Geometri - Pegem Akademi

SUNU
Değerli Adaylar;
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde
önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır.
Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;
GEOMETRİ
- Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar,
- Çokgenler ve Dikdörtgenler,
- Çember ve Daire,
- Analitik Geometri ve
- Katı Cisimler bölümlerinden oluşmaktadır.
Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık
ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir.
Her ünitenin sonunda,
- çıkmış sorular
- çözümlü testler ve
- cevaplı testlere;
yer verilmiştir.
Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm
meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz.
Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz
bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla
paylaşınız.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker
Ankara
İÇİNDEKİLER
GEOMETRİ
1. BÖLÜM
GEOMETRİK KAVRAMLAR VE
DOĞRUDA AÇILAR...................................................1
Geometrik Kavramlar ...............................................2
Tanımsız Kavramlar..................................................2
Açılar ..........................................................................2
Açının Ölçüsü......................................................2
Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler...................2
Açı Ölçü Birimleri................................................2
Derecenin Alt Birimleri .......................................3
Açı Çeşitleri ...............................................................3
Dar Açı .................................................................3
Dik Açı..................................................................3
Geniş Açı .............................................................3
Doğru Açı.............................................................3
Tam Açı ................................................................3
Komşu Açılar.......................................................3
Açıortay......................................................................3
Tümler Açılar .............................................................4
Bütünler Açılar ..........................................................4
Ters Açılar .................................................................5
Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile
Yaptığı Açılar .............................................................5
Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen
İle Meydana Getirdiği Açılar.....................................5
Kenarları Paralel Açılar ............................................7
Kenarları Dik Açılar...................................................7
Üçgenler.....................................................................10
Üçgen Çeşitleri..........................................................10
Açılarına Göre Üçgenler.....................................10
Kenarlarına Göre Üçgenler ................................10
Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar..................11
Yükseklik .............................................................11
Açıortay................................................................11
Kenarortay ...........................................................11
Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler ...........................12
Dik Üçgen ..................................................................16
Pisagor Teoremi..................................................16
Öklid Bağıntıları ..................................................17
Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler.................18
Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler .....................19
Üçgende Açıortay Teoremleri..................................21
İç Açıortay Teoremi ............................................22
Dış Açıortay Teoremi..........................................23
Üçgende Kenarortay Teoremleri .............................25
Ağırlık Merkezi ....................................................25
Kenarortay Bağıntıları ........................................27
İkizkenar Üçgen........................................................ 29
Eşkenar Üçgen ......................................................... 31
Üçgende Alan ........................................................... 35
Üçgende Benzerlik ................................................... 40
Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı ........................ 40
Tales Teoremi ..................................................... 42
Temel Orantı Teoremi ........................................ 42
Çapraz Tales Teoremi........................................ 43
Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı............... 44
Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı .......... 45
Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları ............................ 48
Üçgen Eşitsizliği....................................................... 48
Çıkmış Sorular.......................................................... 53
Cevaplı Test - 1 ........................................................ 56
Cevaplı Test - 2 ........................................................ 58
Cevaplı Test - 3 ........................................................ 60
Cevaplı Test - 4 ........................................................ 62
Cevaplı Test - 5 ........................................................ 64
Cevaplı Test - 6 ........................................................ 66
Cevaplı Test - 7 ........................................................ 68
Cevaplı Test - 8 ........................................................ 70
Cevaplı Test - 9 ........................................................ 72
Cevaplı Test - 10 ...................................................... 74
Cevaplı Test - 11 ...................................................... 76
Cevaplı Test - 12 ...................................................... 78
Cevaplı Test - 13 ...................................................... 80
2. BÖLÜM
ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER ............................ 82
Çokgenler.................................................................. 83
Dışbükey ve İçbükey Çokgenler....................... 83
Düzgün Çokgen.................................................. 84
Dörtgenler ................................................................. 89
Dörtgenin Özellikleri .......................................... 89
Dörtgenlerde Alan .............................................. 90
Paralelkenar.............................................................. 92
Paralelkenarda Alan........................................... 93
Paralelkenarın Alan Özellikleri ......................... 93
Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler ...... 95
Eşkenar Dörtgen ...................................................... 96
Dikdörtgen ............................................................... 97
Kare ........................................................................... 99
Yamuk – Deltoid ....................................................... 101
İkizkenar Yamuk ................................................. 104
Dik Yamuk........................................................... 106
Deltoid ................................................................. 106
vi
Çıkmış Sorular...........................................................107
Cevaplı Test - 1 .........................................................109
Cevaplı Test - 2 .........................................................111
Cevaplı Test - 3 .........................................................113
Cevaplı Test - 4 .........................................................115
Cevaplı Test - 5 .........................................................117
3. BÖLÜM
ÇEMBER VE DAİRE ..................................................119
Çemberde Açı............................................................120
Çemberde Yardımcı Elemanlar................................120
Çemberde Yay ve Açı Özellikleri .............................121
Merkez Açı ...........................................................121
Çevre Açı .............................................................122
Teğet Kiriş Açı.....................................................123
İç Açı ....................................................................123
Dış Açı..................................................................123
Çemberde Kiriş Yay Özellikleri................................125
Kirişler Dörtgen.........................................................125
Çemberde Uzunluk ...................................................126
Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti ..........126
Kuvvet Ekseni .....................................................128
İki Çemberin Birbirine Göre Durumları...................128
İki Çemberin Ortak Teğetleri....................................129
Üçgen Çemberleri .....................................................131
Üçgenin İç Teğet Çemberi..................................131
Üçgenin Dış Teğet Çemberi ...............................132
Teğet Dörtgeni...........................................................132
Dairede Alan ..............................................................133
Dairenin Alanı ve Çevresi...................................133
Daire Diliminin Alanı...........................................133
Çember Yayının Uzunluğu .................................133
Daire Kesmesinin Alanı......................................133
Daire Halkasının Alanı ........................................134
Çemberde Benzerlik ...........................................135
Çıkmış Sorular...........................................................137
Cevaplı Test - 1 .........................................................138
Cevaplı Test - 2 .........................................................140
Cevaplı Test - 3 .........................................................142
4. BÖLÜM
ANALİTİK GEOMETRİ...............................................144
Noktanın Analitik İncelenmesi.................................145
Analitik Düzlem ...................................................145
İki Nokta Arasındaki Uzaklık..............................146
Doğrusal Noktalar...............................................147
Doğrusal Olmayan Noktalar ..............................149
Doğrunun Analitik İncelenmesi ...............................152
Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi .........................152
vii
Doğrunun Grafiğinin Çizimi .............................. 154
Doğrunun Denklemleri ...................................... 155
Özel Doğrular...................................................... 157
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları ........... 157
Doğru Demeti...................................................... 159
Simetriler................................................................... 162
Noktanın Simetriği ............................................. 162
Doğrunun Simetriği ........................................... 165
Eşitsizlikler ............................................................... 167
Çıkmış Sorular.......................................................... 169
Cevaplı Test .............................................................. 170
5. BÖLÜM
KATI CİSİMLER......................................................... 172
Prizma........................................................................ 173
Dikdörtgenler Prizması...................................... 174
Küp ...................................................................... 176
Silindir ................................................................. 176
Dönel Silindir ...................................................... 177
Piramit ....................................................................... 179
Düzgün Piramit................................................... 179
Kesik Piramit ...................................................... 180
Küre ........................................................................... 182
Çıkmış Sorular.......................................................... 183
Cevaplı Testler - 1 ................................................... 184
Cevaplı Testler - 2 ................................................... 186
Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar
Geometrik Kavramlar
Doğruda Açılar
Üçgenler
Üçgen Çeşitleri
Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar
Üçgende Açılar
Dik Üçgenler
Üçgende Açıortay Teoremleri
Üçgende Kenarortay Teoremleri
Üçgende Alan
Üçgende Benzerlik
Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları
Çıkmış Sorular
Cevaplı Testler 1-3
Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Analiz Tablosu
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2
2
3
2
-
2
2
1
1
1
“... evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu
dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz.
Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve
diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile
anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.”
Galileo
KPSS Geometri
GEOMETRİK KAVRAMLAR
Tanımsız Kavramlar
Nokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız
kavramlardır.
Nokta
Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir.
Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta
büyük harfle gösterilir.
Başlangıç noktaları
aynı olan iki ışının
birleşimine “Açı”
denir.
Yani;
⎣⎡ AB ve [ AC ışınların
B
[ AB ∪ [ AC = Al
A
C
ın birleşimi ile oluşan
açı BAC ya da CAB açısıdır.
n ya da CAB
n açısı ile gösterilir.
BAC açısı BAC
Örneğin;
A
B
A noktası
B noktası
Açının Ölçüsü
Doğru
[ AB ve [ AC
İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.
l ’nın ölçüsü
kalan bölgeye A
l ’na 0 ile 180
denir. Her A
A
B
d
Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğrusu
veya AB diye sembolize edilebilir.
Doğru Parçası
iki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların
birleşim kümesine doğru parçası denir.
A
B
ışınları arasında
B
arasında bir tek reel sayı
karşılık gelir. Bu reel sayıya
A
BAC açısının (ya da CAB
açısının) ölçüsü denir.
Yani BAC açısının ölçüsü α dır.
α
C
n = m(A)
l = α veya
ve m (BAC)
n = s(A)
l = α ile gösterilir.
s (BAC)
doğru parçası [ AB] sembolü ile gösterilir.
Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.
l = m(B)
⇒ A ile B açıları eş açılardır.
Yani; m (A)
[CD] → CD doğru parçası
Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
CD → CD doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir.
Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. Bu
bölgeler
B
Işın
I.
Açının kendisi
Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza giden
noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.
II.
Açının iç bölgesi
III.
Açının dış
bölgesi
A
[ AB →
B
d
I.
II.
α
A
C
III.
AB ışını diye okunur.
Yarı Doğru
Açı Ölçü Birimleri
[ AB
Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde
ölçü birimi olarak derece kullanılır. 20o ,40o , ... şeklinde
gösterilir.
ışınından başlangıç noktası yani A noktasının
çıkartılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı
doğrusu denir.
A
] AB → AB
B
d
yarıdoğrusu diye okunur.
Düzlem
Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve
aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların
oluşturduğu kümeye düzlem denir.
2
AÇILAR
Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle
verebiliriz,
D: Derece
G: Grad
R: Radyan olmak üzere
D
G
R
=
=
bağıntısı vardır.
180 200 π
Örnek:
NOT
döndürülmesi ile oluşan açı 360o , 400 Grad ve 2π
Radyandır.
C
n = 7α ve
m(COD)
n = 3α
m(AOC)
3α
7α
D
2α
O
A
B
Yukarıdaki verilenlere göre α kaç derecedir?
Derecenin Alt Birimleri
A) 10
1° → Bir derece ⎫ 1° = 60′
⎪
1′ → Bir dakika ⎬ 1′ = 60′′
1′′ → Bir saniye ⎪⎭1° = 3600′′ dır.
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
Çözüm:
A, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı
gereği 180° lik açı meydana getirirler.
Yani; 3α + 7α + 2α = 180° dir.
AÇI ÇEŞİTLERİ
⇒ 12α = 180°
⇒ α = 15° bulunur.
Dar Açı
B
Komşu Açılar
Ölçüsü 0° ile 90° arasında
olan açılara dar açı denir.
Köşeleri ve birer kenarı ortak
olan iç bölgelerinin kesişimleri
boş küme olan açılara komşu
açılar denir.
α
Yani;
0° < α < 90° ⇔ α dar açıdır.
A
C
Ölçüsü 90° olan açıya dik açı
denir.
α
Yani; α = 90° ⇔ α dik açıdır.
C
B
n ile BOA
n komşu iki
Yani; COB
açıdır.
B
Dik Açı
A
O
B
[OB ye
Yani;
90° < α < 180° ⇔ α geniş açıdır.
Doğru Açı
C
B
n = m(BOA)
n dır.
Yani; m(COB)
Geniş Açı
Ölçüsü 90° ile 180° arasında
olan açılara geniş açı denir.
α
[OC
A
C
n nın açıortayı denir.
COA
O
ile [OA ye açıortayın kolları
A
(kenarları) denir.
α = 180°
Ölçüsü 180° olan açıya
doğru açı denir.
C
A
B
Örnek:
A, O, B noktaları
doğrusal [ OC ile [OF
Yani;
α = 180° ⇔ α doğru açıdır.
n = 80°
açıortay m(DOE)
D
C
A
Ölçüsü 360° olan açıya
tam açı denir.
A
AÇIORTAY
C
Açıyı iki eşit açıya ayıran ışına
açıortay denir.
Tam Açı
Geometrik Kavramlar ve Ölçüler
A, O, B noktaları doğrusal,
n = 2α,
m(DOB)
Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur
α = 360°
E
80°
O
F
B
n kaç derecedir?
Yukarıdaki verilenlere göre m(COF)
A
B
A) 100
B) 110
C) 120
D) 130
E) 140
Yani;
α = 360° ⇔ α tam açıdır.
3
KPSS Geometri
Çözüm:
TÜMLER AÇILAR
A, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana gelen
açıların ölçüleri toplamı
D
180° dir.
E
n = m(COD)
n = α,
m(AOC)
n = m(FOB)
n =β
m(EOF)
α 80° β
β
α
O
C
A
F
B
dersek
2α + 2β + 80° = 180° ⇒ 2α + 2β = 100° ⇒ α + β = 50°
n = α + β + 80° ⇒ m(COF)
n = 130° bulunur.
m(COF)
Ölçüleri toplamı 90° olan iki
açıya tümler iki açı denir.
B
Yani α ile β bulundukları
açıların ölçüleri olmak üzere
C
α
α + β = 90° ⇔ α ile β tümler iki
açıdır.
β
O
A
α′ nın tümleri 90° − α
β′ nın tümleri 90° − β dır.
Örnek:
BÜTÜNLER AÇILAR
Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54° dir.
Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar
denir.
Buna göre bu iki açının ölçüleri toplamı kaç
derecedir?
A) 100
B) 104
C) 106
D) 108
E) 110
Yani; α ile β
bulundukları açıların
ölçüleri olmak üzere
C
β
α + β = 180° ⇔ α ile β
bütünler iki açıdır.
Çözüm:
B
α′ nın bütünleri 180° − α
n ile COA
n komşu iki
BOC
açıdır. [ OD ile [OE
O
A
α
β′ nın bütünleri 180° − β dır.
D
B
C
n = 54°
açıortaydır. m(DOE)
verilmiş
α α
n = m(DOC)
n = α,
m(BOD)
n = m(EOA)
n = β dersek
m(COE)
β
β
O
E
A
n = α + β = 54° dir.
m(DOE)
Örnek:
Bir açının 4 katının 5° fazlası aynı açının tümlerine
eşit olduğuna göre açının bütünleri kaç derecedir?
A) 157
B) 159
C) 161
D) 163
E) 165
n + m(COA)
n = 2α + 2β
Buradan m(BOC)
Çözüm:
⇒ 2(
α + β) = 108° bulunur.
54°
Açı
Tümleri
α
90° − α
dır.
Denklem kurulursa;
NOT
4α + 5° = 90° − α dır.
Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının
kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.
5α = 85° ⇒ α = 17° bulunur.
[OD
O halde açının bütünleri
açıortay, [OB ile [ OA açıortayın kolları olmak
180° − α = 180° − 17° = 163° bulunur.
üzere
B
L
[CK ] ⊥ [OB, [DL ] ⊥ [OB,
[CE ⊥ [OA ve [DF] ⊥ [OA
K
çizilirse
D
C
Örnek:
CK = CE , DL = DF ve
KO = EO , LO = FO dur.
O
E
F A
Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4,
kalan 10° dir.
Buna göre küçük açı kaç derecedir?
A) 32
4
B) 34
C) 36
D) 38
E) 40
(ii) İç ters açılar
Bütünler iki açı
d1 // d2 ise
α ile β olsun
O halde α + β = 180° dir.
c ile x ve d ile y iç ters açılardır. İç ters açıların
ölçüleri birbirine eşittir.
Verilen denklem yazılacak olursa
Yani; c = x ve d = y dir.
α
−
(iii) Dış ters açılar
β
4
Geometrik Kavramlar ve Ölçüler
Çözüm:
⇒ α = 4β + 10°dir.
d1 // d2 ise
10°
a ile z ve b ile t dış ters açılardır.
Buradan α = 4β + 10° denklemi
Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
α + β = 180° denkleminde yerine yazılacak olursa
Yani; a = z ve b = t dir.
4β + 10° + β = 180°⇒ 5β = 170°
(iv) Karşı durumlu açılar
⇒ β = 34°
⇒ α = 146° dır.
d1 // d2 ise
c ile y ve d ile x karşı durumlu iki açıdır. Karşı
O halde küçük açı β = 34° bulunur.
durumlu açıların ölçüleri toplamı 180° dir.
Yani; c + y = 180° ve d + x = 180° dir.
TERS AÇILAR
NOT
Kesişen iki doğrunun
oluşturduğu açılardan birbirine
komşu olmayan açılara ters
açılar denir.
d1
b
c
a
d
Yani; Kesişen d1 ve d2
d3
Karşı durumlu açıların
açıortayları birbirine diktir.
Yani; d1 // d2
d2
doğrularında a ile c , b ile d
açıları ters açılardır.
[ AC
A
d1
ile [BC
açıortay ⇒ [ AC ⊥ [BC dir.
C
d2
B
Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a = c ve b = d dir.
PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESENLE
YAPTIĞI AÇILAR
d1 // d2 , a, b, c, d, x, y, z, t
bulundukları açıların
ölçüleridir.
b
a
c
d
y
x
z
t
d1
d2
PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİRDEN ÇOK
KESEN İLE MEYDANA GETİRDİĞİ
AÇILAR
(i) d1 // d2 ; d3 ∩ d4 = {B}
d3
A
d1
α
α, δ, β bulundukları
açıların ölçüleri olmak üzere
β
B
α + δ = β dır.
δ
d2
C
d4
(i) Yöndeş açılar
d1 // d2 ise
d ile t, c ile z yöndeş açılardır.
a ile x , b ile y,
Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
(ii) d1 // d2;
A
α, β, δ bulundukları
açıların ölçüleri olmak üzere
α + β + δ = 360° dir.
α
B
β
δ
C
Yani; a = x, b = y, c = z, d = t dir.
d1
d2
NOT
Paralel doğrular n doğruyla kesilirse meydana gelen
aynı yönlü açıların ölçüleri toplamı n ⋅ 180° dir.
5
KPSS Geometri
(iii) d1 // d2 ise şekildeki
Örnek:
açılar ardışık zıt yönlü
açılardır. Aynı yöndeki
ardışık açıların ölçüleri
toplamı ile bu açılara göre
ters yönde olan ardışık aynı
yönlü açıların ölçülerinin
toplamları birbirine eşittir.
α
d1
x
d1 // d2
β
δ
y
d2
[ AF] ⊥ [CF],
A
B
3α
n = m(FCD)
n = 3α,
m(BAF)
n
m(ABE) = 5β,
d1
5β
F E 80°
Yani; α, β, δ, x, y bulundukları açıların ölçüleri olduğuna
n = 3β ve
m(EDC)
n = 80°
m(BED)
göre α + β + δ = x + y dir.
Yukarıdaki verilenlere göre α + β kaç derecedir?
A) 5
B) 10
3β
3α
d2
D
C
C) 15
D) 20
E) 25
Örnek:
[ AB // [CD, [EC] ⊥ [CD,
B
A
α
n = 140°
m(AEC)
Yukarıdaki verilenlere göre
n = α kaç derecedir?
m(BAE)
C
A) 30
B) 40
C) 50
Paralel doğrular arasında oluşan aynı yöne bakan
açıların ölçüleri toplamı, zıt yönlü açıların ölçüleri
toplamına eşit olduğundan
E
140°
Çözüm:
3α + 3α = 90° ⇒ 6α = 90° ⇒ α = 15°
D
D) 60
5β + 3β = 8β = 80° ⇒ β = 10°dir.
E) 70
O halde α + β = 15° + 10° = 25° bulunur.
Çözüm:
Şekilde [ AB // [CD olduğuna göre sağ tarafa bakan
açıların ölçüleri toplamı sol tarafa bakan açıların ölçüleri
toplamına eşit olacağından α + 90° = 140° ⇒ α = 50°
bulunur.
Örnek:
[ AB // [CD, a, b, c, d, e
bulundukları açıların
ölçüleridir.
E
B) 450
C) 540
b
d
G
E
[CD // [ AB
C
D
65°
Yukarıdaki verilenlere
n = α kaç
göre m(ECD)
A) 100
A
B
B) 110
C) 120
D) 130
E) 140
e
C
D) 630
D
E) 720
Çözüm:
[ AB // [CD dir. Paralel doğrular [ AE], [EF], [FG],
[GC] ile kesildiğine göre doğru parçası sayısı 4 dür.
O halde a + b + c + d + e = 4 ⋅ 180° = 720° bulunur.
Çözüm:
E noktasından
KF // [CD // [ AB olacak
biçimde KF çizilirse
n = m(EAB)
n = 65°
m(KEA)
(iç ters açıların eşitliği) ve
n = m(ECD)
n = 120°
m(KEC)
dir. (iç ters açıların eşitliği)
O halde α = 120° bulunur.
6
α
55°
n = 65°,
m(EAB)
n = 55°
m(AEC)
derecedir?
a
c
F
Yukarıdaki verilenlere
göre a + b + c + d + e kaç
derecedir?
A) 360
B
A
Örnek:
E
K
65°
55°
F
α = 120°
C
D
65°
A
B
Çözüm:
KENARLARI PARALEL AÇILAR
[ AB // [CD
[ AB // [DE
ve [DF // [ AC ise
yöndeş açıların eşitliğinden
n = m(EDF)
n = α dır.
m(BAC)
α
kenarlarından biri aynı diğer kenarı ters yönde paralel
açılardır.
E
B
O halde
α
D
n ile ECD
n
ve [ AK ] // [EC] olduğundan BAK
n = m(ECD)
n = 35° dir.
m(BAK)
F
α
A
FAH üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamı yazılırsa
C
35° + α + 90° = 180° ⇒ α = 55° bulunur.
(ii) Kenarları ters yönden paralel açılar:
[ AB // [CD
ve [CB // [ AD ise
B
A
α
yöndeş ve iç ters açıların
eşitliklerinden dolayı;
n = m(BAD)
n = α dır.
m(BCD)
α
α
C
D
(iii) Kenarlarından biri aynı diğeri ters yönde paralel
açılar:
[ AB // [EF
ve [ED // [ AC
ise yöndeş ve karşı
durumlu açı tanımlarından
n + m(BAC)
n = α + β = 180°
m(DEF)
A
dir.
F
B
[ AB // [CD, [KE] ⊥ [ AB,
n = 50°
[KF ⊥ [ AC ve m(FKE)
Yukarıdaki verilenlere göre
n = α kaç
m(ACD)
derecedir?
A) 50
B) 55
A
50°
F
α
K
C
C) 60
B
E
D
D) 65
E) 70
α
D
β
E
α
Çözüm:
C
KENARLARI DİK AÇILAR
(i) [DE ⊥ [ AC ve [DK ⊥ [ AB
D
n = α, m(BAC)
n =β
ise m(EDK)
olmak üzere
α
n ile FKE
n kenarları dik iki açıdır. O halde
CAB
n
n = 180° dir.
m(CAB) + m(FKE)
n + 50° = 180° ⇒ m(CAB)
n = 130° bulunur.
m(CAB)
B
n ile ACD
n karşı durumlu iki açı olduğundan
CAB
K
L
n + m(ACD)
n = 180°
m(CAB)
α = β dır.
130° + α = 180° ⇒ α = 50° bulunur.
β
A
C
E
F
(ii) [ AB ⊥ [DF ve [ AC ⊥ [DE
D
β
α
A
Örnek:
B
K
n = α, m(FDE)
n =β
ise m(BAC)
olmak üzere
α + β = 180° dir.
Örnek:
Geometrik Kavramlar ve Ölçüler
(i) Kenarları aynı yönde paralel açılar:
Bütünleri tümlerinin 2 katından 50° fazla olan açı kaç
derecedir?
L
E
C
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
Çözüm:
Örnek:
[ AK ] // [EC], [ AB // [CD,
n = 35°
[FH] ⊥ [ AK ] ve m(ECD)
Yukarıdaki verilenlere göre
n = α kaç derecedir?
m(AFH)
A) 25
F B
A
B) 35
C) 45
α
H
E
K
35°
D
D) 55
Açı
Tümleri
Bütünleri
α
90° − α
180° − α
Bütünleri tümlerinin 2 katından 50° fazla ise
C
E) 65
(180° − α ) = 2(90° − α ) + 50°
180° − α = 180° − 2α + 50°
2α − α = 50° ⇒ α = 50° bulunur.
7