01 itme ve momentum cozumler

Çarp›flmadan sonraki kinetik enerji;
TEST -1
1.
P = 5 . 4 = 20 kg.m/s
x
bulunur. Momentumun korunum kanununa göre
son momentumda +x yönünde 20 kg . m/s olmal›d›r. Bunu sa¤layan ikinci parçac›k;
1
v
(m + 3m ) . ( )2
2
2
Ek 2 =
1
m . v2
2
Çarp›flmadan sonra kaybolan enerji ise;
E = Ek1 − Ek 2
E = 2 m . v2 −
P1=2 . 10 = 20 kg.m/s
P = 20 kg.m/s
Ek 2 =
bulunur. O halde çarp›flmada kaybolan enerji toplam enerjinin;
x
2 m . v2
P2
3
m . v2
2
3
. 100
x= 2
2
fleklinde olmal›d›r. O hâlde P2;
P2 =
P + P2
P2 =
20 2 + 20 2 = 20 2 kg.m / s
1
4.
⇒
v2 =
20 2
m/s
3
Yan›t B dir
2.
% 100 ise
%x
olur
⇒ x = %75 dir.
Yan›t D dir
P2 = m 2 . v 2
20 2 = 3 . v 2
1
3
m .v2 =
m . v2
2
2
Cismin sahip oldu¤u düfleydeki momentum araba
ile yere aktar›l›r. Yataydaki momentumun korunumundan;
2m . 2v . cos 60° + 10 m . v = 12 m . v′
2m . v + 10 m . v = 12 m . v′ ⇒ v′ = v
Yan›t A d›r
Momentumun korunumundan;
m . v = (M + m) . v′
y
5.
200 . 10 = (990 + 10) . v′
P1
P2
2000 = 1000 . v′ ⇒ v′ = 2 m/s
bulunur. Bu h›zla ortak kütlenin ç›kabilece¤i maksimum yükseklik;
mgh =
P1 , P2 ve P3 momentum de¤erlerini bulal›m.
P1 = m1 . v1 = 2 . 3 = 6 kg . m/s
1
2
. 22 =
m = 20 cm
2
10
P2 = m2 . v2 = 3 . 2 = 6 kg . m/s
P3 = m3 . v3 = 3 . 8 = 24 kg . m/s
bulunur.
bulunur. Momentum vektörel bir büyüklük oldu¤undan ve momentumun korunumundan;
Yan›t C dir
3.
x
P3
1
m . v2
2
10 . h =
bulunur.
P 1 + P 2 + P3 = P .
Momentumun korunumundan;
3m . v − m . v = (3m + m ) . v ′
P1 + P 2 = 0
P3 = P
v
2m . v = 4 m . v ′
⇒
v′ =
2
bulunur. Çarp›flmadan önceki kinetik enerji;
1
1
Ek1 =
m . v2 +
3m . v 2
2
2
m3 . v3 = (m1 + m2 + m3) . v
24 = (2 + 3 + 3) . v
v = 3 m/s
bulunur. O hâlde ortak kütle +y yönünde 3 m/s h›zla hareket eder.
Yan›t C dir
Ek1 = 2 m . v 2
1
İTME VE MOMENTUM
6.
9.
itme (I) = ∆P = Ps – Pö
dir. Momentum vektörel bir büyüklük oldu¤undan;
Adam atlad›ktan sonra yere göre h›z› v2(yer) olsun.
Momentumun korunumundan;
Pönce = Psonra
y
m1 . v1 = m1 . v1′ – m2 . v2(yer)
Ps
Psy
100 . 1 = 25 . v1′ – 75 . (2 – v1′)
100 = 25 . v1′ – 150 + 75 . v1′
x
Psx
–Pö
250 = 100 . v1′
⇒
v1′ = 2,5 m/s bulunur.
Yan›t B dir
Pö = 4. 1 = 4 kg . m/s
Psy = Ps . sin 37° = 5 . 1 . 0,6 = 3 kg . m/s
10. m1 ve m2 kütleli cisimler duvara çarpt›klar›nda m2
kütleli cisim k›m›ldamad›¤›na göre ona sürtünme
kuvvetine eflit bir kuvvet uygulanm›flt›r. O halde;
Psx = Ps . cos 37° = 5 . 1 .0,8 = 4 kg . m/s
I = Psy + Psx – Pö
Psx – Pö = 0
fs = m2 . a
I = Psy = 3 kg . m/s
bulunur. O halde itme kuzey yönünde 3 kg.m/s dir.
Yan›t B dir
7.
dir. Sistemin geneline uygulanan kuvvet;
F = m . a = (m1 + m2) . a
P = 6 . 4 = 24 kg.m/s
F = (2 + 4) . 8 = 48 N
x
dur. itme = ∆P ve cismin son h›z› s›f›r oldu¤undan;
bulunur. Momentumun korunumundan Pö = Ps ol-
F . ∆t = m . v
du¤undan bunu sa¤layan P2 momentum vektörü;
48 .
y
P2
P2y
a = 8 m/s2
⇒
16 = 2 . a
1
= 6.v
2
⇒
v = 4m/s
bulunur.
Yan›t B dir
x
P2x
11. Cisim sahip oldu¤u düfley momentumu araban›n
yard›m›yla yere aktar›r. Yataydaki momentumun
korunumundan;
P1
fleklinde olmal›d›r. Buna göre;
P2y = P1 = m1 . v1 = 16 .2 = 32 kg . m/s
m2 . v2 . sin 37° – m1 . v1 = (m1 + m2) . v′
P2x = P = 6 . 4 = 24 kg . m/s
5v′ = 9 – 9
P2 =
2 . 7,5 . 0,6 – 3 . 3 = 5 . v′
5v′ = 0
(32)2 + (24)2 = 40 kg . m / s
⇒
Yan›t A d›r
v2 = 10 m/s
bulunur. O hâlde m2 parças› II yönünde 10 m/s h›zla hareket eder.
8.
v′ = 0
bulunur.
P2 = m2 . v2
40 = 4 . v2
⇒
12. Top arabas›n›n yataydaki ilk momentumu s›f›r oldu¤undan son momentumu da s›f›r olmal›d›r. O hâlde;
Yan›t D dir
Momentumun korunumundan;
(m1 + m2) . v1 = m2 . v + m1 . v1′
mm . vm . cos 37° = mT . vT
3 . 500 . 0,8 = 300 . vT
(45 + 5) . 10 = 5 . 100 + 45 . v1′
500 = 500 + 45 . v1′
⇒
1200 = 300 vT
v1′ = 0
⇒
vT = 4 m/s
bulunur.
bulunur. Buna göre araba oldu¤u yerde durur.
Yan›t A d›r
Yan›t D dir
2
İTME VE MOMENTUM
araç sayesinde yere aktar›r. Yataydaki momentumun korunumundan;
¤›ndan ilk momentumu s›f›rd›r. Momentumun korunumundan;
Pö = Ps
m1 . v1 – m2 . v2 . sin 37° = (m1 + m2) . v
m1 . v1 – m2 . v2 = 0
8 . 20 – 2 . 25 . 0,6 = (8 + 2) . v
m1 . v1 = m2 . v2
13. m2 kütleli cisim düfleyde sahip oldu¤u momentumu
⇒
10v = 130
denkleminde v1 > v2 ise eflitli¤in sa¤lanabilmesi
için m2 > m1 olmal›d›r.
v = 13 m/s
bulunur. P1 > P2 oldu¤undan +x yönünde hareket
eder.
Yan›t C dir
Yan›t E dir
17. Momentum vektörel bir büyüklük oldu¤undan;
14. Momentum vektörel bir büyüklük oldu¤undan;
∆P = m . ( vs – vi)
P2 = 3 kg.m/s
∆P =
60°
60°
P2 + P3
x
1
. (–8 – 10) = –9 kg . m/s bulunur.
2
Yan›t D dir
P1 = 15 kg.m/s
P3 = 3 kg.m/s
18. Kuvvet – zaman grafi¤inin alt›nda kalan alan bize
momentumun de¤iflimini verir.
P = P1 – ( P2 + P3) = 15 – 3 = 12 kg.m/s
F(N)
P = (m1 + m2 + m3) . v
20
12 = (3 + 3 + 2) . v
12 = 8 . v
⇒
A1
A1 = 20.8 = 160 N.s
3
v=
m/s
2
A2 = 4.10 = 40 N.s
0
Yan›t D dir
–4
∆P = A1 – A2
K
v
∆ t (s)
A2
m (vs – vi) = 160 – 40
v
15.
18
8
6 . (vs – 20) = 120 ⇒ vs = 40 m/s bulunur.
Yan›t E dir
T
v
N
M
v
19. Yatay h›z her noktada sabit oldu¤undan cismin
momentumdaki de¤iflimi düfley h›zdan kaynaklan›r.
O hâlde;
v
Momentumdaki de¤iflim;
vy
∆P = m . ( vs – vi)
hmax
oldu¤undan cisim tekrar K noktas›na geldi¤inde
momentumdaki de¤iflim s›f›r olur.
Yan›t E dir
53°
L
53°
K
–vy
16. m1 kütleli cismin t sürede yatayda ald›¤› yol m2 küt-
∆P =m . (–vy – vy)
leli cismin yatayda ald›¤› yoldan daha büyüktür. O
hâlde;
v 1 > v2
∆P = –2m . v . sin 53°
∆P = 2 . 2 . 20 .
dir deriz. Cisim maksimum yükseklikte parçaland›3
4
= –64 kg . m/s
5
Yan›t B dir
İTME VE MOMENTUM
m . v ′ = (m + m ) . v 2
TEST - 2
m . 4 2gh = 2m . v 2
1.
⇒
v 2 = 2 2gh
O hâlde;
B
Su
2gh
v1
1
=
=
v2
2
2 2gh
A
Yan›t B dir
S›v› bas›nc› s›v›n›n yüksekli¤i ile do¤ru orant›l›d›r.
fiekildeki özdefl A ve B musluklar› ayn› anda aç›l›rsa A muslu¤undan akan s›v› yatayda daha çok yol
al›r. Bir baflka ifadeyle A deli¤inden f›flk›ran suyun
h›z› B ninkinden daha büyüktür. Su delikten sa¤a
do¤ru f›flk›r›rken uygulanan kuvvetin tepkisi ters
yöndedir.
4.
Yan›t C dir
Su
5.
Cisimlerin çarp›flmadan önceki kinetik enerjileri;
Araban›n +x yönünde harekete geçmesi için II ve
III numaral› musluklar› birlikte açmam›z gerekir.
Ek1 =
1
1
m1 . v 2 +
m2 . v2
1
2
2
2
Yan›t A d›r
Ek1 =
1
1
. 1 . 22 +
. 2 . 4 2 = 18 J
2
2
bulunur. Çarp›flmadan sonra ortak kütlenin h›z›;
m2 . v2 – m1 . v1 = (m1 + m2) . v
• X küresi durgun özdefl Y küresine çarpt›¤›nda sahip oldu¤u h›z› ona aktar›r ve momentumu s›f›r
olur. I. önerme do¤rudur.
2.4–1.2=3.v
6 = 3v
⇒
v = 2 m/s
• X → Y ye Y → Z ye ve Z → T ye v h›z›n› aktar›r. En sonunda T de enerjinin korunumundan h
yüksekli¤ine ç›kar. II. önerme do¤rudur.
bulunur. Sahip olduklar› kinetik enerji ise;
• Y ve Z kürelerinin çarp›flmadan sonraki h›zlar› s›f›rd›r. III. önerme yanl›flt›r.
Yan›t C dir
3.
P2=m2.v2=15 kg.m/s
Cisimlerin çarp›flmadan önceki momentumlar› ayn›
oldu¤undan çarp›flmadan sonra, çarp›flmadan önceki h›zlar› ile ama ters yönde hareket ederler.
III
2.
P2
P1=m1.v1=15 kg.m/s
+x
II
P1
1
(m 1 + m 2 ) . v 2
2
Ek 2 =
1
. 3 . 22 = 6 J
2
bulunur. Kaybolan enerji ise;
E = Ek1 – Ek2
K noktas›ndaki m kütleli cismin çarp›flmadan önceki h›z›;
1
mg 4h =
m . v2
⇒
v = 2 2gh
2
Çarp›flt›ktan sonra sahip olduklar› ortak h›zlar› ise;
E = 18 – 6 = 12 J
Yan›t D dir
6.
m . v = (m + m ) . v 1
m . 2 2gh = 2m . v 1
Ek 2 =
cos 37° =
⇒
v1 =
2gh
x
1
37°
4
x=
m
5
m kütleli cisim L noktas›ndan b›rak›l›rsa çarp›flmadan önceki h›z›;
1
mg . 16h =
m . v ′ 2 ⇒ v ′ = 4 2gh
2
Çarp›flt›ktan sonra sahip olduklar› ortak h›zlar›;
1m
x
h
m1
4
v1
m2
İTME VE MOMENTUM
h =1− x =1 −
9.
4
1
=
m
5
5
1
m . v2
2
1
1
10 . =
. v2 ⇒
5
2
mgh =
Çarp›flma esnek çarp›flma oldu¤undan duran cisme aktar›lan enerji;
Ek ′ =
v = 2m/s
4 . m1 . m 2
(m 1 + m 2 )2
. Ek1
Ek ′
4 . m . 2m
8
=
=
Ek1
9
(m + 2m )2
bulunur. Momentumun korunumundan;
Yan›t D dir
m1 . v1 = (m1 + m2) . v
10.
20 . v1 = (1980 + 20) . 2
⇒
20 . v1 = 2000 . 2
v1 = 200 m/s
F
θ
Fx
Yan›t B dir
∆x
• I = F . ∆t oldu¤undan itmeyi bulamay›z.
7.
• ∆Ek = w = F . ∆x oldu¤undan cismin kazand›¤› kinetik enerjiyi bulabiliriz.
O
• P=
x
w
oldu¤undan cisme aktar›lan gücü bulat
may›z.
x s›k›flma miktar›;
Yan›t B dir
m1 . v1 = (m1 + m2) . v2
1
1
(m 1 + m 2 ) . v 2 =
k x2
2
2
2
8.
ba¤›nt›lar›yla bulunur. g yer çekimi ivmesi gereksizdir.
11. Cisimlerin ilk momentumlar› eflit ve esnek çarp›flma
yapt›klar›ndan çarp›flmadan sonra ayn› h›zlarla ama
ilk hareket yönlerine ters yönde hareket ederler. Yani K cismi 1 m/s h›zla L de 2 m/s h›zla geri döner.
Yan›t D dir
Yan›t A d›r
12. Cisimlerin çarp›flmadan önce kazanacaklar› h›zlar›
eflit olup;
Çarp›flmadan önceki toplam kinetik enerji;
Ek1 =
1
1
m1 . v 2 +
. m2 . v2
1
2
2
2
Ek1 =
1
1
. 10 . 20 2 +
. 10 . 10 2
2
2
v =
2gh
v =
2 . 10 . 25 = 10 5 m / s
dir. Çarp›flmadan sonra sahip olduklar› h›zlar›;
Pönce = Psonra
Ek1 = 2000 + 500 = 2500 J
bulunur. Çarp›flmadan sonraki toplam kütlenin h›z›
ve kinetik enerjisi;
3 . 10 5 − 2 . 10 5 = (3 + 2) . v ′
m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . v
10 5 = 5 . v ′
10 . 20 – 10 . 10 = (10 + 10) . v
bulunur. Enerjinin korunumundan;
20v = 100
Ek 2
⇒
⇒
v′ = 2 5 m / s
1
m . ( v ′ )2 = mgh
2
v = 5 m/s
1
=
. 20 . (5)2 = 250 J
2
h=
bulunur. O hâlde;
Ek 2
250
1
=
=
Ek1
2500 10
(2 5 )2
( v ′ )2
=
=1 m
2g
2 . 10
bulunur. O hâlde ortak kütle (1) yönünde 1 m yüksekli¤e ç›kar.
Yan›t A d›r
Yan›t A d›r
5
İTME VE MOMENTUM
13. m1 ve m2 kütleli cisimlerin yatay h›zlar› her noktada
17. m kütleli cismin engele çarpmadan önceki h›z›;
1
m . v2
2
ayn› oldu¤undan yap›fl›k kütlenin yatay momentumu sabit ve m2 . v2 > m1 . v1 oldu¤undan v2 h›z›
mgh =
yönündedir. Yap›fl›k kütlenin düfley momentumu,
m1 ve m2 kütleli cisimlerin düfley h›zlar› her geçen
10 . 5 =
sürede artt›¤›ndan artar. O hâlde yap›fl›k kütle (2)
yönünde pike at›fl› yapar.
bulunur. Cisim engele esnek olarak çarp›p geri
döndü¤ünden;
itme (I) = ∆P
I = m . (vs – vi)
Yan›t E dir
1
. v2
2
⇒
v = 10 m / s
I = 4 . (–10 – 10) = –80 N . s
bulunur.
Yan›t E dir
14. Momentumun korunumundan;
(m1 + m2) . v1 = m1 . v1′ – m2 . v2 . sin 37°
(40 + 60) . 6 = 40 . v1′ – 60 . 10 . 0,6
360 + 600 = 40 v1′
40 v1′ = 960
⇒
v1′ = 24 m/s
Yan›t B dir
18. Momentum – zaman grafi¤i ayn› zamanda h›z –
zaman grafi¤i gibidir.
v(m/s)
2v
15. K noktas› cismin ç›kabilece¤i maksimum yükseklik
oldu¤undan bu noktada sadece yatay h›za sahiptir.
O hâlde;
v
I
v x = v . cos 60°
vx
0
1
= 20 . = 10 m / s
2
PK = m . v x
PK = 2 . 10 = 20 kg . m / s
Yan›t A d›r
II
t
2t
t(s)
•
Cisme I. bölge etki eden kuvvet sabittir. (F = m.a)
I. önerme do¤rudur.
•
Cisim I. bölgede h›zlanan, II. bölgede sabit h›zl› hareket yapmaktad›r. II. önerme do¤rudur.
•
Cisim II. bölgede sabit h›zl› hareket yapt›¤›ndan
ivmesi s›f›rd›r. III. önerme yanl›flt›r.
Yan›t B dir
16. m ve 2m kütleli cisimlerin K ve L arabalar›n›n içine
düfltüklerinde, düfleyde sahip olduklar› momentum
de¤erlerini yere aktar›rlar. Yatayda momentumun
korunumundan;
1
v
5
1
=
v
5
m . 2v = (9m + m ) . v K
⇒
vK =
2m . v = (8m + 2m ) . v L
⇒
vL
vK
vL
19. itme (I) = ∆P
F . ∆t = m . (vs – vi)
– 4 . 10 = m (– 4 – 16)
40 = 20 m
⇒
m = 2 kg
F . ∆t = m . (vs – vi)
v
= 5=1
v
5
–4 . ∆t = 2 . (–16)
⇒ ∆t = 8 s
Yan›t E dir
Yan›t E dir
6
İTME VE MOMENTUM
4.
TEST - 3
Çarp›flma öncesi kinetik enerji;
1
m . v 2 .................................... (1)
2
Çarp›flma sonraki ortak h›z ve kinetik enerji;
v
m . v = (9m + m ) . v ′ ⇒ v ′ =
10
Ek1 =
1.
m1 kütleli cisim durmakta olan m2 kütleli cisim ile
merkezi esnek çarp›flma yapt›¤›ndan;
 m − m2 
v1′ =  1
 . v1
 m1 + m 2 
Ek 2 =
 2 − 1
v1′ = 
 . 12 = 4 m / s
 2 + 1
1
v
1
. 10 m ( )2 =
m . v2
2
10
20
Çarp›flma s›ras›nda kaybolen kinetik enerji;
E = Ek1 − Ek 2
 2m 1 
v2 ′ = 
 . v1
 m1 + m 2 
E=
 2 . 2
v2 ′ = 
 . 12 = 16 m / s
 2 + 1
1
1
9
m .v2 −
m .v2 =
m . v 2 .....(2)
2
20
20
(1) ve (2) denklemleri oranlan›rsa;
9
m v2
E
9
20
=
=
1
Ek1
10
2
mv
2
Yan›t C dir
Yan›t D dir
2.
K noktas›nda v h›z›ndaki cisim L noktas›na geldi¤inde cismin hem yatay hem de düfley h›z› vard›r.
Cisim parçaland›¤›nda momentumun korunumundan parçac›klar›n toplam momentumu ilk momentuma eflit olmak zorundad›r. Parçac›klardan biri
serbest düflme hareketi yapt›¤›na göre L noktas›ndaki momentumu s›f›rd›r. O halde ikinci parçac›¤›n
hem düfley hem de yatay h›z› vard›r. Bu h›zlar›n
sayesinde cisim pike at›fl› yapar.
5.
F (N)
F
I
0
2t
II
3t
t(s)
III
–F
Yan›t A d›r
3.
t
F = m . a idi. m sabit oldu¤una göre kuvvetin azald›¤› bölgede ivme azalm›flt›r. Momentum ise
∆P = F . ∆t oldu¤undan kuvvetin oldu¤u her bölgede momentum artar. I ve III bölgesinde momentum
artt›¤› halde ivme azalm›flt›r.
Yan›t A d›r
Cismin parçalanmadan önceki h›z ve momentum
bileflenleri;
vx = v0x = 10 m/s
vy = g . t = 10 . 2 = 20 m/s
Px = 3 . 10 = 30 kg . m/s
Py = 3 . 20 = 60 kg . m/s
6.
Cisim parçaland›ktan sonra 1 kg kütleli cisim serbest düflme hareketi yapt›¤›na göre momentumu
s›f›rd›r. Momentumun korunumundan;
P2x = Px = 30 kg.m/s
⇒
vK =
2gh1
• Cisimlerin kütleleri eflit ve L noktas›ndaki cisim
durdu¤undan K cismi L cismine çarpt›¤›nda h›z›n›
ona aktar›r. (vK = vL)
P2y = Py = 60 kg.m/s
P2 =
• mgh1 = 1 m . v 2
K
2
• h2 =
(30)2 + (60)2 = 30 5 kg.m / s
P2 = m 2 . v 2
1
g . t 2 .................................... (1)
uç
2
x = v L . t uç =
30 5 = 2 . v 2 ⇒ v 2 = 15 5 m / s
2g.h1 . t uç .................. (2)
(2) denkleminden tuç çekilip (1) denkleminde yerine
Yan›t D dir
yaz›l›rsa;
7
İTME VE MOMENTUM


1
x

h2 =
.g
 2gh 
2

1
2
x = 4 . h1 . h 2
9.
2
⇒
Yatayda momentumun korunumundan;
Pö = Ps
3m . 12 = 2m . 22 − m . v . cos 37°
x = 2 h1 . h 2
36 = 44 − v .
O halde x uzakl›¤›, h1 ve h2 yüksekliklerine ba¤l›d›r.
4
5
4v
= 44 − 36
5
Yan›t C dir
4v
= 8 ⇒ v = 10 m / s
5
v
Ι
Ι
v
Yan›t C dir
iskele
7.
2v
10. A noktas›ndaki m kütleli cismin B noktas›nda sahip
oldu¤u h›z›;
2Ι
v =
Kay›k içinde hareket eden adamlar, kay›klara hareket yönünün tersine bir itme uygularlar. I ve III numaral› kay›ktaki adamlar iske yönünde yürüdüklerinden
kay›klar iskeleden uzaklafl›r. v3 > v1 oldu¤undan x3
2g . 4h = 2 2gh
dir. Çarp›flmadan sonra ortak kütlenin sahip oldu¤u
h›z;
m . v = (m + m ) . v ′
m . 2 2gh = 2m . v ′
> x1 dir. II numaral› kay›ktaki adam iskeleye ters
yönde hareket etti¤inden kay›k iskeleye yaklafl›r. O
hâlde kay›klar›n iskeleden uzakl›klar› aras›nda
x3 > x1 > x2 ba¤›nt›s› vard›r.
v′ =
2gh
bulunur. Enerjinin korunumundan;
1
2m . v ′ 2 = 2 mg h ′
2
Yan›t B dir
( 2gh )2
2
8.
⇒
= g . h′
2g . h
= g . h′
2
4m kütleli cisme hareketi boyunca etki eden
itme;
⇒
h′ = h
bulunur. O hâlde ortak kütle K noktas›na ç›kabilir.
Ι 1 = ∆P = m . (v s − v i )
Yan›t A d›r
Ι 1 = 4m (−v y1 − v y1 )
Ι 1 = − 8m .
3
v . sin 60° = − 4m v
3
11. m1 cisminin çarp›flmadan önce sahip oldu¤u h›z›;
3m kütleli cisme hareketi boyunca etki eden
itme;
v1 =
Ι 2 = ∆P = m . (v s − v i )
2 . 10 . 5 = 10 m / s
bulunur. Çarp›flmadan sonra ortak kütlenin h›z› ve
ç›kabilece¤i maksimum yükseklik;
Ι 2 = 3m (−v y 2 − v y 2 )
Ι 2 = − 3m . 2 .
2gh =
m 1 . v 1 = (m 1 + m 2 ) . v ′
4 2
v . sin 45° = − 8m v
3
1 . 10 = (1 + 1) . v ′
Ι1
−4m v
1
=
=
Ι2
−8m v
2
h=
Yan›t E dir
⇒
v′ = 5 m / s
( v ′ )2
(5)2
5
=
=
= 1, 25 m bulunur.
2g
2 . 10
4
Yan›t D dir
8
İTME VE MOMENTUM
15. Çarp›flma sonras› L cisminin kazand›¤› h›z;
12. Cisimlerin kütlelerini bilmedi¤imiz için çarp›flmadan
sonra hareket yönlerinin kesinlikle hangisi oldu¤unu
bilemeyiz. Ama cisimlerin her ikisi de bir momentuma sahip oldu¤undan çarp›flma sonras› ortak kütle,
her iki cismin hareket yönlerine farkl› bir do¤rultuda
hareket eder. O hâlde ortak kütle L cisminin hareket
yönü olan (V) yönünde hareket edemez.
 2m 1 
vL ′ = 
 . vK
 m1 + m 2 
vL ′ =
dür. Enerjinin korunumundan;
Yan›t E dir
1
1
k x2 =
mL . v ′ 2
L
2
2
1
500 . ( )2 = 5 . v ′ 2
L
5
y
13.
P2x=m2.2br
2 .1
v
.v =
.............................. (1)
(5 + 1)
3
20 = 5 . v L′
0
x
2
⇒
v L ′ = 2 m / s ............. (2)
bulunur. (2) denklemini (1) denkleminde yerine yazarsak;
v
2=
⇒ v = 6m/s
3
bulunur.
Yan›t E dir
P1=m1.2br
P2
–y
Cisimler (–y) do¤rultusunda hareket ettiklerine göre;
P1 = P 2x
m 1 . 2 br = m 2 . 2 br
⇒
m1
=1
m2
16. Yataydaki momentumun korunumundan;
Pö = Ps
bulunur.
Yan›t E dir
m1.v1.cos 37° – m2.v2.cos 53° = (M + m1 + m2) . v′
50 . 20 . 0,8 – 50 . 10 . 0,6° = 1000 . v′
⇒
500 = 1000 . v′
14. Çarp›flmadan önce A cisminin sahip oldu¤u momentum;
v′ = 0,5 m/s
Yan›t B dir
PA = 2m . v
2m
dir. Momentumun korunumundan çarp›flma sonras›;
PA = PA′ + PK + PL⇒
17. m1 ve m2 kütleli cisimlerin merkezi ve esnek çarp›flma sonraki h›zlar› s›ras›yla v ve –v oldu¤undan;
2m 2
v =
. v 2 ........................(1)
(m 1 + m 2 )
PK = m . v
PA′ = PA – ( PK + PL)
K
L
60°
60°
 m − m1 
−v =  2
 . v 2 ........................(2)
 m 2 + m1 
PK + PL = m . v
PL = m . v
–(PK + PL) = m . v
(1) ve (2) denkleminin eflitli¤inden;
−(m 2 − m 1 )
2m 2
. v2 =
. v2
m1 + m 2
(m 1 + m 2 )
PA = 2m . v
PA′ = m . v
2m 2 = m 1 − m 2
PA ′ = m A . v A ′
3m 2 = m 1
v
bulunur.
m . v = 2m . v ′ ⇒ v ′ =
2
⇒
m1
= 3
m2
Yan›t C dir
Yan›t A d›r
9
İTME VE MOMENTUM
Ps =
TEST - 4
1.
Ek 2 =
F(N)
10
P
= 10 kg . m / s
2
P2
s
2m
=
(10)2
= 10 J
2.5
bulunur. Cismin çarp›flmada kaybetti¤i enerji;
E = Ek1 – Ek2 = 40 – 10 = 30 J
∆P
Yan›t C dir
0
10
20 25
t(s)
4.
Kuvvet – zaman grafi¤inin alt›nda kalan alan bize
momentum de¤iflimini verir. O hâlde;
∆P =
10 + 25
. 10 = 165 kg.m / s
2
Cisimlerin çarp›flmadan önceki toplam enerjisi;
Ek1 =
1
1
v
.m v 2 + . 2m .( )2
2
2
2
Ek1 =
1
1
3
.m v 2 + .m v 2 = mv 2 ............. (1)
2
4
4
bulunur. Cismin ilk h›z› s›f›r oldu¤undan;
bulunur. Cisimlerin kenetlenme sonraki h›zlar› ve
enerjileri;
∆P = m . (vs – vi) = m . v
165 = 35 . v
⇒ v = 5 m/s
2m
m
bulunur.
v
Yan›t D dir
v
––
2
v′
önce
sonra
Momentumun korunumundan;
2.
Cismin kütlesini 3 m alal›m cismin patlamadan önceki momentumu;
3m
m . v + 2m .
2m . v = 3m . v ′
P = 12 m
bulunur. Momentumun korunumundan;
Ek 2 =
P = P1 + P2 + P3 ⇒ P3 = P – ( P1 + P2)
60°
–(P1 + P2) = 12 m
1
2v 2
2
.(m + 2m ) . (
) =
mv 2 ......... (2)
2
3
3
Yan›t B dir
P3 = 0
5.
Sporcular›n çarp›flmadan önce sahip olduklar› momentumlar›;
Pö = 3 m . v
dir. Momentumun korunumundan cisimlerin çarp›flt›ktan sonra da bileflke momentumlar› +x yönünde
3m . v olmal›d›r. Bunu sa¤layacak cisimlerin hareket
yönleri;
Yan›t B dir
Cismin çarp›flmadan önceki kinetik enerjisi;
Ek1 =
2v
3
P = 12 m
O hâlde üçüncü cisim patlaman›n oldu¤u yerde hareketsiz kal›r.
3.
v′ =
2
mv 2
Ek 2
8
= 3
=
Ek1
3
9
mv 2
4
P1 + P2 = 12 m
P2 = 12 m
⇒
bulunur. (1) ve (2) denklemi oranlan›rsa;
P1 = 12 m
60°
v
= (m + 2m ) . v ′
2
2m
P2
(20)2
=
= 40 J
2m
2.5
O
bulunur. Çarp›flmadan sonra momentumunun yar›s›n› kaybetti¤ine göre;
m
fleklinde olmal›d›r.
Yan›t D dir
10
İTME VE MOMENTUM
6.
Cismin momentumu P = m . v idi. Cisim T noktas›ndan b›rak›ld›¤›nda 5 N luk kuvvetin etkisiyle h›zlanarak K noktas›na gelir. K noktas›nda cisme 2,5 N luk
sürtünme kuvveti etki etti¤inden cisim 2,5 N luk kuvvetin etkisiyle h›zlanarak L noktas›na gelir. L – S
aras›nda sürtünme olmad›¤›ndan cisim yine 5 N luk
kuvvetin etkisiyle h›zlanan hareket yapar. Cismin
momentum – zaman grafi¤i B fl›kk›ndaki gibidir.
11. Durmakta olan bir cisim iç patlama sonucu parçaland›¤›nda momentumun korunumundan, parçalar›n momentumlar›n›n vektörel toplam› yine s›f›r olmal›d›r. O hâlde;
P1 = 6 kg.m/s
(P1 + P2) = 6 kg.m/s
120°
Yan›t B dir
P2 = 6 kg.m/s
7.
Düfleydeki momentumun korunumundan;
0 = P1 + P 2 + P 3
m . v = (m + M) . v′
P3 = – ( P1 + P2)
10 . 200 = (90 + 10) . v′ ⇒ v′ = 200 cm/s
–x
bulunur. Mermi ile takozun yükselmesi;
–(P1 + P2) = P3 = 6 kg.m/s
v′2
(20)2
1
h=
=
=
cm
2g
2 . 1000
5
P3 = m3 . v3
6 = 1 . v3 ⇒ v3 = 6 m/s
Yan›t B dir
8.
O noktas›ndaki m kütleli cisim ile S noktas›ndaki m
kütleli cismin T notas›ndan düfleyde sahip olduklar›
h›zlar› s›f›r olur. Yataydaki momentumun korunumundan;
m
v=0
m
v2
mm
önce
12.
⇒
v′ =
v′
v
M1
M2
M1 M2
önce
v′
sonra
Momentumun korunumundan;
M1 . v = (M1 + M2) . v′
sonra
m . v 2 = (m + m ) . v ′
Yan›t E dir
1 . 12 = (1 + 2) . v′
v2
2
⇒ v′ = 4 m/s
v′′
v′
h›z›yla yatay at›fl hareketi yaparlar.
M1 M2
Yan›t C dir
M3
M 1 M2 M3
önce
sonra
Momentumun korunumundan;
9.
E¤ik at›fl hareketi yapan bir cismin yatay h›z› hareketin her noktas›nda ayn› de¤ere sahiptir. P = m . v
ba¤›nt›s›na göre m kütleli cismin yatay vektörel momentumlar› her noktada ayn›d›r.
Yan›t E dir
(M1 + M2) . v′ = (M1 + M2 + M3) . v′′
(1 + 2) . 4 = (1 + 2 + 3) . v′′
v′′ = 2 m/s
Yan›t C dir
13. Momentum vektörel bir büyüklük oldu¤undan;
10. Pö = Ps
3
m2 . v2 – m1 . v1 = (m1 + m2 + M) . v′
2m.v
40 . 2000 – 10 . 3000 = (1000) . v′
80 – 30 = v′
⇒
m.v
v′ = 50 cm/s
bulunur. Ortak kütle P2 > P1 oldu¤undan v2 h›z› yönünde hareket eder.
ortak kütle (3) yönünde hareket eder.
Yan›t C dir
Yan›t D dir
11
İTME VE MOMENTUM
vT
14.
∆P1
–x
∆P2
O
v1
18. Momentumdaki de¤iflim;
∆P = m . (vs – vi)
v2
∆P = 2 . (– 5 – 10) = – 30 kg . m/s
x
Yan›t A d›r
vT
Çocuklar›n x do¤rultusunda olduklar› anda çizgisel
h›zlar› eflit ve ters yönlü olup yörüngeye te¤et do¤rultudad›r. (vT) Bu anda m1, m2 yi x yönünde F
19. Çarp›flmadan önceki kinetik enerji;
Çarp›flmadan sonraki kinetik enerji;
Ek 2 =
m1 > m2 oldu¤undan v1x < v2x olur. Çocuklar›n bileflke h›zlar› için de v1 < v2 oldu¤undan α > β olur.
1
v
1
2m ( )2 =
m .v2
2
4
16
Çarp›flmada kaybolan kinetik enerji;
Yan›t D dir
E = Ek1 − Ek 2
15. Ι = ∆P = m . (vs – vi) = kg.m/s
E=
itme birimi olan N. s yerine kullan›labilir.
1
1
7
m . v2 −
m . v2 =
m . v2
2
16
16
bulunur. O hâlde;
Yan›t E dir
7
m . v2
E
7
16
=
=
1
Ek1
8
m . v2
2
16. Bir cisme uylgulanan itme momentumdaki de¤iflime eflittir. Momentum vektörel bir büyüklük oldu¤undan;
Ι = Ps – P ö
bulunur.
Yan›t E dir
Ι = ∆P = 2 2 kg.m/s
Ps = 2 kg.m/s
20. Duran bir cisim iç patlama sonucu iki parçaya ayr›ld›¤›na göre momentumun korunumundan;
–Pi = 2 kg.m/s
bulunur.
P 1 = P2
Yan›t E dir
olmal›d›r.. Cisimlerin çarp›flma sonras› kinetik enerjileri;
17. Momentumun korunumundan;
m . v = (m + m ) . v ′
⇒
v
2
v′ =
E1 =
θ
E2 =
v
––
2
v
m
P2
1
2m 1
⇒
...............................(1)
P2
2
2m 2
..............................(2)
(1) ve (2) ba¤›nt›lar› taraf tarafa oranlan›rsa;
2m
P2
1
Momentumun korunumundan;
v
m . v − 2m . = (m + m + m ) . v ′′
2
0 = 3m . v ′′
1
m . v2
2
Ek1 =
kuvveti ile iterse kendisi de –x yönünde eflit itme
al›r. Bu itmeler ayn› zamanda z›t yönlü momentum
de¤iflimlerine yol açar.
–∆P1 = ∆P2 ⇒ m1 . v1x = m2 . v2x
m
E1
2m 1
=
= 2
2
E2
m1
P
2
2m 2
v ′′ = 0
bulunur.
bulunur.
Yan›t D dir
Yan›t C dir
12
İTME VE MOMENTUM
26. • Momentumun – zaman grafi¤inin e¤imi bize cisme uygulanan kuvveti verir.
• Momentum – zaman grafi¤inin alt›nda kalan alan
bize itmeyi verir.
• Cismin kütlesini bilmedi¤imizden a ivmesi ve t
an›ndaki h›z›n› bulamay›z.
Yan›t B dir
21. Cisim K noktas›nda patlama sonucu iki parçaya ayr›lm›fl. K noktas› cismin ç›kabilece¤i maksimum
yükleklik oldu¤undan bu noktadaki momentumu s›f›rd›r. Patlama sonras› momentumun yine s›f›r olmas› için – P1 = P2 olmal›d›r. Yatay h›z zamanla
de¤iflmedi¤inden M1 ve M2 kütleli cisimlerin momentumlar›n›n yatay bileflenleri eflittir.
Yan›t D dir
22. M1 kütleli cismin düfleyde sahip oldu¤u momentum
27. 0,2 kg kütleli cisme 3 s süresince uygulanan kuvvet
ve itme;
F=m.g
F = 0,2 . 10 = 2 N
Ι = F . ∆t
Ι=2.3=6 N.s
bulunur.
Yan›t D dir
araba yard›m›yla yola aktar›l›r. Yataydaki momentumun korunumundan;
M1 . v1 – M2 . v2 . cos 37° = (M1 + M2) . v
50M2 – 8M2 = 6M2 . v
42M2 = 6M2 . v
⇒
v = 7 m/s
bulunur. ‹lk hareket yönüyle ayn› yönde hareket etmeye devam eder.
Yan›t E dir
23. F, ∆x ve ∆t bilenleriyle;
• Ι = F . ∆t oldu¤undan uygulanan itme bulunur.
• w = F . ∆x oldu¤undan yap›lan ifl bulunur.
w
• P=
oldu¤undan güç bulunur.
∆t
28. Momentumun korunumundan çarp›flma öncesi momentum;
2m
Yan›t E dir
x
24. Momentum - zaman grafi¤i h›z - zaman grafi¤inin
ayn›s›d›r. O hâlde cisim I. aral›kta sabit h›zl› hareket ediyor. Yani üzerine etki eden Fnet = 0 d›r. Ci-
P = 2m . Vx
Çarp›flma sonras› momentum ise;
sim II. aral›kta düzgün h›zlanan hareket ediyor. O
hâlde üzerine etki eden kuvvet sabittir.
Yan›t D dir
P = P x + Py
⇒
Px = P – Py
–P = m . Vy
25. Çocuk ve elindeki top ilk baflta +x yönünde bir momentuma sahiptir. Çocuk elindeki topu f›rlatt›ktan
sonra momentumun korunumuna göre çocu¤un
momentumu ve topun momentumunun vektörel
toplam› yine +x yönünde olmal›d›r. Çocuk topu
+y yönünde v h›z› ile att›¤›nda, top +y yönünde
mtop . v kadar bir momentum kazan›r. Momentum
Vx ′
Px = 2m . Vx′
korunumu yasas›na göre olaydan sonra düfley momentumun s›f›r olabilmesi için çocuk –y yönünde
mtop . v ye eflit momentum kazanmal›d›r. Ayr›ca
P = 2m . Vx
çocu¤un kütlesi topun kütlesinden çok büyüktür. Bu
yüzden çocuk 4 yönüne benzer flekilde kayabilir.
bulunur. O hâlde X cisminin h›z vektörü fiekil II deki 1 vektörü gibi olur.
Yan›t A d›r
Yan›t D dir
13
İTME VE MOMENTUM
29. Kuvvet - zaman grafi¤inin alt›nda kalan alan bize
momentum de¤iflimini verir.
kuvvet
32.
y
Py
kuvvet
2m
2F
37°
PK
3m
F
F
Py
t
0
zaman
2F + F
Py =
.t
2
t
m
zaman
Momentumun korunumundan;
PK = P x
PL = P y
F.t
Px =
2
2m . v 1 = 3m . cos 37°
3F
.t
2
m . v 2 = 3m . sin 37°
3 4
6
. =
2 5
5
bulunur. O hâlde;
6
v1
2
= 5 =
v2
9
3
5
v1 =
bulunur. O halde;
1
F.t
Px
1
= 2
=
Py
3
3
F.t
2
Yan›t B dir
v2 = 3 .
3
9
=
5
5
Yan›t B dir
33. Yatay at›fl hareketi yapan cisimlerin yatay h›zlar›
sabittir. Dolay›s›yla momentum de¤iflimi s›f›r olur.
∆P niceli¤i cismin düfleydeki h›z de¤ifliminden kaynaklan›r. O hâlde;
∆P = m . vy
30. Aç›sal momentum L = m . v . r idi. Buradan yola
ç›karsak;
L = kg .
x
Px
PL
Px
0
Py =
P
m
. m pay ve payda s ile çarp›l›rsa;
s
vy =
m
s
L = kg .
.m . = F.x.t
s
s
2hg
∆P = m .
2hg
elde edilir. O hâlde momentumdaki de¤iflim v0 h›z›-
L = N.m .s = J.s
na ba¤l› de¤ildir.
Yan›t A d›r
Yan›t A d›r
34. Momentumun korunumundan;
m . v1 = m . v2 + M . v .......................(1)
31. Parçac›¤›n momentumu;
h=
P = m . v = m . 0,8 c
m =
mo
1−
m =
v2
1−
c2
mo
0, 36 c 2
=
(1) ve (2) ba¤›nt›lar›na bak›ld›¤›nda h yüksekli¤i l,
sarkac›n boyuna ba¤l› de¤ildir.
Yan›t E dir
mo
=
v2
.....................................(2)
2g
0, 64 c 2
c2
35. Bir fotonun momentum de¤iflimi;
mo
0, 6
∆ P = Ps – Pö
ba¤›nt›s›yla bulunur. fiekil II
ye bak›ld›¤›nda momentumdaki de¤iflim, (3) gibi çizilmifltir.
c2
bulunur. O hâlde momentum;
m
4
P = o . 0, 8 c =
mo . c
0, 6
3
∆P
–Pö
Ps
Yan›t C dir
Yan›t D dir
14
İTME VE MOMENTUM
38.
36. Kuvvet - konum grafi¤inin alt›nda kalan alan bize
kinetik enerjideki de¤iflimi verir.
momentum
kuvvet
∆P
0
F
∆Ek2
∆Ek1
0
∆Ek1
x
F.x
=
2
∆Ek1 =
P2
1
2m
∆Ek 2 = F . x
ve
zaman
•
P – t grafi¤inin e¤imi bize net kuvveti verir.
•
F = m . a oldu¤undan kütle bilindi¤ine göre cismin ivmesi bulunabilir.
•
Fnet = F – Fs ba¤›nt›s›ndan F kuvveti bilinmedi-
konum
2x
30°
∆t
¤inden Fs yi bulamay›z.
∆Ek1 + ∆Ek 2 =
Yan›t C dir
P2
2
2m
39.
denklemleri oranlan›rsa;
v
2v
K
P2
L
önce
F.x
1
1
2
2m =
=
2
F
.
x
3
P
+F.x
2
2
2m
⇒
yatay
P
P1
1
=
P2
3
v
2v
K
L
sonra
Yan›t C dir
yatay
P
fiekillere bak›ld›¤›nda K cismi L nin h›z›yla, L cismi
de K n›n h›z›yla hareket etmifltir. O hâlde;
• mK = mL flart› sa¤lanmal›d›r.
• Çarp›flma esnek olmal›d›r.
37.
vM
vK
• Çarp›flmadan önce;
vN
PK = 2m . v ve PL = m . v
vL
dir. I ve II. önermeler do¤rudur.
Yan›t C dir
K
N
L
d
d
yer
40. Sorudaki flekle bak›ld›¤›nda cisimler çarp›flmadan
önce R noktas›ndaki m kütleli cisim 6 bölme, S
noktas›ndaki 2m kütleli cisim ise 4 bölme yerde¤ifltirmifltir. O hâlde;
d
• PK = PL + PN
mK . vK = mL . vL + mN . vN ............................ (1)
cisimlerin yatay h›zlar› ise;
vR = 3v
vN = 2vK = 2vL = 2v ........................................ (2)
vS = 2v
(2) denklemi (1) denkleminde yerine yaz›l›rsa;
dir. Cisimlerin (0, 0) noktas›ndaki momentumlar›;
mK . v = mL . v + mN . 2v
PR = Px = m . 3v
mK = mL + 2mN .............................................. (3)
PS = Py = 2m . 2v = 4m . v
bulunur. (3) denklemine göre;
olur. Momentum vektörel
bir büyüklük oldu¤undan;
ortak kütle L yolunu izler.
• mK > mL
• mK > mN
y
3
2
1
0
dir.
L
4
1
2
3
x
Yan›t B dir
Yan›t D dir
15