ELAST K L M T Ç NDE ÇEKME VE BASMA
advertisement
MM MM MMM MMM MMMMMMM MMMMMMM MM M MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM UU UU KKK KK UU UU KK KK UU UU KK KK UU UU KK KK UU UU KKKK UU UU KKKK UU UU KK KK UU UU KK KK UU UU KK KK UUUUU KKK KK A AAA AA AA AA AA AA AA AAAAAAA AA AA AA AA AA AA AA AA VV VV EEEEEEE MM MM EEEEEEE VV VV EE EE MMM MMM EE EE VV VV EE E MMMMMMM EE E VV VV EE E MMMMMMM EE E VV VV EEEE MM M MM EEEE VV VV EE E MM MM EE E VV VV EE MM MM EE VV VV EE E MM MM EE E VVV EE EE MM MM EE EE V EEEEEEE MM MM EEEEEEE TTTTTT TTTTTT TTT TTT T TT T TT TT ------TT TT TT TT TTTT IIII II II II II II II II II IIII İİ MM MM EEEEEEE HH HH MMM MMM EE EE HH HH MMMMMMM EE E HH HH MMMMMMM EE E HH HH MM M MM EEEE HHHHHHH MM MM EE E HH HH MM MM EE HH HH MM MM EE E HH HH MM MM EE EE HH HH MM MM EEEEEEE HH HH MM MM EEEEEEE MMM MMM EE EE MMMMMMM EE E MMMMMMM EE E MM M MM EEEE MM MM EE E MM MM EE MM MM EE E MM MM EE EE MM MM EEEEEEE TTTTTT TTTTTT T TT T TT TT TT TT TT TT TTTT İİİİ İİ İİ İİ İİ İİ İİ İİ İİİİ RRRRRR EEEEEEE NN NN RR RR EE EE NNN NN RR RR EE E NNNN NN RR RR EE E NNNNNNN RRRRR EEEE NN NNNN RR RR EE E NN NNN RR RR EE NN NN RR RR EE E NN NN RR RR EE EE NN NN RRR RR EEEEEEE NN NN I. 1 BÖLÜM I ELASTİK LİMİT İÇİNDE ÇEKME VE BASMA 1- Mukavemetin konusu. Mukavemet mekaniğin dallarındandır. Mukavemetin incelediği cisimler şekil değiştiren cisimlerdir. Mukavemet katı cisim mekaniğinin metotlarını ve sonuçlarını kullanır. Katı cisim mekaniğinde cisimlerin hangi şarlarda denge oldukları incelenir. Mukavemet ise cisimlerin bu kuvvetlerin etkisi altındaki davranışlarını şekil değiştirme kabiliyetlerini ve bu kuvvetlere dayanıp dayanamayacaklarını inceler. Şekil değiştiren cisim mekaniği cismin özelliklerine göre elastisite, plastisite, viskoz katı cisim mekaniği gibi bölümlere ayrılır. Şekil değiştiren cisim mekaniğinde cisim üzerine etkiyen kuvvetin zaman içindeki değişim hızını dikkate alan, yani dinamik etkilerini dikkate alan bilim dalı elasto-dinamiktir. Mukavemetin ilgili olduğu alanlardan biri de kararsız denge durumunu incelemektir. Bu durumda sistem statik olarak dayanıklı gibi görünse de dengenin kararsız olması, tehlikeli durumların ortaya çıkmasına sebep olur. Bu durum şekil 1 de görülmektedir. Şekil I- 1 Mukavemet hesaplamalarında hedef, dış kuvvetlere göre emniyetli boyut tayini, boyutları başlangıçta öngörülmüş sistemlerin emniyetle taşıyabileceği kuvvetlerin tayini ve bu iki hesap arasında bir optimizasyon sağlamaktır. Bu optimizasyonda hedef ekonomikliktir. 2- Mukavemetin incelediği cisim. Mukavemetin incelediği cisim homojen ve izotrop cisimdir. Homojen cisim her noktasının özelliği aynı olan cisimdir. İzotrop cisim ise her doğrultudaki özelliği aynı olan cisimdir. Bu ideal cisim özelliğidir. Çelik, bu tanıma yaklaşık olarak uyan bir cisimdir. Ahşap izotrop değildir. Ahşabın lif doğrultusundaki özellikleri ile liflere dik doğrultudaki özellikleri birbirinin aynısı değildir. 1 I. 2 3- Mukavemetin metodu. Bütün pozitif bilimlerde olduğu gibi mukavemetin metodu gözlem, teori ve deneye dayanır. Teori ile açıklanmaya çalışılan gözlem ve deneyle doğrulanır ya da yeni teoriler oluşturulur. 4- Mukavemetin prensipleri. Mukavemetin kullandığı cisim her ne kadar şekil değiştiren cisim de olsa cisimler üzerinde ortaya çıkan reaksiyon kuvvetleri hesaplanırken, dış kuvvetler etkisinde cisimler üzerinde meydana gelen şekil değişimleri dikkate alınmaz. Yani cisimler üzerinde meydana gelen şekil değişimlerinin, cismin geometrik özelliklerinde bir değişim meydana getirmediği kabul edilir. Bu kabule katılaştırma prensibi denir. Cisimler çok sayıda maddesel notalardan meydana gelmiştir. Cisimler üzerine uygulanan dış kuvvetlerin tesiri altında bu maddesel noktalar ya birbirlerinden uzaklaşmaya ya da birbirlerine yaklaşmaya çalışır. Zaten cisimlerde meydana gelen şekil değişimlerini de bu olay meydana getirmektedir. Eğer cisim üzerine uygulanan bu kuvvetler belirli bir değeri aşarsa bu maddesel noktalar arasındaki bağı oluşturan kuvvetler yenilir ve cisim kırılır. Cismi oluşturan maddesel noktalar arasında meydana gelen bu kuvvetlerin ne kadar olduğunu bilmemiz gerekir. Bu kuvvetleri açığa çıkarmak için cisim, incelenmek istenen bir noktadan gecen hayali bir düzlemle iki parçaya ayrılır. Dengenin bozulmaması için atılan kısmın kalan kısım üzerindeki etkisi, kesme düzlemi üzerine kuvvetler ve momentler olarak gösterilir. Aslında bu kesit içinde ortaya çıkan kuvvetler sistemidir. Ancak bu kuvvetler sisteminin ne olduğu konusunda elimizde bir bilgi olmadığından, kesit düzlemi üzerine konulacak kuvvetler sistem gerçek kuvvetler sistemine eşdeğer ve indirgenmiş kuvvetler sistemidir. Böylece verilmiş kuvvetler sistemini, bu düzlem üzerinde bir tek kuvvet ile bir moment vektörüne indirgemiş oluruz. Bu durum şekil 2 de görülmektedir. Kesme düzlemi boyunca iki parçaya ayrılmış cisim tekrar üst üste getirildiğinde dengenin yeniden tesis edilmesi için kesilmiş cismin bir parçasına ait kesme düzleminin üzerinde gösterilen kuvvetler, diğer kısma ait düzlem üzerinde eşit şiddetli ve zıt yönlü olarak gösterilir. Bu prensibe ayırma prensibi denir. 2 I. 3 Şekil I- 2 Şekil I- 3 5- Elastisite. Biz cisimleri, kendi aralarında ve birbirleri üzerine kuvvet uygulayan küçük maddesel noktalardan ya da moleküllerden meydana gelmiş kabul ederiz. Bu moleküler kuvvetler, cisim üzerine etki eden kuvvetlere ve cisimlerin şekil değiştirmelerine karşı koyan kuvvetlerdir. Bir cisim üzerine bir kuvvet uygulanırsa, bu cismi oluşturan maddesel noktalar yeni bir denge meydana gelinceye kadar yer değiştirirler. Bu durumdaki cisme şekil değiştirme halindedir denir. Şekil değiştiren cisim üzerine uygulanan kuvvet bir miktar iş yapar ve yapılan bu iş cisim içinde şekil değiştirme potansiyel enerjisi olarak depolanır. Bu olaya örnek olarak saat yayı gösterilebilir. Cisim üzerine uygulanan kuvvet azaltılırsa, şekil değişimi tersine döner ve cisim içinde depolanan enerji dışarıya iş olarak geri alınabilir. Şekil I- 3’deki gibi prizmatik bir çubuk alalım ve ucuna bir F kuvveti uygulayalım. Bu kuvvet tesiriyle bu çubuk, bir miktar uzayacaktır. Bu uzama, F kuvvetinin yaptığı iş, iç kuvvetlerin yaptığı işe eşit oluncaya kadar devam eder. Kuvvet azaltılırsa çubuğun içinde depolanmış enerji dışarıya karşı bir iş yapar ve çubuk eski haline geri döner. Cisimlerin üzerine kuvvet uygulanmadan önceki başlangıç formuna geri dönmelerine elastisite denir. Eğer cisimler, üzerlerine uygulanan kuvvetler kaldırıldığında tamamen başlangıçtaki formlarına geri dönüyorlarsa böyle cisimler mükemmel elastik cisimler denir. Başlangıçtaki formlarına kısmen geri dönüyorlarsa, böyle cisimlere de kısmi elastik cisimler denir. Tam elastik cisimlerde deformasyon esansında uygulanan dış kuvvetlerin yaptığı iş, tamamen cisim içersinde potansiyel enerji olarak depolanır ve kuvvet kaldırıldığında da tamamen iş olarak dışarıya alınır. Kısmi elastik cisimlerde ise deformasyon esansında dış kuvvetlerin yaptığı işin bir kısmı, ısı enerjisine dönüşerek iletim ve taşınım yoluyla ortamdan uzaklaşır. Bu sebeple meydana gelen şekil değişimi, kuvvetin kaldırılması sonucunda geri alınamaz ve cisimde kalıcı şekil değişikliği meydana gelir. Deneyler göstermiştir ki taş, çelik ve ahşap gibi malzemeler belirli sınırlar içinde elastik özellikler göstermektedir. 3 I. 4 6- Hook kanunu. Deneyler göstermiştir ki, bir prizmatik çubuk üzerine eksenel bir kuvvet uygulandığında, belirli sınırlar içinde uygulanan kuvvetler ile çubuğun uzaması arasında belirli bir oran vardır. Bu oran basitçe lineer bir ilişki olup ilk defa İngiliz bilim adamı Robert Hook tarafından 1678 de tespit edilmiştir. Bu tespit, F L A ∆L E : : : : : Uygulanan kuvvet, Çubuğun başlangıçtaki boyu, Çubuğun eksenine dik olan kesiti, Çubuğun uzama miktarı, Çubuğun elastisite modülü ya da elastik sabiti, olmak üzere ∆L = FL AE (1) şeklinde ifade edilir. Bu ifadeye göre çubuktaki uzama miktarı, çubuk üzerine gelen eksenel kuvvetle ve çubuğun başlangıçtaki boyu ile doğru orantılı, çubuğun kesiti ve elastisite modülü ile ters orantılıdır. Burada çekme deneyi yapılırken • • • Uygulanan F kuvveti, çubuğa eksenel uygulanarak eğilme tesirleri yok edilir. Çubuğun uzunlamasına olan liflerinin hepsinin aynı şekilde uzadığı kabul edilir. Çubuğun şekil değişiminden önce eksenine dik olan kesit düzleminin, şekil değişiminden sonra da düzlemsel özelliğini muhafaza ettiği, çubuk eksenine dik kaldığı ve kesit alanının değişmediği kabul edilir. Ucuna F kuvveti uygulanmış olan çubukta ortaya çıkan iç kuvvetleri açığa çıkarmak için, çubuk eksenine dik bir düzlemle ve ekseni üzerindeki her hangi bir noktadan kesilerek ikiye ayrılır. Dengenin bozulmaması için atılan kısmın kalan kısım üzerindeki etkisi kesit düzlemi üzerine kuvvet olarak yerleştirilir. Kesme düzlemi üzerine uygulanan bu kuvvetler iç kuvvetlerdir. Bu kuvvetler kesit düzlemi üzerine sürekli ve üniform olarak dağıldığı kabul edilir. Bu denklemde birim alana gelen kuvvet ya da kuvvet yoğunluğu σ= F A (2) gerilme adını alır. ε= ∆L L (3) ise birim uzamama, oransal uzama ya da strain adını alır. 2 ve 3 denklemleri kullanılarak 1 numaralı Hook denklemi yeniden yazılırsa, 4 I. 5 ε= σ E (4) elde edilir. Bu denklemlerde σ ’nın birimi [ kuvvet alan ] Pascal, ε birimsiz olduğuna göre elastisite modülünün de birimi [ kuvvet alan ] Pascal dır. Burada verilen denklemler hem çekme hem de basınç durumunda geçerlidir. Ancak çekme durumunda gerilmenin işareti pozitif alınır. Tablo 1 Beton Sınıfları ve mekanik özellikleri Beton Sınıfı Karakteristik Dayanım (MPa) Basınç Çekme fck Tasarım Dayanımı (MPa) Basınç Çekme fcd* fctk fcd C 14 14.00 1.30 9.30 C 16 16.00 1.40 10.70 C 18 18.00 1.50 12.00 C 20 20.00 1.60 13.30 C 25 25.00 1.80 16.70 C 30 30.00 1.90 20.00 C 35 35.00 2.10 23.30 C 40 40.00 2.20 26.70 C 45 45.00 2.30 30.00 C 50 50.00 2.50 33.30 Poisson oranı: 0 . 2 0 Kayma modülü :0 . 40EC Isıl genleşme katsayısı ( α t ):10 5/°C *fcd=fck/1.5 **fctd=fctk/1.15 Eşdeğer Küp (150 mm) Basınç Dayanımı (MPa) ** 0.87 0.93 1.00 1.04 1.17 1.28 1.38 1.48 1.57 1.65 16.00 20.00 22.00 25.00 30.00 37.00 45.00 50.00 55.00 60.00 28 Günlük Elastisite Modülü (MPa) Ec 26,150.00 27,000.00 27,500.00 28,000.00 30,000.00 32,000.00 33,000.00 34,000.00 36,000.00 37,000.00 k1 0.85 0.85 0.85 0.85 0.85 0.82 0.79 0.76 0.73 0.70 Tablo 2 Çeliklerinin Mekanik Özellikleri Mekanik Özellikler Soğukta işlem Görmüş S220a S420a S500a S420b S500 Doğal Sertlikte σ yk (Karakteristik akma dayanımı) (MPa) 220 420 500 420 500 σ yd (Tasarım dayanımı) (MPa) 191 365 435 365 435 σ u (Kopma Dayanımı) (MPa) 340 500 550 550 550 φ ≤ 32 mm εu (Kopma uzaması) (%) 18 12 12 10 8 32 ≤ φ ≤ 50 mm εu (Kopma uzaması) (%) 18 10 10 2x105 10 8 Elastisite modülü (E) (Mpa) 5 I-6 Tablo 3 YOĞUNLUK MALZEME Alüminyum Alüminyum Alüminyum Alüminyum Bronz Bronz Dökme demir Dökme demir Bakır Altın Kurşun Magnezyum alaşımı Mpnel alaşımı Monel alaşımı Nikel Fosfor bronzu Fosfor bronzu Paltin Gümüş Çelik Çelik Çelik Çelik Çelik Kalay Titanyum alaşımı Tungsten Sarı Bronz Sarı Bronz Çinko TİPİ Alaşım 1100-H14(99%Al) Alaşım 2014-T6 (4.4% Cu) Alaşım 2024-T3 Alaşım 6061 -T6 (1%Mg) Döküm Gun metal Kır 4.5%C (ASTM A-48) Dövülebilir (ASTM A-47) Saf Saf Saf 8.5% Al Tavlanmış 400 (Ni-Cu) Soğuk işlenmiş 400 (Ni-Cu) Saf Sğouk haddelenmiş (510) Spring temper (524) Saf Saf Yüksek mukavemetli düşük alaşımlı Su verilmiş / temperlenmiş alaşım Paslanmaz (302) Tavlanmış Paslanmaz (302) Soğuk haddelenmiş İmalat çeliği (ASTM-A36) Döküm 6%AI4%V Saf Tavlanmış (65% Cu 35% Zn) Soğuk haddlenmiş (65% Cu 35% Zn) Döküm (kg/m3) 2,713.00 2,796.00 2,796.00 2,713.00 8,553.00 8,885.00 7,197.00 7,303.00 8,941.00 1,923.00 11,321.00 1,799.00 8,830.00 3,330.00 3,913.00 3,353.00 3,775.00 21,424.00 10,518.00 7,861.00 7,861.00 7,916.00 7,916.00 7,861.00 7,308.00 4,456.00 13,321.00 8,470.00 3,470.00 7,141.00 MAKSİMUM ÇEKME SINIRI (MPa) 110.00 483.00 483.00 310.00 166.00 103.00 172.00 345.00 172.00 MAKSIMUM SIKIŞTIRMA SINIRI (MPa) 207.00 83.00 655.00 621.00 276.00 13.00 373.00 552.00 676.00 559.00 841.00 152.00 124.00 483.00 828.00 621.00 862.00 400.00 24.00 887.00 331.00 533.00 34.00 MAKSİMUM KAYMA SINIRI (MPa) 69.00 280.00 186.00 248.00 241.00 331.00 207.00 166.00 AKMA SINIRI ÇEKME (MPa) 97.00 414.00 345.00 276.00 AKMA SINIRI KAYMA (MPa) 55.00 221.00 138.00 228.00 62.00 276.00 221.00 586.00 124.00 345.00 517.00 276.00 55.00 345.00 630.00 276.00 517.00 248.00 207.00 379.00 152.00 145.00 41.00 828.00 103.00 434.00 138.00 62.00 248.00 ELASTİSİTE MODÜLÜ KAYMA MODÜLÜ TERMAL GENLEŞME SÜNEKLİK %UZAMA (GPa) 70.00 73.00 73.00 69.00 62.00 69.00 69.00 166.00 117.00 74.00 14.00 45.00 179.00 179.00 221.00 110.00 110.00 147.00 72.00 200.00 200.00 193.00 193.00 200.00 28.00 114.00 345.00 103.00 103.00 90.00 (GPa) 26.00 27.00 (10e-6m/m/C) 23.60 23.00 22.70 23.60 50mm.için 20.00 13.00 18.00 12.00 12.10 12.10 16.60 14.40 52.70 26.10 13.90 13.30 13.00 17.30 18.40 9.00 18.80 11.70 11.70 17.30 17.30 11.70 22.30 8.50 4.50 20.30 20.30 38.40 0.50 10.00 40.00 30.00 26.00 23.00 64.00 41.00 79.00 79.00 73.00 73.00 79.00 39.00 1.00 46.00 22.00 10.00 4.00 48.00 21.00 18.00 50.00 12.00 23.00 10.00 2.00 62.00 1.00 6 I-7 7- Basit Çekme Hali ve Çekme Diyagramı. Basit çekme halinde ince bir çubuk iki ucundan çekilerek uzatılmaya çalışılır. Bu deney yapılırken Çubuğa uygulanan F kuvveti adım adım arttırılarak bu esnada çubukta meydana gelen boy değişimi ölçülerek kaydedilir. Ölçülen bu boy değişimi ∆L , çubuğun başlangıçtaki boyu olan L ye bölünerek birim uzama adını verdiğimiz, ε= ∆L L (5) hesaplanır. Uygulanan kuvvet F, çubuğun eksenine dik olan başlangıçtaki kesit alanı A ya bölünerek, eksenel çekme gerilmesi adını verdiğimiz, σ= F A (6) hesaplanır. Hesaplanan birim uzamalara karşı gelen gerilme değerleri, bir düzlem üzerinde işaretlenerek grafiğe dönüştürülür. Bu grafiğe çekme diyagramı denir. Yani çekme diyagramları, göz önüne alınan çubuğun birim kesit alanına gelen kuvvet olan gerilme ile birim boyundaki uzama olan birim uzama arasındaki ilişkiyi grafik olarak ifade eder. Şekil I-4 deki grafik dikkatle incelenirse O-A arasındaki bölgede, gerilme ile uzama arasında lineer bir ilişki vardır. Çekme gerilmesi adını verdiğimiz bu gerilme ile birim uzama arasındaki lineer ilişki özelliği, çekme gerilmesinin belirli bir sınırına kadardır. Bu sınıra orantı sınırı denir. Bu malzemenin cinsine bağlıdır. Şekil I- 4 Bu sınırın ötesinde çekme gerilmesi ile uzama arasındaki ilişki daha karmaşıktır. Bu noktadan sonra grafik eğriselleşir. B noktası ile başlayan bu bölgede gerilmede çok az miktardaki artıma karşılık, çubuğun birim uzaması artmaya devam eder. Bu olaya malzemenin akması denir. B noktası da akma sınırı adını alır. Kuvvet artmaya devam ederse malzeme toparlanır ve çubuk uzamaya devam ederek C noktasına ulaşılır. Bu noktada gerilme maksimuma ulaşır. Bu noktaya dayanıklılık sınırı denir. Bu noktadan sonra çubuk üzerine gelen kuvvet azalsa da uzama devam eder ve çubuk kopar. Bu nokta diyagram üzerinde D noktası ile temsil edilir. 7 I-8 Bu arada belirtmek gerekir ki çubukta boy uzaması meydana gelirken kesit daralması da meydana gelir. Bu durum üzerinde ileride durulacaktır. Şekil I-4 ün diğer kısmında dökme demire ait çekme diyagramı görülmektedir. Bu diyagram incelenirse grafik üzerinde belli bir akma sınır gözlenmez ve çok düşük bir orantı sınırından bahsedilebilir. 8- Basit Basınç Hali ve Basma Diyagramı. Basit basınç halinde ince bir çubuk iki ucundan sıkıştırılarak kısaltılmaya çalışılır. Bu deney yapılırken Çubuğa uygulanan F kuvveti adım adım arttırılarak bu esnada çubukta meydana gelen boy değişimi ölçülerek kaydedilir. Ölçülen bu boy değişimi ∆L , çubuğun başlangıçtaki boyu olan L ye bölünerek birim kısalma adını verdiğimiz, Şekil I- 5 ε=− ∆L L hesaplanır. Uygulanan kuvvet F, çubuğun eksenine dik olan kesit alanı A ya bölünerek, eksenel basınç gerilmesi adını verdiğimiz, σ= F A elde edilir. Hesaplanan birim kısalmalara karşı gelen gerilme değerleri bir düzlem üzerinde işaretlenerek grafiğe dönüştürülür. Bu grafiğe basınç diyagramı denir. Yani çekme diyagramları göz önüne alınan çubuğun birim kesit alanına gelen kuvvet gerilme ile birim boyundaki uzama birim kısalma arasındaki ilişkiyi grafik olarak ifade eder. 9- İşletme gerilmeleri. Çekme deneyi diyagramı bize, malzemelerin mekanik özellikleri ile ilgili değerli bilgiler verir. Bu bilgiler malzemelerin hangi gerilme şartlarında nasıl davranacağı, dayanabileceği maksimum gerilmelerin ne olduğu şeklindedir. Ancak, çalışan sistemlerde cisimler üzerine gelen kuvvetlerin herhangi bir anda ne olduğu ya da kullanıcıların kullanma şartlarına ne kadar uyacağı konusunda bazı belirsizlikler vardır. Mesela 5 kişilik olarak düşünülen bir asansöre 6. kişi binebilir. Ya da 800 N olarak öngörülen insan ağırlığı her zaman en fazla bu değerde olmayabilir. Bu durum, sistem dizayn edilirken bir emniyet payı bırakılmasını gerektirir. Bu ise emniyet gerilmesi ya da işletme gerilmesi kavramını ortaya koyar. İşletme gerilmeleri, yük altında kalan makine parçalarında ortaya çıkması muhtemel maksimum gerilmelerin orantı sınır içinde kalması gerektiği kriteri dikkate alınarak hesaplanır. Bu hesaplama, maksimum gerime sınırını ya da akma sınırını tayin eden gerilmelerin emniyet katsayısı denen bir sabite bölünmesiyle elde edilir. 8 I-9 σ em = σ ak n σ em = σ maks n (7) Burada n emniyet katsayısı olup, kullanılan sisteme bağlı olarak çeşitli standartlarla belirlenir. Yaygın olarak kullanılan katsayı değeri 3 tür. 10- Kafes sistemlerde düğüm noktalarının yer değiştirmesinin grafik yoldan elde edilmesi –Williot diyagramı-. ÖRNEK-1 Şekildeki taşıyıcı sistemi meydana getiren çubukların malzemesi St37 olup kopma gerilmesi ∓370 N/mm 2 ve elastisite modülü 2.1⋅107 N/cm 2 dir. Kopmaya göre emniyet katsayısını 4 alarak her bir çubuğun sahip olması gereken minimum kesit alanını bulunuz. Bu şartlarda B mafsalının düşey ve yatay yer değiştirmesini hesap ediniz. 9 I-10 10000 = 16666.67 N 60 100 80 F1 = −F2 = −13333.33 N 100 F2 = Emniyetli kesit alanları, F −13333.33 A1 = 1 = = 144.144 mm 2 − 370 σ em 4 A2 = F2 16666.67 = = 180.18 mm 2 370 370 4 4 çubuklardaki boy değişimi, ∆L1 = −13333.33×800 = −0.3524 mm 144.144× 2.1×105 ∆L2 = 16666.67 ×1000 = 0.4405 mm 180.18× 2.1×105 Aranan B1 noktası esasında A merkezli ve L1 − ∆L1 yarıçaplı çemberle, C merkezli L2 + ∆L2 çaplı çemberin kesim noktasıdır. Ancak çözüm şöyle yapılır. Sistem şekil değiştirdikten sonra da geometrik münasebetleri bozulmamıştır. Küçük açılar için açının radyan değeri ile sinüsü ve tanjantı eşit alınabilir. 10 I-11 B noktasının yatay yer değiştirmesi: −∆L1 = −0.3524 mm düşey yer değiştirmesi: ∆L1 ∆L2 −0.3524 0.4405 + = + = 1.204 mm 6 6 tan (θ) sin (θ) 8 10 ÖRNEK-2: Yandaki şekilde görülen çubuk sisteminde B noktasının düşey yer değiştirmesini çubuk boyu L, Kesit alanları A ve elastisite modülleri E cinsinden hesaplayınız. 11 I-12 AB = AC = L OB = x = L cos (α) OC = OA = L sin (α) = sabit ∆ (OC ) = ∆ (OA) = ∆L sin (α) + L cos (α) ∆α = 0 −∆α = ∆L sin (α ) L cos (α ) ∆x = ∆OB = ∆L cos (α ) − L sin (α) ∆α denklemde yerine yazılarak, ∆x = ∆OB = ∆L cos (α) + L sin (α) = = ∆L sin (α) L cos (α) ∆L ⋅ L cos 2 (α ) + L ⋅∆L sin 2 (α) L cos (α) ∆L cos (α ) ya da, OB = L2 − a 2 ∆OB = ∆x = 2 L ⋅∆L 2 L −a 2 2 = ∆L L −a L 2 2 = ∆L cos (α) Çubuk kuvvetleri F alınarak, ∆L = F= FL AE P 2 cos (α) ∆x = PL 2 cos (α ) AE 2 elde edilir. 12 I-13 ÖRNEK-3: Şekildeki sistemde bütün çubukların kesiti 5 cm2 ve elastisite modülü 2.1⋅107 N/cm 2 olduğuna göre A ve C noktaları arasındaki yer değiştirme miktarını bulunuz. Kenar uzunluklarına a diyelim. Kenar çubukların kuvvet etkisiyle uzaması ya da kısalması dolayısıyla A ve C noktaları arasındaki mesafenin değişim miktarı, ∆1 ( AC ) = 2 Pa 2 cos ( 450 ) AE 2 =2 2 Pa Pa =2 = 2∆a 2 AE 1 AE 2 DB köşegenindeki boy değişmesi sebebiyle D ve B noktalarının toplam yer değişim miktarı, DB = a 2 2 2 2 a − ∆y + 2 a + ∆x = a 2 2 2 ∆x = ∆y Yani BD çubuğunun kısalma miktarı A ve C noktalarının toplam yer değiştirme miktarı, ∆ 2 ( AC ) = 2∆y Toplam yer değiştirme miktarı, ∆ 2 ( AC ) = 2∆a + 2∆y F1 = F2 = F3 = F4 = P 2 F5 = P 13 I-14 ∆y = 2 2 = 2 ∆a AE 2 Pa ∆ ( AC ) = ∆1 ( AC ) + ∆ 2 ( AC ) 2 ∆a 2 = 2∆a + 2 = (2 + 2 ) ∆a Pa = (2 + 2 ) 2 AE olarak elde edilir. a = 10 cm , E = 2.1⋅107 N/cm 2 , P = 1000 N ve bütün çubuklar için kesit alanı A = 1 cm 2 olması durumunda, ∆a = Pa 1000 ⋅10 = = 3.367 ⋅10-04 cm 7 2 AE 2 ⋅1⋅ 2.1⋅10 ∆ ( AC ) = (2 + 2 ) ∆a = (2 + 2 ) 3.367 ⋅10-04 = 1.15 ⋅10−3 cm ÖRNEK-4 İki çubuktan meydana gelmiş bir taşıyıcı sistem başlangıçta ağırlıksız olup A,B ve C noktaları aynı doğru üzerindedir. Kuvvetin uygulanmasıyla B noktasındaki yer değiştirmeyi, çubuk boyları L, Kesit alanları A ve elastisite modülleri E cinsinden hesaplayınız. BC çubuğunun uzama miktarı: 2 2 f 2 + L2 = ( L + ∆L) = L2 + 2 L ⋅∆L + (∆L) = L2 + 2 L ⋅∆L f 2 = 2 L ⋅∆L ∆L = S⋅L P⋅ L = A ⋅ E 2sin (α) A ⋅ E 14 I-15 P⋅ L 2 sin (α) A ⋅ E P ⋅ L2 = sin (α) A ⋅ E P ⋅ L2 = f A⋅ E L f 2 = 2L ⋅ f3= P ⋅ L3 A⋅ E f = L3 P AE bulunur. 11- Kendi Ağırlığının Etkisi Altındaki Çubuklarda Uzama ve Kısalma. Şekil I- 6 mn düzleminin altında kalan çubuk parçasında, kendi ağırlığının etkisiyle dx boyundaki çubuk parçasının uzaması, d (∆x) = Aγxdx γxdx = AE E (8) çubuğun toplam uzaması, ∆x = ∫ γxdx γL2 = x =0 E 2E L (9) 15 I-16 bulunur. F kuvvetinin tesiriyle uzama ise, ∆xF = FL AE (10) olduğundan toplam uzama, ∆x + ∆xF = FL γL2 + AE 2 E (11) olur. 12- Uniform Mukavemetli Çubuklar. Uniform mukavemetli çubuklar, çubuk ekseni boyunca çubuk eksenine dik herhangi bir kesitteki gerilmelerin değişmediği çubuklardır. Burada esas problem çubuk ekseni boyunca çubuk kesitinin değişimini veren fonksiyonun bulunmasıdır. Şekil I- 7 Herhangi bir kesitteki gerilme, 16 I-17 σ0 = F + Gx F + Gx + ∆Gx = = sabit A A + ∆A σ 0 ( A + ∆A) = F + Gx + Aγ∆x σ 0 ∆A = ∆Gx = Aγ∆x ∆A γ = ∆x A σ0 Ln ( A) = γ x + Ln (C ) σ0 x = 0 ⇒ A = A0 A = A0 e γ x σ0 (12) Bu durumda çubuğun toplam boy değişimi, d (∆x) = ( F + Gx ) dx AE x x Gx = ∫ γAdx =∫ γA0 e 0 γ x σ0 0 dx = σ 0 A0 e x γ x σ0 0 ∆L = ∫ 0 =∫ L ( F + Gx ) dx AE =∫ γ x F + σ A e σ 0 −1 dx 0 0 L 0 A0 e F −σ A + σ A e 0 0 0 0 L 0 A0 e γ x σ0 γ x = σ 0 A0 e σ 0 −1 γ x σ0 γ x σ0 E dx E L γ L F − σ 0 A0 σ 0 − σ0 x σ0 ∆L = + x − e A0 E γ E 0 0 = F − σ 0 A0 σ 0 1− e A0 E γ γ − L σ0 σ 0 + L E (13) 17 I-18 13- Kesik koni şeklindeki bir çubukta eksenel kuvvetlerin tesiriyle şekil değiştirme. m-n kesitindeki çubuk yarıçapı, Şekil I- 8 R = R1 L− x x R − R1 + R2 = R1 + 2 x L L L Kesit alanı, R − R1 A = πR = π R1 + 2 A 2 2 x m-n de bulunan ∆x uzunluğundaki çubuk parçasının uzaması, d ( ∆x ) = ∆x = F ⋅ dx F dx = A⋅ E E R − R1 π R1 + 2 L F L dx ∫ E 0 R − R1 π R1 + 2 L 2 x 2 x 18 I-19 L ∆x = F L −1 R − R1 E R2 − R1 π R1 + 2 L x 0 Toplam boy değişimi, ∆L = F L 1 1 − πE R2 − R1 R1 R2 ∆L = F L E πR2 R1 (14) olarak bulunur. 14- Çekme ve Basınçta Hiperstatik Problemler. Hiperstatik problemler, denge denklemlerinin çözüm için yetmediği problemlerdir. Bilindiği gibi üç boyutlu uzayda bir cismin serbestlik derecesi 6 dır. Yani üç boyutlu uzayda bir cismin denge denklemlerinin sayısı altıdır. Üç boyutlu uzayda bir noktanın serbestlik derecesi üçtür. Bir nokta için denge denklemi yazılacaksa 3 tane denklem yazılabilir. Düzlemdeki bir cismin serbestlik derecesi de üç tür. Yani düzlemdeki bir cismin denge denklemlerinin sayısı üçtür. Düzlemdeki noktanın serbestlik derecesi de ikidir. Yani noktanın dengesi için iki tane denge denklemi yazılabilir. Şekil I- 9 Bazı durumlarda yazılan denge denklemleri problemin bilinmeyenlerinin hesabına yetmez. Bu durumda ek denklemler yazılmak zorundadır. Bu ek denklemler probleme esas olan elemanların şekil değişimlerini de hesaba katan denklemlerdir. Bu şekilde ek denklemlere ihtiyaç duyulan sistemlere hiperstatik sistemler denir. Hiperstatik sistemlerde ihtiyaç duyulan ek denklemlerin sayısı sistemin kaçıncı dereceden hiperstatik olduğunu tayin eder. Örnek olarak şekildeki problemde çubuk kuvvetlerini hesap edelim. Çubukların kesitleri eşit ve malzemeleri ayni olsun. S1 = S3 2 S1 cos(α ) + S 2 = P 19 I-20 ∆L = cos (α ) ∆x ∆L = S3 .BC A⋅ E ∆x = S 2 .BO A⋅ E S1 = S3 = S 2 cos 2 (α ) S1 = S3 = S2 = ∆x = P cos 2 (α) 2 cos3 (α) + 1 P 2 cos (α) + 1 3 S2 OB P.OB = 3 2 cos (α) + 1 A ⋅ E A⋅ E (15) Şekil I- 10 Şekildeki çubuk temas noktalarına yapıştırıldıktan sonra, şekildeki gibi kuvvete maruz bırakılmıştır. Temas noktalarındaki kuvvetleri bulunuz. Çubuktaki toplam boy değişimi sıfırdır. Önce B noktasındaki bağlantıyı yok farz edelim. Çubuktaki toplam boy değişimi, ∆L = Fb AE 20 I-21 olur. Daha sonra B noktasına P1 kuvveti uygulayarak ters yönde boy değişimine maruz bırakalım. Ters yöndeki bu boy değişimi, daha önceki boy değişiminin etkisini ortadan kaldırsın. İşte bu P1 kuvveti, bağlantı noktasında ortaya çıkan kuvvettir. P1 ( a + b) Fb = AE AE P1 = Fb ( a + b) (16) olarak elde edilir. Denge şartları gereği, P1 + P2 = F olduğundan, P2 = Fa b+a (17) elde edilir. 15- Başlangıç Gerilmeleri ve Termik gerilmeler. Statikçe belirsiz sistemlerde sistemi meydana getiren elemanların ölçüleri arasındaki uyumsuzluk, sistemde yük yok iken elemanlarda bazı gerilmelerin ortaya çıkmasına sebep olabilir. Şekildeki sistemde 2 numaralı çubuğun boyu olması gereken boydan a kadar kısa imal edilmiştir. Montajdan sonra çubuklarda meydana gelen gerilmeleri bulunuz. Şekil I- 11 21 I-22 S1 = S3 2 S1 cos(α ) = S 2 L2 = L1 cos(α) a cos (α) = δ S1 L1 S L + 2 2 =a A ⋅ E cos(α) A ⋅ E S1 L1 2 S cos(α ) L1 cos(α) + 1 =a A ⋅ E cos(α ) A⋅ E S1 L1 1 + 2 cos 3 (α) =a A ⋅ E cos(α) S1 = S3 = a S2 = a cos(α) A⋅ E 3 1 + 2 cos (α ) L1 2 cos 2 (α ) A ⋅ E 1 + 2 cos3 (α) L1 (18) ÖRNEK: Boyu L olan çelik bir çubuk ve bakır bir tüp, başlangıçta eşit sıcaklıkta ve eşit boyda olup kaynakla bir birlerine bağlanmıştır. Bu durumda çubuklarda hiçbir gerilme yoktur. Çelik ve bakırın sıcaklıkla genleşme katsayıları α st ve α Cu (α Cu > α St ) olduğuna göre, sıcaklığı ∆T kadar arttırılan bu sistemde meydana gelecek termik gerilmeleri hesaplayınız. Şekil I- 12 22 I-23 PSt = PCu ∆L = L(α Cu − α St )∆T PSt L P L + Cu = L(α Cu − α St )∆T ASt ESt ACu ECu PSt = PCu = σ St = (αCu − α St )∆T (Çekme) 1 1 + ASt ESt ACu ECu PSt = ASt (αCu − α St )∆T 1 1 + ASt A E A E St σ Cu = PCu = ACu St Cu Cu (αCu − α St )∆T 1 1 ACu + A E A E St St Cu Cu (Çekme) (Basınç) (19) ÖRNEK: Aşağıda görülen şekilde vida malzemesi çelik etrafını çevreleyen tüp bakırdır. Vidanın hatvesi 1.7 mm olduğuna göre somunun 1 tur döndürülmesi sonucunda vida şaftında ve tüpte hasıl olacak gerilmeleri hesaplayınız. Şekil I- 13 23 I-24 FSt = FCu ASt .ESt .∆LSt A .E .∆L = Cu Cu Cu L L ∆LSt A .E = Cu Cu ∆LCu ASt .ESt ∆Lst + ∆LCu = h ∆LSt + ∆LCu A .E + ASt .ESt h = = Cu Cu ASt .ESt ∆LCu ∆LCu ∆LCu = h. ASt .ESt ACu .ECu + ASt .ESt σ Cu = ∆LCu .ECu (h. ASt .ESt ) ECu = L ( ACu .ECu + ASt .ESt ) L σ St = ∆LSt .ESt (h. ACu .ECu ) ESt = (Çekme) ( ACu .ECu + ASt .ESt ) L L σ Cu = ∆LCu .ECu (h. ASt .ESt ) ECu = (Basınç) L ( ACu .ECu + ASt .ESt ) L Bu safhadan sonra bu sistemde sıcaklık arttırılıyor. Sıcaklıkla genleşme katsayıları α st ve α Cu olduğuna göre gerilmelerin son halini hesaplayınız. (α Cu > α St ) σ St = (h. ACu .ECu ) ESt + ( ACu .ECu + ASt .ESt ) L (α Cu − α St )∆T 1 1 ASt + A E A E St σ Cu = (h. ASt .ESt ) ECu + ( ACu .ECu + ASt .ESt ) L St Cu Cu (αCu − α St )∆T 1 1 + ACu A E A E St St Cu Cu (Çekme) (Basınç) 16- İç Basınç sebebiyle çembersel bir halkada meydana gelen iç gerilmeler. Kalınlık 1 birim alınarak: 24 I-25 Şekil I- 14 π 2σt = ∫ pR sin(θ)d θ = 2 pR 0 σ= pR t (20) olarak bulunur. Boru çevresinin artma miktarı: F⋅L E ⋅t σ ⋅ t ⋅ 2 πR = E ⋅t pR 2 πRt = ⋅ t E ⋅t 2 πpR 2 = Et ∆Lçevre = (21) çap değişimi, Lçevre = πD ∆Lçevre = π∆D ∆D = ∆Lçevre π = 2 pR 2 Et (22) 25 I-26 ÖRNEK: Dış yarıçapı R olan Bir çelik tüp, iç yarıçapı R olan bir bakır tüp içine T1 sıcaklığında serbestçe geçirilip T2 sıcaklığına kadar soğutuluyor. Çeliğin ve bakırın sıcaklıkla genleşme katsayıları α st ve αCu olup (αCu > α St ) dir. Yüzeyler arasında bir sürtünme olmadığına ve tüpler arasında bir boşluk olmadığına göre, çelikte ve bakırda meydana gelecek gerilmeleri bulunuz. Sıcaklık değişimine bağlı olarak bakır ve çelikte serbest olarak meydana gelen çap değişimi, ∆DCu = −2 RαCu ∆T ∆DSt = −2 Rα St ∆T Çap değişimleri arasındaki fark: f = ∆DCu − ∆DSt = 2 R∆T (αCu − α St ) Çeliğe uygulanan dış basınç dolayısıyla çelikte meydana gelen çap büzülmesi ile Bakır tüpe uygulanan iç basınç dolayısıyla bakır tüpte meydana gelen çap artımının toplamı f ye eşit olmalıdır. Şekil I- 15 f = ∆DSt − ∆DCu f = 2 R∆T (αCu − α St ) 1 2 pR 2 2 pR 2 1 + = 2 pR 2 + ESt ⋅ tSt ECu ⋅ tCu ESt ⋅ t St ECu ⋅ tcu 1 1 = 2 R∆T (αCu − α St ) 2 pR 2 + ESt ⋅ t St ECu ⋅ tCu p= ∆T (αCu − α St ) 1 1 R + ESt ⋅ t St ECu ⋅ tCu (23) Gerilmeler: σ St = pR = t St ∆T (αCu − α St ) 1 1 t St + E ⋅ t E ⋅t St σ Cu = pR = tCu St Cu Cu ∆T (αCu − α St ) = 1 1 + tCu ESt ⋅ tSt ECu ⋅ tCu ∆T (αCu − α St ) 1 1 t St + ⋅ E t E St = Cu Cu ∆T (αCu − α St ) 1 tCu ⋅ + 1 ESt tSt ECu (24) 26 I-27 σ St ⋅ t St = σ Cu ⋅ tCu 17- Eksenel kuvvet halinde şekil değiştirme işi. dI = F ⋅ d (∆L ) FL σ ⋅ d σ σ ⋅ dσ dI = (σA) ⋅ d = ⋅ AL = ⋅V AE E E Toplam şekil değiştirme işi I =∫ σ ⋅ dσ 1 σ2 σ⋅ε ⋅V = V= V E 2 E 2 (25) Birim hacim şekil değiştirme işi. I 1 σ2 σ ⋅ ε A= = = V 2 E 2 (26) 27
