. ÜNİTE VERİ, SAYMA ve OLASILIK 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE VERİ – SAYMA 1. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, en büyük değer, en küçük değer ve açıklık kavramları hatırlatılır. Bir veri grubuna ait alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı ve standart sapma tanımlanır. 2. Kazanım : Verilerin grafikle gösterilmesi Gerçek hayat durumunu yansıtan veri gruplarını uygun grafik türleri ile temsil ederek yorumlar. Serpme grafiğini açıklar, iki nicelik arasındaki ilişkiyi serpme grafiği ile gösterir ve yorumlar. Kutu grafiğini açıklar, bir veri grubuna ait kutu grafiğini çizerek yorumlar ve veri gruplarını karşılaştırmada kutu grafiğini kullanır. OLASILIK 3. Kazanım : Basit olayların olasılıkları Örnek uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, ayrık ve ayrık olmayan olay kavramlarını açıklar. 4. Kazanım : Tümleyen, ayrık ve ayrık olmayan olaylar ile ilgili olasılıkları hesaplar. 6. ÜNİT OLASILIK MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Örnek Uzay: Bir deneyde elde edilebilecek tüm Ortalama sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile Eldeki veriler toplamının veri sayısına bölümüdür. gösterilir. x ile gösterilir. Olay: Örnek uzayın herbir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkansız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın arakesitleri (kesişim- Veri değerleri x1, x2, ...., xn olan n tane veri için, x= x 1 + x 2 + ... + x n n dir. Ortanca (Medyan) Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar leri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımsız) küçükten büyüğe doğru sıralanır. olaylar denir. ® Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim medyandır. Olasılık Fonksiyonu ® E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu Tepe Değeri (Mod) küme (kuvvet kümesi) K olsun. Bir veri grubundaki en çok (en sık) tekrarlanan P : K → [0,1] fonksiyonu aşağıdaki P fonksiyonuna Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması medyandır. aksiyomları sağlarsa olasılık fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de A olayının olasılığı denir. değere mod (tepe değeri) denir. ® Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun modu yoktur. ® Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden ® A ⊂ E ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1 birden fazla değer varsa, mod değeri de ® P(E) = 1 birden fazla olabilir. ® A∩B = ∅ ise P(A∪B) = P(A) + P(B) ® P(∅) = 0 ® A′ = E – A ise P(E) = P(A) + P(A′) = 1 ® P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) olur. Eş Olumlu Örnek Uzay E = {a1, a2, ......., an } bir sonlu örnek uzay olsun. P(a1) = P(a2) = ....... = P(an) ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay adı verilir. Eş olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe, olasılık s (A) olarak alınır. fonksiyonu P (A) = s (E) MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ Açıklık Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır. Açıklık = En Büyük Değer – En Küçük Değer Çeyrekler Açıklığı Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ilk terime alt uç, son terime üst uç, bunların ortasındaki terime de ortanca denir. Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek (Q1) denir. Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek (Q3) denir. İSTATİSTİK Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik kıs- İstatistiksel çalışmalar yapılırken, mının ortancasına Q1 , sonraki % 50 lik kısmının ® Grafikler ® Frekans Tabloları ortancasına da Q3 denir. Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek – Alt çeyrek Q = Q3 – Q1 ® Merkezi Eğilim Ölçüleri Çeyrekler açıklı¤› ® Merkezi Yayılma (Dağılım) Ölçüleri gibi yöntemlerden yararlanılır. 590 %0 % 25 % 50 % 75 % 100 STANDART SAPMA Sütun Grafiği Standart sapma, verilerin ortalama etrafında nasıl Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay ve düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir. bir yayılma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart sapma değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya daha yakın verilerin çok olduğunun ölçüsüdür. n tane verinin aritmetik ortalaması x olmak üzere, bu veri grubunun standart sapması (s) s= ( x1 – x )2 + ( x 2 – x )2 + … + ( x n – x )2 n–1 Histrogram Alanı, ilgili sınıfın frekansına, tabanı da ilgili dir. sınıfın aralığına eşit olan ve birbirine bitişik dikdörtgenlerden oluşan bir grafik çeşitidir. Sürekli verileri göstermek için çizilirler. Tek bir değişkenin STANDART PUANLAR Standart puan gözlenen puanların ortalamadan dağılımını göstermek için oldukça kullanışlı bir grafik sunumudur. olan farklarını standart sapma cinsinden belirtil- Daire Grafiği mesidir. Eldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulma- Standart puanlar, yapılan ölçümlerden elde edilen sıdır. Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez açılar ve bunların toplamları 360° olacak şekilde daire dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de denilmektedir. Kesikli veriler için uygundur. puanların aritmetik ortalamasının sıfır (0), standart sapmasının bir (1) kabul edildiği puanlardır. z puanı z puanı bir verinin ortalamadan kaç standart sapma kadar uzakta olduğunu gösterir ve z puanı = z= Ham puan – Aritmetik ortalama Standart sapma X–x s formülü ile hesaplanır. Serpilme Grafiği İki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen grafiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir. T puanı Kutu Grafiği z puanı nasıl ki verilen puanları ortalaması 0, Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için standart sapması 1 olan puanlara dönüşüyorsa, T kullanılan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi puanı da verilen puanları ortalaması 50, standart eğilimi ve değişkenlerin yayılım düzeyini göster- sapması 10 olan puanlara dönüştürür. z puanla- mesi açısından kullanışlıdır. Kutu grafikleri veri rından T punlarına geçiş T = 50 + 10.z formülü için çeyreklere dayalı grafiksel gösterimlerdir. ile elde edilir. Kutu grafiğinin çizimi için, en küçük değer (alt uç değer) GRAFİKLER Çizgi Grafiği Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. alt çeyrek (Q1), ortanca, üst çeyrek (Q3) ve en büyük değer (üst uç değer) bulunur. En Küçük De¤er Alt Çeyrek Ortanca Üst Çeyrek En Büyük De¤er 591 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 1 Çözüm Aşağıda Ahmet’in derslerden aldığı notlar ve bu derslerin haftalık ders saatleri tablo halinde verilmiştir. Dersler Kredi Not Matematik 4 80 Fizik 3 60 Kimya 2 70 Biyoloji 2 56 Türkçe 4 64 Tarih 1 70 Coğrafya 1 90 Ahmet’in notlarının aritmetik ortalamasını ve kredi ağırlıklı aritmetik ortalamasını bulunuz. 4. 12, 2, 5, 11, 9, 6, 8, x Yukarıdaki verilere göre aşağıdaki 1., 2. ve 3. soruları çözünüz. 1. Sayıların aritmetik ortalaması 8 olduğuna göre, x kaçtır? Not Kredi Matematik 6 4 Edebiyat 7 3 Müzik 9 1 İngilizce 10 2 Bir öğrencinin bazı derslerden aldığı notlar ve bu derslerin kredileri yukarıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre, bu öğrencinin ağırlıklı ders notu orta- 2. İlk 7 veriden her biri 1 azaltılırsa, ortalamanın değişmemesi için x kaç arttırılmalıdır? ESEN YAYINLARI laması kaçtır? 5. Ders Adı Not Kredi Matematik 80 3 Fizik 70 2 Kimya 75 2 Türkçe 90 3 Tabloda bir öğrencinin bazı derslerden aldığı 3. Veri grubuna (x hariç) 7 ve 10 sayıları eklenirse, yeni aritmetik ortalamanın değişimi için ne söylenebilir? 592 notlar ve bu derslerin haftalık kredileri verilmiştir. Buna göre, öğrencinin not ortalamasını kredi ağırlığına göre eşiti kaçtır? Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 2 a. REHBER SORU 3 a. 9, 8, 8, 7, 10, 11, 11, 13, 10 veri grubunun ortancası kaçtır? b. veri grubunun açıklığını ve çeyrekler açıklığını 12, 17, 12, 15, 13, 14, 14, 11 bulunuz. b. veri grubunun ortancası kaçtır? c. 4, 6, 9, 7, 11, 10, 10, 13, 14, 15, 16, 19, 18, 23 veri grubunun açıklığını ve çeyrekler açıklığını 7, 13, 6, 15, 9, 8, 13 veri grubunun tepe değeri kaçtır? d. 16, 12, 13, 18, 14, 11, 16 bulunuz. 8, 10, 11, 9, 12, 13 veri grubunun tepe değeri kaçtır? Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm 1. 2. 9, 12, 10, 10, 8, 10, 7, 6, 9 1. 9, 11, 8, 3, 3, 4, 10 veri grubunun ortancası a, tepe değeri b ise veri grubunun açıklığı a, çeyrekler açıklığı b (a, b) ikilisini bulunuz. ise (a, b) ikilisini bulunuz. 10, 10, 8, 9, 11, 8, 13, 8 veri grubunun ortancası a, tepe değeri b ise (a, b) ikilisini bulunuz. 2. 2, 2, 3, 3, 5, 6, 12, 10, 8, 7, 3, 9, 7, 5 veri grubunun açıklığı a, çeyrekler açıklığı b ise (a, b) ikilisini bulunuz. 593 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 4 Çözüm 11 – A ve 11 – B sınıflarındaki bazı öğrencilerin matematik notları aşağıda verilmiştir. Sınıf Matematik Notları 11 – A 10 30 50 70 90 11 – B 30 40 50 60 70 Bu iki sınıftaki matematik notlarının standart sapmasını bulunuz. 1. 3. 10, 14, 21 veri grubunun standart sapması kaçtır? Sezonun ilk devresi (ilk 8 maç) değerlendirildiğinde, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru olurdu? I. A takımının attığı gol sayılarının standart sapması daha büyüktür. II. A takımının attığı gollerin ortalaması, B takı2. 1, 4, 5, 7, 9, 10 mının attığı gollerin ortalamasının 2 katıdır. veri grubunun standart sapması hangi tam sayıya en yakındır? caktır. İki futbol takımının 8 er maçlık 2 devreden oluşan 16 maçlık bir sezonda attıkları goller aşağıda tablo halinde verilmiştir. 2. Devre Tak›m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 1 0 1 2 0 0 3 3 1 1 0 1 2 0 1 0 B 3 0 0 1 1 0 0 0 1 1 3 0 3 0 3 0 Tablo : Takımların attıkları gol sayıları 594 4. Değerlendirme bu sezonun ikinci devresi (son 8 maç) için yapılmış olsaydı, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru olurdu? I. Maçlar 1. Devre ESEN YAYINLARI 3. ve 4. sorular için aşağıdaki veriler kullanıla- A takımının attığı gollerin ortalaması 6 , 5 B takımının attığı gollerin ortalaması 11 tir. 5 II. A takımının attığı gollerin standart sapması, B takımının attığı gollerin standart sapmasından küçüktür. Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 5 Çözüm 10 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin biyoloji dersi 1. yazılı sınavından aldığı notlar aşağıda verilmiştir. 64, 80, 40, 82, 52, 60, 96, 81, 70, 90 Bu notları veriler olarak kabul ederek kutu grafiği çiziniz. 4. Ortancadan büyük olan veri sayısı, küçük olan veri sayısından az mıdır, çok mudur? 50 70 100 120 160 Zaman Yukarıdaki kutu grafik bir grup öğrencinin bir gün içinde matematik çalışma sürelerinin dağılımını 5. dakika olarak göstermektedir. 1., 2., 3. ve 4. soruları bu grafiğe göre cevapla- luğu (çeyrekler açıklığı) kaç birimdir? Bu verilerin genişliği (aralığı) kaçtır? ESEN YAYINLARI yınız. 1. 5, 1, 3, 2, 7, 1, 9, 11, 14, 2, 20, 13, 6 verilerinin kutu grafiği çizildiğinde, kutunun uzun- 6. B 2. Bu verilere ait çeyrekler açıklığı kaçtır? A Da¤›t›lan broflür say›s› A ve B firmalarında çalışan tanıtım elemanlarının bir günde dağıttıkları broşür sayıları yukarıda kutu grafiği olarak verilmiştir. Hangi firmada çalı3. Bu verilerin ortancası kaçtır? şan elemanların başarısı daha yüksektir? 595 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 6 Çözüm Günler Sıcaklık (°C) Gündüz Sıcaklık (°C) Gece 12 8 Pazartesi Salı 5 3 Çarşamba 9 5 Perşembe 13 10 Cuma 10 6 Yukarıdaki tabloda bir ilimizdeki 5 günlük gece ve gündüz hava sıcaklıkları verilmiştir. Hava sıcaklık değişiminin çizgi grafiğini çiziniz. Ö¤renci sayısı 4. Çözülen soru sayısı 10 50 8 40 6 30 4 20 Pazar C.tesi Cuma Perfl. Çarfl. Sal› 2 P.tesi 0 Günler 0 I. şimini göstermektedir. çözmüştür? tik sorusu çözmüştür? Matematik notları dadır. III. 80 alan öğrenci sayısı 40 alan öğrenci sayısından 7 fazladır. Boy (cm) A 60 Duru hafta içinde günlük ortalama kaç matema- 100 Sınıf mevcudu 22 kişidir. 5. 2. 80 II. 60 alan öğrenciler sınıf ortalamasının altın- ESEN YAYINLARI Duru bu hafta toplam kaç matematik sorusu 60 leri doğrudur? çözdüğü matematik soru sayılarının günlük deği- 1. 40 Çizgi grafiğine göre aşağıdaki ifadelerden hangi- Yukarıdaki grafik, Duru’nun bir hafta boyunca 1., 2. ve 3. soruları bu grafiğe göre cevaplayınız. 20 B 45 30 15 0 3 6 Zaman (Yıl) Yukarıdaki grafikte A ve B bitkilerinin dikildikleri 3. Duru’nun bir önceki güne göre çözdüğü mate- andaki boyları ve zamana karşı uzama miktarları matik soru sayısındaki artış en çok hangi gün verilmiştir. Dikildikten kaç yıl sonra A bitkisinin olmuştur? boyu B bitkisinin boyundan 60 cm fazla olur? 596 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 7 Çözüm Üretim (Ton) Yıllar Portakal Mandalina 2007 5 3 2008 6 4 2009 5 2 2010 4 4 Yukarıdaki tablo, Alanya’daki bir üreticinin bazı yıllarda ürettiği portakal ve mandalina miktarlarını göstermektedir. Tabloya göre, verilen bilgileri sütun grafiğinde gösteriniz. 4. Soru sayısı 150 Ö¤renci sayısı 12 10 100 8 6 50 4 Cuma Perfl. Çarfl. Salı P.tesi 2 0 Günler 0 4 5 Kimya notlar› dir. 3 ün altında not alanlar başarısız kabul edil- değişimi gösterilmiştir. diğine göre, bu sınıfta kimya dersinden başarılı 1., 2. ve 3. soruları bu grafiğe göre cevaplayınız. olanlar sınıfın yüzde (%) kaçıdır? ESEN YAYINLARI müştür? 3 lerin kimya dersi yıl sonu notlarını göstermekte- deki günlerde çözdüğü soru sayılarının günlük Bu beş gün içinde Öykü toplam kaç soru çöz- 2 Yukarıdaki sütun grafiği bir sınıftaki tüm öğrenci- Yukarıdaki sütun grafiğinde, Öykü’nün hafta için- 1. 1 5. Not ortalamas› (puan) 80 Kızlar 70 Erkekler 60 50 2. Öykü bu beş gün içinde, günlük ortalama kaç soru çözmüştür? 40 30 20 10 0 1. 2. 3. Tarih yaz›l› sınavlar› Yukarıdaki sütun grafiğinde, bir sınıftaki kız ve erkek öğrencilerin tarih dersinin ilk üç sınavında3. Öykü çözdüğü soru sayısını, bir önceki güne göre % olarak en çok hangi gün artırmıştır? ki not ortalamaları gösterilmiştir. Grafikteki verilere göre, kızların tarih dersi not ortalaması, erkeklerin not ortalamasından kaç puan fazladır? 597 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 8 Bir okulun 11-A sınıfındaki 15 öğrencinin ağırlıkları aşağıda kg olarak verilmiştir. 62, 48, 54, 50, 74, 82, 60, 52, 90, 66, 64, 76, 84, 70, 86 Bu verileri histogram grafiği ile gösteriniz. Çözüm 4. Ö¤renci say›s› 25 yaşında olan veya 25 yaşından büyük olan öğrenci sayısının, 25 yaşından küçük olan 8000 öğrenci sayısına oranı kaçtır? 6000 4000 34-36 31-33 28-30 25-27 22-24 19-21 2000 1000 500 0 Yafl Yukarıdaki histogram bir üniversitede okuyan 1., 2., 3. ve 4. soruları bu grafiğe göre cevaplayınız. 1. Bu üniversitedeki toplam öğrenci sayısı kaçtır? ESEN YAYINLARI öğrencilerin yaşlarını göstermektedir. 5. Çözülen soru say›s› 40 30 20 18.00 23.59 0 12.00 17.59 En çok öğrenci hangi yaş aralığındadır? 06.00 11.59 2. 00.00 05.59 10 Saat Yukarıdaki verilen histogram Duygu’nun bir gün içinde çözdüğü soru sayılarının zamana göre dağılımını göstermektedir. Grafiğe göre, Duygu 3. 19-21 yaş aralığında olan öğrenciler tüm öğren- bir gün içinde çözdüğü toplam sorunun % 20 sini cilerin yüzde kaçıdır? hangi zaman aralığında çözmüştür? 598 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 9 Giyecek Bir okulun 12. sınıfında okuyan 55 kişi içinden seçi- Yakıt lecek öğrenci temsilciliği için aday olan 5 öğrencinin 60° aldıkları oylar tablo şeklinde aşağıda verilmiştir. Kira 150° Gıda (Adaylar oy kullanmamaktadır.) Aday Aldığı Oy Sayısı Altan 5 Tufan 20 Feridun 10 Ali 10 Ömer 5 Yukarıdaki daire grafiği bir ailenin aylık harcamalarını göstermektedir. 1., 2., 3. ve 4. soruları bu grafiğe göre cevaplayınız. 1. Bu ailenin kira gideri, yakıt giderinin kaç katıdır? Tablodaki oyları veriler kabul ederek daire grafiğini çiziniz. 2. Çözüm Ailenin aylık toplam harcaması 1200 TL ise gıda ESEN YAYINLARI harcaması kaç TL dir? 3. Giyecekler için harcadığı para, tüm harcamalarının yüzde kaçıdır? 4. Diğer harcamaları sabit kalmak üzere, toplam harcamaları 1500 TL ye ve yakıt gideri 500 TL ye çıksaydı, kira giderini gösteren merkez açının ölçüsü kaç derece olurdu? 5. Okullar Öğrenci Sayısı A 600 B 750 C 900 D 450 Yukarıdaki tabloda bir semtte bulunan 4 okul ve bu okullardaki öğrenci sayıları verilmiştir. Bu bilgiler dairesel grafikte gösterilirse, elde edilen merkez açıların en büyüğü ile en küçüğünün farkı kaç derece olur? 599 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 10 Çözüm Bir çift zar atılıyor. Zarların üzerindeki sayıların a. Aynı olması olasılığı kaçtır? b. Toplamlarının 9 olma olasılığı kaçtır? c. 1. Toplamlarının en az 3 olma olasılığı kaçtır? 5. Bir çift zar atıldığında gelen sayıların toplamının 10 olma olasılığı nedir? 2. Bir çift zar atıldığında gelen sayıların toplamının en az 2 olma olasılığı nedir? 6. Bir zar atıldığında gelen sayının asal sayı olma Bir çift zar atıldığında gelen sayıların toplamının 13 olma olasılığı nedir? ESEN YAYINLARI olasılığı kaçtır? 3. 7. Bir çift zar atıldığında gelen sayıların farklı olma Bir çift zar atıldığında gelen sayıların toplamının en çok 4 olma olasılığı kaçtır? olasılığı kaçtır? 8. 4. Bir zar art arda iki kez atıldığında ilk atışta gelen Bir çift zar atıldığında gelen sayıların ikisinin de sayının, ikinci atışta gelen sayıdan büyük olma asal sayı olma olasılığı nedir? olasılığı kaçtır? 600 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 11 Çözüm a. 3 madeni para atıldığında ikisinin yazı, birinin tura gelme olasılığı kaçtır? b. 4 madeni para atıldığında, üçünün yazı, birinin tura gelme olasılığı nedir? 1. 6. 2 madeni para atıldığında ikisinin de yazı gelme olasılığı kaçtır? 2. yazı gelme olasılığı kaçtır? Bir madeni para 2 kez art arda atıldığında birinin 7. yazı diğerinin tura gelme olasılığı kaçtır? Bir madeni para 2 kez art arda atıldığında birincisinde yazı, ikincisinde tura gelme olasılığı kaçtır? 4. Bir madeni para 2 kez üst üste atıldığında en az birinde yazı gelme olasılığı kaçtır? 5. 5 madeni para atıldığında ikisinin yazı, üçünün tura gelme olasılığı kaçtır? ESEN YAYINLARI 3. Bir para üç kez art arda atıldığında en çok birinin 8. 5 madeni para atıldığında en az ikisinin yazı gelme olasılığı kaçtır? 9. 6 madeni para atıldığında dördünün tura, ikisinin yazı gelme olasılığı kaçtır? Bir para üç kez art arda atıldığında (veya üç para aynı anda atıldığında) ikisinin yazı birinin tura gelme olasılığı kaçtır? 10. 6 madeni para atıldığında en çok ikisinin tura gelme olasılığı kaçtır? 601 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 12 REHBER SORU 13 4 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden biri rast- 4 kız, 2 erkek yan yana fotoğraf çektireceklerdir. gele seçildiğinde bunun 2 elemanlı bir küme olma Kızların bir araya gelme olasılığı kaçtır? olasılığı kaçtır? Çözüm 1. Çözüm 1. 3 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden biri rastgele seçildiğinde bunun 2 elemanlı bir küme 3 kız, 5 erkek yan yana sıralandığında erkeklerin bir araya gelme olasılığı kaçtır? 2. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinin biri rastgele seçildiğinde bunun 3 elemanlı olma olasılığı ESEN YAYINLARI olma olasılığı kaçtır? 2. KEKEK sıralamasının elde edilme olasılığı kaç- kaçtır? 3. A = { a, b, c, d } 3 kız (K), 2 erkek (E) yan yana sıralandığında tır? 3. Aralarında Mert ve Pınar’ın da bulunduğu 7 kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçil- kişilik bir grup 3 ve 4 kişilik iki ekibe ayrılacaktır. diğinde bu kümenin elemanları arasında a nın Mert ile Pınar’ın aynı ekipte olma olasılığı kaçtır? bulunma olasılığı kaçtır? 4. 4. A = { a, b, c, d, e, f } ECEM sözcüğündeki harfleri yer değiştirerek elde edilebilecek anlamlı veya anlamsız sözcük- kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden biri rast- lerden biri alındığında bunun C ile başlayıp M ile gele seçildiğinde bunun elemanları arasında a bitme olasılığı kaçtır? nın bulunma olasılığı kaçtır? 602 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 14 REHBER SORU 15 3 sarı, 5 mavi bilyenin bulunduğu bir torbadan rast- 4 sarı, 3 lacivert bilyenin bulunduğu bir torbadan üç gele bir bilye alındığında bunun sarı renkte olma bilye rastgele alınıyor. olasılığı kaçtır? a. Üçünün de sarı olma olasılığı kaçtır? b. Üçünün de aynı renk olma olasılığı kaçtır? c. İkisinin sarı, birinin lacivert olma olasılığı kaçtır? Çözüm 1. 4 kırmızı, 5 beyaz bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele 1 bilye alınıyor. Bunun kırmızı olma olasılığı kaçtır? 2 mavi, 4 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele 2 bilye alındığında ikisinin de kırmızı ESEN YAYINLARI 1. Çözüm olma olasılığı kaçtır? 2. Bir torbada 3 kırmızı, 5 beyaz, 4 mavi bilye vardır. Bu torbadan geri atılmamak koşuluyla art 2. 2 kırmızı, 3 beyaz ve 4 mavi bilyenin bulunduğu arda 3 bilye çekiliyor. İkisinin mavi, birinin beyaz bir torbadan rastgele bir bilye alındığında bunun olma olasılığı kaçtır? kırmızı veya beyaz olma olasılığı kaçtır? 3. Bir torbada 3 kırmızı, 5 beyaz, 4 mavi bilye vardır. Bu torbadan geri atılmamak koşuluyla art arda 3 bilye çekiliyor. İlk ikisinin mavi, üçüncüsünün beyaz olma olasılığı kaçtır? 3. 3 sarı, 5 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele 2 bilye alındığında, bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? 4. Bir kutudaki 8 lambadan 3 tanesi bozuktur. Bu kutudan alınan 3 lambadan en az birinin bozuk olma olasılığı kaçtır? 603 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 16 Çözüm Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 noktadan biri A dır. Bu noktaları köşe kabul eden üçgenlerden biri seçildiğinde bunun bir köşesinin A olma olasılığı kaçtır? 1. 4. Herhangi üçü doğrusal olmayan 8 noktadan biri Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktadan ikisi A dır. Bu noktaları köşe kabul eden üçgenlerden A ve B dir. Bu noktaları köşe kabul eden üçgen- biri seçildiğinde bunun bir köşesinin A olma ola- lerden biri seçildiğinde bunun bir kenarının [AB] sılığı kaçtır? olma olasılığı kaçtır? 2. 5. B C D N E F K C Şekildeki 8 noktadan 3 tanesi rastgele seçilirse sadece birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? 3. B A C k Çember üzerindeki 6 B nokta ile oluşturulabile- A C cek çokgenlerden biri ESEN YAYINLARI A seçiliyor. Bunun üçgen olma olasılığı kaçtır? F 6. Şekildeki yatay doğrular düşey doğrulara diktir. Oluşan D E F M C k ve C doğruları üzerindeki 7 nokta ile oluşturulacak üçgenlerden biri seçildiğinde tabanının k üzerinde olma olasılığı kaçtır? 604 D E dikdörtgenlerden biri seçildiğinde bunun birim kare olma olasılığı kaçtır? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Veri, Sayma ve Olasılık REHBER SORU 17 REHBER SORU 18 E örnek uzayında iki olay A ve B dir. 2 1 , P(A ∩ B) = P(A) = 1 , P(B) = 4 3 6 a. P(A ∪ B) 6 kız ve 4 erkekten oluşan bir grupta kızların 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. Bu gruptan rastgele ise seçilen birinin kız veya gözlüklü olma olasılığı nedir? b. P(A′ ∪ B′) ifadelerinin eşitini bulunuz. Çözüm Çözüm 1. 1. E örnek uzayında iki olay A ve B dir. 1 P(A) = 1 , P(B′) = 3 ve P(A ∩ B) = ise 3 5 5 2. E örnek uzayında iki olay A ve B dir. P(A) = 1 , P(B′) = 3 4 4 4 ü, erkeklerin 5 i esmerdir. Bu gruptan seçilen birinin erkek veya esmer olma olasılığı nedir? ESEN YAYINLARI P(A ∪ B) kaçtır? ve P(A ∪ B) = 1 ise 3 12 kız ve 8 erkekten oluşan bir grupta kızların 2. Bir zar ve madeni bir para atılıyor. Zarın 4 ten büyük ve paranın yazı gelme olasılığı kaçtır? P(A ∩ B) kaçtır? 3. E örnek uzayında iki olay A ve B dir. 13 P(A) = 4 , P(B′) = 1 ve P(A ∪ B) = ise 5 3 15 3. sayı ve paraların ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır? P(A′ ∪ B′) kaçtır? 4. E örnek uzayında iki olay A ve B dir. 2 4 P(A ∩ B′) = , P(B) = ise P(A ∪ B) kaç5 15 tır? Bir zar ve madeni iki para atılıyor. Zarın asal 4. Bir zar ve madeni bir para atılıyor. Zarın çift sayı veya paranın yazı olma olasılığı kaçtır? 605 I. 6, 8, 9, 11, 12, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 32 veri grubunu dikkate alarak sol sütunda bulunan merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinin eşitini sağ sütunda bularak eşleştiriniz. a 1 Ortanca b 15 2 Alt çeyrek c 14 3 Üst çeyrek d 12 4 Ortalama 32 5 e Tepe değeri f 11 6 En büyük değer II. 18 Sol sütundaki olaylara ait örnek uzayının eleman sayısını sağ sütunda bulup eşleştiriniz. a 1 Bir paranın atılması b 6 2 İki paranın atılması c 20 3 Bir zarın atılması d 2 4 İki zarın atılması e 5 elemanlı bir kümeden rastgele 4 5 10 2 elemanın seçilmesi f 6 bilye içinden rastgele 3 tanesinin seçilmesi 606 6 36 1 2 3 4 5 6 9 7 8 10 11 12 SOLDAN SAĞA 1. Sayıları yazmak için kullanılan simgelerden her biri 5. Basketbol oyununda topun sepete girmesiyle ulaşılan sonuç 7. YUKARIDAN AŞAĞIYA 2. kullanılan grafik türü 3. 4. ve karara varılmasını sağlayan bilim dalı mesi ile elde edilen sayı değer arasındaki fark Herhangi bir konuyu incelemek için gerekli verilerin toplanmasını, toplanan verilerin değerlendirilmesini 11. n tane gerçel sayının toplamının n sayısına bölün- 12. Bir veri kümesindeki en büyük değerle en küçük Yeni bilgiler edinmek ve olayların gelişimini incelemek için yapılan deneme ve testlere verilen ad Tepe değeri 10. İhtimal Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için 6. Bir deneyin mümkün olan her sonucuna verilen ad 8. Medyan 9. Örnek uzayın herbir alt kümesi 607 Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz. 1. Yorumlamak ve sunmak amacı ile toplanmış, çözümlenmiş ve özetlenmiş gerçeklere ............................... denir. 2. Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine ............................... denir. 3. Ortancadan küçük terimlerin ortancasına ............................... denir. 4. Bir deneyden elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine ............................... denir. 5. Bir örneklem uzaya ait iki olayın ............................... boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir. 6. Bir olayın olabilirlik derecesinin 0 ile 1 arasındaki bir gerçek sayıyla gösterilmiş biçimine ............................... denir. 7. Bir veri grubunda en çok tekrarlanan değere ............................... denir. 8. Üst çeyrekle alt çeyreğin farkına ............................... denir. 9. Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türü ............................... dir. 10. Örnek uzayın her bir alt kümesine ............................... denir. 608 Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız. 1. Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek denir. 2. Aritmetik ortalama; bir merkezi eğilim ölçüsüdür. 3. Ortanca; bir merkezi yayılım ölçüsüdür. 4. Tepe değeri; bir merkezi eğilim ölçüsüdür. 5. Bir sayı dizisinin terim sayısı tek ise ortadaki terim ortancadır. 6. Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun tepe değeri yoktur. 7. Merkezi yayılım ölçülerinden biri açıklıktır. 8. Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafiklere kutu grafiği denir. 9. İki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen grafiklere serpilme grafiği denir. 10. Kutu grafiğinin çizimi için gerekil olan değerlerden biri alt çeyrektir. 609 610 TEST 1. 1 Veri, Sayma 5. 5, 4, 4, 3, 6, 7, 7, 9, 6 verilerinin ortancası (medyan) kaçtır? A) 3 2. B) 4 C) 5 D) 6 veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır? E) 7 A) 4 6. 6, 11, 6, 9, 7, 8, 8, 5 verilerinin ortancası (medyan) kaçtır? B) 6 C) 6,5 D) 7 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6, 5, 6, 7, 9, 11, 5 veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır? E) 7,5 A) 5 B) 7 C) 7,5 D) 8 E) 8,5 ESEN YAYINLARI A) 5,5 1, 3, 5, 5, 4, 11, 13, 6, 7, 8, 9, 12, 10 3. 7. 5, 17, 9, 1, 1, 3, 5, 4, 5, 10, 17 veri gurubunun tepe değeri kaçtır? A) 17 4. B) 10 C) 9 D) 5 veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır? E) 1 veri grubunun açıklığı kaçtır? B) 6 C) 7 A) 6 8. 10, 6, 7, 12, 5, 10, 8 A) 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 6, 4, 8 veri grubunun standart sapması kaçtır? D) 8 E) 10 A) 1 B) v2 C) 2 D) v5 E) 3 611 Veri, Sayma ve Olasılık 9. 11. Para (x1000 TL) Matematik 340 Kâr 300 Biyoloji Kimya Zarar 260 Fizik 220 180 Yukarıdaki dairesel grafik, bir öğrencinin bir gün 140 içinde çalıştığı derslere ayırdığı zamanları gös- 100 0 ‹lkbahar Yaz Sonbahar K›fl termektedir. Mevsimler I. Yukarıdaki grafikte, odun ve kömür satışı yapan bir deponun 2010 yılında mevsimlik kâr-zarar durumları gösterilmiştir. Buna göre, bu firmanın II. Kimya ve biyoloji için ayırdığı süreler eşittir. III. Matematik için ayırdığı süre, kimya için ayırdığı sürenin iki katıdır. 2010 yılı aylık ortalama kâr-zarar durumu nedir? A) 10 bin TL kâr B) 25 bin TL kâr C) 30 bin TL kâr D) 10 bin TL zarar bilgileri veriliyor. Bu öğrencinin kimya dersi için ayırdığı sürenin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir? E) 20 bin TL zarar A) 15 Milyon ($) 55 ‹thalat ‹hracat ESEN YAYINLARI 10. Matematik ve fizik için ayırdığı süreler eşittir. B) 30 C) 45 D) 50 E) 60 12. Bir sınıftaki 20 öğrencinin 5 soruluk bir sınavdaki sorular için işaretledikleri şık sayıları ve her sorunun doğru seçeneği tablo halinde verilmiştir. Seçenekler ‹flaretlenme Say›lar› 35 Do¤ru Seçenek Soru A B C D E 1. 2 4 8 4 2 C 2. 1 5 7 3 4 B 3. 10 2 2 3 3 A 27 4. 3 1 4 6 6 D 22 5. – 9 7 3 1 B Tabloda verilenlere göre, aşağıdaki ifadelerden 13 11 8 3 0 hangisi ya da hangileri doğrudur? I. 1980 1985 1990 1995 2000 Yıllar Yukarıdaki grafikte Türkiye’nin 1980-2000 yılları arasındaki ithalat ve ihracat tutarları verilmiştir. İhracatın ithalatı karşılama oranı (%) yüzde olarak en düşük hangi yıldadır? A) 1980 B) 1985 C) 1990 D) 1995 E) 2000 İşaretlenme ortalaması en yüksek olan seçenek C seçeneğidir. II. A seçeneği işaretlenme ortalaması, E seçeneği işaretlenme ortalamasından küçüktür. III. 20 öğrencinin bu sorulardaki doğru cevap ortalaması 2 dir. A) Yalnız I B) Yalnız II D) I ve III 612 C) I ve II E) II ve III TEST 1. 3 Veri, Sayma 5. 13, 12, 12, 11, 14, 15, 15, 17, 14 verilerinin ortancası ( medyan ) kaçtır? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 11, 10, 11, 12, 14, 16, 10 veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır? E) 17 A) 9 6. 2. B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 5, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 veri gurbundaki sayıların ortalaması kaçtır? 7 7 7 B) 3 C) D) 2 E) A) 2 3 4 10, 16, 9, 18, 12, 11, 16 veri grubunun tepe değeri kaçtır? B) 16 C) 12 D) 11 E) 10 ESEN YAYINLARI A) 18 7. 15, 13, 17 veri grubunun standart sapması kaçtır? A) 1 3. B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9, 11, 13, 10, 12, 11, 15, 17, 13 sayı dizisinin tepe değeri kaçtır? A) 11 ve 13 B) 9 D) 12 ve 15 C) 10 E) 17 8. Aşağıdaki seçeneklerde verilen veri gruplarının hangisinde medyan, ortalama ve moddan daha büyüktür? A) 1, 2, 3, 4, 5 B) 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10 4. 17, 13, 14, 19, 12, 17, 15 C) 2, 2, 3, 4, 7, 10, 12 D) 3, 3, 3, 8, 10, 10, 11, 12 veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 E) 3, 6, 8, 11, 14, 14, 16 615 Veri, Sayma ve Olasılık 9. Notlar 1 2 3 4 5 Ö¤renci say›s› 3 4 1 7 5 Ö¤renci say›s› 11. Yandaki şekilde gösterilen homojen mum, hacmi ile doğru orantılı bir sürede yanmaktadır. Buna göre, Ö¤renci say›s› 5 10 mum yakıldıktan bitinceye 4 8 kadarki boyunu zamana 3 6 karşı gösteren grafik aşa- 2 4 ğıdakilerden hangisidir? 1 2 80 90 Puan 0 Yafllar A) 22-23 70 21-22 60 19-20 50 17-18 0 0 hangisi yanlıştır? C) A) Notların, tepe değeri 4 tür. B) Puanların, tepe değeri 90 dır. h t 4t 0 D) Boy (cm) 2h 2h E) Zaman (dk) t 8t t 4t Zaman (dk) Boy (cm) 3h 0 ESEN YAYINLARI Zaman (dk) 3h D) Notların ortalaması, notların modundan rinin ortalamasından küçüktür. Boy (cm) 2h C) Yaşların, tepe değeri 19-20 dir. E) Puanların ortalaması, puanların tepe değerle- B) Boy (cm) 2h fiklerde verilen bilgilere göre, aşağıdakilerden küçüktür. 2h 2r 3h Yukarıda farklı öğrenci grupları için tablo ve gra- 10. h r 0 t Zaman (dk) 9t Boy (cm) 3h 2h 0 Zaman (dk) 2t 8t Ortalama s›cakl›k 20 A 16 B 12 C 8 D 4 E 0 1. gün 2. gün 3. gün 4. gün 5. gün 12. Yabancı Günler Yukarıdaki grafikte, bir ilimizdeki 5 günlük sıcaklık ortalamaları verilmiştir. Bu 5 gün için ortalama sıcaklığın 13°C olacağı tahmin edilmiştir. Buna göre, grafiğin 5. gün hangi noktadan ya da noktalar arasından geçmesi beklenir? A) B – C arası B) A – B arası D) C 616 E) D 150° Yerli Yukarıdaki dairesel grafikte bir otelde bulunan 144 turistin yerli-yabancı oranları gösterilmiştir. Otelden 29 yabancı turist ayrıldığında kaç yerli turist otele gelmelidir ki merkez açılar arasındaki fark mutlak değerce aynı kalsın? C) C – D arası A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 TEST 1. 4 Olasılık 5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Bir torbada 4 beyaz, 5 kırmızı, 3 mavi bilye kümesinin elemanlarından biri rastgele seçildi- vardır. Bu torbadan rastgele seçilen bir bilyenin ğinde bunun 3 ile bölünebilen sayı olma olasılığı mavi olma olasılığı kaçtır? kaçtır? A) 1 6 B) 1 5 C) 1 4 D) 1 3 E) A) 1 2 6. 1 6 B) 1 5 C) 1 4 D) 1 3 E) 1 2 Bir torbada 4 tanesi çürümüş 7 tane elma vardır. Torbadan aynı anda alınan iki elmadan birinin sağlam, diğerinin çürük olma olasılığı 2. nedir? Bir tavla zarı atıldığında üste gelen sayının 4 ten A) 3 7 küçük olma olasılığı kaçtır? 1 6 B) 1 5 C) 1 4 D) 1 3 E) 1 2 ESEN YAYINLARI A) 7. B) 4 7 C) 2 5 D) 1 6 E) 1 7 A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçildiğinde bu kümenin elemanları arasında a nın 3. Bir para iki kez üst üste atıldığında ikisininde bulunma olasılığı kaçtır? yazı gelme olasılığı kaçtır? A) 1 6 B) 1 5 C) 1 4 D) 1 3 E) A) 1 2 8. 1 18 B) 1 16 C) 1 12 D) 1 6 E) 1 2 A′ olayı, A nın tümleyenidir. A nın olasılığı P(A) dır. 4. Bir para üç kez üst üste atıldığında ilk ikisinin yazı, üçüncüsünün tura gelme olasılığı kaçtır? A) 1 10 B) 1 8 C) 1 6 D) 1 5 E) 1 4 P (Al ) = 2 , P (A , B) = 3 , P (B) = 2 3 4 3 ise P(A ∩ B′) kaçtır? A) 1 3 B) 2 3 C) 1 12 D) 1 4 E) 1 8 617 Veri, Sayma ve Olasılık 9. 13. 1, 2, 3, 4, 5, 6 İçinde 6 beyaz, 3 siyah ve 7 mavi top bulunan rakamları ile rakamları farklı bir torbadan arka arkaya 3 top çekiliyor. 4 Çekilen topların üçünün de beyaz olma olasılığı torbaya atılıyor. Bu torbadan alınan bir karttaki kaçtır? sayının çift sayı olma olasılığı nedir? A) 3 7 B) 1 7 C) 1 28 D) 3 16 E) 3 8 basamaklı sayılar birer karta yazılarak bir A) 1 4 B) 1 3 C) 1 2 D) 2 3 E) 3 4 10. A = {0, 1, 2, 3 } kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulabilecek rakamları farklı, üç basamaklı sayılardan biri bir karta yazılıyor. Karttaki sayının 5 e bölünen bir sayı olma olasılığı kaçtır? B) 1 6 C) 1 12 D) 1 24 evli olma olasılığı kaçtır? E) 1 36 A) 1 13 ESEN YAYINLARI A) 1 3 14. 7 evli çift arasından rastgele seçilen iki kişinin B) 1 11 C) 1 9 D) 1 7 E) 1 5 11. Bir torbada 5 kırmızı, 4 mavi ve 2 sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bilye çekildiğinde ikisinin kırmızı, birinin sarı olma olasılığı kaçtır? A) 4 33 B) 5 33 C) 29 33 D) 11 27 E) 1 3 15. A B C D E G ise iki oyunu da oynamaktadır. Rastgele seçilen bir sporcunun basketbol oynuyor olması olasılığı kaçtır? A) 1 5 618 B) 1 4 C) 1 3 D) 1 2 E) 2 3 L H 12. 36 kişilik bir sporcu grubunda 25 kişi futbol veya basketbol oynuyor. 20 kişi futbol, 4 kişi F Şekildeki yarım çemberin çapı AF dir. Bu noktalardan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgenin köşeleri olma olasılığı kaçtır? A) 41 42 B) 1 42 C) 1 7 D) 20 21 E) 16 21 Yazılıya Hazırlık Soruları 1. 4. Bir vazoda 4 karanfil, 5 gül vardır. Vazodan rastgele 2 çiçek alınıyor. Alınan çiçeklerden birinin a, a + 1, a + 3, a + 5, a + 7, a + 9, a + 11 sayı dizisinde çeyrekler açıklığı kaçtır? karanfil, diğerinin gül olması olasılığı nedir? 2. 5. Bir torbada 6 farklı bilye bulunmaktadır. Çekilen 6, 8, 10, 10, 8, 10, x her bilye geriye atılmak üzere 3 çekilişte farklı Yukarıdaki veri grubunun ortanca değeri 8 bilye gelme olasılığı nedir? olduğuna göre, x in alabileceği en büyük tam ESEN YAYINLARI sayı değeri kaçtır? 3. 5, 13, 17, 2, 2, 8, 5, 21, 5, 1, 13 verilerinin tepe değeri kaçtır? 6. Üç basamaklı doğal sayılardan biri rastgele seçildiğinde, seçilen sayının rakamlarının çift olma olasılığı kaçtır? 621 Veri, Sayma ve Olasılık 7. 9. Mutfak 18 m2 Salon 40 m2 Antre ve koridor 20 m2 Oda 1 14 m2 Banyo 10 m2 Oda 2 18 m2 Yukarıda bir evin bölmelerinin alanlarına göre dağılım planı verilmiştir. Bu dağılımı gösteren Ders Not Kredi Matematik 80 4 Fizik 76 3 Kimya 65 2 Biyoloji 72 1 Tabloda bir öğrencinin bazı derslerden aldığı yıl dairesel grafiği çiziniz. sonu notları ve bu derslerinin haftalık kredileri verilmiştir. Öğrencinin kredi ağırlığına göre not ESEN YAYINLARI ortalaması kaçtır? 8. Bir öğrencinin günde kaç test çözdüğünü gösteren veriler aşağıdaki gibidir. 2, 3, 2, 0, 4, 4, 1, 8, 5, 5 Bu verilere ait kutu grafiğini çiziniz. 622 10. 20 den 100 e kadar olan (20 ve 100 dahil) doğal sayılar içerisinden rastgele seçilen bir sayının 6 veya 8 ile tam bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? Üniversiteye Giriş Sınav Soruları 1. 1992 – ÖYS 5. Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Aynı anda çekilen 2 bilyeden birinin be- B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor. yaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır? A x B kartezyen çarpımından alınan bir elema- A) 1 6 B) 1 11 C) 2 11 D) 4 33 nın (a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır? E) 5 33 A) 1 4 6. 2. B) 1 6 C) 1 8 D) 1 12 Yandaki yedi nokta, eş karelerin Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. köşeleri üzerinde bulunmaktadır. Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgen oluşturma olasılığı beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır? B) 3 19 C) 4 15 D) 5 14 aşağıdakilerden hangisidir? ( Aynı doğru üzerin- E) 5 13 1998 – ÖYS Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil var- deki üç noktanın bir üçgen oluşturmadığı kabul edilecektir.) ESEN YAYINLARI A) 3 10 E) 5 24 2008 – ÖSS 1995 – ÖYS Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin 3. 2007 – ÖSS A = {–2, –1, 0, 1} A) 32 35 7. B) 27 35 C) 24 35 D) 5 7 E) 3 7 2009 – ÖSS dır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışve- kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birin- riş yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci cisinde mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte gelen olasılığı kaçtır? iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eş A) 70 12 B) 20 49 C) 10 45 D) 10 21 E) 5 21 parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan hediyeyi almaktadır. ütü 4. 1999 – ÖSS Bir düzgün dörtyüzlünün ( bütün yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramit ) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüz- 1 2 3 4 kahve makinesi ütü ütü tost makinesi I. çark lü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve çamaflır makinesi II. çark yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülme Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir olasılığı kaçtır? müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı A) 1 2 B) 1 3 C) 2 3 D) 1 4 E) 3 4 kaçtır? A) 1 14 B) 1 16 C) 5 24 D) 3 28 E) 5 32 623 Veri, Sayma ve Olasılık 8. 2010 – YGS 12. 2012 – LYS Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilye Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında tor- Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekil- bada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı diğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma kaçtır? 1 A) 2 olasılığı kaçtır? 2 B) 3 3 C) 4 2 D) 5 3 E) 5 A) 2 3 B) 3 4 C) 5 6 D) 7 8 E) 8 9 13. 2013 – YGS 9. Bir torbada 1 den 10 a kadar numaralandırılmış 2010 – LYS 10 top bulunmaktadır. A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { –2, –1, 0 } olmak üzere A x B kartezyen çarpım kümesin- Bu torbadan rastgele çekilen iki topun numa- den alınan herhangi bir ( a, b ) elemanı için raları toplamının 15 olduğu bilindiğine göre, 7 a + b toplamının sıfır olma olasılığı kaçtır? numaralı topun çekilmiş olma olasılığı kaçtır? 1 4 B) 1 5 C) 1 6 D) 1 7 E) A) 2 3 2 7 10. 2011 – LYS 6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup- ESEN YAYINLARI A) B) 2 5 2 C) 13 7 D) 13 E) 1 3 Aşağıdaki grafikte, beş kişinin boyları ile ilgili bazı bilgiler verilmiştir. Boy (cm) birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır? 3 B) 8 D) 1 2 14. 2013 – YGS tan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden 3 A) 4 C) 2 7 174 9 E) 13 Kifli Bu kişilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. 11. 2012 – YGS • Ayşe ve Kemal aynı boydadır. Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rast- • Bora, Kemal’den 2 cm kısadır. gele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en • Elif, Mehmet’ten 6 cm uzundur. uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı • Mehmet, Ayşe’den 3 cm uzundur. Buna göre, bu kişilerin boy ortalaması kaç cm kaçtır? A) 624 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 6 E) 1 12 dir? A) 164 B) 165 C) 166 D) 167 E) 168