özel ege lisesi ege bölgesi okullar arası 16.matematik yarışması 10

ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI
1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
x2 + cx + 4d = 0 denkleminin kökleri a ve b,
x2 + ax + 4b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.
2.
sin 4 x + 4 cos 2 x −
cos 4 x + 4 sin 2 x ifadesinin en sade halini bulunuz.
3. x,y ∈ R ve x ≥ 0 olmak üzere,
x3 + 3y2 = 6x x + 15y eşitliğini sağlayan en büyük y değerini bulunuz.
4. a ≠ 0 ve a,b,c ∈ R olmak üzere
ax2 + bx + c ⟩ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (-1,3) açık aralığıdır.
Buna göre, cx2 + bx + a ⟨ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
5. a ⟩ 0 olmak üzere, denklemi y = ax2 + bx + c olan parabolün tepe noktasının
1 5
koordinatı ( ,− ) dır. a + b + c toplamı bir tamsayı olduğuna göre,
2 3
a’ nın alabileceği en küçük değeri bulunuz.
6. P(x) = a 50 x 50 + a 49 x 49 + ...... + a1x + a 0 polinomunda
der [P( x )] = 50, a 50 ⟩ a 49 ⟩.....⟩ a 2 ⟩ a1 ve
her i ∈ {1,2,3...,50} için a i terimleri 3’ün katı olan ardışık tek sayılardır. P(x) polinomunun
sabit terimi 5 olduğuna göre, bu polinomun x + 1 ile bölümünden kalanı bulunuz.
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI
7.
Yandaki şekilde ABC üçgen
[AB] ⊥ [AC] , [PK ] ⊥ [BC] ,
∧
∧
BK = KC , m( ATP ) =m( PTC ) ,
AT = 3 cm, BT = 5 cm olduğuna göre,
CT nin kaç cm olduğunu bulunuz.
→
→
→
8. ABC üçgeninin iç bölgesinde bir P noktası alınıyor. PA + 2 PB +3 PC = 0 olduğuna göre,
ABC üçgeninin alanının, APC üçgeninin alanının kaç katı olduğunu bulunuz.
9.
Yandaki şekilde ABC üçgen
∧
∧
∧
m( BAC) =1100, m( BDA ) =600, m( BCA ) =400,
AB = 2 cm olduğuna göre, DC nin kaç cm
olduğunu bulunuz.
10.
Yandaki şekilde ABC üçgen
TK doğrusu [BC] doğru parçasının orta dikme
doğrusudur. [AK ] ve [TK ], ABC üçgeninin
çevrel çember üzerindeki K noktasında
∧
∧
kesişmektedirler. m( ABC) =510, m( ACB) =210
∧
∧
olduğuna göre, sin( TKA ) +cos( TKA ) ifadesinin
sayısal değerini bulunuz.
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
x2 + cx + 4d = 0 denkleminin kökleri a ve b,
x2 + ax + 4b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.
Çözüm:
x 2 + cx + 4d = 0 ⇒ a + b = −c ⇒ a + c = −b 
⇒b=d
x 2 + ax + 4b = 0 ⇒ c + d = −a ⇒ a + c = −d
a ⋅ b = 4d ⇒ a = 4 
 ⇒ b = −8 ve
c ⋅ d = 4b ⇒ c = 4 
2.
sin 4 x + 4 cos 2 x −
d = −8 ⇒ b + d = −16
Cevap: -16
cos 4 x + 4 sin 2 x ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
(sin 2 x ) 2 + 4 cos 2 x − (cos 2 x ) 2 + 4 sin 2 x = (1 − cos 2 x ) 2 + 4 cos 2 x − (1 − sin 2 x ) 2 + 4 sin 2 x
= cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 − sin 4 x + 2 sin 2 x + 1
= cos 2 x + 1 − sin 2 x + 1
= cos 2 x + 1 − sin 2 x − 1
= cos 2 x − sin 2 x
= cos 2x
Cevap: cos 2x
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
3. x,y ∈ R ve x ≥ 0 olmak üzere,
x3 + 3y2 = 6x x + 15y eşitliğini sağlayan en büyük y değerini bulunuz.
Çözüm:
x 3 − 6 x 3 + 3 y 2 − 15 y = 0
5
75
=0
( x 3 − 3) 2 − 9 + 3( y − ) 2 −
2
4
5
111
(
x 3−
3
) 2 + 3( y − ) 2 =
2
4

min
max
5
111
x 3 − 3 = 0 ⇒ 3( y − ) 2 =
2
4
⇒y=
5
37
+
2
2
Cevap:
5
37
+
2
2
4. a ≠ 0 ve a,b,c ∈ R olmak üzere
ax2 + bx + c ⟩ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (-1,3) açık aralığıdır.
Buna göre, cx2 + bx + a ⟨ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
y
b
c
x 2 + x + = ( x + 1)( x − 3) < 0 ⇒ x 2 − 2x − 3 < 0
a
a
b
⇒ = −2 ve
a
-1
0
3
a<0 olmalıdır.
x
cx 2 + bx + a < 0 ⇒
c
= −3
a
c 2 b
x + x +1> 0
a
a
⇒ −3 x 2 − 2x + 1 > 0
⇒ (3x - 1)(x + 1) < 0
1

⇒ Ç.K = x ∈ R : −1 < x < 
3

1

Cevap: Ç.K = x ∈ R : −1 < x < 
3

ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
5. a ⟩ 0 olmak üzere, denklemi y = ax2 + bx + c olan parabolün tepe noktasının
1 5
koordinatı ( ,− ) dır. a + b + c toplamı bir tamsayı olduğuna göre,
2 3
a’ nın alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Çözüm:
1
5
y = ax 2 + bx + c = a( x − ) 2 −
2
3
x = 1⇒ a + b + c = a
Diğer taraftan, −
1 5 3a − 20
− =
∈Ζ
4 3
12
5
fonksiyonun alabileceği en küçük değer olduğuna göre
3
a+b+c ≥ −
5
3a − 20
≅ −1,6 ⇒
≥ −1 ⇒ 3a − 20 ≥ −12
3
12
⇒ 3a ≥ 8
8
⇒a≥
3
Cevap:
8
3
6. P(x) = a 50 x 50 + a 49 x 49 + ...... + a1x + a 0 polinomunda
der [P( x )] = 50, a 50 ⟩ a 49 ⟩.....⟩ a 2 ⟩ a1 ve
her i ∈ {1,2,3...,50} için a i terimleri 3’ün katı olan ardışık tek sayılardır. P(x) polinomunun
sabit terimi 5 olduğuna göre, bu polinomun x + 1 ile bölümünden kalanı bulunuz.
Çözüm:
a 50 − a 49 = 6 

a 48 − a 47 = 6
 25 tane


a 2 − a1 = 6 
P(-1) = 25 ⋅ 6 + 5 = 155
Cevap: 155
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
7.
Yandaki şekilde ABC üçgen
[AB] ⊥ [AC] , [PK ] ⊥ [BC] ,
∧
∧
BK = KC , m( ATP ) =m( PTC ) ,
AT = 3 cm, BT = 5 cm olduğuna göre,
CT nin kaç cm olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Cevap:11
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
→
→
→
8. ABC üçgeninin iç bölgesinde bir P noktası alınıyor. PA + 2 PB +3 PC = 0 olduğuna göre,
ABC üçgeninin alanının, APC üçgeninin alanının kaç katı olduğunu bulunuz.
Çözüm:
D ve E noktaları sırasıyla AC ve BC kenarlarının orta noktası olsun.
→
→
→
PA + PC = 2.PD
→
→
→
2( PB+ PC) = 4.PE
→
→
→
→
→
PA + 2PB+ 3 PC = 2.(PD+ 2 PE) = 0
→
→
O halde PD ve PE vektörleri doğrusal ve PD = 2 PE olur.
Alan( ABC) 12S
=
=3
Alan( APC) 4S
Cevap:3
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
9.
Yandaki şekilde ABC üçgen
∧
∧
∧
m( BAC) =1100, m( BDA ) =600, m( BCA ) =400,
AB = 2 cm olduğuna göre, DC nin kaç cm
olduğunu bulunuz.
Çözüm:
1
3
2
3
Cevap:
2
3
ÖZEL EGE LİSESİ
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI
10. SINIF FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
Yandaki şekilde ABC üçgen
10.
TK doğrusu [BC] doğru parçasının orta dikme
doğrusudur. [AK ] ve [TK ], ABC üçgeninin
çevrel çember üzerindeki K noktasında
∧
∧
kesişmektedirler. m( ABC) =510, m( ACB) =210
∧
∧
olduğuna göre, sin( TKA ) +cos( TKA ) ifadesinin
sayısal değerini bulunuz.
Çözüm:
sin150 + cos150 = x ⇒ sin2150 + 2.sin150.cos150 + cos2150 = x2
1 + sin300 = x2
1+
1 2
3
6
=x ⇒
= x2 ⇒ x =
2
2
2
Cevap:
6
2