşleniklerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu, dağılım fonksiyonu, yaşam ve
bozulma fonksiyonları, modu, medyanı, ortalaması ve varyansı elde edilerek verilen
uygun parametreler için mod, medyan, ortalama, varyans, yaşam fonksiyonu ve
bozulma fonksiyonlarının hesaplanan değerleri tablolaştırılmış, yaşam fonksiyonu ve
4
bozulma fonksiyonlarının parametrelere göre davranış biçimleri görsel olarak
sunulmuştur.
Altıncı Bölüm; özgün sonuçlarıyla genelleştirilmiş sıra istatistiklerinin eşleniklerinin
dağılım özellikleri ve iki değişkenli sözde Gompertz dağılımı için genelleştirilmiş sıra
istatistiklerinin eşleniklerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu, dağılım fonksiyonu, yaşam
ve bozulma fonksiyonları elde edilerek sıralı rasgele değişkenler için tek model
sunmaktadır. Elde edilen bu sonuçlarda, uygun parametre değerlerinin seçimi ile,
dördüncü ve beşinci bölümde ortaya koyduğumuz sıra istatistikleri ve rekor değerlerin
eşlenikleri için elde ettiğimiz özgün sonuçlar pekiştirilmiş ve genişletilmiştir.
Yedinci Bölüm; sıra istatistiklerinin eşleniklerinin aktüeryal uygulaması için temel
modelleme unsurlarına dair özgün eşitlik ifadeleri ortaya konulmuş ve ileride
yapılabilecek çalışmalar konusunda önerilerde bulunulmuştur.
Tez çalışmasında özgün olarak ortaya konulan sonuçlarda uygun parametre değerleri
seçimiyle şekil ve çizelgeler oluşturulmasında Matlab 7.9.0, Wolfram Mathematica 8,
Scientific Word 5.5 ve Microsoft Office Excell 2007 programları kullanılmıştır.
5
2. SIRA İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİ
Bir sıra istatistiğinin eşleniğinin tanımı sudur:
Tanım 2.1 ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ),..., ( X n , Yn ) rasgele vektörü bağımsız ve aynı F ( x, y )
dağılımına sahip n birimlik bir örneklem olsun. X 1:n ≤ X 2:n ≤ ... ≤ X n:n örneklemin ilk
koordinatı olan X ’in sıra istatistikleri olmak üzere, 1 ≤ r ≤ n için X r:n ile r -inci sıra
istatistiği gösterilsin. Eğer
Y[r:n ] = Y j ∋ X j = X r:n , j = 1,2,..., n
ise Y[r:n ] ’ ye r -inci sıra istatistiğinin eşleniği denir (Nagaraja ve David 1994, David ve
Nagaraja 1998).
Sıra istatistiklerinin eşlenikleri için sonlu boyutlu dağılım teorisi pek çok kişi tarafından
örneğin David (1973), Yang (1977), David ve Galambos (1974), Bhattacharya (1984)
ve son zamanlarda da David ve Nagaraja (1998), Balasubramanian ve Beg (1998),
Bekçi (2003), Eryılmaz (2005), Shale (2006), Arnold vd. (2009) ve Wang ve Nagaraja
(2009, 2010) tarafından ele alınmıştır. Sıra istatistiklerinin eşleniklerinin sonlu boyutlu
dağılımı için bazı önemli sonuçlara aşağıdaki teoremler ile ifade edilmiştir:
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkeni F ( x ) dağılım fonksiyonu ve f ( x ) olasılık (yoğunluk)
fonksiyonuna sahip n birimlik örneklem olsun ve X 1:n ≤ ... ≤ X n:n sıralansın. r -inci sıra
istatistiği, X r:n ’nin yoğunluk fonksiyonu,
f X r:n ( x) =
r −1
n−r
n!
f ( x)  F ( x )  1 − F ( x )  ,
( r − 1)!( n − r )!
6
(2.1)
ve X r:n ≤ X s:n olmak üzere iki sıra istatistiğinin ortak olasılık fonksiyonu,
n!
f (x ) f (x )
( r − 1)!( s − r )!( n − s )! 1 2
f X r:n , X s:n ( x1 , x2 ) =
×  F ( x1 ) 
r −1
 F ( x2 ) − F ( x1 ) 
s − r −1
1 − F ( x2 ) 
n−s
şeklinde bulunur (David 1981).
Söz konusu ilgili teoremler şunlardır.
Teorem 2.1 ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ),..., ( X n , Yn ) rasgele vektörü bağımsız ve aynı F ( x, y )
sürekli dağılımına sahip n birimlik bir örneklem olmak üzere; X r:n = x verildiğinde
Y[r:n] ’nin koşullu olasılık fonksiyonu,
fY[r:n] ( y X r:n = x ) = f ( y x )
(2.2)
r -inci sıra istatistiği ve eşleniğinin ortak olasılık fonksiyonu,
f X r:n ,Y[r:n] ( x ) = f ( y x ) f X r:n ( x)
(2.3)
ve r < s için s -inci sıra istatistiği ve r -inci sıra istatistiğinin eşleniğinin ortak olasılık
fonksiyonu,
f X s:n ,Y[r:n] ( x, y ) =
x
∫ f ( y x) f
X r ,s:n
( y, t )dt
(2.4)
−∞
dir (Yang 1977).
7
r -inci sıra istatistiğinin eşleniği olan Y[r:n] ’nin dağılım fonksiyonu
+∞
FY[ r:n ] ( y ) =
∫ F ( y | x) f
X r:n
( x)dx
(2.5)
−∞
ve olasılık yoğunluk fonksiyonu
+∞
fY[ r:n ] ( y ) =
∫
f ( y | x) f X r:n ( x)dx
(2.6)
−∞
dir (Bhattacharya 1984, Balasubramanian ve Beg 1998).
Teorem 2.2 ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ),..., ( X n , Yn ) bağımsız ve aynı F ( x, y ) sürekli dağılım
fonksiyonuna sahip n birimlik bir örneklem olmak üzere, 1 ≤ r < s ≤ n için r -inci ve
s -inci sıra istatistiklerinin eşlenikleri olan Y[r:n] ve Y[ s:n] ’nin ortak dağılım fonksiyonu
+∞ x2
FY[ r:n ] ,Y[ s:n ] ( y1 , y2 ) =
∫ ∫ F(y
1
| x1 )F ( y2 | x2 ) f X r:n , X s:n ( x1 , x2 ) dx1dx2
−∞ −∞
ve ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
+∞ x 2
f Y[ r:n ] ,Y[ s:n ] ( y1 , y 2 ) =
∫∫
f ( y1 | x1 ) f ( y 2 | x 2 ) f X r:n , X s:n ( x1 , x 2 ) dx1 dx 2
−∞ −∞
dir. Benzer şekilde, 1 ≤ r1 ≤ ... ≤ rk ≤ n için (Y[ r1:n ] ,..., Y[ rk :n ] ) nin ortak yoğunluğu
8
+∞ x k
f Y[ r :n ] ,...,Y[ r :n ] ( y1 , ..., y k ) =
1
k
∫∫
−∞ −∞
x2
... ∫
k
∏
−∞ h =1
f Y X ( y h | x h ) f X r :n ,..., X r :n ( x1 , ..., x k ) dx1 ...dx k
1
k
dir (Yang 1977, Bhattacharya 1984).
Teorem 2.3 ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ),..., ( X n , Yn ) bağımsız ve aynı F ( x, y ) sürekli dağılım
fonksiyonuna sahip n birimlik bir örneklem olmak üzere,
verildiğinde,
(Y
[1:n ]
,..., Y[ n:n ] )
FY X (. X = x1:n ) ,..., FY X (. X = xn:n )
sıra
istatistiklerinin
koşullu
dağılımlar
X 1 = x1 ,..., X n = xn
eşleniklerine
koşullu
ait
bağımsızdır
(Bhattacharya 1974).
Teorem 2.4 ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ),..., ( X n , Yn ) bağımsız ve aynı F ( x, y ) sürekli dağılım
fonksiyonuna sahip n birimlik bir örneklem 1 ≤ r1 < ... < rk ≤ n ile k ≤ n için h = 1,..., k
X rh :n = xh verildiğinde Y[ rh :n ] için ortak koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu, koşullu
bağımsızlığa dayalı olarak
k
fY
[ r1:n ] ,...,Y[ rk :n ] X r1:n = x1 ,..., X rk :n = xk
( y1 ,..., y k ) = ∏ f Y X ( y h | x h )
h =1
ile gösterilir (Bhattacharya 1974).
Teorem 2.5 ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ),..., ( X n , Yn ) bağımsız ve aynı F ( x, y ) sürekli dağılım
fonksiyonuna sahip n birimlik bir örneklem olmak üzere, n tane eşleniğin ortak
dağılımı ve ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu
FY[1:n] ,...,Y[n:n] ( y1 , y2 ,..., yn )
9
+∞ xn
x2
−∞ −∞
−∞
∫ ∫ ... ∫ F ( y
=
1
fY
[1:n ]
=
,...,Y
[ n:n]
x 1 ) F ( y2 x 2 ) ...F ( yn x n ) × f X1:n ,..., X n:n ( x1 , x2 ,..., xn ) dx1dx2 ...dxn
( y1 , y2 ,..., yn )
+∞ xn
x2
−∞ −∞
−∞
∫ ∫ ... ∫
f ( y1 x1 ) f ( y2 x2 )... f ( yn xn ) × f X1:n ,..., X n:n ( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn
dir (David ve Nagaraja 1998).
Teorem 2.6 ( Yi , X i ) i = 1,..., n birbirinden bağımsız aynı dağılımlı rasgele değişkenler
olsun. k boyutlu Yi rasgele vektörünün ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f Y ( y ) ve
dağılım fonksiyonu FY ( y ) olsun. X i rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu ise
FX ( x ) olsun. X1:n ≤ X 2:n ≤ ... ≤ X n:n sıralansın. X j:n sıra istatistiğinin eşlenik vektörü
Y[ j:n] ’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
∞
j −1
 n − 1
f Y[ j:n] ( y ) = 
 f Y ( y ) ∫  FX ( x )  1 − FX ( x ) 
 j − 1
−∞
f Y[ j:n] ( y ) =
∞
∫
n− j
f X Y ( x y ) dx
f Y X ( y x ) f X j:n ( x ) dx
−∞
j −1
 n − 1 ∞
= n
 ∫ f Y X ( y x )  FX ( x )  1 − FX ( x ) 
 j − 1 −∞
j −1
 n − 1 ∞
f Y[ j:n] ( y ) = n 
 ∫  FX ( x )  1 − FX ( x ) 
 j − 1 −∞
n− j
f X Y ( x y ) f X ( x ) dx
n− j
dir (Arnold vd. (2009).
10
f Y , X ( y , x ) dx
{Y[ ] , i = n − m + 1,..., n}
kümesinin s -inci sıra istatistiği ve W
ile {Y[ ] , j = 1,..., n − m} kümesinin t -inci sıra
istatistiği gösterilsin. X
= x verildiğinde (Y[
] ,..., Y[ ] ) için koşullu ortak
(Vs:m ,Wt:n−m )
Teorem 2.7
sonlu örnekleminde, Vs:m
t :n − m
ile
i:n
j:n
n − m:n
n − m +1:n
n:n
olasılık dağılımı,
f Y[ n− m +1:n ] ,...,Y[ n:n ] X n− m:n = x ( y1 ,..., y m ) = ∫ ...∫ f Y[ n − m +1:n ] ,...,Y[ n:n ] X n − m:n = x , X n − m +1:n = v1 ,..., X n:n = vm ( y1 ,..., y m )
× f X n−m+1:n ,..., X n:n X n−m:n = x ( v1 ,..., vm ) dv1 ,..., dvm
m
= ∫ ...∫ ∏ f ( yi vi ) f X n−m+1:n ,..., X n:n X n−m:n = x ( v1 ,..., vm ) dv1 ,..., dvm
i =1
eşitliğindeki gibi belirlenir (Wang ve Nagaraja 2010).
Teorem 2.8
( X1 , Y1 )
ve
( X 2 , Y2 )
rasgele örneklemi iki değişkenli FX ,Y ( x, y ) dağılım
fonksiyonu ve f X ,Y ( x, y ) yoğunluk fonksiyonundan çekilmiş olsun.
(X
2:2
(X
1:2
, Y[1:2]
)
ve
)
, Y[ 2:2] ’nin ortak olasılık fonksiyonu
(
)
(
)
(
)
f X1:2 ,Y[1:2] , X 2:2 ,Y[2:2] x1:2 , y[1:2] , x2:2 , y[2:2] = 2 f X ,Y x1:2 , y[1:2] f X ,Y x2:2 , y[2:2] I ( x1:2 < x2:2 )
dir (Shale 2006).
Teorem 2.9
( X 1 , Y1 )
ve
( X 2 , Y2 )
rasgele örneklemi iki değişkenli FX ,Y ( x, y ) dağılım
fonksiyonu ve f X ,Y ( x, y ) yoğunluk fonksiyonundan çekilmiş olsun. X 1:2 , X 2:2 rasgele
değişken değerleri verildiğinde Y[1:2] ’nin koşullu olasılık fonksiyonu
11
fY 1:2
[ ] X1:2 , X 2:2
( y[
1:2]
)
x1:2 x2:2 = fY 1:2
[ ] X1:2
( y[
1:2]
x1:2
)
dir (Shale 2006).
İspat.
fY 1:2
[ ] X1:2 , X 2:2
( y[
1:2]
)
x1:2 , x2:2 =
(
fY[1:2] , X1:2 , X 2:2 y[1:2] , x1:2 , x2:2
)
f X1:2 , X 2:2 ( x1:2 , x2:2 )
∫
=
∞
∫
=
∞
−∞
−∞
(
)
fY[1:2] , X1:2 ,Y[2:2] , X 2:2 y[1:2] , x1:2 , x2:2 , Y[2:2] dY[2:2]
2 f X1:2 ( x1:2 ) f X 2:2 ( x2:2 )
(
)
(
)
2 f X1:2 ,Y[1:2] y[1:2] , x1:2 f X 2:2 ,Y[2:2] x2:2 , Y[ 2:2] dY[2:2]
2 f X1:2 ( x1:2 ) f X 2:2 ( x2:2 )
Teorem 2.8’den
=
=
(
2 f X1:2 ,Y[1:2] y[1:2] , x1:2
)∫
∞
−∞
(
2 f X1:2 ( x1:2 ) f X 2:2 ( x2:2 )
(
)
f X1:2 ,Y[1:2] y[1:2 ] , x1:2 f X 2:2 ( x2:2 )
f X1:2 ( x1:2 ) f X 2:2 ( x2:2 )
= fY 1:2
[ ] X1:2
( y[
1:2]
x1:2
)
dir (Shale 2006).
12
)
f X 2:2 ,Y[2:2] x2:2 , Y[ 2:2] dY[2:2]
Teorem 2.10 ( X 1 , Y1 ) ve ( X 2 , Y2 ) rasgele örneklemi iki değişkenli FX ,Y ( x, y ) dağılım
fonksiyonu ve f X ,Y ( x, y ) yoğunluk fonksiyonuna sahip olsun. Y[1:2] , X 1:2 , X 2:2 ’nin ortak
olasılık fonksiyonu
(
)
fY[1:2] , X1:2 , X 2:2 y[1:2] , x1:2 , x2:2 = 2 f X1:2 ( x1:2 ) f X 2:2 ( x2:2 ) fY 1:2
[ ] X1:2
( y[
x1:2
1:2]
)
dır (Shale 2006).
İspat.
(
)
fY[1:2] , X1:2 , X 2:2 y[1:2] , x1:2 , x2:2 = f X1:2 , X 2:2 ( x1:2 , x2:2 ) fY 1:2
[ ] X1:2 , X 2:2
= 2 f X1:2 ( x1:2 ) f X 2:2 ( x2:2 ) fY 1:2
( y[
[ ] X1:2
1:2]
( y[
x1:2 , x2:2
1:2]
x1:2
)
)
dır ( Shale 2006).
Teorem 2.11 Sıralı küme örneklemesinde gözlenemeyen örneklem değerleri ? ile
gösterilsin
(X
1,1:n
)
(X
2,1:n
,? ) , X 2,2:n , Y2,[ 2:n] ,..., ( X 2, n:n ,? )
n ,1:n
,? ) , ( X n ,2:n ,? ) ,..., X n,n:n , Yn,[n:n]
, Y1,[1:n] , ( X 1,2:n ,? ) ,..., ( X 1,n:n ,? )
(
)
...
(X
(
)
θ = ( µ X , µY , σ X2 , σ Y2 , ρ ) olmak üzere gözlenen ( Wobs ) ve gözlenemeyen (sadece sıra
numarası ölçülebilen Wmis ) verilerle olabilirlik fonksiyonu,
13
(
n
L ( θ Wobs , Wmis ) = ∏ f X i:i ,Y[i:i] xi:i , y[i:i]
i =1
)∏
(
n
j =1, k =1
j≠k
f X jk ,Y[ j:k ] x j:k , y[ j:k ]
)
dir ( Shale 2006).
Teorem 2.12
(
Z = Y[1:1] , X 1:1 , X 1:2 ,..., X 1:n , Y[ 2:2] , X 2:1 , X 2:2 ,..., X 2:n ,...Y[ n:n] , X n:1 , X n:2 ,..., X n:n
(
ve θ = µ X , µY , σ X2 , σ Y2 , σ XY
)
)
olmak üzere Z ’nin gözlenen verilerine dayalı olabilirlik
fonksiyonu,
n 

  n

f Z ( z θ ) = ∏ n ! ∏ f X ( xi: j )  fY X i:i y[i:i ] xi:i 
[i:i ]
i =1 


  j =1
= ( n !)
n
n
n
i =1
j =1
∏∏
n
(
)
(
)
f X ( xi: j ) ∏ fY X y[i:i ] xi:i
i =1
dir ( Shale 2006).
Teorem 2.8-2.12’nin sonucu olarak aşağıdaki teorem ortaya konulmuştur.
Teorem
2.13
(( X
1:n
)(
) (
, Y[1:n] , X 2:n , Y[ 2:n] ,... X n:n , Y[ n:n]
))
ortak
(olabilirlik fonksiyonu) x1:n < x2:n < ... < xn:n , −∞ < yi < ∞ için
14
olasılık
fonksiyonu
(
L (α x, y ) = f X1:n ,Y[1:n] ,..., X n:n ,Y[n:n] x1:n , y[1:n] ,..., xn:n , y[ n:n]
)
n
= n !∏ f X i:n ,Y[i:n] ( xi , yi )
i =1
n
= n !∏ f ( yi xi ) f X i:n ( xi )
i =1
n
= n !∏
i =1
i −1
n −i
n!
f ( x, y )  FX ( x )  1 − FX ( x ) 
( i − 1)!( n − i )!
şeklinde elde edilir.
2.1 Sıra İstatistiklerinin Eşlenikleri ile Regresyon Modelleri
X ve Y rasgele değişkenleri için X değerleri verildiğinde Y için en küçük kareler
kriterine göre yansız en iyi tahmin edici E ( Y X = x ) dır. E ( Y X = x ) ifadesi X ’in bir
fonksiyonudur ve en basit durumda E (Y X = x ) = ax + b lineer regresyonu ile
gösterilir. Buradan X i ’nin bağımsızlığı varsayımı altında m(.) regresyon fonksiyonu ve
ε i hata terimi ile X ve Y için regresyon modeli
Yi = m( X i ) + ε i , i = 1,..., n
dir. Eşlenik için ise ε [ r ] , X r:n ile ilişkili ε i hata terimi olmak üzere
Y[ r:n ] = m( X r:n ) + ε [ r ]
(2.7)
15
dir. David ve Nagaraja (1998) sıra istatistiklerinin eşlenikleri için lineer regresyon
modeline bir örnek vererek eşleniklerin momentleri aralarındaki ilişkileri aşağıda
özetlendiği gibi göstermiştir.
X i ve Yi , ortalamaları, µ X , µY varyansları σ X , σ Y ve aralarındaki lineer ilişki
Yi = µY + ρ
σY
( X − µX ) + εi ,
σX i
(2.8)
şeklinde ifade edilen rastgele değişkenler olsun. ρ , X ve Y arasındaki korelasyon
katsayısı olmak üzere, ( X , Y ) , ( µ X , µY )T ortalamalı ve
 σ X2

 ρσ X σ Y
ρσ X σ Y 

σ Y2 
varyans-kovaryans matrisine sahip iki değişkenli normal dağılımına sahiptir. Eşitlik
(
(2.8)’den ε i ’nin dağılımı N 0, σ Y2 (1 − ρ 2 )
)
olmak üzere eşlenikler için regresyon
modeli,
Y[i:n ] = µY + ρ
σY
( X − µ X ) + ε [i ]
σ X i:n
(2.9)
dir ve eşleniklerin momentleri arasındaki ilişkiler aşağıdaki gibidir.
E (Y[ r :n ] ) = µY + ρσ Y α r :n
Var(Y[ r:n ] ) = σ Y2 ( ρ 2 β rr:n + 1 − ρ 2 )
16
Cov( X [ r :n ] , Y[ s:n ] ) = ρσ X σ Y β rs:n
Cov(Y[ r:n ] , Y[ s:n ] ) = ρ 2σ Y2 β rs:n , r ≠ s
r , s = 1,..., n ile
 X r:n − µ X 
 X r:n − µ X X s:n − µ X 
,
 ve β rs:n = Cov 
 dır
σX
 σX

 σX

α r:n = E 
Eğer
( X ,Y )
iki değişkenli normal dağılıma sahip ise ( X ve Y
nin marjinal
dağılımlarının aynı olduğu varsayımıyla) Yr:n ve Y[ r :n ] nin momentleri arasındaki
ilişkiler
E (Y[ r :n ] ) − µY = ρ ( E (Yr:n ) − µY )
Var(Y[ r:n ] ) − σ Y2 = ρ 2 (Var(Yr:n ) − σ Y2 )
Cov(Y[ r:n ] , Y[ s:n ] ) = ρ 2 Cov(Yr:n , Ys:n ), r ≠ s
şeklinde gösterilmiştir (Sondhauss 1994).
17
3. İKİ DEĞİŞKENLİ SÖZDE DAĞILIMLAR
Rasgele değişken çifti ( X , Y ) için iki değişkenli F ( x, y ) dağılımı, X ve Y arasındaki
bağımlılığı bu değişkenlerin ve parametrelerin fonksiyonunu olarak açıklar. φ (.) reel
değerli fonksiyonu X veya Y rasgele değişkenlerinden birinin fonksiyonu olarak
tanımlansın, böylece F ( x, y ) dağılımı, parametre olarak belirlenen φ (.) fonksiyonunu
içermek suretiyle yeni bir ifade alır; bu ifade sözde (pseudo) dağılım ifadesidir. Rasgele
değişkenlerden birinin fonksiyonu olan φ (.) , sözde dağılımın bir olasılık dağılımı
olması için tüm özellikleri sağlayacak biçimde oluşturulmalıdır. Altmışlı yıllarda, bir
olasılık fonksiyonunun farklı parametrelerinin yeniden tanımlanması amacı ile sözde
dağılımlardan bahsedilmeye başlanmıştır (Ewens, 1963). Diaz-Garcia vd. (1997) tekillik
altında Wishart dağılımını ele almışlar ve tekilliğin ortaya çıkardığı durumlardan
kurtulmak için sözde Wishard dağılımlarını elde etmişlerdir.
Sözde dağılımlar, Filus ve Filus (2006) tarafından uygun rasgele değişkenlerin lineer
bileşimi olarak stokastik modellemeye dayalı verilerde olasılık dağılımlarının yeni bir
sınıfı olarak tanımlamıştır. Sözde dağılımlar özellikle stokastik süreçlerde, finans ve
aktüerya
alanlarında
rasgele
değişkenlerin
gerçek
olasılık
dağılımlarının
uygulanamadığı durumlarda kullanılır. Shahbaz ve Ahmad (2009) her biri kesin
parametler ile Weibull dağılımına sahip X ve Y iki rasgele değişkenin bileşik dağılımı
olarak iki değişkenli sözde Weibull dağılımını önermiştir. Shahbaz vd. (2009) iki
değişkenli sözde Üstel dağılımın sıra istatistiklerinin eşleniklerinin dağılımını elde
etmişlerdir. Shahbaz vd. (2011) yeni bir iki değişkenli sözde Weibull dağılımını
tanımlamışlardır. Shahbaz vd. (2009, 2011) iki ve üç değişkenli sözde Rayleigh
dağılımı için sıra istatistiklerinin eşleniklerinin dağılımını elde etmişlerdir.
İki değişkenli sözde dağılımların koşullu ve marjinal dağılımları kolaylıkla elde
edilebilmektedir. Bu bağlamda iki değişkenli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu için
temel ifade,
18
f ( x, y ) = f ( x;θ ) f ( y;φ ( x ) x )
(3.1)
dir. Burada φ ( x) , X rasgele değişkeninin fonksiyonudur.
Sözde dağılımlar rasgele değişkenlerin lineer kombinasyonları olarak (3.1) eşitliği
kullanılarak oluşturulabilir. Bu çalışmada (3.1) eşitliğinden yararlanarak özgün
iki
değişkenli sözde Gompertz dağılımı tanımlanmış ve özellikleri ortaya konulmuştur.
Elde ettiğimiz sonuçlara zemin teşkil eden sözde Üstel ve sözde Rayleigh dağılımları
hakkında temel bilgiler aşağıda verilmiştir (Shahbaz vd. 2009, Shahbaz ve Shahbaz
2009).
Teorem 3.1 X rasgele değişkeni α parametreli Üstel dağılıma sahip olsun. X ’in
olasılık yoğunluk fonksiyonu,
f ( x; α ) = α e −α x , α > 0, x > 0
(3.2)
φ ( x ) ile koşullu olarak Y ’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
f ( y; φ ( x ) x ) = φ ( x ) e
−φ ( x ) y
, φ ( x ) > 0, y > 0
(3.3)
ve iki değişkenli sözde-Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu,
f ( x, y ) = αφ ( x ) exp  − {α x + φ ( x ) y} , α > 0, φ ( x ) > 0, x > 0, y > 0
(3.4)
dir. φ ( x ) ’in farklı seçimleri için (3.4) eşitliğindeki iki değişkenli dağılım da
değişecektir. φ ( x ) = x alınırsa, (3.4) eşitliği;
19
f ( x, y) = α x exp  − x {α + y} , α > 0, x > 0, y > 0
(3.5)
olur. Buradan r -inci sıra istatistiğinin eşleniğinin yoğunluk fonksiyonu için X rasgele
değişkeninin r -inci sıra istatistiğinin yoğunluk fonksiyonu (2.1) eşitliğinden,
f X r:n ( x) =
r −1
n− r
n!
α e −α x 1 − e −α x  e −α x 
( r − 1)!( n − r )!
α n!
r −1
( −1)
( r − 1)!( n − r )! ∑
=
h
h =0
 r − 1 −α x( n − r + h +1)

e
 h 
(3.6)
bulunur. X rasgele değişkeni verildiğinde Y rasgele değişkeninin koşullu yoğunluk
fonksiyonu,
f ( y x) = xe − xy , x > 0, y > 0 ,
(3.7)
iki değişkenli sözde-Üstel dağılımın r -inci sıra istatistiğinin eşleniğinin yoğunluk
fonksiyonu, (2.6) eşitliğinden,
fY[ r:n ] ( y ) =
=
α n!
r −1
∑ ( −1)
( r − 1)!( n − r )! h=0
α n!
r −1
( −1)
( r − 1)!( n − r )! ∑
h=0
h
h
 r − 1 ∞ − x{ y +α ( n −r + h+1)}
dx

 ∫ xe
 h 0
−2
 r − 1

  y + α ( n − r + h + 1) 
 h 
ve k -inci momenti
20
(3.8)
−2
 r − 1 ∞ k
µ =
( −1)   ∫ y  y + α ( n − r + h + 1) dy
∑
( r − 1)!( n − r )! h=0
 h 0
α n!
'
k
=
r −1
α n !kCosec (π k )
r −1
h
( −1)
( r − 1)!( n − r )! ∑
h=0
h
k −1
 r − 1

 α ( n − r + h + 1)  , k < 1 ,
 h 
dir (Shahbaz vd. 2009).
Teorem 3.2 X rasgele değişkeni α1 parametreli Rayleigh dağılıma sahip olsun. X ’in
yoğunluk fonksiyonu,
f ( x, α1 ) = 2α1 x exp ( −α1 x 2 ) , α1 > 0, x > 0
(3.9)
φ ( x ) tanımı kapsamında Y ’nin yoğunluk fonksiyonu,
f ( y;φ ( x ) x) = 2φ ( x ) y exp ( −φ ( x ) y 2 ) , φ ( x ) > 0, y > 0
,
(3.10)
iki değişkenli sözde Rayleigh dağılımının yoğunluk fonksiyonu ise
f ( x, y; α1 , φ ( x )) = 4α1φ ( x ) xy exp  − {α1 x 2 + φ ( x ) y 2 } ,
(3.11)
α > 0, φ ( x ) > 0, x > 0, y > 0
dir. φ ( x ) ’in farklı seçimleri söz konusu olduğunda, (3.11) eşitliğindeki iki değişkenli
dağılım ifadesi de değişecektir. φ ( x ) = α 2 x 2 alınırsa, (3.11) eşitliği;
f ( x, y; α1 , α 2 ) = 4α1α 2 x 3 y exp  − x 2 {α1 + α 2 y 2 } , α1 , α 2 , x, y > 0
21
(3.12)
biçimini alacaktır.
Buradan yola çıkarak; r -inci sıra istatistiğinin eşleniğinin yoğunluk fonksiyonu için X
rasgele değişkeninin r -inci sıra istatistiğinin yoğunluk fonksiyonu, (2.1) eşitliğinden
yararlanarak,
f X r:n ( x) =
=
r −1
n −r
n!
2α1 x exp ( −α1 x 2 ) 1 − exp ( −α1 x 2 )  exp ( −α1 x 2 ) 
( r − 1)!( n − r )!
r −1
2α1n !
h  r − 1
( −1)   x exp {−α1 ( n − r + h + 1) x 2 }
∑
( r − 1)!( n − r )! h =0
 h 
(3.13)
şeklinde elde edilir. X rasgele değişkeni verildiğinde Y rasgele değişkeninin koşullu
yoğunluk fonksiyonu ise
f ( y x) = 2α 2 x 2 y exp ( −α 2 x 2 y 2 ) , α 2 , x, y > 0
(3.14)
olmak üzere iki değişkenli sözde Rayleigh dağılımın r -inci sıra istatistiğinin eşleniğinin
yoğunluk fonksiyonu (3.13) ve (3.14) eşitlikleri (2.6) eşitliğinde yerine yazıldığında
fY[ r:n ] ( y) =
4α1α 2 n! r −1
h  r − 1
( −1)  
∑
( r −1)!( n − r )! h=0
 h 
∞
{ {
×∫ x3 y exp − x 2 α1 ( n − r + h + 1) + α 2 y 2
}} dx
0
r −1
2α1α 2 n !
y
h  r − 1
=
( −1)  
∑
2
( r − 1)!( n − r )! h=0
 h  α1 ( n − r + h + 1) + α 2 y 2 
olarak bulunur ve k -ınci moment ifadesi
22
∞
−2
4α1α 2 n ! r −1
h  r − 1
µ =
( −1)   ∫ y k +1 α1 ( n − r + h + 1) + α 2 y 2  dy
∑
( r − 1)!( n − r )! h=0
 h 0
'
k
n !α1π Cosec (π k 2 )  α1 
=
 
4α 2 ( r − 1) !( n − r ) !  α 2 
( k −2)
2
r −1
∑ ( −1)
h =0
h
 r − 1
( k −2) 2
, k <1

 ( n − r + h + 1)
 h 
olur (Shahbaz ve Shahbaz 2009).
3.1 İki Değişkenli Sözde Gompertz Dağılımı
Gompertz dağılımı fiziksel sistemlerin bileşenleri ve biyolojik popülasyonların
organizmalarının yaşam zamanlarının modellenmesinde yaygın olarak kullanılan bir
olasılık dağılımıdır (Marshall ve Olkin 2007). İnsan için yaşam tabloları, özellikle
Gompertz dağılımı gibi dağılımlar temelinde yapılmış olup, Gompertz modeli,
yaşamakta olan insan nüfusu için yaşa özel ölüm oranlarının belirlenmesinde kullanılan
ve ampirik gerçekliği saptanmış olan bir parametrik olasılık modelidir. Gompertz
dağılımı ile ilgili ayrıntılı bilgi Hougaard (1984), Carriere (1992) ve Pollard ve
Valkovics (1992)’in çalışmalarında görülmektedir.
Adham ve Walker (2001), birbirleri ile ilişkili bazı rasgele değişkenler için uygun ilişki
fonksiyonları kullanımı ile Gompertz tipli bir dağılımı bulmuşlar ve iki değişkenli
Gompertz dağılımına uyarlamışlardır. Willemse ve Kaas (2007) ampirik olarak
tanımlanabilen ölüm kavramları ile bazı yaşam modellerinin uygulamasını sağlayan
parametrelendirme ile Gompertz dağılımının bir genellemesini önermiştir.
Bu kesimde, tez çalışmasında özgün olarak iki değişkenli sözde Gompertz dağılımı ve
bu dağılımın olasılık dağılımı olması için gereken özellikler gösterilmektedir.
X rasgele değişkeni λ ve µ1 parametreli Gompertz dağılımına sahip ise X ’in
yoğunluk fonksiyonu
23
 λ

f ( x; λ , µ1 ) = λ e µ1x exp  − ( e µ1x − 1)  , µ1 > 0, λ > 0, x > 0
 µ1

(3.15)
ve dağılım fonksiyonu
 λ

F ( x; λ , µ1 ) = 1 − exp  − ( e µ1x − 1)  , µ1 > 0, λ > 0, x > 0
 µ1

(3.16)
ile ifade edilir. Y rasgele değişkeni ise X rasgele değişkeninin fonksiyonu olan φ ( x )
ve µ2 parametreli Gompertz dağılımına sahip olsun. Y ’nin yoğunluk fonksiyonu,
 φ ( x ) µ2 y

f ( y; φ ( x ) , µ2 x ) = φ ( x ) e µ2 y exp  −
e − 1)  , µ2 > 0, φ ( x ) > 0, y > 0
(
 µ2

(3.17)
olup, iki değişkenli sözde-Gompertz dağılımının yoğunluk fonksiyonu şudur
 λ
φ ( x ) µ2 y

f ( x, y ) = λφ ( x ) e µ1x e µ2 y exp  − ( e µ1x − 1) −
e − 1) 
(
µ2
 µ1

(3.18)
µ1 > 0, µ2 > 0, λ > 0, φ ( x ) > 0, y > 0, x > 0 .
φ ( x ) için seçimlere bağlı olarak (3.18) eşitliğindeki iki değişkenli dağılım ifadesi
değişecektir. φ ( x ) = e µ1x − 1 alınırsa, (3.18) eşitliği;
24
f ( x, y ) = λ ( e
µ1 x
= λ (e
µ1 x
− 1) e e
 λ

e µ1x − 1) µ y
(
µ1x
exp  − ( e − 1) −
e 2 − 1) 
(
µ2
 µ1

− 1) e e

 λ ( e µ2 y − 1)  
µ1 x


exp − ( e − 1)  +
 µ1
µ2  




µ1x µ2 y
µ1 x µ 2 y
(3.19)
biçimini almaktadır. Burada uygun modeli belirlemek için seçilecek φ ( x ) fonksiyonu
ile oluşturulan iki değişkenli sözde dağılımı F ( x, y ) = ∫ ∫ f ( x, y )dydx ’in bir olasılık
x y
dağılım fonksiyonu olması için gerekli özellikleri sağlaması gerekmektedir. (3.19)
eşitliği ile verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği aşağıdadır. Grafiklerden,
ortak yoğunluk fonksiyonunun uzun sağ kuyruklu biçime sahip olduğu görünmektedir
(Şekil 3.1).
λ = 5 µ1 = 1 µ2 = 2
λ = 5 µ1 = 1 µ2 = 5
λ = 5 µ1 = 5 µ2 = 1
λ = 0.5 µ1 = 1 µ2 = 2
λ = 0.5 µ1 = 1 µ2 = 5
λ = 0.5 µ1 = 5 µ2 = 1
Şekil 3.1 İki değişkenli sözde Gompertz dağılımının bazı parametreler için olasılık
yoğunluk fonksiyonları
X ve Y rasgele değişkenlerinin marjinal olasılık fonksiyonları, (3.19) eşitliğinden;
25
∞
(
f ( x) = ∫ λ e
µ1 x
)
µ1 x µ 2 y
−1 e e
0

exp  − e µ1 x − 1


(
)
(
)   dy
λ
e µ2 y − 1
 +
 µ1
µ2



 λ

= λ e µ1x exp  − ( e µ1x − 1) 
 µ1

ve
∞

f ( y ) = ∫ λ e µ1x − 1 e µ1x e µ2 y exp  − e µ1x − 1

0

(
)
(
λ  λ ( e − 1) 
 +

µ1  µ1
µ2 
µ2 y
= e µ2 y

)
(
)  dx
λ
e µ2 y − 1
 +
 µ1
µ2



−2

olarak elde edilir. Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonları ise
f ( y x) = e
µ2 y
(e
µ1 x

− 1 exp  − e µ1x − 1


)
(
)
(
)  
 e µ2 y − 1

 µ2



ve
(
) 
λ
e µ2 y − 1
µ1 x
µ1 x
f ( x y ) = µ1 e − 1 e  +
 µ1
µ2

(
)
2

exp  − e µ1x − 1




(
)
(
)   .
λ
e µ2 y − 1
 +
 µ1
µ2



dır. (3.19) eşitliğinde gösterilen f ( x, y ) için ortak dağılım fonksiyonu ifadesi
26
x y
F ( x, y ) = ∫ ∫ f ( x, y )dxdy
0 0
y x
(
= ∫∫λ e
µ1 x
)
µ1 x µ 2 y
−1 e e
0 0

exp  − e µ1 x − 1


(
)
(
)  dxdy
λ
e µ2 y − 1
 +
 µ1
µ2




 ( e µ2 y − 1)
 ( e µ2 y − 1) λ  λ  
exp 
− e µ1 x 
+  +  − 1
 µ2
µ1  µ1   

 µ2
 λ µ1 x

λ  


 
=
+
1
−
exp
−
e
−
1
(
)





µ1
 ( e µ2 y − 1) λ 
 µ1



+ 
 µ2
µ1 


) ((
(
)

 e µ1x − 1 e µ2 y − 1 µ1 + λµ2
 exp  −


µ1µ2
 λ µ1x
 

e −1  +
= 1 − exp  −
e µ2 y − 1 µ1 + λµ2
 µ1

(
)
(
)
)  − 1 λµ




dir. Marjinal dağılım fonksiyonları ise;
 λ ( λ exp ( µ1 x ) ) 
 λ µ1x

F1 ( x ) = Lim F ( x, y ) = 1 − exp  −
e −1 
 = 1 − exp  −
 µ1

y →∞
µ1
 µ1



(
ve
F2 ( y ) = Lim F ( x, y ) = 1 −
x →∞
µ1 ( e
λµ2
µ2 y
− 1) + µ2 λ
olarak bulunur. F ( x, y ) ’nin dağılım fonksiyonu
27
)
2
∞∞
F ( x, y ) = ∫ ∫ f ( x, y )dxdy
0 0
∞∞
= ∫ ∫ λ (e
µ1 x
− 1) e e
0 0
µ1 x µ 2 y

 λ ( e µ2 y − 1)  
µ1 x

  dxdy
exp − ( e − 1)  +
 µ1
µ2  




=1
Lim F ( x, y ) = 1
x , y →∞
Lim F ( x, y ) = Lim F ( x, y ) = Lim F ( x, y ) = 0
x →0
y →0
x , y →0
özelliklerine sahip olduğu gösterilmiştir. Ortak dağılım fonksiyonu ve marjinal dağılım
fonksiyonları kullanılarak, ortak yaşam fonksiyonu elde edilir ki, bu
S ( x, y ) = 1 − F1 ( x ) − F2 ( y ) + F ( x, y )
 ( e µ2 y − 1)
 e µ2 y − 1) λ  λ 
µ1 x (
S ( x, y ) =
exp 
−e 
+ +  .
 µ2
µ1  µ1 
 µ2
µ1 ( e µ2 y − 1) + µ2 λ




λµ2
dir. Bazı parametre değerleri için ortak yaşam fonksiyonunun şekilleri aşağıda
verilmiştir. Şekillerden λ ve µ1 değerleri arttıkça ortak yaşam fonksiyonunun hızla
azaldığı görülmektedir.
28
λ = 5 µ1 = 1 µ2 = 2
λ = 5 µ1 = 1 µ2 = 5
λ = 5 µ1 = 5 µ2 = 1
λ = 0.5 µ1 = 1 µ2 = 2
λ = 0.5 µ1 = 1 µ2 = 5
λ = 0.5 µ1 = 5 µ2 = 1
Şekil 3.2 İki değişkenli sözde Gompertz dağılımının bazı parametreler için yaşam
fonksiyonları
29
4. İKİ DEĞİŞKENLİ SÖZDE GOMPERTZ DAĞILIMININ SIRA
İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİ
Bu kesimde (3.17) eşitliğinde verilen iki değişkenli sözde Gompertz dağılımının r -inci
sıra istatistiğinin eşleniğinin yoğunluk fonksiyonu, dağılım fonsiyonu, yaşam ve
bozulma fonksiyonları tez çalışmasının ürünü olarak elde edilmiştir. Uygun parametre
değerleri için r -inci sıra istatistiğinin eşleniğinin yaşam ve bozulma fonksiyonu
değerleri hesaplanmış ve hesaplanan yaşam ve bozulma fonksiyonu değerlerinin
parametrelere göre durumları grafiksel olarak ortaya konulmuştur.
X rasgele değişkeninin r -inci sıra istatistiğinin yoğunluk fonksiyonu (2.1) eşitliğinden
elde edilir:
f X r:n ( x) =
 λ µ1x

n!
e −1 
λ e µ1x exp  −
( r − 1)!( n − r ) !
 µ1

(

 λ µ1x
× 1 − exp  −
e −1
 µ1

(
=
)



r −1
)

 λ µ1x
e −1
 exp  −
 µ1

(
λ
)



n−r
− ( e 1 −1)( n − r + h +1)
h  r − 1
−
1
e
.
( )   µ1
∑
( r − 1)!( n − r )! h=0
 h 
λeµ x n!
1
r −1
µx
(4.1)
X rasgele değişkeni verildiğinde Y rasgele değişkeninin koşullu yoğunluk fonksiyonu,
f ( y x) = ( e
µ1x
− 1) e
µ2 y
 ( e µ1x − 1)

exp  −
e µ2 y − 1)  , µ2 > 0, φ ( x ) > 0, x > 0, y > 0
(
µ2


(4.2)
olmak üzere iki değişkenli sözde-Gompertz dağılımının r -inci sıra istatistiğinin
eşleniğinin yoğunluk fonksiyonu (2.6) eşitliğinde (4.1) ve (4.2) eşitliklerini yerine
koyarak
30
∞
fY[ r:n ] ( y ) = ∫
0
(
× e
λeµ x n!
1
r −1
( −1)
( r − 1)!( n − r )! ∑
h=0
µ1 x
)
−1 e
µ2 y
(
h
 λ µ1x

 r − 1
e − 1 ( n − r + h + 1) 

 exp  −
 h 
 µ1

(
)
 e µ1 x − 1
exp  −
e µ2 y − 1
µ2

(
)

) dx
∞

r −1
e µ2 y λ n !
h  r − 1
=
( −1)   ∫ eµ1x − 1 eµ1x
∑
( r − 1)!( n − r )! h=0
 h 0
(
)
(
)
(
)
 e µ1x − 1
 λ µ1 x

× exp  −
e − 1 ( n − r + h + 1)  exp  −
e µ2 y − 1
µ2

 µ1

(
=
)
(
)

 dx

r −1
e µ2 y λ n !
h  r − 1
( −1)  
∑
( r − 1)!( n − r )! h=0
 h 
 e µ1x − 1
 λ µ1 x

× exp  −
e − 1 ( n − r + h + 1)  exp  −
e µ2 y − 1
µ
µ

 1

2
(
(
)
(
)

 dx

)
ve e µ1x − 1 = u, µ1eµ1x dx = du dönüşümü uygulandığında,
∞
e λn!
h  r − 1
fY[ r:n ] ( y ) =
( −1)   ∫ ue
∑
( r − 1)!( n − r )! h=0
 h 0
µ2 y
=
r −1
(
) 

e µ2 y −1
λ
− u  ( n − r + h +1) +
µ2
 µ1



1
µ1
du
r −1
e µ2 y λ n !
1
h  r − 1
( −1)  
∑
µ1 ( r − 1) !( n − r ) ! h = 0
 h  λ
e µ2 y − 1
 ( n − r + h + 1) +
 µ1
µ2

(
) 
2
(4.3)


biçiminde elde edilir. Burada X rasgele değişkeni bir fiziki sistem biriminin ömrü veya
belli bir yaşta yaşam süresini, Y rasgele değişkeni ise sistemdeki başka bir birimin X
rasgele değişkeninin φ ( x ) ile belirtilen biçimde fonksiyonu olan yaşam süresini
belirtmektedir. Buradan r -inci sıra istatistiği X r:n ’nin eşleniği Y[r:n] , yaşam süresi X ile
eşlenmiş olan ikinci birimin yaşam süresi olmaktadır. Elde edilen bu dağılım ilişkili iki
31
birimin yaşam olasılıkları veya ömürleri temelinde risk modellemesi için kullanılabilir
niteliktedir.
Gradshteyn ve Ryzhik (2007) ve Connon (2007)’den yararlanarak, (4.3) eşitliğinde
verilen yoğunluk fonksiyonunu daha kullanışlı hale getirmek için, (4.3) eşitliğinde,
µ1 ( e µ y − 1)
2
µ2 λ
+ n − r + 1 = a olsun. Böylece (4.3) eşitliğindeki toplam ifadesi,
(
) 
µ1 e µ2 y − 1
 r − 1 
( −1)    h + n − r + 1 +
∑
µ2λ
h =0
 h 
r −1
h
−2
r −1
1
h  r − 1
= ∑ ( −1) 

2

h =0
 h  (h + a)

(4.4)
biçiminde yazılır. Bu toplam ifadesini daha basit bir şekilde yazmak üzere
 r − 1 ( −1)
(r − 1)!
=
= g (a)
∑


a (a + 1)...(a + r − 1)
h =0  h  h + a
h
r −1
(4.5)
−1
 r −1+ a 
=a 
 ,
 r −1 
−1
a ∉ ( 0, −1,..., −(r − 1) )
tanımlama ifadesinden g ( a ) ’yı ve bunun Gamma fonksiyonu
∞
Γ(a) = ∫ t a −1e− t dt , a>0
0
Γ( a ) =
Γ(a + 1) Γ(a + 2)
Γ( a + r )
=
= ... =
a
a ( a + 1)
a ( a + 1) ... ( a + r − 1) )
ile daha açık ifade ederek (4.5) eşitliğini, (4.6) eşitliğini kullanılarak yeniden
32
(4.6)
 r − 1 ( −1)
( r − 1)!
( r − 1)!Γ ( a )
g (a ) = ∑ 
=
=

a ( a + 1) ... ( a + r − 1) )
Γ (a + r )
h=0  h  h + a
h
r −1
biçiminde yazabiliriz. g ( a ) fonksiyonunun türevi bizim için gerekli olan (4.4)
eşitliğinin eksi işaretlisidir:
 r − 1 ( −1)
g ′ ( a ) = −∑ 
= g ( a ) {ψ ( a ) −ψ ( a + r )}

2
h =0  h  ( h + a )
h
r −1
(4.7)
Burada, ψ ( a ) , Γ ( a ) fonksiyonunun logaritmasının türevi olan digamma fonksiyonu
ψ (a) =
Γ′ ( a )
d
log Γ ( a ) =
da
Γ (a)
dur. n -inci sıra harmonik sayısı
1 n n
1
= ∑   (−1) k +1 , k = 1, 2,..., n
k
k =1 k
k =1  k 
n
H (n) = ∑
(Gradshteyn ve Ryzhik 2007) ve digamma fonksiyonu arasındaki ilişki,
a + r −1
{ψ ( a + r ) −ψ ( a )} = ∑
h= a
1
= H ( a + r −1) − H ( a −1) , k = 1, 2,..., n
h
(4.8)
olup (Connon 2007), (4.7), bu eşitliği ve (4.8) ifadesi ile birlikte kullanılınca (4.4)
eşitliğini tekrar
33
 r − 1  ( −1)
= g ( a ) {ψ ( a + r ) −ψ ( a )}
∑


2
h =0  h  ( h + a )
h
r −1
=
şeklinde
elde
µ1 ( e µ y − 1)
( r − 1)!Γ ( a ) H
( (a+r −1) − H (a−1) )
Γ (a + r )
ederiz.
Sonuç
olarak
(4.3)
(4.9)
deki
yoğunluk
fonksiyonu,
2
µ2 λ
+ n − r + 1 = a tanımsallığı kullanımı ile ifade edilecektir.




µ1 e µ2 y − 1

+ 1  H  µ eµ2 y −1  − H  µ eµ2 y −1  
µ1e Γ ( n + 1) Γ  n − r +
)
)

   n+ 1(
µ2 λ
 n −r + 1 (


 
µ2 λ
µ2 λ








fY[ r:n ] ( y ) =
. (4.10)


µ1 e µ2 y − 1
+ 1
λΓ ( n − r + 1) Γ  n +


µ2 λ


(
µ2 y
)
(
)
Bir sonraki bölümde yukarıdaki Y[r:n] eşleniğinin yoğunluk fonksiyonunu kullanarak
yaşam ve bozulma fonksiyonları elde edilmiştir.
4.1 Sıra İstatistiklerinin Eşlenikleri ile Yaşam Analizi
Belirli bir zaman noktasında belirli bir yaşa sahip iki ilişkili birimin kalan yaşam
sürelerine dair olasılıklar,
( X ,Y )
rasgele vektörüne ait yaşam fonksiyonu bulunarak
ifade edilebilir. X ve Y ’nin her biri için yaşam fonksiyonu
S (t ) = 1 − F (t )
34
herhangi bir olasılık dağılım ailesi temelinde yaşam analizleri için ele alınır. Bu
bölümde r -inci sıra istatistiğinin eşleniği Y[r:n] için yaşam ve bozulma fonksiyonlarını
elde etmek için öncelikle fY[r:n] ’e ilişkin dağılım fonksiyonunun ifade edilmesi gerekir:
y
FY[ r:n ] ( y ) = ∫ fY[ r:n ] (t )dt
0
(
) 
−2
) 
−2
λ
e µ2t − 1
λn!
h  r − 1 µ t
2

=∫
−
e
n
−
r
+
h
+
+
1
1
)
∑( )  h   µ (
r − 1) !( n − r )! µ1 h= 0
µ2


1
0 (

y
r −1
(
y
e µ2t − 1
 r − 1  µ 2t  λ
=
( −1)   ∫ e  ( n − r + h + 1) +
µ
µ2
( r − 1)!( n − r )!µ1 ∑
h =0
 h 0
 1
λn!
r −1
h
dt




Bu ifade de; ( e µ2t − 1) = u , µ 2 e µ2t dt = du dönüşümü uygulandığında
 r − 1
=
( −1)  
∑
( r − 1)!( n − r )!µ1 h=0
 h 
λ n!
r −1
h
(eµ
)
2 y −1
∫
0
1
1
λ
u  µ2
 ( n − r + h + 1) + 
µ2 
 µ1
2
2
λ
u 
µ2
dv
 ( n − r + h + 1) +  = v, du =
µ2 
2 v
 µ1
(
λ n!
h  r − 1
=
( −1)  
∑
( r − 1)!( n − r )!µ1µ2 h =0
 h 
r −1
∫
λ
( n − r + h +1)
µ1

r −1
r
−
1

µ2λ n !
1
h
=
( −1)    −2
∑
( r − 1)!( n − r )! µ1µ2 h =0
 h  2 v


35
) 

e µ2 y −1
 λ ( n − r + h +1) +
 µ
µ2
1



2
µ2
2v v
(
dv
)  

e µ2 y −1
 λ ( n − r + h +1) +
µ2
 µ1

λ

 ( n − r + h +1) 
 µ1

2
2







du
dt
=
µ2λ n !
r −1
∑ ( −1)
h
( r − 1)!( n − r )! µ1µ2 h =0
 r − 1


 h 



1
× −
 λ
e µ2 y − 1


( n − r + h + 1) +
µ2
  µ1
 
(
=
µ2λ n !
r −1
∑ ( −1)
)
h
( r − 1)!( n − r )!µ1µ2 h=0



1

+
 λ

  ( n − r + h + 1)  
  µ1



 r − 1


 h 
(
)
 λ
e µ2 y − 1   λ

  ( n − r + h + 1) +
 −  ( n − r + h + 1)  
µ2   µ1
  µ1



× 
 λ
e µ2 y − 1   λ
 
  ( n − r + h + 1)  
  ( n − r + h + 1) +
µ2   µ1
  µ1
 

 
(
FY[ r:n ] ( y ) =
)
r −1
n!
1
h  r − 1
( −1)  
∑
( r − 1)!( n − r )! h=0
 h  ( h + n − r + 1)

µ1 e µ2 y − 1


µ2 λ
×

µ1 e µ2 y − 1

h
+
n
−
r
+
1
+
)
 (
µ2 λ



(
)
(
)
(4.11)








açılımında ifadeye dönüşmektedir. (4.11) eşitliği ile verilen dağılım fonksiyonunu daha
kullanışlı bir şekilde yazabilmek için,
r −1
∑ ( −1)
h =0
h
 Γ (c ) Γ ( r ) Γ (c + b) Γ ( r )
 r − 1 1 
b
−

 =


Γ (c + b + r )
 h  (h + c)  (h + c + b)  Γ (c + r )
36
(4.12)
µ1 ( e µ y − 1)
2
eşitliği yardımıyla ve (4.11) eşitliğinde, n − r + 1 = c ,
µ2λ
(
= b ’yi kullanarak
)



µ1 e µ2 y − 1 



Γ n − r +1+
Γ (r ) 


µ
λ


2
Γ ( n − r + 1) Γ ( r )
n!



FY[ r:n ] ( y ) =
− 

 
( r − 1)!( n − r )!  Γ ( n − r + 1 + r )
µ1 e µ2 y − 1
Γ  n − r +1+
+r 


 
µ
λ
2


 
(

µ1
Γ ( n + 1) Γ  n − r +


= 1−

µ1
Γ ( n − r + 1) Γ  n +


(e
µ2 y
µ2λ
(
)
) + 1
−1


µ2 y

e −1
+ 1

µ2λ

)
olarak elde edilmiştir. Yaşam fonksiyonu ise, (4.11) eşitliği kullanılarak,
SY[ r:n ] ( y ) = 1 − FY[ r:n ] ( y )
r −1

n!
1
h  r − 1
= 1− 
( −1)  
∑
h
r
−
1
!
n
−
r
!
h
+
n
− r + 1)
) ( ) h =0

(
 (

µ1 e µ2 y − 1


µ2λ
×

µ1 e µ2 y − 1
  ( h + n − r + 1) +
µ2λ


(
)
(
)




 
 
 
 
37

µ1
Γ(n + 1)Γ  n − r +


SY[ r:n ] ( y) =

µ1
Γ(n − r + 1)Γ  n +


(e
µ2 y
) + 1
−1
µ2λ
(


µ2 y

e −1
+ 1

µ2λ

(4.13)
)
biçiminde elde edilmiştir.
Ayrıca, iki değişkenli sözde Gompertz dağılımının r -inci sıra istatistiğinin eşleniğinin
−1
hazard veya ölüm oranı, veya bozulma fonksiyonu, h ( y ) = f ( y )  S ( y )  , (4.10) ve
(4.13) eşitlikleri kullanılarak,
hY[ r:n ] ( y ) =
fY[ r:n ] ( y )
SY[ r:n ] ( y )
=
fY[ r:n ] ( y )
1 − FY[ r:n ] ( y )


µ2 y


µ
e
−
1

1
µ1e µ2 y Γ ( n + 1) Γ  n − r +
+ 1  H  µ eµ2 y −1  − H  µ eµ2 y −1  
)
)

   n+ 1(
µ2 λ
 n−r + 1 (

 


 
µ2 λ
µ2 λ



 
µ
y
2


µ1 e − 1
λΓ ( n − r + 1) Γ  n +
+ 1


µ 2λ


=
µ2 y


µ1 e − 1
Γ(n + 1)Γ  n − r +
+ 1


µ2 λ


µ2 y


µ1 e − 1
Γ(n − r + 1)Γ  n +
+ 1


µ2 λ


(
)
(



− H  µ eµ2 y −1  
2 y −1 
)
)
 n−r + 1 (

µ2 λ
µ2 λ






µ eµ y 
= 1
µ
H
λ   n + µ ( e
2
1



38
)
(
)
(
)
(4.14)
açık ifadesini almaktadır. Y[r:n] ’nin yaşam ve bozulma fonksiyonları, φ ( x ) verildiğinde
n , r , µ1 , µ2 ve λ ’nın fonksiyonudur. Yaşam ve bozulma fonksiyonu, X rasgele
değişkeninin değerine bağlı değil iken, örneklem büyüklüğü n ve sıra derecesi r ’ye
bağlıdır. Ayrıca Y[r:n] ’nin gözlenen değeri y dir.
Y[r:n] eşleniği için yaşam fonksiyonu ve bozulma fonksiyonunun sayısal değerleri iki
değişkenli sözde Gompertz dağılımının parametreleri olan n = 10 , r = 1,...,10 ,
0.1 ≤ y ≤ 1 , µ1 = 0.02 , µ2 = 0.01 ve λ ’nın çeşitli değerleri için aşağıdaki çizelgelerde
sırasıyla verilmiştir.
39
Çizelge 4.1 Y[r:n] eşleniğinin yaşam fonksiyonu değerleri
λ = 0.02
y
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r
1
0.9901
0.9804
0.9708
0.9615
0.9523
0.9432
0.9344
0.9257
0.9171
0.9087
2
0.9792
0.9590
0.9395
0.9205
0.9020
0.8841
0.8667
0.8498
0.8334
0.8174
3
0.9671
0.9356
0.9055
0.8766
0.8488
0.8223
0.7968
0.7723
0.7488
0.7262
4
0.9535
0.9096
0.8682
0.8291
0.7921
0.7572
0.7241
0.6928
0.6631
0.6350
5
0.9378
0.8802
0.8268
0.7772
0.7310
0.6881
0.6482
0.6110
0.5763
0.5439
6
0.9194
0.8464
0.7799
0.7195
0.6644
0.6142
0.5684
0.5264
0.4880
0.4529
7
0.8970
0.8060
0.7254
0.6540
0.5904
0.5339
0.4835
0.4384
0.3981
0.3619
8
0.8681
0.7556
0.6594
0.5769
0.5059
0.4447
0.3917
0.3458
0.3059
0.2711
9
0.8267
0.6868
0.5733
0.4806
0.4045
0.3418
0.2899
0.2467
0.2107
0.1804
10
0.7515
0.5723
0.4408
0.3431
0.2695
0.2134
0.1703
0.1368
0.1106
0.0900
2
0.9916
0.9833
0.9751
0.9670
0.9590
0.9511
0.9432
0.9355
0.9278
0.9202
3
0.9867
0.9736
0.9607
0.9480
0.9355
0.9233
0.9112
0.8994
0.8877
0.8762
4
0.9811
0.9625
0.9445
0.9268
0.9095
0.8926
0.8761
0.8599
0.8441
0.8286
5
0.9746
0.9499
0.9259
0.9027
0.8801
0.8582
0.8369
0.8162
0.7961
0.7766
6
0.9668
0.9349
0.9042
0.8746
0.8461
0.8187
0.7923
0.7669
0.7424
0.7188
7
0.9572
0.9165
0.8778
0.8409
0.8058
0.7723
0.7403
0.7099
0.6809
0.6532
8
0.9446
0.8927
0.8440
0.7982
0.7553
0.7149
0.6769
0.6412
0.6076
0.5760
9
0.9261
0.8584
0.7962
0.7390
0.6865
0.6381
0.5935
0.5525
0.5146
0.4796
10
0.8905
0.7947
0.7107
0.6369
0.5718
0.5143
0.4633
0.4181
0.3779
0.3421
2
0.9944
0.9888
0.9833
0.9778
0.9724
0.9670
0.9616
0.9563
0.9510
0.9457
3
0.9911
0.9823
0.9735
0.9649
0.9564
0.9479
0.9396
0.9313
0.9232
0.9151
4
0.9873
0.9748
0.9625
0.9504
0.9385
0.9267
0.9151
0.9037
0.8924
0.8813
5
0.9830
0.9662
0.9498
0.9338
0.9180
0.9026
0.8874
0.8725
0.8580
0.8437
6
0.9777
0.9560
0.9349
0.9142
0.8941
0.8745
0.8554
0.8367
0.8185
0.8007
7
0.9713
0.9434
0.9165
0.8904
0.8652
0.8408
0.8171
0.7942
0.7720
0.7505
8
0.9627
0.9269
0.8927
0.8598
0.8283
0.7981
0.7691
0.7412
0.7145
0.6889
9
0.9500
0.9028
0.8583
0.8162
0.7764
0.7388
0.7032
0.6695
0.6377
0.6075
10
0.9253
0.8571
0.7946
0.7374
0.6849
0.6366
0.5923
0.5514
0.5138
0.4791
2
0.9958
0.9916
0.9874
0.9833
0.9792
0.9751
0.9710
0.9669
0.9629
0.9589
3
0.9933
0.9867
0.9801
0.9735
0.9670
0.9606
0.9542
0.9479
0.9416
0.9354
4
0.9905
0.9811
0.9717
0.9625
0.9534
0.9444
0.9355
0.9266
0.9179
0.9093
5
0.9872
0.9745
0.9621
0.9498
0.9377
0.9258
0.9141
0.9025
0.8911
0.8798
6
0.9832
0.9668
0.9507
0.9348
0.9193
0.9040
0.8891
0.8744
0.8600
0.8458
7
0.9784
0.9572
0.9366
0.9165
0.8968
0.8776
0.8589
0.8406
0.8228
0.8053
8
0.9719
0.9446
0.9182
0.8926
0.8678
0.8438
0.8205
0.7979
0.7760
0.7548
9
0.9622
0.9261
0.8914
0.8582
0.8264
0.7959
0.7666
0.7386
0.7117
0.6858
10
0.9434
0.8904
0.8409
0.7945
0.7511
0.7104
0.6722
0.6363
0.6027
0.5710
λ = 0.05
y
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r
1
0.9960
0.9921
0.9881
0.9842
0.9803
0.9765
0.9727
0.9689
0.9651
0.9614
λ = 0.075
y
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r
1
0.9973
0.9947
0.9921
0.9894
0.9868
0.9842
0.9816
0.9790
0.9765
0.9739
λ = 0.1
y
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r
1
0.9980
0.9960
0.9940
0.9920
0.9901
0.9881
0.9861
0.9842
0.9822
0.9803
40
Çizelge 4.1, (4.13) eşitliğindeki yaşam fonksiyonunun çeşitli değerlerini içermektedir.
Bu değerlere bakıldığında y , r , µ1 ve µ2 sabit tutulduğunda, λ değeri arttıkça
eşleniğin yaşam olasılığı artmakta iken, λ , y ,
µ1 , µ2 ; sabit tutulduğunda sıra
istatistiği X r:n ’nin sıra değeri r ’nin artması yaşam olasılığını azaltmaktadır. Ayrıca λ ,
r , µ1 , µ2 ; sabit tutulduğunda; Y[r:n] eşleniğinin y değeri arttıkça yaşam olasılığı
azalmaktadır.
Eşleniklerin yaşam fonksiyonunun davranışları bazı y değerleri için Şekil 4.1.(a) ve
bazı r değerleri için Şekil 4.2.(b) ile verilmiştir.
Şekil 4.1 y = 0.1 , 0.5 ve 1 için Y[r:n] eşleniğinin yaşam fonksiyonunu göstermektedir.
Sıra değeri λ değeri azaldıkça ve r değeri arttıkça yaşam fonksiyonu hızla
azalmaktadır. Yaşam fonksiyonundaki azalma hızının y ’ nin değerindeki artış hızından
fazla olduğu görülmektedir.
Şekil 4.2 sıra değeri r = 1 , 5 ve 10 için Y[r:n] eşleniğinin yaşam fonksiyonunu
göstermektedir. Yaşam süresi
y ’nin değeri artarken yaşam fonksiyonu değeri
azalmaktadır ve bu azalma hızı r ve λ değerleri büyüdükçe daha hızlı olmaktadır.
41
Şekil 4.1 Y[r:n] eşleniğinin y = 0.1 , y = 0.5 , y = 1 değerleri için yaşam fonksiyonları
42
Şekil 4.2 Y[r:n] eşleniğinin r = 1 ,
r = 5 , r = 10 değerleri için yaşam fonksiyonları
43
Çizelge 4.2 Y[r:n] eşleniğinin bozulma fonksiyonu değerleri
λ = 0.02
y
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r
1
0.0991
0.0982
0.0974
0.0965
0.0957
0.0949
0.0941
0.0933
0.0925
0.0918
2
0.2091
0.2071
0.2052
0.2033
0.2015
0.1997
0.1979
0.1961
0.1944
0.1927
3
0.3327
0.3293
0.3261
0.3228
0.3197
0.3166
0.3136
0.3106
0.3077
0.3049
4
0.4737
0.4685
0.463
0.4585
0.4537
0.4490
0.4443
0.4398
0.4354
0.4311
5
0.6378
0.6301
0.6226
0.6154
0.6083
0.6013
0.5946
0.5880
0.5816
0.5753
6
0.8340
0.8228
0.8119
0.8013
0.7910
0.7809
0.7712
0.7617
0.7525
0.7435
7
1.0782
1.0614
1.0451
1.0294
1.0142
0.9995
0.9853
0.9716
0.9582
0.9453
8
1.4011
1.3745
1.3490
1.3246
1.3013
1.2789
1.2573
1.2366
1.2167
1.1975
9
1.8777
1.8299
1.7850
1.7428
1.7031
1.6655
1.6300
1.5962
1.5641
1.5336
10
2.7877
2.6647
2.5563
2.4596
2.3725
2.2936
2.2215
2.1552
2.0941
2.0374
2
0.0842
0.0839
0.0836
0.0834
0.0831
0.0828
0.0826
0.0823
0.0821
0.0818
3
0.1340
0.1335
0.1330
0.1326
0.1321
0.1317
0.1312
0.1308
0.1303
0.1340
4
0.1908
0.1901
0.1894
0.1887
0.1880
0.1872
0.1865
0.1859
0.1852
0.1845
5
0.2571
0.2560
0.2549
0.2539
0.2528
0.2517
0.2507
0.2496
0.2486
0.2476
6
0.3366
0.3349
0.3333
0.3317
0.3301
0.3285
0.3270
0.3254
0.3239
0.3224
7
0.4357
0.4332
0.4307
0.4282
0.4258
0.4234
0.4210
0.4187
0.4164
0.4142
8
0.5674
0.5633
0.5593
0.5553
0.5514
0.5476
0.5438
0.5401
0.5365
0.5329
9
0.7637
0.7560
0.7485
0.7412
0.7341
0.7272
0.7204
0.7138
0.7074
0.7011
10
1.1487
1.1271
1.1066
1.0873
1.0690
1.0515
1.0349
1.0190
1.0038
0.9893
2
0.0562
0.0561
0.0560
0.0559
0.0558
0.0557
0.0556
0.0555
0.0554
0.0553
3
0.0894
0.0893
0.0891
0.0889
0.0887
0.0886
0.0884
0.0882
0.0880
0.0879
4
0.1274
0.1272
0.1269
0.1266
0.1263
0.1260
0.1258
0.1255
0.1252
0.1249
5
0.1717
0.1713
0.1709
0.1704
0.1700
0.1696
0.1692
0.1687
0.1683
0.1679
6
0.2248
0.2242
0.2235
0.2229
0.2222
0.2216
0.2209
0.2203
0.2197
0.2190
7
0.2911
0.2901
0.2891
0.2880
0.2870
0.2860
0.2851
0.2841
0.2831
0.2821
8
0.3793
0.3776
0.3759
0.3742
0.3726
0.3709
0.3693
0.3677
0.3661
0.3646
9
0.5110
0.5077
0.5045
0.5013
0.4982
0.4951
0.4921
0.4891
0.4862
0.4833
10
0.7710
0.7614
0.7521
0.7432
0.7346
0.7263
0.7183
0.7105
0.7030
0.6957
2
0.0422
0.0421
0.0421
0.0420
0.0420
0.0419
0.0419
0.0418
0.0418
0.0418
3
0.0671
0.0671
0.0670
0.0669
0.0668
0.0667
0.0666
0.0666
0.0665
0.0664
4
0.0957
0.0955
0.0954
0.0952
0.0951
0.0950
0.0948
0.0947
0.0946
0.0944
5
0.1289
0.1287
0.1285
0.1283
0.1281
0.1279
0.1276
0.1274
0.1272
0.1270
6
0.1688
0.1685
0.1681
0.1678
0.1675
0.1671
0.1668
0.1665
0.1662
0.1659
7
0.2186
0.2181
0.2175
0.2170
0.2165
0.2160
0.2155
0.2150
0.2144
0.2139
8
0.2849
0.2840
0.2831
0.2822
0.2813
0.2805
0.2796
0.2787
0.2779
0.2771
9
0.3840
0.3822
0.3805
0.3787
0.3770
0.3754
0.3737
0.3721
0.3704
0.3688
10
0.5803
0.5749
0.5697
0.5646
0.5597
0.5549
0.5503
0.5458
0.5413
0.5370
λ = 0.05
y
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r
1
0.0399
0.0398
0.0396
0.0395
0.0394
0.0393
0.0392
0.0391
0.0390
0.0388
λ = 0.075
y
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r
1
0.0266
0.0266
0.0265
0.0265
0.0264
0.0264
0.0264
0.0263
0.0263
0.0262
λ = 0.1
y
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r
1
0.0200
0.0200
0.0199
0.0199
0.0199
0.0199
0.0199
0.0198
0.0198
0.0198
44
Çizelge 4.2 (4.14) eşitliğindeki bozulma fonksiyonunun çeşitli değerlerini içermektedir.
Bu değerlere bakıldığında; y , r , µ1 ve µ2 sabit tutulduğunda, λ değeri arttıkça
eşleniğin bozulma oranı azalmakta iken λ , y , µ1 , µ2 sabit tutulduğunda r ’nin artması
bozulma oranını artırmaktadır. Ayrıca λ , r , µ1 ve µ2 sabit tutulduğunda, y arttıkça
bozulma oranı azalmaktadır.
Y[r:n] eşleniğinin bozulma fonksiyonunun davranışları bazı y değerleri için Şekil 4.2.(a)
ve bazı r değerleri için Şekil 4.2.(b) ile verilmiştir.
Şekil 4.3 λ değeri azaldıkça ve r değeri arttıkça bozulma fonksiyonu artma
eğilimindedir. Bu artmanın hızı y ’nin küçük değerleri için daha hızlıdır.
Şekil 4.4 bozulma fonksiyonu artan y değerleri için azalma eğilimindedir. Aynı
zamanda bozulma fonksiyonundaki artışın düzeyi, yaşam süresi X ’in sıra derecesi
r ’nin artması ile artış gösteren durumdadır.
45
Şekil. 4.3 Y[r:n] eşleniğinin y = 0.1 , y = 0.5 , y = 1 değerleri için bozulma fonksiyonları
46
Şekil. 4.4 Y[r:n] eşleniğinin r = 1 ,
r = 5 , r = 10 değerleri için bozulma fonksiyonları
47
5. İKİ DEĞİŞKENLİ SÖZDE GOMPERTZ DAĞILIMINA AİT REKOR
DEĞERLERİNİN EŞLENİKLERİ
Bu kesimde rekor değerlerin eşleniklerinin dağılım teorisi ve iki değişkenli sözde
Gompertz dağılımına ait r -inci rekor değerin eşleniğinin yaşam fonksiyonu ve bozulma
fonksiyonu elde edilmiştir. Uygun parametre değerleri için r -inci rekor değerlerin
eşleniğinin yaşam ve bozulma fonksiyonları, modu, medyanı, ortalaması ve varyans
değerleri hesaplanmıştır. Hesaplanan yaşam ve bozulma fonksiyonu değerlerinin
parametrelere göre durumları grafiksel olarak verilmiştir.
5.1 Rekor Değerlerin Eşleniklerinin Dağılım Teorisi
Rekor değerlerin teorisi sıra istatistikleri teorisi ile yakından ilgilidir. Rekorların
matematiksel teorisi Chandler’in (1952) makalesiyle başlamaktadır.
X 1 , X 2 ,... birbirinden bağımsız ve aynı F ( x ) dağılımına sahip rasgele değişkenlerin
{
}
bir dizisi olsun. Eğer X j > max X 1 , X 2 ,..., X j −1 ise X j ’ya X 1 , X 2 ,... dizisinin j -inci
üst rekor değeri denilir. Tn , n ≥ 0 , n -inci rekor zamanı olarak tanımlandığında, 1
{
}
olasılıkla T0 = 1 ve Tn = min j : X j > X Tn−1 , n ≥ 1 dir. Rekor değerlerin dizisi { Rn } ,
Rn = X Tn
eşitliğindeki gibi tanımlanmıştır. Rekorlar ile ilgili temel bilgiler ve rekorların tahmini
konularında Ahsanullah (1995) ve Arnold vd. (1992)’nin çalışmaları açıklayıcı
olmaktadır.
{( X i , Yi ), i ≥ 1}
rasgele değişken çiftinin ilk koordinatı olan X ’in rekor değerleri, n ≥ 1
için Rr ile r -inci üst rekor değer ifadesi olarak gösterilsin. Eğer
48
( R , R[ ] ) = ( X , Y ) ve bir olasılıkla ve T
0
0
1
( R , R[ ] ) = ( X
Tn
n
n
1
n
{
}
= min j : X j > X Tn−1 , n ≥ 1 , ele alındığında
)
, YTn ,
ifadesinde R[ r ] , ile r -inci üst rekor değerinin eşleniğini göstermektedir (Ahsanullah
2009, Bairamov ve Stepanov 2011).
Dağılım fonksiyonu F ( x) ve olasılık (yoğunluk) fonksiyonu f ( x) olan bir kitleden
alınan bir örneklem X 1 , X 2 ..., X n için r -inci rekor değerin yoğunluk fonksiyonu,
f Rr ( x) =
r −1
1
f ( x)  R ( x )  ,
Γ(r)
(5.1)
olup, burada R ( x ) = − In 1 − F ( x )  dır (Ahsanullah 1995). −∞ < X r < X s < ∞ koşulu
ile s -inci ve r -inci rekor değerlerin ortak olasılık fonksiyonu,
f R:r , Rs: ( x1 , x2 ) =
r ( x1 ) f ( x2 )
 R ( x1 ) 
Γ (r )Γ (s − r ) 
r −1
 R ( x2 ) − R ( x2 ) 
s − r −1
,
(5.2)
dur. Burada r ( x ) = R ' ( x ) dır (Ahsanullah 1995).
X = x verildiğinde, Y ’nin koşullu olasılık fonksiyonu fY X ( y x ) kullanılarak r -inci
rekor değerin eşleniğinin olasılık fonksiyonu,
f R[r ] ( yr ) =
∞
∫ f (y
r
xr ) f Rr ( xr ) dxr
(5.3)
−∞
49
elde edilir. 1 ≤ r < s ≤ n için, r -inci ve s -inci rekor değerin eşlenikleri olan Y[r:n] ve
Y[ s:n] ’nin ortak dağılım fonksiyonu
∞ xs
FR[ r ] , R[ s ] ( y1 , y2 ) =
∫ ∫ F(y
1
| x1 )F ( y2 | x2 ) f Rr , Rs ( x1 , x2 ) dx1dx2 ,
(5.4)
−∞ −∞
ve olasılık yoğunluk fonksiyonu
∞ xs
f R[ r ] , R[ s ] ( y1 , y2 ) =
∫∫
f ( y1 | x1 ) f ( y2 | x2 ) f Rr , Rs ( x1 , x2 ) dx1dx2 ,
(5.5)
−∞ −∞
dur (Ahsanullah 1995).
5.2 İki Değişkenli Sözde Gompertz Dağılımı için Rekor Değerin Eşleniği
İki değişkenli Sözde Gompertz dağılımı (3.18) ve (3.19) eşitliklerinde verilmiştir. İki
değişkenli sözde Gompertz dağılımına ait r -inci rekor değerinin eşleniğinin yoğunluk
fonksiyonunu elde etmek için öncelikle X rasgele değişkeninin r -inci üst rekor
değerinin yoğunluk fonksiyonunu (5.1) eşitliğinden,
f Rr ( x ) =
λ
Γ (r)
e
µ1 x
 λ µ1x
exp  −
e −1
 µ1
(
)
 

 λ µ1x
e −1
  − In  1 −  1 − exp  −
 
 µ1
 
(
)
  
   
   
r −1
(5.6)
şeklinde elde edilir. X rasgele değişkeni verildiğinde Y rasgele değişkeninin koşullu
olasılık yoğunluk fonksiyonu,
50
f ( y x) = e
µ2 y
(e
µ1 x

 ( e µ2 y − 1)  
µ1 x

  , x > 0, y > 0
− 1) exp − ( e − 1) 
 µ2





(5.7)
olup iki değişkenli sözde-Gompertz dağılımın r -inci rekor değerinin eşleniğinin
yoğunluk fonksiyonu, (5.3) eşitliğinde (5.6) ve (5.7) eşitliklerini yerine koyarak
∞
f R[r ] ( y ) = ∫ e
µ2 y
(e

− 1 exp  − e µ1 x − 1


)
µ1 x
0
(
)
 λ µ1x
×
e µ1x exp  −
e −1
Γ (r )
 µ1
λ
(
)
(
)
(
(
)
(
=
e µ2 y λ r
Γ ( r )( µ1 )
)
∞
e
r −1 ∫
0
µ1 x
(e
(
µ1 x
)
)

  

(
(
)
=
Γ ( r )( µ1 )
r
r
(
)  du
 λ
e µ2 y − 1
∫0 u exp  −u  µ1 + µ2
 
∞
51


(
e

 µ1
)    λ
(
(
)  dx
e
   µ1

λ
e µ2 y − 1
 +
 µ1
µ2

ve ( e µ1 x − 1) = u , µ1e µ1 x dx = du dönüşümü uygulanarak
e µ2 y λ r


λ
e µ2 y − 1
 +
 µ1
µ2


− 1 exp  − e µ1 x − 1


r
)
  
   
   
)  − In  exp  − λ
λ
e µ2 y − 1
 +
 µ1
µ2

∞

e µ2 y λ µ1x µ1 x
 − e µ1 x − 1
=
e
e
−
1
exp
Γ ( r ) ∫0


(


 

 λ µ1 x
e −1
  − In 1 −  1 − exp  −
µ
 

1
 
∞

e µ2 y λ µ1x µ1x

=
e
e
−
1
exp
− eµ1x − 1
Γ ( r ) ∫0


(
)  
 e µ2 y − 1

 µ2

µ1 x


µ1 x
r −1
dx
 
− 1  

  
r −1
)

−1 

)
r −1
dx
dx
=
=
Γ ( r + 1)
e µ2 y λ r
Γ ( r )( µ1 )  λ
e µ2 y − 1
 +
 µ1
µ2

(
r
) 
r λ r e µ2 y
(
)
λ
e −1
µ1r  +
 µ1
µ2

µ2 y




r +1
r +1


, r > −1, ( µ 2 λ + µ1e y ) > µ1
(5.8)
şeklinde elde edilir. Burada X rasgele değişkeni bir birimin ömrü veya belli bir yaşta
yaşam süresini, Y rasgele değişkeni ise X rasgele değişkeninin fonksiyonu olan φ ( x )
ile belirlenen ölçek boyunda ikinci birimin yaşam süresini belirtmektedir. Buradan r inci rekor değer Rr ’nin eşleniği R[ r ] , yaşam süresi X ile eşleşmiş olan birimin yaşam
süresini ifade etmektedir. Elde edilen bu dağılım ilişkili iki birimin yaşam olasılıkları
veya ömürleri temelinde risk modellemesi için kullanılabilir.
Bir sonraki kesimde; üstte verilen R[ r ] eşleniğinin yoğunluk fonksiyonu kullanılarak
yaşam ve bozulma fonksiyonları elde edilmiştir.
5.3 Rekor Değerin Eşlenikleri ile Yaşam Analizi
r -inci rekor değerin eşleniği R[ r ] ’nin yaşam ve bozulma fonksiyonlarını elde etmek
amacıyla f R[r ] ’ye ilişkin dağılım fonksiyonunun ifade edilmesi gerekmektedir:
y
FR[r ] ( y ) = ∫ fY[ r:n ] (t )dt
0
52
r λ r e µ 2t
y
=∫
0
(e
µ2t
(
)
λ
e µ 2t − 1
r
µ1  +
 µ1
µ2





r +1
dt
)
− 1 = u , µ 2 e µ2t dt = du dönüşümü ile
( eµ
=
)
2 y −1
∫
0
= 1−
rλ r
λ
u 
µ2 µ1r  + 
 µ1 µ2 
λ 
 
 µ1 
(
r +1
du
r
) 
λ
e −1
 +
 µ1
µ2

µ2 y
(5.9)
r


elde edilir. r -inci rekor değerin eşleniğinin yaşam fonksiyonu şudur:
S R[r ] ( y ) = 1 − FR[r ] ( y )
S R[r] ( y ) =
λ 
 
 µ1 
(
r
)
λ
e µ2 y − 1
 +
 µ1
µ2





r
(5.10)
.
Ayrıca, iki değişkenli sözde-Gompertz dağılımının r -inci rekor değerin eşleniğinin
ölüm oranı veya bozulma fonksiyonu h ( y ) = f ( y )  S ( y ) 
kullanılarak,
53
−1
(5.8) ve (5.10) eşitlikleri
hR[r ] ( y ) =
f R[r ] ( y )
S R[r ] ( y )
=
=
(
)
λ
e µ2 y − 1 
 +

 µ1
µ2 


−r
r
e µ2 y − 1 
λ  λ


   +

µ
µ
µ
2
 1  1

λ 
re µ2 y  
 µ1 
r
(
− r −1
)
re µ2 y
e µ2 y − 1
λ (
+
µ1
µ2
)
r µ1µ 2 e µ2 y
=
λµ2 + µ1 e µ2 y − 1
(
(5.11)
)
ifadesine kavuşur. R[ r ] ’nin yaşam ve bozulma fonksiyonları, φ ( x ) verildiğinde r , µ1 ,
µ2 ve λ ’nın fonksiyonudur. Yaşam ve bozulma fonksiyonu, X rasgele değişkeninin
değerine bağlı değil iken, r rekor derecesine bağlıdır. Ayrıca R[ r ] ’nin gözlenen değeri
y dir.
R[ r ] eşleniği için yaşam fonksiyonu ve bozulma fonksiyonunun sayısal değerleri, iki
değişkenli sözde Gompertz dağılımının parametreleri olan r = 1,...,10 , 0.1 ≤ y ≤ 1 ,
µ1 = 0.02 ,
µ2 = 0.01 ve
λ ’nın çeşitli değerleri için aşağıdaki çizelgelerde
gösterilmiştir.
54
Çizelge 5.1 R[ r ] eşleniklerinin yaşam fonksiyonu değerleri
λ = 0.02
y r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
0.9090
0.8332
0.7690
0.7139
0.6661
0.6243
0.5874
0.5546
0.5252
0.4987
2
0.8264
0.6942
0.5913
0.5096
0.4437
0.3897
0.3450
0.3075
0.2758
0.2488
3
0.7512
0.5784
0.4547
0.3638
0.2956
0.2433
0.2027
0.1706
0.1449
0.1241
4
0.6829
0.4819
0.3496
0.2597
0.1969
0.1519
0.1190
0.0946
0.0761
0.0619
5
0.6208
0.4015
0.2689
0.1854
0.1311
0.0948
0.0699
0.0525
0.0400
0.0309
6
0.5643
0.3346
0.2067
0.1324
0.0874
0.0592
0.0411
0.0291
0.0210
0.0154
7
0.5130
0.2788
0.1590
0.0945
0.0582
0.0370
0.0241
0.0161
0.0110
0.0077
8
0.4663
0.2323
0.1223
0.0675
0.0388
0.0231
0.0142
0.0089
0.0058
0.0038
9
0.4239
0.1935
0.0940
0.0482
0.0258
0.0144
0.0083
0.0050
0.0030
0.0019
10
0.3854
0.1612
0.0723
0.0344
0.0172
0.0090
0.0049
0.0028
0.0016
0.0009
2
0.9245
0.8572
0.7969
0.7428
0.6939
0.6496
0.6094
0.5728
0.5394
0.5087
3
0.8889
0.7937
0.7114
0.6401
0.5780
0.5236
0.4757
0.4335
0.3961
0.3629
4
0.8547
0.7348
0.6351
0.5517
0.4814
0.4220
0.3714
0.3281
0.2909
0.2588
5
0.8218
0.6803
0.5670
0.4755
0.4010
0.3401
0.2899
0.2483
0.2137
0.1846
6
0.7902
0.6299
0.5061
0.4098
0.3341
0.2741
0.2263
0.1879
0.1569
0.1317
7
0.7598
0.5832
0.4518
0.3531
0.2783
0.2209
0.1767
0.1422
0.1152
0.0939
8
0.7306
0.5399
0.4034
0.3044
0.2318
0.1781
0.1379
0.1077
0.0846
0.0670
9
0.7025
0.4999
0.3601
0.2623
0.1931
0.1435
0.1077
0.0815
0.0622
0.0478
10
0.6754
0.4629
0.3215
0.2261
0.1608
0.1157
0.0841
0.0617
0.0456
0.0254
2
0.9487
0.9012
0.8571
0.8162
0.7781
0.7425
0.7094
0.6783
0.6492
0.6220
3
0.9240
0.8555
0.7936
0.7374
0.6863
0.6399
0.5974
0.5587
0.5231
0.4905
4
0.9000
0.8122
0.7347
0.6662
0.6054
0.5514
0.5032
0.4601
0.4215
0.3868
5
0.8766
0.7710
0.6802
0.6019
0.5340
0.4751
0.4238
0.3789
0.3396
0.3051
6
0.8539
0.7319
0.6297
0.5437
0.4711
0.4094
0.3569
0.3121
0.2736
0.2406
7
0.8317
0.6948
0.5830
0.4912
0.4155
0.3528
0.3006
0.2570
0.2205
0.1897
8
0.8101
0.6596
0.5398
0.4438
0.3665
0.3040
0.2532
0.2117
0.1777
0.1496
9
0.7890
0.6262
0.4997
0.4010
0.3233
0.2620
0.2132
0.1744
0.1432
0.1180
10
0.7685
0.5945
0.4627
0.3622
0.2852
0.2257
0.1796
0.1436
0.1153
0.0931
2
0.9611
0.9245
0.8898
0.8571
0.8261
0.7967
0.7688
0.7423
0.7172
0.6933
3
0.9423
0.8889
0.8394
0.7935
0.7508
0.7111
0.6741
0.6396
0.6074
0.5773
4
0.9238
0.8547
0.7918
0.7346
0.6824
0.6347
0.5911
0.5511
0.5144
0.4806
5
0.9057
0.8218
0.7469
0.6801
0.6202
0.5665
0.5183
0.4748
0.4356
0.4002
6
0.8879
0.7901
0.7046
0.6296
0.5637
0.5057
0.4544
0.4091
0.3689
0.3332
7
0.8705
0.7597
0.6647
0.5829
0.5123
0.4513
0.3984
0.3525
0.3124
0.2775
8
0.8534
0.7305
0.6270
0.5396
0.4657
0.4028
0.3494
0.3037
0.2646
0.2310
9
0.8367
0.7023
0.5914
0.4996
0.4232
0.3596
0.3063
0.2616
0.2241
0.1924
10
0.8203
0.6753
0.5579
0.4625
0.3847
0.3209
0.2686
0.2254
0.1898
0.1602
λ = 0.05
y r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
0.9615
0.9259
0.8927
0.8618
0.8330
0.8060
0.7807
0.7568
0.7344
0.7133
λ = 0.075
y r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
0.9740
0.9493
0.9258
0.9034
0.8821
0.8617
0.8422
0.8236
0.8057
0.7886
λ = 0.1
y r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
0.9804
0.9615
0.9433
0.9258
0.9089
0.8926
0.8768
0.8616
0.8469
0.8326
55
Çizelge 5.1, (5.10) eşitliği ile verilen rekor değerin eşleniklerinin çeşitli λ değerleri için
yaşam fonksiyonunun değerlerini içermektedir. Bu değerlere bakıldığında y , r , µ1 ve
µ2 sabit tutulduğunda, λ değeri arttıkça eşleniğin yaşam olasılığı artmakta iken λ , y ,
µ1 , µ2 ; sabit tutulduğunda rekor değer Rr ’nin rekor derecesi r ’nin artması ile yaşam
olasılığının azaldığı görülmektedir. Ayrıca λ , r , µ1 , µ2 ; sabit tutulduğunda R[ r ]
eşleniğinin y değeri arttıkça yaşam olasılığı azalmaktadır.
Eşleniklerin yaşam fonksiyonunun davranışları bazı y değerleri için Şekil 5.1.(a) ve
bazı r değerleri için Şekil 5.1.(b) ile verilmiştir.
Şekil 5.1 y = 0.1 , 0.5 ve 1 için R[ r ] eşleniğinin yaşam fonksiyonunu göstermektedir.
Rekor derecesi r arttıkça ve λ parametre değerleri arttıkça yaşam fonksiyonu değerleri
hızla azalmaktadır. Yaşam fonksiyonundaki azalma hızı, y ’nin değerindeki artış
hızından büyük durumdadır.
Şekil 5.2 rekor derecesi r = 1 , 5 ve 10 verildiğinde R[ r ] eşleniğinin yaşam
fonksiyonunu göstermektedir. Burada yaşam süresi y ’nin değeri artarken yaşam
fonksiyonu değerlerinin azaldığı gözlenmekte ve bu azalma hızı r ’nin değeri arttıkça ve
λ ’nın değeri azaldıkça hız kazanmaktadır.
56
Şekil 5.1
R[ r ] eşleniğinin y = 0.1 , y = 0.5 , y = 1 değerleri için yaşam fonksiyonları
57
Şekil 5.2
R[ r ] eşleniğinin r = 1 , r = 5 , r = 10 değerleri için yaşam fonksiyonları
58
Çizelge 5.2 R[ r ] eşleniklerinin bozulma fonksiyonu değerleri
λ = 0.02
y r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
0.9100
0.8349
0.7713
0.7167
0.6694
0.6281
0.5915
0.5590
0.5299
0.5038
2
1.8199
1.6697
1.5425
1.4335
1.3389
1.2561
1.1830
1.1180
1.0599
1.0075
3
2.7299
2.5046
2.3138
2.1502
2.0083
1.8842
1.7745
1.6771
1.5898
1.5113
4
3.6398
3.3394
3.0851
2.8670
2.6778
2.5122
2.3661
2.2361
2.1198
2.0150
5
4.5498
4.1743
3.8564
3.5837
3.3472
3.1403
2.9576
2.7951
2.6497
2.5188
6
5.4598
5.0092
4.6276
4.3004
4.0167
3.7683
3.5491
3.3541
3.1796
3.0226
7
6.3697
5.8440
5.3989
5.0172
4.6861
4.3964
4.1406
3.9131
3.7096
3.5263
8
7.2797
6.6789
6.1702
5.7339
5.3556
5.0244
4.7321
4.4722
4.2395
4.0301
9
8.1896
7.5138
6.9415
6.4506
6.0250
5.6525
5.3236
5.0312
4.7695
4.5339
10
9.0996
8.3486
7.7127
7.1674
6.6945
6.2805
5.9151
5.5902
5.2994
5.0376
2
0.7700
0.7422
0.7163
0.6922
0.6697
0.6487
0.6289
0.6103
0.5928
0.5763
3
1.1550
1.1133
1.0745
1.0383
1.0046
0.9730
0.9434
0.9155
0.8893
0.8645
4
1.5400
1.4843
1.4326
1.3845
1.3395
1.2973
1.2578
1.2207
1.1857
1.1527
5
1.9250
1.8554
1.7908
1.7306
1.6743
1.6217
1.5723
1.5258
1.4821
1.4409
6
2.3100
2.2265
2.1489
2.0767
2.0092
1.9460
1.8867
1.8310
1.7785
1.7290
7
2.6949
2.5976
2.5071
2.4228
2.3441
2.2703
2.2012
2.1362
2.0750
2.0172
8
3.0799
2.9687
2.8653
2.7689
2.6789
2.5947
2.5156
2.4413
2.3714
2.3054
9
3.4649
3.3398
3.2234
3.1150
3.0138
2.9190
2.8301
2.7465
2.6678
2.5936
10
3.8499
3.7108
3.5816
3.4611
3.3486
3.2433
3.1445
3.0517
2.9642
2.8817
2
0.5200
0.5073
0.4953
0.4838
0.4728
0.4623
0.4523
0.4428
0.4336
0.4248
3
0.7800
0.7610
0.7429
0.7256
0.7092
0.6935
0.6785
0.6642
0.6504
0.6373
4
1.0400
1.0146
0.9905
0.9675
0.9456
0.9247
0.9047
0.8856
0.8672
0.8497
5
1.3000
1.2683
1.2381
1.2094
1.1820
1.1559
1.1309
1.1069
1.0840
1.0621
6
1.5600
1.5220
1.4858
1.4513
1.4184
1.3870
1.3570
1.3283
1.3009
1.2745
7
1.8200
1.7756
1.7334
1.6932
1.6548
1.6182
1.5832
1.5497
1.5177
1.4869
8
2.0800
2.0293
1.9810
1.9351
1.8912
1.8494
1.8094
1.7711
1.7345
1.6993
9
2.3400
2.2829
2.2287
2.1769
2.1276
2.0806
2.0356
1.9925
1.9513
1.9118
10
2.6000
2.5366
2.4763
2.4188
2.3640
2.3117
2.2617
2.2139
2.1681
2.1242
2
0.3925
0.3854
0.3785
0.3718
0.3654
0.3592
0.3532
0.3474
0.3418
0.3364
3
0.5888
0.5781
0.5677
0.5577
0.5481
0.5388
0.5298
0.5211
0.5127
0.5046
4
0.7851
0.7707
0.7569
0.7436
0.7308
0.7184
0.7064
0.6948
0.6836
0.6728
5
0.9814
0.9634
0.9462
0.9295
0.9134
0.8979
0.8830
0.8685
0.8545
0.8410
6
1.1776
1.1561
1.1354
1.1154
1.0961
1.0775
1.0596
1.0422
1.0254
1.0092
7
1.3739
1.3488
1.3246
1.3013
1.2788
1.2571
1.2362
1.2159
1.1963
1.1774
8
1.5702
1.5415
1.5138
1.4872
1.4615
1.4367
1.4128
1.3896
1.3672
1.3456
9
1.7665
1.7342
1.7031
1.6731
1.6442
1.6163
1.5894
1.5633
1.5382
1.5138
10
1.9627
1.9269
1.8923
1.8590
1.8269
1.7959
1.7659
1.7370
1.7091
1.6820
λ = 0.05
y r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
0.3850
0.3711
0.3582
0.3461
0.3349
0.3243
0.3145
0.3052
0.2964
0.2882
λ = 0.075
y r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
0.2600
0.2537
0.2476
0.2419
0.2364
0.2312
0.2262
0.2214
0.2168
0.2124
λ = 0.1
y r
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
0.1963
0.1927
0.1892
0.1859
0.1827
0.1796
0.1766
0.1737
0.1709
0.1682
59
Çizelge 5.2, (5.11) eşitliğindeki bozulma fonksiyonunun çeşitli değerlerini içermektedir.
Bu değerlere bakıldığında y , r , µ1 ve µ2 değerleri verildiğinde ve λ değeri arttıkça
eşleniğin bozulma oranı azalmakta, r ’nin artması ise bozulma oranını artırmaktadır.
Ayrıca λ , r , µ1 ve µ2 sabit tutulduğunda ve y arttıkça bozulma oranı azalmaktadır.
R[ r ] eşleniğinin bozulma fonksiyonunun davranışları bazı y değerleri için Şekil 5.3 ve
bazı r değerleri için Şekil 5.4 ile verilmiştir.
Şekil 5.3 λ değeri azaldıkça ve r değeri arttıkça bozulma fonksiyonu artma
eğilimindedir. Bu artmanın hızı y ’nin küçük değerleri için daha hızlıdır. Şekil 5.4
bozulma fonksiyonu artan y değerleri için azalan bir şekle sahiptir. Aynı zamanda
bozulma fonksiyonundaki artışın düzeyi, yaşam zamanı X ’in rekor derecesi r ’nin
artması ile artar durumdadır.
60
Şekil 5.3
R[ r ] eşleniğinin y = 0.1 , y = 0.5 , y = 1 değerleri için bozulma fonksiyonları
61
Şekil 5.4
R[ r ] eşleniğinin r = 1 , r = 5 , r = 10 değerleri için bozulma fonksiyonları
62
(5.9) eşitliği kullanılarak r -inci rekor değerin eşleniğinin p -inci çeyrekliği aşağıdaki
gibi elde edilir:
ξ[ r ] p
(
)
 λµ 1 − (1 − p )1 r

2


= In
+ 1 , r , y, λ , µ1 , µ 2 > 0, µ 2 λ > µ1 .
 µ (1 − p )1 r

1


(5.12)
Eşitlik (5.12) kullanılarak rekor değerin eşleniklerinin medyan değerleri
( p = 0.5) ,
λ = 1,...,10 değerleri için hesaplanmış ve Çizelge 5.3’de gösterilmiştir.
Çizelge 5.3 R[ r ] rekor değerlerin eşleniklerinin medyan değerleri
µ1 = 0.1 , µ2 = 2
λ r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
5.1985
5.8889
6.2934
6.5806
6.8035
6.9856
7.1397
7.2731
7.3908
7.4961
2
3.7898
4.4715
4.8732
5.1590
5.3809
5.5625
5.7161
5.8492
5.9667
6.0718
3
3.1817
3.8539
4.2523
4.5364
4.7574
4.9383
5.0914
5.2242
5.3414
5.4462
4
2.8073
3.4698
3.8649
4.1473
4.3673
4.5475
4.7001
4.8325
4.9494
5.0541
5
2.5414
3.1944
3.5861
3.8668
4.0858
4.2653
4.4175
4.5495
4.6661
4.7705
6
2.3376
2.9812
3.3696
3.6487
3.8666
4.0454
4.1971
4.3287
4.4450
4.5492
7
2.1736
2.8082
3.1933
3.4707
3.6876
3.8658
4.0169
4.1482
4.2642
4.3682
8
2.0374
2.6631
3.0451
3.3208
3.5367
3.7141
3.8648
3.9957
4.1114
4.2151
9
1.9215
2.5386
2.9174
3.1915
3.4063
3.5831
3.7333
3.8638
3.9793
4.0828
10
1.8211
2.4298
2.8055
3.0780
3.2918
3.4680
3.6176
3.7478
3.8630
3.9662
r -inci rekor değerin eşleniğinin modu, (5.8) eşitliğinden
R[ r ] =
 µ λ − µ1 
In  2
 , µ1 , µ 2 , λ > 0, µ 2 λ > µ1
µ 2  µ1r 
1
(5.13)
şeklinde elde edilir. Rekor değerin eşleniklerinin λ = 1,...,10 için mod değerleri (5.13)
eşitliği kullanılarak hesaplanmış ve çizelge 5.4’de gösterilmiştir.
63
Çizelge 5.4 R[ r ] rekor değerlerin eşleniklerinin mod değerleri
µ1 = 0.1 , µ2 = 2
λ r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1.4722
1.8318
2.0388
2.1847
2.2976
2.3896
2.4672
2.5345
2.5937
2.6467
2
1.1256
1.4852
1.6922
1.8382
1.9510
2.0430
2.1207
2.1879
2.2471
2.3001
3
0.9229
1.2825
1.4895
1.6354
1.7483
1.8403
1.9179
1.9851
2.0444
2.0973
4
0.7791
1.1386
1.3456
1.4916
1.6044
1.6964
1.7741
1.8413
1.9005
1.9535
5
0.6675
1.0271
1.2340
1.3800
1.4928
1.5848
1.6625
1.7297
1.7890
1.8419
6
0.5763
0.9359
1.1429
1.2888
1.4017
1.4937
1.5714
1.6386
1.6978
1.7508
7
0.4993
0.8588
1.0658
1.2118
1.3246
1.4166
1.4943
1.5615
1.6207
1.6737
8
0.4325
0.7921
0.9990
1.1450
1.2578
1.3498
1.4275
1.4947
1.5540
1.6069
9
0.3736
0.7332
0.9402
1.0861
1.1989
1.2909
1.3686
1.4358
1.4951
1.5480
10
0.3209
0.6805
0.8875
1.0334
1.1463
1.2383
1.3159
1.3832
1.4424
1.4954
r -inci rekor değerin eşleniğinin beklenen değeri;
∞
E ( R[ r ] ) = ∫ y
0
r λ r µ1 µ 2 r +1e µ2 y
( µ λ + µ (e
2
µ2 y
1
− 1)
∞
= r λ r µ1µ 2 r +1 ∫
0
)
r +1
dy .
ye µ2 y
( µ2λ − µ1 + µ1e µ y )
r +1
dy
2
olup, e µ2 y = u , µ 2 e µ2 y dy = du dönüşümü uygulandığında
= r λ r µ1µ2 r +1
∞
1
µ2
= r λ r µ1µ2 r +1
µ r −1  λ 
= 2  
r  µ1 
2
In(u )
∫ (µ λ − µ
1
2
1
r µ1µ 2
2
2
( µ1 )
1 + µ1u )
−r
r
2
F1[r , r ; r + 1;
r +1
du
Hypergeometric 2 F1[r , r , r + 1, −
µ1 − µ2 λ
] , ( µ 2 λ − µ1 ) > 0 , r > 0
µ1
halini alır. Burada ki
64
( µ2λ − µ1 ) ]
µ1
(5.14)
Gauss hipergeometrik fonksiyon 2 F1 ( a , b; c; z ) ,
( a )k ( b )k
( c )k
k =0
∞
2 F1 ( a , b; c; z ) = ∑
zk
.
k!
genel ifadesinden gelmektedir (Gradshteyn ve Ryzhik 2007).
Çizelge 5.5’de rekor değerin eşleniklerinin λ = 1,...,10 değerleri verildiğinde beklenen
değerleri (5.14) eşitliği ile elde edilmiş ve çizelge 5.5’de sunulmuştur.
Çizelge 5.5 R[ r ] rekor değerlerin eşleniklerinin ortalama değerleri
µ1 = 0.1 , µ2 = 2
λ r
1
1.1560
1.8917
2.0818
2.2187
2.3258
2.4138
2.4886
2.5535
2.6109
2.6624
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1.1333
1.4274
1.6008
1.7405
1.8442
1.9299
2.0029
2.0664
2.1227
2.1733
3
0.9298
1.2076
1.3817
1.5093
1.6103
1.6940
1.7655
1.8278
1.8832
1.9330
4
0.8033
1.0676
1.2356
1.3597
1.4583
1.5002
1.6103
1.6716
1.7261
1.7752
5
0.7140
0.9668
1.1294
1.2503
1.3467
1.4271
1.4960
1.5563
1.6101
1.6585
6
0.6463
0.8890
1.0469
1.1648
1.2593
1.3382
1.4060
1.4655
1.5185
1.5663
r -inci rekor değerin eşleniğinin 2-inci momenti
(
E ( R[ r ] )
2
) = ∫ y ( µ λ + µ (e
∞
r λ r µ1µ 2 r +1e µ2 y
2
0
2
1
∞
= r λ r µ1µ 2 r +1 ∫
0
µ2 y
− 1)
)
r +1
dy .
y 2 e µ2 y
( µ2λ − µ1 + µ1e µ y )
r +1
2
65
dy
7
0.5926
0.8263
0.9799
1.0952
1.1879
1.2654
1.3322
1.3909
1.4432
1.4904
8
0.5486
0.7742
0.9238
1.0367
1.1277
1.2040
1.2699
1.3277
1.3794
1.4261
9
0.5117
0.7300
0.8759
0.9866
1.0760
1.1511
1.2160
1.2732
1.3243
1.3705
10
0.4802
0.6917
0.8343
0.9428
1.0307
1.1084
1.1688
1.2253
1.2758
1.3215
olup e µ2 y = u , µ 2 e µ2 y dy = du dönüşümü uygulandığında
= r λ µ1µ 2
r
r +1
= r λ r µ1µ2 r +1
2µ r −2  λ 
= 22  
r  µ1 
biçiminde
p
ifade
r
3
1
∞
( In(u ) )
2
µ2 3 ∫1 ( µ 2 λ − µ1 + µ1u )r +1
du

1 2µ1− r
µ − µ2 λ 
HypergeometricPFQ {r , r , r},{1 + r ,1 + r}, 1
3
3
µ2 r µ1
µ1 


µ − µ2λ 
F2 {r , r , r},{1 + r ,1 + r}, 1
, µ 2 λ − µ1 > 0, r > 0 (5.15)
µ1 

edilir.
Yukarıdaki
genelleştirilmiş
hipergeometrik
fonksiyon
Fq (α1 , α 2 ,..., α p ; β1 , β 2 ,..., β q ; z ) ,
(α1 )k (α 2 )k ...(α p )k
k = 0 ( β1 ) ( β 2 ) ... ( β q )
k
k
k
∞
p Fq (α1 , α 2 ,..., α p ; β1 , β 2 ,..., β q ; z ) = ∑
zk
.
k!
genel ifade biçiminden çıkarılan bir ifadedir (Gradshteyn ve Ryzhik 2007).
Rekor değerin eşleniklerinin λ = 1,...,10 değerleri için 2-inci momenti (5.15) eşitliği
kullanılarak hesaplanmış ve aşağıdaki çizelgede gösterilmiştir.
66
Çizelge 5.6 R[ r ] rekor değerlerin eşleniklerinin 2-inci moment değerleri
µ1 = 0.1 , µ2 = 2
λ r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3.1192
4.2719
5.0548
5.6599
6.1571
6.5831
6.9558
7.2883
7.5890
7.8640
2
1.6244
2.4412
3.0233
3.4847
3.8706
4.2043
4.4993
4.7645
5.6059
5.2277
3
1.1134
1.7718
2.2566
2.6475
2.9782
3.2665
3.5230
3.7548
3.9665
4.1618
4
0.8457
1.4044
1.8266
2.1716
2.4661
2.7245
2.9556
3.1652
3.3574
3.5352
5
0.6788
1.1666
1.5433
1.8548
2.1228
2.3591
2.5714
2.7646
2.9422
3.1069
6
0.5642
0.9982
1.3397
1.6251
1.8721
2.0911
2.2886
2.4688
2.6348
2.7891
7
0.4865
0.8718
1.1850
1.4490
1.6790
1.8838
2.6690
2.2385
2.3951
2.5408
8
0.4167
0.7731
1.0627
1.3089
1.5246
1.7173
1.8922
2.0526
2.2011
2.3396
9
0.3664
0.6937
0.9633
1.1943
1.3976
1.5800
1.7459
1.8985
2.0400
2.1721
10
0.3258
0.6283
0.8806
1.0984
1.2909
1.4643
1.6224
1.7681
1.9034
2.0300
r -inci rekor değerin eşleniğinin varyansı, (5.14) ve (5.15) eşitliklerinden yararlanarak
(
Var ( R[ r ] ) = E ( R[ r ] ) − E ( R[ r ] )
2
)
2
şeklinde yazılır.
R[ r ]
Çizelge 5.5 - 5.6’da hesaplanan değerler kullanılarak,
eşleniklerinin
rekor değerlerin
λ = 1,...,10 değerleri için varyans değerleri aşağıdaki çizelgede
gösterilmiştir.
Çizelge 5.7 R[ r ] rekor değerlerin eşleniklerinin varyans değerleri
µ1 = 0.1 , µ2 = 2
λ r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1.782864
0.340031
0.248872
0.200409
0.169004
0.146496
0.135325
0.115738
0.104563
0.095208
2
0.693371
0.403729
0.313502
0.26463
0.231898
0.207879
0.189028
0.173714
0.1608
0.149851
3
0.720909
0.460739
0.347505
0.299893
0.267756
0.2437
0.224796
0.209294
0.196099
0.184544
4
0.73727
0.45536
0.369514
0.322816
0.29155
0.268341
0.249537
0.234153
0.22092
0.209528
5
0.747754
0.469526
0.385134
0.339461
0.309199
0.286264
0.267894
0.252893
0.239824
0.228558
6
0.75667
0.479786
0.396864
0.4739
0.322486
0.300321
0.282563
0.267684
0.254969
0.235749
7
0.76267
0.487692
0.40601
0.362534
0.333384
0.311764
0.894243
0.279554
0.267244
0.256307
8
0.767938
0.494491
0.413947
0.370953
0.34253
0.32111
0.303897
0.289813
0.277462
0.26674
9
0.772201
1.100045
0.420058
0.377979
0.349778
0.328958
0.312274
0.298356
0.28623
0.275734
10
0.775626
0.504467
0.425311
0.383865
0.356278
0.335804
0.319508
0.305839
0.29383
0.283638
67
5.4 İki Değişkenli Sözde Gompertz Dağılımı için Rekor Değerlerin Eşleniklerinin
Ortak Dağılımı
Bazı istatistik modelleme ve çözümleme durumlarında r -inci ve s -inci iki rekor
değerinin eşleniklerinin kullanımına gereksinim duyulmaktadır. Bu kesimde ayrıntıya
girilmemesine rağmen (3.19) eşitliğinde verilen iki değişkenli Sözde-Gompertz dağılımı
için rekor değerlerin eşleniklerinin ortak dağılımı elde edilecektir. Bu eşitliği elde etmek
için eşitlik (5.5) ve (5.2) eşitliğinde verilen iki rekor değerin ortak dağılım fonksiyonları
kullanılacaktır. X 1 = X Tr
ve X 2 = X Ts
üst rekor istatistikler olmak üzere (5.2)
eşitliğinden ortak olasılık fonksiyonu
f Rr , Rs ( x1 , x2 ) =
=
r ( x1 ) f ( x2 )
 R ( x1 ) 
Γ (r ) Γ (s − r ) 
λeµ x
1 1
Γ(r )Γ(s − r )
λe
µ1 x2
λ 2eµ ( x +
1 2)
 R ( x2 ) − R ( x1 ) 
 λ µ1x2
  λ µ1x1

exp  −
e −1  
e −1 
 µ1
  µ1

(
λ 
=
 
Γ ( r ) Γ ( s − r )  µ1 
1
r −1
s −2
)
(
)
s − r −1
r −1
.
 λ µ1x2

λ µ1x1
e −1 −
e −1 

µ1
 µ1

(
)
(
)
s − r −1
r −1
s − r −1
 λ µ1 x2

(5.16)
exp  −
e − 1   e µ1 x1 − 1   e µ1x2 − 1 − e µ1 x1 − 1 
 µ1

(
) (
)
(
) (
)
olup, burada r ( xr ) = R ' ( xr ) dır (Ahsanullah 1995).
(5.16) eşitliği ile verilen rekor değerlerin ortak olasılık fonksiyonu ve (5.7) eşitliğindeki
X verildiğinde Y ’nin koşullu dağılımı kullanılarak, (5.5) eşitliği ile ifade edilen r -inci
ve s -inci rekor istatistiklerinin eşleniklerinin ortak yoğunluk fonksiyonu, aşağıda
gösterildiği gibi elde edilir.
∞ x2
f R[ R] , R[S ] ( x1 , x2 ) = ∫ ∫ e
0 0
µ2 y1
(e
µ1 x1
(
)  

 e µ2 y1 − 1
µ1 x1

− 1 exp − e − 1 

µ2



)
(
)
68


×e
µ 2 y2
(e
µ1 x2
(
)  

 e µ 2 y2 − 1
µ1 x2
− 1 exp  − e − 1 

µ2



)
(
)
λ 2eµ ( x + x )  λ 
 
  Γ ( r ) Γ ( s − r )  µ1 
1
1
s −2
2

r −1
s − r −1
 λ µ1x2

× exp  −
e − 1   e µ1x1 − 1   e µ1x2 − 1 − e µ1x1 − 1 
dx1dx2
 µ1

(
) (
λ 2e µ ( y + y )  λ 
=
 
Γ ( r ) Γ ( s − r )  µ1 
2
1
2
)
s−2 ∞ x
2
∫∫e
)
(
)    e
(
 
λ 
=
 
µ1Γ ( r ) Γ ( s − r )  µ1 
1
2
s −2 ∞
∫ e (e
µ1 x2
λ 
=
 
µ1Γ ( r ) Γ ( s − r )  µ1 
1
2
µ1 x2
0
(
λ 2e µ ( y + y )
µ1 x2

µ1 x1
) (e
−1
r
)
µ1 x2
) (
s−2 ∞
∫e
µ1 x2
(e
0
)
)
(
)
)
µ1 x2
)
(
) 
)
s − r −1
(



du  dx2


(
) I

λ
e µ2 y2 − 1
µ1 x2

− 1 exp − e − 1  +
 µ1
µ2



)
)


(e
µ1 x2
Yukarıdaki eşitlikte verilen integral ifadesi içindeki I ( e µ1 x2 − 1) teriminin açılımı
(
I e
µ1 x2
)
−1 =
e µ1x2 −1
∫
0
(
)    e
(
 

 e µ2 y1 − 1
( u ) exp − ( u ) 
µ2



r

69
µ1 x2


dx1dx2
(
− 1 − u 
) 
s − r −1

λ
e µ 2 y2 − 1
µ1 x2


− 1 exp − e − 1
+
 µ1
µ2




µ1x2
(

λ
e µ 2 y2 − 1
µ1 x2
− 1 exp  − e − 1  +
 µ1
µ2



− 1 − e µ1x1 − 1 

)   e
(
 
 eµ1x2 −1

 e µ2 y1 − 1
r
×  ∫ ( u ) exp  − ( u ) 

 0
µ2




2
) (
0 0
λ 2eµ ( y + y )
2
(e
µ1 ( x1 + x2 )

 e µ2 y1 − 1
µ1 x1
× exp  − e − 1 

µ2



(
(
)
−1 − u

s − r −1
du .
)
− 1 dx2 .
=
Γ ( r + 1) Γ ( s − r )
Γ ( s + 1)
(e
µ1 x2
(
)  

 e µ2 y1 − 1
µ1 x2

− 1 1 F1 r + 1, s + 1, − e − 1 


µ2


)
(
s
)
(5.17)


dur. (5.17) eşitliğinde kullanılan (Kummer confluent Hipergeometrik fonksiyon)
F ( a, b; x ) olup, bunun genel ifadesi
1 1
∞
1 F1 ( a, b; x ) = ∑
( a ) j (b) j
j!
j =0
xj.
dir. Bu integral ifadesi integral ifadesi yukarıda yerine yazılırsa,
µ y +y
rλ 2e 2 ( 1 2 )  λ 
f R[ R] , R[S ] ( x1 , x2 ) =
 
µ1Γ ( s + 1)  µ1 
s −2 ∞
µ
µ
∫ e (e
1 x2
(
)
)
−1
s +1
.
0
)  

λ
e µ 2 y2 − 1
µ1 x2

× exp − e − 1  +
 µ1
µ2



(
1 x2
(
elde edilir. ( e µ1 x2 − 1) = u , µ1e µ1 x2 dx2 = du dönüşümü uygulandığında
µ y +y
rλ 2e 2 ( 1 2 )  λ 
= 2
 
µ1 Γ ( s + 1)  µ1 
s−2 ∞
∫u
0
(
s +1
(
)  
 λ
e µ 2 y2 − 1

exp −u  +
µ2
  µ1
 
)   du

 e µ2 y1 − 1
× 1 F1  r + 1, s + 1, −u 


µ2


(
)   dx

 e µ2 y1 − 1
µ1 x2

F r + 1, s + 1, − e − 1 
 1 1 

µ2





70


)


2
(
) (
(
(
)
)
(
)  − r ( e
λ
λ
e µ 2 y2 − 1
e µ 2 y2 − 1


×
+
+s
+
 µ1
 µ1
µ2
µ2


=
2 µ 2 ( y1 + y2 )
rλ e
µ12
(
λ 
 
 µ1 
s −2




(
) 
λ
e µ 2 y2 − 1
 +
 µ1
µ2

)  (1 + s ) + ( e
 λ
e µ2 y2 − 1


×
+
  µ1
µ2


(
µ2 y1
µ2
µ 2 y1
) + s (e
−1
µ2
− s −1+ r


1− r
) 
 λ
e µ 2 y2 − 1
e µ2 y1 − 1
−s 
+
+
s −2
µ y +y
e µ2 y2 − 1   µ1
rλ 2e 2 ( 1 2 )  λ   λ
µ2
µ2

= 2
   +
µ 2 y2


µ1 Γ ( s + 1)  µ1   µ1
µ2
−1
e
λ

 
+

µ1
µ2

)





)
−1 
Γ ( s + 1)


µ2
e µ 2 y2 − 1
e µ2 y1 − 1
 λ
+
+
 µ1
µ2
µ2

µ 2 y1
(
(
) (
) (
) 
λ
e µ 2 y2 − 1
e µ2 y1 − 1
 +
+
 µ1
µ2
µ2

) ( s − r )  , s > −2, ( e
−1


µ2 y1
µ2
) > 0,  λ + ( e
−1
 µ1

) 
3


−r −2


)
−1 
>0

µ2

µ 2 y2
sonucuna varılır. Burada verilen sonuçlar rekorların çoklu yaşam süreleri analizlerine
odaklanan çalışmalarda kullanılır ve ihtiyaca göre genişletilebilir.
71
6. İKİ DEĞİŞKENLİ SÖZDE GOMPERTZ DAĞILIMINA AİT
GENELLEŞTİRİLMİŞ SIRA İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİ
6.1 Genelleştirilmiş Sıra İstatistiklerinin Eşleniklerinin DağılımTeorisi
Dağılım teorisinde sıralı rasgele değişken modellerinin tümü genelleştirilmiş sıra
istatistikleri (g.s.i.) modeli içerisinde yer alır. n boyutlu bir Euclide uzayında bir koni
üzerinde ortak yoğunluk fonksiyonuna sahip olan bir rasgele değişken düzgün
genelleştirilmiş sıra istatistiği olarak adlandırılır(Kamps 1995). Keyfi bir F dağılım
fonksiyonuna dayalı genelleştirilmiş sıra istatistiği ise kuantil dönüşümü kullanılarak
tanımlanır. Genel bir parametrik model olarak ifade edilen genelleştirilmiş sıra istatistiği
modeli sıralı rasgele değişkenlerden sıra istatistikleri, rekor değerler, ardışık sıra
istatistikleri, ilerleyen II. tür sansürleme modelleri gibi özel durum modellerini kapsar.
Burada genelleştirilmiş sıra istatistiği’ne ait dağılım ve özellikler Kamps (1995)’ın
çalışmasından yararlanılarak sunulmuştur.
Tanım 6.1 n ∈
, k ≥ 1 , m1 ,...mn −1 ∈
n −1
, M r = ∑ m j , 1 ≤ r ≤ n − 1 parametreler olmak
j =r
∀ r ∈ {1, 2,..., n − 1}
üzere
için
m = ( m1 , m2 ,..., mn −1 ) , n = 1 ise m ∈
(
γr = k + n − r + Mr ≥1
dır
ve
n≥2
ise
keyfidir. Eğer r = 1,..., n , 0 ≤ u1 ≤ ... ≤ un < 1 ,
)
için U r , n, m, k rasgele değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,
 n −1   n −1
m 
k −1
f1,2,...,n ( u1 ,..., un ) = k  ∏ γ j   ∏ (1 − ui ) i  (1 − un )

 j =1   i =1
şeklinde olup düzgün genelleştirilmiş sıra istatistiği olarak adlandırılır.
72
(6.1)
n
dağılım fonksiyonu bağlamında keyfi seçilsin r = 1,..., n için
Herhangi bir F
(
)
( (
X r , n, m, k = F −1 U r , n, m, k
(
olarak tanımlanır.
))
X r , n, m, k
rasgele değişkenleri genelleştirilmiş sıra istatistiği
)
rasgele değişkeni m1 = ... = mn −1 = m
durumunda
X ( r , n, m, k ) ile gösterilir.
X (1, n, m, k ),..., X ( n, n, m, k ) , ( k ≥ 1 , m reel sayı ve m ≥ −1 ) mutlak sürekli bir F ( x )
dağılım fonksiyonu ve f ( x ) olasılık yoğunluk fonksiyonundan değerlerini alan n adet
genelleştirilmiş sıra istatistiği olsun. n adet genelleştirilmiş sıra istatistiğinin ortak
olasılık yoğunluk fonksiyonu
  n −1   n −1
m

 k  ∏ γ j   ∏ F ( xi ) f ( xi )  F ( xn )

  j =1   i =1

f1,2,...,n ( x1 , x2 ,..., xn ) = 
F −1 ( 0 ) < x1 <,..., < xn < F −1 (1)
0, dd



(
)
(
)
k −1
f ( xn ),
.
(6.2)
dur (Kamps 1995). Burada F ( x ) = 1 − F ( x ) ve γ j = k + ( n − j )( m + 1) , j = 1, 2,..., n
dir.
X ( r , n, m, k ) , 1 ≤ r ≤ n ’nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu (6.2) eşitliği
kullanılarak x1 , x2 ,..., xr −1 , xr +1 ,..., ve xn ’ göre integralin hesaplanması ile
f r ,n , m,k ( x ) =
(
cr −1
F ( x)
( r − 1)!
)
γ r −1
f ( x ) g mr −1 ( F ( x ) )
73
(6.3)
r
olarak bulunur. Burada cr −1 = ∏ γ j ,
j =1
 1
m +1
 m + 1 (1 − (1 − x) ) , m ≠ −1

g m ( x) = hm ( x) − hm (0) = 
x ∈ [ 0,1) .

m = −1
− In (1 − x ) ,

 1
m +1
− m + 1 (1 − x) ,

hm ( x) = 

− In (1 − x ) ,

(6.4)
m ≠ −1
x ∈ [ 0,1) .
m = −1
dır (Kamps 1995). Her x ∈ [ 0,1) ve g −1 ( x ) = lim m →−1 g m ( x ) ile her m -inci için
(
)
m +1 
 1
lim m →−1 
1 − (1 − x )
 = − In (1 − x ) ’den,
 m +1
 1

gm ( x ) = 
1 − (1 − x) m +1 ) 
(
 m +1

yazılabilir (Beg ve Ahsanullah 2004).
X ( r , n, m, k ) ve X ( s, n, m, k ) , 1 ≤ r < s ≤ n genelleştirilmiş sıra istatistiğinin ortak
olasılık yoğunluk fonksiyonu,
f r , s , n , m , k ( x, y ) =
(
cs −1
F ( x)
(r − 1)!( s − r − 1)!
× [ hm ( F ( y )) − hm ( F ( x )) ]
)
m
s − r −1
f ( x) g mr −1 ( F ( x))
( F ( y ))γ s −1 f ( y ) ,
74
x< y
biçiminde gösterilir (Kamps, 1995).
~ ve k parametrelerinin özel seçimleri için genelleştirilmiş sıra istatistikleri, sıra
m
istatistikleri, rekor değerler, ardışık sıra istatistikleri, ilerleyen II. tür sansürleme
modelleri
ve
Pfeifer’in
rekor
değerleri
olarak
ele
alınabilir.
Eğer
(6.3)
eşitliğinde m1 = m 2 = ... = m n −1 = 0 ve k = 1 alınırsa F dağılım fonksiyonuna sahip
örneklemin
r -inci
sıra
istatistiğinin
olasılık
yoğunluk
fonksiyonunu,
eğer
m1 = m 2 = ... = m n −1 = −1 ve k = 1 alınırsa üst (upper) rekor değerin olasılık yoğunluk
fonksiyonu elde edilir (Kamps 1995).
Parametrelerin özel seçimleri ile bazı sıralı rasgele değişkenlerin modelleri çizelge
6.1’de verilmiştir.
Çizelge 6.1 g.s.i.’nin parametrelerinin seçimine göre özel durumlar
γn = k
γ r , (1 ≤ r ≤ n − 1)
mr , (1 ≤ r ≤ n − 1)
Sıra istatistikleri
1
n − r +1
0
Rekor değerler
1
1
−1
αn
( n − r + 1) α r
( n − r + 1) α r − ( n − r ) α r +1 − 1
v − n1 − n + 1
, r ≤ r1
v − r + 1

v − n1 − r + 1, r > r1
0, r ≠ r1

 n1 , r = r1
βn
βr
β r − β r +1 − 1
Ardışık
sıra
istatistikleri
İlerleyen II. tür
sansürleme
Pfeifer’in
değerleri
rekor
Burada α1 ,..., α n ve β1 ,..., β n pozitif reel sayılardır. İlerleyen II. tür sansürleme
modelinde v adet birimden (parçadan) başlangıçta bozulan parça sayısı r1 , geriye kalan
v − r1 bozulmayan parçadan rasgele olarak seçilip deneyden çıkarılan parça sayısı n1 ,
geriye kalan v − r1 − n1 parçadan bozulanların sayısı r2 ve n = r1 + r2 ile gösterilsin.
75
( X i , Yi ), i = 1, 2,... bağımsız aynı FX ,Y ( x, y ) sürekli dağılımına sahip iki değişkenli
rasgele
( X ,Y )
değişkeninin bir dizisi olsun. X ( r , n, m, k ) ile ilişkili Y değerleri
Y[ r , n ,m ,k ] , 1 ≤ r ≤ n ile gösterilsin. Y[ r , n ,m ,k ] ’e r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin
eşleniği denir. r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin eşleniğinin olasılık yoğunluk
fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu sırasıyla,
f[ r , n , m , k ] ( y ) =
∞
∫
f ( y | x ) f r , n , m , k ( x ) dx .
(6.5)
−∞
ve
F[ r ,n ,m ,k ] ( y ) =
∞
∫ F ( y | x) f
r ,n ,m,k
( x ) dx
(6.6)
−∞
biçiminde elde edilmektedir. Burada f r ,n ,m ,k ( x ) , X ( r , n, m, k ) , 1 ≤ r ≤ n ’nin olasılık
yoğunluk fonksiyonudur (Beg ve Ahsanullah 2004).
6.2 İki değişkenli Sözde Gompertz Dağılımı İçin Genelleştirilmiş Sıra
İstatistiklerinin Eşlenikleri
Bu kesimde (3.19) eşitliği ile verilen iki değişkenli sözde Gompertz dağılımı için
genelleştirilmiş sıra istatistiklerinin eşleniklerinin yaşam fonksiyonu ve bozulma
fonksiyonları elde edilmiştir. Genelleştirilmiş sıra istatistiklerinin eşlenikleri için elde
edilen sonuçlarda m = 0 ve k = 1 alınarak, sıra istatistiklerinin eşlenikleri, ve k = 1 ve
m = −1 alınarak rekor değerin eşlenikleri hakkında yukarıda 4. ve 5. bölümlerde
bulunan sonuçlara ulaşılmaktadır. Böylelikle, genelleştirilmiş sıra istatistikleri
bağlamında, tezde sıra istatistikleri ve rekor değerlere dair elde ettiğimiz sonuçlarda
doğrulanmış olmaktadır.
76
rasgele değişkeninin r -inci genelleştirilmiş sıra
Gompertz dağılımına sahip X
istatistiğinin yoğunluk fonksiyonu (6.3) eşitliğinden,

 λ µ1 x
c
f r ,n ,m ,k ( x ) = r −1  exp  −
e −1

( r − 1)!   µ1
(
)

 

γ r −1
 λ
λ e µ x exp  −
1
 µ1


 λ µ1 x
1   

1 − 1 −  1 − exp  −
×
e −1
 m +1  
µ1




(

 λ µ1x
c
= r −1 λ e µ1 x  exp  −
e −1

( r − 1)!
 µ1

(
)
γr

 

)

  

m +1
(e




µ1 x

−1  .

)
r −1
m +1
 1 
 λ µ1 x
 

1 − exp  −
e −1   
µ1
 m +1

  


(
)
r −1
(6.7)
şeklinde bulunur. X rasgele değişkeni verildiğinde Gompertz dağılımına sahip Y
rasgele değişkeninin koşullu yoğunluk fonksiyonu,
f ( y x) = ( e
µ1 x
− 1) e
µ2 y
 ( e µ1 x − 1)

µ2 y
exp  −
e
−
1
(
) , µ1 , µ2 , x, y > 0
µ2


(6.8)
olup iki değişkenli sözde Gompertz dağılımının r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin
eşleniğinin yoğunluk fonksiyonu (6.6) eşitliğinde, (6.7) ve (6.8) eşitlikleri kullanılarak,
f[ r , n , m , k ] ( y ) =
λ e µ y cr −1 ∞
2
( r − 1)!
∫e
µ1 x
(e
(
)
 e µ1 x − 1
− 1 exp  −
e µ2 y − 1
µ2

)
µ1 x
0
(

)

(6.9)

 λ µ1x
×  exp  −
e −1

µ

1

(
)

 

γr




 1 1 − exp  − λ e µ1x − 1 
 m +1
 µ1



(
77
)
m +1




r −1
dx
bulunur. Yukarıdaki eşitlikte yer alan integral bileşeni Connon (2007) ve Gradshteyn
and Ryzhik (2007)’de belirtilenlerden faydalanılarak
 µ1
1+ m) Γ 
(

λ e µ2 y cr −1

f[ r , n , m , k ] ( y ) =
2
µ1 ( r − 1)!  λ   µ1
  Γ
 µ1  
−m
(e
(
) +γ


r Γ ( m ( r − 1) + r )

λµ2

µ2 y

e −1
+ γ r + m ( r − 1) + r 

λµ2

µ2 y
−1
)
(6.9)
(
)
(
)
  µ1 e µ2 y − 1

 µ1 e µ2 y − 1

λ

× ψ
+ γ r + m ( r − 1) + r  −ψ 
+ γ r   , r + mr > m,
>0



λµ2
λµ2
µ1
 



 
haline getirilir. (4.9) eşitliğinde verilen Harmonik sayı ile Digamma fonksiyonu
arasındaki ilişkiden, (6.9) eşitliği aşağıdaki şekilde tekrar yazılabilir.
 µ1
µ1cr −1 (1 + m ) Γ 


f[ r , n , m , k ] ( y ) =
 µ1
λ ( r − 1) !Γ 


−m
(e
(
) +γ

µ2 y

r Γ ( m ( r − 1) + r ) e

λµ 2

.
µ2 y

e −1
+ γ r + m ( r − 1) + r 

λµ2

µ2 y
−1
)
(6.10)




×  h µ eµ2 y −1
− h µ eµ2 y −1
.


  1 ( λµ ) +γ r + m( r −1) + r −1  1 ( λµ ) +γ r −1 



2
2



 
(6.10) eşitliğinde verilen r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin eşleniğinin yoğunluk
fonksiyonunu, (4.9) eşitliği kullanılarak aşağıdaki şekilde tekrar ifade edilir.
78
 µ1
µ1cr −1 (1 + m ) Γ 


f[ r , n , m , k ] ( y ) =
 µ1
λ ( r − 1) !Γ 


−m
(
(e
(
) +γ

 Γ ( m ( r − 1) + r ) e µ2 y

λµ2

µ2 y

e −1
+ γ r + m ( r − 1) + r 

λµ2

µ2 y
−1
r
)
)
 µ1 e µ2 y − 1

Γ
+ γ r + m ( r − 1) + r 
h

 m ( r −1)+ r −1  m(r − 1) + r − 1
λµ2
−1)
(


×
∑


2
 µ1 e µ2 y − 1

h =0

 h

µ1 e µ2 y − 1
Γ
+ γ r  Γ ( m ( r − 1) + r )
h+
+γr 


λµ 2


λµ
2




(
µ c (1 + m )
= 1 r −1
λ ( r − 1) !
)
(
− m m ( r −1) + r −1
∑
h =0
)
 m(r − 1) + r − 1
( −1) e 2
λ
, r + mr > m,
> 0.


2
µ1
 h


µ1 e µ2 y − 1
h+
+γr 


λµ2


h
(
µ y
)
(6.10) eşitliğinde verilen r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin olasılık yoğunluk
fonksiyonunda, m = 0 ve k = 1 değerleri kullanıldığında r -inci sıra istatistiğinin
eşleniğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
r
cr −1 = ∏ ( k + ( n − j )( m + 1) ) .
j =1
r
= ∏ (1 + ( n − j ) )
j =1
=
Γ ( n + 1)
Γ ( n − r + 1)
parametre değerleri ile
79




µ1 eµ2 y − 1

µ1e Γ ( n + 1) Γ  n − r +
H
+ 1  H 
−
µ2 y
µ
y

µ e 2 −1)  

   n + µ1 ( e −1) 
µ2 λ
 n−r + 1 (


 


 
µ2 λ
µ2 λ





f[r ,n,0,1] ( y ) =
µ
y
2


µ1 e − 1
λΓ ( n − r + 1) Γ  n +
+ 1


µ2 λ


(
µ2 y
)
(
)
bulunur ki bu da (4.10) eşitliği ifadesinden başka bir şey değildir.
Eğer m = −1 ve k = 1 , alınırsa r -inci rekor istatistiğinin eşleniğinin olasılık yoğunluk
fonksiyonunu, (6.4) eşitliğinde verilen g m ( x ) fonksiyonunda m = −1 olduğunda,

 λ µ1 x
c
f r ,n ,m,k ( x ) = r −1  exp  −
e −1

( r − 1)!   µ1
(
)

 

γ r −1
1
 µ1

 
 λ µ1x
×  − In  1 − 1 − exp  −
e −1


µ

1
 

(
)

 λ µ1 x
c
= r −1 λ e µ1 x  exp  −
e −1

( r − 1)!
 µ1

(
 λ
λ e µ x exp  −

   

)
(e
µ1 x

−1 

)
r −1
γr
   λ µ1 x

e −1 
  
   µ1

(
)
r −1
şeklinde elde edilir. Yukarıdaki eşitlikte verilen r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin
olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak, r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin
eşleniğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
∞

 λ µ1 x
c
f[r ,n ,m, k ] ( y ) = r −1 λ ∫ e µ1 x  exp  −
e −1
( r − 1)! 0   µ1
(
)
80
γr
   λ µ1x

e −1 
  
   µ1

(
)
r −1
×(e
µ1 x
− 1) e
µ2 y
 ( e µ1 x − 1)

e µ2 y − 1)  dx
exp  −
(
µ2


c e µ2 y  λ 
λ
= r −1
( r − 1)!  µ1 
(
r −1 ∞
)
ifadesi eµ1x − 1 = u , e µ1x dx =
c e µ2 y  λ 
f[r , n, m, k ] = r −1
λ
( r − 1)!  µ1 
∫e
µ1 x
(e
0
µ1 x

− 1 exp  − e µ1 x − 1


)
(
r
)
(
)   dx
 λγ
e µ2 y − 1
r

+
 µ1
µ2



du
dönüşümleri sonucunda
µ1
(
)   du
  λγ
e µ2 y − 1
r
∫0 u exp  −u  µ1 + µ2
 
r −1 ∞
r
Γ ( r + 1)
c e µ2 y  λ 
= r −1
 
( r − 1)!  µ1   λγ eµ2 y − 1
 r+
 µ1
µ2

  µ1

r
(
)




r +1
(6.12)
şeklinde elde edilir. (6.12) eşitliğinde m = −1 ve k = 1 değerleri için r -inci rekor
istatistiğinin eşleniğinin olasılık yoğunluk fonksiyonunu
r
cr −1 = ∏ ( k + ( n − j )( m + 1) )
j =1
=1
γ j = k + ( n − j )( m + 1) ,
j = 1, 2,..., n
=1
parametre değerleri ile,
81
r λ r e µ2 y
f[ r ,n , −1,1] ( y ) =
(
) 
λ
e µ2 y − 1
r
µ1  +
 µ1
µ2

(6.13)
r +1


şekline dönüşür. Bu sonuç, (5.8) eşitliğini doğrulamaktadır. (6.6) eşitliği ile verilen r inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin dağılım fonksiyonu (6.10) eşitliğinde elde edilen
r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak elde
edilir:
y
FY[r ,n ,m ,k ] ( y ) = ∫ f[ r , n,m,k ] ( t ) dt
0
µ c (1 + m )
= ∫ 1 r −1
λ ( r − 1) !
0
∞
µ c (1 + m )
= 1 r −1
λ ( r − 1) !
=
cr −1 (1 + m )
( r − 1)!
−m
− m m ( r −1) + r −1
∑
h =0
− m m ( r −1) + r −1
∑
h=0
 m(r − 1) + r − 1 
( −1) e 2
dt


2
 h


µ1 e µ2t − 1
h+
+γr 


λµ 2


h
µt
(
)
 m(r − 1) + r − 1
e µ2t
h
dt
−
1
(
)


2
∫0 
 h


µ1 e µ2t − 1
h+
+γr 


λµ 2


y
(
)

µ1 e µ2 y − 1

m ( r −1) + r −1

λµ2
h  m( r − 1) + r − 1 
−
1
(
)
∑



µ1 e µ2 y − 1
h =0
 h


γ
γ
+
+
+
h
h
(
r)
r

λµ 2



(
)
(
)


 (6.14)
.




Yukarıda elde edilen (6.14) eşitliğini daha kullanışlı bir şekilde yazabilmek için,
82
k −1
∑ ( −1)
h=0
h

bΓ ( c ) Γ ( k )
Γ ( c + 1) Γ ( k ) Γ ( c + b ) Γ ( k )
 k − 1 1 
b
+
−

 =


 h  ( h + c)  ( h + c + b)  (c + b) Γ (c + k ) (c + b) Γ (c + k ) Γ (c + b + k )
=
=
Γ (c ) Γ ( k )
(c + b) Γ (c + k )
Γ (c) Γ ( k )
Γ (c + k )
−
(c + b) −
Γ (c + b) Γ ( k )
Γ (c + b + k )
Γ (c + b) Γ ( k )
(6.15)
Γ (c + b + k )
µ1 ( e µ y − 1)
2
açılımından yararlanarak ve (6.14) eşitliğindeki parametreleri γ r = c ,
=b
µ2λ
ve m( r − 1) + r = k olarak tanımlayarak, (6.15) eşitliği yardımıyla r -inci genelleştirilmiş
sıra istatistiğinin eşleniğinin dağılım fonksiyonu elde edilir:
FY[r ,n ,m ,k ] ( y ) =
cr −1 (1 + m )
( r − 1)!
−m

µ1 e µ2 y − 1

m ( r −1) + r −1

λµ2
h  m( r − 1) + r − 1
( −1) 
∑


µ1 e µ2 y − 1
h=0
 h

 (h + γ r ) h + γ r +

λµ2



(
(
(
=
cr −1 (1 + m )
( r − 1)!
−m
)
)








)



µ1 e µ2 y − 1 

 Γ ( m(r − 1) + r ) 
Γ γ r +


λµ2
 Γ ( γ r ) Γ ( m(r − 1) + r )




−
.

  (6.16)
µ1 e µ2 y − 1
 Γ ( γ r + m(r − 1) + r )
Γ γ r +
+ m(r − 1) + r  


 
λµ 2


 
(
)
(6.16) eşitliği kullanılarak r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin yaşam fonksiyonu
ifadesi
83
SY[r ,n ,m ,k ] ( y) = 1 − FY[r ,n ,m ,k ] ( y )
(
= 1−
cr −1 (1 + m )
−m
( r − 1)!
)



µ1 e µ2 y − 1 



Γ γr +
Γ ( m(r − 1) + r ) 


λµ2
 Γ ( γ r ) Γ ( m(r − 1) + r )




− 

 
µ1 e µ2 y − 1
 Γ ( γ r + m(r − 1) + r )
Γ γ r +
+ m(r − 1) + r  


 
λµ2


 
(
)
(6.17)
olup; (6.10) ve (6.17) eşitlikleri kullanılarak r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin
eşleniğinin bozulma fonksiyonu,
hY[r ,n ,m ,k ] ( y ) =
fY[r ,n ,m ,k ] ( y )
SY[r ,n ,m ,k ] ( y )
 µ1
µ1cr −1 (1 + m ) Γ 


 µ1
λ ( r − 1) !Γ 


=
(e
) +γ

 Γ ( m ( r − 1) + r ) e µ2 y 


λµ2



− h µ2 y
 h µ1 ( eµ2 y −1)


µ ( e −1)

e µ2 y − 1
  λµ +γ r + m( r −1)+ r −1  1 λµ +γ r −1 



2
2
+ γ r + m ( r − 1) + r 



 

λµ2




µ1 e µ2 y − 1 

γr +
 Γ ( m(r − 1) + r ) 
Γ
−m


λµ2

c (1 + m )  Γ ( γ r ) Γ ( m(r − 1) + r )

1 − r −1
− 


µ
y

 
( r − 1)!  Γ ( γ r + m(r − 1) + r )
µ1 e 2 − 1
Γ γ r +
+ m(r − 1) + r  


 
λµ 2


 
−m
(
µ2 y
−1
r
)
(
)
(
)
bulunur. Yukarıdaki eşitlikle elde edilen r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin
eşleniğinin bozulma fonksiyonunda m = 0 ve k = 1 değerleri alınırsa 4. bölümde elde
ettiğimiz r -inci sıra istatistiğinin eşleniğinin bozulma fonksiyonunu,
84
hY[r ,n ,0 ,1] ( y ) =
fY[r ,n ,0 ,1] ( y )
SY[r ,n ,0 ,1] ( y )
(
)
 µ1 e µ2 y − 1

Γ ( n + 1)
Γ
+ n − r + 1 Γ ( r ) e µ2 y 
µ1


Γ ( n − r + 1) 
λµ2




 h µ1 ( eµ2 y −1)  − h µ1 ( eµ2 y −1)  
 µ1 e µ2 y − 1

  λµ + n   λµ + n − r  



2
2
+ n + 1
λ ( r − 1) !Γ 



 


λµ2


=


 µ1 e µ2 y − 1

Γ ( n + 1) 
Γ
+ n − r + 1 Γ ( r ) 


λµ2

Γ ( n − r + 1)  Γ ( n − r + 1) Γ ( r )

1−
− 


 µ1 e µ2 y − 1

( r − 1)!  Γ ( n + 1)

+ n + 1
Γ




λµ2




(
)
(
)
(
(
)
)
 µ1 e µ2 y − 1

Γ ( n + 1)
Γ
+ n − r + 1 e µ2 y 
µ1


Γ ( n − r + 1) 
λµ2




 h µ1 ( eµ2 y −1)  − h µ1 ( eµ2 y −1)  
y
µ
 µ1 e 2 − 1

  λµ + n   λµ + n − r  



2
2
+ n + 1
λΓ 



 


λµ2


=


 µ1 e µ2 y − 1


Γ
+ n − r + 1 Γ ( r ) 


λµ 2


Γ ( n + 1)


1 − 1 −

 µ1 e µ2 y − 1

 Γ ( n − r + 1) Γ ( r )

Γ
+ n + 1




λµ 2




(
)
(
)
(

)


−h
2 y −1
) + n   µ1 ( eµ2 y −1) + n−r  



λµ2
λµ2



µ eµ y 
= 1
h µ
λ   µ ( e
2
1



bulunur.
Eğer m = −1 ve k = 1 , olursa r -inci rekor değerin eşleniğinin bozulma fonksiyonu elde
etmek için (6.4) eşitliğinde verilen g m ( x ) fonksiyonunda m = −1 olduğundan (6.12)
85
eşitliğindeki r -inci genelleştirilmiş sıra istatistiğinin eşleniğinin olasılık yoğunluk
fonksiyonunu kullanarak dağılım fonksiyonu,
y
FY[r ,n ,m ,k ] ( y ) = ∫ f[ r , n,m ,k ] ( t ) dt
0
λ 
= cr −1r  
 µ1 
r y
e µ2 t
∫
0
(
)
µ 2t
λγ r e − 1 


+
 µ1
µ2 


r +1
dt
µ λγ
 µ2t
e −1 + 2 r
−r

 λγ r 
µ1

 −
µ2

 µ1 
r

λ 

= cr −1r  
µ
r
 1
(
λ 
− cr −1  
 µ1 
= cr −1γ r − r
r
(
)
)
 e µ2t − 1 λγ 

+ r
 µ2
µ1 








−r
−r
(6.18)
yi buluruz. (6.18) eşitliğinde m = −1 ve k = 1 , alınırsa r -inci rekor istatistiğinin
eşleniğinin dağılım fonksiyonu,
λ 
FY[r ,n ,−1,1] ( y ) = 1 −  
 µ1 
r
(
)
−r
 e µ 2t − 1
λ

+  ,
 µ2
µ1 


yaşam fonksiyonu,
SY[r ,n ,−1,1] ( y ) = 1 − FY[r ,n ,−1,1] ( y )
86
λ 
= 
 µ1 
r
(
−r
)
 e µ 2t − 1 λ 

+  ,
 µ2
µ1 


ve bozulma fonksiyonu,
hY[r ,n ,−1,1] ( y ) =
fY[r ,n ,−1,1] ( y )
SY[r ,n ,−1,1] ( y )
r λ r e µ2 y
(
)
r +1
λ
e µ2 y − 1 
r

µ1  +
 µ1
µ2 


=
−r
r
µ t
 λ   e 2 −1
λ
+ 
  
µ
µ
µ1 
2
 1 

(
=
)
r µ1 µ2 e µ2 y
λµ2 + µ1 ( e µ2 y − 1)
elde edilir. Böylece 5. bölümde rekor değerlerin eşlenikleri için elde edilen sonuçların
genelleştirilmiş bir yaklaşım içinde elde edilebileceğini göstermiş olmaktayız.
87
7. SIRA İSTATİSTİKLERİNİN EŞLENİKLERİNİN GÜVENİLİRLİK ve
AKTÜERYAL RİSK ALANINDA UYGULAMASI
Bir sistemin birimleri veya bileşenleri göz önüne alındığında sistemin güvenirliği söz
konusu birimlerin bozulmaması, başka bir deyiş ile yaşamlarını devam ettirmesine
bağlıdır. Bu anlamda değerlendirmeler sistem birimlerinin dolayısıyla sistemin, yaşam
ve bozulma fonksiyonları ile yapılır. Sistemin çalışması ile ilgili iki bileşen özellikle
dikkate alınırsa,
( X ,Y )
birinci ve ikinci bileşenin yaşam sürelerini ifade etmektedir.
Bileşenlerin yaşam süreleri değişkenleri üzerinde elde edilen n büyüklüğünde rasgele
bir örneklem
{( X
1:n
{( X , Y ) ,..., ( X
) (
1
1
n
, Yn )} için ilgi duyulan sıra istatistikleri ve eşlenikleri
) (
, Y[1:n] ,..., X r:n , Y[r:n] ,..., X n:n , Y[ n:n]
)}
örneklemi ortaya çıkmaktadır. Sistemin
bozulmadan çalışması, birinci bileşene dair r -inci sıra değerli yaşam süresi X r:n ’ e ve
birinci bileşenin yedeği veya onunla paralel sistem bağlantısı olan ikinci bileşenin
yaşam süresine bağlı, ikinci bileşenin yaşam süresi de birinci bileşenin yaşam süresi ile
ilişkili olabilmektedir. Birinci bileşeni yedekleyen konumda olan ikinci bileşenin
(
SY[r:n] ( y ) yaşam fonksiyonu eşitlik (4.13)’de gösterilmiş olup, P Y[r:n] > y
)
rasgele
olayının olasılığını ifade etmektedir.
İkinci bileşenin ( y, y + ∆y ) gibi küçük bir aralıkta bozulması tehlikesinin olasılığı,
(
)
P y < Y[r:n] < y + ∆y Y[r:n] > y = hY[r:n] ( y ) ∆y , SY[r:n] ( y ) ≠ 0 ,
ile ifade edilebileceğinden, (4.14) eşitliğinde verilen bozulma veya mortalite oranı
fonksiyonları kullanımı ihtiyacı doğmaktadır.
Bir sistemin bozulmasına sebep olan ve mali hasarlara dayanıklılık sınırını aşan
kayıpların nedeni, bireysel sistem bileşenlerinin bozulması ile meydana gelen
bozulmalardır. Bu nedenle sistem güvenirliliği yönetim yaklaşımları sistem bileşenleri
88
düzeyinde incelenerek, gerek ekonomik ve gerek teknik risklerin analiz ve yönetilmesi
zorunluluğunu doğurmaktadır.
Finans ve aktüerya alanında insanların yaşam süresi temelinde yaşam veya ölüm oranı
fonksiyonları yoluyla risk modellemesi yapılmaktadır. Örneğin, kredi riskleri alanında
kredi yoluyla finanse edilen borçlardan doğan yükümlülüklerinin yerine getirilmesi
veya ölüme bağlı teminatlar sunan sigorta poliçelerinin taşıdığı beklenmeyen mali kayıp
risklerinin ortaya çıkışı, bireylerin ömür süreleri veya ölümleri nedenine bağlı olup, risk
primleri veya kredi faiz oranlarının saptanması amaçlı risk modellemeleri yaşam
sürelerini rasgele değişkenler olarak ele alıp modeller içinde kullanmaktadır. Kredi
borçlularının ölümü kredi sağlayan için planlanan borç ödenmesi nakit akışındaki kayba
sebep olur. Benzer şekilde, ölüm tazminatlı bir poliçe ile yaşam sigortası sahibi birinin
beklenen zamandan önce ölümü sigortacı için zarardır. Bu gibi durumlarda reasürans ve
riskten korunma gibi araçlarla kaybı azaltma veya risk önleme ile aşırı büyük kayıpların
risklerine karşı önlemler alınabilir. Bedford ve Cooke (2001), Melnikov (2004), Denuit
vd. (2005), Drees ve Müler (2008) ve Kaas vd. (2008) diğer pek çok yazar sistem
bozulması, finansal ve aktüeryal risklerin yönetim yaklaşımları ve araçları hakkında
genel bilgiler sunmaktadır.
Bir yaşam sigortası portföyünden belirli bir sürede geçerli olan n büyüklüğünde bir
basit rastgele örneklem söz konusu olsun. Örneklemde ele alınan değişkenler içinde
teminat sahibi ve müşterek sigortalananların yaşam süreleri ele alınsın. ( X , Y ) değişken
vektöründe, X bir yaşam sigortası poliçesi sahibinin yaşam süresini, Y ise aynı
poliçede müşterek (ortak) sigortalı kişinin yaşam süresini belirtsin. Örneklemden
çıkarılan sıra istatistikleri ve eşlenikleri
(X
1:n
) (
, Y[1:n] ,..., X n:n , Y[ n:n]
)
dizisi ile ifade
edilsin, öyle ki X r:n için seçilen r sırası yaş düzeyinin bir göstergesi olarak risk
değerlendirmesi için önemli bir unsur olsun. Sigorta türünün ise ölüm meydana geldiği
anda ödenecek teminatlar ile tam hayat sigortası türünde olduğu varsayılsın (Rotar,
2008). Yaşam süresi X ile gösterilen asıl sigortalının ölümünden sonra, yaşam süresi
Y ile gösterilen ortak sigortalının ölümü t kadar bir süre içinde olduğunda sigortacının
89
kaybın fazladan bir yük geldiği belirtilmiş olsun. Böylece X r:n verildiğinde, örneklem
periyodunda v yaşında olduğu bilinen müşterek sigortalının en azından t yıl daha
yaşaması olasılığı için T ( v ) değişkeni ile ifade edeceğimiz
(
)
P (T ( v ) > t ) = P Y[ r:n] > v + t Y[ r:n] > v ,
=
(
P Y[r:n] > v + t
(
P Y[ r:n] > v
)
)=S
(v + t )
= t pv
SY[ ] ( v )
Y[ r:n]
(7.1)
r:n
olasılığı bulunacaktır. Burada kullanılan
SY[r:n] (.)
fonksiyonu (4.13) eşitliğinde
tanımlanmıştır. Bu durumda müşterek sigortalıya ödeme, T ( v ) yaşında ölüme bağlı
olarak ölüm anında yapılacak w büyüklüğünde bir ödemenin şimdiki aktüeryal değeri
∞
Av = ∫ (θ t w )hY[r:n] ( v + t ) t pv dt ,
(7.2)
0
olarak bulunabilecektir. Burada θ t kabul edilmiş bir iskonto faktörüdür. Eşitlikteki
bozulma fonksiyonu (veya ölüm oranı fonksiyonu) önceki kesimlerde tanımlanmıştır. v
yaşındaki müşterek sigortalıya v + t yaşında ölüm teminatı olarak verilecek tazminatın
şimdiki değeri Av , yaşam zamanı eşleniği Y[r:n] ’nin yaşam ve bozulma fonksiyonuna
bağlı olup sigortacının maruz kaldığı riskler için fiyat değerlendirmesine temel teşkil
eden bir niceliktir. Bu değerlendirmede yaşam sigortası sahibinin n büyüklüğünde bir
örneklemde yaş göstergesi sırası olan r ve eşleniğin en az t yıl daha yaşaması yaşam
fonksiyonu içinde ifade edilmektedir.
90
8. TARTIŞMA VE SONUÇ
Tezde sunulan sonuçlar, hem istatistik kuramı hem de risk kuramı ve yönetimi gibi
alanlar bakımından özgün ve yararlı sonuçlar niteliğindedir. Sıra istatistikleri ve
eşlenikleri, rekor değerler ve genelleştirilmiş sıra istatistikleri ve bunların eşlenikleri,
uygulama ve kuramda kolaylık sağlayan değişkenlerdir. Sözde dağılımlar, özellikle
yaşam analizi ve sistem güvenilirliğinde önemli bir yere sahip olan dağılım türleridir.
Tezde ilk defa tanımlanan iki değişkenli sözde Gompertz dağılımı kuramsal istatistiğin
güncel, önemli ve uygulamaya doğrudan katkı sağlayan olasılık modeli durumundadır.
Tezde yapısı ve özellikleri ortaya konan iki değişkenli sözde Gompertz dağılımının
kullanılabileceği pek çok uygulama alanı vardır. Çalışmada vurgulanan dağılım,
güvenilirlik ve yaşam analizinde yaşam süresinin modellemesi uygulamalarında son
derece kullanışlıdır. Rasgele yaşam süresi vektörü
( X , Y ) ’de
X ile Y değişkeninin
kombinasyonu olan φ (.) reel değerli fonksiyon, bu modellemenin önemli bir
elemanıdır. Y rasgele yaşam süresi ile bir başka rasgele yaşam süresi olan X ’in
ilişkisini belirten bu fonksiyon anlamlı uygulamada anlamı olacak biçimde
belirlenmelidir. Ayrıca; yaşam analizi ve risk modelini kolaylaştıran kuyruk davranışları
ile
( X ,Y )
nin ortak dağılım fonksiyonu olması özelliklerini sağlamalıdır. Tezde
sunulan φ (.) fonksiyonu kullanıcıların ihtiyaçlarına göre değiştirilebilir.
Sözde Gompertz dağılımı modeli ile ortak yaşam için sıra istatistiklerinin eşleniklerinin
dağılım, yaşam ve bozulma fonksiyonları, Harmonik sayılar ve Gamma fonksiyonları
kullanılarak pratik ve kullanışlı biçimlerde ortaya konulmuştur. İlgili değişkenlerin ve
seçilmiş bazı parametre değerleri için yaşam ve bozulma fonksiyonlarının bir
örneklemesi tablolarda sunulmuştur. Benzer tablolar
( X ,Y )
ortak yaşam süreleri için
daha geniş bakış açısında oluşturulabilir. Özellikle, eşleştirilmiş yaşam süreleri için
yaşam tabloları, finans ve sigortacılık alanlarında pratik kullanımlar için aktüeryal
bağlamda yapılandırılabilir. Benzer bir şekilde, bu çalışmanın sonuçları vasıtasıyla,
91
bozulmaların ikili risklerinin biçimi altında birbirleri ile bağlantılı olan bileşenler ile
oluştuğu
fiziki
sistemlerin
güvenirlik
analizleri,
tezde
ulaşılan
sonuçlardan
yararlanılarak gerçekleştirilebilir. Bu amaçla daha detaylı yaşam ve bozulma tabloları
hesaplanması yoluna gidilebilir.
92
KAYNAKLAR
Adham, S. A. and Walker, S. G. 2001. A multivariate Gompertz-Type distribution.
Journal of Applied Statistics, Vol. 28; pp.1051-1065.
Ahsanullah, M. 1995. Record statistics. Nova Science Publishers, USA, pp. 224.
Ahsanullah, M. 2009. Records and concomitants. Bulletin of the Malaysian
Mathematical Sciences Society, Vol. 32(2); pp.101-117.
Arnold, B.C., Balakrishnan, N. and Nagaraja, H. N. 1992. A First course in order
statistics, John Wiley, New York.
Arnold, B., Castillo, E. and
Sarabia, J.M. 2009. Multivariate order statistics via
multivariate concomitants. Journal of Multivariate Analysis, Vol. 100; pp.94695.
Bairamov, I.G., Kotz, S.
and Bekçi, M. 2001. New generalized Farlie-Gumbel-
Morgenstern distributions and concomitants of order statistics. Journal of
Applied Statistics, Vol. 28; pp.521–536.
Bairamov, I. and Eryilmaz, S. 2006. Spacings, exceedances and concomitants in
progressive type II censoring scheme. Journal of Statistical Planning and
Inference, Vol. 136; pp. 527-536.
Bairamov, I. and Stepanov, A. 2011. Number of near bivariate record-concomitant
observations. Journal of Multivariate Analysis, Vol. 102; pp.908-917.
Balasubramanian, K. and Beg, M. I. 1998. Concomitant of order statistics in Gumbel’s
bivariate Exponential distribution. Sankhya, 60, Series B, pp.399–406.
Bedford, T. and Cooke, R. 2001. Probabilistic risk analysis, foundations and method.
Cambridge University Press, pp.408.
Beg, M. I. and Ahsanullah, M. 2004. Concomitants of generalized order statistics from
Farlie–Gumbel–Morgenstern distributions. Technical Report, No: 6/04.
93
Beg, M. I. and Ahsanullah, M. 2008. Concomitants of generalized order statistics from
Farlie–Gumbel–Morgenstern distributions. Statistical Methodology, 5; 1–20.
Bekçi, M. 2003. Farlie-Gumbel-Morgenstern dağılımları ve sıra istatistiklerinin
eşlenikleri. Doktora Tezi, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü.
Bhattacharya, P. K. 1974. Convergence of sample paths of normalized sums of induced
order statistics. The Annals of Statistics, Vol. 2; pp.1034–1039.
Bhattacharya, P. K. 1984. Induced order statistics: Theory and applications. Handbook
of Statistics (P. R. Krishnaiah and P. K. Sen eds.) 4; pp. 383-403, Elsevier BV.
Chandler, K. N. 1952. The distribution and frequency of record values. J. Roy. Statist.
Soc., Vol.14, B; pp. 220–228.
Carriere, J.F. 1992. Parametric models for life tables. Transactions of the Society of
Actuaries, Vol.44; pp. 77-100.
Connon, D. F. 2007. Some series and integrals involving the Riemann zeta function,
binomial coefficients and the harmonic numbers. Volume II(a), arxiv:
0710.4047v2[math.HO], Cornell University Library.
Cox, D. R. 1972. Regression models and life tables (with Discussion). J. R. Statist. Soc.
Ser. B, Vol. 34; pp.187-220.
David, H. A. 1973. Concomitants of order statistics. Bulletin of International Statistical
Institute, Vol.45; pp.295–300.
David, H. A. and Galambos, J. 1974. The asymptotic theory of concomitants of order
statistics. Journal of Applied Probability, Vol. 11; pp. 762–770.
David, H. A. 1981. Order Statistics. 2nd ed. New York,Wiley.
David, H. A. and Nagaraja, H. N. 1998. Concomitants of order statistics, in order
statistics: Theory & Methods, eds. Balakrishnan, N. and Rao, C. R., Elsevier, pp.
487–513, Amsterdam.
94
David, H. A. and Nagaraja, H. 2003. Order statistics. Third Edition, John Wiley & Sons,
Hoboken, NJ, pp. 465.
Denuit, M., Dhaene, J., Goovaerts, M. and Kaas, R. 2005. Actuarial theory for
dependent risks; measures, orders and models. Wiley, New York.
Diaz-Garcia, J. A., Jaimez, R. G. and Mardia, K. V. 1997. Wishart and Pseudo-Wishart
distributions and some applications to shape theory. Journal of Multivariate
Analysis, Vol. 63; pp. 73-87.
Drees, H. and Müler, P. 2008. Fitting and validation of a bivariate model for large
claims. Insurance: Mathematics and Economics, Vol. 42; pp.638-650.
Eryilmaz, S. 2005. Concomitants in a sequence of independent nonidentically
distributed random vectors. Communications in Statistics: Theory and Methods,
34; 1925–1933.
Ewens, W. J. 1963. The diffusion equation and a pseudo-distribution in genetics.
Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 25; 405-412.
Feigl, P. and Zelen, M. 1965. Exponential survival probabilities. Biometrics, 21; 826838.
Filus, J. K. and Filus, L. Z. 2006. On some new classes of multivariate probability
distributions. Pakistan Journal of Statistics, 22 (1); 21-42.
Gebizlioglu, O.L. and Yagci, B. 2008. Tolerance intervals for quantiles of bivariate
risks and risk measurement. Insurance: Mathematics and Economics, 42; 1022–
1027.
Glasser, M. 1974. Exponential survival with covariance. Journal of the American
Statistical Association, 62; 561-568.
Gradshteyn, L. S and Ryzhik L. M., 2007. Table of integral, series and product. 7th
End., Academic Pres, USA, pp. 1163.
95
Hazelring, J.B., Turner, M.E. and Blockstone, E.H. 1982. Parametric survival analysis
combining longitudial and cross-sectional-censored and interval-censored data
with concomitant information. Vol. 38, No. 1; 1-15.
Holford, T.R. 1976. Life tables with concomitant information. Biometrics, 32; 587-597.
Hougaard, P. 1984. Life table methods for heterogenous populations: Distributions
describing heterogeneity. Biometrica, 71; 75-85.
Kaas, R., Goovaerts, M. and Dhaene, J. 2008. Modern actuarial risk theory. Springer
Verlag, 363.
Kaluszka M. and Okolewski, A. 2008. Bounds for expectations of concomitants.
Statistical Papers, 49; 603-618.
Kaluszka M. and Okolewski, A. 2010. Bounds for moments of the maximum of
concomitants of selected order statistics with application. Communications in
Statistics-Theory and Methods, 39; 2753-2766.
Kamps, U. 1995. A Concept of generalized order statistics. Teubner, Stuttgart, pp. 210.
Kaplan, E. L. and Meier, P. 1958. Nonparametric estimation from incomplete
observations. Journal of the American Statistical Association, 53; 457-481.
Lee, E. I. 1980. Statistical methods for survival data analysis. Lifetime Learning
Publications, Wads Worth, pp.508.
London, D. 1988. Survival models and their estimation. (2. ed.), ACTEX Publications.
Marshall, A. and Olkin, I. 2007. Life distributions, Springer, pp. 782.
Melnikov, A. 2004. Risk analysis in finance and insurance, Chapman and Hall/CRC,
pp. 253
Nagaraja, H. N. and David, H. A. 1994. Distribution of the maximum of concomitants
of selected order statistics. The Annals of Statistics, 22 (1); 478-494.
Pitacco, E., Denuit, M., Haberman, S. and Olivieri, A. 2009. Modelling longevity
dynamics for pensions and annuity business, Oxford University Press.
96
Pollard, J. H. and Valkovics, E. 1992. The Gompertz distribution and its applications.
Genus, 48; 15-27.
Rotar, V. I. 2007. Actuarial models: The mathematics of insurance, Chapman and
Hall/CRC, pp. 633.
Qinying, H. and Nagaraja, H. N. 2009a. Distribution of concomitants of order statistics
and their order statistics. Journal of Statistical Planning and Inference, 139;
2643-2655.
Qinying, H. and Nagaraja, H. N. 2009b. Correlation estimation using concomitants of
order statistics from bivariate Normal samples. Communications in StatisticsTheory and Methods, 38; 2003-2015.
Shahbaz, S., Ahmad, M. 2009. Concomitants of order statistics for bivariate Pseudo
Weibull distribution. World Applied Sciences Journal, Vol. 6 (10); 1409-1412.
Shahbaz, S., Shahbaz, M. Q. 2009. Order statistics and concomitants of bivariate
Pseudo Rayleigh distribution. World Applied Sciences Journal, 7 (7); 826-828.
Shahbaz, S., Shahbaz, M. Q., and Mohsin, M. 2009. On concomitants of bivariate
pseudo Exponential distribution, World Applied Sciences Journal, 6 (8); 11511156.
Shahbaz, S. and Shahbaz, M. Q. 2011. The trivariate pseudo Rayleigh distribution.
World Applied Sciences Journal, 12 (12); 2279-2282.
Shahbaz, S., Shahbaz, M. Q., Ahsanullah, M. and Mohsin, M. 2011. On a new class of
probability distributions. Applied Mathematics Letters, 24; 545-552.
Shale P. A. 2006. Parameter estimation for concomitant and multivariate cluster ranked
set sampling. Dissertation, University of California Riverside.
Sondhauss, U. 1994. Asymptotische Eigenschaften intermediarer Ordnungsstatistiken
undihrer Konkomitanten. Ph.D. thesis, Department of Statistics, Dortmund
University, Germany.
97
Wang, K. 2008. On concomitants of order statistics. Dissertation, The Ohio State
University.
Wang, K. and Nagaraja H. N. 2009. Concomitants of order statistics for dependent
samples. Statistics and Probability Letters, 77, (4); 553-558
Wang, K. and Nagaraja, H. N. 2010. Distribution of order statistics from selected
subsets of concomitants. Journal of Statistical Planning and Inference, 140; 30763087.
Willemse, W. J.and Kaas, R. 2007. Rational reconstruction of frailty-based mortality
models by a generalisation of Gompertz law of mortality: Insurance:Mathematics
and Economics, 40; 468-484.
Yang, S. S. 1977. General distribution theory of the concomitants of order statistics.
The Annals of Statistics, 5; 996–1002.
Zippin, C. and Armitage, P. 1966. Use of concomitant variables and incomplete survival
information in the estimation of an exponential survival parameter. Biometrics,
22; 665-672.
98
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Serap YÖRÜBULUT
Doğum Yeri
: Ankara
Doğum Tarihi : 05.11.1978
Medeni Hali
: Evli
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu
Lise
: Başkent Lisesi (1994-1997)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü (1997-2001)
Yüksek Lisans: Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik
Anabilim Dalı (Eylül 2001-Ağustos 2005)
Çalıştığı Kurum/ Kurumlar ve Yıl: Kırıkkale Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
İstatistik Bölümü Öğretim Görevlisi (2001-)
Yayınları (SCI ve diğer)
Yörübulut, S. Gebizlioğlu, Ö.L. 2012. Eşlenik Değişkenlerle Parametrik Yaşam
Modellerinin Aktüeryal Uygulaması, Kırıkkale Üniversitesi Bilimde Gelişmeler Dergisi
2. Sayısı için kabul edildi.
Gebizlioğlu, Ö.L, Yörübulut, S. 2012. On Concomitants of Order Statistics for Bivariate
Pseudo-Gompertz Disribution, International Conference on Applied and Computational
Mathematics, Middle East Technical University, October 3-6, Ankara, Turkey, pp: 5152.
99
Yörübulut S., 2009. Boru Üretim Sürecinde Altı Sigma Yaklaşımı, 6. İstatistik Günleri
Sempozyumu, Samsun, Türkiye, syf. 505-513.
Öncel, Y.S., Gebizlioğlu, O. L. ve Yörübulut, S. I., 2006. İki Boyutlu Mekansal
Otoregresresif Modelin Bağımlılık Parametrelerinin Tahmin Edilmesi, 5. İstatistik
Günleri Sempozyumu, Antalya,. Türkiye, Poster sunum, syf. 387-393, Mayıs.
Yörübulut, I. S., Öncel, S. Y., 2006. Mekansal Veri Analizi ve Bir Uygulama, 5.
İstatistik Günleri Sempozyumu, Antalya,. Türkiye, Poster sunum, syf. 379-386, Mayıs.
Oncel, Y. S., Alioğlu, A. F. ve Yorubulut, S. I., 2005. On Characterizing Exponential
Distribution Via Constancy Of Regression For Adjacent Generalized Order Statistics
Ordered Statistical Data: Approximations, Bounds and Characterizations, Poster
Session, Izmir University of Economics Department of Mathematics, İzmir, Turkey,
Books of Abstract, pp.63, June 15-18.
Öncel, S. Y., Alioğlu, A. F. ve Yörübulut, S. I.2004. Genelleştirilmiş Sıra İstatistikleri
ile Üstel Dağılımın Karakterizasyonu, 4. İstatistik Günleri Sempozyumu, Aydın,
Türkiye, syf. 241-253 20-21 Mayıs.
100