ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSLERİNE BAĞLI SINIFLANDIRILMASI Fatıma KÜLÜK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2014 ANKARA Fatıma KÜLÜK tarafından hazırlanan ‘‘ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSLERİNE BAĞLI SINIFLANDIRILMASI’’ adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım. Prof. Dr. Baki KARLIĞA ……….………………………. Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı Bu çalışma jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir. Prof. Dr. Mustafa ÇALIŞKAN ……….………………………. Matematik Anabilim Dalı, G.Ü. Prof. Dr. Baki KARLIĞA ……….………………………. Matematik Anabilim Dalı, G.Ü. Prof. Dr. Yusuf YAYLI ……….………………………. Matematik Anabilim Dalı, A.Ü. Tez Savunma Tarihi: 24/02/2014 Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onamıştır. Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü ……….………………………. TEZ BİLDİRİMİ Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. Fatıma KÜLÜK iv ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSLERİNE BAĞLI SINIFLANDIRILMASI (Yüksek Lisans Tezi) Fatıma KÜLÜK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Şubat 2014 ÖZET Bu çalışmada bir dörtgenin gram matrisinin karakteristik değerleri bulunmuştur. Öklidyen düzlemdeki bazı özel dörtgenlerin, küresel karenin, hiperbolik Saccheri ve Lambert dörtgenlerinin gram matrislerinin karakteristik değerleri elde edilmiştir. Ayrıca bu değerler arasındaki bağıntılar incelenmiştir. Bilim Kodu Anahtar Kelimeler Sayfa Adedi Tez Yöneticisi : 204.1.049 : Dörtgen, Gram : 55 : Prof. Dr. Baki KARLIĞA v CLASSIFICATIONS WITH RELATED TO GRAM MATRICES OF QUADRILATERALS IN EUCLIDEAN, SPHERICAL AND HYPERBOLIC PLANES (M.Sc. Thesis) Fatıma KÜLÜK GAZİ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES February 2014 ABSTRACT In this study characteristic values of gram matrix of a quadrilateral are found. Characteristic values of gram matrices of some special quadrilaterals in Euclidean plane, spherical square, hyperbolic Sachheri and Lambert quadrilaterals are obtained. Then correlations of these values are studied. Science Code Keywords Page Number Supervisor : 204.1.049 : Quadrilateral, Gram : 55 : Prof. Dr. Baki KARLIĞA vi TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla tecrübelerinden faydalandığım hocam Prof. Dr. Baki KARLIĞA’ya teşekkürü bir borç bilirim. vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET………………………………………………………………………………...iv ABSTRACT…………………………………………………………………………..v TEŞEKKÜR………………………………………………………………………….vi İÇİNDEKİLER……………………………………………………………………...vii ŞEKİLLERİN LİSTESİ……………………………………………………………...ix 1. GİRİŞ………………………………………………………………………………1 2. TEMEL KAVRAMLAR…………………………………………………………..2 2.1. Öklid Uzayı...………………………………………………………………….2 2.2. Küresel Uzay…………………………………………………………………..5 2.3. Minkowski Uzayı...……………………………………………………………8 2.4. Hiperbolik Uzay……………………………………………………………...12 2.5. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Uzaylarda Tanımlar………………………14 3. ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ ÇOKGENLERİN GRAM MATRİSİ VE ÖKLİDYEN DÜZLEMDEKİ ÇOKGENLERİN GRAM MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ…..16 3.1. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Çokgenlerin Gram Matrisi………………..16 3.2. Ökldyen Düzlemdeki Çokgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri……………………………………………………………………..17 4. ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ……………………………………………………………………..26 4.1. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram Matrisi………………………………………………………………………..26 4.2. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik Polinomu…………………………………………...27 viii 4.3. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri………………………..................................................28 5. ÖKLİDYEN DÜZLEMDEKİ BAZI ÖZEL DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSLERİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ…....................................31 5.1. Öklidyen Düzlemdeki Dörtgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri……………………………………………………………………..31 5.2. Öklidyen Düzlemdeki Paralelkenarın Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri……………………………………………………………………..32 5.3. Öklidyen Düzlemdeki Yamuğun Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri……………………………………………………………………..34 5.3.1. Öklidyen düzlemdeki ikizkenar yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri………………………………………………...36 5.3.2. Öklidyen düzlemdeki dik yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri……………………………………………………………….37 5.4. Öklidyen Düzlemdeki Deltoidin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri……………………………………………………………………..40 5.5. Öklidyen Düzlemdeki Dikdörtgenin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri……………………………………………………………………..42 6. KÜRESEL DÜZLEMDEKİ KARENİN GRAM MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ…………………………………….................45 7. HİPERBOLİK DÜZLEMDEKİ BAZI ÖZEL DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSLERİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ…....................................48 7.1. Hiperbolik Saccheri Dörtgeninin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri……………………………………………………………………..48 7.2. Hiperbolik Lambert Dörtgeninin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri……………………………………………………………………..50 8. SONUÇ…………………………………………………………………………...53 KAYNAKLAR……………………………………………………………………...54 ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………55 ix ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekil Sayfa Şekil 3.1. Çokgen……………………………………………………………………16 Şekil 4.1. Dörtgen…………………………………………………………………...26 Şekil 5.1. Öklidyen paralelkenar……………………………………………………32 Şekil 5.2 Öklidyen yamuk…………………………………………………………...34 Şekil 5.3. Öklidyen ikizkenar yamuk………………………………………………..36 Şekil 5.4 Öklidyen dik yamuk………………………………………………………38 Şekil 5.5 Öklidyen deltoid…………………………………………………………..40 Şekil 5.6. Öklidyen dikdörtgen……………………………………………………...43 Şekil 6.1. Küresel kare………………………………………………………………45 Şekil 7.1. Hiperbolik Saccheri dörtgeni……………………………………………..48 Şekil 7.2. Hiperbolik Lambert dörtgeni……………………………………………..50 1 1. GİRİŞ Ren Guo ve Ying Wang Öklidyen, küresel ve hiperbolik üçgenlerin gram matrislerinin karakteristik değerlerini bularak bunlar arasındaki ilişkileri inceledi [1]. Bu çalışmada Öklidyen, küresel ve hiperbolik düzlemlerdeki dörtgenlerin gram matrislerinin karakteristik değerlerini elde ettik. Ayrıca Öklidyen, küresel ve hiperbolik düzlemlerdeki bazı özel dörtgenlerin gram matrislerinin karakteristik değerlerini bularak, bu karakteristik değerler arasındaki bağıntıları inceledik. 2 2.TEMEL KAVRAMLAR 2.1. Öklid Uzayı n 〈, 〉 : IR n × IR n → IR , 〈 x, y〉 = ∑ x i yi şeklindeki iç çarpım ile donatılmış IRn vektör i =1 uzayı ile eşleşen IRn uzayına n-boyutlu Öklid uzayı denir. Bu uzaydaki iç çarpımdan doğan norm fonksiyonu . : IR n → IR + ∪ {0} , x = 〈 x, x 〉 şeklinde tanımlanır [2]. 2.1. Tanım x, y ∈ IRn olmak üzere iki vektör arasındaki Öklidyen uzaklık d E (x, y) = x − y şeklinde tanımlanır [2,3]. 2.2. Tanım IRn üzerinde tanımlanan dE metriğine Öklid metriği denir [3]. 3 2.3. Tanım [a, b ] , IR de kapalı bir aralık ve a < b olmak üzere γ : [ a, b ] → X sürekli fonksiyonuna X metrik uzayında bir eğri denir. Eğer X=En ise γ eğrisinin lineer olması için gerek ve yeter şart ∀t ∈ [ a, b ] için γ (a + t(b − a)) = γ (a) + t( γ (b) − γ (a)) olmasıdır [2]. 2.4. Tanım En nin x, y, z gibi üç noktası için y = x + t(z − x) olacak şekilde bir t ∈ [ 0,1] reel sayısı varsa bu üç noktaya Öklidyen doğrusaldır denir [2]. 2.5. Tanım [a, b ] , IR de kapalı bir aralık ve a < b olmak üzere α : [ a, b ] → X dönüşümü uzunluk koruyan sürekli fonksiyon ise α ya X metrik uzayında bir jeodezik yay denir [2]. 2.6. Tanım Bir X metrik uzayında x, y ∈ X için α : [ a, b ] → X jeodezik yayının görüntüsüne başlangıç noktası x, bitiş noktası y olan jeodezik doğru parçası denir [2]. 4 2.7. Tanım X bir metrik uzay olsun, x, y ∈ X ayrık çifti için x ve y yi içeren bir tek jeodezik parça varsa X metrik uzayına jeodezik olarak konvekstir denir [2]. 2.8. Tanım λ : IR → X jeodezik yayına X metrik uzayında jeodezik doğru denir [2]. 2.1. Sonuç En nin jeodezikleri kendisinin doğrularıdır [2]. 2.9. Tanım P,Q ∈ IR 2 için α : IR → IR 2 , α(t) = (1 − t)P + tQ dönüşümüne P ve Q noktalarından geçen doğru denir [4]. 2.10. Tanım α : [0,1] → IR 2 dönüşümüne P ve Q ile sınırlı doğru parçası denir [4]. 5 2.11. Tanım H(A, N) = {x ∈ IR n +1 : 〈 AX, N 〉 = 0} kümesine IRn+1 in A noktasından geçen ve normali N olan hiperdüzlemi denir [4]. 2.12. Tanım En Öklidyen uzayda bir koordinat sistemi {x1 , x 2 ,..., x n } olmak üzere n ∑a x i i +b=0 i =1 ile tanımlanan hiperdüzlem H olsun. En de n H1 = P : ∑ a i x i (P) + b > 0(< 0), P ∈ E n i =1 şeklinde tanımlanan kümeye yarı uzay denir [3]. H ∪ H1 kümesine kapalı yarı uzay denir [2]. 2.2. Küresel Uzay n-boyutlu küresel geometri için standart model { } Sn = x ∈ IR n : x = 1 ile tanımlanan IRn+1 in Sn birim küresidir. Sn üzerindeki Öklidyen metrik 6 d E (x, y) = x − y ile verilir. Fakat bu metrik IRn+1 in vektör yapısına dayanılarak verildiğinden Sn ye özgü bir metrik değildir [2]. 2.13. Tanım x, y ∈ Sn iki vektör ve bu iki vektör arasındaki Öklidyen açı θ(x, y) olsun. x ve y arasındaki küresel uzunluk dS (x, y) = θ(x, y) şeklinde bir reel sayıdır. Burada 0 ≤ dS (x, y) ≤ π ve dS (x, y) = π olması için gerek ve yeter şart y = − x olmasıdır. Eğer y = − x ise x ve y vektörleri antipodaldir denir [2,5]. 2.1. Teorem dS küresel uzunluk fonksiyonu Sn üzerinde bir metriktir [2,5]. İspat [5] den görülür. 2.14. Tanım dS metriği ile birlikte Sn kümesine n-boyutlu küresel uzay denir [2,5]. 7 2.15. Tanım IRn+1 in iki boyutlu alt vektör uzayı ile Sn nin arakesitine Sn nin büyük çemberi denir. x, y ∈ Sn lineer bağımsız iki farklı nokta iken V(x, y) = Sp{x, y} olmak üzere S(x, y) = Sn ∩ V(x, y) kümesine, x ve y noktaları tarafından belirlenen Sn nin büyük çemberi denir [2]. Sn nin jeodezikleri onun büyük çemberleridir [2]. 2.16. Tanım P, Q ∈ Sn için α : IR → Sn , α (t) = cos tP + sin t (Q − 〈 P, Q〉 P) Q − 〈 P, Q〉 P dönüşümüne P ve Q noktalarından geçen küresel doğru denir [4]. 2.17. Tanım α : [0, a] → Sn , α (t) = cos tP + sin t (Q − 〈 P, Q〉 P) dönüşümüne P ve Q ile sınırlı sin a doğru parçası denir[4]. 2.18. Tanım H(A, N) = {x ∈ IR n +1 : 〈 AX, N〉 = 0} ∩ Sn hiperdüzlemi denir [4]. kümesine Sn nin (n-1)-boyutlu 8 2.3. Minkowski Uzayı V reel vektör uzayı 〈, 〉 L : V × V → IR simetrik, bilineer ve non-dejenere dönüşüme V üzerinde bir Lorentz iç çarpım denir. (V, 〈, 〉 L ) ikilisine de Lorentz uzayı denir [6]. Özel olarak; 〈, 〉 L : IR n × IR n → IR , 〈 x, y〉 L = −x1 y1 + ... + x n −1 yn −1 + x n yn şeklindeki iç çarpım ile donatılmış IRn uzayına Minkowski uzayı denir ve IR 1n ile gösterilir. Bundan sonra bu tezde Minkowski uzayı yerine Lorentz uzayı kullanılacaktır. 1 . : IR n → IR + ∪ {0} , x = 〈 x, x 〉 2 şeklinde tanımlı fonksiyona Lorentz norm denir. 2.19. Tanım d L : IR 1n × IR 1n → IR + ∪ {0} , d L (x, y) = x − y şeklinde tanımlı dL fonksiyonuna Lorentz metriği denir [2]. 9 2.20. Tanım 〈 x, x〉 > 0 ise uzay benzeri (spacelike), 〈 x, x〉 < 0 ise zaman benzeri (timelike) ve 〈 x, x〉 = 0 ise ışık benzeri (lightlike veya null) vektörler denir [2]. 2.21. Tanım C n −1 = {x ∈ IR 1n : 〈 x, x 〉 = 0 } kümesine ışık konisi denir. {x ∈ IR 1n : 〈 x, x 〉 > 0} ve {x ∈ IR 1n : 〈 x, x 〉 < 0} kümelerine de sırasıyla Cn-1 in içi ve dışı denir [2,7,8] 2.22. Tanım x zaman benzeri vektörü x1 > 0 özelliğini sağlıyorsa pozitif zaman benzeri (timelike), x1 < 0 özelliğini sağlıyorsa negatif zaman benzeri (timelike) vektör denir [2,7,8] 2.23. Tanım ∀x, y ∈ IR 1n , x ≠ 0 ve y ≠ 0 için 〈 x, y〉 L = 0 oluyorsa x, y vektörlerine Lorentz ortogonaldir denir [6]. 2.2. Teorem x, y vektörleri, IR 1n de sıfırdan farklı Lorentz ortogonal iki vektör olsun. Eğer x vektörü zaman benzeri ise y vektörü uzay benzeridir [2]. 10 İspat [2] sayfa 60-61 den görülebilir. 2.1. Önerme IR 1n nin bir V alt vektör uzayının; (i) Zaman benzeri olması için gerek ve yeter şart V nin en az bir zaman benzeri vektöre sahip olmasıdır. (ii) Uzay benzeri olması için gerek ve yeter şart V deki sıfırdan farklı her vektörün uzay benzeri olmasıdır. (iii) Işık benzeri olması için gerek ve yeter şart V deki sıfırdan farklı her vektör için 〈 x, x〉 L = 0 olmasıdır [2,8]. İspat [2] sayfa 61 den görülebilir. 2.24. Tanım x ve y, IR 1n de pozitif (negatif ) zaman benzeri iki vektör iken 〈 x, y〉 L = − x y cosh η(x, y) olacak şekilde negatif olmayan bir tek η(x, y) reel sayısı vardır. η(x, y) reel sayısına Lorentz zaman benzeri (timelike) açı denir [2,7]. 11 2.25. Tanım (Timelike vektörler arasındaki timelike açı) x ve y Rn nin pozitif (negatif) timelike vektörleri olsun. η(x, y) negatif olmayan bir reel sayı olmak üzere 〈 x, y〉 L = x y cosh η(x, y) dir. Buna göre x ve y arasındaki Lorentz timelike açı η(x, y) dir. Eğer η(x, y) = 0 ise x ve y birbirlerinin pozitif skalar çarpımıdır [2]. 2.26. Tanım (Spacelike vektörler arasındaki spacelike açı) x ve y , IR n +1 in spacelike vektörleri olsun. Böylece 0 ve π arasında bir tek η(x, y) reel sayısı vardır ki 〈 x, y〉 L = x y cosh η(x, y) dir. η(x, y) x ve y arasındaki Lorentz spacelike açı olarak tanımlanır [2]. 2.27. Tanım (Spacelike vektörler arasındaki timelike açı) x ve y, timelike alt vektör uzayı tarafından gerilen IR n +1 in spacelike vektörleri olsunlar. Bir tek η(x, y) reel sayısı vardır ki 〈 x, y〉 L = x y cosh η(x, y) dir. η(x, y) reel sayısına x ve y arasındaki Lorentz timelike açı denir [2]. 12 2.28. Tanım (Timelike ve spacelike vektörler arasındaki açı) IR n +1 de x spacelike vektör ve y pozitif timelike vektör olsun. Böylece bir tek negatif olmayan η(x, y) reel sayısı vardır ki 〈 x, y〉 L = x y sinh η(x, y) dir. x ve y arasındaki Lorentz timelike açı η(x, y) ile tanımlanır [2]. 2.4. Hiperbolik Uzay { } H 0n = x ∈ IR 1n +1 : 〈 x, x 〉 = −1 uzayının iki bağlantılı bileşeni H 0,n + ve H 0,n − olmak üzere, bu bileşenlerin her biri n-boyutlu hiperbolik uzayın modeli olarak alınabilir. Biz literatüre bağlı kalarak hiperbolik uzayın modeli olarak pozitif bileşeni göz önüne alacağız, yani H 0,n + = H n ⊂ IR 1n +1 olarak alacağız [2]. 2.29. Tanım x, y ∈ H n ⊂ IR 1n +1 ve x ile y arasındaki Lorentz zaman benzeri açı η(x, y) olsun. x ve y arasındaki hiperbolik uzunluk d H (x, y) = η(x, y) şeklinde tanımlı bir reel sayıdır. 〈 x, y〉 L = − x y cosh η(x, y) olduğundan 13 cosh dH (x, y) = −〈 x, y〉 L olur [2,8]. 2.3. Teorem d H hiperbolik uzunluk fonksiyonu H n üzerinde bir metriktir [2]. İspat [2] den görülebilir. 2.30. Tanım d H metriği ile birlikte H n uzayı hiperbolik n-uzay olarak adlandırılır [2]. 2.31. Tanım H n nin bir doğrusu IR 1n +1 in iki boyutlu zaman benzeri alt vektör uzayı ile H n nin arakesitidir. x, y ∈ Hn vektörleri IR n +1 in V(x,y) ile gösterilen iki boyutlu bir zaman benzeri alt uzayını gererler. Böylece L(x, y) = Hn ∩ V(x, y) , x den geçen y yi içeren H n nin doğrusudur [2]. Buna göre Hn nin jeodezikleri onun doğrularıdır. 14 2.32. Tanım P,Q ∈ Hn için α : IR → Hn , α (t) = cosh tP + sinh t (Q + 〈 P, Q〉 P) Q + 〈 P, Q〉 P dönüşümüne P ve Q noktalarından geçen hiperbolik doğru denir [4]. 2.33. Tanım α :[0,a] → Hn , α (t) = cosh tP + sinh t (Q + 〈 P, Q〉 P) dönüşümüne P ve Q ile sınırlı sinh a hiperbolik doğru parçası denir [4]. 2.34. Tanım H(A, N) = {x ∈ IR n +1 : 〈 AX, N〉 = 0} ∩ H n kümesine Hn nin (n-1)-boyutlu hiperdüzlemi denir [4]. 2.35. Tanım H n nin bir hiperbolik 1-düzlemi onun hiperbolik doğruları, hiperbolik (n-1)-düzlemi onun hiperdüzlemi olarak adlandırılır [2]. 2.5. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Uzaylarda Tanımlar Aşağıda vereceğimiz tanımlarda X = En, Sn, Hn olarak alınacaktır. 15 2.36. Tanım X in bir alt kümesi C olsun. Her x, y ∈ C ayrık çifti için x ve y yi içeren doğru parçası C de kalıyorsa ( X = Sn için y ≠ x ), C kümesine konveks küme denir [2]. 2.37. Tanım X de bir konveks alt küme C olsun. ∂C nin boştan farklı en büyük konveks alt kümesine C nin bir kenarı denir [2]. 2.38. Tanım X de bir konveks polihedron, boştan farklı sonlu sayıda Hi kapalı yarı uzaylarının arakesitinden oluşur ve k P = ∩ Hi i =1 şeklinde ifade edilir [8]. 16 3. ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ ÇOKGENLERİN GRAM MATRİSİ VE ÖKLİDYEN DÜZLEMDEKİ ÇOKGENLERİN GRAM MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ 3.1. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Çokgenlerin Gram Matrisi N1 Nn P1 P2 N2 l1 Nn - 1 ln - 1 l2 P3 Pn ln l3 N3 Pn - 1 P4 Şekil 3.1. Çokgen P1P2 … Pn Öklidyen ise N1, N2, … Nn ler [P1P2], [P2P3], … [PkP1] larının dış birim normalleri, küresel veya hiperbolik ise Ni ler ayrıtların bulunduğu düzlemlerin dış birim normalleri olmak üzere; <Ni, Ni> = 1 <Ni, Ni + 1> = –cosθi <Ni, Nj> = 0, i ≠ j ≠ i + 1 1 , j=i <Ni, Nj> = gij = − cos θi , j = i + 1 0 , i ≠ j ≠ i +1 17 3.1. Tanım Gn = [gij]nxn matrisine n–genin gram matrisi denir [1]. 1 − cos θ 1 Gn = 0 0 − cos θn − cos θ1 1 0 0 − cos θ2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 − cos θn −1 − cos θn −1 1 − cos θn 0 0 (3.1) i = 1,2,…,n için cosθi = ci olmak üzere Eş. 3.1 de verilen Gn matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir. 1 −c 1 Gn = 0 0 −cn −c1 1 0 0 −c 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 −c n −1 −c n −1 1 −c n 0 0 (3.2) 3.2. Öklidyen Düzlemdeki Çokgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri 3.1. Lemma n ≥ 4 için µ1, …, µn Gn gram matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere; n n 2 µ µ = ci ∑ i j 2 − ∑ 1≤i< j≤ n i=1 (3.3) 18 n n µ µ µ = − (n − 2) ci 2 ∑ ∑ i j k 3 1≤i< j< k ≤ n i =1 (3.4) dir [1]. İspat Eş. 3.2 de verilen Gn gram matrisinin karakteristik polinomu det(Gn – µI) = (–1)n (µ – µ1) (µ – µ2) (µ – µ3)…(µ – µn) = (–1)n (µn – σ1µn – 1 + σ2µn – 2 – σ3µn – 3 + …) şeklindedir. Burada σ2 = ∑ µi µ j 1≤i < j≤ n σ3 = ∑ µi µ jµ k µi µ j = ∑ 0 ≤i < j< k ≤ n dir. ∑ 1≤i < j≤ n 1≤i < j≤ n g ii g ji gij g jj Gn nin bütün ikinci sıra köşegen minörlerinin toplamı ve (3.5) 19 ∑ µi µ jµ k = 0 ≤i < j< k ≤ n ∑ 1≤i < j< k ≤ n g ii g ji g ij g jj g ik g jk g ki g kj g kk (3.6) Gn nin bütün üçüncü sıra köşegen minörlerinin toplamı olduğundan Eş. 3.3 ve Eş. 3.4 ü göstermek için Eş. 3.5 ve Eş. 3.6 hesaplanmalıdır. Gn nin 2x2 tipindeki asli alt matrisleri aşağıdaki şekildedir. PSij = gii g ji gij g jj Eğer iki satır yan yana yani j = i + 1 ise PSij = 1 −ci −ci 1 şeklindedir. Buradan det (PSij) = 1 – ci2 dir ve bu şekilde n-tane (i, j) ikilisi vardır. Eğer iki satır yan yana değilse PSij = 1 0 0 1 şeklindedir. Buradan 20 det (PSij) = 1 n dir ve bu şekilde – n tane (i, j) ikilisi vardır. Bu değerleri Eş. 3.5 te yerine 2 yazarak; ∑ µi µ j = 1≤i < j≤ n ∑ (1 − c 2 i 1≤i≤ n n n n ) + − n = − ∑ ci 2 2 2 i=1 elde edilir. Eş. 3.4 ü göstermek için Gn nin ijk PS g ii = g ji g ij g jj g ik g jk g ki g kj g kk 3 × 3 tipindeki asli alt matrisleri incelenir. Bu şekildeki matrislerin determinantlarını hesaplamak için üç farklı duruma bakılır. İlk olarak üç satırın yan yana olması yani k = j + 1 = i + 2 durumunda ijk PS −1 = −ci 0 −ci 1 0 −c j −c j 1 şeklindedir. Buradan det(PSijk) = 1 – ci2 – cj2 = 1 – ci2 – ci + 12 21 dir ve bu durumu sağlayan n-tane (i, j, k) üçlüsü vardır. İkinci olarak iki satır yan yana ve üçüncünün her ikisinin de yanında olmaması yani j = i + 1, k ≠ i – 1, k ≠ j+ 1 durumunda ijk PS −1 = −ci 0 −ci 1 0 0 0 1 şeklindedir. Buradan det(PSijk) = 1 – ci2 dir ve i–inci satırı seçmek için n farklı yol ve her bir i–inci satır için (n – 4) tane olası k vardır. Üçüncü olarak herhangi iki satırın yan yana olmaması yani birinci durumun da ikinci durumun da olmaması durumunda ijk PS 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 şeklindedir. Buradan det(PSijk) = 1 n dir ve bu durumu sağlayan − n − n(n − 4) tane (i, j, k) üçlüsü vardır. Bu değerleri 3 Eş. 3.6 da yerine yazarak; 22 ∑ 1≤i < j< k ≤ n µi µ jµk = (n − 2) ∑ ci 2 + 1≤i ≤ n ∑ (n − 4)(1 − c i 1≤i ≤ n 2 n ) + − n − n(n − 4) 3 n n = − (n − 2)∑ ci 2 i =1 3 elde edilir [1]. 3.1. Teorem n ≥ 4 için µ1 ≤ µ2 ≤ … ≤ µn Gn matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere; n n (i) n – çift iken − n ≤ ∑ µi µ j ≤ ve i< j 2 2 n n 3 − (n − 2)n ≤ ∑ µi µ jµk ≤ 3 . i < j< k ∑µ µ i j ve i< j ∑µµµ i j k değerlerinin her ikisinin i < j< k de minimum olması için gerek ve yeter şart n–genin bir doğru parçasına dönüşmesidir. Maksimum olması için gerek ve yeter şart n–genin açılarının; π π 3π 3π ,..., , ,..., şeklinde olmasıdır. 2 2 2 2 n +2 2 n −2 2 n n (ii) n tek ve n ≥ 7 iken, − n ≤ ∑ µi µ j ≤ − 1 ve i< j 2 2 n n − (n − 2)n ≤ ∑ µi µ jµk ≤ − (n − 2). i < j< k 3 3 ∑µ µ i i< j j ve ∑µµµ i j k değerlerinin her i < j< k ikisinin de minimum olması için gerek ve yeter şart n–genin bir doğru parçasına dönüşmesidir. Maksimum olması için gerek ve yeter şart n–genin açılarının; 0<a < (2k − 1)π , k = 1, 2, 3, 4 için 2 23 a, (2k − 1)π π π 3π 3π π π 3π 3π − a, ,..., , ,..., veya 0, ,..., , ,..., 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n + 2k −3 2 n − 2k −1 2 n +1 2 n −3 2 şeklinde olmasıdır. (iii) n = 5 iken ∑µ µ i j ve i< j ∑µµµ i j k değerlerinin üst sınırları sırasıyla i < j< k n n 3π 2 2π 2 2π ve − (n − 2) 5cos tir ve bu θ1 = …= θ5 = olduğunda 5cos 5 5 5 3 2 gerçekleşir. ∑µ µ i j ve i< j ∑µµµ i j k değerlerinin alt sınırları ise (ii) deki ile aynıdır i < j< k [1]. İspat Lemma 3.1 e göre, Teorem 3.1 i ispatlamak için n Ω En = ( θ1 , θ 2 ,..., θ n ) ∑ θi = (n − 2) π, 0 ≤ θi ≤ 2 π, i = 1,..., n i =1 n kompakt kümesi üzerinde tanımlı f = ∑ ci 2 fonksiyonunun ekstremum değerleri i =1 bulunmalıdır. n 0 ≤ ∑ ci 2 ≤ n i =1 olduğu açıktır. n–gen (0, 0, π, …, π) açıları ile bir doğru parçasına dönüştüğünde üst n sınır yani ∑c i =1 2 i = n olur. 24 π 3π veya iken alt sınır yani 2 2 1 ≤ i ≤ n için θi = n ∑c 2 i = 0 olur. n1 ve n2 sırasıyla i =1 π 3π ve ölçülü açıların sayılarını göstermek üzere 2 2 n1 + n2 = n π 3π n1 . + n 2 . = (n − 2)π 2 2 Buradan n1 = n + 2 ve 2 n2 = n −2 2 bulunur. n1 ve n2 tam sayı olduğundan n nin çift olması gerekir. n=4 iken bu açılar bir dikdörtgene ait olur. n=6 iken bu açılar büyük bir dikdörtgenin köşesinden küçük bir dikdörtgen çıkarılarak elde edilen çokgene aittir. Bu çıkarma işlemine devam ederek bu açıları sağlayan (n çift) n–gen oluşturulabilir. Bu şekildeki bir n–gen tek değildir. n n tek iken ∑c 2 i nin minimumunu incelemek için ΩEn kompakt kümesinde i =1 n f = ∑ ci 2 fonksiyonu tanımlansın. Lagrange çarpım metoduyla bir kritik nokta için i =1 aşağıdaki durumlar elde edilir. 25 Herhangi i, j ve θi ∈ ΩEn için sin2θi=sin2θj yani θi=θj veya θi+θj= π 3π 5π 7π , , veya 2 2 2 2 Her i, j için θi=θj ise f=ncos2 (n − 2)π 2π 2π = n cos2 > 1 , fakat n ≥ 7 ise 5cos2 <1 n n 5 k = 1, 2, 3 veya 4 için θi + θj = (2k − 1)π eşitliğini sağlayan en az bir çift θi ve θj 2 varsa ci2 + cj2 = 1 olacağından f ≥ 1 dir. ΩEn sınırındaki f değerlerini alarak, örneğin bir yüzü olarak θi = 0 yani ci = 1, f ≥ 1 elde edilir. Özetle n = 5 iken fmin = 5cos2 2π 3π < 1 değeri, i = 1,…,5 için θi = olduğunda 5 5 sağlanır. n ≥ 7 ve tek iken fmin = 1 ve bunu sağlayan pek çok durum vardır. Bunlardan bir örnek 0 < a < a, (2k − 1)π , k = 1, 2, 3, 4 için 2 (2k − 1)π π π 3π 3π − a, ,..., , ,..., 2 2 2 2 2 n + 2k −3 2 açılı n–gendir. n − 2k −1 2 π π 3π 3π 0, ,..., , ,..., açılarına sahip n–gendir [1]. 2 2 2 2 n +1 2 n −3 2 Bir diğer örnek ise 26 4. ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ 4.1. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram Matrisi N4 P4 θ3 l4 P1 θ4 l3 N3 l1 N1 θ1 l2 P2 θ2 P3 N2 Şekil 4.1. Dörtgen Eş. 3.2 de özel olarak n = 4 alındığında bir dörtgenin gram matrisi ci ler cinsinden aşağıdaki gibi elde edilir. 1 −c G4 = 1 0 −c 4 −c1 0 1 −c 2 −c 2 1 0 −c3 −c 4 0 −c3 1 (4.1) 27 4.2. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik Polinomu Eş. 4.1 de verilen G4 matrisinin karakteristik polinomu ci ler cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir. PG 4 (µ ) = det(G4 –µI) =µ4 – 4µ3 + (6 – c12 – c22 – c32 – c42) µ2 + (2c12 + 2c22 + 2c32 + 2c42 – 4) µ + 1 – c12 – c22 – c32 – c42 + c12c22 + c22c32 – 2c1c2c3c4 (4.2) Diğer yandan G4 matrisinin µ1, µ2, µ3, µ4 karakteristik değerleri cinsinden karakteristik polinomu aşağıdaki şekildedir. PG 4 (µ) = (µ – µ1) (µ – µ2) (µ – µ3) (µ – µ4) =µ4 – (µ1 + µ2 + µ3 + µ4)µ3 + (µ1µ2 + µ1µ3 + µ1µ4 + µ2µ3 + µ2µ4 + µ3µ4)µ2 – (µ1µ2µ3 + µ1µ2µ4 + µ1µ3µ4 + µ2µ3µ4)µ – µ1µ2µ3µ4 (4.3) Eş. 4.2 ve Eş. 4.3 ten µ1, µ2, µ3, µ4 karakteristik değerleri aşağıda eşitlikleri sağlar. µ1 + µ2 + µ3 + µ4 = 4 µ1µ2 + µ1µ3 + µ1µ4 + µ2µ3 + µ2µ4 + µ3µ4 = 6 – c12 – c22 – c32 – c42 (4.4) µ1µ2µ3 + µ1µ2µ4 + µ1µ3µ4 + µ2µ3µ4 = 4 – 2c12 – 2c22 – 2c32 – 2c42 (4.5) µ1µ2µ3µ4 = 1 – c12 – c22 – c32 – c42 + c12c32 + c22c42 – 2c1c2c3c4 (4.6) 28 4.3. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram Matrislerinin Karakteristik Değerleri f = c12 + c22 + c32 + c42, g = c12c32 + c22c42 – 2c1c2c3c4 = (c1c3 – c2c4)2 (4.7) alarak Eş. 4.2 de yerine yazılırsa PG 4 (µ) = µ4 – 4µ3 + (6 – f) µ2 + (2f – 4)µ + 1 – f + g (4.8) bulunur. Eş. 4.8 de µ = λ + 1 dönüşümü uygulanarak λ4 – fλ2 + g = 0 (4.9) elde edilir. Eş. 4.9 un λ1, λ2, λ3, λ4 kökleri λ1 = − λ2 = − λ3 = f + f 2 − 4g 2 f − f 2 − 4g 2 f − f 2 − 4g 2 , , , 29 λ4 = f + f 2 − 4g 2 şeklinde bulunur. Bunları µ = λ + 1 dönüşümünde kullanarak G4 ün µ1, µ2, µ3, µ4 karakteristik değerleri µ1 = 1 − µ2 = 1 − µ3 = 1 + µ4 = 1 + f + f 2 − 4g 2 f − f 2 − 4g 2 f − f 2 − 4g 2 , , , f + f 2 − 4g (4.10) 2 şeklinde elde edilir. f ve g nin Eş. 4.7 deki değerleri Eş. 4.10 da yerine yazılarak G4 ün karakteristik değerleri aşağıdaki gibi bulunur. µ1 = 1 − µ2 = 1 − cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 + (cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 ) 2 − 4(cos θ1 cos θ3 − cos θ2 cos θ4 ) 2 , cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 − (cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 ) 2 − 4(cos θ1 cos θ3 − cos θ2 cos θ4 ) 2 , 30 µ3 = 1 + µ4 = 1 + cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 − (cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 ) 2 − 4(cos θ1 cos θ3 − cos θ2 cos θ4 ) 2 cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 + (cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 ) 2 − 4(cos θ1 cos θ3 − cos θ2 cos θ4 ) 2 Bu karakteristik değerler sıralanmak istenirse µ1 ≤ µ2 ≤ µ3 ≤ µ4 olur. , . 31 5. ÖKLİDYEN DÜZLEMDEKİ BAZI ÖZEL DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSLERİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ 5.1. Öklidyen Düzlemdeki Dörtgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri Öklidyen düzlemdeki bir dörtgenin µ1, µ2, µ3, µ4 karakteristik değerleri için h(µ1 , µ 2 , µ3 , µ4 ) = ∑ µ µ , t(µ1 , µ2 , µ3 , µ4 ) = ∑ µ µ µ i j i< j i j k , s(µ1 , µ2 , µ3 , µ4 ) = µ1µ2 µ3µ4 i < j< k olmak üzere; Eş. 4.4 ve Eş. 4.7 den h (µ1,µ2,µ3,µ4) = 6 – f (5.1) Eş. 4.5 ve Eş. 4.7 den t(µ1,µ2,µ3,µ4) = 4 – 2f (5.2) Eş. 4.6 ve Eş. 4.7 den s(µ1,µ2,µ3,µ4) = 1 – f + g (5.3) dir. Teorem 3.1 den n = 4 özel hali için aşağıdaki teorem verilebilir. 5.1. Teorem 2 ≤ h ≤ 6 ve –5 ≤ t ≤ 4 tür. h ve t fonksiyonlarının minimum değerini alması için gerek ve yeter şart dörtgenin bir doğru parçasına dönüşmesidir ve maksimum değerini alması için gerek ve yeter şart dörtgenin açılarının θ1 = θ2 = θ3 = θ4 = şeklinde olmasıdır. π 2 32 5.2. Öklidyen Düzlemdeki Paralelkenarın Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri 5.1. Tanım Öklidyen düzlemde karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene Öklidyen paralelkenar denir [9]. N P1 l4 = l2 θ4 N1 θ3 l3 = l1 θ1 l2 P2 P4 N3 θ2 P3 N2 Şekil 5.1. Öklidyen paralelkenar Öklidyen paralelkenarın açıları 0 < θ < π için θ1 = θ, θ2 = π – θ, θ3 = θ, θ4 = π – θ şeklindedir. Bu değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak f = 4cos2θ, g = 0 (5.4) bulunur. Eş. 5.4 teki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak µ1 = 1 – 2cosθ, µ2 = µ3 = 1, µ4 = 1 + 2cosθ (5.5) 33 elde edilir. Eş. 5.5 ten aşağıdaki sonuç verilebilir. 5.1. Sonuç µ1, µ2, µ3, µ4 bir Öklidyen paralelkenarın gram matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere; (i) –1 < µ1, µ4 < 3, (ii) µ2 = µ3 = 1 dir. Eş. 5.4 teki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak h = 6 – 4cos2θ, t = 4 – 8cos2θ = –4cos2θ, s = 1 – 4cos2θ bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir. 5.2. Sonuç Öklidyen paralelkenarın gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak üzere; (i) 2 < h < 6, (ii) –4 < t< 4, 34 (iii) –3 < s < 1. 5.3. Öklidyen Düzlemdeki Yamuğun Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri 5.2. Tanım Öklidyen düzlemde yalnız iki kenarı paralel olan dörtgene Öklidyen yamuk denir. Paralel olan kenarlar yamuğun tabanları, diğer kenarlar ise yamuğun yan kenarları ya da kollarıdır [9]. N4 P1 θ4 N1 l4 l1 θ1 θ3 P4 l3 l2 N3 θ2 P2 P3 N2 Şekil 5.2. Öklidyen yamuk Öklidyen yamuğun açıları θ1 = θ1, θ2 = θ2, θ3 = π – θ2 ve θ4 = π – θ1 şeklindedir. Bu değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak; f = 2(cos2θ1 + cos2θ2) = 2 + cos2θ1 + cos2θ2, g = 0 bulunur. Eş. 5.6 daki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak (5.6) 35 µ1 = 1 − 2(cos 2 θ1 + cos 2 θ2 ) = 1 − 2 + cos 2θ1 + cos 2θ2 , µ2 = µ3 = 1, µ4 = 1 + 2(cos 2 θ1 + cos 2 θ2 ) = 1 + 2 + cos 2θ1 + cos 2θ2 (5.7) elde edilir. Eş. 5.7 den aşağıdaki sonuç verilebilir. 5.3. Sonuç µ1, µ2, µ3, µ4 bir Öklidyen yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere; (i) –1 < µ1 < 1, (ii) µ2 = µ3 = 1, (iii) 1 < µ4 < 3 tür. Eş. 5.6 daki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak h = 4 – cos2θ1 – cos2θ2, t = –2(cos2θ1 + cos2θ2), s = –1 + cos2θ1 + cos2θ2 bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir. 36 5.4. Sonuç Öklidyen yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak üzere; (i) 2 < h < 6, (ii) –4 < t < 4, (iii) –3 < s < 1. 5.3.1. Öklidyen düzlemdeki ikizkenar yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri 5.3. Tanım Yan kenarlarının uzunlukları eşit olan Öklidyen yamuğa Öklidyen ikizkenar yamuk denir [9]. N4 P1 θ4 N1 l4 l1 θ1 θ3 P4 N3 l3 = l1 l2 P2 θ2 P3 N2 Şekil 5.3. Öklidyen ikizkenar yamuk 37 Öklidyen ikizkenar yamuğun açıları θ1 = θ, θ2 = θ, θ3 = π – θ, θ4 = π – θ şeklindedir. Bu değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak f = 4cos2θ, g = 0 (5.8) bulunur. Eş. 5.8 ve Eş. 5.4 aynı olduğundan aşağıdaki sonuç verilebilir. 5.5. Sonuç Öklidyen paralelkenar ve Öklidyen ikizkenar yamuğun herhangi bir açıları θ olmak üzere; gram matrislerinin karakteristik değerleri aynıdır. 5.3.2. Öklidyen düzlemdeki dik yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri 5.4. Tanım Yan kenarlarından biri tabanlarına dik olan Öklidyen yamuğa Öklidyen dik yamuk denir [9]. 38 N4 P1 θ4 l4 θ3 N3 l3 l1 N1 P4 θ1 l2 P2 θ2 P3 N2 Şekil 5.4. Öklidyen dik yamuk Öklidyen dik yamuğun açıları θ1 = π π , θ2 = θ, θ3 = π – θ, θ4 = şeklindedir. Bu 2 2 değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak; f = 2cos2θ, g = 0 (5.9) bulunur. Eş. 5.9 daki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak µ1 = 1 – 2 cosθ, µ2 = µ3 = 1, µ4 = 1 + 2 cosθ elde edilir. Eş. 5.10 dan aşağıdaki sonuç verilebilir. (5.10) 39 5.6. Sonuç µ1, µ2, µ3, µ4 bir Öklidyen dik yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere; (i) 1 – 2 < µ1,µ4 < 1 + 2, (ii) µ2 = µ3 = 1. dir. Eş. 5.9 daki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak h = 6 – 2cos2θ, t = 4 – 4cos2θ = 4sin2θ, s = 1 – 2cos2θ = –cos2θ bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir. 5.7. Sonuç Öklidyen dik yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak üzere; (i) 4 < h < 6, (ii) 0 < t < 4, (iii) –1 < s < 1. 40 5.4. Öklidyen Düzlemdeki Deltoidin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri 5.5. Tanım Öklidyen düzlemde köşegenlerinden biri iki ikizkenar üçgenin tabanı olan dörtgene “Öklidyen deltoid” denir [9]. P1 N1 θ4 l4 = l1 l1 P2 N4 θ3 P 4 θ1 l3 = l2 l2 N2 θ2 N3 P3 Şekil 5.5. Öklidyen deltoid Öklidyen deltoidin açıları θ1 = θ1, θ2 = θ2, θ3 = θ1 ve θ4 = θ4 şeklindedir. Bu değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak f = 2cos2θ1 + cos2θ2 + cos2θ4, g = (2cos2θ1 – cosθ2cosθ4)2 (5.11) bulunur. Eş. 5.11 deki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak µ1 = 1 − 2 cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ 4 + ( 4 cos 2 θ1 + (cos θ 2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 ) 2 2 , 41 µ2 = 1 − 1 4 + 2 cos 2θ1 + cos 2θ2 − 2 2 ( 4 cos 2 θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 ) 2 + cos 2θ4 , µ3 = 1 + 1 4 + 2 cos 2θ1 + cos 2θ2 − 2 2 ( 4 cos 2 θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 )2 + cos 2θ4 , µ4 = 1 + 2 cos 2 θ1 + cos 2 θ 2 + cos 2 θ 4 + ( 4 cos 2 θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 ) 2 2 2 θ1 + θ 2 + θ 4 = 2 π ⇒ θ1 = π − . (5.12) θ2 + θ4 θ + θ4 ⇒ cos θ1 = − cos 2 2 2 eşitliği Eş. 5.12 de yerine yazılarak 1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ4 + ( cos µ1 = 1 − 2 2 θ + θ4 θ2 + cos 2 θ4 ) + 4(cos θ2 + cos θ4 )2 cos 2 2 2 + cos(θ2 + θ4 ) 2 µ2 = 1 − 1 4 + 2 cos 2θ1 + cos 2θ2 − 2 2 ( 4 cos 2 θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 ) 2 + cos 2θ4 , µ3 = 1 + 1 4 + 2 cos 2θ1 + cos 2θ2 − 2 2 ( 4 cos 2 θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 )2 + cos 2θ4 , µ4 = 1 + 2 cos 2 θ1 + cos 2 θ 2 + cos 2 θ4 + ( 4 cos 2 θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ 4 ) 2 2 elde edilir. Eş. 5.11 deki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak , 42 h = 6 – 2cos2θ1 – cos2θ2 + cos2θ4, t = 4 – 4cos2θ1 – 2cos2θ2 – 2cos2θ4, s = 1 – (2cos2θ1 + cos2θ2 + cos2θ4) + (2cos2θ1 – cosθ2cosθ4)2 bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir. 5.8. Sonuç Öklidyen deltoidin gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak üzere; (i) 2 < h < 6, (ii) –4 < t < 4. 5.5. Öklidyen Düzlemdeki Dikdörtgenin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri 5.6. Tanım Açıları dik açı olan Öklidyen paralelkenara Öklidyen dikdörtgen denir [9]. 43 N4 P1 θ4 N1 l4 = l2 l3 = l1 l1 θ1 P2 P4 θ3 l2 N3 θ2 P3 N2 Şekil 5.6. Öklidyen dikdörtgen Öklidyen dikdörtgenin iç açıları θ1 = θ2 = θ3 = θ4 = π şeklindedir. Bu değerler 2 Eş. 4.7 de yerine yazılarak f = 0, g = 0 (5.13) bulunur. Eş. 5.13 deki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = 1 elde edilir. Eş. 5.14 ten aşağıdaki sonuç verilebilir. 5.9. Sonuç Öklidyen dikdörtgenin gram matrisinin karakteristik değerleri (5.14) 44 µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = 1 dir. Eş. 5.13, Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Teorem 5.1 den h = 6, t=4 bulunur. Eş. 5.13 ve Eş. 5.3 ten aşağıdaki sonuç elde edilir. 5.10. Sonuç µ1, µ2, µ3, µ4 bir Öklidyen dikdörtgenin gram matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere; s =1. 45 6. KÜRESEL DÜZLEMDEKİ KARENİN GRAM MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ 6.1. Tanım Bütün açıları ve kenar uzunlukları eş olan küresel dörtgene Küresel kare denir [10]. N4 P1 N1 θ4 l4 = l1 θ3 P4 l3 = l1 l1 θ1 P2 l2 = l1 N3 θ2 P3 N2 Şekil 6.1. Küresel kare Küresel karenin açıları π < θ < π için θ1 = θ2 = θ3 = θ4 = θ şeklindedir. Bu değerler 2 Eş. 4.7 de yerine yazılarak f = 4cos2θ, g = 0 bulunur. Eş. 6.1 deki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak (6.1) 46 µ1 = 1 – 2cosθ, µ2 = µ3 = 1, µ4 = 1 + 2cosθ (6.2) elde edilir. Eş. 6.2 den aşağıdaki sonuç verilebilir. 6.1. Sonuç µ1, µ2, µ3, µ4 bir küresel karenin gram matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere; (i) 1 < µ1 < 3, (ii) µ2 = µ3 = 1, (iii) –1 < µ4 < 1 dir. Eş. 6.1 deki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak h = 6 – 4cos2θ, t = 4 – 8cos2θ = –4cos2θ, s = 1 – 4cos2θ bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir. 6.2. Sonuç Küresel karenin gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak üzere; 47 (i) 2 < h < 6, (ii) –4 < t < 4, (iii) –3 < s < 1. 48 7. HİPERBOLİK DÜZLEMDEKİ BAZI ÖZEL DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSLERİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ 7.1. Hiperbolik Saccheri Dörtgeninin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri 7.1. Tanım Bir P1P2P3P4 dörtgeni için P1P2 ve P3P4 kenarları eşit uzunlukta ve P2P3 tabanına dik olsun. P1P4 kenarı üst taban veya tepe olmak üzere; P1 ve P4 tepe açıları eş ve dar açılar ise bu dörtgene Hiperbolik Saccheri dörtgeni denir [2]. N4 P1 θ4 P2 θ3 l4 θ1 N3 l3 = l1 l1 N1 P4 l2 θ2 P3 N2 Şekil 7.1. Hiperbolik Saccheri dörtgeni Hiperbolik Saccheri dörtgeninin açıları 0 < θ < π π için θ1 = θ2 = , 2 2 θ3 = θ4 = θ şeklindedir. Bu değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak f = 2cos2θ, g = 0 bulunur. Eş. 7.1 deki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak (7.1) 49 2 cosθ, µ1 = 1 – µ2 = µ3 = 1, 2 cosθ µ4 = 1 + (7.2) elde edilir. Eş. 7.2 den aşağıdaki sonuç verilebilir. 7.1. Sonuç µ1, µ2, µ3, µ4 bir hiperbolik Saccheri dörtgeninin gram matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere; (i) 1 – 2 < µ1 < 1, (ii) µ2 = µ3 = 1, (iii) 1 < µ4 < 1 + 2 dir. Eş. 7.1 deki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak h = 6 − 2cos 2 θ, t = 4 − 4cos 2 θ = 4sin 2 θ, s = 1 − 2cos2 θ = − cos 2θ bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir. 50 7.2. Sonuç Hiperbolik Saccheri dörtgeninin gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak üzere; (i) 4 < h < 6, (ii) 0 < t < 4, (iii) –1 < s < 1. 7.2. Hiperbolik Lambert Dörtgeninin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri 7.2. Tanım Herhangi üç açısı dik açı ve dördüncü açısı dar açı olan dörtgene Hiperbolik Lambert dörtgeni denir [2]. P1 N4 P4 θ4 l4 l3 l1 N1 θ1 P2 θ3 l2 N2 Şekil 7.2. Hiperbolik Lambert dörtgeni N3 θ2 P3 51 Hiperbolik Lambert dörtgeninin açıları 0 < θ < π π için θ1 = θ2 = θ3 = , θ4 = θ 2 2 şeklindedir. Bu değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak f = cos2θ, g = 0 (7.3) bulunur. Eş. 7.3 teki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak µ1 = 1 – cosθ, µ2 = µ3 = 1, µ4 = 1 + cosθ (7.4) elde edilir. Eş. 7.4 ten aşağıdaki sonuç verilebilir. 7.3. Sonuç µ1, µ2, µ3, µ4 bir hiperbolik Lambert dörtgeninin gram matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere; (i) 0 < µ1 < 1, (ii) µ2 = µ3 = 1, (iii) 1 < µ4 < 2 dir. Eş. 7.3 teki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak h = 6 – cos2θ, t = 4 – 2cos2θ, 52 s = 1 – cos2θ = sin2θ bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir. 7.4. Sonuç Hiperbolik Lambert dörtgeninin gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak üzere; (i) 5 < h < 6, (ii) 2 < t < 4, (iii) 0 < s < 1. 53 8. SONUÇ Bu tezde Öklidyen, küresel ve hiperbolik düzlemlerdeki dörtgenlerin gram matrislerinin karakteristik değerlerinin ifadesi verildi. Ayrıca Öklidyen, küresel ve hiperbolik düzlemlerdeki bazı özel dörtgenlerin gram matrislerinin karakteristik değerleri elde edildi. Karakteristik değerler Öklidyen düzlemdeki ortogonal, küresel ve hiperbolik düzlemlerdeki semi-ortogonal dönüşümler altında invaryant kaldığından bulduğumuz değerlerin bu alanlardaki çalışmalarda kullanılarak yeni bulgular elde edilebileceği inancındayız. 54 KAYNAKLAR 1. İnternet: Oregan State University ‘‘Eigenvalues of Gram Matrices’’ htpp://www.math.oreganstate.edu/…/GramMatrix.pdf . 2. Ratcliffe, J.G., ‘‘Foundations of Hyperbolic Manifolds’’, Springer-Verlag, Berlin, 36 (1994). 3. Hacısalihoğlu, H.H., ‘‘İki ve Üç Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler’’, A.Ü.Fen Fakültesi, Ankara, 18-43 (1998). 4. Tokeşer, Ü., ‘‘Küresel, Hiperbolik ve De-Sitter Düzleminde Üçgenler’’, Doktora Tezi, Gazi Üni., 2-115 (2013). 5. Bluemental, L., ‘‘Theory and Applications of Distance Geometry’’, Chelsea Publishing Company, New York, 97-101 (1970). 6. Euler, L., ‘‘De linea brevissima in superficie quacunque duo quaelibet puncta iungente’’, Comment. Acad. Sci. Petrop, 3:110-124 (1732). 7. 0’neil, B., ‘‘Semi-Riemannian Geometry’’, Academic Press., London, 46-49, 5457, 108-114, 143-144 (1983). 8. Vinberg, E.B., ‘‘Geometry II, Encyclopedia of Mathematical Sciences’’, Springer, Verlag, 4-79 (1993). 9. ‘‘Ortaöğretim Geometri Dersi 11. Sınıf Öğretim Programı’’, TC MEB Talim Terbiye Kurulu Başkanlığı, Ankara, 35, 41, 44, 45 (2010). 10. Zwillinger, D., ‘‘CRC Standart Mathematical Tables and Formulae, 31st Edition (Discrete Mathematics and Its Applications), Chapmann&Hall CRC, Florida, 297-383 (2003). 55 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Soyadı, adı : KÜLÜK, Fatıma Uyruğu : T.C. Doğum tarihi ve yeri : 11.12.1982, Ankara Medeni hali : Evli Telefon : 0 543 9586630 e-mail : [email protected]. Eğitim Derece Eğitim Birimi Mezuniyet Tarihi Yüksek Lisans Gazi Üniversitesi/Matematik Bölümü 2014 Lisans Ankara Üniversitesi/Matematik Bölümü 2005 Lise Haydar Öztaş Anadolu Lisesi 2001 İş Deneyimi Yıl Yer Görev 2006-2008 Seviye Dershanesi Matematik Öğretmeni 2008- MEB Matematik Öğretmeni Yabancı Dil İngilizce Hobiler Kitap okuma, Yürüyüş yapma