2 limit ve süreklilik

2
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Limit ve Süreklilik ......................................................................................................118
Bir Fonksiyonun Limiti .............................................................................................. 119
Özel Tanımlı Fonksiyonların Limiti ........................................................................... 133
Parçalı Fonksiyonların Limiti ...................................................................133
Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti ...................................................... 137
Limit Özellikleri ......................................................................................................... 143
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Genişletilmiş Gerçel Sayılar Kümesinde Limit ......................................................... 152
Belirsizlikler .............................................................................................................. 158
0 Belirsizliği ........................................................................................... 158
0
3 Belirsizliği .......................................................................................... 162
3
0. 3 Belirsizliği ...................................................................................... 165
3 – 3 Belirsizliği ................................................................................... 168
1 3 Belirsizliği ....................................................................................... 173
Bir Dizinin Limiti ....................................................................................................... 195
Seriler
................................................................................................................ 203
Süreklilik
................................................................................................................225
Fonksiyonlarda Süreklilik ..........................................................................................225
Sürekli Fonksiyonların Özellikleri ............................................................................. 233
Sınırlı Fonksiyonlar .................................................................................................. 239
EBAS, EKÜS ......................................................................................... 239
Kapalı Aralıkta Sürekli Bir Fonksiyonun Özellikleri ................................ 241
y
y
y
1
–π
4
π
0
–
π
2
1
–1
π
2
kök
2π
3π
2
x
x
3
2
–1
2
–1
y= – 1
2
1
0
f(x)
1
2
3
x
BÖLÜM
KAVRAMSAL ADIM
Limit, bilim içinde önemli role sahip kavramlardan
biridir.
Türev ve integral kavramlarını öğrenebilmek için
limit kavramını eksiksiz öğrenmek gerekir. Limit
kavramını anlamak için şu örneği verelim.
Soldan ve Sağdan Yaklaşma
a ∈ R sayısı verilsin. Bir x değişkeni a reel sayısına a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa bu yaklaşmaya soldan yaklaşma adı verilir ve x → a– ile gösterilir.
x değişkeni a reel sayısına, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu yaklaşmaya
sağdan yaklaşma adı verilir ve x → a+ ile gösterilir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Arşimet, bir çemberin çevresini ve sınırladığı böl-
3
x
x
genin alanını hesaplamaya çalışırken köşeleri
Soldan yaklaflma
çember üzerinde olan düzgün çokgenler çizmiş-
Sa€dan yaklaflma
tir. Bu çokgenlerin kenar sayısı arttıkça çevresindeki ve alanındaki artışları gözlemlemiştir.
Bu çokgenlerin kenar sayısına bağlı olarak alanını ve çevresini veren fonksiyonları yazalım.
O
x
2
4
2,5
3,5
2,9
3,1
2,99
3,01
2,999
3.001
...........
...........
x → 3–
x → 3+
B
r
π/n
π/n
x
M
r
A
Pn
C
Çokgenin çevresi:
Pn = n.2r.sin
π
n
Çokgenin alanı:
r
r
A n = n.r 2 . sin n . cos n olup
Pn
r
.r. cos n dir.
2
%
r
m^ AOMh = n olup
Limit kavramına geçmeden önce aşağıdaki örneği inceleyiniz.
An =
ÖRNEK
r
n yeteri kadar büyütüldüğünde n sıfıra yaklaşır.
f: R → R, y = f(x) = x + 1 fonksiyonu veriliyor. x in 2 ye yaklaşması durumunda
y nin hangi sayıya yaklaştığını bulalım.
Bu durumda
| OM |
r
cos a n k =
değeri 1'e yaklaşır.
| OA |
ÇÖZÜM
n yeteri kadar büyütüldüğünde
Pn, Ç = 2πr ye ve
An, A = c
2rr
m .r. (1) = rr 2 ye yaklaşır.
2
Bu ise dairenin alanıdır.
118
x
1,9
1,99
1,999
2 ... 2,001 2,01
2,1
y
2,9
2,99
2,999
3 ... 3.001 3,01
3,1
Tablo incelendiğinde 2 den küçük değerlerle 2 ye yaklaşıldığında y sayısının 3 e
yaklaştığı görülür.
KAVRAMSAL ADIM
x2 – 1
fonksiyonunun x = 1 civarındaki
x –1
davranışını inceleyelim.
Yani x ile 2 arasındaki farkın mutlak değeri çok küçükken y ile 3 arasındaki farkın
mutlak değeri de çok küçüktür.
f (x) =
y
y=x+1
3,1
3+
3,01
3,001
3
f fonksiyonu x = 1 dışında tanımlıdır.
2,999
x ! 1 için
(x – 1) (x + 1)
f (x) =
= x +1
x –1
dir.
3–
2,99
2,9
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f nin grafiği y = x + 1 doğrusunun grafiğinden
0
x
2,1
2,01
2,001
2
2–
x
1
1,999
0
2
1,9
y
1,99
(1, 2) noktası silinerek elde edilir.
2+
Grafik incelendiğinde x → 2– için y = f(x) 3 sayısına yaklaşmaktadır. 3 sayısına f
fonksiyonunun x = 2 noktasındaki soldan limiti denir ve lim – f (x) = 3 şeklinde gös-
f(1) tanımlı değildir.
terilir.
x 1 e yaklaşırken
Benzer şekilde x → 2+ için y = f(x) 3 sayısına yaklaşmaktadır. 3 sayısına f fonk-
f(x) 2 ye yaklaşmaktadır.
siyonunun x = 2 noktasındaki sağdan limiti denir ve
O halde
2
lim f (x) = 2 veya
x$1
x"2
lim
x$1
x –1
= 2 dir.
x –1
lim
x " 2+
f (x) = 3 şeklinde göste-
rilir.
BİR FONKSİYONUN LİMİTİ
A ⊂ R, f: A → R veya f: A – {a} → R bir fonksiyon
olsun.
a–
a+
a
x değişkeni a sayısına soldan yaklaştığında f(x) de bir L1 reel sayısına yaklaşıyorsa, L1 sayısına f fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan limiti denir ve
ETKİNLİK
lim f (x) = L 1
x " a–
f(x) =
x2 – 4
fonksiyonunun x = 2 noktasınx–2
daki limitini bulunuz.
şeklinde gösterilir.
x değişkeni a sayısına sağdan yaklaştığında f(x) de bir L2 reel sayısına yaklaşıyorsa, L2 sayısına f fonksiyonunun x = a noktasındaki sağdan limiti denir ve
lim f (x) = L 2
x " a+
şeklinde gösterilir.
f fonksiyonunun x = a noktasında limitinin var olması için gerek ve yeter koşul bu
noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin mevcut ve birbirine eşit olmasıdır.
O halde L1 = L2 = L ise
lim f (x) = L şeklinde gösterilir.
x"a
119
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
2 den büyük değerlerle 2 ye yaklaşıldığında y sayısının 3 e yaklaştığı görülür.
ETKİNLİK
1.
y
3.
y=f(x)
Şekilde y = f(x) fonksiyo-
y
nunun grafiği verilmiştir.
3
2
2
3/2
a) lim f (x)
1
x"0
0
2
x
b)
f: R – {2} → R , y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
Buna göre,
lim f (x) değerini (varsa) bulalım.
x → 2– iken f(x) → 3–
olduğundan
x→
2+
lim – f(x) = 3 tür.
x"2
iken f(x) →
olduğundan
3+
x"2
y=f(x)
x "1
a) x →
3
3–
0–
y
iken
2+
2
f(x) → 1+ olduğundan
2–
0
2
x
2+
3/2
–
3
2
lim –f (x) = 1 dir.
1+
1–
0+
x"0
x→
0+
iken
–
+ –
–1 –1 0– 0– 0 1
0
f(x) → 1– olduğundan
f fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti vardır.
lim f (x) = 3 bulunur.
x"2
c) lim f (x)
Çözüm
3+
lim f (x) = lim +f (x) olduğundan
x " 2–
lim f (x) = 1 dir.
x"0
b) x → –1– iken f(x) → 2+ olduğundan
2.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
Buna göre,
y
lim f (x) = 2 dir.
x " –1 –
x → –1+ iken f(x) →
1
lim f (x)
x "1
1
0
değerini (varsa) bulunuz.
x
lim f (x) =
x " –1 +
–2
O halde
Çözüm
f( )
x → 1– iken f(x) → 1+
3–
olduğundan
2
3
dir.
2
lim f (x) ! lim +f (x) olduğundan
x " –1
x " –1 –
lim f (x) yoktur.
y
x " –1
olduğundan
lim –f (x) = 1 dir.
x "1
x → 1+ iken f(x) → –2 –
olduğundan
lim f (x) = –2 dir.
x " 1+
1+
1
0 1– 1+
x
x "1
olduğundan f fonksiyonunun x = 1 noktasında limiti yoktur.
120
c) x → 1– iken f(x) → 0+ olduğundan
lim f (x) = 0 dır.
–2
–2–
lim f (x) ! lim +f (x)
x " 1–
x
1
0
y
lim f (x) = 3 tür.
x " 2+
–1
değerlerini (varsa) bulunuz.
x"2
Çözüm
lim f (x)
x " –1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
x " 1–
x → 1+ iken f(x) → 0– olduğundan
lim f (x) = lim +f (x) = lim f (x) = 0 dır.
x " 1–
x "1
x"1
1 1+
x
y=f(x)
4.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
Buna göre,
6.
y
Şekilde y = f(x)
y
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
lim f (x) değerini
x " –1
y=f(x)
2
3
(varsa) bulunuz.
lim f (x)
2
x"3
1
–1
değerini (varsa)
x
3
0
bulunuz.
x
0
Çözüm
x→
–1–
x → 3– iken
y=f(x)
Çözüm
iken
y
f(x) → 1– olduğundan
lim f (x) = 2 dir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
lim f (x) = 1 dir.
x " 3–
3+
3
x → 3+ iken
x → –1+ iken f(x) → 3+
2
f(x) →
olduğundan
1
1–
x " 3+
x " –1 –
lim f (x) = 3
x " –1 +
tür.
y
f(x) → 2– olduğundan
2+
y=f(x)
2+
2
2–
3– 3
0
x
3+
olduğundan
lim f (x) = 2
dir.
x
–1– –1 –1+ 0
O halde lim f (x) = 2 dir.
x"3
lim –f (x) !
lim +f (x)
x " –1
x " –1
olduğundan
y=f(x)
lim f (x) yoktur.
x " –1
7.
f: [x1, x2] → [y1, y2]
y = f(x) fonksiyonunun
y
y2
grafiği verilmiştir.
a)
5.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
lim f (x) değerini (varsa)
x"2
y
b)
2
0
lim f (x) ifadelerini
x
x1
x2
x " x2
x
Çözüm
f fonksiyonunun tanım kümesi,
y
[x1, x2] olduğundan, f x1 in soy2
lunda, x2 nin sağında tanımlı
y2–
değildir. Ancak x1 ve x2 noktalay1+
y1
rındaki limiti incelenirken x1
noktasındaki limit için sadece
0
sağdan limite bakılır, x2 noktasındaki limit için sadece soldan
limite bakılır. Yani, yukarıdaki grafiğe göre
Çözüm
x → 2– iken
y
f(x) → 2+ olduğundan
dir.
2+
2
x → 2+ iken f(x) → 1–
1
1–
olduğundan
0
lim f (x) = 1 dir.
x " 2+
2–
2 2+
x1 x1+ x2– x2
x
a)
lim –f (x) ! lim +f (x)
x"2
x " x1
belirleyiniz.
2
0
lim f (x) = 2
y1
1
bulunuz.
x " 2–
lim f (x)
lim f (x) = lim +f (x) = y 1
x " x1
x " x1
x"2
b)
olduğundan lim f (x) yoktur.
x"2
lim f (x) = lim - f (x) = y 2 dir.
x " x2
x " x2
121
x
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
8.
f: (x1, x2) → (y1, y2)
y = f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
a)
b)
10. y = f(x) fonksiyonunun grafiği
y
y
verilmiştir.
y2
lim f (x) değerini (varsa)
lim f (x)
x " x1
x"0
y1
lim f (x) değerlerini
x2
x1
0
x " x2
bulunuz.
x
x
0
y=f(x)
bulunuz.
Çözüm
Çözüm
x"
a)
f(x) → +∞
y
x +1
iken f (x) "
y +1
ve f: (x1, x2) → (y1, y2)
olduğundan
lim f (x) =
x " x1
y2
lim f (x) = y 1 dir.
x " x+
1
x " 0–
y1+
x1 x1+ x2–
0
x
x2
olduğundan
lim f (x) = + 3
y=f(x)
x " 0+
dur. lim –f (x) = lim +f (x) = + 3
x"0
x"0
olduğundan
lim f (x) = lim –f (x) = y 2 dir.
x " x2
lim f (x) = + 3 yazılır.
x"0
Ancak limit bir gerçel sayı olmalıdır. Bu nedenle x = 0 noktasında f fonksiyonunun limiti yoktur.
11. y = f(x) fonksiyonunun
9.
x
0– 0 0+
x → 0+ iken f(x) → +∞
y1
f: (x1, x2) → (y1, y2) olduğundan
x " x2
olduğundan
lim f (x) = + 3
y2–
x " x –2 iken f (x) " y 2– ve
b)
y
x → 0– iken
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
y = f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
y
grafiği verilmiştir.
y
y=f(x)
lim f (x) değerini (varsa)
x"3
lim f (x) değerini (varsa) bulu-
x"0
bulunuz.
nuz.
0
x
3
x
0
Çözüm
x → 0– iken
Çözüm
f(x) → +∞ olduğundan
x → 3– iken
y
f(x) → –∞
lim f (x) = + 3 olur.
x " 0–
olduğundan
lim f (x) = –3 dur.
x " 3–
x → 0+ iken
f(x) → –∞ olduğundan
y
0– 0
0+
x
olduğundan
lim f (x) ≠ lim +f (x) tir.
dur. O halde
x " 0–
x"0
O halde lim f (x) yoktur.
x"0
3
x → 3+ iken f(x) → –∞
lim f (x) = –3 dur.
x " 0+
3–
0
lim f (x) = –3
x " 3+
–
lim f (x) = lim +f (x) olduğundan lim f (x) = –3 yazılır.
x " 3–
x"3
x"3
Ancak –∞ bir reel sayı olmadığından lim f (x) yoktur.
x"3
122
–
x
12. Şekilde y = f(x)
UYARI
1.
Bir f: D ⊂ IR $ |R fonksiyonunun a ∈ D noktasında
limitinin olması için gerek ve yeter koşul soldan ve
sağdan limitlerinin eşit olmasıdır. Yani
veriliyor.
lim f (x) değerini
x"a
x"a
y=f(x)
Çözüm
x"a
x"a
lim f (x) = lim +f (x) = 2 olduğundan lim f (x) = 2 dir.
x " 1–
x"1
x"1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
3.
x
1
0
(varsa) bulunuz.
lim f (x) ! lim +f (x) ise lim f (x) yoktur.
x " a–
2
x"1
lim f (x) = lim +f (x) = , + lim f (x) = , dir.
x " a–
2.
y
fonksiyonunun grafiği
f fonksiyonu x = 1 noktasında tanımsız olduğu halde bu
noktada limiti vardır.
f: D ⊂ IR → IR fonksiyonunun a ∈ D noktasındaki
limiti ise bu değer a nın görüntüsüne eşit olmak
zorunda değildir. Aşağıdaki grafiği inceleyiniz.
SONUÇ – 2
y
k
f
Bir f(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu x = a noktası kritik
nokta değilse, f fonksiyonunun x = a noktasındaki limiti bu
noktadaki görüntüsüne eşittir.
m
a
b
x
Yani; lim f (x) = f (a) dır.
x"a
Yukarıdaki grafikte f fonksiyonunun x = a noktasındaki
soldan ve sağdan limiti ye eşit olduğundan
lim f (x) = lim +f (x) = , dir.
x " a–
x"a
Fakat f(a) = k olup k ≠ dir.
Aynı grafikte x = b noktasındaki soldan ve sağdan limitler
m ye eşit olduğundan
13.
y
2
lim f (x) = m dir.
x"b
–3
x = b de f(b) = m dir.
0
y=f(x)
x
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
lim f (x) değerini (varsa) bulunuz.
SONUÇ – 1
x " –3
Bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasında limitinin olması için
bu noktada tanımlı olması gerekmez. Bu noktanın civarında
(komşuluğunda) tanımlı olması gereklidir.
Çözüm
lim f (x) = lim +f (x) = f (–3) = 2 dir.
x " –3 –
x " –3
123
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
14.
x+3
x2 + 6
bulunuz.
y
15. f (x) =
3
fonksiyonunun x = –1 noktasındaki limitini
2
1
5
1
–3 –2 –1
–1
3
4
x
Çözüm
f fonksiyonu x = –1 noktasında tanımlı olduğundan bu nokta
kritik nokta değildir.
Yukarıda f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Aşağıdakileri bulunuz.
A)
B)
lim f (x)
x " 1–
C) lim f (x)
D)
x"0
E)
G)
F)
lim f (x)
x " –2 +
H)
lim f (x)
x " –3
I) f(–1).f(1).f(–2)
Çözüm
A)
B)
C)
x"1
D)
E)
lim f (x) = 2
lim f (x)
x " –2 –
lim f (x)
x"5
lim f (x)
x " –1
16. limr (x2 + cosx) değerini bulunuz.
x"
2
lim –f (x) = –
x"0
r
değeri f(x) = x2 + cosx fonksiyonu için bir kritik nokta
2
değildir.
3
3
olduğundan
ve lim +f (x) = –
4
4
x"0
lim f (x) = 1 dir.
x " –2 –
Bu nedenle
r
r
r
lim f (x) = f ( ) = ( ) 2 + cos
r
2
2
2
x"
3
tür.
4
2
lim f (x) = 1 dir.
x " –2 +
(D ve E den
F)
lim f (x)
x " 1+
x=
x " 1+
lim f (x) = –
–1 + 3
2
bulunur.
=
(–1) 2 + 6 7
Çözüm
lim –f (x) = –1
x"0
lim f (x) = f (–1) =
x " –1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
=
r2
+0
4
=
r2
bulunur.
4
lim f (x) = 1 olduğunu görünüz.)
x " –2
lim f (x) = 0 ve lim +f (x) = 0 olduğundan
x " 5–
x"5
lim f (x) = 0 dır.
x"5
G)
H)
lim f (x) = 0
x " –3
lim f (x) = 1 ve
x " –1 –
lim f (x) = 1 olduğundan
x " –1 +
lim f (x) = 1 dir.
x " –1
I)
f(–1) = 1, f(1) = 2, f(–2) = 3 olduğundan
f(–1).f(1).f(2) = 1.2.(3) = 6 dır.
17. f(x) = x2 – 3x + 5 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki limitini
bulunuz.
Çözüm
f(x) = x2 – 3x + 5 fonksiyonu x = 2 noktasında tanımlıdır.
Bu nedenle
lim f (x) = f (2) = 2 2 – 3.2 + 5
x"2
=3
124
bulunur.
18. lim
x"2
1
limitini hesaplayınız.
x–2
Çözüm
x = 2 için
lim
x"a
1
=3
2–2
lim
x " 2–
h>0
1
1
= lim
x – 2 h " 0 (2 + h) – 2
h>0
= lim
h"0
h>0
1
20. a) lim x
x"0
(n ! Z +)
,
1
b) lim x
x " –3
a)
x " 0+
ve
1
1
lim x ! lim + x
x"0
olduğundan
dir.
1
lim x
b)
lim f (x) = lim +f (x) = 3 olması x = a da limitin varlığı
x " a–
x"a
anlamına gelmez. Çünkü limit gerçel sayıdır. ∞ (ya da –∞)
bir gerçel sayı değildir.
x
0
x " 0–
x"0
UYARI
y
1 1
lim
= – = –3
0
x " 0– x
1
1
lim x = + = + 3
0
1
=3
h
1
1
] lim +
x–2
x"2 x – 2
1
c) lim x
x "+3
limitlerini hesaplayınız.
Çözüm
olup limiti yoktur. Çünkü
lim
1
=0
(x – a ) n
lim
x "!3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
h>0
x " 2–
n çift sayı
n tek say›
1
1
= lim
x–2
h " 0 (2–h) –2
1
= lim (– ) = –3 olur.
h
h"0
lim +
,
+3
1
= *
( x – a) n
yoktur ,
olduğundan x = 2 kritik noktadır.
O halde bu noktada soldan ve sağdan limitlerine bakılır.
x"2
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
c)
yoktur.
1
lim x = 0
x " –3
1
lim x = 0 dır. Grafiği inceleyiniz.
x "+3
21. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
4
19. lim
limitini hesaplayınız.
x " 3 (3 – x) 2
Çözüm
x = 3 için
4
= 3 olduğundan x = 3 kritik noktadır.
( 3 – 3) 2
a) lim
x"2
x"3
4
4
= lim
(3 – x) 2 h " 0 [3 – (3 – h)] 2
h>0
b) lim
x"3
1
x–2
c) lim
x " –3
1
x–2
Çözüm
f(x) =
Bu nedenle bu noktada soldan ve sağdan limite bakılır.
lim –
1
x –2
1
nin grafiği
x–2
y
yandaki gibidir.
a) lim –
x"2
4
= lim
=3
h " 0 h2
1
1
=
= –3
x – 2 0–
lim
1
1
=
=+3
x – 2 0+
lim
1
1
! lim +
x–2
x"2 x – 2
x " 2+
0
x
2
1
2
h>0
4
4
lim
= lim
h " 0 [3– (3 + h)] 2
x " 3 + (3 – x) 2
h>0
= lim
h"0
h>0
olup
lim
x"3
x " 2–
4
=3
h2
4
= 3 dur. Ancak limit gerçel sayı olmak
(3 – x) 2
zorunda olduğundan x = 3 de limit yoktur.
olduğundan lim
x"2
1
x–2
b) lim
1
=0
x–2
c)
1
= 0 dır.
x–2
x"3
lim
x " –3
yoktur.
125
UYARI
a)
lim
3
3
3
=
=
=+3
x 2 (0 –) 2 0 +
lim
3
3
3
=
=
=+3
x 2 (0 +) 2 0 +
x " 0–
a ∈ R ve a ≠ 0 olsun.
•
a
0
a = 1 , a = 0, a " 3 = " 3
x " 0+
•
3+3=3,
ve
•
a < 0 ise
3.3 = 3
x"0
b)
c)
3
1
1
=
=
=0
x 2 (3) 2 3
lim
x " –3
3
1
1
=
=
=0
x 2 (–3) 2 3
2
limitini
(x – 1) 2
23. lim
x"1
0
0
"0 , – "0
0+
0
•
a
0+
0–
!3
,
,
,
0
0
0
0
•
0+
0+
y
hesaplayınız.
Çözüm
ifadeleri tanımsızdır.
f (x) =
3
, 0.3 , 3 , 3–3 , 1 3 , 3°, 0°
ifadeleri belirsizliktir.
lim
x"3
3
= + 3 dur.
x2
dır.
•
,
3
3
= lim
=+3
x2 x " 0– x2
olduğundan lim
a
" –3
0+
a
"+3
0–
a
3
3 " 0, a " –3
a.3 " –3
a
a > 0 ise
"+3
0+
a
" –3
0–
a
3
3 "0 , a "3
a.3 " 3
0–
0–
lim
x " 0+
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
2
2
fonksiyonu(x – 1) 2
x = 1 değeri f(x) =
2
fonksiyonunun bir kritik noktası( x – 1) 2
lim
2
2
2
=
=
=3
(x – 1) 2 (0 –) 2 0 +
lim
2
2
2
=
=
=3
(x – 1) 2 (0 +) 2 0 +
x " 1–
x " 1+
olduğundan lim
x"1
22. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
x"0
3
x2
b) lim
x"3
Çözüm
c) lim
x " –3
3
x2
a)
y
b)
3
f(x) = 2 fonksiyonunun
x
c)
grafiği yandaki gibidir.
x = 0, f (x) =
3
fonksiyox2
nunun bir kritik noktasıdır.
126
2
= 3 dur.
(x – 1) 2
24. Aşağıdaki örnek çözümleri inceleyiniz.
3
x2
0
x
nun grafiği yandaki gibidir.
dır.
a) lim
0 1
1 1
lim x = – = –3
0
x " 0–
3
3
lim x = + = + 3
0
x " 0+
lim
x+3 0+3 3
= – 3 = – = –3
0
x3
(0 )
lim +
10 – x 2
10 – 0 10
=
=
=+3
2.3 x – 2 2.1 + –2 0 +
x " 0–
x
d)
x"0
e)
1
1
lim (3 + x ) = 3 + 3 = 3 + 0 = 3
4
26. lim ( ) x limitinin değeri nedir?
x"3 3
x"3
3
3
lim (2 – x ) = 2 – 3 = 2 – 0 = 2
f)
Çözüm
x"3
g)
x2 + 1
x2 + 1
32 + 1
10
lim – 2
= lim –
= –
=
=+3
2
x " 3 x –6x + 9
x " 3 (x – 3)
(3 – 3) 2 0 +
k)
2.x 2 – 3 2.2 2 – 3
5
5
= –
=
=
=+3
lim
| 2 – 2 | | 0– | 0+
x " 2– | x – 2 |
l)
lim –
x"5
4
4x 3
lim ( ) x = lim x =
=3
x"3 3
3
A
x"3
dur. (A bir reel sayı)
x2 – 5
52 – 5
20
20
=
=
=
=+3
| 5 – x | | 5 – 5– | | 0+ | 0+
2
27. lim ( ) –x limitinin değeri nedir?
x"3 5
Çözüm
2
5
lim ( ) –x = lim ( ) x
x"3 2
5
UYARI
x"3
• a > 1 ise
lim a x = 3 ,
• |a| < 1
=0
x"3
x " –3
ise
ax
= lim
lim a x = 0
x"3
lim
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
rx
r e
sin . e
1
1
2e =
2
m) lim –
=
=
=+3
2 – 2.1 – 2 – 2 – 0 +
x " e 2 – 2,nx
sin
x"3
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
lim a x = 3
,
x " –3
lim a x yoktur,
• | a | > 1 ise
5x
= 3 dur.
2x
x"3
lim
x " –3
ax = 0
3
28. lim (– ) x limitinin değeri nedir?
x"3
4
Çözüm
2
25. lim ( ) x
x"3 3
|–
y
3
| < 1 olduğundan
4
3
lim (– ) x = 0 dır.
4
x"3
limitinin değeri kaçtır?
1
0
x
y=( 2 )
3
x
29. lim (–3) x limitinin değeri nedir?
x"3
Çözüm
Çözüm
x
(2)
3
x
1
2
3
4
.... → + ∞
2
3
4
9
8
27
16
81
.... → 0
|–3| > 1 olduğundan
lim (–3) x yoktur.
x"3
2
2x
lim ( ) x = lim
x"3 3
x " 3 3x
3 > 2 olduğundan 3x , 2x den daha çabuk sonsuza yaklaşır. Ya da şöyle söylenebilir. 2x henüz sonsuza yaklaşmadan, 3x sonsuza yaklaşır. Yani 2x, sayı iken 3x sonsuza
yaklaşır. Bu durumda
2x A
lim
= 3 = 0 olur. (A ≠ 0)
x " 3 3x
SIKIŞTIRMA TEOREMİ
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) olmak üzere
lim f (x) = lim g (x) = ,
x"a
x"a
ise
lim h (x) = , dir.
x"a
127
30. lim
x"3
cos x
limitinin değeri nedir?
x
33. x ! 0 için
6 – x2 ≤ u(x) ≤ 6 + x2
Çözüm
1 cos x 1
–1 ≤ cosx ≤ 1 olduğundan – x ≤ x ≤ x
ve
1
cos x
1
lim (– x ) ≤ lim
( )
x ≤ xlim
x"3
x"3
"3 x
0 ≤ lim
x"3
cos x
x ≤0
olduğundan
lim
x"3
olduğuna göre, lim u (x) değerini bulunuz.
x"0
Çözüm
lim (6 – x 2) = 6
x"0
lim (6 + x 2) = 6
x"0
cos x
x = 0 bulunur.
olup sıkıştırma teoremine göre
lim u (x) = 6 dır.
x"0
31. lim
x"3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
sin x
x limitinin değeri nedir?
34. lim | f (x) | = 0 ise
x"a
lim f (x) = 0 olduğunu gösteriniz.
x"a
Çözüm
1 sin x 1
–1 ≤ sinx ≤ 1 olduğundan – x ≤ x ≤ x
1
a– k ≤
ve xlim
x
"3
lim
x"3
sin x
0 ≤ lim x ≤ 0
x"3
olduğundan
lim
x"3
sin x
1
( )
x ≤ xlim
"3 x
Çözüm
–|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| ve
lim | f (x) | = 0 ve lim (– | f (x) |) = 0
x"a
x"a
olduğundan sıkıştırma teoremine göre
sin x
x =0
lim f (x) = 0
dır.
x"a
bulunur.
35. x ∈ [–1, 1] ve
32. lim
x"3
cos 2x
limitinin değeri nedir?
x2
5 – 2x 2 ≤ f (x) ≤ 5 – x 2
olmak üzere,
lim f (x) değerini bulunuz.
x"0
Çözüm
–1 ≤ cos2x ≤ 1 olduğundan
–1 cos 2x
1
1
cos 2x
1
≤
≤ 2 & lim (– 2 ) ≤ lim
≤ lim 2
x"3
x"3
x"3 x
x2
x2
x
x
x2
0 ≤ lim
x"3
cos 2x
≤0
x2
cos 2x
olup lim
= 0 dır.
x"3
x2
128
Çözüm
lim
5 – 2x 2 = 5
lim
5 – x2 = 5
x"0
x"0
olup sıkıştırma teoremine göre
lim f (x) = 5 bulunur.
x"0
1.
Şekilde y = f(x)
3.
y
y=f(x)
fonksiyonunun grafiği
a)
b)
c)
–3
0
a)
x
1
b)
lim f (x)
değerlerini varsa bulunuz.
x"0
x " –3
1
lim f (x)
x " –1
lim f (x)
y=f(x)
2
verilmiştir.
1
lim f (x)
x"1
y
fonksiyonunun grafiği
2
verilmiştir.
Şekilde y = f(x)
–1
x
1
0
lim f (x)
x"1
–2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
değerlerini (varsa) bulunuz.
a) yoktur.
b) 0
a) 1
b) 2
c) 0
2.
Şekilde y = f(x)
fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
a)
b)
c)
lim f (x)
x"1
4.
y
2
verilmiştir.
1
1
3
x
4
lim f (x)
x"3
y
fonksiyonunun grafiği
2
0
Şekilde y = f(x)
a)
b)
y=f(x)
lim f (x)
c)
x"0
değerlerini bulunuz.
x"3
lim f (x)
y=f(x)
1
lim f (x)
–1
–2
0 1
–1
x
x " –1
lim f (x)
x " –2
değerlerini (varsa) bulunuz.
a) 1
b) 1
c) 2
a) 1
b) –1
c) 0
129
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
5.
8.
lim (x 2 + 4x – 3) değerini bulunuz.
x"3
f(x) = log2x fonksiyonunun x = 64 noktasındaki limiti kaçtır?
6
18
6.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
9.
lim (x2 + ax + 2) = 7 olduğuna göre, a kaçtır?
x " –1
–4
7.
x2 – 6
– x fonksiyonunun x = –2 noktasındaki limiti
x +1
kaçtır?
f (x ) =
f (x) = x 2 – 4x fonksiyonunun x = 2 noktasındaki limitini
(varsa) bulunuz.
Yoktur.
10. f(x) = 2x–1 fonksiyonunun x = –3 noktasındaki limitini (varsa)
bulunuz.
1
––
16
4
130
11. Şekilde y = f(x)
13.
y
fonksiyonunun grafiği
lim
3
4
3
verilmiştir.
x"2
y
y=f(x)
f (x) – x
ifadesinin değerini
f (0) + x
2
1
2
0
4
x
–1
0
bulunuz.
x
6
3
1
–1
Şekilde grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
lim f (x) = 1
x " 3+
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A)
B)
C)
D)
2
––
5
E)
lim f (x) = 2
x"1
x = –1 de limit 0 dır.
lim f (x) = 0
x"4
lim f (x) = –1
x " 6+
14.
12. Şekildeki grafik
y
y = f(x) fonksiyonuna aittir.
lim
x " (–3) –
f (x) +
lim f (f (x))
toplamının değeri kaçtır?
y
4
2
–3
y=f(x)
y=f(x)
3
x " (–3) +
E
–2
0
–1
1
4
x
x
0
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
–3
g(x) = (fof)(x) ise,
lim g (x) + lim + g(x) toplamını bulunuz.
x " 1–
x"1
5
0
131
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
17.
15.
y
4
4
3
2
–3
3
2
y=f(x)
2
–2
x
3
0
3
0
x
4
–3
–4
Grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
A) lim –f (x) = 4
B) lim + f (x) = 0
A) lim –f (x) = –3
B) lim + f (x) = 2
D) lim f (x) = 3
E) lim f (x) = 3
D) lim – f (x) = 3
E) lim + f (x) = 1
x " –2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
x " –2
x"4
Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
C) lim f (x) = –4
x"2
x"0
x " –3
C) lim + f (x) = 0
x"0
x"3
x"4
x"3
E
18.
16.
y
y
0
0
1
2
3
x"2
c) lim g (x)
x"3
a) limit yok
b) 1
c) 0
132
7
x
Grafiği verilen f fonksiyonu için
a) lim f (x)
x"3
b) lim g (x)
3
x
y = g(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. Buna göre, limitlerini
bulunuz.
x"1
f
y=g(x)
1
a) lim g (x)
E
b) lim – f (x)
x"7
için ne söylenebilir?
a) Limit yok, f(x) → ∞
b) Limit yok, f(x) → –∞
KAVRAMSAL ADIM
1. Parçalı Fonksiyonların Limiti
f:R→R
Z 2
]] x + 1
f (x) = [ 3
]]
2
\k – x
x < 2 ise
x=2
x>2
fonksiyonunun x → 2 için limiti varsa k değeri
kaçtır?
lim – f (x) = lim (x 2 + 1) = 5
lim f (x) = lim (k – x 2)
x"2
x " 2+
=k–4
lim f (x)
x"2
limitinin olması için gerek ve yeter
koşul
lim f (x) = lim f (x) olmasıdır.
x " 2–
x " 2+
Yani f(x) fonksiyonu
Zf (x)
]] 1
f (x) = [ m
]] f (x)
\2
, x<a
, x=a
, x>a
biçiminde parçalı olarak verilmişse x = a noktasındaki soldan limit:
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x"2
x"2
Parçalı fonksiyonların kritik noktalarında ve fonksiyonun sonsuz (∞ ) olduğu (yani
kesirli fonksiyonun paydasını sıfır yapan) noktalarda soldan ve sağdan limit alınır.
lim f (x) = lim f1 (x) = f1 (a)
x " a–
x"a
sağdan limit:
lim f (x) = lim f2 (x) = f2 (a) ile bulunur.
x " a+
x"a
Eğer f(x) fonksiyonu parçalı olarak verilmemişse x = a kritik noktasındaki sol ve
sağ limitleri daha önce verilene denk olmak üzere
lim f (x) = lim f (a – h)
O halde
5 = k – 4 & k = 9 olarak bulunur.
x " a–
h"0
h>0
lim f (x) = lim f (a + h)
x " a+
h"0
h>0
kuralları ile de bulunabilir.
ETKİNLİK
|x |
, x ≠ 0 ise
f (x) = * x
, x = 0 ise
3
fonksiyonu için,
lim
x " 0+
f (x) = a,
ETKİNLİK
f:R→R
f (x) = *
x–m
1 – xm
x < 3 ise
x≥3
lim f (x) = b
x " 0–
olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?
fonksiyonu veriliyor. lim f (x) limitinin olması için m kaç olmalıdır?
x"3
133
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ
ETKİNLİK
1.
f (x) = )
x2 – 4 , x ≥ 3
2x + 1 , x < 3
3.
fonksiyonu için
f (x) = *
x3 + x + 1 , x ≥ 1
2 2x – 1
, x <1
fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limitini (varsa) bulunuz.
A) lim f (x)
B) lim f (x)
x"4
x"3
C) lim f (x)
Çözüm
x"2
x = 1 noktası f fonksiyonunun kritik noktasıdır.
limitlerini bulunuz.
x < 1 için f(x) = 22X – 1 olduğundan
lim f (x) = lim –(2 2x – 1) = 2 2.1 – 1 = 3 tür.
Çözüm
x " 1–
A) x = 4 kritik nokta değildir ve x ≥ 3 yani [3, ∞) aralığına
düşüyor.
x ≥ 1 için f(x) = x3 + x + 1 olduğundan
lim f (x) = lim +(x 3 + x + 1) = (1 3 + 1 + 1) = 3
x " 1+
lim f (x) = lim (x 2 – 4) = 4 2 – 4 = 12
x"4
x"1
x"1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
x"4
ve
B) x = 3 kritik noktadır. Bu nedenle soldan ve sağdan
limitlere bakılır.
lim f (x) = lim + f (x) = 3 olduğundan
x " 1–
x"1
lim f (x) = 3 tür.
x"1
lim f (x) = lim (2x + 1) = 2.3 + 1 = 7
x " 3–
x"3
lim f (x) = lim (x 2 – 4) = 3 2 – 4 = 5 bulunur.
x " 3+
x"3
lim f (x) ! lim + f (x) (7 ! 5) olduğundan
x " 3–
x"3
4.
lim f (x) yoktur.
x"3
f (x) =
*
x2 + x –
,nx
1
, x<0
x3
, x>0
fonksiyonunun x = 0 noktasındaki limitini (varsa) bulunuz.
C) x = 2 kritik nokta değildir ve x < 3 yani (–∞, 3)
aralığına düşüyor.
O halde
x = 0 noktası f fonksiyonunun kritik noktasıdır.
lim f (x) = lim (2x + 1) = 2.2 + 1 = 5 bulunur.
x"2
Çözüm
1
olduğundan,
x3
x < 0 için f(x) = x2 + x –
x"2
lim f (x) = lim –(x 2 + x –
x " 0–
x"0
1
1
)=0+0– – =+3
0
x3
x > 0 için f(x) = nx olduğundan
lim f (x) = lim +,nx = ,n0 + = –3
x " 0+
x"0
dur.
lim f (x) ! lim +f (x)
x " 0–
2.
f (x) = )
x"0
olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında limiti yoktur.
x2 + 3
, x≤0
Arc tan x , x > 0
fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limitini bulunuz.
y
Çözüm
y=nx
x > 0 için f(x) = Arctanx olup x = 1 kritik nokta olmadığından
lim f (x) = f (1) = Arc tan 1 =
x"1
134
r
bulunur.
4
0+
0
1
x
5.
f (x) = *
x 2 + ax + 3
3x – 1
,
,
x≤2
x>2
x≥
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
r
r
için f(x) = cos ( – x) = sin x olduğundan
2
2
lim+ f (x) = lim+ (sin x) = 1 dir.
fonksiyonunun x = 2 noktasında limitinin olması için a kaç
olmalıdır?
x"
r
2
x"
r
2
Çözüm
x ≤ 2 için f(x) = x2 + ax + 3 olduğundan
y
lim – f (x) = lim –(x 2 + ax + 3) = 2 2 + 2a + 3 = 2a + 7
x"2
1
x"2
x > 2 için f(x) = 3X – 1 olduğundan
lim f (x) = lim +(3 x –1) = 3 2 – 1 = 8 dir.
π
2
0
x"2
π
3π
2
2π
x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x " 2+
f fonksiyonunun x = 2 noktasında limitinin olması için,
–1
lim –f (x) = lim + f (x) olmalıdır.
x"2
x"2
Yani,
y = sinxʼin grafiği
lim – f (x) ≠
2a + 7 = 8 & 2a = 1
&
6.
Z
] tan x
f (x) = [
] cos ( r – x)
2
\
fonksiyonunun x =
,
,
a=
x"
1
bulunur.
2
r
2
r
noktasındaki limitini (varsa) bulunuz.
2
x<
r
için f(x) = tanx olduğundan
2
f:R→R
Z
x
]] 2 + k.2
f (x) = [ 4
]]
x
\2 – 2
,
,
x<3
x=3
,
x>3
fonksiyonunun x = 3 noktasında limiti varsa, k kaçtır?
lim – f (x) = lim – tan x = + 3
x"
lim f (x) yoktur.
x"
r
2
r
x≥
2
r
noktası f fonksiyonunun kritik noktasıdır.
2
r
2
r
2
x<
x=
x"
lim+ f (x)
x"
olduğundan,
7.
Çözüm
r
2
r
2
Çözüm
lim f (x) = lim (2 + k.2 x) = 2 + k.2 3
x " 3–
y
x"3
= 8k + 2
lim f (x) = lim (2 – 2 x) = 2 – 2 3 = –6
0
π
2
π
x
x " 3+
x"3
lim f (x) = lim + f (x) olacağından
x " 3–
x"3
8k + 2 = –6
y = tanxʼin grafiği
8k = –8 & k = –1 bulunur.
135
1.
f (x) = *
x2 – x + 3
2x + a
, x ≥ 0 ise
, x < 0 ise
4.
fonksiyonunun x = 0 noktasında limitinin olması için a kaç
olmalıdır?
f (x) = *
–x 2 + mx + 2n
x 2 + mx + 6
, x≤2
, x<2
ise
ise
fonksiyonu veriliyor.
lim f (x) = 2 olduğuna göre, n – m kaçtır?
x"2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
2
2.
1
f (x) = * x
,nx
,
x<0
,
x > 0 ise
5.
ise
f (x) = *
2,nx
–p,nx
,
,
x<e
x≥e
ise
ise
fonksiyonunun x = e noktasındaki limitinin olması için, p kaç
olmalıdır?
fonksiyonunun x = 0 noktasındaki limitini bulunuz.
yoktur.
3.
f (x) = *
ax – 1
,
x<2
x 2 + 3x – b
,
x>2
6.
fonksiyonu veriliyor.
Z
] 1 + 2 cos x
f (x ) = [
] 2 sin x – 1
\
fonksiyonunun x =
lim f (x) = 3 ise, a + b nin değeri kaçtır?
x"2
9
136
11
,
,
–2
r
2
r
x≥
2
x<
r
noktasındaki limitini bulunuz.
2
1
KAVRAMSAL ADIM
f(x) = |g(x)| fonksiyonu verilsin. f(x) in kritik noktalarındaki (g(x) = 0 denkleminin
köklerinde) limiti sıfırdır.
f:R→R
Z 2
]] | x – 4 | + k + 1 ,
f (x) = [
3
,
]]
|x – 1 | + 3
,
\
x<2
x=2
y
y
4
x>2
2
fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti olduğuna
göre, k nın değeri kaçtır?
eşit olması gerekir.
x"2
x"2
=k+1
lim f (x) =
x " 2+
x = 2 kritik noktadır.
x = –2 ve x = 2
x"2
x"2
dır.
lim | x – 1 | + 3
x " 2+
2
0
f(x) = |4 – x2|
lim f (x) = lim | x – 2 | = 0
lim – f (x) = lim | x 2 – 4 | + k + 1
–2
f(x) = |x – 2|
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f nin x = 2 deki soldan limitinin sağdan limitine
x
2
0
kritik noktalardır.
lim f (x) = lim | 4 – x 2 | = 0
x " –2
x " –2
lim f (x) = lim | 4 – x 2 | = 0 dır.
x"2
x"2
= lim (x – 1 + 3)
x"2
y
y
= lim (x + 2)
x"2
=4
y=|x2+2x|
y=|nx|
olup k + 1 = 4 & k = 3 olmalıdır.
0
x
1
–2
0
f(x) = |nx|
f(x) = |x2 + 2X|
x = 1 kritik noktadır.
x = –2 ve x = 0
lim f (x) = lim | ,nx | = 0
x"1
x"1
x
kritik noktalardır.
lim f (x) = lim | x 2 + 2x | = 0
x " –2
x " –2
lim f (x) = lim | x 2 + 2x | = 0 dır.
x"0
ETKİNLİK
lim b
x " 1–
|1– x |
l değeri kaçtır?
1– x
x"0
lim | x 2 – 1 | = | 1 2 – 1 | = 0
x"1
lim | 2x + 4 | = | 2. (–2) + 4 | = 0
x " –2
lim | x 3 + 1 | = | (–1) 3 + 1 | = 0
x " –1
lim | ,n (2x – 1) | = | ,n (2.1 – 1) | = | ,n1 | = 0
x"1
lim | x 2 – 4x + 3 | + | x – 1 | = | 1 2 – 4.1 + 3 | + | 1 – 1 | = 0
x"1
137
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
2. Mutlak Değer Fonksiyonunun Limiti
ETKİNLİK
KAVRAMSAL ADIM
lim |
1.
g (x) = *
|x |
2
x"
x!0
,
,
r
2
r
cos
cos x
2 | = 0 dır.
=
|
|
r2
x2
4
x=0
lim | f (x) | = | lim f (x) |
x"a
fonksiyonu için
x"a
lim g (x) değerini belirleyiniz.
x"0
lim | x 2 – 4x + 6 | = | lim (x 2 – 4x + 6) |
x"2
x"2
= | 2 2 – 4.2 + 6 |
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
ETKİNLİK
=2
2.
Z
]] | x – 1 |
f (x) = [ 0
]]
|1– x |
\
fonksiyonu için
,
,
,
bulunur.
lim | x 3 –3x + 6 | = | lim (x 3 – 3x + 6) |
x < –1
x " –3
x = –1
x " –3
x > –1
= | (–3) 3 – 3 (–3) + 6 |
= | –27 + 9 + 6 | = | –12 | = 12 dir.
lim f (x) değerini belirleyiniz.
x " –1
lim
x " –2
| x2 – 6 |
| x 2 – 6 | xlim
= " –2
x+3
lim (x + 3)
x " –2
| lim (x 2 – 6) |
=
x " –2
lim (x + 3)
x " –2
3.
Z
]] a | x + 1 | + 2
2
f (x) = [
]]
bx – 2
\
,
,
,
x < –2
=
x = –2
| (–2) 2 – 6 | | –2 |
=
= 2 dir.
–2 + 3
1
x > –2
fonksiyonu veriliyor. a + b = 2 ise
lim f (x) limitinin olması için a ve b ne
x " –2
olmalıdır?
lim
x"4
| x 2 – 16 |
+x|x – 2|
|x – 4 |
= lim
x"4
|x – 4 |.| x + 4 |
+x|x – 2|
|x – 4 |
= lim |x + 4| + x|x – 2| = |4 + 4| + 4.|4 – 2|
x"4
= 8 + 8 = 16 olur.
138
1.
f: IR → IR,
f (x) =
1+ x | x |
fonksiyonu için
1+ | x |
4.
1
4x – 1
0 " IR, f (x) =
2
2x + 1
fonksiyonu için,
lim f (x) kaçtır?
lim f (x) kaçtır?
x " 0–
x " –1
Çözüm
Çözüm
x = 0 fonksiyonunun kritik noktası olmadığından
x = –1 noktası fonksiyonun kritik noktası olmadığından limit
x"0
1+ x | x | 1+ 0 | 0 |
=1
=
1+ | x |
1+ | 0 |
lim f (x) = f (–1) =
dir.
x " –1
5.
x
f: IR – {0} → IR, f(x) =
fonksiyonu için lim f (x) nedir?
|x |
x"0
tir.
|x – 4 |
4–x
bulunuz.
lim
x"4
fonksiyonunun x = 3 noktasındaki limitini
Çözüm
Çözüm
x ∈ IR – {0} için,
f (x) =
4. (–1) – 1
=|5|=5
2 (–1) + 1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x = 0 için f(0) = lim
2.
f: IR – & –
–1
x
= )
|x |
1
biçiminde yazılır.
x = 3 noktası fonksiyonun kritik noktası değildir.
, x < 0 ise
, x > 0 ise
lim f (x) = lim
x"3
x"3
=
|x – 4 |
4–x
| 3 – 4 | | –1 |
=
= 1 bulunur.
4–3
1
lim f (x) = lim –(–1) = –1
x " 0–
x"0
lim f (x) = lim +(1) = 1 dir.
x " 0+
x"0
lim f (x) ! lim +f (x)
x " 0–
x"0
6.
olduğundan lim f (x) yoktur.
x"0
|x – 3 |
fonksiyonunun x = 3 noktasındaki limitini
x–3
(varsa) bulunuz.
f(x) =
Çözüm
x = 3 noktası f fonksiyonunun bir kritik noktasıdır.
Soldan ve sağdan limitine bakalım.
lim f (x) = lim –
x " 3–
x"3
|x – 3 |
x–3
ve x → 3– iken x – 3 < 0 olduğundan
3.
f: IR → IR, f(x) = x – 2|x – 2| fonksiyonu için
lim f (x)
x " –2
Çözüm
x = –2 noktası fonksiyonun kritik noktası değildir. (Kritik nokta
x = 2 dir.)
Bir nedenle fonksiyonda x = –2 yazılarak limit bulunur.
lim f (x) = lim (x – 2 | x – 2 |)
x " –2
lim
x " 3–
kaçtır?
x " –2
|x – 3 |
– (x – 3)
= lim –
= –1
x–3
x–3
x"3
lim f (x) = lim +
x " 3+
x"3
dir.
|x – 3 |
x–3
ve x → 3+ iken x – 3 > 0 olduğundan
lim
x " 3+
|x – 3 |
x–3
= lim +
= 1 dir.
x–3
x"3 x – 3
lim f (x) ≠ lim + f (x)
= –2 – 2|–2 – 2|
x " 3–
= –2 – 2.4 = –10 dur.
olduğundan f fonksiyonunun x = 3 noktasında limiti yoktur.
x"3
139
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
7.
x"2
| x3 – 8 |
| x2 – 4 |
Çözüm
= lim +
x3 – 8
x2 – 4
x = 4 noktası f fonksiyonunun paydasını sıfır yaptığından bir
kritik noktadır.
= lim +
(x – 2) (x 2 + 2x + 4)
(x – 2) (x + 2)
Tablo yapalım.
= lim +
x 2 + 2x + 4 2 2 + 2.2 + 4
=
= 3 tür.
x+2
2+2
| x 2 – 6x + 8 |
fonksiyonunun x = 4
x 2 – 16
soldan limitini bulunuz.
f(x) =
noktasındaki
lim f (x) = lim +
x " 2+
x"2
x
|x2 –6x+8|
x"2
–∞
x " 2–
x"2
+
–
x2 –6x+8
lim f (x) = lim + f (x) = 3
+∞
4
2
+
x2 –6x+8
x"2
olduğundan lim f (x) = 3 bulunur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
–x2 +6x–8
x"2
x2 –6x+8
x → 4– iken x2 – 6x + 8 < 0 olduğundan
| x 2 – 6x + 8 |
– (x 2 –6x + 8)
= lim –
2
x"4
x – 16
x 2 – 16
lim – f (x) = lim –
x"4
x"4
9.
|g(x) – 2| ≤ 3(x – 1)2 koşulunu sağlayan g fonksiyonu
tanımlanıyor.
= lim –
– (x – 2) (x – 4)
(x – 4) (x + 4)
= lim –
– (x – 2) – (4 – 2)
=
x+4
4+4
Çözüm
bulunur.
–3(x – 1)2 ≤ g(x) – 2 ≤ 3(x – 1)2
x"4
x"4
=–
1
4
lim g (x) değerini bulunuz.
x"1
| g(x) – 2 | ≤ 3(x – 1)2 ise
olup –3(x – 1)2 + 2 ≤ g(x) ≤ 3(x – 1)2 + 2
f(x) = –3(x –
1)2
+ 2 ve h(x) = 3(x –
1)2
dir.
+2
denilirse
8.
| x3 – 8 |
f(x) =
fonksiyonunun x = 2 noktasındaki limitini
| x2 – 4 |
(varsa) bulunuz.
lim f (x) = 2 ve lim h (x) = 2
x"1
x"1
olup sıkıştırma teoremine göre
lim g (x) = 2 bulunur.
x"1
Çözüm
x = 2 noktası f fonksiyonunun kritik noktasıdır. Soldan ve
sağdan limitine bakalım.
x → 2–
x3 – 8 < 0 ve x2 – 4 < 0
10. f(x) =
olduğundan
lim – f (x) = lim –
x"2
x"2
– (x 3 – 8)
– (x 2 – 4)
= lim –
(x – 2) (x 2 + 2x + 4)
( x – 2) ( x + 2 )
x"2
x"2
Çözüm
f (x) =
140
x 4 – 81 | (x 2 – 9) (x 2 + 9) |
=
x–3
|x – 3 |
=
x 2 + 2x + 4 2 2 + 2.2 + 4
= lim –
=
=3
x+2
2+2
x"2
x → 2+ için x3 – 8 > 0 ve x2 – 4 > 0
fonksiyonunun x = 3 noktasındaki soldan
limitini bulunuz.
| x3 – 8 |
| x2 – 4 |
= lim –
x 4 – 81
x–3
olduğundan
| x – 3 | . | x + 3 | . | x2 + 9 |
= | x + 3 | . | x2 + 9 |
|x – 3 |
lim – | x + 3 | . | x 2 + 9 | = (3 + 3) . (3 2 + 9)
x"3
= 6.18 = 108
bulunur.
1.
lim | x 2 – 9x + 2 |
4.
x"2
limitinin değeri kaçtır?
lim
x " 5–
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
|x – 5 |
5–x
limitinin değeri kaçtır?
12
lim
x"3
– 3x |
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
| x2
1
5.
lim
x " –2 –
| x2 – 4 |
x+2
limitinin (varsa) değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
–4
0
3.
lim | x 3 + 3x + 1 |
6.
x " –2
f (x) =
| x 2 + 5x + 6 |
x2 – 4
fonksiyonunun x = –2 noktasındaki
soldan limitini bulunuz.
limitinin değeri kaçtır?
1
–
4
13
141
7.
lim | x 2 – 4x + 4 | + 2 | x + 2 | – 4
10.
x"2
limitinin değeri kaçtır?
lim
x " 2–
( x 2 – 1) ( x – 2)
| x2 – 4 |
limitinin değeri kaçtır?
4
8.
| x2 – x + 3 |
lim
x+2
x " –1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
sin (
11. lim
x"
r
2
r
– x)
2
x
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
5
9.
lim
x " –4
0
12. lim | x 2 + 4x + 3 | 2
| x 2 – 16 |
–2|x –4|
x+2
x"2
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
–16
142
3
––
4
225
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
LİMİT ÖZELLİKLERİ
ETKİNLİK
SAYI TUT OYUNU
Aklınızdan bir sayı tutunuz. Arkadaşınızın
, 1 , , 2 ! IR ve
lim f (x) = , 1 ,
x"a
lim g (x) = , 2
olsun.
x"a
bu sayıyı tahmin etmesini isteyiniz. Arkadaşınızın tahmin ettiği sayı, tuttuğunuz sayıdan
1.
küçükse "yukarı" diye yönlendiriniz. Tahmini sayıdan büyükse "aşağı" diye yönlendiriniz.
Bu işleme devam edildiğinde aralık gittikçe
2.
3.
lim 6 f (x) ! g (x) @ = lim f (x) ! lim g (x) = , 1 ! , 2
x"a
x"a
x"a
lim ^ f (x) .g (x)h = _ lim f (x) i . _ lim g (x) i = , 1 ., 2
x"a
x"a
x"a
k bir gerçel sayı olmak üzere
daralacak, sağdan ve soldan tutulan sayıya yak-
lim 6 k.f (x) @ = k. lim f (x) = k., 1
x"a
Limit kavramında da fonksiyona soldan ve
sağdan belirli bir değerle yaklaşmak yoluyla fonksiyonun limiti bulunur.
x"a
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
laşılacak ve sonuçta tutulan sayı bulunacaktır.
lim ^ f (x)h m = _ lim f (x) i m = , m
1
x"a
4.
m ∈ IN+ için
5.
f sınırlı bir fonksiyon ve lim g (x) = 0 ise
x"a
x"a
lim ^ f (x) .g (x)h = 0 dır.
x"a
6.
ETKİNLİK
a) f (x) = *
x–5
,
x ≠1
7
,
x =1
7.
tırınız.
x"a
lim
8.
dir.
x"a
k bir gerçel sayı olmak üzere
x"a
fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limitini araş-
lim f (x) ,
f (x)
= x"a
= 1
g (x) lim g (x) , 2
, 2 ≠ 0 olmak üzere lim
k
k
k
=
=
f (x) lim f (x) , 1
dir.
x"a
n tek doğal sayı ise
lim
x"a
n
f (x) = n lim f (x) = n , 1
x"a
n çift doğal sayı ve f(x) ≥ 0 ise
lim
x"a
9.
b) lim (x 2 + 4) 3
10.
n
f (x) = n lim f (x) = n , 1
lim f (x) = lim f (x) = , 1
x"a
t bir gerçel sayı olmak üzere,
lim t f (x) = t
lim f (x)
x"a
x"a
11.
dir.
x"a
x"2
limitini hesaplayınız.
dir.
x"a
= t
,1
dir.
f, g, h fonksiyonları bir A kümesinde tanımlı ve
∀x ∈ A için f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ve
lim f (x) = lim g (x) = ,
x"a
x"a
ise
lim h (x) = , dir. (Buna sıkıştırma özelliği denir.)
x"a
143
KAVRAMSAL ADIM
a ∈ IR olmak üzere;
1.
OAB üçgeninin alanı
1
1
|AB| . |OB| = .sinx.cosx
2
2
AOD daire diliminin alanı
lim sin x = sin a
1
x
2
x"a
2.
COD üçgeninin alanı
lim cos x = cos a
x"a
3.
1
1
|OD|.|DC| = .1.tanx
2
2
lim tan x = tan a (cos a ≠ 0)
x"a
4.
=
lim cot x = cot a (sin a ≠ 0) dır.
x"a
1
.tanx
2
olur. Alanlar arasındaki sıralamayı göz önünde bulundurursak,
1
1
1
. sin x. cos x < x < tan x yazarız.
2
2
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
Trigonometrik limitlerin hesaplanmasında aşağıdaki limitlerin bilinmesi kolaylık sağlayacaktır.
1.
lim
x"a
U (x)
sin U (x)
= lim
=1
x " a sin U (x)
U (x)
cos x <
U (x)
tan U (x)
lim
= lim
=1
x " a U (x)
x " a tan U (x)
2.
lim
lim
x"0
x " 0+
sin x
x
=1
x = xlim
" 0 sin x
x"0
1 < lim +
x"0
tan x
x
= 1 dir.
x = xlim
" 0 tan x
Eğer –
ÖRNEK
lim
x"0
x
1
&
< lim
sin x x " 0 + cos x
x
x
= 1 olur.
< 1 & lim +
sin x
x " 0 sin x
r
< x < 0 alırsak benzer işlemlerle,
2
lim
x
= 1 olur. O halde,
sin x
lim
x
= 1 olur.
sin x
x " 0–
sin x
x = 1 olduğunu gösteriniz.
ÇÖZÜM
x
1
<
&
sin x cos x
lim cos x < lim +
Özel olarak a = 0, U(x) = x alınırsa
x"0
sin x
& sin x. cos x < x < cos x &
x"0
cos x <
x
1
<
sin x cos x
eşitsizliği
y
A
1
sin x
cos x > x > cos x
C
eşitsizliğini gerektirdiğinden,
x
B
0
D
x
lim
x"0
Şekildeki birim çemberde 0 < x <
r
dir.
2
|AB| = sinx, |DC| = tanx, |AD| = x
|OB| = cosx, |OD| = 1 dir.
144
sin x
x = 1 bulunur.
SONUÇ
lim
f (x) " 0
f (x)
sin f (x)
= lim
=1
f (x)
f (x) " 0 sin f (x)
1.
f(x) = (1 – x2)3.(1 – x3)2 fonksiyonu için
Böylece
lim f (x) limitini
x " –2
hesaplayınız.
1
lim x sin 2 x = 0. sin\2 3
x"0
Çözüm
r
lim f (x) = lim 6 (1 – x 2) 3 . (1 – x 3) 2 @
x " –2
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
= 0.r = 0 dır.
x " –2
(Burada r ∈ [0, 1] dir.)
= lim (1 – x 2) 3 . lim (1 – x 3) 2
x " –2
x " –2
= (1 – (–2) 2) 3 . (1 – (–2) 3) 2
= (–27).81 =
–33.34
=
–37
bulunur.
4.
r
a 1– sin 2 k
x
lim ^ 3 h
x"3
limitini hesaplayınız.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Çözüm
r
a 1– sin 2 k
x =^
r
a 1– sin 2 k
3
lim ^ 3 h
x"3
2.
lim f
3
x"2
5
x2 + 4
kx 2
ise, k sayısı
+
p limitinin değeri
3
1 + kx
x3 + 1
kaçtır?
3h
= 3
2
f 1– c 3 m p
2
1
b l 4
4 =
= ^ 3h
Çözüm
3 = 8 3 tür.
lim 3 x 2 + 4
kx 2
x2 + 4
kx 2
x"2
lim f
+
+ lim
p=
1 + kx
x"2
lim x 3 + 1 x " 2 1 – kx
x3 + 1
3
x"2
&
&
3
5.
22 + 4
k.2 2
5
+
=
1 + k.2 3
23 + 1
2
4k
5
+
=
3 1 + 2k 3
3
limitini hesaplayınız.
lim –3 x + 3
x " –3
Çözüm
3
3
lim – 3 x + 3 = lim 3 –3–h + 3
h"0
h>0
x " –3
4k
5–2
4k
=
&
=1
3
1 + 2k
1 + 2k
3
lim b – h l
& 4k = 1 + 2k
h"0
& 2k = 1
&k=
=3
1
dir.
2
=3
6.
3.
1
lim x. sin 2 x limitini hesaplayınız.
x"0
Çözüm
lim +b
x"1
h>0
–
3
0
=3
–3
=
1
=0
33
dır.
1
23 x–1
limitini hesaplayınız.
l
24
Çözüm
1
1
23
23
lim +b l x–1 = lim b l 1 + h–1
h " 0 24
x " 1 24
h>0
x " 0 için
sin 2
1
–1 ≤ sin x ≤ 1
1
2
x " sin 3
olur.
1
olduğundan 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 dir.
1
O halde sin 2 x sınırlıdır.
1
lim h
=b
23
l
24
= b
h " 0+
h>0
23 + 3
l = 0 dır.
24
145
7.
lim
x"0
x + cos x
limitini hesaplayınız.
1 + sin x
11. lim
x"0
Çözüm
lim
x"0
x + sin x
tan x limitini hesaplayınız.
Çözüm
x + cos x 0 + cos 0 0 + 1
=
=
=1
1+ 0
1 + sin x
1 + sin 0
lim
x"0
x + sin x
x
sin x
+ lim tan x
tan x = xlim
x"0
" 0 tan x
dir.
= 1 + lim cos x
x"0
=1+1=2
8.
dir.
tan 2 x + x. cos x
lim
limitini hesaplayınız.
1 + cos x
x"0
Çözüm
lim
x"0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
tan 2 x + x. cos x tan 2 0 + 0. cos 0
=
1 + cos x
1 + cos 0
=
0 + 0.1 0
= =0
1+ 1
2
dır.
12. lim
x"0
tan 2 x
limitini hesaplayınız
4x 2
Çözüm
9.
lim
x"0
sin px
limitini hesaplayınız.
x
Çözüm
x → 0 için px → 0 ve
lim
x"0
lim
x"0
sin px
px = 1
lim
x"0
tan 2 x 1
tan 2 x
= lim
2
4 x " 0 x2
4x
sin px
= p. lim px
x"0
=p
=
1
tan x 2
lim
4 bx " 0 x l
=
1 2 1
.1 =
4
4
tür.
dir.
x
10. lim
limitini hesaplayınız.
x " 0 tan px
sin px
13. lim tan qx limitini hesaplayınız.
x"0
Çözüm
Çözüm
px
x → 0 için px → 0 ve lim
= 1 olduğundan
x " 0 tan px
x
1 px
lim
= lim p . tan px
x " 0 tan px
x"0
px
1
= p . lim
x " 0 tan px
1
=p
sin px
sin px
x
lim tan qx = lim c x . tan qx m
x"0
x"0
qx
sin px
1
= lim ;c px .p m . c tan qx . qx mE
x"0
= c lim
x"0
qx
sin px
1
. m
px .p m . c xlim
" 0 tan qx q
= p c lim
1
= p .1
146
1
tan x 2
l
lim b
4 x"0 x
olduğundan
sin px
sin px
.p
x = xlim
" 0 px
= p.1
=
x"0
bulunur.
qx
sin px
1
l.
px m . b xlim
" 0 tan qx q
1 p
= p. q = q
dur.
sin x
limitini hesaplayınız.
x
14. lim
3
x"0
sin x
sin x
x
= lim d
.
n
x"0
x 3 x
x
lim
x"0
1 – cos x
limitini hesaplayınız.
x2
Çözüm
Çözüm
3
x"0
17. lim
= c lim
x"0
1 1
–
sin x
x2 3m
x m . c xlim
"0
x
x
olduğundan
1. Yol: 1 – cosx = 1 – a 1– 2 sin 2 k = 2 sin 2
2
2
lim
x"0
x
2 sin 2
1 – cos x
2
=
lim
x"0
x2
x2
1
sin x . c
lim
lim x 6 m
x"0 x
x"0
=
x"0
dır.
sin x
15. lim
limitini hesaplayınız.
x " 0 sin x
Çözüm
lim
x"0
= lim
x"0
x"0
=
lim
x"0
sin x
x
n
x md xlim
" 0 sin x
=
16. limr
x"
2
x2
4
2x
2 sin 2
.
4
x2
4
x 2
sin
1
2
= . f lim x p
2 x"0
2
sin x
x
n
x . d xlim
" 0 sin x
= 1 .1 = 1
x
2
J 2xN
1 K sin 2 O
= lim . K
2 O
x"0 2
K x O
L 4 P
sin x
sin x .
x
= lim d
n
sin x x " 0
x
sin x
= c lim
4.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
= 1 .0 = 0
sin 2
= lim 2 .
1. 2 1
1 =
2
2
dir.
dir.
cot x
r limitini hesaplayınız.
x–
2
Çözüm
cot x = tan a
2. Yol:
lim
x"0
(1 – cos x) (1 + cos x)
1 – cos x
= lim
x"0
x2
x 2 (1 + cos x)
r
– x k olduğundan
2
1 – cos 2 x
= lim
limr
x"
2
r
tan a – x k
cot x
2
=
lim
r x" r
r
x–
x–
2
2
2
= limr
x"
2
r
tan a – x k
2
r
–a – xk
2
r
tan a – x k
2
= – f limr
p
r
x"
–x
2
2
= –1
bulunur.
x " 0 x 2 (1 + cos x)
sin 2 x
= lim
x " 0 x 2 (1 + cos x)
= d lim
sin 2 x
1
n . c lim 1 + cos x m
x"0
x2
= c lim
sin x 2
1
m
x m . c xlim
" 0 1 + cos x
x"0
x"0
= 12 .
1
1
=
1+ 1 2
dir.
147
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
18. lim
x"0
sin (sin x)
limitini hesaplayınız.
x
21. lim
x"0
Çözüm
lim
x"0
1– cos x 2
x 2 . sin x 2
limitini hesaplayınız.
Çözüm
sin (sin x)
sin (sin x)
. sin x m
= lim c
x
x " 0 x. sin x
= lim c
x"0
sin (sin x) . sin x
x m
sin x
= lim c
x"0
1 – cos x 2 = 1 – c 1 – 2 sin 2
= 2 sin 2
sin (sin x)
x
m . c lim sin
m = 1.1 = 1 dir.
sin x
x"0 x
x2
2
x2 m
2
olduğundan
x2
2 sin 2
1 – cos x 2
2
lim
= lim 2
x " 0 x 2 . sin x 2
x " 0 x . sin x 2
x2
x2
. sin
2
2
= lim
x"0 2
x2 .
x2
x .2 sin
cos
2
2
2. sin
19. lim
x"
r
2
1 + cos 2x
2
r
a – xk
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
limitini hesaplayınız.
= lim
x"0
Çözüm
tan x 2
=1
x2
bulunur.
1 + cos2x = 1 + (1 – 2sin2x) olduğundan
lim
r
x"
2
1 + cos 2x
2 – 2 sin 2 x
2 = limr r
2
r
x"
a – xk
2 a 2 – xk
2
= lim
r
x"
2
22. lim
2^ 1 – sin 2 xh
2
r
a – xk
2
x"a
sin (x – a)
sin x – sin a
Çözüm
sinx – sina = 2sin
= 2. limr
x"
ve cosx = sin a
2
cos x
fr – xp
2
r
– x k olduğundan
2
limitini hesaplayınız.
2
x –a.
x+a
olduğundan
cos
2
2
x –a.
x–a
2 sin
cos
sin (x – a)
2
2
lim
x –a.
x + a = xlim
x –a.
x+a
x"a
"a
cos
cos
2 sin
2 sin
2
2
2
2
2
r
sin a – x k
cos x 2
= 2 . limr r
= 2. lim > r 2
H
f
p
r
x"
x"
a – xk
2 2 –x
2
2
x–a
2
x+a
cos
2
cos
= lim
x"a
1
= cos a = sec a bulunur.
= 2.1
= 2 dir.
arcsin x
20. lim
x
x"0
limitini hesaplayınız.
23. lim
x"3
sin ^ x 2 – 9h
x–3
limitini hesaplayınız.
Çözüm
Çözüm
arcsinx = y & x = siny
lim
x"3
sin ^ x 2 – 9h
sin ^ x 2 – 9h .
(x + 3) G
= lim =
x–3
(
x
– 3) (x + 3)
x"3
x → 0 & y → 0 dır.
= lim =
O halde
lim
x"0
y
arcsin x
= lim
=1
x
y " 0 sin y
x"3
dir.
= lim
x"3
sin ^ x 2 – 9h .
(x + 3) G
x2 – 9
sin ^ x 2 – 9h .
lim (x + 3)
x"3
x2 – 9
= 1(3 + 3) = 6 dır.
148
1.
x+2
4.
lim 3 x–1
x"2
lim
3
x"3
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
x 4 + 3x + 35
limitinin değeri kaçtır?
5
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
limitinin değeri kaçtır?
81
x+2
2.
1 x+1
lim b l
x " –2 2
5.
lim
x " –2
x 4 – 2x + 5
3
10 + x
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
5
–
2
1
3.
lim
x"2
6.
x 3 + 2x + 4
sin 2 x
lim cos x
r
x"
4
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
4
2
2
149
7.
lim b
x"3
x +1 x
l
x –1
10. lim
x"0
limitinin değeri kaçtır?
sin x 2
x
limitinin değeri kaçtır?
8
8.
lim
x " –2
^ x 2 + 2h 3
–x + 1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
11. lim
x"2
0
sin (x – 2)
x
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
0
6 2
9.
1
.k = lim sin rx
6
x"3
lim (x + 1) 2
12. lim
x"0
x"2
sin x
2 sin x
limitinin değeri kaçtır?
eşitliğinde k nın değeri kaçtır?
1
2
9
150
13. lim
x"4
x x x
16. lim
x"0
limitinin değeri kaçtır?
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
tan 3x
sin 6x
limitinin değeri kaçtır?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
^ 2. 4 8 h
17. lim
14. lim
x"0
x. sin x
sin x
x"1
1
2
sin 2 (x – 1)
(x 2 – 1) 2
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
1
4
0
15. lim
x"2
sin (x – 2)
x2 – 4
18. lim
x"0
x + sin 2x
x + tan 3x
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
1
4
3
4
151
KAVRAMSAL ADIM
TANIM
x → ! 3 iken Sonlu Limitler
R gerçel sayılar kümesine – 3 ve + 3 un katılmasıyla elde edilen kümeye
y
y=
genişletilmiş reel sayılar kümesi denir. ve R ile gösterilir.
1
x
x
0
Yani R = R , {–3, + 3} dur.
Şimdiye kadar a ∈ R olmak üzere
x → a için limitler alındı. Bundan sonra x → – 3 , x → + 3 için de limitleri
hesaplayacağız.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
GENİŞLETİLMİŞ GERÇEL SAYILAR KÜMESİNDE LİMİT
ETKİNLİK
Sonsuzluk için kullanılan ( 3 ) sembolü bir reel
sayı belirtmez. 3 sembolünü bir fonksiyonun
tanım kümesindeki veya değer kümesindeki
değerler her sonlu sınırını aştığındaki davranışını
tanımlamak için kullanılır.
Örneğin
1
y = x fonksiyonu her
x ! 0 için
1
tanımlıdır. x pozitif olarak giderek büyürken,
x
giderek küçülür. x negatif iken büyüklüğü giderek
artarken,
1
x yine küçülür.
Bu gözlemleri
UYARI : 1
anxn + an–1xn–1 + ... +a1x + a0
bir polinom olmak üzere
lim (a n x n + a n–1 x n–1 + ... + a 1 x + a 0) = lim ^ a n x nh dir.
x "!3
x"!
Yani polinomun x → ! 3 için limiti, o polinomun en yüksek dereceli teriminin
x → ! 3 için limitidir.
1
x $ ! 3 iken f (x) = x in limiti 0 dır.
Veya
1
f (x) = x in sonsuzda ve (+) negatif sonsuzda
limiti sıfırdır şeklinde özetleyebiliriz.
ETKİNLİK
3
1
lim a 2 + x k . a cos x k limitini hesaplayınız.
x "!3
UYARI : 2
Z0 , n < m ise
]
] an
a n + a n–1
+ ... + a 1 x + a 0
lim
, n = m ise
m–1 + ... + b x + b = [ b
x " 3 b xm + b
x
] m
m
m–1
1
0
] ?3 , n > m ise
\
an
olur. ? yerine
nin işareti yazılır.
bm
xn
ETKİNLİK
lim c
x"3
152
x n–1
5
1
1
– cos x m . a 2 + sin x k limitini hesaplayınız.
x2
1.
lim (2x 2 – 5x + 3) limitini hesaplayınız.
x "+3
5.
Çözüm
2x2 – 5x + 3
olduğundan
lim ^ 2x 2 – 5x + 3h = lim 2x 2 = + 3
x "+3
Kesirli ifadenin pay ve paydasında bulunan polinomların
dereceleri eşit olduğundan limit
dur.
lim d
3x 4 – x 3 – 4
3
n=–2
–2x 4 + x 2 – 1
6.
lim (5 – 4x – x 2) limitini hesaplayınız.
x "+3
Çözüm
lim
x " –3
x "+3
7.
Çözüm
dır.
1 – x2 – x4
n limitini hesaplayınız.
x 2 – 2x – 1
Çözüm
Payın derecesi (4)
olduğundan limit
(–3x3 + 4x – 2) polinomunda en yüksek dereceli terim (–3x3)
olduğundan
lim (–3x 3
x " –3
x2 + 4
=0
x3 + 5
lim d
x "+3
lim (–3x 3 + 4x – 2) limitini hesaplayınız.
x " –3
x2 + 4
n limitini hesaplayınız.
x3 + 5
Payın derecesi (2) paydanın derecesinden (3) küçük
olduğundan
lim (5 – 4x – x 2) = lim (–x 2) = –3 dur.
3.
lim d
x " –3
Çözüm
(5 – 4x – x2) polinomunda en yüksek dereceli terim (–x2)
olduğundan
x "+3
dir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x "+3
2.
3x 4 – x 3 – 4
n limitini hesaplayınız.
–2x 4 + x 2 – 1
Çözüm
polinomunun en yüksek dereceli terimi 2x2
x "+3
lim d
x "+3
+ 4x – 2) =
lim
lim ^ –3x 3h
x " –3
x "+3
paydanın derecesinden (2)
büyük
1 – x2 – x4
–x 4
= lim
x 2 – 2x – 1 x " + 3 x 2
= lim – x 2
= –3^ –3h 3 = + 3 olur.
x "+3
= –^ 3h 2 = –3 dur.
8.
4.
lim ^ –x 4 + 3x 2 + 1h limitini hesaplayınız.
x "+3
Çözüm
lim ^ –x 4 + 3x 2 + 1h = lim ^ –x 4h
x "+3
x "+3
lim
x "+3
(1 + a) x 2 – 3x – a
(2a – 3) x 2 + 2x – 1
limitinin değeri 3 ise a kaçtır?
Çözüm
Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğundan limit en büyük
dereceli terimlerin katsayıları oranıdır. Yani
lim
(1 + a) x 2 – 3x – a
1+ a
=
=3
– 3) x 2 + 2x – 1 2a – 3
x " + 3 (2a
= –^ + 3h 4 = –3 dur.
153
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
& 1 + a = 6a – 9 & 5a = 10 & a = 2
9.
bulunur.
x 2 – 5x
limitini hesaplayınız.
x4 – x3 – 1
lim
x "+3
1
= –3 = 0 dır.
11.
Çözüm
Çözüm
x " –3 , x " + 3 için limitlerde genellikle pay ve payda en
x 2 – 5x
= lim
x4 – x3 – 1 x " + 3
lim
= lim
x "+3
x4
sin x
1
x ≤ x
0≤
yüksek dereceli terimlerin parantezine alınır.
x "+3
sin x
lim a 3 + x k limitini hesaplayınız.
x"3
x 2 – 5x
1 1
c1 – x – 4 m
x
ve
lim
x " !3
1
x = 0 olduğundan sıkıştırma teoremi gereğince
sin x
lim a 3 + x k = 3 + 0 = 3 bulunur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
x " !3
5
x2 b1 – x l
1 1
x2 1 – x – 4
x
5
b1 – x l
1 1
1– x – 4
x
^ 6x ! IR için | x 2 | = x 2h = lim
x "+3
12.
lim
x " –3
1
cos x
limitini hesaplayınız.
1
1+ x
Çözüm
=
1– 0
=1
1– 0 – 0
dir.
lim
x " –3
3
10.
lim
x " –3 4
x2 – 1
limitini hesaplayınız.
x4 + 1
Çözüm
3
lim
x " –3 4
1
1
lim cos x
cos x
= x " –3
1
1
1+ x
lim a 1 + x k
x " –3
x2 – 1
= lim
x 4 + 1 x " –3
3
4
1
m
x2
1
x4 c1+ 4 m
x
=
1
cos a lim x k
x " –3
1
1 + lim a x k
x " –3
=
cos 0 1
= = 1 dir.
1+ 0 1
x2 c1 –
x + cos x k
13. lim a
limitini hesaplayınız.
x
x"3
=
2
1
x 3 . 3 1 – x2
| x | . 4 1+
Çözüm
1
x4
x + cos x k
cos x
= lim a 1+ x k olur.
lim a
x
x"3
2
(x < 0 için |x| = –x) = lim
x " –3
x3 .3
3
= lim
x " –3
154
lim cos x = M diyelim.
1
1– 2
x
–x 4 1 +
x"3
1
x4
1+
M ∈ [–1, 1] dir. O halde
cos x
M
lim a 1+ x k = 1+ lim x
x"3
x"3
1
x2
–x 1/3 . 4 1 –
x"3
1
x4
=1+0=1
bulunur.
1.
lim ^ x 3 + 2x 2 – 5x + 1h
x "+3
4.
lim d
x " –3
limitinin değeri nedir?
2x 2 + 4x – 3
n
(x + 1) 2
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
3
limitinin değeri nedir?
2.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
+∞
lim ^ 2x 3 – 3x 2 – 1h
x " –3
5.
lim
x " –3
8
3x + 4
–x + 1
limitinin değeri nedir?
limitinin değeri nedir?
–3
–∞
3.
lim d
x "+3
x 2 – 6x + 1
n
3x 3 – 2x + 3
6.
lim
x "+3
x 2 + 6x + 8
–2x + 3
limitinin değeri nedir?
limitinin değeri nedir?
–
0
155
1
2
7.
lim
x "+3
x x 2 + 1 + 2x + 1
x 4x 2 + 3 – 3x – 1
10.
lim
x "+3
limitinin değeri nedir?
2x 2 –1
2
e x +2
limitinin değeri nedir?
1
–
2
8.
lim
x " –3
x 5 – 2x + 1
x 4 + 3x + 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
11.
limitinin değeri nedir?
lim log 3 d
x "+3
e2
9x 2 + 6x + 2
n
x 2 + 4x + 1
limitinin değeri nedir?
–∞
9.
lim
x"3
x (x + 1) 2
x 2 (x + 1)
12.
limitinin değeri nedir?
2x 2 + 1
4x + 1
limitinin değeri nedir?
1
156
lim
x "+3
2
2
4
13.
lim
x " –3 3
x2 + 1
16. lim c
+ ax + b m = 0
x"3 x +1
9x 2 + 2x + 1
x 3 + 2x + 1
olduğuna göre, a ve b yi bulunuz.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
limitinin değeri nedir?
–3
14.
lim
x "+3 3
5x + 1
x2 + 2
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
3
17.
limitinin değeri nedir?
lim
x " +3 6
a = –1
b=1
x 2 + 2x + 1
x 4 + 2x + 1
limitinin değeri nedir?
0
5
18.
(m + 1) x 3 + (n + 1) x 2 + 1
2
15. lim
=
x " + 3 (3m – 1) x 3 – (n – 1) x 2 + 2
3
lim
x " –3 3
1
(1 + x) 3 + x
(1 + x) 2 + x
limitinin değeri nedir?
olduğuna göre, m kaçtır?
5
3
1
157
KAVRAMSAL ADIM
lim f (x) limiti araştırılırken x yerine a yazıldığında f(a) değeri
x"a
5+x – 5
ifadesinin sonucu kaçtır?
x
lim
x"0
0 3
,
, 0.3 ,
0 3
3 – 3 , 0 0 , 1 3 , 3 0 durumlarından biri olabilir.
Bunlardan her birine belirsizlik denir.
0 3
,
, 0.3 ve 3 – 3 belirsizliklerine değineceğiz.
0 3
lim
5+x – 5 0
olduğundan,
=
x
0
Burada sadece
lim
5+x– 5
= lim
x
x"0
Bu dört belirsizliği ve diğerlerini türev konusunda tekrar inceleyeceğiz.
= lim
5+x – 5
1
= lim
x^ 5 + x + 5 h x " 0 5 + x + 5
x"0
x"0
x"0
=
5+x – 5 5+x + 5
.
x
5+x + 5
1
1
bulunur.
=
5+ 5 2 5
0
0
1.
lim
BELİRSİZLİĞİ
f (x)
f (x) 0
=
limitini hesaplamak için x yerine a yazılır.
oluyorsa
g (x)
g (x) 0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
BELİRSİZLİKLER
ETKİNLİK
x"a
bu durumda f(x) ve g(x) fonksiyonları (x – a) çarpımına sahip demektir.
Yani f(x) = (x – a).f1(x)
g(x) = (x – a).g1(x) biçimindedir. Buradan
lim
x"a
(x – a) f1 (x)
f (x)
= lim
g (x) x " a (x – a) .g 1 (x)
= lim
x"a
Eğer
lim
x 2 – 3x + 2
limitinin değeri nedir?
x2 – 1
f1 (a)
f (x)
f (x)
bir belirsizlik ise
için yukarıda yapılan işlemler 1
g 1 (a )
g 1 ( x)
g (x)
ETKİNLİK
lim
x "1
x yerine 1 yazarsak
bulunur.
için yapılır.
ETKİNLİK
x"1
f1 (x)
f (a)
= 1
g 1 ( x)
g 1 (a )
0
belirsizliği elde edilir.
0
x2 – x
limitini hesaplayınız.
x– x
Çözüm
x yerine 1 yazarsak
Pay ve payda (x – 1) ile sadeleştirilecektir.
çarparak x – 1 ile bölünmeyi sağlayalım.
2
(x – 1) (x – 2)
x – 3x + 2
= lim
lim
x"1
x " 1 (x – 1) (x + 1)
x2 – 1
x – 2 1 – 2 –1
= lim
=
=
2
1+ 1
x "1 x +1
bulunur.
0
belirsizliği elde edilir. Pay ve payda terimlerinin eşleniği ile
0
lim
x "1
^x 2 – x h^x 2 + x h^x + x h
x2 – x
= lim
x " 1 ^ x – x h^ x + x h^ x 2 + x h
x– x
^ x 4 – xh^ x + x h
x " 1 ^ x 2 – xh^ x 2 + x h
= lim
= lim
x4 – x .
x+ x
lim
x2 – x x " 1 x2 + x
= lim
x^ x 3 – 1h 2
x3 – 1
. = lim
x^ x – 1h 2 x " 1 x – 1
x "1
x "1
^ x – 1h^ x 2 + x + 1h
x –1
x "1
= lim
= lim ^ x 2 + x + 1h = 1 + 1 + 1 = 3 bulunur.
x "1
158
1.
lim
x"2
x2 – 4
x3 – 8
3.
limitini hesaplayınız.
x"2
lim
x"2
x –1
28 – x – 3
limitini hesaplayınız.
Çözüm
Çözüm
lim
lim
x"1 3
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
0
belirsizliği vardır. 28 – x = y3 dönüşümü yapılır.
0
x2 – 4 4 – 4 0
belirsizliği vardır.
=
=
x3 – 8 8 – 8 0
x "1 & y " 3
( x – 2) ( x + 2)
–4
= lim
x 3 – 8 x " 2 (x – 2) (x 2 + 2x + 4)
tür.
^ 3 – y) (9 – 3y + y 2h
27 – y 3
= lim
3
y–3
y – 3 y"3
x2
lim
y"3 3
= –(9 – 3.3 + 32)
2+2
4
=
4 + 4 + 4 3.4
1
=
bulunur.
3
=
bulunur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
= –9
4.
limr
x"
r
k
6
3 – 2 cos x
sin a x –
6
limitini hesaplayınız.
Çözüm
0
belirsizliği vardır.
0
lim
x"1
x 3 – 6x 2 + 11x – 6
x 3 – 7x + 6
Çözüm
lim
x"1
limitini hesaplayınız.
r
= y dönüşümü vardır.
6
x=
r
r
+ y olur ve x "
için y " 0
6
6
0
=
0
lim
r
x"
6
6x 2
–
+ 11x – 6
–x 3 ! x 2
x –1
x 2 – 5x + 6
–5x 2 + 11x – 6
x 3 – 7x + 6 x – 1
x2 + x – 6
x 2 – 7x + 6
– x2 ! x
5x
y"0
–x 3 ! x 2
6x – 6
6x ! 6
– 6x + 6
! 6x 6
0
0
!
! 5x 2
sin y
3 – 2 cos a
sin y
3 – 3 cos y + sin y
= lim
sin y
3 (1 – cos y) + sin y
y"0
y"0
= lim
y"0
O halde
dir.
3 : 1 – b 1 – 2 sin 2
y
lD + sin y
2
y
y
2 sin . cos
2
2
y
y
y
2 3 sin 2 + 2 sin cos
2
2
2
= lim
y
cos
1
2
y
y = 1 =1
3 sin + cos
2
2
y"0
1– 5 + 6
2
1
=
=–
1 + 1 – 6 –4
2
sin y
= lim
(x – 1) (x 2 – 5x + 6)
x 3 – 6x 2 + 11x – 6
lim
= lim
3
x"1
x " 1 (x – 1) (x 2 + x – 6)
x – 7x + 6
y"0
r
+ yk
6
sin y
3
. cos y – 1 . sin y E
3 – 2;
2
2
= lim
olur.
=
r
k
6 = lim
3 – 2 cos x y " 0
sin a x –
belirsizliği vardır.
= lim
x3
dır.
O halde
x 3 – 6x 2 + 11x – 6 1 – 6 + 11 – 6
=
1– 7 + 6
x 3 – 7x + 6
!
2.
x–
bulunur.
159
5.
lim
x"2
1 – 9 – 4x
x–2
limitini hesaplayınız.
8.
Çözüm
x2 – a2
limitinin değeri nedir?
x– a
lim
x"a
Çözüm
0
elde edilir. Pay ve payda x – a ile bö0
lim
1 – 9 – 4x 0
belirsizliği vardır.
=
x–2
0
x yerine a yazarsak
lim
^1 – 9 – 4x h^1 + 9 – 4x h
1– 9 – 4x
= lim
x–2
x"2
^x – 2h^1 + 9 – 4x h
lünmelidir. Önce paydayı eşleniği ile çarparak paydayı rasyonel yapalım.
x"2
x"2
^ x 2 – a 2h .^ x + a h
x2 – a2
= lim
x
"
a
^ x – a h^ x + a h
x– a
= lim
1 – (9 – 4x)
(x – 2) (1 + 9 – 4x )
x"a
= lim
4x – 8
(x – 2) (1 + 9 – 4x )
= lim
= lim
4 (x – 2)
(x – 2) (1 + 9 – 4x )
= lim ^ x + ah .^ x + a h
x"a
= lim
4
4
=
1 + 9 – 4x 1 + 1
= ^ a + ah .^ a + a h = ^ 2ah .^ 2 a h = 4a a
x"2
x"2
lim
x"a
^ x – ah^ x + ah^ x + a h
x–a
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
x"2
x"2
bulunur.
= 2 bulunur.
6.
lim
x"1
x3 – 1
x –1
limitini hesaplayınız.
Çözüm
lim
x"1
x3 – 1 1 – 1 0
=
=
belirsizliği vardır.
x –1
1– 1 0
9.
(x – 1) (x 2 + x + 1)
x3 – 1
lim
= lim
x
–
1
x –1
x"1
x"1
= lim ^ x 2 + x + 1h = 3
x"1
bulunur.
1 + cos 2x
limitini bulunuz.
1 – sin x
lim
r
2
x"
Çözüm
x yerine
r
0
yazarsak
belirsizliği elde edilir. Belirsizliği kal2
0
dırmak için
7.
lim
x"5
x 3 – 8x 2 + 15x
limitini hesaplayınız.
x 2 – 3x – 10
lim
x"5
x3
r
x"
2
8x 2
–
+ 15x
=
x 2 – 3x – 10
53
–
+ 15.5
5 2 – 3.5 – 10
x"
r
x"
2
x ( x – 3 ) (x – 5 )
x 3 – 8x 2 + 15x
= lim
x " 5 (x + 2) (x – 5)
x 2 – 3x – 10
x (x – 3) 5. (5 – 3)
10
bulunur.
= lim
=
=
7
x+2
5+2
x"5
160
2
= lim
lim
belirsizliği vardır.
x"5
1 + cos 2x
2 cos 2 x
= lim
r 1 – sin x
1 – sin x
x"
8.5 2
0
=
0
lim
Veya cosx ile sadeleştirme yapmalıyız.
lim
Çözüm
sinh
şekillerinden birine ulaşmamız gerekiyor.
h
r
2
2 cos 2 x^ 1 + sin xh
2 cos 2 x^ 1 + sin xh
= lim
^ 1 – sin xh^ 1 + sin xh x " r
1 – sin 2 x
2
2 cos 2 x.^ 1 + sin xh
cos 2 x
lim 2^ 1 + sin xh = 2^ 1 + 1h = 4 bulunur.
r
x"
2
1.
lim
x"1
2x 2 – 2
3x – 3
4.
x– a
x–a
lim
x"a
limitini hesaplayınız.
limitini hesaplayınız.
lim
x"1
x4 – 1
x +1
limitini hesaplayınız.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
4
–
3
2.
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
5.
lim
x"1
1
2 a
xn – 1
x –1
limitini hesaplayınız.
0
3
3.
lim
x"1 3
3
x –1
x2 – 1
6.
lim
x"1
n
x –1
x –1
limitini hesaplayınız.
limitini hesaplayınız.
2
–
3
1
–
2
161
KAVRAMSAL ADIM
3
3
BELİRSİZLİĞİ
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a)
x 2 + 3x + 1 + 4x
x+2
lim
x"3
a ! IR olsun. x " a için
f (x)
ifadesinde
g (x)
+3
–3
–3 + 3
+ 3 , + 3 , –3 , –3 durumlarından biri varsa
lim
x"a
3
limitinde 3 belirsizliği vardır denir.
f (x)
g (x)
ÖRNEK – 1
3
b)
lim
x"3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
2.
ETKİNLİK
x 3 + 3x 2 + 1 + x
2x + 1
lim
x"3
6x + x 2 – x + 1
değeri kaçtır?
3x + 1
ÇÖZÜM
1 1
x2 c1 – x + 2 m
x
3x + 1
6x +
lim
x"3
c)
lim
x " 0+
2 – x2
x +1
6x + x
lim
x"3
xc6 +
lim
x"3
d)
x3 + 8
x " –2 x + 2
lim
1 1
1– x + 2
x
3x + 1
1 1
1– x + 2 m
7
x
=
bulunur.
1
3
a
k
x 3+ x
ÖRNEK – 2
lim
x"3
x 3 + x 2 – 2x + 1
in değeri nedir?
1 3
x +x–3
6
ÇÖZÜM
e) lim
x "1
x+8 – 3
x –1
lim
x"3
x 3 + x 2 – 2x + 1 3
=3
1 3
x +x–3
6
olup,
1 2
1
x3 c1+ x – 2 + 3 m
x
x
1
lim
= = 6 bulunur.
x"3
1
1
3
3 1
x c + 2 – 3m
6
6 x
x
162
1.
x 2 – 2x
x –1
lim
x "+3
3.
limitini hesaplayınız.
Çözüm
x 2 – 2x
+3 3
= + 3 = 3 belirsizliği vardır.
x –1
lim
x 2 – 2x
= lim
x "+3
x –1
x "+3
x 2 – x + 1 – 3x
limitini hesaplayınız.
2x – 1 + x 2 + 1
Çözüm
lim
x "+3
lim
x " –3
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
lim
x " –3
2
x2 b1 – x l
x –1
= lim
x " –3
2
| x | . 1– x
= lim
x "+3
1
xb1 – x l
1 1
x 2 (1 – x + 2 ) – 3x
x
1
2
2x – 1 + x (1 + 2 )
x
1 1
1 – x + 2 – 3x
x
1
2x – 1 + | x | . 1 + 2
x
|x | .
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
= lim
x " –3
2
x. 1 – x
= lim
x "+3
1
xb1 – x l
=
x 2 – x + 1 – 3x
2x – 1 + x 2 + 1
1 1
1 – x + 2 – 3x
x
1
2x – 1 – x 1 + 2
x
–x
= lim
x " –3
1– 0
= 1 dir.
1– 0
xc–
1 1
1 – x + 2 – 3m
x
1
1
xc2 – x – 1 – 2 m
x
= lim
x " –3
=
2.
9 + 4x 2 – x
limitini hesaplayınız.
x – 1+ x2
lim
x " –3
Çözüm
3
3 belirsizliği vardır.
lim
x " –3
9
x2 c 2 + 4m – x
x
9 + 4x 2 – x
= lim
x " –3
1
x – 1+ x2
x – x2 c 2 + 1m
x
4.
9
+4 – x
x2
= lim
x " –3
1
x – (–x) .
+1
x2
–x.
= lim
x "+3
=
–x c
x " –3
1 – x2
limitini hesaplayınız.
4x 3 + 5
1
x 2 ( 2 – 1)
1 – x2
x
= lim
lim
x " + 3 4x 3 + 5
x "+3 3
5
x (4 + 3 )
x
9
+4 – x
x2
= lim
x " –3
1
x –|x|.
+1
x2
9
+ 4 + 1m
x2
4 +1
3
=–
=–
2
1
+
1
1
x c1+
+1m
x2
lim
x "+3
Çözüm
|x | .
= lim
– 1+ 0 – 3
= –4 bulunur.
2 – 0 – 1+ 0
1
–1
x2
5
x (4 + 3 )
x
0–1
–1
= =0
3 (4 + 0) 3
bulunur.
bulunur.
163
1.
lim
x"3
x 2 – 2x + 3
2x 2 – x + 1
4.
limitini hesaplayınız.
lim
x "+3
1 + x – 4x 2 – 1
2x – x 2 + 3x + 4
limitini hesaplayınız.
1
–
2
2.
lim
x " –3
x3 + 3
3 – x2
limitini hesaplayınız.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
5.
lim
x"3
x 2 + 3x
2x + 1
limitini hesaplayınız.
+∞
3.
lim
x " –3
9x 2 + 3x + 1 – 2x
x +1
6.
lim
x " –3
1
–
2
| x | + 2 4x 2 – x + 1
3 | x | + 2x + 1
limitini hesaplayınız.
limitini hesaplayınız.
–5
164
–1
5
KAVRAMSAL ADIM
lim ^ 6x. cot xh limitinin değeri kaçtır?
lim f (x) .g (x) limitini hesaplarken 0. 3 biçiminde belirsizliklerle karşılaşılabilir. Bu
x"a
x"0
belirsizliği gidermek için çarpanlardan birinin çarpmaya göre tersi paydaya yazılarak
lim ^ 6x. cot xh = 6.0. cot 0 = 0.3 dır.
verilen ifade
x"0
lim 6x.
x"0
cos x
x
= lim
.6. cos x
sin x x " 0 sin x
= 1.6. cos 0 = 1.6.1 = 6
bulunur.
0
3
ya da 3 türünde bir belirsizliğe dönüştürerek limit hesaplanır. Yani
0
lim 6 f (x) .g (x) @ = lim
f (x)
ya da
1
g (x)
lim 6 f (x) .g (x) @ = lim
g (x)
1
f (x)
x"a
x"a
x"a
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x"a
biçiminde yazılarak limit hesaplanır.
ETKİNLİK
ETKİNLİK
a)
lim (x – 1) . tan a
x "1
rx
k limitinin değerini bulunuz.
2
1
lim a 3x. sin x k limitinin değeri kaçtır?
x"3
1
lim a 3x. sin x k = 3.0
x"3
O halde
J
1N
K sin x O
durumuna gelir.
lim 3 K
x"3 K 1 O
O
L x P
x"3
1
ise x " 0 olur.
1
sin x
Buna göre lim
=1
x"3
1
x
Yani
b)
4
lim x. sin x
x"3
limitinin değerini bulunuz.
lim f (x) = 3 olur.
x"3
165
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
3. 0. 3 BELİRSİZLİĞİ
ETKİNLİK
1.
1
lim x 2 . sin x
x "+3
limitini hesaplayınız.
4.
lim cos x. f
r
x"
2
sin 2 x + 1
r p limitini hesaplayınız.
x–
2
Çözüm
Çözüm
1
lim x 2 . sin x = 3. sin 0
x "+3
= 3.0 belirsizliği vardır.
lim cos x. f
sin 2 x + 1
r p = 0.3 belirsizliği vardır.
x–
2
lim cos x. f
sin 2 x + 1
sin 2 x + 1
r p = xlim
r
r
"
x–
x–
2
2
2
cos x
x"
1
sin x
1
lim x 2 . sin x = lim
.x
x "+3
x "+3
1
x
J
1N
sin x O
K
= K lim
O_ lim x i
Kx "+3 1 O x "+3
x P
L
r
2
r
x"
2
x–
r
r
= y denilirse x "
için y " 0 olacağından
2
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
= 1.^ + 3h = + 3 bulunur.
lim
y"0
2.
r
+ yk + 1
cos 2 y + 1
2
= lim
y
y
y"0
r
y
–
sin
cos a + y k
2
sin 2 a
lim ^ cos 2 y + 1h
x
lim a 1 + tan x. tan k . cos x limitini hesaplayınız.
r
2
x"
2
Çözüm
lim
y"0
x
lim a 1 + tan x. tan k . cos x = 3.0
r
2
x"
2
=–
y"0
=–
dır.
–y
sin y
1+ 1
= –2 dir.
1
x
lim a cos x + sin x. tan k = 0 + 1.1 = 1 bulunur.
r
2
x"
3.
2
x
lim tan x a 1 – tan k limitini hesaplayınız.
r
2
x"
2
Çözüm
x
lim tan x a 1 – tan k = 3.0
r
2
x"
dır.
2
x
2 tan
x x
2
tan x = tan a + k =
x
2 2
1 – tan 2
2
eşitliği kullanılırsa
x
x
2 a 1 – tan x k
lim tan x a 1 – tan k = lim
x
r
r
2
2
x"
x " 1 – tan 2
2
2
2
2 tan
x
2
= lim
x
r
x " 1 + tan
2
2
2 tan
2
=
= 1 bulunur.
1+ 1
166
5.
1
lim x . (2x 2 – 1) limitini hesaplayınız.
x " –3
Çözüm
1
lim x = 0 ve
x " –3
lim (2x 2 – 1) = + 3 olduğundan
x " –3
0.3 belirsizliği vardır.
1
2x 2 – 1
lim x . (2x 2 – 1) = lim
x
x " –3
x " –3
= lim
x " –3
1
x (2x – x )
x
1
= lim (2x – x ) = –3 bulunur.
x " –3
1.
lim (1 – x) . tan
x"1
rx
2
4.
limitini hesaplayınız.
lim 9 tan x. a tan
r
x"
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
x
– 1 kC
2
2
limitini hesaplayınız.
2.
7
lim x. sin x
x"3
limitini hesaplayınız.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2
–
π
5.
–1
lim x. cot x
x"0
limitini hesaplayınız.
7
3.
lim –6 (2x – r) . tan x @
x"
r
2
6.
lim ;
x"3
1
3
x +1
.b
lE
2x + 1
4
limitini hesaplayınız.
limitini hesaplayınız.
3
–
8
–2
167
KAVRAMSAL ADIM
lim ^ x 2 + x – 1 – xh limitinin değerini bulu-
lim f (x) = 3 ve
x " x0
lim g (x) = 3 ise
x " x0
x$3
lim 6 f (x) – g (x) @ = 3 – 3 şeklindeki belirsizliklerdir.
nuz.
x " x0
Bu durumda ifade, eşleniği ile çarpılıp bölünerek,
lim ^ x 2 + x – 1 – xh = 3 – 3 dur.
x$3
f (x) – g (x) =
3
ifadeyi eşleniği ile çarpıp bölerek 3 durumuna
= lim
= lim
x$3
= lim
x$3
f
xc
= lim
x$3
x
f (x) + g (x)
1
getirelim.
^ x 2 + x – 1 – xh^ x 2 + x – 1 + xh
x$3
^ x 2 + x – 1 + xh
6 f (x) @2 – 6 g (x) @2
=
6 g (x) @2
–
1
6 f (x) @2
şeklinde yazılır.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
4. 3 – 3 BELİRSİZLİĞİ
ETKİNLİK
x2 + x – 1 – x2
1 1
2
x c 1+ x – 2 m + x p
x
x –1
1 1
1+ x – 2 + 1 m
x
1
xa1 – x k
1
1
=
=
1+ 1 2
1 1
1+ x – 2 + 1
x
bulunur.
1
1
+
f (x) . 6 g (x) @2 6 f (x) @2 .g (x)
3 – 3 belirsizliği
0
şekline dönüştürülmüş olur.
0
ÖRNEK
lim ^ ax 2 + b –
x"3
cx 2 + b h limitinin değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
lim ^ ax 2 + b –
x"3
= lim
x"3
ETKİNLİK
^ ax 2 + b – cx 2 + b h^ ax 2 + b + cx 2 + b h
ax 2 + b + cx 2 + b
ax 2 + b – cx 2 – b
b
b
x2 ca + 2 m + x2 cc + 2 m
x
x
= lim
x"3
lim
x"3
x 2 – 4x + 3 –
cx 2 + b h = 3 – 3 dur.
x 2 – 5x + 1
limitinin değerini bulunuz.
= lim
x"3
= lim
x"3
xc
x 2 ( a – c)
b
b
a+ 2 + c+ 2m
x
x
x (a – c )
= lim 6 x^ a – c h@
a + c x"3
lim ^ ax 2 + b –
x"3
168
cx 2 + b h = 3 dur.
1.
lim ^ x 2 + ax + b –
x 2 – cx + d h limitini hesaplayınız.
x"3
3.
Çözüm
lim
x"3
^
x 2 + ax + b +
^
x 2 + cx + d h^ x 2 + ax + b +
x 2 + ax + b + x 2 + cx + d h
x 2 + cx + d h
3 – 3 belirsizliği vardır.
lim ^ x 2 + x – xh ise eşleniği ile çarpıp bölelim.
x "+3
x 2 + ax + b – x 2 – cx – d
x 2 + ax + b + x 2 + cx + d
x"3
= lim
x "+3
xba – c +
xc
= lim
x"3
=
b–d
x l
a b
c d
1+ x + 2 + 1+ x + 2 m
x
x
a–c+
x "+3
b–d
x
a b
1+ x + 2 +
x
a–c
a–c
=
2
1+ 1
= lim
^ x 2 + x – xh^ x 2 + x + xh
x2 + x – x2
= lim
x
"
+
3
2
x +x +x
x2 + x + x
= lim
x "+3
|x | .
c d
1+ x + 2
x
lim ^ 3x 2 + 4 –
Çözüm
lim ^ 3x 2 + 4 –
x "+3
x 2 – 1 h limitini hesaplayınız.
x "+3
^ 3x 2 + 4h – ^x 2 – 1h
3x 2 + 4 + x 2 – 1
= lim
2x 2 + 5
3x 2 + 4 + x 2 – 1
x "+3
x2 c2 +
= lim
x "+3
x2 c3 +
x2 c2 +
= lim
x "+3
=
|x |;
5
m
x2
4
3+ 2 +
x
+3
=+3
3 +1
olur.
x2 c1 –
1
1– 2 E
x
lim ^ x 2 + 2 – xh limitini hesaplayınız.
x "+3
x "+3
=3–3
belirsizliği vardır.
lim ^ x 2 + 2 – xh
x "+3
= lim
^ x 2 + 2 – xh^ x 2 + 2 + xh
x2 + 2 + x
= lim
x2 + 2 – x2
x2 + 2 + x
x "+3
5
m
x2
4
m+
x2
4.
lim ^ x 2 + 2 – xh = + 3 – 3
^ 3x 2 + 4 – x 2 – 1 h .^ 3x 2 + 4 + x 2 – 1 h
3x 2 + 4 + x 2 – 1
= lim
x "+3
olur.
Çözüm
lim ^ 3x 2 + 4 – x 2 – 1 h
x "+3
= lim
1
1
=
1+ 0 + 1 2
x2 – 1 h = + 3 – + 3
=3–3
belirsizliği vardır.
=
x
1
1+ x + x
1
1
1+ x + 1
x "+3
x "+3
1
xl + x
1
xb 1+ x + 1l
x "+3
olur.
x2 b 1+
x
= lim
= lim
2.
x
x
= lim
x2 + x + x x " + 3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x"3
lim ^ x 2 + x – xh limitini hesaplayınız.
x "+3
Çözüm
= lim
= lim
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
x "+3
1
m
x2
2
= lim
x "+3
x2
|x |
c1+
2
m+x
x2
2
= lim
x "+3
2
m+x
x2
2
= lim
x "+3
c 1+
x=
2
c 1+ 2 m + 1 G
x
=
2
1
=
=0
+ 3.2 + 3
olur.
169
5.
lim ^ x 2 –
x 4 – x 2 – 1 h limitini hesaplayınız.
x "+3
7.
Çözüm
lim ^ x 2 –
Çözüm
x4 – x2 – 1 h = 3 – 3 = 3 – 3
x "+3
lim ^ x 2 –
lim
x "+3
lim
x "+3
>
x4 – x2 – 1 h
x "+3
x2 + 1
x4 c1 –
lim
x "+3
x2 + x2
lim
=
x2 c1+
x+ 3 –2 3
= lim
x–3
x"3
x– 3 0
=
x–3
0
belirsizliği vardır.
lim
x"3
1
1
–
m
x2 x4
^ x – 3 h^ x + 3 h
^ x – 3h^ x + 3 h
= lim
x " 3 (x
x–3
=
– 3)^ x + 3 h
1
1
=
3+ 3 2 3
bulunur.
1
m
x2
1
1
1– 2 – 4 m
x
x
x2 c1+
x "+3
1
2 3
–
G
x – 3 x–3
x"3
1
m
x2
1
1
1– 2 – 4
x
x
x2 c1+
lim =
= lim
x 4 – ^ x 4 – x 2 – 1h
x2 + x4 – x2 – 1
x2 +
1
2 3
–
G = 3 – 3 belirsizliği vardır.
x – 3 x–3
x"3
^ x 2 – x 4 – x 2 – 1 h^ x 2 + x 4 – x 2 – 1 h
H
x2 + x4 – x2 – 1
lim
lim =
x"3
belirsizliği vardır.
x "+3
1
2 3
–
G limitini hesaplayınız.
x – 3 x–3
lim =
x"3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
1+ 0
1
1
=
=
1+ 1 – 0 – 0 1+ 1 2
bulunur.
8.
lim
x "+3
1 + 2x – 1 + x
limitini hesaplayınız.
1 + 3x – 1 + 2x
Çözüm
6.
lim
x "+3
4x + 1 – 2x
limitini hesaplayınız.
x+2 + x –1
Çözüm
lim
x "+3
lim
x "+3
4x + 1 – 2x
3–3
=
x+2 + x –1 3–3
lim
1 + 2x – 1 + x
3–3
=
olduğundan
1 + 3x – 1 + 2x 3 – 3
lim
1 + 2x – 1 + x
1 + 3x – 1 + 2x
x "+3
x "+3
olup
1
= lim
4x + 1 – 2x
x+2 + x –1
x "+3
x2
1
x2
1
2
x +2 – x
1
1
x +1
1
1
x +2
1
2
x +3 – x
1
1
1
2
x2 4+ x – x 2
= lim
1
1
x "+3 1
2
2 1–
x
x 2 1+ x + x
1
x2
= lim
x "+3
; 4+ 1 – 2E
x
= lim
=
x " + 3 12 ; 1+ 2 + 1– 1 E
x
x
x
=
bulunur.
170
4– 2
1+ 1
2– 2
2
=
1
x +2 –
1
x +1
1
x +3 –
1
x +2
^ 2 – 1h^ 3 + 2 h
2 –1
=
3 – 2 ^ 3 – 2 h^ 3 + 2 h
= 6 +2 – 3 –
2
dir.
1.
lim ^ x 2 + 2 –
x "+3
x2 – 2 h
4.
limitini hesaplayınız.
lim ^ x 2 + x – 2 –
x "+3
2x 2 + 1 h
limitini hesaplayınız.
lim c
x "+3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
0
2.
3
1
+
m
1 – x3 x – 1
limitini hesaplayınız.
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
5.
–∞
lim x^ x 2 + 2 – xh
x "+3
limitini hesaplayınız.
1
0
3.
lim ^ x 2 + 6x – 2 + xh
6.
x " –3
limitini hesaplayınız.
lim d
x "+3
9x – 1 – x
n
4x + 1 – x + 2
limitini hesaplayınız.
–3
2
171
7.
lim d
x "+3
10. lim c
x3
x2
–
n
3x 2 – 4 3x + 2
x"2
12
1
–
m
x3 – 8 x – 2
limitini hesaplayınız.
limitini hesaplayınız.
2
–
9
8.
lim ^ 9x 2 + 1 – 3xh
x "+3
limitini hesaplayınız.
–
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
11.
1
2
lim ^ 2x 2 – 4x + 1 – 2 xh
x"3
limitini hesaplayınız.
0
– 2
12. lim ^ x 2 – 4x + 1 – x + 5h
9.
lim ^
x " –3
2x 2
x"3
– 3 – 5xh
limitini hesaplayınız.
limitini hesaplayınız.
3
+∞
172
KAVRAMSAL ADIM
lim 6 1 + f (x) @ g (x) ifadesinde lim f (x) = 0 , lim g (x) = 3 ise, 1 3 belirsizliği vardır.
x"a
x"a
x"a
limitini hesaplayalım.
x$1
f (x) = x, g (x) =
lim f (x) .g (x) = , olmak üzere,
x"a
1
alalım.
x –1
lim 6 1 + f (x) @ g (x) = e ,
x"a
lim f (x) = lim x = 1
x$1
x$1
lim g (x) =
x$1
lim
x$1
1
$3
x –1
dir. Ancak 1 3 belirsizliği her zaman
rinde ortaya çıkmaz. Bu nedenle genel olarak,
1 3 belirsizliği var.
g (x)^ f (x)–1h
; lim f (x) g (x) = lim ^ 1 + f (x) – 1hf (x)–1 E
x$1
lim 6 f (x) @ g (x)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1
x$1
x"a
ifadesinde lim f (x) = 1,
=e
lim g (x).^f (x)–1h
x$1
=e
x"a
lim g (x) = 3
x"a
lim 6 f (x) @ g (x) = lim " 1 + 6 f (x) – 1 @, g (x)
x"a
ise,
1
lim
.(x–1)
x $ 1 x–1
lim 6 1 + f (x) @ g (x) şeklindeki limit problemle-
x"a
x"a
^f (x)–1hg (x)
= lim &6 1 + ^ f (x) – 1h@ f (x)–1 0
1
= e bulunur.
x"a
lim ^ f (x) – 1h.g (x)
= ex " a
ETKİNLİK
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
x
3
a) lim a 1+ k 9
x
x"3
(e = 2,71828...) dir.
ÖRNEK
3 x+1
lim a 1 + x k
limitinin değerini bulunuz.
x"3
ÇÖZÜM
lim .^ x + 1h
3 x+1
lim b 1+ x l
= e x " 3x
3
x"3
= e3
b)
lim b 1 –
x"3
bulunur.
x
9 l3
x
•
•
•
1
1 x
lim b 1 + x l = lim ^ 1 + ah a = e
a"0
x"3
1
1 x
lim b 1 – x l = lim ^ 1 – ah a = e –1
a"0
x"3
k mx
lim b 1 + x l = e km
x"3
173
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
lim x
1
x–1
1∞ BELİRSİZLİĞİ
5.
ETKİNLİK
1.
1 6x
lim b 1 + x l
limitini hesaplayınız.
x"3
4.
Çözüm
13
lim c 1 +
x"3
Çözüm
belirsizliği var.
2
1 6x
1 x
lim b 1 + x l = lim ;b 1 + x l E
x"3
x"3
6
1
lim x
= ex " 3
1
= ; lim b 1 + x l E
x"3
=
lim
x"0
e6
= e 0 = 1 bulunur.
dır.
5.
1
^ 1 + x h 3x
1
1 x
1 x x
lim c 1 + 2 m = lim >c 1 + 2 m H
x"3
x"3
x
x
x 6
2.
1 x
m limitini hesaplayınız.
x2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
limitini hesaplayınız.
lim d
x"3
2x 2 + 3
n
2x 2 + 5
8x 2 + 3
limitini hesaplayınız.
Çözüm
Çözüm
1 3 belirsizliği var.
lim ^ 1 + xh 3x =
1
x"0
1 3 belirsizliği var.
lim d
x"3
1
1 3
lim b^ 1 + xh x l
x"0
2x 2 + 3
n
2x 2 + 5
8x 2 + 3
x"3
–2 lim
=e
lim a
6.
1 3 belirsizliği var.
lim a
x 2x
1 + x – 1 2x
k = lim b
l
x"3
1+ x
1+ x
H
8x 2 + 3
2x 2 + 5
bulunur.
= lim ;b 1 –
x"3
Çözüm
– lim
=e
a
a ax
lim a 1+ x k = ^ e a h = e a ise,
x"3
2x
1 1 + xE 1 + x
l
1+ x
2x
x"3 1+x
= e –2 olur.
a ax
lim a 1+ x k = e a olduğuna göre, a sayısını bulunuz
x"3
(a > 0)
1 2x
= lim b 1 –
l
x"3
1+ x
174
2+5
x 2x
limitini hesaplayınız.
k
1+ x
Çözüm
x"3
2+3
8x 2 + 3
2x 2 + 5
= e –2.4 = e –8
x"3
8x
2
m
+5
8x 2 + 3
2x 2
2x
2
= lim >c 1 –
m
x"3
2x 2 + 5
= e3 = 3 e
3.
2x 2 + 3 + 2 – 2
n
2x 2 + 5
= lim c 1 –
x"3
1
1 3
= ; lim ^ 1 + xh x E
x"0
1
= lim d
2
ea = ea & a2 = a
& a^ a – 1h = 0
& a = 0 , a =1
a > 0 olduğundan a = 1 dir.
1.
3 2x
lim b 1 + x l
4.
x"3
limitini hesaplayınız.
lim b
x"3
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
x
x+3 2
l
x +1
limitini hesaplayınız.
2.
lim ^ 1 + xh x
3
x"0
limitini hesaplayınız.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
e6
5.
e
lim ^ 1 + sin xh cot x
x"0
limitini hesaplayınız.
e3
3.
lim b
x"3
2+ x x
l
1+ x
6.
limitini hesaplayınız.
e
lim ^ 1 + tan xh tan x
1
x"0
limitini hesaplayınız.
e
e
175
7.
lim d
x"3
2x 2 + 5
n
2x 2 + 8
4x 2 + 1
sin x
sin x
10. lim b x l x– sin x
x"0
limitini hesaplayınız.
limitini hesaplayınız.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
e–6
8.
lim b
x"a
1
sin x x–a
l
sin a
11. lim ^ cos x + sin xh x
1
x"0
limitini hesaplayınız.
limitini hesaplayınız. (a ≠ kπ, k ∈ Z)
ecota
9.
lim ^ 1 + sin rxh cot rx
12. lim ^ cos x + a. sin bxh x
limitini hesaplayınız.
limitini hesaplayınız.
e
1
x"1
x"0
e–1
176
1
eab
SINAMA ADIMI
f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
4.
lim cos x değeri kaçtır?
x " r–
y
B) –
A) –1
y=f(x)
1
2
C) 0
1
2
E) 1
D) 4
E) 6
D)
3
2
1
–4
–3
0
x
1
5.
Aşağıdaki bilgilerden kaç tanesi doğrudur?
IV.
x " –4
II.
lim f (x) = 2
limitinin değeri kaçtır?
B) 2
A) 1
lim f (x) = 3
x " –3 –
x"1
III. lim – f (x) = 3
VI. lim f (x) = 3
x"0
x"1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6.
lim
x"2
2x 3 + 1
x3 – 1
limitinin değeri kaçtır?
A) 2
2.
lim +
x"1
C) 3
V. lim + f (x) = 3
x " –3 +
A) 1
x2 – 9
x–3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
I. lim f (x) = 0
lim
x"3
|x – 1 | + 3
x +1
B) 1
C)
7
2
D)
11
7
E)
17
7
limitinin değeri kaçtır?
A)
3.
1
2
lim
x " 2+
A) –1
3
2
B)
|x – 2 |
x–2
C) 1
D) 2
E)
5
2
7.
1 2
lim c 3 + x + 2 m
x
x"3
limitinin değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
lim
3x 2 + 5x – 2 1
=
(k + 1) x 2 + 1 3
A) 9
B) 8
C) 2
D) 3
E) 4
değeri kaçtır?
B) 0
1. D
C) 1
2. B
D)
3. C
3
2
8.
E) 2
x"3
4. A
5. E
olduğuna göre, k kaçtır?
C) 6
6. E
7. D
D) 5
8. B
E) 4
177
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
1
SINAMA ADIMI
y 3 + 4y 2 + 4y
(y + 2) (y – 3)
lim
y " –2
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
13.
lim
x"0
E) 1
A)
10. lim
x"0
A)
sin 4x
3x
2
3
limitinin değeri kaçtır?
B)
4
3
sin (5 – x)
11. lim
x " 5 x 2 – 25
A)
1
10
B)
C)
16
9
14.
2
3
D)
E)
1
3
12. lim
x"0
A) 3
178
x2
x
1
25
lim
x " –1
A) –
B)
limitinin değeri kaçtır?
A)
1
5
1
5
sin (x + 1)
2 ( x + 1)
1
2
C)
C) –
1
10
D) –
1
5
E)
e
2
1
10
2
5
D)
E) 0
limitinin değeri kaçtır?
B) –1
2 x
15. lim b 1 + x l
x"3
C) 0
D)
1
2
E) 1
limitinin değeri kaçtır?
1
B) e
C) e 2
D)
1
e3
E) e 3
–1
2
16.
sin x 3
x
5 limitinin değeri kaçtır?
2
sin 2
limitinin değeri kaçtır?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
9.
1
lim
x "+3 3
x2 – 1
x3 + 1
limitinin değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
A)
3
B)
2
9. D
C) 1
10. B
1
D)
2
11. C
1
3
B)
1
2
C) 1
E) 0
12. E
13. A
14. D
15. C
16. C
D)
2
3
E) 0
SINAMA ADIMI
A) –
3
5
B) –
2
5
5.
limitinin değeri kaçtır?
C) –
1
3
D) –
1
5
E) –
1
2
2.
A) 3x2
lim
x"0
A) 0
tan 2x
sin x
B) –3x2
C) 0
D)
x2
A) m
C) 1
3
E)
1. B
12
5
tan x + sin x
x
A) 1
B)
D) 2
m2
C)
2
2. A
m2
D)
4
3. E
4. C
D) –
17
5
E) –
12
7
limitinin değeri kaçtır?
1
2
C) 2
D)
E) 0
2
2
lim
x"0
tan x
tan x
limitinin değeri kaçtır?
B)
1
2
C) 1
D) 2
E)
2
E)
2
2
E) 2
limitinin değeri kaçtır?
B) 0
C) –
lim
A) 0
1 – cos mx
lim
x"0
x2
17
6
x"0
limitinin değeri kaçtır?
1
B)
2
limitinin değeri kaçtır?
3x 2
8.
4.
B) –
limitinin değeri kaçtır?
7.
3.
17
12
A) –
6.
(x + h) 3 – x 3
lim
h
h"0
8 + x – 3x
x2 – 1
lim
x"1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
y 3 + 3y 2 + 2y
y2 – y – 6
lim
y " –2
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
2
limr
x"
4
1 – tan x
2 – 2. sin x
A) – 2
B) –
E) 1
5. A
6. C
limitinin değeri kaçtır?
2
2
7. C
C) –1
8. E
D) –
1
2
179
SINAMA ADIMI
lim
x"0
(1 – cos x) 2
x2
A) –2
10. lim
B) –1
3
4
C) 0
y6 – 1
– 1)
1
2
E) 1
x"3
A) –6
180
2
1 + 2 tan x
B) 1
3
B) y
2
C)
B) 1
9. C
C)
1
2
3
2
D)
D) 0
4
5
E)
5
8
A) –1
E) –
1
2
x > 1 ise
x = 1 ise
x < 1 ise
B) 0
C) 1
lim f (x) kaçtır?
x " 1–
D) 2
E) 4
15. lim 8_ log 20x 2 + 3x i – log 2x 2 + 2x + 1 B
x"3
limitinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri hangisidir?
C) 3
(x + 1) (2x + 1) (3x + 1)
2 – x3
B) –4
ifadesinin değeri kaçtır?
biçiminde tanımlanan fonksiyonda
D) 2
E) 1
16.
12. lim
r
2
A) 2
limitinin değeri kaçtır?
3 (y – x) + 2 (y – x) 2
11. lim
y " x (y – x) + 3 (y – x) 2
A) 3y
D)
lim +
x"
Z 2
] x + 1;
14. f (x) = [
3;
]
\ x – 2;
y " 1 y 2 . (y 4
A)
13.
limitinin değeri kaçtır?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
9.
2
limitinin değeri kaçtır?
C) –3
10. C
D) 3
11. C
E) 6
12. A
A) 0
B)
lim
|x – 3 |
x–3
x " 3+
1
2
C)
1
4
D)
10
2
E) 3
ifadesinin değeri hangisidir?
A) –3
13. A
B) 4
14. A
C) 3
15. B
16. E
D) 2
E) 1
SINAMA ADIMI
lim c
x"2
ax + 3
m = 3 ise, a kaçtır?
x2 + 1
A) 8
B) 6
5.
C) 4
D) 3
E) 1
x2
x
lim c
– m
2x – 1 2
x"3
ifadesinin değeri hangisidir?
A) –
2.
x " 2+ a
lim
6.
log 1 (x – 2) k
B) –
1
2
C) 1
D)
1
2
E)
1
4
lim ^ x 2 – 2x + 1 + 2xh
x"1
2
ifadesinin değeri hangisidir?
B) –1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ifadesinin değeri hangisidir?
A ) –3
1
4
C) 0
A) –
E) + 3
D) 1
2
3
B) –
1
2
7.
3.
C) 0
D)
1
2
E) 2
y
4
y
3
4
2
3
2
–3
–1
0
1
x"0
x
2
3
–3
B) lim – f (x) = 3
Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun –1, 0, 1, 2, 3
apsisli noktaları için var olan limitler toplamı kaçtır?
D) lim f (x) = 0
A) 0
x"1
x"2
x
2
–2
x"1
C) lim – f (x) = 1
1
–1
Şekilde f(x) fonksiyonunun (–1, 2] aralığındaki grafiği
verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) lim f (x) = 1
0
–1
1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
D) –3
E) –4
E) lim f (x) = 0
x " –3
4.
8.
lim (3x. cot 2x)
x"0
ifadesinin değeri hangisidir?
A) 0
B)
1
3
C)
Zax + 3 ;
]]
f (x) = [
9;
]] 2
x
+
3;
\
2. E
ise
ise
x > –4
ise
fonksiyonu veriliyor.
2
3
D)
3
2
E) 3
f (x) k ! R ise, a kaçtır?
a xlim
" –4
A) 0
1. B
x < –4
x = –4
3. D
4. D
5. E
B) –1
6. E
C) –2
7. D
8. E
181
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
3
SINAMA ADIMI
f
lim
x"
r
6
12. lim ^ x 2 – 3x + 6 –
sin x + cos x
r
p
–x
3
x 2 + mx + 7 h = 4 ise, m kaçtır?
x"3
A) –11
B) –10
C) –6
D) 4
E) 6
D) 2
E) 3
ifadesinin değeri hangisidir?
A) 0
B) 3 – 2
C)
3
D ) r (1 + 3 )
10.
lim +
x " –1
E)
r
3
1^
1+ 3 h
2
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
9.
3
13. lim
|x + 1 | + | x | + 1
x2 + 1
x"r
sin r – sin x
cos x – 1
ifadesinin değeri hangisidir?
limitinin değeri kaçtır?
A) –3
A) –2
1
B) –
2
11.
2
D)
3
C) 1
C) 0
B) –1
3
E)
2
14.
y
y
y=f(x)
f(x)
3
2
1
1
0
–1
x
1
–4
–3
–2
0
–1
R den R’ye verilen y = f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) lim – f (x) = –3
B) lim f (x) = 1
C) f (1) = 3
D) lim f (x) = yok
A) 4
B) 5
C) 6
x"1
x"0
E) f (0) = –1
182
9. D
10. C
2
x
Grafiği verilen f(x) fonksiyonunun x’in –4, –3, –2, –1, 0, 1
ve 2 değerleri için var olan limitler toplamı kaçtır?
–3
x"0
1
11. B
12. A
13. C
14. B
D) 7
E) 8
SINAMA ADIMI
4.
y
y
3
4
2
3
1
2
1
0
1
2
2
x
3
x
3
–2
A) lim – f (x) = 4
B) lim – f (x) = 2
A) lim + f (x) = 3
B)
D) lim f (x) = 0
C) lim + f (x) = –2
D) lim f (x) = 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
R – {–2, 1, 2} de tanımlanmış f(x) fonksiyonunun grafiği
çizilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
x"0
x"1
C) lim + f (x) = 4
x"0
x"4
lim c
sin x
+ xm
| sin x |
A) –1 + π
5.
işleminin sonucu kaçtır?
B) 1 + π
A) –2
C) 1 – π
işleminin değeri kaçtır?
lim (sin 2x. cot x)
x " 2r
B) –1
C) 0
D) 2
E) 3
E) π
D) –π
|x |
lim c x + x + 1 m
x " 0+
A) 0
f ( x) = 0
E) lim + f (x) = 0
E) lim f (x) = 1
x " r+
lim
x " –2 –
x"2
x " –2
x"3
x"2
3.
1
Grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
x"0
2.
0
–2
f(x)
B) 1
6.
işleminin sonucu kaçtır?
C) 2
1. D
2. A
D) 3
3. C
E) 4
x"3
lim ; x. sin b
5
lE
x–2
A) 0
B)
4. D
1
2
işleminin sonucu kaçtır?
C)
5. D
5
2
6. E
D)
4
3
E) 5
183
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
4
SINAMA ADIMI
9.
y
y
3
2
f(x)
2
–2
x
0
–2
1
0
–2
2
x
3
–1
y
g(x)
3
0
–4
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. x in –2,
0, 2 ve 3 değerleri için var olan limitleri toplamı kaçtır?
x
4
A) –3
B) –2
C) 0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
7.
4
D) 1
E) 2
R’de tanımlanan f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir.
lim [(fog) (x) + (gof) (x)] kaçtır?
x " 2+
A) 2
B) 3
C) 5
8.
D) 7
E) 8
x"0
sin (r + 3x)
cos 2x – sin x – 1
A) 3
B)
11. lim
sin (x 2 – 4)
3x – 6
1
6
B)
10. lim
y
limitinin değeri kaçtır?
3
3
2
C)
1
2
D) –
1
2
E) –
3
4
E)
4
3
1
0
2
4
x
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A)
B) lim + f (x) = –3
lim f (x) = 0
x " –3
x"0
C) lim – f (x) = 3
D) lim f (x) = 3
x"0
x"0
x"2
E) lim + f (x) = 1
x"2
184
7. C
A)
8. D
9. E
limitinin değeri kaçtır?
1
3
C)
10. A
2
3
11. E
D)
3
4
SINAMA ADIMI
2x 2 + a – 4
= b ise, a.b kaçtır?
x+3
lim
x " –3
B) 1
C)
1
3
D) –
3
4
E) –3
lim
x " 1+
tan (x – 1)
ifadesinin eşiti kaçtır?
tan x – 1
A) 2
B) 1
C) 0
D)
–1
3
E) –
3.
lim
x " –1 3
A) –6
4.
+1
x +1
B) –
r
4
B) –3
C) –1
D) 3
E) 9
8.
sin 2 x
2
x . cos x
işleminin değeri kaçtır?
A) –
1
2
1
3
1. A
C) 0
2. B
D)
3. E
1
2
4. E
sin 2x – tan 4x
r
x–
2
2
A) 6
B) 4
lim
x. tan (r – x)
x– r
x"r
A)
B) –
r
8
limr
x"
limitinin değeri kaçtır?
lim
x"0
limitinin değeri kaçtır?
C) 0
D)
r
2
E)
E) 1
r
2
C) 2
D) –3
E) –6
lim (1 – x) tan
x"1
2
A) r
limitinin değeri kaçtır?
B) 2r
rx
2
B)
5. B
C) r
D) 2 r
E) –2r r
limitinin değeri kaçtır?
r
2
C) 0
6. E
r
4
limitinin değeri kaçtır?
1
2
7.
x3
x"1
A) –
6.
2.
lim
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A) 3
r
x
2
2
x –1
cos
5.
7. E
D) 1
8. A
E) –
r
2
185
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
5
SINAMA ADIMI
lim
sin (x – r.a)
x
a –r
a
A) r
r
B) a
x " r.a
10. lim
x"0
A)
sin 2 x
sin x
1
2
13.
limitinin değeri kaçtır?
C) a
D) r
E) 1
x
1 – cos x
A) 2
B)
lim
1
2
C)
x"
D) 1
E) 0
4
A ) –2
15. lim
x"1
sin x – sin p
11. lim
x–p
x"p
D) tanp
12. lim
x"1
A)
186
2
3
B) –1
C) 0
cos 2 ax – cos 2 ax 2
x2 – 1
16. lim
1
3
9. C
C)
1
2
10. E
B)
D) –
11. C
x"0
1
2
E) –
12. A
1
3
sin 2 x
x
A) –1
13. A
E) 3
D)
1
2
E) 2
limitinin değeri kaçtır?
a
cos 2a
2
C)
a
sin 2a
2
E) αtanα
D) sin2α
E) cotp
D) 2 2
limitinin değeri kaçtır?
C) cosp
limitinin değeri kaçtır?
B)
C) 1
A) αsinα
B) –cosp
x –1
x –1
1
2
limitinin değeri kaçtır?
A) –sinp
3
limitinin değeri kaçtır?
sin 2 x – cos 2 x
r
x–
4
14. limr
limitinin değeri kaçtır?
B) 2
x " 0+
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
9.
5
limitinin değeri kaçtır?
B) 0
14. E
C)
15. C
1
2
16. B
D) 1
E) 2
SINAMA ADIMI
^ cos rxh + 1
x2 – x
A) –2
2.
5.
limitinin değeri kaçtır?
B) –1
C) 0
sin x – sin x 0
lim
x " x 0 cos x – cos x 0
A) tanx0
D) 1
6.
eşiti nedir?
B) 0
D) sinx0
E) 2
3.
x – sin x
x3
A) –
1
2
lim :
n"3
A) –2
C) –cotx0
1
B)
cos 2 y
sec3x
lim
x"0
sin ^ tan 2 xh
sec 2 x – 1
A) –2
C)
1
6
D)
1
3
E)
1
2
1 + 2 + 3 + ... + n n + 1
–
D limitinin değeri kaçtır?
n+2
2
B) –1
C) –
1
2
D) 0
E) 1
x
limitinin değeri kaçtır?
x+ x+ x
limitinin değeri kaçtır?
D) cosec3y
4.
B) 0
lim
x "+3
A) 0
A)
limitinin değeri kaçtır?
E) cosx0
7.
tan x – tan y
lim
x " y sin x – sin y
lim
x"0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
lim
x"1
C)
cos2y
1. C
1
2
C) 1
D) 2
E) + 3
E) sec3y
8.
limitinin değeri kaçtır?
B) –1
B) C) 1
2. C
D) 2
3. E
E) 4
4. C
lim 8 x 2 + 6x + 14 – (x + 2) B
x "+3
A) 3
B) 0
5. C
C) 1
6. B
7. C
limitinin değeri kaçtır?
D) 2
8. C
E) 3
187
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
6
SINAMA ADIMI
lim 6 x 2 – 8x + 20 + x + 3 @
limitinin değeri kaçtır?
x " –3
A) –3
13. lim
x"0
B) 1
C) 3
D) 4
sin 2 x
sin x 2
E) 7
B) A) 0
1 k
10. lim cos b l
2
k"3
B) –1
C) 0
B) –
E) + 3
D) 1
15. lim
x"0
limitinin değeri kaçtır?
sin (sin x)
x
A) –1
12. lim
x"
r
4
3
B) –1
cos (r tan x)
C) –
1
2
D) 0
188
D) 1
E) + 3
limitinin değeri kaçtır?
B) –1
9. E
x"0
limitinin değeri kaçtır?
10. D
1
D) 2
11. D
C) 0
D) 1
E)
1
2
limitinin değeri kaçtır?
B) 0
16. lim cos b
C) 0
1
2
C)
1
2
D) 1
E)
1
4
E) 1
A) –1
A) –2
1
2
C)
limitinin değeri kaçtır?
r
11. lim a – arctan k k
k"3 2
A) –2
1
4
r
– arccos x
14. lim 2
x
x"0
A ) –1
A) –3
limitinin değeri kaçtır?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
9.
6
r sin x
l
2x
B) –
limitinin değeri kaçtır?
1
2
C) 0
D) E) 1
12. B
13. D
14. D
15. D
16. C
1
2
E) 1
SINAMA ADIMI
sin (1 – x)
x2 – 1
A) –2
2.
B) –1
3.
lim
x"
r
3
C) –
1
2
5.
D) 0
E) 2
limitinin değeri kaçtır?
B) –1
sin 2x + sin x
cos 2x – cos x
C) 0
D) 1
E) 3
7.
limitinin değeri kaçtır?
B) – 3
C) –
x2 m
x2
+ 2 cos c r m
4
3
x
x
cos r – sin r
3
2
3
2
D) 1
x"1
A) 0
B) –
1
2
C) –
1. C
limitinin değeri kaçtır?
B)
1
2
C)
^ x 2 – 1h 2 ^ x 2 – xh
x " 1 ^ x 3 – 1h^ x 4 – 1h
lim
A) 0
B)
lim
4 x + 1 – 64
4 x – 16
x"2
2
2
2. D
limitinin değeri kaçtır?
8.
f (x) =
A) 8
D) – 2
3. B
1
6
1
4
D)
1
16
E)
3
8
limitinin değeri kaçtır?
C)
1
4
D)
1
2
E) 1
limitinin değeri kaçtır?
B) 4
C) 8
D) 16
E) 64
D) 5
E) 4
E) 3
sin c r
lim
x
4
x2
x"0
A) 2
A) –2 3
4.
lim
A) 16
6.
3 x + 3 –x
lim
x " 3 3 x – 3 –x
A) –3
tan 2
limitinin değeri kaçtır?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
lim
x"1
2x + 1
ve lim f –1 (x) kaçtır?
x–2
x"3
B) 7
C) 6
E) –2 2
4. E
5. D
6. A
7. B
8. B
189
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
7
SINAMA ADIMI
r
k limitinin değeri kaçtır?
2
lim ^ tan yh . a y –
r
y"
x
y"
2
2
A) 1
B) 0
1
3
C) –
D) –
8y 3 – 4y 2 x – 2yx 2 + x 3
x – 2y
13. lim
1
2
E) –1
A) –x
B) –
3
14. lim
^ tan x – 1h
10. lim
limitinin değeri kaçtır?
r
cot 2x
x"
4
A) 1
B)
11. lim c
x"1
A) 0
12. lim
x"a
A)
190
1
2
1
2
a x –x a
x2 – a2
–1
2a
C) 0
D) –
x"3
A)
1
3
B)
C) 1
D)
9. E
C)
–1
8a
10. E
D)
11. B
1
162
3
2
15. f (x) =
B)
16.
–1
4a
E)
12. E
–1
4 a
x –1
x +1
C) 0
D)
1
2
E) 1
limitinin değeri kaçtır?
1
81
C)
1
54
ise, lim ^ fofh (x)
D)
1
27
E)
1
18
değeri kaçtır?
x"1
B) –1
A) –2
E) 2
limitinin değeri kaçtır?
–1
8 a
x + 24 – 3
x2 – 9
limitinin değeri kaçtır?
E) –1
2
1
–
m limitinin değeri kaçtır?
x2 – 1 x2 – x
B)
x
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
9.
7
C) –
1
2
D) 0
E) 1
x2 + 1
lim c
– ax – b m = 0 olduğuna göre, a + b kaçtır?
x +1
x "+3
B) –1
A) –2
13. C
14. A
C) 0
15. B
D) 1
16. C
E) 2
SINAMA ADIMI
lim ^ x 2 – x + 1 – ax – bh = 0 olduğuna göre, a + b
x " –3
5.
kaçtır?
A) –2y
B) –1
1
D)
2
C) 0
6.
2.
n elemanlı bir kümenin r–li permütasyonlarının kümesi
P(n, r), r–li kombinasyonlarının kümesi C(n, r) ile gösterildiğine göre,
A) 0
B)
lim
n"3
1
2
lim –
x"3
A) –6
P (n, 4) .C (n, 1)
değeri kaçtır?
P (n, 3) .C (n, 2)
C) 1
D) 2
4.
arcsin x
lim
x
x"0
A) –1
C) 0
lim
x"2
E)
1
D)
2
3. A
D) 14
E) 16
1
2
x +1
+
+ ... + 2 m limitinin değeri kaçtır?
x2 x2
x
1
6
lim
x"2
A) 0
2. D
C) 12
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
E) 2
E) 6
limitinin değeri kaçtır?
1. E
B) 10
lim c
n"3
A)
D) 3
C) 0
E) 2y
5
2
8.
1
B) –
2
D) y
4 – m+x
limitinin var olabilmesi için m ne
x–2
A) 8
| x2 – 9 |
limitinin değeri kaçtır?
x–3
B) –3
C) 0
olmalıdır?
7.
3.
B) –y
3
E)
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A) –2
^ x – yh 2 – y 2
limitinin değeri kaçtır?
x
x"0
lim
sin (x – 2)
limitinin değeri kaçtır?
2x – 2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) 1
4. E
5. A
6. D
7. C
8. C
191
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
8
SINAMA ADIMI
lim
x " –8
12.
x +2
limitinin değeri kaçtır?
x+8
y
3
1
A)
2
1
B)
3
1
C)
4
1
D)
12
2
1
E)
24
–2
–3
0
2
4
6
x
Şekilde f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f fonksiyonunun –3, –2, 0, 2, 4, 6 noktalarından bazılarında var olan
limitlerin toplamı kaçtır?
A) 9
10. lim log 3 d
x"3
A)
13. lim ;
x2 – 9
n limitinin değeri kaçtır?
x– 3
2
+ 2 log 3 2
3
D)
B) 8
C) 7
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
3
9.
8
B)
2
log 3 4
3
3
+ log 3 4
2
x"0
C)
E)
3
log 3 4
2
A)
1
6
D) 6
E) 4
1
1
–
E limitinin değeri kaçtır?
sin 2 x x 2
B)
1
4
C)
1
3
D)
1
2
E)
2
5
3
+ log 3 4
4
,nx
14. lim cot x limitinin değeri kaçtır?
x"0
11.
lim
n"3
A) –2
192
4n!
limitinin değeri kaçtır?
n! – (n + 1) !
B) –1
9. D
C) 0
10. D
D) 4
11. C
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 8
12. C
13. C
14. C
E) 2
SINAMA ADIMI
1
12
B)
C)
1
6
D)
1
3
E)
1
2
B) –1
lim ^ x +
x"3
3
1 – 2 cos x
limitinin değeri kaçtır?
r–3x
lim
x"
r
3
A) –
6.
1+ h – 1 – h
limitinin değeri kaçtır?
h
lim
h"0
A) –2
3.
1
9
5.
1
3
B) –
1
D) 2
C) 0
7.
B) –1
C) 0
D) 1
D)
2
2
E)
3
3
2
B) – r
2
D) r
C) r
3
E) r
1
f (x) = x fonksiyonu veriliyor.
h"3
E) 2
8.
lim
sin x – cos x
limitinin değeri kaçtır?
1 – tan x
A) –
2
2
r
4
1
2
1 – x2
limitinin değeri kaçtır?
sin rx
1
A) – r
E) 1
1 – x 3 h limitinin değeri kaçtır?
lim
x"1
1
A) – x
x"
C)
lim 6 f (x + h) – f (x) @ değeri nedir?
A) –2
4.
3
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A)
2.
1
1
–
G limitinin değeri kaçtır?
2^ 1 – x h 3^ 1 – 3 x h
lim =
x"1
1
2
C) 0
1. A
2. E
B) –
D)
3. C
1
B) x
C) 0
D)
1
x2
E) –
1
x2
lim (f.g) (x) = – 2 ise,
lim f (x) = 3 ve
x" 2
x" 2
lim g (x) kaçtır?
x" 2
2
2
E)
4. A
2
4
A)
2
3
B)
5. B
3
2
C)
6. D
1
3
7. A
D) –
8. E
2
2
E) –
2
3
193
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
9
SINAMA ADIMI
a > 0 olmak üzere lim
x"0
a+x – a–x
+
a x – a2 – x2
limitinin değeri
13. lim
x"0
sin sin x
limitinin değeri kaçtır?
x
kaçtır?
A) 0
a
B) a
1
A)
2a
a
C)
2a
D) a
x"1 3
A)
B)
1–
11. lim
x"1
1–
A ) –2
x"1
x –4 x
limitinin değeri kaçtır?
x –5 x
1
8
3
8
C)
2 – 4 – 3x
1
2–
3 – 2x
B) –
3
2
lim
R"3
A) 0
7
8
D)
A) –1
10
8
E)
194
1
T
1
4
D)
2
3
E) 1
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
15. A x = 3. 3 . 4 3 . 8 3 ... 2x 3 olduğuna göre, lim A x değeri
limitinin değeri kaçtır?
x"3
kaçtır?
C) –1
C)
9. B
B) –
15
8
D) 0
E)
3
2
P.V + R
limitinin değeri kaçtır?
n.R.T + 1
B)
C)
tan (ln x)
limitinin değeri kaçtır?
ln x
A) 1
16. f(x + 1) =
12.
1
2
E) 2 a
14. lim
10. lim
B)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
9.
9
1
n.T
10. E
C) 9
D) 27
p
1
; f (x) +
E ve p > 0, f(1) > 0
2
f (x)
E) 81
olduğuna göre,
lim f (x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x"3
1
D) n
11. B
B) 3
12. C
E) 3
A)
p
2
13. E
B) 2p
14. E
C) p
15. C
16. C
D)
p
2
E) 2 p
2.
BÖLÜM
KAVRAMSAL ADIM
BİR DİZİNİN LİMİTİ
ÖRNEK
Bir Gerçel Sayının Komşuluğu
n+1
1
^ a n h = b n + 2 l dizisinin kaç terimi 1 in 2
dışındadır?
x, a ∈ |R ve ε > 0 olmak üzere,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
K = {x ∈ IR: |x – a| < ε} kümesine a nın ε (epsilon) komşuluğu
denir.
|x – a| < ε + –ε < x – a < ε + a – ε < x < a + ε
x ∈ (a – ε, a + ε) dur.
açık komşuluğu
O halde a nın ε komşuluğu (a – ε, a + ε) açık aralığıdır.
ÇÖZÜM
an – 1 =
n+1
1
–1
1
–1 < &
<
n+ 2
2
n+ 2 2
1
1
< & n+ 2 > 2 + n > 0
n+ 2 2
ÖRNEK
4 ün
olup dizinin hiç bir terimi komşuluk dışında değildir.
1
komşuluğunu bulalım.
2
LİMİT
(an) bir gerçel sayı dizisi olsun. Her ε > 0 için (an) dizisinin sonlu
ÇÖZÜM
sayıda terimi hariç, diğer tüm terimleri (hemen hemen her terimi)
a = 4, ε =
1
olur.
2
bir a ∈ IR sayısının ε komşuluğu içinde ise, (an) dizisinin limiti
1
1
7 9
^ a – ε, a + ε h = b 4 – 2 , 4 + 2 l = b 2 , 2 l dir.
n"3
( 72 , 92 )
1
2
3
(2, 3) aralığı a nın ε komşuluğu ise, a ve ε u bulunuz.
ÇÖZÜM
a+ε=3
5
1
4 a = 2 , ε = 2 dir.
2a = 5
HEMEN HEMEN HER TERİM
Bir dizinin sonlu sayıdaki terimleri hariç, diğer tüm terimlerine
dizinin hemen hemen her terimi denir.
(an) → a yazılır.
Yakınsak olmayan dizilere ıraksak dizi denir.
4
ÖRNEK
a – ε=2
n"3
lim a n = a ise, (an) dizisi a noktasının yakınsıyor denir.
Sayı doğrusunda gösterelim.
0
a dır denir. lim a n = a yazılır.
ÖRNEK
lim
n"3
2n – 1
= 2 olduğunu gösteriniz.
n+1
ÇÖZÜM
6ε > 0 için
|an – 2| < ε olduğunu göstermeliyiz.
2n – 1
–3
1
–2 =
< ε ve ε = > 0 seçilirse
n+1
n+1
2
3
1
< & n + 1> 6 & n > 5 olup a1, a2 , a3, a4, a5 dışındaki
n+1 2
tüm terimler dizinin
195
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
BİR DİZİNİN LİMİTİ – SERİLER
b2 –
1
1
, 2+ l
2
2
DİZİLERİN LİMİTLERİNE İLİŞKİN ÖZELLİKLER
(an), (bn) ve (cn) gerçel sayı dizileri ve k ∈ IR olsun.
3 5
=b , l
2 2
komşuluğundadır. O halde dizinin sonlu sayıda terimi dışındaki
3 5
tüm terimler b , l komşuluğunda olduğundan dizi 2 noktasına
2 2
yakınsar
lim a n = 2
Yani
x"3
dir.
ÖRNEK
1.
(an) → a & (an –a) → 0
2.
(an) → a, (bn) → b & (an + bn) → a + b
3.
(an) → a, (bn) → b & (an – bn) → a – b
4.
(an) → a, (bn) → b & (an . bn) → a . b
5.
a
a
(an) → a, (bn) → b, (bn) ! 0, b ! 0 & d n n " a k
bn
b
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
(an) = (–1)n dizisinin limitini (varsa) bulunuz.
6.
(an) → a, (k.an) → k.a
7.
(an) → a, (bn) → a ve 6n ! IN + için an ≤ cn ≤ bn ise
(cn) → a (Sandviç özelliği)
ÇÖZÜM
(an) = (–1, 1, –1, ..... (–1)2, ... ) olup dizinin terimleri –1 ve 1 den
1
oluşur. Dizinin limitini –1 kabul edelim. –1 in
komşuluğu içinde
10
dizinin sonsuz tane terimi (hemen hemen her terimi (–1 ler) vardır.
Fakat dizin sonsuz sayıda terimi (1 ler) de komşuluğu dışında kal-
maktadır. O halde dizinin limiti –1 veya 1 olamaz. Limit yoktur. Yani
dizi ıraksaktır.
8.
(an) → a & _ a k i " a
n
9.
|a| < 1 & (an) → 0
10. (an) → a & |an| → |a|
11. a ∈ IR+ , (bn) → b ise ^ a (b n) h → ab
12. a > 0 ise _ a n i " 1
1
13. (an) pozitif terimli bir dizi ve
ALT LİMİT – ÜST LİMİT
a
lim = an + 1 = r
n
n"3
Bir (an) dizisinin yakınsak alt dizilerinin limitleri sonlu sayıda ise
bunların en küçüğüne dizinin alt limiti, en büyüğüne dizinin üst
limiti denir.
lim
n"3
n
ise,
a n = r dir.
14. P tek doğal sayı ve (an) → a & P a n "
P
a
15. P çift sayma sayısı ve 6n ! IN + için a n ≥ 0 olsun.
Alt limit lim a n , üst limit lim a n ile gösterilir.
(a n) " a & P a n "
lim a n = lim a n = a + (a n) dizinin limiti var ve lim (a n) = a dır.
n"3
lim a n ] lim a n + ^ a n h dizisinin limiti yoktur.
16.
P
a
1 n
lim b 1+ n l = e
n"3
17. (an) → 0, (bn) → 3 ve
(a n .b n) " c & _ (1+ a n) b n i " e c
UYARI
Yakınsak bir (an) dizisinin tüm alt dizileri de yakınsaktır
ve (an) dizisinin yakınsadığı noktaya yakınsar, fakat
bunun karşıtı doğru değildir.
18. (an) → a ise, lim
n"3
19.
lim a n = 0 ise,
n"3
sin a
lim = a n = 1,
n
n"3
196
a 1+ a 2 + ... + a n
= a dır.
n
lim =
n"3
tan a n
a n = 1 dir.
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
GENİŞLETİLMİŞ REEL (GERÇEL) SAYILAR
5.
A) (+ 3 ).(+ 3 ) = + 3
KÜMESİNDE İŞLEMLER
B) (– 3 ).(– 3 ) = + 3
Reel sayılar kümesine artı sonsuz (+ 3 ) ve eksi sonsuz (– 3 ) ek-
C) (+ 3 ).(– 3 ) = – 3
lenerek elde edilen yeni sayı kümesine genişletilmiş reel sayılar
kümesi denir ve IR ile gösterilir.
IR = (– 3 , 3 ) ve
6.
6n ! IN + için (+ 3) n =+ 3
7.
6n ! IN + için (–3) n = *
8.
6n ! IN + için
9.
6n ! IN + ve n tek sayı ise
IR = IR , {–3, 3} = [–3, 3] dur.
+ 3 ve – 3
Benzer şekilde
lim a n = –3 ve dizi – 3 'a ıraksıyor denir.
n"3
IR KÜMESİNDE İŞLEMLER
1.
Her a ∈ IR için
+ 3 =+ 3
n
–3 = –3
reel sayı değildir. Bu nedenle
lim a n = 3 ise, dizi ıraksaktır ya da 3 'a ıraksıyor denir.
n"3
- 3 , n tek sayı ise
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
NOT:
n
+ 3 , n çift sayı ise
10. A) (+ 3) + (–3)_
b
b belirsiz durumlar.
B) 0. (! 3)
`
b
"3
C) " 3
b
a
SINIRLI DİZİLER, ALT VE ÜST SINIR
Her n ∈ N+ için an ≤ M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (an)
A) (+ 3 ) + a = + 3
dizisi üstten sınırlıdır denir. M ve M den büyük her sayıya dizinin
bir üst sınırı denir.
B) (– 3 ) + a = – 3
Her n ∈ IR+ için T ≤ an olacak şekilde bir T reel sayısı varsa
2.
3.
(an) dizisi alttan sınırlıdır denir. T ve T den küçük her sayıya di-
a ∈ IR \ {0} için
zinin bir alt sınırı denir. Her n ∈ IN+ için |an| ≤ M olacak biçimde
A) a. (+ 3) = *
+3 ,
a > 0 ise
pozitif bir M reel sayısı varsa (an) dizisi sınırlıdır denir. |an| ≤ M
–3 ,
a < 0 ise
olmak üzere (an) dizisi sınırlı ise, –M ve M reel sayıları dizinin sıra
B) a. (–3) = *
–3 ,
a > 0 ise
ile alt ve üst sınırlarıdır.
+3 ,
a < 0 ise
a > 0 ise
C)
+3
a
=*
+3 ,
–3
,
a < 0 ise
D)
–3
a
=*
–3
,
a > 0 ise
+3 ,
a < 0 ise
6a ! IR için
a
A) + 3 = 0
4.
En Küçük Üst Sınır: Üstten sınırlı bir (an) dizisinin üst sınırlarının en küçüğüne (an) dizisinin en küçük üst sınırı denir ve
EKÜS(an) ile gösterilir. EKÜS diziye ait değil ise buna dizinin en
küçük elamanı denir.
En Büyük Alt Sınır: Alttan sınırlı bir (an) dizisinin alt sınırlarının en
büyüğüne (an) dizisinin en büyük alt sınırı denir ve EBAS(an) ile
gösterilir. EBAS diziye ait ise bir dizinin en küçük elemanı denir.
a
B) –3 = 0
ÖRNEK
A) (+ 3 ) + (+ 3 ) = + 3
(an) = (5 – 3n) dizisi için EKÜS(an), EBAS(an) nedir?
B) (– 3 ) + (– 3 ) = – 3
197
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
(an) = (2, –1, –4, –7, ... , 5 – 3n, ...) dizisinde her n ∈ IN+ için
3 4 5 6
(a n) = b –2, , – , , – , ........ l
2 3 4 5
gösterilirse
an ≤ 2 dir. Yani dizi üstten sınırlıdır.
EKÜS(an) = 2 olup 2, dizinin bir elemanı olduğundan en büyük
4
3
elemanı 2 dir. Dizi alttan sınırlı olmadığından EBAS(an) yoktur.
–2
olup terimler sayı doğrusunda
6
5
5
4
–1
0
3
2
1
3
3
olup EKÜS(an) =
dir.
her n ∈ IN+ için a n ≤
2
2
ÖRNEK
6n ! IN + için an ≥ –2 olup EBAS(an) = –2 dir.
(an) = (4n + 1) dizisi için EKÜS(an), EBAS(an) nedir?
ÇÖZÜM
3
ve –2 dizinin bir elemanı olduğundan dizinin en büyük ele2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
(an) = (5, 9, 13, 17, ... 4n + 1, ...) dizisine her n ∈ IN+ için an ≥ 5
manı
3
, en küçük elemanı –2 dir.
2
UYARI
olup dizi alttan sınırlıdır. EBAS(an) = 5 olup 5, dizinin bir elemanı
1. Yakınsak her dizi sınırlıdır.
olduğundan en küçük elemanı 5 tir. Dizi üstten sınırlı olmadığından
2. Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve
yeter koşul sınırlı olmasıdır.
EKÜS(an) yoktur.
ÖRNEK
n+ 2
(an) = b n l dizisinin EBAS ve EKÜS'ünü bulunuz.
ÇÖZÜM
n+ 2
2
(a n) = b n l = b 1+ n l
2
2
2
2
(a n) = b 3, 2, 1+ , 1+ , ..., 1+
, ... , 1+ n ... l
3
4
100
3. Yakınsak bir dizinin limiti tektir.
UYARI
(a n) = b
a.n + b
biçiminde olan dizi için:
c.n + d l
d
a+ b
a
ve c sayılarından
A) n = – c < 1 ise a1 =
c+d
büyük olan EKÜS, küçük olan EBAS'tır.
d
d
B) n = – c > 1 ise – c ye en yakın olan iki doğal sayı
k ve k + 1 ise, ak ve ak+1 terimlerinin küçüğü
EBAS, büyüğü EKÜS'tür.
dizisinde her n ∈ IN+ için 1 < an ≤ 3 tür. O halde dizi sınırlıdır ve
EKÜS(an) = 3
EBAS(an) = 1 dir.
3, dizinin bir elemanı olduğundan dizinin en büyük elemanıdır.
Fakat 1, dizinin bir elemanı olmadığından dizinin en küçük elemanı yoktur.
ÖRNEK
UYARI
(a n) = (a.n 2 + b.n + c)
Parabolik dizi de a > 0 ise EBAS vardır, EKÜS
yoktur. a < 0 ise EKÜS vardır, EBAS yoktur. Ayrıca
A) –
b
< 1 ise EBAS ya da EKÜS a1'e eşittir.
2a
B) –
b
> 1 ise tepe noktasına en yakın sayı k olmak
2a
üzere ak EKÜS ya da EBAS tır.
C) –
n+1
(a n) = b (–1) n . n l dizinin EKÜS ve EBAS'ını bulunuz.
198
dizisine parabolik dizi denir.
b
b
için an
, 1 den büyük tamsayı ve n = –
2a
2a
değeri EBAS ya da EKÜS'tür.
1.
(an) = (n2 – 2n) dizisinin EBAS'ı nedir?
4.
Çözüm
(an) = (n2 + 5n) dizisinin limiti nedir?
Çözüm
(an) = (–1, 0, 5, 8, ...)
(an) = (1.n2 + 5n)
↓
1>0
y
a=1>0
–
3
2
b
–2
=–
=1
2a
2.1
1
olup dizi için
0
–1
EBAS(an) = –1 dir.
–2
1
2 3 4
lim a n = lim (n 2 + 5n) =+ 3 dur.
x
n"3
Her n ∈ IN+ için an ≥ –1
n"3
UYARI
olduğundan dizi alttan sınırlıdır.
n"3
n"3
dizisinin limiti nedir?
Çözüm
Z
]+ 3 ,
]
=[
]
] –3 ,
\
22 +1 5
lim a = 2 ise lim b n = 3
=
dur.
n"3 n
n"3
2 +1 9
5.
3.
lim a n = –1 ise
n"3
b m n m + b m–1n m–1+ ... + b 1n + b 0
Z" 3 ,
]
]] a
=[ k ,
] bm
]
0 ,
\
lim a n = 2 ise ,
a 2 +1
(b n) = f n3
p
an + 1
a k n k + a k–1n k–1+ ... + a 1n + a 0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
lim
2.
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
lim a (n 2 + 1) kaçtır?
n"3
Çözüm
(a n) = c
k > m ise
k = p ise
k < m ise
ak
> 0 ise
bm
ak
< 0 ise
bm
3
m ise
5n
lim (a )
n"3 n
nedir?
Çözüm
1 n
1
(a n) = 3 b l olup
< 1 olduğundan
5
5
^ a (n 2 + 1) h dizisi (a n) in (k n) = (n 2 + 1) ait dizisi olup
(a n) ile ^ a (n 2 + 1) h dizilerinin limitleri aynıdır.
1 n
lim (a n) = lim 3 b l = 0 dir.
n"3
n"3 5
Yani a n 2 + 1= –1 dir.
6.
UYARI
P(n) = ak
Çözüm
nk
+ ak–1
lim P (n) = *
n"3
a ∈ IR+ (an) → a ve an2 – 4an+2 = 5 ise, a kaçtır?
nk–1 +
... + a1n + a0 polinomu için
+ 3 , a k > 0 ise
–3 , a k < 0 ise
(an) → a ise, an+2 → a dır.
O halde a2 – 4a – 5 = 0 ise
dir.
(a + 1)(a – 5) = 0 & a = –1 veya a = 5 tir.
a > 0 koşulu verildiğinden a= 5 tir.
199
7.
sin n
lim b n l nedir?
10. (a n) = c
n"3
2.3 n + 3 –n
m dizisinin limiti nedir?
3.4 n + 4 –n
Çözüm
Çözüm
1 sin n 1
–1 ≤ sin n ≤ 1 olduğundan – n ≤ n ≤ n dir.
Pay ve paydayı 3–n ile çarpalım.
1
sin n
1
lim b – n l ≤ lim b n l ≤ lim b n l
n"3
n"3
n"3
.
5
sin n
0 ≤ lim n ≤ 0
n"3
sin n
n = 0 dır. (Sandviç özelliği)
& lim
n"3
^ an h = f
2 + 3 –2n
p
4 n
3 b l + 12 –n
3
3 –2n = c
1 n
1 n
m =b 9 l
2
3
4 n 4
4 n
> 1 olduğundan c m " 3 dur.
b l,
3
3
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
O halde
lim a =
n " 3^ n h
8.
2+0
=0
3+0
dır.
2 n
^ a n h = c b 1+ n l m dizisinin limiti nedir?
Çözüm
1 n
lim b 1+ n l = e özelliğini kullanacağız.
n"3
11. ^ a n h = ^ 2n 2 + 3n –
2 n h dizisinin limiti nedir?
Çözüm
2 n
lim a = lim b 1+ n l
n"3 n n"3
n 2
n yerine 3 yazılırsa
2 n = 3 – 3 belirsizliği
ile karşılaşılır.
2
= lim = b 1+ n l 2 G
n"3
Bu durumda,
= e2
bölünür.
dir.
2n 2 + 3n –
2n 2 + 3n –
2 n ifadesi eşleniği ile çarpılır ve
Yani
lim
n"3
2n 2 + 3n –
2n
^ 2n 2 + 3n – 2 n h .^ 2n 2 + 3n + 2 n h
n"3
2n 2 + 3n + 2 n
= lim
9.
^ an h = d
1 3 + 2 3 + 3 2 + ... + n 3
n dizisinin limiti nedir?
5n 4 – 3n 2
= lim
n"3
2n 2 + 3n – 2n 2
2n 2 + 3n + 2 n
Çözüm
n (n + 1) 2
E olduğundan
1 3 + 2 3 + 3 3 + .. + n 3 = ;
2
n (n + 1) 2
(n 2 + n) 2
E
2
4
lim
= lim
n " 3 5n 4 – 3n 2
n " 3 5n 4 – 3n 2
;
n 4 + 2n 3 + n 2
1
lim
=
dir.
n " 3 20n 4 – 12n 2
20
200
3n
3
n l+ 2n
= lim
n2 b 2 +
n"3
= lim
n"3
=
nb
3n
3
2+ n + 2 l
3
3
dir.
=
2+ 2 2 2
1.
Aşağıdaki dizilerden hangisi yakınsaktır?
A) (2 n)
D) d
n3 +1
n
n2 +1
B) a
cos n k
n
4.
C) b
2n + 3
l
2
n–2
^ a n h = c (–1) n b n + 1 l m dizisinin EBAS ve EKÜS toplamı
nedir?
E) ^ e ln n h
0
2.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
B
3n
1
b 4 + n l dizisinin 3 ün 2 açık komşuluğu dışında kaç terimi
vardır?
5.
^ an h =
f
1
n 2 p ise
n
sin
lim a
x " 3^ n h
kaçtır?
0
20
3.
sin n 2
^ a n h = c b n l m dizisinin limiti nedir?
6.
^ an h = a 2
sin b
n+1
rl
2n
k
dizisinin limiti nedir?
0
2
201
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
^ an h = > C f
n+1 n
p H ise,
1
10. lim b
lim ^ a n h kaçtır?
n"3
n"3
2n + 3 n + 5
limitinin değeri kaçtır?
2n + 5 l
1
–
e
e
8.
^ a n h = f c 1+
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1
7.
m
n 2 + 2n
1
(n + 1 ) 2
p dizisinin limiti nedir?
11. (an) pozitif terimli bir dizidir. _ a 22n + 2a n + 1+ 1i dizisinin
limiti 4 ise, (an) dizisinin limiti nedir?
e
9.
^ a n h = d c 1+
3n + 4n + 1
m ise, lim(an) nedir?
12. ^ a n h = c
3.4 n – 3 n
1 n
m n dizisinin limiti nedir?
n2
1
202
1
4
–
3
➢
SERİLER
r < 1 olmak üzere
(an) = (a1, a2, a3, … , an) dizisinin elemanlarının toplamına
seri denir. (an) bir dizi olmak üzere seri
3
/ n.r n–1= 1+ 2r + 3r 2 + 4r 3 + . . .
A=
n=1
3
/ a n = a1+ a 2 + a 3 + ... + a n + ...
n=1
serisinin değeri
3
/ n.r n–1= (1 –1r) 2 dir. Bu eşitliğin doğruluğunu
n=1
şeklinde gösterilir. Burada an ye serinin genel terimi denir.
Genel terimi aritmetik dizi olan seriye aritmetik seri, genel terimi
geometrik dizi olan seriye geometrik seri denir. Bu bölümde geometrik serileri inceleyeceğiz.
görelim.
A = 1 + 2r + 3r2 + 4r3 + …
eşitliğinin her iki tarafını r ile çarpalım.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
(an) bir geometrik dizi olsun. (an) dizisiyle oluşturulan seri
Ar = r + 2r 2 + 3r 3 + 4r 4 + . . .
3
/ ak
k=1
olur.
dır. (an) geometrik dizisinin ortak çarpanı r ise seri
3
3
k=1
k=1
A – Ar = 1+ r + r 2 + r 3 + . . .
/ a k = / a1. r k –1
A (1– r) = 1+ r + r 2 + . . .
şeklindedir.
Bu konu içerisinde çok kullanılacak olan
n
A (1 – r) =
n
/ a1r k–1= a1+ a1r + a1r 2 + ... + a1r n–1= a1 11––rr
k=1
bağıntısını hatırlayınız.
k
bulunur.
UYARI
k
/ a1r n–1= a1+ a1r + a1r 2 + ... + a1r n–1= a1 11––rr
n=1
3
xn
n!
n=0
/
3
n=1
/ a1r n–1
/
n=0
dir.
UYARI
3
serisinin değeri
3
toplamında k → ∞ için rk → 0 olduğundan
/ a1r n–1= a1 1 –1 r
1
1
& A=
1– r
( 1 – r) 2
n
x
=ex
n!
dir.
3
sonsuz toplamında
xn
= e x eşitliğinde
n!
n=0
➢ r < 1 ise toplam bir reel sayıdır.
➢ x = 1 yazılarak
/
n=1
➢ r ≥ 1 ise toplam sonsuza yaklaşır.
3
/
n=0
Seri kavramı, bir dizinin sonsuz çoklukta teriminin toplamı
için kullanıldığından bu toplam serinin değeridir. Bu nedenle bu
bölümde sonsuz toplam için serinin değeri kavramını kullanacağız.
1
1 1
1
1
= 1+ + + + + ... = e1 = e
n!
1! 2! 2! 3!
➢ x = –1 yazılarak
3
(–1) n
1 1 1
1
= 1+ + – + ... = e –1 = e
n!
1! 2! 3!
n=0
/
bulunur. Burada e = 2,71828… dir.
203
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
1.
3
n–1
/ b 31 l
serisinin değerini bulalım.
n=1
Çözüm
Çözüm
3
n–1
= 1+
n=1
a1 = 1, r =
3
n–1
/ b 31 l
=
3
a1
=
1– r
n–1
/ b 52 l
1
1–
3
n–1
/ b 52 l
= 1+
n–1
/ b 52 l
=
n=1
3
n–1
/ 3. b 72 l
dir.
=
n=1
5.
3
2
< 1 olduğundan
7
r =
a1
=
1– r
3
1–
2
7
=
21
olur.
5
n–1
/ b – 92 l
serisinin değerini bulalım.
3
a1
=
1– r
2
ve
5
1
2
1–
5
=
r =
n=1
2
< 1 olduğundan
5
3
serisinin değerini bulalım.
6.
3
3 2
a1 = b l ,
4
3 2
3 3
3 4
= b l + b l + b l + ... serisinde
4
4
4
r=
3
,
4
r =
3
< 1 olduğundan
4
3 2
9
b l
4
3 n+1
a
16
/ b 4 l = 1 – r = 3 = 1 = 94
n=1
1–
4
4
n
/ b – 43 l
n=1
1
2
1 – b– l
9
=
9
olur.
11
serisinin değerini bulalım.
3
–3 2
3 3
= b- l + b l + b – l + ... serisinde
4
4
4
3
3
3
a 1= – , r = – ve r = – < 1 olduğundan
4
4
4
3
olur.
a1
=
1– r
n
/ b – 43 l
3
2
2
ve r = – < 1 olduğundan
9
9
=
n=1
Çözüm
n=1
n–1
/ b – 92 l
5
olur.
3
Çözüm
n–1
2
2 2
2 3
= 1+ b- l + b – l + b – l + ... serisinde
9
9
9
a 1= 1, r = –
n=1
/ b 34 l
n–1
/ b – 92 l
n=1
204
2
,
7
a1 = 3, r =
n+1
/ b 34 l
3
2
2 2
= 3 + 3. + 3. b l + ... serisinde
7
7
n=1
2
2 2
2 3
+ b l + b l + ...
5
5
5
serisinde a1 = 1, r =
3
n–1
/ 3. b 72 l
Çözüm
n=1
3
3
2
serisinin değerini bulalım.
n=1
Çözüm
3
=
serisinin değerini bulalım.
n=1
3
1
n–1
3
1
1 2
1 3
+ b l + b l + ... +
3
3
3
1
1
ve r =
< 1 olduğundan
3
3
n=1
3.
3
/ 3. b 72 l
n=1
/ b 31 l
2.
4.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
n
/ b – 43 l
n=1
=
a1
=
1– r
3
3
–
4 = 4 = – 3 olur.
7
7
3
1 – b– l
4
4
–
7.
3
n+2
/ b 31 l
serisinin değerini bulalım.
10.
n
n=3
n=2
Çözüm
Çözüm
3
/
n=3
3
1 n+2
1 5
1 6
1 7
= c m + c m + c m + ... serisinde
c3 m
3
3
3
n
/ 3 b – 21 l
n=2
serisinin değerini bulalım.
1 2
1 3
1 4
= 3 b – l + 3 b – l + 3 b – l + ... serisinde
2
2
2
1 5
1
1
a 1= b l , r = ve r =
< 1 olduğundan
3
3
3
1 2
1
a1= 3 b – l , r = – ,
2
2
1 5
1 5
b l
b l
a1
3
1
1 n+2
dir.
/ b 3 l = 1 - r = 1 = 32 = 315 . 32 = 162
n=3
13
3
1 2
3b– l
a1
2
1 n
/ 3b– 2 l = 1 – r =
1
n=2
1 – b– l
2
3
r = –
3
3 2 1
= 4 = . =
1 4 3 2
1+
2
3
/c
n=6
3
n=6
olur.
1 n
m serisinin değerini bulalım.
3
Çözüm
/c
1
< 1 olup
2
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
8.
3
/ 3 b – 21 l
1 n
1 6
1 7
m =c
m +c
m + ... serisinde
3
3
3
11.
7
7
7
7
+
+
+ ... + n + ... serisinin değerini bulalım.
10 10 2 10 3
10
Çözüm
a1= c
6
1
1
m , r=
3
3
ve
r <
1
< 1 olduğundan
3
3
7
7
7
7
7 n
+
+
+ ... + n + ... / 7 b l
10 10 2 10 3
10
10
n=1
1 6
1
m
a
/ c 1 m = 1 –1r = 3 1 = 271
3
n=6
1–
1–
3
3
3
=
9.
c
n
3
1
3
3+ 3
.
=
27 3 – 1
54
n+1
/ b – 31 l
olup serisinde
a1=
7
1
, r=
,
10
10
r =
1
< 1 olduğundan
10
7
7
a1
1 n
10
10
/ 7 b 10 l = 1 – r = 1 = 9 = 79 olur.
n=1
1–
10 10
olur.
3
serisinin değerini bulalım.
n=3
Çözüm
3
12.
n+1
/ b – 31 l
n=3
/
n=3
n+1
1
c– 3 m
5
serisinin değerini bulalım.
6
1
1
1
= b – l + b – l + b – l + ... serisinde
3
3
3
1 4
a1= b – l ,
3
3
4
9
9
9
+
+ ... + n
100 10000
10
1
1
r = – ve r = – < 1 olduğundan
3
3
1
1 4
c– 3 m
4
a1
1 3
1
3
=
=
=
= 4. =
dir.
1– r
1
4 324
1
1 – c – m 1+ 3 3
3
Çözüm
3
9
9
9
1 n
+
+ ... + n = / 9 b
l serisinde
100 10000
100
10
n=1
a1=
9
,
100
r=
1
,
100
r =
1
< 1 olduğundan
100
9
a1
1 n
9 100 1
100
.
=
=
olur.
/ 9 b 100 l = 1 – r =
1
100
99 11
n=1
1–
100
3
205
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
13.
3
/
n = –3
3
/ sin n x
Çözüm
3
/
n=1
2 1–n = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1+ 1+
n=2
1
1 2
1 3
+ b l + b l + ...
2
2
2
serisinin değerini bulalım.
Çözüm
serisinde
a1
= 24 ,
3
/
π
olmak üzere,
2
16. 0 < x <
2 1–n serisinin değerini bulalım.
3
1
r=
ve
2
2 1–n =
n = –2
/ sin n x = sin x + sin 2 x + sin 3 x + ...
1
r =
< 1 olup
2
r = sin x ve 0 < x <
a 1= sin x ,
a1
24
=
= 2 5 bulunur.
1– r
1
1–
2
3
=
n=1
3
a1
sin x
bulunur.
=
1 – r 1 – sin x
2n + 3n
serisinin değerini bulalım.
7n
n=1
/
Çözüm
17.
3
/ c3
n=0
3
/ c2
n=1
3
n + 3n
2n
m=
n
n
7
n = 17
/
2
3
+
3
n
/ 73n
J 2 N J 3 N
K
O K
O
= K 7 O + K 7 O=
2
3
K 1– O K 1– O
7P L
7P
L
2n + 2 3n
m
16 n
serisinin değerini bulalım.
Çözüm
3
n=1
2
/ c3
3
2
2
2
3
3
3
= ; + b l + b l + ...E + ; + b l + b l + ...E
7
7
7
7
7
7
2
3
7 + 7 = 2 + 3 = 23
5
4 5 4 20
7
7
n=0
3
2n + 2 3n
3 2n
m=
n
n
16
16
n=0
/
=
olur.
3
n=1
n + 4n
m
5n
3
n=1
=
3
=
3
3
n
9
/ b 16
l
3
3
n + 4n
3n
4n
m=
2c n m +
2c n m
n
5
5
5
n=1
n=1
/
/ 2 b 35 l
n=1
+
3
/
n
/ 2 b 45 l
n=1
3
3 2
4
4 2
= ; 2 b l + 2 b l + ...E + ;2 b l + 2 b l + ...E
5
5
5
5
R 3 V R 4 V
S 2 b l W S 2. b l W
5 W 6.5 8.5
5 W S
=S
+
=
+
S1– 3 W S 1– 4 W 5 2 5 1
S
W
S
W
5
5
T
X T
X
= 3 + 8 = 11 olur.
206
+
n=0
18.
n
2 3n
n
16
n=0
3
n
/ b 21 l
n=0
9
9 2
1
1 2
+ b l + ...E + ;1+ + b l + ...E
16
16
2
2
1
9
1–
16
+
1
1
1–
2
=
16
30
+ 2=
7
7
serisinin değerini bulalım.
Çözüm
/ 2c 3
3
/
3
9n
8n
n + / 16 n
16
n=0
n=0
=
/ 2c 3
+
/
= ;1+
15.
π
olduğundan
2
r = sin x < 1 olup
/ sin n x
14.
serisinde
n=1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
3
/
5 1–n .2 2n + 3 serisinin değerini bulalım.
n=1
Çözüm
3
3
3
n=1
n=1
n=1
n
/ 51–n .2 2n + 3 = / 5.5 –n .2 2n .2 3 = / 40 b 45 l
serisinde n = 1 için
4
a 1= 40. = 32 ,
5
r=
4
ve
5
r <1
olduğundan toplamın değeri
3
n
/ 40. b 45 l
n=1
=
a1
32
=
= 160 bulunur.
4
1– r
1–
5
bulunur.
19.
3
/
Çözüm
2 –n serisinin değerini bulalım.
3
n = –40
/
n=0
Çözüm
3
/
2 –n = 2 40 + 2 39 + 2 38 + ... + 1+
n = –40
1
1 2
+ b l + ...
2
2
2
n = –40
20.
3
/
n=3
3
n=3
3
/
a1 –
a1
4 n
x k = 1– r =
n=0
22.
4
1 – a1 – x k
=
x
bulunur.
4
2 3
2 4
2 5
= 2 c m + 2 c m + 2 c m + ...
3
3
3
3
% 3 2–n
sonsuz çarpımının değerini bulalım.
n=0
3
3
2n + 1
2n
2 n
n = /
n .2 = / 2 c 3 m
3
n=3 3
n=3
Çözüm
olduğundan
3
%
3
1 n
c m
2
n=0
2 3
2
2
a1 = 2c m , r = , | r | =
< 1 dir.
3
3
3
O halde serisinin değeri
2 3
2c m
3
8
16
=
olur.
/ 2 c 23 m = 1a–1r = 3 2 = 6 c 23 m = 6. 27
9
n=3
1–
3
3
1
serisinin değerini bulalım.
Çözüm
/
r < 1 dir.
O halde serisinin değeri;
2 40
a
= 1 =
= 2 41 bulunur.
1
1– r
1–
2
2n + 1
3n
dir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
/
–n
4 n
4
4 2
x k = 1+ a 1 – x k + a 1 – x k + ... serisinde
4
x > 4 için 1 – x < 1 olduğundan
1
1
ve r =
< r
2
2
olduğundan
3
a1 –
4
a 1 = 1, r = 1 – x
serisinde
a 1= 2 40 , r =
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
n
=3
3
n=0
1
2
= 3 .3 .3
3 1 n
/ a k
n=0 n
/
1
1 2
c m
2
... (1)
1 n
1
1 2
c 2 m = 1+ 2 + c 2 m + ...
serisinde a 1 = 1, r =
3
/
n=0
1 3
1
1 2
1 3
.3 c m ... = 1+ + c m + c m + ...
2
2
2
2
a
1 n
c 2 m = 1 –1r =
1
,
2
1
1–
1
2
r =
1
< 1 olduğundan
2
= 2... (2) olur.
(2) deki değer (1) de yerine yazılarak
21. x > 4 olmak üzere,
3
/
n=0
a1 –
4 n
xk
serisinin değerini bulalım.
3
%3
2–n
n=0
=
3
%3
n=0
1 n
c m
2
=3
3 1 n
/ a k
n=0 2
= 32 = 9
bulunur.
207
23.
3
% 53
(3–2n)
sonsuz çarpımının değerini bulalım.
3
/
25.
n = –1
n=1
% 53
3
(3–2n)
= 53
n=0
5
(3–2.1)
.5 3
(3–2.2)
.5 3
/
(3–2.3)
n=1
(–3) n = (–3) –1 + (–3) 0 + (–3) 1 + (–3) 2 + ...
=–
3 (3–2.1)
serisini inceleyelim.
Çözüm
Çözüm
3
^ –3hn
+ 3
3 (3–2.2) 3 (3–2.3)
1
+ 1+ (–3) + 9 ...
3
serisinde r = –3 ve
3
n nin tek sayı değerlerinde
/ 3 (3 – 2 n )
=5n=1
r = –3 > 1 olduğundan
... (1)
dır.
n nin çift sayı değerlerinde
3
/
n=1
3 (3–2n) =
3
/
n=1
3
/
n = –1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
3 3 .3 –2n –
3
/
n=1
3
n
33
3 1
2n = / 3 c 9 m
3
n=1
3
/
n = –1
^ –3hn " –3
^ –3hn " + 3 olur.
1
1 2
1 3
= 3 3 c m + 3 3 c m + 3 2 c m + ...
9
9
9
1
1
1
serisinde a 1 = 3 3 c m, r = ve r =
< r olduğundan
9
9
9
26.
k=1
3
/
k=1
3
%5
3 (3–2n)
n=0
=5
/ 3 (3–2n)
n–1
=5
27
8
r–k =
bulunur.
3
k
a
a1k = 1 =
r
–r
1
n=1
3
/
k=1
3
/
2 n serisini inceleyelim.
n=1
3
/
3
n=1
r = 2 ve
208
k=1
2 n = 2 + 2 2 + 2 3 + ... " 3 dur.
r = 2 > 1 olduğundan toplam sonsuza yaklaşır.
1
r = 1
olur.
1 r –1
1– r
( 3 + p) k
toplamının bir reel sayı olması için p hangi aralıkta olmalıdır?
Çözüm
/
Çözüm
k=1
k
2
3
a 1 k = 1 + a 1 k + a 1 k + ...
r
r
r
r
/
27.
24.
3
/
1
1
1
serisinde a 1 = r , r = r ve r = r < r olduğundan
serinin değeri
olup (2) deki bu değer (1) de yerine yazılırsa
3
r–k serisinin değerini bulalım.
Çözüm
3 1
3 c m
a1
9
3 27
3 – 2n
... (2)
=
=
= =
/3
–
r
1
8
8
1
n=1
1–
9
9
3
3
/
(3 + p) k = (3 + p) + (3 + p) 2 + ...
toplamının bir reel sayıya eşit olması için
r = 3+p <1
olmalıdır.
3 + p < 1 + – 1 < 3 + p < 1 + – 4 < p < – 2 olmalıdır.
3
/
m > 1 ve
28.
k=1
a
m n–1
= 16
m+1 k
30. 3x = 4y ise
n=1
olduğuna göre, m nin değerini bulalım.
y 3
3x = 4y & x =
olup yerine yazılırsa
4
3
/ a mm+ 1 kn–1 = 1+ a mm+ 1 k + a mm+ 1 k2 + ...
k=n
3
3
y n–1
3 n–1
3
3 2
3 3
a k
= / c m
= 1+ + c m + c m + ...
x
4
4
4
4
n=1
n=1
/
serisinde
m
ve m > 1 için
m+1
r =
m
<1
m+1
serisinde a 1 = 1, r =
olduğundan
n=1
a
a1
m n–1
1
=
=
= 16
m+1 k
1– r 1– m
m+1
3
3
3
ve r =
< 1 olduğundan
4
4
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
3
/
y n–1
a k
serisinin değerini bulalım.
x
Çözüm
Çözüm
a 1 = 1, r =
3
/
& m + 1 = 16 & m = 15
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
/
n=1
a
3 n–1
= 1 =
c4m
1– r
1
1–
3
4
= 4 olur.
bulunur.
31. 24 metre yükseklikten bırakılan bir lastik top, yere her düştüğünde bir önceki yüksekliğinin
3
/
29. 0 < y < 1 ve
n=1
(y 2 – 2y + 1) n =
5
i kadar tekrar yükseliyor.
8
Buna göre, topun duruncaya kadar aldığı dikey yol uzunluğunu bulalım.
9
7
Çözüm
olduğuna göre, y nin değerlerinin toplamını bulalım.
Çözüm
y2 – 2y + 1 = (y – 1)2 ve 0 < y < 1 ise
–1 < y – 1 < 0 ve (y – 1) 2 > 1
dir. O halde
3
/
n=1
n
24 m
9 (y – 1) 2 C = (y – 1) 2 + (y – 1) 4 + (y – 1) 6 + ...
serisinde a 1 = (y – 1) 2 , r = (y – 1) 2 ve
r = y –1
24
2
5
8
24
( 58 )
2
<1
3
24
( 58 )
olduğundan
3
/
n=1
n
9 (y – 1) 2 C =
2
a1
(y – 1)
9
=
=
1 – r 1 – (y – 1) 2 7
& 7. (y – 1) 2 = 9 9 1 – (y – 1) 2 C
& 16.(y –
1)2
= 9 & (y –
& y – 1=
1)2
9
&
=
16
3
3
veya y – 1= –
4
4
& y = 1+
3 7
3 1
=
veya y = 1 – =
4 4
4 4
7
1
olmalıdır.
> 1 olduğunda y =
4
4
Topun aldığı dikey yolların toplamı T ise
2
3
T = 24 + 2 ; 24. c 5 m + 24. c 5 m + 24 c 5 m + ... E
8
8
8
2
= 24 + 48. 5 . ; 1 + 5 + c 5 m + ... E
8
8
8
1
= 24 + 30. 1
5
3
1–
8
8
8
= 24 + 30. = 104m
3
= 24 + 30.
bulunur.
209
32.
C
0
B
A
O merkezli ve |OA| = 1 yarıçapı daire içine O merkez
ve yarıçapı bir önceki dairenin yarıçapının yarısı olacak
şekiled iç içe daireler çiziliyor. Bu işleme sonsuz kadar
devam edilirse elde edilen
tüm dairelerin
34.
A
A1
A2
A3
h1
h3
h2
h4
h5
a) Alanlarının toplamını bulalım.
30°
B
B1
b) Çevrelerinin toplamını bulalım.
a) Yarıçapı r olan dairenin alanı πr2 dir. Dairenin alanları
toplamı A olsun.
1 2
1 2
1 2
A = r.1 2 + r c m + r c m + r c m + ...
2
4
8
= r c 1+
1
1
1
+
+
+ ... m
4 16 64
= r > 1+
1
1 2
1 3
+ c m + c m + ... H
4
4
4
1
1
1–
4
=
4r
cm 2 bulunur.
3
1
1
1
Ç = 2r.1+ 2r + 2r. + 2r. + ...
2
4
8
Ç = 2r c 1+
= 2r > 1+
Ç = 2r
Üçgenin B köşesinden [AC] kenarına çizilen dikme h1, oluşan CBA, dik üçgeninin A1 köşesinden [BC] kenarına çizilen dikme h2 olup bu şekilde her yeni dik üçgenin dik açılı
köşesinden hipotenüsüne daireler çizilerek işlem sonsuza
kadar sürdürülüyor.
Buna göre,
a) Çizilen h1, h2, h3, … yüksekliklerinin toplamını bulalım.
b) Dikmeler içinde oluşturulan tüm dik üçgenlerin alanlarının toplamının ABC dik üçgeninin alanına eşit olduğunu
gösterelim.
Çözüm
b) Yarıçapı r olan dairenin çevresi 2πr dir. Dairenin çevrelerinin toplamı Ç olsun.
33.
1 1 1
+ - + ... m
2 4 8
1
1 2
1 3
+c m +c m H+
2
2
2
1
1–
1
2
= 4r cm bulunur.
a) Çizilen dikmelerin uzunlukları
h1 =
H = h 1 + h 2 + h 3 + h 4 = ...
=
c 3 3c 3c 3 9c
+
+
+
+ ...
2
4
8
18
=
c 3>
3m c 3m c 3m
1+ c
+
+
+ ... H
2
2
2
2
=
c 3
.
2
=
c 3 .^ 2 + 3 h
4–3
3
1 n–1
n. c m serisinin değerini bulalım.
3
n=1
Çözüm
/
n.r n–1 =
3
n–1
n=1
/
n=1
210
1
n. c m
3
1
olduğundan
^ 1 – rh2
=
1
9
= bulunur.
1 2 4
c1 – 3 m
c 3
3c
3c 3
9c
, h2 =
, h3 =
, h4 =
...
2
4
8
16
dır. Bu yükseklikleri toplamı H ile gösterelim.
/
3
C
%
ABC dik üçgeninde, m^ BCAh = 30° ve AB = C cm
Çözüm
= r.
B2 .........
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
2
1
3
1–
2
=
c 3
2– 3
= c 3 .^ 2 + 3 h
= c.^ 2 3 + 3h cm bulunur.
3
b)
Çizilen dikmelerle oluşan dik üçgenlerin alanlarının
36.
n=1
toplamını A ile gösterelim.
&
&
&
&
A = A a ABA 1 k + A a A 1 BB 1 k + A a B 1 A 1 A 2 k + A a A 2 B 1 B 2 k + ...
AA 1 . BA
=
1
2
BB
+
1
3
/
3
/
n=1
AA 1 h 1
BB 1 h 2
A 1 A 2 .h 3
B1 B2 h4
=
+
+
+
+ ...
2
2
2
2
=
3c 3 9c
3c 3c 3
c c 3
c 3 3c
.
.
.
.
8 + 16 16 + ...
4 + 8
= 2 2 + 4
2
2
2
2
=
c2 3 >
3
3 2
3 3
1 + + c m + c m + ... H
8
4
4
4
=
c2 3 1
c2 3 4
c2 3
.
=
. =
cm 2
3
8
1
2
8
1–
4
3
n
1 n 1 3
1 n–1 1
= .
n = / n c 5 m = 5 / n. c 5 m
5
5
n=1
n=1
1 25
5
.
=
5 16
16
1
1 2
c1 – 5 m
bulunur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
c 2 3 c 2 3 3 c 2 .9 3 c 2 .27 3
+
+
+
+ ...
8
32
128
512
n
toplamının değerini bulalım.
5n
Çözüm
. A B
A A2 . B A2
B B . A2 B2
1 1
1
1
1 2
=
+
+ ...
2
2
2
=
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
37.
3
1 n+2
serisinin değerini bulalım.
nc m
3
n=2
/
Çözüm
dir.
&
A^ ABCh =
3
1 n+2
1 4
1 5
1 6
1 7
nc m
= 2 c m + 3 c m + 4 c m + 5 c m + ...
3
3
3
3
3
n=2
/
AB . BC
c.c 3
c2 3
=
=
cm 2
2
2
2
olup dikmelerle oluşturulan tüm dik üçgenlerin alanlarının
toplamı ABC dik üçgeninin alanına eşittir.
toplamına A diyelim.
1 4
1 2
1 6
1 7
A = 2 c m + 3 c m + 4 c m + 5 c m + ...
3
3
3
3
eşitliğinin her iki tarafını
1
1 5
1 5
1 2
1 3
A = 2 c m + 3 c m + 4 c m + 5 c m + ... olur.
3
3
3
3
3
n^4n + 3nh
35. /
toplamının değerini bulalım.
5n
n=1
3
Şimdi A –
Çözüm
3
/
n=1
3
3
n.4 n + n.3 n = / n. 4 n + / n. 3 n
c m
c m
5
5
5n
n=1
n=1
3
= 4 / nc 4 m
5 n=1
5
= 4.
5
n–1
1
4 2
c1 – m
5
+3
5
+ 3.
5
3
/
A–
n–1
n=1
nc 3 m
5
1
c1 –
1
ile çarpalım.
3
3 2
m
5
= 4 .25 + 3 . 25 = 20 + 15 = 95
5
5 4
4
4
A
ü bulalım.
3
A
1 4
1 5
1 6
1 7
= 2 c m + c m + c m + c m + ...
3
3
3
3
3
2A
1
1 5
1
1 2
= 2.
+ c m > 1+ c m + c m + ... H
3
81
3
3
3
1
2A
2
1
=
+
.
1
3
81 3 5
1–
3
2A
2
1 3
2A
2
1
=
+
=
+
. &
3
81 3 5 2
3
81 162
2A
5
5
5
=
& 2A =
& A=
3
162
54
108
bulunur.
olur.
211
38.
3
/
n=0
n
2
n!
toplamını bulalım.
/
n=0
3
/
n=0
3
/
n=2
n–1
toplamını bulalım.
n!
Çözüm
Çözüm
3
41.
3
n
x
= e x idi Bu eşitlikte x = 2 yazılırsa
n!
/
n=2
3
3
n–1
n
1
– /
= /
n!
n
!
n!
n=2
n=2
=
n
2
= e 2 olur.
n!
3
3
1
1
– /
n
!
!
n
–
1
^
h
n=2
n=2
/
=c
1
1
1
1
1
1
+ + + ... m – c + + + ... m
1! 2! 3!
2! 3! 4!
= (e – 1) – (e – 2)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
= 1 bulunur.
39.
3
/
n=0
1
toplamını bulalım.
3 n .n!
Çözüm
3
3
1 n
c3m
3
n
1
x
yazılırsa
= e x eşitliğinde x =
3
n!
n=0
3
/
n=0
1 n
c3m
n*
2
2
sonsuz toplamının (serisinin) değerini bulalım.
1
= /
3 n .n! n = 0 n!
/
x
x 2
x n
S = 1+ x 1 + c x 1 m + ... + c x 1 m + ...
2
/
n=0
42. x2 – 4mx + 3m2 = 0 denkleminde m > 1 ve x1 < x2 dir.
olup
Çözüm
x2 – 4mx + 3m2 = 0 & (x – m)(x – 3m) = 0
& x1 = m, x2 = 3m (x1 < x2) dir.
x1
m
1
x 2 = 3m = 3 olup
= e 1/3 = 3 e
bulunur.
3
/
n=1
x n–1
c x1 m =
2
3
/
n=1
1 n–1
c3m =
1
1
1–
3
=
3
bulunur.
2
ETKİNLİK
40.
3
/
1
n = 2 ^ n + 1h !
/ ^n +11h! = 31! + 41! + 51! + ... dır.
n=2
1
1
1
1
1
1
+ + + + + + ... = e olduğundan
1! 4 442!3 3! 4! 5!
10!4 44 2
1 3
=
2 2
3
1
5
dir.
=e –
2
n
+
2
!
^
h
n=2
212
1
...
3
/
y=6x
toplamını bulalım.
Çözüm
1+ 1+
y
–3
x
–2
–1
0
Şekilde y = 6x fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bir köşesi
y = 6x fonksiyonunun grafiği üzerinde ve bir kenarın uzunluğu 1 birim olan tüm dikdörtgenlerin alanlarının toplamını
bulunuz.
1.
3
5 n-1
serisinin değerini bulunuz.
a k
7
n=1
/
5.
0 < x < 9 olmak üzere,
3
/
n=1
1+ x n 11
=
8
9n
olduğuna göre,
x i bulunuz.
7
2
a n-1
a > 1 olmak üzere, / a
= 12 olduğuna göre,
3
+
ak
n=1
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
5
3
6.
/
n=1
a nın değerini bulunuz.
1
serisinin değerini bulunuz.
5 2n
1
24
33
3.
3
/
3x2 – 10xy + 3y2 = 0 olduğuna göre,
n=1
c
n+1
2y
m
x
7.
3
/
n=1
c
3
m serisinin değerini bulunuz.
2n
serisinin değerini bulunuz.
4
3
4.
1 < x < y olmak üzere,
3
/
n=1
n-2
x
c 10y m
=
625
olduğuna göre,
24
x ile y arasındaki bağıntıyı bulunuz.
3
8.
0 < a < b olmak üzere, a +
a2 a3 a4
+ 2 + 3 + ... toplamının
b
b
b
eşitini bulunuz.
5x = 2y
a.b
b–a
213
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
3
/
9.
n=1
1
1
eşitliğini sağlayan a değerini bulunuz.
=
a n 23
13. 0 < x < 6 olmak üzere,
3
/
n=1
x +1 n 4
olduğuna göre,
c 7 m =
3
x in değerini bulunuz.
3
24
10.
3
%
4
^5 –nh
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
14.
sonsuz çarpımının değerini bulunuz.
n=1
13
13
13
13
+
+
+ ... +
+ ... toplamının değerini
10 100 1000
10 n
bulunuz.
13
9
2
15. x2 – 6x + 8 = 0 denkleminini kökleri x1 ve x2 dir.
3
/
11.
3
/
8 –n serisinin değerini bulunuz.
n = –10
n=1
1
1 n–1
serisinin değerini bulunuz.
cx + x m
1
2
4
1 33
.2
7
12.
3
/
n=2
n
16. 0 < x <
n
3 +5
m serisinin değerini bulunuz.
c
8n
3
/
n=1
cos n x = 2 olduğuna göre,
x'i bulunuz.
19
15
214
r
olmak üzere,
2
r
3
1.
3
/
n=3
4.
3 –n
^ –1hn . c 2 m serisinin değerini bulunuz.
............
Yarıçapı 30 cm olan bir çembere şekildeki gibi sonsuz çoklukta teğet çemberler çiziliyor. Her çemberin yarıçapı solun–
daki çemberin yarıçapının
8
45
1
ü kadar olduğuna göre,
4
a) Tüm çemberlerin çevreleri toplamını bulunuz.
2.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
b) Tüm çemberlerin sınırladığı alanların toplamını bulunuz.
a + 3b
= 3 olduğuna göre,
3b – a
3
/
n=2
b n+1
a k
toplamını bulunuz.
a
a) 80 π
b) 1200 π cm2
5.
3.
Bir kenarı 8 birim olan eşkenar üçgenin kenarlarının orta noktaları, yeni
eşkenar üçgenin köşeleri olmak
üzere bir üçgen çiziliyor. Bu işeme
sonsuza kadar devam edilirse elde
edilen üçgenin:
Bir kenarı a birim olan karenin kenarlarının orta noktaları, yeni karenin köşeleri
olmak üzere bir kare çiziliyor.
Bu işleme sonsuza kadar
devam edilirse elde edilen
karelerin
8
9
a
a
a) Çevrelerinin toplamını bulunuz.
a) Çevrelerinin toplamını bulunuz
8
b) Alanlarının toplamını bulunuz.
b) Alanlarının toplamını bulunuz.
a) 48 br
64 3
b)
3
a) 4a. (2 + 2 )
b) 2a
215
2
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PROBLEMLER
6.
Bir köşesi d: x + y – 24 = 0
doğrusu üzerinde, bir kenarı
0x ekseni üzerinde şekildeki
gibi kareler çiziliyor. Bu işleme sonsuza kadar devam
edilirse elde edilen tüm karelerin
y
8.
x
0
h
h
2
a) Çevrelerinin toplamı kaçtır?
b) Alanlarının toplamı kaçtır?
h
4
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PROBLEMLER
..........
h metre yükseklikten bırakılan bir top, her seferinde bir önceki yüksekliğinin yarısı kadar yükselebilmektedir.
Topun duruncaya kadar aldığı dikey yolların toplamı 36 metre
olduğuna göre, h kaçtır?
a) 96 birim
7.
y
1
0
1
2
3
4
b) 192 br2
12
x
1 x
Şekilde f (x) = c m fonksiyonunun grafiği veriliyor. Bir köşesi
5
f fonksiyonunun grafiği üzerinde, 1 birim uzunluğundaki kenarları 0x ekseni üzerinde olan dikdörtgenler çiziliyor. Bu işleme sonsuza kadar devam edilirse elde edilen
dikdörtgenlerin alanlarının toplamı kaç birim karedir?
1
4
216
9.
–
1
2
3
4
+
–
+
– ...
5 52 53 54
serisinin genel terimini bulunuz.
n n
(–1) . n
5
SINAMA ADIMI
n=3
1 n
c4m
n = –3
3
16
B)
1
15
C)
1
48
D)
1
24
E)
1
16
A)
343
4
B)
2 1–k
k=1
A) 2
1
B)
2
3
/
6.
serisinin değeri kaçtır?
k=2
3
D)
4
C) 1
1
E)
2
3
/
k=1
8
7
B) 2
C) 4
D) 5
B)
C)
1
8
D)
1
56
E)
1
63
3
1 k–3
a. c m = 1
4
n=4
1
15
C)
1) C
2) A
B) 5
3
/
8.
n=1
toplamının değeri kaçtır?
1
2
1
7
ise, a nedir?
E) 6
1
2
4
8
–
+
–
+ ......
9 27 81 243
A)
B)
/
7.
A) 6
4.
1 3k
c2m
4x – 9 k
c 15 m
toplamının bir reel sayı olması için x en büyük hangi tamsayı değerini almalıdır?
A) 1
27
4
toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3.
262
3
C)
E)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
3
/
243
4
81
4
D)
2.
1 n-1
c– 3 m
serisinin değeri kaçtır?
serisinin değeri kaçtır?
A)
3
/
5.
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
3
/
1.
1
c
C) 4
D) 3
E) 2
C) –1
D) –2
E) –3
2
3
n – nm
3
2
serisinin değeri kaçtır?
1
48
D)
3) D
1
24
4) B
E)
1
16
A) 2
B) 1
5) B
6) D
7) D
8) D
217
SINAMA ADIMI
13. x < 1 için
0, 27 devirli ondalık açılımının değeri kaçtır?
A)
25
99
5
18
B)
C)
3
10
D)
1
6
E)
3
7
18
/
n=1
^ k – 1h x k
serisinin değeri kaçtır?
A)
x
1– x
B)
C) a
1
1– x
1
^ 1 – xh2
D)
E)
x 2
k
1– x
x2
1– x
10. x > 0 olmak üzere,
3
/
n=0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
9.
1
3–x n 2
c3+xm = 3
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
B) 4
3
n
n
2 +5
n
10
/
14.
n=1
C) 6
D) 8
E) 9
serisinin değeri kaçtır?
A)
1
2
B)
3
4
C) 1
5
4
E)
3
2
D) 1
E)
2
3
D) 60
E) 75
D)
15. m ∈ R+
x2 – mx – 6m2 = 0
3
/
11.
n=2
f
k
k–1
3 –2
k–1
4
p
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 < x2 olduğuna göre ,
ifadesinin değeri nedir?
A) 2
B) 4
3
C) 6
D) 8
/
E) 10
n=1
x n–1
c x1 m
2
serisinin değeri kaçtır?
A) 4
3
/
12.
B)
3
3
/
toplamının değeri
218
C)
2
5
16. 0° < α < 90° olmak üzere,
a–k
n=0
A) 3
3
5
B) 4
9) B
n=1
243
ise, a kaçtır?
2
C) 5
10) E
1
3
ise, α açısı kaç derecedir?
D) 6
11) D
cos 2n a =
12) B
E) 7
A) 15
13) C
B) 30
14) D
C) 45
15) B
16) D
SINAMA ADIMI
n=2
1 k–1
c– 2 m
serisinin değeri nedir?
B) –
1
2
C) –
1
D) –
4
k=6
A) coseca
1
3
D) cota
3.
1
6
1 k–5
c3m
1
5
B)
a 4x – y
E) sina
3
6
n 7
n .A = / (–1)
n
9
3
n=0
n=1
ise, A ∈ R sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
1
3
1
2
D)
A)
E) 1
3
2k
3
/
6.
C)
0 < y < x ise,
2
C) tana
E) –3
serisinin değeri nedir?
A)
B) seca
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
3
/
2.
sin a (cos 2 a) k
k=0
serisinin değeri kaçtır?
A) –1
3
/
5.
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
3
/
1.
2
3
7
B)
3
/
7.
2k
/ a 2yx k
k=0
6
7
C) 7
D) 9
E) 15
15 1–n .2 2n + 1
n=1
serisinin değeri kaçtır?
serisinin değeri kaçtır?
A)
x
A)
2
B)
4x 2 – y 2
4x2
–
y2
C)
2x2
145
2
B)
120
11
D)
1
4
D)
3
/
4.
k=1
C)
E)
127
2
109
2
E) 4x2
k
3 –1
k
5
3
B)
2
1) C
3
/
8.
n=0
serisinin değeri nedir?
5
A)
4
135
2
4 n/2
c9m
serisinin değeri nedir?
2
C)
3
2) D
1
D)
2
3) E
4) A
1
E)
3
A) 1
B) 2
5) A
6) C
C) 3
7) D
D) 4
8) C
E) 5
219
SINAMA ADIMI
k=1
A)
c
a
3
k+1
+
16
5
4
B)
3
23
5
k
k=1
ise,
C)
3 +4
5k
/
10.
k–2 m = a
b
a
oranı kaçtır?
b
32
5
D)
27
4
B) 4,9
2 –n
n = –29
E)
serisinin değeri neye eşittir?
48
5
A) 238
B) 236
C) 232
D) 230
E) 229
D) 2e
E) e2
k
3
/
14.
toplamının değeri kaçtır?
A) 5,5
3
/
13.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
3
/
9.
2
1
n!
n=0
C) 4,5
D) 3,9
E) 3,5
serisinin değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) e
1 – (0,25) + (0, 25)2 – (0, 25)3 + ....
11.
serisinin değeri kaçtır?
A)
2
5
B)
3
5
C)
4
5
D) 1
E)
6
5
3
%
15.
1 k–1
3c3m
k=1
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) ∞
B) 3 3
D) 1
C) 3
E)
2
3
12. |x| < 1 için
3
/
kx k–1
k=1
serisinin eşiti nedir?
A)
1
x –1
B)
D)
220
x
1– x
x2
1– x
9) C
3
/
16.
C)
E)
10) A
x
^ 1 – xh2
1
^ 1 – xh2
11) C
n=2
3n+1 – 2
p
5 n–1
serisinin değeri nedir?
A)
12) E
f
15
2
13) D
B)
21
2
14) C
C) 13
15) B
D) 18
16) C
E) 26
SINAMA ADIMI
k=1
f
x + 3 n–1
p
5 n–1
B) 5
1+
2.
ifadesinin toplamı kaçtır?
C) 6
D) 7
1
3
3
4
B)
3
/
n=1
2
3
k
k=1
C) 1
D)
3
2
2
3
C)
3 +2
6k
/
D)
3
2
E) 3
k
serisinin değeri nedir?
E) 2
1
3
1
2
B)
3
4
D)
3
2
E)
5
3
C) 1
D)
9
10
E)
7
10
C)
n+2
3n
işleminin sonucu nedir?
A) 10
1
2
B)
6.
A)
3.
1
3
1
1
1
+
+
+ ........
3 32 33
serisinin toplamı kaçtır?
A)
A)
E) 8
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A) 4
1
4k
k=1
25
ise x kaçtır?
2
serisinin değeri
3
/
5.
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
3
/
1.
3
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
3
/
7.
2
3n
n=0
+ 3 2n
(24) n
serisinin değeri kaçtır?
A)
4.
3, 2
8
7
B)
31
10
sayısının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 +
2
2
2
+
+
+ ...
10 2 10 3 10 4
B) 5 –
2
2
2
–
–
...
10 10 2 10 3
C) 3 –
2
2
2
–
–
10 10 2 10 3
D) 5 +
2
2
2
+
+
+ ...
10 10 2 10 3
k=1
2) D
c
k –1
k–1 m
3
serisinin değeri kaçtır?
A) –
2
2
2
+
+
+ ...
E) 3 +
10 10 2 10 3
1) E
3
/
8.
3) B
4) E
15
64
5) A
B)
3
8
6) D
C)
7) B
3
4
D) 1
8) C
E)
3
2
221
SINAMA ADIMI
n=0
(a.3 –n + b.4 –n) = 17
B) 7
1 n–1
nc m
3
n=1
serisinin değeri kaçtır?
ve a + b = 12 ise, a kaçtır?
A) 8
3
/
13.
C) 6
D) 5
E) 4
A)
14.
9
4
B)
9
8
C)
D
4
3
D)
4
9
E)
1
9
ABCD bir karedir.
C
|AB| = 8 br dir.
10. x >
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
3
/
9.
3
Karenin kenarlarının orta
noktaları birleştirilerek iç içe
yeni kareler oluşturuluyor.
Elde edilen karelerin alanları A1, A2, A3, .... An dir.
3
3y k 5
3 2x + 3
, x + y = 3 ve / c x m =
7
2
k=0
A
x kaçtır?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
B
n → ∞ için karelerin alanları toplamı kaçtır?
E) 3
A) 64
B) 84
3
/
15.
n=1
3
/
11.
n=3
C) 98
D) 128
E) 256
n
4n
serisinin değeri kaçtır?
1 n+1
nc m
3
A)
1
9
B)
2
9
C)
1
3
D)
4
9
E)
5
9
serisinin değeri kaçtır?
A)
4
27
B)
7
108
C)
5
108
D)
5
54
E)
2
27
16.
6
Şekildeki gibi yarıçapı 6 cm olan bir çember ile çembere dış3
/
12.
n=0
n
3 +2
5n
2n
tan teğet, her biri bir önceki çemberin yarıçapının
çemberler çiziliyor.
Oluşan bu çemberlerin çevreleri toplamı kaç π dir?
serisinin değeri kaçtır?
A)
222
15
2
B) 8
9) C
2
ü olan
3
17
2
D)
10) C
11) B
C)
19
2
E) 10
12) A
A) 40
13) A
B) 36
14) D
C) 24
15) D
D) 20
16) B
E) 18
SINAMA ADIMI
n=5
1
2n
n=1
1
2
B)
1
4
C)
1
8
1
16
D)
E)
1
32
A)
3
2
B)
3
/
3
/
k=1
c
k=1
3x – 5 k
m
7
B) 2
C) 3
D) 4
A)
3
/
1
4
B)
3
1
3
C)
C) 54
D) 64
B) 4
4
3
9
4
D)
E)
8
3
3
/
x
n–1
– (x – 1)
3
n=1
n–1
n–1
n=1
A)
B) 10,5
a1 –
4 n
mk
C) 15,75
m–4
8
B)
D)
D) 18,75
1) D
E) 3
serisinin değeri neye eşittir?
ifadesinin değeri nedir?
A) 8,75
D) 3–x
m > 4 olmak üzere
/
6.3 n – 5
5n
C) 4–x
E) 74
3
n=0
3
8
0 < x < 1 ise,
A) 12
8.
3
E)
serisinin değeri kaçtır?
B) 44
/
3
4
k
3 2–n .2 n + 1
ifadesinin değeri nedir?
4.
D)
k–1 m
^ x 2 – 7x + 12h
n=0
A) 34
c
C) 1
E) 5
7.
3.
5
4
serisinin toplamı kaçtır?
toplamı reel bir sayıya eşit ise, x tamsayısı kaç farklı
değer alır?
A) 1
n–1
m
3 n–1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
6.
2.
c
serisinin değeri kaçtır?
toplamı kaçtır?
A)
3
/
5.
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
3
/
1.
4
E) 21,25
2) D
3) C
4) A
5) D
m–4
9
6) D
m–4
2
C)
E)
7) E
8) C
m–4
4
m–4
12
223
SINAMA ADIMI
n=0
1
2 n .n!
13.
M=
serisinin değeri nedir?
A) 1
B) e
D)
3
3
/
n=3
A) 8
E) 3 e
B) 4
C) 2
E)
2
3
2
n
2
n!
serisinin değeri kaçtır?
A) e2 – 2
B) e2 – 3
D)
1
c nm
3
n=1
D)
10.
2
ifadesinin değeri kaçtır?
C) e
e2
3
%
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
3
/
9.
4
e2
3
C) e2 – 5
E)
3
/
14.
n=1
e2
6
c
2n – 1
m
n!
serisinin değeri kaçtır?
A) e + 1
B) e – 1
C) 2e – 1
D) 2e + 1
E) 2e – 2
11. Bir top 32 metre yükseklikten bırakılıyor. Top yere her çarpışında bir önceki yüksekliğinin yarısı kadar yükseğe çıkabiliyor.
Top n kez sıçradığına göre topun iniş ve çıkışlarda aldığı
yolun uzunluğu kaç metredir?
A) 32
B) 64
C) 96
D) 108
E) 132
3
/
15.
m
3
k=1
k+1
+
P
4
k–2
=m
m
ise, p oranı kaçtır?
12.
Yarıçapı |OA| = 4 birim olan
çeyrek çemberin içine şekildeki gibi sırayla kare ve
çeyrek çemberi çiziliyor.
B
O A
4
B) 6 + 3 3
6+2 2
224
9) B
C) 8 + 8 2
6+4 2
10) C
48
5
B)
3
/
16.
Bu işleme devam edildiğinde elde edilen karelerin köşegenleri toplamı kaç birimdir?
A) 6 + 3 2
A)
11) C
k=0
32
5
C)
16
5
23
5
E)
r k
a sin k
4
serisinin değeri kaçtır?
A) 4 2
B) 2 2
13) D
14) A
C) 2
E) 2 + 2
D) 2 – 2
12) C
C)
15) B
16) E
27
4
BÖLÜM
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
FONKSİYONLARDA SÜREKLİLİK
2
f (x) = * x + 1 ,
x+3 ,
TANIM
x<2
x≥2
olmadığını araştıralım.
ÇÖZÜM
1.
x$2
x $ 2+
f(a) tanımlı olmalı
2.
3.
lim f (x) = lim (x + 3) = 5
x $ 2+
f: D " IR ve a ! D olsun.
f nin x = a apsisli noktada sürekli olması için
lim f (x) = lim – (x 2 + 1) = 5
x $ 2–
D 3 IR ,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
fonksiyonunun x = 2 noktasında sürekli olup
lim f (x) = lim + f (x) yani lim f (x) olmalı
x " a–
x"a
x"a
lim f (x) = f (a) olmalıdır.
x"a
Bu koşullardan en az biri sağlanmazsa f
lim f (x) = 5 olur. Ayrıca f(2) = 2 + 3 = 5 tir.
x$2
x = a da süreksizdir denir. f fonksi-
yonu D tanım kümesinin her noktasında sürekli ise f ye D kümesinde süreklidir
denir.
O halde
lim f (x) = f (2) olur ki; f(x) fonksiyonu x = 2
x$2
noktasında süreklidir.
Soldan ve Sağdan Süreklilik
lim f (x) = f (a) ise f
x = a da soldan süreklidir.
lim f (x) = f (a) ise f
x = a da sağdan süreklidir.
x " a–
Aynı şekilde fonksiyonun grafiğini çizerek
x " a+
inceleyelim.
y
ETKİNLİK
5
a)
f (x) = 9 – x 2
b)
f (x) =
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz.
1
0
x
x=2
Grafikte de görüldüğü gibi x = 2 noktasına sağdan veya soldan yaklaşılması halinde fonksiyon
5 değerine yaklaşmaktadır.
Ayrıca fonksiyon x = 2 için tanımlıdır.
2x 2 + 3x + 9
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz.
x 2 – 4x + 3
Yani f(2) = 5 tir.
O halde f(x) fonksiyonu x = 2 noktasında
sürekli bir fonksiyondur.
225
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
3.
SÜREKLİLİK
Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
y
–1
0
x
x = –1 de sürekli
x
2
0
x = 2 de süreksiz
x
0
x = 0 da süreksiz
y
y
0
y
y
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
y
y=ax+b
2
x
x = 2 de süreksiz
x
0
x
0
∀x ∈ R için f(x) = ax+b sürekli
∀x ∈ R için f(x) = ax2 + bx + c sürekli
bir fonksiyon
bir fonksiyon
y
y
y=ax
y
c
y=c
1
0
x
0
x
0
∀x ∈ R için f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
∀x ∈ R için f(x) = c sürekli bir
∀x ∈ R için f(x) = ax sürekli bir
sürekli bir fonksiyon
fonksiyon
fonksiyon
226
x
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
y
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
y
x
0
x = 0 d›fl›nda her yerde süreklidir.
x
0
–2
x = –2 d›fl›nda her yerde süreklidir.
y
y
1
–1
0
1
x
x = –1 ve x = 1 d›fl›nda her yerde süreklidir.
–1
0
1
x
x = –1 ve x = 1 d›fl›nda her yerde süreklidir.
227
Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
y
1
5π
2
–3π
–2π
3π
2
π
2
–π
0
π
2
x
π
3π
2
2π
5π
2
3π
f(x)=sinx
–1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
∀x ∈ R için f(x) = sinx
fonksiyonu süreklidir.
y
1
5π
2
–3π
–2π
3π
2
π
2
–π
0
π
2
π
3π
2
2π
x
3π
5π
2
–1
∀x ∈ R için f(x) = cosx
fonksiyonu süreklidir.
y
y
2π
2π
–3π
2
–π
π
2
0
∀x ∈ R – {kπ +
π
π
, k ∈ Z} için
2
f(x) = tanx süreklidir.
228
π
2
3π
2
x
–2π
–
3π
2
–π
π
2
0
π
2
∀x ∈ R – {kπ , k ∈ Z} için
f(x) = cotx süreklidir.
π
3π
2
2π
x
1.
f: IR → IR, c ∈ IR sabit olmak üzere f(x) = c sabit fonksiyonu
sürekli midir?
Çözüm
x = a, x = 0 ve x = b noktalarında sürekli olup olmadığnı
inceleyelim.
Çözüm
lim f (x) = c
Daha önce limit konusunu işlerken f(x) = c sabit fonksiyonu
lim f (x) = c 4
x " a–
için lim f (x) = c olduğunu görmüştük. Diğer taraftan f(a) = c
x"a
olduğundan
& lim f (x) = c
x"a
x " a+
lim f (x) = f (a) elde edilir. O halde f fonksiyonu
x$a
dir.
Fakat f(a) tanımlı olmadığından f fonksiyonu x = a noktasında sürekli değildir.
x = a noktasında süreklidir.
lim f (x) = c
x " 0–
lim
f: IR → IR, f(x) = x birim fonksiyonu süreklidir.
Gösteriniz.
x " b+
lim f (x) = lim x = a ve f (a) = a olduğundan
x"a
lim f (x) = f (a) dır.
x"a
x"0
dir.
lim f (x) = d
lim
x"a
& lim f (x) = c
Fakat f(0) = d ≠ c olduğundan f, x = 0 da süreksizdir.
x " b–
Çözüm
f (x) = c 4
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
x " 0+
f (x) = d 4
& lim f (x) = d
x"b
Fakat f(b) = e ≠ d
süreksizdir.
dir.
olduğundan f fonksiyonu x = b de
O halde f(x) = x fonksiyonu 6a ! IR için x = a noktasında
süreklidir.
3.
f: IR → IR,
f(x) = anxn + an–1xn–1 + ..... + a1x + a0 polinom fonksiyonunun x = t noktasında sürekli olduğunu gösteriniz.
Çözüm
5.
Aşağıda grafiği verilen f fonksiyonunun x = a ve x = 0
noktalarında sürekli olup olmadığını araştırınız.
y
lim f (x) = lim _ a n x n + a n–1 x n–1 + ... + a 1 x + a 0 i
x"t
x"1
= a n t n + a n–1 t n–1 + ... + a 1 t + a 0
= f(t)
b
c
f
a
x
0
–c
olduğundan f fonksiyonu 6 ! IR için x = t noktasında
süreklidir.
Çözüm
lim f (x) = b
x " a–
4.
Aşağıda grafiği verilen f fonksiyonunun x = a, x = 0 ve
lim f (x) = b
x " a+
x = b noktalarında sürekli olup olmadığını araştırınız.
olduğundan
y
f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir.
f
e
lim f (x) = c
x " 0–
d
c
a
0
lim f (x) = b dir. Ayrıca f(a) = b olduğundan
x"a
lim
x " 0+
b
x
f (x ) = c 4
& lim f (x) = c
x"0
dir.
Fakat f(0) = –c ≠ c olduğundan f, x = 0 da sürekli değildir.
229
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
8.
UYARI
y
Grafiği verilen bir fonksiyonun sürekliliği sorulduğunda o nok-
f
a
tada limit olmalı ve o noktanın görüntüsü grafik üzerinde olbiçiminde boş nokta olma–
malıdır. Yani grafikte
x
0
b
malıdır. Bu tür durumlarda o noktada fonksiyon süreksizdir.
c
Şekildeki f fonksiyonu x = a noktasında sürekli midir?
Çözüm
lim f (x) = b
x " a–
6.
y
lim f (x) = c
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
x " a+
c
ve
b
a
0
f
lim f (x) ≠ lim + f (x) olduğundan limit yoktur.
x " a–
x"a
O halde f , x = a da sürekli değildir. Fakat x = a noktasında
soldan süreklidir.
x
Şekildeki f fonksiyonu x = a noktasında sürekli midir?
Çözüm
lim f (x) = c
x " a–
lim f (x) = b
x " a+
ve
9.
lim f (x) ≠ lim + f (x) olduğundan f fonksiyonunun x = a
x " a–
x"a
noktasında limiti yoktur.
O halde f, x = a da sürekli değildir. f, x = a da soldan süreklidir.
f: IR → IR
f (x) = *
1
, x < 1 ise
2x 2
–1 ,
x ≥1
ise
fonksiyonu x = 1 de sürekli midir?
Çözüm
lim f (x) = lim 1 = 1
x"1
x " 1–
7.
lim f (x) = lim ^ 2x 2 – 1h = 2.1 2 – 1 = 1
y
x"1
x " 1+
3
olup lim f (x) = 1 dir.
x"1
2
f(1) = 2.12 – 1 = 1 olup
f
0
x
1
lim f (x) = f (1) = 1 olduğundan f fonksiyonu x = 1 de sürek-
x"1
Şekildeki f fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli midir?
lidir. Grafiği inceleyiniz.
Çözüm
lim – f (x) = 2
x"1
lim
x " 1+
f (x) = 2
y
4
& lim f (x) = 2
x"1
Fakat f(1) = 3 olup
lim f (x) ≠ f (x) olduğundan f fonksi-
x"1
yonu x = 1 de sürekli değildir.
230
dir.
f
1
0
1
x
12. f: IR → IR
10. f: IR → IR
Zx + 2
]]
f (x) = [ 4
]] 2
\x + 4
Z
]] 2x – | x – 1 |
f (x) = [ 2
]]
mx + 4
\
, x > 2 ise
, x = 2 ise
, x < 2 ise
,x >1
,x =1
, x <1
fonksiyonu x = 2 de sürekli midir?
fonksiyonunun x = 1 de sürekli olması için m ne olmalıdır?
Çözüm
Çözüm
lim f (x) = lim ^ x 2 + 4h = 2 2 + 4 = 8
x " 2–
lim f (x) = lim (x + 2) = 2 + 2 = 4
x"2
lim f (x) ≠ lim + f (x)
x " 2–
x"2
x"1
lim f (x) = lim ^ 2x – | x – 1 |h
olup
x"1
x " 1+
(x " 1 + için x > 1 dir.)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x " 2+
lim f (x) = lim (mx + 4) = m + 4
x " 1–
x"2
= lim ^ 2x – (x – 1)h
olduğundan f x = 2 de sürekli değildir.
x"1
= lim ^ x + 1h = 2
Fakat f(2) = 4 olduğundan f, x = 2 de sağdan süreklidir.
Grafiği inceleyiniz.
x"1
olup f(1) = 2 olduğundan fonksiyonun x = 1 de sürekli olması
için x = 1 de soldan sağdan limitleri eşit olmalıdır.
y
8
Yani m + 4 = 2 & m = –2 olmalıdır.
4
0
11. f: IR → IR
Zcos x
]]
f (x) = [ 1
]] 2
\x + 1
x
2
13. f: R → R
Z
]] | 2x – 5 |
f (x) = [ ax + 1
]]
3x – 9
\
, x < 0 ise
, x = 0 ise
,x>0
şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun x = 4 noktasında
sürekli olması için a reel sayısı kaç olmalıdır?
ise
Çözüm
fonksiyonu x = 0 da sürekli midir?
lim f (x) = lim | 2x – 5 |
x " 4–
Çözüm
lim f (x) = lim cos x = cos 0 = 1
x " 0–
x"4
x
x"0
5
2
–∞
–
|2x–5|
lim f (x) = lim f (x) = 1 dir.
x " 0+
, x < 4 ise
, x = 4 ise
, x > 4 ise
+∞
4
+
+
x"0
Ayrıca f(0) = 1 olduğundan lim f (x) = f (0) = 1
x"0
dir.
lim | 2x – 5 | = lim 2x – 5
x"4
x"4
Yani f, x = 0 da süreklidir.
= 2.4 – 5 = 3
Grafiği inceleyiniz.
lim f (x) = lim 3x – 9
x " 4+
x"4
y
= 3.4 – 9 = 3
lim f (x) = 3
1
x"4
0
–π –π
2
–1
x
olup , f nin x = 4 de sürekli olması için f(4) = 3
olmalıdır.
f(4) = 4a + 1 = 3 & 4a = 2 & a =
1
2
olmalıdır.
231
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
16. f: IR → IR
14. f: R → R
f (x) =
x2
x2 + 3
şeklinde tanımlı f fonksiyonunun R de
+ mx + 9
sürekli olması için m hangi koşulu sağlamalıdır?
Çözüm
f (x) =
x2 + 3
fonksiyonunun 6x ! R noktasında süx 2 + mx + 9
rekli olması için f nin her x ∈ R noktasında tanımlı olması gerekir. Bu nedenle f fonksiyonunu tanımsız yapan bir x
değerinin olmaması için paydanın sıfır olmaması gerekir. Yani,
x2 + mx + 9 ≠ 0 olmalıdır. Bunun için,
f (x) = )
4x – 3
1– x
, x≥2
, x<2
fonksiyonunun x = 2 noktasındaki sürekliliğini inceleyiniz.
Bu noktadaki sıçrama miktarı nedir?
Çözüm
x = 2 fonksiyonun kritik noktasıdır.
lim f (x) = lim ^ 1– xh = 1 – 2 = –1
x"2
x " 2–
lim f (x) = lim ^ 4x – 3h = 4.2 – 3 = 5
x"2
x " 2+
tir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
Δ = b2 – 4ac < 0 olmalıdır.
Δ = m2 – 4.1.9 < 0
& m2 < 36
lim f (x) ≠ lim + f (x)
x " 2–
x"2
olduğundan f x = 2 de
& |m| < 6
sürekli değildir.
& –6 < m < 6
Fonksiyonun x = 2 deki sıçrama miktarı |–1 –5| = 6 dır.
& m ∈(–6, 6)
olmalıdır.
f(x) = sinx
gösteriniz.
x2 – x + 1
x 2 – 3x + 2
kümeyi bulunuz.
17. f (x) =
15. f: IR → [–1, 1]
fonksiyonunun ∀a ∈ IR için sürekli olduğunu
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş
Çözüm
Çözüm
f (x) =
f(a) = sina dır.
x2 – x + 1
x 2 – 3x + 2
fonksiyonunun paydasını sıfır yapan
lim f (x) = f (a) olduğunu yani,
x değerlerinde f tanımsızdır. f fonksiyonu tanımsız olduğu
noktalarda sürekli değildir.
lim sin x = sin a olduğunu göstermeliyiz. Bunun için
x2 – 3x + 2 = 0 & (x – 1)(x – 2) = 0
lim sin x – sin a = 0 olmalı.
x = 1 veya x = 2.
x"a
x"a
x$a
O halde f nin sürekli olduğu en geniş küme
x –a.
x+a
lim sin x – sin a = lim 2 sin
cos
x"a
x"a
2
2
= 2.sin0.cosa = 0
R – {1, 2} dir.
olup,
lim (sin x – sin a) = 0
x"a
& lim sin x = sin a
x"0
dır.
UYARI
18. f (x) = 16 – x 2 + x + 1 fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş
kümeyi bulunuz.
Çözüm
g (x)
f (x) = *
h (x)
fonksiyonu
, x≤a
, x>a
x = a
f (x) = 16 – x 2 + x + 1 fonksiyonu
noktasında süreksiz ise bu noktadaki
sıçrama miktarı |g(a) – h(a)|
dır.
16 – x 2 fonksiyonunun
sürekli olduğu her yerde süreklidir.
16 – x2 ≥ 0 & X2 ≤ 16 & x ∈ [–4, 4] olup
f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi [–4, 4] kümesidir.
232
Sürekli Fonksiyonların Özellikleri
ETKİNLİK
1.
Z2 + sin x
, x>r
]]
f (x) = [ 3 + cos x
, x=r
]] 2
2
\ sin x + 3 cos x , x < r
ise
ise
1.
D ⊂ IR, a ∈ D ve f: D → IR g: D → IR fonksiyonları x = a noktasında
sürekli olsunlar. Bu durumda
ise
fonksiyonunun x = π noktasındaki süreklili-
a)
f + g ve f – g ve f.g fonksiyonları x = a da süreklidir.
b)
∀n ∈ IN+ için fn, gn fonksiyonları x = a da süreklidir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ğini inceleyiniz.
c)
k ∈ IR bir reel sayı olmak üzere k.f, k.g fonksiyonları da x = a da
süreklidir.
2. 6x ! R için
f (x) = 4 x 2 – 4x + m – 3 fonksiyonu
d)
sürekli ise m nin değeri için ne söylenebilir?
1
1
fonksiyonunun sürekli
+
cos x sin x
olmadığı noktaları bulunuz.
3. f (x) =
f
∀x ∈ D için g(x) ≠ 0 olmak üzere g fonksiyonu x = a da süreklidir.
f (x)
Ya da
fonksiyonu g(x) = 0
g (x)
denkleminin köklerinde süreksizdir.
e)
| f |, | g | fonksiyonları x = a da süreklidir.
f)
n ∈ IN+ için
g)
n çift doğal sayı olmak üzere 6 x ∈ D için f(x) ≥ 0 ise,
n
4. f(x) = etanx fonksiyonunun sürekli olmadığı
2n + 1
f (x) , x = a da süreklidir.
f (x) fonksiyonu x = a da süreklidir.
h)
tf(x) üstel fonksiyonu x = a da süreklidir.
k)
f: A → IR, g: B → IR fonksiyonları ve a ∈ A, b ∈ IR ve f(a) = b
noktaları bulunuz.
verilmiş olsun. f fonksiyonu a, g fonksiyonu b de sürekli ise,
gof bileşke fonksiyonu a noktasında süreklidir.
l)
f: A → B, f bire bir ve örten bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu A
kümesinde sürekli ise f–1 fonksiyonu da B kümesi üzerinde süreklidir.
233
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
1.
x2 – x
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme
x2 – 4
nedir?
f (x ) =
Çözüm
f (x ) =
x2 – x
fonksiyonu x2 – 4 = 0
x2 – 4
denkleminin kökleri
4.
f: IR → IR
Z x
; x<0
] sin 3x
]
; x=0
f (x) = [ 2a + 1
] b + cos x
]
; x>0
\ x +1
fonksiyonunun IR de sürekli olması için (a, b) ikilisi
ne olmalıdır?
dışında her yerde süreklidir.
O halde x 2 – 4 = 0 & x 2 = 4 & x = " 2 olup f fonksiyonunun
sürekli olduğu IR nin en geniş alt kümesi IR – {–2, 2} dir.
Çözüm
f nin IR de sürekli olması için x = 0 da sürekli olması
gerekir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
f fonksiyonu x < 0 için süreklidir.
x > 0 için f (x) =
b + cos x
x +1
dir.
b + cos x
fonksiyonu süreksizdir.
x +1
x = –1 de
Fakat x = –1, x > 0 aralığında olmadığından x > 0 için
2.
x. sin x
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme
x2 + 1
nedir?
f (x) =
Çözüm
f (x) =
f (x) =
b + cos x
fonksiyonu süreklidir.
x +1
O halde
x"0
x. sin x
fonksiyonunda h1(x) = x, h2(x) = sinx fonksix2 + 1
=
yonları her yerde sürekli olduklarından paydadaki
h3(x) = x2 + 1 fonksiyonuna bakılır.
Her x ∈ IR için x2 + 1 > 0 olduğundan x2 + 1 = 0 denkleminin reel kökleri yoktur. O halde f (x) =
x. sin x
fonksiyonu
x2 + 1
∀x ∈ IR için süreklidir. Yani süreklilik kümesi IR dir.
lim f (x) = lim
x"0
x " 0–
f nin x = 0 da sürekli olması için sol ve sağ limitler eşit
olmalıdır. Yani
1
2
& b=–
3
3
lim f (x) =
2a + 1 =
Çözüm
Her x ∈ R için g(x) = ex–1 fonksiyonu süreklidir. h(x) = sinx
fonksiyonu da R de sürekli olduğundan
f(x) = (h o g)(x) = sin(ex–1) fonksiyonu da R de süreklidir.
O halde f nin sürekli olmadığı nokta yoktur.
234
1
x
=
sin 3x 3
ve f(0) = 2a + 1 dir.
x"0
f(x) = sin(ex–1) fonksiyonunun sürekli olmadığı noktaları
bulunuz.
b + cos 0 b + 1
=
0 +1
1
=b+1
b + 1=
3.
b + cos x
x +1
lim f (x) = lim
x " 0+
1
= f (0) dan
3
1
2
& 2a = –
3
3
& a=–
1
3
olur.
1
2
O halde (a, b) = b – , – l bulunur.
3
3
5.
f: IR → IR
7.
Z x
]
] |x |
f (x) = [
]]
\0
f(x) = ,n (2sinx + 1)
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş kümeyi bulunuz.
, x ≠ 0 ise
Çözüm
, x = 0 ise
2sinx + 1 > 0 olmalıdır. Buradan
fonksiyonu x = 0 da sürekli midir? Neden?
sinx > –
1
dir.
2
sin x > –
1
2
Çözüm
x
x
x < 0 ise f (x) =
=
= –1
| x | –x
7r
11r
, 2r m bulunur.
m, c
6
6
x ! ; 0,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x
x
x > 0 ise f (x) =
= = 1 olup
|x | x
7r 11r
ise x ! 6 0, 2r @ – c
,
m veya
6
6
lim f (x) = lim – –1 = –1
x " 0–
lim
x " 0+
x"0
y
f (x) = lim + 1 = 1 dir.
Öyleyse
x"0
lim f (x) ≠ lim + f (x) olup lim f (x) yoktur.
x " 0–
x
x"0
x"0
Dolayısıyla f, x = 0 da sürekli değildir.
y= – 1
2
–1
f fonksiyonu IR – {0} da süreklidir.
Aşağıdaki grafiği inceleyiniz.
y
1
x
0
8.
f: IR → IR, f(x) =
–1
lim (cos 2n x) fonksiyonunun süreksiz
n "+3
olduğu noktaların kümesi nedir?
Çözüm
f (x) = lim (cos 2 x) n yazalım.
n "+3
k ∈ Z için x = kπ & cos2 x = 1
6.
1
ve g (x) = x ise fog fonksiyonunun süreksiz
1
1+
x –1
olduğu noktaların kümesi nedir?
f (x) =
1
lim (cos 2 x) n = 1
x "+3
x ≠ kπ için cos2X < 1
lim (cos 2 x) n = 0
x "+3
Çözüm
olduğundan
dır.
O halde
fog(x) = f(g(x))
1
= fb x l =
=
olduğundan
1
1+
1
1
x –1
1
x = 1 = 1– x
1+
1– x 1– x
1
f (x) = )
1
0
, x = kr , k ! Z
, x ≠ kr , k ! Z
ve k ∈ Z olmak üzere,
lim f (x) = 0 olmasına rağmen f(kπ) = 1 olduğundan
x " kr
f, x = kπ noktasında sürekli değildir.
(fog)(x) = 1 – x fonksiyonu ∀x ∈ IR için süreklidir.
O halde f nin sürekli olmadığı noktaların kümesi
Yani süreksiz olduğu noktaların kümesi Q dir.
K = {x | x = kπ, k ∈ Z} dir.
235
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
9.
x 2 – 5x + 6
fonksiyonunun
x 2 + mx + m + 3
IR de sürekli olması için m nin alabileceği değerler kümesi
m ∈ IR olmak üzere f (x) =
11. f (x) = ,n (x – 2) + 1 fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş
kümeyi bulunuz.
Çözüm
nedir?
,n (x – 2) + 1 ≥ 0 ve x – 2 > 0 olmalıdır.
Çözüm
,n (x – 2) ≥ –1 & x > 2
x2 – 5x + 6 ve x2 + mx + m + 3 fonksiyonları IR de sürek-
x – 2 ≥ e–1
lidir. f nin IR de sürekli olması için x2 + mx + m + 3 ≠ 0
1
x ≥ 2 + e ve ayrıca
olmalıdır. Bunun için
Δ=
m2
x–2>0
–4(m + 3) < 0
olmalıdır. Buradan
m2 – 4m – 12 < 0
olup f nin sürekli olduğu en geniş küme
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
1
9 2 + e , + 3 k dur.
& (m + 2)(m – 6) < 0
& m1 = –2
m2 = 6
–2
m –∞
m2–4m–12
+
+∞
6
1
fonksiyonu veriliyor. (fofof)(x) fonksiyonunun
1– x
sürekli olduğu en geniş küme nedir?
+
–
12. f (x) =
f nin IR de sürekli olması için m ∈ (–2, 6) olmalıdır.
Çözüm
f (x) =
1
1– x
1
(fof) (x) =
1–
1
1– x
1– x x – 1
= –x = x
1
x
–1
= 1– x = x
(fofof) (x) = 1 – x
1
1
1– x
1– x
her yerde süreklidir. Yani IR de süreklidir.
10. f (x) = 2 – 3 | x |
kümeyi bulunuz.
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş
Çözüm
Kök kuvveti çift olduğundan 2 – 3|x| ≥ 0 olmalıdır.
Buradan
1
2≥3|x| & |x|≤
x ! :–
f
Çözüm
2 2
, D tür.
3 3
fonksiyonu
süreklidir.
236
13. f (x) = e x–e fonksiyonu hangi noktada süreksizdir?
2
2
2
olup
+ – ≤x≤
3
3
3
S = & x | x ! IR, –
2
2
≤x≤ 0
3
3
1
1
f (x) = e x–e fonksiyonu ile g (x) = x – e fonksiyonu aynı nok-
kümesinde
tada süreksizdir. O halde g(x), x = e de süreksiz olduğundan
f(x) de x = e süreksizdir.
1.
Z 2x + 3
] 2
] x +1
f (x) = [
]] –5
2
\ x – 16
,
x>2
4.
,
x≤2
fonksiyonunun süreksiz olduğu x değeri kaçtır?
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
Zx – 4
, x < –1
]]
f (x) = [ mx + n , –1≤ x ≤ 1
]] 2
, x ≥1
\x + 3
olmak üzere y = f(x) fonksiyonu Rʼde süreklidir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Buna göre, m2 – n2 ʻnin değeri kaçtır?
–4
5.
2.
f (x) =
x–2
x 2 + 3x + 2
20
f: R → R fonksiyonu
f (x) =
*
x3 + 1
x +1
k+4
,
x < –1
,
x ≥ –1
olarak tanımlanıyor.
ile tanımlı f fonksiyonunun sürekli olduğu kümeyi bulunuz.
f fonksiyonunun Rʼde sürekli olması için k kaç olmalıdır?
[2, +∞)
3.
Zbx
, x < –1
]
]
f (x) = a
, x = –1
[
] 2x + 1
, x > –1
] 3x
\
y = f(x) fonksiyonu x = –1 noktasında sürekli ise,
6.
Z
] –2 sin x
]]
f (x) = [ a sin x + b
]
]] cos x
\
,
,
,
x<–
–1
r
2
r
r
≤x≤
2
2
r
x>
2
–
fonksiyonu 6 x ∈ R için sürekli olduğuna göre,
(a, b) ikilisini bulunuz.
“a.b” nin değeri kaçtır?
–
1
9
(a, b) = (–1, 1)
237
7.
9.
y
f (x) =
3
2
–2
f: R → R
5x 2 + 6
ile tanımlı f fonksiyonunun R de sürekli
+ ax + 1
x2
olması için a reel sayısı hangi koşulu sağlamalıdır?
1
0
2
3
4
x
Grafiği verilen fonksiyonda, limiti olmasına rağmen süreksiz
olduğu noktaların apsisleri toplamını bulunuz.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
PEKİŞTİRME ADIMI
5
(–2 < a < 2)
Zx
, x > –2
]] 7
10. f (x) = [
]] x2 + 3 , x ≤ –2
\ x – 12
fonksiyonunun süreksiz olduğu x değeri kaçtır?
8.
–2 3
y
1
–2
0
3
5
x
11. f (x) =
Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun R de süreksiz
olduğu noktaların apsislerinin toplamı kaçtır?
1
238
3x + 1
9x 2 + mx + 4
fonksiyonunun bir tek noktada süreksiz olması için m nin
pozitif değeri kaç olmalıdır?
12
SINIRLI FONKSİYONLAR
ETKİNLİK
D ⊆ IR ve f: D → IR
a)
1
f(x) = x.cos x
fonksiyonu verilsin.
a)
∀x ∈ D için m ≤ f(x) olacak şekilde en az bir m reel sayısı varsa f fonksiyonu alttan sınırlıdır denir ve m sayısına f fonksiyonunun alt sınırı denir.
m sayısından küçük her reel sayı f nin bir alt sınırıdır.
b)
∀x ∈ D için f(x) ≤ M olacak şekilde en az bir M reel sayısı varsa f fonksiyonuna üstten sınırlıdır denir ve M ye f nin üst sınırı denir. M den büyük her
reel sayı f nin bir üst sınırıdır.
C)
∀x ∈ D için m ≤ f(x) ≤ M olacak şekilde m ve M reel sayıları varsa f fonksiyonuna sınırlı fonksiyon denir.
fonksiyonu sınırlı mıdır?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
İnceleyiniz.
EBAS (f), EKÜS (f)
Alttan sınırlı bir f fonksiyonunun alt sınırlarının en büyüğüne f fonksiyonunun
en büyük alt sınırı denir ve Ebas (f) ile gösterilir.
b) f(x) = sin (,nx)
fonksiyonu sınırlı mıdır?
İnceleyiniz.
Üstten sınırlı bir f fonksiyonunun üst sınırlarının en küçüğüne f fonksiyonunun
en küçük üst sınırı denir ve Eküs (f) ile gösterilir.
EN KÜÇÜK, EN BÜYÜK ELEMAN
D ⊆ IR, f: D → IR
a)
sınırlı fonksiyon Ebas(f) = m, Eküs (f) = M olsun.
m ∈ f(D) ise m reel sayısına f nin D kümesindeki en küçük (minimum)
değeri denir.
b) M ∈ f(D) ise M reel sayısına f nin D kümesindeki en büyük (maksimum)
değeri denir.
lim f (x) = 0 ve g, a nın bir komşuluğunda sınırlı ise
x$a
lim f(x) . g(x) = 0 dır.
x$a
1
c) f(x) = x2.cos2
x
fonksiyonu sınırlı mıdır?
İnceleyiniz.
ÖRNEK
1
lim x 2 . sin x limitinin değeri nedir?
x"0
ÇÖZÜM
1
lim x 2 = 0 ve g (x) = sin x
x"0
1
lim x 2 . sin x = 0
x"0
sınırlı bir fonksiyon olduğundan,
olur.
239
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
1.
f: IR → IR, f(x) = x2 fonksiyonunun sınırlılığını araştırınız.
Çözüm
9
UYARI
Ebas (f) = – , Eküs (f) = 10 dur.
4
1)
Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır.
2)
Kapalı bir aralıkta süreksiz olan bir fonksiyon bu aralıkta
sınırlı olabilir.
3.
Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun bu aralıkta en
küçük ve en büyük değeri vardır.
4.
f: [a, b] → IR sürekli bir fonksiyon ve m = min(f)
y
f(x) = x2
x
0
6 x ∈ IR için x2 ≥ 0 olduğundan f(x) ≥ 0 dır.
M = maks(f) ise
O halde f alttan sınırlıdır ve alt sınırı Ebas(f) = 0 dır.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
UYGULAMA ADIMI
f([a, b]) = [m, M]
dir.
Şekilden de görüldüğü gibi f fonksiyonu üstten sınırlı değildir.
ETKİNLİK
a)
2.
f: IR+ → IR, f(x) = cosx fonksiyonunun sınırlılığını araştırınız.
Çözüm
1
fonksiyonunun sınırlı olup olmadığını belirtiniz.
x2
Grafikten görüldüğü gibi
y
–1 ≤ cosx ≤ 1 olduğundan
f(x) = cosx fonksiyonu
1
0
f(x) =
π
2
π
3π
2
–1
x
2π
sınırlıdır ve
Ebas(f) = –1
Eküs(f) = 1 dir.
b) f: [2, 5] $ R, f(x) = x3
fonksiyonu sınırlı mıdır? Neden?
3.
f: [–1, 4] → IR, f(x) = x2 – 5x + 4
araştırınız.
fonksiyonunun sınırlılığını
Çözüm
y
10
c)
f(x) = x3 + 1, g(x) =
1
x3
4
1
–1
4
x
–9
4
–1 ≤ x ≤ 4 için
sınırlıdır.
240
–9
≤ f (x) ≤ 10 olduğundan f fonksiyonu
4
olduğuna göre, (fog)(x) fonksiyonu sınırlı mıdır? Neden?
Kapalı Aralıkta Sürekli Bir Fonksiyonun Özellikleri
ETKİNLİK
I.
f fonksiyonu, [a, b] kapalı aralığında sürekli olsun. Bu durumda
(1)
f(x), [a, b] de sınırlıdır.
fonksi-
(2)
f(x), [a, b] de maksimum ve minimum değerlere sahiptir.
yonunun sürekli ve artan olduğu aralığı bulalım.
(3)
m = min {f (x)} _
b
a ≤ x ≤ b b olmak üzere m ≤ A ≤ M koşulunu sağlayan
`
M = maks {f (x)}b
her A için f(x0) = A olacak şekilde 7 x0 ∈ [a, b] vardır.
a≤ x ≤b b
a
f(x) = x3 fonksiyonu A = [0, 2] aralığı üzerinde
sürekli ve artan bir fonksiyondur.
f–1(x)
y
8
y=x3
Özel olarak, f(a).f(b) < 0 ise a < c < b olmak üzere, f(c) = 0 olacak şekilde bir c
x
2
0
noktası bulunabilir.
y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığı üzerinde tanımlı, sürekli ve kesin artan veya
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
II.
kesin azalan ise f nin tersi vardır ve x = ϕ(y) ters fonksiyonu f–1([a, b])
y
üzerinde kesin azalan veya kesin artandır ve süreklidir.
3
y= x
2
0
8
ÖRNEK
x
f –1 (x) = 3 x fonksiyonu
f –1 ^ [0, 2]h = [0, 8] kümesi üzerinde sürekli ve
artandır.
f: R → R, f(x) = x + 1 kesin artandır. f–1(x) = x – 1 ters fonksiyonu da kesin
artandır.
ÖRNEK
y = x fonksiyonu A = [0, 3 ) kümesi üzerinde artandır. f (x) = x ise f–1(x) = x2
fonksiyonu da f–1 ([0, 3 ) = [0, 3 ) üzerinde artandır.
y
ETKİNLİK
y
y= x
x
0
Aşağıdaki fonksiyonların artan olduğunu gösteriniz.
x
0
f–1(x) artan
f(x) artan
a)
f(x) = log2(x + 1)
b) g(x) = 2x + 1
c)
y=x2
ÖRNEK
h(x) = x
f: (0, 3 ) → R, f (x) = ,nx artandır.
f–1(x) = ex , f–1: R → (0, 3 ) artandır.
y
y
f(x) = nx
f–1(x) = ex
1
0
x
1
0
x
241
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
ÖRNEK
ETKİNLİK
a)
f(x) = cosx –
x
+1=0
3
denkleminin (0, 2π] aralığındaki kök sayısını
f(x) = sinx – x + 1 = 0 denkleminin bir kökü var mıdır?
ÇÖZÜM
bulunuz.
f(x) = sinx – x + 1 süreklidir.
3r
3r
3r
3r
f(0) = 1, f b l = –
olup f (0) . f b l = 1. b – l
2
2
2
2
f (0) . f b
olduğundan : 0,
b) f(x) = 2x – tanx
3r
l<0
2
3r
D aralığında en az bir kökü vardır.
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
fonksiyonunun (0, 2π] aralığındaki kök
II. Yol:
sayısını bulunuz.
f(x) = sinx
y
1
g(x) = x – 1
alınırsa
sinx = x – 1 in
3r
: 0, 2 D de bir kökü vadır.
c)
x3 + 3x – 6 = 0
denkleminin (–1,
2)
–π
π
0
π
–
2
1
π
2
kök
2π
3π
2
x
–1
ÖRNEK
aralığında en az bir kökü olduğunu
gösteriniz.
x3 + 2x – 5 = 0 denkleminin (–1, 2) aralığında en az bir kökünün olduğunu
gösteriniz.
ÇÖZÜM
f(x) = x3 + 2x – 5 olsun.
f(–1) = (–1)3 + 2.(–1) – 5 = –8 < 0
f(2) = 23 + 2.2 – 5 = 7 > 0
d) x3 + x2 + x – 2 = 0
denkleminin (0, 1) aralığında en az bir
kökünün olduğunu gösteriniz.
olup f(–1) . f(2) < 0 olduğundan
f(x) fonksiyonunun grafiği x eksenini (–1, 2) aralığında en az bir kez keser. Yani
x3 + 2x – 5 = 0 denkleminin (–1, 2) aralığında en az bir tane kökü vardır.
ÖRNEK
a0, o1, ..., a2n+1 reel sayılar olmak üzere,
a2n+1 x2n+1 + a2nxan ... + a1x + a0 = 0
denkleminin en az bir reel kökü olduğunu gösteriniz.
242
ÇÖZÜM
ETKİNLİK
a)
f(x) =
x – sinx + 1 = 0
denkleminin (0, 2π) aralığındaki köklerinin
f(x) = a2n+1x2n+1 + a2nx2n + ... + a1x + a0
fonksiyonunu oluşturalım. f fonksiyonu
R üzerinde süreklidir.
a2n+1 > 0 olsun. Bu durumda
sayısını bulunuz.
lim f (x) = + 3
x "+3
ve
lim f (x) = –3
x " –3
dur. Bu ise fonksiyonunun grafiğinin uçlarının I. ve III. bölgede olduğunu gösterir.
O halde, a < b olmak üzere, f(a) < 0 ve f(b) > 0 olacak şekilde a ve b reel sayıları bulunabilir.
Buradan f(a).f(b) < 0 olduğundan a < c < b ve f(c) = 0 olacak şekilde bir c ∈ R
b)
2
f (x) = 3 x – x 3 – 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
vardır.
fonksiyonunun (0, 2 ) aralığında en az bir
kökü olduğunu gösteriniz.
ÖRNEK
Z x
]] 2 + 1
f (x) = [ 2 x
]] x
\2 – 1
,
,
,
–1 ≤ x < 0
x=0
0<x ≤1
ise
ise
ise
biçiminde tanımlı f fonksiyonunun minimum veya maksimum değerinin olmadığnı
gösteriniz.
ÇÖZÜM
c)
fonksiyonunun (0, 2 ) aralığında
Fonksiyonun grafiği şekildeki gibidir.
3
[–1, 0) aralığında f fonksiyonu
den 2 ye
2
kadar artan, (0, 1] aralığında f fonksiyonu
x eksenini bir kez kestiğini gösteriniz.
0 dan 1ʼe kadar artandır.
f(x) = x2 – 2 x – 1
x = 0
y
2
3
2
1
noktasında fonksiyon süreksizdir.
–1
0
x
1
[–1, 1] aralığında fonksiyon sınırlıdır. Ancak
alt ve üst sınırlarına hiçbir zaman ulaşamaz.
Bu nedenle f nin minimum veya maksimum değeri yoktur.
ETKİNLİK
d)
f (x) = ,nx + 2 fonksiyonunun en küçük
değeri var mıdır? Neden?
Z
] 2 + sin 2 x
]
f (x ) = [ 3
]]
\ 1 – cos x
,
,
,
r
<x<r
2
x=r
r < x < 2r
fonksiyonunun maksimum veya minimum değerlerinin olup olmadığını belirleyiniz.
243
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
Aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
f–1
f
y
y
f(x) = 2x
f–1(x) = log2x
1
x
0
0
x
1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
∀x ∈ R için f(x) = 2x
süreklidir.
∀x ∈ R+ için f(x) = log2x süreklidir.
f–1
f
y
y
y=x2
∀x ∈ R için f(x) = x2
süreklidir.
∀x ∈ R+ ∪ {0} için f–1(x) = x süreklidir.
f
y
f–1
f(x)=x3
y
f–1(x) =
0
0
∀x ∈ R için f(x) = x3
244
x
x
0
x
0
f–1(x) =
x
x
x
süreklidir.
3
3
∀x ∈ R için f–1(x) = x
süreklidir.
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
KAVRAMSAL ADIM
[a, b] aralığında tanımlı, sürekli bir fonksiyonun minimum ve maksimum değerleri ile ilgili aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
y
y
maks
f(b)
maks
a
x
b
0
f(a)
b
0
f(a)
x
a
min
f(b)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
min
(a, f(a)) minimum noktas›,
(a, f(a)) maksimum noktas›,
(b, f(b)) minimum noktas›
(b, f(b)) maksimum noktas›
y
y
maks
f(d)
maks
f(c)
c
a
a
0
c
b
x
0
d
x
b
f(a)
min
f(c)
min
(a, f(a)) minimum noktas›
(c, f(c)) maksimum noktas›
(c, f(c)) minimum noktas›,
(d, f(d)) maksimum noktas›
y
a
0
y
b
x
a
f, [a, b] de s›n›rl› ve süreklidir.
0
c
b
x
f s›n›rl›, fakat sürekli de€ildir.
245
SINAMA ADIMI
f (x ) =
x 2 – 3x + 2
x 2 – mx + 4
fonksiyonunun R de sürekli olması
5.
için hangisi doğrudur?
B) m ∈ R – [–4, 4]
A) –4 < m < 4
D) m ∈ (–∞, 4)
log 1 (2x + 1)
2.
f (x) =
2
1
A) b – , 3 l
2
x 2 + (m – 1) x + 3
x 2 – (2m + 2) x + 7m + 1
fonksiyonunun bir x değerinde süreksiz olduğu bilindiğine göre m kaç olmalıdır?
C) –2 < m < 2
A) 1
E) m ∈ R – [–2, 2]
fonksiyonu hangi kümede süreklidir?
log (x 2 – 4)
f (x) =
B) 2
C) 3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
1
B) b –
1
, 3 l – {2}
2
6.
C) (–2, 2)
E) (–2, ∞)
D) (2,∞ )
–3
3.
, x <1
f(x)
1
0
x
1
B) lim + f (x) = 2
C) lim – f (x) = 1
D) f, x = 2 de süreklidir.
x " –1
x " –1
E) f, x = 1 de süreklidir.
C) 5
D) 6
E) 7
r
2
r
, x=
2
, x≠
7.
f(x) fonksiyonunun sürekli olması için a aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
246
2
x " –3
, x >1
Z
] 4 sin x – r
f (x) = [
] ax + 3
\
D) r –
3
, x =1
B) 3
2
A) r
y
A) lim f (x) = f (–3)
f(x) fonksiyonu sürekli ise, m+n kaçtır?
4.
E) 5
Şekilde R de tanımlanan f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Z 2 + mx
]
] 3
f (x) = [ x 2 + 1
] 1 + nx
]
\ 2
A) 2
–2 –1
D) 4
2r
3
1. A
2
B) – r
C)
E)
2. D
2 – 2r
r
3. E
2 + 2r
r
4. E
Zax + b ; x < 2
]
f (x) = [
a ; x=2
]
\ 3bx + c ; x > 2
fonksiyonunun sürekli olması için c; a’nın kaç katı olmalıdır?
A) 5
5. E
B) 6
6. E
C) 7
7. C
D) 9
E) 10
SINAMA ADIMI
12.
x <1
y
x ≥1
2
1 1
fonksiyonu hangi x değeri için süreksizdir?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 3
–4
E) –1
–3
–2 –1
0
1
2
x
3
y=f(x)
Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun, limiti olan
ama sürekli olmayan x tam sayı değerleri kaç tanedir?
A) 7
;
x < –1
;
;
x = –1
x > –1
fonksiyonunun x = –1 noktasında sürekli olması için
a + b kaçtır?
a) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
13. f: R → R
f(x) =
D) 4
E) 3
x 2 – 4x + m
fonksiyonu her x reel sayısı
x 2 + mx + 9
için sürekli olduğuna göre,
değerlerinin sayısı kaçtır?
A) 2
Z2x + m
]
10. f (x) = [ 16
]
\ –x + n + 2
C) 5
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
9.
Z ax + 1
]
] 3
f (x) = [ 2
]]
\ b + 2x
B) 6
B) 3
C) 4
m’nin alabileceği tam sayı
D) 5
E) 7
, x<3
, x=3
, x>3
fonksiyonu x = 3 noktasında sürekli olduğuna göre,
m – n toplamı kaçtır?
A) 7
B) 5
14. f (x) =
C) –3
D) –5
E) –7
cos (x + 1)
cos x + cos 2 x
dir?
r
+ k2r V x = r + k2r, k ! Z /
2
A) R – % x = "
B) R – % x =
Zmx + k
]]
5
11. f (x) = [
]] 2
x
+
m
\
;
;
1< x
x =1
ise
ise
;
x <1
ise
fonksiyonu R’de sürekli olduğuna göre, k kaçtır?
A) –2
B) –1
8. A
C) 0
9. C
D) 1
10. E
r
+ k2r V x = k2r, k ! Z /
2
C) R – % x = –
r
+ k.2r V x = –r + k2r, k ! Z /
2
D) R – % x = "
r
+ k2r V x = k2r, k ! Z /
2
E) R – % x = "
r
r
+ k2r V x = k , k ! Z /
2
2
E) 2
11. D
fonksiyonu hangi aralıkta sürekli-
12. E
13. A
14. A
247
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
8.
Z 1
]
,
]x – 3
f (x) = [
x
,
]]
log 2 (x + 1) – 3
\
1
SINAMA ADIMI
4.
; x < 0 ise
f (x) =
1
x–2
olduğuna göre (fofof)(x)
fonksiyonunun
; x = 0 ise
süreksizlik noktası aşağıdakilerden hangisidir?
; x > 0 ise
A) 2
B)
5
2
C)
5
12
D)
12
7
E)
12
5
f(x) fonksiyonu aşağıdaki noktalardan hangisinde süreksizdir?
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
E) 0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
Z 1
] 2
]x – 9
] 1
f (x) = [
]x – 4
]x –1
]x+4
\
2
5.
f : [0, 3] → |R, f(x) = x2 – 2x fonksiyonu için f([0, 3])
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–1, 2]
B) [–1, 0]
D) [–1, 3]
2.
Z
2
] 3x + 1
]] x 2 + x – 2
r
[
f (x) = ] tan x
]] 2
x – 16
\
C) [–1, 2]
E) [–1, 4]
; x < –1 ise
; –1 ≤ x < 3 ise
; x≥3
ise
biçiminde tanımlı f(x) fonksiyonu x’in kaç farklı tam sayı
değeri için süreksizdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6.
f (x) =
–2x 2
x2 + 6
fonksiyonu R’de sürekli ise,
– 3x + a + 1
a aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?
A) –2
x3 – 1
3.
f (x) =
* x2 – 1
, x ≠1
a –1
, x =1
7.
f (x) =
kuralıyla verilen f fonksiyonunun sürekli olması için a ne
olmalıdır?
3
A)
2
248
5
B)
2
7
D)
2
C) 3
1. B
2. D
3. B
E) 4
A) :
B) –3
C) –4
D) –5
E) –6
|x |
fonksiyonu hangi aralıkta süreklidir?
2x + 1
log b
l
2
1
, 3l
2
B) b –
D) b
4. E
1
, 3l
2
1
, 3l
2
5. D
C) : –
E) b –
6. A
1 1
, l
2 2
7. D
1
, 3l
2
SINAMA ADIMI
Z
] –2 sin x
]]
12. f: IR → IR , f (x) = [ a sin x + b
]
]] cos x
\
fonksiyonunda x = e deki sıçrama miktarı nedir?
A) 2e –
1
2
B)
D) –
2e – 1
2e
5e
2
C)
E)
5
2
2e – 1
3e
3+1
ise
r
r
<x<
ise
2
2
r
≤ x ise
2
, –
,
(a, b) kaçtır?
A) (0, 1)
B) (–1, 1)
C) (0, –1)
E) (1, 1)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1
f (x) = 2 x
r
2
fonksiyonu veriliyor. f, R de sürekli olduğuna göre,
D) (–1, 0)
9.
, x≤–
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) R – {–1, 1}
C) ∅
B) R – {1}
D) R – {0}
E) R – {–1}
13. f (x) =
x2
x2 + x + 1
fonksiyonunun IR de sürekli olması
– 2mx + 3m
için m hangi aralığın elemanı olmalıdır?
A) ( 3 , 3)
B) (– 3 , 3 )
(0, 3 )
C) (0, 3)
E) (0, 1)
10. f(x) = cosx fonksiyonunun süreksizlik kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) R – (–1, 1)
B) R – [–1, 1]
r
D) R – % /
2
11. f (x) = x 2 – mx + m – 1
C) R – {0}
E) ∅
fonksiyonunun R de sürekli ol-
duğu bilindiğine göre m’nin alabileceği en küçük pozitif
tam sayı değeri kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
8. C
9. E
D) 2
10. E
14. f (x) =
x +1
x 2 + 2 (a + 1) x + a + 4
fonksiyonunun IR de sürekli
olması için a aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
E) 1
11. D
12. B
13. C
14. E
249
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
8.
Z2x – 2
, x<e
]]
f (x) = [ 2
, x=e
]]
\ ln x + 2x , x > e
2
SINAMA ADIMI
4.
, x <1
, x =1
, x >1
f: IR → IR , f(x) = |x| fonksiyonunun sürekli olduğu en
geniş küme aşağıdakilerden hangisidir?
A) R – Q
B) R – N
şeklinde tanımlanan f fonksiyonu IR de sürekli ise,
C) R – Z
D) R – {0}
E) R
a + b kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
5.
f (x) =
x2
x 2 – 5x + 6
+ 2mx + m + 6
fonksiyonunun IR de sürekli ol-
ması için m nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç
olmalıdır?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
1.
Z
]] | x – 3 |
f: IR " IR , f (x) = [ 4a + 6
]]
12 – 5bx
\
3
B) 0
A) –1
2.
f (x) = )
4.5 x
5x + 9a
D) 2
E) 3
, x<2
, x≥2
şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun IR de sürekli
olması için a kaç olmalıdır?
A) 6
C) 1
B) 7
C) 8
D) 9
6.
f (x) =
E) 10
x2
x2 – 1
– 2x – 3
fonksiyonunun sürekli olduğu küme
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (– 3 , – 1) ∪ ([1, 3 ) – {3})
B) (– 3 , –1) ∪ [1, 3 )
C) (– 3 , –1) ∪ (3, 3 )
D) (– 3 , –1) ∪ [1, 3)
E) (– 3 , –1) ∪ (–1, 3 )
3.
y
7.
3
1
0
–2
3
4
5
Şekildeki grafiğe göre
fonksiyon –1, 0, 1, 2, 3
noktalarından hangisinde süreklidir?
y
4
3
2
x
–1
0 1
2
3
x
Şekilde verilen fonksiyonun kaç noktada limiti yoktur?
A) 1
250
B) 2
C) 3
1. D
2. E
D) 4
3. B
E) 5
A) –1
B) 0
4. E
C) 1
5. D
6. A
D) 2
7. D
E) 3
SINAMA ADIMI
Aşağıdaki fonksiyonların hangisi x = 1 de süreklidir?
A) f (x) =
x2
–1
1
B) f (x) =
A) [–3, 3] – {–1}
B) [–3, 3] – {1}
D) (–3, 3) – {1}
1
1 – x2
C) (–3, 3) – {–1, 1}
E) [–3, 3]
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
E ) f (x) =
fonksiyonunun sürekli olması için x
hangi aralıkta olmalıdır?
x2 – 1
cos r + 1
D ) f (x ) =
log x
|x – 1 |
C ) f ( x) = 2
x – 2x + 1
9 – x2
x 2 + 2x + 1
11. f (x) =
12. f(x) fonksiyonu (a, b) açık aralığında sürekli bir fonksiyon olmak üzere aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi (a, b)
aralığında süreklidir?
A)
9.
1
f (x)
C) ,nf (x)
B) f (x)
D ) | f (x ) |
y
E)
1
1 + f (x )
4
3
2
1
–3 –2
–1
0 1
2
x
3
Şekildeki grafiğe göre fonksiyonun x = –3, x = –1, x = 1,
x = 2, x = 3 noktalarından sürekli olanların ordinatları toplamı kaçtır?
A) –1
B) –3
C) 2
D) 3
E) 4
13. f (x) =
*
x 2 – 16
x–4
m
x≠4
x=4
fonksiyonunun x = 4 apsisli noktada sürekli olması için
m ne olmalıdır?
A) 4
10. f (x) = 3
x2 – 9
x 3 – x 2 – 6x
B) 5
B) {–2, 0}
D) {–3, 0, 2, 3}
C) {–2, 3}
E) {–3, 2, 3}
14. f (x) =
E) 8
9. E
10. A
x2
x3 + 1
fonksiyonu x = –1 de süreksiz oldu+ 3x + a
ğuna göre, a kaçtır?
A) –2
8. A
D) 7
fonksiyonunun süreksiz olduğu
noktalarının apsisleri aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–2, 0, 3}
C) 6
B) –1
11. A
C) 0
12. D
13. E
D) 1
14. E
E) 2
251
ÜNİTE – 2 LİMİT VE SÜREKLİLİK
8.
3