teğet çemberler üzerine çalışma

TEĞET ÇEMBERLER ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA
2010-LYS GEOMETRİ Sorularının oldukça kolay olması bizleri tembelliğe yöneltmemeli.
Aksine Geometrinin gizemini ve güzelliğini keşfetmek bir takım soruları sistemli
araştırmak, aralarındaki ilişkiyi görmek demektir.
Bu yazımızda Teğet çemberler üzerinde çalışacağız.
Teğet çemberlerin merkezleri ile değme noktaları DOĞRUSALDIR .
E,B,K,A,C,F Noktaları doğrusaldır.
|AE|=|AF|=|AP|=
|EB|=|BK|=|BL| , |KC|=|CF|=|CT| , |DL|=|DT|=|DP|
𝐸𝐵 + 𝐶𝐹
2
B,L,D Noktaları doğrusaldır.
C,T,D Noktaları doğrusaldır.
A,D,P Noktaları doğrusaldır. |AD|=|AP|-|PD|
|DB|=|BA|=|AC|=|CE|
A Merkezli dairenin alanı= |AD|2= (2|AB|)2
= 4 |AB|2
B ve C Merkezli dairelerin alanları= |AB|2
Sarı alanlar toplamı=4 |AB|2-2 |AB|2
=2 |AB|2
 Sarı Alan = Gri Alan 
|DX|=|XF|, |EY|=|YF|, |AZ|=|ZF|
|DA|=|AE|=|AF| ve m(DFE)=90 (Çapı gören çevre açı)
DFE ikizkenar dik üçgen. m(FDE)=m(FED)=45,
mDX=mXA=mAY=mAY=mYE=90 olup
X ve Y noktaları, DA ve AE yaylarının orta noktalarıdır.
|DX|=|XF|=|EY|=|YF|
XY, FDE üçgeninde orta taban olup, XY//DE ve |XY|=|DE|/2 dir.
Ayrıca; XY, AF yi ortalar ve AF ye diktir. |AZ|=|ZF| , XY⊥ AF
XY için bulunanlar birleştirildiğinde; XY nin X ve Y noktalarında
B ve C merkezli çemberlere teğet olduğu görülür.
DFE ikizkenar üçgeninde; FA⊥ DE dir.
BOC ikizkenar üçgeninde; |BO|=|CO|=r+x,
OAC dik üçgeninde Pisagor teoreminden;
|OA|2+|AC|2=|OC|2
(2r-x)2+r2=(r+x)2
2
x= r
3
|BA|=|CA|= r, OA⊥BC, |OA|=2r-x
Yukarıdaki sorunun devamı olarak; A, K, P değme noktalarından geçen çemberin yarıçapı
hesaplandığında, merkezi AL üzerinde bulunan r/2 yarıçaplı çemberin AKP üçgeninin
çevrel çemberi olduğu görülebilir.
|AO|=|OC|=|OD|=
2
|BD| =|AB|.|BC|
|BD|2=|DE|.|DO|
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
2
= 𝑎+𝑏
2
 Aritmetik orta.
|BD|= 𝑎.𝑏
|DE|=
𝐵𝐷 2
𝐷𝑂
=
 Geometrik orta. (ADC dik üçgeninde Öklit.)
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
 Harmonik orta. (DBO dik üçgeninde Öklit.)
FK//AB çizildiğinde; |AK|=|BF|=|BT|
BFKA paralelkenar, |BF|, |BT| yarıçap
|AD|=|AT| yarıçap
|AB|=|KF|=|KD|=|AT|-|BT|
FBT ve DKF ikizkenar üçgenlerdir.
mTFB=mFDK yöndeş açılar.
Eşitliğin her iki tarafına mBFD eklendiğinde:
mTFB+mBFD=mFDK + mFDK =180
olur ki; T, F, D noktaları doğrusaldır.
Çemberlerin T noktasında dıştan teğet olma durumu için de doğrusallık geçerlidir.
SR⊥HQ çizildiğinde; SR//NM
N, R, T doğrusal, T, S, M doğrusal, H, G, R doğrusal, N, G, S doğrusaldır.
NT, HS yi Q da, NS, büyük çemberi V de kessin.
mNTM=90 çapı gören çevre açı.
mNHQ=90 HQ ortak teğet.
QNM üçgeninde; QH ve MT yükseklikleri S noktasında kesiştiğinden
NV de QM e ait yükseklik olup Q, V, M noktaları doğrusaldır.
Diğer taraftan; mNGH=90 çapı gören çevre açı , NV⊥ QM olduğundan
RH//QM bulunur.
NM/HM = NQ/RQ = NH/RS
ve
NH.HM=RS.NM dir.
|NH|=2r1 , |HM|=2r2 ,
|RS|=2r
yazıldığında;
(2r1)(2r2)=2r(2r1+2r2)
1/r1 + 1/r2 = 1/r
bulunur.
O merkezli çemberin DE ye paralel [MN] çapı çizildiğinde;
L, M, D doğrusal, L, N, E doğrusal,
M, P, H doğrusal, N, P, D doğrusal,
M, K, E doğrusal, N, K, H doğrusaldır.
DL, [BH] çapiı çemberi Q da, EL, [HE] çaplı çemberi S de kessin
HQ, DP yi X de, HS, EK yı Y de kessin.
MX ve NY doğruları da DE yi G ve Z noktalarında kessin.
DMH üçgeninde HQ ve DP yükseklikleri X noktasında kesiştiğinden MG⊥DE
HNE üçgeninde HS ve EK yükseklikleri Y noktasında kesiştiğinden NG⊥DE dir.
HS//DL ve HQ//LE olduğu görülür.
Bu durumda; DH/HE = AX/XN = DG/MN = DG/GZ
EH/HD = EY/YM = EZ/NM = EZ/ZG
DG/GZ = GZ/ZE
|DH|=k.|HE| , |DG|=k.|GZ|=k2.|ZE|
|EZ|:|ZG|:|GD|:|DE|=1:k:k2:(1+k+k2)
|MN|/|DE| = k/(1+k+k2)
VE YA:
|BA|=r2 , |AC|=r1 , |BO|=r1+x , |CO|=r2+x , |AO|=r1+r2-x
olduğu göz önüne alınarak;
OAB ve OAC üçgenlerinde Kosinüs teoremleri uygulanarak x’in r 1 ve r2 cinsinden değeri
bulunabilir.
VEYA:
BOC üçgeninde OA keseni ile ilgili Stewart teoremi kullanılarak;
𝑟1 .𝑟2 (𝑟1 +𝑟2 )
x= 2
𝑟1 +𝑟1 𝑟2 +𝑟22
bulunur.
SONUÇLAR:
O noktasında dıştan teğet r yarıçaplı C ve D merkezli çemberler
A ve B noktalarında O merkezli çembere içten teğettir.
Verilen bu çemberlere ve birbirlerine teğet olan
O1, O2, O3, ... merkezli çemberlerin yarıçapları r1, r2, r3, ... ise:
2𝑟
𝑟𝑛 = 2+𝑛2
r1+r2=r
dir.

İkişer ikişer A, B, C, P, Q, R noktalarında teğet r, r1, r2 yarıçaplı çemberler
verildiğinde;
P, Q, R noktalarından geçen çemberin yarıçapı:
𝑥=
𝑟1 𝑟2
𝑟
dir.